Wyk ady z analizy portfelowej, cz¾eść II

Transkrypt

1 Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cześć II (semestr letni 2011/12) 1 Poj ecie krótkiej sprzeda zy Przyk ad 1. Inwestor I przewiduje, ze cena akcji spó ki A obecnie 100$ za sztuke pod koniec roku spadnie do poziomu 95$ (wartość oczekiwana). Ponadto I spodziewa si e wtedy wyp aty dywidendy w wysokości 3$ za jedna akcje. Zatem zakup przez I jednej akcji spó ki A pociagnie za soba nastepujace przep ywy gotówki: Czas: obecnie koniec roku Zakup akcji: 100 Dywidenda: +3 Sprzeda z akcji: +95 Suma przep ywów: W tej sytuacji inwestor I nie zechce trzymać akcji spó ki A w swoim portfelu. Co wiecej, najchetniej posiada by on ujemna liczb e takich akcji. Jak mo ze tego dokonać? Przypuśćmy, ze inny inwestor J równie z posiada akcje spó ki A, ale nie chce ich sprzedawać. Inwestor I mo ze po zyczyć akcj e A od J, zapewniajac mu jednocześnie, ze nie straci on zadnych korzyści wynikajacych z posiadania akcji. I sprzedaje teraz akcj e A i otrzymuje 100$, z których 3$ przekazuje J na zrekompensowanie niezrealizowanej wyp aty dywidendy. Ani I ani J nie posiadaja teraz akcji A faktyczna dywidende otrzymuje jej aktualny w aściciel. Pod koniec roku I kupuje akcje A za 95$ i zwraca pierwotnemu w aścicielowi J. Przep ywy gotówki dla I wygladaj a teraz tak: Czas: obecnie koniec roku Sprzeda z akcji: +100 Dywidenda: 3 Zakup akcji: 95 Suma przep ywów: Ekstrema warunkowe regu a mno zników Lagrange a Niech G b edzie podzbiorem otwartym przestrzeni R n i niech 1 k n. Niech f : G! R i ' : G! R k b eda danymi funkcjami. Określamy zbiór S := fx 2 G : '(x) = 0g: (1) 1

2 Zak adamy, ze S 6= ;. Mówimy, ze funkcja f ma w punkcie x 2 S lokalne minimum [maksimum] warunkowe (na zbiorze S), je zeli istnieje takie otoczenie U punktu x (U G), ze f(x) f(x) [ f(x) f(x) ] dla ka zdego x 2 S \ U. Mówimy, ze funkcja f ma w punkcie x 2 S ścis e lokalne minimum [maksimum] warunkowe (na zbiorze S), je zeli istnieje takie otoczenie U punktu x (U G), ze f(x) < f(x) [ f(x) > f(x) ] dla ka zdego x 2 S \ Unfxg. Twierdzenie 1. Za ó zmy, ze w pewnym otoczeniu U punktu x 2 S funkcje f i ' maja ciag e pierwsze pochodne czastkowe oraz rf(x) 6= 0 i Rank ' 0 (x) = k. (a) (warunki konieczne) Je zeli f ma w punkcie x lokalne ekstremum warunkowe, to istnieja liczby rzeczywiste 1 ; :::; k takie, ze funkcja Lagrange a L : U R k! R okre slona wzorem spe nia warunek L(x; ) := f(x) + kx i ' i j (x; ) = 0, j = 1; :::; n. (3) (b) (warunki dostateczne) Niech x 2 S b edzie punktem spe niajacym warunki konieczne (3). Za ó zmy dodatkowo, ze f i ' maja ciag e drugie pochodne czastkowe. Je zeli hr 2 L(x; )h T = 2 L h i h j (x; > 0 (4) j i;j=1 dla ka zdego wektora h = (h 1 ; :::; h n ) ró znego od zera i spe niajacego warunek hr' i (x); hi = nx j (x)h j = 0, i = 1; :::; k; (5) to f ma w punkcie x scis e lokalne minimum warunkowe. Je zeli hr 2 L(x; )h T < 0 (6) dla ka zdego wektora h ró znego od zera i spe niajacego warunek (5), to f ma w punkcie x scis e lokalne maksimum warunkowe. Je zeli hr 2 L(x; )h T przyjmuje zarówno warto sci dodatnie jak i ujemne dla h spe niajacych (5), to f nie ma lokalnego ekstremum warunkowego w punkcie x. Uwaga. Ze wzoru (2) wynika, ze dla dowolnego i 2 f1; :::; kg i (x; ) nie zale zy od wektora i jest równa ' i (x). Stad i z (1) otrzymujemy S := x 2 G (x) = 0, i = 1; :::; k : i 2

3 3 Wyznaczanie portfela minimalnego ryzyka przy dopuszczalnej krótkiej sprzeda zy 3.1 Przypadek zadanej oczekiwanej stopy zysku Niech u = (u 1 ; :::; u m ) b edzie wektorem, którego wspó rzednymi sa udzia y akcji 1; :::; m w portfelu. Poniewa z dopuszczamy mo zliwość krótkiej sprzeda zy, udzia y te nie musza być nieujemne. Zatem u nale zy do zbioru 8 9 < mx = P m := : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u j = 1 ; : (8) Niech 0 b edzie zadana oczekiwana stopa zysku portfela u. Rozwa zamy nast epujace zadanie optymalizacji: 8 < Var P R(u) = ucu T! min; m : P u i = 1; (9) m u i i = 0 ; gdzie C jest macierza kowariancji wektora stóp zysku akcji 1; :::; m, a = ( 1 ; :::; m ) wektorem oczekiwanych stóp zysku tych akcji. Celem zadania (9) jest znalezienie portfela minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku 0. Do rozwiazania zadania (9) zastosujemy metod e mno zników Lagrange a. Najpierw tworzymy funkcj e Lagrange a: mx m! X m! X L(u; ) = c ij u i u j + 1 u i u i i 0 ; (10) i;j=1 a nast epnie ró zniczkujemy ja kolejno wzgledem zmiennych u 1 ; :::; u m, korzystajac z symetrii macierzy C: 1 (u; ) = 2(c 11 u 1 + ::: + c 1m u m ) ;. m (u; ) = 2(c m1 u 1 + ::: + c mm u m ) m : Teraz ró zniczkujemy L wzgledem 1 i 2 mx (u; ) = u 1 2 (u; ) = j=1 mx u i i 0 : (13) Tak obliczone pochodne przyrównujemy do zera, uzyskujac w ten sposób uk ad równań 8 < : 2Cu T T k + 2 T = 0; 1 k u T = 1; u T = 0 ; (14) 3

4 który w postaci macierzowo-blokowej mo zna zapisać jako 2 4 2C T k T 1 k ut 0 k 1 5 = ; (15) gdzie 1 k = (1; :::; 1) 2 R k oraz 0 k = (0; :::; 0) 2 R k. Uwzgledniajac wzór (128), cz. I, mo zna uk ad (15) zapisać nastepujaco: m 1m 1 1 u m 2m 1 2 u =. : m 1m 2 2 m 2m 2 2 m 1 m 7 6 u m m (16) Oznaczajac przez A macierz kwadratowa wystepujac a w (16), a przez z i b odpowiednie wektory kolumnowe, zapisujemy (16) w postaci Az = b: (17) Mo zna wykazać, ze je zeli macierz kowariancji C jest nieosobliwa, to tak ze macierz A jest nieosobliwa. Wtedy rozwiazanie uk adu (17) jest dane wzorem z = A 1 b: (18) 3.2 Przypadek dowolnej oczekiwanej stopy zysku Teraz poszukujemy portfela minimalnego ryzyka przy wszystkich mo zliwych oczekiwanych stopach zysku. Wówczas zamiast zadania optymalizacji (9) mamy jego uproszczona wersje Var R(u) P = ucu T! min; m u (19) i = 1; w której nie wyst epuje ograniczenie na oczekiwana stop e zysku portfela. W tym przypadku mamy tylko jeden mno znik Lagrange a 1 zwiazany z jednym ograniczeniem typu równości. Post epujac analogicznie jak w poprzednim przypadku, dochodzimy do nast epujacego uk adu równań, b edacego uproszczona wersja (16): m 1m 1 u m 2m 1 u = 7 6. : (20) m 1m 2 2 m 2m 2 2 m u m Uwagi dotyczace rozwiazania tego uk adu sa takie same jak poprzednio. 4

5 4 Portfele zawierajace papier wartościowy pozbawiony ryzyka 4.1 Rozszerzenie modelu podstawowego Markowitza Rozwa zamy sytuacje, gdy w portfelu papierów wartościowych oprócz akcji ponumerowanych od 1 do m znajduje si e dodatkowy papier wartościowy pozbawiony ryzyka (np. obligacja skarbowa o sta ym oprocentowaniu lub bon skarbowy), oznaczony numerem 0. Tworzymy nowy zbiór portfeli papierów wartościowych 8 9 < mx = ^P m+1 := :^u = (u 0; u 1 ; :::; u m ) 2 R m+1 : u i 0; i = 0; 1; :::; m; u j = 1 ; ; (21) na którym określone jest rozszerzenie odwzorowania Markowitza nast epujaco: j=0 ^M(^u) := ((^u); ER(^u)), ^u 2 ^P m+1 : (22) Dla m akcji mamy wektor = ( 1 ; :::; m ) oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), natomiast przez 0 oznaczamy ustalona (niezale zna od sytuacji losowej) stop e zysku papieru pozbawionego ryzyka. Oczywiście sensowne jest rozwa zanie sytuacji, gdy 0 > 0. Macierz kowariancji stóp zysku dla nowego modelu ma postać c 11 c 1m ^C = : (23) 0 c m1 c mm Stwierdzenie 1. Zbiór mo zliwo sci ^M dla modelu Markowitza rozszerzonego o papier warto sciowy pozbawiony ryzyka ma postać ^M = ^M ^Pm+1 = [ [(0; 0 ); (x; y)]; (24) (x;y)2m gdzie M jest zbiorem mo zliwo sci dla modelu podstawowego Markowitza, zawierajacego akcje od 1 do m. Dowód. : Niech ^u = (u 0 ; u 1 ; :::; u m ) 2 ^P m+1, ^u 6= (1; 0; :::; 0). Oznaczmy u := (u 1 ; :::; u m ), C := [c ij ] m i;j=1, := P m u i, wówczas u 0 = 1, 2 (0; 1]. Uwzgledniajac (23) oraz fakt, ze u= 2 P m, mo zemy wyrazić ryzyko rozszerzonego portfela ^u za pomoca ryzyka portfela akcji u: p (^u) = ^u ^C ^u T = p r u u T u ucu T = C = : (25) Obliczmy teraz oczekiwana stop e zysku portfela ^u: ER(^u) = mx u i i = (1 i=0 ) 0 + mx 5 u i u i = (1 ) 0 + ER : (26)

6 Ze wzorów (25) i (26) otrzymujemy u u ^M (^u) = ((^u); ER(^u)) = (1 )(0; 0 ) + ; ER u = (1 )(0; 0 ) + M : (27) Zatem punkt ^M (^u) le zy na odcinku ((0; 0 ); M(u=)], gdzie M(u=) 2 M, a wiec ^M (^u) nale zy do prawej strony (24). Pozostaje jeszcze zauwa zyć, ze obraz portfela (1; 0; :::; 0) 2 ^P m+1, z o zonego tylko z papieru o zerowym ryzyku, tak ze nale zy do prawej strony (24), poniewa z ^M((1; 0; :::; 0)) = (0; 0 ): (28) : Ka zdy punkt zbioru po prawej stronie (24) jest postaci (1 )(0; 0 ) + M (w) (29) dla pewnych 2 [0; 1], w 2 P m. Jeśli > 0, to przyjmujac u := w, otrzymujemy postać z końca wzoru (27). Przechodzac przez wszystkie równości pierwszej cz eści dowodu w odwrotnej kolejności, wnioskujemy, ze punkt (29) jest równy ^M (^u) dla pewnego ^u 2 ^P m+1. Jeśli = 0, to punkt (29) jest postaci (28). 4.2 Wykorzystanie portfela rynkowego Obecnie przedstawimy prostszy od poprzedniego model portfela zawierajacego akcje oraz papier wartościowy pozbawiony ryzyka. Rozwa zamy portfel dwusk adnikowy, w którym pierwszy sk adnik stanowia papiery wartościowe o zerowym ryzyku (zak adamy, ze maja one te sama sta a stop e zysku, zwana stopa zysku wolna od ryzyka), a drugi sk adnik to portfel efektywny zawierajacy akcje. Wprowadzamy oznaczenia: ER e oczekiwana stopa zysku portfela efektywnego, R f stopa zysku wolna od ryzyka (poprzednio oznaczana 0 ), e ryzyko portfela efektywnego, w f udzia papierów wolnych od ryzyka w portfelu dwusk adnikowym (w f 2 [0; 1]). Wówczas 1 w f jest udzia em portfela efektywnego akcji w portfelu dwusk adnikowym. Rozwa zany portfel dwusk adnikowy mo zna uto zsamiać z wektorem udzia ów w = (w f ; 1 w f ). Jego oczekiwana stopa zysku dana jest wzorem ER(w) = w f R f + (1 w f )ER e : (30) Ze wzorów (128) i (129), cz. I, wynika, ze ryzyko portfela u wynosi (w) = (1 w f ) e : (31) Poszukiwanie optymalnych portfeli dwusk adnikowych wy zej opisanego typu sprowadza si e do poszukiwania takiej pó prostej wychodzacej z punktu (0; R f ) i 6

7 przecinajacej granice efektywna F zbioru mo zliwości M, która posiada najwiekszy wspó czynnik katowy. Najlepsza pó prosta jest zatem styczna do zbioru F ma ona z tym zbiorem jeden punkt wspólny, odpowiadajacy tzw. portfelowi rynkowemu (market portfolio), który oznaczamy u M. Optymalne portfele zawierajace akcje i papiery wolne od ryzyka le z a na odcinku [(0; R f ); M(u M )], który jest cześcia prostej o równaniu R f y = ER M x + R f ; (32) M gdzie M(u M ) = ( M ; ER M ) (pierwsza wspó rzedna jest ryzykiem, a druga oczekiwana stopa zysku portfela rynkowego). Prosta (32) nazywa si e linia rynku kapita owego (CML capital market line). 5 Formy kwadratowe i ich określoność Funkcje F : R n! R określona wzorem F (x) := nx j=1 nx a ij x i x j ; (33) gdzie a ij 2 R, a ij = a ji oraz x = (x 1 ; :::; x n ), nazywamy forma kwadratowa na R n. Forme kwadratowa (33) mo zna te z zapisać w postaci F (x) = xax T ; (34) gdzie A = [a ij ] n i;j=1. Macierz A nazywamy macierza formy kwadratowej. Ka zda symetryczna macierz kwadratowa jest macierza pewnej formy kwadratowej. Form e kwadratowa F nazywamy (macierz A nazywamy) (a) dodatnio [ujemnie] określona, je zeli F (x) > 0 [ F (x) < 0 ] dla ka zdego x 2 R n nf0g, (b) dodatnio [ujemnie] pó określona lub nieujemnie [niedodatnio] określona, je zeli F (x) 0 [ F (x) 0 ] dla ka zdego x 2 R n, (c) nieokreślona, je zeli istnieja takie x 1, x 2 2 R n, ze F (x 1 ) > 0 i F (x 2 ) < 0. Oznaczmy przez M i ; i = 1; :::; n nastepujace wyznaczniki: M 1 := ja 11 j ; M 2 := a 11 a 12 a 21 a 22 ; :::; M n = ja n j : (35) Wyznaczniki (35) nazywamy (wiodacymi) minorami g ównymi macierzy A. Nast epujace twierdzenie jest przydatne do sprawdzania warunków dostatecznych minimum lub maksimum lokalnego funkcji wielu zmiennych. Twierdzenie 2 (Sylwestera). (a) Je zeli M k > 0; k = 1; :::; n; (36) 7

8 to forma F jest dodatnio określona. (b) Je zeli ( 1) k M k > 0; k = 1; :::; n; (37) to forma F jest ujemnie określona. (c) Je zeli M k 0; k = 1; :::; n 1; M n = 0; (38) to forma F jest dodatnio pó określona. (d) Je zeli ( 1) k M k 0; k = 1; :::; n 1; M n = 0; (39) to forma F jest ujemnie pó określona. (e) Je zeli nie jest spe niony zaden z warunków (36) (39), to forma F jest nieokreślona. 6 Metoda najmniejszych kwadratów Przypuśćmy, ze interesuje nas zale zność mi edzy pewnymi obserwowanymi wielkościami x i y. Za ó zmy, ze dysponujemy danymi statystycznymi w postaci zbioru punktów na p aszczyźnie (x i ; y i ); i = 1; :::; n; (40) które wskazuja, ze zale zność t e mo zna w przybli zeniu opisać funkcja liniowa y = ax + b: (41) Zadanie polega na znalezieniu takich parametrów a i b prostej (41), aby ta prosta by a jak najlepiej dopasowana do wyników obserwacji (40). Jako kryterium dopasowania przyjmujemy sum e kwadratów odchyleń punktów (x i ; y i ) od prostej, mierzonych w kierunku równoleg ym do osi pionowej. Zatem poszukujemy takich liczb a i b, dla których suma S(a; b) := jest najmniejsza. Zak adamy, ze nx (y i ax i b) 2 (42) n > 1 i co najmniej dwie wartości x i sa ró zne. (43) W dalszym ciagu sume P n b edziemy oznaczać krótko przez P. W celu wyznaczenia minimum funkcji S rozwia zemy uk (a; b) = 2 X (y i ax i b)( x i ) = (a; b) = 2 X (y i ax i b)( 1) = 0; (45) 8

9 który jest równowa zny uk adowi a X x 2 i + b X x i = X x i y i ; (46) a X x i + bn = X y i : (47) Wprowadźmy oznaczenia x := 1 n X xi ; y := 1 n X yi : (48) Dzielac równanie (47) przez n, otrzymujemy ax + b = y, skad b = y i z (46) a X x 2 i + (y ax) X x i = X x i y i ; ax. Stad czyli a X x i (x i x) = X x i (y i y): (49) Zauwa zmy, ze X (xi x) 2 = X (x i x)(x i x) = X x i (x i x) = X x i (x i x) x X x i + nx 2 X x(xi = X x i (x i x) nx 2 + nx 2 = X x i (x i x): (50) Podobnie dowodzimy, ze X (xi x)(y i y) = X x i (y i y): (51) x) Z równości (49) (51) otrzymujemy wzory na parametry szukanej prostej: P (xi x)(y i y) a = P (xi x) 2 ; b = y ax; (52) przy czym z za o zenia (43) wynika, ze P (x i x) 2 6= 0. Dla wykazania, ze punkt o wspó rz ednych (52) jest na pewno punktem minimum funkcji S, sprawdzimy jeszcze warunki dostateczne. Obliczmy drugie pochodne czastkowe 2 2 (a; b) = 2 X x 2 S i ; (a; b) 2 (a; b) (a; b) = 2 X x i : Zatem macierz Hessego funkcji S w dowolnym ustalonym punkcie (a; b) jest postaci P r 2 2 x 2 S(a; b) = i 2 P x i 2 P : (53) x i 2n 9

10 Z Twierdzenia 1(b) (dla przypadku zadania minimalizacji bez ograniczeń) wynika, ze S osiaga minimum lokalne w punkcie krytycznym (a; b) (tj. spe niaja- cym warunki konieczne (44) (45)), je zeli forma kwadratowa h 7! hr 2 S(a; b)h T jest dodatnio określona, gdzie h = (h 1 ; h 2 ) (lub, co jest równowa zne, macierz (53) jest dodatnio określona). Aby to wykazać, w nierówności Schwarza hx; yi 2 < hx; xi hy; yi ; dla x; y 2 R n ; x 6= y; 2 R; podstawmy y = (1; :::; 1) 2 R n. Otrzymujemy X xi 2 < n X x 2 i ; co oznacza, ze wyznacznik macierzy (53) jest dodatni. To wraz z nierównościa 2 P x 2 i > 0 daje dodatnia określoność tej macierzy. Poniewa z istnieje tylko jeden punkt krytyczny, wi ec minimum jest globalne. 7 Model jednowskaźnikowy Sharpe a Jest to model upraszczajacy klasyczna teorie portfela. Opiera sie na za o zeniu, ze kszta towanie si e stóp zysku akcji jest zdeterminowane dzia aniem czynnika odzwierciedlajacego zmiany na rynku kapita owym. Z obserwacji wynika, ze na wielu rynkach kapita owych stopy zysku wi ekszości akcji sa zwiazane ze stopa zwrotu indeksu rynku (lub gie dy). Indeks ten spe nia m.in. nast epujace funkcje: 1) w sposób syntetyczny informuje o sytuacji na rynku, 2) jest instrumentem pierwotnym dla instrumentów pochodnych (opcji, kontraktów futures i forward), 3) stanowi punkt odniesienia przy ocenie efektywności inwestowania, 4) mo ze być traktowany jako substytut portfela rynkowego. Zale zność stopy zysku pojedynczej akcji A od stopy zysku indeksu rynku dana jest równaniem regresji R A = A + A R M + e A ; (54) gdzie: R A stopa zysku akcji A, R M stopa zysku indeksu rynku, A ; A wspó czynnik alfa i wspó czynnik beta akcji A, e A sk adnik losowy równania (zwiazany z akcja A). Zak ada sie, ze e A jest zmienna losowa o wartości oczekiwanej 0. W praktyce do prognozowania stopy zysku akcji A u zywa si e modelu przybli zonego, w którym pomija si e sk adnik losowy: R A = A + A R M : (55) Jest to równanie prostej, która nazywa sie linia charakterystyczna akcji (lub ogólniej papieru wartościowego). 10

11 Wspó czynnik beta akcji wskazuje, w jakim stopniu stopa zysku akcji reaguje na zmiany stopy zysku indeksu rynku. W szczególności: 0 < A < 1 oznacza, ze stopa zysku akcji A w ma ym stopniu reaguje na zmiany zachodzace na rynku; taka akcja nazywana jest akcja defensywna; A > 1 oznacza, ze stopa zysku akcji A w du zym stopniu reaguje na zmiany zachodzace na rynku; taka akcja nazywana jest akcja agresywna; A = 1 oznacza, ze stopa zysku akcji A zmienia sie w takim samym stopniu jak stopa zysku rynku; A < 0 oznacza, ze stopa zysku akcji A reaguje na zmiany odwrotnie ni z rynek. Przypuśćmy, ze chcemy oszacować lini e charakterystyczna akcji na podstawie danych z przesz ości. Za ó zmy, ze dysponujemy danymi z n okresów. Oznaczmy: stopa zysku akcji A w i-tym okresie, R A;i R M;i stopa zysku indeksu rynku w i-tym okresie, R A średnia arytmetyczna stóp zysku akcji A, R M średnia arytmetyczna stóp zysku indeksu rynku. Wówczas ró znica mi edzy faktycznie osiagniet a stop a zysku akcji A w i-tym okresie a stopa zysku wynikajac a z równania (55) b edzie wynosi a i := e A;i = R A;i A A R M;i ; (56) gdzie e A;i oznacza wartość sk adnika losowego wystepujac a w i-tym okresie. Liczba i reprezentuje b ad wynikajacy z zastosowania modelu jednowskaźnikowego do przewidzenia stopy zysku akcji A w i-tym okresie. Sensowny jest taki wybór wspó czynników A i A, przy którym b edy i (i = 1; :::; n) sa mo zliwie najmniejsze (co do wartości bezwzgl ednej). Aby to uzyskać, wybieramy takie wartości A i A, dla których osiagni ete jest minimum funkcji nx 2 i = nx (R A;i A A R M;i ) 2 : (57) Jest to szczególny przypadek zadania minimalizacji funkcji (42) (metoda najmniejszych kwadratów). Stosujac wzory (52) dla x i = R M;i, y i = R A;i, otrzymujemy P n A = (R M;i R M )(R A;i RA ) P n (R ; M;i R M ) 2 A = R A ARM : (58) Powróćmy teraz do modelu (54). Z równania tego wynika nastepujaca zale zność pomi edzy oczekiwanymi stopami zysku indeksu rynku oraz akcji A: ER A = A + A ER M (59) (w dowodzie wykorzystujemy za o zenie, ze Ee A = 0). Za ó zmy teraz dodatkowo, ze zmienne losowe e A i R M sa nieskorelowane, to znaczy Cov(e A ; R M ) = E [(e A 0) (R M ER M )] = 0: (60) 11

12 Brak korelacji pomiedzy e A i R M oznacza, ze dok adność, z jaka równanie (54) opisuje stop e zysku dowolnej akcji A, jest niezale zna od zmian stopy zysku indeksu rynku. Przy tym za o zeniu z (54) wynika nastepujacy wzór na wariancje stopy zysku akcji A: Var R A = 2 A Var R M + Var e A (61) (w dowodzie wykorzystujemy (60) oraz Twierdzenie 4 o wariancji sumy zmiennych losowych z cz. I wyk adu). Zale zność (61) pokazuje, ze ryzyko akcji A (mierzone za pomoca wariancji), tzw. ryzyko ca kowite, jest suma nastepujacych dwóch sk adników: 2 A Var R M ryzyko systematyczne (lub rynkowe) zale zy od ryzyka indeksu rynku oraz od wspó czynnika beta, określajacego, w jakim stopniu stopa zysku akcji A reaguje na zmiany stopy zysku indeksu rynku; Var e A ryzyko specy czne (lub niesystematyczne) jest to cześć ryzyka zwiazana tylko z dana akcja i nie zale z aca od rynku. 8 Zadanie optymalizacji wielokryterialnej Niech S b edzie niepustym podzbiorem R n i niech f : S! R p b edzie dana funkcja wektorowa. Zak adamy, ze przestrzeń R p jest cz eściowo uporzad- kowana w naturalny sposób, tzn. określona jest relacja (dla w; v 2 R p ) (w v), (w i v i ; i = 1; :::; p) ; (62) która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Rozwa zamy zadanie optymalizacji wielokryterialnej w ogólnej postaci: f(x)! min; (63) x 2 S: W praktyce zbiór S jest zwykle zde niowany za pomoca pewnego uk adu równań i/lub nierówności. Mówimy, ze punkt x 2 S jest punktem optymalnym w sensie Pareto (lub punktem efektywnym, lub punktem niezdominowanym) dla zadania (63), je zeli nie istnieje x 2 S taki, ze oraz f i (x) f i (x); i = 1; :::; p (64) f(x) 6= f(x): (65) Uwaga. Je zeli spe nione sa nierówności (64), to warunek (65) oznacza, ze przynajmniej jedna z tych nierówności jest ostra. Sformu ujemy teraz warunek równowa zny optymalności w sensie Pareto. Niech T R p b edzie dowolnym niepustym zbiorem. Punkt y 2 T nazywamy punktem minimalnym zbioru T, je zeli 8y 2 T : y y ) y y: (66) 12

13 Stwierdzenie 2. Punkt x 2 S jest optymalny w sensie Pareto dla zadania (63) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) jest punktem minimalnym zbioru f(s). Omówimy teraz wybrane metody numeryczne rozwiazywania zadania (63), z uwzgl ednieniem ich mo zliwych zastosowań w analizie portfelowej. 9 Metoda Polaka dla zadania dwukryterialnego Celem tej metody jest skonstruowanie dyskretnej aproksymacji zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania (63) w przypadku, gdy p = 2. Zak adamy, ze zbiór S jest zwarty, a funkcja f jest ciag a. Krok 1. Wyznaczyć liczby a := minff 1 (x) : x 2 Sg; b := f 1 (x); (67) gdzie x jest punktem w S spe niajacym warunek f 2 (x) = minff 2 (x) : x 2 Sg (68) (jeśli takich punktów jest wi ecej ni z jeden, to jako x przyjmujemy dowolny z nich). Krok 2. Dla dowolnie wybranego r 2 N wyznaczyć punkty dyskretyzacji 1 := a + k b a ; k = 0; 1; :::; r: (69) r y (k) Krok 3. Dla ka zdego punktu dyskretyzacji y (k) 1 (k = 0; 1; :::; r) obliczyć rozwiazanie x (k) zadania optymalizacji z ograniczeniami 8 < f 2 (x)! min; x 2 S; (70) : f 1 (x) = y (k) 1 ; po czym przyjać y (k) 2 := f 2 (x (k) ); k = 0; 1; :::; r: (71) Krok 4. Z ciagu liczb y (0) 2 ; y(1) 2 ; :::; y(r) 2 usunać te liczby y (j) 2 (j = 1; :::; r), dla których y (j) (j 1) 2 y 2. Wówczas pozosta e liczby utworza ciag ściśle malejacy y (k0) 2 > y (k1) 2 > y (k2) 2 > ::: (72) Krok 5. Utworzyć zbiór skończony n o x (k0) ; x (k1) ; x (k2) ; ::: (73) z o zony z punktów x (k) zwiazanych wzorem (71) z wybranymi liczbami (72). Zbiór ten jest szukana aproksymacja zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania (63). Natomiast zbiór punktów na p aszczyźnie n o y (k0) 1 ; y (k0) 2 ; y (k1) 1 ; y (k1) 2 ; y (k2) 1 ; y (k2) 2 ::: (74) 13

14 jest aproksymacja zbioru wszystkich punktów minimalnych obrazu f(s). Uwagi. (a) Im wieksza jest liczba r wybrana w kroku 2, tzn. im wiecej jest punktów dyskretyzacji, tym dok adniejsza jest aproksymacja uzyskana w kroku 5. W przypadku, gdy rozwiazania zadań (70) nie sa jednoznaczne, zbiór (73) mo ze nie pokrywać (z dok adnościa odpowiednia do dyskretyzacji) ca ego zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto, ale mimo to zbiór (74) pokrywa z ta dok adnościa zbiór punktów minimalnych f(s). Tak wi ec, chocia z pewne punkty optymalne w sensie Pareto moga zostać pominiete, to jednak zbiór (73) pozwala na dokonanie wyboru spośród wszystkich interesujacych dla u zytkownika kombinacji wartości obu kryteriów optymalności. (b) W krokach 1 i 3 nale zy rozwiazać pewne zadania optymalizacji globalnej z pojedynczymi (skalarnymi) kryteriami optymalności. Istnienie rozwiazań tych zadań wynika z przyjetych za o zeń zwartości S i ciag ości f. Pewna przeszkoda mo ze być fakt, ze powszechnie stosowane metody optymalizacji wykorzystujace pochodne sa zbie zne do punktów krytycznych, które niekoniecznie sa rozwiaza- niami globalnymi (moga być lub nawet nie być rozwiazaniami lokalnymi). W aś- ciwym sposobem post epowania w tej sytuacji jest albo stosowanie specjalnych metod optymalizacji globalnej (metody takie istnieja, ale sa na ogó mniej znane), albo wykorzystanie szczególnych w asności zbioru S i funkcji f w konkretnym zadaniu, co wyjaśnimy za chwil e na przyk adzie modelu Markowitza. 9.1 Zastosowanie w analizie portfelowej Obecnie poka zemy, jak mo zna zastosować metod e Polaka do aproksymacji zbioru portfeli efektywnych w modelu podstawowym Markowitza (bez krótkiej sprzeda zy). Poniewa z w modelu tym minimalizujemy jedno kryterium (ryzyko) i maksymalizujemy drugie (oczekiwana stop e zysku), wi ec algorytm Polaka trzeba dostosować do tej sytuacji. Z drugiej strony, przyj ete za o zenia dotyczace modelu pozwalaja na uproszczenie algorytmu. B edziemy pos ugiwać si e oznaczeniami wprowadzonymi w cz. I wyk adu ( 29, 31, 38 i 39). W szczególności, odwzorowanie Markowitza określone wzorem M(u) := ((u); ER(u)) przekszta ca zbiór P m R m w przestrzeń R 2, której elementy b edziemy oznaczać (x; y). W tym przypadku zamiast relacji (62) rozwa zamy w R 2 relacje [(x; y) (^x; ^y)], [(x ^x) ^ (y ^y)]; (75) b ed ac a odpowiednikiem relacji Markowitza w zbiorze P m. Jednak w odró znieniu od relacji Markowitza, relacja (75) jest antysymetryczna, a wi ec wprowadza w R 2 cześciowy porzadek. Zatem zbiór M 1 (F) portfeli efektywnych jest równy zbiorowi punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania dwukryterialnego postaci (63), gdzie S = P m, a funkcja f : S! R 2 jest określona wzorem f(u) := ((u); ER(u)). Przedstawimy teraz mody kacj e algorytmu Polaka, która konstruuje dyskretna aproksymacj e zbioru F. 14

15 Krok 1. Wyznaczyć liczby a := ER(u); b := maxfer(u) : u 2 P m g; (76) gdzie u jest portfelem minimalnego ryzyka, tj. spe nia warunek (u) = minf(u) : u 2 P m g: (77) (jeśli takich portfeli jest wiecej ni z jeden, to jako u przyjmujemy ten, dla którego liczba a jest najwi eksza). Krok 2. Dla dowolnie wybranego r 2 N wyznaczyć punkty dyskretyzacji y (k) := a + k b a ; k = 0; 1; :::; r: (78) r Krok 3. Dla ka zdego punktu dyskretyzacji y (k) (k = 0; 1; :::; r) obliczyć rozwiazanie u (k) zadania optymalizacji z ograniczeniami 8 < (u)! min; u 2 P m ; (79) : ER(u) = y (k) ; czyli znaleźć portfel minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku y (k), po czym przyjać x (k) := (u (k) ); k = 0; 1; :::; r: (80) Zbiór skończony n u (0) ; u (1) ; :::; u (r)o (81) jest aproksymacja zbioru portfeli efektywnych M 1 (F) R m, a zbiór skończony n o (x (0) ; y (0) ); (x (1) ; y (1) ); :::; (x (r) ; y (r) ) (82) jest aproksymacja jego obrazu F R 2. Uwagi. (a) Ze Stwierdzenia 14, cz. I, wynika, ze przy za o zeniu dodatniej określoności macierzy kowariancji wektora stóp zysku, zadania optymalizacyjne (77) i (79) maja jednoznaczne rozwiazania, a zatem do ich pe nego rozwiazania wystarczy wyznaczenie minimów lokalnych. Podobnie, jeśli spe nione jest za- o zenie Stwierdzenia 16(c), cz. I (istnieje dok adnie jedno i 2 f1; :::; mg takie, ze i = y u ), to zadanie maksymalizacji wystepujace w (76) ma jednoznaczne rozwiazanie. (b) Ze Stwierdzenia 18(b), cz. I, oraz z zawartej w jego dowodzie uwagi, ze f min jest ściśle rosnaca na [y 0 ; y u ], wynika, ze x (0) < x (1) < ::: < x (r) ; (83) a zatem mo zna pominać krok 4 ogólnej wersji algorytmu. 15

16 10 Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych w analizie portfelowej 10.1 Relacje cz eściowo porzadkuj ace Niech F b edzie dowolnym zbiorem. Relacj e określona dla par elementów zbioru F nazywamy relacja cz eściowo porzadkuj ac a (zbiór F ), jeśli jest ona (a) zwrotna: 8x 2 F : x x, (b) antysymetryczna: 8x; y 2 F : (x y ^ y x) ) (x = y), (c) przechodnia: 8x; y; z 2 F : (x y ^ y z) ) (x z). Wówczas pare (F; ) nazywamy zbiorem cz eściowo uporzadkowanym. Relacje określona dla par elementów zbioru F nazywamy relacja ściśle cz eściowo porzadkuj ac a (zbiór F ), jeśli jest ona (a) przeciwzwrotna: 8x 2 F : x x, (b) przeciwsymetryczna: 8x; y 2 F : (x y) ) (y x), (c) przechodnia: 8x; y; z 2 F : (x y ^ y z) ) (x z). Uwaga. atwo sprawdzić, ze jeśli relacja jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna. Stwierdzenie 3. Je zeli jest relacja cz e sciowo porzadkuj ac a, to relacja okre slona wzorem (x y) :, (x y ^ x 6= y) (84) jest relacja scísle cz e sciowo porzadkuj ac a. Je zeli x; y 2 F i x y, to mówimy, ze x dominuje nad y. Dwa ró zne punkty x; y 2 F nazywamy porównywalnymi, je zeli x y albo y x. W przeciwnym przypadku punkty te nazywamy nieporównywalnymi, co oznaczamy x k y. Je zeli ka zda para ró znych punktów zbioru cz eściowo uporzadkowanego (F; ) jest porównywalna, to (F; ) nazywamy zbiorem liniowo uporzadkowanym lub ańcuchem. Je zeli ka zda para ró znych punktów zbioru cz eściowo uporzad- kowanego (F; ) jest nieporównywalna, to (F; ) nazywamy anty ańcuchem. Element x 2 F nazywamy elementem minimalnym zbioru cześciowo uporzadkowanego (F; ), je zeli nie istnieje takie x 2 F, ze x x. Zbiór wszystkich elementów minimalnych oznaczamy Min(F; ). Zbiór Min(F; ) nazywamy zupe nym, je zeli dla ka zdego x 2 F istnieje takie x 2 Min(F; ), ze x x. Stwierdzenie 4. (a) Min(F; ) jest anty ańcuchem. (b) Je zeli F jest skończony, to Min(F; ) jest zupe ny. Dowód. (a) Niech x; y 2 Min(F; ), x 6= y. Przypuśćmy, ze x i y sa porównywalne, np. x y. Jest to sprzeczne z za o zeniem, ze y jest elementem minimalnym zbioru cz eściowo uporzadkowanego (F; ). Zatem x k y, co dowodzi, ze Min(F; ) jest anty ańcuchem. Niech (F; ) b edzie zbiorem cześciowo uporzadkowanym, G dowolnym zbiorem i niech f : G! F. Dla ka zdego zbioru A G zbiór Min f (A; ) := fa 2 A : f(a) 2 Min(f(A); )g (85) 16

17 zawiera te elementy ze zbioru A, których obrazy sa elementami minimalnymi w przestrzeni obrazów f(a) = ff(a) : a 2 Ag Skończone ańcuchy Markowa Ciag zmiennych losowych fx t g t2n0 (gdzie N 0 := N [ f0g) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej (; F; P ), o wartościach w skończonym zbiorze S (przestrzeni stanów) nazywamy (skończonym) ańcuchem Markowa, je zeli dla ka zdego t 2 N i ka zdego ciagu s 0 ; s 1 ; :::; s t 2 S spe niony jest warunek P (X t = s t j X t 1 = s t 1 ; :::; X 1 = s 1 ; X 0 = s 0 ) = P (X t = s t j X t 1 = s t 1 ) ; (86) o ile P (X t 1 = s t 1 ; :::; X 1 = s 1 ; X 0 = s 0 ) > 0. Macierz P = [p ij ] i;j2s nazywamy macierza (wierszowo) stochastyczna, je zeli wszystkie jej wyrazy sa nieujemne oraz suma ka zdego wiersza wynosi 1: X p ij 0 (8i; j 2 S), p ij = 1 (8i 2 S): (87) Macierz stochastyczna (t) = [ ij (t)] i;j2s nazywamy macierza przejścia ańcucha Markowa fx t g t2n0 w t-tym kroku, t 1, je zeli j2s ij (t) = P (X t = jj X t 1 = i) (88) dla wszystkich j takich, ze P (X t 1 = j) > 0. Je zeli fx t g t2n0 jest ańcuchem Markowa, to rozk ad zmiennej losowej X 0 nazywamy rozk adem poczatkowym. ańcuch Markowa nazywamy jednorodnym (w czasie), gdy istnieje macierz = [ ij ] i;j2s b ed aca dla ka zdego t jego macierza przejścia w t-tym kroku. Wektor wierszowy w(t) = (w j (t)) j2s ; gdzie w j (t) := P (X t = j); (89) określa rozk ad prawdopodobieństwa ańcucha Markowa w kroku t 0. Stwierdzenie 5. Dla jednorodnego ańcucha Markowa, przy t 1 zachodza równo sci w(t) = w(t 1) = w(0) t : (90) Dowód. Oznaczajac j-ta wspó rzedna wektora w(t 1) przez (w(t 1)) j oraz uwzgl edniajac (88) i (89), otrzymujemy (w(t 1)) j = X i2s w i (t 1) ij = X i2s P (X t 1 = i)p (X t = jj X t 1 = i) = X i2s P (X t = j ^ X t 1 = i) = P (X t = j) = w j (t); 17

18 co dowodzi pierwszej równości w (90). Druga równość otrzymujemy z pierwszej przez indukcj e. Z (90) wynika, ze jednorodny ańcuch Markowa jest ca kowicie wyznaczony przez swój rozk ad poczatkowy i macierz przejścia. Macierz stochastyczna nazywamy nieredukowalna, je zeli 8i; j 2 S; 9t 2 N : (t) ij > 0; gdzie t = [ (t) ij ] i;j2s: (91) Twierdzenie 3. Jednorodny skończony ańcuch Markowa z nieredukowalna macierza przej scia odwiedza ka zdy stan nieskończenie wiele razy z prawdopodobieństwem 1, niezale znie od rozk adu poczatkowego Odleg ość mi edzy podzbiorami zbioru skończonego Stwierdzenie 6. Je zeli G jest zbiorem skończonym, to funkcja d(a; B) := ja [ Bj ja \ Bj dla A; B G; (92) gdzie jj oznacza liczb e elementów zbioru, jest metryka w 2 G. Dowód. Niech G = fg 1 ; g 2 ; :::; g N g i niech a = (a 1 ; a 2 ; :::; a N ) b edzie wektorem wskaźnikowym zbioru A, tzn. 1; je zeli gi 2 A; a i := 0; je zeli g i =2 A (podobnie dla zbioru B). Poniewa z wiec NX NX ja \ Bj = a i b i oraz ja [ Bj = (a i + b i a i b i ); d(a; B) = = = NX (a i 2a i b i + b i ) NX [(1 b i )a i + (1 a i )b i ] NX ja i b i j = ka bk 1 : Wykazaliśmy w ten sposób, ze d(a; B) jest równe tzw. odleg ości Hamminga pomiedzy wektorami a i b, która, co atwo sprawdzić, jest metryka Wprowadzenie do algorytmów genetycznych Algorytmy genetyczne naśladuja procesy ewolucyjne obserwowane w przyrodzie. Konstrukcja tych algorytmów opiera sie na sa dwóch za o zeniach przyj etych w teorii ewolucji: 18

19 1. W procesie rozmna zania si e zywych organizmów nast epuje wymiana informacji genetycznych. 2. Od czasu do czasu, w wyniku zachodzacych mutacji, pojawiaja sie w przyrodzie zywe organizmy o cechach genetycznych istotnie ró znych od cech pozosta ych ( zyjacych wcześniej) organizmów. W klasycznym algorytmie genetycznym (zwanym tak ze prostym algorytmem genetycznym) osobniki (chromosomy) zakodowane sa w postaci ańcuchów binarnych (tj. skończonych ciagów o ustalonej d ugości z o zonych z zer i jedynek). Wiadomo, ze w komputerze mo zna reprezentować tylko skończony podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Zatem algorytm genetyczny zawsze dzia a na pewnym skończonym zbiorze osobników, zwanym przestrzenia poszukiwań, który oznaczamy symbolem. Zak adamy, ze na jest określona funkcja przystosowania f :! R spe niajaca warunek f(x) > 0 dla ka zdego x 2 C: (93) Jeśli warunek (93) nie jest spe niony, a funkcja f jest ograniczona z do u, to spe nienie tego za o zenia mo zna osiagn ać dodajac do f pewna sta a. W przypadku zadania minimalizacji mo zna jako funkcj e przystosowania wziać f (z dodana ewentualnie pewna sta a). Parametrami algorytmu sa prawdopodobieństwo krzy zowania p c oraz prawdopodobieństwo mutacji p m, b edace liczbami z przedzia u [0; 1]. Poczatkow a populacj e r osobników tworzymy w sposób losowy, tzn. losujemy kolejne bity kolejnych osobników. Osobniki (chromosomy) znajdujace sie w aktualnej populacji oznaczamy v 1 ; v 2 ; :::; v r. Kolejne kroki klasycznego algorytmu genetycznego przedstawiaja sie nastepujaco (por. Z. Michalewicz, Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, Springer-Verlag, Berlin, 1992, str ). 1. (ocena populacji) Wyznaczyć wartości funkcji przystosowania dla wszystkich chromosomów: eval(v j ) := f(v j ); j = 1; :::; r: (94) 2. Obliczyć ca kowite przystosowanie populacji, wyra zajace sie wzorem: F := rx eval(v j ): (95) j=1 3. Obliczyć prawdopodobieństwo wyboru p j dla ka zdego chromosomu v j (j = 1; :::; r) ze wzoru: p j := eval(v j) : (96) F 19

20 4. Obliczyć prawdopodobieństwo skumulowane q j dla ka zdego chromosomu v j (j = 1; :::; r) ze wzoru: jx q j := p l : (97) 5. (proces selekcji polegajacy na r-krotnym uruchomieniu ko a ruletki ) Wykonać r razy nastepujace czynności: (a) Wygenerować losowa liczb e zmiennopozycyjna z 2 [0; 1]. (b). Jeśli z q 1, to wybrać pierwszy chromosom v 1. W przeciwnym razie, jeśli q j 1 < z q j, przy czym 2 j r, to wybrać chromosom v j. [Uwaga. Prawdopodobieństwo wyboru osobnika jest proporcjonalne do jego przystosowania. Te same osobniki moga być wybierane wielokrotnie. Otrzymana w ten sposób populacje nazywamy populacja po srednia.] 6. (wybór chromosomów do krzy zowania) Dla ka zdego chromosomu z populacji pośredniej wykonać nast epujace czynności: (a) Wygenerować losowa liczb e zmiennopozycyjna z 2 [0; 1]. (b) Jeśli z p c, to wybrać dany chromosom do krzy zowania. [Uwaga. Oczekiwana ilość chromosomów wybranych w ten sposób wynosi rp c.] 7. Jeśli ilość chromosomów wybranych w kroku 6 jest parzysta, to po aczyć je losowo w pary. W przeciwnym razie do aczyć losowo jeden chromosom do grupy wybranych lub usunać losowo jeden chromosom. 8. (krzy zowanie) Dla ka zdej pary chromosomów otrzymanej w kroku 7 wygenerować losowa liczb e ca kowita s 2 f1; ::m 1g. Liczba ta wskazuje pozycj e punktu krzy zowania. Nast epnie wykonać krzy zowanie zgodnie z regu a: (a 1 :::a s a s+1 :::a m )! (a 1:::a s b s+1 :::b m ) (98) (b 1 :::b s b s+1 :::b m ) (b 1 :::b s a s+1 :::a m ) 9. (mutacja) Dla ka zdego chromosomu w aktualnej populacji po krzy zowaniu i dla ka zdego bitu w chromosomie wykonać nastepujace czynności: (a) Wygenerować losowa liczb e zmiennopozycyjna z 2 [0; 1]. (b) jeśli z p m, to zmutować dany bit (tzn. zmienić 0 na 1 lub odwrotnie). [Uwaga. Oczekiwana ilość zmutowanych bitów w pojedynczym chromosomie wynosi rmp m.] 10. Jeśli nie jest spe nione kryterium zatrzymania, to przejść do kroku 1. [Uwaga. Kryterium zatrzymania mo ze mieć ró zne formy, np. mo ze być to ustalona z góry ilość iteracji albo pewne kryterium probabilistyczne.] l= Algorytm van Veldhuizena Niech G b edzie skończona przestrzenia poszukiwań i niech f : G! F b edzie minimalizowana funkcja, przy czym F = ff(x) : x 2 Gg oraz (F; ) jest zbiorem cz eściowo uporzadkowanym. Celem poszukiwania ewolucyjnego jest wykrycie 20

21 mo zliwie najwi ekszej ilości elementów zbioru Min(F; ). Zak ada si e, ze przedstawiony poni zej algorytm zawiera procedur e o nazwie nowa_populacja, która przekszta ca skończony podzbiór zbioru G w inny jego skończony podzbiór. Procedura ta mo ze być niedeterministyczna i mo ze wykorzystywać operatory genetyczne (jak krzy zowanie i mutacja), a tak ze selekcj e pewnych elementów na podstawie wartości funkcji f osiaganych na tych elementach. Algorytm VV Wybrać losowo populacj e poczatkow a B 0 2 G n A 0 := Min f (B 0 ; ) t := 0 repeat B t+1 := nowa_populacja (B t ) A t+1 := Min f (A t [ B t+1 ; ) t t + 1 until (warunek zatrzymania) Niech Z; Z 0 ; Z 1 ; ::: b eda zmiennymi losowymi o wartościach rzeczywistych określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej (; F; P ). Mówimy, ze ciag fz t g t2n0 jest zbie zny z prawdopodobieństwem 1 do zmiennej losowej Z, je zeli n o P lim jz t Zj = 0 = 1: (99) t!1 Sformu ujemy teraz twierdzenie o zbie zności algorytmu VV. Twierdzenie 4. Niech F := Min(F; ). Je zeli ciag fb t g t2n0 jest jednorodnym skończonym ańcuchem Markowa z nieredukowalna macierza przej scia, to d(f(a t ); F )! 0 z prawdopodobieństwem jeden przy t! Algorytm Agapie i Rudolpha Algorytm VV ma te wade, ze rozmiar zbiorów A t rośnie wraz z t a z do osiagni ecia rozmiaru zbioru wszystkich elementów minimalnych. Jeśli ten ostatni rozmiar jest bardzo du zy, to algorytmu VV nie daje si e stosować w praktyce. Poni zej przedstawimy mody kacj e algorytmu VV pozbawiona tej wady. Tutaj r = jb t j jest sta ym rozmiarem populacji, a m oznacza maksymalny rozmiar zbiorów A t, przy czym m r. Funkcja draw(k; C) zwraca zbiór co najwy zej k ró znych elementów zbioru C, wylosowanych dowolna metoda. Algorytm AR. Wybrać losowo populacj e poczatkow a B 0 2 G r A 0 := Min f (B 0 ; ) t := 0 repeat B t+1 := nowa_populacja (B t ) Bt+1 := Min f (B t+1 ; ) C t := ; for_each b 2 Bt+1 do D b := fa 2 A t : f(b) f(a)g if D b 6= ; then A t (A t nd b ) [ fbg 21

22 if 8a 2 A t : f(a) k f(b) then C t C t [ fbg end_for k := minfm ja t j ; jc t jg A t+1 := A t [ draw(k; C t ) t t + 1 until (warunek zatrzymania) Dla dowolnych zbiorów skończonych A; B F de niujemy funkcj e B (A) := jaj ja \ Bj : Funkcja ta podaje ilość tych elementów zbioru A, które nie nale z a do B. Podane poni zej twierdzenie o zbie zności algorytmu AR wykorzystuje t e funkcj e. Twierdzenie 5. Niech F := Min(F; ). Je zeli ciag fb t g t2n0 jest jednorodnym skończonym ańcuchem Markowa z nieredukowalna macierza przej scia, to F (f(a t ))! 0 oraz ja t j! min fm; jf jg z prawdopodobieństwem jeden przy t! Wartość zagro zona Wartość zagro zona jest jedna z miar ryzyka portfela inwestycyjnego. Dla zmiennej losowej X :! R na przestrzeni probabilistycznej (; F; P ) de niujemy wartość zagro zona (value at risk) na poziomie 2 (0; 1) nastepujaco: VaR (X) := inffm 2 R : P (X + m < 0) g: (100) Interpretacja tego wzoru jest nast epujaca: je zeli X jest wartościa zysku z portfela inwestycyjnego (nie stopa zysku, ale wartościa bezwzgledna zysku, tj. ró znica K k K p miedzy kapita em końcowym a poczatkowym), a ma a liczba, to VaR (X) jest najmniejsza wielkościa dodatkowego kapita u, jaki musimy przyjać jako zabezpieczenie tego portfela, aby mieć zagwarantowane z prawdopodobieństwem 1, ze zabezpieczenie pokryje nam strat e (tzn. strata z portfela, równa X, nie przekroczy m). Liczb e nazywamy poziomem tolerancji, a liczb e 1 poziomem ufności. Inaczej mówiac, VaR jest to najmniejsza strata wartości taka, ze prawdopodobieństwo jej przekroczenia w danym okresie jest nie wi eksze ni z zadany poziom tolerancji. Przyk ad 2. (przybli zone wyznaczanie VaR na podstawie danych historycznych). Za ó zmy, ze inwestor posiada $ zainwestowane w fundusz indeksu S&P 500, zatem jego zyski b eda zyskami tego funduszu. Potrzebne jest oszacowanie VaR dla okresu 24 godzin i poziomu ufności 95% (tzn. dla = 0; 05). Do oszacowania VaR u zyto 1000 codziennych notowań stopy zysku indeksu S&P 500 dla okresu kończacego si e r. Poniewa z 5% z liczby 1000 wynosi 50, wiec do przybli zenia liczby VaR 0;05 mo ze pos u zyć 50-ta od do u dzienna stopa zysku, która wynosi 0; Inaczej mówiac, dzienna stopa zysku 0; 0227 lub mniejsza wystapi a w 5% przypadków w danych historycznych, zatem mo zemy oszacować, ze jest szansa 5% na zysk tej wielkości lub mniejszy w ciagu nastepnej doby. Zysk o stopie 0; 0227 z kapita u

23 $ daje ujemny dochód 454 $, zatem oszacowana wartość zagro zona wynosi VaR 0;05 = 454 $. Ogólnie, VaR przybli za sie poprzez dolny -kwantyl z próby danych historycznych. Za ó zmy, ze próba ta sk ada sie z n notowań stóp zysku R 1 ; :::; R n. Niech k b edzie liczba n zaokraglon a do najbli zszej liczby naturalnej. Uporzad- kujmy liczby R 1 ; :::; R n w kolejności rosnacej: R 1:n R 2:n ::: R n:n : (101) Wówczas dolnym -kwantylem z próby (R 1 ; :::; R n ) nazywamy k-ty najmniejszy zysk, czyli R k:n. Liczb e te nazywamy tak ze statystyka porzadkow a k-tego rz edu z próby (R 1 ; :::; R n ) i oznaczamy R (k). Wówczas, jeśli S jest zainwestowanym kapita em poczatkowym, to VaR = S R (k) : (102) Przyk ad 3. Dwie korporacje C 1 i C 2 sprzedaja obligacje. Dla ka zdej z tych korporacji prawdopodobieństwo jej bankructwa w rozpatrywanym okresie wynosi 0; 04. Bankructwo jednej korporacji jest niezale zne od bankructwa drugiej. Stopa zysku z inwestycji w obligacje korporacji C i wynosi 0; gdy Ci nie zbankrutuje, R i = 1; gdy C i zbankrutuje. W drugim przypadku tracimy ca a zainwestowana kwote (jest to model uproszczony, nie uwzgl edniajacy dochodu z odsetek z obligacji). Niech Y b edzie zmienna losowa, której wartościa jest ilość korporacji, które zbankrutowa y w rozwa zanym okresie. Dla wyznaczenia rozk adu tej zmiennej pos u zymy si e schematem Bernoulliego przy n = 2 (liczba prób) z prawdopodobieństwami sukcesu (bankructwo) p = 0; 04 i pora zki (brak bankructwa) q = 0; 96: 2 P (Y = 0) = (0; 04) 0 (0; 96) 2 = 0; 9216; 0 2 P (Y = 1) = (0; 04) 1 (0; 96) 1 = 0; 0768; 1 2 P (Y = 2) = (0; 04) 2 (0; 96) 0 = 0; 0016: 2 Niech P i b edzie portfelem obligacji korporacji C i o wartości poczatkowej 1000 $ (i = 1; 2). Za ó zmy, ze wymagany poziom tolerancji wynosi = 0; 05. Wyka zemy, ze VaR (P 1 + P 2 ) = 1000: (103) Istotnie, niech X b edzie zyskiem z portfela P 1 + P 2. Dla m = 1000, mamy P (X < 0) = P (X < 1000) = P (Y = 2) = 0; 0016 < : 23

24 Natomiast dla dowolnej wartości m < 1000 mamy P (X + m < 0) = P (X < m) = P (Y = 1) + P (Y = 2) = 0; ; 0016 = 0; 0784 > : Stad na podstawie (100) otrzymujemy (103). Tymczasem VaR (P i ) = 0, i = 1; 2; (104) poniewa z prawdopodobieństwo bankructwa pojedynczej korporacji jest mniejsze od. Z równości (103) i (104) otrzymujemy VaR (P 1 + P 2 ) > VaR (P 1 ) + VaR (P 2 ); (105) co dowodzi, ze funkcja VaR nie jest subaddytywna. Subaddytywność mia aby miejsce, gdyby w warunku (105) zachodzi a nierówność. Subaddytywność jest w asnościa, która umo zliwia decentralizacj e zarzadzania ryzykiem: np. jeśli poszczególne sk adniki portfela inwestycyjnego sa zarzadzane przez ró zne oddzia y tego samego banku, to mamy gwarancj e, ze ryzyko ca ego portfela nie przekroczy sumy ryzyk poszczególnych sk adników Problem wielokryterialny zwiazany z ryzykiem banku Informacje zawarte w tym podrozdziale pochodza z pracy: F. Schlottmann, A. Mitschele, D. Seese, A multi-objective approach to integrated risk management, EMO 2005, LNCS 3410 (2005), Rodzaje ryzyka, z którym ma do czynienia bank: 1. Ryzyko rynkowe, wynikajace z ruchu cen instrumentów nansowych, np. zmian stopy procentowej, cen akcji lub kursów walut. Charakteryzuje si e krótkim horyzontem czasowym (np. 1 dzień). 2. Ryzyko kredytowe ryzyko utraty dochodów przez bank z powodu niewyp acalności d u zników ( rm lub osób prywatnych zaciagaj acych kredyty). Charakteryzuje si e d ugim horyzontem czasowym (np. 1 rok). 3. Ryzyko operacyjne ryzyko strat wywo anych niew aściwymi procedurami stosowanymi przez bank, b edami ludzi i systemów informatycznych oraz zewn etrznymi przypadkami losowymi. Powszechnie stosowana miara dwóch pierwszych rodzajów ryzyka jest Valueat-Risk (wartość zagro zona ryzykiem), zde niowana nast epujaco. Niech L b edzie zmienna losowa wyra zajac a mo zliwa strat e dla portfela inwestycji - nansowych. Dla danego poziomu ufności 2 (0; 1), wartościa VaR portfela jest najmniejsza liczba l taka, ze prawdopodobieństwo, i z strata L przekroczy l jest nie wieksze ni z 1 : VaR := inffl 2 R : P (L > l) 1 g: (106) Sformu owanie problemu. Rozwa zamy przestrzeń poszukiwań (tzw. uniwersum) z o zona z n 2 N mo zliwości inwestowania (sa to instrumenty nansowe 24

25 lub ich klasy). Ka zdy portfel sk adajacy si e z podzbioru tych mo zliwości jest reprezentowany przez wektor n-wymiarowy spe niajacy warunki x = (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (107) x i 2 [0; 1] (8i 2 f1; :::; ng); nx x i = 1: (108) Ka zda zmienna decyzyjna x i reprezentuje udzia procentowy aktualnego kapita u banku, który jest inwestowany w instrument nansowy i. W rozwa zanym problemie wielokryterialnym wyst epuja 4 kryteria optymalności (funkcje celu): 1. Oczekiwana stopa zysku portfela, dana wzorem ret(x) := nx x i r i ; (109) gdzie r i jest oczekiwana stopa zysku z inwestycji w instrument i. 2. Ryzyko rynkowe portfela (Market Value at Risk): mr(x) := MVaR(x): (110) 3. Ryzyko kredytowe portfela (Credit Value at Risk): 4. Ryzyko operacyjne cr(x) := CVaR(x): (111) or(x) := nx x i i ; (112) gdzie i jest wartościa specy czna dla danego rodzaju inwestycji. Kryterium 1 jest maksymalizowane, podczas gdy kryteria 2 4 sa minimalizowane. Do rozwiazania tego problemu zastosowano algorytm opisany w nastepnym podrozdziale Algorytm genetyczny NSGA-II Pe na nazwa tego algorytmu to Nondominated Sorting Genetic Algorithm II. Autorami sa K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal i T. Meyarivan (2000 r.) Celem algorytmu jest rozwiazanie zadania optymalizacji wielokryterialnej (63). Algorytm mo zna podzielić na kilka procedur, które opiszemy oddzielnie. Procedura szybkiego niezdominowanego sortowania populacji Procedura FNDS(P ) (skrót pochodzi od Fast NonDominated Sorting) sortuje skończony (cz eściowo uporzadkowany przez relacj e ) zbiór elementów, przydzielajac elementy do kolejnych niezdominowanych frontów F i, i = 1; 2; ::: Do pierwszego frontu F 1 zalicza sie niezdominowane elementy zbioru P 25

26 otrzymuja one rang e (ang. rank) równa 1. Do drugiego frontu F 2 zalicza sie niezdominowane elementy zbioru P nf 1 otrzymuja one range 2, itd. Dla ka zdego elementu p 2 P procedura oblicza: 1) licznik niezdominowania n p ilość elementów zbioru P, które dominuja nad p; 2) zbiór S p z o zony z elementów zbioru P zdominowanych przez p. Opis procedury FNDS(P ): F 1 := ; dla ka zdego p 2 P S p := ;, n p := 0 dla ka zdego q 2 P je zeli p q to S p := S p [ fqg w przeciwnym przypadku je zeli q p to n p := n p + 1 je zeli n p = 0 to p rank := 1, F 1 := F 1 [ fpg i := 1 je zeli F i 6= ; to Q := ; dla ka zdego p 2 F i dla ka zdego q 2 S p n q := n q 1 je zeli n q = 0 to q rank := i + 1, Q := Q [ fqg i := i + 1, F i := Q Procedura przypisywania odleg ości st oczenia Aby otrzymać oszacowanie g estości rozwiazań nale z acych do danego niezdominowanego frontu (w pobli zu ustalonego rozwiazania), oblicza si e tzw. odleg ość st oczenia (crowding distance) dla danego rozwiazania. Jest to odleg ość punktów sasiednich, po o zonych najbli zej danego rozwiazania. Odleg ość ta jest wyra zona jako suma odleg ości liczonych wzd u z poszczególnych osi wspó rz ednych w przestrzeni obrazów. Odleg ość wzd u z m-tej osi jest proporcjonalna do ró znicy wartości m-tego kryterium optymalności. Procedura CDA(F ) (Crowding Distance Assignment) oblicza wspomniane odleg ości dla wszystkich elementów danego frontu F. Celem jest eliminacja niektórych rozwiazań nale z a- cych do F, po o zonych tam, gdzie sa one bardziej zageszczone. W zwiazku z tym rozwiazania o wy zszej wartości odleg ości st oczenia maja wieksze prawdopodobieństwo przejścia do nast epnej populacji. Rozwiazania krańcowe (tj. pierwsze i ostatnie w sensie ustalonego kryterium) otrzymuja odleg ość +1 po to, aby by y zawsze wybierane. Opis procedury CDA(F ): l := jf j (ilość elementów zbioru F ) dla ka zdego i 2 f1; :::; lg F [i] dist := 0 (inicjalizacja odleg ości) dla ka zdego kryterium m 2 f1; :::; pg F := Sort(F; m) (sortowanie w kolejności rosnacych wartości f m ) F [1] dist = F [l] dist := +1 dla ka zdego i 2 f2; :::; l 1g 26

27 F [i] dist := F [i] dist + f m(f [i + 1]) f m (F [i 1]) f m (F [l]) f m (F [1]) Procedura tworzenia nowej populacji Procedura MNP(P ) (Make New Population) tworzy nowa populacje Q (o tym samym rozmiarze N) z populacji P, u zywajac operacji selekcji turniejowej, krzy zowania i mutacji. Krzy zowanie i mutacja dzia aj a tak samo jak w klasycznym algorytmie genetycznym (pe ny opis znajduje si e w cz eści 1 mojego wyk adu z algorytmów genetycznych). Selekcja turniejowa dzia a nast epujaco. Za ó zmy, ze ka zdy element i populacji P posiada dwa atrybuty: 1) range niezdominowania i rank 2) odleg ość st oczenia i dist Wówczas de niujemy relacje nastepujaco: i j, (i rank < j rank ) _ [(i rank = j rank ) ^ (i dist > j dist )] Selekcja turniejowa polega na wylosowaniu dwóch elementów i; j 2 P i porównaniu ich za pomoca relacji. Jeśli i j, to element i wygrywa turniej i przechodzi do populacji pośredniej, która nast epnie poddawana jest krzy zowaniu i mutacji. Jeśli relacja zachodzi w druga stron e, to turniej wygrywa element j. Jeśli relacja nie zachodzi w zadna strone (tzn. elementy sa nieporównywalne), to zwyci ezca turnieju jest losowany. Proces selekcji powtarzamy tak d ugo, a z wype ni si e populacja pośrednia. Opis algorytmu NSGA-II 1. t := 0 2. R t := P t [ Q t 3. F := FNDS(R t ) (F = (F 1 ; F 2 ; :::)) 4. P t+1 := ;, i := 1 5. je zeli jp t+1 j + jf i j < N to CDA(F i ) P t+1 := P t+1 [ F i, i := i F i := Sort(F i ; ) (sortowanie w kolejności malejacej wed ug ) 7. P t+1 := P t+1 [F i [1 : (N jp t+1 j)] (do aczenie pierwszych (N jp t+1 j) elementów F i ) 8. Q t+1 :=MNP(P t+1 ), t := t Jeśli nie jest spe nione kryterium zatrzymania, to przejść do kroku 2. Uwaga. Dla t = 0 krok 2 wykonywany jest nastepujaco. Najpierw tworzona jest losowo poczatkowa populacja rodziców P 0. Nastepnie jest ona sortowana pod wzgledem niezdominowania (tzn. wykonuje sie procedure FNDS(P 0 )). Później generuje sie populacje potomków Q 0 za pomoca selekcji turniejowej. W odró znieniu od nast epnych kroków, tutaj przy selekcji turniejowej wykorzystuje si e tylko rang e niezdominowania, poniewa z odleg ości st oczenia nie sa jeszcze wyznaczone. 27