FUNKCJE. Zbiór argumentów. Zbiór wartości

Transkrypt

1 FUNKCJE Funkcj jest to zleŝność między dwiem wrtościmi (zzwyczj ozncznymi przez x i y). Niech x ędzie rgumentem funkcji lu prmetrem, zś y wrtością funkcji czyli odpowidjącą rgumentowi liczą. Oto grf przedstwijący pewną funkcję: Ziór rgumentów Ziór wrtości Ziór rgumentów to dziedzin Ziór wrtości to przeciwdziedzin Czsem moŝe się zdrzyć, Ŝe kilku rgumentom odpowid tylko jedn wrtość (w powyŝszej funkcji dl x3 lu 3, funkcj przyjmuje wrtość 9). Nigdy ntomist nie moŝe istnieć kilk wrtości dl jednego rgumentu, tk zleŝność nie jest funkcją. Njlepiej uzmysłowić soie ten fkt n podstwie rzeczywistej sytucji. Przykłdowo istnieje pięcioro ludzi: Mieszko, Bolesłw, Henryk, Jdwig i Bolesłw. KŜdemu z nich odpowid tylko jedno imię, le dwoje i nich nosi tkie smo, woec tego wrtość dl dwóch konkretnych rgumentów ędzie tk sm. Funkcje moŝemy przedstwić tkŝe n wykresie: Ukłd współrzędnych Wykres funkcji N rysunku po lewej widzimy jedynie punkty. Zpewne wiele rzy spotkliście się z wykresem linii (krzywej, prostej ądź łmnej). Jej nrysownie yłoy moŝliwe, gdyy dziedzin funkcji ył ziorem licz rzeczywistych. Terz są to tylko niektóre liczy cłkowite. Mim, iŝ pojęcie funkcji jest oecne nieml w kŝdej dziedzinie Ŝyci, przykłdowo w fizyce (gdzie np. cięŝr odpowid msie), my ędziemy się zjmowć funkcjmi mtemtycznymi. Niektóre rodzje funkcji: Funkcje stłe Funkcje liniowe Funkcje kwdrtowe Funkcje hiperoliczne Funkcje trygonometryczne Funkcje cyklometryczne Funkcje wykłdnicze Funkcje logrytmiczne Zjmiemy się jedynie pierwszymi trzem

2 Funkcj liniow m wzór ogólny: f(x) x. Dlczego liniow? PoniewŜ rgument jest w potędze pierwszego stopni (dl ), punkty n wykresie ędą ukłdły się w linie. współczynnik kierunkowy, definiuje nchylenie funkcji, czyli jk szyko on rośnie (jeśli >) lu mleje (jeśli <) x rgument funkcji wyrz wolny, przecięcie wykresu z osią OY. Ay odczytć wrtość funkcji wystrczy z x podstwić interesujący ns prmetr. Gdy jednk chcemy poznć prmetr znjąc wrtość funkcji musimy przeksztłcić wzór: y x x y Przeksztłcnie wzoru ogólnego y x Terz zjmiemy się rysownie wykresu funkcji przykłdowej funkcji: yx Wyiermy dw dowolne punkty n osi OX (niech ędzie 1 i 1). Liczy podstwimy do wzoru funkcji: y ( 1) y 1 y 1 y 3. Powstją dw punkty: - P 1 (-1; -1) - P (1; ). Łączymy je tworząc prostą wykres funkcji Jkie włsności m wykres? Współczynnik kierunkowy to tngens kąt jki tworzy wykres z osią OX. Wyrz wolny mówi nm gdzie wykres przecin oś OY. Z wykresu moŝemy odczytć przecięcie z osią OX (miejsce zerowe), le gdy z przyczyn technicznych jest to niemoŝliwe, wrto wiedzieć jk posłuŝyć się wzorem. Skoro jest to przecięcie osi, to poszukiwny punkt ędzie n niej leŝł, czyli współrzędn y wynosi. y x x Brdzo wŝny wzór ogólny n miejsce x zerowe funkcji liniowej x Skoro funkcj liniow to wielomin pierwszego stopni, m on duŝe zstosownie w grficznym przedstwiniu ukłdu równń są to po prostu dw wykresy. Ukłd oznczony proste się przecinją w jednym punkcie ędącym rozwiązniem, nie są równoległe Ukłd nieoznczony proste są równoległe i pokrywją się (nieskończoność punktów wspólnych Ukłd sprzeczny proste są równoległe i nie pokrywją się (rk punktów wspólnych)

3 Ay grficznie przedstwić ukłd równń (n wykresie), nleŝy o równni doprowdzić do wzoru ogólnego funkcji liniowej. Przeksztłcenie przykłdowego ukłdu równń: 6 x y 6 Oustronne odjęcie 6x, i y 1 y 8 x Oustronne odjęcie 1 y 6 x 1 Podzielenie oustronne przez - y 8 x 1 Podzielenie oustronne przez y 3 x, y x 3 Skoro mmy dwie funkcje, moŝemy je przedstwić n wykresie. W tym celu wyiermy korzystne dw rgumenty dl kŝdej z nich i tworzymy proste. Wpierw znjdujemy punkty: 1) 1 ) x 3 1 f 1 ( ) 3, f (x 3 ) -x 3 3 f 1 ( ) 3,, f (x 3 ) P 1 (1;,) P 3 (1; 1) x x f 1 (x ) 3x, f (x ) -x 3 f 1 (x ) 6,, f (x ) P (;,) P (; -1) Interesuje ns punkt przecięci się tych dwóch prostych, nturlnie mogliyśmy odczytć to z wykresy, lecz z przyczyn technicznych jest to niemoŝliwe. Współrzędne oliczymy metodą przyrównni dwóch funkcji do sieie. y 3 x, y x 3 3 x, x 3 x 3, x,7 Terz współrzędną x podstwmy do dowolnego wzoru: y x 3 y,7 3 y 1, 3 1,6 Jk odczytć z równni, czy dwie proste są równoległe lu prostopdłe. Przypomnę, Ŝe z nchylenie wykresu odpowid współczynnik kierunkowy : Proste są równoległe jeśli współczynnik kierunkowy ou funkcji jest tki sm 1 Proste są prostopdłe jeśli współczynnik kierunkowy drugiej funkcji jest odwrotnie proporcjonlny i m przeciwny znk X i y to lterntywne rozwiązni ukłdu równń

4 Wróćmy terz do smej istoty funkcji liniowej. OtóŜ n początku npisłem, iŝ współczynnik kierunkowy musi yć róŝny od zer. Spróujmy wyorzić soie wykres funkcji gdy zmierz do zer. Przy podstwieniu 1 prost jest nchylon do osi OX pod kątek, przy, kąt zmniejsz się juŝ do około 6 i tk dlej. Czym mniejszy współczynnik kierunkowy tym nchylenie wykresu funkcji zmniejsz się. Gdyy wyniósł on, funkcj yły stł, tzn. jej wrtość nie yły uzleŝnion od rgumentu. y x y x y Przykłdem funkcji stłej jest f(x) Okzuje się Ŝe funkcj moŝe yć prostą w konkretnych przedziłch, mówimy wówczs Ŝe jest zmienn. Z uwgi n to, iŝ zpisnie wzorem łmnej yłoy niezmiernie kłopotliwie, moŝemy ją rozpisć n zestw kilku funkcji liniowych. Spróujmy przenlizowć poniŝszy wykres: Widzimy tutj cztery funkcje tworzące jedną linie. Oto jk wygląd tego poprwny zpis: x f(x) x 6 x dl x dl x dl x dl x ; ( 1; 6) 6; ) ; ) ( - nwis okrągły, to przedził otwrty, < - przedził domknięty Prześledźmy terz ten zpis to po kolei. Nie ędę rozpisywł się jk wyprowdziłem wzory (to yło wcześniej). Pierwsz funkcj mieści się w przedzile (-1; -6), to ozncz, Ŝe do wykresu nleŝą wszystkie liczy większe od -1 i mniejsze od 6 (ez 1 i -6, gdyŝ jest to tzw. przedził otwrty, świdczy o tym niezmlowne kółko n początku łmnej). Drug funkcj (tym rzem stł) mieści się w przedzile <-6; -), czyli zwier wszystkie liczy większe ądź równe 6 i mniejsze od. Trzeci zś w <-; ), czyli nleŝą do niej liczy większe lu równe i mniejsze od. Osttni ntomist mieści się w przedzile <; 9>, co ozncz Ŝe do funkcji nleŝą wszystkie liczy większe ądź równe i mniejsze lu równe 9 (tym rzem jest to przedził zmknięty, czego dowodem jest zmlowne kółko n końcu wykresu).

5 Funkcj kwdrtow m wzór ogólny: f(x) x x c. Dlczego kwdrtow? PoniewŜ rgument jest w potędze drugiego stopni (dl ). N początku wrto zdć soie sprwę jk wygląd on n wykresie, który nzywny jest prolą. M on wielkie zstosownie nie tylko w mtemtyce, np. kŝde ciło rzucone pod dowolnym kątem porusz się włśnie po tej krzywej Jk przedstwiono n rysunkch, prol przypomin podkowę, moŝe yć rmionmi zwrócon do góry, ądź do dołu. Chrkterystyczną cechą wielominu kwdrtowego jest tzn. mksimum ądź minimum funkcji (w zleŝności zwróceni się rmion), które nzywne jest wierzchołkiem proli. Dziedziną (ziorem rgumentów) są wszystkie liczy rzeczywiste Przeciwdziedziną (ziorem wrtości) są wszystkie liczy większe ądź mniejsze i równe wierzchołkowi proli (w zleŝności od znku ). W przeciwieństwie do funkcji liniowej, miejsc zerowych (przecięć z osią OX) moŝe yć, 1 lu wogle. O czym decydują współczynniki we wzorze ogólnym: mówi o rozpiętości rmion, gdy > zwrócone są ku górze, zś gdy < w dół. liniowo określ oddlenie proli. c jest to punkt n osi OY przecięci się z nią wykresu funkcji. Ay poznć wrtość funkcji, wystrczy do jej wzoru podstwić interesujący ns rgument, zrómy to n przykłdzie zleŝności f(x) x x 8, dl rgumentu 3. y y y y Wrtością tej funkcji dl rgumentu 3 jest.

6 Sytucj nie wygląd juŝ tk kolorowo, gdy prgniemy poznć rgument znjąc wrtość funkcji. Będzie uŝytecznych kilk wzorów: WyróŜnik funkcji ( delt ): c Pierwsze rozwiąznie: Drugie rozwiąznie: x Grficznie ujmując, rozwiązni równni kwdrtowego to miejsc zerowe funkcji. Tk jk wcześniej wspomniłem moŝe ich yć, 1 ądź. Po czym od rzu to rozpoznć: Gdy delt jest ujemn funkcj nie m rozwiązń Gdy delt jest równ istnieje jedno rozwiąznie Gdy delt jest większ od są dokłdnie rozwiązni Dl wprwy, spróujmy rozwiązć poniŝszy przykłd. Mmy dną funkcję: f(x) x x 7, y ją rozwiązć posłuŝymy się podnymi wcześniej wzormi, lecz njpierw wypiszmy wszystkie współczynniki: ; ; c 7. Nstępnie oliczmy deltę: c ( 7) 6 81 Widzimy, iŝ delt jest dodtni, woec tego istnieją dw rozwiązni. UŜywmy powyŝszych wzorów: x 9 9 x 1 x 1 x 3, Spróujmy terz dl tej smej funkcji oliczyć współrzędne wierzchołk. Potrzeny nm ędzie odpowiedni wzór (Px współrzędn x, Py współrzędn y): P x Podstwmy terz nsze dne pod wzór: 81 P ; P 1,; 1,1 P ( ) ( ) y P P x; P y Dzięki współrzędnym wierzchołk, yliśmy w stnie nrysowć wykres

7 Nie zwsze mmy do czynieni z równniem kwdrtowym, czsem musimy rozwiązć nierówność. PokŜę terz jk to zroić. Nturlnie zczynmy od oliczeni miejsc zerowych, potem przy ich pomocy rysujemy wykres funkcji (w tym przypdku nie musimy znjdowć wierzchołk), nstępnie odczytujemy z niego przedził jki spełni ową nierówność. Spróujmy zroić to n przykłdzie: x x 3 > Wypiszmy z nierówności współczynniki: ; ; c 3. Oliczmy miejsc zerowe: 9 ( 3) 9 9 x 7 7 x, x 3 Terz moŝemy juŝ przystąpić do rysowni wykresu, nie musi on yć tki jk w rzeczywistości, wŝne y rmion przecięły oś OY w odpowiednim miejscu i yły prwidłowo zwrócone. Skoro > to są one skierowne ku górze: -6 y> y< y> Przypominmy soie nierówność: x x 3 > Z wykresu odczytujemy dl jkich rgumentów, funkcj przyjmuje wrtości dodtnie (y>). Zpisujemy przedził: x ( ; 3) (,; ) Argumentmi są liczy większe od -nieskończoności i mniejsze od 3 orz większe od, i mniejsze od nieskończoności. Zznczm Ŝe jest to przedził otwrty, gdyŝ interesują ns tylko i wyłącznie liczny dodtnie ( miejsc zerowe leŝ n osi OY). Uwg! Dl nieskończoności i nieskończoności przedził jest zwsze otwrty: ( ; )

8 Włściwie rozdził o funkcji kwdrtowej juŝ skończyliśmy, nie mniej jednk j przedstwię dw rdzo wŝne i szlenie uŝyteczne wzory stosowne w funkcji kwdrtowej, nzwne (od nzwisko ich twórcy) wzormi Viete. Oto one: A oto ich wyprowdzenie (z rozwiązni, x podstwimy znne nm wzory): 1.. ( ) ( ) ( ) - c c c Kmil Frydlewicz, 8 x x 1 c x x 1