FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS OCENA EFEKTYWNOŚCI WYBRANYCH NIEPARAMETRYCZNYCH MODELI WYCENY OPCJI

Transkrypt

1 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Fola Pomer. Unv. Technol. Stetn. 3, Oeconomca 3 (7), 8 9 Henryk Marjak OCENA EFEKTYWNOŚCI WYBRANYCH NIEPARAMETRYCZNYCH MODELI WYCENY OPCJI ASSESMENT OF THE EFFECTIVENESS OF SELECTED NONPARAMETRIC OPTION PRICING MODELS Katedra Analzy Systemowej Fnansów, Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne ul. K. Janckego 3, 7-7 Szczecn, e-mal: henryk.marjak@zut.edu.pl Summary. In the paper were presented researches on effectveness of non-parametrc opton prcng models. In the artcle were used models based on neural networks optmzed usng a flexble back propagaton algorthm (RPROP) and models based on support vectors. Graphcally shows the changes of errors, dependng on the moneyness and maturty of the opton. In the paper were researched problems attached Słowa kluczowe: regresyjne wektory nośne, sec neuronowe, wycena opcj. Key words: neural networks, opton prcng, support vector regresson. WPROWADZENIE Możlwość wyceny prognozowana opcj umożlwa praktykom nwestującym na rynkach gełdowych zredukowane ryzyka fnansowego. O le określene ceny opcj polega na wyznaczenu uczcwej ceny beżącej, to prognozowane służy oszacowanu wartośc przyszłej ceny opcj bez znajomośc parametrów wpływających na tę cenę (zmenność, nstrument bazowy). Prawdopodobeństwo spadku lub wzrostu cen na gełdze zwększa sę wraz ze wzrostem wartośc zmennośc. Zmenność jest marą ruchu cen używaną do określana ryzyka. Można rozróżnć trzy rodzaje zmennośc: przyszłą, hstoryczną mplkowaną. Zmenność przyszła jest wartoścą szacowaną w danej chwl, a dotyczy okresu przyszłego. Zmenność hstoryczna to wartość oblczana na podstawe notowań od pewnego okresu w przeszłośc do chwl obecnej. Zmenność mplkowana to wartość oblczona za pomocą modelu Blacka-Scholesa na podstawe zawartych transakcj opcjam, gdze przyjmuje sę zmenność jako wartość newadomą. Pojęce wycena opcj wskazuje na naukowy proces określena teoretycznej neutralnej uczcwej ceny w stosunku do beżącej ceny nstrumentu bazowego. Metody wyceny opcj podzelć można na dwe kategore: metody parametryczne metody neparametryczne. Wśród metod parametrycznych wymenć można metodę drzew dwumanowych, model Blacka- -Scholesa metodę różnc skończonych. Metody neparametryczne to np. sztuczne sec neuronowe czy metoda regresyjnych wektorów nośnych (Cao n. ; Huang n. 6). Celem pracy jest analza efektywnośc zastosowana sec neuronowych regresyjnych wektorów nośnych w wycene opcj ndeksowych (ndeks WIG) typu europejskego notowanych na Warszawskej Gełdze Paperów Wartoścowych (WGPW).

