4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych"

Transkrypt

1 4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi także zachodzić równość: ω = 0 (4.1) dω = 0 (4.2) Mimo pozornej prostoty zawiera ona w sobie wiele tak zwanych relacji Maxwella między pochodnymi cząstkowymi różnych wielkości termodynamicznych. W reprezentacji energetycznej dla układu o dwóch stopniach swobody: stąd ω = du ds + pdv = 0 (4.3) dω = Otrzymaliśmy relację Maxwella: ddu }{{} = 0 d ds + d p dv = 0 (4.4) d ds = d p dv (4.5) dla czwórki zmiennych termodynamicznych (, S, p, V). Wybierając dwie zmienne jako niezależne dostajemy zapis relacji Maxwella przy pomocy pochodnych cząstkowych. Dla uproszczenia rachunków wygodnie jest stosować skrócony zapis dla pochodnych cząstkowych y x y x (4.6) Na przykład F = F. Należy przy tym pamiętać przy jakiej stałej drugiej zmiennej brana V jest pochodna. 1

2 S, V zmienne niezależne p, zmienne zależne Wyznaczyć relację Maxwella dla pochodnych cząstkowych. rzeba obliczyć pochodne zewnętrzne zmiennych zależnych d = S ds + V dv d p = p S ds + p V dv Po wstawieniu do relacji Maxwella (4.5) dostajemy: V dv ds = p S ds dv co oznacza: V = p S S V, S zmienne niezależne p, V zmienne zależne Wyznaczyć relację Maxwella dla pochodnych cząstkowych. Obliczamy pochodne zewnętrzne zmiennych zależnych d p = p d + p S ds dv = V d + V S ds stąd d ds = p V S d ds + p S V ds d czyli 1 = p V S p S V Dostaliśmy warunek: p p det S S = 1 V S V S na jakobian przekształcenia (, S) (p, V), który jest odpowiednikiem warunku na transformację kanoniczną w mechanice klasycznej. 2

3 Do relacji Maxwella można dojść również w inny sposób, korzystając z zupełności pochodnych zewnętrznych potencjałów termodynamicznych. Wyliczyć relację Maxwella z warunku, że forma: dh = ds + Vd p jest zupełna. W reprezentacji entalpijnej zmiennymi niezależnymi są S i p. Ponieważ musi zachodzić: = H S oraz V = H p wobec czego dla drugich pochodnych cząstkowych: p = H Sp = H ps = V S gdzie skorzystaliśmy z warunku symetrii pochodnych mieszanych: 2 f x y = 2 f y x Mamy więc relację Maxwella: S = V p S p Różniczkowanie formy Pfaffa ω dla pierwszej zasady termodynamiki w reprezentacj potencjałów F, G i H nie daje nowych relacji Maxwella ponieważ transformacje Legendre a, które prowadzą do tych potencjałów obejmują pary zmiennych S i p V. Relacja Maxwella (4.5) jest niezmiennicza względem tych transformacji. Za to można otrzymać różne relacje wychodząc bezpośrednio z warunku ω = 0, mnożąc go zewnętrznie przez różniczkę jakiegoś parametru termodynamicznego. Obliczyć relację Maxwella d p ω biorąc reprezentację entalpijną ω = dh ds Vd p = 0 i przyjmując za niezależne zmienne ciśnienie i temperaturę. Obliczamy: 3

4 d p ω = d p dh d p ds = 0 Zakładając, że p, to zmienne niezależne, natomiast H, S to zmienne zależne możemy napisać wyrażenie na formy entalpii i entropii dh = H p d p + H d ds = S p d p + S d więc H d p d = S d p d W notacji pochodnych cząstkowych dostajemy równanie H p = S p ę samą relację można dostać innym sposobem formalnie dzieląc formę entalpii: dh = ds + Vd p przez d przy stałym p, pamiętając że wówczas d p = 0 Nowe relacje Maxwella dostaniemy wychodząc z reprezentacji entropijnej dla I zasady termodynamiki: ω = λω = 1 ω = ds du p dv = 0 (4.7) akże pochodna zewnętrzna musi być równa zeru Wynosi ona dω = 0 (4.8) dω = dds }{{} = 0 d ( 1 ) ( p ) du d dv = (4.9) = 1 d du 1 2 d p dv + p 1 d dv = 0 2 Mnożąc otrzymane wyrażenie przez 2 otrzymujemy relację Maxwella dla czwórki zmiennych (, U, p, V): d du d p dv + pd dv = 0 (4.10) 4

5 Wybierając w powyższym równaniu dwie zmienne jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne otrzymamy relacje Maxwella dla pochodnych cząstkowych. Różniczkowanie formy Pfaffa (4.7) w reprezentacje funkcji Massieu nie daje nowych relacji ponieważ funkcje te otrzymujemy z entropii przy pomocy transformacji Legendre a U 1/ i p/ V, względem których nasza relacja Maxwella się nie zmienia. V, zmienne niezależne U, p zmienne zależne Wyznaczyć relację Maxwella dla pochodnych cząstkowych. Obliczamy pochodne zewnętrzne zmiennych zależnych du = U V dv + U d d p = p V dv + p d stąd z relacji Maxwella (4.10) dostajemy: U V d dv p d dv + p d dv = 0 a więc musi zachodzić: U V p + p = 0 Otrzymaliśmy relację Maxwella: U V = p p (4.11) V zwaną termodynamicznym równaniem stanu. Zależność p() przy stałej objętości jest łatwa do wyznaczenia doświadczalnie. Na podstawie powyższej relacji Maxwella można wyznaczyć trudno mierzalną zależność energii wewnętrznej od objętości w stałej temperaturze. Powyższą relację można także otrzymać inaczej dzieląc formę energii: du = ds pdv przez dv przy stałym. Wówczas: U = S V V p Natomiast to że S V = p V jest relacją Maxwella wynikającą z warunku zupełności formy energii swobodnej df. 5

6 Relacje Maxwella można wykorzystać do otrzymania różnych nieoczekiwanych wniosków łączących ze sobą pozornie niezależne współczynniki materiałowe. Współczynnik izobarycznej rozszerzalności termicznej jest zdefiniowany jako α = V 1 V p Pokazać, że jeśli ten współczynnik maleje proporcjonalnie do odwrotności temperatury bezwględnej α = a gdzie a jest stałą, to ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu C p nie zależy od ciśnienia: C p p = 0 Ponieważ przy stałym ciśnieniu: dh = ds = dq więc można wyrazić ciepło właściwe przez pochodną entalpii C p = H p W reprezentacji entalpijnej H = H(S, p). Można dokonać zamiany zmiennych S pisząc formalnie: S = S(, p) gdzie i p są parametrami niezależnymi w reprezentacji funkcji Gibbsa. Wówczas H = H(S(p, ), p) = H(p, ) i stosując wzór na pochodną funkcji złożonej: H p = H S S p = S p p Co pokazaliśmy już wcześniej przy użyciu iloczynu zewnętrznego. A więc: C p p = 2 H p = S p }{{} + 2 S p p = 0 Skorzystamy teraz z następującej relacji Maxwella: S p = V p Możemy więc napisać: 6

7 S p = αv = av czyli: C p p = ( ) av p = a V + av p = αav + αav = Redukcja pochodnych termodynamicznych Duża liczba relacji między różnymi pochodnymi cząstkowymi sugeruje, że tylko niewiele z nich jest naprawdę niezależnych od siebie. Dla układu termodynamicznego o dwóch stopniach swobody tylko trzy pochodne cząstkowe mogą być jednocześnie uznane za niezależne, a pozostałe mogą być wyrażone poprzez te trzy. Uzasadnienie można znaleźć w książce H. Callena, hermodynamics, rozdział 7. Zazwyczaj wybiera się następujące trzy parametry łatwe do wyznaczenia doświadczalnie: 1. współczynnik izobarycznej rozszerzalności termicznej: α = 1 V V (4.12) p 2. ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu (molowe): C p = S (4.13) p 3. współczynnik ściśliwości izotermicznej: κ = 1 V V p (4.14) Współczynnik κ brany jest z minusem ponieważ zazwyczaj objętość maleje wraz ze wzrostem ciśnienia. Wszystkie trzy pochodne jako zmienne niezależne mają (p, ) co oznacza, że zredukowanie danej pochodnej oznacza przejście do reprezentacji potencjału Gibbsa, dla którego zmienne (p, ) są współrzędnymi termodynamicznymi. Nasze rozważania dotyczą jednego mola danej substancji. Objętość V jest objętością zajmowaną przez 1 mol substancji w danej temperaturze i ciśnieniu. Może więc być wyznaczona z równania stanu V = V(p, ). 7

8 Zredukować drugie pochodne potencjału Gibbsa G. 2 G 2 = G = S p p gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na zmienną zależną S w reprezentacji potencjału Gibbsa. Stąd korzystając z definicji C p mamy 2 G 2 = C p 2 G 2 p = G p p = V p gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na zmienną zależną V w reprezentacji potencjału Gibbsa. Stąd korzystając z definicji κ mamy 2 G p 2 = κv Druga pochodna mieszana wynosi 2 G p = G p = S p p = V = αv p Skorzystaliśmy tu z relacji Maxwella wynikającej z warunku zupełności formy dg. Zredukować pochodną: S p Dla trzech pochodnych z cykliczną zamianą zmiennych zachodzi równanie S p S p S = 1 p Odwracając środkową pochodną: S = S p p / S p A więc: S = αv p C p / = αv C p Zredukować C V 8

9 C V = U V Dzieląc formę energii: du = ds pdv przez d przy stałym V mamy: U V = S V Przy stałym V mamy także: 0 = dv = V d + V p p d p = αvd κvd p stąd: d p = α κ d Przy stałym V mamy także: ds = S d = S V d + S p p d p = d ( S + α p κ stąd musi zachodzić: S = S V + α S p κ p = C p + α κ ( αv) Ostatecznie: C V = C p α2 V κ S ) p Zredukować współczynnik efektu Joule a-hompsona: λ = p = H p /C p Wzór na formę entalpii: dh = ds + Vd p formalnie można podzielić przez d p i przy stałym dostać relację: H = S p p + V stąd: H = ( αv) + V = V(1 α) p a więc ostatecznie: V(α 1) λ = C p 9

10 5 Potencjały termodynamiczne dla układów o zmiennej liczbie cząstek 5.1 Potencjał chemiczny i wielki potencjał Przez N oznaczamy liczbę cząstek w układzie. Następującą pochodną: µ = U N (5.15) nazywa się potencjałem chemicznym. Pochodna jest liczona przy stałych pozostałych parametrach termodynamicznym. W przybliżeniu: µ U N (5.16) czyli jest to zmiana energii wewnętrznej układu przy zmianie liczby cząstek o N. Można powiedzieć, że µ to energia jaką jedna cząstka wnosi do układu. Co ciekawe zdarzają się sytuacje, że dodanie cząstki do układu zmniejsza jego energię wewnętrzną wtedy µ < 0. Potencjał chemiczny µ zazwyczaj zależy od N. Dla układów ze zmienną liczbą cząstek pierwsza zasada termodynamiki przyjmuje postać: du = ds pdv + µdn (5.17) Jeśli mamy m rodzajów cząstek w układzie to oczywiście zamiast wyrażenia µdn należy napisać: µ 1 dn µ m dn m (5.18) gdzie pochodna czątkowa energii wewnętrznej po liczbie i-tego rodzaju cząstek w układzie jest potencjałem chemicznym dla i-tego rodzaju cząstek. µ i = U N i, i = 1,..., m (5.19) Różny rodzaj cząstek niekoniecznie musi oznaczać inny pierwiastek lub związek chemiczny. Cząstki mogą należeć do innej fazy układu. Na przykład cząstki H 2 O traktujemy jako różne jeśli występują w fazie lodu, wody i pary wodnej. 10

11 Do poznanych wcześniej form dla różnych potencjałów termodynamicznych należy teraz dodać składnik µdn. Dostajemy wtedy dodatkowy stopień swobody układu. Najprostszy układ termodynamiczny z jednym rodzajem cząstek, o zmiennej liczbie cząstek, ma więc trzy stopnie swobody. Potencjały termodynamiczne zależą teraz od następujących zmiennych: U = U(S, V, N) F = F(, V, N) G = G(, V, N) (5.20) H = H(S, p, N) gdzie potencjał chemiczny µ jest pochodną potencjału termodynamicznego po liczbie cząstek N. µ = U N = F S,V N = G,V N = H,p N (5.21) S,p Dzieki dodatkowej zmiennej N otrzymujemy możliwość wykonania nowych transformacji Legendre a zamieniających liczbę cząstek i potencjał chemiczny µ N (5.22) Jeśli wykonamy transformację Legendre a µ N dla energii swobodnej to otrzymamy nowy potencjał termodynamiczny Ω = F µn (5.23) który nazywa się wielkim potencjałem. Ma on duże znaczenie w fizyce statystycznej. Jego pochodna zewnętrzna wynosi dω = df µdn = Sd pdv Ndµ (5.24) A więc relacja fundamentalna w reprezentacji wielkiego potencjału ma postać: Związki reprezentujące równanie stanu mają postać Ω = Ω(, V, N) (5.25) 11

12 S = Ω p = Ω V N = Ω µ µ,v µ,,v (5.26) Z dwóch ostatnich równań można wyeliminować zmienną µ dostając zwykłe równanie stanu układu jednoskładnikowego o zmiennej liczbie cząstek Jeśli zastosować przekształcenie kontaktowe z czynnikiem p = p(, V, N) (5.27) λ = 1 (5.28) do formy energii ze zmienną liczbą cząstek. to otrzymamy wyrażenie na formę entropii du = ds pdv + µdn / 1 (5.29) ds = 1 du + p dv µ dn (5.30) z którego widać, że dla entropii zmienną zależną, związaną z liczbą cząstek N jest µ/. Po zastosowaniu do formy entropii dwóch transformacji Legendre a: U 1, otrzymamy nowy potencjał termodynamiczny N µ (5.31) q = S U + µn (5.32) zwany funkcją Kramersa. q = S U + µn = F + µn = Ω (5.33) 12

13 Jego pochodna zewnętrzna wynosi dq = Ud ( 1 ) p + dv + Nd( µ ) (5.34) 5.2 wierdzenie Eulera o funkcji jednorodnej Jeśli funkcja n zmiennych x 1, x 2,..., x n przy zwiększeniu każdej ze zmiennej o czynnik λ ma własność f (λx 1,..., λx n ) = λ q f (x 1,..., x n ) (5.35) to mówimy że jest ona jednorodna (w stopniu q). Euler pokazał, że musi wówczas zachodzić zależność q f = n i=1 x i f x i (5.36) Dowód Różniczkując równość (5.35) po λ dostajemy qλ q 1 f = d f dλ = n f y i dy i yi =λx i dλ = i=1 n f x i (5.37) y i i=1 Równanie Eulera otrzymamy biorąc λ = 1. Korzystając z twierdzenia o funkcji jednorodnej pokazać, że dla potencjału Gibbsa zachodzi: G = µn (5.38) Potencjał Gibbsa jest funkcją jednorodną względem liczby cząstek N: G(p,, λn) = λg(p,, N) (5.39) 13

14 Na przykład dla λ = 2 mamy przypadek dwóch jednakowych układów o tej samej temperaturze i ciśnieniu. Potencjał Gibbsa dla obu układów razem wynosi G 1+2 = G 1 + G 2 ponieważ: G = U S pv a wielkości U, S i V są ekstensywne, to znaczy dodają się dla podukładów 1 i 2. Wielkości p i są intensywne czyli są takie same dla obu podukładów. Szukany wzór wynika wprost z twierdzenia Eulera o funkcji jednorodnej dla jednego argumentu x = N: G = N G N = µn p,v A więc potencjał chemiczny to potencjał Gibbsa odniesiony do jednego mola substancji. Dla układu wieloskładnikowego będziemy mieli analogię wzoru G = µ 1 N µ m N m (5.40) Zastosowanie twierdzenia Eulera do pozostałych potencjałów termodynamicznych nie prowadzi do nowych zależności, ponieważ jedynie para zmiennych (p, ) jest intensywna. Wniosek: Otrzymujemy zabawny wzór na wielki potencjał: Ω = F µn = F G = U S (U + pv S) = pv (5.41) Według książki er Haara i Wergelanda, Elements of hermodynamics, rozdz. 6 par. 1, wpadł na to dopiero Kramers w 1938 roku. en wzór ma duże zastosowanie w fizyce statystycznej. Jeśli tylko uda nam się wyliczyć wielki potencjał to mamy gotowe równanie stanu Ω(, V, N) = pv (5.42) Sprawdzić, co wynika z twierdzenia Eulera dla energii wewnętrznej. Jest ona jednorodną funkcją wszystkich swoich zmiennych U(λS, λv, λn) = λ(s, V, N) (5.43) 14

15 gdzie wszystkie trzy parametry S, V, N są ekstensywne. Z twierdzenia Eulera mamy U = S U N + V U V,N N + N U S,N N Ponieważ: du = ds pdv + µdn więc pochodne cząstkowe energii wewnętrznej wynoszą = U S V,N p = U V S,N µ = U N S,V Możemy więc wzór Eulera przepisać w postaci U = S pv + µn = S pv + G S,V Otrzymaliśmy znany wcześniej związek pomiędzy energią wewnętrzną i potencjałem Gibbsa. 5.3 Relacja Gibbsa-Duhema Dokonamy jednoczesnej transformacji Legendre a dla trzech par zmiennych: dla formy energii wewnętrznej S, S, µ N (5.44) Nowy potencjał wynosi du = ds pdv + µdn (5.45) χ = U S + VP µn = G µn = 0 (5.46) A więc ten potencjał termodynamiczny znika! Jego pochodna zewnętrzna oczywiście też musi być zerowa: dχ = Sd + Vd p Ndµ = 0 (5.47) 15

16 Otrzymane równanie nosi nazwę relacji Gibbsa-Duhema. W reprezentacji potencjału χ = 0 zmiennymi niezależnymi są (, p, µ). Z relacji Gibbsa-Duhema wynika, że tak naprawdę tylko dwie z nich są niezależne, bo trzecia wynika z rozwiązania równania Pfaffa dχ = 0. Potencjał chemiczny nie jest niezależną zmienna tak naprawdę jest funkcją ciśnienia i temperatury µ = µ(p, ) (5.48) Podobną relację Gibbsa-Duhema moża otrzymać stosując równoczesną transformację Legendre a ze względu na trzy zmienne w reprezentacji entropijnej. Wówczas dostaje się znikający potencjał χ, którego pochodna zewnętrzna wynosi dχ = Ud ( 1 ) ( p ) ( µ ) + Vd Nd = 0 (5.49) Można powiedzieć, że jest to relacja Gibbsa-Dughema w reprezentacji entropijnej. Dla układów wieloskładnikowych w powyższych wzorach należy napisać zamiast Ndµ sumę po wszystkich rodzajach cząstek w układzie Wniosek: m N i dµ i (5.50) i=1 Dla układu jednoskładnikowego parametr N jest właściwie zbędny, bo wszystkie wielkości ekstensywne można odnieść do ich wartości dla jednego mola substancji. Używa się do tego zapisu z odpowiednią małą literą. Na przykład entropię dla jednego mola oznacza się jako s = S N (5.51) Korzystając z relacji Gibbsa-Duhema wyznaczyć równanie fundamentalne: S = S(U, V, N) dla gazu doskonałego o zmiennej liczbie cząstek. Dla gazu doskonałego, przy zastosowaniu do wielkości ekstensywnych odniesienia do 1 mola, rownanie stanu wynosi 16

17 pv = R Związek pomiędzy energią wewnętrzną i temperaturą ma postać u = βr gdzie β = 3 dla gazu jednoatomowego. Korzystamy z relacji Gibbsa-Duhema (5.49) w reprezentacji entropijnej, w odniesieniu do 1 mola 2 ud ( 1 ) ( p ) ( µ ) + vd d = 0 W reprezentacji entropijnej s = s(u, v) liczymy odpowiednie pochodne zewnętrzne: d ( 1 ) ( βr ) βr = d = u u du 2 d ( p ) ( R ) NR = d = v v dv 2 stąd: d ( µ ) βr = u du R v dv Całkując tę równość po odpowiedniej krzywej przemiany na płaszczyźnie (u, v) od stanu początkowego, dla którego wszystkie parametry mają indeks 0 µ µ 0 = βr ln u R ln v 0 u 0 v 0 Wstawimy to do wzoru wiążącego energię i funkcję Gibbsa: G = µn = U S + pv Dla wielkości odniesionych do jednego mola g = µ = u s + pv Otrzymujemy szukany wzór na entropię w funkcji energii wewnętrznej, objętości i liczby cząstek: S = sn = 1 un + p vn µ N = βnr + NR + βnr ln U + NR ln V N µ 0 = U 0 V 0 0 = NR(β + 1) Nµ ( ) β ( 0 U V + NR ln ) U 0 V 0 Wyznaczyć zależność potencjału chemicznego od temperatury i ciśnienia dla gazu doskonałego: µ = µ(p, ) Korzystamy z wyników poprzedniego zadania, w którym wyliczyliśmy µ /: µ = µ 0 0 βr ln U U 0 R ln V V 0 = 17

18 = µ 0 0 (β + 1)R ln 0 +R ln p p 0 Często stosuje się tak zwaną aktywność chemiczną oznaczaną przez λ: Wówczas: µ = R ln λ i dla gazu doskonałego mamy: µ = R ln λ (5.52) R ln λ = µ λ 0 µ 0 = (β + 1)R ln + R ln p 0 0 p 0 stąd: λ = p ( ) (1+β) λ 0 p 0 0 Jaki widać aktywność chemiczna gazu doskonałego jest proporcjonalna do ciśnienia. Mamy układ dwufazowy (złożony z dwóch rodzajów cząstek) o stałym ciśnieniu i temperaturze. Znaleźć potencjał chemiczny fazy nr 2 jeśli znana jest zależność potencjału chemicznego od procentowej liczby cząstek dla fazy pierwszej. Liczba moli obu substancji: N = N 1 + N 2 Oznaczając przez x 1 i x 2 procentową zawartość molową obu substancji w układzie: x 1 = N 1 /N, x 2 = N 2 /N mamy: x 1 + x 2 = 1 Z równania Gibbsa-Duhema dla p, = const N 1 dµ 1 + N 2 dµ 2 = Sd + Vd p = 0 stąd: x 1 dµ 1 + x 2 dµ 2 = 0 czyli dµ 2 = x 1 x 2 dµ 1 18

19 Ogólnie dla układu dwufazowego mamy cztery stopnie swobody (, p, N 1, N 2 ). Z powodu przyjętych założeń pozostał tylko jeden: x = x 1 czyli procentowa liczba cząstek pierwszej fazy. Można więc przyjąć, że: µ 1 = µ 1 (x) stąd: dµ 1 = µ 1 x dx p, A więc: µ 2 (x) = x 0 x 1 x µ 1 x dx + µ 2(0) gdzie µ 2 (0) jest potencjałem chemicznym dla czystej fazy nr 2 (bez obecności fazy pierwszej). Otrzymane równanie nosi nazwę równania Margulesa. W książce E.A. Guggenheima, hermodynamics, 4.15, pokazano przykład zastosowania tej relacji do wyznaczenia ciśnienia cząstkowego składników pary nasyconej dla mieszaniny wody i etanolu 1. 1 ważne przy pędzeniu bimbru 19

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a 3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.

Bardziej szczegółowo

1 Formy różniczkowe w R 3

1 Formy różniczkowe w R 3 1 Formy różniczkowe w R 3 literatura: W.I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, rozdział 7 L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1, rozdział 9 H. Flanders, Teoria

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12 C. Mol - jest taką ilością danej substancji,

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zasady Termodynamiki

Fizyka statystyczna Zasady Termodynamiki Fizyka statystyczna Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Wykład oparty o G. Morandi, F. Napoli, E. Ercolesi Statistical Mechanics. An Intermediate Course, chap. 1 Praca

Bardziej szczegółowo

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy

Bardziej szczegółowo

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy

Bardziej szczegółowo

Warunki izochoryczno-izotermiczne

Warunki izochoryczno-izotermiczne WYKŁAD 5 Pojęcie potencjału chemicznego. Układy jednoskładnikowe W zależności od warunków termodynamicznych potencjał chemiczny substancji czystej definiujemy następująco: Warunki izobaryczno-izotermiczne

Bardziej szczegółowo

Wykład Temperatura termodynamiczna 6.4 Nierówno

Wykład Temperatura termodynamiczna 6.4 Nierówno ykład 8 6.3 emperatura termodynamiczna 6.4 Nierówność Clausiusa 6.5 Makroskopowa definicja entropii oraz zasada wzrostu entropii 6.6 Entropia dla czystej substancji 6.8 Cykl Carnota 6.7 Entropia dla gazu

Bardziej szczegółowo

Ciepło właściwe. Autorzy: Zbigniew Kąkol Bartek Wiendlocha

Ciepło właściwe. Autorzy: Zbigniew Kąkol Bartek Wiendlocha Ciepło właściwe Autorzy: Zbigniew Kąkol Bartek Wiendlocha 01 Ciepło właściwe Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha W module zapoznamy się z jednym z kluczowych pojęć termodynamiki - ciepłem właściwym.

Bardziej szczegółowo

1. PIERWSZA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI TERMOCHEMIA

1. PIERWSZA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI TERMOCHEMIA . PIERWSZA I DRUGA ZASADA ERMODYNAMIKI ERMOCHEMIA Zadania przykładowe.. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego znajduje się początkowo w warunkach P = 0 Pa i = 300 K. Zmiana ciśnienia do P = 0 Pa nastąpiła:

Bardziej szczegółowo

Zasady termodynamiki

Zasady termodynamiki Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest

Bardziej szczegółowo

powierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki

powierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki Przejścia fazowe. powierzchnia rozdziału - skokowa zmiana niektórych parametrów na granicy faz. kropeki wody w atmosferze - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki Przykłady przejść fazowych:

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne

Bardziej szczegółowo

II Zasada Termodynamiki c.d.

II Zasada Termodynamiki c.d. Wykład 5 II Zasada Termodynamiki c.d. Pojęcie entropii i temperatury absolutnej II zasada termodynamiki dla procesów nierównowagowych Równania Gibbsa dla procesów quasistatycznych Równania Eulera Relacje

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami

WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami Zasada zerowa Kiedy obiekt gorący znajduje się w kontakcie cieplnym z obiektem zimnym następuje

Bardziej szczegółowo

Roztwory rzeczywiste (1)

Roztwory rzeczywiste (1) Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 2

Termodynamika Część 2 Termodynamika Część 2 Równanie stanu Równanie stanu gazu doskonałego Równania stanu gazów rzeczywistych rozwinięcie wirialne równanie van der Waalsa hipoteza odpowiedniości stanów inne równania stanu Równanie

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 2, zadanie nr 1 1

Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 2, zadanie nr 1 1 Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 2, zadanie nr 1 1 [Imię, nazwisko, grupa] prowadzący Uwaga! Proszę stosować się do następującego sposobu wprowadzania tekstu w ramkach : pola szare

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Zasady termodynamiki fenomenologicznej

Zasady termodynamiki fenomenologicznej 1 Zasady termodynamiki fenomenologicznej Wprawdzie wykład ten jest zatytułowany ermodynamika z elementami fizyki statystycznej ale notatki te koncentrują się głównie na wyłożeniu podstaw fizyki statystycznej.

Bardziej szczegółowo

Przemiany termodynamiczne

Przemiany termodynamiczne Przemiany termodynamiczne.:: Przemiana adiabatyczna ::. Przemiana adiabatyczna (Proces adiabatyczny) - proces termodynamiczny, podczas którego wyizolowany układ nie nawiązuje wymiany ciepła, lecz całość

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Para wodna najczęściej jest produkowana w warunkach stałego ciśnienia.

Para wodna najczęściej jest produkowana w warunkach stałego ciśnienia. PARA WODNA 1. PRZEMIANY FAZOWE SUBSTANCJI JEDNORODNYCH Para wodna najczęściej jest produkowana w warunkach stałego ciśnienia. Przy niezmiennym ciśnieniu zmiana wody o stanie początkowym odpowiadającym

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej. Katarzyna Sznajd-Weron. Fizyka Statystyczna

Politechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej. Katarzyna Sznajd-Weron. Fizyka Statystyczna Politechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej Katarzyna Sznajd-Weron Fizyka Statystyczna Skrypt dla studentów Wrocław 2016 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych

Wykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych Wykład 6 Klasyfikacja przemian fazowych JS Klasyfikacja Ehrenfesta Ehrenfest klasyfikuje przemiany fazowe w oparciu o potencjał chemiczny. nieciągłość Przemiany fazowe pierwszego rodzaju pochodne potencjału

Bardziej szczegółowo

10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODY- NAMIKI.

10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODY- NAMIKI. 0. FALE, ELEMENY ERMODYNAMIKI I HYDRODY- NAMIKI. 0.9. Podstawy termodynamiki i raw gazowych. Podstawowe ojęcia Gaz doskonały: - cząsteczki są unktami materialnymi, - nie oddziałują ze sobą siłami międzycząsteczkowymi,

Bardziej szczegółowo

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Stanisław Krukowski i Michał Leszczyński Instytut Wysokich Ciśnień PAN 0-4 Warszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: 88 80 44 e-mail: stach@unipress.waw.pl,

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez

Bardziej szczegółowo

Chemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1. Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski

Chemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1. Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski Chemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1 Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski Kontakt,informacja i konsultacje Chemia A ; pokój 307 Telefon: 347-2769 E-mail: wojtek@chem.pg.gda.pl

Bardziej szczegółowo

1 Równanie stanu gazu doskonałego

1 Równanie stanu gazu doskonałego 1 Równanie stanu gazu doskonałego Celem ćwiczenia jest zbadanie przemian stanu gazu doskonałego(powietrza) oraz wyznaczenie uniwersalnej stałej gazowej, współczynnika rozszerzalności cieplnej, współczynnika

Bardziej szczegółowo

Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5. Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego

Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5. Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5 Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego Czy przejście szkliste jest termodynamicznym przejściem fazowym?

Bardziej szczegółowo

Zadania z Termodynamiki

Zadania z Termodynamiki Zadania z Termodynamiki 1. Obliczyć zależność C p C V dla 1 mola gazu van der Waalsa [1]. Znaleźć przybliżone wyrażenie dla gazu rozrzedzonego V b. 2. Udowodnić zależność [1]: 3. Udowodnić zależność [5]

Bardziej szczegółowo

Układ termodynamiczny Parametry układu termodynamicznego Proces termodynamiczny Układ izolowany Układ zamknięty Stan równowagi termodynamicznej

Układ termodynamiczny Parametry układu termodynamicznego Proces termodynamiczny Układ izolowany Układ zamknięty Stan równowagi termodynamicznej termodynamika - podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny - wyodrębniona część otaczającego nas świata. Parametry układu termodynamicznego - wielkości fizyczne, za pomocą których opisujemy stan układu termodynamicznego,

Bardziej szczegółowo

Temperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej.

Temperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej. 1 Ciepło jest sposobem przekazywania energii z jednego ciała do drugiego. Ciepło przepływa pod wpływem różnicy temperatur. Jeżeli ciepło nie przepływa mówimy o stanie równowagi termicznej. Zerowa zasada

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład Kinetyczna teoria gazów Termodynamika dr Mikołaj Szopa Wykład 7.11.015 Kinetyczna teoria gazów Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika Termodynamika klasyczna opisuje tylko wielkości makroskopowe takie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v

WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v Uniwersytet Wrocławski, Instytut Fizyki Doświadczalnej, I Pracownia Ćwiczenie nr 33 WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v I WSTĘP Układ termodynamiczny Rozważania dotyczące przekazywania energii poprzez wykonywanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Funkcje termodynamiczne określają stan układu termodynamicznego

Funkcje termodynamiczne określają stan układu termodynamicznego Funkcje termodynamiczne określają stan układu termodynamicznego Należą do nich: funkcje stanu i parametry stanu Funkcje stanu to wielkości fizyczne, których zmiana równa jest różnicy wartości w stanie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Stan układu Fizyka statystyczna (i termodynamika) zajmuje się przede wszystkim układami dużymi, liczacymi

Bardziej szczegółowo

Fizyka Statystyczna 1

Fizyka Statystyczna 1 Uniwersytet Wrocławski Instytut Fizyki Teoretycznej Katarzyna Weron Fizyka Statystyczna 1 Skrypt dla studentów Wrocław, maj 2010 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ

POLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ KALORYMETRIA - CIEPŁO ZOBOJĘTNIANIA WSTĘP Według pierwszej zasady termodynamiki, w dowolnym procesie zmiana energii wewnętrznej, U układu, równa się sumie ciepła wymienionego z otoczeniem, Q, oraz pracy,

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa

ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa Prawo zachowania energii: ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa Ogólny zasób energii jest niezmienny. Jeżeli zwiększa się zasób energii wybranego układu, to wyłącznie kosztem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Równowaga chemiczna

Wykład 10 Równowaga chemiczna Wykład 10 Równowaga chemiczna REAKCJA CHEMICZNA JEST W RÓWNOWADZE, GDY NIE STWIERDZAMY TENDENCJI DO ZMIAN ILOŚCI (STĘŻEŃ) SUBSTRATÓW ANI PRODUKTÓW RÓWNOWAGA CHEMICZNA JEST RÓWNOWAGĄ DYNAMICZNĄ W rzeczywistości

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

chemia wykład 3 Przemiany fazowe

chemia wykład 3 Przemiany fazowe Przemiany fazowe Przemiany fazowe substancji czystych Wrzenie, krzepnięcie, przemiana grafitu w diament stanowią przykłady przemian fazowych, które zachodzą bez zmiany składu chemicznego. Diagramy fazowe

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Maszyny cieplne substancja robocza

Maszyny cieplne substancja robocza Maszyny cieplne cel: zamiana ciepła na pracę (i odwrotnie) pracują cyklicznie pracę wykonuje substancja robocza (np.gaz, mieszanka paliwa i powietrza) która: pochłania ciepło dostarczane ze źródła ciepła

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika Ćwiczenia do wykładu Fizyka tatystyczna i ermodynamika Prowadzący dr gata Fronczak Zestaw 5. ermodynamika rzejść fazowych: równanie lausiusa-laeyrona, własności gazu Van der Waalsa 3.1 Rozważ tyowy diagram

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA Zajęcia wyrównawcze, Częstochowa, 2009/2010 Ewa Mandowska

TERMODYNAMIKA Zajęcia wyrównawcze, Częstochowa, 2009/2010 Ewa Mandowska 1. Bilans cieplny 2. Przejścia fazowe 3. Równanie stanu gazu doskonałego 4. I zasada termodynamiki 5. Przemiany gazu doskonałego 6. Silnik cieplny 7. II zasada termodynamiki TERMODYNAMIKA Zajęcia wyrównawcze,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym).

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym). Spis treści 1 Stan gazowy 2 Gaz doskonały 21 Definicja mikroskopowa 22 Definicja makroskopowa (termodynamiczna) 3 Prawa gazowe 31 Prawo Boyle a-mariotte a 32 Prawo Gay-Lussaca 33 Prawo Charlesa 34 Prawo

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1

Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1 Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1 [Imię, nazwisko, grupa] prowadzący Uwaga! Proszę stosować się do następującego sposobu wprowadzania tekstu w ramkach : pola szare

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m TERMODYNAMIKA Jednostki podstawowe Wielkość Nazwa Symbol Długość metr m Masa kilogramkg Czas sekunda s Natężenieprąduelektrycznego amper A Temperaturatermodynamicznakelwin K Ilość materii mol mol Światłość

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Równowaga fazowa Roztwory rzeczywiste

Wykład 8. Równowaga fazowa Roztwory rzeczywiste Wykład 8 Równowaga fazowa Roztwory rzeczywiste Roztwory doskonałe Porównanie roztworów doskonałych i Roztwory Doskonałe rzeczywistych Roztwory Rzeczywiste Spełniają prawo Raoulta Mieszanie w warunkach

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

Gaz rzeczywisty zachowuje się jak modelowy gaz doskonały, gdy ma małą gęstość i umiarkowaną

Gaz rzeczywisty zachowuje się jak modelowy gaz doskonały, gdy ma małą gęstość i umiarkowaną F-Gaz doskonaly/ GAZY DOSKONAŁE i PÓŁDOSKONAŁE Gaz doskonały cząsteczki są bardzo małe w porównaniu z objętością naczynia, które wypełnia gaz cząsteczki poruszają się chaotycznie ruchem postępowym i zderzają

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

GAZ DOSKONAŁY W TERMODYNAMICE TO POJĘCIE RÓŻNE OD GAZU DOSKONAŁEGO W HYDROMECHANICE (ten jest nielepki)

GAZ DOSKONAŁY W TERMODYNAMICE TO POJĘCIE RÓŻNE OD GAZU DOSKONAŁEGO W HYDROMECHANICE (ten jest nielepki) Właściwości gazów GAZ DOSKONAŁY Równanie stanu to zależność funkcji stanu od jednoczesnych wartości parametrów koniecznych do określenia stanów równowagi trwałej. Jest to zwykle jednowartościowa i ciągła

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Fizyka 14. Janusz Andrzejewski

Fizyka 14. Janusz Andrzejewski Fizyka 14 Janusz Andrzejewski Egzaminy Egzaminy odbywają się w salach 3 oraz 314 budynek A1 w godzinach od 13.15 do 15.00 I termin 4 luty 013 poniedziałek II termin 1 luty 013 wtorek Na wykład zapisanych

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Analiza termiczna Krzywe stygnięcia

Analiza termiczna Krzywe stygnięcia Analiza termiczna Krzywe stygnięcia 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 T a e j n s x p b t c o f g h k l p d i m y z q u v r w α T B T A T E T k P = const Chem. Fiz. TCH II/10 1 Rozpatrując stygnięcie wzdłuż kolejnych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo