Wykłady Prof. Krystyny Pruskiej. Analiza matematyczna. Zapis: Adam Kościelniak

Transkrypt

1 Wykłady Prof. Krystyny Pruskiej Analiza matematyczna Zapis: Adam Kościelniak

2 Pochodne 3 Pochodne wyższych rzędów 5 Ekstrema funkcji 8 Wklęsłośd i wypukłośd funkcji 11 Punkty przegięcia 13 Asymptoty 14 Badanie przebiegu zmienności funkcji 15 Różniczka funkcji 15 Całka nieoznaczona 16 Całka oznaczona Riemanna 19 Całka dolna i górna Darboux 21 Twierdzenia o całkowalności funkcji 23 Własności całki oznaczonej 25 Interpretacja geometryczna całki oznaczonej 26 Całka jako funkcja górnej granicy całkowania 28 Całki niewłaściwe 30 Funkcje beta i gamma Eulera 33 Ciągi i szeregi funkcyjne 35 Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy 41 Przestrzenie metryczne 42 Własności zbiorów Euklidesowych przestrzeni metrycznych 43 Relacje jednoczłonowe, dwuczłonowe i wieloczłonowe 48 Funkcje wielu zmiennych 49 Ciągi punktów w przestrzeni 49 Granica funkcji wielu zmiennych 52 Ciągłośd funkcji wielu zmiennych 54 Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 55 Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych 57 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów 58 Elastycznośd cząstkowa funkcji wielu zmiennych 59 Pochodne funkcji złożonej wielu zmiennych 60 1 S t r o n a

3 Różniczki zupełne wyższych rzędów 61 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 62 Ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych 63 Wklęsłośd i wypukłośd funkcji wielu zmiennych 65 Największa i najmniejsza wartośd funkcji wielu zmiennych w określonym zbiorze 66 Funkcja uwikłana 67 Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 69 Ekstrema warunkowe zapis macierzowy 73 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 75 Całka podwójna 76 Własności całki podwójnej 77 Zamiana całki podwójnej na iterowaną 78 Całki podwójne niewłaściwe 80 2 S t r o n a

4 Pochodne ROLLE A Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, tzn. w przedziale oraz, to istnieje taki punkt, że Dowód Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym, to z tw. Weierstrassa wynika, że osiąga w tym przedziale swoje kresy - kres dolny - Kres górny 1. Jeżeli funkcja jest stała, to dla przedziału 2. Jeżeli funkcja nie jest stała, to jeden z kresów musi odpowiadad punktowi wewnętrznemu przedziału gdyż Załóżmy, że w punkcie funkcja osiąga kres górny tzn. Zatem Funkcja jest różniczkowalna w tzn. a więc Zatem Załóżmy że w punkcie funkcja osiąga kres dolny tzn. Zatem Wynika stąd, że: Zatem Gdyż funkcja jest różniczkowalna w 3 S t r o n a

5 Uwaga Z twierdzenia Rolle a wynika, że w przedziale istnieje taki punkt, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji w punkcie jest równoległa do osi OX LAGRANGE A O WARTOŚCI ŚREDNIEJ Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale, to istnieje punkt taki, że: Dowód Zdefiniujmy funkcje pomocniczą postaci: Funkcja spełnia założenia Rolle a 1. jest ciągła w przedziale domkniętym 2. jest różniczkowalna w przedziale otwartym 3. Czyli Zatem zgodnie z tezą tw. Rolle a istnieje taki punkt Czyli że Czyli Z tw. Langrange a wynika, że do wykresu funkcji w punkcie przechodzącej przez punkty i jest równoległa do siecznej Wnioski z tw. Langrange a: 1. Jeżeli funkcja spełnia założenia tw. Lagrange a i dla, to jest w tym przedziale funkcją stałą. 2. Jeżeli funkcja spełnia założenia tw. Lagrnge a i dla, to jest funkcją rosnącą w przedziale 3. Jeżeli funkcja spełnia założenia tw. Lagrange a i dla to jest funkcją malejącą w przedziale 4 S t r o n a

6 COUCHY EGO O WARTOŚCI ŚREDNIEJ Jeżeli funkcje i są ciągłe w przedziale domkniętym i różniczkowalne wewnątrz tego przedziału tzn. w przedziale otwartym oraz dla wówczas istnieje taki punkt, że: Uwaga: Jeżeli, to otrzymujemy tw. Langrange a. REGUŁA DE L HOSPITALA Jeżeli zachodzą następujące warunki: 1. Funkcje i są różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu, przy czym i w sąsiedztwie punktu 2. i albo i 3. Istnieje granica to istnieje granica oraz Uwaga: Reguła de L Hopitala jest prawdziwa dla granic jednostronnych oraz granic w Pochodne wyższych rzędów Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym, wówczas w przedziale otwartym określona jest funkcja przyporządkowująca wartością z przedziału liczbę będącą pochodną funkcji w tym punkcie. Funkcje tę nazywamy pochodną funkcji i oznaczamy Funkcja jest określona we wszystkim punktach w których funkcja jest różniczkowalna. 5 S t r o n a

7 Niech będzie różniczkowalna w przedziale otwartym i niech funkcja posiada pochodną w punkcie. Pochodną funkcji w punkcie nazywamy drugą pochodną, albo pochodną drugiego rzędu funkcji w punkcie i oznaczamy Jeżeli i są różniczkowalne w przedziale otwartym to w przedziale tym określona jest funkcja, która przyporządkowywuje punktom z przedziału wartości pochodnie drugiego rzędu w tych punktach. Funkcję tę nazywamy drugą pochodną funkcji w przedziale otwartym i oznaczamy. W analogiczny sposób definiujemy pochodne wyższych rzędów tzn. pochodną trzeciego rzędu nazywamy pochodną pochodnej drugiego rzędu Jeżeli w przedziale otwartym istnieje pochodna rzędu funkcji, którą oznaczamy, to pochodną tą nazywamy pochodną rzędu funkcji w punkcie i oznaczamy Jeżeli w każdym punkcie istnieje n-ta pochodna to funkcję, która przyporządkowywuje wartości wartości ntej pochodnej, to funkcję tak określoną nazywamy n-tą pochodną lub pochodną n-tego rzędu funkcji w przedziale Jeżeli funkcja jest n-krotnie różniczkowalna w przedziale otwartym i n-ta pochodna funkcji w tym przedziale jest ciągła, to funkcję nazywamy funkcją klasy w przedziale otwartym 6 S t r o n a

8 Pochodne wyższego rzędów WZÓR TAYLORA Jeżeli funkcja jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu oraz punkt, to istnieje taki punkt czyli punkt że zachodzi wzór: Wzór nosi nazwę wzoru Taylora a jest resztą we wzorze Taylora (reszta Lagrange a) Uwaga Wzór Taylora jest wzoru podanego w tw. Lagerange a. WZÓR MACLAURINA Jeżeli we wzorze Taylora przyjmiemy oraz to otrzymujemy dla, gdzie jest otoczeniem punktu, w którym funkcja jest n-krotnie różniczkowalna, wzór postaci Wzór nosi nazwę rozwinięcia funkcji we wzór Taylora w otoczeniu punktu Wzór nosi nazwę rozwinięcia funkcji we wzór Maclaurina 7 S t r o n a

9 Ekstrema funkcji Mówimy że funkcja określona na przedziale osiąga maksimum (minimum) lokalne w punkcie, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu, że dla każdego punktu i zachodzi: Jeżeli zachodzi nierównośd: To funkcja osiąga w punkcie maksiumum (minimum) lokalne właściwe. Minima i maksima lokalne noszą nazwę ekstremów lokalnych WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM FUNKCJI RÓŻNICZKOWALNEJ Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i punkcie osiąga ekstremum to: Dowód: Załóżmy że funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie oznacza to że: Oznacza to że: Ponieważ istnieje pochodna funkcji w punkcie a więc W sposób analogiczny przeprowadza się dowód dla minimum. Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe! 8 S t r o n a

10 WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM FUNKCJI RÓŻNICZKOWALNEJ Niech funkcja będzie różniczkowalna w przedziale zawierającym punkt i niech Jeżeli To funkcja osiąga w punkcie minimum lokalne właściwe To funkcja osiąga w punkcie maksimum lokalne właściwe Jeżeli funkcja jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu oraz wówczas: 1. Gdy n jest liczbą parzystą to funkcja osiąga maksimum lokalne właściwe punkcie jeżeli, a minimum lokalne właściwe gdy 2. Gdy n jest liczbą nieparzystą funkcja nie posiada ekstremum w punkcie Przykład: Dowód: Wzór Taylora dla funkcji przyjmuje postad: Czyli: ad. 1. Gdy jest parzyste to znak wyrażenia po prawej stronie zależy od znaku n-tej pochodnej ponieważ Niech ponieważ jest ciągła punkcie zatem istnieje takie otoczenie punktu że dla Zatem dla punktów a więc w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne właściwe Niech ponieważ jest ciągłe w punkcie więc istnieje takie otoczenie punktu, że dla Zatem dla punktów a więc w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne właściwe 9 S t r o n a

11 ad. 2. Niech będzie liczbą nieparzystą jeżeli to istnieje takie że zachodzi Wynika stąd że: Czyli Zatem w punkcie nie ma ekstremum Analogicznie dla Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu i jest ciągła to w punkcie funkcja osiąga: 1. Maksimum lokalne właściwe jeśli 2. Minimum lokalne właściwe jeśli Uwaga: Funkcja może posiadad ekstrema w punkach w których nie jest różniczkowalna Np. y x 10 S t r o n a

12 Wklęsłość i wypukłość funkcji Mówimy że funkcja określona w przedziale otwartym jest wypukła, jeżeli: Jeżeli zachodzi to mówimy, że jest ściśle wypukła Mówimy że funkcja określona w przedziale otwartym jest wklęsła, jeżeli: Jeżeli zachodzi to mówimy, że jest ściśle wklęsła Jeżeli funkcja jest określona i ciągła w otoczeniu punktu oraz w otoczeniu pochodna funkcji jest ciągła, to funkcja jest wypukła w wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji w otoczeniu punktu leży nad styczną do wykresu funkcji w punkcie Styczna Ryd. 1: Funkcja wypukła 11 S t r o n a

13 Jeżeli funkcja jest określona i ciągła w otoczeniu punktu oraz w otoczeniu pochodna funkcji jest ciągła, to funkcja jest wklęsła w wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji w otoczeniu punktu leży pod styczną do wykresu funkcji w punkcie Ryd. 2: Funkcja wklęsła Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu i jest dodatnia (ujemna) w tym otoczeniu to funkcja jest w tym otoczeniu wypukła (wklęsła) Dowód: Dla spełnione są założenia tw. Taylora, zatem: gdzie oraz oraz Otrzymujemy więc: Jeżeli, to: Zatem jest wypukła. Analogicznie dla przypadku 12 S t r o n a

14 Punkty przegięcia Punkt jest punktem przegięcia funkcja jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu funkcja jest wklęsła a w prawostronnym sąsiedztwie punktu funkcja jest wypukła, lub odwrotnie y y x x WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA PUNKTU PRZEGIĘCIA Jeżeli funkcja jest funkcją klasy w pewnym otoczeniu punktu i jeśli to punkt przegięcia funkcji to: WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA PUNKTU PRZEGIĘCIA Jeżeli funkcja jest funkcją klasy w pewnym otoczeniu punktu oraz: albo odwrotnie to funkcja posiada w punkcie punkty przegięcia Jeżeli jest funkcją klasy w pewnym otoczeniu punktu oraz i wówczas 1. Gdy jest parzyste funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie 2. Gdy jest nieparzyste funkcja posiada punktu przegięcia punkcie 13 S t r o n a

15 Asymptoty Niech będzie funkcją określoną w lewo lub prawostronnym sąsiedztwie punktu i nieokreśloną w Asymptotą funkcji nazywamy prostą o równaniu jeżeli: lub Prosta o równaniu jest asymptotą ukośną (pochyłą) funkcji w jeżeli: Uwaga: Jeżeli to asymptota ukośna staje się poziomą Jeżeli prosta jest asymptotą ukośną to: oraz Jeżeli istnieją granice podane w poprzednim twierdzeniu, to funkcja w o równaniu posiada asymptotę ukośną 14 S t r o n a

16 Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. Dziedzina funkcji 2. Punkty przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych 3. Punkty nieciągłości 4. Wyznaczenie granic lewo i prawostronnych w punktach nieciągłości i na kraocach przedziału określoności 5. Asymptoty 6. Wyznaczenie pierwszej pochodnej funkcji, miejsc zerowych pochodnej, ekstremów funkcji określenia przedziałów monotoniczności 7. Wyznaczanie drugiej pochodnej funkcji, miejsc zerowych przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punktów przegięcia 8. Zestawienie tabelaryczne 9. Wykres Różniczka funkcji Niech funkcja będzie różniczkowalna w punkcie. Różniczką funkcji w punkcie przy przyroście, co oznaczamy przez: Nazywamy wyrażenie postaci Uwaga: Dla małych przyrostów funkcji: zmiennej niezależnej różniczka funkcji jest przybliżeniu równa przyrostowi gdzie Uzasadnienie: Jeżeli jest bliskie to stąd 15 S t r o n a

17 Całka nieoznaczona Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale. Funkcję, która jest określona przedziale, oraz spełnia warunek dla, nazywamy całką nieoznaczoną albo funkcja pierwotną funkcji i zapisujemy jako: Funkcję posiadającą całkę nieoznaczoną w pewnym przedziale nazywamy całkowalną w pewnym przedziale. Przykłady Jeżeli funkcja jest całką nieoznaczoną funkcji w przedziale, to każda funkcja postaci, gdzie jest dowolną stałą też jest całką nieoznaczoną funkcji Dowód: Dowolne dwie całki nieoznaczone funkcji w przedziale różnią się o stałą. Dowód: Niech i będą całkami nieoznaczonymi funkcji w przedziale. Oznacza to, że: Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale to istnieje nieskooczenie wiele funkcji, które są całką nieoznaczoną funkcji. Każde dwie takie całki różnią się o stałą. 16 S t r o n a

18 Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale to: Dowód: Niech będzie całką funkcji dla czyli oznacza to, że: czyli: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w przedziale, to: Dowód: Wynika z poprzedniego twierdzenia ponieważ jest funkcją pierwotną funkcji. Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale, to jest ona całkowalna w tym przedziale. Jeżeli funkcje i są całkowalne w przedziale, to: Jeżeli funkcje i mają ciągłe pochodne w przedziale to: oraz gdzie: 17 S t r o n a

19 Dowód: Inny zapis: Przykład: O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIANIE Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale oraz funkcja jest monotoniczna, posiada ciągłą pochodną w przedziale oraz odwzorowuje przedział na to: Superpozycja funkcji Dowód Niech będzie funkcją pierwotną funkcji w. Wykażemy że jest funkcją pierwotną funkcji. zatem Przykłady: 18 S t r o n a

20 Całka oznaczona Riemanna Niech będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale domkniętym. Oznaczamy koniec przez, koniec przez. Przedział dzielimy na n-części punktami takimi, że Podział przedziału punktami oznaczamy symbolem czyli: Niech. Oznacza to, że jest długością przedziału. Średnicą przedziału nazywamy największą z liczb i oznaczamy symbolem tzn. Niech będzie ciągiem podziałów przedziału według powyżej opisanych zasad. Ciąg podziałów nazywamy nominalnym, gdy odpowiadający mu ciąg średnic dąży do zera czyli gdy. (Oznacza to, że największy z przedziałów jest coraz mniejszy). Niech będzie dowolnym punktem z przedziału gdzie. Nosi on nazwę punktu pośredniego z przedziału. Sumę postaci: Nazywamy sumą całkową albo przybliżoną sumą całkową funkcji. Suma zależy od punktów podziału, oraz od punktów pośrednich 19 S t r o n a

21 Niech będzie dowolnym normalnym ciągiem podziałów przedziału oraz niech: Jeżeli ciąg przybliżonych sum całkowych ma granicą skooczoną przy każdym normalnym ciągu przedziałów niezależnych od tego podziału oraz niezależną od doboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji w przedziale. Całkę tę oznaczamy symbolem: Zgodnie z definicją: Przy dowolnym ciągu podziałów normalnych przedziału funkcja podcałkowa dolna granica całkowania górna granica całkowania Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna w przedziale funkcją całkowalną w sensie Riemanna w przedziale. Własności: nazywamy 20 S t r o n a

22 Całka dolna i górna Darboux Niech będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale. Niech będzie podziałem przedziału punktami takimi, że: Przyjmujemy oznaczenia Zauważamy, że: 1) dla 2) 3) Jeżeli to oraz 4) 5) Otrzymujemy zatem: Interpretacja geometryczna sumy dolnej górnej Niech będzie funkcją nieujemną w przedziale i niech będzie zbiorem punktów określonych wzorem: Niech Punkty dla tworzą podział odcinka 21 S t r o n a

23 przybliżona suma całkowa funkcji suma górna Jeżeli do punktów podziału przedziałów a suma górna nie wzrośnie dołączymy nowe punkty to suma dolnie zmaleje, Wynika stąd, że ciąg sum dolnych i ciąg sum górnych sum górnych odpowiadające normalnemu ciągowi podziałów przedziału są monotoniczne i ograniczon, a zatem zbieżne. Dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału istnieje granica i obie są niezależne od wybranego ciągu podziałów. 22 S t r o n a

24 Granice ciągów i odpowiadających normalnym ciągom podziałów przedziału nazywamy odpowiednio całką dolną Darboux i całką górną Darboux funkcji w przedziale i oznaczamy. Własności: Dla każdego zachodzi Każda funkcja ograniczona w przedziale ma całkę górną i całkę dolną Twierdzenia o całkowalności funkcji TW 1. Funkcja jest całkowalna w przedziale wtedy i tylko wtedy gdy całka dolna jest równa całce górnej. Dowód: Niech: Z poprzednich rozważao wynika że: ponieważ więc istnieje 23 S t r o n a

25 oraz Zatem istnieje Niech Załóżmy, że istnieje Ponieważ istnieje całka, więc istnieje granica niezależna od wyboru punktów pośrednich. Punkty pośrednie można tak dobrad, aby suma przybliżona różniła się dolnie mało od sumy dolnej tzn. Można też wybrad inne punkty pośrednie, tak, aby suma przybliżona różniła się dowolnie mało od sumy górnej tzn. Z i tw. o trzech ciągach wynika, że: Z i tw. o trzech ciągach wynika że: Ponieważ założyliśmy, że więc Wynika stąd że granica ciągu sum przybliżonych jest zależna od wyboru punktów pośrednich, co jest sprzeczne z def. Całki Riemanna (funkcja jest całkowalna) TW 2. Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale, to jest całkowalna w tym przedziale. Dowód Z tw. Cartona wynika że jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym, to jest w tym przedziale jednostajnie ciągła, czyli: Niech będzie normalnym ciągiem podziałów przedziału. Dla dostatecznie dużych zachodzi. Zauważmy, że dla dostatecznie zachodzi: 24 S t r o n a

26 Zatem przedziale, a więc na podstawie twierdzenia pierwszego funkcja jest całkowalna w TW 3. Jeżeli funkcja jest ograniczona w przedziale i posiada w tym przedziale skooczoną ilośd punktów nieciągłości to jest całkowalna w przedziale TW 4. Jeżeli funkcja jest określona i monotoniczna w przedziale to jest w tym przedziale całkowalna TW 5. Jeżeli funkcja nie jest ograniczona w przedziale to nie jest całkowalna w przedziale w tym przedziale TW 6. Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale to jest całkowalna w każdym przedziale Własności całki oznaczonej 1. Jeżeli funkcje i są całkowalne w przedziale to funkcje,,, są całkowalne w tym przedziale oraz zachodzą wzory: 2. Jeżeli oraz funkcja jest całkowalna w przedziale to: 3. Jeżeli i oznaczają odpowiednio kres górny i kres dolny funkcji całkowalnej w przedziale, to: 25 S t r o n a

27 4. O wartości średniej całek Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale, to istnieje punkt taki że: 5. Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale oraz jest w tym przedziale nieujemna, to: 6. Jeżeli funkcje i są całkowalne w przedziale oraz dla to 7. Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale to też jest funkcją całkowalną w oraz Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Niech będzie funkcja całkowalną w przedziale oraz dla Niech oraz niech oznacza pole obszaru Suma dolna jest równa pulu figury wpisanej w obszar, a suma górna jest równa polu figury opisanej na obszarze Ponieważ funkcja jest całkowalna w przedziale a więc: Ponadto Zatem 26 S t r o n a

28 Jeżeli dla to Niech Ponieważ więc Wzór Leibniza 27 S t r o n a

29 Całka jako funkcja górnej granicy całkowania Niech będzie funkcją całkowalną w przedziale. Funkcję postaci: nazywamy funkcją górnej granicy całkowania Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale, to funkcja górnej granicy całkowania jest różniczkowalna w przedziale oraz Jeżeli jest funkcją całkowalną w przedziale to funkcja górnej granicy całkowania 1. Jest ciągła w przedziale 2. Ma pochodną, w każdym punkcie, w którym jest funkcją ciągłą Wniosek 1. Jeżeli jest ciągła w, to funkcja górnej granicy całkowania jest funkcją pierwotną (całką nieoznaczoną) funkcji w przedziale. Wniosek 2. Jeżeli funkcja jest ciągłą w, to posiada w tym przedziale całkę nieoznaczoną. NEWTONA-LIEBNIZA Jeżeli jest funkcją ciągłą w przedziale i jest jej całką nieoznaczoną w tym przedziale, to: Dowód Z wniosku 1. wynika, że funkcja funkcji w przedziale Wynika stąd że: jest funkcją pierwotną, czyli całką nieoznaczoną 28 S t r o n a

30 tzn. Zatem O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI DLA CAŁKI OZNACZONEJ Jeżeli funkcje i mają ciągłe pochodne i w przedziale to: gdzie Dowód Zatem a stąd Innaczej: O ZAMIANIE ZMIENNYCH W CAŁCE OZNACZONEJ Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale i jeżeli jest funkcją klasy oraz jest funkcją rosnącą w przedziale, przy czym, to zachodzi wzór: 29 S t r o n a

31 Dowód Niech będzie funkcją pierwotną funkcji w przedziale, wówczas funkcja jest funkcją pierwotną funkcji Wiadomo że: dla Zatem Całki niewłaściwe PUNKTU OSOBLIWEGO I. Niech będzie funkcją określoną w przedziale oraz niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale, gdzie Punkt nazywamy punktem osobliwym funkcji, jeśli lub ( jest liczbą skooczoną) i jest funkcją nieciągłą w punkcie. II. Niech będzie funkcją określoną w przedziale oraz niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale, gdzie Punkt nazywamy punktem osobliwym funkcji, jeśli lub ( jest liczbą skooczoną) i jest funkcją nieciągłą w punkcie. Niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale gdzie i. Całką niewłaściwą funkcji w przedziale nazywamy: i oznaczamy: 30 S t r o n a

32 Jeżeli granica istnieje to mówimy że całka jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje to mówimy że całka jest rozbieżna. Niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale gdzie i. Całką niewłaściwą funkcji w przedziale nazywamy: i oznaczamy: Jeżeli granica istnieje to mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje to mówimy, że całka jest rozbieżna. Całki niewłaściwe funkcji w przedziale nieograniczonym nazywamy całkami niewłaściwymi pierwszego rzędu Niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale gdzie i i niech Jeżeli istnieją obie całki i, to mówimy, że całka istnieje i jest zbieżna Jeżeli co najmniej jedna z całek i jest rozbieżna to całka jest rozbieżna. 31 S t r o n a

33 Niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale gdzie oraz niech będzie nieciągłą w punkcie. Całką niewłaściwą funkcji w przedziale nazywamy: Niech będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale gdzie oraz niech będzie nieciągłą w punkcie. Całką niewłaściwą funkcji w przedziale nazywamy: Jeżeli granice i istnieją to mówimy, że całki niewłaściwe funkcji, odpowiednio w przedziałach, są zbieżne, w przeciwnym przypadku są rozbieżne Całki i nazywamy całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju Niech funkcja będzie całkowalna w każdym przedziale oraz jest nieciągła w punktach i to: 32 S t r o n a

34 Przykład: Funkcje beta i gamma Eulera Całką Eulera pierwszego rodzaju nazywamy całkę postaci: gdzie Jeżeli wyrażenie będziemy traktowad, jako funkcję parametrów i to funkcję tę będziemy nazywad funkcją (funkcją beta ) Dla lub całka jest rozbieżna. 33 S t r o n a

35 Własności funkcji 1. funkcja jest symetryczna 2. dla 3. dla 4. dla i 5. dla dla Całką Eulera drugiego rodzaju nazywamy całkę postaci: gdzie Jeżeli wyrażenie potraktujemy, jako funkcję parametru gdzie to funkcję będziemy nazywad funkcją (funkcja gamma ). Dla całka jest zbieżna. 34 S t r o n a

36 Własności funkcji dla 1. Funkcja jest ciągła dla każdej wartości i ma ciągłe pochodne wszystkich rzędów Ciągi i szeregi funkcyjne Ciąg którego wyrazami są funkcje ciągiem funkcyjnym i oznaczamy określone na tym samym zbiorze, nazywamy Przykłady: 1⁰ 2⁰ Ciąg funkcyjny nazywamy ograniczonym w zbiorze X jeżeli: 35 S t r o n a

37 Ciąg funkcyjny nazywamy: 1⁰ Rosnącym w zbiorze jeżeli: 2⁰ Niemalejącym w zbiorze jeżeli: 3⁰ Malejącym w zbiorze jeżeli: 4⁰ Nierosnącym w zbiorze, jeżeli: Mówimy że ciąg funkcyjny jest zbieżny w punkcie do gdzie jest dziedziną funkcji oraz jeżeli: Mówimy że ciąg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze do funkcji jeżeli: Funkcję nazywamy granicą albo funkcją graniczną ciągu funkcyjnego i zapisujemy 36 S t r o n a

38 Niech ciąg funkcyjny oraz funkcja będą określone w zbiorze X. Mówimy że ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie do funkcji, jeżeli Przykład 1. Niech będzie ciągiem funkcyjnym takim, że Niech Ciąg jest ciągiem liczbowym oraz: Zatem ciąg jest zbieżny punktowo dla funkcji dla Aby Zatem dla wystarczy przyjąd zachodzi: Wykażemy, że ciąg Tw. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych Niech dany będzie ciąg funkcyjny gdzie. Jeżeli istnieje ciąg liczbowy o wyrazach nieujemnych zbieżny do zera tzn.: Oraz To ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie do funkcji granicznej. 37 S t r o n a

39 Przykład: Ciąg funkcyjny o wyrazie ogólnym gdzie jest jednostajnie zbieżny w ponieważ: Jeżeli wyrazami ciągu funkcyjnego są są funkcje całkowalne w przedziale to funkcja jest całkowalna w oraz, Wzór ten możemy zapisad w następującej postaci: Wzór ten daje możliwośd sprowadzenia wyznaczania granicy całek do wyznaczania granicy funkcji podcałkowych i całkowania otrzymanego wyniku. Mówimy że przy spełnieniu założeo tego twierdzenia dopuszczalne jest przejście do granicy pod znakiem całki. Niech wszystkie wyrazy ciągu funkcyjnego będą różniczkowalne w przedziale oraz ciąg pochodnych będzie zbieżny jednostajnie w przedziale. Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny co najmniej w jednym punkcie przedziału, to: 1⁰ Ciąg 2⁰ Funkcja 3⁰ jest zbieżny jednostajnie w przedziale jest różniczkowalną Szereg funkcyjnym nazywamy szereg, którego wyrazami są funkcje tym samym zbiorze czyli: określone w 38 S t r o n a

40 Funkcję postaci: nazywamy n-tą sumą częściową szeregu funkcyjnego. Jeżeli ustalimy x, to szereg funkcyjny staje się szeregiem liczbowym. Szereg funkcyjny jest zbieżny w punkcie, jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy. Szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze, jeżeli jest zbieżny w każdym punkcie tego zbioru. Szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w zbiorze jeżeli ciąg sum częściowych tego szeregu jest jednostajnie zbieżny w zbiorze. KRYTERIUM WEIERSTRASSA ZBIEŻNOŚCI JEDNOSTAJNEJ CIĄGÓW FUNKCYJNYCH Jeżeli w zbiorze zachodzi: Gdzie funkcje są określone w oraz szereg liczbowy jest zbieżny to szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w zbiorze i bezwzględnie. Przykład: jest jednostajnie zbieżny w zbiorze ponieważ oraz jest zbieżny. Jeżeli funkcje dla będą określone w przedziale oraz szereg jest zbieżny jednostajnie w przedziale i, to 39 S t r o n a

41 Niech funkcje dla będą określone w przedziale i mają w tym przedziale ciągłe pochodne. Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w, to: Granicę ciągu sum częściowych funkcyjnego szeregu nazywamy sumą szeregu funkcyjnego Szereg postaci nazywamy n-tą resztą szeregu funkcyjnego Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze, to szereg jest zbieżny do zera Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze, który jest przedziałem, to przedział ten nazywamy przedziałem zbieżności szeregu funkcyjnego. Przykład: Niech Szereg ten dla ustalonego jest szeregiem geometrycznym o ilorazie. Szereg taki jest zbieżny, gdy, a zatem. Wynika stąd, że przedział jest przedziałem zbieżności rozważanego szeregu funkcyjnego. 40 S t r o n a

42 Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Jeżeli funkcja w pewnym otoczeniu punktu ma pochodne dowolnego rzędu oraz Gdzie jest resztą w rozwinięciu funkcji w wzór Taylora, to dla istnieje następujące rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy zwany szeregiem Taylora Jeżeli we wzorze przyjmiemy że to otrzymujemy wzór w postaci: Wzór ten nosi nazwę rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina (WARUNEK DOSTATECZNY ZBIEŻNOŚCI DO ZERA N-TEJ RESZTY WE WZORZE TAYLORA) (WARUNEK DOSTATECZNY ZBIEŻNOŚCI DO ZERA N-TEJ RESZTY WE WZORZE MACLAURINA) Uwaga: Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy jest stosowane przy aproksymacji danej funkcji za pomocą wielomianu. 1⁰ 2⁰ 3⁰ 41 S t r o n a

43 Przestrzenie metryczne I Niepusty zbiór nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli jest w nim określona funkcja, która każdej parze elementów przyporządkowywuje dokładnie jedną liczbę nieujemną taką, że: 1. aksjomat tożsamości 2. aksjomat symetrii 3. aksjomat trójkąta Funkcją nazywamy metryką przestrzeni, a warunki - odległością punktów i II Przestrzenią metryczną nazywamy parę, gdzie jest dowolnym niepustym zbiorem, a - funkcją określoną na iloczynie kartezjaoskim przyjmująca nieujemne wartości i spełniająca aksjomaty od 1 do 3 Przestrzeo z metryką określoną wzorem i, nazywamy euklidesową przestrzenią n-wymiarową albo arytmetyczną przestrzenią n-wymiarową, a metrykę metryką euklidesową 42 S t r o n a

44 Własności zbiorów Euklidesowych przestrzeni metrycznych Niech i niech będzie dowolną, ale ustaloną liczbą dodatnią. Niech będzie metryką Euklidesową Kulą otwartą o promieniu i środku nazywamy zbiór punktów takich, że: czyli Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór Jeżeli to to Niech. Otoczeniem o promieniu punktu nazywamy kulę otwartą o środku w punkcie i promieniem. Otoczenie to oznaczamy symbolem Niech będzie dowolnym zbiorem w przestrzeni i niech. Mówimy, że punkt jest punktem wewnętrznym zbioru jeżeli istnieje otoczenie takie, że, czyli punkt należy do wraz z pewnym, swoim otoczeniem. Zbiór nazywamy otwartym, jeżeli każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym Zbiór punktów wewnętrznych zbioru nazywamy wnętrzem zbioru i oznaczamy lub 43 S t r o n a

45 Zbiór nazywamy ograniczonym, jeżeli: tzn. zbiór zbiór jest ograniczony, jeżeli istnieje kula skooczonym promieniu zawierająca ten Średnicą zbioru nazywamy liczbę, będącą kresem górnym odległości między każdymi dwoma punktami zbioru, czyli Wniosek Zbiór jest ograniczony, jeżeli ma skooczoną średnicę Przedziałem otwartym w przestrzeni nazywamy zbiór punktów postaci: gdzie,,, ustalone liczby rzeczywiste Przedziałem domkniętym w przestrzeni nazywamy zbiór postaci: gdzie,,, ustalone liczby rzeczywiste Przedział Dla nazywamy kostką a b x 44 S t r o n a

46 Dla Niech. Punkt nazywamy punktem skupienia zbiorów jeżeli do każdego otoczenia punktu należy punkt zbiorze różny od należy do zbioru albo nie należy do zbioru Zbiór skupienia nazywamy zbiorem domkniętym, jeżeli należą do niego wszystkie jego punkty Niech. Zbiór punktów w przestrzeni, które nie należą do zbioru nazywamy dopełnieniem zbioru i oznaczamy albo Zbiór i jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty Niech przestrzeni, gdzie jest zbiorem indeksów, będzie dowolną rodziną zbiorów otwartych w. Wówczas: Jest zbiorem otwartym 45 S t r o n a

47 Niech Wówczas: będzie skooczoną rodziną zbiorów otwartych. Jest zbiorem otwartym Niech przestrzeni, gdzie jest zbiorem indeksów, będzie dowolną rodziną zbiorów domkniętych w. Wówczas: Jest zbiorem domkniętym Niech będzie skooczoną rodziną zbiorów domkniętych w. Wówczas: Jest zbiorem domkniętym Zbiór nazywamy zbiorem spójnym jeżeli w każdym jego rozkładzie na dwa niepuste i rozłączne zbiory i (tzn. ) przynajmniej jeden z tych zbiorów zawiera punkt skupienia drugiego zbioru. Zbiór otwarty spójny w przestrzeni nazywamy obszarem Odcinkiem o kraocach i w przestrzeni nazywamy zbiór postaci lub lub 46 S t r o n a

48 Zbiorem wypukłym w przestrzeni nazywamy zbiór, który posiada następujące własności. Jeżeli punkty i należą do, to odcinek, którego są one kraocami, zawarty jest w tym zbiorze Punktem izolowanym zbioru nazywamy punkt, które nie jest punktem skupienia tego zbioru. Punktem brzegowym zbioru nazywamy punkt w którego otoczeniu znajdują się elementy należące do tego zbioru i elementy nienależące do tego zbioru. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór punktów brzegowych tego zbioru Punktem zewnętrznym zbioru punktem brzegowym zbioru nazywamy punkt który nie jest punktem wewnętrznym, ani Wierzchołkiem zbioru wypukłego nazywamy taki jego punkt brzegowy, który nie leży na żadnym odcinku łączącym dwa inne punkty brzegowe tego zbioru. Odstępem albo odległością punktu od niepustego zbioru nazywamy liczbę rzeczywistą określoną zbiorem: Przyjmujemy ponadto, że : Odstępem albo odległością zbiorów nazywamy 47 S t r o n a

49 Relacje jednoczłonowe, dwuczłonowe i wieloczłonowe Będziemy rozpatrywad podzbiory pewnego zbioru, który nazwiemy przestrzenią Podzbiór ustalonej przestrzeni można utożsamiad z własnością, która podsiada dany, każdy element danego podzbioru i której nie posiada żaden element przestrzeni nienależący do. Wówczas zami9ast gdzie piszemy: ma własnośd Relacjami jednoczłonowymi przestrzeni nazywamy podzbiory tej przestrzeni. Relacjami dwuczłonowymi w produkcie kartezjaoskim gdzie i są pewnymi przestrzeniami nazywamy podzbiór tego produktu kartezjaoskiego. Relację oznaczamy literą ( ro ) Jeżeli, to mówimy, że jest relacją dwuczłonową w produkcie kartezjaoskim lub jest relacją dwuczłonową w Jeżeli jest relacją dwuczłonową w, to zapis jest równoważny zapisowi, co oznacza: jest w relacji z Zbiór poprzedników par uporządkowanych należących do relacji nazywamy dziedziną tej relacji Relacjami k-członowymi w produkcie kartezjaoskim gdzie są dowolnymi niepustymi zbiorami, nazywamy podzbiór tego produktukartezjaoskiego Jeżeli to mówimy, że jest relacją k-członową w 48 S t r o n a

50 Funkcje wielu zmiennych Funkcją k zmiennych określoną w iloczynie kartezjaoskim przyjmująca wartości rzeczywiste nazywamy relację dwuczłonową w iloczynie kartezjaoskim taką, że dla każdego istnieje dokładnie jedna liczba taką, że Relację taką będziemy oznaczad np. Można również rozpatrywad relację dwuczłonowe w produkcie kartezjaoskim wówczas odwzorowania Jeżeli dziedziną relacji będzie zbiór liczb naturalnych zbioru, to otrzymujemy ciąg punktów w przestrzeni będą to, a przeciwdziedziną przeliczalny podzbiór Ciągi punktów w przestrzeni Ciągiem punktów w przestrzeni pewnego punktu Ciąg taki będziemy oznaczad : nazywamy przyporządkowania każdej liczbie naturalnej lub Punktem nazywamy granicą ciągu gdzie jeżeli zachodzi warunek: gdzie - metryka euklidesowa w W przyjmuje postad: gdzie: Niech i. Ciąg jest zbieżny do punktu wtedy i tylko wtedy gdy: 49 S t r o n a

51 Dowód: Niech. Oznacza to, że: Załóżmy teraz, że: Oznacza to, że: Niech Wówczas: i niech Niech Wówczas: a więc Zatem Ciąg punktów posiadających granicę nazywamy zbieżnym. 50 S t r o n a

52 Ciąg który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Ciąg punktów nie może mied dwóch różnych granic. Jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony Dowód: Niech ciąg będzie zbieżny do, tzn. Oznacza to, że dla punkty należą do kuli. Niech i. Wówczas do kuli należą wszystkie wyrazy ciągu, a więc ciąg ten jest zbiorem ograniczonym Jeżeli ciąg nie jest ograniczony to jest rozbieżny Podciągiem ciągu punktów nazywamy ciąg utworzony z wybranych wyrazów ciągu tzn. jest podciągiem ciągu jeśli jest ciągiem rosnącym i Każdy podciąg ciągu zbieżnego do jest zbieżny do Mówimy że ciąg punktów spełnia warunek Cauchy ego, jeżeli: Punkt nazywamy punktem skupienia ciągu jeżeli w każdym otoczeniu punktu leży nieskooczenie wiele wyrazów ciągu 51 S t r o n a

53 Ciąg punktów gdzie jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy ego Uwaga! Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla każdej przestrzeni metrycznej. Jeżeli jest prawdziwe, to przestrzeo nazywamy zupełną. Jeżeli jest punktem skupienia zbioru to istnieje ciąg punktów zbioru zbieżny do Jeżeli ciąg punktów jest zbieżny do to jest punktem skupienia tego ciągu Ciąg zbieżny nie może mied dwóch punktów skupienia Zbiór nazywamy zwartym, jeżeli z każdego ciągu elementów zbioru można wybrad podciąg zbieżny do elementów zbioru Granica funkcji wielu zmiennych W SENSIE HEINEGO Niech będzie funkcją określoną w zbiorze niech będzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, że funkcja posiada granicę w punkcie jeśli dla każdego ciągu punktów spełniającego warunki: Ciąg wartości funkcji jest zbieżny zawsze do tej samej granicy 52 S t r o n a

54 W SENSIE CAUCHY EGO Niech będzie funkcją określoną w zbiorze niech będzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, że funkcja posiada granicę w punkcie jeśli: Funkcja gdzie posiada w punkcie granicę w sensie Heinego wtedy i tylko wtedy gdy posiada w tym punkcie granicę w sensie Cauchy ego, oznaczenie: Niech funkcje i będą określone w zbiorze (ten sam zbiór dla obu funkcji) Sumą, różnicą, iloczyn, iloraz funkcji i definiujemy dla w następujący sposób: Jeżeli funkcje i są określone we wspólnym zbiorze i jest punktem skupienia zbioru oraz, to: O TRZECH CIĄG Jeżeli funkcje,, są określone w zbiorze i jest punktem skupienia zbioru oraz: i to funkcja posiada granicę w punkcie i 53 S t r o n a

55 Niech będzie funkcją określoną w zbiorze i niech będzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, że funkcja posiada w punkcie granicę niewłaściwą gdy dla każdego ciągu punktów spełniających warunki od 1 do 3 z definicji Heinego granicy funkcji, ciąg jest rozbieżny do Ciągłość funkcji wielu zmiennych HEINEGO Niech będzie określona w zbiorze Niech będzie punktu skupienia zbioru. Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeżeli dla każdego ciągu punktów ze zbioru, zbieżnego do, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do granicy równej CAUCHY EGO Niech będzie określona w zbiorze Niech będzie punktu skupienia zbioru. Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeżeli Obie definicje są równoważne! Funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli: 1. Jest określona w punkcie 2. Posiada w tym punkcie granicę 3. Funkcję nazywamy ciągłą w zbiorze jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. 54 S t r o n a

56 Jeżeli funkcję i są określone w tym samym zbiorze i jeżeli są ciągłe w punkcie to ich suma, różnica, iloczyn i iloraz są funkcjami ciągłymi w punkcie Jeżeli funkcja jest ciągła w zbiorze i jeżeli dla zachodzi to istnieje otoczenie, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne) WŁASNOŚD DARBOUX Jeżeli funkcja jest ciągła w zbiorze spójnym i jeżeli, gdzie to dla każdej wartości takiej, że lub istnieje punkt taki że Wniosek Jeżeli funkcja jest ciągła w zbiorze spójnym i dla zachodzi to funkcja przyjmuje w zbiorze wszystkie wartości zawarte między wartościami i. W szczególności jeżeli i (albo odwrotnie), to istnieje takie punkt, dla którego. Funkcja ciągła w zbiorze zwartym jest w tym zbiorze ograniczona oraz przyjmuje w tym zbiorze wartośd najmniejszą lub największą. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Niech będzie przestrzenią wektorową k- wymiarową Niech punkty i należą do, gdzie,,, i niech będzie funkcją rzeczywistą określoną na. Pochodną kierunkową funkcji w punkcie, w kierunku wektora nazywamy granicę, jeśli ona istnieje i jest skooczona postaci: Pochodną tą czyli granicę oznaczamy symbolem 55 S t r o n a

57 Jeżeli dane są dwie funkcje i określone w obszarze oraz, to dla prawdziwe są wzory: O ile istnieje pochodne kierunkowe Pochodną kierunkową funkcji, gdzie w kierunku wektorów tworzących bazę standardową przestrzeni nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji względem zmiennego odpowiednio Niech,,, Z podanej definicji wynika, że pochodną cząstkową funkcji ze względu na zmienną, jest to pochodna funkcji traktowanej jako funkcja tylko jednej zmiennej Wektor pochodnych cząstkowych funkcji, gdzie, w punkcie nosi nazwę gradientu funkcji w punkcie, albo pochodnej funkcji w punkcie Pochodną kierunkową funkcji, gdzie, w kierunku wektora można przedstawid w postaci: Gdzie oraz jest kątem zawartym między wektorami i 56 S t r o n a

58 Oznacza to że jest iloczynem skalarnym wektorów i Jeżeli przyjmujemy że wektor jest taki że to Ze wzoru tego wynika że pochodna kierunkowa przyjmuje wartośd największą wtedy, gdy wtedy gdy. Oznacza to, że wektor i są równoległe i zgodnie skierowane. Pochodna kierunkowa jest miarą prędkości zmiany wartości funkcji w punkcie w kierunku wektora. tzn. Własnośd ta jest wykorzystywana przy opracowywaniu iteracyjnych metod wyznaczania ekstremów funkcji wielu zmiennych. Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych Niech będzie funkcją rzeczywistą określoną w zbiorze otwartym i niech, gdzie. Niech dla funkcji istnieją pochodne cząstkowe w punkcie oraz, gdzie Różniczką zupełną funkcji w punkcie nazywamy wyrażenie : Funkcję k zmiennych posiadającą różniczkę zupełną w punkcie tym punkcie. nazywamy różniczkowalną w Jeżeli funkcja, gdzie posiada wszystkie pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu, oraz w punkcie są one ciągłe to funkcja jest różniczkowalna w punkcie tzn. w punkcie istnieje różniczka zupełna funkcji. Jeżeli funkcja, gdzie jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie. 57 S t r o n a

59 Różniczka zupełna znajduje zastosowanie przy obliczaniu przybliżonych wartości funkcji wielu zmiennych: gdzie Funkcja gdzie jest zbiorem otwartym, zawartym w jest funkcją klasy jeżeli ma pochodną ciągłą w Następujące warunki są równoważne dla funkcji gdzie 1. w 2. Wszystkie pochodne kierunkowe istnieją i są ciągłe 3. Wszystkie pochodne cząstkowe funkcji istnieją i są ciągłe w Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Niech funkcja posiada w zbiorze otwartym pochodne cząstkowe po każdej zmiennej w każdym punkcie zbioru, tzn. istnieją Jeżeli pochodne cząstkowe posiadają w pewnym punkcie pochodne względem zmiennej rzędu funkcji w punkcie Oznaczenie: to pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego Jeżeli mamy określone pochodne cząstkowe rzędu funkcji to ich pochodne względem nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu n tego Oznaczenie: 58 S t r o n a

60 SCHWARZA Jeżeli funkcja posiada w obszarze pochodne mieszane drugiego rzędu, ciągłe w pewnym punkcie to są one równe w tym punkcie Dla funkcji dwóch zmiennych Funkcję określoną w obszarze nazywamy funkcją klasy, jeżeli posiada pochodne cząstkowe ciągłe do rzędu n tego włącznie. Elastyczność cząstkowa funkcji wielu zmiennych Niech będzie funkcją k zmiennych, gdzie i. Niech oznacza przyrost zmiennej niezależnej, gdzie. Przyrostowi temu odpowiada przyrost wartości funkcji. Wartości zmiennych są ustalone. Jeżeli istnieje pochodna cząstkowa, to elastycznością cząstkową funkcji względem zmiennej nazywamy wielkośd określoną wzorem: Elastycznośd cząstkowa funkcji względem zmiennej określa w przybliżeniu, o ile procent wzrośnie wartośd funkcji, gdy zmienna niezależna wzrośnie o 1% od ustalonego poziomu, przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych. 59 S t r o n a

61 Pochodne funkcji złożonej wielu zmiennych I Niech dana będzie funkcja określa na zbiorze oraz niech funkcje będą określone na przedziale Jeżeli dla każdego punkt należy do to funkcję nazywamy funkcją złożoną zmiennej określoną w I Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w obszarze oraz funkcje dla mają pochodne w przedziale to funkcja złożona zmiennej ma pochodne w każdym punkcie przedziału określoną wzorem: Przykład: Niech Niech (założenia I są spełnione) II Niech będzie funkcją określoną na obszarze oraz niech będą funkcjami zmiennych czyli: Gdzie Jeżeli dla każdego wartości funkcji należą do zbioru to funkcję: nazywamy funkcją złożoną zmiennych określone na zbiorze. 60 S t r o n a

62 II Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w obszarze oraz funkcję dla mają w obszarze pochodne cząstkowe względem zmiennych oraz gdy to funkcja złożona zmiennych określone wzorami ma na obszarze pochodne cząstkowe względem Różniczki zupełne wyższych rzędów Jeżeli różniczka zupełna funkcji jest określona w obszarze i jest funkcją różniczkowalną w punkcie, to jej różniczkę zupełną nazywamy różniczką zupełną drugiego rzędu funkcji w punkcie i oznaczamy albo Różniczkę zupełną drugie stopnia możemy traktowad jako formę kwadratową względem przyrostów zmiennych niezależnych Dla funkcji dwóch zmiennych różniczka zupełna drugiego rzędu określona jest wzorem: Jeżeli funkcja ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe aż do rzędu włącznie w pewnym zbiorze w, to różyczką zupełną rzędu tej funkcji nazywamy różniczkę zupełną różniczki zupełnej rzędu, czyli: Co można udowodnid dla : 61 S t r o n a

63 Hesjan jest macierzą postaci: Hesjan jest macierzą Symetryczna ze względu na ciągłośd pochodnych i rzędu. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcja k zmiennych, gdzie i ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe aż do rzędu włącznie w pewnym otoczeniu punktu, tzn. w otoczeniu zachodzi wzór: gdzie oraz punkt należy do otoczenia to Gdzie a różniczki zupełne i dla są liczone dla przyrostów Wzór ten nosi nazwę wzoru Taylora dla funkcji k zmiennych. Jeżeli punkt ten nosi nazwę wzoru Maclaurina dla funkcji k zmiennych. to wzór 62 S t r o n a

64 Ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKTREMUM FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Jeżeli funkcja ma w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego, to: a) Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne właściwe gdy forma kwadratowa jest ujemnie określona b) Funkcja ma w punkcie minimum lokalne właściwe gdy forma kwadratowa jest dodatnio określona c) Funkcje nie posiada ekstremum w punkcie gdy forma kwadratowa nie jest określona d) Jeżeli forma jest półokreślona to w punkcie może ale nie musi byd ekstremum. Dowód: Jeżeli funkcja określona w osiąga w punkcie ekstremum, to funkcja gdzie,, oraz są ustalonymi wartościami, osiąga w punkcie ekstremum, a zatem: zatem Punkt w którym pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji nazywamy punktem stacjonarnym tej funkcji. są równe zeru, WNIOSEK Z POPRZEDNIEGO TWIERDZENIA Jeżeli funkcja ma w punkcie ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna to różniczka zupełna w tym punkcie jest równa zeru: 63 S t r o n a

65 Niech funkcja Jeżeli ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego w pewnym otoczeniu punktu, które oznaczenie jest przez gdzie. Hesjanem funkcji w punkcie nazywamy macierz formy kwadratowej, jaką stanowi druga różniczka zupełna funkcji w punkcie. to mówimy że w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne właściwe. Jeżeli to mówimy że w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne właściwe. Jeżeli to mówimy że w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne właściwe. Minima i maksima lokalne noszą nazwę ekstremów lokalnych WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Jeżeli funkcja określona w ma w punkcie ekstremum i istnieją w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji to są one równe w punkcie, tzn. 64 S t r o n a

66 Wklęsłość i wypukłość funkcji wielu zmiennych Niech będzie zbiorem wypukłym w Mówimy, że funkcja k zmiennych,, ciągła w zbiorze ma wykres wypukły (jest wypukła) jeżeli dla dowolnych dwóch punktów zachodzi: dla, gdzie,, Jeżeli zachodzi nierównośd: to mówimy, że funkcja ma wykres ściśle wypukły (jest ściśle wypukła) Interpretacja Wykres funkcji jest wypukły w, jeżeli wszystkie punkty wewnętrzne odcinka łączącego punkty wewnętrzne odcinka łączącego punkty, wykresu funkcji, gdzie, są dowolnymi punktami zbioru, leżą powyżej lub na powierzchni wykresu funkcji. Mówimy, że funkcja, gdzie, ciągła w ma wykres wklęsły, jeżeli dla dwóch dowolnych punktów zachodzi: gdzie, i,, Jeżeli zachodzi nierównośd: to mówimy, że funkcja ma wykres ściśle sklęsły (jest ściśle wklęsła). Interpretacja: Wykres funkcji, gdzie jest wklęsły w, jeżeli wszystkie punkty wewnętrzne odcinka łączącego punkty, wykresu funkcji, gdzie są dowolnymi punktami zbioru, leżą poniżej powierzchni będącej wykresem funkcji. 65 S t r o n a

67 Jeżeli funkcja, gdzie i jest zborem wypukłym ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu to: a) Funkcja jest ściśle wypukła w zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego forma kwadratowa jest dodatnio określona b) Funkcja jest wypukła w zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego forma kwadratowa jest półdodatnio określona c) Funkcja jest ściśle wklęsłą w zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego forma kwadratowa jest ujemnie określona d) Funkcja jest wklęsłą w zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego forma kwadratowa jest półujemnie określona Największa i najmniejsza wartość funkcji wielu zmiennych w określonym zbiorze Mówimy, że jest wartością największą funkcji w zbiorze, gdzie, jeżeli: Mówimy, że jest wartością najmniejszą funkcji w zbiorze, gdzie, jeżeli: Jeżeli funkcja, jest liniowa, a zbiór jest wielościanem wypukłym, to funkcja osiąga wartości największą i najmniejszą w zbiorze w punktach wierzchołkowych tego zbioru. Etapy wyznaczania wartości największej i najmniejszej w przypadku funkcji liniowej lub ograniczonej w danym zbiorze 1. Wyznaczenie punktów stacjonarnych funkcji należących do oraz punktów wewnętrznych zbioru, w których gradient nie istnieje 2. Wyznaczenie punktów stacjonarnych funkcji należących do brzegu zbioru, w którym mogą istnied ekstrema warunkowe oraz punktów należących do brzegów podzbiorów zawartych w, w których funkcja określona jest za pomocą jednego wzoru np. a nie za pomocą wzoru tzw. Klamrowego np. 66 S t r o n a

68 3. Obliczamy wartości funkcji w punktach wyznaczonych w etapach 1 i 2, oraz wybrane spośród wartości największych i najmniejszych Dla pewnego typu funkcji wartości najmniejsza i największą możemy korzystając z twierdzenia: Jeżeli funkcja jest wypukła w zbiorze wypukłym i ma w punkcie minimum, to jest najmniejszą wartością tej funkcji w Jeżeli funkcja jest wklęsła w zbiorze wypukłym i ma w punkcie maksimum, to jest największą wartością tej funkcji w Funkcja uwikłana Funkcję k zmiennych można zapisad w następującej postaci: Gdzie: Niech Wówczas wzór można przedstawid w postaci: Niech funkcja określona w zbiorze i niech punkty należące do zbioru spełniają równanie: Mówimy, że równanie to określa w otoczeniu punktu funkcję uwikłaną, jeżeli istnieje funkcja będącą rozwiązaniem tego równania względem zmiennej. Funkcję nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem: Przykład: Niech dane będzie równanie Równanie to spełniają punkty leżące na okręgu o środku w punkcie Niech i promieniu 67 S t r o n a

69 y x Górna częśd okręgu to wykres funkcji a dolna częśd okręgu to wykres funkcji Równanie czyli nie określa jednej funkcji. Jedną funkcję możemy zidentyfikowad podając punkt, przez który przechodzi jej wykres i rozpatrywad ją tylko w otoczeniu tego punktu jednek np. w otoczeniu punktu istnieją dwie funkcje uwikłane. O ISTNIENIU I RÓŻNICZKOWALNOŚCI FUNCKJI UWIKŁANEJ JEDNEJ ZMIENNEJ Jeżeli funkcja posiada ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu i jeżeli oraz, to dla każdej liczby w otoczeniu liczby istnieje taka liczba, że dla istnieje dokładnie jedna funkcja o wartościach należących do przedziału spełniająca równanie: Funkcja ta jest ciągła w otoczeniu i ma ciągłą pochodną daną wzorem: gdzie Wzór otrzymujemy, stosując twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja jest klasy w otoczeniu punktu to funkcja uwikłana dana równianiem posiada drugą pochodną daną wzorem: 68 S t r o n a

70 Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych Niech funkcja, będzie określona w zbiorze otwartym i niech w zbiorze, takim, że Spełnione będą warunki: Gdzie Funkcja ma w punkcie ekstremum warunkowe, przy warunkach, jeżeli funkcja rozpatrywana tylko w zbiorze ma w punkcie ekstremum bezwarunkowe Jeżeli jest to maksimum, to nazywamy je maksimum warunkowym funkcji w zbiorze przy warunkach. Jeżeli jest to minimum, to nazywamy je minimum warunkowym funkcji w zbiorze przy warunkach. 69 S t r o n a

71 WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM WARUNKOWEGO FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Jeżeli funkcja osiąga w punkcie ekstremum warunkowe przy warunku i jeżeli w otoczeniu tego punktu funkcje i mają ciągle pochodne cząstkowe pierwszego rzędu oraz, to istnieje taka liczba, że: Uwaga! W tym twierdzeniu spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu i różniczkowaniu funkcji uwikłanej danej równaniem. Gdyby, to byłyby to warunki koniczne istnienia ekstremum bezwarunkowego. Funkcję postaci: gdzie jest czynnikiem stałym, a i są funkcjami wprowadzonymi w poprzednim twierdzeniu, nazywamy funkcją Lagrange a, a stałą mnożnikiem Lagrange a. WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM WARUNKOWEGO FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Jeżeli funkcja osiąga w punkcie ekstremum warunkowe przy warunku i jeżeli w otoczeniu tego punktu funkcje i mają ciągle pochodne cząstkowe pierwszego rzędu oraz, to: gdzie: 70 S t r o n a