2 8 H. Marjak Uzyskane wynk mogą znaleźć zastosowane praktyczne dla trzech grup podmotów: a. anmatorów (market makerów) odpowedzalnych za aktywność na rynku opcj; b. specjalstów odpowedzalnych za fnanse w przedsęborstwach mportujących lub eksportujących, którzy zajmują sę zarządzanem ryzykem w tych frmach; c. nwestorów podejmujących decyzje dotyczące strateg zabezpeczana portfel nwestycyjnych, w szczególnośc stosujących stratege opcyjne. METODY I MATERIAŁ EMPIRYCZNY Mmo że parametryczny model Blacka-Scholesa (Black Scholes 973) uznawany jest za jedno z najważnejszych osągnęć w teor fnansów, badana empryczne pokazują, że metoda ta ne jest odporna na określone obcążena (Black Scholes 975). Ceny opcj kupna sprzedaży w modelu Blacka-Scholesa wyznaczane są następująco: rt C = SNd ( ) Xe N( d ) rt P = Xe N d ) SN( ) d d ( d ln( S / X ) + ( r + σ / ) T = σ T ln( S / X) + ( r σ / ) T = σ T gdze: C, P cena opcj odpowedno kupna sprzedaży, S cena nstrumentu bazowego, X cena wykonana, r wolna od ryzyka stopa procentowa, σ zmenność ceny nstrumentu bazowego, N dystrybuanta standaryzowanej zmennej o rozkładze normalnym. Najstotnejsze koncepcje dotyczące zagadneń zwązanych z nstrumentam pochodnym zawera klasyczna, welokrotne wydawana ksążka Hulla (999), natomast wycenę opcj opsał m.n. Jakubowsk n. (3). Szczegółowe rozważana dotyczące model wyceny opcj, takch jak: Blacka-Scholesa, drzewa dwu- trzymanowe, metoda różnc skończonych, metoda Monte Carlo ujęl w pracy Korn Korn (). Badana dotyczące możlwośc użyca sec neuronowych wskazują na skuteczność takch rozwązań. Hutchnson n. (994), Lu (996), Amlon (3), Bnner n. (5), Ln Yek. (5) stosowal sec neuronowe, uzyskując wynk lepsze nż gdybyśmy stosowal tradycyjne modele stochastyczne. Przykładowy model zastosowana sec neuronowej do wyceny opcj przedstawono na rysunku. Tseng n. (8) badana przeprowadzl na trzech podzborach danych wyodrębnonych według kryterum opłacalnośc (S/X): ITM S/X >,, ATM,95 S/X, OTM S/X <,95. Gradojevc n. (9) podzell zbór danych na częśc w zależnośc od przyjętych a pror parametrów: opłacalnośc (moneyness) czasu do wygaśnęca (tab. ). Każdej częśc danych przypsal odpowedn moduł sec neuronowych, dzęk czemu unknęl pułapek mnmów lokalnych. Moduły uzyskano przez podzelene a pror badanej przestrzen zgodne z przedstawo-

3 Ocena efektywnośc wybranych neparametrycznych model nym ponżej parametram (czas do wygaśnęca/365) oraz S t /K (cena nstrumentu bazowego/ /cena wykonana). S X T r C σ Warstwa wejścowa Warstwa ukryta Warstwa wyjścowa Rys.. Neuronowy model wyceny opcj Źródło: Tseng n. 8, s Tabela. Zasady tworzena modułów neuronowych () <,97.97 (),5 () >,5 <, c t (moduł ) c t (moduł ) c 3t (moduł 3),, c 4t (moduł 4) c 5t (moduł 5) c 6t (moduł 6) >, c 7t (moduł 7) c 8t (moduł 8) c 9t (moduł 9) Źródło: Gradojevc n. 9, s. 68. Na podstawe tych rozważań zbudowano model zawerający dzewęć modułów sec neuronowych, z których każdy w zależnośc od parametrów prognozował cenę europejskej opcj kupna na ndeks S&P-5 (rys. ). Wybór zakresu wejść Przełącznk modułu NN wskazane zakresu Decyzja NN NN NN 3 Prognoza ceny opcj C t/k Wybór zakresu wejść wskazane zakresu NN M Rys.. Modularny model wyceny opcj kupna Źródło: Gradojevc n. 9, s. 68.

