Prognozowanie strukturalne metody i założenia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prognozowanie strukturalne metody i założenia"

Transkrypt

1 Prognozowanie strukturalne metody i założenia Wstęp 1. Prognozowanie na podstawie metod strukturalnych. Wybór zmiennych objaśniających kryteria merytoryczne 3. Wybór predyktorów metodami statystycznymi 4. Wybór modelu prognostycznego przykład empiryczny 5. Ocena stabilności modelu: estymacja rekurencyjna i testy Chowa Bibliografia

2 Wstęp W module tym zajmiemy się formułowaniem prognoz na podstawie opisowego modelu ekonometrycznego. o krok naprzód w porównaniu z metodami strukturalnymi, które nie obejmowały prób określania ekonomicznych przyczyn kształtowania się zmiennych prognozowanych. Na początku przypomnimy ogólne zasady budowy i estymacji modeli ekonometrycznych. Następnie przedstawimy kryteria merytoryczne wyboru zmiennych objaśniających i bliżej przyjrzymy się zastosowaniu aproksymant. W trzecim temacie omówimy najpopularniejsze metody statystycznego doboru regresorów: analizę współczynników zmienności, korelacji oraz metodę eliminacji a posteriori. Na końcu zwrócimy uwagę na kwestie stabilności relacji opisywanej przez równanie prognostyczne. Przyjrzymy się, jak sprawdzać stabilność parametrów modelu przez estymację rekurencyjną, a także jak ją formalnie weryfikować w programie Gretl za pomocą testów Chowa.

3 1. Prognozowanie na podstawie metod strukturalnych Prognozowanie z wykorzystaniem metod strukturalnych nie różni się co do celów od prognozowania niestrukturalnego. W jednym i drugim chodzi bowiem o prognozy trafne i użyteczne zarazem. Metody niestrukturalne poszukują prawdopodobnego wzorca procesu, według którego generowane są dane, traktując mechanizmy kształtowania się zjawisk gospodarczych jak czarną skrzynkę. Metody strukturalne oferują wniknięcie w głąb problemu za pomocą opisowego modelu ekonometrycznego. Za pomocą modelu w sposób statystyczny opisujemy empiryczny przebieg zjawiska w czasie lub zmienność pewnej cechy wśród obiektów w próbie przekrojowej. Model ekonometryczny jest narzędziem prognostyka również w metodach niestrukturalnych, ale w tej klasie metod nie stosujemy na ogół zmiennych objaśniających i co za tym idzie teorii ekonomicznej, a jedynie (choć nie zawsze) metody statystyczne. Wyjątkiem są metody wykorzystujące tak zwane przerzucanie danych (ang. data mining). Polegają one na wyborze kandydatów na zmienne objaśniające metodą prób i błędów przez analizę korelacji i regresji w zbiorze merytorycznie niepowiązanych lub luźno powiązanych zmiennych. Praktyki takie, wynikające z nadmiernego zaufania okazywanego statystycznej korelacji, są powszechnie krytykowane (por. Gajda, 001; Welfe, Welfe, 1996: 3). Prognozy strukturalne wykorzystują opisowy model ekonometryczny w charakterze podstawowego narzędzia do prognozowania (predykatora). Określenie opisowy stosujemy w celu podkreślenia, że za modelem ekonometrycznym stoi pewna hipoteza ekonomiczna lub ich zbiór, zwany teorią ekonomiczną. Decyduje ona o wyborze zmiennych objaśniających, które w prognozowaniu nazywamy predyktorami. Model w wersji liniowej względem parametrów można zapisać jako: y t x x x, 0 1 1t t k kt t gdzie y t wartość zmiennej objaśnianej w okresie t, t = 1,,,, x it wartość i-tej zmiennej objaśniającej z okresu t, i = 1,,, k, β i parametry strukturalne modelu, i = 0, 1,,, k, ε t składnik losowy niewykazujący systematycznego wpływu na y t, czyli E(ε t ) = 0. Uwzględniając, że dla każdej zmiennej mamy obserwacji oraz że dla każdego t = 1,,, zachodzi taki sam liniowy związek między zmiennymi, model ten możemy zapisać jako układ równań w postaci wektorowej: y1 1 x11 x1 xk1 1 y 1 x1 x xk k y 1 x1 x xk lub w postaci macierzowej: y = Xβ + ε, gdzie: 3

4 y1 1 x11 x1 xk 1 y 1 y., x1 x xk X, β = : : : :. 1 1 y x x xk 0 1 :. k 0 1 ε = :.. Niewiadomymi w tym układzie równań są parametry strukturalne modelu β i i składniki losowe ε t. Należy podkreślić, że parametrów nie można w sposób jednoznaczny wyznaczyć z takiego układu równań 1 i w rezultacie są one empirycznie niepoznawalne. Mając obserwacje dla zmiennych y t oraz x it, możemy wyznaczyć estymatory parametrów ˆ i, i = 0, 1,,, k. Ich kolumnowy wektor oznaczymy jako ^ β. Po pominięciu oddziaływania czynników losowych, oceny parametrów służą do wyznaczenia wartości teoretycznych ŷ t zmiennej objaśnianej: ˆ ˆ ˆ y ˆ t 0 1x1t x t ˆ k x kt lub w zapisie macierzowym: ^ ˆy Xβ, ˆ, gdzie: yˆ 1 ˆ 0 ˆ y ˆ 1 ^ ˆy., β =. :.. ˆ y ˆ k Zgodnie z zasadą nieobciążoności, wartości teoretyczne są również prognozami wygasłymi zmiennej objaśnianej. Jeżeli w okresie prognozy ex ante nie znamy empirycznych wartości zmiennych objaśniających, to zastępujemy je ich prognozami ex ante xˆ it: y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t 1x1t x ˆ xˆ 0 t k kt. A zatem w skrajnym przypadku, aby wyznaczyć pojedynczą prognozę ex ante na podstawie modelu ekonometrycznego, potrzebujemy k + 1 wartości prognoz zmiennych objaśniających oraz k wartości ocen parametrów. Ponadto zwiększając horyzont prognozy o kolejny okres, lista informacji potrzebnych do wykonania prognozy strukturalnej rośnie o następne k + 1 wartości dla zmiennych objaśniających. o dosyć duże wymagania, a zatem wybór zbyt dużej liczby regresorów nie jest wskazany. Nieznane wartości predyktorów xˆ it w okresie prognozy właściwej mogą zostać ustalone na poziomie ostatniej realizacji (tzw. prognoza zamrożona), albo uzyskane przez zastosowanie innych metod prognozowania. Najczęściej w tym celu stosujemy metody niestrukturalne, określając, że zmienna objaśniająca będzie kształtowała się w okresie prognozy według trendu deterministycznego lub innej reguły (np. autoregresyjnej). Jeśli wykorzystujemy do opisu zmienności predyktora metody strukturalne, to powstaje model wielorównaniowy. 1 Jest + K niewiadomych, w tym składników losowych i K parametrów, gdzie K = k + 1 ze względu na obecność wyrazu wolnego w modelu. Dla metod niestrukturalnych dla prognoz i predykatorów stosowaliśmy oznaczenie y t *. 4

5 Nieznane wartości parametrów przybliżamy przez ich oceny ( ˆ i ). W analizie regresji uzyskujemy je przez minimalizację sumy kwadratów reszt t1 t1 ( e ( ˆ t yt yt ) min). Reszty e t w obrębie próby są odpowiednikiem błędów prognozy ex post, wybrane kryterium jest równoważne z minimalizacją jednej z syntetycznych miar błędów ex post, tj. błędu średniokwadratowego MSE ( y t yˆ t ). 1 t1 Minimalizując tę sumę, uzyskujemy następujący wzór na estymator parametrów strukturalnych klasycznej metody najmniejszych kwadratów (w skrócie KMNK): ^ 1 β = ( X X) X y, ^ gdzie: β estymator wektora parametrów β i, X, y odpowiednio: macierz zmiennych objaśniających i wektor dla zmiennej objaśnianej. Nie w każdej sytuacji uda się wyznaczyć oceny parametrów strukturalnych modelu metodą KMNK. Aby można było je wyznaczyć, muszą być spełnione następujące warunki stosowalności KMNK: 1. Model powinien być liniowy względem parametrów i zakłóceń Warunek ten nie oznacza, że KMNK nie można szacować modeli nieliniowych. Można tego dokonać pod warunkiem sprowadzenia ich do postaci liniowej przez dokonanie transformacji oryginalnych zmiennych. Poniżej znajdują się przykłady postaci modeli nieliniowych spełniających ten warunek dzięki dokonaniu odpowiednich transformacji zmiennych: yt 0 1x1t x1t t, model wielomianowy (podstawienie xt x1t), y t = β 0 + β 1 x 1t + β x t + β 3 x 1t x t + ε t, model z interakcjami zmiennych (x 3t = x 1t x t ), lny t = β 0 + β 1 lnx 1t + β lnx t + ε t, model log-liniowy (dokonujemy podstawienia ly t = lny t, lx 1t = lnx 1t, lx t = lnx t ), oraz przykłady modeli nieliniowych względem parametrów lub zakłóceń: yt x t, model nieliniowy względem parametrów, y t t = (β 0 + β 1 x 1t + β x t ) ε t, model nieliniowy względem zakłóceń.. > K, a na ogół >> K, co oznacza, że liczba obserwacji powinna być w próbie dużo większa od liczby szacowanych parametrów. Chcąc technicznie wyznaczyć oceny parametrów modelu, musimy korzystać z liczby obserwacji większej niż liczba parametrów. Praktycznie obserwacji powinno być na tyle dużo, aby pozwoliły na ocenę modelu przy zastosowaniu zasad analizy statystycznej. 3. Między zmiennymi objaśniającymi nie zachodzą związki liniowe (żadna ze zmiennych objaśniających nie jest liniową kombinacją pozostałych, czyli zmienne te są liniowo niezależne) Aby można było dokonać szacunku wielkości parametrów za pomocą wzoru na estymator, musi istnieć macierz odwrotna do (X X). Macierz ta istnieje tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera (detx 0). Jeżeli żadna z kolumn macierzy X nie jest liniową kombinacją pozostałych, to istnieje macierz (X X) 1. Warunek ten oznacza, że każda ze zmiennych objaśniających wnosi nowe informacje do modelu. Jeżeli wszystkie powyższe warunki są spełnione, możemy oszacować parametry modelu ekonometrycznego KMNK. Nie gwarantują one jednak pożądanych własności estymatorów. Jedną z tych własności jest to, że w obrębie próby KMNK 1 daje nieobciążone prognozy ex post ( ME e t 0 ). Estymatory KMNK są t1 5

6 najlepszymi w klasie estymatorów liniowych, tzn. są nieobciążone, efektywne i zgodne, jeżeli oprócz warunków stosowalności KMNK spełnione są jeszcze następujące założenia (tzw. założenia KMNK): Wartość oczekiwana składnika losowego wynosi 0 (E(ε t ) = 0). Założenie to oznacza, że zakłócenia reprezentowane przez składnik losowy nie wpływają w sposób systematyczny na zmienną objaśnianą. Wariancja składnika losowego jest stałą i skończoną liczbą rzeczywistą (D (ε t ) = σ = const) 3, a kowariancja składników losowych z różnych okresów wynosi zero cov( t, ) 0, 1 t t 1 t) 4, czyli że zakłócenia z różnych okresów nie są wzajemnie skorelowane. raktując te założenia łącznie, mówimy, że składnik losowy jest sferyczny 5. Zmienne objaśniające są nielosowe, czyli ich wartości są ustalonymi w powtarzalnych próbach liczbami rzeczywistymi 6. Jeżeli chociaż jedno z powyższych założeń nie jest spełnione, to estymator KMNK traci pożądane własności i wtedy należy stosować inne metody estymacji. W ramach weryfikacji statystycznej modelu niektóre z tych założeń podlegają sprawdzeniu za pomocą odpowiednich testów (autokorelacji, heteroskedastyczności). Wówczas wygodnie jest przyjąć, że składnik losowy ma rozkład normalny. Postać rozkładu reszt można również sprawdzić na podstawie testu Jarque-Bera. Zauważmy, że założenia KMNK sprowadzają składnik losowy do procesu białego szumu o wartości oczekiwanej równej zero i stałej wariancji, w skrócie IID(0,σ ). A zatem podobnie jak w dekompozycji szeregu czasowego celem konstrukcji modelu jest wyjaśnienie przebiegu procesu w takim stopniu, aby nieobjaśnione reszty (odpowiedniki wygasłych błędów) nie wykazywały żadnej regularności, czyli były czysto losowe. Jak można się było zatem przekonać, model ekonometryczny może być wykorzystany w prognozowaniu, jeżeli charakteryzuje się pewnymi własnościami statystycznymi, z których większość dotyczy uzyskania poprawnych ocen parametrów. Różnice między ekonometrycznymi metodami dekompozycji a modelami opisowym polegają jedynie na tym, że te drugie wyraźnie specyfikują przyczyny mechanizmu kształtowania się zmiennej prognozowanej. Metody niestrukturalne ograniczają się tylko do specyfikacji charakteru zmian i doboru właściwej metody ich wyróżnienia, a nie pytają o przyczynę tych zmian. W pytaniu o czynniki kształtujące zjawisko w okresie próby i prognozy kluczowy jest dobór odpowiednich zmiennych objaśniających. Dlatego w następnym temacie zajmiemy się merytorycznymi kryteriami doboru predyktorów. 3 Stałość wariancji składnika losowego nazywana jest w ekonometrii homoskedastycznością (zakłóceń). 4 a część założenia nazywana jest brakiem autokorelacji zakłóceń. 5 Przyjmując silniejszą wersję tych założeń, można powiedzieć, że zakłócenia są niezależne i pochodzą z takich samych rozkładów. 6 Z tego wynika, że zmienne objaśniające nie są skorelowane ze składnikiem losowym. Byłaby to słabsza wersja tego założenia. Często ograniczamy się do jej przyjęcia, mając na myśli brak związku zakłóceń z regresorami. 6

7 . Wybór zmiennych objaśniających kryteria merytoryczne Fakt korelacji zmiennych nie jest dowodem na występowanie związku przyczynowo-skutkowego między zmienną objaśnianą a jej regresorami. Innymi powodami dla korelacji zmiennych mogą być zależności przypadkowe i symptomatyczne. Znalezienie statystycznej zależności o charakterze przypadkowym nie gwarantuje trwałości związku korelacyjnego w czasie. Oznacza to również, że nie ma merytorycznych podstaw, aby twierdzić, że zależność taka utrzyma się w przyszłości. rwałość relacji i stabilność zachowania modelu to kluczowe warunki dla formułowania prognoz z wykorzystaniem modelu ekonometrycznego. Bez nich możliwość taka jest tylko iluzoryczna. Kolejna przyczyna empirycznej korelacji zmiennych to zależność symptomatyczna. Należy pamiętać, że stanowi ona jedynie przybliżenie nieobserwowalnych zależności, gdyż ze względu na brak odpowiednich zmiennych objaśniających (tj. wynikających z teorii ekonomicznej) lub ich mierników do opisu zmienności procesu wykorzystuje się aproksymanty (tzw. zmienne proxy). Wykorzystanie aproksymant w trzech typowych sytuacjach prezentuje schematycznie rysunek 1. Rysunek 1 Wykorzystanie zależności symptomatycznych Proces Y1 jest kształtowany przez zmienną nieobserwowalną A (przerywany obwód kwadratu na schemacie). Wiadomo jednak, że zmiany A wpływają również na inną zmienną zmienną proxy X1. Zmiany X1 możemy traktować jako symptomy zmian procesu A. Mimo że między X1 a Y1 nie ma zależności przyczynowo- -skutkowej, to łączymy je w zależności korelacyjnej (przerywany wektor na schemacie), gdyż zmieniają się pod wpływem wspólnej przyczyny (A). Przykładem tego typu zależności może być związek inflacji i bezrobocia, kształtowanych pod wpływem bezpośrednio nieobserwowalnego stanu nastrojów gospodarczych (np. optymizmu konsumentów), a także przykład przedstawiony poniżej. Przykład 1 Problem dotyczy aproksymacji wpływu oczekiwań rynku pieniężnego na poziom oprocentowania instrumentów (np. depozytów) o stałej stopie procentowej. W tym celu musimy poznać koncepcję znaną w finansach jako krzywa dochodowości spot 7

8 (tj. dla transakcji natychmiastowych zwanych spot). Jest to zależność między wysokością efektywnego oprocentowania a terminem kontraktowym instrumentu dłużnego. Naturalnym kształtem krzywej dochodowości jest funkcja rosnąca, gdyż inwestorzy pożyczając pieniądze na dłuższy czas, rezygnują z bieżącej płynności. Zatem teoria preferencji płynności mówi, że w typowej sytuacji im dłuższy termin kontraktowy, tym wyższe oprocentowanie. W sytuacji, gdy na rynku spodziewane są spadki stóp procentowych, może wystąpić płaska lub nawet malejąca krzywa dochodowości. Wynika to z faktu, że inwestorzy będą preferować dłuższe terminy lokowania pieniędzy na stałą stopę procentową w obawie przed spadkiem stóp po upływie okresu kontraktowego i koniecznością reinwestowania środków po niższych stopach procentowych w przyszłości. Rosnąca atrakcyjność długookresowych depozytów w sposób naturalny obniży ich oprocentowanie w stosunku do lokat krótkoterminowych. Jednocześnie, aby przyciągnąć środki klientów, banki zwiększą atrakcyjność lokat krótkookresowych i w rezultacie inwersyjny (odwrotny) przebieg krzywej dochodowości stanie się obserwowalnym faktem mimo preferencji płynności. Badanie wpływu nachylenia krzywej dochodowości na aktualne oprocentowanie jest trudne, gdyż nachylenie to nie może być określone jedną zmienną na przykład tangensem nachylenia krzywej dochodowości, gdyż zależność ta jest nieliniowa. Możemy posłużyć się jednak aproksymantą nachylenia krzywej dochodowości, jaką jest iloraz rynkowych stóp procentowych lokat (np. stóp WIBOR) o różnych okresach kontraktowych. Iloraz WIBOR3M przez WIBOR1M wyższy od jedności świadczy o naturalnym (normalnym) kształcie krzywej dochodowości. W przeciwnej sytuacji kształt tej krzywej może być inwersyjny (odwrotny), co może świadczyć o występowaniu oczekiwań na spadek stóp procentowych. Oczekiwania te są tym silniejsze, im mniejszy jest ten iloraz. Zachowania stóp procentowych o różnych okresach są zatem konsekwencją nieobserwowalnego przebiegu krzywej dochodowości, który aproksymujemy za pomocą ilorazu WIBOR3M/WIBOR1M. W drugiej typowej sytuacji prezentowanej na rysunku 1 również nie obserwujemy bezpośredniej przyczyny prognozowanego procesu Y (proces B zaznaczony przerywaną obwiednią). Zmienna proxy X jako praprzyczyna zmiennej B może być wykorzystana do prognozowania zmiennej Y. en typowy schemat stosowany jest na przykład w analizie wpływu egzogenicznego postępu technicznego na rozwój produkcji. Ponieważ postęp techniczny jest nieobserwowalny, to jego występowanie objaśniamy powszechnie przez zmienną t utożsamiającą upływ czasu. Upływ czasu nie jest w sensie formalnym przyczyną systematycznego wzrostu wielkości produkcji, ale jest dobrą aproksymantą tempa postępu technicznego, czyli autonomicznego tempa wzrostu produkcji niezależnie od zmian wykorzystania czynników produkcji. Zmienna t znajduje powszechne zastosowanie w opisie dynamiki zagregowanej produkcji obok mierzalnych czynników produkcji. Ostatni przypadek z rysunku 1 obrazuje sytuację, gdy jest zbyt dużo regresorów (przykładowo pięć oznaczonych literami od a do e), a wszystkie z merytorycznego punktu widzenia niosą zbyt ważną informację do opisu kształtowania się procesu Y3, aby mogły być pominięte. Przy użyciu systemu wag zmienne te tworzą zmienną syntetyczną, która jest aproksymantą nieobserwowalnego i złożonego procesu X3. W sytuacji, gdy niektóre ze zmiennych składowych są wzajemnie skorelowane lub niektóre w okresie próby charakteryzowały się małą zmiennością, trudne będzie wydzielenie wpływu każdej ze składowych oddzielnie. Korzystniejsze może wówczas okazać się wykorzystanie w regresji zmiennej syntetycznej X3 zamiast każdej ze zmiennych oddzielnie. Zabezpieczyć to może przed sytuacją, gdy zmienne składowe okażą się bardziej zmienne w okresie prognozy lub słabiej skorelowane niż w okresie próby. Przykładem zastosowania trzeciego schematu może być modelowanie stóp zwrotu z akcji różnych instytucji finansowych (np. banków) na podsta- 8

9 wie miar ryzyka finansowego ich portfeli inwestycyjnych. Jak wiadomo, ryzyko finansowe jest pojęciem o szerokim znaczeniu. Składają się na nie: ryzyko stopy procentowej (w tym ryzyko refinansowania, ryzyko utraconych korzyści i ryzyko niedopasowania terminów kontraktowych), ryzyko kredytowe, ryzyko walutowe i inne ryzyka rynkowe. Zamiast wielu nieistotnych statystycznie regresorów możemy w tym przypadku utworzyć syntetyczną miarę ryzyka i użyć ją do objaśnienia zmienności stopy zwrotu z akcji w próbie czasowej lub przekrojowej. Stosowanie aproksymant w formułowaniu prognoz strukturalnych jest powszechne albo ze względu na brak dobrze określonych zależności przyczynowych, albo ze względu na brak dobrych mierników dla zmiennych nieobserwowalnych. Problem z zależnościami symptomatycznymi polega na tym, że zmienne proxy nie są formalnie przyczynami kształtowania się zmiennej objaśnianej, a ich kształtowanie się może być zdeterminowane szeregiem innych przyczyn niepozostających w związku ze zmienną prognozowaną. o może powodować systematyczne obciążenie wyników procesu prognozowania lub spadek jego precyzji, dlatego powinno się do wykorzystania aproksymant podchodzić z dużą ostrożnością. Zależności przyczynowo-skutkowe stanowią podstawę do określania przesłanek prognozowania w metodach prognozowania strukturalnego. Na podstawie obserwacji z przeszłości formułowane są hipotezy i teorie ekonomiczne, które podlegają w okresie próby sprawdzeniu za pomocą narzędzi analizy statystycznej modelu ekonometrycznego. Wykorzystanie informacji a priori, jaką jest teoria ekonomiczna, jest z wielu względów pożądane. Pozwala to ograniczyć poszukiwania kandydatów na zmienne objaśniające, zmniejszyć długość próby potrzebnej do rozpoznania procesu i pozostawia nadzieję na utrzymanie się w przyszłości podobnej zależności między zmiennymi. Jeżeli ekonomicznie rozsądna teoria dobrze sprawdza się w okresie próby, to istnieją silne teoretyczne przesłanki do wykorzystania jej w prognozowaniu. Nie przesądza to wcale o prawdziwości wybranego modelu prognostycznego, gdyż statystyka nie dysponuje takimi możliwościami może tylko uwiarygodnić wybraną teorię przez stwierdzenie braku podstaw do jej podważenia. Budowę modelu prognostycznego najlepiej oprzeć na takich związkach przyczynowo-skutkowych, które są dobrze teoretycznie rozpoznane i empirycznie sprawdzone. Konieczne jest zatem, aby prognosta posiadał wiedzę w zakresie przedmiotu prognozy. Nabyć ją można przez studiowanie teorii ekonomicznej i porównywanie z nią dostępnych faktów empirycznych. Znane powiedzenie mówi: Musisz prognozować, rób to często, gdyż to jedyny skuteczny sposób na systematyczną poprawę jakości prognoz. Mówimy, że problem empiryczny jest dogłębnie zbadany, gdy udaje się go rozłożyć na czynniki pierwsze, czyli poznać jego pierwotne przyczyny. Badacz historii gospodarczej może sobie pozwolić na taką analizę, dokonując przeglądu zdarzeń towarzyszących pewnemu wydarzeniu lub porównań analogicznych zjawisk dla innych podobnych obiektów gospodarczych, rynków i gospodarek. Prognostyk musi raczej skupić się na tym, co jest z punktu widzenia podejmowania decyzji przydatne i co jest dostępne w systemie informacji statystycznej. Zobrazujemy to przykładem dotyczącym prognozowania oprocentowania bonów skarbowych na podstawie sytuacji na rynku i obserwowanych relacji popytu i podaży. Przykład Przeciętna stawka oprocentowania bonów skarbowych (tzw. średni ważony zysk z bonów skarbowych symbol Bony) ustalana jest na podstawie stóp zwrotu w terminie do wykupu wszystkich bonów sprzedanych na przetargu. ransakcje na tym rynku pierwotnym oparte są na zasadzie aukcji amerykańskiej, to znaczy, że nabywcami ograniczonej liczby bonów skarbowych są kupujący, którzy przedstawią najlepsze oferty zakupu. Sprzedający ustala minimalną akceptowalną cenę 9

10 sprzedaży, poniżej której transakcje nie zostaną zrealizowane. Za nabyte bony inwestorzy płacą według stawek zadeklarowanych w momencie zgłaszania oferty do przetargu. Informacja zarówno o ważonym, jak i o najwyższym oprocentowaniu, którą można uzyskać po przetargu, jest informacją nie do przecenienia dla każdego gracza na tym rynku. Dokonując wyboru najlepszych predyktorów rentowności bonów skarbowych, należy wziąć pod uwagę takie dodatkowe informacje, jak aktualne stawki oprocentowania lokat na rynku międzybankowym oraz wysokość zgłoszonego popytu w stosunku do oferowanej na sprzedaż podaży bonów. Przyjrzymy się teraz bliżej tym czynnikom. Stawki lokat międzybankowych są alternatywną formą inwestycji dla instytucji finansowych biorących udział w transakcjach na rynku pierwotnym. Lokaty międzybankowe są co prawda obarczone pewnym ryzykiem (niewypłacalności banku, w którym lokujemy lokatę), ale ryzyko to jest minimalizowane przez przestrzeganie systemu limitów na transakcje międzybankowe. Dzięki temu stopy lokat międzybankowych kształtują się na zbliżonym poziomie do stóp oprocentowania bonów. Gdyby nie zachodziła między nimi silna relacja, to pojawiłaby się możliwość arbitrażu polegająca na tym, że przy spadku cen na jednym z segmentów rynku pieniężnego można byłoby zarobić bez ryzyka, pożyczając na tym podrynku i inwestując na drugim (o chwilowo wyższym oprocentowaniu). Potencjalna możliwość takiego arbitrażu implikuje bardzo silną dodatnią relację między wszystkimi cenami na rynku pieniężnym. Jako charakterystyczne instrumenty rynku pieniężnego można wybrać międzybankowe lokaty WIBOR o terminach wymagalności jeden i trzy miesiące (zmienne W3 i W1). Przy ograniczeniach dotyczących liczby bonów, które minister finansów zamierza sprzedać w imieniu Skarbu Państwa, ważną rolę odgrywa wielkość oferty zaproponowanej na przetargu (zmienna oferta). Im większa oferta, tym wyższe oprocentowanie będzie musiał zapłacić Skarb Państwa, aby ulokować wszystkie bony na rynku (relacja dodatnia). Nie bez znaczenia dla kształtowania ceny jest popyt na bony (zmienna popyt) zgłoszony przez inwestorów (podawany według wartości wszystkich złożonych ofert). Im większą część bonów będą oni chcieli kupić, tym wyższą cenę bonów będą musieli zapłacić, czyli tym niższe oprocentowanie zostanie im zaoferowane (relacja ujemna). Ponadto na przetargach pojawia się informacja o wartości bonów w cenach nominalnych, które zostały ostatecznie sprzedane (zmienna sprzedaż). Informacja ta częściowo dubluje się z informacją o ofercie i popycie. Można powiedzieć, że sprzedaż bonów jest wynikiem kompromisu między realizacją potrzeb pożyczkowych budżetu, a koniecznością ustalenia minimalnej opłacalnej z punktu widzenia ministerstwa finansów ceny sprzedaży bonów. Jest to zatem informacja wtórna w stosunku do sytuacji na danym przetargu, a z tego powodu mało przydatna w prognozowaniu jego cen. Można jednak określić, że iloraz zgłoszonego w poprzednim miesiącu popytu do zrealizowanej w tym miesiącu sprzedaży (obydwie wielkości w cenach transakcyjnych) świadczy o stopniu niezaspokojenia popytu. A zatem im wyższy stopień niezaspokojenia popytu (zmienna nieobserwowalna), tym wyższą cenę zaoferują kupujący na następnych przetargach, co spowoduje, że uzyskają z zakupionych bonów niższy ważony zysk (opóźniona zależność ujemna). W sytuacji oczekiwania na spadek stóp procentowych inwestorom na rynku pieniężnym bardziej opłaca się kupić bony skarbowe (papiery na stałą stopę procentową) dzisiaj niż jutro. Może to oznaczać chęć zaoferowania wyższych cen na przetargu, czyli akceptację niższego oprocentowania bonów. A zatem wraz ze spadkiem wartości aproksymanty nachylenia krzywej dochodowości (iloraz W3/W1 por. przykład 1) spada ceteris paribus oprocentowanie bonów na przetargach (relacja dodatnia). 10

11 Łącząc wszystkie dotychczasowe wiadomości, możemy zaprezentować następujący teoretyczny model oprocentowania bonów skarbowych i podjąć na jego podstawie próbę opisania zmienności rentowności bonów skarbowych w poszczególnych kwartałach w latach oraz dokonać prognozy do końca 00 roku: (+) (+) ( ) (+) ( ) (+) Bony t = f (W3 t, W1 t, Popyt t, Oferta t, Popyt t-1 /Sprzedaż t-1, W3 t /W1 t ) 11

12 3. Wybór predyktorów metodami statystycznymi Celem modelowania strukturalnego nie jest znalezienie jak największej liczby predyktorów dla zmiennej objaśnianej. Większa liczba zmiennych objaśniających wcale nie musi oznaczać wzrostu dokładności prognoz w okresie ex ante, a wprost przeciwnie może wymagać dodatkowych prognoz zmiennych objaśniających, które zwiększają niepewność prognozy właściwej. Ze względu na liczbę stopni swobody w modelu i współliniowość regresorów, wskazana jest raczej redukcja niż powiększanie zbioru potencjalnych predyktorów. Ponadto niektóre regresory inaczej zachowują się jako pojedyncza zmienna objaśniająca, a inaczej w grupie z innymi zmiennymi objaśniającymi (problem korelacji wzajemnej i cząstkowej). Zmiana znaku związku między zmiennymi może również być efektem współliniowości regresorów. Co jednak zrobić w sytuacji, gdy jest wiele równie dobrych kandydatów na zmienną objaśniającą lub wiele mierników dla tej samej zmiennej. W prognozowaniu nie ma pod tym względem konsensusu. Jedni autorzy zalecają wybór jednego najlepszego miernika, inni doradzają tworzenie syntetycznych miar przez sumowanie mierników składowych z zastosowaniem systemu wag. Pierwsze podejście jest ważne, jeśli chcemy poprawnie interpretować oceny parametrów. Jednak predyktor uzyskany zgodnie z drugim podejściem zawiera pełniejszą informację o prognozowanym zjawisku. W rezultacie mniejsze jest ryzyko wyboru nieodpowiedniego predyktora, choć jednocześnie wzrastają koszty zdobycia i przetworzenia informacji statystycznej. Warto zaznaczyć, że nie ma jednej skutecznej metody doboru zmiennych objaśniających. Mimo to warto znać i stosować alternatywne podejścia, aby sprawdzić, dokąd mogą one prowadzić 7. Ostateczną decyzję o wyborze predyktorów warto pozostawić prognostykowi, zdając się na jego doświadczenie. Na tę decyzję wpływ mają następujące czynniki: 1. Duża zmienność regresora Próba empiryczna może mieć cechy niekorzystne z punktu widzenia przedmiotu badania. Jedną z nich jest zbyt mała zmienność zmiennej objaśniającej. Zmienne ilościowe przydatne do zastosowania w modelu powinny być wystarczająco zróżnicowane, aby można było wyróżnić wpływ ich zmian na zmianę wartości zmiennej objaśnianej. Jeżeli dla większości obserwacji przyjmują one te same wartości (są quasi-stałe), to pojawi się problem statystycznego potwierdzenia tego wpływu. Na przykład wnioskowanie o wpływie dochodu na konsumpcję ma sens jedynie w próbach, w których dochód jest wystarczająco silnie zróżnicowany. Aby wstępnie ocenić przydatność kandydatów na zmienne objaśniające, warto posłużyć się współczynnikiem zmienności: sd wz. x Przyjmuje się na ogół dwie ważne graniczne jego wartości. Współczynnik zmienności dla zmiennej objaśniającej powinien przekraczać arbitralnie ustaloną wartość krytyczną, na przykład 0,1 = 10%. Drugą możliwością jest porównanie go do współczynnika zmienności zmiennej objaśnianej. Uważa się, że dobry re- 7 Metody te są omawiane w większości podręczników ekonometrii np. Dziechciarz, 00: rozdział, oryginalne podejście można znaleźć w pracy Zeliaś, Pawełek, Wanat, 003: rozdział 5. 1

13 gresor (zmienna objaśniająca) powinien być bardziej zróżnicowany niż zmienna, którą objaśnia.. Analiza korelacji wzajemnej Bardziej przydatną od metody eliminacji zmiennych quasi-stałych jest metoda statystyczna, oparta na ocenie siły i kierunku korelacji zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą. Oceny tej dokonujemy na podstawie wartości współczynnika korelacji liniowej (Pearsona) ρ x,y między zmienną objaśnioną y i objaśniającą x. W próbie czasowej jego estymator określony jest wzorem 8 : ˆ x, y r x, y t1 t1 ( x ( x t t x)( y x) t1 t y). ( y t y) Przypomnijmy, że współczynnik korelacji posiada następujące cechy: jest symetryczny, to znaczy, że r x,y = r y,x, przyjmuje wartości z przedziału domkniętego [-1,1] (gdy r x,y < 0 mówimy o korelacji ujemnej, a gdy r x,y > 0 o korelacji dodatniej), przyjmuje wartości skrajne (1 lub 1), gdy zmienna objaśniana jest liniową funkcją zmiennej objaśniającej, co można zapisać: r x,y = 1 y = ax + b, a 0 (stąd r x, x = 1). Siłę korelacji oceniamy na podstawie wartości bezwzględnej współczynnika korelacji, a kierunek zależności na podstawie jego znaku. Dysponujemy formalnymi metodami wyznaczenia wartości krytycznej współczynnika korelacji i możemy wnioskować o jego statystycznej istotności, sprawdzając H 0 : ρ = 0, wobec alternatywy H 1 rx, y : ρ 0. Sprawdzianem tego testu jest statystyka t, 1 rx, y która przy założeniu prawdziwości H 0 ma rozkład Studenta z stopniami swobody, gdzie jest liczbą obserwacji w próbie. Hipotezę zerową odrzucamy i stwierdzamy statystyczną istotność związku korelacyjnego na ustalonym poziomie istotności α, gdy wartość bezwzględna z t wyliczona z próby jest większa od wartości krytycznej t α wyznaczonej z tablic rozkładu Studenta. Wówczas możemy również merytorycznie ocenić kierunek tej zależności na podstawie znaku estymatora r x,y. Zalecanym sposobem postępowania jest unikanie zmiennych objaśniających o statystycznie nieistotnych współczynnikach korelacji oraz ostrożne traktowanie zmiennych o nieprawidłowym kierunku zależności korelacyjnej. Kierunek korelacji (dodatnia lub ujemna) powinien odpowiadać teoretycznym przesłankom (hipotezom) przyjętym w modelu 9. Dla zbioru złożonego ze zmiennej objaśnianej y i zmiennych objaśniających x 1, x,, x k definiujemy macierz (współczynników) korelacji R* 10 : 8 W próbie przekrojowej, zgodnie z konwencją zapisu przyjętą w tym kursie, indeksy t i zastępujemy indeksem i i I. 9 Uwaga! Znak współczynnika korelacji r xy odpowiada znakowi oceny parametru a 1 w modelu z jedną zmienną objaśniającą y t = a 0 + a 1 x t + ε t. Dołączenie kolejnych zmiennych objaśniających nie gwarantuje takiej zgodności ze względu na powiązania między zmiennymi objaśniającymi. Oznacza to również, że niepoprawny znak korelacji między zmiennymi x i y może ulec zmianie po dodaniu kolejnych zmiennych objaśniających. 10 Współczynniki korelacji leżące poniżej głównej przekątnej w tej symetrycznej macierzy są na ogół pomijane. R * ry, y rx1, y rx, y rxk, y y, x1 x1, x1 r r r x, x1 r xk, x1 y, x x1, x r r r x, x r xk, x ry, rx1, rx, r xk xk xk xk, xk 1 r y, x1 1 r r y, x x1, x 1 ry, xk r x1, xk 1 r x, xk R 1 0 R 0. R Macierz R* jest macierzą symetryczną z jedynkami na głównej przekątnej. Pierwszy wiersz oznaczony R dotyczy korelacji zmiennej objaśnianej ze zmiennymi 0 13

14 objaśniającymi. o dla jego kolejnych elementów sprawdzamy statystyczną istotność zależności korelacyjnej. W dalszej kolejności sprawdzamy istotność pozostałych elementów macierzy korelacji, tj. macierzy R zawierającej współczynniki korelacji wzajemnej dla zmiennych objaśniających, np. r x1, x. Aby sprawdzić występowanie problemów współliniowości 11 między parą istotnie skorelowanych zmiennych objaśniających x1 t i x t a zmienną objaśnianą y t, należy porównywać siłę ich wzajemnej korelacji r x1, r x z siłą ich korelacji ze zmienną objaśnianą, odpowiednio r y,x1, r y,x. Jeżeli zachodzi relacja r α < min ( r y,x1, r y,x ) < rx 1, x, to mamy do czynienia ze zjawiskiem przybliżonej współliniowości. Wówczas obydwaj kandydaci na zmienne objaśniające nie powinni znaleźć się w jednym równaniu w charakterze regresorów. 3. Analiza korelacji wielorakiej Dla więcej niż dwóch zmiennych objaśniających takie podejście może nie być już wystarczające. Na przykład wśród trzech zmiennych objaśniających można znaleźć zmienne, które parami nie są silnie skorelowane, a mimo to jedna z nich może być silnie skorelowana z liniową kombinacją pozostałych zmiennych. Metodą zalecaną w takiej sytuacji jest oddzielny wybór każdej ze zmiennych objaśniających i sprawdzenie siły jej korelacji wielorakiej z pozostałymi zmiennymi objaśniającymi. Pamiętając o tym, że kwadrat współczynnika korelacji wielorakiej to współczynnik determinacji R, wystarczy policzyć regresję każdej zmiennej objaśniającej w relacji do pozostałych zmiennych objaśniających i sprawdzić, czy nie jest ona silniejsza niż korelacja tych zmiennych ze zmienną objaśnianą: max( R x1( x, x3,), Rx( x1, x3,),, Rxk( x1, x,) ) Ry( x1, x,) 4. Metoda eliminacji a posteriori Metoda ta unika pracochłonnych obliczeń współczynników korelacji wzajemnej i wielorakiej, choć nie zawsze prowadzi do wyboru właściwych zmiennych objaśniających. Analizę rozpoczynamy od wyboru pełnej listy zmiennych objaśniających i stopniowo ograniczamy ją o zmienną najmniej statystycznie istotną (z najwyższym granicznym stopniem istotności) 1. Zakończenie postępowania polega na przekroczeniu przez wszystkie zmienne objaśniające ustalonego poziomu istotności. W postępowaniu można pomocniczo stosować zasadę maksymalizacji skorygowanego liczbą stopni swobody współczynnika determinacji (skorygowanego R ) lub jeszcze lepiej minimalizacji jednego z kryteriów informacyj- nych (bayesowskiego kryterium Schwarza BIC lub informacyjnego kryterium Akaike AIC). Warto również obserwować zachowanie pożądanych własności składnika losowego, w tym braku autokorelacji (dla szeregów czasowych) i homoskedastyczności. Niebezpieczeństwo w metodzie a posteriori polega na przyjęciu zbyt niskiego akceptowalnego poziomu istotności, który może prowadzić do odrzucenia wszystkich lub większości zmiennych objaśniających i utraty ekonomicznego znaczenia modelu.. 11 Przypomnijmy, że współliniowe zmienne objaśniające (dokładna współliniowość) uniemożliwiają wyznaczenie wartości estymatora KMNK, a silnie skorelowane zmienne objaśniające (przybliżona współliniowość) nie pozwalają na precyzyjną ocenę wpływu każdej ze skorelowanych zmiennych z osobna. Skutkuje to dużymi błędami ocen parametrów, a nawet utratą istotności przez jedną ze skorelowanych zmiennych objaśniających, przy wysokim stopniu dopasowania modelu do danych empirycznych. Mówimy wówczas o tzw. zjawisku rozdęcia wariancji estymatorów KMNK, które w programie Gretl może być sprawdzane testem współliniowości VIF. 1 Graniczny poziom istotności to najniższy akceptowalny poziom błędu, jaki możemy popełnić, odrzucając w teście istotności hipotezę zerową. 14

15 4. Wybór modelu prognostycznego przykład empiryczny Jeżeli na podstawie teorii ekonomicznej dokonaliśmy już wyboru zmiennych objaśniających zgodnie z celami prognozowania, to metody statystyczne mogą jedynie pomóc w wyborze najlepszych mierników dla tych zmiennych, co powinno pozwolić na rozwiązanie problemów z przybliżoną współliniowością. Występowanie tego zjawiska skutkuje uzyskaniem w trakcie estymacji mało precyzyjnie oszacowanych ocen parametrów strukturalnych modelu (zmienne nieistotne) oraz ograniczeniem możliwości stosowania zasady ceteris paribus w interpretacji tych ocen. Przybliżymy te problemy na przykładzie modelu stóp rentowności bonów skarbowych sformułowanego w przykładzie. Analizę przeprowadzimy w Excelu, ale można ją bez problemu powtórzyć w programie Gretl. Zacznijmy od wyróżnienia zmiennych quasi-stałych. Przykład 3 Przy wykorzystaniu funkcji Excela (ŚREDNIA(),ODCH.SANDARDOWE) obliczymy takie statystyki opisowe, jak średnia, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności dla zestawu zmiennych dobranych według kryteriów merytorycznych w przykładzie. Statystyki te, zawarte w pliku Bony.xls w arkuszu dane, prezentuje poniższa tabela: Bony W3 W1 Oferta Popyt Sprzedaż W3/W1 Pop/Sprz średnia 3,00 4,56 3,4 1103,1 0651, ,59 1,04,03 odchylenie standardowe 9,84 9,88 7, , , ,69 0,09 0,73 współczynnik zmienności 4,8% 40,% 33,3% 39,8% 58,% 4,8% 8,9% 35,8% Jak widać w tabeli, jedynie zmienność aproksymanty nachylenia krzywej dochodowości (zmienna W3/W1) jest znacznie mniejsza od pozostałych współczynników zmienności. Ze statystycznego punktu widzenia nie jest to dobry kandydat na zmienną objaśniającą. Stosując ponadto kryterium porównawcze dla współczynników zmienności, mniejszym rozproszeniem niż zmienna prognozowana (zmienna Bony) charakteryzują się WIBOR1M (W1), nadwyżka popytu nad sprzedażą (Pop/Sprz), a także wielkość oferty sprzedaży bonów zgłoszona do przetargu (Oferta). Różnice nie są jednak znaczące i świadczyć mogą raczej o dużej wrażliwości (zmienności) oprocentowania bonów skarbowych niż o małym zróżnicowaniu tych mierników. Następnym etapem analizy jest opracowanie tablicy korelacji. Uwaga: z racji na wynikające z przyczyn merytorycznych opóźnienie zmiennej Pop/Sprz o jeden okres, obliczamy tablicę korelacji dla zestawu zmiennych z wyłączeniem pierwszego okresu. W narzędziu Excela Analiza danych/korelacja w oknie Zakres wejściowy należy w tym celu pominąć pierwszą kolumnę i nagłówek). aką prezentację danych zawiera arkusz dane (kolumny od C do J) w pliku Bony.xls. Poniższa tabela przedstawia wyniki analizy wzajemnej korelacji: 15

16 Bony W3 W1 Oferta Popyt Sprzedaż W3/W1 (P/S) (t-1) Bony 1 W3 0, W1 0, , Oferta 0,3936 0, , Popyt 0, ,7916 0, , Sprzedaż 0,5364 0, ,5001 0, , W3/W1 0, , , ,4301 0,5719 0, (P/S) (t-1) 0,749 0,7847 0, , , , , Jak można się przekonać, współczynniki korelacji dla zmiennych nie uległy w wyniku tego zabiegu znaczącym zmianom. Dla pełnej próby z wyłączeniem korelacji zmiennych z opóźnioną nadwyżką popytu zapisano je w arkuszu korelacja1. Analizując kierunki zależności korelacyjnych ze zmienną prognozowaną, można się przekonać, że nie wszystkie są zgodne z oczekiwaniami. O ile stopy oprocentowania instrumentów rynku pieniężnego (lokat międzybankowych) były w okresie próby silnie dodatnio skorelowane ze zmienną objaśnianą, to korelacja wielkości oferty zgłoszonej przez agenta emisji nie pokrywa się z założeniami teoretycznymi modelu. Współczynnik korelacji zmiennej Oferta jest ponadto statystycznie istotnie różny od zera, gdyż statystyka testowa wynosi aż 17,5, co dla zmiennej o rozkładzie t-studenta o czterdziestu jeden stopniach swobody jest wartością nietypową. Należy zatem odrzucić hipotezę zerową o nieistotności tego współczynnika korelacji i uznać, że ujemny znak tego współczynnika nie jest wielkością przypadkową. Być może u podstaw takiego stanu rzeczy leżą przyczyny merytoryczne (mniejsze znaczenie wielkości oferty ze względu na możliwość jej ograniczenia w rezultacie postępowania przetargowego), ale w świetle przedstawionej teorii nie potrafimy wyjaśnić wpływu tej zmiennej na rentowność bonów skarbowych. W konsekwencji należy odrzucić możliwość wyjaśnienia zmienności rentowności bonów za pomocą wielkości oferty. Współczynniki korelacji pozostałych regresorów ze zmienną objaśnianą są poprawne, a siła tej korelacji nie budzi zastrzeżeń. Potwierdziło się silne powiązanie cen na rynku pieniężnym, wynikające z zasady arbitrażu. Najsilniej skorelowaną zmienną ze zmienną objaśnianą jest nominalna stopa procentowa lokat trzymiesięcznych (W3) i niewiele mniej lokat jednomiesięcznych. Pojawia się pytanie, czy oprócz tych zmiennych można użyć w sposób skuteczny pozostałych zmiennych objaśniających, nie narażając się na problemy związane ze współliniowością. Prosta reguła wzajemnej korelacji zmiennych objaśniających wyklucza użycie wraz ze zmienną W3 zmiennej W3/W1 jako regresora, gdyż: min( rbony, W 3, rbony, W 3 / W1 ) 0,765 0,794 rw 3, W 3 / W1. Nie wyklucza jednak kombinacji regresorów W1 i W3/W1, gdyż: min( rbony, W1, rbony, W 3 / W1 ) 0,765 0,60 rw 1, W 3 / W1. Poniższa tabela prezentuje wyniki estymacji modelu z dwoma zmiennymi objaśniającymi W1 i W3/W1 (por. arkusz bony_w1_w3dow1): 16

17 PODSUMOWANIE WYJŚCIE Statystyki regresji Wielokrotność R 0, R kwadrat 0,97966 Dopasowany R kwadrat 0, Błąd standardowy 0,66919 Obserwacje 6 Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Przecięcie 3,0413 7, ,506 0,00355 W1 0, , ,709 1,05E-19 W3/W1, , , , Czytelnikowi pozostawiamy do sprawdzenia, że zmienna W3/W1 z powodu przybliżonej współliniowości w kombinacji ze zmienną W3 jest statystycznie mniej istotna (dopiero na poziomie istotności 0,05 możemy odrzucić hipotezę zerową), a ponadto ocena parametru przy tej zmiennej ma ujemny znak wbrew założeniom teoretycznym. Szczegółowe wyniki zawiera arkusz bony_w3_w3dow1. W świetle zasady porównywania tylko współczynnika korelacji wzajemnej użycie pozostałych regresorów nie jest wykluczone, chociaż współczynniki wzajemnej korelacji tych predyktorów są bardzo zbliżone. Jednak analizując współczynniki korelacji wielorakiej dla dowolnej innej kombinacji zmiennych objaśniających (pomijając merytorycznie niepoprawną zmienną Oferta), możemy sprawdzić, że zmienne objaśniające charakteryzują się większą korelacją wewnątrz grupy niż ze zmienną objaśnianą. Należałoby w tym celu oszacować wszystkie kombinacje modeli złożonych z podzbiorów zmiennych objaśniających. Formalnie idea tego testu jest zbliżona do metody Hellwiga, której omówienie znaleźć można w pracy pt. Ekonometria. Metody, przykłady, zadania (00). Na koniec pokażemy jeszcze zastosowanie metody eliminacji a posteriori, która nie zawsze prowadzi do znalezienia najlepszej statystycznej reprezentacji zmiennej objaśnianej, ale jest przykładem postępowania od modelu ogólnego do szczególnego. Serię estymacji rozpoczynamy od pełnego modelu bez zmiennej Oferta, która była niepoprawnie skorelowana ze zmienną objaśnianą (por. arkusz Razem): Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Przecięcie 4, , , ,13147 popyt -9,1E-06 3,38E-05-0,6805 0,79038 sprzedaż -7,7E-06 7,7E-05-0, ,91161 w3/w1-4, ,673-1, ,10839 pop(t-1) /sprz(t-1) -0, , , , w3 1,6141 0, ,9713 0,0047 w1-0, , ,557 0,8545 W następnych etapach eliminujemy kolejno (pojedynczo) zmienne statystycznie nieistotne, korzystając z granicznych poziomów istotności (wartość-p w tabeli wyników regresji). Postępowanie kontynuujemy do uzyskania modelu o statystycznie istotnych parametrach na przyjętym z góry poziomie istotności (np. 0,01). Ponieważ zmienne w narzędziu Analiza danych/regresja muszą być ustawione obok siebie, to wygodnie jest skorzystać w tym celu z kolumn K i L, które w wierszu drugim umożliwiają wybór zmiennej objaśniającej i jej kolejność. W etapie drugim naj- 17

18 mniej statystycznie istotna jest zmienna W1 (wartość-p świadczy o 0-procentowym błędzie przy wnioskowaniu o jej statystycznej istotności): Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Przecięcie 3,96 14, , ,11586 w3/w1-4,518 14,4803-1,6748 0,10403 pop(t-1) /sprz(t-1) -0, ,350-1, ,11168 w3 1, , , , w1-0,5948 0, ,9835 0,00 Po odrzuceniu zmiennej W1 eliminujemy również zmienną związaną z nadwyżką popytu nad podażą (zmienna opóźniona pop/sprz) i otrzymujemy ekonomicznie niepoprawny model: Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Przecięcie 3,61641, , ,14383 w3 1, , ,6996 9,45E-34 w3/w1-5,76147, , , Doświadczenie to pokazuje, że kryteria statystyczne nie zawsze prowadzą do wyboru modelu merytorycznie akceptowalnego. Nie należy zatem przeceniać ich znaczenia w doborze regresorów do modelu, zaniedbując merytoryczną stronę konstrukcji modelu prognostycznego. 18

19 5. Ocena stabilności modelu: estymacja rekurencyjna i testy Chowa Jednym z najważniejszych aspektów przydatności modelu w prognozowaniu jest stabilność relacji zachodzących między zmiennymi. Zastosowanie predykatora ekonometrycznego do prognozowania ex ante wymaga bowiem, aby określone za pomocą równania regresji relacje utrzymały się w przyszłości. Stabilne związki są wynikiem działającego bezpośrednio mechanizmu przyczynowo-skutkowego. Przesłanki do tego, żeby zależności symptomatyczne tworzyły trwale skorelowane zmienne ekonomiczne są dużo mniejsze ze względu na wpływ innych pominiętych zmiennych i liczne niedoskonałości aproksymant. ym bardziej nie można tego oczekiwać od zależności przypadkowych. esty stabilności są zatem również testami na prawdziwość relacji długookresowej i charakteru związku korelacyjnego opisywanego przez model. W modelu ekonometrycznym testowanie stabilności sprowadza się przede wszystkim do oceny stałości parametrów modelu. Można to robić w podpróbach, można również posłużyć się zmienną długością próby (okresu estymacji). Najpierw omówimy ten drugi sposób, zwany w literaturze estymacją rekurencyjną (rekursywną). Estymacja powtarzana wielokrotnie odbywa się zwykłą MNK przy różnym doborze próby. Najpopularniejsze są dwa przypadki rozszerzany okres estymacji (ang. recursive sample), oraz przesuwany (rolowany) okres estymacji (ang. rolling sample). W pierwszym przypadku najpierw obliczamy oceny parametrów na próbie skróconej o kilka (kilkadziesiąt) ostatnich obserwacji, a następnie powiększamy okres estymacji o kolejną obserwację i ponownie obliczamy nowe oceny parametrów. Dla R rozszerzanych stopniowo podprób można to przedstawić symbolicznie w następujący sposób: dla n = 0 próba t = 1,,, R ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ t 00 10x1t 0xt k 0 xkt, dla n = 1 próba t = 1,,, R + 1 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ t 01 11x1t 1xt k 1 xkt, analogicznie dla kolejnych n. i dla n = R próba t = 1,,, ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ t 0R 1Rx1t Rx t krxkt. Drugi subskrypt przy ocenach parametrów β in oznacza numer podpróby. Metoda jest wykorzystywana do oceny długości próby wymaganej do tego, aby uzyskać sta- 19

20 bilne oceny parametrów. W tym celu wyniki estymacji parametrów odkładamy na osi rzędnych, a kolejne numery podprób na osi odciętych. Jeżeli wykres ocen parametrów nie wykazuje stałej tendencji zmiany swoich wartości, to znaczy, że uzyskana długość podpróby jest wystarczająca do określenia stabilnych ocen parametrów. W drugim przypadku estymacji rekurencyjnej skrócony okres estymacji przesuwamy do przodu, dodając najnowszą obserwację i pomijając najstarszą. W rezultacie długość okresu estymacji pozostaje bez zmian, a oceny parametrów wyznaczane są dla na nowo określonej próby. Postępowanie kontynuujemy aż do wykorzystania najnowszych obserwacji: dla n = 0 próba t = 1,,, R ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ t 00 10x1t 0xt k 0 xkt, dla n = 1 próba t =, 3,, R + 1 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ t 01 11x1t 1xt k 1 xkt, analogicznie dla kolejnych n.. i dla n = R próba t = R + 1, R,, ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ t 0R 1Rx1t Rx t krxkt Oceny parametrów uzyskane w tej metodzie są szczególnie przydatne do wychwycenia zmian strukturalnych w modelu, czyli trwałych zmian wartości parametrów. Na przykładzie modelu dla rentowności bonów skarbowych zaprezentujemy teraz wykorzystanie estymacji rekurencyjnej. Przykład 4 W celu ustalenia długości próby wymaganej do uzyskania stabilnych ocen parametrów modelu prognostycznego rentowności bonów skarbowych dokonano estymacji parametrów modelu z jedną zmienną objaśniającą (stopą oprocentowania lokat międzybankowych trzymiesięcznych zmienna W3) pierwszą metodą (rozszerzanej próby) rekurencyjnej, na próbie od pierwszego kwartału 199 roku do trzeciego kwartału 00 roku:. Bony t 3 0 1W t t, dla t = 1,,, 43, gdzie ε t ~ IID(0,σ ). W pliku bony.xls wyniki tej estymacji dla ocen parametrów ˆ 0r i ˆ 1r (r = 1,,, 35) zawarte są w arkuszu dane, odpowiednio w kolumnach P i Q. Oceny parametrów uzyskano za pomocą funkcji Excela odcięta() i nachylenie(), które wyznaczają oceny MNK dla zadanych wartości zmiennej objaśnianej (w oknie dialogowym funkcji okienko znane_y) i zadanych wartości zmiennej objaśniającej (znane_x). Funkcje te pozwalają na użycie tylko jednej zmiennej objaśniającej. Estymacja rekurencyjna w Excelu dla większej liczby zmiennych byłaby kłopotliwa. Można do tego celu wykorzystać program Gretl. Warto zauważyć, że estymację rozpoczęto od próby składającej się z 9 początkowych obserwacji i próbę stopniowo rozszerzano o kolejną obserwację. Łącznie uzyskano 35 podprób, dla których wyniki przedstawiono na poniższym wykresie. 0

21 Jak widać na wykresie, oceny parametrów stosunkowo szybko zbiegają się do stałych wartości, w przypadku wyrazu wolnego jest to około 1,4, a w przypadku współczynnika kierunkowego około 0,99 (wykres ma dwie osie pionowe o różnych skalach). Szybko stabilizują się oceny współczynnika kierunkowego, które stopniowo i jednostajnie zdążają do stabilnej wartości granicznej. Stosunkowo późno stabilizują się oceny wyrazu wolnego w około dwudziestej podpróbie. Wliczając do tego dziewięć okresów użytych do początkowej estymacji, można określić długość podpróby wymaganą do uzyskania stabilnych ocen parametrów na około trzydzieści obserwacji. Rysunek Wyniki estymacji rekurencyjnej parametrów modelu Bony=f(W3) Rozwinięciem koncepcji estymacji rekurencyjnej są prognozy rekurencyjne. Polegają one na określeniu prognoz na jeden lub więcej okresów w przód za pomocą ocen uzyskanych w historycznej (w stosunku do okresu prognozowania) podpróbie. I tak na przykład, dla prognoz rekurencyjnych na rozszerzanej podpróbie na jeden okres w przód są to prognozy określone w następujący sposób: dla n = 0 próba t = 1,,, R ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ R x1, R1 0x, R1 k0xk, R 1, dla n = 1 próba t = 1,,, R + 1 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ R 01 11x1, R 1x, R k1xk, R, analogicznie dla kolejnych n.. i dla n = R próba t = 1,,, ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ 1 0R 1Rx1, 1 Rx, 1 krxk, 1. Prognozy rekurencyjne dobrze rozróżniają siłę prognostyczną różnych predyktorów i są dobrym testem do sprawdzenia stabilności prognoz. Pokażemy zastosowanie tej metody dla porównania prognoz na podstawie różnych zmiennych w modelu rentowności bonów skarbowych z przykładu 4. 1

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami Załącznik nr 1 do raportu końcowego z wykonania pracy badawczej pt. Handel zagraniczny w województwach (NTS2) realizowanej przez Centrum Badań i Edukacji Statystycznej z siedzibą w Jachrance na podstawie

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe 1. Cele i przydatność ujęcia modelowego w ekonomii 2.

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

O LICZBIE ABONENTÓW TELEFONII KOMÓRKOWEJ W POLSCE ZDANIEM TRZECH STATYSTYKÓW

O LICZBIE ABONENTÓW TELEFONII KOMÓRKOWEJ W POLSCE ZDANIEM TRZECH STATYSTYKÓW Rafał Czyżycki, Marcin Hundert, Rafał Klóska Wydział Zarządzania i Ekonomiki Usług Uniwersytet Szczeciński O LICZBIE ABONENTÓW TELEFONII KOMÓRKOWEJ W POLSCE ZDANIEM TRZECH STATYSTYKÓW Wprowadzenie Poruszana

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA EKONOMETRIA PRZESTRZENNA Wstęp podstawy ekonometrii Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012 1 EKONOMETRIA wybrane definicje (Osińska) Ekonometria dziedzina ekonomii wykorzystująca modele i sposoby wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Strategie VIP. Opis produktu. Tworzymy strategie oparte o systemy transakcyjne wyłącznie dla Ciebie. Strategia stworzona wyłącznie dla Ciebie

Strategie VIP. Opis produktu. Tworzymy strategie oparte o systemy transakcyjne wyłącznie dla Ciebie. Strategia stworzona wyłącznie dla Ciebie Tworzymy strategie oparte o systemy transakcyjne wyłącznie dla Ciebie Strategie VIP Strategia stworzona wyłącznie dla Ciebie Codziennie sygnał inwestycyjny na adres e-mail Konsultacje ze specjalistą Opis

Bardziej szczegółowo

Metody niedyskontowe. Metody dyskontowe

Metody niedyskontowe. Metody dyskontowe Metody oceny projektów inwestycyjnych TEORIA DECYZJE DŁUGOOKRESOWE Budżetowanie kapitałów to proces, który ma za zadanie określenie potrzeb inwestycyjnych przedsiębiorstwa. Jest to proces identyfikacji

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela 1. Założenia pracy 1 Założeniem niniejszej pracy jest stworzenie portfela inwestycyjnego przy pomocy modelu W.Sharpe a spełniającego następujące warunki: - wybór akcji 8 spółek + 2 papiery dłużne, - inwestycja

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych

Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych dr Leszek Wincenciak WNUW 2/30 Plan wykładu: Kurs walutowy i stopy procentowe Kursy walutowe i dochody z aktywów Rynek pieniężny i rynek walutowy fektywność

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 1

Ekonometria - ćwiczenia 1 Ekonometria - ćwiczenia 1 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 5 października 2012 1 Sprawy organizacyjne 2 Czym jest

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165 behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi.

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi. ANALIZA KORELACJI Większość zjawisk w otaczającym nas świecie występuje nie samotnie a w różnorodnych związkach. Odnosi się to również do zjawisk biologiczno-medycznych. O powiązaniach między nimi mówią

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

ZAKRES TEMATYCZNY EGZAMINU LICENCJACKIEGO

ZAKRES TEMATYCZNY EGZAMINU LICENCJACKIEGO Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Kierunek Analityka Gospodarcza Studia stacjonarne I stopnia ZAKRES TEMATYCZNY EGZAMINU LICENCJACKIEGO Zagadnienia ogólnoekonomiczne 1. Aktualna sytuacja na europejskim

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 7 WPŁYW SZOKÓW GOSPODARCZYCH NA RYNEK PRACY W STREFIE EURO

ROZDZIAŁ 7 WPŁYW SZOKÓW GOSPODARCZYCH NA RYNEK PRACY W STREFIE EURO Samer Masri ROZDZIAŁ 7 WPŁYW SZOKÓW GOSPODARCZYCH NA RYNEK PRACY W STREFIE EURO Najbardziej rewolucyjnym aspektem ogólnej teorii Keynesa 1 było jego jasne i niedwuznaczne przesłanie, że w odniesieniu do

Bardziej szczegółowo

Na podstawie danych dotyczacych rocznych wydatków na pizze oszacowano parametry poniższego modelu:

Na podstawie danych dotyczacych rocznych wydatków na pizze oszacowano parametry poniższego modelu: Zadanie 1. Oszacowano model ekonometryczny liczby narodzin dzieci (w tys.) w Polsce w latach 2000 2010 w zależnosci od średniego rocznego wynagrodzenia (w ujęciu realnym, PLN), stopy bezrobocia (w punktach

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY Joanna Chrabołowska Joanicjusz Nazarko PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY NA PRZYKŁADZIE PRZEDSIĘBIORSTWA HANDLOWEGO TYPU CASH & CARRY Wprowadzenie Wśród wielu prognoz szczególną rolę w zarządzaniu

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Materiał dla studentów

Materiał dla studentów Materiał dla studentów Metoda zmiennych instrumentalnych Nazwa przedmiotu: metody ekonometryczne, ekonometria stosowana Kierunek studiów: Metody Ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Studia I stopnia/studia

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA ZJAWISK RYNKOWYCH NARZĘDZIEM WSPOMAGAJĄCYM PODEJMOWANIE DECYZJI

APROKSYMACJA ZJAWISK RYNKOWYCH NARZĘDZIEM WSPOMAGAJĄCYM PODEJMOWANIE DECYZJI APROKSYMACJA ZJAWISK RYNKOWYCH NARZĘDZIEM WSPOMAGAJĄCYM PODEJMOWANIE DECYZJI Łukasz MACH Streszczenie: W artykule przedstawiono wybrane aspekty prognozowania czynników istotnie określających sytuację na

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

oferty kupujących oferty wytwórców

oferty kupujących oferty wytwórców Adam Bober Rybnik, styczeń Autor jest pracownikiem Wydziału Rozwoju Elektrowni Rybnik S.A. Artykuł stanowi wyłącznie własne poglądy autora. Jak praktycznie zwiększyć obrót na giełdzie? Giełda jako jedna

Bardziej szczegółowo

Kredyt nie droższy niż (w okresie od 1 do 5 lat)

Kredyt nie droższy niż (w okresie od 1 do 5 lat) Kredyt nie droższy niż (w okresie od 1 do 5 lat) "Kredyt nie droższy niż to nowa usługa Banku, wprowadzająca wartość maksymalną stawki referencyjnej WIBOR 3M służącej do ustalania wysokości zmiennej stopy

Bardziej szczegółowo

Wycena nieruchomości za pomocą wyboru wielokryterialnego w warunkach niepewności rozmytej oraz klasycznie: metodą pp i kcś

Wycena nieruchomości za pomocą wyboru wielokryterialnego w warunkach niepewności rozmytej oraz klasycznie: metodą pp i kcś Wycena nieruchomości za pomocą wyboru wielokryterialnego w warunkach niepewności rozmytej oraz klasycznie: metodą pp i kcś Materiały reklamowe ZAWAM-Marek Zawadzki Wybór wielokryterialny jako jadna z metod

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca ELEMENTY EKONOMII PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Klasa: I TE Liczba godzin w tygodniu: 3 godziny Numer programu: 341[02]/L-S/MEN/Improve/1999 Prowadzący: T.Kożak- Siara I Ekonomia jako nauka o gospodarowaniu

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R.

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie

Bardziej szczegółowo

METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU

METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU 1.1.1 Metody ilościowe w zarządzaniu I. OGÓLNE INFORMACJE PODSTAWOWE O PRZEDMIOCIE METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU Nazwa jednostki organizacyjnej prowadzącej kierunek: Kod przedmiotu: RiAF_PS5 Wydział Zamiejscowy

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się cen m 2 mieszkania we Wrocławiu w krótkim okresie

Kształtowanie się cen m 2 mieszkania we Wrocławiu w krótkim okresie Kształtowanie się cen m 2 mieszkania we Wrocławiu w krótkim okresie Projekt prognostyczny ElŜbieta Bulak Piotr Olszewski Michał Tomanek Tomasz Witka IV ZI gr. 13. Wrocław 2007 I. Sformułowanie zadania

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Czytelnika... 7

SPIS TREŚCI. Do Czytelnika... 7 SPIS TREŚCI Do Czytelnika.................................................. 7 Rozdział I. Wprowadzenie do analizy statystycznej.............. 11 1.1. Informacje ogólne..........................................

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących

Bardziej szczegółowo

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Zadanie Zbadano satysfakcję z życia w skali 1 do 10 w dwóch grupach rodziców: a) Rodzice dzieci zdrowych oraz b) Rodzice dzieci z niepełnosprawnością

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92.

88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92. 34 Podstawowe pojęcia i zagadnienia mikroekonomii 88. zysta stopa procentowa zysta stopa procentowa jest teoretyczną ceną pieniądza, która ukształtowałaby się na rynku pod wpływem oddziaływania popytu

Bardziej szczegółowo

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K. Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą

Bardziej szczegółowo

Joanna Muszyńska, Ewa Zdunek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Ekonometryczna analiza upadłości przedsiębiorstw w Polsce w latach 1990-2005

Joanna Muszyńska, Ewa Zdunek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Ekonometryczna analiza upadłości przedsiębiorstw w Polsce w latach 1990-2005 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

KURS DORADCY FINANSOWEGO

KURS DORADCY FINANSOWEGO KURS DORADCY FINANSOWEGO Przykładowy program szkolenia I. Wprowadzenie do planowania finansowego 1. Rola doradcy finansowego Definicja i cechy doradcy finansowego Oczekiwania klienta Obszary umiejętności

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO STATYSTYCZNA ANALIZA ZMIAN LICZBY HOTELI W POLSCE W LATACH 1995-2004

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO STATYSTYCZNA ANALIZA ZMIAN LICZBY HOTELI W POLSCE W LATACH 1995-2004 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 429 EKONOMICZNE PROBLEMY TURYSTYKI NR 7 2006 RAFAŁ CZYŻYCKI, MARCIN HUNDERT, RAFAŁ KLÓSKA STATYSTYCZNA ANALIZA ZMIAN LICZBY HOTELI W POLSCE W LATACH 1995-2004

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ INFORMACYJNY

MATERIAŁ INFORMACYJNY MATERIAŁ INFORMACYJNY Strukturyzowane Certyfikaty Depozytowe Lokata inwestycyjna powiązana z rynkiem akcji ze 100% ochroną zainwestowanego kapitału w Dniu Wykupu Emitent Bank BPH SA Numer Serii Certyfikatów

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań Raport 1/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006:

Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Na mojej stronie internetowej podane są pliki z danymi: http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills.zip http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills_obligacje.xls dane z pierwszego

Bardziej szczegółowo

W okresie pierwszych dwóch i pół roku istnienia funduszu ponad 50% podmiotów było lepszych od średniej.

W okresie pierwszych dwóch i pół roku istnienia funduszu ponad 50% podmiotów było lepszych od średniej. W okresie pierwszych dwóch i pół roku istnienia funduszu ponad 50% podmiotów było lepszych od średniej. Istnieje teoria, że fundusze inwestycyjne o stosunkowo krótkiej historii notowań mają tendencję do

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie Kapitałem

Zarządzanie Kapitałem Zarządzanie kapitałem kluczem do sukcesu W trakcie prac nad tworzeniem profesjonalnego systemu transakcyjnego niezbędne jest, aby uwzględnić w nim odpowiedni model zarządzania kapitałem (ang. money management).

Bardziej szczegółowo