Fraktalne w lasności muzyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fraktalne w lasności muzyki"

Transkrypt

1 Fraktalne w lasności muzyki Marek Wolf Przyzwyczailiśmy sie ι w ostatnich latach do tego, że komputery wspomagaja ι cz lowieka w coraz to wie ι kszej liczbie dziedzin ludzkiej dzia lalności. Jednak wydawa loby sie ι, że komponowanie muzyki reprezentuje tak wyrafinowana ι twórczość, iż komputery nie znajda ι tutaj zastosowania. Odkrycie fraktalnych cech muzyki zmieni lo te ι sytuacje ι radykalnie. O fraktalach pisano już w poprzednich numerach FOTON-u, również w ksie ι garniach jest teraz doste ι pnych kilka ksia ι żek o chaosie i geometrii fraktalnej. Termin fraktal jest bardzo m lody pojawi l sie ι w roku 1975 w tytule ksia ι żki amerykańskiego matematyka Benoita Mandelbrota Les object fractales. Pochodzi od lacińskiego przymiotnika fractus, co oznacza z lamany, nieca lkowity (w domyśle: wymiar). Nie sposób podać tutaj ścis lej defincji tych obiektów, gdyż po pierwsze matematycy używaja ι kilka różnych definicji fraktali, a po drugie w każdej z nich wyste ι puja ι bardzo trudne poje ι cia i dlatego nie nadaja ι sie ι do przytoczenia w popularnym artykule. W 1983 roku na Mie ι dzynarodowym Kongresie Matematycznym w Warszawie Mandelbrot powiedzia l: Nie ma dobrej i ścis lej definicji fraktala, ponieważ cia ι gle jeszcze nie rozumiemy dostatecznie g le ι boko tego poje ι cia i w innym miejscu Chociaż ścis lość jest istota ι matematyki, w moim wyk ladzie unikna ι lem definicji poje ι cia fraktal. W skrócie można powiedzieć, że fraktal jest figura ι samopodobna ι, wykazuja ι ca ι niezmienniczość wzgle ι dem transformacji skalowania. Geometria, której uczono nas w szkole, operowa la regularnymi figurami: liniami prostymi, trójka ι tami, okre ι gami, sześcianami, wielościanami foremnymi żaden z tych obiektów nie jest fraktalem, gdyż w przeciwieństwie do nich ma on ca lkowity wymiar odpowiednio równy 1, 2 lub 3. Figura geometryczna zas luguja ι ca na miano fraktala musi być dostatecznie nieregularna (ale nie po prostu czysto losowa), dziurawa, a także być w pewien sposób pie ι kna i na pierwszy rzut oka powinna przycia ι gać uwage ι i intrygować swoja ι czasem barokowa ι - struktura ι (p. np. FOTON??, gdzie można zobaczyć zbiór MAndelbrota). Klasyczne fraktale wykazuja ι w lasność samopodobieństwa ze wzgle ι du na zmienne przestrzenne. Jednak zjawiska przyrodnicze obok rozcia ι g lości przestrzennej przebiegaja ι w czasie. Jak sie ι okazuje, dla wielu wielkości, be ι da ι cych funkcja ι czasu również ma miejsce skalowanie i w takim wypadku pos lugiwanie sie ι je ι zykiem geometrii fraktalnej może oddać nieocenione us lugi. Przyk ladem jest możliwość automatycznego,,komponowania fraktalnej muzyki. Muzyka jest dziedzina ι ludzkiej twórczości, która ι rza ι dza ι ścis le, matematyczne regu ly dotycza ι ce sposobów komponowania utworów. Już starożytni Pitagorejczycy, którzy poszukiwali harmonii w liczbach, wiedzieli o tym, że d lugości strun wydaja ι ce przyjemne dla ucha dźwie ι ki maja ι sie ι do siebie jak ilorazy liczb ca lkowitych. Na przyk lad dwukrotne skrócenie d lugości struny prowadzi do dźwie ι ków odleg lych od siebie o oktawe ι. W ten sposób Pitagorejczycy wykryli pokrewieństwo mie ι dzy matematyka ι a muzyka ι. Na pocza ι tku X wieku zasady kompozycji muzycznej zosta ly sformalizowane przez wprowadzenie polifonii zbioru zasad mówia ι cych, jak la ι czyć w jedna ι ca lość kilka jednocześnie brzmia ι cych samodzielnych melodii. Napisany w 1436 roku na uroczystość poświe ι cenia katedry Santa Maria del Fiore we Florencji przez Guillaume Dufaya motet Nuper Rosarium Flores jako stosunków mie ι dzy tempami różnych cze ι ści utworu używa l tych samych zależności, jakie wyste ι puja ι w budowie tej katedry. Wielu matematyków zajmowa lo sie ι analiza ι utworów muzycznych i poszukiwaniem prawid lowości w sk ladaja ι cych sie ι na nie dźwie ι kach. I tak sam wielki

2 Leonard Euler napisa l ksia ι żke ι A New Theory of Music, w której analizowa l drgania dzwonów i be ι bnów. Aczkolwiek stworzenie analizy harmonicznej przez Jeana Fouriera mia lo swe źród lo w badaniach nad przewodnictwem ciep la, to używa sie ι jej z dużym powodzeniem przy analizie fal dźwie ι kowych (akustyka). Jej najnowszymi spektakularnymi zastosowaniami jest rozpoznawanie i syntezowanie przez komputery mowy ludzkiej. Wśród wielu prób zautomatyzowania procesu komponowania wymienimy skonstruowanie przez Wolfganga Amadeusza Mozarta specjalnej tablicy, zwanej Musikalische Wurfelspiel (muzyczna gra w kości), która pozwala la na komponowanie kolejnych fragmentów utworu przez rzucanie kościami, co wprowadza lo element przypadkowości do utworów. Z kolei Bela Bartok używa l liczb z cia ι gu Fibonacciego dla uzyskania odpowiednich proporcji w swoich utworach. W 1900 roku ukaza lo sie ι obszerne dzie lo Vincentego Indy Cours de composition musicale zawieraja ι ce ca lość zasad rza ι dza ι cych budowa ι utworów muzycznych. W latach dwudziestych naszego stulecia Heinrich Schenker rozwina ι l metode ι analizowania utworów muzycznych, która pozwoli la na stwierdzenie wyste ι powania samopodobnych struktur w muzyce. W latach pie ι ćdziesia ι tych, zaraz po zbudowaniu pierwszych komputerów, rozpocze ι to pisanie programów komponuja ι cych muzyke ι. Prekursorami w tej dziedzinie byli dwaj Amerykanie: Lejaren Hiller i Leonard Isaacson a pierwszym utworem skomponowanym przez komputer Illiac by la suita Illiac na kwartet smyczkowy [24]. Da lo to pocza ι tek CAC: Computer Aided Composititon (komputerowo wspomaganemu komponowaniu, analogicznie do CAD: Computer Aided Design, czyli komputerowo wspomaganemu projektowaniu, konstruowaniu). Zauważmy, że regu ly gramatyki lub ortografii rownież można zaprogramować, ale nie znaczy to wcale, że komputer móg lby tworzyć utwory literackie, co ma miejsce w przypadku muzyki, tzn. komputer może wyprodukować przyjemna ι dla ucha melodie ι, maja ι c podane regu ly kontrapunktu, agogiki itd., ale nie napisze wiersza czy opowiadania. Nie można opisać wiersza wzorami, choć utwór muzyczny poddaje sie ι analizie matematycznej. Tutaj mial byc rysunek algo- Rys.10 Losowy przebieg zależności napie ι cia V(t) od czasu t otrzymany za pomoca ι rytmu użytego w programie zamieszczonym w Dodatku dla wartości β = Powsta lo już wiele programów s luża ι cych do komponowania, jednak dopiero odkrycie obecności szumu 1/f w utworach muzycznych umożliwi lo tworzenie muzyki ca lkowicie przez komputery. 1 Samopodobieństwo jest zasada ι maja ι ca ι podstawowe znaczenie dla budowy melodii pozwalaja ι ca ι komponowanie utworów sprowadzić do prostego algorytmu matematycznego wymagaja ι cego podania tylko jednej liczby: wymiaru fraktalnego zwia ι zanego z indeksem β opisuja ι cym szum 1/f β. Fizycy od dawna obserwowali w wielu zjawiskach obecność tzw. szumu 1/f. Widmo mocy wielu zmiennych fizycznych zachowuje sie ι jak 1/f β, gdzie 0.5 β 1.5. Pogla ι dowo można wyjaśnić co to jest widmo mocy w naste ι puja ι cy sposób: Duża ι klase ι funkcji zależa ι cych od czasu (np. napie ι cie V (t) przy lożone do elektromagnesu w g lośniku) można przedstawić 1 W programie zamieszczonym w Dodatku nie zapisano żadnych regu l harmonii, agogiki czy kontrapunktu zawiera on natomiast jedynie algorytm generowania zależa ι cej od czasu zmiennej V (t), której ge ι stość spektralna ma zachowanie typu 1/f β oraz przepis odwzorowania tej funkcji V (t) na cze ι stotliwości dźwie ι ków wyste ι puja ι ce w gamie A-dur. 2

3 jako sume ι drgań harmonicznych o cze ι stotliwościach f i amplitudach A(f). Typowy przebieg zależności V (t) przedstawiono na rys. 1. Widmo mocy S V (f) mówi z grubsza ile energii w fali dźwie ι kowej emitowanej przez membrane ι g lośnika pochodzi od drgań o cze ι stości f. Bardziej formalna definicja oparta jest na rozk ladzie Fouriera. Jeżeli funkcja V (t) spe lnione określone warunki natury matematycznej, to daje sie ι ona z lożyć z podstawowych drgań sinusoidalnych (harmonicznych) o cze ι stotliwościach f (Twierdzenie Fouriera): V (t) = + k= Ṽ (f k???)e 2πikft, gdzie f k = 1/T, i = 1.zobaczycdoP ress... Wielkość Ṽ (f) nosi nazwe ι transformaty Fouriera funkcji V (t). Wyraża ona zawartość ruchu o cze ι stotliwości f w pe lnej zależności od czasu wielkości V (t). Widmo mocy S V (t) sygna lu V (t) (ge ι stość spektralna) zdefiniowana jest jako wielkość proporcjonalna do modu lu (zespolonego) transformaty Fouriera: S V (f) Ṽ (f) 2. (11) W bardzo wielu zupe lnie różnych sytuacjach [25] obserwuje sie ι dla ma lych f zależność pote ι gowa ι S V (f) 1/f β, gdzie β jest bliskie jedności. Na przyk lad, zmienność w czasie nate ι żenia pra ι du w lampach elektronowych, na z la ι czu diodowym, w tranzystorach, liczba aut na autostradzie lub czekaja ι cych na odprawe ι celna ι oraz zjawiska dźwie ι kowe i ludzka mowa maja ι ge ι stość spektralna ι typu 1/f. W 1978 roku R.F. Voss i J. Clarke odkryli, że również muzyka wykazuje szum 1/f. Jak stwierdzili wymienieni autorzy, szum typu 1/f wyste ι puje prawie we wszystkich rodzajach melodii. Z wyja ι tkiem wspó lczesnych kompozycji atonalnych K.Stockhausena lub E.Cartera, które przypominaja ι bia ly szum ze sta la ι ge ι stościa ι spektralna ι S V (f) 1/f 0 = const, utwory średniowieczne, Beethovena, Straussa czy Beatlesów wykazuja ι zależność typu 1/f. Ponieważ szum 1/f β jest typowy dla zjawisk naturalnych, można powiedzieć, że muzyka imituje charakterystyczny sposób, w jaki zjawiska przyrodnicze przebiegaja ι w czasie. Samopodobieństwo melodii przejawia sie ι w tym, że nawet najmniejsza fraza przypomina ca lość. Zarówno muzyka, jak szum 1/f β zajmuja ι pośrednie miejsce mie ι dzy szumem losowym (bia lym) (β = 0), a klasycznym Brownowskim ruchem losowym (β = 2). Po odkryciu Vossa i Clarke pojawi la sie ι możliwość automatycznego komponowania utworów muzycznych. Robi sie ι to niejako od ty lu: najpierw generuje sie ι funkcje ι V (t) o dyskretnym zbiorze wartości V (k), k = 0, 1,..., N maja ι cej widmo mocy postaci 1/f β o zadanym indeksie β, a naste ι pnie odwzorowuje sie ι te wartości na dźwie ι ki w gamie. Znanych jest kilka algorytmów pozwalaja ι cych uzyskać procesu V (t) o zadanej wartości β. Jeden z nich zosta l użyty w programie zamieszczonym poniżej. Oparty jest on na metodzie kolejnych, losowych sumowań. doste ι pnych algorytmów, p.[29 (i)]. Można mianowicie pokazać [29 (i)], że proces o ge ι stości spektralnej 1/f β jest równoważny losowemu ruchowi Browna o wariancji: var V (t 1 ) V (t 2 ) t 1 t 2 2H, gdzie H = β 1. 2 Aby wygenerować ruch o liczbie kroków N be ι da ι cej pote ι ga ι 2, poste ι puje sie ι w sposób rekurencyjny: Najpierw la ι czymy pocza ι tkowa ι V (0) i końcowa ι wartość V (N) odcinkiem 3

4 linii prostej. Naste ι pnie w po lowie tego odcinka wartość (V (0) + V (N)) zmieniamy o losowa ι wartość delta, be ι da ι cy zmienna ι o rozk ladzie normalnym (jest to pe ι tla while w programie g lównym). Otrzymujemy teraz linie ι lamana ι sk ladaja ι ca ι sie ι z dwóch odcinków. Teraz procedure ι dzielenia odcinków na pó l i losowego przesuwania stosujemy do dwóch odcinków i otrzymujemy lamana ι 4 odcinki. Proces ten kontynuujemy rekurencyjnie aż otrzymamy lamana ι zbudowana ι z N 1 odcinków. Zmienna ι losowa ι o rozk ladzie Gaussowskim otrzymuje sie ι ze zmiennej o rozk ladzie jednostajnym korzystaja ι c z w lasności, że suma niezależnych od siebie wielkości ma rozk lad normalny. Zastosowany algorytm generuje zmienna ι losowa ι V (t) o liczbie elementów be ι da ι cej pote ι ga ι 2, a wie ι c melodia może sie ι sk lada tylko z 2,..., 512, 1024, 2048,... dźwie ι ków. Liczba tych dźwie ι ków zadana jest sta la ι Max na pocza ι tku programu i wia ι że sie ι ze sta la Maks poziom równaniem Max = Maks poziom. Czytelnik powinien wybrać wartość zmiennej tempo w zależności od szybkości używanego komputera i subiektywnych odczuć estetycznych oraz w lasnego temperamentu. Interesuja ι ca i przyjemna muzyka jest otrzymywana dla wartości parametru β rze ι du dla wie ι kszych wartości utwory sa ι zbyt monotonne. Innego odkrycia dokonali w 1990 roku K.J.Hsü i A.J.Hsü [27]. Wspomniani autorzy przeprowadzili analize ι statystyczna ι wyste ι powania po sobie dwóch kolejnych interwa lów w różnych utworach Bacha, Mozarta i Stockhausena. Jeśli F oznacza wzgle ι dna ι cze ι stotliwość wysta ι pienia interwa lu o d lugości i pó ltonów (tzn. i = 0 dla prymy, i = 1 dla ma lej sekundy,..., i = 8 dla oktawy), to materia l doświadczalny pozwoli l stwierdzić istnienie zależności: F i D. Jest to znowu znana nam zależność pote ι gowa, wyrażaja ι ca charakterystyczne dla fraktali skalowanie. Wielkość D można utożsamić z wymiarem fraktalnym; dla analizowanych utworów waha l sie ι on pomie ι dzy 1.34 dla toccaty fis moll Bacha (BWV 910) poprzez 1.73 dla sonaty F dur Mozarta (KV 533) do 2.42 dla Invention nr 1 C dur Bacha (BWV 772). Dla utworów Stockhausena punkty (log(f ), log(i)) nie leża ly na linii prostej i dlatego nie ma sensu wprowadzenie indeksu D. Powyższe rozważania wykazuja ι, że poje ι cie wymiaru fraktalnego dostarcza matematycznie ścis lego sposobu rozróżnienia różnych rodzajów muzyki. program Muzyka_fraktalna_8_dzwiekami; {$R-} uses crt; const maks_poziom=10; Max=1+1024; (* trunc(exp(maxlevel*ln(2))); *) var beta,sigma,ff:real; delta:array[1..maks_poziom] of real; c,i,k,j,n,d,d2,poziom,tempo:integer; V:array[0..Max] of real; f:word;b:boolean;a:char; function Gauss:real; 4

5 const Nrand=6; var i:integer; Add,Fac,suma:single; begin Add:=sqrt(3.0*Nrand); Fac:=2.0*Add/Nrand; suma:=0.0; for i:=1 to Nrand do suma:=suma+random; Gauss:=Fac*suma-Add; end; begin { MAIN PROGRAM } randomize; clrscr; write( beta= ); repeat readln(beta); until (beta>=0.0) and (beta<2.9); writeln( tempo= adagio lub presto (a/p) ); repeat a:=readkey; until (a= a ) or (a= A ) or (a= p ) or (a= P ); if (a= a ) or (a= A ) then tempo:=10000 else tempo:=5000; if beta<>0.0 then sigma:=beta else sigma:=0.02; for i:=1 to maks_poziom do delta[i]:=sigma*exp(i*(beta-1.0)/2.0*ln(0.5))*sqrt(0.5)* sqrt(1.0-exp((beta-3.0)*ln(2.0))); N:=Max-1; V[0]:=0.0;v[N]:=sigma*Gauss; D:=N; d2:=d div 2; poziom:=1; while (poziom<=maks_poziom) do begin k:=(n-d2) div D; for j:=0 to k do begin i:=d2+j*d; V[i]:=0.5*(v[i-d2]+v[i+d2]); end; k:=n div d2; for j:=0 to k do begin i:=j*d2; v[i]:=v[i]+delta[poziom]*gauss; end; D:=D div 2; d2:=d2 div 2; poziom:=poziom+1; 5

6 end; for i:=0 to Max do begin ff:=abs(660*exp(v[i]/12.0*ln(2.0))); if (ff>65110) then f:=65000 else f:=round(ff); case f of :sound(440); :sound(495); :sound(550); :sound(586); :sound(660); :sound(733); :sound(825); :sound(880); end; for j:=1 to tempo do begin b:=keypressed;if b then begin nosound;halt; end;end; end; nosound; end. References [1] B.B.Mandelbrot,Les object fractales (Flammarion, Paris, 1975); ang. t lumaczenie Fractals:Form, Chance, and Dimension, (W.H.Freeman and Co., San Francisco, 1977); w 1982 roku opublikowano zmienione wydanie tej ksia ι zki zatytu lowane The Fractal Geometry of Nature, (W.H.Freeman and Co., San Francisco, 1982) [2] T.S.Kuhn, Struktura rewolucji naukowych, (PWN, Warszawa, 1966) [3] E.N.Lorentz, Deterministic Nonperiodic Flow, Journ.Atm.Sci. 20 (1963), str. 130; M.Henon, C.Heiles The Applicability of the Third Integral of the Motion: Some Nyumerical Results, Astron.J. 69 (1964), str. 73; [4] J.Gleick Chaos: Making a New Science (Viking, Nowy Jork, 1987) [5] B.Mandelbrot, The variation of some other speculative prices, J.Business Univ.Chicago 40(1967), ; B.Mandelbrot, H.M.Taylor, On the distribution of stock prices differences, Operations Res. 15 (1967) [6] (a) M.V.Berry, Z.V.Lewis, On the Weierstraß Mandelbrot fractal function Proc.R. Soc. Lond. A370 (1980), s ;(b) uogólnienie na dwa i wie ι cej wymiarów by lo 6

7 przedstawione w pracy: M.Ausloos, D.H. Berman, A multivariate Weierstraß Mandelbrot function, Proc.R.Soc.Lond. A400 (1985), str [7] M.Holshneider, Fractal Dimension: A New Definition, Marseille CNRS prepint CPT 88/2140 [8] W.Sierpiński, Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donee, C.R.Acad.Paris, 162 (1916), str [9] M.F. Barnsley, S.Demko, Iterated Functions Systems and the global Construction of Fractals, Proc.R.Soc.Lond.A399(1985), s ; M.F. Barnsley, Fractals Everywhere, (Academic Press, Bosotn, 1988) [10] M.F.Barnsley, A.D.Sloan, A Better Way to compress Images, Byte, January 1988, s [11] T.A. Wittena i L.M.Sander,Diffusion Limited aggregation: A Kinetic Critical Phenomenon, Phys.Rev.Lett.47 (1981) s [12] R.Botet and R.Jullien, Aggregation and Fractal Aggregates (World Scientific, Singapore, 1987); T.Vicsek, Fractal Growth Phenomena (World Scientific, Singapore,1989);H.J.Hermann Phys.Rept. 136 (1986), p.153; H.E.Stanley, A.Coniglio, S.Havlin, J.Lee, S.Schwarzer, M.Wolf, Diffusion-Limited Aggregation: a paradigm of disorderly cluster growth, Physica A205 (1994) s [13] L.Niemeyer, L.Pietronero i H.J. Wiesmann, Fractal Dimension of Dielectric Breakdown, Phys.Rev.Lett.52 (1984), str [14] M.Matsuhita, M.Sanjo, Y.Hayakawa, H.Honjo, Y.Sawada, Fractal Structures of Zinc Metal Leaves grown by electrodeposition, Phys.Rev.Lett. 53 (1984), s.286 [15] A.D.Fowler, H.E.Stanley and G.Daccord, Disequilibrium silicate mineral textures: Fractal and Non-fractal features, Nature 341(1989) s.134 [16] F.Caserta, H.E.Stanley, W.D.Eldred, G.Daccord, R.E. Hausman, and J.Nittmann Physical Mechanism Underlying Neurite Outgrowth: A Quantitative Analysis of Neuronal Shape Phys.Rev.Lett. 64 (1990), s. 95 [17] J.Nittmann, H.E.Stanley, The fractal properties of some real snowflakes, J.Phys. A20 (1987), s. L1185 [18] P.J.E.Peebles Fractal Galaxy distribution, Physica D38 (1989), s.273 [19] A.Heck and J.M.Perdang Eds. Applying Fractals in Astronomy (Springer, Berlin, New York, 1991) [20] B.J.West, Fractal Forms in Physiology Int.J.Mod.Phys.B4 (1990), p.1629; B.J.West Fractal Physiology and Chaos in Medicine (World Scientific, Singapore, 1990) [21] A.L. Goldberger, D.R. Rigney, B.J. West, Chaos and fractals in human physiology, Scientific American, luty 1990, s.42 7

8 [22] C.K.Peng, S.V.Buldyryew, A.L.Goldberger,S.Havlin, F.Sciortino, M.Simons i H.E.Stanley, Long range correlations in nucleotide sequences, Nature 356, s [23] M.A.F.Gomes, Paper crushes fractally, J.Phys.A20 (1987), s.l283 L284. [24] L. Hiller, L.Isaacson Experimental Music, McGraw Hill, Nowy Jork, 1959 [25] D.Wolf, Noise in Physical Systems, (Springer, Heidelberg, Nowy Jork, 1978) [26] R.F.Voss, J.Clarke, 1/f noise in music and speech, Nature, 258(1975), s. 317; 1/f Noise in Music: Music from 1/f noise J.Accoust.Soc.Am. 63, s.258 [27] K.J.Hsü i A.J.Hsü, Fractal Geometry of Music, Proc.Natl.Acad.Sci. USA, 87, (1990) [28] L.Nyikos, L.Balazs, R. Schiller, Fractal Analysis of Artistic Images: From Cubism to Fractalism, Fractals, 2 (1994), str [29] (a) H.-O.Peitgen, P.H.Richter, The Beauty of Fractals (Springer, Berlin, Heidelberg, 1985); (b) Falconer K.J. The Geometry of Fractal Sets, (Cambridge University Press, 1985);(c) L. Pietronero and E.Tossati Fractals in Physics (North Holland, Amsterdma, 1986); (d) H.-O.Peitgen, D.Saupe The Science of Fractal Images (Springer, Berlin, Heidelberg, 1989); (e) J. Feder, Fractals (Pergamon, NY, 1988); B.H.Kaye, Random Walk Through Fractal Dimension, (VCH Publishers, 1989); (f) L. Pietronero, ed. Fractals: Physical Origin and Properties, (Plenum Publishing Co., London, 1990) [Proc Erice Workshop on Fractals];(g) Chaos+Kreativit at, specjalny numer Geo Wissen, May 1990; (h) E.Guyon and H.E.Stanley, Album of Fractal Forms (Elsevier/North-Holland, 1991);(i) H.-O.Peitgen, H.Jürgens, D.Saupe Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, (Springer Verlag, Nowy Jork, Berlin, Heidelberg, 1992);(k) A.Bunde, S.Havlin, wyd., Fractals and disordered Systems (Springer, Berlin, Heidelberg, 1991); (l) A.Bunde, S.Havlin, wyd., Fractals in Science (Springer, Berlin, Heidelberg, 1994); [30] J.Eluszkiewicz, M.Cieplak, B la ι dzenie przypadkowe na fraktalach, Poste ι py Fizyki 37 (1986), s ; K.Ciesielski, Z. Pogoda, Z lamany wymiar Wiedza i Życie nr / 92,str.60 68; M.Wolf, Moda na fraktale, Computerworld 7(37) (1992), str.14; [31] P.Pierański, Fraktale. Od geometrii do sztuki (Poznań, OWN, 1992); J.Kudrewicz, Fraktale i Chaos (Warszawa, WNT, 1993). [32] The Mandelbrot Set: A Computer Animation of Complex Dynamical Systems, Institut Für den Wissenschaftlichen Film, Göttingen,

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA W KLASIE II

KRYTERIA OCENIANIA W KLASIE II EDUKACJA POLONISTYCZNA POROZUMIEWANIE SIĘ I KULTURA JEZYKA słuchanie i rozumienie wypowiedzi innych udział w rozmowie wypowiedzi ustne CZYTANIE czytanie i rozumienie opracowanych tekstów rozumienie słuchanych

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA PUSTA. Nie składa się z żadnych znaków i symboli, niczego nie robi. for i := 1 to 10 do {tu nic nie ma};

INSTRUKCJA PUSTA. Nie składa się z żadnych znaków i symboli, niczego nie robi. for i := 1 to 10 do {tu nic nie ma}; INSTRUKCJA PUSTA Nie składa się z żadnych znaków i symboli, niczego nie robi Przykłady: for i := 1 to 10 do {tu nic nie ma}; while a>0 do {tu nic nie ma}; if a = 0 then {tu nic nie ma}; INSTRUKCJA CASE

Bardziej szczegółowo

samopodobnym nieskończenie subtelny

samopodobnym nieskończenie subtelny Fraktale Co to jest fraktal? Według definicji potocznej fraktal jest obiektem samopodobnym tzn. takim, którego części są podobne do całości lub nieskończenie subtelny czyli taki, który ukazuje subtelne

Bardziej szczegółowo

PoniŜej znajdują się pytania z egzaminów zawodowych teoretycznych. Jest to materiał poglądowy.

PoniŜej znajdują się pytania z egzaminów zawodowych teoretycznych. Jest to materiał poglądowy. PoniŜej znajdują się pytania z egzaminów zawodowych teoretycznych. Jest to materiał poglądowy. 1. Instrukcję case t of... w przedstawionym fragmencie programu moŝna zastąpić: var t : integer; write( Podaj

Bardziej szczegółowo

Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych *

Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych * Zeszyty Naukowe nr 724 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Informatyki Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych * Streszczenie: W artykule zaproponowano ilościową metodę

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:

Bardziej szczegółowo

Złożoność wokół nas. Część pierwsza: gra w chaos

Złożoność wokół nas. Część pierwsza: gra w chaos Złożoność wokół nas. Część pierwsza: gra w chaos Dawid Lubiszewski Złożone zjawiska takie jak struktury czy procesy interesują naukowców na całym świecie. Z wielu powodów, dla których złożoność jest tak

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex) Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra

Bardziej szczegółowo

Korekta jako formacja cenowa

Korekta jako formacja cenowa Korekta jako formacja cenowa Agenda Co to jest korekta i jej cechy Korekta a klasyczne formacje cenowe Korekta w teorii fal Geometria Czas - jako narzędzie Przykłady Korekta To ruch ceny na danym instrumencie

Bardziej szczegółowo

Wykład II PASCAL - podstawy składni i zmienne, - instrukcje wyboru, - iteracja, - liczby losowe

Wykład II PASCAL - podstawy składni i zmienne, - instrukcje wyboru, - iteracja, - liczby losowe Podstawy programowania Wykład II PASCAL - podstawy składni i zmienne, - instrukcje wyboru, - iteracja, - liczby losowe 1 I. Składnia Składnia programu Program nazwa; Uses biblioteki; Var deklaracje zmiennych;

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"

Ćwiczenie: Ruch harmoniczny i fale Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

AUDIOMETRYCZNE BADANIE SŁUCHU ORAZ CECH WYPOWIADANYCH GŁOSEK

AUDIOMETRYCZNE BADANIE SŁUCHU ORAZ CECH WYPOWIADANYCH GŁOSEK AUDIOMETRYCZNE BADANIE SŁUCHU ORAZ CECH WYPOWIADANYCH GŁOSEK I. Zagadnienia 1. Wielkości Fizyczne opisują ce falę dź wię kową. 2. Powstawanie dź wię ków mowy. 3. Odbieranie dź wię ków przez narzą d słuchu.

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Język programowania PASCAL

Język programowania PASCAL Język programowania PASCAL (wersja podstawowa - standard) Literatura: dowolny podręcznik do języka PASCAL (na laboratoriach Borland) Iglewski, Madey, Matwin PASCAL STANDARD, PASCAL 360 Marciniak TURBO

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Umowa nr.. /. Klient. *Niepotrzebne skreślić

Umowa nr.. /. Klient. *Niepotrzebne skreślić Umowa nr.. /. zawarta dnia w, pomiędzy: Piotr Kubala prowadzącym działalność gospodarczą pod firmą Piotr Kubala JSK Edukacja, 41-219 Sosnowiec, ul. Kielecka 31/6, wpisanym do CEIDG, NIP: 644 273 13 18,

Bardziej szczegółowo

B jest globalnym pokryciem zbioru {d} wtedy i tylko wtedy, gdy {d} zależy od B i nie istnieje B T takie, że {d} zależy od B ;

B jest globalnym pokryciem zbioru {d} wtedy i tylko wtedy, gdy {d} zależy od B i nie istnieje B T takie, że {d} zależy od B ; Algorytm LEM1 Oznaczenia i definicje: U - uniwersum, tj. zbiór obiektów; A - zbiór atrybutów warunkowych; d - atrybut decyzyjny; IND(B) = {(x, y) U U : a B a(x) = a(y)} - relacja nierozróżnialności, tj.

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

Microsoft Management Console

Microsoft Management Console Microsoft Management Console Konsola zarządzania jest narzędziem pozwalającym w prosty sposób konfigurować i kontrolować pracę praktycznie wszystkich mechanizmów i usług dostępnych w sieci Microsoft. Co

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Literatura. Kompilatory. Elementarne różnice. Preprocesor. Słowa kluczowe

Wykład 15. Literatura. Kompilatory. Elementarne różnice. Preprocesor. Słowa kluczowe Wykład 15 Wprowadzenie do języka na bazie a Literatura Podobieństwa i różnice Literatura B.W.Kernighan, D.M.Ritchie Język ANSI Kompilatory Elementarne różnice Turbo Delphi FP Kylix GNU (gcc) GNU ++ (g++)

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA PROGRAMOWANA W PASCALU ==================================

GRAFIKA PROGRAMOWANA W PASCALU ================================== GRAFIKA PROGRAMOWANA Cg to kompletne środowisko programistyczne do szybkiego tworzenia efektów specjalnych i grafiki o kinowej jakości w czasie rzeczywistym dla wielu platform. Ponieważ język jest niezależny

Bardziej szczegółowo

20. Pascal i łączenie podprogramów Pascala z programem napisanym w C

20. Pascal i łączenie podprogramów Pascala z programem napisanym w C Opublikowano w: WEREWKA J..: Podstawy programowana dla automatyków. Skrypt AGH Nr 1515, Kraków 1998 20. i łączenie podprogramów a z programem napisanym w Ze względu na duże rozpowszechnienie języka, szczególnie

Bardziej szczegółowo

która metoda jest najlepsza

która metoda jest najlepsza która metoda jest najlepsza dr inż. Marek Żabka Instytut Matematyki Wydział Matematyki Stosowanej Politechnika Śląska 20 września 2012r Nowa metoda tworzenia grafiki na stronie internetowej: element,,canvas

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Matematyka w Finansach Sylwetka absolwenta Studia na tej specjalności realizują dwa główne cele: - poznanie narzędzi stosowanych w budowie modeli

Matematyka w Finansach Sylwetka absolwenta Studia na tej specjalności realizują dwa główne cele: - poznanie narzędzi stosowanych w budowie modeli Matematyka w Finansach Sylwetka absolwenta Studia na tej specjalności realizują dwa główne cele: - poznanie narzędzi stosowanych w budowie modeli matematycznych zjawisk ekonomicznych, które charakteryzują

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Komunikacja w sieci Industrial Ethernet z wykorzystaniem Protokołu S7 oraz funkcji PUT/GET

Komunikacja w sieci Industrial Ethernet z wykorzystaniem Protokołu S7 oraz funkcji PUT/GET PoniŜszy dokument zawiera opis konfiguracji programu STEP7 dla sterowników SIMATIC S7 300/S7 400, w celu stworzenia komunikacji między dwoma stacjami S7 300 za pomocą sieci Industrial Ethernet, protokołu

Bardziej szczegółowo

ZASADY REKRUTACJI KANDYDATÓW DO XVIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO IM. JANA ZAMOYSKIEGO NA ROK SZKOLNY 2016/2017

ZASADY REKRUTACJI KANDYDATÓW DO XVIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO IM. JANA ZAMOYSKIEGO NA ROK SZKOLNY 2016/2017 XVIIILO.4310.5.2016 XVIII LO im. Jana Zamoyskiego ZASADY REKRUTACJI KANDYDATÓW DO XVIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO IM. JANA ZAMOYSKIEGO NA ROK SZKOLNY 2016/2017 I. Podstawa prawna 1. Ustawa z dnia 7 września

Bardziej szczegółowo

Gra w chaos i sekwencje DNA

Gra w chaos i sekwencje DNA Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLIX Szkole Matematyki Poglądowej, Wyjątki, Nadarzyn, sierpień 2012. Gra w chaos i sekwencje DNA Magdalena NOWAK, Kielce Nasza opowieść rozgrywa się w krainie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Sztuczna Inteligencja Projekt

Sztuczna Inteligencja Projekt Sztuczna Inteligencja Projekt Temat: Algorytm LEM2 Liczba osób realizujących projekt: 2 1. Zaimplementować algorytm LEM 2. 2. Zaimplementować klasyfikator Classif ier. 3. Za pomocą algorytmu LEM 2 wygenerować

Bardziej szczegółowo

Pomiar prędkości dźwięku w metalach

Pomiar prędkości dźwięku w metalach Pomiar prędkości dźwięku w metalach Ćwiczenie studenckie dla I Pracowni Fizycznej Barbara Pukowska Andrzej Kaczmarski Krzysztof Sokalski Instytut Fizyki UJ Eksperymenty z dziedziny akustyki są ciekawe,

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

Opłaty wstępne w leasingu jako koszty bezpośrednio związane z uzyskanym przychodem

Opłaty wstępne w leasingu jako koszty bezpośrednio związane z uzyskanym przychodem Opłatę wstępną należy ściśle powiązać z przychodami roku, w którym zaczęto użytkować przedmiot leasingu, nie zaś rozdzielać proporcjonalnie w stosunku do czasu obowiązywania umowy zawartej na okres przekraczający

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Podstawowe konstrukcje programistyczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. II Jesień 2013 1 / 34 Przypomnienie Programowanie imperatywne Program

Bardziej szczegółowo

PROGRAM DZIA DOSKONAL CYCH

PROGRAM DZIA DOSKONAL CYCH Zespó Szkó w Marcinkowie Marcinkowo 27,11-700 Mr gowo, tel. (089)741-87-83, e-mail: marcinkowo@op.pl PROGRAM DZIA DOSKONAL CYCH PODNOSZ CYCH JAKO KSZTA CENIA ZE SZCZEGÓLNYM UWZGL DNIENIEM WYKORZYSTANIA

Bardziej szczegółowo

Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Białystok, 19 grudzień 2012 r. Seminarium współfinansowane ze środków Unii Europejskiej w ramach

Bardziej szczegółowo

Postanowienie z dnia 9 kwietnia 2003 r., I CKN 281/01

Postanowienie z dnia 9 kwietnia 2003 r., I CKN 281/01 Postanowienie z dnia 9 kwietnia 2003 r., I CKN 281/01 Jeżeli fundator przewiduje prowadzenie działalności gospodarczej przez fundację od chwili jej ustanowienia, to w oświadczeniu o ustanowieniu fundacji,

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI Liceum

SCENARIUSZ LEKCJI Liceum Proponowany scenariusz jest przykładem postępowania dydaktycznego wyprowadzonego z zasad konstruktywizmu edukacyjnego: SCENARIUSZ LEKCJI Liceum Temat lekcji: Czy huśtawka jest oscylatorem harmonicznym?

Bardziej szczegółowo

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód

Bardziej szczegółowo

Jak postawić tablicę informacyjną? Plan działania dla animatorów przyrodniczych

Jak postawić tablicę informacyjną? Plan działania dla animatorów przyrodniczych Jak postawić tablicę informacyjną? Plan działania dla animatorów przyrodniczych 1. Styczeń 2011 r. wybranie lokalizacji Zastanów się jakie miejsce będzie najlepsze na postawienie tablicy informacyjnej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Fizyka skal muzycznych

Fizyka skal muzycznych Kazimierz Przewłocki Fizyka skal muzycznych Fala sprężysta rozchodząca się w gazie, cieczy lub ciele stałym przenosi pewną energię. W miarę oddalania się od źródła, natężenie zaburzenia sprężystego w ośrodku

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r. o podatku dochodowym od osób prawnych (t. j. Dz. U. z 2000r. Nr 54, poz. 654 ze zm.

Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r. o podatku dochodowym od osób prawnych (t. j. Dz. U. z 2000r. Nr 54, poz. 654 ze zm. Rozliczenie podatników podatku dochodowego od osób prawnych uzyskujących przychody ze źródeł, z których dochód jest wolny od podatku oraz z innych źródeł Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r.

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE Przedmiotowy system oceniania z matematyki jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl 3OF_III_D KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XXXII OLIMPIADA FIZYCZNA (198/1983). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldemar

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

ASD - ćwiczenia III. Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych. Nieformalnie o poprawności programów:

ASD - ćwiczenia III. Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych. Nieformalnie o poprawności programów: ASD - ćwiczenia III Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych Nieformalnie o poprawności programów: poprawność częściowa jeżeli program zakończy działanie dla danych wejściowych spełniających założony

Bardziej szczegółowo

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie

Bardziej szczegółowo

Cele ogólne: Wdrażanie dzieci do czynnego uczestniczenia w uroczystościach przedszkolnych spotkanie z Miko Poznawanie zwyczajów mikołajkowych.

Cele ogólne: Wdrażanie dzieci do czynnego uczestniczenia w uroczystościach przedszkolnych spotkanie z Miko Poznawanie zwyczajów mikołajkowych. Integralny ośrodek {sms-dostep tematyczny: g2} CZEKAM NA MIKOŁAJA Cele ogólne: Wdrażanie dzieci do czynnego uczestniczenia w uroczystościach przedszkolnych spotkanie z Miko Poznawanie zwyczajów mikołajkowych.

Bardziej szczegółowo

Eksperyment,,efekt przełomu roku

Eksperyment,,efekt przełomu roku Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA FINANSOWA

MATEMATYKA FINANSOWA Matematyka Finansowa, 05 06 2006 1 Andrzej Spakowski MATEMATYKA FINANSOWA matematyka finansów i ubezpieczeń. Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego Wspó lczesna, szeroko rozumiana MF opisuje

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

DJCONTROL INSTINCT I DJUCED PIERWSZE KROKI

DJCONTROL INSTINCT I DJUCED PIERWSZE KROKI DJCONTROL INSTINCT I DJUCED PIERWSZE KROKI INSTALACJA Włóż płytę CD-ROM. Uruchom program instalacyjny. Wykonaj instrukcje. 1 6 2 7 3 4 5 1- alans kanałów 1 2 (wyjście miksu) 2- Głośność kanału 1 (lewego)

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania Język polski

Przedmiotowy System Oceniania Język polski Przedmiotowy System Oceniania Język polski II etap edukacyjny PSO jest spójny z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania opracowanym na podstawie Rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE

Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE OKE Kraków 2012 Zadanie egzaminacyjne zostało opracowane

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. 1 Zadanie (29) zawar l umowe kredytu w momencie ukończenia

Bardziej szczegółowo

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM POZIOM ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM POZIOM ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM POZIOM ROZSZERZONY 1 WYMOGI EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO KRYTERIA OCENIANIA ACCESS 4 Starter zwrotów z Modułu 0. wyrazów i zwrotów

Bardziej szczegółowo

Zintegrowane Systemy Zarządzania Biblioteką SOWA1 i SOWA2 SKONTRUM

Zintegrowane Systemy Zarządzania Biblioteką SOWA1 i SOWA2 SKONTRUM Zintegrowane Systemy Zarządzania Biblioteką SOWA1 i SOWA2 SKONTRUM PROGRAM INWENTARYZACJI Poznań 2011 Spis treści 1. WSTĘP...4 2. SPIS INWENTARZA (EWIDENCJA)...5 3. STAŁE UBYTKI...7 4. INTERPRETACJA ZAŁĄCZNIKÓW

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Techniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/2015 Kierunek studiów: Zarządzanie i inżynieria

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA dla gimnazjum Opis założonych osiągnięć ucznia klasy trzeciej

INFORMATYKA dla gimnazjum Opis założonych osiągnięć ucznia klasy trzeciej INFORMATYKA dla gimnazjum Opis założonych osiągnięć ucznia klasy trzeciej W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 1. Podstawa prawna do opracowania Przedmiotowego Systemu Oceniania. a) Rozporządzenie Ministra Edukacji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE KLASA III EDUKACJA POLONISTYCZNA

WYMAGANIA PROGRAMOWE KLASA III EDUKACJA POLONISTYCZNA WYMAGANIA PROGRAMOWE KLASA III EDUKACJA POLONISTYCZNA Poziom osiągnięć Treść edukacji W - Pełne Z - Rozszerzone P - Podstawowe S - Konieczne 1 Czytanie Wypowiedzi 2 - czyta płynnie, biegle i wyraziście

Bardziej szczegółowo

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż. Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna

Grafika inżynierska geometria wykreślna Grafika inżynierska geometria wykreślna 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 2006

dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 2006 dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 26 Gra z naturą polega na tym, że przeciwnikiem jest osoba, zjawisko naturalne, obiekt itp. nie zainteresowany wynikiem gry. Strategia, którą podejmie przeciwnik ma charakter

Bardziej szczegółowo

Czy komputery potrafią mówić? Innowacyjne aplikacje wykorzystujące przetwarzanie dźwięku i mowy. Plan prezentacji.

Czy komputery potrafią mówić? Innowacyjne aplikacje wykorzystujące przetwarzanie dźwięku i mowy. Plan prezentacji. Czy komputery potrafią mówić? Innowacyjne aplikacje wykorzystujące przetwarzanie dźwięku i mowy Wydział Informatyki PB, Katedra Mediów Cyfrowych i Grafiki Komputerowej dr inż. Paweł Tadejko, p.tadejko@pb.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wdrożenie modułu płatności eservice dla systemu Virtuemart 2.0.x

Wdrożenie modułu płatności eservice dla systemu Virtuemart 2.0.x Wdrożenie modułu płatności eservice dla systemu Virtuemart 2.0.x Wersja 02 Styczeń 2016 Centrum Elektronicznych Usług Płatniczych eservice Sp. z o.o. Spis treści 1. Wstęp... 3 1.1. Przeznaczenie dokumentu...

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu 1 P/08/139 LWR 41022-1/2008 Pan Wrocław, dnia 5 5 września 2008r. Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu WYSTĄPIENIE POKONTROLNE Na podstawie art. 2 ust. 1 ustawy z

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO PROGRAMOWANIA

WSTĘP DO PROGRAMOWANIA Stefan Sokołowski WSTĘP DO PROGRAOWANIA Inst Informatyki UG, Gdańsk, 2011/2012 Wykład1ALGORYTAPROGRA,str1 WSTĘP DO PROGRAOWANIA reguły gry Zasadnicze informacje: http://infugedupl/ stefan/dydaktyka/wstepdoprog

Bardziej szczegółowo

GAB/14/2010/PN zał. nr 4 U M O W A

GAB/14/2010/PN zał. nr 4 U M O W A zał. nr 4 U M O W A zawarta w dniu... w Katowicach pomiędzy: WyŜszym Urzędem Górniczym z siedzibą w Katowicach (40 055) przy ul. Ks. J. Poniatowskiego 31, NIP: 634-10-87-040, REGON: 00033224, reprezentowanym

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z przedmiotu zajęcia techniczne dla klasy 5 szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z przedmiotu zajęcia techniczne dla klasy 5 szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z przedmiotu zajęcia techniczne dla klasy 5 szkoły podstawowej Temat Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra Ocena celująca Dział 1. Bezpieczeństwo w szkole

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU UMIEJĘTNOŚCI

KARTA PRZEDMIOTU UMIEJĘTNOŚCI KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Matematyka ubezpieczeń na życie (MUB231) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/5 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 6 6. LICZBA GODZIN:

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

UMOWA Nr... o świadczenie usług ubezpieczeniowych

UMOWA Nr... o świadczenie usług ubezpieczeniowych -WZÓR- Załącznik nr 13 UMOWA Nr... o świadczenie usług ubezpieczeniowych Zawarta w dniu.. w Gliwicach pomiędzy: Zarządem Budynków Miejskich II Towarzystwo Budownictwa Społecznego Sp. z o.o. z siedzibą

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Kancelaria Radcy Prawnego

Kancelaria Radcy Prawnego Białystok, dnia 30.03.2007 r. OPINIA PRAWNA sporządzona na zlecenie Stowarzyszenia Forum Recyklingu Samochodów w Warszawie I. Pytania: 1. Czy zakaz ponownego użycia przedmiotów wyposażenia i części, ujętych

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania

Podstawy programowania Podstawy programowania Elementy algorytmiki C w środowisku.e (C#) dr inŝ. Grzegorz Zych Copernicanum, pok. 104 lub 206a 1 Minimum programowe reści kształcenia: Pojęcie algorytmu. Podstawowe konstrukcje

Bardziej szczegółowo