nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B.
|
|
- Mateusz Grabowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Definicja Niech B Fbędziezdarzeniemlosowymdlaktórego P(B) >0. Dla dowolnego zdarzenia losowego A F definiujemy P(A B) = P(A B). P(B) Liczbę P(A B) interpretujemy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, a funkcję P( B) : F [0,1] nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B.
2 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Monety) Rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów, jeśli: a) pierwsza moneta okazała się orłem, b) co najmniej jedna moneta była orłem.
3 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Urny) Urnazawiera8kulczerwonychoraz4białe.Losujemyzniejdwie kule bez zwracania. Jaka jest szansa wylosowania dwóch kul czerwonych jeśli: a) Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. b)załóżmy,żewszystkiekuleczerwonemająwagę c,abiałe b. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli danego koloru zależy od stosunku wag kul danego koloru do wagi wszystkich kul aktualnie znajdujących się w urnie.
4 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(Zasada mnożenia) Jeślizdarzenia A 1,A 2,...,A n spełniająwarunek to P(A 1 A 2... A n 1 ) >0, P(A 1... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )... P(A n A 1... A n 1 ). Twierdzenie to uzasadnia metodę drzewek stosowaną przy rozwiązywaniu wieli zadań liczby przypisywane gałęziom są prawdopodobieństwami warunkowymi, a gdy poruszamy się wzdłuż gałęzi, to mnożymy te liczby.
5 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(Zasada mnożenia) Jeślizdarzenia A 1,A 2,...,A n spełniająwarunek to P(A 1 A 2... A n 1 ) >0, P(A 1... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )... P(A n A 1... A n 1 ). Twierdzenie to uzasadnia metodę drzewek stosowaną przy rozwiązywaniu wieli zadań liczby przypisywane gałęziom są prawdopodobieństwami warunkowymi, a gdy poruszamy się wzdłuż gałęzi, to mnożymy te liczby.
6 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Bombki) W firmie produkującej ozdoby choinkowe, okazało się, że 1/3 sprzedanych bombek miała kształt kulisty, a pozostałe miały inny kształt. Ponadto bombki kuliste były w dwóch kolorach: czerwonym i złotym, a bombki niekuliste tylko w kolorze czerwonym. Wśród klientów wybierających bombki kuliste aż 4/5 wybierało bombki złote. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu spośród sprzedanych bombek, bombki czerwonej.
7 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(o prawdopodobieństwie całkowitym(zupełnym)) Niech A 1,A 2,...,A n będązdarzeniamilosowymispełniającymi następujące warunki: 1 A i A j =,dla i j, n 2 A i = Ω, i=1 3 P(A i ) >0dlakażdego i =1,2,...,n. Wówczas dla dowolnego zdarzenia A F zachodzi wzór: P(B) = n P(B A i )P(A i ). i=1
8 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Uwaga Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku rozbicia przeliczalnego.
9 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Uwaga Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku rozbicia przeliczalnego.
10 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Loteria) W loterii fantowej zorganizowanej na balu szansa wygranej jest równa p, przegranej q, a z prawdopodobieństwem r wyciągamy los gradalej.los gradalej wrzucamyzpowrotemdournyi dokonujemy ponownego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
11 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(prawdopodobieństwo całkowite w przestrzeni warunkowej) Niech H 1,H 2,...,H n będązdarzeniamilosowymispełniającymi następujące warunki: 1 H i H j =,dla i j, n 2 H i = Ω i=1 Gdy P(B) >0,to P(A B) = n P(A B H i )P(H i B). i=1
12 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(wzór Bayesa(1763)) Niech B,A 1,A 2,...,A n będązdarzeniamilosowymispełniającymi następujące warunki: 1 A i A j =,dla i j, n 2 A i = Ω, i=1 3 P(A i ) >0,dlakażdego i =1,2,...,n, 4 P(B) >0. Wówczasdladowolnego i =1,2,...,n,zachodzirówność P(A i B) = P(B A i) P(A i ). n P(B A i ) P(A i ) i=1
13 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Uwaga Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku rozbicia przeliczalnego. Wzór ten nazywany jest również wzorem na prawdopodobieństwo a posteriori(podoświadczeniu).prawdopodobieństwa P(A i ) nazywane są prawdopodobieństwami a priori(przed doświadczeniem).zdarzenia A 1,A 2,...,A n nazywanesą przyczynami, a zdarzenie A skutkiem. Z twierdzenia tego wynika, że można liczyć prawdopodobieństwa skutku, jeśli tylko znamy prawdopodobieństwa przyczyn oraz prawdopodobieństwa skutku przyczyn danej przyczynie.
14 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Uwaga Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku rozbicia przeliczalnego. Wzór ten nazywany jest również wzorem na prawdopodobieństwo a posteriori(podoświadczeniu).prawdopodobieństwa P(A i ) nazywane są prawdopodobieństwami a priori(przed doświadczeniem).zdarzenia A 1,A 2,...,A n nazywanesą przyczynami, a zdarzenie A skutkiem. Z twierdzenia tego wynika, że można liczyć prawdopodobieństwa skutku, jeśli tylko znamy prawdopodobieństwa przyczyn oraz prawdopodobieństwa skutku przyczyn danej przyczynie.
15 Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(daltonizm) Spośród mężczyzn 5%, a spośród kobiet 0,25% jest daltonistami. Wybrana losowo osoba okazała się daltonistą(zakładamy, że szanse trafienia na mężczyznę i kobietę są takie same). Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna?
16 Definicja Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeśli P(A B) = P(A)P(B). Jeśli powyższy warunek nie zachodzi zdarzenia nazywamy zależnymi. Jest to pojęcie kluczowe w rachunku prawdopodobieństwa, które odróżnia go od teorii miary. Naturalnym jest stwierdzenie, że zdarzenia są niezależne jeśli wiedza o zajściu jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego. Oznacza to, że P(A B) = P(A) o ile P(B) > 0. Powyższa definicja została zmodyfikowana aby dopuścić P(B) =0.
17 Definicja Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeśli P(A B) = P(A)P(B). Jeśli powyższy warunek nie zachodzi zdarzenia nazywamy zależnymi. Jest to pojęcie kluczowe w rachunku prawdopodobieństwa, które odróżnia go od teorii miary. Naturalnym jest stwierdzenie, że zdarzenia są niezależne jeśli wiedza o zajściu jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego. Oznacza to, że P(A B) = P(A) o ile P(B) > 0. Powyższa definicja została zmodyfikowana aby dopuścić P(B) =0.
18 Uwaga Zdarzeniarozłączne AiBsąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy P(A) =0lub P(B) =0. Przykład(elektron) Elektronemitowanyjestwlosowejchwili τprzedziału [0,T].Dla ustalonej chwili t niech A będzie zdarzeniem, że emisja nastąpi po chwili t,abzdarzeniem,żeemisjanastąpiprzedchwila T t. Czy zdarzenia A, B są niezależne? Twierdzenie Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależne są również pary zdarzeń: A i B, AiB oraz A i B.
19 Uwaga Zdarzeniarozłączne AiBsąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy P(A) =0lub P(B) =0. Przykład(elektron) Elektronemitowanyjestwlosowejchwili τprzedziału [0,T].Dla ustalonej chwili t niech A będzie zdarzeniem, że emisja nastąpi po chwili t,abzdarzeniem,żeemisjanastąpiprzedchwila T t. Czy zdarzenia A, B są niezależne? Twierdzenie Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależne są również pary zdarzeń: A i B, AiB oraz A i B.
20 Uwaga Zdarzeniarozłączne AiBsąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy P(A) =0lub P(B) =0. Przykład(elektron) Elektronemitowanyjestwlosowejchwili τprzedziału [0,T].Dla ustalonej chwili t niech A będzie zdarzeniem, że emisja nastąpi po chwili t,abzdarzeniem,żeemisjanastąpiprzedchwila T t. Czy zdarzenia A, B są niezależne? Twierdzenie Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależne są również pary zdarzeń: A i B, AiB oraz A i B.
21 Definicja Zdarzenia A 1,A 2,A n nazywamywzajemnieniezależnymi (niezależnymi), gdy P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )...P(A ik ), dla1 i 1 < i 2 <... < i k n, k =2,3,...,n. Zdarzenia A 1,A 2,A n sązatemniezależne,jeżeli prawdopodobieństwo koniunkcji każdej liczby tych zdarzeń (różnych) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Żebysprawdzićniezależnośćnależysprawdzić2 n n 1równości.
22 Definicja Zdarzenia A 1,A 2,A n nazywamywzajemnieniezależnymi (niezależnymi), gdy P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )...P(A ik ), dla1 i 1 < i 2 <... < i k n, k =2,3,...,n. Zdarzenia A 1,A 2,A n sązatemniezależne,jeżeli prawdopodobieństwo koniunkcji każdej liczby tych zdarzeń (różnych) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Żebysprawdzićniezależnośćnależysprawdzić2 n n 1równości.
23 Uwaga Dla n 3 z niezależności parami, nie wynika ich niezależność. Przykład(cztery kule) W urnie są cztery kule niebieska, zielona, czerwona oraz niebiesko-zielono-czerwona. Zbadać niezależność zdarzeń polegających na wyciągnięciu kul danego koloru.
24 Uwaga Dla n 3 z niezależności parami, nie wynika ich niezależność. Przykład(cztery kule) W urnie są cztery kule niebieska, zielona, czerwona oraz niebiesko-zielono-czerwona. Zbadać niezależność zdarzeń polegających na wyciągnięciu kul danego koloru.
25 Rozważa się również nieskończone ciągi zdarzeń niezależnych. Definicja Zdarzenia A 1,A 2,...nazywamyniezależnymi,gdydlakażdego n zdarzenia A 1,A 2,...,A n sąniezależne.
26 Przykład(doświadczenie dwuetapowe) Rozpatrzmy doświadczenie dwuetapowe polegające na tym, że najpierw rzucamy monetą, a następnie kostką sześcienną. Zbudować model probabilistyczny tego doświadczenia. W powyższym przykładzie są w zasadzie dwa doświadczenia losowe, ale traktowane łącznie. Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych dla całego dwuetapowego doświadczenia. Można jednak skonstruować modele dla każdego etapu z osobna. W tym przykładzie określenie prawdopodobieństw od razu na przestrzeni Ω nie nastręcza trudności, jednak w ogólności łatwiej jest rozpatrywać doświadczenia wieloetapowo.
27 Przykład(doświadczenie dwuetapowe) Rozpatrzmy doświadczenie dwuetapowe polegające na tym, że najpierw rzucamy monetą, a następnie kostką sześcienną. Zbudować model probabilistyczny tego doświadczenia. W powyższym przykładzie są w zasadzie dwa doświadczenia losowe, ale traktowane łącznie. Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych dla całego dwuetapowego doświadczenia. Można jednak skonstruować modele dla każdego etapu z osobna. W tym przykładzie określenie prawdopodobieństw od razu na przestrzeni Ω nie nastręcza trudności, jednak w ogólności łatwiej jest rozpatrywać doświadczenia wieloetapowo.
28 Przykład(doświadczenie dwuetapowe) Rozpatrzmy doświadczenie dwuetapowe polegające na tym, że najpierw rzucamy monetą, a następnie kostką sześcienną. Zbudować model probabilistyczny tego doświadczenia. W powyższym przykładzie są w zasadzie dwa doświadczenia losowe, ale traktowane łącznie. Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych dla całego dwuetapowego doświadczenia. Można jednak skonstruować modele dla każdego etapu z osobna. W tym przykładzie określenie prawdopodobieństw od razu na przestrzeni Ω nie nastręcza trudności, jednak w ogólności łatwiej jest rozpatrywać doświadczenia wieloetapowo.
29 Dla dwóch lub więcej eksperymentów losowych, które nie mają na siebie wpływu(są niezależne w potocznym sensie), a opisane są różnymi przestrzeniami probabilistycznymi, można zawsze stworzyć wspólną przestrzeń, w której zdarzenia związane z różnymi eksperymentami będą niezależne. Tę wspólną przestrzeń probabilistyczną nazywamy przestrzenią produktową lub iloczynem kartezjańskim przestrzeni.
30 Definicja Niech (Ω i,f i,p i ), i =1,2,...,nbędąprzestrzeniami probabilistycznymi odpowiadającymi doświadczeniom losowym. Ich iloczyn kartezjański definiujemy następująco: Ω n = Ω 1... Ω n = {(ω 1,...,ω n ) : ω i Ω i }, A n = {A 1... A n : A i F i } = {(ω i,...,ω n ) : ω i A i F}. Zbiór A n nazywamycylindremlubzbioremcylindrycznym. Niestety rodzina składająca się ze wszystkich możliwych cylindrów nie jest na ogół nawet algebrą. Dlatego musimy ją uzupełnić do algebry wszystkich skończonych sum rozłącznych cylindrów, a następniedonajmniejszej σ-algebry F (n)
31 Twierdzenie Dladowolnychprzestrzenizdarzeńelementarnych Ω 1,Ω 2,...,Ω n istniejedokładniejedenrozkładprawdopodobieństwa P (n) na F (n), dla którego zachodzi równość P (n) (A (n) ) = P 1 (A 1 ) P 2 (A 2 )... P n (A n ), dladowolnych A i F i, i =1,2,...,n.
32 Przykład(niezależność, a przestrzenie produktowe) Rozpatrzmy przypadek dwóch przestrzeni probabilistycznych (Ω 1,F 1,P 1 )oraz (Ω 2,F 2,P 2 ).Niech A 1 F 1, A 2 F 2.Czy zdarzenia A = A 1 Ω 2 oraz B = Ω 1 A 2 sąniezależneiloczynie kartezjańskim (Ω, F, P) tych przestrzeni.
33 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Szczególnie ważnym przykładem przestrzeni produktowej jest przestrzeń powstała w wyniku wykonania ciągu niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia losowego o dwóch możliwych wynikach., które nazywamy umownie sukcesem(1) i porażką(0). Taki model probabilistyczny nazywamy schematem Bernoulliego, a poszczególne doświadczenia próbami Bernoulliego.
34 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przestrzeń zdarzeń elementarnych odpowiadająca jednemu doświadczeniumapostać Ω = {0,1}.Niech F =2 Ω oraz P({0}) =1 p = q, P({1}) = p, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu. Przestrzeń probabilistyczna odpowiadająca n niezależnym powtórzeniom tego doświadczeniatoprzestrzeń (Ω,F,P) = (Ω (n),f (n),p (n) ). Uwaga Często wygodne jest następujące przedstawienie P({i}) = p i (1 p) 1 i, i =0,1.
35 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przestrzeń zdarzeń elementarnych odpowiadająca jednemu doświadczeniumapostać Ω = {0,1}.Niech F =2 Ω oraz P({0}) =1 p = q, P({1}) = p, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu. Przestrzeń probabilistyczna odpowiadająca n niezależnym powtórzeniom tego doświadczeniatoprzestrzeń (Ω,F,P) = (Ω (n),f (n),p (n) ). Uwaga Często wygodne jest następujące przedstawienie P({i}) = p i (1 p) 1 i, i =0,1.
36 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie p wynosi ( ) n P n,k = p k (1 p) n k. k Przykład(urny) Wurniejest Nkul,wśródktórych bjestbiałychoraz N b czarnych. Losujemy n razy po jednej kuli, zwracając ją za każdym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania k kul białych?
37 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie p wynosi ( ) n P n,k = p k (1 p) n k. k Przykład(urny) Wurniejest Nkul,wśródktórych bjestbiałychoraz N b czarnych. Losujemy n razy po jednej kuli, zwracając ją za każdym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania k kul białych?
38 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego z parametrami n i p jest dowolną liczbą całkowitą z przedziału [p(n+1) 1,p(n+1)]. Twierdzenie Niech0 k nbędzieustalonąliczbąsukcesówwschemacie Bernoulliegozparametrem n.prawdopodobieństwo P n,k jest największe dla p = k n.
39 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego z parametrami n i p jest dowolną liczbą całkowitą z przedziału [p(n+1) 1,p(n+1)]. Twierdzenie Niech0 k nbędzieustalonąliczbąsukcesówwschemacie Bernoulliegozparametrem n.prawdopodobieństwo P n,k jest największe dla p = k n.
40 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Jeśli liczba doświadczeń n jest duża w schemacie Bernoulliego (n >100),aprawdopodobieństwosukcesujestmałe(p <0,1) można w bardzo dobry sposób przybliżać prawdopodobieństwa. Twierdzenie Niechliczby p n >0tworzątakiciąg,że lim n np n = λ >0.Wtedy lim n ( n )p kn(1 p n ) n k = e λλk k k!.
41 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala jest nieco zmodyfikowanym zagadnieniem Bernoulliego. W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń jest z góry ustalona i wyznaczamy prawdopodobieństwo, że wśród tej liczby będzie dokładnie k sukcesów. W zagadnieniu Pascala problem polega na obliczeniu prawdopodobieństwa, że liczba prób Bernoulliego będzie równa n jeśli założymy, że próby przeprowadzamy tak długo, aż otrzymamyzgóryzadanaliczbęsukcesów k 1.
42 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Jeżeli przeprowadzamy doświadczenia według schematu Bernoulliego o stałym prawdopodobieństwie sukcesu w poszczególnym doświadczeniu równym p aż do uzyskania z góry ustalonej liczby k 1 sukcesów to prawdopodobieństwo, że liczba doświadczeń będzie równa n k, wyraża się wzorem ( ) n 1 P k,n = p k (1 p) n k. k 1
43 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przeprowadzamy n takich doświadczeń, że w każdym z nich możemyotrzymać króżnychwyników A 1,A 2,...,A k,przyczymw każdymdoświadczeniuprawdopodobieństwowyniku A i jeststałei równe p i, i =1,2,...,k,bezwzględunawynikpoprzedniego doświadczenia. Twierdzenie Prawdopodobieństwo, że na n doświadczeń przeprowadzonych wedługopisanegoschematuuzyskasięodpowiednio n i wyników typu A i wdowolnejkolejności,wyrażasięwzorem P n,n1,n 2,...,n k = n! n 1!n 2!...n k! pn 1 1 pn pn k k, gdzie p 1 +p p k =1oraz n 1 +n n k = n.
44 Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przykład(parzystość) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p?
45 Definicja Niech A 1,A 2,...będzieciągiemzdarzeń.Wtedy lim supa n = n lim inf n A n = n=1k=n n=1k=n nazywamy odpowiednio granicą górną i dolną tego ciągu zdarzeń. A k A k
46 Oczywiście reprezentują one zdarzenia. Pierwsze zdarzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi nieskończenie wiele zdarzeńwciągu (A n ).Natomiastdrugiezachodziwtedyitylko wtedy,gdyzachodząprawiewszystkiezdarzenia A n (poza skończoną liczbą). Uwaga (lim supa n ) =liminf n n A n (lim inf A n) =limsupa n n n
47 Twierdzenie(Lemat Borela-Cantelliego) a) Jeśli P(A n ) <,to P(limsupA n ) =0 n=1 n b)jeślizdarzenia A 1,A 2,...sąniezależnei P(A n ) =,to P(lim supa n ) =1 n n=1 Punkt a) można sformułować w następujący sposób: P(lim inf n A n) =1, co oznacza, że prawdopodobieństwo zajścia skończonej liczby zdarzeń A n wynosi1.powyższylematjestczęstowykorzystywany przy badaniu własności zachodzących z prawdopodobieństwem 1. Dostarcza on informacji o prawdopodobieństwie zdarzeń zaszło nieskończeniewielezdarzeń A n.
48 Przykład(LBC1) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w nieskończonym ciągu rzutów symetryczną monetą orzeł pojawi się skończenie wiele razy? Przykład(LBC2) Wykazać, że w nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (0, 1) w pojedynczej próbie, ciąg PSSSP powtórzy się nieskończenie wiele razy.
49 Przykład(LBC1) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w nieskończonym ciągu rzutów symetryczną monetą orzeł pojawi się skończenie wiele razy? Przykład(LBC2) Wykazać, że w nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (0, 1) w pojedynczej próbie, ciąg PSSSP powtórzy się nieskończenie wiele razy.
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoP (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowo04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,
04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoDeska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoDOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE
. 4. DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.
IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoObliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowo+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoALGEBRA ZDARZEŃ. PRZYKŁAD Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } A = {ω 1, ω 2} DEFINICJA Mówimy, Ŝe zdarzenie elementarne w sprzyja zdarzeniu A (A Ω), jeŝeli ω A
ALGEBRA ZDARZEŃ Podobnie jak inne działy matematyki np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi z pewnych pojęć pierwotnych. Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne,
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Bardziej szczegółowo