Historia problemu Webera

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Historia problemu Webera"

Transkrypt

1 MATEMATYKA STOSOWANA 10, 2009 Andrzej Młodak (Kalisz) Historia problemu Webera Streszczenie. W pracy zajmujemy się zagadnieniem, które znane jest powszechnie jako konstrukcja mediany Webera. Chodzi mianowicie o znalezienie takiego punktu w przestrzeni Ê n, że suma jego odległości od m danych punktów w tejże przestrzeni jest najmniejsza. Prezentujemy historię badań w tej dziedzinie począwszy od najprostszej formy tego problemu, tj. minimalizacji sumy odległości od wierzchołków trójkąta, którym zajmowano się w XVII i XVIII wieku aż po współczesne wyniki w tym zakresie i jego dalsze uogólnienia. Wskazujemy także na możliwości jego zastosowań w statystyce i ekonometrii. Słowa kluczowe: punkt Fermata Torricellego, mediana Webera. Wiele kluczowych kierunków zastosowań matematyki koncentruje się wokół zagadnień związanych z optymalizacją wartości rozmaitych funkcji rzeczywistych. Jednym z najważniejszych problemów tego rodzaju jest wyznaczenie punktu minimalizującego sumę jego odległości euklidesowych od pewnej liczby danych punktów. Formalnie rzecz ujmując, jeśli m i n są liczbami naturalnymi, to mając w przestrzeni Ê n parami różnych m punktów X j = (x 1j,x 2j,...,x nj ), j = 1, 2,...,m, należy znaleźć taki punkt A 0 =(a 01,a 02,...,a 0n ) należący do Ê n, dla którego spełniona jest równość ( n ) 1/2 ( n ) 1/2, (1) (x ij a 0i ) 2 = min (x ij a i ) 2 i=1 A Ê n gdzie A =(a 1,...,a n ). Zagadnienie to nosi nazwę problemu Webera, a punkt A 0 nazywamy medianą Webera. Mediana Webera w statystyce stanowi wielowymiarowe uogólnienie klasycznego pojęcia mediany obserwacji, zaś w sensie geometrycznym należy do kategorii tzw. punktów osobliwych w przestrzeni Ê n. W prezentowanym artykule przedstawimy rys historyczny tego problemu oraz współczesne możliwości jego rozwiązania i zastosowań. Wyjaśnimy także genezę wskazanych wyżej określeń. Na prostej rzeczywistej. W najbardziej trywialnym przypadku, gdy mamy do czynienia z punktami na prostej, tj. jeśli n = 1, optymalizacyjna i=1 [3]

2 4 A. Młodak równość (1) przybiera postać ( m ) (2) x j a 0 =min x j a. a Ê Ponieważ funkcja x jest różniczkowalna na zbiorze Ê\{0}, zatemzrówności (2) wynika, że sgn(x j a 0 )=0. Stąd wnioskujemy, że punkt a 0 jest tak usytuowany, iż jest tyle samo liczb x j mniejszych i większych od a 0.Jeślim jest liczbą nieparzystą, to a 0 = x ((m+1)/2), tzn. jest to (m +1)/2 kolejna liczba w ciągu liczb x j uszeregowanych monotonicznie. Gdy zaś m jest liczbą parzystą, to a 0 może być dowolną liczbą należącą do przedziału (x (m/2),x ((m/2)+1) ). Jak się później okaże, mamy tu do czynienia z jedynym przypadkiem, w którym rozwiązanie zagadnienia (1) nie jest jednoznaczne. Problem Fermata Torricellego dla trójkąta i innychfigur płaskich. Znacznie ciekawsze niż przypadek jednowymiarowy jest rozwiązanie zagadnienia (1) na płaszczyźnie (czyli, gdy n = 2). Najsławniejszą z historycznego punktu widzenia jego opcję stanowi zadanie polegające na wyznaczeniu punktu minimalizującego sumę odległości od trzech wierzchołków niezdegenerowanego trójkąta (gdy w (1) m = 3). Problem ten został sformułowany w XVII w. przez Pierre a Fermata ( ), francuskiego prawnika i poetę, znanego z wielu znakomitych osiągnięć matematycznych przede wszystkim ze sławnego Wielkiego Twierdzenia jego nazwiska, które dopiero pod koniec lat 90. XX wieku udowodnił Andrew Wiles. Omawiana kwestia pojawiła się właściwie nieco przez przypadek, na końcu wydanego w 1637 r. sławnego dzieła o maksimach i minimach zatytułowanego De maximis et minimis, et de inventione tangentium curvarum (w którym Fermat zaprezentował reguły wyznaczania stycznych do różnych krzywych), przybierając postać następującego wyzwania rzuconego współczesnym: Jeśli ktoś nie pochwala moich metod, niech spróbuje rozwiązać następujący problem: mając dane na płaszczyźnie trzy punkty, znajdzie czwarty, taki, że suma jego odległości od trzech punktów danych osiąga minimum!. Za sprawą francuskiego franciszkanina Marina Mersenne a ( ), który oprócz uzdolnień matematycznych znany był z tego, że gromadził i szeroko upowszechniał informacje o zasłyszanych zagadnieniach i osiągnięciach naukowych, problem Fermata trafił do Włoch. Tam ok. roku 1640 pierwsze jego rozwiązanie podał słynny uczeń Galileusza i wynalazca termometru rtęciowego Evangelista Torricelli ( ). Wykazał on, że okręgi opisane na trójkątach równobocznych skonstruowanych zewnętrznie na bokach danego trójkąta mają

3 Historia problemu Webera 5 jeden punkt wspólny, który jest rozwiązaniem zagadnienia Fermata. Od jego nazwiska punkt ten nazywany jest punktem Torricellego( 2 ). Rozwiązanie E. Torricellego opublikował jego wychowanek i współpracownik, inżynier i matematyk, Vincenzo Viviani ( ) w swym dziele z 1659 r. pt. De maximis et minimis, geometrica divinatio: in quintum Conicorum Apollonii Pergaei. Inny uczeń Galileusza Bonawentura Cavalieri ( ) w wydanej w 1647 r. pracy Exercitationes geometricae, wykazał, że każdy z boków trójkąta jest widoczny z punktu Torricelliego pod kątem 120.Kolejny ważny rezultat w tej dziedzinie osiągnął angielski matematyk Thomas Simpson ( ) w opublikowanej w Londynie w 1750 r. rozprawie Doctrine and Application offluxions udowodnił on, że trzy proste łączące zewnętrzne (tzn. różne od wierzchołków danego trójkąta) wierzchołki opisanych przez Torricellego trójkątów równobocznych i odpowiednie przeciwległe wierzchołki rozważanego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, którym jest właśnie punkt Torricellego. Linie te znane są odtąd jako proste Simpsona. Problem minimalizacji sumy odległości od trzech punktów płaszczyzny znany jest również pod nazwą problemu Steinera na cześć szwajcarskiego uczonego Jacoba Steinera ( ), profesora katedry matematyki uniwersytetu w Berlinie, który usystematyzował wiedzę z tego zakresu oraz badał pewne szczególne aspekty zagadnienia Fermata. Poniżej prezentujemy klasyczne rozwiązanie problemu Fermata za punkt wyjścia przyjmując konstrukcję i własności prostych Simpsona. Rys. 1. We wnętrzu trójkąta ABC wybieramy dowolny punkt P i łączymy go zwierzchołkamia, B, C. Następnie obracamy trójkąt AP C o kąt 60 względem punktu A (p. rys. 1.). Niech C i P będą obrazami odpowiednio punktów C i P w tym przekształceniu. Trójkąt C AC jest równoboczny. Wówczas AP = AP oraz P AP =60, czyli trójkąt P AP jest równoboczny, a więc PP = AP. Ponadto jest P C = PC. Zatem ( 2 ) Choć w wielu opracowaniach nazywa się go także punktem Fermata lub Fermata Torricellego.

4 6 A. Młodak PA + PB + PC = PP + PB + P C. Ponieważ punkt C jest obrazem punktu C powstałym w wyniku obrotu tego punktu o kąt 60,zatem położenie punktu C nie zależy od położenia punktu P.Stądwnioskujemy, że PA + PB + PC BC, ponieważ łamana BPP C nie jest krótsza niż odcinek BC. Suma PA + PB + PC osiąga więc minimalną wartość wówczas, gdy punkt P znajduje się na prostej BC.Wtedy AP C =60. Ponadto, obracając trójkąt AP C wokół punktu C o kąt 60 i przeprowadzając analogiczne rozumowanie dochodzimy do wniosku, że C PC =60, zatem AP C = AP C + C PC = 120. Rys. 2. Konstruując analogiczne trójkąty równoboczne BCB oraz ABA (p. rys. 2) dochodzimy do wniosku, że punkt P leży na przecięciu prostych Simpsona BC, AB, CA.Mamywięc AP C = AP B = BPC = 120. Ta ostatnia równość zachodzi jednak tylko wówczas, gdy wszystkie kąty trójkąta ABC są mniejsze niż 120 ( 3 ). Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli ABC posiada kąt rozwarty omierzeconajmniej120, to punktem Torricellego P jest wierzchołek tego kąta. Jak wspomniano wcześniej, dla trójkąta z kątami mniejszymi od 120 punkt Torricellego można też zgrabnie skonstruować za pomocą okręgów ( 3 ) Jeśli trójkąty równoboczne zostaną zbudowane na bokach rzeczonego trójkąta nie po jego zewnętrznych stronach, a do wewnątrz, to odpowiednie proste Simpsona również przecinają się w jednym punkcie, zwanym drugim punktem Fermata.

5 Historia problemu Webera 7 Rys. 3. opisanych na trójkątach równobocznych ACC, BCB, BAA,jakoich punkt wspólny (p. rys. 3). Załóżmy bowiem, że P jest punktem wspólnym okręgów opisanych na trójkątach ACC i BAA różnym od punktu A. Wówczas z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg wnioskujemy, że AP C = 180 AC C = = 120 oraz AP B = 180 AA B = = 120.Tymsamym BPC = 120, a zatem czworokąt PBB C jest wpisany w okrąg opisany na trójkącie BB C, czyli punkt P należy również i do tego okręgu. Pewne zagadnienia pokrewne związane z pojęciem punktu Torricellego oraz niektóre uogólnienia jego konstrukcji można znaleźć w książce H. Steinhausa ([18]) oraz opracowaniu A. Bogomolnego ([3]). H. Steinhaus odwołuje się przy tym do zastosowań rozpatrywanego problemu w fizyce, wykorzystując własności równoważących się sił. Nadmieńmy jeszcze, że jeżeli ABCD jest czworokątem, to szukanym rozwiązaniem analizowanego zagadnienia jest wówczas punkt przecięcia jego przekątnych. Istotnie, mamy bowiem PA + PC AC oraz PB + PD BD. Stąd PA + PB + PC + PD AC + BD, zatem punkt przecięcia prostych AC i BD jest tym, w którym suma odległości od wierzchołków figury osiąga wartość najniższą. Warto zauważyć, że jeśli środek ciężkości trójkąta pokrywa się z jego punktem Torricelliego, to trójkąt ten jest równoboczny oraz, że jeżeli środek