4 84 H. Marjak Kweste defnowana opcj według opłacalnośc (moneyness) pojawają sę także w Andreou n. (8). Autorzy c podają następującą termnologę dotyczącą opłacalnośc, w zależnośc od wartośc lorazu S/X: S/X <,85 VDOTM bardzo głęboko neopłacalne (VDOTM very deep out of the money);,85 S/X <,9 głęboko neopłacalne (DOTM deep out the money);,9 S/X <,95 neopłacalne (OTM out the money);,95 S/X <,99 lekko neopłacalne (JOTM just out the money);,99 S/X <, na grancy opłacalnośc (ATM at the money);, S/X <,5 lekko opłacalne (JITM just n the money);,5 S/X <, opłacalne (ITM n the money);, S/X <,35 głęboko opłacalne (DITM deep n the money); S/X,35 bardzo głęboko opłacalne (VDITM very deep n the money). Inne podejśce zaproponowal Lang n. (9). Zastosowal on do prognozowana cen opcj sec neuronowe oraz regresyjne wektory nośne. W swoch badanach porównal metody parametryczne z połączonym kaskadowo parametrycznym metody takm jak: drzewa dwumanowe (BT), metoda różnc skończonych (FD), metoda Monte Carlo (MC), zwększając możlwośc model neparametrycznych, takch jak kolejno: lnowy model sec neuronowej, welowarstwowy model sec neuronowej model regresyjnych wektorów nośnych. Przykład takego modelu dla lnowego modelu sec neuronowej pokazano na rysunku 3. S X σ r t Model BT C w b + Model FD C w w 3 C Model MC C 3 Rys. 3. Kaskadowy model wyceny opcj Źródło: Lang n. 9, s. 36. gdze: C -3 wycena opcj kupna dla model parametrycznych (odpowedno BT, FD MC); w -3 wag przypsane odpowednm modelom; b odchylene; C wycena opcj kupna modelu kaskadowego. Dotychczasowe badana wskazywały, że dane fnansowe wykazują stacjonarność tylko w krótkm okrese. Jeżel długość uczącego okna przesuwnego (tranng sldng wndow) jest zbyt duża, uczene może ne wykazać odpowednego trendu na rynku. Z tego powodu badana przeprowadzono dla oken o długośc L = 3, 5, 8,, 7, 3 (rys. 4). W prognozach opcj kupna notowanych na gełdze w Hongkongu najlepsze wynk w badanym okrese (6 7) uzyskano dla okna L= oraz model welowarstwowych sec neuronowych regresyjnych wektorów nośnych.

5 Ocena efektywnośc wybranych neparametrycznych model t -L+ prognoza C C C C C C C C C C C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C C C C C? trenng NN/SVR Rys. 4. Okno przesuwne Źródło: Lang n. 9, s W połączenu z secam neuronowym stosowane są także nne metody. Ln Yeh (9) oraz Tseng n. (8) zastosowal grupy metod GARCH w celu prognozowana parametrów modelu wyceny opcj ndeksowych gełdy tajwańskej (TAIFEX) zbudowanego na modelu sec neuronowych o propagacj wstecznej. Równeż Wang (9) użył metod GARCH dla określena zmennośc nstrumentu bazowego, podanego następne jako wartość wejścowa modelu sec neuronowej zastosowanej w celu prognozowana ceny opcj na gełdze TAIFEX. Dotychczasowe badana prowadzone były na rynkach o bardzo wysokej płynnośc jeżel chodz o opcje (S&P5, TAIFEX) odrzucano zwykle te obserwacje, które charakteryzowały sę zbyt nskm pozomem obrotu. W zwązku z tym, że badana empryczne w nnejszej pracy dotyczą opcj ndeksowych notowanych na WGPW, szczególną uwagę zwrócono na etap przygotowana danych: określena metod normalzacj danych metod zarządzana obserwacjam odstającym brakującym. W pracy zastosowano metody neparametryczne: sec neuronowe trenowane za pomocą algorytmu Rprop (NN) oraz regresyjne wektory nośne (SVR). Proces uczena sec neuronowej można uogólnć, wyróżnając klka etapów: analza sec neuronowej dla aktualnego wektora wejścowego, utworzene sec propagacj wstecznej, zastąpene funkcj aktywacj ch pochodnym, podane na byłe wyjśca obecne wejśca, różnc mędzy odpowednm wartoścam uzyskanym wymaganym, adaptacja wag na podstawe poprzednch etapów, kontynuacja uczena dla wszystkch wektorów uczących do czasu spełnena warunku zatrzymana. Nazwa algorytmu RPROP (Redmller Branz 99) pochodz od ang. Reslent Backpropagaton. Podstawowym założenem tej metody jest elmnacja szkodlwego wpływu welkośc pochodnych cząstkowych. Dlatego rozważany jest tylko znak pochodnej, na podstawe którego określany jest kerunek zman wag. Welkość zman wag wyznaczana jest za pomocą (t) czynnka:

6 86 H. Marjak w ( t ( t = + ) ) gdy gdy w nnym przypadku > < gdze: w (t ) + η = η ( t ) ( t ) ( t ) gdy gdy w nnym przypadku gradent po wszystkch wzorcach uczących, ( t ) ( t ) η +, η maksymalna mnmalna wartość współczynnka uczena. Algorytm RPROP znaczne przyspesza proces uczena w obszarach, gdze nachylene funkcj błędu jest newelke. Podstawą tej metody jest cągły wzrost współczynnka uczena, gdy dla dwu kolejnych kroków znak gradentu są take same, a także zmnejszene wartośc współczynnka, gdy znak te są różne. Maszyny wektorów nośnych (SVM support vector machnes) to grupa metod rozwanych przez Vapnka jego współpracownków (Boser n. 99; Cortes Vapnk 995; Vapnk n. 997) początkowo do rozwązywana zadań klasyfkacj. Nazwą tą określa sę grupę metod uczena maszynowego, jak model matematyczny (Vapnk Chervonenks 964), który one realzują. Metoda regresyjnych wektorów nośnych (SVR support vector regresson) to grupa metod będących rozwnęcem metod SVM, stosowanych w problemach regresj prognozowana szeregów czasowych (Smola Scholkopf 4). W pracy zastosowano algorytm ε-svr z radalną funkcją jądrową. Algorytm ten formułowany jest jako mnmalzacja następującego funkcjonału: = gdze: y f( x ) = max{, y f( x ) ε} ; k ε f normaf w przestrzen Hlberta; m C H ( f ) y f ( x ) + f m ε = C współczynnk kary, tylko wektory spoza zakresu ε spełnają warunk funkcj kosztu, parametry C ε są optymalzowane dla każdego problemu; m rozmar zboru uczącego. Rozwązane funkcj f(x) dane jest w postac: m = f ( x) ( α α ) K( x, x ) + β = K > <

7 Ocena efektywnośc wybranych neparametrycznych model gdze: α, α C mnożnk Lagrange a; [ ], K ( x, x ) exp x x = bass functon); β odchylene. m σ funkcja jądrowa o radalnych funkcjach bazowych (RBF radal Wartość ( α α ) =, dlatego suma wszystkch wag równeż mus wynosć zero. = Wektor nośny ma wagę nezerową, stąd predykcja etyket neznanej próbk oblczana jest za pomocą ważonego podobeństwa do zboru wektorów nośnych. Ocena jakośc model przeprowadzona zostane przez porównane następujących mar błędów: błąd średnokwadratowy (RMSE), średn błąd bezwzględny (MAE). RMSE = ( y x) n MAE = y x n gdze: x wartość rzeczywsta, y wartość prognozowana, n lczba obserwacj. Materał badawczy stanowły pozycje lteraturowe uzyskane przez kwerendy w bazach danych: EBSCOhost; Emerald, ProQuest, ScenceDrect. Materał empryczny stanowły dane lczbowe: kursy gełdowe opcj kupna na ndeks WIG oraz ndeksu WIG, stopy procentowe wolne od ryzyka, zmenność hstoryczna oraz mplkowana. WYNIKI I DYSKUSJA Zbór danych obejmuje okres od marca do grudna roku zawera cztery sere opcj kupna (C, F, I, L). Dane zostały przefltrowane z zastosowanem odpowedno zaadaptowanych reguł podanych przez Andreou n. (8). Wyelmnowano obserwacje, dla których,9 > S/X >, oraz czas do wygaśnęca/365 (), spełnające warunk, > <,. Oblczena BS NN przeprowadzono za pomocą odpowednch paketów (toolboksów) programu Matlab, natomast do oblczeń SVR zastosowano zewnętrzną bblotekę LIBSVM, którą równeż uruchamano w Matlabe (Chang Ln.). Metodę odnesena stanowł model Blacka-Scholesa (BS). Oblczena w modelu BS, jak zadana optymalzacyjne za pomocą model neparametrycznych NN SVR, przeprowadzono kolejno dla dwóch wartośc zmennośc: hstorycznej (ZH) mplkowanej (ZI). Każdy z podzborów danych obejmujących jedną z czterech ser podzelono na zestaw trenngowy (7%) testowy (3%). Oblczena dla BS przeprowadzono tylko na danych testowych określonych dla model neparametrycznych. Wartośc błędów RMSE MAE podano w tabel.

8 88 H. Marjak Tabela. Mary błędów dla badanych model dane testowe BS_ZH NN_ZH SVR_ZH BS_ZI NN_ZI SVR_ZI Sera C RMSE 6,83,7 4,,5 9,56 5,37 MAE 4,9 8,,4 8,34 6,87,33 Sera F RMSE 4,7 7,6 7,89,5 5, 7,4 MAE 3,7 5,67 4,3 9,68 3,46 4,35 Sera I RMSE 35,97 6,6 9,89 3,83 3,9,83 MAE,4,96 4,9,77 8,89 5,39 Sera L RMSE,7 5,76 7,7 5,76 9,53 6,35 MAE 9,3 4,44 4,8 4,45 6,67,84 Średna RMSE 7,3,7 4,78 4,53 9,3 5,4 MAE,4 7,7,6,8 6,47, Uzyskane wynk wskazują, że modele wyceny oparte na secach neuronowych dawały wynk obarczone najmnejszym błędam RMSE MAE. Wynk te wskazywały sec neuronowe jako atrakcyjne narzędze zarówno dla model zaslanych zmennoścą mplkowaną (NN_ZI: RMSE = 9,3.7; MAE = 6,47), jak hstoryczną (NN_ZH: RMSE =,7; MAE = 7,7). Metoda SVR, mmo że mnejsze błędy RMSE MAE, nż dla modelu odnesena BS, uzyskano tylko dla model ze zmennoścą hstoryczną (SVR_ZH: RMSE = 4,78; MAE =,6), wyróżnała sę szybkoścą dzałana. Zastosowany model Blacka-Scholesa dobrze sprawdzł sę dla danych zaslanych zmennoścą mplkowaną (BS_ZI: RMSE = 4,53; MAE =,8). Wprawdze wartośc błędów tylko neznaczne odbegały od wartośc uzyskanych za pomocą SVR_ZI (RMSE = 5,4; MAE =,), ale dla ser L uzyskano najlepsze wynk, w porównanu z pozostałym modelam. 4 Błąd RMSE BS_ZH NN_ZH SVR_ZH BS_ZI NN_ZI SVR_ZI 5 Sera C Sera F Sera I Sera L Sera opcj Rys. 5. Błędy RMSE dla badanych model ser opcj

9 Ocena efektywnośc wybranych neparametrycznych model Błąd MAE 5 5 BS_ZH NN_ZH SVR_ZH BS_ZI NN_ZI SVR_ZI 5 Sera C Sera F Sera I Sera L Sera opcj Rys. 6. Błędy MAE dla badanych model ser opcj Należy zwrócć uwagę, że różnce mędzy uzyskanym wycenam a wartoścam rynkowym wystąpły w zależnośc od opłacalnośc czasu do wygaśnęca (rys. 5 6). W obu prezentowanych przykładach błędy zwększały sę po przekroczenu S/X powyżej, opcje ITM. W przypadku modelu SVR zauważalny jest równeż wzrost wartośc błędów w termnach blskch wygaśnęca. Wynk te śwadczą o potrzebe tworzena model opartych na modułach uczonych maszynowo (NN, SVR), tworzących przestrzeń do zaprogramowana charakterystycznych cech rynku. Błędy Błędy - NN NN zmenność zmenność hstoryczna hstoryczna Czas do wygaśnęca Opłacalność..5 Rys. 5. Zmany błędów wyceny modelu NN_ZH

10 9 H. Marjak Błędy Błędy - SVR SVR zmenność zmenność mplkowana mplkowana Czas do wygaśnęca Opłacalność.5..5 Rys. 6. Zmany błędów wyceny modelu SVR_ZI PODSUMOWANIE W pracy porównano efektywność dwóch metod uczena maszynowego: sec neuronowych (NN) regresyjnych wektorów nośnych (SVR), dla których modelem odnesena był model Blacka-Scholesa (BS). Badane modele zastosowano do wyceny opcj kupna na ndeks WIG. Przeprowadzona analza efektywnośc wskazuje, że modele neparametryczne, take jak sec neuronowe regresyjne wektory nośne stanową skuteczną alternatywę wobec klasycznych model parametrycznych (BS). W szczególnośc modele dzałające w oparcu na secach neuronowych oraz wykorzystujące zmenność mplkowaną (NN_ZI) dały bardzo dobre wynk. Uwagę należy zwrócć na odpowedne przygotowane danych, tj. na selekcję ze względu na opłacalność (moneyness) czas do wygaśnęca (maturty). Podzał ten umożlwa przeprowadzene oblczeń dla modułów zawerających dodatkową wedzę o rynku. PIŚMIENNICTWO Amlon H. 3. A neural network versus Black-Scholes: a comparson of prcng and hedgng performances, J. Forecast.,, Andreou P., Charalambous C., Martzoukos S. 8. Prcng and tradng European optons by combnng artfcal neural networks and parametrc models wth mpled parameters, Eur. J. Oper. Res., vol. 85, Mar., Bnner J.M., Bssoondeeal R.K., Elger T., Gazely A.M., Mullneux A.W. 5. A comparson of lnear forecastng models and neural networks: an applcaton to Euro nflaton and Euro Dvsa, Appl. Econ., 37, Black F., Scholes M The prcng of optons and corporate labltes. J. Poltc. Econ. 8 (3), Black F., Scholes M Fact and fantasy n the use of optons. Fnanc. Anal. J. 3, Boser B.E., Guyon I., Vapnk V.N., 99. A tranng algorthm for optmal margn classfers, w: Proceedngs of the Ffth Annual Workshop of Computatonal Learnng Theory. 5, ACM Cao L.J., Tay F.E.H.. Fnancal forecastng usng support vector machnes, Neural Comput. Appl., 84 9.

11 Ocena efektywnośc wybranych neparametrycznych model... 9 Chang C.-C., Ln C.-J.. LIBSVM: A lbrary for support vector machnes. ACM Transactons on Intellgent Systems and Technology. vol., no. 3, 7. Cortes C., Vapnk V Support-Vector Networks. Mach. Lear. vol., no. 3, Gradojevc N., Gençay R., Kukolj D. 9. Opton prcng wth modular neural networks. IEEE transactons on neural networks. vol., no. 4, Huang S.-C., Wu T.-K. 6. A hybrd unscented Kalman flter and support vector machne model n opton prce forecastng. Lect. Notes Comp. Sc., vol. 4, Hull J., 999. Kontrakty termnowe opcje. Wprowadzene. WIG-Press, Warszawa ISBN Hutchnson J.M., Lo A.W., Poggo T A nonparametrc approach to prcng and hedgng dervatve securtes va learnng networks. J.Fn., 49, Jakubowsk J., Palczewsk A., Rutkowsk M., Stettner Ł. 3. Matematyka Fnansowa, Instrumenty pochodne, WNT. ISBN Korn R., Korn E.. Opton Prcng and Portfolo Optmzaton. Modern Methods of Fnancal Mathematcs, Am. Math. Soc. Provdence, Rhode Island. ISBN Lang X., Zhang H., Xao J., Chen Y. 9. Improvng opton prce forecasts wth neural networks and support vector regressons. Neurocomputng, vol. 7, no. 3 5, Ln C.T., Yeh H.Y. 5. The valuaton of Tawan stock ndex opton prces comparson of performances between Black-Scholes and neural network model, J. Stat. Manag. Syst., 8, Ln C.T., Yeh H.Y. 9. Emprcal of the Tawan stock ndex opton prce forecastng model appled artfcal neural network, Appl. Econ., vol. 4, Jun. 9, Lu M Opton prcng wth neural networks w: Progress n Neural Informaton Processng, Red. S.I. Amar, L. Xu, L.W. Chan, I. Kng, K.S. Leung. Sprnger-Verlag, vol., Redmller M., Braun H. 99. A fast adaptve learnng algorthm. Techncal Report, Unversty Karslruhe, Germany. Smola A.J., Scholkopf B. 4. A tutoral on support vector regresson. Stat. Comp., vol. 4, no. 3, 99. Tseng C., Cheng S., Wang Y., Peng J. 8. Artfcal neural network model of the hybrd EGARCH volatlty of the Tawan stock ndex opton prces, Physca A: Stat. Mech. Appl., vol. 387, May, Wang Y. 9. Nonlnear neural network forecastng model for stock ndex opton prce: Hybrd GJR GARCH approach. Exp. Syst. Appl., vol. 36, Jan, Vapnk V., Golowch S., Smola A Support vector method for functon approxmaton, regresson estmaton, and sgnal processng. n: Mozer M.C., Jordan M.I., and Petsche T. (Eds.) Advances n Neural Informaton Processng Systems 9, MA, MIT Press, Cambrdge, Vapnk V., Chervonenks A A note on one class of perceptrons. Automaton and Remote Control, 5.