4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych
|
|
- Henryka Szymczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi także zachodzić równość: ω = 0 (4.1) dω = 0 (4.2) Mimo pozornej prostoty zawiera ona w sobie wiele tak zwanych relacji Maxwella między pochodnymi cząstkowymi różnych wielkości termodynamicznych. W reprezentacji energetycznej dla układu o dwóch stopniach swobody: stąd ω = du ds + pdv = 0 (4.3) dω = Otrzymaliśmy relację Maxwella: ddu }{{} = 0 d ds + d p dv = 0 (4.4) d ds = d p dv (4.5) dla czwórki zmiennych termodynamicznych (, S, p, V). Wybierając dwie zmienne jako niezależne dostajemy zapis relacji Maxwella przy pomocy pochodnych cząstkowych. Dla uproszczenia rachunków wygodnie jest stosować skrócony zapis dla pochodnych cząstkowych y x y x (4.6) Na przykład F = F. Należy przy tym pamiętać przy jakiej stałej drugiej zmiennej brana V jest pochodna. 1
2 S, V zmienne niezależne p, zmienne zależne Wyznaczyć relację Maxwella dla pochodnych cząstkowych. rzeba obliczyć pochodne zewnętrzne zmiennych zależnych d = S ds + V dv d p = p S ds + p V dv Po wstawieniu do relacji Maxwella (4.5) dostajemy: V dv ds = p S ds dv co oznacza: V = p S S V, S zmienne niezależne p, V zmienne zależne Wyznaczyć relację Maxwella dla pochodnych cząstkowych. Obliczamy pochodne zewnętrzne zmiennych zależnych d p = p d + p S ds dv = V d + V S ds stąd d ds = p V S d ds + p S V ds d czyli 1 = p V S p S V Dostaliśmy warunek: p p det S S = 1 V S V S na jakobian przekształcenia (, S) (p, V), który jest odpowiednikiem warunku na transformację kanoniczną w mechanice klasycznej. 2
3 Do relacji Maxwella można dojść również w inny sposób, korzystając z zupełności pochodnych zewnętrznych potencjałów termodynamicznych. Wyliczyć relację Maxwella z warunku, że forma: dh = ds + Vd p jest zupełna. W reprezentacji entalpijnej zmiennymi niezależnymi są S i p. Ponieważ musi zachodzić: = H S oraz V = H p wobec czego dla drugich pochodnych cząstkowych: p = H Sp = H ps = V S gdzie skorzystaliśmy z warunku symetrii pochodnych mieszanych: 2 f x y = 2 f y x Mamy więc relację Maxwella: S = V p S p Różniczkowanie formy Pfaffa ω dla pierwszej zasady termodynamiki w reprezentacj potencjałów F, G i H nie daje nowych relacji Maxwella ponieważ transformacje Legendre a, które prowadzą do tych potencjałów obejmują pary zmiennych S i p V. Relacja Maxwella (4.5) jest niezmiennicza względem tych transformacji. Za to można otrzymać różne relacje wychodząc bezpośrednio z warunku ω = 0, mnożąc go zewnętrznie przez różniczkę jakiegoś parametru termodynamicznego. Obliczyć relację Maxwella d p ω biorąc reprezentację entalpijną ω = dh ds Vd p = 0 i przyjmując za niezależne zmienne ciśnienie i temperaturę. Obliczamy: 3
4 d p ω = d p dh d p ds = 0 Zakładając, że p, to zmienne niezależne, natomiast H, S to zmienne zależne możemy napisać wyrażenie na formy entalpii i entropii dh = H p d p + H d ds = S p d p + S d więc H d p d = S d p d W notacji pochodnych cząstkowych dostajemy równanie H p = S p ę samą relację można dostać innym sposobem formalnie dzieląc formę entalpii: dh = ds + Vd p przez d przy stałym p, pamiętając że wówczas d p = 0 Nowe relacje Maxwella dostaniemy wychodząc z reprezentacji entropijnej dla I zasady termodynamiki: ω = λω = 1 ω = ds du p dv = 0 (4.7) akże pochodna zewnętrzna musi być równa zeru Wynosi ona dω = 0 (4.8) dω = dds }{{} = 0 d ( 1 ) ( p ) du d dv = (4.9) = 1 d du 1 2 d p dv + p 1 d dv = 0 2 Mnożąc otrzymane wyrażenie przez 2 otrzymujemy relację Maxwella dla czwórki zmiennych (, U, p, V): d du d p dv + pd dv = 0 (4.10) 4
5 Wybierając w powyższym równaniu dwie zmienne jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne otrzymamy relacje Maxwella dla pochodnych cząstkowych. Różniczkowanie formy Pfaffa (4.7) w reprezentacje funkcji Massieu nie daje nowych relacji ponieważ funkcje te otrzymujemy z entropii przy pomocy transformacji Legendre a U 1/ i p/ V, względem których nasza relacja Maxwella się nie zmienia. V, zmienne niezależne U, p zmienne zależne Wyznaczyć relację Maxwella dla pochodnych cząstkowych. Obliczamy pochodne zewnętrzne zmiennych zależnych du = U V dv + U d d p = p V dv + p d stąd z relacji Maxwella (4.10) dostajemy: U V d dv p d dv + p d dv = 0 a więc musi zachodzić: U V p + p = 0 Otrzymaliśmy relację Maxwella: U V = p p (4.11) V zwaną termodynamicznym równaniem stanu. Zależność p() przy stałej objętości jest łatwa do wyznaczenia doświadczalnie. Na podstawie powyższej relacji Maxwella można wyznaczyć trudno mierzalną zależność energii wewnętrznej od objętości w stałej temperaturze. Powyższą relację można także otrzymać inaczej dzieląc formę energii: du = ds pdv przez dv przy stałym. Wówczas: U = S V V p Natomiast to że S V = p V jest relacją Maxwella wynikającą z warunku zupełności formy energii swobodnej df. 5
6 Relacje Maxwella można wykorzystać do otrzymania różnych nieoczekiwanych wniosków łączących ze sobą pozornie niezależne współczynniki materiałowe. Współczynnik izobarycznej rozszerzalności termicznej jest zdefiniowany jako α = V 1 V p Pokazać, że jeśli ten współczynnik maleje proporcjonalnie do odwrotności temperatury bezwględnej α = a gdzie a jest stałą, to ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu C p nie zależy od ciśnienia: C p p = 0 Ponieważ przy stałym ciśnieniu: dh = ds = dq więc można wyrazić ciepło właściwe przez pochodną entalpii C p = H p W reprezentacji entalpijnej H = H(S, p). Można dokonać zamiany zmiennych S pisząc formalnie: S = S(, p) gdzie i p są parametrami niezależnymi w reprezentacji funkcji Gibbsa. Wówczas H = H(S(p, ), p) = H(p, ) i stosując wzór na pochodną funkcji złożonej: H p = H S S p = S p p Co pokazaliśmy już wcześniej przy użyciu iloczynu zewnętrznego. A więc: C p p = 2 H p = S p }{{} + 2 S p p = 0 Skorzystamy teraz z następującej relacji Maxwella: S p = V p Możemy więc napisać: 6
7 S p = αv = av czyli: C p p = ( ) av p = a V + av p = αav + αav = Redukcja pochodnych termodynamicznych Duża liczba relacji między różnymi pochodnymi cząstkowymi sugeruje, że tylko niewiele z nich jest naprawdę niezależnych od siebie. Dla układu termodynamicznego o dwóch stopniach swobody tylko trzy pochodne cząstkowe mogą być jednocześnie uznane za niezależne, a pozostałe mogą być wyrażone poprzez te trzy. Uzasadnienie można znaleźć w książce H. Callena, hermodynamics, rozdział 7. Zazwyczaj wybiera się następujące trzy parametry łatwe do wyznaczenia doświadczalnie: 1. współczynnik izobarycznej rozszerzalności termicznej: α = 1 V V (4.12) p 2. ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu (molowe): C p = S (4.13) p 3. współczynnik ściśliwości izotermicznej: κ = 1 V V p (4.14) Współczynnik κ brany jest z minusem ponieważ zazwyczaj objętość maleje wraz ze wzrostem ciśnienia. Wszystkie trzy pochodne jako zmienne niezależne mają (p, ) co oznacza, że zredukowanie danej pochodnej oznacza przejście do reprezentacji potencjału Gibbsa, dla którego zmienne (p, ) są współrzędnymi termodynamicznymi. Nasze rozważania dotyczą jednego mola danej substancji. Objętość V jest objętością zajmowaną przez 1 mol substancji w danej temperaturze i ciśnieniu. Może więc być wyznaczona z równania stanu V = V(p, ). 7
8 Zredukować drugie pochodne potencjału Gibbsa G. 2 G 2 = G = S p p gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na zmienną zależną S w reprezentacji potencjału Gibbsa. Stąd korzystając z definicji C p mamy 2 G 2 = C p 2 G 2 p = G p p = V p gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na zmienną zależną V w reprezentacji potencjału Gibbsa. Stąd korzystając z definicji κ mamy 2 G p 2 = κv Druga pochodna mieszana wynosi 2 G p = G p = S p p = V = αv p Skorzystaliśmy tu z relacji Maxwella wynikającej z warunku zupełności formy dg. Zredukować pochodną: S p Dla trzech pochodnych z cykliczną zamianą zmiennych zachodzi równanie S p S p S = 1 p Odwracając środkową pochodną: S = S p p / S p A więc: S = αv p C p / = αv C p Zredukować C V 8
9 C V = U V Dzieląc formę energii: du = ds pdv przez d przy stałym V mamy: U V = S V Przy stałym V mamy także: 0 = dv = V d + V p p d p = αvd κvd p stąd: d p = α κ d Przy stałym V mamy także: ds = S d = S V d + S p p d p = d ( S + α p κ stąd musi zachodzić: S = S V + α S p κ p = C p + α κ ( αv) Ostatecznie: C V = C p α2 V κ S ) p Zredukować współczynnik efektu Joule a-hompsona: λ = p = H p /C p Wzór na formę entalpii: dh = ds + Vd p formalnie można podzielić przez d p i przy stałym dostać relację: H = S p p + V stąd: H = ( αv) + V = V(1 α) p a więc ostatecznie: V(α 1) λ = C p 9
10 5 Potencjały termodynamiczne dla układów o zmiennej liczbie cząstek 5.1 Potencjał chemiczny i wielki potencjał Przez N oznaczamy liczbę cząstek w układzie. Następującą pochodną: µ = U N (5.15) nazywa się potencjałem chemicznym. Pochodna jest liczona przy stałych pozostałych parametrach termodynamicznym. W przybliżeniu: µ U N (5.16) czyli jest to zmiana energii wewnętrznej układu przy zmianie liczby cząstek o N. Można powiedzieć, że µ to energia jaką jedna cząstka wnosi do układu. Co ciekawe zdarzają się sytuacje, że dodanie cząstki do układu zmniejsza jego energię wewnętrzną wtedy µ < 0. Potencjał chemiczny µ zazwyczaj zależy od N. Dla układów ze zmienną liczbą cząstek pierwsza zasada termodynamiki przyjmuje postać: du = ds pdv + µdn (5.17) Jeśli mamy m rodzajów cząstek w układzie to oczywiście zamiast wyrażenia µdn należy napisać: µ 1 dn µ m dn m (5.18) gdzie pochodna czątkowa energii wewnętrznej po liczbie i-tego rodzaju cząstek w układzie jest potencjałem chemicznym dla i-tego rodzaju cząstek. µ i = U N i, i = 1,..., m (5.19) Różny rodzaj cząstek niekoniecznie musi oznaczać inny pierwiastek lub związek chemiczny. Cząstki mogą należeć do innej fazy układu. Na przykład cząstki H 2 O traktujemy jako różne jeśli występują w fazie lodu, wody i pary wodnej. 10
11 Do poznanych wcześniej form dla różnych potencjałów termodynamicznych należy teraz dodać składnik µdn. Dostajemy wtedy dodatkowy stopień swobody układu. Najprostszy układ termodynamiczny z jednym rodzajem cząstek, o zmiennej liczbie cząstek, ma więc trzy stopnie swobody. Potencjały termodynamiczne zależą teraz od następujących zmiennych: U = U(S, V, N) F = F(, V, N) G = G(, V, N) (5.20) H = H(S, p, N) gdzie potencjał chemiczny µ jest pochodną potencjału termodynamicznego po liczbie cząstek N. µ = U N = F S,V N = G,V N = H,p N (5.21) S,p Dzieki dodatkowej zmiennej N otrzymujemy możliwość wykonania nowych transformacji Legendre a zamieniających liczbę cząstek i potencjał chemiczny µ N (5.22) Jeśli wykonamy transformację Legendre a µ N dla energii swobodnej to otrzymamy nowy potencjał termodynamiczny Ω = F µn (5.23) który nazywa się wielkim potencjałem. Ma on duże znaczenie w fizyce statystycznej. Jego pochodna zewnętrzna wynosi dω = df µdn = Sd pdv Ndµ (5.24) A więc relacja fundamentalna w reprezentacji wielkiego potencjału ma postać: Związki reprezentujące równanie stanu mają postać Ω = Ω(, V, N) (5.25) 11
12 S = Ω p = Ω V N = Ω µ µ,v µ,,v (5.26) Z dwóch ostatnich równań można wyeliminować zmienną µ dostając zwykłe równanie stanu układu jednoskładnikowego o zmiennej liczbie cząstek Jeśli zastosować przekształcenie kontaktowe z czynnikiem p = p(, V, N) (5.27) λ = 1 (5.28) do formy energii ze zmienną liczbą cząstek. to otrzymamy wyrażenie na formę entropii du = ds pdv + µdn / 1 (5.29) ds = 1 du + p dv µ dn (5.30) z którego widać, że dla entropii zmienną zależną, związaną z liczbą cząstek N jest µ/. Po zastosowaniu do formy entropii dwóch transformacji Legendre a: U 1, otrzymamy nowy potencjał termodynamiczny N µ (5.31) q = S U + µn (5.32) zwany funkcją Kramersa. q = S U + µn = F + µn = Ω (5.33) 12
13 Jego pochodna zewnętrzna wynosi dq = Ud ( 1 ) p + dv + Nd( µ ) (5.34) 5.2 wierdzenie Eulera o funkcji jednorodnej Jeśli funkcja n zmiennych x 1, x 2,..., x n przy zwiększeniu każdej ze zmiennej o czynnik λ ma własność f (λx 1,..., λx n ) = λ q f (x 1,..., x n ) (5.35) to mówimy że jest ona jednorodna (w stopniu q). Euler pokazał, że musi wówczas zachodzić zależność q f = n i=1 x i f x i (5.36) Dowód Różniczkując równość (5.35) po λ dostajemy qλ q 1 f = d f dλ = n f y i dy i yi =λx i dλ = i=1 n f x i (5.37) y i i=1 Równanie Eulera otrzymamy biorąc λ = 1. Korzystając z twierdzenia o funkcji jednorodnej pokazać, że dla potencjału Gibbsa zachodzi: G = µn (5.38) Potencjał Gibbsa jest funkcją jednorodną względem liczby cząstek N: G(p,, λn) = λg(p,, N) (5.39) 13
14 Na przykład dla λ = 2 mamy przypadek dwóch jednakowych układów o tej samej temperaturze i ciśnieniu. Potencjał Gibbsa dla obu układów razem wynosi G 1+2 = G 1 + G 2 ponieważ: G = U S pv a wielkości U, S i V są ekstensywne, to znaczy dodają się dla podukładów 1 i 2. Wielkości p i są intensywne czyli są takie same dla obu podukładów. Szukany wzór wynika wprost z twierdzenia Eulera o funkcji jednorodnej dla jednego argumentu x = N: G = N G N = µn p,v A więc potencjał chemiczny to potencjał Gibbsa odniesiony do jednego mola substancji. Dla układu wieloskładnikowego będziemy mieli analogię wzoru G = µ 1 N µ m N m (5.40) Zastosowanie twierdzenia Eulera do pozostałych potencjałów termodynamicznych nie prowadzi do nowych zależności, ponieważ jedynie para zmiennych (p, ) jest intensywna. Wniosek: Otrzymujemy zabawny wzór na wielki potencjał: Ω = F µn = F G = U S (U + pv S) = pv (5.41) Według książki er Haara i Wergelanda, Elements of hermodynamics, rozdz. 6 par. 1, wpadł na to dopiero Kramers w 1938 roku. en wzór ma duże zastosowanie w fizyce statystycznej. Jeśli tylko uda nam się wyliczyć wielki potencjał to mamy gotowe równanie stanu Ω(, V, N) = pv (5.42) Sprawdzić, co wynika z twierdzenia Eulera dla energii wewnętrznej. Jest ona jednorodną funkcją wszystkich swoich zmiennych U(λS, λv, λn) = λ(s, V, N) (5.43) 14
15 gdzie wszystkie trzy parametry S, V, N są ekstensywne. Z twierdzenia Eulera mamy U = S U N + V U V,N N + N U S,N N Ponieważ: du = ds pdv + µdn więc pochodne cząstkowe energii wewnętrznej wynoszą = U S V,N p = U V S,N µ = U N S,V Możemy więc wzór Eulera przepisać w postaci U = S pv + µn = S pv + G S,V Otrzymaliśmy znany wcześniej związek pomiędzy energią wewnętrzną i potencjałem Gibbsa. 5.3 Relacja Gibbsa-Duhema Dokonamy jednoczesnej transformacji Legendre a dla trzech par zmiennych: dla formy energii wewnętrznej S, S, µ N (5.44) Nowy potencjał wynosi du = ds pdv + µdn (5.45) χ = U S + VP µn = G µn = 0 (5.46) A więc ten potencjał termodynamiczny znika! Jego pochodna zewnętrzna oczywiście też musi być zerowa: dχ = Sd + Vd p Ndµ = 0 (5.47) 15
16 Otrzymane równanie nosi nazwę relacji Gibbsa-Duhema. W reprezentacji potencjału χ = 0 zmiennymi niezależnymi są (, p, µ). Z relacji Gibbsa-Duhema wynika, że tak naprawdę tylko dwie z nich są niezależne, bo trzecia wynika z rozwiązania równania Pfaffa dχ = 0. Potencjał chemiczny nie jest niezależną zmienna tak naprawdę jest funkcją ciśnienia i temperatury µ = µ(p, ) (5.48) Podobną relację Gibbsa-Duhema moża otrzymać stosując równoczesną transformację Legendre a ze względu na trzy zmienne w reprezentacji entropijnej. Wówczas dostaje się znikający potencjał χ, którego pochodna zewnętrzna wynosi dχ = Ud ( 1 ) ( p ) ( µ ) + Vd Nd = 0 (5.49) Można powiedzieć, że jest to relacja Gibbsa-Dughema w reprezentacji entropijnej. Dla układów wieloskładnikowych w powyższych wzorach należy napisać zamiast Ndµ sumę po wszystkich rodzajach cząstek w układzie Wniosek: m N i dµ i (5.50) i=1 Dla układu jednoskładnikowego parametr N jest właściwie zbędny, bo wszystkie wielkości ekstensywne można odnieść do ich wartości dla jednego mola substancji. Używa się do tego zapisu z odpowiednią małą literą. Na przykład entropię dla jednego mola oznacza się jako s = S N (5.51) Korzystając z relacji Gibbsa-Duhema wyznaczyć równanie fundamentalne: S = S(U, V, N) dla gazu doskonałego o zmiennej liczbie cząstek. Dla gazu doskonałego, przy zastosowaniu do wielkości ekstensywnych odniesienia do 1 mola, rownanie stanu wynosi 16
17 pv = R Związek pomiędzy energią wewnętrzną i temperaturą ma postać u = βr gdzie β = 3 dla gazu jednoatomowego. Korzystamy z relacji Gibbsa-Duhema (5.49) w reprezentacji entropijnej, w odniesieniu do 1 mola 2 ud ( 1 ) ( p ) ( µ ) + vd d = 0 W reprezentacji entropijnej s = s(u, v) liczymy odpowiednie pochodne zewnętrzne: d ( 1 ) ( βr ) βr = d = u u du 2 d ( p ) ( R ) NR = d = v v dv 2 stąd: d ( µ ) βr = u du R v dv Całkując tę równość po odpowiedniej krzywej przemiany na płaszczyźnie (u, v) od stanu początkowego, dla którego wszystkie parametry mają indeks 0 µ µ 0 = βr ln u R ln v 0 u 0 v 0 Wstawimy to do wzoru wiążącego energię i funkcję Gibbsa: G = µn = U S + pv Dla wielkości odniesionych do jednego mola g = µ = u s + pv Otrzymujemy szukany wzór na entropię w funkcji energii wewnętrznej, objętości i liczby cząstek: S = sn = 1 un + p vn µ N = βnr + NR + βnr ln U + NR ln V N µ 0 = U 0 V 0 0 = NR(β + 1) Nµ ( ) β ( 0 U V + NR ln ) U 0 V 0 Wyznaczyć zależność potencjału chemicznego od temperatury i ciśnienia dla gazu doskonałego: µ = µ(p, ) Korzystamy z wyników poprzedniego zadania, w którym wyliczyliśmy µ /: µ = µ 0 0 βr ln U U 0 R ln V V 0 = 17
18 = µ 0 0 (β + 1)R ln 0 +R ln p p 0 Często stosuje się tak zwaną aktywność chemiczną oznaczaną przez λ: Wówczas: µ = R ln λ i dla gazu doskonałego mamy: µ = R ln λ (5.52) R ln λ = µ λ 0 µ 0 = (β + 1)R ln + R ln p 0 0 p 0 stąd: λ = p ( ) (1+β) λ 0 p 0 0 Jaki widać aktywność chemiczna gazu doskonałego jest proporcjonalna do ciśnienia. Mamy układ dwufazowy (złożony z dwóch rodzajów cząstek) o stałym ciśnieniu i temperaturze. Znaleźć potencjał chemiczny fazy nr 2 jeśli znana jest zależność potencjału chemicznego od procentowej liczby cząstek dla fazy pierwszej. Liczba moli obu substancji: N = N 1 + N 2 Oznaczając przez x 1 i x 2 procentową zawartość molową obu substancji w układzie: x 1 = N 1 /N, x 2 = N 2 /N mamy: x 1 + x 2 = 1 Z równania Gibbsa-Duhema dla p, = const N 1 dµ 1 + N 2 dµ 2 = Sd + Vd p = 0 stąd: x 1 dµ 1 + x 2 dµ 2 = 0 czyli dµ 2 = x 1 x 2 dµ 1 18
19 Ogólnie dla układu dwufazowego mamy cztery stopnie swobody (, p, N 1, N 2 ). Z powodu przyjętych założeń pozostał tylko jeden: x = x 1 czyli procentowa liczba cząstek pierwszej fazy. Można więc przyjąć, że: µ 1 = µ 1 (x) stąd: dµ 1 = µ 1 x dx p, A więc: µ 2 (x) = x 0 x 1 x µ 1 x dx + µ 2(0) gdzie µ 2 (0) jest potencjałem chemicznym dla czystej fazy nr 2 (bez obecności fazy pierwszej). Otrzymane równanie nosi nazwę równania Margulesa. W książce E.A. Guggenheima, hermodynamics, 4.15, pokazano przykład zastosowania tej relacji do wyznaczenia ciśnienia cząstkowego składników pary nasyconej dla mieszaniny wody i etanolu 1. 1 ważne przy pędzeniu bimbru 19
3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a
3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 marca 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 marca 2019 1 / 37 Dwa poziomy
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki
Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Energia wewnętrzna jako funkcja jednorodna
Bardziej szczegółowoRównowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA
TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju
Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.
Bardziej szczegółowo1 Formy różniczkowe w R 3
1 Formy różniczkowe w R 3 literatura: W.I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, rozdział 7 L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1, rozdział 9 H. Flanders, Teoria
Bardziej szczegółowoPrzegląd termodynamiki II
Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 3
Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 4 Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Pierwsza zasada termodynamiki procesy kwazistatyczne Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki,
Bardziej szczegółowoKrótki przegląd termodynamiki
Wykład I Przejścia fazowe 1 Krótki przegląd termodynamiki Termodynamika fenomenologiczna oferuje makroskopowy opis układów statystycznych w stanie równowagi termodynamicznej bądź w stanach jemu bliskich.
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne
Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Postulat Nernsta (1906):
Bardziej szczegółowo7 Warunki równowagi termodynamicznej
7 Warunki równowagi termodynamicznej D. Ter Haar, H. Wergeland, Elements of Thermodynamics, rozdz. 3 7.1 Ogólny warunek równowagi Powołujemy się na tak zwaną nierówność Clausiusa, według której dla niedowracalnej
Bardziej szczegółowoZadania treningowe na kolokwium
Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zasady Termodynamiki
Fizyka statystyczna Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Wykład oparty o G. Morandi, F. Napoli, E. Ercolesi Statistical Mechanics. An Intermediate Course, chap. 1 Praca
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12
Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12 C. Mol - jest taką ilością danej substancji,
Bardziej szczegółowoRównowagi fazowe. Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny
Równowagi fazowe Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny Równowaga termodynamiczna Przemianom fazowym towarzyszą procesy, podczas których nie zmienia się skład chemiczny układu, polegają
Bardziej szczegółowoDRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy
Bardziej szczegółowoDRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia 1
Tomasz Lubera Podstawowe pojęcia 1 Układ część przestrzeni wyodrębniona myślowo lub fizycznie z otoczenia Układ izolowany niewymieniający masy i energii z otoczeniem Układ zamknięty wymieniający tylko
Bardziej szczegółowo6 Zastosowania termodynamiki
6 Zastosowania termodynamiki 6.1 eoria sprężystości Ograniczymy się do prostego jednowymiarowego przypadku pręta poddanego podłużnemu naprężeniu F.. Rumer, M. Ryvkin, ermodinamika, statistiqeska fizika
Bardziej szczegółowoWykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36
Wykład 1 Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego 5 października 2015 1 / 36 Podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny To zbiór niezależnych elementów, które oddziałują ze sobą tworząc integralną
Bardziej szczegółowoFizykochemiczne podstawy inżynierii procesowej
Fizykochemiczne podstawy inżynierii procesowej Wykład II Podstawowe definicje cd. Podstawowe idealizacje termodynamiczne I i II Zasada termodynamiki Proste przemiany termodynamiczne PRZYPOMNIENIE Z OSTATNIEGO
Bardziej szczegółowo1. PIERWSZA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI TERMOCHEMIA
. PIERWSZA I DRUGA ZASADA ERMODYNAMIKI ERMOCHEMIA Zadania przykładowe.. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego znajduje się początkowo w warunkach P = 0 Pa i = 300 K. Zmiana ciśnienia do P = 0 Pa nastąpiła:
Bardziej szczegółowoCiepło właściwe. Autorzy: Zbigniew Kąkol Bartek Wiendlocha
Ciepło właściwe Autorzy: Zbigniew Kąkol Bartek Wiendlocha 01 Ciepło właściwe Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha W module zapoznamy się z jednym z kluczowych pojęć termodynamiki - ciepłem właściwym.
Bardziej szczegółowoWarunki izochoryczno-izotermiczne
WYKŁAD 5 Pojęcie potencjału chemicznego. Układy jednoskładnikowe W zależności od warunków termodynamicznych potencjał chemiczny substancji czystej definiujemy następująco: Warunki izobaryczno-izotermiczne
Bardziej szczegółowoWykład Temperatura termodynamiczna 6.4 Nierówno
ykład 8 6.3 emperatura termodynamiczna 6.4 Nierówność Clausiusa 6.5 Makroskopowa definicja entropii oraz zasada wzrostu entropii 6.6 Entropia dla czystej substancji 6.8 Cykl Carnota 6.7 Entropia dla gazu
Bardziej szczegółowoZasady termodynamiki
Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest
Bardziej szczegółowopowierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki
Przejścia fazowe. powierzchnia rozdziału - skokowa zmiana niektórych parametrów na granicy faz. kropeki wody w atmosferze - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki Przykłady przejść fazowych:
Bardziej szczegółowoKryteria samorzutności procesów fizyko-chemicznych
Kryteria samorzutności procesów fizyko-chemicznych 2.5.1. Samorzutność i równowaga 2.5.2. Sens i pojęcie entalpii swobodnej 2.5.3. Sens i pojęcie energii swobodnej 2.5.4. Obliczanie zmian entalpii oraz
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami
WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami Zasada zerowa Kiedy obiekt gorący znajduje się w kontakcie cieplnym z obiektem zimnym następuje
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoII Zasada Termodynamiki c.d.
Wykład 5 II Zasada Termodynamiki c.d. Pojęcie entropii i temperatury absolutnej II zasada termodynamiki dla procesów nierównowagowych Równania Gibbsa dla procesów quasistatycznych Równania Eulera Relacje
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoChemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 2, zadanie nr 1 1
Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 2, zadanie nr 1 1 [Imię, nazwisko, grupa] prowadzący Uwaga! Proszę stosować się do następującego sposobu wprowadzania tekstu w ramkach : pola szare
Bardziej szczegółowoKontakt,informacja i konsultacje
Kontakt,informacja i konsultacje Chemia A ; pokój 307 elefon: 347-2769 E-mail: wojtek@chem.pg.gda.pl tablica ogłoszeń Katedry Chemii Fizycznej http://www.pg.gda.pl/chem/dydaktyka/ lub http://www.pg.gda.pl/chem/katedry/fizyczna
Bardziej szczegółowoAgata Fronczak Elementy fizyki statystycznej
Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 2
Termodynamika Część 2 Równanie stanu Równanie stanu gazu doskonałego Równania stanu gazów rzeczywistych rozwinięcie wirialne równanie van der Waalsa hipoteza odpowiedniości stanów inne równania stanu Równanie
Bardziej szczegółowoWykład 4. Przypomnienie z poprzedniego wykładu
Wykład 4 Przejścia fazowe materii Diagram fazowy Ciepło Procesy termodynamiczne Proces kwazistatyczny Procesy odwracalne i nieodwracalne Pokazy doświadczalne W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika
Bardziej szczegółowoGAZ DOSKONAŁY. Brak oddziaływań między cząsteczkami z wyjątkiem zderzeń idealnie sprężystych.
TERMODYNAMIKA GAZ DOSKONAŁY Gaz doskonały to abstrakcyjny, matematyczny model gazu, chociaż wiele gazów (azot, tlen) w warunkach normalnych zachowuje się w przybliżeniu jak gaz doskonały. Model ten zakłada:
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoSeria 2, ćwiczenia do wykładu Od eksperymentu do poznania materii
Seria 2, ćwiczenia do wykładu Od eksperymentu do poznania materii 8.1.21 Zad. 1. Obliczyć ciśnienie potrzebne do przemiany grafitu w diament w temperaturze 25 o C. Objętość właściwa (odwrotność gęstości)
Bardziej szczegółowoMiejsce biofizyki we współczesnej nauce. Obszary zainteresowania biofizyki. - Powrót do współczesności. - obiekty mikroświata.
Zakład Biofizyki Miejsce biofizyki we współczesnej nauce - trochę historii - Powrót do współczesności Obszary zainteresowania biofizyki - ekosystemy - obiekty makroświata - obiekty mikroświata - język
Bardziej szczegółowoPrzemiany termodynamiczne
Przemiany termodynamiczne.:: Przemiana adiabatyczna ::. Przemiana adiabatyczna (Proces adiabatyczny) - proces termodynamiczny, podczas którego wyizolowany układ nie nawiązuje wymiany ciepła, lecz całość
Bardziej szczegółowoWykład 4. II Zasada Termodynamiki
Wykład 4 II Zasada Termodynamiki Ogólne sformułowanie: istnienie strzałki czasu Pojęcie entropii i temperatury absolutnej Ćwiczenia: Formy różniczkowe Pfaffa 1 I sza Zasada Termodynamiki: I-sza zasada
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoPara wodna najczęściej jest produkowana w warunkach stałego ciśnienia.
PARA WODNA 1. PRZEMIANY FAZOWE SUBSTANCJI JEDNORODNYCH Para wodna najczęściej jest produkowana w warunkach stałego ciśnienia. Przy niezmiennym ciśnieniu zmiana wody o stanie początkowym odpowiadającym
Bardziej szczegółowo= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A
Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),
Bardziej szczegółowoZasady termodynamiki fenomenologicznej
1 Zasady termodynamiki fenomenologicznej Wprawdzie wykład ten jest zatytułowany ermodynamika z elementami fizyki statystycznej ale notatki te koncentrują się głównie na wyłożeniu podstaw fizyki statystycznej.
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoTermodynamika techniczna i chemiczna, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1
Termodynamika techniczna i chemiczna, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1 [Imię, nazwisko, grupa] prowadzący 1. Obliczyć zmianę entalpii dla izobarycznej (p = 1 bar) reakcji chemicznej zapoczątkowanej
Bardziej szczegółowoWykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych
Wykład 6 Klasyfikacja przemian fazowych JS Klasyfikacja Ehrenfesta Ehrenfest klasyfikuje przemiany fazowe w oparciu o potencjał chemiczny. nieciągłość Przemiany fazowe pierwszego rodzaju pochodne potencjału
Bardziej szczegółowo10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODY- NAMIKI.
0. FALE, ELEMENY ERMODYNAMIKI I HYDRODY- NAMIKI. 0.9. Podstawy termodynamiki i raw gazowych. Podstawowe ojęcia Gaz doskonały: - cząsteczki są unktami materialnymi, - nie oddziałują ze sobą siłami międzycząsteczkowymi,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej. Katarzyna Sznajd-Weron. Fizyka Statystyczna
Politechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej Katarzyna Sznajd-Weron Fizyka Statystyczna Skrypt dla studentów Wrocław 2016 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................
Bardziej szczegółowoFizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów
Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Stanisław Krukowski i Michał Leszczyński Instytut Wysokich Ciśnień PAN 0-4 Warszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: 88 80 44 e-mail: stach@unipress.waw.pl,
Bardziej szczegółowoWykład Praca (1.1) c Całka liniowa definiuje pracę wykonaną w kierunku działania siły. Reinhard Kulessa 1
1.6 Praca Wykład 2 Praca zdefiniowana jest jako ilość energii dostarczanej przez siłę działającą na pewnej drodze i matematycznie jest zapisana jako: W = c r F r ds (1.1) ds F θ c Całka liniowa definiuje
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoWykład 6: Przekazywanie energii elementy termodynamiki
Wykład 6: Przekazywanie energii elementy termodynamiki dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Temperatura Fenomenologicznie wielkość informująca o tym jak
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 12 ENTROPIA I NIERÓWNOŚĆ THERMODYNAMICZNA 1/10
WYKŁAD 12 ENROPIA I NIERÓWNOŚĆ HERMODYNAMICZNA 1/10 ENROPIA PŁYNU IDEALNEGO W PRZEPŁYWIE BEZ NIECIĄGŁOŚCI Załóżmy, że przepływ płynu idealnego jest gładki, tj. wszystkie pola wielkości kinematycznych i
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Cel. Opis układu niezależny od jego struktury mikroskopowej Uniwersalne prawa. William Thomson 1. Baron Kelvin
Cel Termodynamika Opis układu niezależny od jego struktury mikroskopowej Uniwersalne prawa Nicolas Léonard Sadi Carnot 1796 1832 Rudolf Clausius 1822 1888 William Thomson 1. Baron Kelvin 1824 1907 i inni...
Bardziej szczegółowoWykład 6: Przekazywanie energii elementy termodynamiki
Wykład 6: Przekazywanie energii elementy termodynamiki dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Temperatura Fenomenologicznie wielkość informująca o tym jak
Bardziej szczegółowoChemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1. Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski
Chemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1 Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski Kontakt,informacja i konsultacje Chemia A ; pokój 307 Telefon: 347-2769 E-mail: wojtek@chem.pg.gda.pl
Bardziej szczegółowo1 Równanie stanu gazu doskonałego
1 Równanie stanu gazu doskonałego Celem ćwiczenia jest zbadanie przemian stanu gazu doskonałego(powietrza) oraz wyznaczenie uniwersalnej stałej gazowej, współczynnika rozszerzalności cieplnej, współczynnika
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Temperatura i ciepło Praca jaką wykonuje gaz I zasada termodynamiki Przemiany gazowe izotermiczna izobaryczna izochoryczna adiabatyczna Co to jest temperatura? 40 39 38 Temperatura
Bardziej szczegółowoWykład 7: Przekazywanie energii elementy termodynamiki
Wykład 7: Przekazywanie energii elementy termodynamiki dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ emperatura Fenomenologicznie wielkość informująca o tym jak ciepłe/zimne
Bardziej szczegółowoTemperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej.
1 Ciepło jest sposobem przekazywania energii z jednego ciała do drugiego. Ciepło przepływa pod wpływem różnicy temperatur. Jeżeli ciepło nie przepływa mówimy o stanie równowagi termicznej. Zerowa zasada
Bardziej szczegółowoUkład termodynamiczny Parametry układu termodynamicznego Proces termodynamiczny Układ izolowany Układ zamknięty Stan równowagi termodynamicznej
termodynamika - podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny - wyodrębniona część otaczającego nas świata. Parametry układu termodynamicznego - wielkości fizyczne, za pomocą których opisujemy stan układu termodynamicznego,
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki
Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using
http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?
Bardziej szczegółowoKinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład
Kinetyczna teoria gazów Termodynamika dr Mikołaj Szopa Wykład 7.11.015 Kinetyczna teoria gazów Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika Termodynamika klasyczna opisuje tylko wielkości makroskopowe takie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoSzkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5. Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego
Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5 Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego Czy przejście szkliste jest termodynamicznym przejściem fazowym?
Bardziej szczegółowoZadania z Termodynamiki
Zadania z Termodynamiki 1. Obliczyć zależność C p C V dla 1 mola gazu van der Waalsa [1]. Znaleźć przybliżone wyrażenie dla gazu rozrzedzonego V b. 2. Udowodnić zależność [1]: 3. Udowodnić zależność [5]
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Stan układu Fizyka statystyczna (i termodynamika) zajmuje się przede wszystkim układami dużymi, liczacymi
Bardziej szczegółowoRozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny
Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 Roztwory rzeczywiste (2) Tym razem dla (CH 3 ) 2 CO () i CHCl
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v
Uniwersytet Wrocławski, Instytut Fizyki Doświadczalnej, I Pracownia Ćwiczenie nr 33 WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v I WSTĘP Układ termodynamiczny Rozważania dotyczące przekazywania energii poprzez wykonywanie
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0
Bardziej szczegółowoTermodynamika (1) Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. poniedziałek, 23 października 2017
Wykład 1 Termodynamika (1) Bogdan Walkowiak Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka Biofizyka 1 Zaliczenie Aby zaliczyć przedmiot należy: uzyskać pozytywną ocenę z laboratorium
Bardziej szczegółowo