6 8 A. Młodak ciężkości czworokąta pokrywa się z jego punktem Torricellego, to czworokąt ten jest równoległobokiem. Fakty te można wykorzystać w szkolnym nauczaniu geometrii (zob. A. Młodak ([15])). Przypadek wielowymiarowy. Znacznie trudniejsze jest wyznaczenie punktu minimalizującego sumę odległości od punktów danych w najbardziej ogólnym przypadku analizowanego zagadnienia, czyli rozwiązanie równania optymalizacyjnego (1) dla dowolnych liczb naturalnych m, n, gdziem 3orazn 2. Dlatego też było ono rozpatrywane stosunkowo późno, bo dopiero w XX stuleciu. Jako pierwszy taką postać problemu Fermata sformułował wybitny niemiecki socjolog, teoretyk kultury i ekonomista, profesor Uniwersytetu w Heidelbergu, Alfred Weber ( ). W opublikowanej w 1909 r. monografii Industriellen Standortlehre zawierającej wykład teorii lokalizacji przedsiębiorstw, jako rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów transportowych, zaproponował on punkt będący rozwiązaniem zagadnienia (1). Jednakże ani sam A. Weber ani żaden z jego kolegów-naukowców nie potrafili podać konkretnych wyników na temat tego rozwiązania. Tym niemniej punkt ten od tamtego czasu nosi po dziś dzień nazwę właśnie mediany Webera( 4 ). Pierwszy przybliżony algorytm obliczeniowy wyszedł w 1937 roku spod pióra amerykańskiego matematyka węgierskiego pochodzenia Endre Weiszfelda ( ), współzałożyciela słynnego Institute ofmanagement Science wusa( 5 ). Procedura ta, opisana w pracy [20], polegała na określeniu zbioru wag odwrotnie proporcjonalnych do odległości danego punktu od punktów danych, a następnie skonstruowaniu nowego oszacowania jako ważonej średniej współrzędnych danych punktów z tym wagami. Mówiąc bardziej formalnie, iterację E. Weiszfelda rozpoczynamy od dowolnego punktu A 0 =(a 0 1,a 0 2,...,a 0 n ) Ê n,ak-te przybliżenie szukanej mediany Webera punktem A k =(a k 1,a k 2,...,a k n ) Ê n wyznaczamy jako ( m a k i = x ij n i=1 (x ij a k 1 i ) 2 )/( m 1 n i=1 (x ij a k 1 i ) 2 k =1, 2,... Procedura kończy się, gdy odległości pomiędzy punktami kolejnych iteracji są dostatecznie małe. Bliższe spojrzenie na problem oraz kilka interesujących faktów z tego zakresu stanowi dopiero treść artykułu J. B. S. Haldane z 1948 r. ([7]). ), ( 4 ) Inne nazwy spotykane w literaturze to m.in. mediana geometryczna, mediana L 1 lub medianocentrum. ( 5 ) Naukowiec ten jest bardziej znany jako Andrew Vazsonyi. Stało się tak na skutek zmiany nazwiska, której dokonał on w 1938 r. z obawy przed prześladowaniami, jakie wówczas spotykały na Węgrzech mieszkającą tam ludność o żydowskich korzeniach.

7 Historia problemu Webera 9 Wprawdzie autor powyższej publikacji rozpatrywał nieco uproszczoną wersję zagadnienia (1), mianowicie punkty na płaszczyźnie (n = 2), ale przedstawione fakty można uogólnić dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, co poniżej czynimy. Twierdzenie 1. Jeżeli m 3 oraz n 2, to mediana Webera jest wyznaczona jednoznacznie. Dowód. Załóżmy, że co najmniej trzy spośród punktów X 1,X 2,...,X m są niewspółliniowe. Ponieważ izometria, jak np. przesunięcie równoległe, zachowuje wzajemne położenie punktów X j, zatem możemy przyjąć bez zmniejszania ogólności, że punkt minimalizujący odległość od punktów X j = (x 1j,x 2j,...,x nj ), j =1, 2,...,m znajduje się w początku układu współrzędnych (gdyż dokonując izometrycznych przekształceń układu punktów X 1,X 2,...,X m, np. translacji czy rotacji, możemy taką pozycję uzyskać mediana Webera jest bowiem afinicznie niezmiennicza). Załóżmy, że żaden z punktów X 1,X 2,...,X m nie pokrywa się z rzeczonym początkiem układu współrzędnych. Niech ( n (3) f(a 1,a 2,...,a n )= (x ij a i ) 2) 1 2 będzie sumą euklidesowych odległości punktu A =(a 1,a 2,...,a n ) Ê n od punktów X 1,X 2,...,X m. Wówczas dla dowolnego punktu (z,0,...,0) Ê n mamy ϕ(z) def = f(z,0,...,0) = i=1 (( (x 1j z) 2 + a pierwsza pochodna tej funkcji dϕ(z) (( (4) = (z x 1j ) (x 1j z) 2 + dz n i=2 n i=2 x 2 ij x 2 ij ) 1 2 ), ) 1 2 ). Wobec założenia, pochodna ta musi osiągać wartość 0 dla z = 0. Ponadto druga pochodna funkcji ϕ(z) dana jest wzorem: (5) d 2 ϕ(z) dz 2 = ( n i=2 x 2 1j )(( (x 1j z) 2 + n i=2 x 2 ij ) 3 2 ). Tym samym druga pochodna funkcji ϕ(z) przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie (wyrażenie w potędze ułamkowej jest sześcianem odległości, czyli liczbą dodatnią), a zatem innego ekstremum oprócz początku układu nie ma.

