Symulacja w Badaniach i Rozwoju

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Symulacja w Badaniach i Rozwoju"

Transkrypt

1 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Redaktor Naczelny prof. dr hab. Leon BOBROWSKI Vol. No. / Redaktor numeru: Prof. dr hab. inŝ. Kazimierz FURMANIK Polskie Towarzystwo Symulacji Komputerowej Warszawa

2 Rada Programowa Prof. dr hab. inŝ. Roman BOGACZ - Przewodniczący Prof. dr hab. Leon BOBROWSKI Prof. dr hab. inŝ. Andrzej CHUDZIKIEWICZ Prof. dr hab. Kurt FRISCHMUTH Prof. dr hab. inŝ. Kazimierz FURMANIK Dr inŝ. Zdzisław GAŁKOWSKI Prof. dr hab. inŝ. Andrzej GRZYB Prof. dr Ralph HUNTSINGER Prof. dr hab. inŝ. Wojciech KACALAK Prof. dr hab. inŝ. Edward KOŁODZIŃSKI Prof. dr hab. inŝ. Tomasz KRZYśYŃSKI Prof. dr hab. Volodymyr MASZTALIR Prof. dr hab. inŝ. Mirosław NADER Prof. dr hab. Józef NIZIOŁ Prof. dr hab. inŝ. Tadeusz NOWICKI Prof. dr hab. inŝ. Marek PIETRZAKOWSKI Dr Zenon SOSNOWSKI Prof. dr hab. inŝ. Zygmunt STRZYśAKOWSKI Prof. dr hab. inŝ. Wojciech TARNOWSKI Prof. dr hab. inŝ. Andrzej TYLIKOWSKI Prof. dr hab. inŝ. Jerzy WRÓBEL Prof. dr Borut ZUPANČIČ Sekretarz Redakcji Dr Zenon SOSNOWSKI Adres Redakcji Polskie Towarzystwo Symulacji Komputerowej c/o IBIB PAN ul. Ks. Trojdena (pok. 3) -9 Warszawa ISSN 8-65 Nakład: egz. Druk BEL Studio sp. z o.o Warszawa ul. Powstańców Śl. 67 B tel.fax (+8 ) Publikacja dofinansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyŜszego

3 Spis treści Jacek Feliks Badania symulacyjne ruchu grudek w rynnowym grudkowniku wibracyjnym Zdzisław Gałkowski Drgania swobodne układu dynamicznego ze sprzęgłem tulejowym wykonanym z materiału o nieliniowym tłumieniu wewnętrznym Sebastian Głowiński, Tomasz KrzyŜyński Simulation of trajectory of an aircraft seat ejection Paweł KałuŜny Modelowanie i symulacje ciągów zdarzeń w grafach czasowych Jerzy Krawczuk, Leon Bobrowski Short term prediction of stock index changes based on linear classification Edward Rydygier, Zygmunt StrzyŜakowski Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor Zbigniew Tarapata, Paweł Godlewski Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki Indeks autorów... Lista recenzentów vol. /... 33

4 3

5 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Jacek FELIKS Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Maszyn Górniczych, Przeróbczych i Transportowych Badania symulacyjne ruchu grudek w rynnowym grudkowniku wibracyjnym Wstęp W Katedrze Maszyn Górniczych, Przeróbczych i Transportowych AGH skonstruowano i przebadano rynnowy grudkownik wibracyjny pokazany na rysunku. Grudkownik ten zbudowany jest z rynny wykonującej drgania kołowe wokół własnej osi. Materiał pylisty znajdujący się w rynnie jest podrzucany, a po powtórnym zetknięciu się z rynną następuje jego zbrylanie (grudkowanie). Zasadniczym celem badań grudkowania opisanych w pracy [] było określenie zależności wytrzymałości wytworzonych grudek od wskaźnika podrzutu. Parametr ten charakteryzuje jakość otrzymanego granulatu. Rys.. Rynnowy grudkownik wibracyjny wyposażony w ślimak Fig.. Chute balling tamper with a snail Badania polegały na zgranulowaniu pyłu przy określonym wskaźniku podrzutu, a następnie grudki po ok. 3 [min] od zakończenia grudkowania były ściskane na urządzeniu opisanym w pracy []. Badanie to określa wartość wytrzymałości grudek na naciski statyczne. Wyniki otrzymane obrazuje przykładowy wykres. Niskie wartości wytrzymałości grudek wytworzonych przy wskaźniku podrzutu u =6 były pewnym zaskoczeniem, gdyż właśnie dla tej wartości zgodnie z przebiegami 35

6 Jacek FELIKS przedstawionymi w pracy [] spodziewano się uzyskać produkt o najwyższej wytrzymałości. Maksymalne wartości uzyskano przy nieco mniejszej wartości wskaźnika podrzutu leżącego w wąskim przedziale u =5 5,5. Różnica w położeniu maksymalnej wartości wytrzymałości grudki w porównaniu z wcześniejszymi rozważeniami (praca []) spowodowana mogła być kształtem rynny. Wąski przedział maksymalnych wartości sił ściskających i gwałtowne spadki tej siły są zgodne z rozważaniami teoretycznymi. Różnice w siłach ściskających grudki dla amplitudy A=8,3 [mm] i A=,5 [mm] przy wskaźniku podrzutu u =5 5,5 były niewielkie, co jest zgodne z rozważaniami na temat mocy przekazywanej grudce. A = 3, [mm] P [N] 8 Rys.. Zależność wytrzymałości grudek od wskaźnika podrzutu dla amplitudy 3. mm Fig.. Dependence of strength of pellets from the ejection rate for the amplitude of 3. mm W celu wyjaśnienia przyczyn tych rozbieżności postanowiono przeanalizować dokładniej ruch grudki w rynnowym grudkowniku wibracyjnym wykorzystując w tym celu metodę symulacji. Aby ta analiza była bardziej dokładna postanowiono uwzględnić półokrągły kształt rynny grudkownika jak również położenie początkowe grudki na ściance rynny. Opis programu do symulacji ruchu grudki w grudkowniku Wstępna próba analizy teoretycznej ruchu grudki wykorzystuje model, w którym zastosowano duże uproszczenia. Powierzchnia podrzucająca była płaska (układ jednoosiowy), a nie jak jest w rzeczywistości półokrągła (płaski układ współrzędnych). Dodatkowo nie było możliwe ustalenie położenia początkowego grudki na ściance, jak również nie uwzględniono drugiej poziomej składowej prędkości. Przypuszczano, że te uproszczenia spowodowały niewielkie rozbieżności w położeniach optymalnych wskaźników podrzutu. W celu otrzymania dokładniejszych wyników analizy przeprowadzono próbę symulowania ruchu grudki w grudkowniku. Do symulacji tej opracowano model rynny grudkownika pokazany na rysunku 3. Model ten jest poprzecznym przekrojem rynny o określonym promieniu wykonujący ruch obrotowy wokół własnej osi. W rynnie tej znajduje się grudka o ustalonej średnicy. 36

7 Badania symulacyjne ruchu grudek w rynnowym grudkowniku wibracyjnym W modelu tym w porównaniu do modelu z pracy [] uwzględniono półokrągły kształt rynny jak i położenie początkowe grudki na ściankach grudkownika. Model ten był zgodny z zaobserwowanym układaniem się warstwy materiału w grudkowniku. Model, który opracowano do symulacji jest opisem ruchu grudki w płaszczyźnie prostopadłej do osi rynny. W czasie analizy założono, że rynna wykonuje drgania kołowe w płaszczyźnie prostopadłej do jej osi, a grudka jest podrzucana w tej płaszczyźnie. Symulacja ta opiera się na rozważaniach z pracy [] z tą różnicą, że uwzględniono dwie składowe prędkości (x oś pozioma, y oś pionowa). Dodatkowo w modelu uwzględniono przesunięcie początkowe grudki w prawą stronę o wartość x. Rys. 3. Model podrzucania grudki w rynnie Fig. 3. Model tossing lumps in the gutter W programie istnieje możliwość zasymulowania trzech wartości promienia rynny 5 [mm], [mm] i 75 [mm], czyli takie jakie posiadał grudkownik, na którym wykonywane będą badania. Średnicę grudki przyjęto [mm], co jest zgodne z przeciętną wielkością grudek otrzymywanych w badaniach. Parametry symulacji ustawiono na podstawie wstępnych analiz. Dokładność próbkowania ustawiono na, [ms] co stanowiło ok. / cyklu drgań. Taka precyzja próbkowania dała wystarczającą dokładność symulacji, a sama symulacja nie trwa zbyt długo. Zasada działania programu symulacyjnego jest następująca: program symulacyjny w każdej chwili czasu wylicza: położenie rynny w dwóch osiach: x r = Asin(ωt+π/), y r = Acos(ωt+ π /), prędkość rynny: v xr = Aωcos(ωt+ π /), v yr = - Aωsin(ωt+ π /), przyspieszenie rynny: a xr = - Aω sin(ωt+ π/), a yr = - Aω cos(ωt+ π/). 37

8 Jacek FELIKS Następnie oblicza położenie, prędkość i przyspieszenie grudki. W tym przypadku obliczenia te uzależnione są od spełnienia warunku podrzutu. Wydzielono tu dwa sposoby obliczeń: W momencie, gdy nie jest spełniony warunek podrzutu (a y <-g) - położenie grudki, jej prędkość i przyspieszenie jest równe położeniu, prędkości i przyspieszeniu rynny. W momencie, gdy nastąpi oderwanie się grudki: o przyspieszenie grudki wynosi: a gx =, a gy = -g. o prędkość: v gx = v gxp v gy = v gyp g (t-t p ) o położenie: x g =x p +v gxp (t-t p ), y g =y p +v gyp (t-t p ) - g (t-t p ) /, v gxp, v gyp prędkości początkowe obliczone w chwili oderwania grudki od rynny. Od tego momentu obliczana jest odległość pomiędzy położeniem osi rynny a środkiem grudki ze wzoru: odl sr = x x ) + ( y y ). ( sr g sr g Następnie sprawdzamy warunek zetknięcia grudki z rynną: odl sr < R rynny r grudki. W momencie, gdy nastąpi zetknięcie grudki z rynną przerywamy symulacje i obliczamy prędkość względną ze wzoru: v wzg = v v ) + ( v v ). ( xg xr yg yr Wartość tej prędkości zostaje zapamiętana w tablicy. Przykładowy zrzut z ekranu programu symulacyjnego pokazano na rys.. Program do symulacji umożliwiał ustawienie stałej amplitudy drgań rynny grudkownika, której regulacja jest możliwa w zakresie od do [mm] ze skokiem [mm] przy pomocy suwaka. Określono również położenie początkowe grudki w osi rynny lub na jej ściankach. Możliwa jest zmiana promienia rynny. Dodatkowo określano maksymalny czas trwania pojedynczego cyklu drgań. W trakcie jednej serii symulacji zmieniano płynnie częstotliwość drgań rynny w zakresie od do [rad/s] ze skokiem [rad/s]. Dzięki takim parametrom mogliśmy uzyskać wskaźnik podrzutu w granicach od u =,5 (przy najwyższej amplitudzie). Dla niższych amplitud maksymalny wskaźnik podrzutu otrzymywany w czasie jednej serii jest ograniczony wzorem : u max A ω A max = = = 9, A g 9,8 38

9 Badania symulacyjne ruchu grudek w rynnowym grudkowniku wibracyjnym Rys.. Ekran programu symulacyjnego Fig.. Screen simulation program Program umożliwia pracę w dwóch trybach z obserwacją ruchu grudki lub z wyłączoną animacją. W drugim trybie program działa dużo szybciej przez co znacznie skraca czas otrzymania wyników. Czas trwania jednego cyklu jest ograniczony na dwa sposoby: w pierwszym przypadku czasem określonym przez operatora (nastąpi to tylko w sytuacji, gdy parametry dynamiczne grudkownika nie spowodują podrzutu grudki), w pozostałych sytuacjach przerwanie cyklu następuje w momencie, gdy grudka zderzy się z rynną. Dla każdego badania program oblicza prędkość względną grudki i rynny w momencie zderzenia. Prędkość ta wraz ze wskaźnikiem podrzutu dla jakiego ta sytuacja wystąpiła zapisywane są w tabeli. Po zakończeniu całej serii symulacji możemy uzyskać wykres tych zależności. 3 Przeprowadzone symulacje Symulację przeprowadzono dla pojedynczej grudki, którą usytuowano w różnych położeniach początkowych (rys. 5): w środkowym położeniu grudki centralnie na dnie rynny (pierwsza od lewej), przesunięta początkowo grudka o 3 [mm] w prawo od osi rynny, przesunięta początkowo grudka o 6 [mm] w prawo od osi rynny. 39

10 Jacek FELIKS Rys. 5. Położenia początkowe grudki Fig. 5. The positions of the initial clumps Pozostałe parametry symulacji były następujące: amplituda A = 9 [mm], częstotliwość drgań ω = [rad/s], co umożliwiało przeprowadzenie symulacji wskaźnika podrzutu w zakresie A ω min A ω od u min = =, 37 do max u max = = 9, 7, g g promień rynny 5 [mm] rynna podstawowa. Wynik symulacji dla środkowego położenia grudki pokazano na wykresie 6. Rys. 6. Środkowe położenie początkowe grudki Fig. 6. The central location of the initial clumps 33

11 Badania symulacyjne ruchu grudek w rynnowym grudkowniku wibracyjnym Dla zobrazowania zmian pokazano wyniki symulacji na jednym wspólnym wykresie (rys. 7). dla trzech przesunięć grudki Jak można zauważyć, zmiana początkowego położenie grudki na prawą ściankę ma wpływ na położenia maksymalnych wartości prędkości względnej. Dla środkowego położenia wartości te występują dla wskaźników podrzutu u =,9 i 6, co jest zgodne z wcześniejszymi rozważaniami. W drugim przypadku (przesunięcie o 3 mm) te maksima występują dla u =,5 i 6, a w trzecim przypadku (przesunięcie o 6 mm) dla u =, i 5,7. Z wykresu tego wynika, że optymalne wskaźniki podrzutu są niższe od wartości otrzymanych w czasie analizy podrzutu grudki na płaskiej powierzchni opisanej w pracy[]. Symulacja ta pokazuje, że: w porównaniu z wcześniejszą analizą [] uwzględnienie zakrzywienia rynny w niewielkim stopniu wpływa na zmianę położenia optymalnych wskaźników podrzutu (zmiana z wartości 3 na,9 oraz z 6,3 na 6,) (rys. 6), uwzględnienie dodatkowo nieśrodkowego początkowego usytuowania grudki w rynnie wpływa na wyraźne przesunięcie optymalnych wskaźników podrzutu (z,9 na, i z 6, na 5,7) (rys. 7). Rys. 7. Wspólny wykres dla trzech położeń początkowych grudki: - środkowe położenie początkowe grudki, - przesunięta grudka o 3 mm, 3 przesunięta grudka o 6 mm Fig. 7. Joint plot for the three lumps of initial positions: - middle initial position papules, - delayed papule 3 mm, 3 - delayed papule 6 mm 33

12 Jacek FELIKS Badania symulacyjne dla różnych średnic rynny Drugim etapem było poszerzenie badań symulacyjnych, w których uwzględniono różne promienie rynny. Symulacje przeprowadzono dla pojedynczej grudki dla trzech różnych średnic rynny (rynna o promieniu 5 [mm], rynna [mm] i rynna 75 [mm]). W pierwszym etapie grudka znajduje się w środkowym położeniu początkowym (rys. 8). Rys. 8. Wykres zależności prędkości względnej od wskaźnika podrzutu dla trzech promieni rynny i środkowego położenie grudki Fig. 8. Graph of the relative velocity of the ejection rate for the three rays gutters and central location of the pellet Jak widać z przedstawionego wykresu dla środkowego położenia początkowego grudki krzywe się pokrywają. Wynika z tego, że w takim przypadku promień rynny nie ma większego wpływu na prędkość względną grudki i rynny w chwili zderzenia. Drugi rozpatrywany przypadek dotyczy położenia na ściance rynny przy przesunięciu x = 3 mm (rys. 9). W tym przypadku możemy zauważyć pewne przesunięcie maksymalnych wartości prędkości. Przesunięcie to jest bardziej związane z tym, że wartość x wynosząca 3 mm, jest proporcjonalnie większa dla rynny o R=75 mm niż dla rynny o promieniu R= 5 mm. W celu weryfikacji badań symulacyjnych przeprowadzono badania doświadczalne, których wyniki pokazano w tabeli. 33

13 Badania symulacyjne ruchu grudek w rynnowym grudkowniku wibracyjnym Rys. 9. Wykres zależności prędkości względnej od wskaźnika podrzutu dla trzech promieni rynny i środkowego położenie grudki Fig. 9. Graph of the relative velocity of the ejection rate for the three rays gutters and central location of the pellet Tabela. Wyniki badań grudek Table. The results of lumps Promień rynny R [mm] Stopień wypełnienia ϕ [%] Średnica grudek [mm] Średnia siła niszcząca grudki [N] Średnia przeliczeniowa siła niszcząca grudki [N] 75,8 8,5 8, 75,3 5 5, 7,3,8 3,5 8,6,3 7,3 7,3 5,8 8, 8, 5,3 7,6 7,6 - Średnia przeliczeniowa siła niszcząca grudki przeliczona wg wzoru dla grudek o średnicy [mm] (praca []). 5 Wnioski Symulacja ta analizuje pojedynczą grudkę, a nie jak to jest w rzeczywistości warstwę materiału, co jest znacznym uproszczeniem. Wyniki jednak można odnieść do warstwy, ponieważ jak zaobserwowano warstwa materiału w trakcie grudkowania przemieszcza 333

14 Jacek FELIKS się na ściankę rynny. Z tego wynika, że poszczególne grudki również są przesunięte o x od osi rynny. Można przyjąć zatem, że wystąpi ogólna tendencja przesunięcia optymalnych wskaźników podrzutu ku niższym wartościom, co zostało potwierdzone badaniami [, ]. Nie stwierdzono natomiast wyraźnego wpływu promienia rynny na wytrzymałość grudek ( tabela ). Siła niszcząca grudki o średnicy [mm] oscyluje wokół wartości 7,5 [N], a średnie odchylenie od tej wartości wynosi 8 %. Literatura. Banaszewski T., Filipowicz A., Feliks J.: Dobór parametrów drgań dla grudkownia wibracyjnego. Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, Nr 8, Łódź.. Banaszewski T., Filipowicz A., Feliks J.: Badania grudkowania w rynnowym grudkowniku wibracyjnym w sposób ciągły. Inżynieria i Aparatura Chemiczna, Nr 3/3. Gliwice Banaszewski T.: Przesiewacze. Wyd. Śląsk, Katowice 99.. Feliks J.: Porównywanie wytrzymałości granulek o różnych średnicach. Inżynieria i Aparatura Chemiczna, Gliwice Patent PL nr 975. Wibracyjny grudkownik rynnowy. Streszczenie W Katedrze Maszyn Górniczych Przeróbczych i Transportowych skonstruowano rynnowy grudkownik wibracyjny. Wstępne badania grudkowania wykazały wyraźną zależność pomiędzy parametrami kinematycznymi a wytrzymałością grudek na ściskanie. Aby wyjaśnić te zależności wykonano badanie symulacyjne pracy tego typu grudkownika. W badaniach pokazano zależności pomiędzy wskaźnikiem podrzutu a prędkością względną grudki i grudkownika w trakcie zderzenia dla różnych amplitud drgań i jak również trzech średnic rynny. Wyniki symulacji te pozwalają na określenie najkorzystniejszych parametrów grudkowania. Symulacje zostały porównane z badaniami na laboratoryjnym stanowisku badawczym. The simulation of pellets motion in the novel vale vibratory pelleter Summary The target of researches was determination of dependence between toss indicator and reliability of fabricated pellets. The max value was obtained by lowest value of ndicator then stem from theoretical consideration. Probably the difference maybe brought by shape of vale. The exact analysis by used the simulation of pellets motion in pelleter can explain causes of difference. They showed dependencies between the toss indicator and the relative speed of a lump and balling device during collision, for different vibration amplitudes and three chute diameters. The simulations were compared with researches conducted on a laboratory balling vibration chute. 33

15 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Zdzisław GAŁKOWSKI Warsaw University of Technology, Institute of Machine Design Fundamentals ul. Narbutta 8, 5 Warszawa, Polska tel. () Drgania swobodne układu dynamicznego ze sprzęgłem tulejowym wykonanym z materiału o nieliniowym tłumieniu wewnętrznym Wstęp Z pracą maszyn i urządzeń nierozerwalnie związane jest występowanie drgań, będące skutkiem niewyważenia elementów wirujących bądź zewnętrznych wymuszeń. Zjawisko to jest szkodliwe zarówno ze względów eksploatacyjnych jak i technologicznych. Koniecznym jest więc ich tłumienie, będące przejawem rozpraszania energii mechanicznej. Na tłumienie drgań wpływ mają właściwości środowiska, w którym zachodzi ruch układu (aerodynamiczne i hydrodynamiczne), tarcie w podporach i połączeniach oraz tarcie wewnętrzne w materiale. Straty energii na tarcie w nierozłącznych połączeniach nazwane zostały tłumieniem konstrukcyjnym. Tego rodzaju tarcie potocznie nazywa się tarciem konstrukcyjnym. Istotą tarcia konstrukcyjnego jest uwzględnianie sił tarcia na powierzchni kontaktu elementów i ich odkształcenie sprężyste. Tarcie konstrukcyjne jest jednym z naturalnych sposobów tłumienia drgań. Badania zagadnień tłumienia konstrukcyjnego odnoszą się do uproszczonych typowych modeli nierozłącznych połączeń i przeprowadza się je przy następujących założeniach, podanych w pracy [3].. Materiał elementów połączenia jest idealnie sprężysty.. Intensywność sił tarcia na powierzchni wzajemnego poślizgu elementów łączonych opisuje się prawem Coulomba. 3. Naciski jednostkowe występujące w połączeniu mają rozkład równomierny. Przy przyjętych założeniach możliwe jest przeprowadzenie badań właściwości sprężysto tłumiących typowych modeli połączeń. Budowa modelu matematycznego Przyjmijmy do analizy nierozłączne, wtłaczane połączenie tuleja wał, w którym wał jest niepodzielony, a tuleja osadzona na wale stanowi tłumik drgań skrętnych. Połączenie to jest modelem sprzęgła tulejowego występującego często w konstrukcjach maszyn i urządzeń, jako jeden z elementów łańcucha kinematycznego. Schemat przyjętego układu, uwzględniającego połowę długości wału i tulei, przedstawiono 335

16 Zdzisław GAŁKOWSKI na rys.. Przyjmijmy też, że naciski mają rozkład równomierny, oraz że współczynnik tarcia suchego ma stałą wartość na całej długości. Przyjmijmy również, odmiennie w stosunku do klasycznych założeń, że połączenie wykonane jest z materiału Rys.. Schemat badanego układu dynamicznego Fig.. A scheme of the analyzed system o właściwościach lepkosprężystych opisywanych zespolonym modułem sprężystości na skręcanie, o nieliniowym współczynniku tłumienia wewnętrznego: 336 ( iβ ) * G = G +, () gdzie: G moduł sprężystości postaciowej (Kirchhoffa), β = β + βϕ A signϕ A + βϕ A współczynnik tłumienia wewnętrznego. Dokonując prostych przekształceń, otrzymujemy zależność na zespoloną sztywność na skręcanie w postaci: ( iβ ) * k s = k s +. () Oznaczając przez ϕ kąt skręcenia pręta, moment skrętny elementu lepkosprężystego, na podstawie [], można wyrazić w postaci: ksβ M s = ksϕ + & ϕ = ksϕ + l & ϕ, (3) ω gdzie l jest współczynnikiem tłumienia wiskotycznego reprezentującym właściwości tłumienia wewnętrznego materiału. W przyjętym modelu dynamicznym, uwzględniającym występowanie tarcia konstrukcyjnego, na powierzchni styku tulei i wału występuje tarcie suche. Jednostkowa siła tarcia określana jest prawem Coulomba, a więc jest proporcjonalna do nacisku i opisana jest zależnością: gdzie: p nacisk jednostkowy, q T = p f, ()

17 Drgania swobodne układu dynamicznego ze sprzęgłem tulejowym wykonanym z materiału o nieliniowym tłumieniu wewnętrznym f współczynnik tarcia suchego. Przyjmując do analizy, hipotezy sformułowane w pracy [3], przyjęto następujące założenia: długość połączenia jest wystarczająco duża, tak aby nie nastąpił obrót wału względem tulei, w przypadku wystąpienia maksymalnego momentu obciążającego układ, współczynnik tarcia ma stałą wartość na całej długości połączenia, w strefach względnego poślizgu pomiędzy wałem i tuleją, pojawią się jednostkowe siły tarcia o rozkładzie równomiernym, w strefach w których poślizg nie nastąpił, momenty od sił tarcia nie występują. Przy tak przyjętych założeniach, jednostkowy moment tarcia jest stały i wynosi: gdzie: r w promień wału. m = πr q, (5) T Kąt skręcenia przekroju II II względem przekroju I I, opisujący właściwości sprężysto tłumiące połączenia, w dowolnym etapie ruchu, na podstawie [] ma postać: ϕ gdzie: ( ) ( M ) ϕ ( M ) A M A w T ( M M ) M M A 3k + 3k A = sign & A A k l p + ϕ (6) G I k m G I W W ϕ maksymalne przemieszczenie układu w końcu i-tego etapu ruchu, k G I w w = współczynnik udziału sztywności wału w sztywności GwI w + GT I T połączenia, G wi w sztywność wału, G T I T sztywność tulei, l p długość połączenia. Przekształcając odpowiednio równanie (6), otrzymujemy wyrażenie określające wartość momentu skrętnego pochodzącego od sił tarcia, uogólnionego na dowolny etap ruchu, w postaci: k M µ µ κϕ sign & ϕ µ κ ( ϕ ϕ ) sign & ϕ sign & T = pk pk A + pk + A ϕ (7) κ gdzie: k = mt GwI w współczynnik sprężystości tarcia, mt l P µ p = współczynnik określający długość połączenia, G I w W 3k + 3k κ = współczynnik. k Równanie ruchu przedstawionego układu dynamicznego, można przedstawić w postaci: T W W 337

18 Zdzisław GAŁKOWSKI ( ϕ ϕ ) sign & ϕ sign & = k I & ϕ + l & ϕ + µ µ κϕ & p k pk A sign ϕ + µ pk + κ p ϕ κ ( t) = M. (8) Po dokonaniu odpowiednich przekształceń, (rozwinięcie w szereg), mających na celu wyłonienie członu proporcjonalnego do przemieszczenia, równanie ruchu otrzymujemy w postaci: gdzie: k βk k I & ϕ + k sϕ = M p p A ϕ ω κ s ( t) & ϕ + { µ k + µ k κϕ sign & + n N ( ) [ ( ) ]! κϕ µ κϕ sign & ϕ n n sign & pk A + ϕ (9) n n= n! ( n )! µ κϕ sign & ϕ pk A s k = współczynnik sztywności połączenia na skręcanie. µ k κϕ sign & ϕ p Zależność (9) możemy przedstawić w postaci: 3 Rozwiązanie równania ruchu A ( t) F( ϕ,ϕ& t) I& ϕ + k s ϕ = M +,. () Analizę równania ruchu (9) przeprowadzimy dla przypadku drgań swobodnych. Rozwiązania równania (9) będziemy poszukiwać przy pomocy asymptotycznej metody Bogoliubowa Kryłowa Mitropolskiego podanej w pracy [], przyjmując pierwsze przybliżenie w postaci: W równaniu powyższym pierwszego przybliżenia: dϕ A = A A dt dξ = ω ω dt gdzie: ω częstość drgań własnych. ( Θ ξ ) ϕ = ϕ A cos +. () ϕ A i ξ wyznaczamy z układu równań różniczkowych ( ϕ, t, ξ ) ( t) + B ( ϕ A, t, ξ ), () Dokonując odpowiednich przekształceń równania () otrzymujemy w postaci: gdzie: B A π, sinϑdϑ πiω ( ϕ A t, ξ ) = F ( ϕ A, ϑ), π ( ϕ, t, ξ ) F ( ϕ, ϑ) cosϑd, (3) = A A πiω ϕ () A ϑ A 338

19 Drgania swobodne układu dynamicznego ze sprzęgłem tulejowym wykonanym z materiału o nieliniowym tłumieniu wewnętrznym ϑ = Θ + ξ F ( ϕ ϑ) = F( ϕ cosϑ, ω ϕ sinϑ) A, A A. (5) Podstawiając równania (3) i () do układu równań (), równania pierwszego przybliżenia przyjmują postać: dϕ A = dt πiω π F ( ϕ, ϑ) π A sinϑdϑ, (6) dξ = ω ω( t) FA( ϕ A, ϑ) cosϑdϑ dt πiω ϕ. (7) A Po przeprowadzeniu całkowania i odpowiednich przekształceń, równania (6) i (7) określające pochodną amplitudy i pochodną fazy otrzymujemy w postaci: dϕ A k = { µ pk + µ pk + κϕ A µ pk + κϕ A } dt πiω κ oraz int ( N ) j= j [ ( j ) ]! κϕ A ωϕ A, j (8) + ( j )! ( j)! µ pk κϕ + A β ( j)! ( j + )! ( j)! dξ k int ( N ) = ω j+ dt Iωϕ Aκ j= ( j + )! [ ( j + ) ]! κϕ µ A pk + κϕ A gdzie: β = β + β ϕ + β ϕ współczynnik tłumienia wewnętrznego materiału. A A Korzystając z otrzymanych zależności (8) i (9) przeprowadzono symulację komputerową określając wpływ nieliniowego tłumienia wewnętrznego materiału na przebieg amplitudy drgań swobodnych. Do obliczeń za [7] przyjęto, że elementy połączenia wykonane są ze stali E95 (St5) o następujących wartościach współczynników tłumienia wewnętrznego: β = 3,8 -, β = 3,5 - oraz β =,7-7. Wyniki symulacji cyfrowej przedstawiono w postaci wykresu przedstawionego na rys. Na wykresie tym przedstawiono przebieg amplitudy drgań swobodnych układu, dla połączenia wykonanego z materiału lepkosprężystego oraz porównano z amplitudą układu wykonanego z materiału sprężystego. Z przedstawionego wykresu wynika, że amplitudy te są prawie jednakowe, a zatem efekt tłumienia jest minimalny. j, (9) 339

20 Zdzisław GAŁKOWSKI,, amplituda [rad],8,6,,,5,,5, czas [sek] Rys.. Przebieg amplitudy drgań Fig.. Vibrations amplitude Tabela Table Czas,,5,5,75 O,,5 m. spręż,,,55768e-,83937e-,833e-,966e-,586e- m. z tłum.,,557e-,8365e-,8e-,9557e-,5796e- różnica,,8e-,87e-,3e-,3e-,695e-5 Czas,5, m. spręż,,76e-3,983e- m. z tłum.,68e-3,3987e- różnica,58e-5,7e-7 W tabeli przedstawiono przebieg różnicy amplitud obydwu materiałów. Z analizy tabeli, że różnice te są bardzo małe, mniejsze o ok. rzędy wielkości od wielkości amplitud. Z wyników przedstawionych w tabeli, można domniemywać, wzrost amplitudy drgań powoduje wzrost efektywności tłumienia materiałowego. Wnioski końcowe 3. Uwzględnienie tłumienia wewnętrznego materiału w bardzo małym stopniu wpływa na jakość tłumienia amplitudy drgań w stosunku do tłumienia dla materiału sprężystego.. Z analizy wyników symulacji, w badanym zakresie amplitud wnioskujemy, że największy wpływ na zwiększenie tłumienia ma współczynnik β. 3. W analizie dynamicznej układów dynamicznych uwzględniających tarcie konstrukcyjne można pominąć tarcie wewnętrzne jako bardzo małe w stosunku do tarcia konstrukcyjnego.. Wzrost amplitudy drgań powoduje wzrost efektywności tłumienia materiałowego. Literatura. Arczewski K., Pietrucha J., Szuster J. T.: Drgania układów fizycznych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 8. Gałkowski Z.: Badanie procesów niestacjonarnych układy dynamicznego z uwzględnieniem tarcia konstrukcyjnego, rozprawa doktorska, PW, 98

21 Drgania swobodne układu dynamicznego ze sprzęgłem tulejowym wykonanym z materiału o nieliniowym tłumieniu wewnętrznym 3. Калинин Н. Г. и.др.: Конструкционное демпфирование в неподвижных соединениях. Излат. А. Н. Латв. ССР Рига 96. Митропольский Ю. А.: Проблемы асимтотической теоpии нестационарных колебани. Издат. Наука. Москва Филиров А. П.: Колебания механических систем, Издат. Наук. Дума, Киев, 965 Streszczenie Praca poświęcona jest analizie wpływu tarcia konstrukcyjnego oraz nieliniowego tłumienia wewnętrznego materiału na tłumienie drgań skrętnych nierozłącznego połączenia tuleja wał, będącego modelem sprzęgła. W analizie uwzględniono występowanie tarcia konstrukcyjnego pomiędzy wałem a tuleją. Przyjęto też, że zarówno tuleja jak i wał wykonane są ze stali o nieliniowym tłumieniu wewnętrznym. Dla potrzeb analizy określono współczynnik tarcia wiskotycznego będący reprezentantem tarcia wewnętrznego. Następnie określono różniczkowe równanie ruchu układu, oraz rozwiązano je za pomocą asymptotycznej metody Bogoliubowa Kryłowa Mitropolskiego wyznaczając amplitudę drgań swobodnych układu. W ramach pracy, otrzymane wyniki porównano z przebiegiem drgań swobodnych dla materiału sprężystego. Otrzymane wyniki przedstawiono w postaci wykresu. Free vibration in a dynamic system with an inseparable sleeve-shaft joint made of a material with non-linear internal damping Summary The paper is dedicated to analyze the influence of constructional friction and materials non-linear internal damping on the damping of torsion vibrations in an inseparable sleeve-shaft joint. This joint serves as a coupling model. Constructional friction between the sleeve and the shaft have been taken into account in the analysis. It was also assumed that both the sleeve and the shaft are made of steel with non-linear internal damping. The internal damping was represented by the viscotic friction coefficient for the purpose of the analysis. Next, the differential equations of the system s motion were determined. The equations were solved using asymptotic Bogubylov Kyrlov Mitropolski method to determine the amplitude of the system s free vibration. The obtained results were compared to free vibration characteristic of an elastic material. The results are shown on graphs.. 3

22 3 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. /

23 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Sebastian GŁOWIŃSKI, Tomasz KRZYŻYŃSKI Technical University of Koszalin Division of Mechatronics and Applied Mechanics Śniadeckich Str., 75-6 Koszalin Introduction Simulation of trajectory of an aircraft seat ejection Initial models of ejection seats were used in planes during the second World War (WW II). A pilot after leaving the plane with the help of an ejection seat, was separated from the plane and then he landed using a parachute. However, increasing flight velocities often caused a failure of the system due to collisions with a tail plane. Since then the rescue systems were constantly improved in order to ensure the safety during positive or negative overloads. The ejection seats may be divided into the following four generations []: I. Generation I elaborated between Their operation based on an compressed air, a rocket motor or a pyro-cartridge. Such seats were developed in order to throw out the pilot outside the limits of the plane. In the first version of these ejection seat a pilot manually opened a parachute. II. Generation II developed between The racket motor was improved, decreasing the possibility of pilot injuries. The last version of ejection seats of this generation allowed to exploit them at a zero flight speed. III. Generation III from 975 till today. The sensors and gyroscope mechanisms were implemented in order to regulate a seat position according the flow of the wind. The board computer calculated the time of opening of a rescue and braking parachute according to a weight of the pilot (e.g. Russian ejection seat K-37-8 from 99). IV. Generation IV used at present. Electronic control systems determining ejection parameters are still improved in these seats (e.g. ejection seat K-36D- 3,5 used since ). Polish armed forces exploit aircrafts equipped with ejection seats of III and IV generation, with some exceptions like Iskra TS-. This jet trainer was developed by Prof. Tadeusz Sołtyk in 96, and since 96 is being exploited by Polish Air Forces. The basic technical data of this two person crew (a pilot and a trainee) aircraft are as follows []: - the length,5 m, - the wing span,6 m, - the height 3,5 m, - the lifting area 7,5 m, - the kerb mass 56 kg, 33

24 Sebastian GŁOWIŃSKI, Tomasz KRZYśYŃSKI - the total weight 37 kg (version SNP), - the max. starting weight 3838 kg, - the maximum speed 7 km/h. SK ejection seat in TS- Iskra. Construction of the SK ejection seat TS- Iskra is equipped in two identical ejection seats of I generation (Fig.), which are classified as light seats (56 kg together with a parachute) [5]. These seats are fixed in a cockpit with by means of a special mechanism and two guide bars. Fig.. SK ejection seat (without parachute) SK seats are composed of a frame together with a parachute unit (the rescue parachute S-3 series M, weight kg), a headrest, a backrest and fasten belts 5 mm (back, hip, crotch). Additional elements are: a release control mechanism, a releasing mechanism (with the pyro-cartridge PK--), a belts adjustment mechanism, a safety protection releasing handle and the AD-3 automat located at the right side of the seat (a delay time of releasing belts is,5 s). The reason of the PK-- implementation is to achieve the trajectory that exclude a collision with a tail-plane. According to [], the pilot is the first of the crew to be evacuated. The minimum height for the ejection is 5 m with the speed Vs=35- km/h, recommended for the level flight of 6 m, and for the down-flight of m. During a takeoff, up to 5 m, and during landing, the pilot has no chance to leave the plane in a normal way. The only way out for the crew is to land in an accidental area. There are a few positive ejecting procedures in a height limit 5-6 m in the history of TS- planes (e.g. 995 h=8 m, in 987 h=5 m). But there were situations that despite of the flight height over 5 m, the pilot did not survive, in 5 h=9 m). The sequence of the ejecting procedure follows from []. During ejecting, the pilot should use two hands, shifting inward two levers of the cockpit shield that activates the releasing mechanism. Then resting his hands on the armrests, the pilot presses the lever of a seat launch. Because the parachute is located in the ejecting seat, after ejecting the pilot has to push himself out the seat. In the case when the pilot after ejecting is still keeping the launch lever, what may be caused by a disorientation resulting from a seat rotation or a collision with the tail-plane, there is a possibility that the height is insufficient 3

25 Simulation of trajectory of an aircraft seat ejection for opening the rescue parachute. The rescue parachute is equipped in the automatic device KAP-3P with the time delay of s and at the minimum opening height m. The device is designed to initiate the opening of the parachute, after the pilot separates from the ejection seat for a distance of,5 m and releases a parachute pin. The time delay is necessary for separating the pilot on a safe distance from the seat after opening the parachute, as well as the falling seat to avoid to collide with the pilot or with the parachute. In the further parts of this paper, the configuration of the ejection seat and the pilot is called the object.. Article terms list a, b object mass centre coordinates bottom pair of rollers [m], c = arcsin( δ χ ) a distance of the mass centre from bottom rollers [m], C, C, C f ( α ) coefficients of lift, drag force and a pitching moment of the object, za xa m = d + rollers [m], g = 9.8 the acceleration of gravity [m/s ], h a plane flight height [m], I an inertia moment of the object in relation to y coordinate [kg m ], = a b a component of the mass centre distance from bottom pair of y n G-force affecting the object during launch, ρ =,68 an air density for h= m [kg/m 3 ],,56 h ρ = ρ an air density for h m [kg/m 3 ], 3 P, P M a drag and lifting force, a moment pitching the object x z, [kg m/s, kg m /s ], S an object cross-section [m ], Q = mg an object gravity force [kg m/s ], t =.875 the time of the seat movement in the guides on down pair of pr V V x V V V z s rollers [s], an object flying speed [m/s], a speed component of the level flight of the object [m/s], a speed component of the vertical flight of the object [m/s], a plane flying speed [m/s], a speed of launch [m/s], α ( ) = χ γ an angle of attack of the object, during movement on guides [rad], θ an object angle of inclination [rad], γ an angle of inclination of the object flight path [rad], χ an angle of inclination of the seat guides [rad], an angular velocity of the object [/s]. ω y 35

26 Sebastian GŁOWIŃSKI, Tomasz KRZYśYŃSKI.3 Plane object configuration model The plane model together with the object is examined in the coordinate system xz, so the plane rolling is not taken into consideration. Fig.. The plane and object coordinate system According to the terminology accepted in literature [5], the four coordinate systems are implemented (Fig. ): the static system Oxz, the plane system O x z, S S S the object system O F xf zf, the system connected with the direction of flowing streams O x z. F a a Fig. 3. The forces and moments affecting the object The plane under consideration is moving with a constant velocity V S, in a level flight with a constant flight height. The object is considered as a solid body. After an ejection initiation, the object starts to move on the guides with a speed V and an acceleration G-force n under an angle χ. In Fig. 3. the forces and moments affecting the moving object are shown. 36

27 Simulation of trajectory of an aircraft seat ejection After leaving the guides, the vertical component of the object motion is affected by initial ejecting conditions, the G-force and an aerodynamic force component. The level component is dependent on the initial velocity and the air resistance. Additionally, due to the aerodynamic moment, the object starts to rotate with an angular velocity ω y.. Equations of the object motion The equations of motion are elaborated on the basis of paper [,5]. The initial velocity of the object at the moment of leaving the guides reads ( V V sin χ ) V cos χ. V () = V + V = () x z S + The initial angle of inclination of the object track is V cos cos sin z V χ V χ γ = =, γ = arcsin. () V V V The components of the aerodynamic forces (the lift and the drag) and the object aerodynamic moment are as follows Pz =.5ρV C Px =.5ρV C M =.5ρV C xa za m S, S, Sl. During the motion on the guides the seat is affected by 3 torques M =.5ρV S m za M = Qna, M 3 = Qc. The torques cause a turn of the seat of the angle ( C l + C ( a cosα bsinα ) + C ( bcosα + asinα )), xa (3) () M M M t 3 pr θ =. (5) I + md y. Mathematical model of the object The object under consideration has 3 degrees of freedom. The equations of motion of the object read mv& = Px Qsinγ, mv& γ = Pz Qcosγ, x& = V cosγ, (6) z& = V sinγ, & θ = ω, & ωy = y M I y. 37

28 Sebastian GŁOWIŃSKI, Tomasz KRZYśYŃSKI The equations are solved by means MATLAB-Simulink packages with the following initial conditions: h=5 m, V=5, and 65 km/h. Accessible data in literature were used for modeling..5 Computer simulation model The computer model is elaborated with the help of the block method (Fig. ). Aerodynamic features being functions of a varying angle of approach during the motion on a trajectory, are accepted on the of basis [3,6] and implemented in their analytical shape, while the seat mass features are taken according to paper []. Fig.. Computer simulation model 3 Results The object characteristics were analyzed at the minimum height of 5 m. An increase of the flight velocity results in a decrease of the height of the object flight above a vertical height tail-plane (Fig. 5). 38

29 Simulation of trajectory of an aircraft seat ejection The height of object flight over the plane [m] V=5km/h V=km/h V=65km/h The difference of the level distance between the object and the plane [m] Fig. 5. Trajectory of the object over the plane (h=5m, t=s) The recommended speed that ensure the object flight over the tail-plane with a reserve of,5-3 m is 35- km/h, with the seat inclination θ = -3 deg. In this case the object flies with the directed in to the tail-plane bottom side of the seat front part. At the moment of.5 s after ejection, the object is in a safety distance of 5m behind the plane and the automatic device AD-3 is activated. The seat inclination γ angle at this moment is equal to deg. The inclination object angle during s changes in a range from to 5 deg, depending on the flight speed. Angular velocity [/s] V=5 km/h V= km/h V=65 km/h Time [s] Fig. 6. Variation of angular velocity ω y in time In Fig. 6. and Fig. 7. A variation of the angular velocity and an angle of the inclination in time are shown. At the moment of s after the ejection angular velocities are almost the same for different ejecting speed. 39

30 Sebastian GŁOWIŃSKI, Tomasz KRZYśYŃSKI Angle of inclination theta [deg] V=5 km/h V= km/h V=65 km/h Time [s] Fig. 7. Variation of the angle of inclination θ in time Angle of inclination gamma [deg.] Time [s] Fig. 8. Variation of the trajectory angle of inclination γ in time Conclusions V=5 km/h V= km/h V=6 km/h A crew evacuation from a disabled aircraft is one of the basic problems in aviation. Despite of the technological progress, there is no ejection seat that ensures absolute safety of the pilot at any height and speed. Even the best seat of IV generation, during the ejection launch at a low height, requires the inclination angles and the vertical speed component vector to be equal to zero. Any violations of these conditions increase the value of permissible height of safety ejecting. Exploited at presence ejection seats ensure the safe separation from a plane in specific conditions. One of them is the minimal ejection height 5 m. One has take into consideration that even at this height the ejection process might fail. Due to the seat rotation, the G-force and an improper ejection angle, there is a possibility of collision of the object with the tail-plane. One of the important factors is the various mass of pilots, that can have an influence on the object moment of interia. Results can be used successfully to other aircraft, which are equipped by similar type of ejection seat. The modification of the ejection TS- seat or making it the e-seat - class (height, speed ) would improve crew safety but there are some obstacles. Firstly, the costs 35

31 Simulation of trajectory of an aircraft seat ejection of modern seat implementation is unprofitable, because of the value of the plane. Secondly, the application of a seat of bigger mass then SK would influence the balance of the plane, and there could be necessity of conducting expensive tests increasing the value of the plane. Taking into consideration the fact that these planes would stay in Polish Air Forces for a couple of future years, it is recommended to analyze the pilot-seat system and its features with the help of CFD (computer Fluid Dynamics) methods. Additionally the tests in an aerodynamic tunnel are recommended. The development of the ejection seat model and their the 3D-dynamics is necessary. The tests should consider such factors as: a sideslip, a plane torsion, overloads and wind conditions. The ejection simulation at various phases of the flight (like a tailspin) makes it possible to gain more information and to increase the consciousness, reliability and efficiency of the system performance. References. Jasztal M., Szajnar S.: Wyznaczenie i analiza charakterystyk masowych układu fotel katapultowy-pilot, Biuletyn WAT, Vol. LI, Nr 8,. Mohammad Salman Jamali: Pilot Seat Ejection Simulation, Hamdard Institute of Information and Technology, Hamdard University Karachi, Pakistan 3 3. Платонов К.: Человек в полете, Военное Издателство Министерства Союза ССР, Москва, 957. Samolot TS- Iskra, Instrukcja Techniki Pilotowania, Ministerstwo Obrony Narodowej Dowództwo Wojsk Lotniczych, Lot. 85/78, Poznań, Szendzielorz C.: Dynamika ruchu fotela odrzucanego względem samolotu w locie symetrycznym, Mechanika Teoretyczna i Stosowana /,, Walczak W.: Fotele katapultowe, Centrum Szkolenia Inżynieryjno-Lotniczego, Oleśnica, 996 Abstract The paper deals with modeling and simulation of motion trajectory of an ejection seat in the training-combat aircraft TS- Iskra. The ejection seat and its operation are characterized. Mathematical and computer models are elaborated with the help of MATLAB-Simulink applications. Additionally, simulations are conducted for various velocities of the aircraft. Trajektorie lotu fotela katapultowego samolotu odrzutowego Streszczenie W artykule przedstawiono dynamikę fotela katapultowego o nazwie SK na podstawie odrzutowego szkolno-bojowego samolotu TS- Iskra. Scharakteryzowano fotel katapultowy i zasadę jego działania. Opracowano model matematyczny oraz komputerowy obiektu przy wykorzystaniu programu MATLAB Simulink i przeprowadzono symulację przy różnych prędkościach lotu. 35

32 35 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. /

33 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Paweł KAŁUŻNY Instytut Biocybernetyki i Inżynierii Biomedycznej PAN ul. Trojdena, Warszawa Modelowanie i symulacje ciągów zdarzeń w grafach czasowych Wstęp Niektóre procesy naturalne i techniczne mają charakter krótkotrwałych, powtarzających się zdarzeń występujących w określonych chwilach czasu. Są to, na przykład, wyładowania elektryczne komórek nerwowych []. Można przyjąć, że czas trwania pojedynczego zdarzenia jest pomijalnie krótki w porównaniu do interwałów czasowych między wystąpieniami zdarzeń. Zależności między chwilami wystąpienia poszczególnych zdarzeń mogą być, w ogólności, bardzo skomplikowane lub niedeterministyczne. Na przykład, wystąpienie wyładowania pewnego neuronu może przyspieszyć, opóźnić, lub nie mieć żadnego wpływu na wyładowanie innego neuronu, zależnie od rodzaju połączenia między nimi. Metody modelowania probabilistycznego takich systemów opierają się na teorii punktowych procesów stochastycznych []. Modelowanie deterministycznych systemów zdarzeń występujących w technice, ekonomii i badaniach operacyjnych opiera się na zastosowaniu sieci Petri [] i obejmuje modele podobne do opisanego w niniejszej pracy: timed event graphs, których dynamika wynika jednak z innego mechanizmu synchronizacji zdarzeń. Mimo różnorodności biologicznych i fizycznych mechanizmów, interesująca jest możliwość ich fenomenologicznego opisu przy pomocy modelu o regularnej strukturze i małej liczbie parametrów. Niniejsza praca definiuje taki prosty model generacji ciągów zdarzeń, dalej nazywany grafem czasowym, przedstawia metodę identyfikacji parametrów tego modelu oraz podejmuje próbę jego charakteryzacji poprzez symulacje. Graf jako model ciągu zdarzeń Ciąg zdarzeń, w których pojawiają się zdarzenia N różnych typów, jest rozpatrywany jako trajektoria systemu złożonego z N lub więcej jednostek generujących zdarzenia. Zależności przyczynowo-skutkowe między zdarzeniami polegają na tym, ż ewystąpienie zdarzenia określonego typu może spowodować selektywne opóźnienie wystąpienia innych, późniejszych zdarzeń. Zależności te są wyrażone przez macierz współczynników w(i, j) opisującą wpływ zdarzenia typu j na czas wystąpienia następnego zdarzenia typu i. Koncepcyjnym modelem systemu generacji zdarzeń jest graf skierowany [3], w którym ponumerowane węzły i {,, N} odpowiadają jednostkom generującym zdarzenia, a gałęzie opisują zależności między chwilami wystąpienia tych zdarzeń (Rys.). W najprostszym grafie czasowym węzły generują ciągi zdarzeń z zadanymi interwałami powtarzania T(i), a waga gałęzi w(i, j) określa opóźnienie wystąpienia zdarzenia jednostki i w wyniku uprzedniego wystąpienia zdarzenia innej jednostki j. 353

34 Paweł KAŁUśNY Pojedyncze zdarzenie jest reprezentowane przez jego numer kolejny k, czas wystąpienia t(k) oraz etykietę (numer) jednostki generującej n(k). Niech p(k) oznacza wektor stanu systemu generacji zdarzeń, odpowiadający sytuacji bezpośrednio po wystąpieniu zdarzenia o numerze k, którego i-ta składowa p(i; k) oznacza czas od chwili początkowej do wystąpienia k-tego zdarzenia w węźle i. Rozpatrywany jest graf czasowy z dynamiką stanu określoną równaniem p(i; k+)= p(i; k)+ w(i; n(k)) () gdzie n( k) = arg min( p( i; k) = arg min( p( k)) i=, K, N () jest indeksem najmniejszej współrzędnej wektora p(k), a element w(i, j) macierzy współczynników wyznacza wartość przesunięcia czasowego kolejnego zdarzenia jednostki i w wyniku uprzedniego wystąpienia zdarzenia jednostki j=n(k). W tym zapisie uwzględniono występowanie spontanicznej generacji zdarzeń przez przyjęcie, że w(i, i)=t(i) dla każdej jednostki i. Wartość zerowa parametru przesunięcia czasowego w(i, j)=, oznacza, że wystąpienie zdarzenia jednostki j nie wywiera wpływu na chwile wystąpienia zdarzeń jednostki i T () w(,) K w(, N) w(,) T () w(, N) K W = (3) M M O M w( N,) w( N,) K T( N) Rys.. Graf czasowy z zaznaczonymi (przykładowymi) współczynnikami oddziaływań (etykiety krawędzi) oraz interwałami zdarzeń spontanicznych (etykiety pętli) i macierzą współczynnikóww Fig.. Timed graph with interaction coefficients of interactions between units (edge labels) and its incidence matrix W Wystąpienie dwu kolejnych zdarzeń tej samej, i -tej, jednostki odpowiada zamkniętej ścieżce w tym grafie, która rozpoczyna się oraz kończy w węźle o numerze i. Ścieżka ta może przechodzić przez pewną liczbę (zero lub więcej) innych wierzchołków, co odpowiada występowaniu, pomiędzy kolejnymi zdarzeniami tej jednostki, zdarzeń jednostek o numerach różnych od i. Suma parametrów (opóźnień) wnoszonych przez gałęzie grafu wchodzące w skład tej ścieżki odpowiada łącznemu przesunięciu zdarzenia jednostki i spowodowanemu przez oddziaływanie ze strony innych jednostek 35

35 Modelowanie i symulacje ciągów zdarzeń w grafach czasowych grafu. Gałęzie skierowane z zerowym parametrem opóźnienia w(i, j)= również mogą wchodzić w skład pętli, ale nie wnoszą żadnego opóźnienia chwili następnego wystąpienia zdarzenia jednostki i. Jeśli wszystkie elementy pozadiagonalne macierzy W=[w(i, j)] znajdujące się i-tym wierszu są zerowe, w(i, j)=, j i, to jednostka i generuje zdarzenia niezależnie od innych jednostek, ze stałym okresem powtarzania T(i)=w(i, i). Jeśli elementy pozadiagonalne macierzy W, znajdujące się w i-tej kolumnie, są zerowe, tzn. w(j, i)=, j i, to jednostka i nie wpływa na inne jednostki. Gdy oddziaływania między jednostkami są małe, wobec wartości interwałów swobodnych T(i), wszystkie jednostki generują zdarzenia, każda ze swoim indywidualnym interwałem powtarzania powiększonym o niewielkie odchylenia. Gdy jednak oddziaływania między jednostkami są porównywalne z wartością tego interwału, to, jak na rys., po wygaszeniu stanu przejściowego związanego z warunkiem początkowym p(), część jednostek może zostać całkowicie wyłączonych poprzez to, że czasy wystąpienia ich zdarzeń są w każdym kroku dynamiki większe niż innych, tzn. dla niektórych jednostek j istnieją takie liczby naturalne K(j) że k > K( j) p( j, k) > min p( i, k) i () unit Rys.. Symulacja przebiegu zdarzeń w grafie złożonym ze jednostek i losowymi współczynnikami oddziaływań. Pionowe kreski oznaczają zdarzenia, przyporządkowane do poziomych linii wyznaczających oś czasu dla poszczególnych jednostek Fig.. Simulated event trajectory in a graph of units with random coefficients Z praktycznego punktu widzenia szczególnie istotna jest sytuacja, gdy deterministyczny system generujący zdarzenia składa się z dużej liczby jednostek, spośród których tylko część jest dostępna dla obserwacji. 3 Jakościowe własności ciągów zdarzeń Godny odnotowania jest fakt, że dynamika modelu wykazuje duże zmiany jakościowe polegające na zanikaniu i, niekiedy, ponownym pojawianiu się aktywności niektórych jednostek (rys. ). Są to procesy, które silnie zależą od warunków początkowych oraz od relacji między wartościami interwałów swobodnych oraz interakcjami ze strony innych jednostek grafu. Duże znaczenie mają także wzajemne proporcje interwałów time 355

36 Paweł KAŁUśNY własnych poszczególnych jednostek te jednostki, które mają relatywnie najmniejsze wartości w(i, i) mają dominujący wpływ na dynamikę całego systemu. W dużych grafach (N ) stwierdzono, że typowy wzorzec aktywności charakteryzuje się tym, że znaczna liczba jednostek pozostaje trwale wyłączona nie generuje żadnych zdarzeń, co także ilustruje rysunek, przedstawiający przebieg zdarzeń w systemie złożonym ze jednostek. Mała, dominująca grupa jednostek generuje większość zdarzeń w systemie. Inna, niewielka grupa to jednostki, które generują jedynie sporadyczne, pojedyncze zdarzenia na początku symulacji spowodowane warunkiem początkowym, które szybko wygasają. Pomimo, że dynamika rozpatrywanych procesów jest całkowicie deterministyczna, symulacje długich (K *N) przebiegów pozwalają wykreślić histogramy częstości występowania interwałów (rys. 3) aktywnych jednostek. Histogramy te, typowo, wykazują charakterystyczne prawo-skośne rozkłady częstości, jakościowo przypominające histogramy otrzymywane dla rozkładów prawdopodobieństwa typu wykładniczego. unit Frequency dt.i[dt.i < 8 * median(dt.i)] Rys. 3. Przykładowe histogramy interwałów między kolejnymi zdarzeniami jednej jednostki w grafie złożonym z 5 jednostek. W histogramie pominięto interwały o długości powyżej 8 wartości mediany Fig. 3. Histograms of inter-event interval for one unit in a graph of 5 units Identyfikacja parametrów modelu metodą programowania liniowego Przy danym, zarejestrowanym, ciągu zdarzeń t( k), n( k) k =, K, K współczynniki oddziaływań między jednostkami mogą zostać wyznaczone poprzez rozwiązanie liniowego zadania optymalizacyjnego. Niech w=w(i, :) oznacza wektor poszukiwanych współczynników oddziaływań wszystkich obserwowanych jednostek na wybraną jednostkę o ustalonym numerze i, zapisany jako wektor kolumnowy. Wektor ten odpowiada pojedynczemu wierszowi macierzy oddziaływań W. Rozważamy wszystkie interwały o odstępach

37 Modelowanie i symulacje ciągów zdarzeń w grafach czasowych t( k) = t( k + ) t( k), k =, K I, (5) między kolejnymi parami zdarzeń generowanych przez tą jednostkę, w postaci wektora t o wymiarze równym liczbie takich interwałów I. Przebieg zdarzeń reprezentuje macierz E = [#(k, j)] wymiaru I N, której elementy są nieujemnymi liczbami całkowitymi oznaczającymi liczbę wystąpień zdarzenia jednostki j w interwale o numerze k. Wliczane są tylko zdarzenia, których wystąpienie może oddziaływać przyczynowo na długość interwału, zatem #(k, i)=, to znaczy wliczone jest tylko wystąpienie zdarzenia jednostki i na lewym brzegu interwału. Przy tych konwencjach, dla dowolnych, założonych hipotetycznie wartości współczynników w(i, j) oraz dla każdego interwału k spełniona jest zależność N #( k, j) w( i, j) + e + ( k) e ( k) = t( k), (6) j= gdzie e + (k), e (k) są nieujemnymi zmiennymi dopełniającymi. Liczby e + (k) są elementami wektora e +, oznaczają nieujemną składową błędu wyznaczenia poszczególnych interwałów na podstawie sumy oddziaływań w(i, j). Analogicznie, e (k), element wektora e, oznacza składową niedodatnią tego błędu. Różnica e + (k) e (k) jest wartością dopełniającą sumę dla przyjętych, jako hipoteza, wartości współczynników. Jest to typowy zabieg przy formułowaniu zadań programowania liniowego. Wyznaczenie takich wartości oddziaływań w=(i, :), które najlepiej reprezentują przebieg zdarzeń określonej jednostki i jest równoważne znalezieniu optymalnego rozwiązania które minimalizuje sumę wszystkich zmiennych dopełniających (błąd całkowity). Zadanie identyfikacji parametrów w ma zatem postać: przy ograniczeniach w min [,, ] e N + N I I I ei w t + w, e, e + oraz [ E I I ] e = I e I (7a), (7b) gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia I. Jeśli uzyskana optymalna wartość funkcji celu (7a) wynosi, to rozpatrywana seria interwałów jest dokładnie reprezentowana przez model addytywny (,). W realistycznych przypadkach należy się jednak spodziewać, że minimalna wartość kryterium pozostaje dodatnia, co oznacza, że niektóre interwały mają długości które nie mogą być reprezentowane przez zadane kombinacje współczynników modelu. Może to byś spowodowane przez fundamentalną nieadekwatność modelu lub przez niepełną informację na temat występowania zdarzeń które wpływają na badaną jednostkę. Jeśli bowiem niektóre zdarzenia, które składają się na interwał t(k) są nieznane to także 357

38 Paweł KAŁUśNY 358 wartości liczby zdarzeń występujących w interwale #(k, j) są obarczone błędem, co powoduje błędy na etapie formułowania problemu optymalizacji. Przykład obliczeń parametrów modelu Dla ilustracji metody identyfikacji parametrów grafu rozważmy symulację układu złożonego z N= jednostek, której wynikiem jest trajektoria pokazana na rys.. Zadanie polega na identyfikacji współczynników oddziaływań zdarzeń innych jednostek na zdarzenia jednostki. Współczynniki użyte do symulacji (tylko wiersz macierzy, odpowiadający jednostce ) wynoszą (,:) [.9,.,.7,.,.38,.73,.,.3,.58,.3] w = Dla obserwacji dostępne są tylko chwile t(k) faktycznego wystąpienia zdarzeń, przebieg pozostałych wartości stanu p(j; k), j n(k), odpowiadanych zdarzeniom, które nie wystąpiły w kroku k, jest nieznany. Dla ilustracji metody przeprowadzono identyfikację tych parametrów dla niektórych przypadków ograniczonej wiedzy na temat zdarzeń. W przypadku gdy dana jest pełna trajektoria układu, metoda optymalizacyjna odtwarza poprawnie wszystkie elementy wiersza macierzy współczynników, za wyjątkiem w(, ), który nie może być znaleziony ponieważ jednostka ta nie wygenerowała żadnego zdarzenia. Metoda wykazuje w takim przypadku ˆ (, ) w =, przy błędzie równym zero. Dla weryfikacji przypadku gdy niektóre jednostki nie są obserwowane, rozpatrzono trajektorię, w której usunięte zostały zdarzenia, oraz, jak w oryginalnym ciągu, nie występują zdarzenia jednostki. Oddziaływania wpływające na jednostkę zostały odtworzone, na podstawie trajektorii z której usunięto wszystkie zdarzenia jednostki, jako ˆ (,:) [.9,.,.7,.,.38,.73,.,.3,.58,.] w =, Widać, że współczynniki zostały odtworzone poprawnie, dla tych oddziaływań, które były reprezentowane w trajektorii. Oddziaływania ze strony jednostek, których time unit Rys.. Testowy ciąg danych dla demonstracji identyfikacji parametrów modelu, w którym występuje jednostek generujących zdarzenia Fig.. Test data for calculation of the parameters of timed graph of event types

39 Modelowanie i symulacje ciągów zdarzeń w grafach czasowych zdarzenia nie były zawarte w danych, mają wartości zerowe. Osiągnięta minimalna wartość błędu jest jednak większa od zera i wynosi w tym przypadku.33. Poprawną identyfikację współczynników uzyskano także gdy usunięte zostały (dodatkowo) wszystkie zdarzenia jednostki 9, wtedy osiągnięto wartość kryterium błędu równą.5 oraz w ˆ (,:) = [.9,.69,.7,.,.38,.73,.,.3,.,.]. Poprawne, dokładne współczynniki oddziaływań z jednostkami reprezentowanymi w trajektorii uzyskano także po usunięciu zdarzeń jednostki 7, która jednak oddziałuje tu nieznacznie na jednostkę (z małym współczynnikiem.). Niektóre współczynniki zostały odtworzone poprawnie po usunięciu także zdarzeń jednostki 8, kiedy otrzymano w ˆ (,:) = [.9,.7,.7,.,.38,.3,.,.,.,.] W tym ostatnim przypadku, obok prawie poprawnych wartości współczynników oddziaływań z jednostkami, 3, 5 pojawiły się jednak także wartości nieprawidłowe dla oddziaływań z jednostką 6, oraz zawyżona wartość T() = w(, ) =.7. Przykład ten wskazuje, że proponowana metoda może odtworzyć poprawnie niektóre wartości oddziaływań między jednostkami, przy założeniu, że dynamika ciągu zdarzeń faktycznie opisana jest równaniami (, ), wszystkie zdarzenia jednostki podlegającej identyfikacji są zarejestrowane i chwile ich wystąpienia są znane dokładnie. Inną formą zaburzenia jest spowodowanie zakłócenia dynamiki () losowym wektorem z(k). Dla z(k) o rozkładzie równomiernym na przedziale (,.), na podstawie zaburzonych danych opisana procedura wyznaczyła następujące wartości w ˆ (,:) = [.3,.9,.8,.,.,.68,.,.33,.58,.], które są bliskie oryginalnym. 5 Dyskusja i wnioski Dzięki temu, że czasy wystąpienia zdarzeń są liniowo zależne od parametrów (ponieważ czasy są wyłącznie wynikiem sumowania parametrów) możliwe jest efektywne wyznaczenie parametrów modelu metodą programowania liniowego. Uzyskanie dobrych rezultatów identyfikacji, nawet przy nieznajomości znacznej części zdarzeń w systemie, jak to demonstruje przykład obliczeniowy w rozdziale, jest pozornie zaskakujące. Uzyskanie właściwych wartości parametrów jest częściowo wynikiem tego, że pomimo braku informacji o istnieniu wielu zdarzeń, w danych wejściowych dla optymalizacji pozostała informacja o wartościach znacznej liczby interwałów w których nie występowały zdarzenia nieznane. Duże znaczenie ma także zgodność faktycznego mechanizmu generacji z mechanizmem założonym w sformułowaniu zadania optymalizacji. Bardzo poważnym wyzwaniem dla przedstawionej metody mogą być sytuacje, gdy między chwilą wystąpienia (rejestracji) zdarzenia pewnej jednostki w systemie a chwilą, w której oddziałuje ono na zdarzenia innej jednostki mogą występować opóźnienia spowodowane transmisją zdarzeń między jednostkami. Takie opóźnienia, wnoszone przez propagację potencjałów czynnościowych wzdłuż aksonów występują 359

40 Paweł KAŁUśNY na przykład w niektórych systemach połączeń neuronów. Opóźnienia transmisji mogą być jednak uwzględnione w zadaniu optymalizacyjnym, jeśli ich wartość jest stała i znana. Rozwinięciem podstawowej metody identyfikacji parametrów jest uwzględnienie w kryterium minimalizacji (7a), obok błędu aproksymacji interwałów, także wartości samych współczynników w(i, j), co powoduje m.in., że współczynniki które nie przyczyniają się znacząco do minimalizacji błędów uzyskują wartości zerowe. Jest to mechanizm szczególnie ułatwiający interpretację wyników dla dużych wymiarów N. Zadanie optymalizacji parametrów ma postać gdzie λ jest parametrem metody. w min [ λ,, ] e N + N I I I ei W modelu przedstawionym w niniejszej pracy współczynniki oddziaływań nie mogą być liczbami ujemnymi, to znaczy, że oddziaływania między zdarzeniami mają charakter opóźnień. Spełnienie tego warunku jest potrzebne dla interpretacji minimalnej współrzędnej wektora stanu jako monotonicznej, niemalejącej wielkości (czasu) i ułatwia sformułowanie równania stanu (). Istnieją jednak możliwości rozszerzenia modelu także na oddziaływania o charakterze przyspieszającym, poprzez nadanie współrzędnym p(i; k) sensu nieobserwowanych zmiennych, które wiążą się z chwilami wystąpienia zdarzeń przez wykonanie dodatkowej, nieliniowej transformacji. Literatura. Baccelli F., Cohen G.,Olsder G.J., Quadrat, J.-P.: Synchronization and Linearity: An Algebra for Discrete Event Systems, Wiley, 99. Gerstein, G.L. and Perkel, D.H.: Simultaneously recorded trains of action potentials: analysis and functional interpretation, Science 6, (969) Kulikowski J.L.: Zarys teorii grafów: zastosowania w technice. PWN, Warszawa 986. Snyder, D.L., Miller, M.I.: Random Point Processes in Time and Space. Springer, 99 Streszczenie Zaproponowano model generacji ciągów zdarzeń oraz metodę identyfikacji parametrów tego modelu. Model ma postać grafu skierowanego, z dodatkowym wektorem stanu. Macierz incydencji grafu definiuje wzajemne interakcje między zdarzeniami różnych typów. Przebieg zdarzeń jest reprezentowany przez ścieżkę w tym grafie, w której kolejność węzłów wyznaczona jest przez sekwencję wektorów stanu. Metoda wyznaczania parametrów modelu polega na rozwiązaniu zadania programowania liniowego. Przedstawiono przykłady symulacji i jakościowe obserwacje dynamiki modelu., 36

41 Modelowanie i symulacje ciągów zdarzeń w grafach czasowych Modeling and Simulation of Event Series by Timed Graphs Summary A model for generation of multivariate series of events evolving in time, like e.g. neuronal action potentials, is proposed. The model consists of a directed graph with additional state vector. Event sequences correspond to paths in the graph, with node sequence determined by the temporal evolution of the state vector. Interactions between events are modeled as weights of the edges in the graph. It is showed, that the parameters of the model can be determined by linear programming. Simulations suggest, that the model, albeit deterministic, generates exponential type inter-event intervals similar to stochastic systems. 36

42 36 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. /

43 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Jerzy KRAWCZUK, Leon BOBROWSKI Bialystok University of Technology Faculty of Computer Science Wiejska 5A Str., 5-35 Białystok Short term prediction of stock index changes based on linear classification Introduction Stock index forecasting, or more generally financial instrument price forecasting, is a difficult task, but an encouraging prospect for profit. Many methods of data mining are used for this task. First of all, time series analysis [], using among others the Auto- Regressive Integrated Moving Average model (ARIMA) introduced by Box and Jenkins [] and the autoregressive models with conditional heteroskedasticity (ARCH) introduced by Engel [3] and generalized by Bollerslev []. Many researchers claim to have good results using other methods, like neural networks [5], or supported vector machines SVM [6]. The approach proposed here, a linear classifier [7], is not commonly used for financial applications, but is widely used in pattern recognition. Prediction model The simplest form of this forecast is to determine whether the price of a stock index will rise or fall in a given time period, for example tomorrow. This kind of forecast can be treated as a problem of classification. We classify the current condition of the stock market into one of two classes: ω + in the next day the index will increase ω - in the next day the index will fall Classification is made based on the current value of an n-dimensional features vector x[n] = [x,...,x n ] T. The components of the x[n] features vector are real values (x i R ), with features such as: historical changes in the value of the index, such as one-day, weekly or monthly changes historical changes in the values of other financial instruments. For example, consider indexes, and for each of these indexes three historical price changes (daily, weekly and monthly). We will obtain a features vector x[n] of size n = 3. The linear classifier LC(w[n k ],θ) can be defined by the below decision (prediction) rule: if w[n] T x[n] θ, then x[n] is located in class ω + () if w[n] T x[n] < θ, then x[n] is located in class ω -, where w[n] = [w,...,w n ] T is a vector of weights wi (w i R ) and θ is a threshold (θ R ). 363

44 Jerzy KRAWCZUK, Leon BOBROWSKI The creation of predictive rules () requires the calculation of the parameter values w[n] and θ. The parameters w[n] and θ can be determined on the basis of learning sets G + and G - containing examples of feature vectors x j [n] from class ω + (j J + ) and from class ω - (j J - ). G + = {x j [n]: j J + } and G - = {x j [n]: j J - }. () Training set G + contains examples of such conditions for stock indexes x j [n], which rose, while set G - contains examples of such conditions x j [n], where the value of the predicted index fell the next day. Definition : The sets G + and G - () are linearly separable, if and only if there exists such a weight vector w[n] (w[n] R n ) and threshold θ (θ R), that all the below inequalities for the inner products w[n] T x j [n] are fulfilled: ( w[n], θ) ( x j [n] G + ) w[n] T x j [n] > θ (3) and ( x j [n] G - ) w[n] T x j [n] < θ. The parameters w[n] and θ define the hyperplane H(w[n],θ) in the feature space F[n] (x[n] F[n]): H(w[n],θ) = {x[n]: w[n] T x[n] = θ}. () If the inequalities (3) are fulfilled, then all the elements x j [n] of the set G + are situated on the positive side of the hyperplane H(w[n],θ) (w[n] T x j [n] > θ) and all the elements of the set G - are situated on the negative side of this hyperplane (3). In practice it is not always possible to obtain the exact partition of learning sets described by the inequalities (3). This is not always desirable as well because of the danger of overfitting to the data sets (). A quality of the classification rule () depends on the values of the parameters w[n] and θ. The optimal parameters w*[n] and θ* of the classification rule () can be determined through minimization of the convex and piecewise-linear (CPL) criterion functions defined on the learning sets G + and G - (). 3 Convex and piecewise-linear (CPL) criterion functions Let us define the convex and piecewise-linear (CPL) penalty functions ϕ + j (w[n], θ) and ϕ j - (w[n], θ) in the below manner [8]: ( x j [n] G + (5) ): θ + - w[n] T x j [n] if w[n] T x j [n] < θ + ϕ + j (w[n],θ) = if w[n] T x j [n] θ + and ( x j [n] G - ) θ - + w[n] T x j [n] if w[n] T x j [n] > θ - (6) ϕ j - (w[n], θ) = if w[n] T x j [n] θ - 36

