INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO

Transkrypt

1 INSTYTUT BADAŃ SYSTEMOWYCH POLSKA AKADEMIA NAUK INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO GENERATOR NOMOGRAMÓW STRESCENIE ROPRAWY DOKTORSKIEJ BOGUMIŁ FIKSAK PROMOTOR: DR HAB INŻ MACIEJ KRAWCAK, PROF PAN WARSAWA 0

2 Wprowadenie Nomogramy ilustruą graficnie następuącą ależność funkcyną daną w postaci analitycne: ( u, v, w 0, u, v, w są licbamirecywistymi F = ( Ciekawym agadnieniem est generowanie nomogramów, eżeli ależność ( nie est nana w postaci analitycne, a edynie dostępne są dane tabelarycne W poniżse tabeli predstawiono prykładowe dane dla trech miennych: Lp u v w u v w u v w M M M M N u n v n w n W celu skonstruowania nomogramów kolineacynych predstawiaących ukryte ależności w danych tabelarycnych wykorystana ostała idea wielowarstwowych stucnych sieci neuronowych Opracowano nową architekturę sieci neuronowych składaącą się tw elementarnych sieci neuronowych połąconych więami dynamicnymi Otrymano sieć neuronową, która ma tyle weść aka est wymiarowość roważanego problemu, a w asadie punktu widenia teorii systemów sieć ta nie ma wyść Stucną sieć neuronową do generowania nomogramów kolineacynych nawano incydencyną siecią neuronową Do ucenia incydencynych sieci neuronowych opracowano kilka algorytmów ucenia Wykorystuąc opracowane algorytmy ucenia rowiąano kilka nietrywialnych praktycnych prykładów ilustruących poprawność ałożonych celów w roprawie, ak i efektywność opracowanych algorytmów i programów komputerowych Poęcie incydenci est następuące: punkt est incydentny do proste, gdy leży na te proste lub prosta prechodi pre punkt; podobnie punkt est incydentny do płascyny, eżeli leży na te płascyźnie Nowa architektura sieci neuronowych polega na połąceniu tylu wielowarstwowych sieci neuronowych aki est wymiar problemu, tn każda wielowarstwowa sieć neuronowa odworowue eden wymiar roważane prestreni Poedynce sieci elementarne są łącone w układy a pomocą odworowania wanego równaniem Soreau (Mihoc, 009; Wotowic, 960 Równanie Soreau właśnie opisue własność incydenci Sama metodyka łącenia poedyncych modeli a pomocą rachunku macierowego ostała pretestowana pre autora w pracy magisterskie (Fiksak, 988 Wskaana ostanie również analia i syntea nomogramów kolineacynych oparta na geometrii analitycne Roważania predstawione w roprawie są inne niż dotychcas predstawiane w literature predmiotu, ednoceśnie otrymano nowy roda nomogramów kolineacynych dla problemów więce niż trywymiarowych Nomogramy Oblicenia np w nawigaci, astronomii, geodei stawiały pred nasymi prodkami poważne wywania, które rowiąywane były metodami geometrycnymi, np egary słonecne cy też astrolabia Stosowanie metod geometrycnych powodowało, że opracowywane i konstruowane pryrądy pomiarowe ewoluowały w kierunku specaliowanych graficnych kalkulatorów

3 Jako pierwse należy wymienić prace skockiego matematyka Johna Napiera, który w 6 r wprowadił poęcie logarytmów, cyli sposobu budowy tablic umożliwiaących mnożenie licb a pomocą dodawania innych licb, a tym samym wprowadił logarytmicną skalę funkcyną Kilka lat późnie ostała opracowana skala Guntera ( wana także liniką Guntera, na ceść angielskiego matematyka Edmunda Guntera, cyli roległa siatka logarytmicna umożliwiaąca mnożenie i dielenie licb (Conway, 999; Teresi, 00 Skala Guntera ainspirowała innego angielskiego matematyka Williama Oughtreda, który w 6 r opracował kołowy, a rok późnie liniowy suwak logarytmicny Wcesna forma suwaka logarytmicnego to dwie identycne skale logarytmicne (kołowe lub liniowe ustawiane obok siebie w celu wykonywania diałania mnożenia lub dielenia (Stein, 997; Teresi, 00 Opublikowanie pre Rene Descartesa pracy La géométrie w 67 r (Penrose, 006 apocątkowało proces arytmetyaci geometrii, a karteański układ współrędnych bliżył metody geometrycne do obliceń algebraicnych i apocątkował rowó geometrii analitycne Pochodący od Karteusa tw wykres drabinkowy (Empacher, 96, lub drabinka funkcyna (Konorski i Krysicki, 97 repreentue skalę funkcyną, cyli po prostu odcinek skali modułami (w scególnym prypadku równymi tworącymi podiałkę; albo naniesionymi dwiema podiałkami różnymi modułami Takie podwóne drabinki predstawiaą określone ależności funkcyne, mianowicie takie, które tworą funkce odwracalne Skale funkcyne są powsechnie stosowane: wyskalowany termometr, cyferblat egara, cy podiałka strykawki są naprostsymi prykładami Główną aletą skal funkcynych est łatwość odcytu, natomiast wadą est awyca kilkuprocentowa dokładność odcytu Jednakże, dalse prace były prowadone w kierunku wprowadenia nieliniowych skal funkcynych (prede wsystkim pre francuskich inżynierów-matematyków Napierw, Louis Pouchet w 795 r (Evesham, 00 opracował wykresy (ako połącone dwie skale funkcyne do amiany ednostek długości (osobno dla ednostek wagi otrymane wykresy były podobne do późniesych nomogramów siatkowych Podobne prace kontynuował Leon Lalanne, który pre wprowadenie nieednorodnych skal funkcynych na osiach współrędnych uyskiwał tw rektyfikacę wykresu (Lalanne, 8, cyli taką kalibracę wykresu, która prostowała krywe i powalała otrymywać wykresy ależności funkcynych w postaci linii prostych, casami takie prekstałcenie ależności funkcynych naywane est anamorfoą krywych (Evesham, 00 Powsechnie, a twórcę nomografii uważa się francuskiego inżyniera i matematyka Maurycego d'ocagne a (885, który w latach opublikował sereg prac teorii tw wykresów rachunkowych, i które ich twórca nawał właśnie nomogramami w pracy Trait e de nomographie 889 r Opracowane w 885 r pre d Ocagne nomogramy kolineacyne okaały się prełomem w geometrycnym rowiąywaniu ależności algebraicnych Od tego momentu można auważyć powsechne stosowanie nomogramów w wielu astosowaniach Sama nawa nomogramu pochodi od dwóch słów greckich, mianowicie nomos nacy prawo, aś gramma apis, aś nawa nomografia uż w 890 r ostała pryęta na paryskim kongresie matematycnym ako nawa diału matematyki Od końca diewiętnastego wieku nomogramy stały się nie tylko popularnym narędiem do graficnego rowiąywania wielowymiarowych ależności funkcynych, ale także inspiracą do dalsego rowou matematyki i innych nauk Nomogramami interesowali się nawięksi matematycy, np w Polsce nane są prace Hugona Steinhausa (99, 958 dotycące skal funkcynych i nomogramów Natomiast w 900 r na Międynarodowym Kongresie

4 Matematyków w Paryżu, David Hilbert predstawił agadnienia matematycne dotycące podstawowych (według Hilberta kierunków badań matematycnych, ważnych do rowiąania w XX wieku Wśród tych agadnień był tw Problem Hilberta, który stanowi podstawy teoretycne funkconowania wielowarstwowych stucnych sieci neuronowych (Cybenko, 889; Kurkova, 99 W Problemie, Hilbert postawił następuące pytanie dotycące warunków nomogramowalności funkci (Arnold, 957a; 957b; 959: Wykaać, że nie est możliwe naleienie ogólnego rowiąania następuącego równania siódmego stopnia a pomocą ciągłych funkci dwóch miennych Problem ten był preentowany w kontekście nomografii, a w scególności konstruowania nomogramów Problem Hilberta ostał rowiąany wspólnie pre Arnolda i Kolmogorova, co dało teoretycne podstawy repreentowania funkci ciągłych wielu miennych pre sumowanie funkci ciągłych dwóch miennych, a tym samym do konstruowania nomogramów Warto esce auważyć, że obecnie bardo dużą popularnością ciesą się tw współrędne równoległe ako sposób wiualiaci prestreni wielowymiarowe na płascyźnie ora do analiy wielowymiarowych danych (Inselberg, 009 Współrędne równoległe astały wprowadone w nomogramach kolineacynych pre d Ocagne a (885, natomiast w literature dotycące wiualiaci danych uważa się, że współrędne równolegle wprowadił nieależnie A Inselberg w 959 r Nomogramy kolineacyne Nomogramy, w których odcyt następue na proste, a więc takie, w których punkty spełniaące dane równanie są współliniowe, naywamy nomogramami kolineacynymi Kreślenie i korystanie nomogramów innych niż kolineacyne est kłopotliwe, nomogramy kolineacyne łatwie się konstruue i łatwie nich korysta Łatwie to nie nacy prosto twierdenia Kołmogorova (Kołgomorov, 957 o superpoyci wynika, że dla ciągłe funkci wielowymiarowe awse można naleźć nomogram kolineacyny, twierdenie to nie wskaue ednak sposobu konstrukci nomogramów Bepośrednie astosowanie twierdenia Kołmogorova cęsto powodue, że licba osi funkcynych est nacnie więksa niż suma licby miennych nieależnych i ależnych Podstawowy wniosek wynikaący twierdenia Kołmogorova o superpoyci (Kołgomorov, 957 brmi: Nomogram kolineacyny to superpoyca funkci ednowymiarowych repreentuących osie funkcyne W nomogramie kolineacynym każda oś funkcyna repreentue edną funkcę ednowymiarową, na które anacone są cechy analogicnie ak w układie karteańskim Nic natomiast nie akładamy o tym, że osie są kawałkami prostych lub linii krywych i cy cechy są równomiernie na tych osiach umiescone Predstawimy tera nowy sposób dochodenia do konstruowania nomogramów kolineacynych Roważamy ależność funkcyną łącącą e sobą try mienne,, (, 0 F (, = Predstawiaąc graficnie ależność ( mienne recywiste,, są utożsamiane e współrędnymi akładaąc, że mienne,, są roważane w klasycnym karteańskim układie współrędnych to awna postać ależności = f (, predstawia powierchnię lub krywą

5 Stosuąc asady geometrii analitycne, a właściwie e cęści wane geometrią rutową, możemy uyskać różne konfigurace waemnego położenia osi współrędnych Układ osi współrędnych karteańskich może być transformowany do układu współrędnych równoległych Na Rys predstawiono prostokątny układ współrędnych karteańskich anaconymi współrędnymi poedyncego punktu X (,, Układ współrędnych równoległych można wprowadić arbitralnie popre ropięcie punktu (0, 0, 0 układu karteańskiego i ustawienie pionowe osi współrędnych 0, 0, 0 w równe odległości od siebie, ak to robił d Ocagne (88 i Inselberg (959 X 0 Rysunek Poedyncy punkt w układie współrędnych karteańskich W sposób symbolicny prekstałcenia osi układu karteańskiego na osie równoległe ostały predstawione na Rys X X X Rysunek Prekstałcenia rutowe poscególnych osi Dla dalsych roważań osadimy układ współrędnych równoległych w karteańskim układie współrędnych nomograficnych tworąc w ten sposób układ współrędnych aksonometrycnych, w tym celu ostaną wprowadone onacenia predstawione na Rys

6 X X X Rysunek Poedyncy punkt w układie współrędnych równoległych W nomografii osie i naywane są osiami nomograficnymi, a osie,,, na których anacone są cechy, naywane są osiami funkcynymi Dodatkowo dopusca się, aby odległości międy cechami były różne W wyniku transformaci rutowe osi współrędnych karteańskich poedyncy punkt, w układie karteańskim na Rys ostae amieniony na linię łamaną ropiętą X (, na punktach ( X, ( X, ( X w układie współrędnych równoległych W układie współrędnych nomograficnych wielkości odciętych nomograficnych,, ostały pryęte arbitralnie, a występuące cechy,, są liniami prostymi i równoległymi, w nomografii ednak dopusca się, aby osie funkcyne były liniami krywymi Ten problem będie dyskutowany w następnych sekcach W nomogramach kolineacynych wymaga się, aby punkty,, spełniały warunek współliniowości, cyli leżały na edne proste Warunkiem koniecnym i dostatecnym na to, aby try punkty leżały na proste na płascyźnie est erowanie się wynacnika Soreau, który poniże ostanie sere omówiony dla nomogramu cterowymiarowego (opisue wtedy erowanie się obętości cworościanu Konstruuemy wynacnik Soreau składaący się sesnastu elementów, w którym wierse odpowiadaą cechom, aś pierwsa kolumna odpowiada współrędnym na osi, druga kolumna współrędnym, trecia kolumna współrędnym na osi, a cwarta składa się samych edynek ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = 0 gdie i ( i ależność współrędne nomograficne od cechy i, i, =,,, Wynacnik ( predstawia wyrażenie na obętość cworościanu w prestreni trywymiarowe Tym samym erowanie wynacnika ( onaca, że obętość tego ( 5

7 cworościanu est równa ero, a tym samym wartości cterech cech,,, określaą ctery punkty osi funkcynych w prestreni trywymiarowe, które leżą na edne płascyźnie 0 Rysunek Prykładowy cworościan w prestreni współrędnych równoległych Celem est takie dobranie skal funkcynych,,,, aby wsystkie ctery punkty,,, leżały na edne płascyźnie, wówcas spełnione est równanie ( r r 0 Rysunek 5 Współpłascynowość cterech punktów 6

8 0 r r Rys 6 Rut prostokątny cterowymiarowego układu współrędnych równoległych W ogólnym prypadku rut prostopadły cterech osi,,, na płascynę nomograficną 0 nie powala na ustawienie współliniowo punktów,,, Dlatego współpłscynowość cterech punktów należy pretransformować na współliniowość tych punktów r Rys 7 Rut prostokątny cterowymiarowego układu współrędnych równoległych 7

9 Należy prede wsystkim podkreślić, że tak konstruowane nomogramy realiuą równanie Soreau (, a warunkiem koniecnym i dostatecnym nomogramowalności ależności funkcyne est możliwość predstawienia e w postaci ( Incydencyne sieci neuronowe W tym rodiale aproponuemy nową architekturę stucnych sieci neuronowych, których adaniem będie generowanie wielowymiarowych nomogramów kolineacynych W tym celu min wykorystane będie poęcie więów - nane podstaw mechaniki i elektrotechniki Poęcie więów ostało aadaptowane pre elektrotechnikę Wielkości występuące w elektrotechnice, takie ak prądy elektrycne, napięcia elektrycne mogą być powiąane więami (prawa Kirchoffa i inne Do modelowania więów reguły wykorystywany est rachunek macierowy W prawach Kirchoffa występuą więy kinematycne polegaące na sumowaniu dokładnością co do naku określone wielkości fiycne (suma prądów w węźle est równa ero lub suma napięć w ocku est równa ero Jest to naprostsy roda więów kinematycnych W dalse cęści tego rodiału ostanie predstawiona idea więów do wskaywania incydenci wyść układu stucnych sieci neuronowych Będiemy również wykorystywali więy kinematycne i holonomicne, ale o bardie robudowane postaci, a nie tylko w postaci sumy Jak ałożono w Rodiale ropatrywane są ciągi wektorów ako dane weściowe Dla celów modelowania ależności międy elementami występuącymi w roważanych ciągach w roprawie ostała aproponowana nowa architektura sieci neuronowych, stanowiąca układ pewne licby prostsych wielowarstwowych sieci neuronowych o ednym weściu i ednym wyściu - nawimy ą elementarną siecią neuronową akładamy, że poedynca elementarna sieć neuronowa odpowiada poedyncemu wymiarowi roważanego problemu - poedynce osi funkcyne, Rys aproponowana elementarna sieć neuronowa (Rys składa się : ednego neuronu weściowego (warstwa weściowa, edne lub dwóch warstw ukrytych (licba neuronów w warstwach ukrytych est ależna od ałożonego poiomu dokładności aproksymaci, ednego neuronu wyściowego (warstwa wyściowa UWAGA : Tak skonstruowana wielowarstwowa sieć neuronowa może odworowywać funkcę ednowymiarową i powodeniem może aproksymować oś funkcyną stosowaną w nomografii UWAGA : W odniesieniu do wynacnika Soreau, każdy element wynacnika ależny od cechy est repreentowany pre edną elementarną stucną sieć neuronową, które weście est cechą a wyście współrędną nomograficną (,, a dla nomogramów prestrennych 8

10 y i K K = i Rysunek Elementarna sieć neuronowa i e symbolicna repreentaca Na rysunkach w dalse cęści pracy elementarną sieć neuronową będiemy onacać dwiema równoległymi kreskami wskauącymi licbę warstw ukrytych W nowe architekture sieci neuronowych wykorystuemy układy stucnych sieci neuronowych połąconych a pomocą wynacnika Soreau (odworowania wieloliniowego powalaące generować cora to bardie łożone nomogramy Odworowanie hiperpłascynowe - dane cterowymiarowe Dla prestreni trywymiarowe odworowanie wieloliniowe łący e sobą ctery osie funkcyne Ma ono postać wynacnika maciery kwadratowe Soreau, który łący cechy,,, a pomocą płascyny W prestreni trówymiarowe możemy również stosować łącenie elementarnych sieci neuronowych, które są łącone ależnością wynikaącą rowinięcia wynacnika maciery Soreau Prykładem est wynacnik budowany maciery kwadratowe, gdie w pierwse i drugie kolumnie naduą się wartości stałe współrędnych nomograficnych,,,,,,, a w trecie kolumnie funkce współrędnych,,,,,, nomograficnych, łącone ależnością ( odpowiadaącymi im wartościami cech ( ( ( ( =0 ( gdie onacenia ak wyże Wynacnik ( est podstawą do konstruowania układów elementarnych sieci neuronowych generuących nomogramy kolineacyne prostoliniowe dla cterech cech 9

11 Rysunek Układ cterech sieci łąconych wynacnikiem Soreau Prykład połącenia elementarnych sieci neuronowych generuących nomogram kolineacyny prostoliniowy predstawiono na Rys Powyżsy układ cterech sieci elementarnych est połącony więami wynikaącymi rowinięcia wynacnika ( erowanie się wynacnika ( dla współrędnych nomograficnych ( ( i (, (, gwarantue, że cechy,,, leżą na edne płascyźnie wskauą położenie Współrędne nomograficne (, (, ( i ( każde cech,,, na osi funkcyne wdłuż osi nomografice Nomogram kolineacyny prostoliniowy, w którym wyścia cterech sieci elementarnych wiąane są wyrażeniem ( predstawiono na Rys Gdy w wiersu wynacnika mamy edną ależność od cechy to mamy do cynienia osią funkcyna predstawioną w postaci odcinka proste, gdy mamy dwie ależności od cechy to mamy do cynienia osią funkcyną predstawioną w postaci fragmentu krywe na płascyźnie, a gdy mamy try ależności od cechy to mamy do cynienia osią funkcyną predstawioną w postaci fragmentu krywe w prestreni trywymiarowe 0

12 r 0 r Rysunek Nomogram kolineacyny prostoliniowy realiuący ależność pomiędy miennymi,,, 5 Ucenie sieci incydencynych W prypadku preentowane roprawy ropatrywane są tw incydencyne sieci neuronowe składaące się elementarnych sieci neuronowych, a elementarne sieci neuronowe łącone są tw więami, cyli ograniceniami dynamicnymi aproponowana nowa architektura sieci neuronowych est nową propoycą pierwsy ra opisaną pre autora roprawy (Fiksak i Krawcak, 0 Nowa architektura wymaga opracowania nowych algorytmów ucenia sieci incydencynych predstawionych w tym rodiale roprawy Sieć incydencyna składa się układu sieci elementarnych, a każda sieć elementarna repreentue ależność pomiędy współrędnymi nomograficnymi, a cechami i, i =,,, M, inace mówiąc każda sieć elementarna repreentue edną oś nomograficną Na weście incydencynych stucnych sieci neuronowych podawane są dane weściowe, cyli cechy Charakterystycną cechą sieci incydencynych est brak bepośrednie informaci o pożądanych wyściach sieci elementarnych Sygnały wyściowe sieci elementarnych musą ednoceśnie spełniać równanie Soreau (opisane w poprednim rodiale i są ustalane w procesie ucenia Równanie Soreau spełnia rolę więów kinematycnych łącących wyścia poscególnych sieci elementarnych Konstrukca nomogramu kolineacynego dla danych predstawionych w tabeli rodiału wymaga: takiego doboru wag w sieciach elementarnych, aby spełniony był warunek incydenci równanie Soreau, wynacenia współrędnych nomograficnych dla każde osi funkcyne: (, i =,,, I, =,,, I i i, rutowania osi funkcynych na płascynę nomograficną,

13 gdie i =,,, I, onaca indeks osi funkcyne, I onaca licbę osi funkcynych (wymiar ropatrywanego problemu, =,,, I, onaca indeks współrędne nomograficne Ucenie w prestreni cterowymiarowe Ropatruemy wynacnik budowany maciery kwadratowe, gdie w pierwse i drugie kolumnie naduą się wartości stałe współrędnych nomograficnych,,,,,,, a w trecie kolumnie funkce współrędnych, nomograficnych (, (, ( ( łącone ależnością (,,, odpowiadaącymi im wartościami cech, Obętość sympleksu wynaconego pre współrędne nomograficne est predstawiona a pomocą funkci obętości ostrosłupa Rowiaąc wynacnik ( otrymuemy następuące równanie: C + ( C + ( C + ( C 0 (5 ( = Wór (5 est podstawą do konstruowania nomogramów kolineacynych prostoliniowych i na ego podstawie rowiniemy algorytm ucenia układu cterech elementarnych stucnych sieci neuronowych Dla danych tabeli rodiału, dla I =, określamy punkty stałe skal nomograficnych ora określamy parametry cterech elementarnych stucnych sieci neuronowych repreentuących nomogram Ucenie powyżsego układu sieci elementarnych polega na sekwencynym trenowaniu edne elementarne sieci pry ustalonych parametrach poostałych trech Algorytm ucenia sieci incydencynych - Krok : Podaemy na weście każde sieci elementarne sygnały worców cech,,, ( repreentue dowolny wiers Tabeli Krok : Dla wag W, W, W, W cterech sieci elementarnych oblicamy wartości współrędnych nomograficnych ako wyścia elementarnych stucnych sieci neuronowych,, dla losowo wybrane wartości ( ( ( (, Krok : Ustawianie wartości pocątkowe licnika iteraci ora erowanie błędu l = Krok a: Dla sieci pierwse, wynacamy (58 sygnał stały ( C ( C + ( C d ( = C Ucymy pierwsą sieć elementarną algorytmem np backpropagation na podstawie worców cech podawanych na weścia sieci elementarnych dla i, i =,,,, =,,, N, uwględniaąc błąd ucenia sieci pierwse = ( d ( δ, =,,, N, dla licby kroków L krok Krok b: Dla sieci drugie, wynacamy ( C + ( C ( C d ( = C

14 Ucymy drugą sieć elementarną podaąc na weścia sieci worce cech i, i =,,,, =,,, N, uwględniaąc błąd ucenia sieci drugie ( d ( δ =, =,,, N, dla licby kroków L krok Krok c: Dla sieci trecie, wynacamy ( C + ( C + ( C d ( = C Ucymy trecią sieć elementarną podaąc na weścia sieci worce cech i, i =,,,, =,,, N, uwględniaąc błąd ucenia sieci trecie ( d ( δ =, =,,, N, dla licby kroków L krok Krok d: Dla sieci cwarte, wynacamy + ( C ( C + ( C d ( = C Ucymy cwartą sieć elementarną podaąc na weścia sieci worce cech i, i =,,,, =,,, N, uwględniaąc błąd ucenia sieci cwarte ( d ( δ =, =,,, N, dla licby kroków L krok Oblicamy łącny błąd ucenia układu sieci elementarnych E = N = ( ( ( ( Krok 5: Jeżeli l < Liter, to l l + i preście do kroku a Krok 6: Cykl ucenia awieraący L iter iteraci ostał akońcony, eżeli E Ema, to następue akońcenie ucenia, w preciwnym raie ropocynamy nowy cykl ucenia pre preście do kroku Po nauceniu układu cterech elementarnych sieci neuronowych cechy,,, predstawione w tabeli są repreentowane pre nomogram określony a pomocą Tak naucona sieć współrędnych nomograficnych (, (, ( i ( incydencyna repreentue nomogram kolineacyny prostoliniowy Rysowanie nomogramów na płascyźnie Po nauceniu sieci elementarnych mamy apamiętane funkce ednowymiarowe w prestreni wag Dla każde osi funkcyne możemy wygenerować wektor dwuwymiarowy (o dowolne dokładności np dla cterech osi mamy [ ( ], [ ( ], [ ( ], [ (,,,, ] w postaci tabeli Wektor ten est podstawą do wykreślania te konkretne osi funkcyne łącnie punktami kotwicącymi, które ustawiaą nomogram na płascyźnie nomograficne Dla prypadku D musimy dodatkowo ustalić sposób rutowania cterech osi funkcynych na płascynę nomograficną wybieraąc wektor rutuący w taki sposób aby ruty osi funkcynych i osi referencyne się nie pokryały Dla ustalonego wektora rutuącego wynacamy ruty osi funkcynych korystaąc metod geometrii analitycne

15 Rysowanie osi referencyne Maąc położenie osi funkcynych w prestreni, to dla każde kombinaci cech określamy równanie płascyny i wynacamy punkt precięcia prostych awartych w te płascyźnie i precinaących pary osi funkcynych i Suma tych punktów precięcia dla kombinaci cech awartych w tabeli wynikowe wynaca krywą referencyną Ucenie układów sieci elementarnych w innych wymiarach odbywa się analogicnie ak dla prypadku predstawionym powyże 6 astosowania sieci incydencynych W poprednich rodiałach omówiliśmy incydencyne stucne sieci neuronowe ako układy elementarnych stucnych sieci neuronowych połąconych więami incydencynymi, ak również metodykę ucenia sieci incydencynych W tym rodiale predstawimy kilka prykładów wykorystania sieci incydencynych ako układu sieci elementarnych, których wyścia połącone są ależnością wynikaącą wynacnika Soreau łożoność problemu określa odpowiednią architekturę układu sieci elementarnych Wykorystywane elementarne stucne sieci neuronowe ucone będą metodą wstecne propagaci błędu ucenia modyfikowaną dodatkowo współcynnikiem momentum Proces ucenia sieci incydencynych polega na uceniu sekwencynym W każde sekwenci dokonuemy koleno ucenia poscególnych sieci elementarnych, stanowiących całą sieć incydencyną Prykład: Ustalanie dochodu na podstawie wielkości spredaży trech produktów Metoda analiy kostów wana BEP (Breakeven Point est stosowana do okrślania ilościowego lub wartościowego minimalnego progu spredaży, pry którym firma esce nie prynosi straty (Tucko, 005, Według te metody dochód oblicany est w następuący sposób: D = ( p k KS W prypadku, gdy D = 0 KS BEP = ( p k gdie D - dochód, p cena, k kosty mienne ednostkowe, KS kosty stałe BEP ilościowy próg rentowności Jest to metoda łatwa i ocywista do stosowania dla ednego asortymentu pry naomości ego ceny, kostu ednostkowego miennego i kostów stałych Jednak uż pry dwóch asortymentach analia est trudna do wiualiaci Wydae się, że uęcie nomograficne tego problemu powoli na sybki sacunek rentowności be wnikania w scegółowe kosty Skonstruuemy nomogram w prestreni cterowymiarowe w celu ustalania dochodu w ałożone diałalności produkcyne ałóżmy, że w danym predsiębiorstwie produkowane są try produkty, na podstawie wyników spredaży osiągany est wynik w postaci dochodu Dodatkowo akładamy, że nie namy marży ednostkowych, a edynie dochód całkowity e spredaży Onacmy wielkości spredaży trech produktów pre,,, a wielkość dochodu wynikaącego e spredaży wsystkich produktów Na podstawie danych predstawionych

16 w roprawie w Tabeli 6 generuemy nomogram prestawiaący ależność funkcyną łącącą ctery mienne,,, Pry maksymaliaci dochodu asadnice nacenie ma ustalanie estawu produktów w planowaniu produkci e wględu a charakter analiowane produkci te same wyroby maą różne ceny i kosty mienne, a kosty stałe prawie się nie mieniaą agadnienie to ma asadnice nacenie do planowania produkci estawu produktów w celu maksymaliowania dochodu Dane pocątkowe wynikaące opisu problemu Na weście stucnych sieci neuronowych połąconych węłem incydenci podawane są dane weściowe predstawione dla 50 wektorów cterech miennych: W wyniku procesu ucenia sieci incydencyne predstawione na Rys otrymuemy tabelę wyników, na podstawie które buduemy nomogram Nomogram prestrenny rutowany na płascynę predstawiony est na Rys 6 r Rysunek 6 Nomogram kolineacyny realiuący problem ustalania dochodu Korystanie takiego nomogramu polega na precięciu prostą dwóch osi nomograficnych dla nanych cech np i, naleieniu punktu precięcia te proste osią niemą r, a następnie połąceniu prostą osi nomograficne wynaconym punktem na osi nieme (referencyne i odcytaniu wartości cwarte cechy na osi nomograficne Powyżsy nomogram powala na wględnie sybką analię opłacalności spredaży dla danego estawu trech produktów be analiy scegółowych kostów i cen Wystarcy narysować dwie proste i możemy, pry ustalonych dwóch cechach, analiować wpływ trecie cechy na cwartą Cyli ak wrost spredaży dowolnego produktu wpływa na dochód lub odwrotnie, ak mieniać produkcę dowolnego produktu aby otrymać adany dochód 5

17 Korystaąc techniki konstruowania suwaka kalkulacynego (opisane w roprawie dla prypadku nomogramu cterowymiarowego prostoliniowego predstawimy a ego pomocą nomogram Rys 6 Wtedy skale i nadą się na edne nieruchome podwóne osi funkcyne, a skale i na drugie podwóne osi funkcyne Pamiętać należy ednakże, że skale i naduą się na nieruchome cęści suwaka, aś skale i na ruchome Rys6 Suwak realiuący problem ustalania dochodu Korystanie suwaka kalkulacynego est intuicyne Napierw ustawia się wartość cechy np na cęści nieruchome, a następnie wysuwa się cęść ruchomą ustawiaąc na cęści ruchome wartość cechy na wysokości wartości cechy, następnie naąc wartość cechy na cęści ruchome odcytue się wartość cechy na cęści nieruchome Koleność ustawiania cech na cęści ruchome lub nieruchome suwaka est dowolna, inace niż na nomogramie Pry naomości wartości trech cech łatwością odcytuemy wartość cwarte cechy presuwaąc cęść ruchomą suwaka w stosunku do cęści nieruchome mieniaąc naewnictwo miennych i preskalowuąc dane otrymuemy użytecne narędie do arądania diałalnością produkcyno-handlową 7 Podsumowanie Analia prebiegu krywe uż w prestreni trówymiarowe może sprawiać pewne problemy percepcyne Nomogramy powalaą w prosty sposób wiualiować krywe w prestreni trówymiarowe i więkse niż trówymiarowych Nomogramy predstawiaą wykresy krywych w prestreni wielowymiarowe i umożliwiaą śledenie ależności pomiędy poscególnymi współrędnymi W połąceniu e stucnymi sieciami neuronowymi nomogramy ciągle są potężnym narędiem do prybliżonego rowiąywania łożonych wielowymiarowych ależności funkcynych 6

18 Idea ta powala w stosunkowo prosty sposób konstruować geometrycne pryrądy do obserwowania mienności krywych w prestreni wielowymiarowe a pomocą pryrądów budowanych dwóch presuwnych liniek narysowanymi na nich cterema skalami funkcynymi to nacy suwaka obliceniowego (w scególnym prypadku est to suwak logarytmicny Wydae się, że koryści wynikaące możliwości obserwaci mienności wielowymiarowych krywych do celów naukowych, technicnych i edukacynych są ogromne Nomogramy ostały astąpione pre kalkulatory i komputery ako narędia obliceniowe do obliceń dokładnych, ale są nie do precenienia ako narędia do obliceń prybliżonych Wsędie tam gdie nie est wymagana duża dokładność obliceń albo musimy sybko osacować wynik końcowy be uruchamiania programów komputerowych nomogramy długo będą nieastąpione Nie sposób precenić informaci predstawiane a pomocą wykresów w porównaniu informacą daną w postaci woru Wsędie tam gdie potrebne est sacowanie, a nie dokładne oblicenia wygodniesym narędiem są wykresy Cęsto w praktyce proektowe na wstępie wykorystuemy sacowanie wyników, a dopiero późnie interesuą nas scegółowe oblicenia Nomogramy powalaą na lepse roumienie tego na co chcemy wrócić uwagę, a wór nie awse dae prestrenne (wielowymiarowe wyobrażenie roważanego problemu Cłowiek ciągle woli operować obrakami niż licbami, dlatego wydae się, że nomogramy w dużym stopniu mogą być pomocne Ciągle niebagatelnym osiągnięciem est wykorystanie generowania skal kolineacynych dla suwaków obliceniowych Powala to sybko i sprawnie konstruować graficne kalkulatory ako wielce użytecne narędia w arądaniu Co więce, takie konstruowanie można w nacnym stopniu automatyować w prypadku mian na rynku i koniecności dostosowania się do tych mian Praca poświęcona est nomogramom i prypomina o wielce użytecnym narędiu do obliceń prybliżonych dla danych tabelarycnych gdy nie est nana analitycna postać ależności funkcynych W pracy predstawiono opracowaną metodykę konstruowania nomogramów pry pomocy incydencynych stucnych sieci neuronowych Porusane w roprawie problemy nie wycerpuą całości omawiane problematyki agadnień, do których można wykorystywać sieci Incydencyne Musimy unać, że pred nomogramami, własca wspomaganymi narędiami takimi ak incydencyne stucne sieci neuronowe rysue się dalsy rowó Mogą być one scególnie pomocne w różnych diedinach, np w technice, medycynie i ekonomii Nomogramy mogą być nieastąpione tam gdie informaca o globalnych właściwościach systemu opisywana est pre kilka miennych połąconych wiąkami nieliniowymi Według autora roprawy ciekawym wydae się wiąek nomogramów formami różnickowymi algebr ewnętrnych, cy tensorów odworowań wieloliniowych Wydae się, że właśnie niedoskonałość intuici ma duży wpływ na te diediny, a brak wiualiaci podstawowych elementów w wyżsych wymiarach wydae się możliwa do prewyciężenia dięki nomogramom Innym terenem eksploataci nomogramów est percepca dynamiki awisk repreentuących dynamikę chaotycną w wyżsych wymiarach, a nie tylko ograniconych do prekroów Poincarego Proste nomogramy mogą awierać agregowaną informacę wspomagaącą sybkie decye strategicne w grach komputerowych 7

19 Nomogramy mogą także służyć ako pomost do nowocesnych narędi modelowania na multiwektorach w prestreniach Clifforda, gdie wielowymiarowość est normą Nomogramy umożliwiaą również wiualiacę diałania niewielkich stucnych sieci neuronowych i wgląd w dynamikę ich pracy Według autora nawięksymi osiągnięciami awartymi w roprawie są: Odświeżenie i ebranie w ednym miescu wiedy o nomogramach, ich historii i podstawowych aplikacach astosowanie stucnych sieci neuronowych do wspomagania w budowaniu nomogramów Wskaanie na możliwość budowania nomogramów na podstawie danych podawanych w postaci ciągów wektorów dyskretnych, w tym nomogramów wielowymiarowych Opracowanie nowe struktury wane w pracy sieciami incydencynymi, w ramach które specalistycne sieci elementarne rowiąuą cąstkowe problemy aproksymaci Opracowanie metodologii wiualiaci obliceń prowadonych pre stucne sieci neuronowe na każdym etapie ich diałania Sprawdenie poprawności diałania sieci incydencynych na prykładach m in ekonomicnych Wskaanie na możliwość budowania narędi graficnych pokrewnych do nomogramów akimi są suwaki i wyaśnienie asad ich budowy Wskaanie do rowiania narędi graficnych użytecnych w geometriach różnych od euklidesowych Literatura Arnold V 957a On the representability of functions of two variables in the form ( ( φ( ψ ( y χ + Uspehy Math Nauk,,, 9- arnsem/arnold/arn-papershtml Arnold V 957b On the functions of three variables Doklady AN USSR,,, , arnsem/arnold/arn-papershtml Arnold V I 959 On the representation of continuous functions of three variables by the superposition of continuous functions of two variables Matematicheski Sbornik, 8, 90, Idatelstvo Nauka, Moskva, arnsem/arnold/arn-papershtml Borsuk K, Smielew W 97 Podstawy geometrii PWN, Warsawa 5 Borsuk K 98 Geometria analitycna wielowymiarowa, PWN, Warsawa 6 Conway J H 999 Księga licb WNT, Warsawa 7 Cybenko, G 989 Approimation by Superpositions of a Sigmoidal Function Mathematics of Control, Signals, and Systems,, Empacher A B 96 Potęga analogii Wieda Powsechna, Warsawa 9 Falk H K 95 Falk s grafical solutions to practical problems Columbia Graphs Columbia, Connecticut 0 Fiksak B 988 Analia awisk elektrodynamicnych i elektromagnetycnych w komutatorowe masynie prądu stałego w oparciu o model matematycny uwględniaący nieholonomicny charakter więów Praca magisterska, Politechnika Resowska Fiksak B 990 Model matematycny masyny komutatorowe otrymany w oparciu o równania masyny bekomutatorowe i równanie więów nieholonomicnych układu komutator scotki, Archiwum elektrotechniki, - Fiksak B 997 Aplication of Kohonen map for strategic analysis of enterprise, Transition to advanced market institutions and economies, IBS PAN, Warsawa Fiksak B 00 Model neuronu ako nomogram Analia systemowa w finansach i arądaniu, IBS PAN, Warsawa 8

20 Fiksak B 0 Nomogram ako graficny kalkulator w prestreni ctero-wymiarowe Analia systemowa w finansach i arądaniu, IBS PAN, Warsawa 5 Fiksak B, Krawcak M 0 On some new methodology for economic system modelling TR/0, IBS PAN, Warsawa 6 Fiksak B, Krawcak M 0 Incidental Neural Networks as Nomograms Generators W: Rutkowski L (Ed ICAISC 0 Springer Verlag, Berlin 7 Hecht-Nielsen, R 99 Theory of the Backpropagation Network In: Neural networks for perception, ed: H Wechsler, Academic Press, New York 8 Hert J, Krogh A, Palmer R 99 Wstęp do obliceń neuronowych Wydawnictwo Naukowo Technicne, Warsawa 9 Inselberg A 985 The Plane with Parallel Coordinates Visual Computer,, Inselberg A 009 Parallel Coordinates: VISUAL Multidimensional Geometry and its Applications Springer Kolmogorov AN 957 On the representation of continuous functions of many variables by superposition of continuous functions of one variable and addition, Dokl Akad Nauk SSSR,, pp Konorski B (Ed 959 Kalendaryk Elektrotechnicny Wydawnictwo Technicne, Warsawa Konorski B, Krysicki W 97 Nomografia i graficne metody obliceniowe WNT, Warsawa Korbic J, Obuchowic A, Uciński D 99 Stucne sieci neuronowe podstawy i astosowania Akademicka Oficyna Wydawnica PLJ, Warsawa 5 Kurkova, V 99 Kolmogorov s Theorem and Multilayer Neural Networks Neural Networks, 5,, Lalanne L L 8 Représentation graphique des tableau numériques Appendice au Cours complet de météorologie de L F Kaemt, trad et annoté par Ch Martins Paulin, Paris 7 Masters T 996 Sieci neuronowe w praktyce Wydawnictwo Naukowo Technicne, Warsawa 8 Miholc 9 d Ocagne M 885 Coordonnées parallčles et aiales Méthode de transformation géométrique et procédé nouveau de calcul graphique déduits de la considération des coordonnées parallčles Gauthier-Villars, Paris 0 d Ocagne M 899 Trait e de nomographie Gauthier-Villars, Paris Ossowski S 99 Sieci neuronowe Oficyna Wydawnica Politechniki Warsawskie, Warsawa Otto E 96 Nomografia, PWN, Warsawa Penrose R 006 Droga do recywistości, Prusyński i S-ka, Warsawa PyNomo Rutkowska D, Piliński M, Rutkowski L 997 Sieci neuronowe, algorytmy genetycne i systemy romyte Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsawa 6 Rutkowski L (Ed 996 Sieci neuronowe i neurokomputery Wydawnictwo Politechniki Cęstochowskie, Cęstochowa 7 Soreau, R 90 Contribution a la th eorie et au applications de lanomographie Ch B`eranger, Paris 8 Stein S K 997 Potęga licb Amber, Warsawa 9 Steinhaus H (Red 97 Elementy nowocesne matematyki dla inżynierów PWN, Warsawa 0 Steinhaus H 989 Kaledoskop matematycny Wydawnictwo Skolne i Pedagogicne Warsawa Steinhaus H 9 O różnych skalach funkcynych i ich astosowaniach Parametr, Tom, Księgarnia Św Wociecha, Warsawa-Ponań, 5-56 Smielew, W 98 Od geometrii afinicne do euklidesowe PWN, Warsawa Tadeusiewic R 99 Sieci neuronowe, Akademicka Oficyna Wydawnica Eit, Warsawa Teresi D 00 apomniane odkrycia Amber, Warsawa 5 Tucko J 005 roumieć finanse firmy, DIFIN, Warsawa 6 Werbos P J 97 Beyond regression: New tools for prediction and analysis in the behavioral sciences PhD Thesis, Harvard University 7 Wotowic J 960 Sprowadanie równań do postaci kanonicnych równania cwartego rędu nomograficnego cterema miennymi astosowania Matematyki, V,