8 10 A. Młodak Jeżeli zaś rozpatrywanym punktem jest jeden z punktów X 1, X 2,..., X m, np. X 1,to (( n ) 1 ) ϕ(z) = z + (x 1j z) i pochodne są postaci: a) lewostronna: dϕ(z) dz b) prawostronna: dϕ(z) dz = 1+ =1+ j=2 i=2 (( (z x 1j ) (x 1j z) 2 + j=2 (( (z x 1j ) (x 1j z) 2 + j=2 x 2 ij n i=2 n i=2 x 2 ij x 2 ij ) 1 2 ), ) 1 2 ). Drugie pochodne funkcji ϕ(z) na obu półosiach przyjmują również wartości dodatnie, natomiast pierwsza pochodna lewostronna tejże funkcji osiąga w punkcie z =0wartość 1, zaś prawostronna 1. Wobec tego funkcja ϕ(z) posiada tylko to jedno, ostre minimum. Tym samym dowód twierdzenia został zakończony. Twierdzenie 2. Jeżeli w przestrzeni Ê n ustalono pewien kierunek, P jest medianą Webera dla układu punktów X 1,X 2,...,X m różną od każdego z nich, zaś α j jest kątem, jaki tworzy wektor PX j z tym ustalonym kierunkiem, j =1, 2,...,m, to cos α j =0. Dowód. Wykorzystamy podejście zastosowane w dowodzie twierdzenia 1. Jeśli P spełnia założenia twierdzenia 2. oraz układ punktów X 1, X 2,..., X m został przesunięty równolegle lub obrócony w taki sposób, że P znajduje się w środku układu współrzędnych, to pierwsza pochodna funkcji celu (3) dla (z,0,...,0) Ê n (a więc postaci (4)) musi się zerować przy z = 0. Niech ρ j będzie długością wektora PX j,zaśθ j kątem pomiędzy tym wektorem a osią odpowiadającą pierwszej współrzędnej punktu w rozpatrywanej przestrzeni. Wobec tego x 1j = ρ j cos θ j, j =1, 2,...,m.Zatem z (4) wnioskujemy, że (( n (6) 0 = x 1j x 2 1j + ) 1 ) x 2 2 ϱ j cos θ j ij = = cos θ j. ϱ j i=2 Ponieważ ani numer wybranej współrzędnej, ani położenie osi nie zmniejszają ogólności rozważań, zatem twierdzenie zostało udowodnione.

9 Historia problemu Webera 11 W przypadku układu punktów na płaszczyźnie można udowodnić więcej, a mianowicie, że również (zachowując założenia i oznaczenia z twierdzenia 2.) sin α j =0. W tym celu w dowodzie twierdzenia 2. kładziemy n =2,arozumowanie przeprowadzamy ze względu na rzędne, tzn. rozważamy sumę odległości punktu (0,z) Ê n od punktów X 1,X 2,...,X m. Wówczas wobec faktu( 6 ), że x 2j = ρ j sin θ j, j =1, 2,...,m otrzymujemy 0= ( x 2j (x 2 1j + x 2 ) m 2j ) 1 2 = ϱ j sin θ j ϱ j = sin θ j. Z twierdzenia 2. wynika bardzo ciekawy wniosek. Otóż, jeżeli zmienimy układ punktów X 1, X 2,..., X m w ten sposób, iż pewien punkt X j zastąpimy X j, leżącym na półprostej PX j iróżnymodp to położenie punktu P nie ulegnie zmianie. Niech bowiem ρ j oznacza długość odcinka PX j.wówczas kąt pomiędzy wektorem PX j oraz osią odpowiadającą pierwszej współrzędnej w Ê n pozostanie bez zmian, a zatem wartość pochodnej funkcji celu (por. (6)) dla układu punktów X 1, X 2,..., X j 1, X j, X j+1,..., X m w początku układu wyniesie również 0, co przy dodatniości drugiej pochodnej (por. (5)) daje nam wniosek, że P jest również medianą Webera i dla tego zmodyfikowanego układu punktów. Tak więc, np. obierając w trójkącie ABC (rys. 2.) punkt A należący do odcinka AP iróżnyodp,stwierdzamy na mocy powyższego rozumowania, że punktem Torricellego trójkąta A BC jest również ów punkt P. W ostatniej części artykułu wykażemy, że własność ta, podobnie jak jednoznaczność mediany Webera, przenosi się na dowolną przestrzeń metryczną. Oprócz badania własności mediany Webera z powodu jej licznych zastosowań w statystyce (np. badanie zróżnicowania obiektów na danym obszarze i w ustalonej dziedzinie) oraz ekonomii konieczne stało się podanie metod jej wyznaczania. Zadanie to okazało się bardzo trudne, o czym świadczy fakt, że znane są jak dotąd jedynie dwa algorytmy numeryczne wyznaczania owego punktu. Pierwszy podany przez J. C. Gowera w 1974 r. ([6]) opierał się na skomplikowanych meandrach fizycznej interpretacji mediany Webera. Jednak pięć lat później F. K. Bedall i H. Zimmermann ([2]) zaproponowali zgrabną metodę obliczeniową, której istotę stanowi umiejętne stosowanie rachunku różniczkowego. Wykorzystuje się w niej mianowicie funkcję celu (3) ( 6 ) Posługujemy się tutaj de facto współrzędnymi biegunowymi punktu na płaszczyźnie.

10 12 A. Młodak oraz wektor jej pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu (tzw. gradient funkcji): ( f f(a) =, f,..., f ), a 1 a 2 a n gdzie (7) f ( n ) 1 = (x ij a i ) (x ij a i ) 2 2, a i i =1, 2,...,n, i=1 a także macierz pochodnych rzędu drugiego (hesjan): ( m 1 (8) À f(a) =Éf(A) Á ( n p=1 (x pj a p ) 2 ) 1/2 gdzie Á jest macierzą identycznościową rozmiaru n n, zaśé f to macierz tego samego rozmiaru, której elementy są postaci (x hj a h )(x ij a i ) q hi f(a) = ( n p=1 (x, h,i =1, 2,...,n. pj a p ) 2 ) 3/2 Wówczas przyrost współrzędnych mediany Webera (A) =(δ(a 1 ),δ(a 2 ),...,δ(a n )) jest rozwiązaniem następującego układu równań liniowych: (9) À f(a) (A) = f(a). Postępowanie iteracyjne( 7 ) jest następujące. Wybieramy dowolny punkt startowy A =(a 1,a 2,...,a n ) przestrzeni Ê n, obliczamy pierwsze i drugie pochodne cząstkowe funkcji celu w punkcie A według wzorów (7) i (8). Jeśli wartości współrzędnych gradientu nie przekraczają przyjętego poziomu dokładności szacunku ε>0, to przyjmujemy wyjściowy wektor za rozwiązanie. W przeciwnym razie rozwiązujemy układ (9) i do odpowiednich współrzędnych punktu wyjściowego dodajemy odpowiednie wartości przyrostów, podstawiając A := A + (A). Uzyskujemy w ten sposób nowy punkt, dla którego wyznaczamy wartości gradientu oraz drugich pochodnych cząstkowych i sprawdzamy, czy wartości współrzędnych gradientu nie przekraczają przyjętego poziomu precyzji. Procedurę tę powtarzamy tak długo, aż osiągniemy zakładaną dokładność gradientu funkcji celu dla oszacowania mediany Webera. Jak zauważyliśmy w części drugiej, immanentną cechą punktu Torricellego w trójkącie jest równość kątów, jakie tworzą odcinki łączące go z wierzchołkami trójkąta, jeśli tylko wszystkie kąty tegoż trójkąta są mniejsze od 120. Powstaje zatem naturalne pytanie, czy owa własność równokątności da się uogólnić. Problem ten badali m.in. Y. S. Kupitz i H. Martini ([8]). Udowodnili oni, iż jeśli w Ê 3 punkt Torricellego dla danych czterech punktów ( 7 ) Postępowanie to wykorzystuje pewien ogólniejszy model iteracji zwany metodą Newtona Raphsona. ),

11 Historia problemu Webera 13 znajduje się wewnątrz utworzonego przez nie czworościanu, którego ściany mają wszystkie kąty płaskie mniejsze od 120, to kąty przestrzenne wyznaczone przez odcinki łączące te punkty z wierzchołkami owego czworościanu są równe. Ponadto wykazali, iż punkt Fermata Torricellego pokrywa się ze środkiem sfery opisanej na danym czworościanie lub z jego środkiem ciężkości jedynie wówczas, gdy czworościan ten jest foremny. Najbardziej ogólnie do tego zagadnienia podeszła jednak L. Dalla ([4]), rozważając n-wymiarowy sympleks w Ê n, rozpięty na afinicznie niezależnych punktach X 1,X 2,...,X n+1. Dla danego wypukłego (n 1)-wymiarowego zbioru K oraz α Ê n, α/ aff(k), autorka cytowanej pracy definiuje stożek generowany przez K owierzchołkuα jako st α K def = {α + λ(β α) :λ 0}, β K zaś kątem przestrzennym tego stożka s(k, α) nazywa stosunek (n 1)- wymiarowej miary zbioru U st α K do (n 1)-wymiarowej miary U, gdzie U oznacza powierzchnię kuli o środku α, tzn. s(k, α) =c(n) e x 2 dx, st α K gdzie to norma euklidesowa, zaś c(n) oznacza stałą zależną tylko od n. L. Dalla ([4]) udowodniła następujące twierdzenie i ciekawy wniosek płynący z jego dowodu. Twierdzenie 3. Niech S =conv{x 1,X 2,...,X n+1 } będzie n-wymiarowym sympleksem w Ê n, zaś A 0 int(s) będzie punktem Torricellego tego sympleksu. Jeśli K i =conv{x j : j i}, i =1, 2,...,n +1 są (n 1)- wymiarowymi ścianami tego sympleksu, to: a) dla n =2,3kątys(K i,a 0 ), i =1, 2,...,n+1sąrówne, b) dla n 4kątys(K i,a 0 ), i =1, 2,...,n+ 1 nie muszą być równe. Wniosek 1. Niech A 0 int(s), zaś B(A 0,r) będzie sferą opisaną na sympleksie S ośrodkua 0. Wtedy następujące stwierdzenia są równoważne: (i) A 0 jest punktem Torricellego sympleksu S, (ii) n+1 n+1 i=1 X i X j 2 =2(n +1) 2 r 2, X i X j 2 =2(n 2 1)r 2 dla każdego p =1, 2,...,n+1. (iii) n+1 i=1 i p n+1 j p A zatem własność równokątności spojrzenia z punktu Torricellego (mediany Webera) na ściany określonej figury płaskiej czy przestrzennej nie da się uogólnić na dowolny wymiar. Natomiast teza wniosku umożliwia dość łatwe wyznaczenie owego szczególnego punktu. Bez trudu bowiem obliczymy r, a następnie, rozwiązując stosowny układ równań, współrzędne mediany Webera. Jednak te rozważania mają zastosowanie tylko w sytuacji, gdy

12 14 A. Młodak m = n + 1. W najbardziej ogólnym przypadku trzeba posłużyć się obliczeniami aproksymacyjnymi. Warto zauważyć, że z wniosku 1. wynika ciekawa relacja pomiędzy promieniami sfery n 1-wymiarowej opisanej na sympleksie S ośrodkuwjego punkcie Torricellego a promieniami sfer (n 2)-wymiarowych opisanych na (n 1)-wymiarowych sympleksach będących ścianami sympleksu S, o środkach w ich punktach Torricellego. Niech r będzie promieniem takiej (n 2)- wymiarowej sfery opisanej na ścianie sympleksu S. Mamy wtedy z (ii) i (iii): n r = r 2 n 2 1. A zatem promienie odpowiednich sfer wymiaru niższego są równe. Postępując indukcyjnie wstecz aż do wymiaru 2, otrzymujemy r = r [2] n p=2 p 2 p 2 1, gdzie r [2] oznacza stosowny promień okręgu opisanego na trójkącie w Ê 2. Rozważmy kompleks składający się z wyjściowego sympleksu S traktowanego jako sympleks główny i wszystkich k-wymiarowych ścian tegoż sympleksu, 1 k n 1. Wobec powyższych wniosków, gdyby dla każdego ze ścianowych sympleksów w każdym z wymiarów 2, 3,..., n 1, istniały opisane na nich sfery odpowiednich wymiarów o środkach w stosownych punktach Torricellego, to doszlibyśmy do wniosku, że sympleksy najniższego możliwego poziomu, czyli trójkąty, muszą być przystające( 8 ). A to oznacza, iż takie sfery dla wszystkich wymiarów i wszystkich ścian istnieją tylko w przypadku sympleksów o ścianach przystających. Z drugiej strony, zachodzi też następujący lemat. Lemat 1. Niech S będzie sympleksem rozpiętym na n +1-elementowym podzbiorze zbioru {X 1,X 2,...X m }. Jeśli wszystkie kątowe parametry współrzędnych sferycznych punktów takiego podzbioru w odniesieniu do sfery (n 2)-wymiarowej opisanej na (n 1)-wymiarowej ścianie sympleksu S rozpiętego na punktach owego podzbioru i o środku w jego punkcie Torricellego są równe, to punkt Torricellego sympleksu utworzonego przez punkty Torricellego ścian pokrywa się z punktem Torricellego A 0 sympleksu S (o ile istnieje sfera opisana na tym sympleksie o środku w punkcie Torricellego sympleksu S). ( 8 ) Nietrudno przy tym zauważyć, że trójkąty te w istocie są trójkątami równobocznymi (albowiem środek okręgu opisanego pokrywa się z punktem Torricellego i kąty środkowe oparte na bokach trójkąta mają po 120 ).

13 Historia problemu Webera 15 Dowód. Załóżmy bez zmniejszania ogólności, że punkt A 0 leży w początku układu współrzędnych, zaś punkt X i należy do (n 1)-wymiarowej sfery opisanej na odpowiedniej ścianie, której środkiem jest punkt Torricellego A i =(a i1,a i2,...,a in ) tej ściany, a promieniem r. Niech t ij będą parametrami kątowymi współrzędnych sferycznych punktów ze zbioru {X 1,X 2,...,X m } należących do danej sfery (n 2)-wymiarowej, w odpowiedniej hiperpłaszczyźnie o równaniu x in = f i (x i1,x i2,...,x i(n 1) ) (przy czym f i jest funkcją liniową), i =1, 2,...,n+1, j =1, 2,...,n.Wtedymamy x i1 = a i1 + r cos t i1 cos t i2...cos t in, x i2 = a i2 + r cos t i1 cos t i2...cos t in,... x i(n 2) = a i(n 2) + r sin t i(n 2) cos t in, x i(n 1) = a i(n 1) + r sin t i(n 1). Jeśli ściany sympleksu S są przystające, to t iu = t ju dla każdego i, j = 1, 2,...,n +1, u =1, 2,...,n. Niech r m oznacza promień sfery o środku w A 0 i opisanej na sympleksie rozpiętym na punktach A 1, A 2,..., A n+1. Zatem, biorąc pod uwagę wniosek 1. oraz obliczając kwadrat różnicy n-tych składowych przy wykorzystaniu twierdzenia Pitagorasa, mamy n+1 n+1 A i A j 2 = n+1 n+1 i=1 ( n 1 i=1 k=1 n+1 n+1 ( n 1 = i=1 n+1 n+1 = i=1 (x ik x jk ) 2 +(a in a jn ) 2) (x ik x jk ) 2 +(f i (a i1,a i2,...,a i(n 1) ) k=1 ) f j (a i1,a i2,...,a i(n 1) )) 2 ( n 1 ) (x ik x jk ) 2 +(x in x jn ) 2 2(r 2 rm 2 ) k=1 =2(n +1) 2 r 2 2(n +1) 2 (r 2 r 2 m)=2(n +1) 2 r 2 m, co zgodnie z tymże wnioskiem implikuje prawdziwość naszej hipotezy. Uogólnienia i zastosowania. Przedstawimy obecnie istniejące i oryginalne uogólnienia koncepcji mediany Webera. Rozpoczniemy od generalizacji topologicznej. Zastąpmy w zagadnieniu (1) klasyczną odległość euklidesową przez metrykę d w Ê n, taką, że nierówność trójkąta d(x, Y )+d(y,z) d(x, Z), staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy punkty X, Y, Z są współliniowe.

14 16 A. Młodak Wówczas medianę Webera określamy jako punkt A 0 Ê n,taki,żedla każdego punktu A Ê n mamy d(a 0,X j ) d(a, X j ). Wówczas, podobnie jak w przypadku klasycznym, punkt A 0 ma następującą własność. Twierdzenie 4. Punkt A 0 jest również medianą Webera układu punktów X 1,X 2,...,X m, takiego, że dla każdego j {1, 2,...,m} punkt X j należy do półprostej A 0 Xj. Dowód. Wykażemy najpierw, że punkt A 0 jest także medianą Webera dla układu punktów X 1,X 2,...,X m, w którym punkt X j należy do odcinka A 0 X j. Istotnie, gdyby istniał punkt A taki, że d(a, X j) < d(a 0,X j), to dodając do obu stron tej nierówności d(x j,x j ) i stosując nierówność trójkąta oraz związane z nią przyjęte założenie, otrzymujemy d(a, X j ) (d(a, X j )+d(x j,x j)) < (d(a 0,X j )+d(x j,x j)) = d(a 0,X j ). To przeczy temu, że A 0 jest medianą Webera układu punktów X 1, X 2,..., X m. Przekształćmy obecnie układ punktów X 1, X 2,..., X m przez jednokładność o środku w A 0 w taki układ punktów X 1,X 2,...,X m, by każdy punkt X j leżał wewnątrz odcinka A 0 X j, j =1, 2,...,m. Z wcześniejszego spostrzeżenia wnioskujemy, że punkt A 0 jest także medianą Webera dla układu X 1,X 2,...,X m, co kończy dowód twierdzenia 4. Także i w tym ogólnym przypadku zachodzi jednoznaczność mediany Webera (poza wyjątkiem współliniowości punktów X 1, X 2,..., X m ). Przypuśćmy bowiem, że A A 0 jest również medianą Webera dla układu punktów X 1, X 2,..., X m. Wówczas istnieje takie k {1, 2,...,m}, że punkt X k nie leży na prostej AA 0. Niech punkt X k będzie położony na

15 Historia problemu Webera 17 półprostej A 0 Xk poza odcinkiem A 0X k. Wtedy punkty A, X k, X k tworzą niezdegenerowany trójkąt, czyli ma miejsce nierówność d(a, X k ) <d(a, X k)+d(x k,x k ). Przyjmując X j = X j dla j =1, 2,...,m, j k, mamy d(a, X j) < = d(a, X j )+d(x k,x k)= d(a 0,X j). d(a 0,X j )+d(x k,x k) To oznacza, że punkt A 0 nie jest medianą Webera układu punktów X 1,X 2,...,X m, wbrew twierdzeniu 4. Zauważmy, że w obu dowodach nie korzystaliśmy z faktu, że X 1, X 2,..., X m są różne i różne od A 0. Warto także nadmienić, że własność opisana w twierdzeniu 2. stanowi natomiast uzasadnienie wektorowej równości A 0 X j A 0 X j = 0. Przyjrzymy się obecnie statystycznym generalizacjom i zastosowaniom koncepcji mediany Webera. Najbardziej ogólną probabilistyczną jej postać podali P. Milasevic i G. R. Ducharme ([12]). Jeśli przez tradycyjnie oznaczymy normę euklidesową, a P miarę probabilistyczną na rozpatrywanej przestrzeni, to medianą przestrzenną określają oni wektor Θ Ê n taki, że (10) ( X Θ X )P(dX) = min ( X Y X )P(dX). Y Ê n Wykazali oni, że jeżeli miara P nie wykazuje koncentracji na prostej, to mediana przestrzenna jest jednoznaczna. Równocześnie w innej pracy (G. R. Ducharme i P. Milasevic ([5])) autorzy ci badali asymptotyczne własności jej znormalizowanej wersji. Korzystając z tej definicji można zauważyć także własność zachowywania normalnego asymptotyzmu tej mediany. R. Serfling ([17]) udowodnił bowiem twierdzenie, iż jeśli ciąg wielowymiarowych niezależnych wektorów losowych {X j },2,... jest asymptotycznie normalny z wartością oczekiwaną µ, ag jest funkcją wektorową, taką, że każda jej składowa jest funkcją rzeczywistą oraz wszystkie różniczki w punkcie µ są niezerowe, to ciąg {g(x j )},2,... jest asymptotycznie normalny z wartością oczekiwaną g(µ). Ponieważ mediana Webera według definicji (10) spełnia założenia tego twierdzenia, zatem mediany Webera rozpatrywanych zmiennych są asymptotycznie normalne,

16 18 A. Młodak a wartość oczekiwana ich rozkładu granicznego to mediana Webera z wartości oczekiwanej µ. Ciekawy i czysto statystyczny wynik osiągnął S. Lardjane ([9]). Definiując przez M = {1, 2,...,m} badaną populację jednostek statystycznych (m >1), a x rozpatrywaną zmienną na M zwartościamiwê n,rozważa się funkcję { 0 jeśli u =0, ψ(u) = u u jeśli u 0, zwaną wielowymiarową funkcją znaków. Niech Ψ x (y) = i N ψ(y x i ) oraz f x (y) = δ(x i y), i N przy czym δ jest indykatorem zbioru {0} (tzn. δ(x) = 1, gdy x = 0 oraz δ(x) = 0 w przeciwnym razie). Funkcja f x jest w istocie dystrybuantą częstości zmiennej x. Autor cytowanej pracy wykazał, że punkt µ Ê n jest medianą Webera wtedy i tylko wtedy, gdy Ψ x (µ) f x (µ). Medina Webera jest w statystyce dobrym narzędziem normalizacji cech. Niech zatem punkty X 1,X 2,...,X m Ê n reprezentują obiekty (np. jednostki przestrzenne) opisane za pomocą n cech statystycznych, zaś Θ = (θ 1,θ 2,...,θ n ) będzie medianą Webera rozpatrywanego układu n cech. J. Lira i in. ([10]) proponują następującą ich normalizację: x ij θ j z ij := 1, 4826 mãd(c j ) i = 1, 2,...,m, j = 1, 2,...,n,gdziemãd(C j ) to medianowe odchylenie bezwzględne, w którym, zamiast odległości cech od mediany rozumianej standardowo, bada się ich odległości w stosunku do wektora Webera, tzn. mãd(c j )=med i=1,2,...,m x ij θ j. Rozkład zestandaryzowanych w ten sposób zmiennych jest zbliżony do rozkładu o zerowej wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym równym 1. Probabilistyczną przesłankę przemawiającą za stosowaniem stałej 1,4826 (równej w przybliżeniu 1/(ϕ 1 (3/4)), gdzie ϕ to dystrybuanta rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1) stanowi fakt, że jeśli X 1, X 2,..., X k są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną µ iwariancjąσ 2 (σ>0), to E(1, 4826 mad(x 1,X 2,...,X k )) σ, dla dostatecznie dużych k, cozapewnia asymptotyczną zgodność tak skorygowanego medianowego odchylenia bezwzględnego z odchyleniem standardowym próby. Wykorzystując zapre-

17 Historia problemu Webera 19 zentowaną normalizację można konstruować taksonomiczne mierniki rozwojowe (zob. np. A. Młodak ([13], [14])). D. L. Vandev ([19]) rozważał uciętą medianę Webera, tzn.taką,żedla pewnego ustalonego 1 k m funkcja celu (1) jest sumą nie wszystkich m, ale tylko k najmniejszych odległości euklidesowych. A. Zachos i G. Zouzoulas ([21]) badali także problem odwrotny w stosunku do zagadnienia Webera, polegający na wyznaczeniu punktów źródłowych mając dany punkt będący tą medianą oraz jego odległości od danych punktów i pewne ich wagi. Pojawiło się też jeszcze inne uogólnienie pojęcia mediany Webera, tzw. mediana Oja (np. H. Oja ([16]), G. Aloupis ([1])). Zakładając, że m n, dla dowolnego punktu Θ Ê n konstruuje się mianowicie sympleks rozpięty na punkcie Θ oraz dowolnych n spośród punktów X 1,X 2,...,X m. Następnie sumuje się objętości wszystkich takich sympleksów. Wielkość ta nazywana bywa głębią Oja punktu Θ. Punkt Θ Ê n, dla którego owa suma okazuje się najmniejsza, jest właśnie medianą Oja. Na przykład dla trzech danych punktów (p. rys. 4) medianą Oja będzie taki punkt Θ, że suma pól trójkątów S 1, S 2, S 3 osiąga minimum. Rys. 4. W odróżnieniu od mediany Webera, mediana Oja nie zawsze jest wyznaczona jednoznacznie. Tak jest i w powyższym szczególnym przypadku. Do innych ciekawych wyników powstałych wokół rozpatrywanego pojęcia należy zaliczyć także pracę H. Martiniego, K. J. Swanepoela i G. Weissa ([11]), którzy badali właściwości punktu Fermata Torricellego w wielo-

18 20 A. Młodak wymiarowych rzeczywistych przestrzeniach unormowanych (zwanych także przestrzeniami Minkowskiego). Widzimy więc, że mediana Webera, to istotne bardzo efektywne narzędzie statystyczno-ekonometryczne o wszechstronnych zastosowaniach. Można przypuszczać, że badania nad własnościami i metodami wyznaczania zarówno jej samej, jak i jej matematycznych krewniaków w najbliższych latach będą rozwijać się jeszcze intensywniej. Literatura [1] Aloupis G. (2001), On Computing Geometric Estimators of Location, (A thesis submitted to the Faculty of Graduate Studies and Research in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science), School of Computer Science, McGill University, Montreal, Canada (maszynopis), tekst dostępny w Internecie pod następującym adresem: /http:zSzzSzcgm.cs.mcgill.cazSz athenszszg A thesis.pdf/aloupis01comput ing.pdf. [2] Bedall F. K., Zimmerman H. (1979), The mediancentre, Applied Statistics, vol. 23, str [3] Bogomolny A. (2001), The Fermat Point and Generalizations, point.shtml. [4] Dalla L. (2001), A note on the Fermat Torricelli point of a d-simplex, Journal of Geometry, vol. 70, str [5] Ducharme G. R., Milasevic P. (1987), Spatial median and directional data, Biometrika, vol. 74, str [6] Gower J. C. (1974), The mediancentre, Applied Statistics, vol. 23, str [7] Haldane J. B. S. (1948), Note on the median of a multivariate distribution, Biometrika, vol. 35, str [8] Kupitz Y. S., Martini H. (1994), The Fermat Torricelli point and the isosceles tetrahedra, Journal of Geometry, vol. 49, str [9] Lardjane S. (2008), Spatial median estimation in complex surveys, Institute of Biomathematics and Biometry, Helmholtz Center Munich, German Research Center for Environmental Health, Neuherberg (preprint), lardjane/articles-web/spatmed-web.pdf. [10] Lira J., Wagner W., Wysocki F. (2002), Mediana w zagadnieniach porządkowania obiektów wielocechowych, [w:] J. Paradysz (red.) Statystyka regionalna w służbie samorządu lokalnego i biznesu, Internetowa Oficyna Wydawnicza Centrum Statystyki Regionalnej, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań, str [11] Martini H., Swanepoel K. J., Weiss G. (2002), The Fermat Toricelli Problems in Normed Planes and Spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 115, str [12] Milasevic P., Ducharme G. R. (1987), Uniqueness of the Spatial Median, The Annals of Statistics, vol. 15, nr 3, str [13] Młodak A. (2002), Taksonomiczne mierniki przestrzennego zróżnicowania rynku pracy. Wiadomości Statystyczne, R. XLVII, nr 4, str [14] Młodak A. (2006), Analiza taksonomiczna w statystyce regionalnej, Centrum Doradztwa i Informacji DIFIN, Warszawa. [15] Młodak A. (2007), Punkt Torricellego, Matematyka, R. LX, nr 8 (334), str

19 Historia problemu Webera 21 [16] Oja H. (1983), Descriptive statistics for multivariate distributions, Statistical Probability Letters, vol 1., str [17] Serfling R. (1991), Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. [18] Steinhaus H. (1989), Kalejdoskop matematyczny, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa. [19] Vandev D. L. (2002), Computing of Trimmed L 1 Median, Laboratory of Computer Stochastics, Institute of Mathematics, Bulgarian Academy of Sciences, unisofia.bg/fmi/statist/personal/vandev/papers/aspap.pdf. [20] Weiszfeld E. (1937), Sur le point pour lequel les sommes des distances de n points donné et minimum, Tahoku Mathematical Journal, vol. 34, str [21] Zachos A., Zouzoulas G. (2009), The weighted Fermat Torricelli problem for tetrahedral and an inverse problem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 353, str Andrzej Młodak Urząd Statystyczny w Poznaniu Oddział w Kaliszu pl. J. Kilińskiego KALISZ, Poland History of the Weber problem Abstract. The paper is devoted to a problem, which is commonly known as a construction of the Weber median. A point in Ê n, such that the sum of its Euclidean distances from the m given points in this space achieves its minimum, has to be found. We present the history of research concerning this question, starting from the simplest form of it, i.e. the minimization of sum of distances from the vertices of triangle, which was investigated in the 17 th and 18 th centuries and finishing at the modern results in this matter and its further generalizations. We indicate also possibilities of its applications in statistics and econometrics. Keywords: Fermat Torricelli point, Weber median. (wpłynęło 5 maja 2007 r.)

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Jednokładność i podobieństwo

Jednokładność i podobieństwo Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II POTĘGI zna pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym umie zapisać potęgę w postaci iloczynu umie zapisać iloczyn jednakowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Własności punktów w czworokątach

Własności punktów w czworokątach Własności punktów w czworokątach Autor: Michał Woźny Gimnazjum nr 2 im. A. Mickiewicza w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1. Wstęp str. 3 2. Badanie punktów będących środkami boków w

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana (7.03.010) krąg dziewięciu

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A

Wymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A Ciągi Pojęcie ciągu. Sposoby opisywania ciągów Monotoniczność ciągów Ciąg arytmetyczny Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Ciąg geometryczny Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Procent

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA DZIAŁ I: POTĘGI I PIERWIASTKI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (2) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (2)

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA 1. FUNKCJE 2. POTĘGI I PIERWIASTKI NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. Wiem, co to jest układ współrzędnych, potrafię nazwać osie układu. 2. Rysuję układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo