GENERACJA PLAZMONÓW POLARYTONÓW POWIERZCHNIOWYCH NA STRUKTURACH PERIODYCZNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GENERACJA PLAZMONÓW POLARYTONÓW POWIERZCHNIOWYCH NA STRUKTURACH PERIODYCZNYCH"

Transkrypt

1 IPPT Reports o Fuametal Techological Research 3/013 Agata Roskiewic GENERACJA PLAZMONÓW POLARYTONÓW POWIERZCHNIOWYCH NA STRUKTURACH PERIODYCZNYCH Roprawa Doktorska Promotor: prof. r hab. Wojciech Nasalski Istytut Postawowych Problemów Techiki Polska Akaemia Nauk Warsawa 013

2 IPPT Reports o Fuametal Techological Research ISSN ISBN Kolegium Reakcyje/Eitorial Boar: Wojciech Nasalski (Reaktor Nacely/Eitor-i-Chief), Paweł Dłużewski, Zbigiew Kotulski, Wiera Oliferuk, Jery Rojek, Zygmut Symański, Yuriy Tasikevych Receeci/Reviewers: prof. r hab. Wojciech Gawlik r hab. Krystya Kolwas prof. r hab. Ja Sławiaowski Roprawa oktorska obroioa wyróżieiem w IPPT PAN 15 cerwca 01 roku wpłyęła o reakcji 6 lipca 013 roku Copyright 013 by IPPT-PAN Istytut Postawowych Problemów Techiki Polskiej Akaemii Nauk (IPPT-PAN) Istitute of Fuametal Techological Research Polish Acaemy of Scieces Pawińskiego 5B, PL Warsaw, Pola Druk/Prite by: EXPOL, P. Rybiński, J. Dąbek, Sp. J., ul. Breska 4, Włocławek, Pola

3 Serecie iękuję Pau Profesorowi Wojciechowi Nasalskiemu a wiele ceych ra i wskaówek, poświęcoy cas i opiekę aukową w trakcie powstawaia iiejsej pracy.

4

5 Geeracja plamoów polarytoów powierchiowych a strukturach perioycych Abstrakt Agata Roskiewic Istytut Postawowych Problemów Techiki, Polskiej Akaemii Nauk Niiejsa praca otycy geeracji plamoów polarytoów powierchiowych (SPP) a asymetrycych perioycych strukturach metalowych. Prestawioo wyiki umeryce obraujące iałaie owej kofiguracji jeowymiarowej struktury yfrakcyjej umożliwiającej kotrolę kieruku propagacji eergii pry powierchi pry achowaiu paaia ormalego. Warstwowa struktura skłaa się wóch różych metalowych siatek, auroych w różych ielektrykach. Pokaao, że awet iewielka miaa ich presuięcia wglęego bąź miaa kotrastu ielektrycego może powoować miaę kieruku propagacji eergii w polu bliskim. Efekt te może być wykorystay pry projektowaiu urąeń optycych. W pracy prestawioo także arys metoy umerycej RCWA ora rosereń, a postawie których opracoway ostał wsechstroy i aawasoway ko umerycy powalający a symulację oiaływaia pola elektromagetycego (EM) wielowarstwową strukturą perioycą o owolym profilu. Program umożliwia symulację paaia, po owolym kątem, fali płaskiej o owolej polaryacji liiowej, bąź wiąki o owolym rokłaie amplituy i fay. Możliwe jest także obliceie spektralych współcyików obicia i trasmisji, ależości yspersyjych, ora wiualiacja rokłau skłaowych pola w owolej płascyźie. Prestawioe ostały także teoretyce postawy geeracji i propagacji SPP. Preprowaoo aalię moów cąstkowych wbuaych a metalowej strukture jeowarstwowej po kątem oiaływaia mięymoowego ora trasformacji moów lokaliowaych w elokaliowae i ich wpływu a kieruek prepływu eergii pry powierchi. Zietyfikowae ostały moy struktury wuwarstwowej, ich wajeme oiaływaie ora ich wpływ a opowieź optycą całej struktury. Została sformułowaa tea otycąca możliwości iterpretacji fiycej iałaia struktury a postawie aaliy jeej opisywaych kofiguracji. Wyjaśioo prycyy fiyce opowiaające a miaę kierukowości propagacji eergii w oparciu o aalię relacji yspersji struktury i kieruków propagacji moów wiąaych ormalą o powierchi ekwieergetycej wyacoą pre wektor prękości grupowej aego mou.

6 Surface plasmo polarito geeratio at perioic structures Agata Roskiewic Istitute of Fuametal Techological Research, Polish Acaemy of Scieces Abstract The issertatio cocers the surface plasmo polarito (SPP) geeratio at asymmetrical perioic metal structures. Numerical results show a ability of ew perioic oe-imesioal cofiguratio of metal gratig to cotrol eergy propagatio irectio i the viciity of the structure by a chage of oe of its geometrical parameters maitaiig i the same time the avatage of ormal iciece. The layere structure cosists of two ifferet metal gratigs immerse i ifferet ielectric meia. It is showe that eve a small chage i the relative shift betwee both layers or a chage i the ielectric fillig cotrast may reirect the eergy i the ear fiel. This effect may be useful i esigig optical evices. A outlie of umerical metho use (RCWA) together with several extesios is give. This eable to evelop a versatile a avace umerical coe that allows to simulate electromagetic (EM) fiel behaviour at multilayer perioic structures of arbitrary profile. The coe allows to simulate EM fiel i the form of plae wave of liear polarisatio impigig uer the arbitrary agle or i the form of fiite-iameter optical beam of arbitrary istributio of amplitue a phase. It also gives the possibility to calculate spectral trasmissio a reflectio coefficiets, ispersio relatios a to visualise the istributio of fiel compoets i ay plae. A theoretical basis of SPP geeratio a propagatio is also give. A aalysis of partial moes excite at oe-layer metal perioic structure with the stress o moal iteractio, surface-to-localie plasmo polarito trasformatio a their ifluece o the eergy propagatio irectio ear the structure is also presete. I aitio, a ietificatio of two-layere structure moes, their mutual iteractio a ifluece o the whole optical respose of the structure is give. Fially, a thesis regarig the possibility of physical iterpretatio of the priciple of workig of the asymmetrical structure is presete, base o oe of the escripte cofiguratios. O the basis of the ispersio relatio aalysis a moes propagatio irectios that are coecte with the ormal to equieergetic curve etermie by a group velocity vector of the moe, physical reasos resposible for a chage i the eergy propagatio irectio are presete.

7 Skróty Lista skrótów użytych w pracy: ATR atteuate total reflectio osłabioe całkowite obicie EBL electro beam lithography elektroolitografia EHG elegat Hermite-Gaussia beam wiąka Hermite'a-Gaussa typu elegat EM electromagetic (fiel) (pole) elektromagetyce EOT extraoriary optical trasmissio awycaj sila trasmisja optyca FIB focuse io beam ogiskowaa wiąka joów FWHM full with at half maximum serokość połówkowa HG Hermite-Gaussia beam wiąka Hermite'a-Gaussa IMI isulator-metal-isulator structure struktura warstwowa ielektryk metal ielektryk LHS light harvestig structure struktura bierająca światło LSP localie surface plasmo lokalioway plamo powierchiowy MIM metal-isulator-metal structure struktura warstwowa metal ielektryk metal OLED orgaic light-emittig ioe orgaica ioa elektrolumiescecyja PL photolithography fotolitografia

8 8 Skróty RCWA Rigorous Couple Wave Aalysis Ścisła Metoa Fal Sprężoych SERS surface-ehace Rama spectroscopy, powierchiowo wmocioa spektroskopia Ramaa SHG seco harmoic geeratio geeracja rugiej harmoicej SNOM scaig ear-fiel microscopy skaigowa mikroskopia pola bliskiego SP surface plasmo plamo powierchiowy SPP surface plasmo polarito plamo polaryto powierchiowy TE trasverse electric (polariatio) polaryacja prostopała (wektor pola elektrycego prostopały o płascyy paaia fali) TM trasverse magetic (polariatio) polaryacja rówoległa (wektor pola elektrycego rówoległy o płascyy paaia fali) VLSI very-large scale itegratio (evice) (pryrą) o użej skali itegracji

9 Spis treści Spis rysuków Wprowaeie Rys historycy Zastosowaia plamoów polarytoów Jeokierukowa propagacja plamoów polarytoów Motywacja i akres pracy Cel pracy Postawy teoretyce Rówaia Maxwella i waruki bregowe Waruki bregowe Eergia pola elektromagetycego i rówaie ciągłości Fala aikająca Moel Druego Sieć owrota i pierwsa strefa Brillouia Krystały fotoice Plamoy polarytoy powierchiowe Plamoy Polarytoy Plamoy polarytoy powierchiowe (Surface plasmo polaritos, SPP) Długość rogi propagacji Głębokość wikaia Stosuek skłaowych pola elektrycego SPP Plamoy powierchiowe (Surface Plasmos, SP) Cy istieją plamoy o polaryacji TE? Zlokaliowae plamoy powierchiowe (Localie surface plasmos, LSP) Reoasowe waruki wbueia Aomalie Rayleigha (Wooa) Wiąki optyce Wiąka Gaussa Wiąki Hermite'a-Gaussa typu elegat... 54

10 10 Spis treści 5. Moelowaie umeryce Ścisła metoa fal sprężoych (RCWA) Dyfrakcja fali płaskiej Dyfrakcja wiąki optycej Moel feomeologicy Efektywy współcyik ałamaia Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii Geometria agaieia Optymaliacja struktury Struktury symetryce wglęem płascyy YZ Asymetria horyotala struktury Wpływ pioowego presuięcia graicy ielektryka Stała propagacji Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury Zależość o współcyika ałamaia Zależość o grubości warstw Zależość o okresu i ługości fali Zależość o współcyika wypełieia Wioski Aalia moów cąstkowych struktury Moy struktury warstwowej ielektryk-metal-ielektryk (IMI) Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej Zależość o grubości i współcyika wypełieia siatki Zależość o okresu i parametrów materiałowych Sprężeie pomięy warstwami Fiyce postawy kierukowości Dyspersja la warstw jeoroych w kieruku x Dyspersja la warstw perioycych w kieruku x Kokluje Elemety wkłau orygialego Summary Bibliografia

11 Spis rysuków 1.1. (a) Gotycki witraż atopioymi w skle aocąstkami łota w katere Notre Dame w Paryżu. (b) Rymski Puchar Likurga pochoący IV w.e. (obecie w biorach British Museum w Loyie). 1.. Lewa koluma: Wiualiacja aocąstek metali a pomocą elektroowej mikroskopii trasmisyjej: (a) łote aosfery, (b) łote aopręciki, (c) srebre aoprymaty. Prawa koluma: Rotwory koloiale: () aocąstek stopów łota i srebra o rosącej kocetracji łota, (e) łote aopręciki o rosącym stosuku ługości o serokości, (f) srebre aoprymaty o rosących wymiarach poprecych [37] (a) Skupioe pole elektryce SPP wbuoych a pomocą akrywioego łańcucha sferoialych aocąstek łota [43], (b) Propagacja wiąki a wyjściu sceliy o romiarach miejsych o ługości fali w prypaku symetrycej struktury [45] Wartość i kieruek uśreioego w casie wektora Poytiga la jeokierukowej propagacji SPP włuż achyloych metalowych siatek yfrakcyjych o profilu (a) prostokątym i (b) siusoialym w reżimie paaia ormalego (a post. [57]) Schemat struktury BLACES [58] (a) Jeowymiarowa sieć prosta ora (b) jej sieć owrota. Graice pierwsej strefy Brillouia jeowymiarowej sieci owrotej określoe są pre wartości wektorów K a, gie a jest stałą sieci prostej krystału. (c) Sieć prosta ( a 1, a ) i owrota ( b 1, b ) wuwymiarowej sieci ukośej. () Komórka elemetara Wigera Seita wuwymiarowej ukośej sieci owrotej. 4.. Schemat wbuaia SPP a płaskiej graicy ielektryk/metal Relacja yspersji la graicy mięy metalem a ielektrykiem la (a) Długość rogi propagacji plamou polarytou powierchiowego a styku łota i ielektryka w ależości o cęstotliwości fali paającej la 1 ora, 5. (b) Głębokość wikaia pola elektromagetycego SPP w łoto w ależości o cęstotliwości fali paającej Relacje yspersji światła w próżi i ielektryku ora relacje yspersji plamoów polarytoów powierchiowych propagujących się po graicy pomięy metalem i powietrem (próżią) 0 1 ora metalem i ielektrykiem o, Róże metoy wbuaia plamoów polarytoów powierchiowych: (a) kofiguracja Kretschmaa, (b) kofiguracja Otto, (c) wbueie a siatce yfrakcyjej,

12 1 Spis rysuków () lokale wbueie a pomocą soy SNOM, (e) iereoasowe wbueie a iejeoroościach powierchi (a) Zależość reflektacji, trasmitacji i absorpcji ( A 1 R T ) o cęstotliwości fali paającej ormalie a siatkę o okresie Λ 600 m, 1 3 1, 150 m, f 0, 4Λ. (b) Natężeia pola elektrycego la aomalii Wooa oacoej pioową liią a wykresie (a) Rokła uormowaej amplituy wiąki EH 3, ora (b) jej faa w talii Schemat paaia stożkowego (koikalego) fali płaskiej o owolej polaryacji liiowej a jeowarstwową strukturę perioycą. 5.. Schematyce prestawieie siatki yfrakcyjej o N warstwach aacoymi moami wewątr struktury ora ręami ugięcia a ewątr. Obsary akreskowae są ewętrymi ielektrycymi obsarami jeoroymi. Prerywaa liia oaca graicę umerycą, która może być położoa arbitralie blisko graicy mięy obsarami N i N 1, a post. [76] Schemat kofiguracji wuwarstwowej struktury perioycej wypełioej ielektrykami o różych, w ogólości, współcyikach ałamaia. 6.. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E x, H y, G E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu symetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: 0, 60 m, f1 f 0, 4Λ, 1, 1, x Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E x, H y, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu symetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: f1 f 0, 4Λ, 1, 1, x 0, 5Λ, 60 m, (a) i (b) Relacje yspersji asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: 1 60 m, f1 f 0, 4Λ, 4 1, 1, 5 5 ora (c) i () uormowae amplituy kolejych ręów ugięcia pola H la x 0Λ (lewa koluma) i x 0, 5Λ (prawa koluma). y 6.5. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E x, H y, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 148Λ, Λ 619 m, 1 51 m, 75 m, f 0, 381Λ 1, f 0, 41Λ 1, 1, 1,

13 Spis rysuków Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E x, H y, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 619 m, 1 51 m, 75 m, f 0, 381Λ, f 0, 41Λ 1 1, 1 4, 1, (a) i (b) Relacje yspersji asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: Λ 619 m, 51 1 m, 75 m, f 0, 381Λ, f 0, 41Λ, , 1, 5 5 ora (c) i () uormowae amplituy kolejych ręów ugięcia pola H la x 0, 148Λ (lewa koluma) i x 0, 35Λ (prawa koluma) Schemat aaliy struktury jako pochyloej siatki o ciągłym profilu, (a) x 0, 148Λ, (b) x 0, 35Λ. Cerwoe strałki pokaują kieruek prepływu eergii a strukturą Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E x, H y, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 64 m, 1 46 m, 70 m, f 0, 37Λ 1, f 0, 443Λ, 1, Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E x, H y, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 64 m, 1 46 m, 70 m, f 0, 37Λ, f 0, 443Λ 1, 1 4, 1, (a) i (b) Relacje yspersji asymetrycej wuwarstwowej struktury o presuięciu x 0, 35Λ i parametrach: Λ 64 m, 46 1 m, 70 m, f 0, 37Λ, 1 f 0, 443Λ, ora (c) i () uormowae amplituy kolejych ręów ugięcia pola H y la 4 5 1, 5 (lewa koluma) i 1, 1, 5 5 (prawa koluma) Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o współcyika ałamaia wypełiającego strukturę. Ciągłe liie: struktury a położu 3 1, kreskowae liie: struktury a położu 3 1. Parametry siatki: Λ 64 m, 46 1 m, 70 m, f 0, 37Λ, f 0, 443Λ Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o grubości górej siatki 1. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach ,5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 3 5 1, 5, 4 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 70 m. y

14 14 Spis rysuków Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o grubości olej siatki. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach ,5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 3 5 1, 5, 4 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 46 m Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektrycego: E x, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 64 m, 46 1 m, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 1, ora (a) 400 m, (b) 501 m. Skale kolorów a opowiaających sobie wykresach w obu prypakach są takie same Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o okresu struktury. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach , 5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 3 5 1, 5, 4 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 46 m, 70 m. 1 Zmiey okres pry stałych współcyikach wypełieia oaca miaę recywistego wymiaru poprecego pasków metalu i sceli mięy imi Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o ługości fali paającej a strukturę. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach ,5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 3 5 1, 5, 4 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 1 46 m, 70 m Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o współcyika wypełieia górej warstwy 1 ciągła liia: struktura o współcyikach , 5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 3 5 1,5, 4 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 0, 443Λ Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o współcyika wypełieia olej warstwy f. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach , 5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1,5, 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo

15 Spis rysuków 15 Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, 46 m, 70 m. 1 63,8 m, Λ 64 m, 7.1. Schemat metalowej warstwy o grubości i fukcji ielektrycej, otocoej ośrokami ielektrycymi o różych w ogólości współcyikach ałamaia 1. i Dyspersja la plamoów powierchiowych a warstwie metalu w symetrycym otoceiu. Cerwoa prerywaa prosta oaca cęstość graicą plamou a pojeycej graicy. Cara prerywaa prosta jest liią yspersji światła w powietru. Cara krywa relacja yspersji la pojeycej graicy (bąź baro grubej warstwy metalu), iebieska liia mo symetrycy o iżsej cęstości, ieloa liia mo asymetrycy o wyżsej cęstości Amplitua pola elektrycego SPP la metalowej warstwy w asymetrycym otoceiu la mou (a) symetrycego o iżsej eergii i (b) asymetrycego o wyżsej eergii (a) Absorpcja warstwy metalu o grubości 60 m w ależości o kąta paaia fali płaskiej o ługości 63,8 m w kofiguracji Kretschmaa (, 1 5, 1 3 ). (b) Rokła ieerowych skłaowych pola EM ora wektora Poytiga la reoasowego kąta paaia ( 43,14 ) Amplitua pola plamou w ielektryku, w kieruku prostopałym o graicy metalem w ależości o oległości o graicy w różych ielektrykach o współcyikach ałamaia 1 i 1, Schemat jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej otocoej ośrokami ielektrycymi o różych, w ogólości, współcyikach ałamaia Zależość absorpcji ( A 1 R T ) o cęstotliwości fali paającej ormalie i grubości siatki w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( ) la mieych okresów (w ręach góry a ół: Λ 00 m, 400 m, 600 m, 800 m ) ora wypełieia (w kolumach o lewej o prawej: f 0, Λ, 0,4Λ, 0,7Λ, 0,9Λ ) Ewolucja symetrycych moów reoasowych a paskach metalu o serokości 40 m i ustawioych perioycie, o okresie Λ 600 m w jeoroym otoceiu ielektrycym ( ), o różych grubościach siatki: (a) 5 m, (b) 10 m. Liie ciągłe prestawiają reflektację, trasmitację i absorpcję oblicoe a pomocą metoy RCWA, atomiast liie prerywae ostały opasowae a pomocą moelu feomeologicego. Pioowe liie wyacają cęstości aomalii Rayleigha Dobroć Q pierwsych pięciu symetrycych reoasów a paskach metalu o serokości 40 m, ustawioych perioycie o okresie Λ 600 m w jeoro-

16 16 Spis rysuków ym otoceiu ielektrycym ( 1), grubości siatek: 5 m i 10 m Uormowae amplituy skłaowych E x, E la cterech pierwsych ieparystych reoasów la grubości siatki H y i 10 m w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( ). Okres: Λ 600m, wypełieie struktury f 0, 4Λ Relacje yspersji la otocoych powietrem jeowarstwowych siatek o okresie Λ 600m, wypełieiu f 0, 4Λ i grubościach: 5 150m Uormowae amplituy skłaowych E x, reoasów la grubości siatki H y i E la trech pierwsych parystych 10 m a graicy strefy Brillouia w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( ). Wypełieie struktury f 0, 4Λ Aalityca relacja yspersji mou symetrycego w falowoie IMI o grubości 10 m. Cara prosta liia yspersji la światła. Pioowe prerywae liie oacają wartości wektora k la kolejych ieparystych (iebieskie) i parystych (cerwoe) reoasów Długości fali wbuającej, ługości fali plamoów ora ich różica w prypaku kolejych reoasów mou symetrycego w falowoie IMI o grubości 10 m Zależość reflektacji, trasmitacji i absorpcji o grubości siatki la cęstości fali paającej 0, 65 w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym p ( 1). Okres Λ 600m, wypełieie struktury f 0, 4Λ Rokłay uormowaych amplitu skłaowych pól E x, reoasów pry rosącej grubości siatki ( 53,7 m la stałej cęstości 0, 65 H y i E la kolejych 160, 11 m) p, 104 m, m w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1). Okres Λ 600m, wypełieie struktury f 0, 4Λ Zależość cęstości o grubości siatki w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( ). Okres Λ 00m, wypełieie struktury f 0, 9Λ Rokłay uormowaych amplitu skłaowych pól E x, H y i E ora wartość i kieruek wektora Poytiga la (a) reoasu cąsteckowego i (b) mou wękowego pry stałej grubości siatki 34,8 m ora (c) łożeie obu reoasów la 5, m. Okres siatki Λ 00 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ, jeoroe, symetryce otoceie ielektryce ( 1)

17 Spis rysuków Rokłay uormowaych amplitu skłaowych pól E x, H y i E ora wartość i kieruek wektora Poytiga la trech ajiżsych ręów reoasów wękowych la cęstości: 0, 169 p, 0, 315 p, 0, 419 p. Okres siatki Λ 00 m, grubość 00 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ, jeoroe, symetryce otoceie ielektryce ( 1) Zależość cęstości fali paającej o grubości siatki w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( ). Okres Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ. Po prawej stroie oacoo co rugą wartość grubości siatki m Natężeie pola elektrycego i magetycego la mou o cęstości 0, 4 p i grubości siatki 35 m. Okres Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ. 7.. Zależość absorpcji o cęstotliwości fali i wektora falowego la struktur o okresach o Λ 00 m o Λ 500 m. Serokość paska metalu w każym prypaków jest stała i rówa 150 m, wysokość siatki: 10 m, współcyiki ałamaia: 1 4 1, 1, Nieerowe skłaowe pól, ich atężeia ora amplitua i kieruek wektora Poytiga la yspersyjego mou a siatce o okresie Λ 300 m, wypełieiu f 0, 5Λ, wysokości 10 m. Cęstość fali: 0, 55 p, k 0, 8π Λ ( ), współcyiki ałamaia: 1 4 1, 1, , Absorpcja la pojeycej siatki w ależości o jej grubości, (a) 4 1, 1 3, (b) 4 1, 1, 5 3, (c) 1, 5 4, 1, 5 3. Poostałe parametry: Λ 600 m, f 0, 4Λ Zmiaa położeia pików reoasowych w ależości o cęstotliwości fali paającej la siatek o grubości 10 m i różych współcyikach ałamaia otoceia. Poostałe parametry: Λ 600 m, f 0, 4Λ Zmiaa położeia pików reoasowych w ależości o grubości siatki la cęstości 0, 385 p i różych współcyików ałamaia otoceia Schemat oiaływań w plamoowej strukture wuwarstwowej łożoej wóch jeowymiarowych perioycych siatek metalowych roieloych warstwą ielektryka (a) Zależość cęstości o grubości warstwy ielektryka la 10 m, 1 Λ 600 m, f1 f 0, 4Λ. (b) i (c) Uormowae amplituy skłaowych E x, H y i E la mou parystego ( 0, 384 p ) i ieparystego ( 0, 36 p ) la 50 m w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( iel 1 3 ). 1 4

18 18 Spis rysuków 7.9. (a) Zależość cęstości o grubości warstwy separującej la ukłau wóch siatek o okresie Λ 800 m, wypełieiu f1 f 0, 3Λ i presuięciu x 0. Prerywae krywe wyacają aalitycą ależość iel la kolejych reoasów we węce o skońcoej ługości. (b) Rokłay atężeia pola elektrycego i magetycego la pierwsego mou wękowego w strukture ( iel 300 m, 0, 17 p ) Rokła uormowaych ieerowych skłaowych pola EM ora atężeń pola elektrycego i magetycego w otoceiu siatki o okresie Λ 600 m, wypełieiu f 1 0, 4Λ i f 0, 6Λ ora presuięciu x 0, 83Λ, grubość ielektryka: iel 50 m, 0, 156 p, współcyiki ałamaia ielektryków: 1, 1,5. iel 8.1. Aalityca ależość pomięy k x i k la cęstości , 157 w prypaku jeoroego aiotropowego ośroka o ieskońcoej grubości charakteryowaego preikalościami x i oblicoymi la parametrów: 1 1 i 1p (iebieska prerywaa liia) ora, 1 5 i 1 p (ieloa prerywaa liia), a także ależość la powietra 1 (cara liia) i ielektryka, 5 (cerwoa liia). Ciągłe krywe: ależość la aalogicych struktur perioycych o skońcoych grubościach warstw ( 7 1 m, 11 m ). 8.. Zależość pomięy k x i k la cęstości 0, 157 la cterech jeoroych w kieruku x warstwowych struktur o ukłaie warstw opowiaającym obsarom aacoym a schemacie po prawej i o grubościach opowiaających prypakowi presuięcia horyotalego. Grubość warstwy ielektryka pomięy siatkami wyosi m. iel 8.3. Zależość pomięy k x i k la cęstości 0, 157 w prypaku struktury opowiaającej asymetrii horyotalej la presuięcia p p p x 0, 35Λ o różych współcyikach ałamaia poscególych ielektryków (trecia koluma). Lewa koluma: erowy rą ugięcia, śrokowa koluma: try ręy ugięcia. Cerwoe okręgi oacają ależość la fali paającej powietra Zależość pomięy k x i k la cęstości 0, 157 (iebieskie liie) ora 0, p (cerwoe liie) w prypaku struktury opowiaającej asymetrii horyotalej la presuięcia x 0, 35Λ la trech ręów ugięcia Rokła wartości i kieruku wektora Poytiga la prypaku asymetrii horyotalej x 0, 148Λ pry lokalym pobueiu wiąką Gaussa o promieiu w 10 paającą ormalie. p w

19 1 Wprowaeie 1.1. Rys historycy Naocąstki metali wykaują acąco róże właściwości wyikające oiaływaia polem elektromagetycym iż metale w użej objętości. Cąstki o wiele miejse o ługości fali wykaują silą absorpcję w akresie wiialym i ultrafiolecie. Wra e wrostem ich romiarów acyają preważać olości roprasające w mechaimie reoasu plamoowego. Naocąstki metali, w preciwieństwie o metali o użej objętości, wykaują silą absorpcję w akresie wiialym i ultrafiolecie ięki możliwości wbueia a ich lokaliowaych plamoów powierchiowych (localie surface plasmos, LSP). Ta właściwość aocąstek metali slachetych wykorystywaa była pre tysiąclecia o proukcji witraży (rys. 1.1(a)) i ceramicych acyń. Jeym ajbariej aych prykłaów praktycego wykorystaia reoasu plamoowego jest rymski Puchar Likurga IV w.e. (rys. 1.1(b)). Naocąstki łota atopioe w skle pucharu wykaują silą absorpcję w ieloej cęści wima, atomiast trasmitują fale o miejsej cęstości. Wskutek tego puchar ogląay w świetle trasmitowaym jest cerwoy, atomiast w świetle obitym wyaje się ieloy. (a) (b) Rysuek 1.1. (a) Gotycki witraż atopioymi w skle aocąstkami łota w katere Notre Dame w Paryżu. (b) Rymski Puchar Likurga pochoący IV w.e. (obecie w biorach British Museum w Loyie).

20 0 1.Wprowaeie Prace teoretyce w ieiie plamoów polarytoów sięgają pocątków XX wieku, kiey to w 190 roku R. W. Woo aobserwował aomalie w wimie obitym o metalowej siatki yfrakcyjej [1]. Kilka lat późiej lor Rayleigh apropoował moel uasaiający cęstotliwości la których obserwowao aomalie [], tłumacąc je aikaiem poscególych ręów ugięcia w momecie, gy acyają się oe propagować rówolegle o powierchi siatki (graig agle). W 1941 roku U. Fao wyjaśił kstałt wima w pobliżu aomalii popre uupełieie moelu Rayleigha o wbueia plamoów polarytoów powierchiowych (surface plasmo polarito, SPP) [3]. W alsych roważaiach awa plamoy polarytoy powierchiowe ostaie skrócoa o plamoy powierchiowe. Dopiero postęp techologicy i wyaleieie mikroskopu pola bliskiego ora opracowaie meto umerycych powolił a gwałtowy rowój ieiy ięki możliwości praktycego wykorystaia plamoów. Jeym pierwsych eksperymetów, preprowaoym pre T. Ebbesea w 1998 roku [4], kłaącym powaliy po współcesą plamoikę, była obserwacja iewykle silej trasmisji światła pry uiale plamoów powierchiowych pre otwory w metalu o śreicy około jeej iesiątej ługości fali. Okaało się, że ięki sprężeiu światła plamoami, możliwa jest awycaj sila trasmisja światła (extraoriary optical trasmissio, EOT) pre sceliy o wiele miejse o ługości fali w grubej optycie metalowej folii. Doświaceie to otworyło rogę o wielu potecjalych astosowań plamoiki w mikro- i aotechologii. 1.. Zastosowaia plamoów polarytoów Plamoika, ieia ajmująca się plamoami, jest iewykle sybko rowijającą się gałęią auki. Jej atrakcyjość i ogromy potecjał aplikacyjy w tak oległych ieiach, jak etekcja pojeycych molekuł (powierchiowo wmocioa spektroskopia Ramaa SERS, fluorescecja, fosforescecja), kotrola aiecysceń, meycya, kotrola procesu w premyśle, wiualiacja, owe materiały, litografia, chipy komputerowe, wyaje baterie słoece, spowooway jest pree wsystkim możliwością silego ograiceia pola elektromagetycego (EM) w małej objętości w porówaiu o ługości fali [5 9]. Plamoy, e wglęu a baro uży momet ipolowy, są wyajymi meiatorami w oiaływaiach metalowych aocąstek e światłem. Poa tym właściwości plamoów mogą być kotrolowae w baro użym akresie, co aje seroki wachlar astosowań SPP w wielu ieiach. Zolość plamoów o ściśięcia światła w obsare miejsym o ługości fali, cyli fakt, że ie są ograicoe limitem yfrakcyjym, co powouje jeoce-

21 1. Zastosowaia plamoów polarytoów 1 śie iewykle sile wmocieie pola a graicy metalu ielektrykiem, otwiera serokie możliwości w wiualiacji aoobiektów roielcością lepsą iż określa to kryterium roielcości Rayleigha [10]. Plamoy wykorystywae są p. w soach SNOM (skaigowa mikroskopia optyca pola bliskiego) jako ośik iformacji optycej o ługości fali miejsej iż ługość fali światła pobuającego [11 13]. Powala to a obraowaie powierchi a pomocą światła ieosiągalą wceśiej roielcością, a także a maipulację aocąstkami a pomocą pola elektromagetycego [14]. Asorpcja i sile oświetleie awet elikatych cąstek biologicych możliwe jest także w prypaku aowęk reoasowych, w których sile wmocieie pola EM a wejściu węki uyskiwae jest ięki plamoowemu reoasowi Fabry Perota a ściakach węki o otwartym [15, 16] lub amkiętym końcu [17]. Taka kofiguracja powala a miejseie ługości fali awet o rą wielkości, co powala a wiualiację obiektów acie miejsych iż obserwowae a pomocą kowecjoalych pryrąów. Iym sposobem a uyskaie silego pola EM w obre określoym pukcie jest geeracja SPP pry paaiu ormalym a pomocą opowieio wyprofilowaego łańcucha aocąstek łota [18]. Taka kofiguracja powouje, że SPP propagujące się różych fragmetów łańcucha skupiają się w jeym pukcie, prowaąc o lokalego, iewykle silego wmocieia pola. Dięki maipulacji romiarami cąstek i kstałtem całego łańcucha moża uyskać pole EM skupioe w obsare submikrometrowym. Reukcja ługości fali ięki astosowaiu SPP powala także a ich wykorystaie w procesie litograficym jako źróło światła o wysokiej cęstości o tworeia struktur o romiarach aometrowych [19 4]. Jest to istote p. w procesie tworeia aostruktur w półprewoikach, których właściwości etekcyje są acąco obiżae pre wiąki joów używae w wysokoroielcym procesie trawieia ogiskowaą wiąką joów (FIB) [5]. Poieważ SPP, jako fale powierchiowe, są iewykle cułe a miay waruków propagacji, wykorystywae są o więkseia cułości w wielu techologiach spektroskopowych jak p. fluorescecja [6], fotolumiescecja [7], SERS [8] cy geeracja rugiej harmoicej (SHG) [9, 30]. Dięki presuięciom pików reoasowych wskutek miay współcyików ałamaia popre asorpcję (bio-)molekuł a powierchi, możliwa jest etekcja awet pojeycych cąstek. Biologice i chemice cujiki spektroskopowe są wykorystywae o moitorowaia aiecysceń śroowiska, a także w premyśle pocas kotroli procesów proukcyjych. Na poobej asaie możliwy jest także pomiar grubości pojeycych warstw koloiów, co powala a aalię kiematyki łąceia protei. Plamoy prycyiają się także o więkseia wyajości orgaicych io

22 1.Wprowaeie OLED [31 33] ora baterii słoecych wykorystujących orgaice i ieorgaice wiąki [34, 35]. Zlokalioway reoas plamoowy ielektrycych aokulek otocoych łotą powłoką wykorystyway jest w meycyie o lokaliowaia i isceia komórek rakowych [36]. Jako sybko amażająca się tkaka, komórki rakowe są moco ukrwioe wykaując jeoceśie aomale efekty w sieci acyń, co powala a akumulację w acyiach krwioośych gua aocąstek opowieimi ligaami aasorbowaymi a ich powierchi. Dięki aświetleiu promieiowaiem o reoasowej cęstości, wbuoe lokaliowae plamoy oprowaają o lokalego pregraia i isceia tkaki. Rysuek 1.. Lewa koluma: Wiualiacja aocąstek metali a pomocą elektroowej mikroskopii trasmisyjej: (a) łote aosfery, (b) łote aopręciki, (c) srebre aoprymaty. Prawa koluma: Rotwory koloiale: () aocąstek stopów łota i srebra o rosącej kocetracji łota, (e) łote aopręciki o rosącym stosuku ługości o serokości, (f) srebre aoprymaty o rosących wymiarach poprecych [37]. Jeoceśie tocą się prace a optyką itegrowaą a metalowych wui jeowymiarowych powierchiach. Plamoy mogą w iealekiej prysłości stworyć pomost pomięy fotoiką i elektroiką, ięki ich wykorystaiu jako ośik iformacji w optycych chipach komputerowych [5, 38]. SPP mogą preosić iformację cęstościami ręu 100 TH, pocas gy kowecjoale kable wykaują acące straty już pry cęstościach ręu kilkuiesięciu GH. Takie chipy miałyby o wiele miejse wymiary iż obece ora charakteryowałyby się miejsymi oporami omowymi, co powalałoby a gęstse upakowaie elemetów plamoowych be groźby pregraia ukłau. Zlokaliowae plamoy są wykorystywae także o miay koloru materiałów (rys. 1.). Dięki kotroli kstałtu i romiarów aocąstek atopioych w ma-

23 1.3 Jeokierukowa propagacja plamoów polarytoów 3 teriale, moża w kosekwecji kotrolować oiaływaie światła ośrokiem i uyskać serokie spektrum kolorów [37, 39, 40]. Pooba asaa wykorystywaa jest w projektowaiu filtrów kolorów [41, 4], w których cęściowo prekrywające się kocetryce struktury skupiające plamoy różią się okresem perioycości. Kotrola kstałtu i perioycości powierchi struktury metalowej powala a kotrolę ługości fali plamou, który się po iej propaguje, co powouje, że światło o różych cęstościach jest skupiae w różych puktach struktury. Doatkowo, w prypaku struktur liiowych, możliwe jest maipulowaie polaryacją fali paającej w stosuku o osi liiowego otworu, co powala a selektywą trasmisję promieiowaia [41] Jeokierukowa propagacja plamoów polarytoów Dalsy rowój plamoiki i jej potecjalych astosowań uwarukoway jest w użej miere postępem w projektowaiu i kostruowaiu owych urąeń kotrolujących plamoy powierchiowe, iałających a poobej asaie jak klasyce elemety optyce, lec wykorystujące SPP. W tym celu projektowae są elemety fotoice takie jak: ugięte falowoy, falowoy w krystale fotoicym bąź w postaci metalowego paska, wierciała Bragga, ieliki wiąek, spręgace, aktywe i pasywe prełąciki, iterferometry cy półprewoikowe lasery plamoowe. Tego typu elemety optyce bęą ogrywać istotą rolę w projektowaiu i kostruowaiu bariej skomplikowaych, itegrowaych pryrąów (very-large scale itegratio, VLSI) i cujików lab-o-a-chip. W urąeiach plamoowych istotą kwestią bęie wyajość skupieia SPP w opowieim pukcie, p. a wejściu falowou. Jeym e sposobów skupieia wiąki SPP a płascyźie jest stworeie kocetrycie romiescoych metalowych aocąstek a metalowym położu, które skierują wbuoe SPP o śroka struktury [43] (rys. 1.3(a)). W prestrei moża maipulować wiąką popre opowieią kolimację światła a wyjściu struktury kocetrującej promieiowaie. Baaia a trasmisją światła pre sceliy miejse o ługości fali [44] popreają wiele prac teoretycych i eksperymetów wiąaych kolimacją bąź skupieiem wiąki a scelią [9]. Możliwe jest także astosowaie perioycej struktury a wyjściu po obu stroach sceliy, która powala a wypromieiowaie sprężoych plamoów i uyskaie wiąki o pożąaym kstałcie. Dięki opowieiej maipulacji parametrami geometrycymi możliwe jest uyskaie wiąki propagującej się po wybraym kątem w stosuku o osi sceliy. Zespół B. Lee aemostrował struktury

24 4 1.Wprowaeie asymetrycymi siatkami perioycymi po obu stroach sceliy, la których waruek plamoowy jest spełioy la 1 lub 1 ręu ugięcia. Moża tak obrać parametry geometryce struktur (okres w prypaku siatki metalowej [46] lub współcyik ałamaia ielektryka w prypaku kompoytowych struktur łożoych elemetów ielektrycych pokrytych metalem [47]), że kąty spełiające waruek reoasu plamoowego la obu struktur są rówe co o wartości, lec preciwych aków. Oaca to, że kieruki wiąek wypręgiętych wóch SPP porusających się w preciwych stroach a wyjściu sceliy pokrywają się i w efekcie otrymujemy skolimowaą wiąkę propagującą się ierówolegle o osi sceliy. (a) (b) Rysuek 1.3. (a) Skupioe pole elektryce SPP wbuoych a pomocą akrywioego łańcucha sferoialych aocąstek łota [43], (b) Propagacja wiąki a wyjściu sceliy o romiarach miejsych o ługości fali w prypaku symetrycej struktury [45]. Wykorystując aalogice struktury i maipulując ich parametrami geometrycymi [45, 48 51] (stały lub miey okres, wypełieie, wysokość) cy współcyikami ałamaia, moża uyskać a wyjściu wiąki robieże, skolimowae (rys. 1.3(b)) bąź skupiające się w określoym pukcie w pewej oległości o struktury. Ią istotą kwestią w projektowaiu traystorów, prełącików cy ukłaów optycych, mogących w prysłości astąpić urąeia elektroice oparte a kremie, jest kotrola kieruku propagacji plamoów włuż struktury. Jeokierukową propagację moża w prosty sposób uyskać a pomocą paaia ukośego [5]. Jeak cęsto, e wglęu a łożoość ukłau, wymagae jest opowieie ukierukowaie SPP w reżimie paaia ormalego. W prypaku w pełi symetrycej jeowymiarowej struktury perioycej, plamoy spręgają się tą samą wyajością w obu kierukach włuż wektora siatki, co w efekcie powouje brak wypakowego prepływu eergii w polu bliskim. Dlatego iebęe jest łamaie symetrii ukłau w celu efektywego prowaeia SPP włuż graicy.

25 1.3 Jeokierukowa propagacja plamoów polarytoów 5 Propagacja SPP włuż metalowej struktury o symetrii prostokątej lub cylirycej [53] pry pobueiu ormalym może być wykorystywaa o wmocieia pola w etektorach promieiowaia EM [54]. Takie struktury, bierające światło więksego obsaru i skupiające je w cetrum, są ae jako light harvestig structures (LHS). Powalają oe a więkseie absorpcji w obsare aktywym w bliskiej pocerwiei awet 50 ray w porówaiu o absorbera tej samej wielkości be struktury plamoowej [55], cy a poa pięciokrote więkseie stosuku sygału o sumu [56]. (a) (b) Rysuek 1.4. Wartość i kieruek uśreioego w casie wektora Poytiga la jeokierukowej propagacji SPP włuż achyloych metalowych siatek yfrakcyjych o profilu (a) prostokątym i (b) siusoialym w reżimie paaia ormalego (a post. [57]). Kierukowość propagacji SPP pry powierchi struktury metalowej w reżimie paaia ormalego była premiotem baań espołu N. Booa [57]. Zapropoowali oi pochyloą metalową siatkę yfrakcyją o kstałcie prostokątym lub siusoialym w celu uyskaia asymetrycości w siłach sprężeia aikających 1 i 1 ręów ugięcia (rys. 1.4). W wyiku achyleia siatki moża miimaliować amplituę jeego plamoów powierchiowych, co powouje, że ie achoi egatywa iterferecja pomięy SPP i eergia jest kierowaa w jeą stroę włuż struktury. Struktury te mają jeak tę waę, że ich proukcja jest ość trua, własca w akresie optycym, gyż wymagaa jest wysoka okłaość pry achowaiu kąta achyleia siatki. Proces fotolitograficy obejmuje więc aparowaie wielu presuiętych wglęem siebie warstw pry użyciu różych masek w celu prybliżeia ocekiwaego kstałtu siatki. Alteratywe rowiąaie apropoował espół B. Bai [58], który opisali płaskie biare struktury o efektywym współcyiku ałamaia moulowaym popre miaę lokalego wypełieia struktury (blae area-coe effective-meium structures, BLACES). Skłaają się oe perforowaej warstwy metalu otworami w kstałcie trójkątów o okresach perioycości w obu prostopałych kierukach

26 6 1.Wprowaeie miejsych o ługości fali paającej (rys. 1.5). Taka kofiguracja apewia róże siły sprężeia la 1 i 1 ręu ugięcia co powouje, że więksość eergii jest prekierowaa o jeego aikających ręów i apewia asymetrię w atężeiu SPP propagujących się w preciwych kierukach, co w reultacie oaca propagację jeokierukową. Struktury BLACES mają tę aletę, że mogą być w prosty sposób wytworoe w procesie fotolitografii pry użyciu jeej maski, bąź a pomocą elektroolitografii (EBL). Rysuek 1.5. Schemat struktury BLACES [58]. Nieco omiee poejście prestawił F. M. Wag e współpracowikami [59]. Uyskali oi propagację SPP a oległość poa 7 ługości fali pomięy woma ręami aopręcików ustawioymi prostopale o osi propagacji SPP. Falowó plamoowy ostał pobuoy o coła źrółem ipolowym. Sile ograiceie eergii o obsaru / 33 / 16 powala a astosowaia w itegrowaych urąeiach optycych o romiarach miejsych o ługości fali. Sprężeie pomięy aocąstkami lub aopręcikami metalowymi było aaliowae pre wiele grup baawcych. Skońcoe łańcuchy aocąstek powalają a wbuaie moów wiąaych całym łańcuchem, bąź sąsiaującymi aocąstkami [60]. Krótse łańcuchy (łożoe kilku elemetów) wykaują sile wmocieie moów połużych, pole jest skocetrowae w prestreiach pomięy aocąstkami. Natomiast w łużsych łańcuchach (~100 elemetów) prowaących SPP omiują moy poprece, gie pole skocetrowae jest prostopale o osi łańcucha, aokoło poscególych cąstek. Niewykle ługie rogi propagacji SPP, ieosiągale la łańcuchów metalowych aocąstek, moża uyskać p. ięki astosowaiu łańcucha łożoego aokulek ielektrycych pokrytych metalem (tw. aoshells) [61]. Falowoy plamoowe moża także tworyć wóch łańcuchów metalowych aoelemetów rołożoych włuż osi falowou [6]. Okauje się, że łużse rogi propagacji, w porówaiu pełym falowoem MIM cy heksagoalą siecią aopręcików, uyskao la falowou łożoego rówoległych łańcuchów pro-

27 1.3 Jeokierukowa propagacja plamoów polarytoów 7 stokątych aopłytek, w których aobserwowao miejsą gęstość eergii poa falowoem, co może być iterpretowae jako prepływ eergii o wewątr falowou popre sceliy pomięy aopłytkami. Mimo ieco omieej kofiguracji, falowoy prowaące plamoy łożoe trójwymiarowych aocąstek metali iałają a poobej asaie, co struktury perioyce łożoe wuwymiarowych ieskońcoych pasków metalu otocoych ielektrykiem. Moy plamoowe wbuoe a poscególych elemetach struktury spręgają się pomięy sobą, co powouje prepływ eergii pomięy metalowymi elemetami siatki. W sytuacji, gy oległości pomięy aocąstkami są iewielkie, spręgaie achoi pree wsystkim ięki polu aikającemu pochoącemu o sąsiaujących cąstek. Dla więksych oległości (powyżej kilkuiesięciu m), omiuje iterferecja pomięy polami roprosoymi pre cąstki [63]. Łańcuchy aocąstek prowaące moy plamoowe pobuae są wykle o coła włuż swojej osi w kieruku propagacji eergii. W prypaku wbueia prostopałego o osi, iebęe jest wprowaeie asymetrii struktury, która powoli a opowieie ukierukowaie eergii w polu bliskim włuż struktury.

28

29 Motywacja i akres pracy Celem pracy jest teoretyca i umeryca aalia jeokierukowej propagacji plamoów polarytoów powierchiowych (SPP) a jeowymiarowych asymetrycych perioycych strukturach łożoych metalowych pasków o ieregularym kstałcie, otocoych różymi ośrokami ielektrycymi. Spełieie waruku faowego i wbueie SPP pry paaiu ormalym jest możliwe ięki więkseiu wektora falowego o wektor sieci owrotej. Jeokierukowość propagacji SPP wyika asymetrii samej struktury (asymetrii prekroju metalowych pasków lub otoceia ielektrycego), która jest prycyą różych sił sprężeia pola elektromagetycego plamoami porusającymi się w preciwych kierukach włuż struktury perioycej. SPP mogą być pobuae ielokalie a pomocą fali płaskiej ora lokalie a pomocą wiąek Gaussa i Hermite'a-Gaussa wyżsych ręów o skońcoych prekrojach w reżimie paaia ormalego. Ze wglęu a ograicoą objętość iiejsej pracy, aalia reoasów prowaoa bęie pry pobueiu struktury a pomocą fali płaskiej, jeak w cęści teoretycej i umerycej roprawy ostaie krótko prestawioy opis wiąki Hermite'a-Gaussa erowego i wyżsych ręów ora jej implemetacja w programie umerycym jako wima fal płaskich. Strukturę perioycą łożoą metalowych pasków o asymetrycym prekroju a położu ielektrycym moża traktować jako łańcuch aopręcików sprężoych e sobą i prowaących SPP prostopale o osi elemetów. Moy plamoowe wbuoe a poscególych paskach metalu spręgają się pomięy sobą, co powouje prepływ eergii pomięy elemetami siatki włuż struktury. Już jeowarstwowa siatka perioyca wykauje bogactwo moów, arówo lokaliowaych a poscególych elemetach metalowych, jak i moów powstających e sprężeia pomięy sąsieimi elemetami struktury. Doaie rugiej siatki metalowej w bliskiej oległości o pierwsej acąco komplikuje opowieź optycą ukłau, prowaąc o powstaia moów sprężoych wiąaych oiaływaiami pomięy pojeycymi elemetami w obu warstwach ora całą strukturą mogącą iałać jak falowó. Ze wglęu a ograicoą objętość, w pracy ostały preaaliowae jeyie moy istiejące w jeowarstwowej strukture

30 30. Motywacja i akres pracy o różicowaych parametrach geometrycych i materiałowych, pomiięto atomiast okłaą aalię oiaływań pomięy wiema warstwami. To agaieie, w połąceiu lokalym wbueiem SPP a pomocą wiąek, może staowić ciekawy materiał baawcy o alsych prac. Aaliowae struktury metalowe, arówo jeo- jak i wuwarstwowe, mogące aleźć praktyce astosowaie, powiy być łatwe w proukcji e wglęu a wymagaą okłaość parametrów geometrycych ora ilość procesów fotolitograficych. Tego typu struktury mogą być wykorystywae w optyce itegrowaej pry projektowaiu urąeń optycych takich jak traystory, prełąciki cy struktury skupiające światło. Plamoy, e wglęu a swój baro uży momet ipolowy, umożliwiają efektywe oiaływaie metalowych aoobiektów e światłem. Doatkową aletą plamoów jest fakt, że ich właściwości mogą być kotrolowae w baro użym akresie. Staowią oe pomost pomięy elektroiką a fotoiką, łącąc w sobie alety operowaia małymi elemetami elektroicymi możliwością wykorystaia serokiego pasma cęstości optycych ostępego w fotoice. Powala to a uikięcie wąskiego garła, jakim jest spowolieie presyłu sygałów pre łąciki, e wglęu a koiecość trasformacji sygałów elektroicych w optyce i a owrót. Powoli to a projektowaie itegrowaych urąeń umożliwiających jeoceśie geerację, propagację, maipulację i ocyt aych w ramach jeego chipu. Zalety owej techologii, takie jak iskie straty cieple, serse pasmo pry iskich stratach trasmisyjych ora o wiele miejse wymiary, powolą a, pryajmiej chwilowe, utrymaie tempa miiaturyacji traystorów i więksaia mocy obliceiowej goie prawem Moore'a. Poato, jeokierukowa propagacja SPP powala a skupieie światła w małym obsare i wykorystaie go o etekcji pojeycych molekuł, co acąco więksa możliwości techik spektroskopowych takich jak SERS, fluorescecja, fotolumiescecja seroko stosowaych w biologii, meycyie, baaiu aiecysceń śroowiska, aaliie skłau chemicego. Doatkowo, kocetratory plamoowe (LHS) iałające a asaie skupieia promieiowaia więksego obsaru a powierchi cułej, otworą rogę o proukcji wyajiejsych etektorów promieiowaia elektromagetycego be potreby stosowaia skomplikowaych i rogich optycych socewek immersyjych.

31 3 Cel pracy Cele iiejsej pracy, baującej a teoretycej i umerycej aaliie agaieia geeracji plamoów polarytoów powierchiowych a metalowych strukturach perioycych, są astępujące: Opracowaie wsechstroego, aawasowaego kou umerycego powalającego a symulację achowaia się pola elektromagetycego (EM) paającego a wielowarstwową strukturę perioycą o owolym profilu, możliwością uwglęieia jeoroych warstw. Program powiie umożliwić symulację pola EM w postaci fali płaskiej o owolej polaryacji liiowej paającej a strukturę po arbitralymi kątami aymutalym i raialym, bąź w postaci wiąki o owolym rokłaie amplituy i fay. Możliwe powio być także obliceie spektralych współcyików obicia i trasmisji, ależości yspersyjych, ora wiualiacja rokłau każej e skłaowych pola w owolym obsare prestrei (także w polu bliskim) i w owolej płascyźie. Prestawieie i aalia iałaia owego elemetu optycego opartego a wykorystaiu geeracji plamoów polarytoów powierchiowych (SPP) i powalającego a miaę kieruku propagacji eergii pry powierchi asymetrycej metalowej struktury. Ukierukowaie propagacji eergii w reżimie paaia ormalego astępuje po wpływem miay parametrów geometrycych lub materiałowych ukłau. Kieruek propagacji eergii w polu bliskim wiąay jest różymi siłami sprężeia 1 i 1 ręu ugięcia, wiąaymi asymetrią struktury i skutkującymi jeokierukową wypakową propagacją eergii włuż siatki, atomiast stałe propagacji plamoów porusających się w preciwe stroy są rówe e wglęu a jeakowy prycyek o ich wartości wiąay jeyie wektorem owrotym sieci pry achowaiu paaia ormalego fali płaskiej a strukturę. Zaletą prestawioego rowiąaia jest relatywie prosta proukcja, która ie wymaga wielu procesów litograficych, co ma iebagatele aceie pry roważaiu astosowań praktycych.

32 3 3. Cel pracy Aalia moów cąstkowych metalowej struktury jeowarstwowej po kątem oiaływaia mięymoowgo ora trasformacji moów lokaliowaych w elokaliowae i ich wpływu a kieruek prepływu eergii pry powierchi struktury. Ietyfikacja moów struktury wuwarstwowej i ich wajemego oiaływaia ora ich wpływ a opowieź optycą całej struktury. Sformułowaie tey otycącej możliwości iterpretacji fiycej iałaia struktury a postawie aaliy jeego trybów. Wyjaśieie prycy fiycych opowiaających a miaę kierukowości propagacji eergii oparte a aaliie relacji yspersji struktury i kieruku propagacji mou wiąaego ormalą o powierchi ekwieergetycej wyacoą pre wektor prękości grupowej.

33 4 Postawy teoretyce 4.1. Rówaia Maxwella i waruki bregowe Oiaływaie pola elektromagetycego ośrokami materialymi może być opisae a pomocą makroskopowych rówań Maxwella, które staowią postawowy estaw rówań w elektroyamice. W ukłaie jeostek SI wory te pryjmują postać [64]: B E, t D H J, t D, (4.1) (4.) (4.3) (4.4) B 0, gie E V m jest atężeiem pola elektrycego, H A m atężeiem pola magetycego, D C m iukcją elektrycą (presuięciem elektrycym), B Wb m 3 iukcją magetycą. Gęstość łauku elektrycego C m i gęstość prąu elektrycego J A m mogą być traktowae opowieio jako źróła pól elektrycego i magetycego. Formalim te, powalający a określeie własości pól elektrycego i magetycego wytwaraych pre aay rokła łauków i prąów, jest spełioy już w prypaku metalowych aostruktur o romiarach ręu kilku aometrów be koiecości owoływaia się o mechaiki kwatowej. Jest to możliwe, gyż wysoka gęstość łauków swoboych w metalu powouje, że prerwy pomięy poiomami eergetycymi elektroów są małe w porówaiu e wbueiami termicymi o eergii k B T w temperature pokojowej [65]. Rówaia Maxwella opisują relacje pomięy cterema postawowymi wielkościami wektorowymi: E, H, B, i D. Do jeoacego wyaceia wektorów pola aego rokłau prąów i łauków iebęe są rówaia materiałowe (relacje kostytutywe) wiążące e sobą wektory H i B ora E i D [64]:

34 34 4. Postawy teoretyce D E 0 E P, B H 0 H 0 M, (4.5) (4.6) gie i są opowieio tesorami preikalości elektrycej i magetycej ośroka ależymi o cęstości i wektora falowego. W prypaku ośroka iotropowego tesory i moża astąpić wielkościami skalarymi. Stałe 0 F m i 0 H m oacają elektrycą i magetycą preikalość próżi. P 0 E jest wektorem polaryacji elektrycej i opisuje elektrycy momet ipolowy a jeostkę objętości wywołay orgaiacją mikroskopowych ipoli włuż pryłożoego pola elektrycego, gie 1. M jest wektorem polaryacji magetycej, która może ostać pomiięta w prypaku ośroków iemagetycych. Właściwości optyce ośroka są uależioe o espoloych tesorów fukcji ielektrycej i preikalości magetycej. Tesory te są wiąae ipolowymi elektrycymi lub magetycymi wbueiami w ośroku, wywołaymi pre pole EM. Rochoącemu się w ośroku wbueiu elektromagetycemu towarysy polaryacja elektryca i magetyca. Eergia fali propagującej się rokłaa się a porusające się pola i wbuae wewętre stopie swoboy Waruki bregowe Rówaia Maxwella są efiiowae la obsarów prestrei, w których fiyce właściwości ośroków są ciągłe. W prypaku graicy pomięy woma różymi ośrokami, gy istieje skokowa miaa wartości i, iektóre skłaowe pól poostają ciągłe po obu stroach graicy. Te waruki ciągłości mogą być bepośreio wyacoe rówań Maxwella i prestawioe w astępujący sposób: Skłaowa ormala iukcji magetycej B jest ciągła po obu stroach B B1 graicy:. Różica pomięy skłaowymi stycymi wektora pola magetycego H jest rówa gęstości prąu powierchiowego K : H H K t 1 t. Skłaowa styca pola elektrycego E jest ciągła po obu stroach graicy: E t E1. t Różica pomięy ormalymi skłaowymi wektora iukcji elektrycej D jest rówa powierchiowej gęstości łauku : D D 1.

35 4.. Eergia pola elektromagetycego i rówaie ciągłości Eergia pola elektromagetycego i rówaie ciągłości Fala elektromagetyca jest ietrywialym rowiąaiem rówań Maxwella w prypaku braku jakichkolwiek łauków cy prąów. Propagujące się wbueie w ośroku skłaa się rgań pól E i H ora towarysących im polaryacji elektrycej i magetycej wywołaych pre te pola. W celu wyaceia gęstości eergii magayowaej w fali elektromagetycej ora strumieia eergii wiąaego tą falą, ależy ropatryć asaę achowaia eergii w małej objętości. Praca wykoaa pre pole elektromagetyce a jeostkę objętości jest rówa J E. Ta yssypacja eergii jest wiąaa e miejseiem gęstości eergii ora wypływem eergii jeostkowej objętości. Zgoie rówaiem (4.) praca wykoaa pre pole elektromagetyce może być apisaa jako [64]: D J E E H E. (4.7) t Po prostych prekstałceiach ora ałożeiu, że ośroek jest liiowy, otrymujemy: U S J E. (4.8) t 3 U J m jest gęstością eergii pola elektromagetycego i la bestratego, liiowego i beyspersyjego ośroka pryjmuje wartość: U E D B H. (4.9) S J m s jest wektorem Poytiga: S E H, (4.10) którego orma repreetuje moc a jeostkę powierchi iesioą pre pole w kieruku wektora S. Rówaie (4.8) jest ae jako rówaie ciągłości (twiereie Poytiga) i repreetuje asaę achowaia eergii la pola elektromagetycego, wiążąc miay gęstości eergii elektromagetycej prepływem eergii i absorpcją pola w ośroku Poieważ optyce pole EM rga cęstościami ręu 10 s, obserwuje się racej jego uśreioe wartości w casie o wiele łużsym o okresu rgań, amiast wartości chwilowych. Uwglęiając espoloe repreetacje wielkości występujących w rówaiach (4.9) i (4.10) ora ich jeakową ależość o casu w postaci j t ~ e, możemy apisać uśreioą w casie gęstość eergii i uśreioy w casie wektor Poytiga w postaci [64]: * * U E D B H 4 (4.11),

36 36 4. Postawy teoretyce S * E H. (4.1) Fala aikająca W sytuacji, gy fala elektromagetyca paa po kątem więksym o graicego TIR a graicę wóch ośroków ośroka optycie gęstsego (o więksym współcyiku ałamaia 1 ) o ośroka optycie rasego (o miejsym współcyiku ałamaia ), mamy o cyieia całkowitym wewętrym obiciem (total iteral reflectio, TIR). Kąt graicy może być w prosty sposób wyacoy rówaia Sella, pry ałożeiu, że kąt propagacji fali ałamaej wyosi / : TIR arcsi 1. (4.13) W takim prypaku reflektacja R 1, jeak pole EM w ośroku rasym istieje, a fala ałamaa roprestreia się włuż graicy ielektryków i aika wykłaico wra e wrostem oległości o graicy. Ma oa charakter aikający (evaescet) i jest falą iejeoroą płascyy stałej amplituy i fay tej fali ie są o siebie rówoległe. W prypaku fali propagującej się, wrot wektora Poytiga jest taki sam jak wrot wektora falowego, a więc wektor S pokauje kieruek propagacji eergii. Gy mamy o cyieia falą aikającą, skłaowa wektora Poytiga w kieruku prostopałym o graicy jest rówa ero. Trasmisję eergii o położa moża jeak uyskać ięki kofiguracji tw. osłabioego całkowitego obicia (ATR) popre bliżeie o graicy ośroka o parametrach umożliwiających istieie mou propagacyjego. Reflektacja ie jest wtey rówa jeości, a cęść eergii może być trasmitowaa pre graicę. Jest to jee e sposobów wbuaia plamoów powierchiowych (por. poroiał 4.6) Moel Druego W serokim preiale cęstości optycych właściwości metalu mogą być opisae a pomocą klasycego moelu swoboych elektroów (moel Druego), w którym metal opisyway jest jako perioycy trójwymiarowy rokła ieruchomych oatich joów, a tle którego porusa się elokalioway ga swoboych puktowych elektroów. Elektroy porusają się swoboie pomięy kolejym ereiami joami sieci, iymi elektroami, fooami, it., które achoą cęstością koliyją 1 (stałą tłumieia), gie jest casem relaksacji gau elektroowego. Metal obija promieiowaie o cęstościach iżsych o cęstości plamowej, charakterystycej la aego metalu, gyż elektroy, rgając sybciej iż pole p

37 4.4. Sieć owrota i pierwsa strefa Brillouia 37 EM, ekraują ewętre pole. Dla cęstości powyżej p metal abiera właściwości ielektryka i staje się trasparety, gyż elektroy ie aążają a sybko mieiającym się polem elektrycym i ie są w staie go ekraować. Dla metali alkalicych cęstość plamowa ajuje się w akresie ultrafioletu. W prypaku metali slachetych w akresie wiialym występują prejścia mięy pasmami eergetycymi, które powoują absorpcję światła o pewych cęstościach i ograicają stosowalość tego moelu [65]. Jeak jest o obrym puktem wyjścia o aaliy jawisk achoących w opisywaych strukturach. Więksość właściwości recywistych metali moża opisać a pomocą fukcji ielektrycej ależej o cęstości [65]: p 1, (4.14) j * gie e m jest cęstością połużych objętościowych wbueń p 0 elektroowych w metalu (cęstością plamową) charakterystycą la aego metalu. Eergia plamou efiiowaa jest więc jako: E, gie, e ora są opowieio kocetracją, łaukiem i masą efektywą elektroów prewoictwa w użej objętości. Recywista i urojoa cęść fukcji ielektrycej opisae są opowieio worami: p 1, (4.15) p. p p * m (4.16) Należy pokreślić, że fukcja ielektryca la łota jest określoa la użych objętości. W prypaku metalowych aoobiektów ręu kilku-kilkuiesięciu m, bąź ciekich warstw metalu, cęść urojoa fukcji ielektrycej metalu, opowiaająca stratom wewętrym w materiale, jest wykle więksa iż w obsarach o użej objętości e wglęu a więksoe roprasaie i efekty powierchiowe. Więksa cęść urojoa opowiaa a posereie pików reoasowych Sie owrota i pierwsa strefa Brillouia Iealy krystał skłaa się ietycych jeostek strukturalych powtarających się w prestrei. Struktura krystału opisywaa jest a pomocą sieci prostej, w której węłach ajują się atomy ależące o komórki elemetarej krystału,

38 38 4. Postawy teoretyce cyli o ajmiejsej jeostki, która powtóroa perioycie powala a otworeie całego krystału [66]. Obra mikroskopowy powala a wiualiację sieci prostej krystału, cyli ukłau atomów tworących krystał. Z kolei obra yfrakcyjy krystału prestawia obra jego sieci owrotej. Sieć owrota jest kostrukcją, która umożliwia charakterystykę własości elektroów w krystale (popre aalię jego struktury pasmowej), rochoeia się źwięku, rgań atomów, a także służy o opisu krystalograficego struktury. Trójwymiarowa sieć owrota opisaa jest a pomocą wektorów b 1, b, b 3 [66]: a a3 a3 a1 a1 a b1, b, b3, (4.17) a a a a a a a a a gie a 1, a, a 3 są wektorami sieci prostej. Węły sieci owrotej są wyacoe pre biór wektorów, których suma aywaa jest wektorem sieci owrotej: K m1 b 3. 1 m b m b3 (4.18) Komórkę elemetarą w prypaku prostych sieci moża wykle wybrać a kilka różych sposobów. Cęsto wykorystywaą w fiyce ciała stałego jest komórka Wigera Seita. Zajmuje oa ajmiejsą objętość wyacoą pre symetrale liii łącących ay atom e wsystkimi sąsieimi. Poobie kostruuje się komórkę Wigera Seita la sieci owrotej (rys. 4.1()) (a) a (c) () (b) K=-/a 0 K=/a b b 1 b a Rysuek 4.1. (a) Jeowymiarowa sieć prosta ora (b) jej sieć owrota. Graice pierwsej strefy Brillouia jeowymiarowej sieci owrotej określoe są pre wartości wektorów K a, gie a jest stałą sieci prostej krystału. (c) Sieć prosta ( a 1, a ) i owrota ( b 1, b ) wuwymiarowej sieci ukośej. () Komórka elemetara Wigera Seita wuwymiarowej ukośej sieci owrotej. Cetrala komórka elemetara Wigera Seita sieci owrotej jest aywaą pierwsą strefą Brillouia. Rysuek 4.1 prestawia pierwsą strefę Brillouia la jeowymiarowej sieci liiowej ora la wuwymiarowej sieci ukośej. Jej aletą a 1

39 4.4. Sieć owrota i pierwsa strefa Brillouia 39 jest fakt, że ostarca oa prostą iterpretację geometrycą waruku yfrakcji fali płaskiej a strukture krystału [66]: kk K, (4.19) bęącego ią postacią waruku a yfrakcję Bragga: si. Pocas aaliy struktury pasmowej, wektor falowy fukcji Blocha (fukcji własej rówaia falowego la potecjału perioycego, pryjmującej postać ilocyu fali płaskiej fukcją o perioycości sieci krystału) moża obrać tak, by leżał w pierwsej strefie Brillouia. Oaca to, że pasmo prestawiae jest w schemacie strefy reukowaej, która staowi preiał ieależych wartości wektora K. Wektor falowy K la fal sprężystych ma fiyce aceie tylko la wartości pierwsej strefy Brillouia. Wektor falowy spoa pierwsej strefy moża o iej sprowaić popre oaie bąź ojęcie o iego wielokrotości wektora K. Komplemetare pukty leżące a graicach strefy Brillouia moża traktować jako jee pukt, gyż wektor łącący je jest wektorem sieci owrotej [66] Krystały fotoice Krystały fotoice są materiałami o perioycej moulacji współcyika ałamaia ręu ługości fali rochoącej się w ośroku, wyikającej obecości ikluji materiału o iej stałej ielektrycej iż ośroek otacający ielektryka bąź metalu. W tym ostatim prypaku mówi się cęsto o krystale polarytoowym e wglęu a możliwość wbuaia plamoów polarytoów a metalowych iklujach. Maipulacja wymiarami i stałą ielektrycą obu materiałów powala a miaę ruchu fotoów aalogicie o wpływu wykłego krystału a ruch elektroów. Możliwa jest więc iżyieria yspersji plamoów i fotoicych prerw eergetycych. Prowai to także o projektowaia metamateriałów ie występujących w pryroie ciał stałych, w których arówo romiary poscególych elemetów jak i ich perioycość są o wiele miejse o ługości fali. Ich własości optyce ależą ie tylko o ich skłau chemicego, ale i o geometrii elemetów o skali więksej iż cąsteckowa, ale miejsej o ługości fali. Powala to traktować metamateriał jako ośroek jeoroy charakteryujący się efektywą stałą ielektrycą, w którym elemety roprasające i poatością magetycą mogą być traktowae jak atomy w wykłym materiale. Poieważ w skali miejsej o ługości fali pola elektryce i magetyce ie są e sobą sprężoe, możliwa jest ieależa kotrola ięki wykorystaiu roprasacy o opowieim kstałcie. i

40 40 4. Postawy teoretyce Cęsto już wu- lub trójwarstwowe struktury perioyce mogą być traktowae jako krystały fotoice (polarytoowe), co powala a ich prostą aalię pry wykorystaiu pojęć aych fiyki ciała stałego Plamoy polarytoy powierchiowe Plamoy Plamoy [gr.] są kwatami rgań plamy, kolektywymi połużymi oscylacjami gęstości gau elektroów prewoictwa w metalu (waymi falami Lagmuira) wbuaymi a skutek spręgięcia łauku elektrou wbuającego fluktuacjami pola elektrostatycego rgań plamy Polarytoy Polarytoy [łac.-gr.] są quasicąstkami powstającymi w wyiku oiaływaia fali elektromagetycej elemetarymi wbueiami ośroka, w którym fala ta się rochoi Plamoy polarytoy powierchiowe (Surface plasmo polaritos, SPP) Plamoy polarytoy powierchiowe są kolektywymi oscylacjami swoboych elektroów w metalu sprężoymi polem elektromagetycym i propagującymi się po styku wóch materiałów o stałych ielektrycych preciwych aków [67, 68]. Iymi słowy, są to quasicąstki powstałe kwatów eergii rgań plamy, cyli plamoów, ograicoe o powierchi metalu i oiałujące silie fotoami, które tworą wspólie plamo polaryto powierchiowy. Poa obre aymi plamoami o polaryacji TM istiejącymi a graicy materiałów o recywistych cęściach stałych ielektrycych preciwych aków (metalu i iolatora), istieją także moy wbuae a graicy materiałów o recywistych cęściach preikalości magetycej preciwych aków, tw. magetyce plamoy polarytoy (MPP) o polaryacji TE. Zaiteresowaie imi wrosło, o kiey eksperymetalie uowoioo możliwość stworeia metamateriałów o ujemym współcyiku preikalości magetycej i stałej ielektrycej. Ich wbueie ie jest jeak możliwe pry astosowaiu kowecjoalych, iemagetycych materiałów i ie staowią oe premiotu iiejsej roprawy.

41 4.5. Plamoy polarytoy powierchiowe 41 Pole elektromagetyce SPP propagującego się po graicy pomięy metalem i ielektrykiem może być wyacoe rowiąań klasycych rówań Maxwella w każym ośroków uwglęieiem opowieich waruków bregowych. Aby otrymać rowiąaie bęące falą powierchiową, ależy ałożyć ciągłość skłaowych stycych pola elektrycego i magetycego a graicy ora wykłaice aikaie pól w miarę oalaia się o graicy. H y E x E x () Rysuek 4.. Schemat wbuaia SPP a płaskiej graicy ielektryk/metal. Ropatrmy płaską graicę pomięy ośrokiem ielektrycym w obsare 0 charakteryującym się iotropową, oatią i recywistą stałą ielektrycą i metalem o espoloej iotropowej fukcji ielektrycej ależej o cęstości w obsare 0 (rys. 4.). Rowiąaia rówań Maxwella o charaktere falowym w kieruku x i aikające w kierukach prostopałych o graicy la fali o polaryacji TM mogą być apisae jako: jkxx H x, y,, t 0, A,0 e k jt j la 0, jk Ex, y,, t A k,0, jk e x x k jt m (4.0) jk H x, y,, t 0, B,0 e x x k jt j la 0, m jkxx m j t Ex, y,, t Bk,0, jk e k gie skłaowe wektorów falowych prostopałe o powierchi w ośroku ielektrycym i w metalu ae są worami: a ich owrotości 1 k i k k m k k x x c, c, (4.1) m 1 k efiiują głębokość wikaia pola elektromagetycego w ośroek w kieruku prostopałym o graicy, cyli określają, jak baro pole jest skupioe w otoceiu graicy. k c jest licbą falową fali paającej, cęstością fali paającej, c prękością światła w próżi.

42 4 4. Postawy teoretyce m Aby fala EM była lokaliowaa a graicy 0, cęści recywiste k i k musą być oatie, co, raem warukami ciągłości a graicy, powala a otrymaie astępujących ależości: m, k k A B A B (4.) Relacja yspersji plamou powierchiowego a graicy metalu ielektrykiem jest warukiem istieia ietrywialego rowiąaia powyżsych ależości i może być apisaa jako [68]: m k. (4.3) k Z rówaia (4.3) łatwo wywioskować, że plamoy powierchiowe mogą istieć tylko w akresie, gie cęść recywista fukcji ielektrycej metalu jest ujema. W tym akresie wektor falowy objętościowych fal EM w metalu jest cysto urojoy, co oaca, że fale powierchiowe i objętościowe w metalu ie mogą istieć jeoceśie w tych samych warukach. Z rówań (4.3) i (4.1) otrymujemy jawą ależość licby falowej plamou powierchiowego k k o jego cęstości: x SPP.. k SPP (4.4) c Cęść recywista wektora falowego plamou opisuje prękość faową SPP, cęść urojoa atomiast opisuje tłumieie, co prekłaa się a serokość spektralą piku reoasowego SPP. Komplemetarą wielkością o stycej skłaowej wektora falowego plamou jest jej skłaowa prostopała. Skłaowa prostopała może ostać oblicoa pry wykorystaiu relacji yspersji plamou a głakiej graicy metalu ielektrykiem (wór 4.3). W kowecji wykorystywaej w pracy, pry ałożeiu metalu oskoałego (o recywistej fukcji ielektrycej ), skłaowa wektora falowego plamou prostopała o graicy w ośroku ielektrycym ma postać: m k m, atomiast w metalu: k m m. Poieważ m 0 ora m, skłaowe k c c m i k są recywiste i oatie, co powouje ekspoecjale aikaie pola plamou w kieruku prostopałym o powierchi w obu ośrokach, pry ależości E ~ e k la 0, ora E ~ e la 0 (wór (4.0)). Poieważ SPP jest wbueiem powierchiowym, jego pole elektromagetyce aika w kierukach prostopałych o powierchi, co oaca, że skłao- m k m

43 4.5. Plamoy polarytoy powierchiowe 43 wa k jest recywista i oatia. Z tego wglęu, la aej cęstości, wektor falowy plamou powierchiowego jest awse więksy o wektora falowego w ielektryku i jego krywa yspersji leży a ewątr stożka yspersji la światła (a ewątr obsaru raiacyjego). Na rys. 4.3 obsar te ajuje się po lewej stroie liii yspersji la światła w ielektryku. W kosekwecji, e wglęu a ieopasowaie faowe, SPP ie może ostać wbuoy pre falę paającą ośroka ielektrycego a graicę; propagujący się po głakiej warstwie metalu plamo powierchiowy ie może także ostać wypromieioway o ośroka ielektrycego w postaci fali elektromagetycej. Pomięy obsarem ieraiacyjym i raiacyjym istieje prerwa eergetyca, w której wektor falowy SPP jest cysto urojoy i propagacja jest wbroioa. Poato wiać, że propagacja fali elektromagetycej w metalu jest owoloa jeyie la cęstości więksych o cęstości plamowej. W rejoie użych wektorów falowych cęstość SPP bliża się asymptotycie o cęstości plamou powierchiowego p 1, plamoy mają więc charakter plamy powierchiowej, e stałą propagacji acie więksą o k 0. Z kolei la łużsych fal (śreia pocerwień i łużse fale) prypomiają falę elektromagetycą porusającą się rówolegle o siatki (charakter fotoowy). W tym akresie stała propagacji plamou jest bliska liii yspersji la światła, co skutkuje słabym ograiceiem pola pry graicy i obecością pola w ielektryku w oległości kilku ługości fali o graicy. Z tego powou plamoy la iskich cęstości są miej aburae pre strukturę. Fale te są aywae falami Sommerfela Zeecka [69]. W prypaku recywistych metali mamy o cyieia tłumieiem a skutek istieia swoboych elektroów ora tłumieiem wiąaym prejściami mięy pasmami eergetycymi. Maksymala wartość licby falowej SPP jest wtey ogramoy raiacyje (()) > 0 moy quasi-raiacyje - < (()) < 0 k x recywiste k recywiste k x urojoe k recywiste moy ieraiacyje (()) < - k x recywiste k urojoe Rysuek 4.3. Relacja yspersji la graicy mięy metalem a ielektrykiem la 1.

44 44 4. Postawy teoretyce icoa stratami omowymi, krywa yspersji SPP awraca i precia liię yspersji la światła. Wyika to faktu, że arówo fukcja ielektryca metalu jak i wektor falowy SPP są espoloe, a ługość rogi propagacji SPP jest skońcoa. Ograica to możliwe o osiągięcia wartości wektora falowego a także efiiuje możliwe ajmiejse ograiceie mou o okolic graicy (im siliejse ograiceie tym krótsa roga propagacji SPP). Maksymala wartość wektora falowego SPP jest ależa o cęstości plamou powierchiowego a graicy 1 ora urojoej cęści stałej ielektrycej metalu m, pry ałożeiu SPP efiiowaa jest jako: k SPP 1 j SPP. SPP SPP (4.5) c Poato, quasi-raiacyja cęść relacji yspersji pomięy 1 i p jest owoloa, w preciwieństwie o prypaku iealego prewoika. SP p p Długoś rogi propagacji Ze wglęu a straty omowe w metalu (opisywae pre urojoą cęść fukcji ielektrycej metalu), eergia iesioa pre SPP aika wykłaico w miarę propagacji plamou po powierchi styku metalu ielektrykiem. W akresie cęstości poiżej, ługość rogi propagacji włuż graicy, a której amplitua SPP aika o wartości p 1 e, jest określoa pre urojoą cęść licby falowej plamou polarytou powierchiowego [68]: 3 1 c L SPP. (4.6) k SPP Długość rogi propagacji a styku łota i wóch ielektryków o różych współcyikach ałamaia ( 1 i 1, 5) prestawia rys. 4.4(a) Głębokoś wikaia Głębokość wikaia pola plamou powierchiowego ależy o fukcji ielektrycych obu ośroków tworących graicę, włuż której SPP się propaguje. Zgoie efiicją głębokości wikaia (oległość o iterfejsu, la której amplitua pola spaa o 1 e swojej wartości a powierchi metalu) moża wyraić pre owrotość skłaowej prostopałej wektora falowego w każym ośroków:

45 4.5. Plamoy polarytoy powierchiowe 45 1 c m i, i m,. i (4.7) k Głębokość wikaia pola elektromagetycego w łoto prestawioa ostała a rys. 4.4(b). i (a) (b) Rysuek 4.4. (a) Długość rogi propagacji plamou polarytou powierchiowego a styku łota i ielektryka w ależości o cęstotliwości fali paającej la 1 ora,5. b) Głębokość wikaia pola elektromagetycego SPP w łoto w ależości o cęstotliwości fali paającej. W prypaku metalu recywistego, w moelu Druego Loreta ależy uwglęić cło opowiaający stratom. W kosekwecji, arówo fukcja ielektryca jak i skłaowe wektora falowego plamou są espoloe. Oaca to, że plamo ie jest lokalioway a powierchi, a skłaowa prostopała jego wektora falowego posiaa także cęść propagacyją. Powouje to wypromieiowaie eergii, a atem skróceie rogi propagacji plamou L x włuż powierchi. Dla iealego prewoika (perfect electric couctor, PEC), a także w prybliżeiu la metali w akresie alekiej pocerwiei ora łużsych fal, głębokość wikaia w metal jest rówa ero e wglęu a baro użą prewoość metalu. Brak oiaływaia pola EM e swoboymi elektroami w metalu oaca, że w tych warukach ie mogą istieć plamoy powierchiowe. Jeak ięki opowieiej strukturyacji powierchi PEC, możliwe jest wbueie tw. stucych SPP (spoof SPP), cyli fal powierchiowych ie wykaujących yspersji w ależości o cęstotliwości fali pobuającej, a ależych jeyie o geometrii ukłau (głębokość, serokość i kstałt rowków, perioycość). Z tego powou używa się także sformułowaia esiger SPP ( aprojektowae SPP).

46 46 4. Postawy teoretyce Stosuek skłaowych pola elektrycego SPP Pole magetyce plamou polarytou powierchiowego jest prostopałe o kieruku propagacji i rówoległe o płascyy. Pole elektryce ma arówo skłaową prostopałą o płascyy jak i rówoległą o kieruku propagacji SPP. Stosuek skłaowej poprecej i połużej pola elektrycego w ielektryku jest ay worem [68]: E E x k SPP p j j j, (4.8) k gie ostatie wyrażeie moża otrymać pry ałożeiu stosowalości moelu Druego i aiechaiu strat. Skłaowa popreca omiuje la małych licb falowych i iskich cęstości (wbueia fotoowe), la których krywa yspersji SPP jest bliska liii yspersji la światła. Jeyie la baro użych licb falowych obie skłaowe są porówywale, pryjmując tę samą wartość la cęstości p 1, co la powietra bąź próżi aje wartość p Plamoy powierchiowe (Surface Plasmos, SP) Plamoy powierchiowe są graicym prypakiem plamoów polarytoów powierchiowych, gy w rowiąaiach rówań Maxwella aiebuje się retarację (akłaa się, że prękość światła w próżi ma wartość ieskońcoą), co oaca aiebaie tłumieia 0. Wtey wektor falowy SP ąży o wartości ieskońcoej la cęstości biegającej o cęstości plamowej. Oaca to, że w graicy prękość grupowa SP biega o era a mo abiera charakteru elektrostatycej fali powierchiowej wiąaej iepropagującymi się kolektywymi oscylacjami swoboych elektroów pry powierchi [68]. Rowiąaia opisujące plamoy powierchiowe moża otrymać rowiąań rówaia Laplace'a 0 la płaskiej graicy, gie jest skalarym potecjałem elektrycym: jk x, y,, t Ae xx k jt la 0, jk m x, y,, t B e xx k jt la 0. (4.9) Z waruku ciągłości skłaowej x pola elektrycego otrymujemy, że A B. Waruek ciągłości skłaowej iukcji elektrycej prostopałej o powierchi prowai o A k B k. Doatkowo rówaie 0 implikuje rów- m

47 4.5. Plamoy polarytoy powierchiowe 47 m ość skłaowych k i k, co oaca, że pole SP wika a tę samą głębokość o metalu i ielektryka. Po uwglęieiu wsystkich waruków, otrymujemy: 0. (4.30) Po porówaiu (4.30) (4.3) wiać wyraźie, że plamoy powierchiowe są graicym prypakiem plamoów polarytoów powierchiowych a graicy ielektryka iealym prewoikiem. W ogólości achoi waruek:. Pry ałożeiu stosowalości moelu swoboych elektroów, moża prestawić cęstość plamou SP jako: p SP. (4.31) Cy istieją plamoy o polaryacji TE? Plamoy polarytoy powierchiowe wiąae ujemą fukcją ielektrycą jeego ośroków mogą mieć jeyie polaryację TM (trasverse magetic), w której wektor pola elektrycego leży w płascyźie paaia fali pobuającej. Moża to łatwo uowoić popre ałożeie istieia rowiąań rówań Maxwella w postaci fali powierchiowej o polaryacji TE a graicy 0 : jk Ex, y,, t 0, A,0 e x x k jt j la 0, jk H x, y,, t Ak,0, jk e x x k jt m (4.3) jk Ex, y,, t 0, B,0 e x x k jt j la 0. m jk k m j t H x, y,, t Bk,0, jk e x x Ciągłość skłaowych stycych obu pól a graicy prowai o rówań: A B m Ak k 0. m (4.33) jak jbk Poieważ cęści recywiste skłaowych wektorów falowych w obu ośrokach prostopałych o graicy musą być oatie, jeyym rowiąaiem powyżsego rówaia jest A 0, co oaca, że ie istieją plamoy polarytoy powierchiowe o polaryacji TE a graicy metalu ielektrykiem.

48 48 4. Postawy teoretyce Zlokaliowae plamoy powierchiowe (Localie surface plasmos, LSP) Zlokaliowae wbueia elektromagetyce mogą istieć także a akrywioych powierchiach, p. metalowych aocąstkach, rogach, a styku wóch elemetów metalowych, we wękach w głakiej powierchi metalu o romiarach acie miejsych o ługości fali. LSP, cęsto aywae plamoami cąsteckowymi (particle plasmo), są moami ie propagującymi się i charakteryują się yskretymi cęstościami reoasowymi, w oróżieiu o SPP, które wykaują yspersję cęstości i pęu. Cęstotliwość LSP może być wyacoa rówaia Laplace'a w prybliżeiu elektrostatycym ałożoymi opowieimi warukami bregowymi. Aalitycie moża otrymać cęstości jeyie la ajprostsych kofiguracji, takich jak kulki bąź elipsoiy. Zgoie asaą sumacyją, suma kwaratów cęstotliwości LSP lokaliowaego a metalowej cąstce i we węce staowiącej opełieie tej cąstki jest rówa kwaratowi cęstości plamowej la aego metalu:. c w p Zlokaliowae plamoy powierchiowe mogą być wbuoe reoasowo pre falę o opowieiej cęstości ieależie o jej wektora falowego, a także pre plamo polaryto powierchiowy. Oaca to jeoceśie, że są to moy raiacyje, które w prypaku wbueia a iejeoroej powierchi, mogą wypromieiować w postaci światła lub SPP. Możliwość wbueia LSP a pomocą SPP (w prypaku, gy cęstość reoasowa LSP ajuje się blisko cęstości SPP) tłumacy sile roprasaie SPP a ierówościach powierchi Reoasowe waruki wbueia SPP mogą być wbuoe jeyie promieiowaiem o polaryacji TM, gy wektor pola magetycego jest prostopały o płascyy paaia a pole elektryce posiaa skłaową włuż kieruku propagacji fali [68]. Rysuek 4.5 prestawia relacje yspersji plamoów polarytoów powierchiowych propagujących się po powierchi styku łota i powietra 0 1 ora łota i ielektryka 1, 5. Prękość grupowa la SPP w kokretych warukach, efiiowaa jako pochoa cęstości po licbie falowej k, może być iterpretowaa jako achyleie stycej o krywej yspersji w aym pukcie. Natomiast prękość faowa k może być iterpretowaa jako achyleie f SPP prostej prechoącej pre ay pukt krywej i pocątek ukłau współręych. Dopasowaie faowe pocas wbuaia SPP wymaga więc więkseia licby g SPP

49 4.6. Reoasowe waruki wbueia 49 falowej fali paającej, gyż, e wglęu a ieraiacyją aturę SPP, wektor falowy SPP porusającego się po powierchi styku ielektryka metalem jest awse więksy o wektora falowego fali elektromagetycej propagującej się w aym ielektryku. Zwiękseie wektora falowego moża osiągąć popre więkseie jego cęści recywistej (ięki efektom yfrakcyjym roumiaym jako pojawieie się wyżsych ręów ugięcia w wyiku oiaływaia pola EM ieskońcoą strukturą perioycą) bąź urojoej (ięki całkowitemu wewętremu obiciu total iteral reflectio, TIR) w specjalych kofiguracjach. Rysuek 4.5. Relacje yspersji światła w próżi i ielektryku ora relacje yspersji plamoów polarytoów powierchiowych propagujących się po graicy pomięy metalem i powietrem (próżią) 0 1 ora metalem i ielektrykiem o, 1 5. Poiżej omówioe ostały ajcęściej wykorystywae kofiguracje umożliwiające wbueie SPP. a) Kofiguracja Kretschmaa (rys. 4.6(a)) staowi prykła więkseia wektora falowego popre tuelowaie fotoów w reżimie całkowitego wewętrego obicia. Cieka warstwa metalu jest oświetlaa popre optycie gęstsy ośroek (sklay prymat) po kątem więksym o kąta krytycego la całkowitego wewętrego obicia, co powouje więkseie skłaowej wektora falowego fali paającej w kieruku propagacji SPP. Pole aika wykłaico w miarę oalaia się o graicy, co oaca, że jego wektor falowy w kieruku pioowym jest urojoy. Dla kąta paaia, la którego skłaowa wektora falowego fali paającej w prymacie styca o płascyy jest rówa wektorowi falowemu SPP a graicy metalu i powietra, astępuje reoasowe tuelowaie popre warstwę metalu i spręgięcie fotoów plamoami powierchiowymi: k si SPP prism c c (4.34).

50 50 4. Postawy teoretyce b) Poobą kofigurację apropoował A. Otto (rys. 4.6(b)), tą różicą, że tuelowaie obywa się popre warstwę powietra pomięy prymatem a metalem. W tym prypaku warstwa metalu może być owolie gruba, atomiast oległość pomięy prymatem a metalem powia być a tyle mała, by umożliwić oiaływaie fal aikających plamoami w metalu i, w kosekwecji, wbueie SPP. Zaletą tej kofiguracji jest bekotaktowe wbueie SPP, co umożliwia astosowaie reoasu plamoowego o wiualiacji elikatych struktur biologicych. c) Zwiękseie wektora falowego moża osiągąć także ięki astosowaiu perioycej struktury metalowej o opowieio obraym okresie (rys. 4.6(c)). SPP mogą być wbuoe a strukture perioycej po kilkoma kątami reoasowymi, la których waruek a relację yspersji ora waruek yfrakcyjy a siatce są spełioe jeoceśie. Wbueie plamoów a siatce perioycej ie wymaga oatkowych arażacji może być oświetloa bepośreio falą płaską. W takim wypaku la każego kąta paaia istieje preiał cęstości spełiający powyżsy waruek. Jeoceśie poostałe cęstości są tłumioe i ie mogą się propagować. Perioyca stała ielektryca spręga fale, których wektor falowy różi się o wielokrotość owrotości stałej siatki (rowki osą iemieicość traslacyją włuż powierchi). Perioycość struktury powala a powstawaie oatkowych wyżsych ręów ugięcia, które propagują się po iymi kątami iż obity (ałamay) rą erowy. Dyfrakcja a strukture perioycej apewia achowaie wektora falowego, gy aikające skłaowe (propagujące się po kątem 90, cyli stycie o powierchi siatki) wyżsych ręów ugięcia opowia- ają wektorowi falowemu SPP: k SPP si m (4.35) c c, gie Λ jest okresem siatki yfrakcyjej, 0, 1,,... m jest umerem kolejego ręu ugięcia. Z aalią oiaływaia promieiowaia i struktury perioycej wiąae są aomalie Wooa, opisae serej w poroiale 4.7. ) Ią możliwością wbueia SPP jest wykorystaie soy SNOM geerującej pole aikające, które może być sprężoe plamoami w postaci plamou polarytou powierchiowego lokalie w kokretym miejscu a powierchi (rys. 4.6()). Dięki oświetleiu pre otwór w soie o śreicy miejsej o ługości fali, a powierchi wbuae są lokalie kocetryce fale SPP. Wbueie pre soę może być ropatrywae jako efekt yfrakcyjy (spręgaie światła ugiętego a aperture soy) lub tuelowaie (tuelowaie fotoów pomięy aperturą soy a powierchią metalu, gyż a aperture geerowae są główie skłaowe aikające pola).

51 4.6. Reoasowe waruki wbueia 51 e) Geeracja a losowo chropowatej powierchi (rys. 4.6(e)) powala a uyskaie waruków wbueia be specjalej arażacji, e wglęu a obecość w polu bliskim wektorów falowych ugiętych we wsystkich kierukach. Jeak źle efiiowae waruki wbueia sprawiają, że wyajość spręgaia poa reoasem jest baro mała. f) Możliwe jest także wbueie SPP a kokretych iejeoroościach powierchi, p. yfrakcja a końcach paska metalu, we wękach w jeoroej warstwie metalu. W tym prypaku więkseie wektora falowego ostaje apewioe popre oiaływaie akrywioą powierchią metalu i mamy o cyieia tw. lokaliowaymi plamoami powierchiowymi (LSP). (a) (b) (c) () (e) Rysuek 4.6. Róże metoy wbuaia plamoów polarytoów powierchiowych: (a) kofiguracja Kretschmaa, (b) kofiguracja Otto, (c) wbueie a siatce yfrakcyjej, () lokale wbueie a pomocą soy SNOM, (e) iereoasowe wbueie a iejeoroościach powierchi. g) Istieje także możliwość wbueia plamoów powierchiowych a pomocą wiąki elektroów. Elektroy wikające o metalu prekaują pę i eergię elektroom ajującym się w metalu roprasając się po różymi kątami. Dopasowaie skłaowej wektora falowego w płascyźie umożliwia wbueie SPP jeyie la wysokich wartości wektorów falowych, gyż apertura wiąki elektroów ie może być owolie miejsaa powoów eergetycych. Ze wglęu a połużą aturę pola SPP, ieależie o kofiguracji, pole wbuające powio mieć skłaową pola elektrycego prostopałą o powierchi metalu lub rówoległą o kieruku propagacji SPP.

52 5 4. Postawy teoretyce 4.7. Aomalie Rayleigha (Wooa) Zaobserwowae po ra pierwsy w 190 roku pre Wooa [1], aomalie w atężeiu światła obitego o siatki yfrakcyjej charakteryują się ostrymi miaami wyajości obicia siatki la pewych kokretych cęstości. Cęstości, la których pojawiają się aomalie, ostały wyjaśioe teoretycie pre lora Rayleigha w 1907 roku []. Gwałtowe miay w wyajości yfrakcji siatki pojawiają się gy, w miarę miejsaia cęstości, któryś ręów ugięcia acya propagować się stycie o powierchi siatki (po kątem 90 o ormalej), a astępie aika. Zmiaa charakteru ręu ugięcia propagacyjego a aikający (ewaescety) powouje prekierowaie eergii o iżsych ręów mogących się propagować pry aej cęstości. Prowai to o ieciągłości w mocy wiąaej obiciem (ałamaiem) w aym ręie yfrakcyjym i objawia się gwałtowymi miaami w opowiei optycej całej struktury. Aomalie Wooa określa się także jako aomalie progowe (threshol aomalies) bęące jeym wóch typów tw. aomalii Rayleigha. Drugą grupę aomalii Rayleigha staowią aomalie wiąae cęstościami reoasowymi struktury. (a) (b) Rysuek 4.7. (a) Zależość reflektacji, trasmitacji i absorpcji ( A 1 R T ) o cęstotliwości fali paającej ormalie a siatkę o okresie Λ 600 m, 1, m, f 0, 4Λ. (b) Natężeia pola elektrycego la aomalii Wooa oacoej pioową liią a wykresie. Aomalia Wooa charakteryuje się baro małymi stratami, poieważ eergia aikających ręów jest prekaywaa o tych, które mogą się w aych warukach propagować. Tak więc miimum w spektrum trasmisji opowiaa maksimum obicia (lub owrotie). Jeak w pobliżu aomalii, la ieco iżsych cęstości, występuje charakterystycy wrost absorpcji, pry jeocesym spaku trasmisji i/lub obicia, wiąay e wbueiem mou powierchiowego. Powouje to uwięieie eergii w pobliżu struktury metalowej i miejseie opowiei op-

53 4.8. Wiąki optyce 53 tycej struktury w polu alekim w ręach propagacyjych (rugi typ aomalii Rayleigha). Rysuek 4.7(a) prestawia ależość reflektacji, trasmitacji i absorpcji ( A 1 R T ) o cęstości akresu obejmującego pierwsą aomalię Wooa wra reoasem plamoowym. Reoas charakteryujący się wysoką absorpcją la cęstości 0, 453 jest typowym reoasem wiąaym plamoem p lokaliowaym a paskach metalu o rokłaie pola silie ograicoym o okolicy metalu i aikającym w kierukach prostopałych. Z rugiej stroy, brak ciągłości krywych reflektacji i trasmitacji la 0, 4875 jest spowooway pojawieiem się wóch oatkowych propagujących się ręów ugięcia 1 i 1 arówo a strukturą ( R iebieska liia) jak i w położu (T ieloa liia). Doatie i ujeme ręy pojawiają się w tym samym miejscu e wglęu a symetrię wymusoą paaiem ormalym ora symetrię współcyika ałamaia ośroków. Aomalia Wooa w prypaku paaia ormalego występuje la ługości fali opisaej worem: m. Aomalie te ie są falami propagującymi się i ograicoymi o graicy mięy metalem a ielektrykiem, jak plamoy. Pole la cęstości opowiaającej aomalii Wooa ie jest skocetrowae pry powierchi, ale preika głęboko o obu ośroków. Na wykresach atężeia pola (rys. 4.7(b)) wiać wyraźie iterferecję fali obitej paającą poa strukturą Wiąki optyce Pomimo, że w moelowaiu geeracji i propagacji SPP a strukturach perioycych ajcęściej wykorystuje się falę płaską, która powala a ielokale wbueie, w recywistości SPP są wbuae lokalie wiąkami optycymi o skońcoym prekroju prestreym. W prełącikach i łącach optycych, p. a wyjściu jeomoowego falowou cy w prypaku emisji jeomoowego lasera rokła pola a wyjściu ma charakter trójwymiarowej wiąki Gaussa [70]. Jeakże aalia geeracji i propagacji SPP wbuoych lokalie a pomocą wiąki erowego bąź wyżsego ręu powala a okłaiejse moelowaie recywistych jawisk. Pry ałożeiu, że ośroek, w którym propaguje się wiąka jest liiowy, jeoroy i beźrółowy, pole elektryce moochromatycej propagującej się wiąki j E E x, y, e spełia jeoroe rówaie falowe: t p E E 0. (4.36) t

54 54 4. Postawy teoretyce Stosując prybliżeie pryosiowe akłaamy, że rugie pochoe pola w kieruku propagacji wiąki są pomijalie małe w porówaiu pierwsymi pochoymi. Rówaie falowe pryjmuje wtey postać: k jk 0. E (4.37) x y Rowiąaiami własymi tego rówaia są, mięy iymi, wiąki Gaussa i Hermite'a-Gaussa, e wglęu a symetrię prostokątą ukłau. Rowiąaiami rówaia (4.37) w mieych cylirycych są wiąki Laguerre a-gaussa Wiąka Gaussa Wiąka Gaussa jest postawowym moem falowou jeomoowego. Charakteryuje się jeym maksimum w cetrum i wykłaicym aikaiem amplituy w kierukach prostopałych o kieruku propagacji. W prestrei recywistej w ukłaie oiesieia wiąaym wiąką, trójwymiarowa symetryca bieżorobieża wiąka Gaussa, be uwglęieia cłou sybkobieżego e, jest jk opisaa worem [71]: x y v,, G x y w v e. (4.38) w Natomiast w prestrei spektralej: ~ k x k y v G k, k, e, (4.39) x y w jest recywistym promieiem wiąki w talii, ww 1 j D gie w jest espoloym uormowaym promieiem wiąki w talii, D kw w jest ługością 1 rogi yfrakcji. Zespoloy promień wiąki, apisay w postaci w jr, efiiuje wa recywiste parametry: promień wiąki w ww 1 D ora pro- R w. mień krywiy frotu falowego Wiąki Hermite'a-Gaussa typu elegat w Wiąki Hermite'a-Gaussa wyżsych ręów typu elegat wykaują symetrię prostokątą i są wyikiem moulacji wiąki Gaussa a pomocą wielomiaów Hermite'a x H y w kierukach x i y : H m i H m D m x m m x x 1 e x e. D (4.40) Argumety wielomiaów Hermite'a w prypaku wiąek Hermite'a-Gaussa typu elegat (EHG) są w ogólości espoloe (poa płascyą talii wiąki 0 ) [71, 7] w preciwieństwie o argumetów wielomiaów Hermite'a moulujących

55 4.8. Wiąki optyce 55 staarowe wiąki Hermite'a-Gaussa (SHG). Staarowe wiąki Hermite'a- Gaussa staowią komplety i ortogoaly biór rowiąań własych operatora hermitowskiego, wiąaego p. reoatorem o sferycych wierciałach. Wiąki HG typu elegat są atomiast biorem rowiąań własych operatora iehermitowskiego (p. wiąaego graicą pomięy woma półieskońcoymi ośrokami). Zbiór te jest biortogoaly o fukcji własych operatora hermitowsko o iego sprężoego [73, 74]. (a) Rysuek 4.8. (a) Rokła uormowaej amplituy wiąki (b) EH 3, ora (b) jej faa w talii. G W prestrei recywistej wiąki EHG są efiiowae popre opowieie różickowaie w kierukach X i Y rokłau wiąki Gaussa ręu erowego w ukłaie ( X, Y, Z ) wiąaym płascyą [71]: G EH m m X, Y, Z w G X, Y,, m, w X Y Z (4.41) gie m i są ręami wiąki EHG w kierukach X i Y. Rą określa ilość miejsc o erowej amplituie i skoku fay włuż aego kieruku (rys. 4.8). Wygoiejse jest jeak efiiowaie wiąek wyżsych ręów w prestrei spektralej, poieważ pochoe cąstkowe moża wtey astąpić ilocyem skłaowych wektorów falowych poiesioych o opowieich potęg: ~ EH m m ~ G,, m, kx ky Z iww kx ky G kx, ky, Z. (4.4) Diałaie pochoych cąstkowych powouje więkseie ręów m i wiąki włuż kieruków X i Y : EH EH w G X Y, Z G X, Y Z (4.43) i aalogicie la kieruku Y. w X m,, m1,,

56

57 5 Moelowaie umeryce 5.1. Ścisła metoa fal sprężoych (RCWA) Ścisła metoa fal sprężoych (Rigorous Couple Wave Aalysis) [75], waa także Fourier Moal Metho jest jeą cęściej wykorystywaych meto o symulacji oiaływaia pola elektromagetycego siatką yfrakcyją. Ma tę aletę, że, baując a ścisłych rowiąaiach rówań Maxwella, powala a uyskaie okłaych rowiąań pry uwglęieiu w obliceiach ieskońcoej ilości ręów ugięcia. W praktyce iebęe jest ocywiście ograiceie ilości ręów ugięcia, co prowai o powstaia błęów umerycych tym miejsych, im więcej fal płaskich jest więtych po uwagę w obliceiach. Cecha ta powala a oblicaie agaień truych o aimplemetowaia a pomocą iych meto. Rysuek 5.1. Schemat paaia stożkowego (koikalego) fali płaskiej o owolej polaryacji liiowej a jeowarstwową strukturę perioycą. W prypaku yfrakcji plaarej o wektore falowym leżącym w płascyźie paaia, owola liiowa polaryacja paającej fali płaskiej może ostać rołożoa a skłaowe pola o polaryacji TE i TM, których każa może być oblicoa oielie, co acąco miejsa macier agaieia własego. W tym prypaku wsystkie ręy ugięcia roprosoe w pró i wstec leżą w tej samej płascyźie

58 58 5. Moelowaie umeryce co fala paająca i ie występuje sprężeie pomięy skłaowymi poprecymi i połużymi pól elektrycego i magetycego. Dla ogólego problemu yfrakcji stożkowej, cyli la ieerowego aymutalego kąta paaia i owolej polaryacji (rys. 5.1), wektory falowe ręów ugięcia leżą a powierchi stożka. Skłaowe poprece i połuże pól elektrycego i magetycego są e sobą sprężoe i musą być oblicae jeoceśie, co wyłuża cas obliceń umerycych. Poiżej apreetoway ostał arys metoy RCWA algorytmami T-matrix i S-matrix [76] w prypaku yfrakcji stożkowej i owolej polaryacji la jeowymiarowej wielowarstwowej siatki o stałym okresie Λ w kieruku x. Rosereie metoy o prypaku struktur wuwymiarowych o różej perioycości w wóch kierukach moża aleźć w literature [77] Dyfrakcja fali płaskiej Rysuek 5. preetuje schemat moów w kolejych warstwach N-warstwowej struktury skłaającej się jeoroych warstw bąź prostokątych siatek o różych, w ogólości, wysokościach, współcyikach wypełieia i współcyikach ałamaia materiałów skłaowych. Strukturę o iym iż prostokąty kstałcie prybliża się warstwami siatek o profilu prostokątym [78] tym okłaiej, im cieńse warstwy są brae po uwagę. Warstwy perioyce, o stałym profilu preikalości w kieruku, w ogólości mogą różić się mięy sobą preikalością elektrycą i magetycą materiałów, współcyikiem wypełieia ora wysokością. Możliwe jest także asymulowaie warstwy łożoej jeoroego materiału. Istieją także metoy powalające a okłae otworeie kstałtu struktury, be potreby prybliżaia jej siatkami o profilu prostokątym [79, 80] ora metoy powalające a symulację skońcoych struktur aperioycych [80, 81], wykracają oe jeak poa akres iiejsej pracy. Elektromagetyca fala płaska o ługości, kącie polaryacji i jeostkowej amplituie paa a siatkę yfrakcyją o grubości po kątem o ormalej o powierchi ora kątem aymutalym, gie ostaje roprosoa. Powstałe w wyiku roproseia oatkowe ręy ugięcia propagują się po iymi kątami iż ręy erowe o kierukach propagacji goych prewiywaiami optyki geometrycej. Metoa RCWA polega a poiale całego systemu a try regioy: obsary jeoroe a ( 0 ) i po siatką ( N 1), ora obsar perioycy ( N warstw). Obsar perioycy ostaje poieloy a warstwy jeoroe w kieruku. W każej tych warstw profile preikalości elektrycej i magetycej w kieruku wektora siatki prybliżoe ostają popre fale płaskie ięki ich rowiięciu w sereg

59 5.1. Ścisła metoa fal sprężoych (RCWA) 59 Fouriera. Pola elektryce i magetyce ostają prybliżoe falami Floqueta Blocha. x 0 c + 0,m =H i c c - 0,m =R i 1 + c 1,m - c 1,m 1-1 N c -1,m + c,m + c N,m c -1,m - c,m - c N,m - -1 N N+1 c N+1,m + =T i c N,m - =0 Rysuek 5.. Schematyce prestawieie siatki yfrakcyjej o N warstwach aacoymi moami wewątr struktury ora ręami ugięcia a ewątr. Obsary akreskowae są ewętrymi ielektrycymi obsarami jeoroymi. Prerywaa liia oaca graicę umerycą, która może być położoa arbitralie blisko graicy mięy obsarami N i N 1, a post. [76]. Poprawę bieżości wyików w porówaiu pierwsymi implemetacjami metoy moża uyskać ięki astosowaiu asa faktoryacji, pocątkowo oświacalie uwglęioych w sformułowaiu metoy [8, 83] a astępie wyjaśioych o stroy matematycej [84]. Metoa polega a jeoroym achowaiu ciągłości kokretych skłaowych pola elektromagetycego. Oaca to, że waruki bregowe są spełioe w sposób jeoroy w miejscach, w których współcyiki Fouriera ilocyu wóch fukcji posiaają skokową ieciągłość (w miejscach ieciągłości stałej ielektrycej). Pole elektryce w obsare jeoroym a siatką moża apisać jako sumę pola paającego i sumę ormaliowaych rowiąań la wsystkich ręów obitych o amplituach R. Poobie, pole po siatką jest sumą wsystkich ręów i ugięcia fali trasmitowaej pre strukturę o amplituach T i [75, 77]: jk 01 sicosxsi siycos j k xi x k y y k0, i E ˆ 0, y u e Rie, i M 1 j k kxi x y y kn 1, i E N 1, y Tie, im 1 (5.1)

60 60 5. Moelowaie umeryce gie skłaowe wektorów falowych w obsarach 0 i N 1 ae są worami: k k si cos ik, k xi y k si si, 1 (5.) k0 l k xi k y la k0l k xi k y, kl, i la j k xi k y k0 l k0l k xi k y, gie l 0, N 1, k 0 jest licbą falową w próżi, l współcyikiem ałamaia aego ośroka, ora: u ˆ cos cos cos si si xˆ cos si cos si cos yˆ cos si ˆ. W regioie moulowaym ( 0 ), w każej warstw skłaowe styce pól elektrycego i magetycego mogą być apisae w postaci fal Floqueta Blocha: M 1 ( ) ( ) ( ) jk ˆ ˆ ˆ xi x k y y E S xi x S yi y S i e, im 1 1 (5.3) M 0 ( ) ( ) ( ) jk k ˆ ˆ ˆ xi x y y H j U xi x U yi y U i e, 0 im 1 gie U yi i S xi są ormaliowaymi amplituami i -tego ręu ugięcia pól w strukture, takimi że pola H, y i x E, spełiają rówaia Maxwella. Postawiając (5.3) o rówań Maxwella i elimiując skłaową E, otrymujemy ukła rówań różickowych pierwsego ręu, pry ałożeiu, że struktura jest jeowymiarowa [75]: U x k y I A U x, (5.4) S x k y I B E S x, ( ) ( ) ( ) 1 ( ) gie B K E K I ( ) ( ) ( ) k xi, A K E k 0 x x, x, () K jest macierą iagoalą o elemetach x () E jest macierą utworoą elemetów rowiięcia współcyików preikalości elektrycej aej warstwy w sereg Fouriera, w której elemet p, jest rówy p. Powyżsy ukła rówań jest rowiąyway popre obliceie wektorów i wartości własych wiąaych macierami k I A i k I B E aej warstwy. Harmoiki prestree pól E i H propagujące się w górę i w ół struktury są opisae worami: y y

61 5.1. Ścisła metoa fal sprężoych (RCWA) 61,,,, 1 ) ( ) (, 0 ) (,, ) (, 0 ) (,, ) (, 1, 1 ) ( ) (, 1 0 ) (, 1, ) (, 1 0 ) (, 1, ) (, 11, ) (, 1 ) ( ) (, 0 ) (,, ) (, 0 ) (,, ) (,, ) (, 1 ) ( ) (, 0 ) (,, ) (, 0 ) (,, ) (,, 1 ) ( ) (, 1 0 ) (, 1, ) (, 1 0 ) (, 1, ) (, 1, ) (, 1 ) ( ) (, 1 0 ) (, 1, ) (, 1 0 ) (, 1, ) (, 1, ) (, M m m q k m m q k m m i M m m q k m m q k m m i i y M m m q k m m q k m m i i x M m m q k m m q k m m i M m m q k m m q k m m i i y M m m q k m m q k m m i i x e c e c v e c e c v S e c e c w S e c e c v e c e c v U e c e c w U (5.5) gie m i w,, 1 i m i w,, są elemetami maciery wektorów własych ) ( 1 W i ) ( W, q,m 1 i q,m oatimi pierwiastkami elemetów iagoalej maciery wartości własych y A I k i y E B I k. m i v,, 11, m i v,, 1, m i v,, 1 i m i v,, są elemetami maciery: Q W A V , x y W K A k k V 1 0 1, 0 1 k k V y x W E K B ora Q W B V 1. Stałe m c,, 1, m c,, 1, m c,, i m c,, są iewiaomymi, które ostaą oblicoe po ałożeiu waruków bregowych a ukła rówań. W pierwsym sformułowaiu metoy RCWA ostał wykorystay algorytm maciery prejścia (Trasfer Matrix), aej także jako macier trasmisji. Wiąże o e sobą poscególe moy opowiaające kolejym ręom ugięcia, propagujące się w górę i w ół w każej warstw moami w pryległych warstwach struktury, co prowai o rekurecyjego woru a amplituy pól obitych i trasmitowaych pre strukturę:, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( c c I X V V W W c c X I V V W W (5.6)

62 6 5. Moelowaie umeryce 0 W W 0 1 c1 gie W, V V V, c 11 1 V V, atomiast maciere 1 c X 0 1 X awierają elemety wykłaice. 0 X Aby powiąać pola paające i wychoące warstwy goie algorytmem maciery roprasaia (Scatterig Matrix), ależy preformułować agaieie o ( ) postaci awierającej maciere ~ s la każej warstwy: 1 1 ( ) ( 1) ~ 0 W W W W X s. 1 ( ) ( 1) 1 (5.7) V V V V 0 X Amplituy pól roprosoych w pró i w tył pre strukturę wielowarstwową moża oblicyć ięki maciery roprasaia całego ukłau [77]: R 1, N 1 0 S, (5.8) T E ic ~ ( ) która jest wyikiem powiąaia e sobą poscególych maciery s la kolejych warstw: 1, N1 1 1 ~ N S s ~ N s... ~ s, gie oaca ilocy Reheffera [77]: A A 11 1 A A 1 B B 11 1 B B 1 1 I A1B1 A11 B1 B11A1I B1A1 1 1 B I A B A A I B A B (5.9) 1 B11 B. A1 A Algorytm maciery roprasaia wiąże e sobą pola paające a aą graicę polami wychoącymi iej. Powala a aleieie rowiąań la wsystkich pól wejściowych (także paających a strukturę obu stro jeoceśie), co oaca, że w prypaku obliceń wektorowych otrymujemy rowiąaia la polaryacji TE i TM jeoceśie. Jej iewątpliwą aletą jest fakt, że w prypaku, gy baay jest wpływ miay tylko jeej warstw struktury wielowarstwowej, algorytm S-matrix powala a aleieie całościowego rowiąaia ięki poowemu obliceiu maciery roprasaia opowiaającej tylko tej jeej warstwie. Ta właściwość jest scególie pryata w prypaku, gy istieje koiecość obliceia opowiei struktury a wielokrotą miaę parametrów tylko w jeej warstwie. Pomimo ieco gorsej wyajości, algorytm maciery roprasaia gwaratuje lepsą bieżość i wewętrą stabilość e wglęu a wykłaicy aik wyraów awierających grubość warstwy i opowieio uwglęioe oatie i ujeme wartości włase, w preciwieństwie o formalimu maciery T. Poieważ każa warstwa jest oblicaa bepośreio uwglęieiem pól paających (a ie pól

63 5.1. Ścisła metoa fal sprężoych (RCWA) 63 oblicoych la popreiej warstwy, jak to ma miejsce w prypaku algorytmu T- matrix), błęy umeryce ie arastają w miarę więksaia ilości warstw w strukture. Poato kostrukcja maciery roprasaia powala a ituicyją iterpretację fiycą jej ctery elemety moża iterpretować jako współcyiki trasmisji i obicia opowieio la fal paających a strukturę góry lub ołu Dyfrakcja wiąki optycej Prestawioą metoę aaliy yfrakcji fali płaskiej paającej po owolym kątem aymutalym i raialym a jeowymiarową strukturę perioycą moża roseryć a prypaek wiąek optycych o skońcoym prekroju i iejeoroym rokłaie amplituy i fay. Dowolą wiąkę optycą moża prestawić jako łożeie wielu fal płaskich o opowieich amplituach i faach propagujących się po opowieimi kątami aymutalymi i raialymi. Im więcej fal płaskich braych jest po uwagę w obliceiach, tym precyyjiej prybliżoa jest wiąka optyca. Wimo fali płaskiej jest pojeycym puktem w prestrei wektorów falowych. Każa fala płaska tworąca wiąkę propaguje się po ieco iymi kątami i, co oaca, że fale płaskie różią się mięy sobą wartościami skłaowych wektorów falowych k x i k y. Wspólie tworą oe więc skońcoe wimo 1,1 wiąki charakteryowae pre jej trasformatę Fouriera w prestrei wektorów falowych. W prypaku wiąki Gaussa wimo ma profil gaussowski. Wima wiąek Hermite'a-Gaussa (HG), ieależie o ręu, mają profil bliżoy o wiąki HG rosącymi oległościami mięy maksimami la wiąek o wyżsych ręach. Najprostsym prykłaem (i jeoceśie ajpowsechiej wykorystywaym w eksperymecie) wiąki optycej jest wiąka Gaussa geerowaa pre laser. W prestrei recywistej w ukłaie współręych x, y, wiąaym wiąką, w ogólości eliptyca bieżo-robieża wiąka Gaussa opisaa jest worem (4.38) [71]. ~ G k, k Z w prestrei spektralej moża uyskać Wimo wiąki Gaussa x y, ięki trasformacie Fouriera wiąki w prestrei recywistej w płascyźie Z 0 wiąaej graicą. Ze wglęu a charakter obliceń umerycych ora a fakt, że pole EM jest ropatrywae jako łożeie fal płaskich, w koie umerycym ostała astosowaa yskreta trasformata Fouriera [70]:

64 64 5. Moelowaie umeryce gie M y 1 M ~ 1 x 1 j,,,,,,0 k x m x k y m y x G k y X ky Z G x y e, (5.10) M M x x x x y x M x y M y x L M i y y Ly M y. Każa e spektralych skłaowych pola jk elektrycego wiąki pryjmuje postać fali płaskiej: E e. Kąty aymutaly, raialy i polaryacyjy la każej fali płaskiej wiąki spolaryowaej liiowo mogą być wyacoe astępujących worów [70]: k, m,,, cos,, ta, x m y k y m y m x m y a m m x y a k1 kx, m x ˆ ˆ (5.11) etm e, k mx my cosˆ ˆ, a e u, mx my TM eˆ eˆ TM, k mx my gie kˆ uˆ kˆ m, m ˆ x y em x, m y, kˆ uˆ kˆ kˆ k k, kˆ m, m y k m x, m y k m x, m. x (5.1) y, i trasmisji mx, my Ze staarowej metoy RCWA otrymujemy wektory obicia T m x m y, i R m x m y, i, la każej fali płaskiej o wymiare opowiaającym ilości ręów ugięcia i więtych po uwagę. Wypakowe pole elektryce obite i trasmitowae pre strukturę jest koheretą sumą wsystkich fal płaskich la wsystkich ręów ugięcia: M 1 M x 1 M y 1 R ~ E X, Y, Z G k, k R E T x, y, i M 1 M 1 M x 1 M y 1 ~ X, Y, Z Gk x,, k y, i M 1 mx M x my M y e m x M x m y M y e j k R x,, k,, y k mx i x y my i, m x, m y, i mx mx my T j T kx, m,,, y k x ix ky m y i, mx, my, i, my. mx, my, i m x, m y, i (5.13) W prypaku paaia ukośego ukła współręych wiąaych wiąką r x, y, ie pokrywa się ukłaem wiąaym graicą R X, Y, Z. Aby uyskać rokła pola bąź wimo w płascyźie R, ależy obrócić ukła współręych wiąaych wiąką:

65 5.. Moel feomeologicy 65 gie R R k R r, R R R k r, (5.14) cos 0 si cos si R, si cos 0 R. (5.15) si 0 cos Moel feomeologicy Moel feomeologicy powala a opasowaie krywych opisujących proste reoase o wykresów liiowych skomplikowaych struktur, co ułatwia aalię mieości moów, cyli ich presuięcie i posereie spektrale bąź miaę fay jako reultat miay któregoś parametrów opisujących strukturę [85]. Moel te opiera się a poiale spektrum a wie cęści. Na wolomiee tło, opowiaające reoasowi Fabry Perota w jeoroej warstwie o uśreioym współcyiku ałamaia ależym o cęstości, które opisuje proces trasmisji bepośreiej, ałożoe są wąskie spektralie reoase opowiaające reoasom prowaoym w warstwie, wiąae obiciem i trasmisją pośreią. Całkowita opowieź optyca struktury jest więc etermiowaa pre iterferecję obicia i trasmisji pośreiej ora bepośreiej. Tego typu oiaływaia, staowiące superpoycję stau yskretego o kstałcie fukcji Loreta kotiuum staów tworących tło, są wykle efiiowae jako reoase Fao [86]. Zarówo reflektacja jak i trasmitacja struktury opisae są a pomocą sumy wóch cyików [85]: R r r bg j a E e j j i j j i j, (5.16) T a j j t tbg, j E e j i j i j (5.17) gie r bg, t bg współcyiki la jeoroej warstwy TM eff, a j amplitua mou, j faa mou, Γ j połówkowa serokość spektrala mou (FWHM), E j poycja spektrala mou. Zaki i w rówaiu a reflektację opowiaają opowieio moom symetrycym i asymetrycym wiąaym oiaływa-

66 66 5. Moelowaie umeryce iem fali paającej i obitej. Poycja spektrala mou E j ora jego serokość spektrala Γ j są otrymywae eksperymetu bąź w procesie symulacji. W prypaku prostokątych siatek yfrakcyjych, współcyik jeoroej warstwy, bęącej prybliżeiem siatki w polu alekim, może być opisay worem (5.18) Efektywy współcyik ałamaia Opowieź struktury w polu alekim jest uależioa tylko o oiaływaia ręów ugięcia o charaktere propagacyjym. Pole bliskie aika w oległości ręu ługości fali o struktury. W polu alekim rokła pola wyikającego oiaływaia światła e strukturą perioycą jest taki sam jak w prypaku oiaływaia fali płaską jeoroą warstwą o uśreioym, efektywym współcyiku ałamaia. Uśreioy współcyik ałamaia powiie uwglęiać współcyiki ałamaia obu materiałów staowiących strukturę perioycą, ora ). Dla jej współcyik wypełieia f (cęść okresu ajmowaa pre metal fali płaskiej o polaryacji TM wyosi o [87]: TM 1 eff. f 1 f (5.18) Wartości efektywych współcyików la jeowymiarowej łotej siatki o wypełieiu f 0, 4Λ wypełioej powietrem ( 1) bąź ielektrykiem ( 1, 5 ) la fali o ługości 63,8 m wyosą: eff 1 1, 5 1,315 0,0008i,0115 0,0030i Prybliżeie to może być stosowae w polu bliskim tylko la struktur o perioycości acie miejsej o ługości fali, w których to warukach poscególe elemety siatki yfrakcyjej mają wymiary o wiele miejse o ługości fali pola paającego i struktura jest traktowaa jako warstwa jeoroa.

67 6 Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii Charakterystyki spektrale metalowych siatek są omiowae pree wsystkim pre aomalie Wooa i wbueia plamoowe. Mają oe komplemetare sygatury spektrale wioce w polu alekim w trasmisji i obiciu, a także acąco róże rokłay pól bliskich. Kiey a jeowymiarową siatkę yfrakcyją o okresie Λ paa fala płaska o cęstości po kątem, tworą się oatkowe ręy ugięcia obite i trasmitowae pre strukturę. Skłaowe wektorów falowych wyżsych ręów ugięcia w kieruku wektora siatki mają postać: k si c mk, gie m jest licbą całkowitą opisującą koleje ręy, K jest wektorem siatki w kieruku x. W prypaku paaia ormalego ( 0 ) pierwsy skłaik sumy jest rówy ero, co oaca, że oatkowe ręy ugięcia mają rówe co o moułu skłaowe wektorów falowych, a więc propagują się po tym samym, co o wartości bewglęej, kątem ugięcia wglęem ormalej o położa, ieależie o kstałtu siatki. Doatkowo, la symetrycej struktury, amplituy m ręów ugięcia są sobie rówe, co powouje brak wypakowego prepływu eergii w pobliżu powierchi e wglęu a powstaie fali stojącej. Jeokierukowe wbueie SPP a pomocą symetrycej struktury pry paaiu ormalym jest więc iemożliwe e wglęu a rówe siły spręgające plamoy propagujące się w preciwych kierukach. Aby otrymać wypakowy SPP propagujący się w jeym, pożąaym kieruku, moża astosować paaie ukośe ( 0 ) w celu łamaia symetrii ukłau. Jeak w wielu kofiguracjach ie jest to możliwe e wglęu a łożoość systemu optycego. W takiej sytuacji moża uyskać kierukowość propagacji pry achowaiu paaia ormalego popre wprowaeie asymetrii samej struktury, a której wbuae są i propagują się plamoy. Takie rowiąaie astosował N. Boo espołem [57], który aaliował wie asymetryce siatki alumiiowe (rys. 1.4). Jea jest pochyloą siatką prostokątą, a ruga ma kstałt pochyłej siatki siusoialej. Obie struktury efektywie prowaą plamoy w jeym kieruku, jeak każa ich jest ość tru- x

68 68 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii a w proukcji, własca w akresie optycym, gyż wymagaa jest wysoka okłaość p. pry achowaiu kąta achyleia. Proces proukcyjy obejmuje aparowaie wielu ciekich, presuiętych wglęem siebie warstw pry użyciu różych masek (które musą być baro precyyjie akłaae w każym kolejym procesie fotolitograficym) w celu prybliżeia ocekiwaego kstałtu siatki. W [88] apropoowaa ostała obiciowa asymetryca struktura wuwarstwowa optymaliowaa w celu uyskaia jeokierukowej propagacji eergii w pobliżu struktury. Popre maipulację asymetrycością struktury możliwe jest uyskaie miay kieruku propagacji eergii, która objawia się miaą aku uśreioego w casie lokalego wektora Poytiga. Struktura, skłaająca się wóch metalowych prostokątych siatek yfrakcyjych, może być wyproukowaa a pomocą staarowej fotolitografii (PL), elektroolitografii (EBL) lub ogiskowaej wiąki joów (FIB). W tej kofiguracji precyyja kotrola grubości warstw ie jest tak klucowa jak w prypaku pochyloych struktur, a proces proukcyjy o wiele sybsy, tańsy i łatwiejsy. W [88] prestawioe ostały wa sposoby prekierowaia eergii włuż metalowej asymetrycej wuwarstwowej siatki yfrakcyjej skłaającej się wóch siatek o prekroju prostokątym, ałożoych jea a rugą i presuiętych wglęem siebie. W pierwsym prypaku miaa kieruku prepływu eergii wiąaa jest poiomym presuięciem wglęym warstw struktury, atomiast w rugim prypaku jest oa spowoowaa pioowym presuięciem graicy ielektryka o wyżsym współcyiku ałamaia wypełiającego strukturę. Ze wglęu a fakt, że w [88] w procesie optymaliacji pryjęto ograiceie 1 ora f1 f, efekt wpływu wertykalej miay położeia graicy ielektryka może ie być ocywisty, gyż struktury różią się oatkowo presuięciem wglęym warstw. W poiżsych obliceiach ie akłaao arbitralie prytocoych ależości, co umożliwia jeoacą oceę wpływu wypełieia ielektrycego struktury a kieruek prepływu eergii włuż struktury (poroiał 6.5) Geometria agaieia Geometria struktury prestawioa jest a rys Fala płaska o ługości i polaryacji TM paa ormalie a jeowymiarową perioycą strukturę plaarą. Struktura ta skłaa się wóch metalowych prostokątych siatek yfrakcyjych o rówych okresach Λ i różych wypełieiach f 1 i f, presuiętych wglęem siebie o x mieroe pomięy śrokami elemetów metalowych obu warstw. Wysokości siatek wyosą opowieio 1 i. Siatki wypełioe są ielektrykami

69 6.. Optymaliacja struktury 69 o współcyikach ałamaia opowieio 4 (góra) i 5 (ola). Współcyiki ałamaia ośroka górego i położa wyosą 1 i 3. W całej iiejsej pracy stosowaa fukcja ielektryca łota wyacoa ostała a pomocą moelu Druego 1 pry ałożeiu astępujących parametrów: ,38 s, ,07 s [89]. p Rysuek 6.1. Schemat kofiguracji wuwarstwowej struktury perioycej wypełioej ielektrykami o różych, w ogólości, współcyikach ałamaia. Dokłaiejsa aalia wbuaych cąstkowych moów, ich wajemego oiaływaia, relacji yspersji i ich ależości spektralej o różych parametrów geometrycych i materiałowych ostaie preprowaoa w roiale 7. Obecie prestawioy ostaie wpływ mia presuięcia wajemego warstw ora mia położeia graicy ielektryka wypełiającego strukturę a jej całościową opowieź optycą, achowaie się i oiaływaie wbuaych moów. W celu obraowaia rokłau pola bliskiego, jak rówież prepływu eergii w pobliżu metalowej struktury, wykreśloe ostały rokłay ieerowych skłaowych pola EM o polaryacji TM ( E, H, E ) ora wartość wektora Poytiga x w płascyźie XZ wra aacoym strałkami kierukiem prepływu eergii. Uśreioy w casie wektor Poytiga a preetowaych w alsej cęści pracy wykresach powiie być roumiay jako całkowity, wypakowy prepływ eergii fali paającej ora fal obitej i ałamaej. 6.. Optymaliacja struktury W obliceiach ałożoo y 63,8 m (ługość fali lasera He Ne, la której moża prybliżeiem stosować moel Druego o wyaceia fukcji ielektrycej łota) ora współcyiki ałamaia ośroków górego i olego opowieio: 1 1 (powietre) i 3 1, 5 (położe). Poieważ w opisaej strukture x

70 70 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii istieje wiele parametrów, które ależy optymaliować ( Λ, x, 1,, f 1, f, 4, 5 ), proces optymaliacji preprowaoo kolejo la par parametrów ( Λ, x ), ( 1, ), ( f 1, f ), ( 4, 5 ) w posukiwaiu ajwięksych różic moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia pola magetycego H H R1 R1 wglęu a pryjętą kowecję, 1 rą opowiaa propagacji w prawo włuż struktury, 1 rą opowiaa propagacji w lewo. Posukiwao ukłau, w którym różice amplitu pryjmowałyby skraje wartości (oatie i ujeme) la jeakowych parametrów, wyjątkiem jeego: bąź presuięcia x (w prypaku asymetrii horyotalej) bąź wartości jeego lub obu współcyików ałamaia 4, 5 (w prypaku miay położeia graicy ielektryka). W każym prypaków celem było uyskaie wóch kofiguracji różiących się jeyie presuięciem warstw bąź położeiem graicy ielektryka wypełiającego strukturę, które prowaiłyby plamoy w wóch preciwych kierukach. Aalogice reultaty moża otrymać posukując maksymalych (oatiej i ujemej) wartości skłaowej S x wektora Poytiga tuż a strukturą i możliwie małych wartości skłaowej S w wóch charakterystycych puktach: a śrokiem paska metalu górej warstwy ora a śrokiem prerwy mięy paskami górej warstwy, co ostało weryfikowae la wartości m. Posukiwao ukłau, w którym skłaowe S x pryjmowałyby skraje wartości la jeakowych parametrów, wyjątkiem presuięcia x lub wartości jeego lub obu współcyików 4, 5, a jeoceśie skłaowe pioowe S były możliwie małe. Baro bliżoe wyiki potwierają fakt, że w aaliowaej strukture różica amplitu 1 i 1 obitego ręu jest skorelowaa wypakowym kierukiem prepływu eergii w polu bliskim poa strukturą, gyż amplituy wyżsych ręów są baro małe, a, e wglęu a paaie ormale, rą erowy ie powouje prepływu eergii włuż struktury. Założeia pryjęte pocas optymaliacji wiąae były parametrami geometrycymi struktury. Okres Λ powiie być miejsy o ługości fali paającej e wglęu a waruek yfrakcyjy Bragga i miimaliację strat eergii. W takim prypaku, la paaia ormalego, istieje tylko erowy obity rą ( m 0 ), a wsystkie wyżse ręy w powietru są aikające. Miimaliacja eergii obitej powouje, że możliwe jest efektywe prekierowaie eergii o aikającego 1 lub 1 ręu ugięcia i wbueie plamou a powierchi struktury. Zbyt mały lub byt uży okres w stosuku o ługości fali (w powietru) spowouje brak opasowaia pomięy aikającymi ręami yfrakcyjymi i strukturą, a więc iespełieie waruku a wektor falowy. Oaca to, że la aej struktury, awet. Ze

71 6.. Optymaliacja struktury 71 asymetrycej, akres ługości fali la których pojawia się efektywa kierukowość propagacji eergii jest ograicoy. Dla prypaku, gy eergia jest kierowaa w prawo włuż struktury, omiuje 1 rą (e wglęu a pryjętą kowecję w programie umerycym). W preciwym prypaku omiującym jest rą 1. Amplituy opowiaających im ręów ieomiujących (opowieio 1 i 1) ie są bliskie eru e wglęu a fakt, że struktura ie jest optymaliowaa w celu otrymaia jak ajwyżsej różicy amplitu i jak ajsiliejsej kierukowości prepływu eergii, ale w celu uyskaia możliwości maipulacji kierukiem propagacji ięki moyfikacji tylko jeego parametru struktury i uyskaie w każej sytuacji wypakowego wektora Poytiga o bliżoej amplituie i preciwym wrocie. W każym prypaku mamy o cyieia plamoami powstałymi e sprężeia główie 1 i 1 ręu ugięcia o różych amplituach. Doatkowo, w baro małym stopiu wbuoe iereoasowo istieją także plamoy wyżsych ręów o baro małych amplituach ora rą erowy. To róże siły sprężeia poscególych ręów ugięcia ecyują o wypakowym kieruku propagacji eergii pry powierchi. Kolejym istotym parametrem jest grubość warstw siatki. Zbyt gruba góra warstwa skutkuje słabsym sprężeiem plamoów olą warstwą i jej miejsym wpływem a prepływ eergii a strukturą, a w reultacie miejseiem wyajości ukierukowaia prepływu eergii. Dla ostatecie grubej górej warstwy pojawiają się plamoy a pioowych graicach metalu, które po obiciu o olej siatki tworą fale stojące i mogą spręgać się w górej warstwie pre scelię pomięy kolejymi paskami metalu. Tworące się wówcas wiry osobliwością pułapkują eergię i skutecie obiżają olość struktury o prowaeia eergii włuż powierchi. Z kolei byt małe grubości warstw umożliwiają trasmisję popre metal o położa są byt ciekie optycie, by skutecie wpływać a wyajość kierukowości. Zbyt mały współcyik wypełieia struktury f powouje wysoką bepośreią trasmisję o położa popre sceliy w strukture i miimaliuje sprężeie pomięy plamoami wbuoymi a sąsieich paskach. Zbyt serokie paski metalu (wysoki współcyik wypełieia) powouje tworeie się wirów w górym ośroku e wglęu a sile obicie i iterferecję falą paającą. Siatki prekrywają się, a struktura acya prypomiać pojeycą warstwę metalu wąskimi sceliami, która pry paaiu ormalym ie powouje ukierukowaia eergii.

72 7 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii 6.3. Struktury symetryce wglęem płascyy YZ Rysuki 6. i 6.3 prestawiają oiaływaie paającej ormalie fali płaskiej o polaryacji TM e strukturami symetrycymi wglęem płascyy YZ prostopałej o wektora falowego siatki, o wspólych parametrach: 4 1, 5 1, 5, 600m, 1 60 m, f1 f 0, 4Λ. Różica mięy preetowaymi strukturami awiera się w presuięciu wglęym x mięy górą i olą siatką yfrakcyją. Na rys. 6. wyosi oo x 0Λ, atomiast a rys. 6.3 jest rówe x 0, 5Λ, co powouje, że obie kofiguracje są symetryce wglęem płascyy YZ. Poobe rokłay pól uyskuje się la symetrycych struktur o poostałych możliwych ukłaach współcyików ałamaia la obu preetowaych presuięć warstw. Rysuek 6.. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E, H, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu x y symetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: 0, 60 m, f 0,4Λ, 1, 1, x 1 1 f W obu prypakach rokłay pól ora wektor Poytiga są symetryce. Na strukture paskowej powstają lokaliowae moy wiąae poscególymi elemetami metalowymi, które mogą się e sobą spręgać, gy oległości mięy sąsieimi paskami są relatywie małe. Na wykresach rokłau wektora Poytiga a strukturą wioce są wiry, w cetrach których aika prepływ eergii. Wiry te powstają w wyiku iterfere-

73 6.3. Struktury symetryce wglęem płascyy YZ 73 cji fali paającej obitą i ugiętą, a także powstającymi a powierchi plamoami. Ta estruktywa iterferecja powouje miejseie wartości wektora Poytiga. Poieważ struktura jest symetryca wglęem płascyy YZ, żae kieruków włuż osi X ie jest preferoway, amplituy m ręów ugięcia sprężoych e strukturą są rówe i brak jest wypakowego horyotalego prepływu eergii włuż struktury. Wiać jeoceśie relatywie użą trasmisję eergii o położa. Rysuek 6.3. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E, H, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu x y symetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: f1 f 0, 4Λ, 1, 1, x 0, 5Λ, 60 m, 1 W każym prypaków wiać sile wbueie symetrycych plamoów powierchiowych lokaliowaych a paskach metalu i ograicoych o ich bliskiego otoceia. Relacje yspersji są symetryce wglęem aku wektora falowego (rys. 6.4(a) i (b)), amplituy opowiaających sobie ręów m są rówe (rys. 6.4(c) i ()). Wskauje to a pełą symetrię opowiei struktury. Kofiguracja o presuięciu x 0 charakteryuje się siliejsą trasmisją bepośreią i miejsym obiciem e wglęu a miejsą powierchię prostopałą o wektora fali paającej, prekrywaą pre metal, co wiać a wykresie amplitu poscególych ręów trasmisji i obicia. Poato, o wiele miejsa absorpcja pry presuięciu x 0Λ wioca a wykresie yspersji, a więc miejse wbueie plamoów o charaktere propagacyjym, spowoowae jest więksymi oległościami pomięy metalowymi ele-

74 74 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii metami struktury. Oaca to miejse sprężeie pomięy plamoami a metalowych paskach w kolejych okresach. Presuięcie x 0. 5Λ la wypełieia f 1 f 0, 4 opowiaa serokości sceliy 60 m mięy sąsieimi paskami metalu w górej i olej warstwie, co powala a wajeme sprężeie moów i powstaie moów propagacyjych włuż osi x. W prypaku presuięcia x 0Λ, serokość sceliy wyosi 360 m. (a) (b) (c) () Rysuek 6.4. (a) i (b) Relacje yspersji asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: 1 60 m, f1 f 0, 4Λ, 4 1, 1, 5 5 ora (c) i () uormowae amplituy kolejych ręów ugięcia pola H la x 0Λ (lewa koluma) i x 0, 5Λ (prawa koluma) Asymetria horyotala struktury y Rokła pola w pobliżu struktury asymetrycej jest bariej skomplikoway iż w prypaku istieia symetrii. Co prawa, e wglęu a paaie ormale wyżse ręy ugięcia m, tak jak w prypaku struktury symetrycej, propagują się po kątami rówymi co o wartości bewglęej, ale siły sprężeia e m strukturą opowiaających sobie ręów oatich i ujemych są w ogólości róże, co oaca róże amplituy moów propagacyjych wbuaych pre ręy aikające.

75 6.4. Asymetria horyotala struktury 75 Ropatrmy wie kofiguracje o różych współcyikach ałamaia ielektryków wypełiających warstwy 4 1 (góra) i 5 1, 5 (ola). Graica pomięy ielektrykami (powietrem i położem) położoa jest więc a styku wóch siatek tworących wuwarstwową strukturę. Kofiguracje te różią się jeyie wielkością presuięcia metalowych siatek wglęem siebie opowieio x 0, 148Λ (rys. 6.5) i x 0, 35Λ (rys. 6.6). Poostałe parametry są wspóle la obu kofiguracji: Λ 619m, 1 51 m, 75m, f 1 0, 381Λ, f 0, 41Λ. Długość ic x paającej ormalie ( k 0 ) fali pobuającej wyosi 63,8 m. Rysuek 6.5. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E, H, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu x y asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: 1 51 m, 75 m, f 0, 381Λ 1, f 0, 41Λ 1, 1, 1, x 0, 148Λ, Λ 619 m, W każym prypaków wiać wyraźą asymetrię w rokłaie wektora Poytiga ora kierukowość prepływu eergii pry powierchi struktury. Prepływ eergii o położa jest mały, co, raem e miejsoą amplituą obicia, wskauje a wrost absorpcji struktury w pobliżu cęstości reoasu, co jest uwiocioe a rys. 6.7(a) i (b). Różica presuięć w obu kofiguracjach jest relatywie mała, miejsa iż połowa okresu (presuięcie więkse iż połowa okresu byłoby po prostu owróceiem symetrii agaieia). Mimo to, powouje baro wyraźe miay wpływu struktury a falę elektromagetycą w polu bliskim. Waruki reoasowe są róże a górej i olej graicy struktury e wglęu a róże współcyiki ałamaia ośroków powyżej i poiżej struktury. Więksy x

76 76 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii współcyik ałamaia położa powouje więkseie wektora falowego plamou wbuaego la tej samej cęstości, co mieia waruki opasowaia faowego. Pryjęte waruki geometryce i materiałowe powalają a wbueie SPP tylko a górej powierchi. Rysuek 6.6. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E, H, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu x y asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 619 m, 1 51 m, 75 m, f 0, 381Λ 1, f 0, 41Λ 1, 1, 1, 5 5. Wykresy a rys. 6.7 prestawiają relacje yspersji la obu prypaków, ora amplituy pola H la kilkuastu ręów ugięcia trasmisji i obicia. Wiać, że y ajwiękse amplituy mają 1 ręy ugięcia w wimie reflektacji, które w tej geometrii są ręami aikającymi (okres siatki jest miejsy o ługości fali w powietru) sprężoymi perioycą strukturą. ic Wysoka absorpcja a wykresie yspersji la erowego kąta paaia ( k x 0 ) la cęstości 0, 157 ( 63,8 m) opowiaa wbueiu plamoowemu p a metalowej siatce w powietru, cyli sprężeiu pola EM e wbueiami plamoowymi w metalu, co prowai o więksoej absorpcji. Wiać wyraźie olość struktur o wbuaia yspersyjych moów ależych o cęstości w cetrum strefy Brillouia, które a graicach strefy la wyżsych cęstości abierają charakteru bariej lokaliowaego. Krywe wykaują miejsą yspersję, poserają się i stają się miej strome, co powouje otwarcie prerw eergetycych. W miarę więksaia ługości fali reoase te abierają charakteru propaga- 4

77 6.4. Asymetria horyotala struktury 77 cyjego, jeoceśie miejsając swoją serokość spektralą. Tak więc jawiska achoące w polu bliskim a metalowej siatce yfrakcyjej ajują swoje owiercieleie w opowiei optycej struktury. (a) (b) (c) () Rysuek 6.7. (a) i (b) Relacje yspersji asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: Λ 619 m, 51 1 m, 75 m, f 0, 381Λ 1, f 0, 41Λ 1, 1 4, 1,5 5 ora (c) i () uormowae amplituy kolejych ręów ugięcia pola H y la x 0, 148Λ (lewa koluma) i x 0, 35Λ (prawa koluma). Moża powieieć, że struktura ta achowuje się w prybliżeiu jak pochyloa siatka metalowa (rys. 1.4) tą różicą, że skłaa się jeyie wóch presuiętych wglęem siebie prostokątych metalowych siatek yfrakcyjych wypełioych w opowiei sposób ielektrykiem, ora że jako położe służy ielektryk (co oaca, że siatka jest ieciągła). Dla presuięcia x 0, 148Λ struktura jest bariej głaka i achowuje się goie prewiywaiami eergia propaguje się po bocu każego wuwarstwowych elemetów, sprężeie warukujące kierukowość astępuje pomięy górym i olym paskiem w tym samym okresie (rys. 6.8(a)). Natomiast la presuięcia 0, 35 sytuacja ulega miaie. Wektor Poytiga skieroway jest w preciwą stroę, iejako preciwie o ituicyjego kieruku, potwierając sprężeie pomięy górym i olym paskiem metalu wóch sąsieich okresów perioycości (rys. 6.8(b)). Samo presuięcie x

78 78 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii x 0. 35Λ ie wystarcyłoby o miay kieruku propagacji eergii, jeak w połąceiu kotrastem ielektrycym w strukture umożliwia miaę waruków wbueia plamoów i uyskaie miay kieruku propagacji. (a) (b) Rysuek 6.8. Schemat aaliy struktury jako pochyloej siatki o ciągłym profilu, (a) x 0, 148Λ, (b) x 0, 35Λ. Cerwoe strałki pokaują kieruek prepływu eergii a strukturą. Więksą różoroość moów wbuaych a siatce o więksym presuięciu potwierają także wykresy relacji yspersji (rys. 6.7(a) i (b)). Dyspersja la prypaku b) wykauje więksą różoroość jawisk: obecość moów wiąaych propagacją w obu kierukach a graicach obu ielektryków. Pry tym wmocieie moów propagujących się w lewo kostem tłumieia preciwych jest miej wyraźe, co wiać także a wykresach amplitu poscególych ręów ugięcia Wpływ pioowego presuięcia graicy ielektryka Zmiaę kieruku prepływu eergii poa asymetrycą strukturą moża uyskać także ięki maipulacji współcyikami ałamaia ielektryków w otoceiu siatki, a precyyjiej ięki miaie wysokości położeia graicy ielektryka o współcyiku ałamaia położa wglęem struktury. W pierwsym prypaku struktura wypełioa jest w całości ielektrykiem o współcyiku więksym iż powietre 1, 5 (rys. 6.9). W rugim prypaku graica pomięy powietrem a ielektrykiem prebiega pomięy siatkami 4 1, 5 1, 5 (rys. 6.10). W obu prypakach presuięcie poiome warstw wglęem siebie jest stałe x 0. 35Λ, okres wyosi Λ 64m, wysokości: 1 46m, 70m, współcyiki wypełieia: f 1 0, 37 Λ, f 0, 443Λ. ic x Długość paającej ormalie ( k 0 ) fali płaskiej wyosi 63,8 m.

79 6.5. Wpływ pioowego presuięcia graicy ielektryka 79 Rysuek 6.9. Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E, H, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu x y asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 64 m, 1 46 m, 70 m, f 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 1, Rysuek Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektromagetycego: E, H, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S x y w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: 46 m, 70 m, f 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 1, 1, x 0, 35Λ, Λ 64 m, Więksość eergii propaguje się włuż powierchi struktury. Zabureia rokłau pól powyżej struktury są relatywie małe i prepływ eergii ie jest acąco

80 80 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii aburoy. Pojawia się sily efekt kierukowy i asymetria w rokłaie pól. W tym prypaku miaa kierukowości jest spowoowaa pioowym presuięciem graicy ielektryka o wyżsym współcyiku ałamaia wypełiającego strukturę, a ie presuięciem poiomym warstw wglęem siebie. Porówując strukturę w całości wypełioą ielektrykiem (rys. 6.9) pochyloą siatką prostokątą opisaą w [57] (rys. 1.4) wiać, że kieruek propagacji eergii w pobliżu aostruktury w obu prypakach jest taki sam preciwy o kieruku achyleia siatki. Eergia spływa po bocu struktury. Poobie miało to miejsce w prypaku struktury o presuięciu x 0, 148Λ i graicy ielektryka pomięy warstwami (rys. 6.5). Natomiast obiżeie graicy ielektryka (rys. 6.10), mieia kieruek propagacji eergii o 180 (aalogicie o sytuacji a rys. 6.6). (a) (b) (c) () Rysuek (a) i (b) Relacje yspersji asymetrycej wuwarstwowej struktury o presuięciu x 0, 35Λ i parametrach: Λ 64 m, 46 1 m, 70 m, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, ora (c) i () uormowae amplituy kolejych ręów ugięcia pola H y la 4 5 1, 5 (lewa koluma) i 4 1, 1, 5 5 (prawa koluma). Poobie jak la prypaku asymetrii horyotalej, amplituy ręów ieomiujących ie są bliskie eru e wglęu a fakt, że struktura ie jest optymaliowaa w celu uyskaia jak ajwyżsego stosuku amplitu i jak ajsiliejsej kierukowości prepływu eergii, ale w celu miay kieruku propagacji pry moyfikacji tylko jeego parametru struktury.

81 6.6. Stała propagacji 81 Poobie jak w popreim prypaku, wysoka absorpcja la k x 0 i 0, 157 opowiaa wbueiu plamoowemu a metalowej siatce p w powietru, cyli sprężeiu pola EM moami plamoowymi w metalu. Tutaj także moża aobserwować wbueie yspersyjych moów ależych o cęstości w cetrum strefy Brillouia, które a graicach strefy la wyżsych cęstości abierają charakteru bariej lokaliowaego. Krywe wykaują miejsą yspersję, poserają się i miejsa się ich kąt achyleia, co powouje otwarcie prerw eergetycych. Bariej lokalioway charakter, arówo w cetrum strefy jak i a jej graicach, mają moy a rys. 6.11(a), cyli w prypaku, gy struktura jest w całości auroa w ielektryku. Może się to wiąać miejsą ługością fali w ielektryku, la której oległości mięy elemetami jak i okres struktury jest relatywie więksy iż w prypaku struktury wypełioej cęściowo powietrem Stała propagacji Licba falowa la plamou propagującego się po głakiej graicy metalu może być oblicoa aalitycie bepośreio rówań Maxwella (4.4). Stała propagacji SPP la bariej skomplikowaych prypaków może być wyacoa umerycie popre rowiąaie agaieia jeoroego pry wykorystaiu maciery roprasaia [90]. Efektywy współcyik jest efiioway jako stała propagacji plamou ormaliowaa o licby falowej fali paającej. W prypaku asymetrii horyotalej la propagacji w prawo, współcyik te wyosi: 1,0374 0,0139i, atomiast la propagacji w lewo: 1,073 0,0318i Im więksa cęść recywista stałej propagacji, tym SPP pryjmuje bariej lokalioway charakter. Zachowuje się wtey racej jak plamo iż jak swoboy foto. Miejsa cęść recywista w prypaku presuięcia x 0, 35Λ oaca bariej propagacyjy charakter SPP w porówaiu prypakiem, gy x 0, 148Λ, kiey to siatka pokrywa miejsą powierchię. Więkse ostępy pomięy elemetami powoują, że plamoy są bariej lokaliowae a poscególych paskach metalu iż la więksego presuięcia, gy siatka prypomia strukturę ciągłą. Z kolei urojoa cęść efektywego współcyika określa straty propagacyje. Nie iwi, że plamo wiąay e strukturą o presuięciu x 0, 148Λ ma łużsą rogę propagacji, gyż w pobliżu tej struktury eergia prepływa bariej płyie, be awirowań i iekstałceń i jakby spływa w kieruku achyleia. W preciwym prypaku eergia jest prowaoa iegoie ituicją po górę, apotykając więcej preskó, stą więkse straty. Doatkowo, więkse wartości mogą być wyikiem istieia ostrych bregów i rogów metalu, które wykle powoują powstawaie lokalych błęów umeryc- ic

82 8 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii ych. W obu prypakach propagacja plamou jest aburaa siliej, iż byłaby a strukture o profilu opisywaym jeą wartością w rowiięciu Fouriera (cyli strukture o profilu siusoialym), e wglęu a ostre bregi i graice metalu, co skutkuje miejseiem prękości faowej. Ostre bregi więksają wypręgięcie SPP i straty omowe pocas propagacji, co prycyia się o wrostu strat i wrostu cęści urojoej współcyika [57]. Zając licbę falową plamou, moża oblicyć ługość rogi propagacji, a której amplitua pola aika o wartości 1 e. W prypaku presuięcia horyotalego rogi te wyosą opowieio: L 3,6μm ora L 1,58μm. SPP SPP Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury Toleracja miay kierukowości i amplitu plamoów propagujących się włuż struktury w preciwych kierukach a miay parametrów geometrycych i materiałowych struktury aaliowaa jest w iiejsym poroiale la prypaku asymetrii wertykalej. Dla tego typu struktur moża wyacyć ależość kierukowości o parametrów geometrycych i materiałowych. Celem jest aalia ależości różicy amplitu 1 i 1 ręu ugięcia o miay wartości jeego parametru, pry achowaiu stałych wartości wsystkich poostałych parametrów. Powoli to a osacowaie toleracji struktury i achowaia jej fukcji miay kierukowości pry miaach wartości poscególych parametrów. Na kolejych wykresach prestawioe są różice moułów amplitu 1 i 1 H H obitego ręu ugięcia pola magetycego R. Rą 1 opowiaa R1 1 propagacji w prawo włuż struktury w kieruku x, 1 rą opowiaa propagacji w lewo, w kieruku x. Z wyjątkiem ależości o współcyika ałamaia, krywe wykreśloe są la wóch kofiguracji opowiaających asymetrii wertykalej, które różią się mięy sobą jeyie współcyikiem ałamaia ielektryka 4 wypełiającego górą warstwę. W prypaku kofiguracji optymaliowaej tak, by eergia propagowała się włuż struktury w prawą stroę, współcyiki ałamaia wyosą 1, 5, w preciwym prypaku: 1. Po H H R 1 R1 4 1 ieważ krywe opowiaają różicy, ajefektywiejsa propagacja w prawo występuje w oatim maksimum krywej, atomiast ajefektywiejsa propagacja w lewo w ujemym miimum aej krywej. Iteresujące więc la możliwości miay kierukowości popre maipulację współcyikiem ałama-

83 6.7. Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury 83 ia wypełieia górej warstwy są akresy, w których oba ekstrema w różych kofiguracjach pokrywają się. W każym prypaków miaie ulega tylko jee parametrów, resta achowuje stałe wartości, co powala a aalię wpływu jeego kokretego parametru a achowaie się struktury jako całości. Aby więksyć atężeie plamou propagującego się włuż struktury, trasmisja powia być jak ajmiejsa. Poieważ położe ma iy współcyik ałamaia iż ośroek góry, a olej graicy kofiguracji o parametrach Λ 64m, 63,8 m plamoy ie ostają wbuoe e wglęu a ieopasowaie faowe. Tak więc stosuek amplitu ręów T 1 ora T 1 ie jest istoty ważiejse jest jeocese achowaie jak ajmiejsych amplitu trasmisji. Poieważ wysoka trasmisja występuje jeyie la Λ 41m e wglęu a wbueie plamoów a olej krawęi siatki (opasowaie okresu o ługości fali w ielektryku 3 1, 5 ), wykresy amplitu ręów trasmisyjych ostały pomiięte, gyż ie wpływają acąco a opowieź struktury. Zamiast ilorau amplitu opowieich ręów ugięcia, aaliowae są ich różice. Powoem jest chęć uikięcia baro wysokich wartości iloraów, ie prekłaających się a recywiste amplituy plamoów wbuaych a strukture, w miejscach, w których amplitua ręu w miaowiku jest bliska era. Rą w liciku może mieć baro małą amplituę, ale ieloy pre licbę bliską eru a aspoiewaie wysoki ilora, ie wiąay recywistą opowieią struktury Zależoś o współcyika ałamaia Wrost współcyika ałamaia ośroka prylegającego o metalu więksa wektor falowy plamou wbuoego a ich graicy. W prypaku stałej wartości wektora falowego, astępuje miejseie cęstości reoasowej w ielektryku o wyżsym współcyiku ałamaia. Rysuek 6.1 prestawia ależość różic amplitu pola magetycego obitych ręów R R o wartości współcyika ałamaia H H wypełiającego Δ 1 1 strukturę o różych wysokości. Zacące miimum la struktury graicą ielektryka pomięy warstwami ( 1, 5, 1, cerwoa liia) la wartości, 9 opowiaa a wysoką amplituę plamou porusającego się w lewo. Jeak la tej samej wartości współcyika ałamaia la struktur wypełioych ielektrykiem w poostałych kofiguracjach, różica amplitu także jest ujema, co oaca, że wsystkie struktury kierują eergię w lewą stroę i la, 9 ie a się uyskać efektu miay kie-

84 84 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii ruku w tych kofiguracjach. Optymala miaa kierukowości astępuje la 1,5 la struktur 4 5 1, 5 i 4 1, 5 1, 5. Ropatrując kofiguracje położem o wyżsym współcyiku ałamaia iż powietre (liie ciągłe), miaę kieruku propagacji eergii moża otrymać także la 1, 95 la jeej struktury w całości wypełioej powietrem (graatowa liia) a rugiej wypełioej ielektrykiem 4 5 1, 5 (ciemoieloa liia). Jeakże w rugim wymieioych prypaków ( 1, 95) akres toleracji jest o wiele miejsy e wglęu a lekkie presuięcie obu ekstremów wglęem siebie. Możliwe, że bariej precyyja miaa wysokości graicy ielektryka powoli a okłaiejse opasowaie położeia ekstremów w obu kofiguracjach i ich wajeme opasowaie. Rysuek 6.1. Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia Δ w ależości o współcyika ałamaia wypełiającego strukturę. Ciągłe liie: struktury a położu 3 1, kreskowae liie: struktury a położu 1. Parametry siatki: Λ 64 m, 46 1 m, 70 m, f 0, 37Λ, f 0, 443Λ. 1 3 Struktura wypełioa w całości ielektrykiem la, 1 osiąga pukt, w którym e struktury geeralie prowaącej eergię w prawo ( Δ 0 ), prekstałca się w strukturę prowaącą eergię w lewo ( Δ 0 ). Tego typu achowaia ie wykaują poostałe wie struktury a położu ielektrycym (cerwoa i graatowa liia). Obie, ieależie o współcyika ielektryka w olej warstwie 5, pry ałożoym presuięciu x 0, 35 kierują eergię tylko w lewo ( Δ 0 ). Nie ma akresu wartości, la których astępowałaby miaa kieruku propagacji eergii. Struktury, które w górej warstwie wypełioe są powietrem, ieależie o współcyika ałamaia położa, w asaie ie wykaują miay kierukowości (poa strukturą 4 1, 5, 3 1 (błękita liia), la, 8 ). Tak więc,

85 6.7. Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury 85 pry relatywie użych presuięciach warstw ( x 0, 35Λ ), współcyik ałamaia położa ogrywa miejsą rolę w ywersyfikacji opowiei struktury iż współcyik ałamaia ielektryka wypełiającego górą warstwę. Doatkowo, struktura całkowicie otocoa powietrem praktycie ie powouje prepływu eergii w żaym kieruków. Różica jej amplitu (ie pokaaa a wykresie) ie ależy ocywiście o i wyosi Δ 0, 04. Oaca to, że presuięcie x 0, 35Λ jest już byt uże, by uyskać ituicyjy kieruek propagacji eergii po bocu metalowej struktury preciwie o kieruku jej achyleia i struktura achowuje się prawie jak struktura symetryca, jeśli choi o prekierowaie eergii Zależoś o grubości warstw Grubość górej warstwy warukuje siłę spręgaia promieiowaia każą warstw. Zbyt gruba góra warstwa powouje pułapkowaie eergii mięy metalowymi elemetami, tworeie się wirów miimum atężeia pola w cetrum i brak możliwości realiacji relatywie głakiego prepływu eergii a powierchią struktury. Zbyt cieka, kolei, ie obija wystarcająco silie promieiowaia, by umożliwić ukierukowaie eergii. Rysuek Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o grubości górej siatki 1. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach 1,5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1, 5, 1, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 70 m. Wartość 1 ma acący wpływ a Δ w obu strukturach. Wra e wrostem grubości górej warstwy, różica amplitu w kilku puktach osiąga 0, co oaca

86 86 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii symetrycy rokła wektora Poytiga poa strukturą wglęem płascyy YZ i brak wypakowego prepływu eergii włuż struktury. Dalse więkseie grubości górej warstwy powouje owróceie kieruku propagacji eergii la tych samych kofiguracji. Obie struktury wykaują wielokrotą miaę kierukowości w ależości o grubości górej warstwy. Oaca to, że w każej kofiguracji istieją takie wartości grubości górej warstwy, la których astępuje miaa kieruku propagacji eergii pry powierchi be miay któregokolwiek poostałych parametrów. Tak więc grubość górej warstwy jest kolejym parametrem, opróc presuięcia cy współcyika ałamaia ielektryka, którego miaa może spowoować owróceie kieruku propagacji eergii pry powierchi Rysuek Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o grubości olej siatki. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach 1, 5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1, 5, 1, la optymali owaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 46 m 1. Maksymala amplitua plamou porusającego się w lewo otrymywaa jest la wysokości górej warstwy 1 55 m, jeak mootoicy spaek różicy amplitu w kofiguracji umożliwiającej propagację eergii w prawo powouje, że rówe co o moułu różice amplitu w obu kofiguracjach otrymywae są la 1 46m. W miarę więksaia grubości górej warstwy, struktury prestają wykaywać preciwą kierukowość. Ekstrema la jeej kofiguracji acyają pokrywać się wartością Δ bliską eru la rugiej, latego iteresującym obsarem są akresy relatywie małych grubości. 1

87 6.7. Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury 87 Z iego puktu wieia miejseie współcyika ałamaia ielektryka w górej warstwie 4 1, 5 o 4 1 powouje presuięcie pierwsego puktu prejściowego 1 10 m o 1 30 m. Zmiejseie współcyika 4 wpływa a ługość fali i waruki reoasowe a górej krawęi metalu, a więc i a różicę amplitu plamoów, co skutkuje miaą opowiei struktury. (a) (b) x Rysuek Uormowae amplituy ieerowych skłaowych pola elektrycego: E, E ora wartość i kieruek wypakowego wektora Poytiga S w pobliżu asymetrycej wuwarstwowej struktury o parametrach: x 0, 35Λ, Λ 64 m, 46 1 m, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 1, ora (a) 400 m, (b) 501 m. Skale kolorów a opowiaających sobie wykresach w obu prypakach są takie same. Tego typu ależości ie ma la mieej grubości olej warstwy (rys. 6.14). Owrotie iż popreio, wysokość olej warstwy ie ma żaego wpływu a miaę kieruku propagacji eergii, ma jeak wpływ a amplituę wypakowego mou. Wiać wyraźie perioycą ależość o okresie ~ 17m amplituy plamou o grubości olej warstwy w obu kofiguracjach. Jest to wartość baro bliżoa o połowy ługości fali w olym ielektryku ( 11m). Dieje 1.5 się tak latego, że maksymale wypakowe amplituy plamoów osiągae są w prypaku, gy a pioowych krawęiach olej siatki powstają moy wękowe. Dola siatka iała więc jako ukła pioowych sceli umożliwiających powstawaie moów wękowych w otwartych aowękach, które, obijając się o olej krawęi siatki, tworą falę stojącą. Wajeme presuięcie faowe plamoów o ręach 1 i 1 obitych o struktury i wchoących w iterakcję

88 88 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii moami wękowymi powouje perioycą ależość amplituy wektora Poytiga o okresie opowiaającym wielokrotości połowy ługości fali w ielektryku. Pomimo więksoej trasmisji w strukture opasowaą ługością węki, bęącej wyikiem istieia moów wękowych, kofiguracja ta charakteryuje się wyżsą wartością Δ, cyli lepsą kierukowością prepływu eergii. Rysuek 6.15 prestawia rokłay obu skłaowych pola elektrycego ora amplituę i kieruek wektora Poytiga la struktury o parametrach 4 1, 5 1,5 la wóch wartości opowiaających miimalej ( 400 m ) i maksymalej ( 501 m ) wartości Δ. Wajeme presuięcie ekstremów obu kofiguracji o ~ 38m jest prawopoobie spowoowae różicą wartości współcyika wypełieia górej warstwy o grubości 46 m, która mieia ieco ługość węki reoasowej. Wpływ grubości olej warstwy a amplituę plamou porusającego się w prawo la kofiguracji 4 5 1, 5 wykauje miejse abureia, własca la 800 m. Potwiera to iterpretację, że eergia spływa po bocu siatki w preciwym kieruku o jej achyleia i proces te w miejsym stopiu ależy o grubości olej warstwy powyżej głębokości wikaia pola w metal. Dla miejsych grubości, pole ie jest wystarcająco silie obijae o warstwy metalu, może się pre ią trasmitować i w reultacie miejsa się oiaływaie pola EM olą strukturą i jej olość o ukierukowaia prepływu eergii. Dlatego też obie krywe ążą o era wra e miejsającą się grubością olej warstwy Zależoś o okresu i ługości fali Okres jest parametrem wymagającym baro okłaego opasowaia, gyż warukuje opasowaie faowe i kąt propagacji poscególych ręów ugięcia wglęem powierchi struktury. Rysuek 6.16 prestawia ależość Δ o okresu obu struktur, pry achowaiu wartości poostałych parametrów, w scególości ługości fali 63,8 m. Co ciekawe, praktycie w całym akresie wartości okresu pomięy 00 m a 1000 m kofiguracja optymaliowaa tak, by prowaiła plamoy w lewo, kieruje eergię w preciwą stroę. Natomiast kofiguracja preciwa w więksym akresie powouje propagację w prawo. Istieje akres wartości okresu Λ m, w którym obie struktury owracają swoje iałaie i prekierowują eergię w owrotą stroę iż wyikałoby to procesu optymaliacji. Iteresujący akres, w którym różice amplitu la obu kofiguracji są wysokie i preciwe, jest baro wąski. Optymalą wartością, aacoą pioową liią a wykresie, jest Λ 64m. Okres a scęście jest parametrem łatwym o kotro-

89 6.7. Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury 89 lowaia pocas procesu litograficego, gyż okresowość struktury jest wyacaa pre okresowość maski i w baro obrym stopiu może być achowaa, awet jeśli współcyik wypełieia struktury różi się o akłaaego (co ma wiąek pioowością krawęi trawieie może powoować powstawaie wklęsłych ściaek, co miejsa współcyik wypełieia struktury, własca la grubych siatek) Rysuek Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o okresu struktury. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach 1,5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1, 5, 1, la optymaliowa ych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 46 m, 70 m. Zmiey okres pry stałych współcyikach wypełieia oaca miaę recywistego wymiaru 1 poprecego pasków metalu i sceli mięy imi. Koleje ekstrema są wiąae opasowaiem faowym cora to wyżsych ręów ugięcia w obu ielektrykach. Wrost okresu wiąże się e miejseiem pierwsej strefy Brillouia. Na wykresie prestawioy jest akres opowiaający opasowaiu 1 i ręu la położa (skraje) ora 1 ręu la powietra (w cetrum). Dla okresu miejsego o Λ 4m struktura jest pre falę o ługości 63,8 m traktowaa w prybliżeiu jako jeoroa. Dla obu kofiguracji różice amplitu plamoów propagujących się w preciwych kierukach są rówe ero, co oaca, że struktura taka jest praktycie jeoroą warstwą. Wartość ta opowiaa ługości fali paającej w ośroku ielektrycym o współcyiku ałamaia 1, 5.

90 90 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii Rysuek Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o ługości fali paającej a strukturę. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach 1,5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1, 5, 1, la optymaliowa ych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ, f 0, 443Λ, 46 m, 70 m. 1 Poobie jak w prypaku okresu, tak i akres ługości fali, la którego aa struktura powala a miaę kieruku propagacji eergii, jest baro wąski (rys. 6.17). Duża różica amplitu la obu kofiguracji występuje w baro wąskim akresie ( maksimum oacoym pioową prerywaą liią). Jeocese owróceie iałaia obu kofiguracji astępuje la wóch główych akresów: m ora m, jeak różice amplitu są miejse iż la 63,8 m i ie jest to optymaly ukła Zależoś o współcyika wypełieia 1 Rysuki 6.18 i 6.19 prestawiają opowieio ależość Δ o współcyika wypełieia górej i olej siatki. Wpływ wypełieia f 1 górej warstwy la struktury wypełioej ielektrykiem o połowy (cerwoa liia) moża poielić a wa akresy: poiżej i powyżej wartości f Dla miejsych wypełień struktura efektywie prowai plamoy w lewą stroę, atomiast la wyżsych wartości wypełieia różica amplitu jest praktycie rówa ero. W prypaku struktury całkowicie wypełioej ielektrykiem akres kierowaia plamoów w prawo końcy się la więksych wypełień, ok. f1 0, 7Λ, miimum la f 1 0, 3 Λ.

91 6.7. Toleracja kierukowości a miay parametrów struktury 91 Rysuek Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o współcyika wypełieia górej warstwy f 1. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach 1, 5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1, 5, 1, la 3 5 optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 0, 443Λ 46 m 1 70 m 4 Rysuek Różica moułów amplitu 1 i 1 obitego ręu ugięcia w ależości o współcyika wypełieia olej warstwy f. Zieloa ciągła liia: struktura o współcyikach 1, 5, la optymaliowaych parametrów kierująca eergię w prawo, cerwoa prerywaa liia: struktura o współcyikach 1, 5, 1, la 3 5 optymaliowaych parametrów kierująca eergię w lewo. Poostałe parametry są stałe la obu kofiguracji: 63,8 m, Λ 64 m, x 0, 35Λ, f 1 0, 37Λ 46 m 1 70 m Wypełieie olej warstwy także acąco wpływa a iałaie obu struktur. W kofiguracji 4 1, 5 1, 5 powala a owróceie kieruku prepływu eergii pry wartości f 0, 3Λ. Kofiguracja 4 5 1, 5 ie powala a miaę kie- 4

92 9 6. Wpływ asymetrii struktury a kieruek propagacji eergii ruku propagacji eergii la żaej wartości współcyika wypełieia olej warstwy. Co ciekawe, jeyie kofiguracja 4 1, 5 1, 5 umożliwia miaę kierukowości uwarukowaą miaą współcyika wypełieia, i to także tylko la olej warstwy. Kofiguracja 4 5 1, 5 w asaie la żaej wartości f i 1 f ie powala a propagację w lewo Wioski Prestawioa prosta wuwarstwowa struktura, łożoa wóch jeowymiarowych metalowych siatek yfrakcyjych o prekroju prostokątym, auroa w ielektryku o wyżsym współcyiku ałamaia, może być wykorystaa o kotroli achowaia się pola EM w pobliżu struktury. Opowiei obór parametrów geometrycych i materiałowych struktury umożliwia wybór jeego wóch kieruków propagacji eergii w polu bliskim. Prestawioy problem aalioway jest w wyiealiowaej geometrii struktura jest ieskońcoa, pole pobuające pryjmuje postać fali płaskiej. Jeak awet ta wyiealiowaa geometria powala a ietyfikację ciekawego jawiska. Okauje się, że awet iewielka miaa presuięcia poiomego warstw bąź miaa kotrastu współcyika ałamaia wypełiającego siatkę powala a prekierowaie więksości eergii o 1 lub 1 ręu ugięcia i etermiację kieruku jej prepływu. W ależości o kofiguracji istieją także ie parametry, których miaa może powoować miaę kieruku propagacji wypakowego plamou włuż struktury, p. grubość górej warstwy, współcyik ałamaia wypełieia ielektrycego, okres, współcyik wypełieia olej warstwy. Wsystkie te parametry wpływają a waruki propagacji plamoów w obu kierukach, a więc a ich amplituy. Powala to a miaę kieruku prepływu eergii pry baro małej miaie któregoś w parametrów geometrycych bąź materiałowych struktury. Co więcej, także maipulacja ługością fali paającej prowai o wyraźych mia kierukowości a tej samej strukture pry achowaiu paaia ormalego. Zlokaliowae plamoy powstające a siatce o presuięciu 0, w miarę więksaia presuięcia wglęego warstw abierają charakteru propagacyjego, co moża aobserwować a wykresie skłaowej pola elektrycego prostopałej o kieruku propagacji ( E ). Zaletą opisaej kofiguracji jest łatwość jej proukcji. Zastosowaie fotolitografii bąź ogiskowaej wiąki joów powala a sybkie i relatywie taie wykoaie poobych struktur. Doatkowo, fotolitografia jest procesem symultaicym, x

93 6.8. Wioski 93 który umożliwia jeocese wytrawieie użej ilości jeakowych struktur pocas jeego procesu. Prestawioa geometria może aleźć wiele różych astosowań w fotoice. Może służyć p. jako optyce urąeie o kotroli prepływu eergii elektromagetycej. Zachowując alety paaia ormalego, stwara możliwość maipulacji kierukiem propagacji eergii. Tego typu struktury mogą być cęścią projektowaych prełącików optycych, spręgacy kierukowych, falowoów plamoowych. Poobe struktury, po alsej optymaliacji, mogą służyć jako kocetratory optyce (light harvestig structures). Dięki łamaiu symetrii siatki popre stworeie sceliy miejsej o ługości fali pomięy wiema asymetrycymi siatkami o owrócoej symetrii ora opowieim opasowaiu różicy fa SPP propagujących się obu stro w stroę sceliy, moża otrymać silą kocetrację promieiowaia w cetrum struktury. Tego typu struktury mogą być aparowae a fotoetektor i służyć o więkseia jego cułości a sygał optycy popre skupieie światła więksego obsaru a elemecie etekcyjym o małych wymiarach, które apewiają iski poiom sumów. Doatkową aletą struktury łożoej metalowych pasków auroych w ielektryku jest fakt, że pole EM jest silie ograicoe o bliskiego otoceia metalowej siatki, co wyika aaliy skłaowych pola E i H. Sile wmocieie pola w bliskim otoceiu pasków metalu powala a optycą wiualiację awet baro elikatych (biologicych) aoobiektów w roielcości lepsej iż roielcość określoa pre kryterium yfrakcji Rayleigha, także w śroowisku woym ( 1. 33). Doatkowo, asorpcja molekuły a powierchi siatki HO mieia współcyik ałamaia ośroka i, tym samym, waruki wbueia plamou, co powouje, że iewykle cułe a miaę waruków ewętrych reoase plamoowe mogą służyć o wykrywaia awet ślaowych ilości molekuł w płyie cy gaie. x y

94

95 7 Aalia moów cąstkowych struktury W popreim roiale prestawioa ostała wuwarstwowa struktura asymetrycością wiąaą e wajemym położeiem obu siatek yfrakcyjych ora wypełieiem ielektrycym. W tym roiale preaaliowae ostaą moy cąstkowe (partial moes) istiejące a strukturach jeowarstwowych (ieskońcoa warstwa metalu i jeowarstwowa perioyca siatka metalowa). Ze wglęu a symetrię struktury jeowarstwowej wglęem płascyy YZ, w roiale tym ie ostaie porusoe agaieie kierukowości prepływu eergii w polu bliskim, a aalia opowiei optycej struktury jeowarstwowej jest iebęa o roumieia oiaływań mięymoowych achoących w bariej skomplikowaych ukłaach. Asymetria rokłau pola bliskiego pry paaiu ormalym wymaga asymetrii samej struktury (osiągalej p. popre presuięcie wglęem siebie wóch siatek yfrakcyjych), która prowai o sprężeia pomięy warstwami i skomplikowaego miesaia się moów różych roajów wbuaych a poscególych siatkach. Prowai to o wbuaia oatkowych moów sprężoych wiąaych oiaływaiem pomięy siatkami jeowarstwowymi. Niektóre tych moów sprężoych mają wpływ a kierukowość prepływu eergii. Aalia tak skomplikowaego ukłau wybiega jeak poa ramy iiejsej pracy e wglęu a ograicoą ilość miejsca. Ietyfikacja moów cąstkowych a prostych strukturach powala a aalię łożoych moów sprężoych istiejących a bariej skomplikowaych, roseparowaych asymetrycych strukturach wielowarstwowych, powalających a jeokierukowe wbueie SPP. Każy moów cąstkowych staowi prycyek o całkowitej opowiei optycej struktury, która jest łożeiem wsystkich pojeycych reoasów oiałujących e sobą a róże sposoby. W roiale tym opisae ostaą moy istiejące a pojeycych paskach metalu w siatce (arówo moy cąsteckowe wbuae a rówoległych krawęiach i sprężoe e sobą popre metal, co prowai o powstaia prerwy eergetycej i roscepieia poiomów eergetycych, jak i moy a krawęiach optycie grubych pasków metalu, mogące oiaływać e sobą jeyie popre węki w strukture), a także moy wękowe powstające w sceliach miejsych o ługości fali w perforowa-

96 96 7. Aalia moów cąstkowych struktury ej warstwie metalu, prowaące o awycaj silej trasmisji optycej. Ich postawowe własości ukaują bogactwo opowiei optycej struktury, wielość moów, które moża kotrolować popre miaę parametrów geometrycych i materiałowych. Perioycie ułożoe metalowe aoobiekty bąź efekty a powierchi metalu o okresie porówywalym ługością fali plamou (p. metalowa siatka yfrakcyja), mogą być w pewym stopiu prybliżoe moelem krystału fotoicego (polarytoowego) jeo- lub wuwymiarowego, co powala a aalię tego typu struktur pry wykorystaiu pojęć aych fiyki ciała stałego. Małe ierówości powierchi mogą być traktowae jako iewielkie abureie i aaliowae w prybliżeiu a pomocą metoy efektywego współcyika ałamaia [87], tak jak w prypaku krystałów fotoicych [68] bąź metamateriałów. W prypaku więksych elemetów roprasających, prybliżeie to jest w polu bliskim cora miej okłae. Właściwości optyce i propagacja fali elektromagetycej w perioycych strukturach fotoicych mogą więc być aaliowae aalogicie o propagacji fal elektroowych w krystałach recywistych. W obu prypakach powstają eergetyce pasma abroioe (fotoice prerwy eergetyce), gy okres perioycości struktury jest porówywaly ługością fali. Zakres kotroli właściwości optycych krystału fotoicego jest baro seroki ięki możliwości moyfikacji parametrów geometrycych i materiałowych. Jeśli paająca fala EM ma skłaową pola elektrycego prostopałą o powierchi, wbuoe ostają fale gęstości łauków powierchiowych w metalu plamoy. SPP iosą eergię, której yssypacja może astępować w sposób raiacyjy bąź ieraiacyjy [91]. Plamo porusający się po głakiej powierchi metalu jest ieraiacyjy, e wglęu a brak opasowaia faowego w stosuku o światła propagującego się w ośroku ielektrycym. Napotykając jeak a iejeoroość a powierchi (pojeycą scelię, wybruseie cy strukturę perioycą) może wyprąc się i wypromieiować w postaci fali elektromagetycej. Siła sprężeia pomięy plamoami istiejącymi w strukture, ora pomięy światłem paającym i plamoami, a także wpływ tych oiaływań a położeie poscególych reoasów wpływają acąco a właściwości i fukcjoalość plamoowych urąeń optycych. Właściwości aej struktury charakteryowae są pre sprężeie plamo-plamo i światło-plamo ora ich wpływ a położeie spektrale reoasów SP [9]. Plamoowe krystały fotoice (polarytoowe) ajują wiele astosowań w urąeiach optycych jako falowoy plamoowe [61, 6, 93, 94], spręgace kierukowe [95], urąeia o wypręgaia światła e struktur emitujących świa-

97 7.1. Moy struktury warstwowej ielektryk-metal-ielektryk (IMI) 97 tło, w geeracji rugiej harmoicej, powierchiowo wmocioym roprasaiu Ramaa cy kwatowej elektroyamice Moy struktury warstwowej ielektryk-metal-ielektryk (IMI) Najprostsą strukturą jeowarstwową jest jeoroa warstwa metalu. Mo plamoowy istiejący a pojeycej graicy ielektryk/metal, wra aalią jego propagacji i warukami wbueia ostał omówioy w cęści teoretycej. Obecie skupimy się a prypaku, gy wa plamoy powierchiowe propagują się po obu powierchiach ciekiej warstwy metalu i mogą e sobą oiaływać. x 1 () Rysuek 7.1. Schemat metalowej warstwy o grubości i fukcji ielektrycej, otocoej ośrokami ielektrycymi o różych w ogólości współcyikach ałamaia 1 i 3. 3 Oko trasmisyje metalowej warstwy o grubości kilkuiesięciu m ograicoe jest o stroy wysokich cęstości popre absorpcję wewętrą e wglęu a prejścia mięy pasmami, a o stroy iskich cęstości pre sile obicie o metalowej powierchi metalu e wglęu a baro małą głębokość wikaia promieiowaia w metal (spowoowaą jego wysoką prewoością). Na ieskońceie ługiej warstwie metalu mogą istieć tylko wa moy ieraiacyje o polaryacji TM. Moy te powstają e sprężeia pojeycych reoasów a poscególych graicach warstwy metalu i wykaują yspersję w ależości o grubości warstwy. Ropatrmy system łożoy ciekiej warstwy metalu o espoloej i ależej o cęstości fukcji ielektrycej w regioie 0 ajującej się a położu ielektrycym 3 ( ) i prykrytej ielektrykiem 1 ( ) (rys. 7.1). Dla fal elektromagetycych o polaryacji TM lokaliowaych a obu powierchiach metalu i aikających w kierukach prostopałych, jeya ieerowa skłaowa pola magetycego w każym ośroków może być apisaa jako:

98 98 7. Aalia moów cąstkowych struktury, la, 0 la 0, la,,, 3 1 e D e Ce Be e A t y x H t j k jkx t j jkx k k t j k jkx y (7.1) gie skłaowe ormale wektorów falowych ae są worami:., c k k c k k (7.) Z waruków bregowych a ciągłość skłaowych x E i y H otrymujemy relację yspersji la plamoów polarytoów powierchiowych a ciekiej warstwie metalu ależą o jej grubości [67]: m k m m m m e k k k k k k k k (7.3) Atysymetria aków we wore (7.3) wiąaa jest e miaą aku jeej e skłaowych pól pry obiciu o graicy e wglęu a miaę kieruku propagacji fali obitej w stosuku o paającej. Dla użych grubości warstwy ( 1 k m ) pole EM jest absorbowae w metalu i plamo a olej graicy ie ostaje wbuoy. Relacja yspersji plamou powierchiowego a warstwie metalu (7.3) sprowaa się wtey o relacji plamou powierchiowego la płaskiej graicy ielektryk/metal (4.3). W prypaku warstwy metalu w symetrycym otoceiu rówaie (7.3) po prekstałceiach moża apisać jako: m k m m e k k k k. W miarę miejsaia grubości metalowej warstwy więksające się sprężeie pomięy plamoami a obu graicach powouje, że oiaływaie pomięy ich polami elektromagetycymi ie może być aiechae. W tym prypaku istieje para rówań opisujących relacje yspersji moów sprężoych o iżsej i wyżsej eergii, które są wyikiem ałożeia rówości stałych ielektrycych ośroków ewętrych 3 1 i staowią wa rowiąaia powyżsego rówaia [68]. W obliceiach, po spierwiastkowaiu obu stro, wykorystuje się efiicje fukcji hiperbolicych prestawioe a pomocą fukcji wykłaicych:, tah, coth k k k k k k m m m m (7.4)

99 7.1. Moy struktury warstwowej ielektryk-metal-ielektryk (IMI) 99 opisujących moy, w których skłaowa pola elektrycego E x styca o powierchi jest opowieio symetrycą (mo o iżsej cęstości) i asymetrycą (mo o wyżsej cęstości) fukcją wglęem śroka warstwy metalu (płascyy ). Dla użych wektorów falowych, osiągalych tylko la bestratego metalu, bąź la grubej warstwy moy prestają być e sobą sprężoe, a relacje yspersji a obu graicach metalu stają się cora miej aburoe. Cęstości obu moów ążą opowieio o wartości graicych opisaych worami [65]: k SPP p e 1, 1 1 (7.5) k SPP p e k Oaca to, że la e SPP 0 ążą oe o krywej opowiaającej yspersji mou a pojeycej graicy metalu ielektrykiem biegającej asymptotycie o wartości p 1, co w prypaku plamou a graicy powietre/metal sprowaa się o relacji p. k SPP c m m m Rysuek 7.. Dyspersja la plamoów powierchiowych a warstwie metalu w symetrycym otoceiu. Cerwoa prerywaa prosta oaca cęstość graicą plamou a pojeycej graicy. Cara prerywaa prosta jest liią yspersji światła w powietru. Cara krywa relacja yspersji la pojeycej graicy (bąź baro grubej warstwy metalu), iebieska liia mo symetrycy o iżsej cęstości, ieloa liia mo asymetrycy o wyżsej cęstości. Urojoa cęść licby falowej mou o iżsej eergii (mou symetrycego) rośie wra e miejsaiem grubości metalu, co powouje wrost tłumieia i skróceie się rogi propagacji mou symetrycego (tw. short-rage SPP, krótkoasię-

100 Aalia moów cąstkowych struktury gowy SPP). W prypaku mou asymetrycego jest owrotie urojoa cęść licby falowej maleje, tłumieie maleje, co prowai o więksoej rogi propagacji (tw. log rage SPP, ługoasięgowy SPP). Fiycie wiąże się to faktem, że skłaowa styca pola elektrycego w prypaku mou asymetrycego ika w cetrum warstwy. W reultacie miejsa cęść pola EM jest awarta w metalu i tłumieie ie jest tak sile jak w prypaku mou o iżsej eergii. Natężeie pola mou symetrycego (o iżsej eergii) ie ika w cetrum warstwy, więc wra e miejsaiem grubości warstwy cora więksa cęść pola awarta jest w metalu. Rysuek 7.3 prestawia pogląowo amplituę pola elektrycego w ciekiej warstwie metalu w prypaku asymetrycego otoceia. W graicy, gy grubość metalu biega o era ( 0), relacja yspersji mou o wyżsej eergii pokrywa się yspersją la światła w ośroku, więc mo te jest cora słabiej sprężoy metalem i w końcu ewoluuje w falę płaską TEM (trasverse electromagetic wave) propagującą się w jeoroym ośroku ielektrycym. Natomiast mo o iżsej eergii aika. (a) (b) Rysuek 7.3. Amplitua pola elektrycego SPP la metalowej warstwy w asymetrycym otoceiu la mou (a) symetrycego o iżsej eergii i (b) asymetrycego o wyżsej eergii. Roscepioy mo o wyżsej eergii ie może więksyć eergii poa liię yspersji la światła ck, poieważ apobiega temu sprężeie propagującym się promieiowaiem. Dlatego właśie prerwa eergetyca jest asymetryca pocas więksaia grubości siatki (w użej objętości metalu), mo o iżsej cęstości acąco reukuje swoją cęstość w porówaiu o presuięcia ku błękitowi mou o wyżsej eergii, który może jeyie bliżać się asymptotycie o liii yspersji światła wra e więksaiem grubości. W prypaku, gy współcyiki położa i powietra ie są sobie rówe, astępuje więkseie skłaowej stycej wektora falowego w ośroku o wyżsym współcyiku ałamaia wartości k c si w próżi o wartości

101 7.1. Moy struktury warstwowej ielektryk-metal-ielektryk (IMI) 101 k si c si w ielektryku o stałej ielektrycej. więkseie wektora falowego plamou propagującego się po graicy metalu ielektrykiem o współcyik ałamaia ośroka. Tak więc cęstości wbueia plamou a olej powierchi bęą ie iż a górej. Rysuek 7.4(a) prestawia absorpcję warstwy metalu o grubości 60m oświetlaej falą płaską o ługości 63,8 m w kofiguracji Kretschmaa o stroy ielektryka o więksej stałej ielektrycej ( 1, 5) iż położe ( 3 1 ), po kątem powyżej całkowitego wewętrego obicia (w tej kofiguracji TIR 41,81 ) paającej góry lewej stroy. Dla kąta reoasowego ( 43,14 ), la którego wbuoy ostaje plamo powierchiowy a olej krawęi, prestawioy ostał rokła skłaowych pola EM ora wektor Poytiga określający kieruek prepływu eergii (rys. 7.4(b)). (a) Rysuek 7.4. (a) Absorpcja warstwy metalu o grubości (b) 60 m w ależości o kąta paaia fali płaskiej o ługości 63,8 m w kofiguracji Kretschmaa (, 1 5, 1 3 ). (b) Rokła ieerowych skłaowych pola EM ora wektora Poytiga la reoa- sowego kąta paaia ( 43,14 ). Plamo a olej krawęi warstwy metalu cęściowo roprasa się powrotem, a promieiowaie to jest w preciwfaie falą paającą. Następuje egatywa iterferecja i miimaliacja obicia o metalu. Pole raiacyje, bęące w preciwfaie, jest cęściowo absorbowae w metalu i prekstałcae w ciepło. Wewętre tłumieie w metalu ma astępujący mechaim: pole elektromagetyce plamou wbua pary elektro iura a poiomie Fermiego. Pocas

102 10 7. Aalia moów cąstkowych struktury powrotu o stau postawowego wypromieioway ostaje foto i wytwara się ciepło. Eergia może być tracoa także pre emisję fotoelektroów, jeśli eergia pobuająca jest więksa o pracy wyjścia metalu W. Tłumieie raiacyje aś polega a trasformacji plamou (jako fali aikającej w kieruku prostopałym o powierchi) w falę EM propagującą się w ielektryku o wyżsym współcyiku ałamaia po preciwej stroie warstwy metalu (ATR atteuate total reflectio, osłabioe całkowite obicie). Im grubsy metal (łużsa roga o prebycia w metalu), tym więkse astępuje tłumieie. Rysuek 7.5. Amplitua pola plamou w ielektryku, w kieruku prostopałym o graicy metalem w ależości o oległości o graicy w różych ielektrykach o współcyikach ałamaia 1 i 1, 5. Amplitua pola plamou w ielektryku, w kieruku prostopałym o graicy k metalem, aika jak ~ e. Rysuek 7.5 prestawia aikaie pola w ależości o oległości o graicy, a której wbuay jest plamo w wóch ielektrykach o współcyikach ałamaia 1 i 1, 5. Wiać wyraźie o wiele więkse ograiceie pola o bliskiego otoceia metalu w prypaku ielektryka o więksym współcyiku ałamaia. 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej Eksperymetalie, właściwości optyce pojeycego paska metalu mogą być uyskae ięki aaliie struktury perioycej łożoej ietycych obiektów oległych o siebie a tyle, by uiemożliwić bepośreie oiaływaie pomięy sąsieimi elemetami struktury. Poycja spektrala mou lokaliowaego a pojeycym pasku metalu uależioa jest, poa parametrami materiałowymi, o jego serokości i grubości. O ile wbueie plamoów lokaliowaych a obiek-

103 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 103 tach trójwymiarowych (p. aokulkach) jest możliwe la każej polaryacji, o tyle wbueie plamou a wuwymiarowym pasku metalu wymaga polaryacji TM (pole elektryce musi być skierowae poprecie w stosuku o osi paska). Tylko taka kofiguracja apewia opasowaie rokłau pola o prestreego ograiceia elektroów w aorucie i wbueie SPP. Oiaływaie obiektów miejsych o ługości fali polem EM może być opisae a pomocą moelu quasistatycego, w którym pryjmuje się, że wbueia plamoowe mają charakter ipolowy (pomijae są wyżse ręy reoasowe) i waruek a wbueie plamou a ieskońceie ługim walcu określoy jest jako:. Dla aorutów o prekroju iym iż okrągły istieją w ogólości wa róże waruki a wbueie plamoów wiąae wymiarami obu osi poprecych. Doatkowo, gy wymiary poprece paska metalu są porówywale ługością fali (więkseie prekroju cyego paska poa limit quasistatycy), astępuje miaa waruków reoasowych i presuięcie cęstości reoasowej ku cerwiei ora posereie piku, możliwością wbueia reoasów wyżsych ręów. Wyjaśieie tego achowaia opiera się a jawisku tłumieia raiacyjego i efektach opóźieia, wiąaych e skońcoą wartością prękości światła [96]. Optyce właściwości materiałów mogą być w użym stopiu kotrolowae ięki perioyacji powierchi w skali porówywalej ługością światła. W oróżieiu o pojeycych elemetów metalowych, opowieź optyca perioycie ułożoych aoelemetów bęie moyfikowaa pre ich wajeme oiaływaia w polu bliskim i alekim. Perioycie moulowaa warstwa metalu, popre yfrakcję Bragga, powala a wbueie i propagację plamoów powierchiowych, a także ich raiacyje wypręgaie e struktury. Perioycość struktury wprowaa acące miay w relacji yspersji e wglęu a oiaływaie pomięy elemetami siatki w kolejych okresach i możliwość reukowaia perioycej relacji yspersji o pierwsej strefy Brillouia. To prowai bąź o roprasaia propagujących się plamoów powierchiowych w ie plamoy powierchiowe, bąź o ich wypromieiowaia w postaci światła. Roprasaie SPP w SPP powouje więksoą iterferecję pomięy tymi moami, co prowai o powstaia fal powierchiowych spełiających waruek Blocha ora o otwarcia się prerw eergetycych. Fale Blocha mogą być wbuoe w krystale polarytoowym po kątami reoasowymi, la których waruek a relację yspersji SPP a strukture perioycej ora waruek yfrakcyjy a siatce są spełioe jeoceśie. Prerwa eergetyca twory się w wyiku tłumieia moów plamoowych la cęstości reoasowych wewątr prerwy. Jest to skutkiem oiaływaia wóch plamoów porusających się w preciwych kierukach. Powstała fala stojąca powouje roscepieie poiomów eergetyc-

104 Aalia moów cąstkowych struktury ych moów tym więkse, im siliejse jest oiaływaie mięy plamoami. Z kolei roprasaie SPP w postaci światła więksa straty raiacyje i powouje spektrale posereie i presuięcie reoasu SPP [68]. Jeą prostsych struktur perioycych umożliwiających wbueia plamoowe jest łańcuch metalowych aocąstek ograicoych w trech wymiarach. W takim prypaku o opisu ukłau opowieia jest teoria roprasaia Mie baująca a rówaiach Maxwella, która powala a okłae rowiąaie problemu roprasaia pola EM a sferycych cąstkach o owolej śreicy. Prybliżeie ipolowe, w którym pomijae są reoase wyżsych ręów a aocąstkach w łańcuchu, jest uasaioe w prypaku cąstek o wymiarach użo miejsych iż oległości r mięy imi [65]. Moża wyorębić wa akresy oiaływań w łańcuchu. W polu bliskim (elektrostatycym) i alekim (elektroyamicym) ipol charakteryuje się różymi rokłaami pola elektrycego. 3 Pole bliskie, o ależości r, omiuje la oległości mięycąsteckowych o wiele miejsych o ługości fali. Ma wtey miejsce sila lokaliacja pola w prestreiach mięy cąsteckami wyikająca silego tłumieia roprasaia w pole alekie ięki wbueiu moów plamoowych w kolejych cąsteckach łańcucha. W ależości o polaryacji światła paającego, wbuae są albo moy poprece (TE), które, popre więkseie sił prywracających, powoują więkseie cęstości reoasowej, bąź moy połuże (TM), miejsające te siły i obiżające cęstość reoasową. Rysuek 7.6. Schemat jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej otocoej ośrokami ielektrycymi o różych, w ogólości, współcyikach ałamaia. Drugim akresem jest tw. pole alekie o ależości o oległości r. Raiacyje pole alekie ipolu jest skocetrowae główie w płascyźie prostopałej o jego osi. Taki rokła pola sprawia, że sprężeie mięy sąsieimi ipolami jest słabe, gy są oe spolaryowae włuż wspólej osi (polaryacja TM) [97]. 1

105 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 105 Sprężeie w polu alekim może wpływać arówo a cęstość jak i serokość spektralą reoasu. Popre miaę oległości mięy paskami metalu (miaę okresu) moża moyfikować parametry kolektywych oscylacji (cęstość i serokość spektralą). Jeśli cąstki w aołańcuchu są położoe baro blisko siebie (ieomal się otykają), oiałują mięy sobą główie popre pole elektrostatyce, co prowai o upełie iych rokłaów spektrum absorpcji w porówaiu reżimem raiacyjego pola alekiego. Ze wglęu a swoją elektrostatycą aturę, sprężeie w polu bliskim może być aaliowae aalitycie, co powala a okłaiejsą fiycą iterpretację jawiska. Opowieź optyca siatki yfrakcyjej łożoej pasków metalu pry pobueiu falą o polaryacji TM charakteryuje się pree wsystkim prestreie lokaliowaymi wbueiami plamoowymi (particle plasmo) wiąaymi każym pasków. Powstają oe w wyiku koheretych oscylacji elektroów prewoictwa w metalu, które mogą być sprężoe arówo pre metal (la opowieio małych grubości) ora pre sceliy pomięy sąsieimi paskami (la opowieio użych współcyików wypełieia i grubości). W prypaku, gy ośroki ielektryce w obsare górym i olym ora pomięy elemetami siatki są jeakowe, moy powstające a rówoległych wglęem siebie graicach metalu (górej i olej bąź lewej i prawej) mają jeakowe cęstości reoasowe. Gy struktura jest ostatecie cieka, bąź posiaa wąskie sceliy, prowai to o powstawaia prerw eergetycych e wglęu a sprężeie mięymoowe. W aaliowaym prypaku, e wglęu a symetrię samej struktury jak i paaie ormale, ie wyróżiające żaego kieruku, rokłay pól i sprężeie pomięy paskami są symetryce, brak jest wypakowego globalego prepływu eergii włuż wektora siatki K. Doatkowo, perioycość struktury powala a yfrakcję Bragga i oiaływaie pomięy sąsieimi paskami metalu, co skutkuje powstaiem plamoów powierchiowych wiąaych okresowością struktury. Jak było to już aacoe, w prypaku paaia ormalego a metalową symetrycą strukturę, wbueie SPP jest możliwe ięki więkseiu wektora falowego w kieruku propagacji o mk. Powstają wówcas wa SPP o wektorach k SPP mk propagujące się w preciwych kierukach. Ich iterferecja prowai o powstaia fali stojącej i otwarcia się prerwy eergetycej, wiocej a wykresie yspersji. Dla paaia ukośego, symetria ukłau ostaje łamaa i wypakowe SPP mogą propagować się w jeym kieruku włuż struktury. W jeym prostsych prypaków jeowymiarowa siatka yfrakcyja skłaa się ługich pasków metalu o prekroju prostokątym (wysokość i serokość f, gie jest okresem perioycości struktury, a f oaca współcyik wypełieia) w otoceiu ielektrycym (rys. 7.6). Na strukturę paa fala płaska

106 Aalia moów cąstkowych struktury o polaryacji TM (wektor pola magetycego jest prostopały o płascyy paaia i rówoległy o pasków metalu). Poiżej prestawioa jest aalia postawowych efektów optycych mających swoje źróło w reoasowym wbueiu ora oiaływaiu pomięy moami plamoowymi o różym charaktere a perioycych strukturach jeowarstwowych Zależoś o grubości i współcyika wypełieia siatki Na rys. 7.7 prestawioa ostała absorpcja (oblicoa jako opełieie o jeości sumy trasmitacji i reflektacji A 1 R T ) w ależości o cęstości fali paającej ora grubości siatki la jeowarstwowej łotej siatki yfrakcyjej otocoej powietrem o różych wypełieiach i okresach. Współcyik wypełieia siatki rośie w każym ręie, o lewej o prawej, atomiast okres siatki w kolumach. Różowe poiome liie wyacają cęstości wiąae perioycością siatki mc, la których mieia się charakter kolejych ręów ugięcia i astępuje prekierowaie eergii ręów aikających o iżsych, które mogą się propagować w aych warukach. Góry akres cęstości a wykresie 0, 7 ) opowiaa ługości fali 195m. ( p Opowieź optyca takiej struktury skłaa się regioów o wysokiej trasmisji i iskim obiciu a premia obsarami prerw eergetycych o iskiej trasmisji i wysokim obiciu. Zależość cęstości moów o grubości siatki metalowej moża poielić a wa wyraźe obsary wyikające różych mechaimów sprężeia fali paającej perioycą strukturą metalową. Dla siatek metalowych o ciekich (bąź wąskich) metalowych elemetach astępuje sprężeie popre metal pomięy moami istiejącymi a wóch rówoległych krawęiach paska (poiomych bąź pioowych). Dla grubych optycie warstw metalu, sprężeie mięymoowe w polu bliskim astępuje jeyie popre sceliy mięy poscególymi paskami metalu e wglęu a małą głębokość wikaia pola elektromagetycego w metal. Na prestawioych wykresach ależości cęstości o grubości siatki występują try roaje moów. Jea roi moów wykauje silą ależość o grubości i występuje tylko la małych grubości siatki, presuwając się ku błękitowi la rosących grubości. Są to moy lokaliowae a górej i olej krawęi, sprężoe popre metal. Druga roi o wiele słabiej ależy o grubości, może istieć także la grubych optycie warstw i charakteryuje się ieacym presuięciem ku miejsym cęstościom la rosącej grubości siatki. Są to moy sprężoe a poiomych i pioowych krawęiach grubego optycie metalu. Treci typ reoa-

107 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 107 sów, wykaujący ależość bliżoą o hiperbolicej, jest charakterystycy tylko la struktur o użym wypełieiu i wiąay jest moami wękowymi powstającymi w pioowych prestreiach pomięy paskami metalu. Rysuek 7.7. Zależość absorpcji ( A 1 R T ) o cęstotliwości fali paającej ormalie i grubości siatki w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1) la mieych okresów (w ręach góry a ół: Λ 00 m, 400 m, m, 800 m ) ora wypełieia (w kolumach o lewej o prawej: f 0, Λ, 0,4Λ, 0,7Λ, 0,9Λ ). Geeralie, wrost okresu powouje obiżeie cęstości reoasowej moów. W miarę miejsaia się pierwsej strefy Brillouia, cora więcej moów pojawia się w aym akresie cęstości otycy to arówo sprężoych moów cąsteckowych, jak i moów a poiomych i pioowych krawęiach metalu. W prypaku okresu Λ 00m wyżse ręy ugięcia pojawiają się opiero pry cęstości 0, 685 p, a więc wioce a wykresie moy są wyikiem oiaływaia propagującego się erowego i aikających wyżsych ręów.

108 Aalia moów cąstkowych struktury W miarę wrostu poprecych wymiarów pasków metalu, cyli rosącego wypełieia lub okresu struktury, moża aobserwować stopiowe obiżeie cęstości reoasowej. Poato, wrost współcyika wypełieia powouje wmocieie absorpcji la cęstości opowiaających moom wękowym, ora płye prekstałceie się plamoów cąsteckowych w moy a poiomych krawęiach metalu, które, ięki różym mechaimom sprężeia, mogą współwystępować moami wękowymi. Ich relacje yspersji preciają się, ie pojawia się tw. aticrossig (roscepieie poiomów i powstaie prerwy eergetycej w miejscu precięcia się krywych), co oaca, że ie aburają się wajemie. Z kolei la małych wypełień (i małego okresu) cyli la wąskich pasków metalu, plamoy powstałe a pioowych krawęiach, mogą spręgać się e sobą popre metal w poiomie. Taki charakter mają p. moy a wykresie la siatki o okresie Λ 00m i wypełieiu f 0, Λ (serokość każego pasków metalu wyosi wtey 40 m, co umożliwia sprężeie popre metal moów a pioowych krawęiach). Dla rosących wypełień struktury, moy te prechoą w reoase sprężoe a poiomych i pioowych krawęiach, możliwością spręgaia pre prerwy pomięy metalem. Więksa grubość powouje presuięcie się reoasu wękowego ku miejsym cęstościom e wglęu a wyłużeie węki reoasowej. Natomiast moy cąsteckowe presuwają się ku błękitowi e wglęu a malejące sprężeie pomięy obiema graicami metalu i malejące abureia cęstości moów. Doatkowo, ace więkseie wektora falowego plamou powouje miejseie jego ługości fali, a więc pojawieie się mou głęboko w regioie erowego ręu w spektrum. Plamoy cąsteckowe sprężoe popre metal Pierwsy typ, reoase pojawiające się jeyie la ciekich siatek i wykaujące silą ależość o grubości, są symetrycymi (e wglęu a poiomą skłaową pola elektrycego E ) reoasami a poiomych powierchiach paska metalu, x sprężoymi e sobą popre metal. Maksima absorpcji opowiaają reoasowi elektrycemu charakteryującemu się goymi w faie oscylacjami elektroów a obu powierchiach metalu. Pole aikające plamou wbuoego a górej krawęi preika pre pasek i iukuje plamo a jego olej krawęi. Są to moy ieparystych ręów o iżsej eergii, oatkowo presuięte ku cerwiei la baro ciekich pasków metalu e wglęu a rosące sprężeie pomięy plamoami a obu krawęiach wbuaymi w tych samych warukach materiałowych otoceia (ro. 7.1). Skońcoa serokość pasków powouje utworeie się stojącej plamoowej fali powierchiowej w poprek paska (w kieruku x ).

109 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 109 Aalogicie o prypaku moów a ciekich warstwach metalowych, tutaj także astępuje roscepieie poiomów eergetycych w prypaku jeakowych waruków wbueia a i po metalem. W reultacie cęstość moów istiejących po obu stroach ciekich pasków metalu oaje presuięcia spektralego. Moy o iżsej eergii są jesce bariej presuwae ku cerwiei. Wra e wrostem grubości pasków sprężeie pomięy obiema graicami maleje i moy ążą asymptotycie o cęstości plamou a pojeycej graicy o skońcoej ługości i stają się ieależe o grubości siatki. Sprężeie pomięy moami aika la metalu grubsego iż 50m (co jest w prybliżeiu wukrotością optycej głębokości wikaia) e wglęu a rosące tłumieie skłaowej aikającej w metalu, a więc a brak sprężeia pomięy krawęiami. Moy te prekstałcają się w iesprężoe moy a poiomych krawęiach metalu. W miarę wrostu okresu pry stałym współcyiku wypełieia, recywista serokość pasków metalu rośie. W wiąku tym cęstość reoasów maleje e wglęu a waruek, który spełia fala stojąca we węce i la stałej cęstości pojawiają się koleje, cora wyżse moy Fabry Perota. W miarę miejsaia oległości mięy paskami (miejsaia okresu) reoase plamoowe cora bariej oalają się o aomalii Wooa w stroę łużsych fal i stają się bariej płaskie. Oaca to cora więkse oiaływaie w polu bliskim pomięy reoasami i więkseie wpływu wielkości okresu a plamoy, a więc i a całościową opowieź struktury. W miarę wrostu eergii (i miejsaia okresu) astępuje cora więkse ograiceie pola w pobliżu struktury i więkseie yspersji reoasu popre oalaie się o aomalii Wooa [91]. Wykresy a rys. 7.8 prestawiają ewolucję ajiżsych reoasów a ciekich paskach metalu o prekroju prostokątym w postaci liiowej ależości reflektacji, trasmitacji i absorpcji o cęstości la siatki o grubości 5 m ora 10 m, okresie Λ 600m i wypełieiu f 0, 4Λ. Krywe obicia, trasmisji i absorpcji oacoe liiami ciągłymi ostały oblicoe umerycie a pomocą opracowaego kou baującego a metoie RCWA. Natomiast liie prerywae opowiaają wyikom otrymaym a pomocą aalitycego moelu (ro. 5.) powalającego a aalię ależości cęstości reoasowej cy serokości spektralej moów o ługości fali. Wiać, że moel (tutaj uwglęiający jeyie pięć pierwsych reoasów) powala a ość obre oworowaie prebiegu fukcji, co umożliwia aalię wpływu grubości siatki a położeie i serokość spektralą poscególych reoasów. Moel ie otwara jeak okłaie prebiegu fukcji w pobliżu cęstości graicych, la których astępuje miaa charakteru kolejych ręów ugięcia, ie uwglęia bowiem ieciągłości w wimie obicia i trasmisji wiąaej prekierowaiem eergii ręów aikających o propagujących się.

110 Aalia moów cąstkowych struktury (a) (b) Rysuek 7.8. Ewolucja symetrycych moów reoasowych a paskach metalu o serokości 40 m i ustawioych perioycie, o okresie Λ 600 m w jeoroym otoceiu ielektrycym ( 1), o różych grubościach siatki: (a) 5 m, (b) m. Liie ciągłe prestawiają reflektację, trasmitację i absorpcję oblicoe a pomocą metoy RCWA, atomiast liie prerywae ostały opasowae a pomocą moelu feomeologicego. Pioowe liie wyacają cęstości aomalii Rayleigha. Relatywie iżse obicie uyskiwae a pomocą moelu feomeologicego, własca la grubsej siatki, może być spowoowae prybliżeiem skłaowej tła, oblicaej jako śrei współcyik ałamaia jeoroej warstwy o aej grubości, która, po uwglęieiu więksej ilości ręów ugięcia mogących się propagować la wyżsych cęstości, może powoować więksoe obicie, co ie jest uwglęiae w moelu. Natomiast asymetrycy kstałt pików otworoy jest baro obrą okłaością. W spektrum jeowarstwowej siatki omiuje pojeycy seroki reoas o charaktere ipolowym wiąay e lokaliowaym plamoem wbuoym a każym pasku metalu. Opowiaa o optyce aktywemu symetrycemu moowi własemu charakteryującemu się goymi w faie oscylacjami swoboych elektroów w każym pasków. Dla cęstości opowiaającej wbueiu plamoowemu, miima w wimie trasmisyjym opowiaają osłabioym maksimom w wimie obiciowym, gyż wbueie SPP wiąże się e stratą eergii (a więc e wrostem absorpcji). Zacący wrost obicia w polu alekim la cęstości reoasowych, pry jeocesym

111 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 111 miimum w trasmisji, moża wyjaśić jako poytywą iterferecję erowego ręu fali obitej polem wypromieiowaym pre plamo [98]. Rysuek 7.9. Dobroć Q pierwsych pięciu symetrycych reoasów a paskach metalu o serokości 40 m, ustawioych perioycie o okresie Λ 600 m w jeoroym otoceiu ielektrycym ( 1), grubości siatek: 5 m i 10 m Z wyjątkiem mou postawowego, który pojawia się w obsare, w którym propagować się może jeyie erowy rą ugięcia, poostałe moy mają wyżse amplituy la siatki o więksej grubości i wiążą się więksym obiciem o asymetrycym kstałcie, co pociąga a sobą jeoceśie głębse miima w wimie trasmisji. Wiać wyraźe posereie liii reoasowych ora ich presuięcie ku błękitowi la rosących grubości pasków. Serokość piku jest wiąaa tłumieiem plamou. Peła serokość piku w połowie jego wysokości (FWHM full with at half maximum, Γ ) w prypaku pierwsego reoasu wyosi ok. Γ 0, 043ω la 5 m i Γ 0, 064ω p la 10 m. Wyżse reoase charakteryują się baro wąskimi liiami spektralymi o bliżoych wartościach w akresie Γ 0, 009 0, 01. Tak więc więkseie grubości pasków metalu skutkuje ω p więkseiem obroci la aego reoasu, efiiowaej jako: Q ωres Γ, gie jest cęstością reoasową. Współcyiki Q la pięciu reoasów la obu res grubości siatki prestawioe są a wykresie a rys Wiać tre wrostu obroci reoasu wra umerem reoasu ora e wrostem grubości siatki. Prestawioe wykresy obicia i trasmisji wiąae opowieią struktury w polu alekim staowią aalogię la wykresów rokłau skłaowych pól elektrycego i magetycego w polu bliskim. Wrost absorpcji możliwy o miereia w polu alekim opowiaa reoasowi w strukture wiocemu w polu bliskim. Rysuek 7.10 prestawia rokłay trech ieerowych skłaowych pól EM la cterech ajiżsych ieparystych reoasów siatki o grubości 10 m la paaia ormalego. Siatka o grubości 10 m jest ostatecie cieka, by fala aikająca, istiejąca w metalu ięki wbueiu plamoowemu a górej kra- p

112 11 7. Aalia moów cąstkowych struktury węi, wbuała plamo a olej krawęi. Pola są w użej miere skocetrowae w okolicy paska i ie spręgają się mięy sobą w kieruku poiomym. Im wyżsy reoas, tym pole EM jest siliej ograicoe o otoceia metalu i sybciej aika w kierukach prostopałych. Zwięksa się licba falowa plamou lokaliowaego a pasku metalu, który może być traktoway jak reoator, w którym pojawia się fala stojąca wiąaa obiciami a obu końcach paska. Wbuay tw. reoas cąsteckowy (particle plasmo) o ajiżsym ręie może być iterpretoway jako reoas o charaktere ipolowym. Poostałe, wyżse moy, opowiaają reoasom multipolowym. Cęstość reoasu a paskach w perioycej siatce może się ieco różić o cęstości la jeego, oseparowaego paska metalu e wglęu a słabe, ale jeak istiejące sprężeie pomięy paskami. Rysuek Uormowae amplituy skłaowych E la cterech pierwsych ieparystych reoasów la grubości siatki E x, H y i 10 m w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1). Okres: Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 4Λ Łauki o tych samych akach gromaą się a pioowych powierchiach aorutów w pobliżu sceli. Rokłay łauków a sąsieich aopaskach iałają goie i wmaciają siły prywracające, co powouje poiesieie ługości fali reoasowej. Sile pole elektryce a końcach pasków pokreśla istieją-

113 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 113 ce prąy presuięcia (cyli prą elektrycy wywołay miaą atężeia pola elektrycego w ielektryku, którego gęstość jest miarą sybkości miay iukcji elektrycej). Koleje reoase a paskach metalu la paaia ormalego opowiaają cora wyżsym moom ieparystym. Ze wglęu a symetrię, pry paaiu ormalym możliwe jest wbueie jeyie moów lokaliowaych o ręach ieparystych w kieruku x (parysty rokła skłaowych E i H wglęem symetralej włuż osi ) w całym akresie wartości wektorów falowych. Wbueie moów parystych wymaga, by po obu stroach paska metalowego, w sąsietwie kolejych pasków, pole elektryce pryjmowało wartości o preciwych akach. Pry paaiu ormalym (peła symetria) jest to iemożliwe, gyż w żaej chwili paające pole elektrycie ie jest w staie spełić waruku a taki rokła pola. Wymagae jest asymetryce sprężeie pomięy moami w sąsieich paskach metalu. Tego typu asymetryce sprężeie możliwe jest pry paaiu ukośym, gie symetria ostaje łamaa i pole elektryce jest w staie spełić waruek a opasowaie o skłaowych reoasowych pola E i wbuić mo parysty [99]. x y Rysuek Relacje yspersji la otocoych powietrem jeowarstwowych siatek o okresie Λ 600 m, wypełieiu f 0, 4Λ i grubościach: 5150 m. Aby preaaliować wpływ asymetrii wiąaej kątem paaia fali a wbuaie moów cąsteckowych, a rys wykreśloe ostały relacje yspersji la siatek o okresie Λ 600m i wypełieiu f 0, 4Λ i rosących grubościach. Moża wyróżić wa akresy grubości la których mogą istieć wa róże roaje moów. Dla struktur o małych grubościach ( 50m) charakterystyce są ieyspersyje poiome reoase, prawie ieależe o wektora falowego i presuwające się ku błękitowi w miarę wrostu grubości siatki. Są to wspomiae reoase wbuae a poiomych krawęiach pasków i sprężoe e sobą. W miarę wrostu grubości reoase te presuwają się ku wyżsym cęstościom e wglęu a malejące sprężeie pomięy moami a obu graicach, co powouje, że a

114 Aalia moów cąstkowych struktury grubsych siatkach może istieć miej moów, a o tego są słabiej wbuae, e wglęu a straty w metalu. Pomięy ieparystymi reoasami występują paryste, które mogą być wbuoe jeyie la ieerowych wektorów falowych, co obre wiać a wykresach yspersji la ajmiejsych grubości siatek. W strukture otwierają się pełe, serokie prerwy eergetyce la całego akresu wektorów falowych, pojawiające się w wyiku miejseia kąta achyleia ależości yspersyjej la LSP. Rysuek 7.1 prestawia try ajiżse paryste reoase występujące a graicy strefy Brillouia ( k ). Z kolei grubse siatki apobiegają spręgaiu się moów pre metal e wglęu a baro krótką rogę absorpcji promieiowaia w metalu poiżej cęstości plamowej. W miarę wrostu grubości siatki kąty achyleia moów yspersyjych stopiowo się miejsają. Rysuek 7.1. Uormowae amplituy skłaowych parystych reoasów la grubości siatki E x, H y i E la trech pierwsych 10 m a graicy strefy Brillouia w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1). Wypełieie struktury f 0, 4Λ Zależość aomalii Wooa a rys oacoa jest kropkami. W wimie absorpcji ależość ta jest praktycie iewioca la ciekich struktur, które powalają a wbueie w asaie jeyie moów lokaliowaych a poscególych elemetach. Zabureie spowoowae yfrakcją Bragga a strukture perioycej wrasta wra grubością siatki, w wimie obicia i trasmisji (ie apreetowae) charakteryuje się oa asymetrią krywych reflektacji i trasmitacji la cęstości opowiaającej aomalii Wooa. Grubse struktury acąco wpływają a opo-

115 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 115 wieź optycą struktury popre prowaeie eergii włuż struktury w kofiguracji asymetrycej. Struktury ieciągłe, o małej grubości i wypełieiu f 0, 4Λ wprowaają acące abureia w propagacji SPP, w preciwieństwie o optycie grubej siatki o płytkich rowkach i wysokim współcyiku wypełieia, która może prowaić SPP o krywej yspersji ie obiegającej acąco o aalitycej yspersji la SPP. Wspomiae abureia skutkują miejseiem kąta achyleia relacji yspersji ora ich presuięciem ku cerwiei. Poieważ reoase a ciekich strukturach są ieaburoe pre próg Rayleigha, oaca to, że ie powstają oe w wyiku sprężeia wiąaego yfrakcją i powstawaiem wyżsych ręów ugięcia istiejącego w strukture perioycej, a obraują jeyie reoase cąsteckowe a poscególych paskach metalu. Duża serokość spektrala moów ieyspersyjych, bęąca skutkiem silego tłumieia, wyika e acego ograiceia reoasu symetrycego o okolicy metalu i acej awartości pola w metalu. Ciekie struktury mają określoe cęstości pracy, poa którymi istieją serokie prerwy eergetyce. Otwarcie się serokich i pełych (istiejących la wsystkich wartości wektora falowego pierwsej strefy Brillouia) prerw eergetycych la baro ciekich siatek powouje ciągłe obiżeie cęstości moów o iżsych eergiach tak, że moy wyżsych ręów o iżsej eergii presuwają się o obsarów poiżej właściwej la siebie liii yspersji la światła. Numery reoasów kolejych moów lokaliowaych są rówe ręom yfrakcyjym opowiaającym wielokrotości wektora falowego, którego pochoi wbuająca mo gałąź. Rysuek Aalityca relacja yspersji mou symetrycego w falowoie IMI o grubości 10 m. Cara prosta liia yspersji la światła. Pioowe prerywae liie oacają wartości wektora k la kolejych ieparystych (iebieskie) i parystych (cerwoe) reoasów. Serokość prerwy eergetycej jest uależioa m.i. o grubości siatki, pry cym im cieńsa siatka, tym sersa prerwa e wglęu a więkse sprężeie pomięy moami a górej i olej płascyźie. Zmiejseie kąta achyleia

116 Aalia moów cąstkowych struktury krywej w cetrum strefy oaca, że mo abiera charakteru reoasu lokaliowaego w reżimie paaia ormalego. Rysuek 7.13 prestawia aalitycą relację yspersji la mou o iżsej eergii w falowoie IMI o grubości 10 m. Pioowe liie oacają wartości wektorów falowych plamoów, la których występują koleje ieparyste (iebieskie liie) i paryste (cerwoe liie) reoase we węce o aej grubości, ograicoe pre serokość paska. We węce otwartym końcem koleje reoase występują la k p m L, gie L jest serokością paska (tutaj L 40m), a m oaca koleje umery reoasów. Stą moża w prybliżeiu określić ługość fali plamou. Precięcie tych prostych krywą yspersji la mou symetrycego we węce określa cęstość fali pobuającej. Rysuek Długości fali wbuającej, ługości fali plamoów ora ich różica w prypaku kolejych reoasów mou symetrycego w falowoie IMI o grubości 10 m. Rysuek 7.14 prestawia ługości fali pobuającej, ługość fali plamou ora ich różicę la kolejych ręów reoasów. Długość reoatora (cyli serokość paska metalu) jest w ocywisty sposób wielokrotością połowy ługości fali plamou istiejącego a strukture. Z wyjątkiem pierwsego reoasu, który jest ajmiej lokalioway w otoceiu metalu, w miarę więksaia ręu reoasowego, różica pomięy ługością fali reoasowej i ługością fali plamou stopiowo maleje, e wglęu a więksaie się wektora falowego mou lokaliowaego, którego prękość grupowa ąży o era. Plamoy cąsteckowe (particle plasmos) miejsają olość struktury o wbueia i prowaeia plamoów elokaliowaych e wglęu a tłumieie pola w metalu wyikające e sprężeia plamoów lokaliowaych a górej i olej krawęi. W prypaku paaia ormalego wbuae są moy o symetrii parystej charakteryujące się więksą awartością pola w metalu. Oaca to siliejse tłumieie, a więc krótsą rogę propagacji plamou. Tak więc byt

117 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 117 ciekie siatki ie powalają a wyaje prowaeie i miaę kierukowości plamoów włuż struktury. Moy a optycie grubych paskach metalu p Drugi typ reoasów wiocych a rys. 7.7 opowiaa kolejym moom słabo ależym o cęstości istiejącym la pewych akresów grubości. W miarę więksaia grubości siatki, moy te pojawiają się la cęstości powyżej cęstości graicych la moów sprężoych pre metal i są ieależymi o siebie, cora wyżsymi moami sprężoymi wiąaymi arówo poiomymi jak i pioowymi krawęiami pasków, ewoluującymi plamoów cąsteckowych. W prypaku grubsych pasków ie są oe sprężoe popre metal ai w kieruku poiomym ai pioowym, gyż głębokość wikaia pola w metal la tego akresu cęstości wyosi ok. 5 m. Dla prykłau a rys wykreśloy jest prekrój la stałej cęstości 0, 65 ( 600m, f 0, 4Λ), a którym wiać wa roaje reoasów: serokie spektralie i iebyt moco wyróżiające się tła la grubsych siatek, ora ostre piki la ciekich siatek wiąae plamoami cąsteckowymi. Wykresy a rys prestawiają rokłay trech skłaowych pola EM la cterech maksimów absorpcji opowiaających serokim reoasom sprężoym a poiomych i pioowych krawęiach metalu. p Rysuek Zależość reflektacji, trasmitacji i absorpcji o grubości siatki la cęstości fali paającej 0, 65 w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1). Okres Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 4Λ Nie są to moy postawowe e wglęu a uże romiary poprece pasków metalu w oiesieiu o ługości fali paającej. Są oe bariej skomplikowae, własca gy uwglęi się możliwość oiaływaia plamoów pomięy poscególymi paskami. Charakteryują się reoasami wyikającymi istieia fal stojących arówo a poiomych jak i pioowych krawęiach metalu. Duże wy-

118 Aalia moów cąstkowych struktury miary pasków metalu apobiegają powstawaiu silych opychających sił Coulomba pomięy elektroami a powierchiach, które aburałyby oscylacje plamoów. Wiać wyraźie, własca a wykresie skłaowej E, która jest rówoległa o pioowej krawęi, że w miarę więksaia grubości struktury, pojawiają się cora wyżse ręy reoasowe a pioowych krawęiach metalu. Rą reoasu a krawęiach poiomych poostaje taki sam la aej cęstości, gyż stosuek cęstości o serokości paska ie ulega miaie (wartości są stałe). Aalogice koleje moy la stałych iżsych (wyżsych) cęstości i rosących grubości siatki opowiaają stałym reoasom a pioowych krawęiach, ale iżsym (wyżsym) ręom a krawęiach poiomych. Rysuek Rokłay uormowaych amplitu skłaowych pól E x, H y i E la kolejych reoasów pry rosącej grubości siatki ( 53,7 m, 104 m, 160 m, 11 m ) la stałej cęstości 0, 65 w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym p ( 1). Okres Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 4Λ Rokła pola bliskiego la reoasu plamoowego charakteryuje się silym ograiceiem o bliskiego otoceia metalu i ie rociąga się aleko o położa ai powietra (ai pomięy paski). Dla ciekich struktur wrost atężeia pola pojawia się a poiomych powierchiach metalu i ie występuje w sceliach

119 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 119 pomięy paskami. W prypaku grubsych siatek, mamy o cyieia oatkowym wbueiem moów a pioowych ściakach pasków metalu, które, la określoych grubości, mogą tworyć fale stojące i mogą oiaływać pre prerwy moami a sąsieich paskach. Doatkowo, a grubsych siatkach, la opowieich cęstości, mogą istieć plamoy elokaliowae propagujące się włuż powierchi struktury w kieruku x (jeak w prypaku paaia ormalego tworą oe falę stojącą e wglęu a iterferecję wóch plamoów o takich samych amplituach porusających się w preciwych kierukach). Moy la grubych siatek ewoluują moów la siatki o baro małym perioycym abureiu a położu metalowym (która prypomia płascyę metalu) i opaają ku łużsym falom e wglęu a oiaływaie SPP iymi SPP i światłem. Potwiereie tych roważań ostarca sekwecja wykresów relacji yspersji la różych grubości siatki (rys. 7.11). Zwięksaie wysokości siatki (cyli więksaie abureń wpływających a propagację SPP) skutkuje miejseiem kąta achyleia relacji yspersji plamoów elokaliowaych i obiżeiem cęstości reoasowej mou. Prostokąta siatka o użej amplituie i użym wypełieiu iała w sposób bliżoy o ośroka jeoroego powala a propagację ieaburoych SPP włuż osi x (pry spełioym waruku a opasowaie okresu). Poa SPP mogą istieć także moy wękowe w sceliach, które, powalając a wysoką trasmisję, powoują wbueie plamoów a olych krawęiach grubych optycie siatek. Moy wękowe (Nawycaj sila trasmisja optyca, EOT) Opowieź spektrala struktur o wysokich współcyikach wypełieia charakteryuje się licymi miejscami współwystępowaia moów a powierchiach poiomych ora moów wękowych. Zwykle ie astępuje roscepieie poiomów w miejscu precięcia się krywych, a więc brak jest sprężeia pomięy moami, które stają się ieależe o siebie. W skrajie prawej kolumie rys. 7.7 prestawioa jest absorpcja la struktur o wypełieiu f 0, 9Λ, co upoabia je o warstwy metalowej perioycie ułożoymi sceliami o wymiarach o wiele miejsych o ługości fali światła paającego. W tego typu strukturach, w opowieich warukach moża aobserwować iewykle silą trasmisję (Extraoriary Optical Trasmissio) [4, 100, 101] spowoowaą wbueiem plamoów a pioowych ściakach otworów, spręgających się e sobą popre sceliy. Tworące się w opowieich warukach fale stojące są prycyą baro silej trasmisji i aspoiewaie małego obicia o warstwy metalu baro wąskimi otworami, o wiele miejsego iż wyikałoby to geometrycego prekroju cyego.

120 10 7. Aalia moów cąstkowych struktury Na wykresie ależości cęstości o grubości siatki (rys. 7.17) prestawioe jest oiaływaie mou wękowego moem cąsteckowym wiąaym poiomymi graicami metalu. Słabe oiaływaie mięy moami ie iukuje charakterystycego obiżeia absorpcji (aticrossig) pojawiającego się w pry-paku silego oiaływaia mięymoowego i wajemego wpływu moów a siebie, które prowai o egeeracji i roscepieia poiomów eergetycych i powstaia prerwy eergetycej. Tutaj mamy o cyieia prostą sumą reoasów, które istieją ieależie o siebie la tej samej cęstości pobuającej. Wypakowy reoas powstający a precięciu obu gałęi jest sumą mou wękowego i moów a poiomych graicach. Na wykresie pól bliskich (rys. 7.18) wiać koegystecję obu moów w strukture. mo wękowy mo cąsteckowy Rysuek Zależość cęstości o grubości siatki w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1). Okres Λ 00 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ Wrost współcyika wypełieia w strukture powouje więkseie oiaływaia pomięy moami a sąsieich paskach metalu, co ma wpływ a cęstość reoasową moów. Rosący współcyik wypełieia ora rosąca grubość powoują stopiowe presuięcie ku cerwiei moów wiąaych pioowymi krawęiami metalu i powstawaie moów wękowych wyikających istieia fali stojącej w sceliie. Pierwsy cyików opowiaa a stopiowe więksaie oiaływaia mięy moami a obu ściakach węki, rugi a moyfikację waruku a falę stojącą w reoatore. Różica pomięy moami wękowymi a moami lokaliowaymi a powierchi metalu i sprężoymi e sobą jest ocywista. Rokłay skłaowych pól a wykresach w pierwsym ręie rys mają wyraźy charakter wękowy opowiaający moowi o ajiżsym ręie w otwartej węce. Pole magetyce pryjmuje maksymale wartości w cetrum węki i aika a wyjściach. Skłaowa

121 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 11 E x pola elektrycego eruje się w połowie wysokości węki i pryjmuje maksymale wartości a jej końcach. Natomiast reoas w rugim ręie jest wyraźym moem symetrycym a obu krawęiach, spręgającym się popre metal. W rugim prypaku pole ie jest tak silie skocetrowae w otoceiu metalu (sceliy), jak w prypaku awycaj silej trasmisji (EOT). Na wykresie rokłau wektora Poytiga wiać, że w prypaku mou we węce eergia jest kierowaa w stroę sceli i trasmitowaa pre ie. Natomiast w prypaku plamoów a poiomych krawęiach pasków wiać sily prepływ eergii włuż poiomych krawęi ora trasmisję popre metal, co jest wyikiem spręgięcia się moów a obu graicach. (a) (b) (c) Rysuek Rokłay uormowaych amplitu skłaowych pól E x, H y i E ora wartość i kieruek wektora Poytiga la (a) reoasu cąsteckowego i (b) mou wękowego pry stałej grubości siatki 34,8 m ora (c) łożeie obu reoasów la 5, m. Okres siatki Λ 00 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ, jeoroe, symetryce otoceie ielektryce ( 1) Z kolei reoas a olych wykresach opowiaa sprężeiu e sobą reoasu wękowego i reoasów a poiomych krawęiach pasków. Poieważ ie astępuje roscepieie poiomów (brak jest silego oiaływaia pomięy moami), pojawiają się oe la jeej cęstości, tworąc skomplikoway rokła pola wiocy a wykresie rys. 7.18(c). Poieważ więksość eergii we węce reiem ielektrycym otocoym metalem jest skumulowaa w reiu w postaci eergii elektrycej, siliejse pola elektryce są uyskiwae la węk o miejsych grubościach.

122 1 7. Aalia moów cąstkowych struktury Grubość jeowarstwowej siatki metalowej wpływa a cęstotliwość moów lokaliowaych sprężoych pre cieką warstwę metalu, a także a rą reoasów wękowych a pioowych ściakach struktury, istiejących pry ostatecie użych grubościach. W prypaku baro użych wartości współcyika wypełieia, tworące się a pioowych graicach moy spręgają się popre prestreie mięy paskami metalu tworąc tw. moy wękowe (we wękach o otwartych końcach), co oatkowo moyfikuje cęstości wbueń i, popre wajeme oiaływaie moów, prowai o powstawaia prerw eergetycych. Rysuek 7.19 prestawia moy wękowe o kolejych ręach tworące się w sceliach o serokości 0 m. Skłaowa H jest silie wmocioa i występuje aturalie w miejscach, gie eruje się amplitua skłaowej E x y. W miarę więksaia ługości węki, ługość fali reoasowej rośie, gyż maleje wektor falowy plamou w sceliie. W opisay już sposób moża oblicyć wektory falowe plamoów la trech ręów reoasowych: k 0,0157m 1 1, 0,0314m, 1 0,0471m. Rysuek Rokłay uormowaych amplitu skłaowych pól E x, H y i E ora wartość i kieruek wektora Poytiga la trech ajiżsych ręów reoasów wękowych la cęstości: 0, 169 p, 0, 315 p, 0, 419 p. Okres siatki Λ 00 m, grubość 00 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ, jeoroe, symetryce otoceie ielektryce ( 1) Wękowy reoas o charaktere ipolowym ( m 1), e wglęu a ajwyżsą trasmisję, jest scególie użytecy p. w kocetratorach promieiowaia. Paa-

123 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 13 jąca eergia spręga się e strukturą perioycą w postaci plamoów powierchiowych i jest skupiaa w cetralej sceliie. Efektywa trasmisja promieiowaia w warukach wbueia mou reoasowego w sceliie powouje pojawieie się pola aikającego a wyjściu, które może ostać aabsorbowae pre ośroek etekcyjy. 3 cavity 3/3 o 4 cavity 5/5 eve 3 cavity 5/5 o cavity 3/3 eve cavity 5/5 eve 1 cavity 3/3 o 1 cavity 5/5 o Rysuek 7.0. Zależość cęstości fali paającej o grubości siatki w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( 1). Okres Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ. Po prawej stroie oacoo co rugą wartość grubości siatki m. Oacoo umer mou wękowego (cavity) ora symetrię (parysty eve, ieparysty o). Pole aikające jest wykorystywae także w wiualiacji, p. a pomocą skaigowego mikroskopu pola bliskiego. Mikrowęka reoasowa powouje sile sprężeie światła moami plamoowymi. Na otwartym końcu reoatora, w silym polu elektromagetycym, umiesca się próbkę, którą moża obserwować roielcością porówywalą serokością sceliy miejsą iż ługość fali pobuającej moy struktury. Możliwe jest także uyskaie skolimowaej i ieaikającej wiąki a wyjściu sceliy [45 51]. W tym celu ależy poowie sprąc światło plamoami a siatce yfrakcyjej umiescoej po obu stroach sceliy po stroie trasmisyjej,

124 14 7. Aalia moów cąstkowych struktury która umożliwia wypręgięcie SPP w postaci fali propagującej się. Popre opowieie obraie parametrów obu siatek moża uyskać poosiową (w prypaku ietycych struktur) bąź iepoosiową skolimowaą wiąkę w położu. Rysuek 7.0 prestawia ależość cęstości fali paającej o grubości siatki la struktury o użym wypełieiu, która umożliwia istieie moów wękowych w sceliach. Moy la wyżsych cęstości ( ) są kolejymi moami wękowymi w pioowych sceliach oatkowo istiejącymi moami a poiomych graicach pasków metalu tworącymi fale stojące o ręie reoasowym 5. Dięki moom w sceliach, istiejące sprężeie pomięy górą i olą krawęią umożliwia wbueie aalogicego mou a graicy położem awet la grubych optycie siatek. Ze wglęu a licbę maksimów pola w sceliie, moy a poiomych graicach moża iterpretować jako paryste (ieparyste) w prypaku parystego (ieparystego) mou w sceliie, gyż w prypaku mou parystego pole elektryce posiaa wa maksima preciwych aków w sceliie, co powouje sprężeie moów o tym samym rokłaie pola a powierchiach poiomych. Moy te silie oiałują e światłem propagującym się w prestrei, pojawieie się oatkowych ręów ugięcia pry cęstości 0, 455 powouje ieciągłość w wimach obicia i trasmisji ora więkseie ależości moów o cęstości. Presuwają się oe wra malejącą grubością siatki ku wyżsym cęstościom sybciej, iż la cęstości poiżej progu la ręów. Sprężeie moów SPP e swoboym promieiowaiem powouje bliżeie yspersji moów o liii światła. Aalogicie, moy wękowe koegystujące reoasami o ręie 3 a poiomych powierchiach powstają la więksych ługości fali (poiżej 0, 4 p ) i ieco grubsych warstw. Ciekawym jawiskiem są moy ajujące się a geometrycym prełużeiu reoasów 3/3 a poiomych graicach koegystujących moem wękowym ora reoasów 5/5 i iżsym moem wękowym (la cęstości 0,41 0, 4 p ). Są moami pośreimi pomięy tymi woma roajami reoasów. Wykres pola magetycego a rys. 7.1 powala a ietyfikację reoasów. Rą mou wękowego obiża się mimo wrostu cęstości, e wglęu a miejseie grubości siatki pole jest wypychae e sceliy i koło cęstości 0, 4 p pryjmuje rokła pośrei pomięy rugim i trecim ręem reoasu. Natomiast rą reoasów a poiomych krawęiach więksa się e wglęu a więkseie cęstości i sprężeie polem wypychaym e sceliy, co twory moy istiejące w całej strukture, a ie a poscególych paskach metalu. Dla 333m ( 0, 41 p ) ługość fali plamou ieaburoego (propa- p p

125 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 15 gującego się po styku metalu ielektrykiem) wyosi SPP 98m. Staowi to połowę okresu struktury, co, biorąc po uwagę baro wąskie sceliy struktury, cyli relatywie małe abureie plamoów propagujących się po poiomych powierchiach, oaca, że SPP są słabo aburae i tworą fale stojące a górej i olej powierchi w całej strukture, ie tylko a pojeycych paskach metalu. Moy a olej powierchi mają te sam charakter i powstają ięki trasmisji eergii pre wąskie sceliy. Rysuek 7.1. Natężeie pola elektrycego i magetycego la mou o cęstości 0, 4 p i grubości siatki 35 m. Okres Λ 600 m, wypełieie struktury f 0, 9Λ. Moy istiejące w sceliach ie są wykłymi moami wękowymi e wglęu a iy rokła pól elektrycego i magetycego. Cysty mo we węce otwartym końcem charakteryuje się tym, że pole elektryce pryjmuje wartości maksymale w płascyach wyjściowych węki, atomiast pole magetyce eruje się. Tutaj mamy o cyieia sytuacją owrotą, wymusoą istieiem plamoów a poiomych powierchiach w całej strukture, ie a pojeycych elemetach, ora ieopasowaiem waruków reoasowych. Węka achowuje się, jakby współcyik ałamaia wewątr był więksy iż współcyik ałamaia położa. Obicie o położa o iżsym współcyiku ałamaia skutkuje miaą fay fali obitej, co może być iterpretowae jako istieie węki amkiętym końcem Zależoś o okresu i parametrów materiałowych Aby uupełić popreie roważaia, a rys. 7. wykreśloe ostały relacje yspersji struktury w prestrei spektralej la jeowarstwowej siatki o grubości 10m a położu ielektrycym ( 3 1, 5) o stałych wymiarach poprecych pasków ( 150 m ) la różych okresów.

126 16 7. Aalia moów cąstkowych struktury Zmiaa współcyika ałamaia jeego ośroków otacających strukturę skutkuje miaą ługości i prękości fali propagującej się w aym ielektryku, co powouje miaę waruków reoasowych ukłau i presuięcie się maksimów absorpcji. Więksy współcyik ałamaia położa powouje pojawieie się oatkowych progów wiąaych aomaliami Rayleigha w położu la cęstości miejsych iż aalogice aomalie la powietra. Nachyleie prostych opowiaających progowi Rayleigha jest rówe prękości faowej fali w aym ielektryku. Care liie wyacają aalitycie położeie SPP a głakiej warstwie metalu w prypaku braku iych akłóceń oblicoe popre pryrówaie wektora falowego fali paającej o wektora falowego plamou: m si c c. (7.6) Rysuek 7.. Zależość absorpcji o cęstotliwości fali i wektora falowego la struktur o okresach o Λ 00 m o Λ 500 m. Serokość paska metalu w każym prypaków jest stała i rówa 1 4 1, 1, m, wysokość siatki: 10 m, współcyiki ałamaia: W miarę miejsaia oległości mięy paskami (miejsaia okresu) reoase plamoowe la miejsych cęstości cora bariej oalają się o aomalii Wooa w stroę łużsych fal i miejsa się ich kąt achyleia, atomiast reoase la krótsych fal abierają charakteru elokaliowaego, gy spełioy jest waruek opasowaia ługości fali o perioycości struktury. Moy te oają presuięcia ku cerwiei a bregach i w cetrum strefy i mogą oiaływać moami lokaliowaymi a paskach metalu. Są wiąae powietrem bąź położem, a ich ługość fali rośie wra okresem (yfrakcja Bragga). Moy lokaliowae ie ależą o kąta paaia fali pobuającej. Oaca to istieie cora

127 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 17 więksego oiaływaia w polu bliskim pomięy reoasami i miejseie wpływu wartości wektora falowego a plamoy, a więc i a całościową opowieź struktury. Dla wyżsych cęstości pojawiają się wyraźe prerwy eergetyce a graicach strefy Brillouia, co oaca abureia propagacji SPP. Zwiękseie wielkości prerw powouje alse presuięcie moów SPP ku cerwiei ora miejseie kąta achyleia krywych yspersji. Zmiaa kąta paaia fali a strukturę skutkuje łamaiem symetrii i roscepieiem yspersji plamou a wie gałęie, rosuwające się w miarę więksaia skłaowej poiomej paającego wektora falowego. Rysuek 7.3. Nieerowe skłaowe pól, ich atężeia ora amplitua i kieruek wektora Poytiga la yspersyjego mou a siatce o okresie Λ 300 m, wypełieiu f 0, 5Λ, wysokości 10 m. Cęstość fali: 0, 55 p, k 0, 8π Λ ( ), współcyiki ałamaia: 1 4 1, 1, ,5 Systematyce więksaie separacji pomięy elemetami siatki powouje miejseie ich wajemego oiaływaia wyikającego e sprężeia w polu bliskim plamoów lokaliowaych a każym pasków. Dla cora więksych okresów acyają omiować ieyspersyje moy lokaliowae a poiomych krawęiach paska metalu, gyż powyżej pewego akresu roseparowaia moy lokaliowae a poscególych paskach baro słabo spręgają się e sobą i wrost separacji ie ma wpływu a ich cęstości. W prypaku braku wajemego sprężeia, ich położeie (la aej fukcji ielektrycej metalu) ależy o ługości aej krawęi i efektywej ługości fali w ośroku ielektrycym. Ich cęstości poostają iemiee la więksającego się okresu, gyż fiyce wymiary pojeycych pasków poostają stałe.

128 18 7. Aalia moów cąstkowych struktury Wrost okresu struktury powouje presuięcie reoasu Bragga ku miejsym cęstościom e wglęu a reukcję wymiarów pierwsej strefy Brillouia. Zwiękseie ieopasowaia pomięy ługością fali a perioycością struktury skutkuje aikiem moów elokaliowaych wyikających yfrakcji Bragga. Dla więksych okresów ie wiać już sprężeia ai w polu bliskim, ai w wyiku yfrakcji, istieją tylko moy lokaliowae a poscególych roseparowaych paskach, których cęstość jest ieależa o wektora falowego. Jeak absorpcja całej struktury stopiowo się miejsa e wglęu a cora miejsy prekrój cyy (cora iżse maksima absorpcji la rosących okresów). (a) (b) (c) Rysuek 7.4. Absorpcja la pojeycej siatki w ależości o jej grubości, (a) 1, , , 5 3. Poostałe parametry: Λ 600 m f 0, 4Λ. 4 Prykłaem może być ieyspersyjy ajiżsy mo wiąay położem la struktury o okresie Λ 00m. Jest to mo, który wyewoluował mou wękowego pierwsego ręu, wbuaego w prestrei pomięy metalowymi elemetami, który aika la więksych okresów e wglęu a rosącą separację pasków. Poieważ okres 00 m la tego akresu cęstości jest ieopasoway (byt mały) by umożliwić wyaje spręgaie w polu alekim pomięy kolejymi elemetami struktury, sygatura spektrala mou ie ależy o cęstości i jest wyikiem powstawaia ieależych moów wękowych w sceliach pomięy elemetami. Natomiast okres Λ 50m, a w scególości Λ 300m umożliwia powstaie mou propagującego się a styku metalu położem (o współcyiku ałamaia 3 1,5 ), mo staje się yspersyjy, a jego cęstość acya ależeć o wektora falowego. Z tego samego powou mo aika la więksych okresów. Rysuek 7.3 prestawia ieerowe skłaowe pól, atężeia i wektor Poytiga la omawiaego mou propagacyjego. Różice w rokłaie skłaowej E pola elek-

129 7.. Moy jeowymiarowej jeowarstwowej struktury perioycej 19 trycego powyżej i poiżej siatki wskaują a lokalioway charakter reoasu (o małej amplituie) a górej powierchi ora a propagacyjy charakter a olej powierchi, co ajuje potwiereie a wykresie wektora Poytiga. Wykresy a rys. 7.4 prestawiają ależość cęstości moów o grubości siatki la ietycych struktur w różych otoceiach ielektrycych. W prypaku, gy struktura otocoa jest powietrem, reoase wiąae e miaą charakteru wyżsych ręów ugięcia pojawiają się la cęstości 0, 75 i 0,455 p. W prypaku miay współcyika ałamaia położa bąź wypełieia siatki, oatkowe reoase wiąae ielektrykiem o wyżsym współcyiku ałamaia pojawiają się la cęstości 0, 1517 p, 0,3033 p, 0,455 p, 0,6067 p. p Rysuek 7.5. Zmiaa położeia pików reoasowych w ależości o cęstotliwości fali paającej la siatek o grubości 10 m i różych współcyikach ałamaia otoceia. Poostałe parametry: Λ 600 m, f 0, 4Λ. Ze wglęu a miejseie ługości fali w ielektryku, w miarę więksaia współcyika ałamaia otoceia struktury w aym akresie grubości pojawia się cora więcej reoasów sprężoych wiąaych poiomymi i pioowymi płascyami pasków metalu. Są to reoase, których iewielkie presuięcie ku cerwiei wra e wrostem grubości warstwy wskauje a wykłą ależość fali stojącej o ługości reoatora. Im wyżsy współcyik ałamaia otoceia, tym krótse moy i tym więcej moów pojawia się la aego akresu grubości siatki. Powoem jest miejseie efektywej ługości fali plamou w ielektryku, co sprawia, że wpływ ługości reoatora (paska metalu) staje się cora istotiejsy. Rysuek 7.5 prestawia piki kolejych reoasów la rosącej cęstości w prypaku struktur o grubości 10 m i różych współcyikach ałamaia otoceia. Wiać presuięcie cęstości reoasowych ku cerwiei w wyiku więkseia współcyików ałamaia 4 i 3. Poieważ la tak ciekich struktur istieją jeyie moy a poiomych krawęiach pasków i ie ma moów a pioo-

130 Aalia moów cąstkowych struktury wych krawęiach, miaa współcyika 4 pomięy paskami metalu ie wpływa a położeie reoasów. Istote presuięcie reoasów e wglęu a miaę ługości fali w ielektryku wiać la grubsych struktur, w których istieją reoase a wsystkich krawęiach. Tak więc w ależości o współcyika ałamaia ielektryka, la aej cęstości (rys. 7.6) mamy o cyieia reoasami różych ręów a różych krawęiach. Dla wyżsych cęstości wiać wyraźy wpływ wypełieia ielektrycego struktury. Koleje reoase acąco presuwają się ku cieńsym strukturom, gy wra e wrostem współcyika ałamaia ośroka rośie ługość fali wbuającej ay reoas. Na wykresie schematycie oacoo cyframi ręy reoasów a poiomych i pioowych graicach Rysuek 7.6. Zmiaa położeia pików reoasowych w ależości o grubości siatki la cęstości 0, 385 i różych współcyików ałamaia otoceia. p W prypaku, gy współcyiki położa i powietra ie są sobie rówe, astępuje więkseie wektora falowego plamou propagującego się po graicy metalu ielektrykiem o współcyik ałamaia ośroka. Tak więc cęstości wbueia plamou a olej powierchi bęą ie iż a górej. Jest jeak możliwe wbueie SPP a obu graicach pry tej samej ługości fali ięki opowieiemu obraiu parametrów. Możliwe jest wtey jeocese wbueie różych ręów ugięcia a obu graicach. Taka iterferecja, pry ałożeiu ostatecie ciekich siatek, także powouje powstaie prerwy eergetycej a wykresie yspersji w okolicy precięcia liii yspersji la plamoów a graicy metalu powietrem i ielektrykiem. Pojawia się, gy p. rugi rą w ielektryku jest wbuay pry tej samej eergii fali, co pierwsy rą w powietru. Poieważ siatka jest wy-

131 7.3. Sprężeie pomięy warstwami 131 starcająco cieka, by umożliwić oiaływaie pomięy moami, iterferują oe e sobą oprowaając o powstaia prerwy eergetycej. Zwykle jest oa miejsa o prerwy powstałej oiaływaia moów tego samego ręu po jeej stroie siatki. Oaca to, że moy po obu stroach są słabiej spręgae iż plamoy propagujące się po tej samej stroie. Występuje wtey więksoa trasmisja pre metalową siatkę. Poieważ współcyik ałamaia położa jest więksy o współcyika ałamaia powietra, ie astępuje całkowite obicie. Pole paające ostaje ugięte a siatce. Gy waruek a wektor falowy jest spełioy, a powierchi metalu ostają wbuoe propagujące się SPP (ieraiacyje), które mogą spręgać się moami propagacyjymi w położu. Tak więc siatka ie tylko opowiaa a sprężeie światła paającego o plamou, ale i wypręgięcie plamou o moów propagacyjych. Popre miaę właściwości optycych położa, moża moyfikować raiacyje sprężeie moów falowoowych o fal płaskich propagujących się w prestrei Sprężeie pomięy warstwami Struktura wuwarstwowa, awet łożoa jeyie wóch siatek metalowych, może być w pewym prybliżeiu traktowaa jako krystał polarytoowy, bęący perioycym ośrokiem, w którym występują jeoceśie reoase elektroice (a które opowiaają plamoy) i fotoice (pochoące perioycej moulacji stałej ielektrycej materiału). Sprężoe reoase fotoice i elektroice są aywae polarytoami tego powou krystały fotoice powalające a wbueie obu typów reoasów, są aywae krystałami polarytoowymi [10]. W strukturach wielowarstwowych, poa wymieioymi w popreich poroiałach reoasami wiąaymi pojeycą warstwą, pojawiają się oatkowe reoase wiąae oiaływaiem pomięy poscególymi siatkami w polu bliskim. Ze wglęu a acy stopień skomplikowaia agaieia ora ograicoą objętość iiejsej pracy, aalia wuwarstwowych struktur ostaie sprowaoa jeyie o wymieieia oatkowych reoasów sprężoych wra umerycą preetacją prykłaowych oiaływań mięywarstwowych be okłaej aaliy mechaimu ich powstawaia ora ich ależości o parametrów geometrycych i materiałowych. Te skomplikoway problem (wuwarstwową roseparowaą strukturę) moża sprowaić o prostsego (pojeyca siatka) popre obraie baro grubej warstwy ielektryka pomięy siatkami, która ie powoli a spręgaie się struktur w polu bliskim. Zamiast oatkowej siatki, moża roważyć oaie metalowej warstwy (bąź wóch, tworących wękę) w okolicy perioycej warstwy metalu, co prowai o powstaia owych roajów moów wią-

132 13 7. Aalia moów cąstkowych struktury aych węką reoatora [9]. Aalogicie, wuwymiarowe krystały polarytoowe moża otrymać ięki perioycej moyfikacji właściwości optycych warstwy metalu, ięki cemu otwiera się możliwość maipulacji właściwościami plamoów propagujących się po powierchi w owolym kieruku. Aalia takiej struktury wykraca jeak poa ramy iiejsej pracy, może atomiast staowić iteresujący temat alsych baań w tym akresie [ ]. Rysuek 7.7. Schemat oiaływań w plamoowej strukture wuwarstwowej łożoej wóch jeowymiarowych perioycych siatek metalowych roieloych warstwą ielektryka. Dwuwarstwowa metalowa struktura perioyca powala a kotrolę oiaływaia różego roaju moów w baro użym akresie. Na rys. 7.7 aacoo schematycie możliwe oiaływaia w wuwarstwowej strukture metalowej warstwą separującą. Poa moami opisaymi w popreich poroiałach (p. wiąaymi moami sprężoymi popre metal białe strałki), mogą pojawić się oatkowo moy sprężoe wiąae oiaływaiem pomięy reoasami wiąaymi górą i olą warstwą (ieloe strałki), wypakowe moy propagujące się wiąae perioycością struktury w strukturach asymetrycych ( 0 żółte strałki) wiąae e sprężeiem w polu bliskim bąź yfrakcyjie x pomięy kolejymi elemetami siatki, poiome lub pioowe moy wękowe w tworących się mikroreoatorach pomięy paskami w obrębie jeego okresu lub pomięy okresami (w pojeycej warstwie cerwoe strałki, pomięy warstwami graatowe strałki), a także moy falowoowe prowaoe w całej strukture (różowa strałka). Aalia takiej struktury jest ość skomplikowaa, własca pry oatkowym ałożeiu asymetrycości ielektrycego otoceia siatki. W roiale tym problem moów wiąaych oiaływaiem pomięy obiema warstwami struktury ostaie jeyie asygalioway, jako rosereie agaieia moów wbuaych a jeowarstwowej strukture perioycej.

133 7.3. Sprężeie pomięy warstwami 133 Zając moy a pojeycej metalowej siatce, moża preśleić wpływ ukłau wóch poobych struktur a wbuae reoase i opowieź optycą całej struktury. Ciekawym prykłaem moów sprężoych pomięy wiema siatkami są, oiałujące silie e sobą la małych grubości ielektryka, plamoy lokaliowae a poscególych elemetach każej siatek. Rysuek 7.8 prestawia amplituy ieerowych skłaowych pola EM la wysoko- i iskoeergetycej gałęi mou (opowieio mou parystego i ieparystego) la struktury łożoej wóch jeakowych siatek metalowych. (a) (b) (c) Rysuek 7.8. (a) Zależość cęstości o grubości warstwy ielektryka la 10 m, Λ 600 m, f f 0, 4Λ. (b) i (c) Uormowae amplituy skłaowych 1 1 E x, H y i E la mou parystego ( 0, 384 p ) i ieparystego ( 0, 36 p ) la 50 m w jeoroym, symetrycym otoceiu ielektrycym ( iel 1 3 ). 1 4 W obu prypakach mamy o cyieia moem parystym tego samego ręu ( m 3) a każym pojeycym pasku (symetrycy rokła E x wyikający reżimu paaia ormalego), jeak e wglęu a fakt, że cęstości obu plamoów cąsteckowych są jeakowe w obu warstwach, la ostatecie ciekich warstw separujących plamoy spręgają się e sobą. Powouje to roscepieie ich poiomów eergetycych tym więkse, im miejsa grubość warstwy ielektrycej pomięy elemetami metalowymi (cyli im więkse sprężeie w polu bliskim pomięy moami). Mo sprężoy o iżsej eergii wykauje asymetrycy rokła amplituy wglęem płascyy poiomej prebiegającej w połowie wysokości warstwy ielektryka, gyż siły prywracające (sprężystości), powstałe

134 Aalia moów cąstkowych struktury w wyiku kolektywego presuięcia swoboych elektroów w olej i górej warstwie, wajemie się osą, co prowai o obiżeia cęstości reoasowej. W prypaku mou o wyżsej eergii, symetrycy rokła pól w obu warstwach jest wyikiem iałaia sił prywracających skierowaych w tę samą stroę, co prowai o ich wajemego wmocieia, a atem i wrostu cęstości reoasowej. Sile wmocieie pola magetycego pomięy paskami w prypaku mou o iżsej eergii wyika faktu, że skłaowa pola E x jest skierowaa w tych miejscach w preciwe stroy. Pioowe ograiceie mou o okolicy struktury jest baro uże. Spowoowae jest sprężeiem w polu bliskim pomięy górym i olym paskiem, co powouje silą lokaliację pola elektrycego pomięy prewoikami. (a) (b) Rysuek 7.9. (a) Zależość cęstości o grubości warstwy separującej la ukłau wóch siatek o okresie Λ 800 m, wypełieiu f f 0, 3Λ i presuięciu 0. 1 iel Prerywae krywe wyacają aalitycą ależość la kolejych reoasów we węce o skońcoej ługości. (b) Rokłay atężeia pola elektrycego i magetycego la pierwsego mou wękowego w strukture ( 300 m, 0, 17 p ). Presuięcia spektrale silie ależą o grubości ielektryka. Im iżsy rą reoasu, tym łużej wykauje yspersję w ależości o grubości warstwy separującej. Dieje się tak latego, że reoase o iżsych ręach mają więkse ługości fali i ich pola wikają głębiej w ośroki ielektryce. Dla moów wyżsych o postawowego, w więksości aaliowaych kofiguracji warstwa ielektryca o grubości ~ 150m jest już wystarcająca by apobiec wajememu oiaływaiu moów. Iym prykłaowych reoasów pochoących e wbueń i sprężeń pomięy elemetami obu siatek w tym samym okresie jest pioowy reoas wę- iel x

135 7.3. Sprężeie pomięy warstwami kowy (rys. 7.9) pojawiający się la struktur o erowym lub bliskim era presuięciu wglęym warstw x. Wykres lewej stroy pokauje ależość cęstości o grubości warstwy separującej la 800m, f f 0, 33Λ i 0. W prypaku braku presuięcia wajemego warstw wiać wyraźe moy wękowe o cęstości malejącej w miarę wrostu grubości ielektryka (ługości reoatora). Robieżości la wyżsych cęstości (miejsych ługości węki) mogą wyikać rosącej siły oiaływań w polu bliskim pomięy plamoami a górym i olym pasku metalu. Z kolei w polu alekim istotą rolę mogą ogrywać wyżse ręy yfrakcyje. Wykresy prawej stroy obraują rokła atężeń pól elektrycego i magetycego la mou o ręie m 1. Wiać prąy presuięcia wiąae silym polem elektrycym lokaliowaym a graicach paska. x Rysuek Rokła uormowaych ieerowych skłaowych pola EM ora atężeń pola elektrycego i magetycego w otoceiu siatki o okresie Λ 600 m, wypełieiu f 1 0, 4Λ i f 0, 6Λ ora presuięciu x 0, 83Λ, grubość ielektryka: iel 50 m, 0, 156 p, współcyiki ałamaia ielektryków: 1, 1, Iym prykłaem może być mo falowoowy wiąay całą strukturą (rys. 7.30). Eergia propaguje się główie w warstwie separującej w jeą e stro, pomimo paaia ormalego. Prepływ eergii pryjmuje preferoway kieruek prostopały o kieruku paającego wektora falowego, wyikający jeyie asymetrii geometrycej struktury. Istote puktu wieia aplikacyjego właściwości takiej struktury perioycej pojawiają się la wóch typów reoasów: w prypaku moów lokaliowaych i wękowych mamy o cyieia baro silą kocetracją eergii a stosukowo małym obsare. Prowai to o acego wrostu atężeia pola iel

136 Aalia moów cąstkowych struktury i wmocieia sygału w techologiach spektroskopowych: SERS, fluorescecji, fotolumiescecji, a także o więkseia roielcości w wiualiacji aoobiektów (SNOM) i maipulacji aocąstkami a pomocą pola elektromagetycego. Struktury tego typu umożliwiają także etekcję pojeycych cąstek ięki iewykłej wrażliwości plamoów a waruki otoceia, co ma istote aceie w kostruowaiu biologicych i chemicych cujików wykorystywaych o kotroli aiecysceń śroowiska. Poato a siatkach yfrakcyjych istieją także moy wyikające e sprężeia pomięy elemetami metalowymi w poscególych okresach. Ich wyaja propagacja w wybraym kieruku, a także możliwość maipulacji i prełącaia, może umożliwić opracowaie ośików iformacji optycej, traystorów opartych a plamoice ora filtrów kolorów prowaących o selektywej trasmisji [109].

137 8 Fiyce postawy kierukowości Iteresującym problemem są fiyce prycyy miay kieruku propagacji eergii w strukture. Zjawisko to może być aaliowae popre aalogię opisywaej siatki yfrakcyjej i krystału fotoicego (polarytoowego [ ]), którego relacja yspersji może być porówywaa yspersją la ukłau wóch warstw opisaych w roiale 6. Poobieństwa pomięy relacjami powalają a postawieie tey, że mechaimem opowiaającym a miaę kierukowości jest miaa kieruku wektora prękości grupowej fali roprosoej a siatce perioycej wyikająca ekompoycji fali paającej a siatkę w okolicy powstającej prerwy eergetycej bęącej wyikiem oiaływaia wóch moów e sobą. Struktury skłaające się warstw materiałów o preciwych akach preikalości ielektrycej powalają a propagację moów (w pewym preferowaym kieruku), które w materiale łożoym warstw o preikalościach ielektrycych tych samych aków byłyby aikające [115]. Kieruek propagacji eergii w krystale polarytoowym określoy jest pre wektor prękości grupowej, cyli ormalą o powierchi ekwieergetycej pasma fotoicego w strukture [116]. Propagacja światła w siatce yfrakcyjej o okresie Λ może być prestawioa pry pomocy ekompoycji fali płaskiej a strukture perioycej. W prestrei wektorów falowych ekompoycja struktury o słabej moulacji sprowaa się o okręgów opowiaających wartościom wektora falowego la stałej cęstości, powieloych perioycie włuż wektora siatki la kolejych ręów ugięcia. Z asay achowaia wektora falowego wyika, że la aej fali pobuającej istieje więcej iż jea fala, która może ostać wbuoa w strukture. Pukt precięcia wóch okręgów jest puktem osobliwym w prestrei wektorów falowych, w którym kieruek propagacji jest ieokreśloy i w którym, w wyiku oiaływaia, pojawia się prerwa eergetyca. Tak więc awet iewielka miaa kąta paaia fali w okolicy prerwy może spowoować acące miay kieruku fali roprosoej, e wglęu a jej umiejscowieie a sąsieich (iekstałcoych) okręgach, co opowiaa acącym miaom kieruku wektora prękości grupowej.

138 Fiyce postawy kierukowości Mechaim te leży u postaw sterowaia wiąką (beam steerig) w falowoach baujących a siatkach yfrakcyjych [117, 118]. Na tej samej asaie moża wyjaśić jawisko całkowitego wewętrego obicia: okrąg opowiaający propagacji w ośroku, którego paa fala jest więksy o okręgu la ośroka, o którego się trasmituje (e wglęu a więksy współcyik ałamaia), a więc la skłaowych wektora k więksych o pewej wartości ie istieją rowiąaia recywiste w ośroku olym i fala ie może się propagować w położu powyżej pewego kąta paaia. W prypaku krystału fotoicego (siatki yfrakcyjej) o słabej moulacji współcyika ałamaia, miesaie się fal ie abura acąco rokłau powierchi ekwieergetycych i wbuae w krystale fale Blocha moża jeoacie określić jako trasmitowae lub ugięte, w ależości o ich wektora K. Jeak w strukturach o silym kotraście mamy o cyieia miesaią wielu skłaowych fali pochoących o różych wektorów K, co oaca, że powierchie ekwieergetyce ie mogą ostać rołożoe a proste okręgi pochoące o poscególych ręów ugięcia. Tak więc prosty opis wykorystyway pry aaliie siatek yfrakcyjych o słabej moulacji ie może ostać aaaptoway o prypaku silej moulacji, który wykauje achowaie chaotyce. W tym wypaku kstałt powierchi ekwieergetycej ie umożliwia otworeia kstałtu okręgów la pustej struktury (o ikomej moulacji). Oaca to, że wykła fala trasmitowaa ie istieje la żaego kąta paaia, a wbuoe fale Blocha ie mogą ostać prybliżoe pojeycą falą ugiętą a siatce, ale są silą miesaią fal ugiętych o różych wektorach falowych [116] Dyspersja la warstw jeoroych w kieruku x System jeoroych warstw metalu i ielektryka ułożoych apremieie jea a rugą staowi ajprostsy prykła metamateriału. Dla ostatecie ciekich warstw ukła te może być ropatryway jako jeoroy ośroek aiotropowy o różych preikalościach ielektrycych w kieruku x i, charakteryoway pre efektywy współcyik ałamaia. Relacja yspersji takiego ośroka opisywaa jest worem [115]: k x k, (8.1) c x gie skłaowe aiotropowej preikalości ielektrycej: x. (8.) 1, 1 1 x

139 8.1. Dyspersja la warstw jeoroych w kieruku x 139 Rysuek 8.1 prestawia aalityce relacje pomięy k x i k la stałej cęstości la bestratych jeoroych ośroków aiotropowych o ieskońcoej grubości, opisywaych a pomocą relacji yspersji (8.1) la ielektryka 1 1 (iebieska prerywaa liia) i 1, 5 (ieloa prerywaa liia). Aalia relacji yspersji powala a roumieie opowiei ukłau a pobueie falą elektromagetycą. W prypaku, gy arówo x jak i jest oatie, mamy o cyieia relacją yspersji la fali propagującej się w wolej prestrei (okrąg). Zwiękseie współcyika ałamaia wypełiającego strukturę powouje powiękseie okręgu e wglęu a koiecość spełieia waruku opasowaia faowego. Zakres wartości k x, la których k jest recywiste jest ograicoy powyżej pewej wartości k x ie istieją fale propagujące się o recywistych wartościach, istieją jeyie fale aikające o urojoym k. Z kolei, gy x i pryjmują preciwe aki, akres wartości k x opowiaających falom propagującym się, jest acie więksy [115]. Rowiąaia relacji yspersji la stałej cęstości istieją w postaci hiperbol, które ążą asymptotycie o liii prostych, ie wykaując wartości ocięcia. Zatem w prypaku ieskońcoego, jeoroego ośroka aiotropowego o preciwych akach preikalości ielektrycych x i fale propagujące się istieją la całego akresu k x. Kieruek propagacji eergii jest określoy a pomocą prękości grupowej k, która jest prostopała o krywej ekwieergetycej [116]. W tym g prypaku wektory prękości grupowej są skierowae a ewątr stożka utworoego pre obrót krywych hiperbolicych wokół osi OZ (e wglęu a ieroróżialość kieruków x i y ). Kstałt krywych ależy o cęstości i parametrów materiałowych struktury. W te sposób moża określić i moyfikować preferoway kieruek propagacji eergii w ukłaie. W tym prypaku ie istieją moy propagujące się o wektorach falowych leżących w obsare otacającym k 0, jak rówież ie ma moów propagujących się o wektorach prękości grupowej leżących wewątr stożka, jak to ma miejsce w wyżsym paśmie (ie prestawioym a wykresie). Nieco iacej jest w prypaku struktury o skońcoej grubości warstw. Opowieź takiego ukłau może być kotrolowaa a pomocą cęstości fali, parametrów materiałowych ora grubości warstw. Złamaie iotropii ukłau popre ałożeie istieia warstw o skońcoych grubościach prowai o powstaia ośroka perioycego w kieruku i ograiceia akresu wektorów k, la których istieją fale propagujące się. Krywe ekwieergetyce oalają się o kieruków wyacoych pre hiperbole w stroę graic strefy Brillouia (ciągłe liie iebieska i ieloa a rys. 8.1) wyacoej pre wartości, gie jest całkowi- k x x

140 Fiyce postawy kierukowości tą grubością wielowarstwowej komórki perioycej, pry cym fiyce aceie ma jeyie pierwsa strefa Brillouia. Moel aiotropowego ośroka jeoroego staowi tym lepse prybliżeie recywistej struktury, im cieńse warstwy ostaą więte po uwagę. Im grubsa struktura, tym miejsa strefa Brillouia i więkse ograiceie wartości k. Aalogicie o prypaku ośroka jeoroego, kieruek propagacji fali jest określoy popre wrot wektora prękości grupowej i, w tym prypaku, skieroway a ewątr moyfikowaego stożka. Rysuek 8.1. Aalityca ależość pomięy k x i k la cęstości 0, 157 w prypaku jeoroego aiotropowego ośroka o ieskońcoej grubości charakteryowaego preikalościami x i oblicoymi la parametrów: 1 1 i 1 p (iebieska prerywaa liia) ora, 1 5 i 1 p (ieloa prerywaa liia), a także ależość la powietra 1 (cara liia) i ielektryka, 5 (cerwoa liia). Ciągłe krywe: ależość la aalogicych struktur perioycych o skońcoych grubościach warstw ( 7 1 m, 11 m ). Z tego puktu wieia, struktura warstwowa prypomia materiał aiotropowy i, poobie jak o, choć w miejsym akresie, powala a propagację fal, które w wykłym ośroku byłyby aikające. Jest to wyikiem miay aku fukcji preikalości ielektrycej a graicach metalu ielektrykiem i trasmisji fali popre sprężeie plamoami powierchiowymi [115]. Tak więc la struktury warstwowej, wyjątkiem fal, la których k 0, wektory prękości grupowej są skierowae prawie rówolegle o osi k, co staowi postawę o projektowaia struktur o wybraym kieruku propagacji eergii. x p

141 8.. Dyspersja la warstw perioycych w kieruku x Dyspersja la warstw perioycych w kieruku x Jakkolwiek aalia ukłau w prybliżeiu ośroka efektywego staowi uże ułatwieie arówo puktu wieia obliceń jak i roumieia fiycych postaw achoących jawisk, w prypaku recywistej struktury o skońcoej grubości warstw i oatkowej perioycości w kieruku x iebęa jest także aalia umeryca. Skomplikowae prypaki struktur moża aaliować pry pomocy metoy maciery trasmisji (5.6) [64], waej także metoą maciery charakterystycej (characteristic matrix) [119], maciery ABCD [71] lub maciery łańcuchowej (chai matrix) [10], uależiającej skłaowe pola w wóch rówoległych płascyach w aej warstwie. Ilocy maciery charakterystycych opowiaających każej warstw opisuje cały ukła perioycy. Wartości włase maciery charakterystycej o jeostkowym moule są rowiąaiami opisującymi moy Blocha. Na postawie wartości własych maciery moża wyacyć relację yspersji ukłau [115]: ik e. (8.3) Wykres a rys. 8. prestawia ależość la cterech jeoroych warstwowych struktur o grubościach poscególych warstw rówych grubościom w opisaym prypaku presuięcia horyotalego (ro. 6.4), a które ostał poieloy jee okres wuwarstwowej siatki. Aby uikąć prypaku, gy obie warstwy są metalowe, pomięy siatki wprowaoo warstwę ielektryka o baro małej grubości. Ctery krywe a wykresie opowiaają cterem różym obsarom perioycym w kieruku y, które ostały potraktowae (oielie) jako jeoroe w kieruku x. Wiać spoieway charakterystycy okrąg jako prekrój stożka w prypaku cwartym (warstwy ielektryce) ora, baro pioowe, wygięte w stroę graicy strefy Brillouia hiperbole opowiaające strukture łożoej apremieie ułożoych warstw ielektryka i metalu. Krywa la prypaku rugiego pojawia się la baro użych wartości k e wglęu a iewielką grubość warstwy ielektryka, która powouje, że w wąskich sceliach mogą istieć jeyie plamoy o baro małej ługości fali. W obliceiach pryjęto straty metal, co powouje obecość ieerowych rowiąań la k 0 ora wygięcie krywych la rosących wartości k x ążących asymptotycie o graic strefy Brillouia. Poobie jak w popreim prypaku, wektory prękości grupowej są skierowae prostopale o krywych i a ewątr, w stroę więksych k, co obrauje preferoway kieruek propagacji eergii w ukłaie pry aej wartości skłaowej k x. Ta krótka aalia może być puktem wyjścia o alsych roważań a opowieią optycą bariej skomplikowaych struktur asymetrycych ora o projektowaia x x

142 14 8. Fiyce postawy kierukowości urąeń optycych powalających a propagację moów, które miałyby charakter aikający w ośroku ielektrycym, o selektywym kieruku propagacji. Rysuek 8.. Zależość pomięy k x i k la cęstości 0, 157 la cterech jeoroych w kieruku x warstwowych struktur o ukłaie warstw opowiaającym obsarom aacoym a schemacie po prawej i o grubościach opowiaających prypakowi presuięcia horyotalego. Grubość warstwy ielektryka pomięy siatkami wyosi m. iel Wykresy a rys. 8.3 prestawiają kotury o stałej cęstości ( 0, 157 ) w ależości o k x i k la cora bariej skomplikowaych ukłaów, perioycych w kieruku x. Dla prejrystości prestawioe ostały ależości tylko la jeego prypaku. We wsystkich prypakach struktura wygląa tak samo (asymetria horyotala la presuięcia x 0. 35Λ ), różi się jeyie współcyikami ałamaia poscególych ielektryków, jak jest to wyscególioe w treciej kolumie. W pierwsej kolumie prestawioe są recywiste rowiąaia relacji yspersji pry ałożeiu jeego tylko (erowego) ręu ugięcia. Krywe są wtey aalogice o wykresów la jeoroej warstwy. W śrokowej kolumie m 1,0,1, pry cym ostati wykres prestawia sytuację opo- ręy są try, wiaającą strukture prowaącej eergię w lewo pry presuięciu horyotalym. Cerwoe okręgi oacają ależość la fali paającej powietra. W prypaku ukłau o perioycości w kieruku x, strefa Brillouia istieje także la k x. p p

143 8.. Dyspersja la warstw perioycych w kieruku x Rysuek 8.3. Zależość pomięy k x i k la cęstości struktury opowiaającej asymetrii horyotalej la presuięcia 0, 157 w prypaku p x 0, 35Λ o różych współcyikach ałamaia poscególych ielektryków (trecia koluma). Lewa koluma: erowy rą ugięcia, śrokowa koluma: try ręy ugięcia. Cerwoe okręgi oacają ależość la fali paającej powietra. Struktury symetryce charakteryowae są pre symetryce yspersje. W prypaku bariej łożoych ukłaów wiać wyraźe łamaie symetrii i łożoość opowiei systemu. W prypaku struktur o silej moulacji ie a się preśleić ewolucji moów pochoących o poscególych ręów ugięcia e wglęu a sile oiaływaie pomięy imi. Dla k w pierwsej strefie Brillouia pojawiają się moy e stref o więksych wektorach, co skutkuje acym x

144 Fiyce postawy kierukowości skomplikowaiem ależości yspersyjej. Wbuoe fale Blocha ie mogą ostać prybliżoe pojeycą falą ugiętą, ale są silą miesaią fal ugiętych o różych wektorach falowych [116]. Dla więksej ilości ręów ugięcia ależość staje się cora bariej chaotyca. Rysuek 8.4. Zależość pomięy k x i k la cęstości 0, 157 (iebieskie liie) ora 0, (cerwoe liie) w prypaku struktury opowiaającej asymetrii horyotalej la presuięcia p x 0, 35Λ la trech ręów ugięcia. Tak więc fala paająca o wektore 0,0, k k 0 może wbuić kilka różych moów. Z wykresów wyika, że ie ma puktu ocięcia, cyli wartości k x, powyżej których ie istiałyby recywiste rowiąaia k. Chociaż struktura pasmowa tej kofiguracji jest iewykle skomplikowaa, ależy pamiętać, że ie wsystkie moy wioce a wykresie yspersji mogą ostać pobuoe jeakową wyajością. Miejsca precięcia bąź oiaływaia pomięy moami są puktami, w których kieruek propagacji ie jest jeoacie określoy, co oaca, że awet iewielka miaa kąta paaia fali w okolicy tego puktu może spowoować acące miay kieruku wektora prękości grupowej, a więc kieruku fali roprosoej. Rysuek 8.4 prestawia ależość k x k la wóch cęstości: 0, 157 p (cęstość fali la której optymaliowaa ostała struktura opisaa w ro. 6 ie- p

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

I N S T Y T U T A N A L I Z R E G I O N A L N Y C H

I N S T Y T U T A N A L I Z R E G I O N A L N Y C H I N S T Y T U T A N A L I Z R E G I O N A L N Y C H OCHÓ BUŻETU GMINY A KWOTA POSTAWOWA SUBWENCJI WYRÓWNAWCZEJ Autory: r Boa Stęień r Mear Makreek Coyriht Boa Stęień Wselkie rawa astreżoe LUTY 005 autory:

Bardziej szczegółowo

ZEWNĘTRZNA MODULACJA ŚWIATŁA

ZEWNĘTRZNA MODULACJA ŚWIATŁA ZWNĘTRZNA MOACJA ŚWATŁA . Wsęp Modulacją świała aywamy miay w casie paramerów fali świelej. Modulaorem jes urądeie, kóre wymusa miay paramerów fali w casie. Płaską falę moochromaycą rochodącą się w ośrodku

Bardziej szczegółowo

Wykład 24 Optyka geometryczna Widmo i natura światła

Wykład 24 Optyka geometryczna Widmo i natura światła Wykła 4 Optyka geometrycza Wimo i atura światła Optyka to auka o falach elektromagetyczych, ich wytwarzaiu, rozchozeiu się w różych ośrokach, i oziaływaiu z tymi ośrokami. Różice mięzy falami elektromagetyczymi

Bardziej szczegółowo

10.0. Przekładnie 10.1. Podział i cechy konstrukcyjne

10.0. Przekładnie 10.1. Podział i cechy konstrukcyjne Postawy Kostrukcji Masy - projektowaie.. Prekłaie.. Poiał i cechy kostrukcyje Zespoły służące o miay astępujących parametrów prekaywaej eergii mechaicej ruchu obrotowego: prekaywaego mometu (lub w scególych

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 12 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METOD WAP DO ANALIZY PROCESÓW GOSPODAROWANIA ZASOBAMI LUDZKIMI W PRZEDSIĘBIORSTWIE

ROZDZIAŁ 12 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METOD WAP DO ANALIZY PROCESÓW GOSPODAROWANIA ZASOBAMI LUDZKIMI W PRZEDSIĘBIORSTWIE Marek Kunas ROZDZIAŁ 2 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METOD WAP DO ANALIZY PROCESÓW GOSPODAROWANIA ZASOBAMI LUDZKIMI W PRZEDSIĘBIORSTWIE. Wprowaenie Celem głównym niniejsego opracowania jest prestawienie wybranych

Bardziej szczegółowo

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r. V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćiceie 0 BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SRĘŻYNY ŚRUBOWEJ 0.. Wproadeie Sprężyy, elemety sprężyste mają bardo różorode astosoaie ielu kostrukcjach mechaicych. Wykorystuje się je

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA prof. r hab. iż. Ryszar Kosala r.kosala@po.opole.pl mgr iż. Barbara Baruś b.barus@po.opole.pl Politechika Opolska Wyział

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe.

Ćwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe. Ćwiczeie 10/11 Holografia sytetycza - płytki strefowe. Wprowadzeie teoretycze W klasyczej holografii optyczej, gdzie hologram powstaje w wyiku rejestracji pola iterferecyjego, rekostruuje się jedyie takie

Bardziej szczegółowo

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin, Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl LVIII OLIMPIADA FIZYCZNA (2008/2009). Stopień II, zaanie oświaczalne D. Źróło: Autor: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej. Ernest Groner Komitet Główny Olimpiay Fizycznej,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki

Bardziej szczegółowo

Statystyczna kontrola procesu karty kontrolne Shewharta.

Statystyczna kontrola procesu karty kontrolne Shewharta. tatystyza kotrola proesu karty kotrole hewharta. Każe przesiębiorstwo proukyje, ąży o tego, aby proukty które wytwarza były jak ajlepszej jakośi. W zisiejszyh zasah, to właśie jakość pozwala utrzymać się

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Kraków, luty 2004 - kwiecień 2015

ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Kraków, luty 2004 - kwiecień 2015 Józef Zapłotny, Maria Nowotny-Różańska Zakła Fizyki, Uniwersytet Rolniczy Do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Kraków, luty 2004 - kwiecień

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PAKIETU SIMULINK DO MODELOWANIA TRANSMISJI VDSL*

ZASTOSOWANIE PAKIETU SIMULINK DO MODELOWANIA TRANSMISJI VDSL* Paweł Sroka Politechika Pozańska Istytut Elektroiki i Telekomuikacji psroka@et.put.poza.pl 2004 Pozańskie Warsztaty Telekomuikacyje Pozań 9-10 grudia 2004 ZASTOSOWANIE PAKIETU SIMULINK DO MODELOWANIA TRANSMISJI

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FUNKCJONAŁÓW NIEWYPUKŁYCH CHARAKTERYZUJĄCYCH MIKROMAGNETYKI

ANALIZA FUNKCJONAŁÓW NIEWYPUKŁYCH CHARAKTERYZUJĄCYCH MIKROMAGNETYKI INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI PAN ZAKŁAD MECHANIKI MATERIAŁÓW I BIOMECHANIKI PRACOWNIA METOD WARIACYJNYCH I BIOMECHANIKI Eleoora Krugleko ANALIZA FUNKCJONAŁÓW NIEWYPUKŁYCH CHARAKTERYZUJĄCYCH

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

www.penny.pl Piły taśmowe stellitowane Piły tarczowe KOLL Piły trakowe stellitowane Piłki do minitraka

www.penny.pl Piły taśmowe stellitowane Piły tarczowe KOLL Piły trakowe stellitowane Piłki do minitraka www.penny.pl Piły taśmowe stellitowane W proukcji stosujemy oie nane technologie olewania i grewania ęów stellitowanych. Pracujemy na liniach proukcyjnych: w pełni automatyowanej niemieckiej firmy VOLLMER

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Pracownia fizyczna dla szkół

Pracownia fizyczna dla szkół Natężeie światła Pracowia fizycza Imię i Nazwisko yfrakcja i iterferecja a świetle laserowym opracowaie: Aeta rabińska Fotoy, jak zresztą i ie obiekty, mają barzo specyficzą cechę w pewych sytuacjach zachowują

Bardziej szczegółowo

Badanie uporządkowania magnetycznego w ultracienkich warstwach kobaltu w pobliżu reorientacji spinowej.

Badanie uporządkowania magnetycznego w ultracienkich warstwach kobaltu w pobliżu reorientacji spinowej. Tel.: +48-85 7457229, Fax: +48-85 7457223 Zakład Fizyki Magnetyków Uniwersytet w Białymstoku Ul.Lipowa 41, 15-424 Białystok E-mail: vstef@uwb.edu.pl http://physics.uwb.edu.pl/zfm Praca magisterska Badanie

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC Piotr FALKOWSKI, Marian Roch DUBOWSKI Politechnika Białostocka, Wyział Elektryczny, Katera Energoelektroniki i Napęów Elektrycznych Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prąu w stanach

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR VII OBRÓBKA PLASTYCZNA BLACH - TŁOCZENIE - KSZTAŁTOWANIE -

ĆWICZENIE NR VII OBRÓBKA PLASTYCZNA BLACH - TŁOCZENIE - KSZTAŁTOWANIE - ĆWICZENIE NR VII OBRÓBKA PLASTYCZNA BLACH - TŁOCZENIE - KSZTAŁTOWANIE -. Cel ćwiczeia Cele ćwiczeia jest zapozaie z techologią tłoczeia - kształtowaia, ze szczególy uwzglęieie wytłaczaia.. Teatyka prac

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN

SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN I N S T Y T U T A N A L I Z R E G I O N A L N Y C H SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN ANALIZA SZCZEGÓŁOWA Autory: dr Boda Stęień dr Medard Makreek Coyriht Boda Stęień Wselkie rawa astreżoe GRUDZIEŃ 004 autory:

Bardziej szczegółowo

Motywacja Podstawy. Historia Teoria 2D PhC Podsumowanie. Szymon Lis Photonics Group szymon.lis@pwr.wroc.pl C-2 p.305. Motywacja.

Motywacja Podstawy. Historia Teoria 2D PhC Podsumowanie. Szymon Lis Photonics Group szymon.lis@pwr.wroc.pl C-2 p.305. Motywacja. Politechnika Wrocławska Plan wykładu 1. 2D Kryształy Fotoniczne opis teoretyczny 2. Podstawowe informacje 3. Rys historyczny 4. Opis teoretyczny - optyka vs. elektronika - równania Maxwella Wydział Elektroniki

Bardziej szczegółowo

Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej Wydział Budowy Maszyn i Informatyki Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji

Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej Wydział Budowy Maszyn i Informatyki Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Akaemia Techico-Humaistyca w Bielsku-Białej Wyiał Buowy Masy i Iformatyki Katera Techologii Masy i Automatyacji LABORATORIUM OBRABIAREK INSTRUKCJA Temat: Sporeie charakterystyki frearki ariowej FNC-25

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA 1. ZAMAWIAJĄCY TALEX S.A., ul. Karpia 27 d, 61 619 Pozań, e mail: cetrumit@talex.pl 2. INFORMACJE OGÓLNE 2.1. Talex S.A. zaprasza do udziału w postępowaiu przetargowym,

Bardziej szczegółowo

LTS 6-NP., LTS 15-NP...LTS 25-NP. LTS 6-NP., LTS 15-NP...LTS 25-NP.

LTS 6-NP., LTS 15-NP...LTS 25-NP. LTS 6-NP., LTS 15-NP...LTS 25-NP. 19 9 9 LTS -NP., LTS 1-NP...LTS -NP. LTS -NP., LTS 1-NP...LTS -NP. [] LTS -NP., LTS 1-NP...LTS -NP. LTS -NP., LTS 1-NP...LTS -NP. LTS -NP, LTS 1-NP, LTS -NP LTSR, LTSR 1, LTSR -NP. LTSR, LTSR 1, LTSR -NP.

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK URZĘDOWY URZĘDU KOMUNIKACJI ELEKTRONICZNEJ

DZIENNIK URZĘDOWY URZĘDU KOMUNIKACJI ELEKTRONICZNEJ DZIENNIK URZĘDOWY URZĘDU KOMUNIKACJI ELEKTRONICZNEJ Warszawa, dia 19 maja 2015 r. Poz. 41 Zarządzeie Nr 12 Prezesa Urzędu Komuikacji Elektroiczej z dia 18 maja 2015 r. 1) w sprawie plau zagospodarowaia

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

WPŁYW CHROPOWATOŚCI POWIERZCHNI MATERIAŁU NA GRUBOŚĆ POWŁOKI PO ALFINOWANIU

WPŁYW CHROPOWATOŚCI POWIERZCHNI MATERIAŁU NA GRUBOŚĆ POWŁOKI PO ALFINOWANIU 51/17 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2005, Rocznik 5, Nr 17 Archives of Foundry Year 2005, Volume 5, Book 17 PAN - Katowice PL ISSN 1642-5308 WPŁYW CHROPOWATOŚCI POWIERZCHNI MATERIAŁU NA GRUBOŚĆ POWŁOKI PO ALFINOWANIU

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

KiNemAtyKA DyNAmiKA Bryła sztywna Drgania mechaniczne Fale mechaniczne PrAcA, moc i energia grawitacja

KiNemAtyKA DyNAmiKA Bryła sztywna Drgania mechaniczne Fale mechaniczne PrAcA, moc i energia grawitacja Spis treści Kiematyka Podstawowe pojęcia... 9 Podział ruchów... 11 Ruch prostoliiowy... 11 Ruch jedostajy prostoliiowy... 11 Ruch jedostajie przyspieszoy prostoliiowy... 13 Ruch jedostajie opóźioy prostoliiowy...

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

KRYSTYNA JEŻOWIECKA-KABSCH HENRYK SZEWCZYK MECHANIKA PŁYNÓW

KRYSTYNA JEŻOWIECKA-KABSCH HENRYK SZEWCZYK MECHANIKA PŁYNÓW KRYSTYNA JEŻOWIECKA-KABSCH HENRYK SZEWCZYK MECHANIKA PŁYNÓW OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ WROCŁAW Wanie poręcnika jest otowane pre Ministra Eukacji Naroowej Recenenci ALICJA JARŻA ZDZISŁAW

Bardziej szczegółowo

NAUKA. 2. Nie jest równoodległościowa:

NAUKA. 2. Nie jest równoodległościowa: rtkuł recezowa: O badaiu ziekształceń modeli trasormacji map a podstawie elips Tissota Długości, pola kąt Streszczeie: O badaiu ziekształceń modeli trasormacji map a podstawie elips Tissota. W artkule

Bardziej szczegółowo

Magdalena Nowikiewicz

Magdalena Nowikiewicz 1 Magdalena Nowikiewic ZAWARTOŚĆ WITAMINY C W MALINACH (Rubus idaeus L.) ODMIANY POLANA W ZALEŻNOŚCI OD SPOSOBU, CZASU I TEMPERATURY PRZECHOWYWANIA ORAZ W OGÓRKACH (Cucumis dativus L.) ODMIANY KRAK F 1

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii.

Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii. Uiwerstet Rolicz w Krakowie Wdział Iżierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczeia: Otcze odstaw otograii. Podział układów otczch Pojęcie układów otczch Podział układów

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA. Zbigniew Suszyński. Termografia aktywna. modele, przetwarzanie sygnałów i obrazów

POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA. Zbigniew Suszyński. Termografia aktywna. modele, przetwarzanie sygnałów i obrazów POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA Zbigniew Suszyński Termografia aktywna modele, przetwarzanie sygnałów i obrazów KOSZALIN 2014 MONOGRAFIA NR 259 WYDZIAŁU ELEKTRONIKI I INFORMATYKI ISSN 0239-7129 ISBN 987-83-7365-325-2

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI CZEŚĆ ELEKTRYCZNA 1. PODSTAWA OPRACOWANIA 2. PRZEDMIOT OPRACOWANIA 3. ZAKRES OPRACOWANIA 4. OPIS TECHNICZNY 5.

SPIS TREŚCI CZEŚĆ ELEKTRYCZNA 1. PODSTAWA OPRACOWANIA 2. PRZEDMIOT OPRACOWANIA 3. ZAKRES OPRACOWANIA 4. OPIS TECHNICZNY 5. SPIS TREŚCI CEŚĆ ELEKTRYCNA 1. PODSTAWA OPRACOWANIA 2. PREDMIOT OPRACOWANIA 3. AKRES OPRACOWANIA 4. OPIS TECHNICNY 4.1 asilaie budyku 4.2 Wewętrza liia zasilająca WL 4.3 Rozdzielica główa RG 4.4 Istalacje

Bardziej szczegółowo

Siemens. The future moving in.

Siemens. The future moving in. Ogrzewaczy wody marki Siemes zae są a rykach całego świata. Ich powstawaiu towarzyszą ambite cele: stale poszukujemy iowacyjych, przyszłościowych rozwiązań techologiczych, służących poprawie jakości życia.

Bardziej szczegółowo

Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 74/2006 69

Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 74/2006 69 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 74/6 69 Piotr Zietek Politechika Śląska, Gliwice PRĄDY ŁOŻYSKOWE I PRĄD UZIOMU W UKŁADACH NAPĘDOWYCH ZASILANYCH Z FALOWNIKÓW PWM BEARING CURRENTS AND LEAKAGE CURRENT

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie czasu retencji gazu gaśniczego

Wyznaczanie czasu retencji gazu gaśniczego st. kpt. gr iż. Przeysław Kubica Wyzaczaie czasu retecji gazu gaśiczego 1 Cel ćwiczeia Cele ćwiczeia jest: a) wykoaie testu szczelości poieszczeia etoą wetylatora rzwiowego (ag. oor fa test); b) a postawie

Bardziej szczegółowo

Temat: CHROPOWATOŚĆ POWIERZCHNI PRZY TOCZENIU

Temat: CHROPOWATOŚĆ POWIERZCHNI PRZY TOCZENIU AKADEMIA TECHNICZNO-HUMANISTYCZNA w Bielsku-Białej Katera Techologii Maszy i Automatyzacji Ćwiczeie wykoao: ia:... Wykoał:... Wyział:... Kieruek:... Rok akaem.:... Semestr:... Ćwiczeie zaliczoo: ia:...

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 255-26, Gliwice 26 ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA RYSZARD KORYCKI DARIUSZ WITCZAK Katedra Mechaiki

Bardziej szczegółowo

Siłownie ORC sposobem na wykorzystanie energii ze źródeł niskotemperaturowych.

Siłownie ORC sposobem na wykorzystanie energii ze źródeł niskotemperaturowych. Siłowie ORC sposobem a wykorzystaie eergii ze źródeł iskotemperaturowych. Autor: prof. dr hab. Władysław Nowak, Aleksadra Borsukiewicz-Gozdur, Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy w Szczeciie, Katedra

Bardziej szczegółowo

z czynności komornika za I półrocze 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia

z czynności komornika za I półrocze 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia Okręgowego Apelacja Scecińska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR Scecin- MS-Kom23 Centrum

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23. MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujazdowskie 11, 00-950 Warszawa Komornik Sądowy Komornik Sądowy Agnieszka Bąk-Batowska przy Sądzie

MS-Kom23. MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujazdowskie 11, 00-950 Warszawa Komornik Sądowy Komornik Sądowy Agnieszka Bąk-Batowska przy Sądzie sprawy, w których egekwowane kwoty prenacone są na pocet należności tytułu Apelacja Lubelska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu Okręgowego Apelacja Białostocka Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR w Pra- MS-Kom23 SPRAWOZDANIE

Bardziej szczegółowo

z czynności komornika za rok 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia egzekucji

z czynności komornika za rok 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia egzekucji sprawy, w których egekwowane kwoty prenacone są na pocet należności tytułu Okręgowego Apelacja Lubelska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11,

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu Okręgowego Apelacja Białostocka Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR w Suwałkach MS-Kom23

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę:

LICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę: LICZBY ZESPOLONE 1. Historia licb espoloych Licby espoloe poawiły się w XVI w., w wiąku badaiami sposobów rowiąywaia rówań algebraicych treciego i cwartego stopia. Okaało się, że rowiąaia rówań treciego

Bardziej szczegółowo