45 Short term prediction of stock index changes based on linear classification The function ϕ j + (w[n], θ) is equal to zero if the feature vector x j [n] (x j [n] G + ) () is situated on the positive side of the hyperplane H(w[n],θ) () and is not too near to it. Similarly, ϕ j - (w[n], θ) is equal to zero if the vector xj [n] (x j [n] G - ) is situated on the negative side of the hyperplane H(w[n], θ) and is not too near to it. The perceptron criterion function Φ(w[n], θ) is defined on feature vector x j [n] from the sets G + and G - () as the weighted sum of the penalty functions ϕ j + (w[n], θ) (5) and ϕ j - (w[n], θ) (6) [8]: Φ(w[n], θ) = Σα j ϕ + j (w[n], θ) + Σ α j ϕ - j (w[n], θ), j J+ j J- (7) where nonnegative parameters α j represent prices linked to particular feature vectors x j [n]. The minimization of the criterion function Φ(w[n], θ) (7) allow to find the optimal parameters w[n] * and θ * of the prediction rule (): ( (w[n] *, θ * )) ( (w[n], θ)) Φ(w[n], θ) Φ(w[n] *, θ * ) = Φ *. (8) It was proven that the nonnegative value Φ * is equal to zero (Φ * = ) if and only if the sets G + and G - () are linearly separable (3) [8]. For the purpose of the feature selection, a modified criterion function Φ λ (w[n], θ), was introduced [8]. Φ λ (w[n], θ) includes additional CPL penalty functions in the form of the absolute values w i and the costs γ i (γ i > ) related to particular features x i : Ψ λ (w[n], θ) = Φ(w[n], θ) + λ Σ γ i w i, i I where λ (λ ) is the cost level, and I = {,,n}. Similarly to the function Φ(w[n], θ) (7) The criterion function Ψ λ (w[n],θ) (9), similarly to the function Φ(w[n], θ) (8) is convex and piecewise-linear (CPL). The basis exchange algorithms allow to efficiently find the optimal vector of parameters (vertex) w λ [n] and the optimal threshold θ λ constituting the minimum of the CPL function Ψ λ (w[n], θ), even in the case of large data sets G + and G - () [8]: ( (w λ [n], θ λ )) ( w[n], θ) Ψ λ (w[n],θ) Ψ λ (w λ [n], θ λ ) = Ψ λ^ () The criterion function Ψ λ (w[n],θ) (9) is used in the relaxed linear separability (RLS) method of feature selection [9]. The below feature reduction rule is used in the RLS method: (w λi = ) (the feature x i is reduced), () where w λ [n] = [w λ,...,w λn ] T is the vector constituting the minimum () of the function Ψ λ (w[n], θ) (9). In accordance with the RLS method, a gradual increase of the cost level λ value in the criterion function Ψ λ (w[n], θ) (9) allows the reduction of () successive features x i [9]. In result a reduction () of successive features x i, the descended sequence of feature subspaces F k [n k ] can be generated: (9) 365

46 366 Jerzy KRAWCZUK, Leon BOBROWSKI F[n] F [n ] F [n ] F k [n k ], () where n k > n k+. The manner of feature subspaces F k [n k ] evaluation is to define in order to determine the stop criterion of the feature reduction in the above sequence. Evaluation of feature subspaces F k [n k ] In accordance with the RLS method of feature selection, a quality of a given feature subspace F k [n k ] is evaluated on the basis of evaluation of the optimal linear classifiers () designed in this subspace. The decision rule of the optimal linear classifier LC(w * [n k ],θ * ) in the feature subspace F k [n k ] (F k [n k ] F[n]) is defined in a similar manner to (). The optimal parameters w * [n k ] and θ * of the linear classifier LC(w * [n k ],θ * ) can be determined through the minimization (8) of the criterion function Φ k (w[n k ],θ) (7) defined on the feature vectors x j [n k ] (x j [n k ] F k [n k ]). The better optimal linear classifier LC(w * [n k ],θ * ) in the feature subspace F k [n k ] means a higher quality of this subspace. The quality of the linear classifier LC(w * [n k ],θ * ) () defined by the parameters w * [n k ] and θ * can be evaluated by using the error estimator (apparent error rate) e a (w * [n k ],θ * ). The apparent error rate is defined as the fraction of wrongly classified elements x j [n k ] of the sets G k + and Gk - () in the feature subspace Fk [n k ] []: e a (w * [n k ],θ * ) = m a (w * [n k ],θ * ) / (3) where m is the number of all elements x j [n k ] of the sets G k + and G k - (), and ma (w * [n k ],θ * ) is the number of elements x j [n k ] from these sets wrongly allocated by the rule (). The parameters w * [n k ] and θ * of the optimal linear classifier in the feature subspaces F k [n k ] were estimated from the learning sets G k + and G k - () through minimization of the perceptron criterion function Φ k (w[n k ],θ) (7) defined on elements x j [n k ] of these sets. Because the same data x j [n k ] are used for classifier designing and for classifier evaluation, the evaluation result (3) is too optimistic (biased) []. For example, if the sets G k + and G k - () are linearly separable (3), then all the elements x j [n k ] of the learning sets are correctly classified by the optimal classifier LC(w * [n k ],θ * ) (), and the apparent error (3) is equal to zero (e a (w * [n k ],θ * ) = ). But it is typically found in practical applications that the error rate of the classifier LC(w * [n k ],θ * ) () evaluated on vectors x[n k ] that do not belong to the learning sets G k + and G k - () is higher than zero. For the purpose of the classifier bias diminishing, the cross validation procedures can be applied []. The term p-fold cross validation means that data sets G k + and G k - () have been randomly divided into p parts P i, where i =,, p. The vectors x j [n k ] contained in p parts P i were used for the definition of criterion function Φ k (w[n k ],θ) (8) and in the computation of optimal parameters w * [n k ] and θ *. The remaining vectors x j [n] were used as a test set (one p-part P i ) for the evaluation of error rate e i (w * [n k ],θ * ) (3). This evaluation is repeated p times, and during each time a different p-part P i is used as the test set. After this, the mean value e c (w * [n k ],θ * ) of the errors rates e i (w * [n k ],θ * ) (3) on the elements of the test sets P i is computed. The cross validation procedure allows us to use different vectors x j [n k ] () for designing of the classifier (), its evaluation, and as a result,

47 Short term prediction of stock index changes based on linear classification to reduce the bias of the error rate estimation (3). The error rate e c (w * [n k ],θ * ) (3) estimated during the cross validation procedure will be called the cross-validation error (CVE). A special case of the p-fold cross validation method is the leave-one out procedure. In the case of the leave-one out procedure, the number p of the parts P i is equal to the number m of elements x j [n k ] in the sets G k + and G k - (). The CVE error rate e c (w * [n k ],θ * ) (3) of the optimal linear classifier LC(w * [n k ],θ * ) () is used in the relaxed linear separability method as the criterion for evaluation of particular feature subspaces F k [n k ] in the sequence () []. Feature subspace F k [n k ] that is linked to the linear classifier LC(w * [n k,θ * ) () with the lowest CVE error rate e c (w * [n k ],θ * ) (3) is considered as the optimal one in accordance with the RLS method of feature selection. 5 Experiment In this experiment historical market data were used starting from Jan nd 8 and ending October 3 th. During that time period there were 7 working days, which give us exactly same number of feature vectors x j [n], one feature vector per day. Each vector describes the condition of the stock indexes for each day. There were 9 features used to describe the market environment per day. These features were derived from historical prices of selected financial instruments. For each of the instruments, the change in price was taken from,,3,,5, and days back. The full list of instruments are presented in table 3, with short descriptions and their exchange symbols. All of these instruments are traded on stock exchanges in the United States, but they reflect the situation in different countries and different markets. All of them are ETF's (exchangetraded funds)[9]. An exchange-traded fund (ETF) is an investment fund traded on stock exchanges, much like stocks. An ETF holds assets such as stocks, commodities, or bonds and trades at approximately the same price as the net asset value of its underlying assets over the course of the trading day. of them track the major indexes in countries all over the world, are for world regions. For example, GML is an Emerging Latin American ETF. 8 of them are for different currencies against the US dollar, are for the commodities oil (USO) and natural gas (UNG), are for the precious metals gold (GLD) and silver (SLV). One (DBA) is tracking agricultural commodity prices like corn, wheat, soy beans and sugar. The forecast is done for the one-day price change of a given index. Each of the feature vectors x j [n], is classified in class ω or ω. Class ω was assigned if in the next day there was a decline in the value of the forecasted instrument, class ω if there was an increase. There were assignments done for same vectors x[n], one assignment for each of the predicted instruments used in the experiment. In the result there were predictive models () built, one for each instrument. For each model the classification accuracy was calculated (3). 6 Experiment results All 7 features vectors x j [n] were divided into sets, a learning set and a test set. The division was done in a two ways. The first way was to use data from years 8 and 9 as a learning set, and data from as the test set. The second was to divide randomly all 367

48 Jerzy KRAWCZUK, Leon BOBROWSKI data into 3 sets, and use each set as a test set, and the other as learning sets (otherwise known as 3 folds cross-validation). In the second case statistics were calculated as an average of results from the 3 runs. Table. Classification accuracy for linear classifier on all features. Time split. Random 3 folds crossvalidation Training set, 8-9 Test set Training set random Test set random Apparent Accuracy Apparent accuracy Accuracy accuracy Average symbol DBA EWO GAF RSX EWZ EWW GML In the first case, the learning set had a size of 55 days, and test set size of 7 days. All 55 vectors x j [n] for every predicted symbol were linearly separated. That means that apparent accuracy (accuracy of classification measured on same data that the model was built with) is equal to for all symbols. In table results for a few selected symbols are presented, and also the minimum, average and maximum for each statistic. The models built with data from 8-9 were then used to predict price changes in. The classification accuracy on the test set with data from in average is equal to 5.9%. That means that on average the model correctly predicted the direction of market moves only 5.9% of the time. This result is close to random or 5%. The best result was achieved for EWO (Austria) at 59.7%, the worst for DBA (Agriculture) at 5.5%. Since market data are probably time dependent, there could be an argument that the market environment was different than in 8 and 9, so the classifier learnt trading rules that weren't appropriate for. To verify this hypothesis a second test was done, which randomly split all data into training and test sets. 3 folds cross-validation was applied. The learning set had a size of 7-75 days, and the test set days. The right part of table shows the detailed results. Average accuracy for the test set was exactly the same as in the first case, 5.9%. 7 Feature selection A complex model with 9 features that produces only slightly better than random forecasts is, in practice, not very useful. To build a better model that can discover more general rules in the data, we reduced the number of features. Features were selected using the RLS (Relax-Linear-Separability[]) method. This method consists of subsequent rejections of one or more features. Following each rejection, the quality of classification is evaluated by leave one out cross-validation. 368

49 Short term prediction of stock index changes based on linear classification The resulting quality of classification for the instrument GAF (Emerging Middle East & Africa), depending on the number of features, is shown in graph. Fig.. Feature selection for predicting the GAF There are measures. First is apparent accuracy, which is equal to until reducing the number of features to 5, at which point we still have linear separability. For less than 5 features apparent accuracy goes down linearly until around 5 features then it drops very quickly. The second accuracy measure is calculated using the leave-one-out (loo) method. We use one day as validation and the remaining days as training data to build the model. This is repeated so that each observation in the sample is used once as the validation data. In this case data that are used to build the model are not used to calculate accuracy. The RLS feature selection method chooses those feature subsets that result in the highest leave-oneout accuracy. For GAF the maximum accuracy (7.5%) was achieved with 7 features. This was the highest accuracy found for any instrument. Loo accuracy grows with feature reduction, with local accuracy maximums at 75 and 3 features and the global maximum at 7 features. Then accuracy goes down, more quickly for less features. 8 Feature selection results Detailed results for all symbols are presented in table. The methodology of testing was the same as before. The experiment was done by dividing all data into training and test sets. In one case the test set was chosen as Jan-Oct, in another case as a /3 random part of all data. Results are presented only for the best subset of features for each instrument. 369

50 Jerzy KRAWCZUK, Leon BOBROWSKI Table. Classification accuracy for linear classifier on subset of features selected by RLS method Training set, 8-9 Test set Training set, random 3 folds cross-validation Test set random.size.app 3. loo. acc.size.app 3. loo. acc Average 8, , Symbol DBA , EWO , GAF RSX EWZ EWW , GML , Columns description:. size optimum number of features selected by RLS method. app apparent accuracy on training set 3. loo leave-one-out accuracy on training set. acc accuracy measured on test set, for model built on training set The optimal number of features selected by the RLS method was different for different symbols. The lowest number was 6 features for RSX (Russia), the highest was 5 features for EWZ (Brazil). On average 8.7 features were selected. Classification results on the training set measured by leave-one-out were pretty high at 7.%, but on the test set they are rather low at 5.8%. The best accuracy for test set was achieved for GML (Emerging Latin America) at 58.8% and worst for EWW (Mexico) at 6.%. This result is similar to the previous experiment that used all features. Slightly better performance of 5.7% was achieved on random 3-folds cross-validation. 9 Summary All results on test sets are in average similar at 5.9% for linear classification on all features, and 5.8% for the best subset of features in. A little better results were observed for a subset of features on randomly split data, 5.7%, which is better by.9%. This may suggest that there is time structure in the data, meaning that rules learnt from the training data from 8-9 are not working well in, or at least the first few months. More research needs to be done to verify this hypothesis. One approach could to be use training and test sets moved over time. For example, 6 months of training data then month of test data. Classification accuracy does not directly translate into profits when using the model for investing decisions. For example if we used some model to trade over two days, where one day we made % and one day we lost lost.%, accuracy would only be 5%, but we have had a high profit of.9%. To address this effect models could be built and used to simulate actual buy/sell transactions on the market, and portfolio histories could then be analyzed. 37

51 Short term prediction of stock index changes based on linear classification References. Mills T.C. Time Series Techniques for Economists. Cambridge University Press, 99. Box G. and Jenkins G., Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco: Holden-Day, Engle R.F., Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Eshtimates of Variance of United Kingdom Inflation, Econometrica 5:987-8, 98. Bollerslev T., Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 3:37-37, Haefke C., Helmenstein C., Neural Networks in the Capital Markets: An Application to Index Forecasting, Computational Economics, pp. 37-5, Tay F.E.H., Cao L., Application of support vector machines in financial time series forecasting, Omega 9 () Duda O. R., Hart P. E., Stork D. G.: Pattern Classification, J. Wiley, New York, 8. Bobrowski L.: Eksploracja danych oparta na wypukłych i odcinkowo-liniowych funkcjach kryterialnych, Wydawnictwa Politechniki Białostockiej, Białystok, 5 9. Bobrowski L., Łukaszuk T: Feature selection based on relaxed linear separabilty, Biocybernetics and Biomedcal Engineering, 9, Volume 9, Number, pp Lachenbruch P.A., Discriminant Analysis, Hafner Press, New York, 975. Liu H., Motoda H. (Eds.) Computational Methods of Feature Selection, Chapmann&Hall. CRC, New York 8. Carrell L., ETFs for the Long Run: What They Are, How They Work, a and Simple Strategies for Successful Long-Term Investing. JW Wiley, 8 ISBN Abstract This article describe the linear classifier based on convex and piecewise-linear function (CPL) and it application to market prediction. In an experiment we use CPL linear classifier to predict direction of one day change in stock index price. We use classification approach to predict only direction of change (grow or decline) of the index, not it quantity as in regression approach. Total number of instruments used in experiment including currencies is. Prediction of one index is based on historical prices of all indexes. Using 7 historical values for each index it produce 9 attributes. Such high dimensional feature space was reduced by feature selection method - relaxed linear separability (RLS). Details of this methodology are also presented. Features was selected and model was build on training data. Test data (holdout data) was used for checking model accuracy. Model in average correctly classify (predict) 5.9% direction of daily index changes. 37

52 Jerzy KRAWCZUK, Leon BOBROWSKI Krótkoterminowe prognozowanie indeksów giełdowych w oparciu o klasyfikator liniowy Streszczenie W artykule opisano klasyfikator liniowy oparty o wypukłe i odcinkowo-liniowe funkcje kary (CPL) i jego zastosowanie w prognozowaniu giełdy. W przeprowadzonym eksperymencie klasyfikator liniowy CPL został użyty do prognozy kierunku jednodniowej zmiany indeksów giełdowych. W zastosowanym podejściu klasyfikacyjnym prognozowano jedynie kierunek zmian (wzrost lub spadek), a nie dokładną wartość indeksu (podejście regresyjne). W eksperymencie użyto instrumentów finansowych w tym m.in. kursów walut. Jednodniowa prognoza wybranego instrumentu budowana jest w oparciu o wartości historyczne wszystkich instrumentów. Używając 7 danych historycznych dla każdego instrumentu, uzyskano w sumie 9 atrybuty. Tak wielowymiarowa przestrzeń została zredukowana metodą selekcji cech opartą o relaksację liniowej separowalności. Metoda ta została opisana szczegółowo. Selekcja cech i budowa modelu w wybranej podprzestrzeni została przeprowadzona na zbiorze uczącym (treningowym). Natomiast ocena modelu została przeprowadzona na zbiorze testowym. Otrzymany wynik to średnio 5.9% prawidłowo sklasyfikowanych (prognozowanych) dziennych zmian indeksów giełdowych. Praca wspierana przez projekt S/WI//8 Politechniki Białostockiej. 37

53 Short term prediction of stock index changes based on linear classification Table 3: Financial instruments ETF's used in experiment Region Type Europe Asia North America Latin America Africa Commodities Currencies Symbol Description FEU SPDR STOXX Europe 5 GUR SPDR S&P Emerging Europe RSX Market Vectors Russia ETF EWU ishares MSCI United Kingdom Index EWL ishares MSCI Switzerland Index EWI ishares MSCI Italy Index EWD ishares MSCI Sweden Index EWG ishares MSCI Germany Index EWP ishares MSCI Spain Index EWQ ishares MSCI France Index EWO ishares MSCI Austria Investable Mkt Idx EWK ishares MSCI Belgium Investable Mkt Idx EWN ishares MSCI Netherlands Invstbl Mkt Idx EWJ ishares MSCI Japan Index EWM ishares MSCI Malaysia Index EWT ishares MSCI Taiwan Index EWY ishares MSCI South Korea Index EWH ishares MSCI Hong Kong Index FXI ishares FTSE/Xinhua China 5 Index EWA ishares MSCI Australia Index EWS ishares MSCI Singapore Index SPY SPDR S&P 5 USA EWC ishares MSCI Canada Index GML Emerging Latin America EWW ishares MSCI Mexico Index Fund EWZ ishares MSCI Brazil Index Fund EZA ishares MSCI South Africa Index GAF SPDR S&P Emerging Middle East & Africa USO United States Oil Fund UNG United States Natural Gas DBA PowerShares DB Agriculture GLD SPDR Gold Shares SLV ishares Silver Trust FXA CurrencyShares Australian Dollar Trust FXB CurrencyShares British Pound Sterling Trust FXC CurrencyShares Canadian Dollar Trust FXE CurrencyShares Euro Trust FXY CurrencyShares Japanese Yen Trust UDN PowerShares DB US Dollar Index Bearish UUP PowerShares DB US Dollar Index Bullish DBV PowerShares DB G Currency Harvest 373

54 37 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. /

55 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Edward RYDYGIER Urząd m. st. Warszawy, ul. Kondratowicza, -983 Warszawa, Politechnika Radomska, Wydz. Transportu i Elektrotechniki, E mail: Zygmunt STRZYŻAKOWSKI Politechnika Radomska, Wydz. Transportu i Elektrotechniki, Instytut Automatyki i Telematyki, ul. Malczewskiego 9, 6-6 Radom E mail: Zastosowanie sposobów obliczeniowych używanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor Wstęp Narzędzia obliczeniowe wykorzystywane w elektrotechnice można zaadoptować do rozwiązań wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor. Przykładowo, wielomiany potęgowe, wykorzystywane w obliczeniach sieci i obwodów elektrycznych, mogą stanowić efektywne narzędzia obliczeniowe w algorytmach metod numerycznych służących do identyfikacji źródeł pól fizycznych opisanych równaniem cząstkowym Poissona. Z kolei funkcjonał mocy stosowany do opisu stanu sieci rozgałęzionej także może zostać zastosowany do rozwiązania zagadnienia identyfikacji źródeł pola opisanego równaniem Poissona. Metody identyfikacji źródeł pola wykorzystujące wielomiany potęgowe oraz funkcjonał mocy mogą znaleźć zastosowanie w rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałościowych i cieplnych w układach transportu szynowego, szczególnie, jeśli chodzi o modelowanie zagadnień w układzie pojazd szynowy-tor. Także sposób obliczeń z wykorzystaniem pojęcia energii jednookresowej, który jest stosowany w elektrotechnice w analizie w czasie rzeczywistym procesów energetycznych w obwodach elektrycznych może znaleźć zastosowanie w modelowaniu układu pojazd szynowy-tor, a szczególnie w modelowaniu dynamicznym kontaktu koło - szyna dla siły wertykalnej. Wielomiany potęgowe Wielomiany potęgowe o stałych współczynnikach stanowią efektywne narzędzia matematyczne w obliczeniach sieci i obwodów elektrycznych. Tego rodzaju wielomianami są moniczne wielomiany potęgowe T n (q) dla q R zdefiniowane za pomocą formuły rekurencyjnej: T n+ (q) = ( + q)t n+ (q) T n (q), n =,,,... T (q) =, T (x) = + q, () Korzystając z powyższej formuły wyznaczono kilka pierwszych wielomianów: T (q) = 375

56 376 Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI T (q) = + q T (q) = + 3q + q T 3 (q) = + 6q + 5q + q 3 T (q) = + q + 5q + 7q 3 + q T 5 (q) = + 5q + 35q + 8q 3 + 9q + q Korzystając z powyższego zapisu można zdefiniować wielomiany T n (q) w następujący sposób: n T n (q) = a n q k =, k k, n =,,,.... () a n,k = a n-,k + a n-,k- a n-,k, a, =, a, =, n =,,,..., k n (3) Tablica współczynników a n,k tworzy zmodyfikowany trójkąt liczbowy MNT, służący do generacji monicznych wielomianów potęgowych T n (q). Natomiast moniczne wielomiany potęgowe P n (q) dla q R są zdefiniowane za pomocą formuły rekurencyjnej: P n + (q) = ( + q)p n+ (q) P n (q), n =,,,..., P (q) =, P(q) =, () Korzystając powyższej formuły wyznaczono kilka pierwszych wielomianów P n (q): P (q) = P (q) = P (q) = + q P 3 (q) = 3 + q + q P (q) = + q + 6q + q 3 P 5 (q) = 5 + q + q + 8q 3 + q Korzystając z powyższego zapisu można zdefiniować moniczne wielomiany P n (q) w następujący sposób: n r P n (q) = b n, r q, n =,,,.... (5) r = b n,r = b n-,r + b n-,r- b n-,r, b, =, b, =, n =,,,..., r n. (6) Tablica współczynników b n,r tworzy zmodyfikowany trójkąt liczbowy MNT generujący moniczne wielomiany potęgowe. Między wielomianami P n (q) i T n (q) zachodzą następujące relacje: qp n (q) = T n (q) T n- (q), n =,, 3, (7) P n (q)t n- (q) P n- T n (q) =, n =,, 3, (8) Prawidłowością charakteryzującą konstrukcję zmodyfikowanych trójkątów liczbowych jest to, że sumy elementów w wierszach pierwszego (,, 5, 3, 3, 89, ) i drugiego

57 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor trójkąta (, 3, 8,, 55, ) są równe odpowiednio parzystym F n, n =,,,..., lub nieparzystym F n+, n =,,,.. wyrazom ciągu Fibonacci ego (,,, 3, 5, 8, 3,, 5, 55, 89, ), zdefiniowanego za pomocą następującej formuły [5]: F n + = F n+ + F n, n =,,,..., (9) dla wyrazów początkowych F = i F =. W elektrotechnice ciąg Fibonacci go znajduje zastosowanie w obliczeniach obwodów jednorodnych o strukturze wielokąt-gwiazda, a także w obliczeniach parametrów wejściowych linii transmisyjnych. Natomiast potęgowe wielomiany moniczne znajdują zastosowanie w elektrotechnice w obliczeniach periodycznych sieci elektrycznych [3, ]. 3 Metody identyfikacji źródeł pola w modelowaniu układu pojazd szynowy-tor Potęgowe wielomiany moniczne T n (q) i P n (q) można zastosować w algorytmach metod numerycznych służących do identyfikacji źródeł pola dla układów opisanych równaniem Poissona. Opis układu -D za pomocą równaniem Poissona ze znanymi warunkami brzegowymi u Γ na brzegu Г badanego obszaru przyjmuje postać następującego równania różniczkowego cząstkowego []: u( x, y) u( x, y) + = x y f ( x, y), () gdzie x (, l x ), y (, l y ), u = u(x, y) R oznacza funkcję polową, f = f(x, y) R - funkcję rozkładu źródeł (funkcję źródłową). Identyfikacja źródeł pola dla układu opisanego równaniem () polega na wyznaczeniu funkcji rozkładu źródeł f(x, y), co stanowi rozwiązanie problemu odwrotnego. Aby rozwiązać ten problem numerycznie należy przybliżyć ciągły opis układu opisem dyskretnym. Po zamianie zmiennych ciągłych na dyskretne, np. w przypadku prostokątnej siatki podziału badanego obszaru o wymiarach l x l y według wzoru x = ih, i =,,,..., M, y = jh, j =,,,..., N, M = l x /h, N = l y /h, h - długość kroku dyskretyzacji, i w wyniku przybliżenia równania różniczkowego równaniem różnicowym za pomocą schematu różnic skończonych uzyskuje się układ równań algebraicznych wiążących wartości funkcji polowej u i źródłowej f w węzłach siatki w następujący sposób []: = =, i=,,..., M-, j=,.., N-, () u i, j ui, j ui, j ui, j+ ui, j ui, j h f ( i, j) qi, j gdzie: u i,j = u(i, j), q i, j = q(i, j). Natomiast warunki brzegowe przyjmują postać: u(, j) = U (j), u(m, j) = U M (j), j =,,..., N u(i, ) = U (i), u(i, N) = U N (i), i =,,..., M. Dla modelu dyskretnego () rozwiązanie zagadnienia identyfikacji źródeł polega na wyznaczeniu wartości funkcji źródłowej q(i, j) w węzłach siatki. Funkcja źródłowa rozwinięta w szereg Fouriera przyjmuje postać []: 377

58 f m,n = Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI N k kπ n Fm ( k)sin, fm, = f m,n =, m =,,,..., M, () N gdzie n jest parametrem, F(k) oznacza współczynnik Fouriera dla k =,, N-. Podobnie rozwinięta w szereg Fouriera została funkcja polowa: u m,n = N U k = kπ n ( k)sin, u,n = u M,n =, n =,,..., N. (3) N m Po podstawieniu funkcji polowej (3) i źródłowej () do równania () otrzymujemy: h ( U kπ ( k) U ( k) + U ( k)) (sin ) U ( k) F ( k) m m m m N, m =,,..., M () = m + z warunkami brzegowymi określonymi przez U (k) = oraz wartości U M (k) wyznaczone z równości u M,n =, n =,..., N. kπ Po podstawieniu wielomianu P(q k ) () dla q k = sin do równania (), otrzymujemy N rozwiązanie problemu prostego w postaci: m U ( k) = P ( q ) U ( k) + P ( q ) h F ( k), m =, 3,..., M-. (5) m m k m l k l l = Wartości U (k) w równaniu (5) można wyznaczyć z warunków brzegowych (). Dla N = M z układu M- równań można wyznaczyć zestaw U M (k), k =,,..., M-. Następnie przez podstawienie tych współczynników do równania (5) dla m = M, można otrzymać zestaw U (k) dla k =,,..., M-. Rozwiązanie problemu odwrotnego wyznaczone przy użyciu monicznych wielomianów potęgowych P(q k ) przyjmuje postać: U F ( k) = l l + ( k) P l + l ( q ) U ( k) P k i= P( q ) h l k l + i ( q ) h F ( k) k i. (6) Funkcja źródłowa odtworzona ze współczynników (6) według formuły () stanowi rozwiązanie zagadnienia identyfikacji źródeł pola. Ponieważ zagadnienie identyfikacji źródeł pola jest problemem odwrotnym, dlatego należy ustabilizować wyniki obliczeń []. Problem odwrotny zawiera się w klasie problemów źle postawionych w sensie definicji Hadamarda problemów poprawnie sformułowanych i dlatego metody rozwiązania zagadnienia prostego mogą okazać się nie odpowiednie do rozwiązania zagadnienia odwrotnego [, ]. Stabilność może zostać zapewniona przez zastosowanie odpowiedniej procedury regularyzacjnej. Opracowana przez autorów artykułu Metoda Symulacyjna identyfikacji została uzupełniona przez specjalną numeryczną procedurę aproksymacyjną opracowaną na podstawie metody odwrotnych odległości [7]. Metoda ta zaadoptowana przez Sheparda do wygładzania danych w układach -D stanowi rodzaj samoregularyzacji. 378

59 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor Identyfikacji źródeł dla danych pomiarowych tylko z brzegu obszaru Metoda identyfikacji źródeł wykorzystująca wielomiany potęgowe może zostać zaadaptowana dla przypadku posiadania wyników ograniczonych tylko do danych pomiarowych z brzegu badanego obszaru []. Zamiana zmiennych ciągłych na dyskretne: x = ih, i =,,..., M+, y = jh, j =,,..., N (7) umożliwia przybliżenie równania () równaniem różnicowym metodą różnic skończonych: u(i+, j) u(i, j) + u(i, j) + u(i, j+) u(i, j) + u(i, j ) = h f(i, j) = g(i, j), (8) gdzie funkcja g(i, j) oznacza zastępczą funkcję źródłową. W zmiennych dyskretnych warunki brzegowe Dirichleta mają postać: u(, j) = U (j), u(m+, j) = U M+ (j), j =,,..., N u(i, ) = U (i), u(i, N) = U N (i), i =,,..., M, M+. Przez wprowadzenie wielkości U(i) oraz G(i) oznaczających odpowiednio wektor wartości potencjałów oraz funkcji źródłowej w i-tej kolumnie siatki dla j =,,..., N-, układ równań () wraz z warunkami brzegowymi można zapisać w postaci macierzowej: U(i+) (E+A)U(i) + U(i ) = G(i) V (i) V N (i), i =,,..., M, (9) gdzie V (i) - wektor wartości potencjałów dla j=, V N (i) - wektor wartości potencjałów dla j = N w i-tej kolumnie siatki, E - macierz jednostkowa, A - macierz aproksymacji różnicowej względem zmiennej j. Wektory i macierze w równaniu (9) mają postać: g( i,) u(i,) G(i) = g( i,), V (i) =, V N (i) =, g( i, N ) u( i, N) u( i,) U(i) = u( i,), E = diag []... u( i, N ) N, A = Macierz charakterystyczna B = E+A, pozwala wprowadzić do układu (9) macierzowe n wielomiany moniczne rodzaju P n (A) = potencjałów o indeksach i =,,..., M-, otrzymujemy równanie: k = α n, k A k. Następnie eliminując nieznane wartości 379

60 38 Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI P M- (A) U M+ P M (A)U M + U + H N = i= M P i (A)G(i), () gdzie U M+ - wektor znanych wartości potencjału na brzegu dla i = M+, U M - wektorem wartości potencjału dla i = M, U - wektorem znanych wartości potencjału dla i = u( M +,) u( M,) u(,) U M+ = u( M +,), U M = u( M,), U = u(,), u( M +, N ) u( M, N ) u(, N ) natomiast H N = H + H N, gdzie H jest wektorem znanych wartości potencjału dla j =, podobnie jak H N dla j = N. Ponieważ potęgowe wielomiany moniczne P n (A) tworzą wyrazy uzależnione od kolejnych potęg macierzy A, to porównując odpowiednie współczynniki z lewej i prawej strony równania () można wyznaczyć wszystkie wektory G(i), i =,,..., M, a tym samym otrzymać rozkład źródeł. Rozwiązanie wymaga jednak znajomości wartości potencjałów w węzłach kolumny sąsiadującej z brzegiem, tj. U M. Gdy warstwa przy jednym brzegu nie jest dostępna dla pomiarów, wówczas wartości można uzyskać przez przeskalowanie wektora potencjałów na brzegu przyjmując U M = αu M+, gdzie współczynnik skalowania α >. Równanie () można rozwiązać alternatywnym sposobem polegającym na wyjściu poza badany obszar o jedną kolumnę węzłów siatki traktując związane z nimi wartości potencjałów jako zerowe wartości brzegowe U M+ =. Wówczas uwzględniając te wartości otrzymujemy rozwiązanie dla i = M+: U(M+) (E + A)U(M+) + U(M) + V (M+) = G(M+) =. () Wartości potencjałów w kolumnie sąsiadującej z brzegiem wyznaczamy w postaci: U(M) = (E + A)U(M+) V (M+). () Podstawieniu wyrażenia U M = U(M) danego wzorem () do równania () daje: Przykład P M- (A) U M+ P M (A) [(E + A)U M+ V, M+ ] + U + H N = = M P i i (A)G(i). (3) W celu zilustrowania efektywności opracowanej metody identyfikacji wykonano obliczenia przyjmując M = 3 i N = 3. Wówczas na podstawie równania (9) można skonstruować następujący układ równań: gdzie U() (E + A)U() + U() = G() V 3 () U(3) (E + A)U() + U() = G() V 3 () U() (E + A)U(3) + U() = G(3) V 3 (3), u(,) u(,) u(,) u(3,) U() =, U() = u(,), U() = u(,), U(3) = u(,), u(3,)

61 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor u(,) U() =, V 3 u(,) () = V () V 3 () = u(,), V 3 u(,) () = V () V N () = u(,3), u(,3) V 3 u(3,) () = V () V N () =, A = u(3,3), E =, g(,) g(,) g(3,) G() =, G() = g(,), G(3) = g(,). g(3,) Po wyeliminowaniu wektorów U(), U() otrzymujemy następujące równanie: (3E+A+A )U (E+A+6A +A 3 )U 3 + U + (3E+A+A )U,3 3 + (E + A)U, 3 = = (3E+A+A )G 3 + (E + A)G + G, U = U(), U = U(), U 3 = U(3), U = U(), G = G(), G = G(), G 3 = G(3), V, 3 = V 3 (), V, 3 = V 3 (), V,3 3 = V 3 (3). Po uporządkowaniu wyrazów i porównaniu współczynników przy tych samych potęgach A otrzymujemy: 3U + U 3 + U + 3V,3 3 + V, 3 + V, 3 = 3G 3 + G + G U U 3 + V,3 3 + V, 3 = G 3 + G, U 6U 3 + V,3 3 = G 3, skąd G = U 3 + U + V, 3, G = U 3 + V, 3, G 3 = U 6U 3 + V,3 3. Podstawiając U 3 = αu otrzymujemy: G = αu + U + V, 3, G = αu + V, 3, G 3 = ( 6α)U + U + V, 3, g(,) u(,) u(,) u(,) g(,) gdzie G = = α g(,) + u(,) + u(,), G = u(,3) = g(,) u(,) u(,) g(3,) u(,) u(3,) = α + u(,), G 3 = u(,3) = ( 6α) g(3,) + u(,). u(3,3) Przykład Ilustracja obliczeń według formuł wyprowadzonych w powyższym przykładzie dla polowej funkcji wzorcowej (benchmark function) w postaci: u (x, y) = cosπxcosπy, dla x (, ), y (, ) z warunkami brzegowymi: u(, y) = cosπy, u(x, ) = cosπx, u(, y) = cosπy u(x, ) = cosπx. Rozwiązując analitycznie równanie Poissona dla funkcji wzorcowej u (x, y) można otrzymać funkcję źródłową w postaci: f (x, y) = π cosπxcosπy. 38

62 Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI 38 Rys.. Funkcja wzorcowa u Rys.. Funkcja źródłowa wzorcowa f Fig.. Benchmark function u Fig.. Benchmark sources function f Dla kroku dyskretyzacji h =,5 otrzymujemy: (,) (,) u u = ) cos( ) cos( π π =, (,) (,) u u = ) cos( ) cos( π π =, (,3) (,) u u = ) 3 cos( ) cos( π π =, (,3) (,) u u = ) 3 cos( ) cos( π π =, (3,3) (3,) u u = ) 3 cos( ) 3 cos( π π = G = (,) (,) g g = + ) (7 α, G = (,) (,) g g = + ) (7 α, G 3 = (3,) (3,) g g = 3 α. Wartość współczynnika α można oszacować z analizy błędu względnego. Dla f(3, ) = 3 α h = 8 α rozwiązanie analityczne wynosi f a, 3 = π. Błąd względny δ(α) =, 3, 3 (3,) a a f f f = 8 π α = 6,88α.

63 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor Rys. 3. Wykres błędu względnego δ(α) Fig. 3. Graph of a relative error δ(α) 5 Funkcjonał mocy w modelowaniu układu pojazd szynowy-tor Rozwiązanie zagadnienia identyfikacji źródeł pola można uzyskać także jako rozwiązanie zagadnienie optymalizacji przez wyznaczenie ekstremum funkcjonału mocy. Dla układu -D, w odniesieniu do różnicowej postaci równania Poissona (), funkcjonał mocy można zdefiniować następująco []: Fi j = ( u u ) + ( u u ) + ( u u ) + ( u u ) F = i, j= i, j= () Nazwa funkcjonał mocy związana jest z rozwiązaniem zagadnienia obwodowego w elektrotechnice []. Jeśli zamiast siatki prostokątnej węzłów rozpatrzona zostanie sieć rezystancyjna, to wówczas funkcjonał mocy określa moc w obwodzie. W przypadku sieci rezystancyjnej zawierającej oporniki jednakowej konduktancji G=R -, funkcjonał mocy dla sieci o węzłach w punktach (i-, j), (i, j), (i, j+), (i, j-), (i+, j) przybiera postać:, [ i, j i+, j i, j i, j i, j i, j+ i, j i, j ] ui, jqi, j [ i, j i, j i, j i, j i, j i, j+ i, j i, j ] Vi, jii j F i, j = ( V V ) + ( V V ) + ( V V ) + ( V V ) G +,, (5) gdzie I i, j oznacza natężenie prądu źródła prądowego dołączonego w punkcie (i, j),v i, j - napięcie w punkcie (i, j), V i+, j - napięcie w punkcie (i+, j), V i, j+ - napięcie w punkcie (i, j+), V i, j- - napięcie w punkcie (i, j-), kwadraty różnic napięć zostały uzyskane z podstawienia w miejsce odpowiedniego prądu płynącego między sąsiednimi węzłami iloczynu konduktancji i różnicy odpowiednich napięć. W pracach z zakresu elektrotechniki funkcjonał mocy zastał użyty do opisu stanu sieci rozgałęzionej, gdzie przez znalezienie punktu stacjonarnego funkcjonału wyznaczono wartości potencjałów w węzłach niezależnych []. Funkcjonał mocy (5) jest skonstruowany z dwóch składowych, z których pierwsza jest określona jako połowa sumy mocy elementów pasywnych, a druga - mocą źródła prądowego występującego 383

64 Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI 38 w obwodzie. Przyjmując G = S, q i,j = I i, j, u i,j = V i, j oraz sumując po indeksach i, j otrzymujemy wyrażenie (). Po wyznaczeniu na postawie równania () potencjałów pośrednich, tzn. służących do obliczeń pośrednich przy znanych wartościach potencjałów na brzegu obszaru i przez podstawienie ich do równania () uzależniono funkcjonał mocy od wartości źródeł, które stanowią zmienne niezależne. Identyfikacja źródeł za pomocą funkcjonału mocy polega na minimalizacji tego funkcjonału dla dyskretnych wartości q i,j. Dla funkcjonału kwadratowego F = F(q, q, q n ), gdzie n - ilość źródeł, poszukiwany zestaw źródeł q *, q *,, q n * wyznacza się jako punkt stacjonarny funkcjonału przez obliczenie jego gradientu i gradient funkcjonału w postaci: F = B + Cq. (6) Porównując gradient (6) do zera wyznaczamy punkt stacjonarny funkcjonału mocy F: q * = C - B. (7) Przykład 3 Dyskretyzacja badanego obszaru siatką kwadratową dla N = M = 3. Potencjały pośrednie położone w węzłach wewnętrznych oznaczymy przez V, V, V 3, V, wartości znanych potencjałów brzegowych przez V 5, V 6, V 7, V 8, V 9, V, V, V, natomiast nieznane wartości funkcji źródłowej przez q, q, q 3, q. Różnicowe równanie przybliżające równanie różniczkowe Poissona przyjmuje w zapisie macierzowym następującą postać: = V V V V V V V V q q q q V V V V skąd = V V V V V V V V q q q q V V V V. Funkcjonał mocy w tym przypadku zgodnie ze wzorem () przyjmuje postać: F = [(V V 5 ) + (V V ) + (V V ) + (V V 3 ) + (V 3 V 6 ) + (V 3 V 7 ) + (V 3 V ) + + (V V 8 ) + (V V ) + (V V 9 ) + (V V ) + (V V ) ] V q V q V 3 q 3 V q. Funkcjonał mocy przedstawiony przez powyższe wyrażenie odznacza się specyficznymi cechami: w nawiasach kwadratowych znajduje się członów, które odpowiadają dwunastu odcinkom łączącym węzły siatki, natomiast poza nawiasami znajdują się cztery składniki odpowiadające węzłom, w których znajdują się poszukiwane źródła. Gdy wprowadzimy oznaczenia:

65 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor 385 = R, = V V V V V V V V a a a a, to 3 V V V V = R a a a a q q q q. Podstawienie wartości potencjałów pośrednich daje funkcjonał w postaci formy kwadratowej: F = A + [B, B, B 3, B ] 3 q q q q + ],,, [ 3 3 q q q q C 3 q q q q, skąd 3 q q q q = C - 3 B B B B. Metody identyfikacji źródeł pola z wykorzystaniem w algorytmach obliczeniowych wielomianów potęgowych mogą znaleźć zastosowania w modelowaniu wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy szyna, takich jak zagadnienia wytrzymałościowe i cieplne. Modelowanie takich zagadnień, jak skręcanie szyny kolejowej, czy badanie śladu cieplnego w szynie wytwornego przez kontakt toczny koło szyna zostały przedstawione we wcześniejszych pracach autorów [6, 8, 9]. 6 Energia jednookresowa w modelowaniu kontaktu koło-szyna Pojęcie energii jednookresowej stosowane jest w analizie w czasie rzeczywistym procesów energetycznych w obwodach elektrycznych w stanie okresowym niesinusoidalnym []. Procesy energetyczne można wówczas badać na płaszczyźnie fazowej energii oraz oceniać je na podstawie zmian chwilowego napięcia i prądu związanych z danym elementem obwodu w ciągu jednego okresu. Biorąc pod uwagę dwójnik dynamiczny działający w stanie okresowym niesinusoidalnym, dla którego sygnałem wymuszenia będzie napięcie v(t) = v(t + T), T - okres, a odpowiedzią prąd i(t) = i(t + T), to wówczas energię oddaną przez źródło v(t) do odbiornika w przedziale czasu t = nt, n N, określamy wyrażeniem: W( t) = nw T, (8) gdzie W T oznacza energię jednookresową, tzn. energię dostarczoną do odbiornika podczas jednego okresu wymuszenia i odpowiedzi. Zatem w stanie okresowym niesinusoidalnym wyznaczenie energii pobranej ze źródła przez odbiornik w danym przedziale czasu t = nt można sprowadzić do określenia energii jednookresowej W T, a następnie pomnożenia przez n. Dla badanego zagadnienia W T wynosi:

66 Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI W T = T v t) i( t) dt T d ( = v( t) ( i( ) dτ ) dt q( T τ dt = ) ψ ( T v ( t) dq( t) = ) i( t) dψ ( t), (9) gdzie q(t) = i ( t) dt oznacza ładunek, a ψ(t) = v ( t) dt - strumień magnetyczny źródła. Z postaci wyrażenia (9) wynika, że pole powierzchni ograniczonej pętlą na fazowej płaszczyźnie energii o współrzędnych (v(t), q(t)) lub równoważnie (ψ(t), i(t)) określa energię jednookresową W T pobraną przez odbiornik ze źródła, gdy współdziałają one w stanie okresowym niesinusoidalnym. Gdy v(t) = V cos( ωt) jest harmonicznym napięciem źródłowym, to prąd jako odpowiedź w obwodzie można przedstawić w postaci i(t) = I cos( ωt ϕ), gdzie ϕ oznacza argument impedancji dwójnika Z = R + jx, V - wartość skuteczną napięcia, I = V /Z - wartość skuteczną prądu. Gdy prąd chwilowy i(t) przyjmiemy jako jedną ze współrzędnych fazowej płaszczyzny energii, wówczas strumień magnetyczny V ψ(t) = v ( t) dt = sin( ωt) powinien być drugą współrzędną tej płaszczyzny. W tym ω przypadku: q() ψ () ψ ( T W T = ) i( t) dψ ( t) (3) ψ () Aby wyznaczyć wyrażenie określające pętlę energii jednookresowej należy uzależnić sygnał i(t) od ψ(t) przez wyeliminowanie zmiennej t, co można uzyskać przez ( ) podstawienie cos(ωt) = ωψ t, gdzie V W rezultacie tego podstawienia otrzymujemy: ωψ ( t) V = sin(ωt), do wzoru na i(t). x (t) + y (t) x(t)y(t)sinϕ = cos ϕ, (3) gdzie x(t) = i(t)/ I, y(t) =ωψ(t)/ V nowe zmienne bezwymiarowe prądu i strumienia. Zatem na płaszczyźnie (x(t), y(t)) pętla energii jednookresowej przyjmuje postać elipsy, a wartość energii jednookresowej można wyznaczyć jako pole powierzchni elipsy W T = πab = π V I cos ϕ = T V I cosϕ, (3) ω sin ϕ gdzie T = π/ω oznacza okres harmonicznego sygnału na wejściu dwójnika. Rozpatrując kontakt koło-szyna w płaszczyźnie pionowej można zauważyć, że na szynę ze strony koła działa pionowa siła nacisku mająca charakter sygnału okresowego 386

67 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor F(t) = f(t + T), (33) gdzie okres T odpowiada przedziałowi czasu do przyjechania koła w następnym wagonie, T = x/v, v - prędkość wzdłuż toru. W płaszczyźnie pionowej prostopadłej do szyny układ dynamiczny kontaktu tocznego można opisać następującym układem równań: d y d( y y ) m + b + k( y y) = dt dt d y d( y y ) M + b + k( y y) = F( t) dt dt gdzie zmienne y = y (t), y = y (t), m, b, k związane są z podkładem, a M, b, k z szyną. Korzystając z koncepcji badania procesów energetycznych na fazowej płaszczyźnie energii stosowanej do analizy obwodów elektrycznych, energię jednookresową dla badanego przypadku można w oparciu o wzór (9) przedstawić następującą zależnością W T = T y( T Fwdt = ) Fdy, w = y() (3) dy. (35) dt Z postaci wyrażenia (35) wynika, że pole powierzchni ograniczonej pętlą na fazowej płaszczyźnie energii o współrzędnych (F(t), y (t)) określa energię W T przekazaną w jednym okresie. Korzystając analogii z opisem obwodu elektrycznego, siła F(t) odpowiada wymuszeniu, czyli napięciu źródłowemu v(t), a zmienna przemieszczenia y(t) - chwilowemu ładunkowi q(t) płynącemu w obwodzie. 7 Wnioski W pracy przedstawiono zastosowanie sposobów obliczeniowych z zakresu elektrotechniki do rozwiązywania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor. Wykazano, że takie narzędzia obliczeniowe, jak potęgowe wielomiany moniczne, zmodyfikowane trójkąty liczbowe, czy pojęcia takie, jak funkcjonał mocy, energia jednookresowa używane w obliczeniach sieci i obwodów elektrycznych mogą być wykorzystane w modelowaniu wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor. Literatura. Groetsch Ch. W.: Inverse Problems in Mathematical Sciences. Vieweg, Braunschweig/Wiebaden 99. Kącki E.: Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki. WNT, Warszawa Kłos. A., Trzaska Z.: Modelowanie sieci elektrycznych. Wyd. ITE, Warszawa 7.. Potter D.: Metody obliczeniowe fizyki. PWN, Warszawa Ross K. A. Ch., Wright R. B.: Matematyka dyskretna. PWN, Warszawa Rydygier E., Strzyżakowski Z.: Application of inverse problems modelling to design and utilize rail vehicles. Proc. International Conference on Transport of the st Century, Stare Jabłonki, September 7, Vol., pp

68 Edward RYDYGIER, Zygmunt STRZYśAKOWSKI 7. Rydygier E., Strzyżakowski Z.: The Simulation Method used to solve engineering inverse problems. Proc. 6th Vienna Int. Conf. on Mathematical Modelling MATHMOD9, Vienna, February 9, Full Papers CD Vol., Argesim Report No Rydygier E., Strzyżakowski Z.: Efektywne metody modelowania użyteczne w eksploatacji pojazdów szynowych. Logistyka /, dział Logistyka Nauka 9. Rydygier E., Strzyżakowski Z.: Modelowanie kontaktu koło - szyna. Logistyka 6/9. Rydygier E., Strzyżakowski Z.: Efektywne metody identyfikacji w inżynierii kolejowej. Symulacja w Badaniach i Rozwoju.Vol., No /, str Tikhonov A. N.: Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G.: Numerical Methods for the Solution of Ill-posed Problem. Kluwer, Dordrecht 995. Trzaska Z.: Analiza i projektowanie obwodów elektrycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 8 Streszczenie W pracy przedstawiono wyniki badań nad zaadoptowaniem narzędzi obliczeniowych wykorzystywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor. Wykazano, że wielomiany potęgowe, wykorzystywane w obliczeniach sieci i obwodów elektrycznych, stanowią efektywne narzędzia obliczeniowe w algorytmach metod numerycznych służących do identyfikacji źródeł pól fizycznych opisanych równaniem różniczkowym cząstkowym (Poissona). Opracowane z użyciem wielomianów potęgowych, a także funkcjonału mocy metody identyfikacji źródeł mogą znaleźć zastosowanie w rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałościowych i cieplnych w układach transportu szynowego, m.in. w układzie pojazd szynowy tor. Natomiast sposób obliczeń z wykorzystaniem pojęcia energii jednookresowej może znaleźć zastosowanie w modelowaniu dynamiki kontaktu koło - szyna dla siły wertykalnej. 388

69 Zastosowanie sposobów obliczeniowych uŝywanych w elektrotechnice do modelowania wybranych zagadnień w układzie pojazd szynowy tor Application of computational approaches from the field of electrical engineering to model selected issues in a rail vahicle track system Summary In this paper there are presented the results of investigations regarding the adaptation of computational tools from the field of electrotechnique to modelling selected issues in a rail vehicle track system. It is showed that the power polynomials applied in calculations of electrical nets and circuits are the effective computational tools useful in construction of algorithms of numerical methods for identification of field sources which are described by the Poisson equation. Also it is showed that the power functional applied to descript a state of ramification electrical nets is the useful tool to solve a field sources identification problem in systems described by the Poisson equation. The identification methods established with the use of power polynomials and the power functional can be applied in solving endurance and heat problems in railway transport systems, e. g. in a rail vehicle track system. Also it is presented special approach of dynamical modelling a wheel-rail contact for vertical force with the use of one period energy concept which is applied in the analysis of real time energetic processes in electrical circuits. 389

70 39 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. /

71 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. / Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Cybernetyki, -98 Warszawa, ul. Kaliskiego E mail: Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki Wprowadzenie Planowanie wielorozdzielczych tras jest problemem istotnym z punktu widzenia wielu zastosowań (mobilne roboty [7, 9], symulacja pola walki [5], systemy typu CGF [3] (ang. Computer Generated Forces), transport lub/i nawigacja [, ]). Dla przykładu w symulacyjnych modelach przemieszczania na polu walki wykorzystuje się środowisko wielorozdzielcze [6]. Wielorozdzielczość wynika z hierarchicznej struktury jednostek oraz sposobów ich zachowania na polu walki. Dla szczebla kompanii wymagane jest bardziej precyzyjne odzwierciedlenie środowiska (terenu), aniżeli np. dla brygady. Automatyzacja pola walki jest domeną systemów klasy CGF [3] (ang. Computer Generated Forces) lub SAF-SAFOR (ang. Semi-Automated Forces). Systemy typu CGF (SAF, SAFOR) umożliwiają generowanie elementów wirtualnego (symulowanego) pola walki i zarządzanie nimi. Automatyczne generowanie i symulowanie niektórych elementów pola walki (w szczególności związanych z przeciwnikiem) umożliwia sztabom ćwiczących wojsk przeprowadzenie ćwiczeń, gdyż wojska przeciwnika są automatycznie podgrywane. Problem poszukiwania wielorozdzielczych dróg jest ściśle związany z problemem poszukiwania dróg w sieciach wielkich rozmiarów. Przy rozwiązywaniu tego typu problemów stosuje się dwa główne podejścia: (a) dekompozycja problemu lub modelu środowiska (sieci terenu), w którym odbywa się planowanie na mniejsze podproblemy i następnie rozwiązywanie podproblemów [7,, 6]; (b) zastosowanie algorytmów on-line wyznaczania dróg, które znajdują rozwiązanie krok po kroku (komórka (terenu) po komórce) [5, 8]. Pierwsza grupa metod nosi nazwę wielorozdzielczych. Jako lokalne algorytmy wyznaczania dróg w tej grupie stosuje się: zmodyfikowany algorytm Dijkstry z kolejką priorytetową reprezentowaną przez kopiec d-arny (O(A log d V), gdzie V liczba wierzchołków sieci, A liczba krawędzi (lub łuków) sieci) zaproponowany przez Tarjan a, z kolejką priorytetową reprezentowaną przez kopiec Fibonacci ego (O(E+V log V)) zaproponowany przez Fredman a i Tarjan a, algorytm A* (o oczekiwanej złożoności O( V V )). Ponadto możemy zastosować algorytm Bellmann a-ford a (O(VE)), algorytm Gabow a-tarjan a (O( V E log( VW ) ), gdzie W oznacza największą, co do bezwzględnej wartości, wagę łuku/krawędzi) lub algorytm zaprezentowany przez Ahuja i innych (O( E + V logw )). Do poszukiwania dróg najkrótszych między każdą parą wierzchołków możemy zastosować V razy (dla każdego wierzchołka) zmodyfikowany algorytm Dijkstry (O(VElog d V)), algorytm Johnson a 39

72 39 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI dla sieci rzadkich (O(V logv+ve)) lub algorytm Bellman a dla sieci acyklicznych (O(V+E)). Celem wszystkich metod wielorozdzielczych jest redukcja złożoności obliczeniowej poprzez redukcję rozmiaru problemu (rozmiaru sieci). Dla przykładu, niektórzy autorzy prezentują metody dekompozycji sieci oraz podziału obszaru terenu w postaci drzew czwórkowych, a następnie użycie wyszukiwania etapowego (podobnego do algorytmu A*), aby wykorzystać hierarchię zależności w drzewie czwórkowym [7]. W artykule zaprezentowano przegląd modeli i metod poszukiwania dróg w wielorozdzielczych sieciach oraz ich analizę pod kątem efektywnościowym (dokładności i czasu obliczeń). Istota jednej z opisywanych metod opiera się o agregowanie geograficznie sąsiednich wierzchołków (kwadratów terenu) i planowanie tras w zagregowanej sieci z wykorzystaniem specyficznej transformacji. Celem prezentowanych metod jest nie tylko redukcja czasu obliczeń, ale - przede wszystkim - użycie ich do planowania wielorozdzielczych tras, w szczególności w problemach symulacji pola walki. Definicja wielorozdzielczego modelu terenu Modelowanie wielorozdzielcze rozwiązuje dwa zasadnicze problemy związane z wyszukiwaniem dróg w rozległych sieciach problem odwzorowania naturalnej hierarchiczności zjawiska (np. w zagadnieniu przemieszczania rozmaitych formacji wojsk) oraz problem efektywnego przetwarzania dużej ilości danych (związanych np. z dużą szczegółowością lub wielkością modelu terenu). Pojęcie wielorozdzielczości zostało zdefiniowane m.in. w []: Pojęcie wielorozdzielczości odnosi się do możliwości korzystania z różnych reprezentacji obiektów przestrzennych, posiadających różne poziomy dokładności i złożoności. Modele wielorozdzielcze pozwalają na sterowanie dokładnością odwzorowania oraz ilością związanych z nim danych. Wielorozdzielcze reprezentacje terenów sprawdzają się szczególnie w sytuacji, gdy dostępne są duże ilości danych i/lub modelowaniu podlegają znaczne obszary. Głównymi zaletami, przemawiającymi za stosowaniem modeli i metod wielorozdzielczych jest przyspieszenie obliczeń, możliwość sterowania stopniem szczegółowości bieżącego rozwiązania zachowując zgodność rozwiązań z różnych poziomów rozdzielczości oraz możliwość przetrzymywania w pamięci podręcznej wyników części obliczeń (czyli wykonanie części pracy przed właściwym eksperymentem). Należy jednak zdawać sobie sprawę z tego, że metody te zwykle nie znajdują rozwiązań optymalnych, są bardziej skomplikowane w implementacji i stosowaniu (potrzebują np. odpowiednio przygotowanego modelu terenu) i nie są tak uniwersalne jak klasyczne metody planowania przemieszczania. 3 Analiza wielorozdzielczych algorytmów planowania tras (WAPT) W literaturze odnaleźć można wiele przykładów metod wykorzystujących modelowanie wielorozdzielcze w procesie planowania przemieszczania [, 3, 7]. Zwykle związane są z konkretną klasą problemów, taką jak przemieszczanie w sieci drogowej, w otwartym terenie, itp. Jedną z najbardziej znanych i podstawowych metod jest wykorzystanie drzew czwórkowych w celu wielorozdzielczej reprezentacji rozpatrywanego terenu. Drzewa te stanowią rekursywny podział dwuwymiarowej mapy (istnieje również wersja i i trójwymiarowa drzewa ósemkowe) na homogeniczne obszary o rozmiarach q q (q to długość boku najmniejszego pola) (Rys. ). Taka struktura danych zapewnia

73 Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki efektywną reprezentację terenu i szybsze działanie algorytmów wyszukujących drogi. Niestety słabo nadaje się do reprezentacji innego terenu, niż binarny (tzn. reprezentującego wyłącznie przejezdne () i nieprzejezdne () obszary). Rys.. Model terenu i odpowiadające mu drzewo czwórkowe Fig.. Terrain model with its quadtree representation Występują trzy rodzaje węzłów takiego drzewa węzeł wolny (free node) to obszar dostępny dla ruchu, w przeciwieństwie do węzła przeszkody reprezentującego obszar nieprzejezdny. Węzły szare to obszary zawierające zarówno węzły wolne i przeszkody. W normalnym drzewie liście zawsze są węzłami prostymi lub przeszkodami. Czasami jednak odstępuje się od tej zasady, a wynikowe drzewo nazywa się drzewem przyciętym (pruned). Drzewo przycięte reprezentuje taką samą powierzchnię terenu, ale z mniejszą dokładnością. Jeden z możliwych algorytmów wykorzystujących drzewa czwórkowe przedstawiony został w [7]. Metoda tam opisana kładzie nacisk na utrzymanie przemieszczanego agenta możliwie daleko od przeszkód. Jej zaletą jest efektywne przetwarzanie mapy rastrowej do drzewa czwórkowego w czasie liniowym (względem liczby pikseli w obrazie). Istnieją również metody poprawiające jakość dróg znalezionych przy zastosowaniu drzew czwórkowych (np. poprzez otoczenie dużych pól ramkami złożonymi z minimalnych obszarów [, 3]). Drzewa czwórkowe ze względu na hierarchiczny charakter dobrze nadają się do wyszukiwania etapowego. W pierwszym kroku przycina się drzewo do wybranego poziomu i znajduje wstępną drogę. Następnie stopniowo zwiększa się rozdzielczość (przez uwzględnienie wżerów niższego poziomu) i uszczegóławia pierwotne rozwiązanie. Wyszukiwanie kończy się w momencie dotarcia do ostatniego poziomu lub na dowolnie wybranej rozdzielczości (jeżeli pełna szczegółowość nie jest wymagana). W [] zaprezentowano inną metodę służącą do planowania ruchu robota w otwartym terenie reprezentowanym przez mapę wysokości. Głównym kryterium wyszukiwania drogi jest jej możliwie łagodny przebieg (aby unikać miejsc niemożliwych lub niebezpiecznych do pokonania prze agenta). Algorytm składa się z czterech głównych kroków: wstępne przygotowanie modelu, uwzględnienie przeszkód i innych dodatkowych aspektów terenu, wyznaczenie drogi w najmniejszej rozdzielczości, uszczegółowianie drogi na kolejnych poziomach. 393

74 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI W pierwszym kroku, przy zastosowaniu transformaty falkowej, teren dzielony jest na hierarchiczne warstwy (będące aproksymacjami modelu wyrażonego jako funkcja wysokości z = f ( u, v) na kolejnych poziomach rozdzielczości). Ponieważ zmniejszanie rozdzielczości modelu powoduje powstawanie błędów, z każdym punktem wiąże się współczynnik wielkości tego błędu (jak bardzo teren w tej rozdzielczości różni się od oryginalnego). Przy wyborze drogi brane są pod uwagę te współczynniki tak, że droga prowadzona jest po obszarach, których zmiana rozdzielczości zbytnio nie zepsuła (tzn. zmniejsza się ryzyko, że np. po zwiększeniu rozdzielczości w miejscu którędy biegnie droga pojawiłaby się nagle głęboka szczelina). Wykorzystuje się w tym celu współczynniki rozwinięcia falkowego mierzące stopień surowości poszczególnych obszarów terenu. Poprzez teren surowy rozumie się taki obszar, który w wyniku zmniejszenia rozdzielczości istotnie się zmienił posiadał wiele gwałtownych spadków i wzniesień, które zostały wygładzone. Jego przeciwieństwem jest teren gładki taki, którego postać w niskiej rozdzielczości nie zmienia się znacząco. Oznacza to, że przy zwiększeniu szczegółowości modelu w tym miejscu nie pojawią się niespodziewanie miejsca trudniejsze do pokonania przez agenta ze względu na uformowanie terenu. Stopień surowości terenu jest głównym czynnikiem wpływającym na koszt przemieszczania przez taki obszar. Preferowane są obszary gładkie nie niosące ryzyka wyznaczenia drogi przez teren o niesprzyjającej charakterystyce. Następnie przygotowany model wzbogaca się o dodatkowe ograniczenia w postaci przeszkód i innych dodatkowych aspektów wpływających na ruch agenta i wyznaczaną drogę. Kosztem drogi jest wektor zawierający uporządkowane w kolejności nierosnącej koszty przejścia przez poszczególne pola wchodzące w jej skład. Oznacza to, że dwie wartości kosztu u, u, K, u } < { v, v, K, v } w dwóch przypadkach: lub { l m istnieje j N, takie, że u j < v oraz dla każdego j i < j u i = vi l < m oraz u i = v dla < i < l. i Wyszukanie drogi na początkowym poziomie (o najniższej rozdzielczości) odbywa się przy wykorzystaniu standardowych algorytmów (np. Dijkstry zatrzymywanego po znalezieniu punktu docelowego). Następnie droga taka jest uszczegółowiana w coraz wyższej rozdzielczości. Przy przechodzeniu na kolejny poziom, brane są pod uwagę tylko pola leżące w sąsiedztwie pól odpowiadających tym, przez które przechodzi droga na poprzednim poziomie, co znacząco przyspiesza obliczenia. Po wyznaczeniu drogi na określonym poziomie następuje zejście do większej rozdzielczości. W pierwszym kroku droga p przekształcana jest w kanał P o zadanym marginesie m. Oznacza to, że jeżeli p jest drogą na poziomie l, to komórka (u, v) P jeżeli istnieje komórka (i, j) p oraz u - i m i v - j m. W kolejnym kroku pola, które nie należą do kanału oznaczane są jako przeszkody, zatem nie biorą już udziału w wyszukiwaniu drogi na kolejnych poziomach. W zależności od parametru m kanał biorący udział w kolejnych przeszukiwaniach będzie miał różną szerokość. W zależności od potrzeb wyszukiwanie nie musi dochodzić do samego dołu może zatrzymać się na dowolnym poziomie, co oczywiście wiąże się z mniej szczegółowym rozwiązaniem. 39

75 Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki Inny problem rozwiązuje metoda przedstawiona w []. Geneza jej powstania związana jest jednoznacznie z wojskiem opracowana została przez U.S. Army Topographic Engineering Center oraz Uniwersytet Stanowy Luisiany w celu znajdowania dróg dla modeli terenu o postaci siatek prostokątnych o bardzo dużych rozmiarach. Zatem główny nacisk położony został na efektywnościowy aspekt stosowania metod wielorozdzielczych. Punktem wyjściowym jest model terenu w postaci siatki (o dużej rozdzielczości, niekoniecznie kwadratowej). Na podstawie tego modelu tworzy się graf (podobny do diagramu Voronoi (patrz np. w [5]), czyli że z każdą przeszkodą wiąże się decyzja czy ominąć ją z lewej, czy z prawej). Liczba węzłów w tym grafie powinna być wielokrotnie mniejsza niż pól w siatce (rzędu do ). Wagi krawędzi tego grafu wyznaczane są poprzez wyznaczenie drogi pomiędzy jego wierzchołkami na poziomie siatki. Planowanie przemieszczania odbywa się na dwóch poziomach hierarchii. W pierwszej kolejności odnajdowana jest droga w grafie. Następnie następuje zejście na poziom siatki i odnajdowana jest dokładna droga pomiędzy wierzchołkami znalezionymi wcześniej (i wyznaczany końcowy koszt). W następnym kroku następuje relaksacja drogi. Polega ona na zdefiniowaniu nowych wierzchołków (w grafie wyższego poziomu) leżących w połowie drogi między oryginalnymi. Następnie znajdowana jest droga pomiędzy nowymi wierzchołkami. Tak znaleziona droga, która nie przechodzi dokładnie przez wierzchołki grafu zwykle jest tańsza o około procent. Wyszukiwanie drogi na obu poziomach odbywa się z wykorzystaniem algorytmu A*. Metoda ta została zaimplementowana w module Hierachical Route Planner stanowiącym część systemu PIMTAS (ang. Predictive Intelligence Military Tactical Analysis System). Nieco inne podejście do wyszukiwania dróg w modelach o postaci siatki kwadratowej można odnaleźć w [6]. Zaprezentowano tam algorytm DSP (ang. Decomposition Shortest Paths) polegający na łączeniu sąsiadujących pól siatki (węzłów grafu) w grupy stanowiące węzły (nazywane b-węzłami) grafu wyższego poziomu (b-grafu). Na wejściu algorytmu znajduje się graf G=(V, A) reprezentujący siatkę kwadratową modelującą określony teren, gdzie V jest zbiorem węzłów, natomiast A = {( x, y) V V} to zbiór łączących ich krawędzi. Kolejnym krawędziom ( x, y) A przyporządkowana jest wartość funkcji kosztu c ( x, y) ( c ( x, x) =, c ( x, u) = + gdy ( x, y) A) reprezentująca np. czas przejścia z węzła x do y. W ramach działania metody utworzony zostaje nowy graf G* (zwany b-grafem) powstały poprzez łączenie sąsiadujących węzłów w większe grupy (b-węzły). Następnie te b-węzły, między którymi można bezpośrednio przejść po ich węzłach składowych łączone są b-krawędziami. 395

76 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI Rys.. Węzły brzegowe b-węzłów: W(z*,x*)={z,z8,z,z6}, W(x*z*)={x,x5,x9,x3}, W(x*,y*)={x,x8,x,x6}, W(y*,x*)={y,y5,y9,y3} Fig.. Border nodes for b-nodes: W(z*,x*)={z,z8,z,z6}, W(x*z*)={x,x5,x9,x3}, W(x*,y*)={x,x8,x,x6}, W(y*,x*)={y,y5,y9,y3} Formalnie graf G* opisać można jako G*=(V*, A*), gdzie V* = { x *, x *, K, x * n} to zbiór b-węzłów ( x = { x, x, K, x }, i = K,, n ), natomiast 396 * i i i imi { x x*, y y* } A* = ( x*, y*) V * V*: ( x, y) A stanowi zbiór b-krawędzi. Postać funkcji kosztu w b-grafie jest znacznie bardziej złożona niż w grafie pierwotnym. Z każdą b-krawędzią związane są wartości dwóch funkcji kosztu c * min ( x*, y*) oraz c * max ( x*, y*). Wartości tych funkcji mają postać wektora, o elementach reprezentujących koszt przejścia pomiędzy węzłami x* i y* dla wszystkich węzłów mogących być poprzednikami x* w ścieżce, z czego wynika, że koszt ten jest różny w zależności od tego, z jakiego wcześniejszego b-węzła został osiągnięty x*; c* min ( x*, y*) to minimalny koszt drogi, spośród najkrótszych dóg w grafie G pomiędzy węzłami należącymi do x* i y* dla różnych poprzedników x*. Formalnie zapisać można c * min ( x*, y*) = c * ( x*, y*). min z* z* { v* V *:( v*, x*) A*} Analogicznie c * max ( x*, y*) jest maksymalnym kosztem spośród takich dróg, czyli c * max ( x*, y*) = c * ( x*, y*). max z* z* { v* V *:( v*, x*) A*} Aby objaśnić zasadę działania tych funkcji, należy zastosować dodatkowe oznaczenia. W ( x*, y*) = x x*: ( x, y) A, będzie zbiorem węzłów należących do x*, Niech { y y* } przyległych do dowolnego z węzłów składowych y* (Rys. ), natomiast min D ( W ( x*, z*), W ( y*, v*)) oznacza zbiór najkrótszych dróg, dla których węzeł początkowy należy do W ( x*, z*), natomiast docelowy do W ( y*, v*). Droga pomiędzy węzłami w grafie bazowym oznaczana będzie jako d ( x, y) (a jej długość: L ( d( x, y)) ), natomiast w b-grafie - d *( x*, y*). Wykorzystując wcześniejsze oznaczenia można formalnie zapisać: c * ( x*, y*) = min L( d(, )) + min min z* min d (, ) D ( W ( x*, z*), W ( x*, y*)) min d (, ) D ( W ( x*, y*), W ( y*, x*)) L( d(, ))

77 oraz c * Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki ( x*, y*) = max L( d(, )) + max max z* min d (, ) D ( W ( x*, z*), W ( x*, y*)) min d (, ) D ( W ( x*, y*), W ( y*, x*)) L( d(, )) Suma kosztów przejść pomiędzy kolejnymi b-węzłami stanowi łączny koszt drogi w b-grafie. Do wyszukiwania takiej drogi można użyć wybranej z dwóch funkcji kosztu w b-grafie - c * min ( x*, y*) lub c * max ( x*, y*). Algorytm ten ma dodatkową bardzo interesującą cechę w zależności od wybranej funkcji kosztu, koszt drogi w b-grafie stanowi ograniczenie dolne (dla c * min ( x*, y*) ) lub górne (dla c * max ( x*, y*) ) kosztu drogi optymalnej w grafie bazowym (dowód w [6]). Działanie algorytmu DSP można podzielić na dwie fazy: konstrukcji grafu G* (kroki -3) oraz znalezienie drogi pomiędzy wymaganymi węzłami (kroki -5). Cele te realizowane są w pięciu krokach.. Podział grafu wejściowego G na n podgrafów poprzez połączenie pól siatki w większe kwadraty (n jest parametrem wejściowym algorytmu).. Wyznaczenie silnie spójnych składowych z podgrafów otrzymanych w poprzednim kroku, otrzymując co najmniej n podgrafów (b-węzłów) następnie wyznaczenie b-krawędzi tworząc w ten sposób graf G* (b-graf). 3. Wyznaczenie drzew najkrótszych dóg (SPT) wewnątrz podgrafów wyznaczonych przez b-węzły pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków brzegowych sąsiadujących z innymi b-węzłami (tzn. z których można przejść do podgrafu innego b-węzła). Następnie wyznaczenie dla każdej b-krawędzi kosztów c min (*,*) i c max (*,*).. Znalezienie najkrótszej drogi wewnątrz b-grafu G* pomiędzy b-węzłami zawierającymi w sobie wierzchołki początkowy i końcowy szukanej drogi z grafu G. Wyszukiwanie odbywa się stosując koszty c min lub c max. 5. Uszczegółowienie drogi w grafie G. Można to zrobić konstruując acykliczny graf skierowany (DAG) złożony z odpowiednich węzłów z podgrafów należących do b-węzłów ze drogi znalezionej w kroku (Rys.3). Acykliczny graf skierowany (DAG) z kroku 5 ma budowę warstwową. Dla drogi d *( x * s, x * t) = ( x * s, x *, x * K, x * t, x * t) pierwsza warstwa będzie się składać z łuków wychodzących z węzła początkowego s do węzłów z W ( x* s, x* ). Następnie z W ( x* s, x* ) do W ( x*, x* s ), potem z W ( x *, x * s ) do W ( x *, x * ), itd. Ostatecznie W ( x *, x * ) łuki kierują się do węzła końcowego t (Rys. 3). z t t Przykład drogi znalezionej przez algorytm DSP pokazano na Rys.. Bazowa siatka (graf G) zaznaczona jest najdrobniejszą podziałką. Najmniejsze kropki (kółka) oznaczają węzły b-grafu G*, szarymi dużymi kropkami (kółkami) oznaczona jest droga w sieci bazowej (grafie G) natomiast czarnymi dużymi kropkami droga w b-grafie G*. 397

78 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI Rys. 3. DAG skonstruowany w kroku 5 algorytmu DSP Fig. 3. DAG constructed in the 5th step of the DSP algorithm Rys.. Przykład drogi znalezionej przez algorytm DSP Fig.. An example of path found by DSP algorithm Jeżeli istnieje droga pomiędzy węzłem początkowym i końcowym, to zostanie ona znaleziona przez algorytm DSP, jednak jej optymalność nie jest zapewniona. W [6] udowodniono, że złożoność tego algorytmu w zadaniu znalezienia drogi pomiędzy 3 dwoma węzłami wynosi V V O logk + nlogk n, gdzie V to liczba węzłów w grafie n n G, n liczba węzłów w grafie G*, natomiast k = max{, A / V} (A to liczba łuków w grafie G). Algorytm Hierarchiczny (opisany w []) powstał w celu przyspieszenia wyszukiwania dróg w dużych sieciach modelujących sieci drogowe. Punktem wyjścia jest model w postaci sieci (reprezentujący typową sieć ulic). Dzielona jest ona na niskopoziomowe podsieci (zwane mikrosieciami). Jeżeli dwa punkty, pomiędzy którymi wyznacza się drogę znajdują się w tej samej podsieci, wówczas szukanie ograniczane jest tylko do węzłów z tej podsieci (nawet jeżeli optymalna droga dla całej sieci przebiegałaby na jakimś odcinku przez inną podsieć). Jeżeli punkty znajdują się w innych podsieciach korzysta się z dodatkowej wysokopoziomowej sieci, nazywanej makrosiecią (będącej 398

79 Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki podsiecią sieci oryginalnej). Poszczególne wierzchołki tej sieci należą do kolejnych małych podsieci. Jeżeli podsieci można by utożsamiać z sieciami małych dróg lokalnych to makrosieć reprezentuje autostrady i drogi szybkiego ruchu. Znalezienie najkrótszej drogi pomiędzy węzłami z różnych podsieci polega na odnalezieniu drogi z mikrosieci początkowej do węzła z makrosieci, wyszukaniem drogi w obrębie makrosieci, a następnie w obrębie mikrosieci końcowej. Ruch pomiędzy mikrosieciami może odbywać się więc tylko za pośrednictwem makrosieci. Rys. 5. Sieć drogowa z naniesioną makrosiecią Fig. 5. Road network with macronetwork Niech G = ( V, A, C) będzie skierowanym grafem silnie spójnym o zbiorze węzłów V, krawędzi A oraz nieujemnej funkcji kosztu krawędzi C : A R + {}. Wyodrębnienie ~ ~ ~ makrosieci polega na utworzeniu nowej sieci (makrosieci), ~ ~ G = ( V A, C), V V ~ ~ ~ ~ ~ (makrowęzły), A V V (makrokrawędzie), oraz C : A R + {}. Każdej ~ makrokrawędzi ( I, J) A odpowiada droga w G. Następnie graf G dzieli się na na H silnie spójnych mikrosieci G h = ( Vh, Ah, Ch), gdzie V h V, V = U h V, h A = A ( V Vh) oraz V ~ V φ dla h = K,, H. Wyszukiwanie dróg odbywa się w h h h pierwszym kroku w makrosieci G ~ i poszczególnych mikrosieciach G. Dalej h ~ f : V ~ V ~ R będzie oznaczać funkcję zwracającą koszt najkrótszej drogi w makrosieci G ~ oraz fh : Vh Vh R funkcję zwracającą koszt najkrótszej drogi w mikrosieci G, h h = K,, H. Jeżeli dwa węzły i V oraz h j V znajdują się w innych mikrosieciach, wówczas l wyznaczona droga będzie składać się z: najkrótszej drogi w G od i do wybranego h makrowęzła, najkrótszej drogi w makrosieci G ~ od I do wybranego makrowęzła J V ~ oraz najkrótszej drogi od makrowęzła J do j. V l 399

80 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI Jeżeli w mikrosieci znajduje się kilka makrowęzłów, należy zdecydować, z którego skorzystać w celu wejścia do i wyjścia z makrosieci. Sposób dokonywania tego wyboru ma kluczowe znaczenie dla tego algorytmu. Wyróżnia się dwa podejścia do tego problemu. W pierwszym wybierany jest makrowęzeł znajdujący się najbliżej mikrowęzła początkowego/końcowego. Jeżeli i V oraz h j V to węzły początkowy i końcowy, l wówczas makrowęzłem początkowym będzie I* = arg min~ f ( i, I) natomiast I V h V końcowym - J* = arg min~ f ( J, j). Można jednak postąpić w bardziej wyrafinowany J Vl V l sposób: wybrać taki makrowęzeł, dla którego długość znalezionej trasy jest najmniejsza. Wówczas zostaną następujące wybrane mikrowierzchołki: ~ ( I*, J*) = arg min { f ( i, I) + f ( I, J ) + f ( J, j)}. Wariant algorytmu ( I, J ) ( V V ~ ) ( V V ~ h l ) h wykorzystujący pierwsze podejście nosi nazwę Nearest HA, natomiast drugie Best HA. Może się zdarzyć, że makrowęzeł początkowy lub końcowy nie należą tylko do jednej mikrosieci (ponieważ nie muszą być one rozłączne). W takiej sytuacji wyboru makrowęzła dokonuje się ze wszystkich mikrosieci zawierających dany mikrowęzeł. Jak łatwo się domyślić, wariant algorytmu ma wpływ na jego złożoność obliczeniową. m Niech Θ (N) będzie oszacowaniem liczby węzłów sieci G, Θ ( N ), < m < - liczby k makrowęzłów, natomiast Θ ( N ), < k < to oszacowanie liczby mikrosieci. Ponieważ w każdej mikrosieci musi być przynajmniej jeden makrowęzeł, dlatego m k. W wykazano, że w zadaniu znalezienia drogi pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków algorytm w wariancie Nearest HA cechuje się złożonością C N = O( N ), co jest rezultatem lepszym, od najszybszej wersji algorytmu Dijkstry, który w takiej sytuacji ma złożoność C D = O( N log N) (N razy wykonywane jest zadanie wyszukiwania drogi z jednym źródłem, jednak w przeciwieństwie do Algorytmu Hierarchicznego algorytm Dijkstry znajduje zawsze optymalne rozwiązanie). Best HA jest już bardziej wymagający, + ( m k ) ponieważ potrzebuje do tego CB = O( N ) (należy pamiętać o warunku m k ). Zatem tylko dla m = k algorytm ten jest szybszy od algorytmu Dijkstry. Należy brać to pod uwagę projektując strukturę makro- i mikrosieci. Zastosowanie WAPT w wielorozdzielczej symulacji pola walki Wielorozdzielczy model terenu jest naturalnym modelem odwzorowania środowiska (terenu) dla struktury hierarchicznej jednostek na symulowanym polu walki. Dla szczebla kompanii wymagane jest bardziej precyzyjne odwzorowanie terenu niż, np. dla szczebla brygady. W symulacji pola walki stosuje się wiele modeli terenu. Najbardziej popularne są dwie reprezentacje: regularna siatka kwadratów terenu (Rys. 6a) i regularna siatka heksagonów terenu (Rys. 6b). l h

81 Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki Rys. 6. Przykłady reprezentacji terenu w symulacji pola walk: a) regularna siatka kwadratów; b) regularna siatka heksagonów. Wielorozdzielcza droga najkrótsza z s do t z wykorzystaniem algorytmu DSP w G * : c) G=G * stąd G * zawiera 6 6 b-wierzchołków; d) G * zawiera 8 8 b-wierzchołków; e) G * zawiera b-wierzchołki Fig. 6. Examples of terrain representation in a simulated battlefield: a) regular grid of terrain squares; b) regular grid of terrain hexagons. Multiresolution shortest path from s to t using DSP algorithm in G*: c) G=G* thus G* contains 6x6 nodes; d) G* contains 8x8 nodes; e) G* contains x nodes Zaleta pierwszego odwzorowania (kwadratowego) jest widoczna zwłaszcza w kontekście wielorozdzielczości (patrz Rys. 6c e). Rozmiar kwadratu terenu może być dynamicznie zmieniany i może zależeć od wymaganego szczebla jednostek. Kwadrat o większym rozmiarze niż kwadrat bazowy może być definiowany jako kwadratowa macierz kwadratów bazowych (dla przykładu, na Rys. 6d każdy kwadrat ma rozmiar x kwadraty bazowe). Taka reprezentacja nie jest możliwa dla heksagonów, tak więc siatka kwadratów jest bardziej użyteczna z punktu widzenia wielorozdzielczego modelowania terenu i planowania tras. Na Rys. 6c e podano przykład wyznaczania tras w trzy-poziomowym grafie: (c) pierwszy poziom jest najbardziej szczegółowy (bazowy); (d) drugi poziom jest dwa razy mniej szczegółowy niż pierwszy; (e) trzeci poziom jest cztery razy mniej szczegółowy niż pierwszy. Modele te mogą opisywać szczeble np. plutonu, kompanii i batalionu. Zauważmy, że bardzo łatwo możemy otrzymać wielorozdzielczy model terenu definiując graf G* rekurencyjnie. Jeśli założymy, że graf G definiuje model terenu pierwszego poziomu (np. szczebla kompanii) wówczas G* definiuje model drugiego (lub wyższego) poziomu (np. szczebla batalionu). To podejście może być wykorzystane

82 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI do zwiększania lub zmniejszania wymaganej rozdzielczości modelu. Parametr n algorytmu DSP (n {,,V}) może być użyty do wpływania na wymiar (rozdzielczość) grafu G*. Następnie algorytm DSP może być wykorzystany do poszukiwania wielorodzielczych tras w takim wielorozdzielczym modelu terenu. Dla przykładu, na Rys. 6c G*=G i zawiera n=56 b-wierzchołków (np. dla szczebla plutonu), na Rys. 6d G* zawiera n=6 b-wierzchołków (np. dla szczebla kompanii) a na Rys. 6e G* zawiera n=6 b-wierzchołków (np. dla szczebla batalionu). Warto podkreślić, że prezentowane podejście różni się od bardzo efektywnej metody reprezentacji terenu w postaci drzewa czwórkowego [7] z dwóch głównych powodów: () elementy (kwadraty) drzewa czwórkowego, które reprezentują teren są różnej wielkości, () w większości zastosowań (dla przykładu w [7]) drzewo czwórkowe reprezentuje tylko teren binarny z dwoma rodzajami obszarów (kwadratów): otwarty (przejezdny) i zamknięty (nieprzejezdny). Takie podejście jest bardzo efektywne dla mobilnych robotów, ale nie odzwierciedla w sposób wystarczająco adekwatny środowiska pola walki [5]. Zauważmy również, że wielorozdzielcze podejście do planowania tras reprezentowane przez poszukiwanie najkrótszych dróg w rekurencyjnie definiowanym grafie G* może być wykorzystane do wieloetapowego planowania: najpierw znajdujemy zgrubną drogę *min * * *max * * d ( xs, x t ) (lub d ( xs, x t ) ) w zgrubnym modelu terenu reprezentowanym przez G* (dla przykładu na Rys.3e) a następnie poszukujemy dokładnej drogi w bardziej szczegółowym modelu terenu (reprezentowanym przez G z kwadratami bazowymi, Rys.3c; bardziej precyzyjnie: znajdujemy najkrótszą drogę z s do t wewnątrz podgrafu generowanego przez wierzchołki grafu G należące do b-wierzchołków drogi *min * * *max * * d ( xs, x t ) (lub ( d ( xs, x t ), patrz krok 5 algorytmu DSP). Jest to przykład zastosowania modelowania od ogółu do szczegółu. 5 Analiza eksperymentalna wybranych algorytmów planowania tras wielorozdzielczych Przeprowadzone zostały badania charakterystyk wybranych spośród opisanych wcześniej algorytmów. Eksperymenty podzielone były na dwie części. W pierwszej zaimplementowano i przeprowadzono pomiary dla algorytmów DSP oraz Algorytmu Hierarchicznego. Następnie przeprowadzono porównanie obu tych algorytmów posługując się tymi samymi danymi wejściowymi. W celu zbadania algorytmu DSP wykorzystano losowo wygenerowany model sieci w formie siatki kwadratowej o boku węzłów (łącznie węzłów). Losowe z krawędzi pomiędzy węzłami zostały usunięte, a innym nadano losowo wartość funkcji kosztu z przedziału <; >. Ostatecznie sieć posiadała 957 krawędzie. Badania przeprowadzono dla różnych funkcji kosztu (c min i c max ) oraz różnych wartości parametru n. Na potrzeby tych badań parametr n rozumiany był jako długość boku pojedynczego b-węzła (wyrażona jako liczba węzłów do niego należąca). Zatem dla n= każdy b-węzeł zawierał dokładnie jeden węzeł (czyli G*=G), natomiast dla n= G* składa się z jednego b-węzła zawierającego cały graf G. Pomiary przeprowadzono dla 5 losowo wybranych par węzłów sieci. Dla porównania, jednocześnie wykonywano poszukiwanie algorytmem A* znajdującym rozwiązania optymalne. Pozwoliło to na oszacowanie błędu

83 Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki algorytmu DSP oraz różnicy w czasie działania z typowym algorytmem znajdującym rozwiązania optymalne. Wyniki pomiarów znajdują się w Tabeli. Tabela. Wyniki algorytmu DSP Table. Results of the DSP algorithm n Czas gen. [s] Liczba b-węzłów Liczba b-kraw. Czas DSP [s] Czas A* [s] Błąd [%] c min c max c min c max c min c max 3, , 6, 38,7 36,8, ,3 3, 3,9 36,69 6,, 3, ,3,9 3,97 33,,,65, ,6 8,3 3,3 3,67 6,75,88 5, ,5 5,57 33,5 3,38,98,, ,9,5 3, 33, 5, 9,77,8 676,75,7 35,5 3,8,9 8,39 5,65 6 7,6 5,5 3,6 33, 5,6, 6,93 7,93 8,3 3, 3,95,56,6 Kolumny tabeli zawierają kolejno: rozmiar boku podsieci kwadratowej użytej do wygenerowania b-węzłów, czas przygotowania modelu danych (kroki 3 algorytmu), liczbę wygenerowanych b-węzłów i b-krawędzi, następnie czasy wyszukiwania wszystkich dróg algorytmem DSP (kroki 5) i A* oraz błąd długości drogi liczony jako względna różnica pomiędzy długością drogi znalezionej algorytmem DSP, a optymalną. Analogiczne pomiary przeprowadzono dla sieci posiadającej wszystkie krawędzie pomiędzy sąsiadującymi węzłami o koszcie z zakresu <; 5>. Zestawione zostały w Tabeli. Tabela. Wyniki algorytmu DSP działającego na pełnej siatce Table. Results of the DSP algorithm working on a full network n Czas gen. [s] Liczba b-węzłów Liczba b-kraw. Czas DSP [s] Czas A* [s] Błąd [%] c min c max c min c max c min c max, , 7,6 33, 35,83, ,9 6,8 37,7 35,9,68 9,85 3

84 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI 3, ,3,85 37,95 38,6 5,99 9,59, ,6 6,3 36,8 36,77 7,86 7,75 5,9 6 6,9,7 3,3 3, 5,56 6,88 3,38 5 3,5, 37,7 3,8 9,99 5,5 6, 36,,7 36,6 38,39 6,5,7 5, ,59 7,3 36,93 3,38 8,3,5,9 8 9,3 9,3 33,85 3,7,38,5 Wyniki pomiarów pokazują, że parametr n ma duży wpływ na działania algorytmu. Zarówno wartości ekstremalnie duże i ekstremalnie małe powodują istotne pogorszenie efektów działania tej metody. Ujawnia tu się też dość duża różnica w dokładności algorytmu przy wykorzystaniu funkcji c min i c max. W 6 znajduje się próba omówienia przyczyn tego zjawiska. Badania Algorytmu Hierarchicznego przeprowadzono przy wykorzystaniu sieci zawierającej 779 węzłów i 895 krawędzie modelujących przykładową sieć drogową jednej z prowincji Kanady (Rys. 7). Rys. 7. Sieć bazowa dla Algorytmu Hierarchicznego Fig. 7. Base network for Hierarchical Algorithm Następnie na powyższą sieć nałożono odpowiednią strukturę hierarchiczną w postaci wyznaczonych mikrosieci i makrosieci. Wydzielona makrosieć składała się z 69 makrowęzłów i 36 makrokrawędzi (Rys. 8). Podzieliła ona całą sieć na 38 mikrosieci o średnim rozmiarze węzłów (należy pamiętać, że mikrowęzły mogą należeć do więcej niż jednej mikrosieci) oraz przeciętnie 7 makrowęzłach przypadających na pojedynczą mikrosieć. Algorytm zaimplementowany do badań działał w dwóch fazach.

85 Wielorozdzielcze modele i algorytmy planowania przemieszczania oraz ich zastosowanie w wielorozdzielczej symulacji pola walki Pierwszą jest faza inicjacji, w której dla makrosieci oraz każdej mikrosieci budowane jest drzewo najkrótszych dróg (SPT) z wykorzystaniem algorytmu Dijkstry z pojedynczym źródłem. Właściwe drogi szukane są w fazie drugiej. Dzięki wcześniej wyznaczonym drzewom polega ona tylko na złożeniu odpowiednich dróg w mikrosieciach i makrosieci. Szukanie zrealizowano dla losowo wybranych par węzłów. Jednocześnie działał algorytm A* umożliwiając porównanie wyników. W oparciu o ten algorytm liczony był błąd Algorytmu Hierarchicznego, rozumiany jako względna różnica pomiędzy długością wyznaczonej drogi a długością drogi optymalnej, wyrażona w procentach. Wyniki znajdują się w Tabeli 3. Jak można było przewidzieć, algorytm w wersji NearestHA jest bardzo szybki i dość niedokładny, natomiast w wersji BestHA generuje już dość dobre drogi w czasie wciąż znacznie szybszym niż algorytm optymalny. Rys. 8. Makrosieć uzyskana z sieci bazowej Fig. 8. The macronetwork obtained from the base network Tabela 3. Wyniki Algorytmu Hierarchicznego Table 3. Results of the Hierarchical Algorithm Charakterystyka NearestHA BestHA Łączny czas [s] 3,97,69 Faza I [s] 3,59 3,99 Faza II [s],38,7 Średni błąd [%],6 9,5 Czas działania A* [s],99 5,3 Na koniec przeprowadzona została próba porównania zbadanych wcześniej algorytmów. W tym celu posłużono się drugą z sieci, którą wykorzystano do badania algorytmu DSP. 5

86 Zbigniew TARAPATA, Paweł GODLEWSKI Sieć ta składa się z węzłów i 59 krawędzi. Wartości kosztu krawędzi mają rozkład równomierny z przedziału <; 5>. Na potrzeby Algorytmu Hierarchicznego, na sieć tą nakładana była makrosieć (o charakterze siatki kwadratowej). O odległości (liczonej w krawędziach) pomiędzy kolejnymi makrokrawędziami decydował parametr d (Rys. 9). Czas generacji tej sieci został umieszczony w wynikach pomiarów. Badania wykonano dla 5 losowo wybranych par węzłów. Wyniki pomiarów pokazują, że Algorytm Hierarchiczny jest znaczenie szybszy od DSP, ale jednocześnie rozwiązania przez niego znalezione znacznie bardziej odbiegają od rozwiązań optymalnych. Badania te pokazują jednak również dużą wrażliwość tych metod na odpowiednią konfigurację. Niewłaściwy dobór parametrów (np. n dla DSP lub d dla Algorytmu Hierarchicznego) drastycznie pogarsza jakość rozwiązań, a w skrajnych okolicznościach zupełnie niweluje jakiekolwiek zalety stosowania takich metod. Rys. 9. Makrosieć skonstruowana dla d=5 Fig. 9. Macronetwork constructed for d=5 Tabela. Porównanie algorytmu DSP (a) i Algorytmu Hierarchicznego (b) Table. The comparison of DSP (a) and Hierarchical Algorithm (b) a) n Czas gen. [s] Liczba b-węzłów Liczba b-kraw. Czas DSP [s] Czas A* [s] Błąd [%] c min c max c min c max c min c max 5, ,6 6,3 36,8 36,77 7,86 7,75,9 6 6,9,7 3,3 3, 5,56 6,88 3,38 5 3,5, 37,7 3,8 9,99 5,5 6, 36,,7 36,6 38,39 6,5,7 6

BADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH

BADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH BADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH Dr inż. Artur JAWORSKI, Dr inż. Hubert KUSZEWSKI, Dr inż. Adam USTRZYCKI W artykule przedstawiono wyniki analizy symulacyjnej

Bardziej szczegółowo

PRACA DYPLOMOWA Magisterska

PRACA DYPLOMOWA Magisterska POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych PRACA DYPLOMOWA Magisterska Studia stacjonarne dzienne Semiaktywne tłumienie drgań w wymuszonych kinematycznie układach drgających z uwzględnieniem

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę

Bardziej szczegółowo

BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS.

BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS. Str.1 SZCZEGÓŁOWE WYPROWADZENIA WZORÓW DO PUBLIKACJI BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS. Dyka I., Srokosz P.E., InŜynieria Morska i Geotechnika 6/2012, s.700-707 III. Wymuszone, cykliczne skręcanie Rozpatrujemy

Bardziej szczegółowo

Akademia Morska w Szczecinie. Wydział Mechaniczny

Akademia Morska w Szczecinie. Wydział Mechaniczny Akademia Morska w Szczecinie Wydział Mechaniczny ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Marcin Kołodziejski Analiza metody obsługiwania zarządzanego niezawodnością pędników azymutalnych platformy pływającej Promotor:

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB Kocurek Łukasz, mgr inż. email: kocurek.lukasz@gmail.com Góra Marta, dr inż. email: mgora@mech.pk.edu.pl Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH

Bardziej szczegółowo

Tadeusz SZKODNY. POLITECHNIKA ŚLĄSKA ZESZYTY NAUKOWE Nr 1647 MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MANIPULATORÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH

Tadeusz SZKODNY. POLITECHNIKA ŚLĄSKA ZESZYTY NAUKOWE Nr 1647 MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MANIPULATORÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH POLITECHNIKA ŚLĄSKA ZESZYTY NAUKOWE Nr 1647 Tadeusz SZKODNY SUB Gottingen 217 780 474 2005 A 3014 MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MANIPULATORÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH GLIWICE 2004 SPIS TREŚCI WAŻNIEJSZE OZNACZENIA

Bardziej szczegółowo

Wpływ tłumienia wewnętrznego elementów kompozytowych na charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe modelu zawieszenia samochodu

Wpływ tłumienia wewnętrznego elementów kompozytowych na charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe modelu zawieszenia samochodu Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol. 3, No. /1 Piotr PRZYBYŁOWICZ, Wojciech FUDAŁA Politechnika Warszawska, IPBM, -54 Warszawa, ul. Narbutta 84, E-mail: piotr.przybylowicz@ipbm.simr.pw.edu.pl, wfudala@simr.pw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o kinematyce równoległej w trakcie pracy, z wykorzystaniem metod numerycznych

Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o kinematyce równoległej w trakcie pracy, z wykorzystaniem metod numerycznych kinematyka równoległa, symulacja, model numeryczny, sterowanie mgr inż. Paweł Maślak, dr inż. Piotr Górski, dr inż. Stanisław Iżykowski, dr inż. Krzysztof Chrapek Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PRACY SILNIKA SYNCHRONICZNEGO Z MAGNESAMI TRWAŁYMI W WARUNKACH ZAPADU NAPIĘCIA

ANALIZA PRACY SILNIKA SYNCHRONICZNEGO Z MAGNESAMI TRWAŁYMI W WARUNKACH ZAPADU NAPIĘCIA Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104) 89 Zygfryd Głowacz, Henryk Krawiec AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków ANALIZA PRACY SILNIKA SYNCHRONICZNEGO Z MAGNESAMI TRWAŁYMI W WARUNKACH ZAPADU

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE PRĘDKOŚCI PORUSZANIA SIĘ SZKODNIKÓW Z WYKORZYSTANIEM KOMPUTEROWEJ ANALIZY OBRAZU

OKREŚLENIE PRĘDKOŚCI PORUSZANIA SIĘ SZKODNIKÓW Z WYKORZYSTANIEM KOMPUTEROWEJ ANALIZY OBRAZU Inżynieria Rolnicza 2(90)/2007 OKREŚLENIE PRĘDKOŚCI PORUSZANIA SIĘ SZKODNIKÓW Z WYKORZYSTANIEM KOMPUTEROWEJ ANALIZY OBRAZU Joanna Rut, Katarzyna Szwedziak, Marek Tukiendorf Zakład Techniki Rolniczej i

Bardziej szczegółowo

even the most comfortable position has to be changed from time to time continual comfort www.mposition.pl

even the most comfortable position has to be changed from time to time continual comfort www.mposition.pl even the most comfortable position has to be changed from time to time continual comfort 3 multi-functional multi-adjustable multi-position 4 5 mobility is a requirement these days to work comfortably

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

ACTIVE. Design: Grzegorz Olech

ACTIVE. Design: Grzegorz Olech ACTIVE ACTIVE Design: Grzegorz Olech 3 4 ACTIVE 11SL CHROM P48 PU SL mechanizm synchronizacji ruchu odchylenia siedziska/oparcia z możliwością dostosowania sprężystości odchylenia oparcia do ciężaru siedzącego,

Bardziej szczegółowo

TRANSCOMP XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT

TRANSCOMP XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT TRANSCOMP XI INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE INDUSTRY AND TRANSPORT Sebastian GŁOWIŃSKI 1 Tomasz KRZYśYŃSKI Samolot katapultowanie fotel katapultowy dynamika MODELOWANIE DYNAMIKI

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

WENTYLATORY PROMIENIOWE MEDIUM-PRESSURE CENTRIFUGAL

WENTYLATORY PROMIENIOWE MEDIUM-PRESSURE CENTRIFUGAL WENTYLATORY PROMIENIOWE MEDIUM-PRESSURE CENTRIFUGAL ŚREDNIOPRĘŻNE TYPU WSP FAN TYPE WSP Wentylatory promieniowe średnioprężne typu WSP są wysokosprawnymi wentylatorami ogólnego i specjalnego przeznaczenia.

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903 Piotr FOLĘGA 1 DOBÓR ZĘBATYCH PRZEKŁADNI FALOWYCH Streszczenie. Różnorodność typów oraz rozmiarów obecnie produkowanych zębatych

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Krytyczne czynniki sukcesu w zarządzaniu projektami

Krytyczne czynniki sukcesu w zarządzaniu projektami Seweryn SPAŁEK Krytyczne czynniki sukcesu w zarządzaniu projektami MONOGRAFIA Wydawnictwo Politechniki Śląskiej Gliwice 2004 SPIS TREŚCI WPROWADZENIE 5 1. ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI W ORGANIZACJI 13 1.1. Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

RWD-25 model kartonowy w skali 1:33

RWD-25 model kartonowy w skali 1:33 RWD-25 model kartonowy w skali 1:33 www.modele-kartonowe.com SAMOLOTY POLSKIE NIEZREALIZOWANE PROJEKTY VOL. 1 W drugiej połowie lat 30-tych ubiegłego wieku kilka polskich biur konstrukcyjnych przystąpiło

Bardziej szczegółowo

WSTĘPNE MODELOWANIE ODDZIAŁYWANIA FALI CIŚNIENIA NA PÓŁSFERYCZNY ELEMENT KOMPOZYTOWY O ZMIENNEJ GRUBOŚCI

WSTĘPNE MODELOWANIE ODDZIAŁYWANIA FALI CIŚNIENIA NA PÓŁSFERYCZNY ELEMENT KOMPOZYTOWY O ZMIENNEJ GRUBOŚCI WSTĘPNE MODELOWANIE ODDZIAŁYWANIA FALI CIŚNIENIA NA PÓŁSFERYCZNY ELEMENT KOMPOZYTOWY O ZMIENNEJ GRUBOŚCI Robert PANOWICZ Danuta MIEDZIŃSKA Tadeusz NIEZGODA Wiesław BARNAT Wojskowa Akademia Techniczna,

Bardziej szczegółowo

Fig 5 Spectrograms of the original signal (top) extracted shaft-related GAD components (middle) and

Fig 5 Spectrograms of the original signal (top) extracted shaft-related GAD components (middle) and Fig 4 Measured vibration signal (top). Blue original signal. Red component related to periodic excitation of resonances and noise. Green component related. Rotational speed profile used for experiment

Bardziej szczegółowo

ZACK design: R&S Activa PERFO III design: Grzegorz Olech PLAYA design: PDT

ZACK design: R&S Activa PERFO III design: Grzegorz Olech PLAYA design: PDT ZACK design: R&S Activa PERFO III design: Grzegorz Olech PLAYA design: PDT 3 4 PERFO III 11S CHROM P54PU PERFO III 213S CZARNY P51PU PERFO III 213VN CHROM PU PERFO III 11S CHROM P54PU PERFO III 213S CZARNY

Bardziej szczegółowo

Badanie amortyzatorów na uniwersalnym stanowisku do diagnostyki układu nonego pojazdu samochodowego

Badanie amortyzatorów na uniwersalnym stanowisku do diagnostyki układu nonego pojazdu samochodowego ARCHIWUM MOTORYZACJI 4, pp. 291-296 (2009) Badanie amortyzatorów na uniwersalnym stanowisku do diagnostyki układu nonego pojazdu samochodowego ZBIGNIEW PAWELSKI, RADOSŁAW MICHALAK Politechnika Łódzka W

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH

PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH ( Na przykładzie POWERSIM) M. Berndt-Schreiber 1 Plan Zasady modelowania Obiekty symbole graficzne Dyskretyzacja modelowania Predefiniowane

Bardziej szczegółowo

BADANIE SYMULACYJNE JEDNOFAZOWEJ PRZERWY W ZASILANIU ORAZ PONOWNEGO ZAŁĄCZENIA NAPIĘCIA ZASILANIA NA DYNAMIKĘ SILNIKA INDUKCYJNEGO

BADANIE SYMULACYJNE JEDNOFAZOWEJ PRZERWY W ZASILANIU ORAZ PONOWNEGO ZAŁĄCZENIA NAPIĘCIA ZASILANIA NA DYNAMIKĘ SILNIKA INDUKCYJNEGO Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 77/007 53 Stanisław Potrawka, Romana Sikora-Iliew AGH, Kraków BADANIE SYMULACYJNE JEDNOFAZOWEJ PRZERWY W ZASILANIU ORAZ PONOWNEGO ZAŁĄCZENIA NAPIĘCIA ZASILANIA

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie sieciami telekomunikacyjnymi

Zarządzanie sieciami telekomunikacyjnymi SNMP Protocol The Simple Network Management Protocol (SNMP) is an application layer protocol that facilitates the exchange of management information between network devices. It is part of the Transmission

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY 1. Cel ćwiczenia Przeprowadzenie izolacji drgań przekładni zębatej oraz doświadczalne wyznaczenie współczynnika przenoszenia drgań urządzenia na fundament.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika

Bardziej szczegółowo

The development of the technological process in an integrated computer system CAD / CAM (SerfCAM and MTS) with emphasis on their use and purpose.

The development of the technological process in an integrated computer system CAD / CAM (SerfCAM and MTS) with emphasis on their use and purpose. mgr inż. Marta Kordowska, dr inż. Wojciech Musiał; Politechnika Koszalińska, Wydział: Mechanika i Budowa Maszyn; marteczka.kordowska@vp.pl wmusiał@vp.pl Opracowanie przebiegu procesu technologicznego w

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD

Bardziej szczegółowo

BADANIA WYTRZYMA OŒCI NA ŒCISKANIE PRÓBEK Z TWORZYWA ABS DRUKOWANYCH W TECHNOLOGII FDM

BADANIA WYTRZYMA OŒCI NA ŒCISKANIE PRÓBEK Z TWORZYWA ABS DRUKOWANYCH W TECHNOLOGII FDM dr in. Marek GOŒCIAÑSKI, dr in. Bart³omiej DUDZIAK Przemys³owy Instytut Maszyn Rolniczych, Poznañ e-mail: office@pimr.poznan.pl BADANIA WYTRZYMA OŒCI NA ŒCISKANIE PRÓBEK Z TWORZYWA ABS DRUKOWANYCH W TECHNOLOGII

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WENYLATORY PROMIENIOWE ROOF-MOUNTED CENTRIFUGAL DACHOWE WPD FAN WPD

WENYLATORY PROMIENIOWE ROOF-MOUNTED CENTRIFUGAL DACHOWE WPD FAN WPD WENYATORY PROMIENIOWE ROOF-MOUNTED CENTRIFUGA DACHOWE WPD FAN WPD Wentylatory promieniowe dachowe typu WPD przeznaczone są do Roof-mounted centrifugal fans type WPD are intended wentylacji wyciągowej pomieszczeń

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział 2. Składanie ruchów Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Numeryczne całkowanie,

Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział 2. Składanie ruchów Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Numeryczne całkowanie, Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział. Składanie ruchów... 11 Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Rozdział 4. Numeryczne całkowanie, czyli obliczanie pracy w polu grawitacyjnym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Metodyki projektowania i modelowania systemów Cyganek & Kasperek & Rajda 2013 Katedra Elektroniki AGH

Metodyki projektowania i modelowania systemów Cyganek & Kasperek & Rajda 2013 Katedra Elektroniki AGH Kierunek Elektronika i Telekomunikacja, Studia II stopnia Specjalność: Systemy wbudowane Metodyki projektowania i modelowania systemów Cyganek & Kasperek & Rajda 2013 Katedra Elektroniki AGH Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

ROZPRAWY NR 128. Stanis³aw Mroziñski

ROZPRAWY NR 128. Stanis³aw Mroziñski UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY IM. JANA I JÊDRZEJA ŒNIADECKICH W BYDGOSZCZY ROZPRAWY NR 128 Stanis³aw Mroziñski STABILIZACJA W ASNOŒCI CYKLICZNYCH METALI I JEJ WP YW NA TRWA OŒÆ ZMÊCZENIOW BYDGOSZCZ

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA INSTYTUT AUTOMATYKI ZAKŁAD SYSTEMÓW POMIAROWYCH

POLITECHNIKA ŚLĄSKA INSTYTUT AUTOMATYKI ZAKŁAD SYSTEMÓW POMIAROWYCH POLITECHNIKA ŚLĄSKA INSTYTUT AUTOMATYKI ZAKŁAD SYSTEMÓW POMIAROWYCH Gliwice, wrzesień 2005 Pomiar napięcia przemiennego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zbadanie dokładności woltomierza cyfrowego dla

Bardziej szczegółowo

P R A C A D Y P L O M O W A

P R A C A D Y P L O M O W A POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Maszyn Roboczych i Transportu P R A C A D Y P L O M O W A Autor: inż. METODA Ε-CONSTRAINTS I PRZEGLĄDU FRONTU PARETO W ZASTOSOWANIU DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMU OPTYMALIZACJI

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn przy obciążeniu zmiennym PRZEDMOWA 11

1. Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn przy obciążeniu zmiennym PRZEDMOWA 11 SPIS TREŚCI 1. Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn przy obciążeniu zmiennym PRZEDMOWA 11 1. ZARYS DYNAMIKI MASZYN 13 1.1. Charakterystyka ogólna 13 1.2. Drgania mechaniczne 17 1.2.1. Pojęcia podstawowe

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA STEROWANIA MIKROKLIMATEM W PIECZARKARNI

OPTYMALIZACJA STEROWANIA MIKROKLIMATEM W PIECZARKARNI Inżynieria Rolnicza 6(131)/2011 OPTYMALIZACJA STEROWANIA MIKROKLIMATEM W PIECZARKARNI Leonard Woroncow, Ewa Wachowicz Katedra Automatyki, Politechnika Koszalińska Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki

Bardziej szczegółowo

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Spis treści Omówienie programu MSC.visualNastran Analiza mechanizmu korbowo wodzikowego Analiza mechanizmu drgającego Analiza mechanizmu

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH.

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. W programie COMSOL multiphisics 3.4 Wykonali: Łatas Szymon Łakomy Piotr Wydzał, Kierunek, Specjalizacja, Semestr, Rok BMiZ, MiBM, TPM, VII, 2011 / 2012 Prowadzący: Dr hab.inż.

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

ODPORNOŚĆ STALIWA NA ZUŻYCIE EROZYJNE CZĘŚĆ II. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ

ODPORNOŚĆ STALIWA NA ZUŻYCIE EROZYJNE CZĘŚĆ II. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ Szybkobieżne Pojazdy Gąsienicowe (15) nr 1, 2002 Stanisław JURA Roman BOGUCKI ODPORNOŚĆ STALIWA NA ZUŻYCIE EROZYJNE CZĘŚĆ II. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ Streszczenie: W części I w oparciu o teorię Bittera określono

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Temat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali

Temat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali Temat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali 1.1. Wstęp Próba statyczna rozciągania jest podstawowym rodzajem badania metali, mających zastosowanie w technice i pozwala na określenie własności

Bardziej szczegółowo

Hamulce elektromagnetyczne. EMA ELFA Fabryka Aparatury Elektrycznej Sp. z o.o. w Ostrzeszowie

Hamulce elektromagnetyczne. EMA ELFA Fabryka Aparatury Elektrycznej Sp. z o.o. w Ostrzeszowie Hamulce elektromagnetyczne EMA ELFA Fabryka Aparatury Elektrycznej Sp. z o.o. w Ostrzeszowie Elektromagnetyczne hamulce i sprzęgła proszkowe Sposób oznaczania zamówienia P Wielkość mechaniczna Odmiana

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

2. MODELOWANIE SŁUPÓW

2. MODELOWANIE SŁUPÓW MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 233-238, Gliwice 2006 ROZWIĄZANIE KONSTRUKCYJNE ALUMINIOWYCH SŁUPÓW DO ZAWIESZENIA SYGNALIZACJI ŚWIATEŁ DROGOWYCH JAROSŁAW KACZMARCZYK Katedra Mechaniki Stosowanej,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TECHNOLOGII WIRTUALNEJ RZECZYWISTOŚCI W PROJEKTOWANIU MASZYN

ZASTOSOWANIE TECHNOLOGII WIRTUALNEJ RZECZYWISTOŚCI W PROJEKTOWANIU MASZYN MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 37, s. 141-146, Gliwice 2009 ZASTOSOWANIE TECHNOLOGII WIRTUALNEJ RZECZYWISTOŚCI W PROJEKTOWANIU MASZYN KRZYSZTOF HERBUŚ, JERZY ŚWIDER Instytut Automatyzacji Procesów

Bardziej szczegółowo

Aircraft flight safety with the risk of failure during performance of an aviation task

Aircraft flight safety with the risk of failure during performance of an aviation task SAFETY SCIENTIFIC PROBLEMS OF MACHINES OPERATION AND MAINTENANCE 2 (162) 2010 HENRYK TOMASZEK *, SŁAWOMIR STĘPIEŃ **, MARIUSZ WAŻNY ** Aircraft flight safety with the risk of failure during performance

Bardziej szczegółowo

Proposal of thesis topic for mgr in. (MSE) programme in Telecommunications and Computer Science

Proposal of thesis topic for mgr in. (MSE) programme in Telecommunications and Computer Science Proposal of thesis topic for mgr in (MSE) programme 1 Topic: Monte Carlo Method used for a prognosis of a selected technological process 2 Supervisor: Dr in Małgorzata Langer 3 Auxiliary supervisor: 4

Bardziej szczegółowo

XII International PhD Workshop OWD 2010, 23 26 October 2010. Metodyka pozyskiwania i analizy wyników badań symulacyjnych ścieżek klinicznych

XII International PhD Workshop OWD 2010, 23 26 October 2010. Metodyka pozyskiwania i analizy wyników badań symulacyjnych ścieżek klinicznych XII International PhD Workshop OWD 2010, 23 26 October 2010 Metodyka pozyskiwania i analizy wyników badań symulacyjnych ścieżek klinicznych Methodology of Acquiring and Analyzing Results of Simulation

Bardziej szczegółowo

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek:

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: 1 Układ kierowniczy Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: Definicja: Układ kierowniczy to zbiór mechanizmów umożliwiających kierowanie pojazdem, a więc utrzymanie

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA NUMERYCZNA PROCESU

2. ANALIZA NUMERYCZNA PROCESU Artykuł Autorski z Forum Inżynierskiego ProCAx, Sosnowiec/Siewierz, 6-9 października 2011r Dr inż. Patyk Radosław, email: radosław.patyk@tu.koszalin.pl, inż. Szcześniak Michał, mieteksszczesniak@wp.pl,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

Dystrybucja : Meble Biurowe Kraków - Azco Kraków ul. Wielicka 28 Kraków tel/fax 12 296 75 92 kom 506 147 435 / 504 120 777 email krakow@azco.

Dystrybucja : Meble Biurowe Kraków - Azco Kraków ul. Wielicka 28 Kraków tel/fax 12 296 75 92 kom 506 147 435 / 504 120 777 email krakow@azco. Dystrybucja : Meble Biurowe Kraków - Azco Kraków ul. Wielicka 28 Kraków tel/fax 12 296 75 92 kom 506 147 435 / 504 120 777 email krakow@azco.pl ACTION Design: Studio 1:1 Jarosław Szymański 4 5 6 7 ACTION

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ROZKŁADU POLA MAGNETYCZNEGO W KADŁUBIE OKRĘTU Z CEWKAMI UKŁADU DEMAGNETYZACYJNEGO

ANALIZA ROZKŁADU POLA MAGNETYCZNEGO W KADŁUBIE OKRĘTU Z CEWKAMI UKŁADU DEMAGNETYZACYJNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrical Engineering 2015 Mirosław WOŁOSZYN* Kazimierz JAKUBIUK* Mateusz FLIS* ANALIZA ROZKŁADU POLA MAGNETYCZNEGO W KADŁUBIE OKRĘTU Z CEWKAMI

Bardziej szczegółowo

WÓJCIK Ryszard 1 KĘPCZAK Norbert 2

WÓJCIK Ryszard 1 KĘPCZAK Norbert 2 WÓJCIK Ryszard 1 KĘPCZAK Norbert 2 Wykorzystanie symulacji komputerowych do określenia odkształceń otworów w korpusie przekładni walcowej wielostopniowej podczas procesu obróbki skrawaniem WSTĘP Właściwa

Bardziej szczegółowo

Domy inaczej pomyślane A different type of housing CEZARY SANKOWSKI

Domy inaczej pomyślane A different type of housing CEZARY SANKOWSKI Domy inaczej pomyślane A different type of housing CEZARY SANKOWSKI O tym, dlaczego warto budować pasywnie, komu budownictwo pasywne się opłaca, a kto się go boi, z architektem, Cezarym Sankowskim, rozmawia

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-15

Ć W I C Z E N I E N R E-15 NSTYTUT FZYK WYDZAŁ NŻYNER PRODUKCJ TECNOLOG MATERAŁÓW POLTECNKA CZĘSTOCOWSKA PRACOWNA ELEKTRYCZNOŚC MAGNETYZMU Ć W C Z E N E N R E-15 WYZNACZANE SKŁADOWEJ POZOMEJ NATĘŻENA POLA MAGNETYCZNEGO ZEM METODĄ

Bardziej szczegółowo

WPŁYW WYBRANYCH PARAMETRÓW NA CHARAKTERYSTYKI TŁUMIENIA AMORTYZATORÓW HYDRAULICZNYCH

WPŁYW WYBRANYCH PARAMETRÓW NA CHARAKTERYSTYKI TŁUMIENIA AMORTYZATORÓW HYDRAULICZNYCH ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2008 Seria: TRANSPORT z. 64 Nr kol. 1803 Łukasz KONIECZNY, Bogusław ŚLEZIAK WPŁYW WYBRANYCH PARAMETRÓW NA CHARAKTERYSTYKI TŁUMIENIA AMORTYZATORÓW HYDRAULICZNYCH Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

WPŁYW GRADIENTU TEMPERATURY NA WSPÓŁCZYNNIK PRZEWODZENIA CIEPŁA

WPŁYW GRADIENTU TEMPERATURY NA WSPÓŁCZYNNIK PRZEWODZENIA CIEPŁA ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 10/2010 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach WPŁYW GRADIENTU TEMPERATURY NA WSPÓŁCZYNNIK PRZEWODZENIA CIEPŁA Andrzej MARYNOWICZ

Bardziej szczegółowo

PAiTM - zima 2014/2015

PAiTM - zima 2014/2015 PAiTM - zima 204/205 Wyznaczanie przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą planu przyspieszeń (metoda wykreślna) Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie i orientacja) oraz stała prędkość

Bardziej szczegółowo

WENTYLATORY PROMIENIOWE DOUBLE-INLET DWUSTRUMIENIOWE TYP FKD CENTRIFUGAL FAN TYPE FKD

WENTYLATORY PROMIENIOWE DOUBLE-INLET DWUSTRUMIENIOWE TYP FKD CENTRIFUGAL FAN TYPE FKD WENTYATORY PROMIENIOWE DOUE-INET DWUSTRUMIENIOWE TYP KD CENTRIUGA AN TYPE KD Wentylatory promieniowe dwustrumieniowe typ KD oparte są na Double-inlet centrifugal fans type KD are based onstrucji wysoosprawnyc

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE I SYMULACJA Kościelisko, 19-23 czerwca 2006r. Oddział Warszawski PTETiS Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej Polska Sekcja IEEE

MODELOWANIE I SYMULACJA Kościelisko, 19-23 czerwca 2006r. Oddział Warszawski PTETiS Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej Polska Sekcja IEEE ODELOWANIE I SYULACJA Kościelisko, 9-3 czerwca 006r. Oddział Warszawski PTETiS Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej Polska Sekcja IEEE SYSTE DO KOPUTEROWEGO ODELOWANIA I SYULACJI UKŁADÓW DYNAICZNYCH

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ SERII NORM PN-EN ISO 3740

NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ SERII NORM PN-EN ISO 3740 PRACE INSTYTUTU TECHNIKI BUDOWLANEJ - KWARTALNIK BUILDING RESEARCH INSTITUTE - QUARTERLY 2 (162) 2012 ARTYKUŁY - REPORTS Anna Iżewska* NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ

Bardziej szczegółowo

ERASMUS + : Trail of extinct and active volcanoes, earthquakes through Europe. SURVEY TO STUDENTS.

ERASMUS + : Trail of extinct and active volcanoes, earthquakes through Europe. SURVEY TO STUDENTS. ERASMUS + : Trail of extinct and active volcanoes, earthquakes through Europe. SURVEY TO STUDENTS. Strona 1 1. Please give one answer. I am: Students involved in project 69% 18 Student not involved in

Bardziej szczegółowo

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1.1.1. Człon mechanizmu Człon mechanizmu to element konstrukcyjny o dowolnym kształcie, ruchomy bądź nieruchomy, zwany wtedy podstawą, niepodzielny w aspekcie

Bardziej szczegółowo

Alicja Drohomirecka, Katarzyna Kotarska

Alicja Drohomirecka, Katarzyna Kotarska ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 384 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 20 2003 ALICJA DROHOMIRECKA KATARZYNA KOTARSKA SPRAWNOŚĆ FIZYCZNA DZIECI PRZEDSZKOLNYCH ZE STARGARDU SZCZECIŃSKIEGO

Bardziej szczegółowo

WPŁYW EKSCENTRYCZNOŚCI STATYCZNEJ WIRNIKA I NIEJEDNAKOWEGO NAMAGNESOWANIA MAGNESÓW NA POSTAĆ DEFORMACJI STOJANA W SILNIKU BLDC

WPŁYW EKSCENTRYCZNOŚCI STATYCZNEJ WIRNIKA I NIEJEDNAKOWEGO NAMAGNESOWANIA MAGNESÓW NA POSTAĆ DEFORMACJI STOJANA W SILNIKU BLDC Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 66 Politechniki Wrocławskiej Nr 66 Studia i Materiały Nr 32 2012 Jerzy PODHAJECKI* Sławomir SZYMANIEC* silnik bezszczotkowy prądu stałego

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi. binding machine KRIS. instruction manual. 80-393 GDAŃSK ul. Krynicka 1 tel.: (058) 55 43 555 fax: (058) 55 43 500 ODDZIAŁ:

Instrukcja obsługi. binding machine KRIS. instruction manual. 80-393 GDAŃSK ul. Krynicka 1 tel.: (058) 55 43 555 fax: (058) 55 43 500 ODDZIAŁ: Instrukcja obsługi instruction manual 80-393 GDAŃSK ul. Krynicka 1 tel.: (058) 55 43 555 fax: (058) 55 43 500 ODDZIAŁ: 02-784 WARSZAWA ul. Janowskiego 9 tel.: (022) 648 03 48..49 fax: (022) 648 03 50 bindownica

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Praca dyplomowa inżynierska Temat pracy Symulacja komputerowa działania hamulca tarczowego

Bardziej szczegółowo

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu.

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu. 1 1 x (m/s) 4 0 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 t (s) a) Narysuj wykres a x (t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka

Bardziej szczegółowo

Stół Regolo. 100% Made in Italy. Może być używany w wersji zamkniętej lub otwartej na dowolnej wysokości It can be used open or closed, at any height

Stół Regolo. 100% Made in Italy. Może być używany w wersji zamkniętej lub otwartej na dowolnej wysokości It can be used open or closed, at any height Spis treści Stół Regolo... 2 Stół Basic quadrato... 8 Stół Basic rettangolare... 9 Stół Easy... 10 Stół Facile... 11 Stół Kubo... 12 Stół Piccolo... 13 Stoliki Piego... 14 Stół kwadratowy Trendy quadrato...

Bardziej szczegółowo

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE MODELOWANIA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH ZAWIESZENIA POJAZDU GĄSIENICOWEGO

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE MODELOWANIA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH ZAWIESZENIA POJAZDU GĄSIENICOWEGO Szybkobieżne Pojazdy Gąsienicowe (33) nr 2, 2013 Jacek GNIŁKA Tomasz MACHOCZEK Gabriel MURA KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE MODELOWANIA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH ZAWIESZENIA POJAZDU GĄSIENICOWEGO Streszczenie. W

Bardziej szczegółowo

PRODUCTION HALL OFFER

PRODUCTION HALL OFFER PRODUCTION HALL OFFER 1. Name of production hall / Nazwa hali produkcyjnej Bałtowska 2. Location / Lokalizacja PRODUCTION HALL DATA Town / Street Miasto / Ulica Ostrowiec Świętokrzyski/Bałtowska Street

Bardziej szczegółowo

DIAGNOSTYKA INTENSYWNOŚCI ZUŻYCIA OLEJU SILNIKOWEGO W CZASIE EKSPLOATACJI

DIAGNOSTYKA INTENSYWNOŚCI ZUŻYCIA OLEJU SILNIKOWEGO W CZASIE EKSPLOATACJI 6-2012 T R I B O L O G I A 139 Paweł PIEC * DIAGNOSTYKA INTENSYWNOŚCI ZUŻYCIA OLEJU SILNIKOWEGO W CZASIE EKSPLOATACJI DIAGNOSTICS OF THE WEAR INTENSITY OF ENGINE OIL DURING OPERATION Słowa kluczowe: olej

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo