Zastosowanie koncepcji homotopii do analizy DC układów tranzystorowych z uwzględnieniem zjawiska samonagrzewania

Transkrypt

1 Urządzenia i obwody iskrobezpieczne, jeżeli nie są chronione przed przepięciami, mogą ulec uszkodzeniu lub zainicjować pożar czy wybuch. Obwody iskrobezpieczne z pewnymi wyjątkami (kontrola ciągłości przewodów uziemiających), są izolowane od uziemienia (systemu ochronnych przewodów uziemiających stosowany w zakładach górniczych). Zagrożeń i zakłóceń można uniknąć, jeżeli przewody i urządzenia, na których pojawi się napięcie zakłócające, zostaną na krótki czas zwarte z szyną wyrównawczą za pomocą iskiernikowego ogranicznika przepięć, stanowiącego wówczas reaktancję filtru sprowadzającą sygnał zakłócający CM do masy. Należy w tym przypadku stosować rozwiązania zapewniające odpowiednią nieuszkadzalność zgodnie z wytycznymi norm iskrobezpieczeństwa. Literatura [1] 94/9/WE (ATEX), Wyposażenie używane w atmosferach potencjalnego wybuchu. [2] 89/336/EWG (EMC), Kompatybilność elektromagnetyczna. [3] 73/23/EWG (LVD), Niskonapięciowe wyroby elektryczne. [4] Krzystolik P.: Iskrobezpieczeństwo obwodów z liniami elektrycznymi w kopalniach metanowych. Główny Instytut Górnictwa, Katowice [5] Katedra Energoelektroniki Napędu Elektrycznego i Robotyki Politechniki Śląskiej: Wybrane zagadnienia kompatybilności elektromagnetycznej, Gliwice [6] PN-EN 55022:2006 Urządzenia informatyczne - Charakterystyki zaburzeń radioelektrycznych - Poziomy dopuszczalne i metody pomiaru. [7] Zastosowanie koncepcji homotopii do analizy DC układów tranzystorowych z uwzględnieniem zjawiska samonagrzewania prof. dr hab. inż. MICHAŁ TADEUSIEWICZ, dr inż. STANISŁAW HAŁGAS Politechnika Łódzka, Wydział Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki Efektywne obliczanie punktu pracy (rozwiązania DC) obwodu nieliniowego jest fundamentalnym problemem analizy i projektowania układów elektronicznych. Problem ten występuje szczególnie jaskrawo w obwodach zawierających tranzystory bipolarne, ze względu na charakter nieliniowości opisujących ich równań. W celu wyznaczenia punktu pracy najczęściej stosowana jest metoda Newtona-Raphsona i różne jej odmiany [1-8]. Niestety, w niektórych przypadkach metoda ta zawodzi lub jest bardzo wolno zbieżna, a więc nieefektywna. Rozmaite koncepcje i techniki obliczeniowe poprawiające zbieżność metody Newtona-Raphsona są zaimplementowane w programie analizy i projektowania układów elektronicznych SPICE [9-10]. W programie tym przyjmuje się maksymalną liczbę iteracji ITL 1 (np. 100). W przypadku braku zbieżności, albo ITL 1 jest powiększana (np. do 400), albo uruchamiana jest procedura o nazwie Source Stepping Algorithm. Procedura ta polega na stopniowym zwiększaniu wartości źródeł aż do osiągnięcia ich nominalnych wartości. Na każdym etapie stosowana jest metoda Newtona-Raphsona, startująca z poprzednio obliczonego rozwiązania. Jeżeli stopień powiększania wartości źródeł jest dostatecznie mały, to algorytm zwykle dochodzi do punktu pracy. Jednak ceną za to jest bardzo duża liczba iteracji, co wpływa na czasochłonność procesu obliczeniowego. W pracy stosowane jest alternatywne podejście będące pewnym udoskonaleniem wcześniej opracowanej metody [8] opartej na idei homotopii [11] i aproksymacji Padégo [12] charakterystyki diody. Eksperymenty numeryczne potwierdziły, że zaproponowana metoda jest na ogół bardzo szybko zbieżna, nawet w przypadkach, gdy metoda Newtona-Raphsona zawodzi. Efektywna metoda analizy DC w układzie o stałych parametrach jest kluczowym ogniwem algorytmu pozwalającego skutecznie wyznaczyć punkt pracy z uwzględnieniem zjawiska samonagrzewania chipu. Wykorzystano w nim znaną koncepcję rezystancji termicznej chipu. Ponadto rozszerzono ten algorytm na problem wyznaczania charakterystyki wyrażającej zależność punktu pracy od temperatury otoczenia. Rozważać będziemy chip zawierający liniowe rezystory, diody i tranzystory bipolarne, zasilany ze źródeł napięcia DC. Tranzystory będą reprezentowane za pomocą modelu Ebersa-Molla o parametrach zależnych od temperatury T. Ponadto w modelu będą uwzględnione małe rezystory R E, R C, R B. Zależności parametrów tranzystorów, diod i rezystorów liniowych od temperatury przyjęto zgodnie z dokumentacją programu SPICE [9]. Szkic metody obliczania punktu pracy przy ustalonej temperaturze chipu Przy ustalonej temperaturze dioda (występująca w modelu Ebersa-Molla lub oddzielnie) jest opisana równaniem Funkcja f(u) określona wzorem (1) zawiera eksponencjalną funkcję e λu, którą można przedstawić w postaci e λu =(e 0,1u ) 10λ. Zawartą w tym równaniu funkcję e 0,1u będziemy aproksymować korzystając ze wzoru Padégo [12]: Zależność (2) zastosujemy dla 0 u 0,8, otrzymując w tym zakresie bardzo dobrą dokładność, a następnie zastąpimy funkcję f(u) określoną wzorem (1), funkcją g(u) zdefiniowaną następująco: (1) (2) 140 ELEKTRONIKA 11/2008

2 (3) Obwód zostanie opisany za pomocą metody węzłowej. W celu rozwiązania równań węzłowych wykorzystamy koncepcję homotopii [11] z dyskretnym parametrem α ulokowanym wewnatrz wzoru Padégo. W tym celu w miejscu funkcji p(0,1u) we wzorze (3), umieścimy funkcję: gdzie: reprezentuje prąd. Rysunek 1 przedstawia metodę graficzną rozwiązywania równań h(u,α k )=0 oraz h(u,α k+1 )=0. Wynika stąd, że w przypadku przyjęcia założenia, że (u (k) ) * jest punktem startowym, czyli (u (k+1) ) (0) =(u (k) ) (*), należy wykonać dużą liczbę iteracji Newtona-Raphsona w celu obliczenia (u (k+1) ) *. Sytuacja ulega radykalnej poprawie, gdy napięcie u ~ jest przyjęte jako punkt startowy, czyli (u (k+1) ) (0) = u ~. Dla wyznaczenia u ~ rozwiązujemy równanie: Otrzymaną w ten sposób funkcję oznaczymy przez Dla α =0zachodzi: wobec czego jest gładką funkcją o umiarkowanej szybkości narastania. W rezultacie równania węzłowe mogą być efektywnie rozwiązane. Dla α = 1, jest aproksymacją Padégo funkcji e 0,1u. Zgodnie z ideą homotopii znajduje się rozwiązanie dla α = α k, a następnie wykorzystuje je do wyznaczenia rozwiązania dla α = α k+1. W tym celu zastosowana zostanie metoda Newtona-Raphsona. Krytyczne znaczenie ma tu znalezienie punktu startowego dla α = α k+1 na podstawie znanego rozwiązania dla α = α k. Proponowana metoda w tym zakresie zostanie wyjaśniona na prostym przykładzie. Rozważmy obwód złożony z rezystora R i diody połączonych szeregowo, zasilanych ze źródła napięcia stałego E. Obwód ten można opisać równaniem: (4) Opisane wyżej podejście można bezpośrednio uogólnić na przypadek układu równań węzłowych opisujących obwód tranzystorowy. W celu efektywnej implementacji tej metody tworzy się dyskretne, równoważne obwody stowarzyszone z metodą Newtona-Raphsona [2], [4-5] i uaktualnia ich parametry po każdej iteracji. W rezultacie otrzymuje się bardzo efektywną i przejrzystą metodę, pozwalającą w wielu przypadkach szybko obliczać punkt pracy, nawet wówczas, gdy metoda Newtona-Raphsona zawodzi. Znajdowanie punktu pracy z uwzględnieniem zjawiska samonagrzewania Naszkicowana metoda umożliwia obliczenie punktu pracy, gdy temperatura chipu jest równa temperaturze otoczenia T α. W celu skorygowania tak otrzymanego rozwiązania, z uwzględnieniem zjawisk termicznych, należy zastosować zależność wyrażającą moc wydzieloną w chipie w funkcji temperatury, opisaną wzorem [13-16] gdzie: θ oznacza rezystancję termiczną chipu. Równanie (5) opisuje na płaszczyźnie T - p linię prostą. Rozwiązanie uwzględniające efekt samonagrzewania otrzymujemy stosując typowe podejście zilustrowane na rys. 2. (5) Rys. 2. Ilustracja metody uwzględniającej zjawisko samonagrzewania Fig. 2. Illustration of the method considering the thermal behavior of the chip Uwaga Rys. 1. Ilustracja procedury wyznaczania punktu startowego Fig. 1. Illustration of the procedure for finding the initial guess Kluczowym ogniwem procesu obliczeniowego jest wyznaczenie rozwiązania (punktu pracy) dla T = T α. Metoda omówiona wcześniej jest tu bardzo przydatna i decyduje o jego efektywności. Pozostałe rozwiązania w temperaturach T (1), T (2),... są obliczane natychmiast za pomocą metody Newtona- ELEKTRONIKA 11/

3 Rys. 4. Przykładowy obwód tranzystorowy Fig. 4. Transistor circuit for the example 142 ELEKTRONIKA 11/2008

4 Rys. 3. Ilustracja metody wyznaczania charakterystki temperaturowej Fig. 3. Illustration of the method for finding of the temperature characteristic Raphsona, ponieważ rozwiązanie odpowiadające T = T (j) jest bardzo dobrym punktem startowym dla rozwiązania w temperaturze T = T (j+1). Opisany algorytm umożliwia obliczenie punktu pracy, z uwzględnieniem zjawiska samonagrzewania, przy ustalonej temperaturze otoczenia. Niewielka modyfikacja tego algorytmu pozwala uwzględnić to zjawisko przy różnych temperaturach otoczenia T α, prowadząc do charakterystyk temperaturowych, wyrażających napięcia odpowiadające punktowi pracy w zależności od T α, w zadanym przedziale temperatur [T α,t α + ]. Szkic schematu obliczeniowego: 1. Wyznaczyć punkt pracy (rozwiązanie DC), a następnie moc wydzieloną w chipie w temperaturze T α, stosując opisany w niniejszym rozdziale algorytm (punkt A na rys. 3). Podstawić k = Niech, gdzie: T jest małym przyrostem temperatury. Korzystając z równania (5) określić temperaturę odpowiadającą obliczonej mocy. Dla tej temperatury przeformułować równania opisujące obwód i stosując metodę Newtona-Raphsona wyznaczyć nowe rozwiązanie, startując z poprzedniego wyniku. Obliczyć odpowiednią moc wydzieloną w chipie i kontynuować proces aż do uzyskania zbieżności (punkt B na rys. 3). Podstawić k := k Jeżeli zakończyć obliczenia, w przeciwnym wypadku przejść do punktu 2. Przykład obliczeniowy Rozważmy wzmacniacz tranzystorowy pokazany na rys. 4. Tranzystory zastapiono modelem Ebersa-Moll zawierającym rezystory R C = 0,33 W, R E = 0,81 W, R B = 3,3 W. Parametry tranzystorów są następujące: IS =1fA, BR = 4, BF = 400, XTI = 3, XTB = 1,5, EG = 1,11 ev. Rezystancja szeregowa diod równa się 0,8 W, a pozostałe parametry wynoszą: IS =1fA, N = 1, EG = 1,11 ev, XTI =3. Przyjęto współczynnik temperaturowy rezystorów liniowych T C1 = /K oraz rezystancję termiczną chipu θ = 80 C/W. Tworzymy równoważny obwód dyskretny stowarzyszony z metodą Newtona-Raphsona i formułujemy standardowy opis węzłowy. W rezultacie otrzymujemy układ 261 równań. W pierwszym etapie analizy przyjmujemy stałą temperaturę chipu równą temperaturze otoczenia T α = 27 C. Otrzymany obwód rozwiązujemy omówioną w rozdziale 2 metodą homotopijną z parametrem przyjmującym dyskretne wartości: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. Metoda wymaga wykonania 17 iteracji w czasie 0.86 s na komputerze z procesorem Core 2 Duo Przykładowo, napięcia w węzłach A, B i C zaznaczonych na rys. 4, wynoszą odpowiednio: 1,970; 1,940 oraz - 2,632 V. Należy podkreślić, że standardowa metoda Newtona-Raphsona z tym samym punktem startowym nie daje rozwiązania w 1000 iteracji. W celu uwzglednienia zjawiska samonagrzewania zastosowano następnie omówioną procedurę otrzymując skorygowane napięcia w węzłach A, B i C: 1,957; 1,914 i -2,762 V. Wymaga to przeprowadzenia 7 iteracji w czasie 0,35 s. Temperatura odpowiadająca otrzymanemu rozwiązaniu wynosi 55,3 C. Następnie wyznaczamy charakterystyki napięć w węzłach C i D (rys. 4) w funkcji temperatury otoczenia w przedziale (27-90) C z krokiem 1 C. W tym celu stosujemy algorytm podany wcześniej, otrzymując wyniki pokazane na rys. 5 i 6 w czasie 6,5 s. Rys. 5. Charakterystyka temperaturowa n c = f c Fig. 5. Temperature characteristic n c = f c Rys. 6. Charakterystyka temperaturowa n D = f D Fig. 6. Temperature characteristic n D = f D Podsumowanie Centralnym ogniwem algorytmu wyznaczania punktu pracy (rozwiązania DC) układu tranzystorowego, z uwzględnieniem zjawiska samonagrzewania, jest bardzo efektywna metoda analizy DC wykorzystując ideę homotopii i aproksymacji Padégo, omówiona wcześniej. Metoda ta decyduje o skuteczności algorytmu i szybkości jego działania. Ponadto bardzo przydatny jest tu elektryczny analog termicznego zachowania chipu. Zaproponowane szybkie narzędzie badawcze pozwala dodatkowo efektywnie analizować zmiany temperatury otoczenia, prowadząc do charakterystyk temperaturowych. Literatura [1] Ortega J. M., Rheinboldt W. C.: Iterative solution of nonlinear equation in several variables. Academic Press, New York-London, [2] Chua L. O., Lin P. M.: Computer aided analysis of electronic circuits. Algorithm and computational techniques. Prentice-Hall, [3] Chua L. O., Wang N. N.: A new approach to overcome the overflow problem in computer aided analysis of nonlinear resistive circuits. Int. Journal of Cir. Theor. Appl., vol 3, pp , ELEKTRONIKA 11/

5 [4] Chua L. O., Desoer C. A., Kuh E. S.: Linear and nonlinear circuits. McGraw-Hill Book Company, [5] Tadeusiewicz M., Hałgas S.: Komputerowe metody analizy układów analogowych. Teoria i zastosowania. WNT, Warszawa [6] Tadeusiewicz M.: DC analysis of circuits with idealized diodes considering reverse bias breakdown phenomenon. IEEE Trans. on Cir. and Syst.-I, vol. 44, pp , [7] Tadeusiewicz M., Hałgas S.: Computing multivalued input-output characteristics in the circuits containing bipolar transistors. IEEE Trans. Cir. Syst.-I: Regular Papers, vol. 51, pp , [8] Tadeusiewicz M., Hałgas S.: Finding operating points of the diode-transistor circuits via homotopy approach. 8th Int. Workshop Computational Problems of Electrical Engineering, Przegląd Elektrotechniczny - Konferencje, ss , [9] Quarles T. L., Newton A. R., Pederson D. O., Sangiovanni-Vincentelli A.: SPICE-3. Version 3F5 User s Manual. Berkeley, CA: Dep. of EECS, Univ. California, [10] Kielkowski R. M.: Inside SPICE. McGraw-Hill, [11] Garcia C. B., Zangwill W. I.: Pathways to solutions, fixed points, and equilibria. Prentice-Hill, Inc. Englewood Cliffs, N. J, [12] [13] Gray P.R., Meyer R.G.: Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. J. Wiley & Sons, Inc., [14] Janke W.: Thermal effects in semiconductor devices and circuits. (in Polish) WNT, Warsaw [15] Package thermal characteristics. Actel, Application Note, February [16] Benson J.: Thermal characterization of packaged semiconductor devices. Intersil, Technical Brief 379, December Analogowy filtr Gm-C odbiornika GSM z automatycznym dostrajaniem częstotliwości dr inż. JACEK JAKUSZ Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki Szybki rozwój przenośnych urządzeń telekomunikacyjnych oraz stała tendencja do obniżania pobieranej mocy i zmniejszania rozmiarów tych urządzeń zmusza do poszukiwania nowych rozwiązań układowych. Jednym z ważniejszych bloków współczesnego scalonego odbiornika telefonii bezprzewodowej jest analogowy filtr kanałowy. Pełna integracja odbiornika w jednym układzie scalonym prowadzi do eliminacji zewnętrznych selektywnych filtrów sygnału lustrzanego i częstotliwości pośredniej [1-3,8]. Fakt ten powoduje, że scalone filtry kanałowe powinny się charakteryzować silnym tłumieniem sygnałów niepożądanych, dużą dynamiką oraz liniowością. Wykonanie filtru kanałowego jako układu analogowego umożliwia ponadto obniżenie poboru mocy i miniaturyzację scalonego odbiornika. Spośród filtrów możliwych do scalenia w technologii CMOS, filtry Gm-C cechują się niskim poborem mocy i małą powierzchnią struktury krzemowej [3,7]. Jednak praktyczna realizacja analogowych filtrów scalonych napotyka na problemy związane ze zmianą warunków pracy, rozrzutami procesu technologicznego i efektami pasożytniczymi. Z tych powodów wymagają one układów automatycznego dostrajania, które pozwalają na korekcję wpływu wymienionych czynników niepożądanych i osiągnięcie dobrej dokładności charakterystyk częstotliwościowych. W artykule przedstawiono dolnoprzepustowy filtr eliptyczny Gm-C 5. rzędu spełniający wymagania filtru kanałowego odbiornika GSM. Filtr został zaprojektowany i wykonany w technologii CMOS 0,8 µm AMS. Liniowy wzmacniacz transkonduktancyjny Do realizacji filtru zaprojektowano liniowy w pełni różnicowy wzmacniacz transkonduktancyjny (OTA) CMOS o schemacie przedstawionym na rys. 1. Zlinearyzowany przetwornik transkonduktancyjny stanowiący pierwszy stopień wzmacniacza zbudowany jest z dwóch połączonych krzyżowo par różnicowych M1, M2 i M3, M4 pracujących w zakresie nasycenia oraz nieuziemionego źródła napięciowego V B (rys. 1b) o małej rezystancji wyjściowej, włączonego pomiędzy źródła par różnicowych (węzły CR1 i CR2). Zakładając, że tranzystory M1-M4 są jednakowe i pracują w zakresie nasycenia, różnicowy prąd przetwornika I out = I 1 - I 2 jest określony wzorem: gdzie: k p - współczynnik transkonduktancyjny tranzystorów. Przetwornik charakteryzuje się liniową transkonduktancją o wartości G m = 2k p V B przestrajaną napięciem V B. Dokładny opis omawianego przetwornika transkonduktancyjnego można znaleźć w pracy [5]. Prąd wyjściowy przetwornika transkonduktancyjnego podawany jest na stopień wyjściowy wzmacniacza, który w celu uzyskania dużej rezystancji wyjściowej wykonano w postaci źródeł kaskodowych. Układ nieuziemionego źródła napięciowego V B cechuje się małą rezystancją wyjściową, dzięki zastosowaniu ujemnego sprzężenia zwrotnego. Wielkość napięcia wyjściowego źródła jest liniowo regulowana przez zmianę napięcia przestrajającego V CF. Napięcie sumacyjne na wyjściu wzmacniacza jest stabilizowane przez układ sprzężenia zwrotnego dla sygnałów wspólnych [4]. Wzmacniacz OTA zaprojektowano do realizacji filtru kanałowego odbiornika GSM o częstotliwości granicznej 100 khz. W celu realizacji odpowiednich wielkości stałych czasowych integratorów filtru przyjęto projektowaną wartość transkonduktancji wzmacniacza OTA równą 2,5 µs. Transkonduktancja Gm może być przestrajana elektronicznie w za- 144 ELEKTRONIKA 11/2008