Projekt UE Nr MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007"

Transkrypt

1 Mechatronika Modu 1-4 Podstawy Mi dzy kulturowe zachowania spo eczne Zarz dzanie projektami Technika p ynowa Nap dy i sterowania elektryczne Podr czniki (Koncepcja) Projekt UE Nr MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Europejski Projekt transferu innowacji dla dodatkowej kwalifikacji Mechatronika dla specjalistów w zglobalizowanej produkcji przemysłowej. Ten projekt zosta zrealizowany przy wsparciu finansowym Komisji Europejskiej. Projekt lub publikacja odzwierciedlaj jedynie stanowisko ich autora i Komisja Europejska nie ponosi odpowiedzialno ci za umieszczon w nich zawarto

2 Partners for the creation, evaluation and dissemination of the MINOS and the MINOS** project. - Chemnitz University of Technology, Institute for Machine Tools and Production Processes, Germany - np neugebauer und partner OhG, Germany - Henschke Consulting, Germany - Corvinus University of Budapest, Hungary - Wroclaw University of Technology, Poland - IMH, Machine Tool Institute, Spain - Brno University of Technology, Czech Republic - CICmargune, Spain - University of Naples Federico II, Italy - Unis a.s. company, Czech Republic - Blumenbecker Prag s.r.o., Czech Republic - Tower Automotive Sud S.r.l., Italy - Bildungs-Werkstatt Chemnitz ggmbh, Germany - Verbundinitiative Maschinenbau Sachsen VEMAS, Germany - Euroregionala IHK, Poland - Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Polen - Euroregionale Industrie- und Handelskammer Jelenia Gora, Poland - Dunaferr Metallwerke Dunajvaros, Hungary - Knorr-Bremse Kft. Kecskemet, Hungary - Nationales Institut für berufliche Bildung Budapest, Hungary - Christian Stöhr Unternehmensberatung, Germany - Universität Stockholm, Institut für Soziologie, Sweden Zawarto Szkolenia Minos: moduły 1 8 (podręczniki, ćwiczenia i rozwiązania do ćwiczeń dla): Podstawy/ Kompetencje międzykulturowe, zarządzenie projektem/ Fluidyka / Napędy Elektryczne i Sterowanie / Elementy Mechatroniki/ Systemy i Funkcje Mechatroniki/ Logistyka, Teleserwis, Bezpieczeństwo/ Zdalne Zarządzanie, Diagnostyka Minos **: moduły 9 12 (podręczniki, ćwiczenia i rozwiązania do ćwiczeń dla): Szybkie Prototypowanie / Robotyka/ Migracja/ Interfejsy Wszystkie moduły dostępne są w następujących językach: Polski, Angielski, Hiszpański, Włoski, Czeski, Węgierski i Niemiecki W celu uzyskania dodatkowych informacji prosz si skontaktowa z Chemnitz University of Technology Dr.-Ing. Andreas Hirsch Reichenhainer Straße 70, Chemnitz phone: + 49(0) fax: + 49(0) or

3 Mechatronika Modu 1: Podstawy Podr czniki (Koncepcja) Matthias Römer Uniwersytet Techniczny w Chemnitz, Instytut Obrabiarek i Procesów Produkcyjnych Projekt UE Nr MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Europejski Projekt transferu innowacji dla dodatkowej kwalifikacji Mechatronika dla specjalistów w zglobalizowanej produkcji przemysłowej. Ten projekt zosta zrealizowany przy wsparciu finansowym Komisji Europejskiej. Projekt lub publikacja odzwierciedlaj jedynie stanowisko ich autora i Komisja Europejska nie ponosi odpowiedzialno ci za umieszczon w nich zawarto

4 Podstawy-Podrêcznik Minos Spis treœci: 1 Matematyka techniczna Podstawowe dzia³ania matematyczne... 7 Kolejnoœæ operacji Obliczanie liczb z ró nymi znakami Ogólne wskazówki do mno enia nawiasów 1.2 Obliczanie u³amków Definicja u³amków Skracanie i rozszerzanie u³amków Dodawanie u³amków Mno enie i dzielenie u³amków Obliczanie u³amków z pomoc¹ kalkulatora kieszonkowego 1.3 Obliczenia potêgowe Obliczanie potêgi liczby dziesiêæ Obliczanie potêg z pomoc¹ kalkulatora kieszonkowego Mno enie i dzielenie potêgi liczb o podstawie dziesiêæ Dodawanie i odejmowanie potêgi liczb o podstawie dziesiêæ Obliczanie pierwiastków 1.4 Liczby dwójkowe Przeliczanie liczb dwójkowych Dodawanie liczb dwójkowych Odejmowanie liczb dwójkowych Liczby dwójkowe w komputerze Obliczenia ze zmiennymi Regu³y usuwania i wstawiania nawiasów Rozwi¹zywanie równañ 1.6 Obliczanie procentów Obliczanie oprocentowania Geometria K¹ty Czworok¹t Trójk¹t Funkcje trygonometryczne Ko³o Bry³y

5 Minos Podstawy-Podrêcznik 2 Fizyka techniczna Podstawy fizyczne Fizyczne wielkoœci i jednostki Równania fizyczne Si³a Sumowanie si³ Rozk³adanie si³ Moment obrotowy Równania równowagi si³ i momentów Zasada dÿwigni Ciœnienie Si³owa przek³adnia hydrauliczna Zmiana ciœnienia Równania gazowe Przep³yw p³ynów Naprê enie Tarcie Droga, prêdkoœæ i przyspieszenie Ruch jednostajny Ruch przyspieszony Si³y dzia³aj¹ce na cia³a w ruchu Ruch obrotowy Prêdkoœæ k¹towa Przyspieszenie k¹towe Praca, energia i moc Praca Energia Zasada zachowania energii Moc Sprawnoœæ Nauka o cieple Temperatura Rozszerzalnoœæ cia³ sta³ych Rozszerzalnoœæ gazów Energia ciep³a i pojemnoœæ cieplna

6 Podstawy-Podrêcznik Minos 3. Rysunek techniczny Podstawy rysunku technicznego Rysunek techniczny jako œrodek komunikacji w technice Rodzaje rysunków Formaty papieru Tabliczka rysunkowa i lista czêœci Podzia³ki Sposoby przedstawiania przedmiotów na rysunku Widoki Rodzaje i gruboœci linii Przekroje Wymiarowanie w rysunkach Linie wymiarowe, pomocnicze linie wymiarowe i napisy wymiarowe Przypadki szczególne w wymiarowaniu Stan warstwy wierzchniej Informacje o warstwie wierzchniej w rysunku Tolerancje kszta³tu i po³o enia Tolerancje wymiarowe Pasowania Rysunek techniczny a komputer CAD Maszyny sterowane numerycznie

7 Minos Podstawy-Podrêcznik 6

8 Podstawy-Podrêcznik Minos 1 Matematyka techniczna 1.1 Podstawowe dzia³ania matematyczne Do podstawowych dzia³añ matematycznych zalicza siê dodawanie, odejmowanie, mno enie i dzielenie. Przy dodawaniu liczby sumuje siê. Przy odejmowaniu, odwrotnoœci dodawania, liczby odejmuje siê od siebie. Oba rodzaje obliczeñ oznacza siê poprzez znaki + i i okreœla jako obliczenia liniowe. Mno enie oznacza pomno enie liczb. Dzielenie jako odwrotnoœæ mno enia jest dzieleniem jednej liczby przez drug¹. Poniewa te rodzaje dzia³añ opisane s¹ pojedyncz¹ kropk¹ lub kropk¹ podwójn¹ (dwukropkiem), jako rodzajem operacji, nazywane s¹ tak e obliczeniami skupionymi. Obliczenia skupione s¹ wy ej wartoœciowane ni obliczenia liniowe i dlatego przeprowadza siê je w pierwszej kolejnoœci. Wa ne Obliczenia skupione wystêpuj¹ przed obliczeniami liniowymi! Dla mno enia stosuje siê wielokrotne dodawanie tych samych liczb. I tak daje taki sam wynik jak 4 3. W niniejszych materia³ach stosuje siê tak e znak * jako oznaczenie kropki przy mno eniu. Przez wielokrotne mno enie tej samej liczby otrzymuje siê obliczenia potêgowe daje zatem taki sam wynik jak 3 4. Obliczenia potêgowe s¹ wy ej wartoœciowane jak obliczenia skupione i dlatego musz¹ byæ wykonywane przed obliczeniami skupionymi. Wa ne Obliczenia potêgowe wystêpuj¹ przed obliczeniami skupionymi! Jeszcze wy ej wartoœciowane jest obliczenie w nawiasach. Wartoœci wewn¹trz nawiasów musz¹ byæ zawsze obliczone w pierwszej kolejnoœci. Wa ne Przyk³ad Nawiasy s¹ obliczane zawsze w pierwszej kolejnoœci! = = = : 4 = = = 10 (4 + 2) 3 = 6 3 = 18 7

9 Minos Podstawy-Podrêcznik Wskazówka Zadanie Proste obliczenia mo na przeprowadziæ w pamiêci. Czêœciej jednak stosuje siê kalkulator kieszonkowy. Nale y jednak tutaj zwróciæ uwagê, e wiele prostych kalkulatorów wykonuje pojedyncze operacje jedna po drugiej. W innych kalkulatorach natomiast mo na zadaæ ca³e wzory i nakazaæ przeprowadzenie obliczenia. Pomimo tego dla zachowania regu³ obliczeniowych kompetentny musi byæ cz³owiek. Przy korzystaniu z obcego kalkulatora nale y w danym przypadku wypróbowaæ, czy w przyrz¹dzie góruje obliczenie skupione przed liniowym. Proszê rozwi¹zaæ zadanie 1 w podrêczniku æwiczeñ! Przy odejmowaniu mo e wyst¹piæ przypadek, e druga wartoœæ jest wiêksza ni wartoœæ pierwsza. W wyniku otrzymuje siê liczbê ujemn¹ tzn. ze znakiem minus. Znak plus dla oznaczenia liczby dodatniej mo na pomin¹æ. Aby wykluczyæ przypadek, e znak obliczeniowy i znak liczby stoj¹ obok siebie, stawia siê liczbê ze znakiem w nawiasach. Przy dodawaniu i odejmowaniu jednakowe znaki dzia³añ i liczb mog¹ byæ sprowadzone do znaku plus. Je eli znaki dzia³ania i liczby s¹ ró ne to mo na je zast¹piæ znakiem minus. Musi to mieæ miejsce dla ka dego oddzielnego nawiasu. Przyk³ad 8 14 = ( + 5 ) = = 9 4 ( 5 ) = = 9 5 ( + 4 ) = 5 4 = ( 4 ) = 5 4 = 1 Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 2 w ksi¹ ce æwiczeñ! Je eli w nawiasach znajduje siê wiêcej sk³adników sumy to, aby móc opuœciæ nawiasy, ka dy znak nale y obliczyæ od nowa. Przyk³ad ( ) = 5 + ( 6 ) = 5 6 = 11 ( 5 6 ) = 5 + ( + 6 ) = = 1 ( a + b + c ) = a + ( b ) + ( - c ) = a b c ( a + b c ) = + a + ( b ) + ( + c ) = a b + c Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 3 w ksi¹ ce æwiczeñ! 8

10 Podstawy-Podrêcznik Minos Przy mno eniu i dzieleniu obowi¹zuje ponadto zasada, e jednakowe znaki przed dwoma liczbami daj¹ w wyniku znak plus, a ró ne znaki daj¹ w wyniku znak minus. Przyk³ad ( + 5 ) ( + 6 ) = + 30 ( 5 ) ( 6 ) = + 30 ( + 5 ) ( 6 ) = 30 ( 18 ) : ( 6 ) = + 3 ( 18 ) : ( + 6 ) = 3 Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 4 w ksi¹ ce æwiczeñ! Przy dodawaniu i przy mno eniu kolejnoœæ obu sk³adników sumy lub obu czynników mo e zostaæ zamieniona. Zasadê tê okreœla siê jako zasadê przemiennoœci. W ogólnym zapisie wygl¹da to nastêpuj¹co: a + b = b + a a b = b a Ponadto przy dodawaniu i przy mno eniu obowi¹zuje zasada, e przy wiêkszej liczbie takich samych dzia³añ kolejnoœæ obliczeñ jest obojêtna. a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c Je eli w nawiasie istnieje suma i nawias ten jest mno ony przez liczbê, to obowi¹zuje zasada rozdzielnoœci mno enia wzglêdem dodawania. Ka da liczba w nawiasie mno ona jest przez liczbê sprzed nawiasu. a ( b + c ) = a b + a c Je eli w dwóch nawiasach znajduje siê wiêcej sk³adników sumy, to nale y wszystkie sk³adniki jednego nawiasu pomno yæ przez ka dy sk³adnik drugiego nawiasu. Je eli obliczenia prowadzone s¹ na zmiennych, to najczêœciej pomija siê znaki mno enia. ( a + b ) ( c + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Obliczenie to mo na przedstawiæ w sposób graficzny (rys.1). Mno enie dwóch odcinków (a + b) i (c + d) obrazuje powierzchniê prostok¹ta. Zasada obowi¹zuje tak e, gdy obydwa odcinki sk³adaj¹ siê z czêœci a i b jak i z c i d. Cztery pola czêœciowe daj¹ w sumie ca³e pole prostok¹ta. 9

11 Minos Podstawy-Podrêcznik a+b c+d a d a c b d b c c d a b Rys. 1. Graficzne przedstawienie mno enia Je eli odwróci siê zasadê rozdzielnoœci mno enia wzglêdem dodawania z prawej strony na lew¹ to przejœcie takie nazywa w³¹czeniem do nawiasu. Je eli wiêksza liczba sk³adników sumy zawiera ten sam czynnik, to czynnik ten mo na zapisaæ przed nawiasem Przyk³ad ab + ac = a ( b + c ) 15x 5y = 5 ( 3x y ) Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 5 w ksi¹ ce æwiczeñ! 1.2 Obliczenia z u³amkami Przy dzieleniu okreœlonej liczby na grupy jednakowej wielkoœci, czêsto nie jest mo liwe rozwi¹zanie w zakresie liczb ca³kowitych. Tak mo na przyk³adowo podzieliæ szeœæ jab³ek na trzy grupy, przy czym ka da grupa zawiera 2 jab³ka. Je eli natomiast nale y podzieliæ jedno jab³ko na trzy czêœci jednakowej wielkoœci, musi ono zostaæ podzielone. Zadanie to mo na zapisaæ w postaci u³amka nastêpuj¹co: 1: 3 = 1 3 Przy czym liczba nad kresk¹ u³amkow¹ nazywa siê licznikiem, a liczba pod kresk¹ nazywa siê mianownikiem. Mianownik podaje przy tym, na ile czêœci ca³oœæ podzielono, a licznik podaje ile jest tych czêœci. 10

12 Podstawy-Podrêcznik Minos IMo na te jednak podzieliæ jab³ko na szeœæ czêœci i do ka dej z trzech grup przyporz¹dkowaæ dwie czêœci. Obliczeniowo zosta³ przy tym licznik i mianownik pomno ony przez dwa. Ogólnie to postêpowanie nazywa siê rozszerzaniem u³amków, gdy licznik i mianownik mno y siê przez tê sam¹ liczbê. Rozszerzanie u³amków mo e byæ sensowne, gdy u³amki nale y dodawaæ lub odejmowaæ. Przyk³ad Przez skracanie u³amków rozumie siê dzielenie licznika i mianownika przez tê sam¹ liczbê. Podobnie jak przy rozszerzaniu nie zmienia siê przez to wartoœæ u³amka. Przez skracanie u³amka liczby u³amkowe staj¹ siê mniejsze, a tym samym u³amek ma bardziej prost¹ postaæ. Tak e obliczanie u³amka mo e byæ dziêki temu ³atwiejsze. Wa ne Zadanie Rozszerzanie lub skracanie u³amków nie mo e nastêpowaæ z pomoc¹ liczby 0! Proszê rozwi¹zaæ zadanie 6 w ksi¹ ce æwiczeñ! U³amki mo na dodawaæ lub odejmowaæ tylko wtedy, gdy posiadaj¹ taki sam mianownik. Je eli nale y dodaæ lub odj¹æ u³amki o ró nych mianownikach, to poprzez rozszerzanie jednego lub obu u³amków nale y najpierw sprowadziæ je do wspólnego mianownika. Mówi siê, e mianowniki s¹ jednakowe, a ten nowopowsta³y mianownik jest mianownikiem wspólnym. Liczby ca³kowite mo na w ten sposób zamieniaæ na u³amki, przy czym liczba ta jest licznikiem, a mianownik wynosi 1. W koñcu liczniki obu u³amków mo na dodaæ lub odj¹æ. Mianownik przy tym nie zmienia siê. 11

13 Minos Podstawy-Podrêcznik Je eli wspólny mianownik nie daje siê ³atwo wyznaczyæ, to mo na go obliczyæ w ten sposób, e obydwa oddzielnie mianowniki mno y siê przez siebie. Powsta³y w ten sposób wspólny mianownik nie koniecznie jest najmniejszym mo liwym wspólnym mianownikiem, wynik pomimo tego jest w³aœciwy. Przyk³ad = = = = = = = 6 8 = 3 4 W pierwszym przypadku pierwszy u³amek rozszerzono przez 2 tak, e znaleziono wspólny mianownik 4. W drugim przypadku natomiast okreœlono wspólny mianownik 8 poprzez pomno enie obydwóch mianowników 2 i 4 i obydwa u³amki odpowiednio rozszerzono. Na koñcu skrócono wynik. Obydwa obliczenia wykazuj¹, e przyk³adowo po³owa jab³ka i czwarta czêœæ jab³ka daj¹ w sumie trzy czwarte czêœci jab³ka. Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 7 w ksi¹ ce æwiczeñ! Mno enie i dzielenie u³amków jest prostsze ni dodawanie, poniewa do tego celu nie trzeba okreœlaæ wspólnego mianownika. Przy mno eniu u³amków mno y siê przez siebie oba liczniki i oba mianowniki. Mo na przy tym w prosty sposób po³¹czyæ kreski u³amkowe obu u³amków. Przed wymna aniem mo na spróbowaæ, czy mo liwe jest skrócenie istniej¹cych u³amków. Otrzymuje siê dziêki temu mniejsze liczby i obliczenia s¹ ³atwiejsze. Przyk³ad Zadanie = = 1 4 Proszê rozwi¹zaæ zadanie 8 w ksi¹ ce æwiczeñ! Dzielenie u³amków zamienia siê na mno enie. W tym celu z u³amka, przez który siê dzieli, nale y utworzyæ jego odwrotnoœæ. Wygl¹da to tak, jakby zamieniono w nim licznik i mianownik. Dla pomno enia wystarczy zatem pomno yæ przez u³amek odwrócony. Przyk³ad Zadanie 1 3 : 3 4 = = = 4 9 Proszê rozwi¹zaæ zadanie 9 w ksi¹ ce æwiczeñ! 12

14 Podstawy-Podrêcznik Minos Przy obliczaniu u³amków z u yciem kalkulatora kieszonkowego nale y zwróciæ uwagê, e proste przyrz¹dy nie maj¹ mo liwoœci zadawania u³amków w prosty sposób. Obliczenia nale y przeprowadzaæ zatem kolejno po sobie. Przyk³ad = 0,3 Fa³szywy wynik otrzyma siê wtedy, gdy u³amek zada siê w prosty sposób w nastêpuj¹cej kolejnoœci: 3 : 2 3 = 7,5 To obliczenie mo na by przedstawiæ jako u³amek, ale wtedy jednak mia³oby inn¹ postaæ. 3 5= 7,5 2 Aby ten przyk³ad obliczyæ w³aœciwie za pomoc¹ kalkulatora kieszonkowego to kolejne obliczenia nale y przeprowadziæ w nastêpuj¹cej kolejnoœci: 3 : 2 : 5 = 0,3 Dzielenie przez 5 osi¹ga siê przez to, e liczba 5 znajduje siê w mianowniku. Mo na oczywiœcie najpierw obliczyæ ca³kowity mianownik, a nastêpnie podzieliæ licznik przez ten mianownik. Taki tok postêpowania niezbêdny jest wtedy, gdy w mianowniku istnieje suma. Przyk³ad = 0, W tym przypadku sumowanie w mianowniku nale y traktowaæ jako dzia³anie w nawiasach. Dla poprawnego wykonania obliczenia przed dzieleniem musi wyst¹piæ dodawanie. ( ) = 0, Obliczona postaæ u³amka okreœlana jest jako u³amek dziesiêtny. Wartoœæ u³amka dziesiêtnego okreœlona jest pozycj¹ poszczególnych cyfr. Na lewo od przecinka stoj¹ przy tym jednoœci, dziesi¹tki, setki. Na prawo od przecinka stoj¹ natomiast czêœci dziesiêtne, setne, tysiêczne itd. W odniesieniu do niektórych u³amków, jak w tym przyk³adzie, liczba miejsc pokazanych na kalkulatorze kieszonkowym ograniczona jest tylko liczb¹ miejsc na wskaÿniku. Jeœli oblicza siê dalsze miejsca, to nale y zwróciæ uwagê, e w powy szym przyk³adzie pierwsze szeœæ miejsc po przecinku powtarza siê nieskoñczon¹ iloœæ razy. 13

15 Minos Podstawy-Podrêcznik Dla przedstawienia tego okresowego u³amka dziesiêtnego liczby powtarzaj¹ce siê nadkreœla siê kresk¹ u góry. 3 7 = 0, W zale noœci od wymaganej dok³adnoœci u³amek mo na tak e zaokr¹gliæ. Pozostaje przy tym zachowana ostatnia cyfra, gdy cyfra po niej wynosi ona 0, 1, 2, 3, lub 4. Je eli natomiast nastêpuj¹ca po niej cyfra wynosi 5, 6, 7, 8, lub 9 - pozostaj¹c¹ ostatni¹ cyfrê zwiêksza siê o 1. Zaokr¹glanie u³amków w przyk³adzie do dwóch i do trzech miejsc po przecinku podaje nastêpuj¹cy wynik: 3 7 0, , Obliczenia potêgowe Przez zaokr¹glanie otrzymuje siê w obliczeniach okreœlony b³¹d. Ogólnie zaokr¹glane liczby powinny mieæ jedno lub dwa miejsca wiêcej ni liczby pocz¹tkowe, stosowane do obliczeñ. Zaokr¹glanie do wiêkszej liczby miejsc zwiêksza niepotrzebnie nak³ad obliczeñ. Ju przy podstawowych obliczeniach powtarzaj¹ce siê dodawanie okreœlonych liczb prowadzi do mno enia. Powtarzaj¹ce siê mno enie tych samych czynników prowadzi do obliczeñ potêgowych. Podstaw¹ (lub zasadnicz¹ liczb¹ potêgi) jest przy tym ta liczba, która jest mno ona. Informacja o tym, ile razy ta liczba jest mno ona, zawarta jest w wyk³adniku (nazywanym te liczb¹ wielokrotnoœci, poniewa ta liczba pisana jest w indeksie górnym za podstaw¹). W geometrii oblicza siê pole kwadratu, przy czym boki jednakowej d³ugoœci a mno y siê przez siebie. W przypadku szeœcianu powierzchnia kwadratu mno ona jest przez mno nik o tej samej d³ugoœci, co daje obliczenie objêtoœci. A = a a = a 2 V = a a a = a 3 Odpowiednio mno y siê te jednostki, powierzchniê podaje siê w m 2, objêtoœæ w m 3. 14

16 Podstawy-Podrêcznik Minos Przyk³ad Szeœcian ma boki d³ugoœci 3 m. Jak du a jest objêtoœæ? V= 3 m 3 m 3 m = 3 3 m 3 = 27 m 3. Wyk³adnik mo e byæ jednak tak e u³amkiem dziesiêtnym. O tym bêdzie wiêcej powiedziane przy obliczaniu pierwiastków. Je eli wyk³adnik jest ujemny, to mo na go przekszta³ciæ w wyk³adnik dodatni, w którym liczba wraz z potêg¹ jest mianownikiem u³amka. 3-2 = 1/3 2 = 1/9 Wa ne Wa ne Przyk³ad Dowolna liczba o wyk³adniku 0 daje zawsze 1. Dowolna liczba o wyk³adniku 1 daje dok³adnie tê sam¹ liczbê, poniewa jest ona tylko jedynym czynnikiem w mno eniu. 2 6 = = = = = 1/6 2 = 1/36 Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 10 w ksi¹ ce æwiczeñ. 15

17 Minos Podstawy-Podrêcznik Szczególne znaczenie maj¹ potêgi o podstawie 10. Okreœlane s¹ one jako potêgi dziesiêtne i wykorzystywane s¹ g³ównie po to, aby przedstawiæ liczby bardzo du e lub bardzo ma³e. Obliczanie potêg liczby 10 jest bardzo proste. Wyk³adnik podaje ile zer znajduje siê po liczbie 1. Mo na te, wychodz¹c z liczby 1, przesun¹æ przecinek o tyle miejsc na prawo, ile wynosi wyk³adnik. Przy wyk³adnikach ujemnych przecinek przesuwany jest natomiast od liczby 1 na lewo = = = = 0, = 0,001 Aby lepiej przedstawiæ du e lub ma³e liczby, przedstawia siê je czêsto w kombinacji z potêg¹ liczby 10. Przy tym przedstawiana jest sama liczba z mniejsz¹ lub wiêksz¹ liczb¹ miejsc po przecinku, a potêga liczby 10 wskazuje o ile miejsc nale y przesun¹æ przecinek. Istnieje tak e mo liwoœæ stosowania priorytetowo wyk³adnika stopniowanego - co 3, jak na przyk³ad 3, 6, 9, wzglêdnie -3, -6, -9. Mog¹ byæ one stawiane jako przedrostki, poprzedzaj¹ce jednostki. Wystêpuj¹cymi przedrostkami s¹: Kilo, Mega i Giga, ale tak e mili, mikro i nano. Przyk³ad = 1, = , = 1, = km = 10 3 m = 1000m 1nm = 10 9 m = 0, m 16

18 Podstawy-Podrêcznik Minos Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 11 i 12 w ksi¹ ce æwiczeñ! Nie na ka dym kalkulatorze kieszonkowym dostêpne s¹ funkcje do obliczania potêg. Te posiadaj¹ce mo liwoœæ wykonywania obliczeñ z³o onych, nazywane s¹ czêsto kalkulatorami kieszonkowymi - naukowymi. Dla podnoszenia do potêgi liczb, z czêsto wystêpuj¹cym wyk³adnikiem 2 lub 3, dostêpne s¹ wybrane przyciski x 2 lub x 3. Do innych wyk³adników stosuje siê przycisk x y. Dla obliczania potêg liczby 10 przewidziany jest przycisk EXP. W zale noœci od wykonania kalkulatora dla pokazania potêgi liczby 10 zarezerwowana jest odpowiednia liczba miejsc lub te liczba przed potêg¹ dziesiêtn¹ pokazywana jest z mniejsz¹ liczb¹ miejsc. Zadanie Proszê powierzyæ wykonywanie z³o onych obliczeñ swojemu kalkulatorowi kieszonkowemu i zadaæ do niego liczby z poprzedniego æwiczenia. 17

19 Minos Podstawy-Podrêcznik Dodawanie potêg mo liwe jest tylko wtedy, gdy zarówno podstawy jak i wyk³adniki dodawanych potêg s¹ takie same. Jest to czêsto wykorzystywane gdy podstawa potêgi jest zmienn¹. 2x 2 + 5x 2 = 7x 2 1,5a 7 + 3,6a 7 = 5,1a 7 Mno enie potêg mo liwe jest tylko wtedy, gdy podstawy lub wyk³adniki s¹ równe. Przy równych podstawach dodaje siê wyk³adniki potêg, przy równych wyk³adnikach natomiast obie podstawy mno y siê przez siebie. a n a m = a (n+m) a n b n = (a b) n Odpowiednio przy dzieleniu potêg o tej samej podstawie odejmuje siê od siebie wyk³adniki. Przy dzieleniu potêg o równych wyk³adnikach dzieli siê przez siebie obie podstawy. m a a =a n (m n) n a b = a n b n Przy potêgowaniu potêg oba wyk³adniki mno y siê przez siebie. W zapisie potêgowym mo na te przedstawiæ w zwartej formie zarówno liczby bardzo du e jak i bardzo ma³e. (a m ) n = a m n Przyk³ad x 2 x 3 = (x x) (x x x) = x (2+3) = x 5 x 5 x 2 = x (5 2) = x 3 x 5 y 5 = (x y) 5 a a 12 8 =a =a 12 ( 8) 20 (10 10 ) 10 = 10 (10 10) = , which equals to 1 with 100 zeros. 18

20 Podstawy-Podrêcznik Minos Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 13 w ksi¹ ce æwiczeñ! Gdyby chcieæ obliczyæ d³ugoœæ boku kwadratu, którego powierzchnia jest znana, to nale y obliczyæ pierwiastek. Obliczenie to nazywa siê wyci¹ganiem pierwiastka lub pierwiastkowaniem. Je eli kwadrat ma przyk³adowo powierzchniê 4 m 2, to d³ugoœæ jego boku wynosi 2 m. W tym przypadku obliczono pierwiastek kwadratowy. Obliczenie przedstawia siê nastêpuj¹co: 4 2 Aby obliczyæ pierwiastek z liczby nale y okreœliæ, jak¹ liczbê nale y przez siebie pomno yæ, aby otrzymaæ tê liczbê. Poniewa obliczenie nie jest proste, na ka dym kalkulatorze znajduje siê przycisk do obliczania pierwiastka. Pierwiastek mo na przedstawiæ równie jako potêgê. Zamiast stopnia pierwiastka pisze siê wtedy wyk³adnik potêgi w postaci u³amka. Jako wyk³adnik potêgi mo na tutaj wstawiæ tak e inne u³amki. Na szczególna uwagê zas³uguje pierwiastek szeœcienny. Z jego pomoc¹ oblicza siê d³ugoœæ krawêdzi szeœcianu o znanej objêtoœci / Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 14 z ksi¹ ki æwiczeñ! 19

21 Minos Podstawy-Podrêcznik 1.4 Liczby dwójkowe W naszym systemie dziesiêtnym u ywamy 10 cyfr od 0 do 9. Wiêksze liczby sk³adaj¹ siê z wiêkszej liczby cyfr. Jest przy tym wa ne, na jakim miejscu stoj¹ poszczególne cyfry. Cyfry od prawej ku lewej okreœlaj¹ jednoœci, dziesi¹tki, setki itd. Cyfra na miejscu setek jest zatem mno ona przez 100, cyfra na miejscu dziesi¹tek przez 10. Razem z cyfr¹ jednostek otrzymuje siê ca³¹ liczbê. Mo na zatem napisaæ: 325 = = Ten sposób postêpowania jest dla nas oczywiœcie zrozumia³y, w koñcu mamy te dziesiêæ palców, z pomoc¹ których mo emy równie liczyæ. Oprócz systemu dziesiêtnego mo liwe s¹ jednak tak e inne systemy liczbowe. Tak na przyk³ad tuzin sk³ada siê z 12 czêœci. Jeden dzieñ sk³ada siê z podwojonej liczby dwunastu godzin, a jedna godzina ma 60 minut, podobnie jak jedna minuta ma 60 sekund. Nim rozpocznie siê nowa minuta musi up³yn¹æ 60 sekund. Dla obliczeñ na komputerze zastosowano system dwójkowy. Tutaj mo liwe s¹ tylko dwa stany lub dwie cyfry, a mianowicie 0 i 1. Aby wykluczyæ nieporozumienia 1 przedstawia siê niekiedy jako L. Korzyœæ z tego systemu polega na tym, e oba stany bardzo ³atwo jest przedstawiæ, jako przypadek gdy pr¹d elektryczny p³ynie lub nie p³ynie. Tak e element pamiêci mo e byæ za³¹czony lub nie. Inne mo liwoœci nie s¹ dopuszczalne. Poniewa liczby dwójkowe lub inaczej binarne maj¹ tylko dwie cyfry staj¹ siê one d³u sze szybciej ni liczby dziesiêtne. Porównanie liczb dziesiêtnych i dwójkowych wygl¹da nastepuj¹co. Dziesiêtne Dwójkowe

22 Podstawy-Podrêcznik Minos Tak e w liczbach dwójkowych miejsce cyfry okreœla jej wartoœæ. Stosuje siê tutaj potêgê liczby 2 i dlatego funkcjonuje okreœlenie: liczba dwójkowa. Dla liczby dziesiêtnej 6 mo na zatem stosowaæ zapis dwójkowy tak e w takiej postaci: 110 = = Jak widaæ, miejsca od prawej w kierunku lewej maj¹ wartoœci 1, 2, 4, 8, 16 itd. Je eli chce siê przeliczyæ liczbê dziesiêtn¹ na liczbê binarn¹, to dzieli siê tê liczbê przez 2 i zapamiêtuje resztê z dzielenia. Dzielenie to wykonuje siê tak d³ugo, a wynik dzielenia osi¹gnie 0. Zapamiêtane liczby reszty daj¹ odwrotn¹ kolejnoœæ liczby dwójkowej. Przeliczyæ liczbê dziesiêtn¹ 29 na liczbê dwójkow¹ 29 podzieliæ przez 2 14 reszta 1 14 podzieliæ przez 2 7 reszta 0 7 podzieliæ przez 2 3 reszta 1 3 podzieliæ przez 2 1 reszta 1 1 podzieliæ przez 2 0 reszta 1 Dla okreœlenia liczby dwójkowej zapisuje siê reszty z obliczeñ od koñca i tym samym otrzymuj siê wynik Widaæ, e nieparzyste liczby dziesiêtne po przeliczeniu w liczbê dwójkow¹ zawsze na koñcu posiadaj¹ 1. Wynika to z tego, e liczby nieparzyste podzielne s¹ przez dwa tylko z reszt¹ 1. Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 15 w ksi¹ ce æwiczeñ! Aby odwrotnie zamieniæ liczbê dwójkow¹ na dziesiêtn¹ nale y dla ka dej pozycji liczby dwójkowej okreœliæ jej wartoœæ. Wszystkie wartoœci z cyfr¹ 1 nale y dodaæ, inne nale y zignorowaæ. Jak ju wspomniano wartoœci s¹ potêgami o podstawie 2. Najdalej stoj¹ca wartoœæ jest 2 0, a wiêc 1. Dla przekszta³cenia liczby dwójkowej w liczbê dziesiêtn¹ postêpuje siê nastêpuj¹co: = = = = = 1 1 Suma: 25 Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 16 z ksi¹ ki æwiczeñ! 21

23 Minos Podstawy-Podrêcznik Liczby dwójkowe w komputerze W ogólnoœci u ytkownik komputera nie ma bezpoœrednio do czynienia z liczbami dwójkowymi. Inaczej jest wtedy, gdy sami chcemy napisaæ program lub przy programowaniu sterownika logicznego, zwanego SPS. Pewne podstawowe wiadomoœci o sposobie pracy komputera s¹ z pewnoœci¹ przydatne. Liczba dwójkowa z jednym tylko miejscem nazywana jest bitem. Jeden bit mo e mieæ tylko wartoœæ 0 lub 1. Osiem bitów tworzy bajt. Z pomoc¹ tych oœmiu miejsc liczby dwójkowej mo na przedstawiæ liczby od 0 do 255. W zapisie liczby dwójkowej mo e byæ od oœmiu zer do oœmiu jedynek. Ka da litera i ka da cyfra systemu dziesiêtnego przedstawiana jest z pomoc¹ komputera poprzez bajt. Jakie liczby dwójkowe okreœlaj¹ poszczególne litery ustalono w kodzie ASC II (American Standard Code for Information Interchange). Du e A odpowiada przyk³adowo oznaczeniu lub liczbie dziesiêtnej 65. Poniewa liczby dwójkowe mog¹ byæ bardzo d³ugie, pojawi³ siê w technice komputerowej inny system liczbowy. W tym celu podzielono Bajty na dwie po cztery grupy bitów. Takie cztery grupy nazywa siê tak e Nibbles. Z pomoc¹ jednego Nibble lub z pomoc¹ czterech bitów mo na przedstawiæ w sumie 16 ró nych wartoœci. Do wyra enia liczb Nibbles zastosowano system heksagonalny, charakteryzuj¹cy siê podstaw¹ 16, w przeciwieñstwie do systemu dziesiêtnego, w którym podstaw¹ jest10. Poniewa dla systemu heksagonalnego niezbêdnych jest 16 ró nych znaków, obok cyfr 0 do 9 zastosowano tak e litery od A do F. Aby wykluczyæ pomy³kê z innym systemem liczbowym po liczbie heksagonalnej dopisuje siê jeszcze ma³e h. Liczby, przedstawiane z pomoc¹ bajta maj¹ nastêpuj¹ce zakresy w ró nych systemach liczbowych. System dwójkowy do System heksagonalny 00 do FF. System dziesiêtny 0 do

24 Podstawy-Podrêcznik Minos Z powodu zastosowania w komputerze systemu dwójkowego pojawi³y siê specjalne liczby, które powstaj¹ z potêgi o podstawie 2. Liczby te to przyk³adowo: 2 6 = = = = = 1024 Liczby te mo na znaleÿæ zw³aszcza w elementach pamiêci. Z systemu binarnego wynika te, e karta pamiêci ma 512 Mbajtów, a nie 500. Inn¹ osobliwoœæ przedstawiaj¹ przedrostki kilo, stosowane dla wartoœci Tak na przyk³ad 1000 metrów równa siê 1 kilometr. W przetwarzaniu danych jednak 1024 bajty równaj¹ siê 1 kilobajt. Aby wykluczyæ pomy³kê w przetwarzaniu danych zastosowano przedrostki kibi i mebi dla binarnego Kilo i binarnego Mega. W praktyce wprawdzie spotyka siê je jeszcze, ale ju rzadko. W razie w¹tpliwoœci nale y zatem dok³adnie sprawdziæ czy przedrostek Kilo oznacza 1000 czy Zwykle mo na stosowaæ zasadê, e przy zajmowaniu siê bitami przedrostek Kilo oznacza 1000, a przy bajtach oznacza Przyk³ad Szybkoœæ transmisji kana³u telefonicznego ISDN wynosi 64 kbit/s. Jest to dok³adnie bit/s, a nie bit/s, co otrzyma³oby siê z mno enia Nowoczesna p³yta g³ówna natomiast z 400 Gigabajtami ma 400 miliardów bajtów. Poniewa komputer jednak wewnêtrznie stosuje dwójkowy system liczbowy, wykazuje on pojemnoœæ tylko 372,5 Gigabajtów. Wytwórcy p³yt g³ównych stosuj¹ jednak chêtniej wartoœæ 400 zamiast 372,5. 23

25 Minos Podstawy-Podrêcznik 1.5 Obliczenia ze zmiennymi Z pomoc¹ zmiennych mo na przedstawiæ ogólnie obowi¹zuj¹ce zasady w postaci wzorów. Jako zmiennych u ywa siê liter. Przez podstawienie zmiennej o konkretnej wartoœci mo na dla dowolnie wielu przypadków uzyskaæ obliczony wynik. Wzór na obliczanie powierzchni prostok¹ta wygl¹da przyk³adowo nastêpuj¹co: A = a b. Pole oznaczono tutaj przez A, natomiast a i b to d³ugoœci boków prostok¹ta. Przez podstawienie wartoœci a i b mo na obliczyæ powierzchniê prostok¹ta. Z pomoc¹ zmiennych a i b mo na wykonywaæ obliczenia tak samo jak z pomoc¹ liczb. Obowi¹zuj¹ te same zasady obliczeñ jak np.: obliczenia skupione przed obliczeniami liniowymi lub zasady wy³¹czania przed nawias i obliczeñ w nawiasach. Jeden tylko wynik mo na oczywiœcie uzyskaæ, gdy zmienne zast¹pione zostan¹ konkretnymi wartoœciami. Je eli nale y rozwi¹zaæ równanie to, dla uzyskania jednoznacznego wyniku, mo e w nim byæ tylko jedna nieznana wielkoœæ. Tak w równaniu na obliczanie powierzchni przyk³adowo znane s¹ oba boki prostok¹ta, a obliczyæ nale y jego powierzchniê. Mo e byæ jednak tak, ze znana jest powierzchnia i jeden bok, a obliczyæ nale y d³ugoœæ drugiego boku. W tym przypadku nale y wzór przekszta³ciæ tak, by obliczana wielkoœæ sta³a sama po jednej stronie równania. U³o one w kolejnoœci po sobie liczby lub zmienne i znaki obliczeniowe po jednej stronie równania okreœla siê jako cz³on równania. Nieznan¹ wielkoœæ oznacza siê liter¹ x. Przekszta³cenie równania nazywa siê tak e rozwi¹zaniem ze wzglêdu na x. Nastêpuje to, gdy po obu stronach równania, a wiêc na obu cz³onach równania, stosuje siê te same operacje obliczeniowe. Te operacje obliczeniowe zapisuje siê obok równania po jego prawej stronie i oddziela siê pionow¹ kresk¹. Obliczana wielkoœæ x powinna na koñcu przekszta³ceñ staæ po lewej stronie równania. 24

26 Podstawy-Podrêcznik Minos Przyk³ad a = b + x b a b = x x = a b a = b x + x a + x = b a x = b a x : a = b x = b a a a : x = b x a = b x : b a : b = x x = b Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 17 w ksi¹ ce æwiczeñ! 1.6 Obliczenia procentowe W codziennym yciu spotyka siê czêsto liczby, które s¹ podane w procentach. Podaje siê, o ile procent wzros³a lub spad³a cena, lub ile procent ludzi jest w okreœlonym wieku. Przy tym liczba, do której odnosi siê procent, ustanowiona jest jako 100, a wartoœæ procentu jest czêœci¹ tej liczby 100. Relacja do bezwzglêdnej wartoœci nie ma tutaj miejsca. Przyk³ad Butelka o zawartoœci jednego litra jest nape³niona w 60%. Druga butelka o pojemnoœci dwóch litrów jest nape³niona w 40%. Pomimo tego w drugiej butelce, patrz¹c na bezwzglêdn¹ zawartoœæ, jest wiêcej p³ynu ni w butelce pierwszej. Odnoœnie butelki o pojemnoœci jednego litra objêtoœæ tê przyjêto za 100%. 60% z tego to 0,6 litra. 1 litr: 100% = 0,6 litra: 60% Butelka dwulitrowa jest wprawdzie nape³niona tylko w 40%, poniewa jednak te dwa litry stanowi¹ 100% to czêœæ równa 40% odpowiada absolutnej zawartoœci 0,8 litra. 2 litry: 100% = 0,8 litra: 40%. Przy obliczeniach procentowych ustalona jest tylko wartoœæ 100%. W zale noœci od postawionego zadania nieznana jest jedna z trzech innych wartoœci i mo e ona byæ obliczona po odpowiednim przekszta³ceniu równania. Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 18 w ksi¹ ce æwiczeñ! 25

27 Minos Podstawy-Podrêcznik Obliczanie odsetek Gdy po ycza siê pieni¹dze, to jest rzecz¹ normaln¹, e za tê po yczkê nale y zap³aciæ odsetki. Odsetki s¹ podawane w procentach. Stopa procentowa okreœla, ile odsetek p³aci siê w jednym roku za 100 Euro. Przyk³ad Ile procent wynosi stopa procentowa, gdy za kredyt wartoœæ Euro nale y zap³aciæ Euro odsetek? 100% po yczonej sumy to jest Euro. Nale y obliczyæ stopê procentow¹ dla Euro. 100%: Euro = x %: Euro Po przekszta³ceniu równania obliczona stopa procentowa wynosi 12%. Dla uproszczenia mo na przy obliczaniu odrzuciæ 100%. Stopê procentow¹ oblicza siê wtedy dziel¹c odsetki przez sumê kredytu. x = Euro : Euro = 0,12 Wynik nale y jednak na koñcu pomno yæ przez odrzucone wczeœniej 100% tak, e uzyska siê w wyniku znowu stopê procentow¹ równ¹ 12%. Mno enie przez 100% przeprowadzane jest przy obliczeniach z pomoc¹ kalkulatora kieszonkowego, gdy po podzieleniu zamiast przycisku równa siê wciœnie siê przycisk procent. Przy nieznanych kalkulatorach powinno siê tê funkcjê jednak sprawdziæ na prostym przyk³adzie. Przy obliczaniu odsetek mo na uwzglêdniæ, e odsetki bêd¹ p³acone przez wiêksz¹ liczbê lat. Przyk³ad Jeœli w kasie oszczêdnoœciowej znajduje siê 1000 Euro i aktywa te pozostaj¹ w kasie przez okres 5 lat przy stopie procentowej 3%, to przy obliczaniu odsetek za jeden rok i w koñcu po pomno eniu tego wyniku przez 5 by³aby w kasie oszczêdnoœciowej kwota tylko 1150 Euro. 26

28 Podstawy-Podrêcznik Minos Jest jednak tak, e po pierwszym roku w kasie oszczêdnoœciowej znajduje siê 1030 Euro, które w drugim roku s¹ oprocentowane stop¹ 3%. Obliczanie nastêpuje wed³ug podanego ni ej nastêpuj¹cego ogólnego wzoru, przy czym G 0 jest kapita³em pocz¹tkowym, natomiast G n jest kapita³em po n latach. W miejsce z wstawia siê stopê procentow¹, natomiast n oznacza liczbê lat. G n = G 0 (1 + z/100) n Dla piêciu lat przy stopie procentowej 3% uzyskuje siê, po podstawieniu do wzoru, nastêpuj¹cy wynik: G 5 = 1000 Euro (1 + 3/100) 5 G 5 = 1000 Euro (1 + 0,03) 5 G 5 = 1000 Euro 1,03 5 G 5 = 1159,27 Euro Ró nica w stosunku do poprzednich obliczeñ nie jest tutaj zbyt du a, przy d³u szym okresie czasu i wy szej stopie procentowej ró nice bêd¹ jednak bardziej widoczne. Przy stopie procentowej 3% wp³acona suma podwoi siê gdy okres oszczêdzania trwa oko³o 24 lata. Gdyby natomiast nie uwzglêdniono w obliczeniach uzyskanych kolejnych odsetek, to uzyskanie podwojenia wk³adu trwa³oby oko³o 33 lata. Je eli kredyt bêdzie sp³acany w jednakowych ratach, to na pocz¹tek sp³acania wymagana bêdzie du a czêœæ raty dla wyrównania odsetek a dopiero pozosta³e sp³aty bêd¹ pomniejszaæ zaci¹gniêty kredyt. Dopiero z up³ywem okresu sp³acania udzia³ odsetek bêdzie mala³, a z ka d¹ rat¹ wiêkszy bêdzie udzia³ czêœci sp³acanego kredytu. Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 19 w ksi¹ ce æwiczeñ! 27

29 Minos Podstawy-Podrêcznik 1.7 Geometria Jako wprowadzenie do geometrii musz¹ najpierw zostaæ podane definicje. Przedmiot ma wymiary w trzech kierunkach. Ma on d³ugoœæ, szerokoœæ i wysokoœæ i tym samym jest on trójwymiarowy. Powierzchnia rozci¹ga siê tylko w dwóch wymiarach. Tak na przyk³ad powierzchnia zewnêtrzna szeœcianu sk³ada siê z wiêkszej liczby powierzchni. Linia jest krawêdzi¹ szeœcianu. Ma ona tylko jeden wymiar w jednym kierunku. Punkt nie ma adnego wymiaru, jest on nieskoñczenie ma³y. Mo e on byæ rozumiany jako punkt przeciêcia siê dwóch linii. Oprócz punktu, do podstaw geometrii zalicza siê te linia prosta. Definiuje siê j¹ w ten sposób, e przebiega ona przez dwa punkty i nie ma ani pocz¹tku ani koñca. Dwie proste na jednej p³aszczyÿnie mog¹ siê przecinaæ najwy ej w jednym punkcie. Wyj¹tkiem jest tutaj przypadek, gdy wszystkie ich punkty siê pokrywaj¹. Gdy dwie linie proste na p³aszczyÿnie nie przecinaj¹ siê to nazywa siê je równoleg³ymi. Promieñ jest równie nieskoñczenie d³ug¹ lini¹. W przeciwieñstwie do linii prostej promieñ ma jednak punkt pocz¹tkowy. Drugi koniec biegnie dalej a w nieskoñczonoœæ. Odcinek, podobnie jak linia prosta, przebiega przez dwa punkty, jednak e te obydwa punkty ograniczaj¹ d³ugoœæ odcinka. Odcinek jest zatem najkrótszym po³¹czeniem pomiêdzy dwoma punktami K¹t Je eli dwa promienie wychodz¹ z tego samego punktu to tworz¹ one k¹t. Je eli obraca siê jednym promieniem wokó³ wspólnego ich punktu do momentu, gdy pokryje siê on z drugim promieniem, to miara tego obrotu daje k¹t miêdzy tymi promieniami. Oba promienie nazywane s¹ tak e ramionami. Ko³o jest podzielone na 360 czêœci, które to czêœci s¹ nazwane stopniami. K¹t oznaczony jako 360 nazywa siê k¹tem pe³nym. Je eli k¹t ma wartoœæ pomiêdzy 0 a 90, to mówi siê, e jest to k¹t ostry. K¹t rozwarty ma wartoœci pomiêdzy 90 a 180. Jeœli oba ramiona s¹ ustawione do siebie prostopadle, to taki k¹t okreœla siê jako k¹t prosty. Ma on wartoœæ Jeœli oba ramiona le ¹ dok³adnie naprzeciw siebie, to powstaje k¹t pó³pe³ny o wartoœci 180. K¹t o wartoœci miêdzy 180 i 360 nazywa siê k¹tem rozwartym wklês³ym. 28

30 Podstawy-Podrêcznik Minos k t ostry k t prosty k t rozwarty k t pó pe ny k t rozwarty wk s y k t pe ny Rys. 2: Podzia³ k¹tów k ty odpowiadaj ce k ty naprzemianleg e k ty przy dwóch prostych przecinaj cych si k ty jednostronne Rys. 3: K¹ty pomiêdzy przecinaj¹cymi siê prostymi Je eli przecinaj¹ siê dwie proste, to powstaj¹ cztery oddzielne k¹ty. Obydwa k¹ty le ¹ce naprzeciw siebie s¹ jednakowej wielkoœci, natomiast dwa s¹siaduj¹ce ze sob¹ maj¹ w sumie 180. Je eli dwie proste równoleg³e zostaj¹ przeciête inn¹ lini¹ prost¹, to powstaje w sumie osiem ró nych k¹tów. Powsta³e przy tym k¹ty odpowiadaj¹ce s¹ zawsze tej samej wielkoœci. Obowi¹zuje to równie tak samo dla k¹tów naprzemianleg³ych. K¹ty jednostronne daj¹ zawsze w sumie k¹t

31 Minos Podstawy-Podrêcznik Czworok¹t Czworok¹t wyznaczony jest przez cztery punkty, z których zawsze tylko dwa mog¹ le eæ na jednej prostej. W zale noœci od po³o enia i od d³ugoœci boków wyró nia siê ró ne czworok¹ty. W kwadracie wszystkie cztery boki s¹ jednakowej d³ugoœci. Ka de boki le ¹ce naprzeciw siebie s¹ równoleg³e. Wszystkie cztery k¹ty kwadratu wynosz¹ 90. Powierzchniê oblicza siê na podstawie d³ugoœci boków kwadratu. A jest przy tym powierzchni¹, zaœ a d³ugoœci¹ boków. A = a 2 Obwód kwadratu oblicza siê jako sumê czterech boków równej d³ugoœci. U = 4 a Prostok¹t ró ni siê od kwadratu tym, e zawsze tylko boki le ¹ce naprzeciw siebie s¹ równej d³ugoœci. Dla obliczenia powierzchni mno y siê przez siebie d³ugoœci obu boków. A = a b Dla obliczenia obwodu sumuje siê d³ugoœci czterech boków. Poniewa zawsze dwa boki s¹ jednakowej d³ugoœci, obwód mo na obliczaæ nastêpuj¹co: U = 2a + 2b Przyk³ad Pokój nale y wy³o yæ wyk³adzin¹ pod³ogow¹. Pokój ma 6 m d³ugoœci i 4 m szerokoœci. Ile metrów kwadratowych wyk³adziny jest niezbêdne? Ile metrów obrze a wyk³adziny wymagane jest dla ca³ego pokoju, je eli wliczy siê tak e drzwi? A = a b A = 6 m 4m A = 24 m 2 U = 2a + 2b U = 2 6 m + 2 4m U = 12 m + 8 m U = 20 m Wymagane jest 24 m 2 wyk³adziny. Sumaryczna d³ugoœæ krawêdzi to 20 m. 30

32 Podstawy-Podrêcznik Minos kwadrat prostok t romb romboid trapez deltoid czworok t wkl s y Rys. 4: Oznaczenia czworok¹tów Oprócz kwadratu i prostok¹ta istnieje jeszcze szereg innych czworok¹tów. Ogólnie równoleg³obokami okreœla siê czworok¹ty, w których oba le ¹ce naprzeciw siebie boki s¹ równoleg³e i s¹ jednakowej d³ugoœci. Tym samym kwadrat i prostok¹t nale ¹ te do równoleg³oboków. Romb ma, tak jak kwadrat, wszystkie boki jednakowej d³ugoœci. K¹ty w rombie nie s¹ wprawdzie k¹tami prostymi i maja wartoœci ró ne od 90. W romboidzie, podobnie jak w prostok¹cie, jednakowej d³ugoœci s¹ boki le ¹ce naprzeciw siebie, ale tak e tutaj k¹ty nie s¹ równe 90. W trapezie tylko dwa le ¹ce naprzeciw siebie boki s¹ do siebie równoleg³e. Wszystkie cztery boki mog¹ byæ ró nej d³ugoœci, W deltoidzie natomiast jednakowej d³ugoœci s¹ dwa boki le ¹ce przy sobie. aden bok nie jest równoleg³y do drugiego boku. Jest to typowy kszta³t latawca dla dzieci. Istnieje jeszcze mo liwoœæ, e czworok¹t jest wklês³y. Oznacza to, e jeden wierzcho³ek jest skierowany do wewn¹trz. Przy obliczaniu pola, we wszystkich tych czworok¹tach, najkorzystniej jest podzieliæ ich powierzchniê na trójk¹ty i obliczaæ pola wszystkich takich trójk¹tów. Dla obliczenia obwodu mo na sumowaæ d³ugoœci wszystkich czterech boków. Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 20 w ksi¹ ce æwiczeñ! 31

33 Minos Podstawy-Podrêcznik Trójk¹t Trójk¹t wyznaczony jest przez trzy punkty, które nie mog¹ le eæ na jednej prostej. Te trzy punkty oznacza siê jako A, B i C, natomiast boki le ¹ce naprzeciw tych punków oznacza siê ma³ymi literami a, b i c. K¹ty w trójk¹cie otrzymuj¹ oznaczenia greckimi literami á (alfa), â (beta) i ã (gamma). Wa ne Suma trzech k¹tów wewnêtrznych w trójk¹cie wynosi zawsze 180. Trójk¹ty mog¹ mieæ ró ne kszta³ty. Trójk¹t ostrok¹tny ma tylko k¹ty, które s¹ mniejsze od 90. W trójk¹cie rozwartok¹tnym wystêpuje jeden k¹t wiêkszy od 90. Trójk¹t prostok¹tny ma jeden k¹t prosty. Dla tych trójk¹tów obowi¹zuj¹ pewne specjalne regu³y. Je eli dwa boki trójk¹ta s¹ jednakowej d³ugoœci to taki trójk¹t nazywa równoramiennym. Je eli trzy boki s¹ jednakowej d³ugoœci to trójk¹t jest równobocznym. Tutaj tak e k¹ty wewnêtrzne s¹ jednakowej wielkoœci, mianowicie 60. Linia, która biegnie od wierzcho³ka prostopadle do przeciwleg³ego boku, nazywa siê wysokoœci¹ i jest oznaczana jako h. Poniewa z trzech wierzcho³ków mo na poprowadziæ trzy wysokoœci, to te ró ne wysokoœci oznacza siê literami z indeksami boków, do których one prostopadle dochodz¹, a wiêc h a, h b, h c. C b a A c B ostrok tny prostok tny rozwartok tny równoramienny równoboczny Rys. 5: Kszta³ty trójk¹tów 32

34 Podstawy-Podrêcznik Minos W trójk¹cie równoramiennym wysokoœæ poprowadzona do boku o dowolnej d³ugoœci dzieli ten bok na dwie równe czêœci. Powierzchnia trójk¹ta równa jest zawsze po³owie iloczynu wysokoœci i d³ugoœci boku, do którego tê wysokoœæ poprowadzono: A = 1 2 h a = 1 2 h b = 1 a b 2 h c c Przyk³ad W pewnym trójk¹cie bok c ma d³ugoœæ 5 cm. Wysokoœæ h c poprowadzona do tego boku ma d³ugoœæ 4 cm. Ile wynosi powierzchnia tego trójk¹ta? A = 1 2 h c A = 1 4cm 5cm 2 A = 10cm 2 c Poniewa wysokoœæ przebiega zawsze prostopadle do jednego z boków, to dzieli ona trójk¹t na dwa trójk¹ty prostok¹tne. Poniewa dla trójk¹tów prostok¹tnych obowi¹zuj¹ szczególne zasady, czêsto jest korzystne by powierzchniê podzieliæ na trójk¹ty prostok¹tne. Important W trójk¹tach prostok¹tnych bok le ¹cy naprzeciw k¹ta prostego nazywany jest przeciwprostok¹tn¹. Obydwa pozosta³e boki nazywaj¹ siê przyprostok¹tnymi. Dla trójk¹ta prostok¹tnego obowi¹zuje twierdzenie Pitagorasa. Mówi ono, e w trójk¹cie prostok¹tnym powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostok¹tnej jest równa sumie powierzchni kwadratów zbudowanych na przyprostok¹tnych. Z pomoc¹ równania przedstawia siê to nastêpuj¹co: c 2 = a 2 + b 2 Przyk³ad Obydwie przyprostok¹tne trójk¹ta prostok¹tnego maj¹ d³ugoœci 3 cm i 4 cm. Jak¹ d³ugoœæ ma przeciwprostok¹tna tego trójk¹ta? c 2 = a 2 + b 2 c 2 = 3 2 cm cm 2 c 2 = 9 cm cm 2 c 2 = 25 cm 2 c = 5 cm Przeciwprostok¹tna ma d³ugoœæ 5 cm. Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 21 w ksi¹ ce æwiczeñ! 33

35 Minos Podstawy-Podrêcznik a 2 b 2 a c b c 2 Rys 6: Twierdzenie Pitagorasa Przyk³ad W trójk¹cie równoramiennym obydwa boki a i b maj¹ d³ugoœæ po 13 cm. Bok c ma d³ugoœæ 10 cm. Jaka jest powierzchnia tego trójk¹ta? Najpierw nale y obliczyæ wysokoœæ. Nastêpnie trójk¹t równoramienny nale y podzieliæ na dwa trójk¹ty prostok¹tne. Przeciwprostok¹tna takiego trójk¹ta prostok¹tnego ma d³ugoœæ 13 cm, a przyprostok¹tna ma po³owê d³ugoœci boku c, czyli 5 cm. Tê czêœæ odcinka oznaczono tutaj przez d. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mo na teraz obliczyæ wysokoœæ. a 2 = h c 2 + d 2 h c 2 = a 2 d 2 h c 2 = 13 2 cm cm 2 h c 2 = 169 cm 2 25 cm 2 h c 2 = 144 cm 2 h c = 12 cm Maj¹c dan¹ wysokoœæ i d³ugoœæ boku c mo na teraz obliczyæ powierzchniê. A = 1 2 h c c A = 1 12 cm 10 cm 2 A = 60cm 2 34

36 Podstawy-Podrêcznik Minos Funkcje trygonometryczne Dla obliczeñ w trójk¹cie prostok¹tnym mo na stosowaæ tak e funkcje trygonometryczne sinus, cosinus i tangens. Inne trójk¹ty nale y zatem podzieliæ na trójk¹ty prostok¹tne, je eli chce siê stosowaæ obliczenia z pomoc¹ funkcji trygonometrycznych. Oprócz przeciwprostok¹tnej obie przyprostok¹tne nale y teraz nazwaæ inaczej. Przyprostok¹tna przylegaj¹ca to przyprostok¹tna, która wraz z przeciwprostok¹tn¹ tworzy k¹t brany pod uwagê w obliczeniach. Przyprostok¹tna przeciwleg³a le y natomiast naprzeciw tego k¹ta. Funkcjê sinus k¹ta oblicza siê z podzielenia przyprostok¹tnej przeciwleg³ej przez przeciwprostok¹tn¹. sin α = przyprostokątna przeciwległa przeciwprostokątna Aby, maj¹c funkcjê sinus jakiegoœ k¹ta, obliczyæ ponownie wartoœæ tego k¹ta stosowano wczeœniej tablice trygonometryczne. Dzisiaj obliczenia takie przeprowadza siê wygodniej z u yciem kalkulatora kieszonkowego. Funkcje trygonometryczne wystêpuj¹ jednak tylko na kalkulatorach naukowych. Aby obliczyæ funkcjê sinus k¹ta 30, nale y najpierw zadaæ wartoœæ 30, a potem nacisn¹æ przycisk SIN. Obliczenie by³o prawid³owe, je eli zostanie pokazany wynik 0,5. Dla odwrotnego obliczenia z funkcji sinus wartoœci k¹ta stosuje siê ró ne przyciski. Najczêœciej u ywa siê do tego przycisków wywo³uj¹cych rozszerzanie funkcji, oznaczanych jako ARC SIN lub SIN -1. Po wprowadzeniu wartoœci 0,5 i wciœniêciu odpowiednich przycisków obliczona zostanie wartoœæ 30. przeciwprostok tna przyprostok tna przyleg a przyprostok tna przeciwleg a Rys. 7: Funkcje trygonometryczne w trójk¹cie 35

37 Minos Podstawy-Podrêcznik Przyk³ad Trójk¹t prostok¹tny ma przeciwprostok¹tn¹ o d³ugoœci 5 cm. Przyprostok¹tna przeciwleg³a ma d³ugoœæ 3 cm. Jak¹ wielkoœæ ma k¹t. sin α = sin α = 3cm 5cm sin α = 0,6 α 36,9 przyprostokątna przeciwległa przeciwprostokątna W trójk¹cie prostok¹tnym k¹t ma wartoœæ 50. Przyprostok¹tna przeciwleg³a ma d³ugoœæ 8 cm. Jak¹ d³ugoœæ ma przeciwprostok¹tna? sin α = sin 50 = 8cm c c = 8cm sin 50 c 10,44cm przyprostokątna przeciwległa przeciwprostokątna Nastêpn¹ funkcjê trygonometryczn¹ oblicza siê na podstawie przyprostok¹tnej przyleg³ej i przeciwprostok¹tnej. Funkcja trygonometryczna cosinus okreœlona jest jako: cos α = przyprostokątna przyległa przeciwprostokątna Trzeci¹ wa n¹ funkcj¹ trygonometryczn¹ jest tangens. Funkcje tangens k¹ta oblicza siê z podzielenia przyprostok¹tnej przeciwleg³ej przez przeciwprostok¹tn¹. tan α = przyprostokątna przeciwległa przyprostokątna przyległa Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 22 w ksi¹ ce æwiczeñ! 36

38 Podstawy-Podrêcznik Minos Ko³o Ko³o jest zdefiniowane za pomoc¹ promienia. Promieñ mierzy siê od œrodkowego punktu do brzegu ko³a. Œrednica ko³a odpowiada dok³adnie podwojonemu promieniowi. Stosunek obwodu do œrednicy ko³a daje liczbê. Literê tê wymawia siê jako pi. Liczba ta jest liczb¹ niewymiern¹, co oznacza, e po przecinku stoi nieskoñczenie wiele miejsc, przy czym nie jest to liczba okresowa. Pierwsze miejsca tej liczby wygl¹daj¹ nastêpuj¹co: 3, Dla obliczeñ praktycznych zaokr¹gla siê j¹ do dwóch lub czterech miejsc po przecinku. Wzór na obliczanie obwodu ko³a wygl¹da nastêpuj¹co: U = d = 2 r Tak e dla obliczenia pola ko³a niezbêdna jest liczba. Wzór na obliczanie pola ko³a ma postaæ: 2 2 A = 1 d = r 4 Przyk³ad Ko³o ma obwód 20 cm. Jaka jest jego œrednica? Jakie jest pole tego ko³a? Wynik proszê zaokr¹gliæ do dwóch miejsc po przecinku. U = d d = U d = 20 cm 3,1416 d 6,37cm A = 1 2 d 4 A = ,1416 6,37 cm 4 A 2 31,87 cm Zadanie Proszê rozwi¹zaæ zadanie 23 w ksi¹ ce æwiczeñ! 37

39 Minos Podstawy-Podrêcznik Bry³y Bry³a ma wymiary we wszystkich trzech kierunkach. Ograniczona jest powierzchni¹ zewnêtrzn¹. Zawartoœæ bry³y okreœlana jest jako jej objêtoœæ. Szeœcian ograniczony jest szeœcioma kwadratami jednakowej wielkoœci. Zatem zewnêtrzna powierzchnia szeœcianu wynosi: A = 6 a 2 Poniewa wszystkie boki szeœcianu s¹ jednakowej d³ugoœci, to jego objêtoœæ oblicza siê z nastêpuj¹cego wzoru: V = a 3 Szeœcian jest szczególnym przypadkiem prostopad³oœcianu. W prostopad³oœcianie le ¹ce naprzeciw siebie powierzchnie s¹ prostok¹tami jednakowej wielkoœci. Pole powierzchni zewnêtrznej oblicza siê dlatego dodaj¹c do siebie szeœæ powierzchni. A = 2 (a b + a c + b c) Dla obliczenia objêtoœci mno y siê przez siebie d³ugoœci trzech boków. V = a b c W przypadku walca le ¹ce naprzeciw siebie podstawy s¹ ko³ami. Po³¹czenie tych kó³ nastêpuje za pomoc¹ powierzchni bocznej walca. Powierzchniê zewnêtrzn¹ walca oblicza siê jako powierzchniê pól obu kó³ i powierzchniê boczn¹, któr¹ oblicza siê z kolei wychodz¹c z obwodu ko³a i wysokoœci walca. Objêtoœæ walca oblicza siê na podstawie pola ko³a i wysokoœci walca. Przyk³ad Walec ma œrednicê 5 cm i wysokoœæ 20 cm. Jaka jest powierzchnia zewnêtrzna i objêtoœæ walca? Najpierw oblicza siê pole i obwód ko³a. A = 1 d 4 A = 1 3, cm 2 A = 19,635 cm U = d U = 3, cm U = 15,708 cm 38

Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 1: Podstawy Podręczniki (Koncepcja) Matthias Römer Uniwersytet Techniczny w Chemnitz, Instytut Obrabiarek i Procesów Produkcyjnych Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005

Bardziej szczegółowo

Modu 9: Szybkie Prototypowanie

Modu 9: Szybkie Prototypowanie Mechatronika Modu 9: Szybkie Prototypowanie wiczenia (pomys ) prof. dr hab. in. Edward Chlebus dr in. Bogdan Dyba a, dr in. Tomasz Boraty ski dr in. Jacek Czajka dr in. Tomasz B dza dr in. Mariusz Frankiewicz

Bardziej szczegółowo

Jerzy Jędrzejewski Wojciech Kwaśny Zbigniew Rodziewicz Andrzej Błażejewski. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Jerzy Jędrzejewski Wojciech Kwaśny Zbigniew Rodziewicz Andrzej Błażejewski. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 6: Systemy i funkcje mechatroniczne Ćwiczenia (Koncepcja) Jerzy Jędrzejewski Wojciech Kwaśny Zbigniew Rodziewicz Andrzej Błażejewski Politechnika Wrocławska, Instytut Technologii Maszyn

Bardziej szczegółowo

Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 5: Komponenty mechatroniczne Ćwiczenia (Koncepcja) Wojciech Kwaśny Andrzej Błażejewski Politechnika Wrocławska, Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji, Wrocław, Polska Projekt UE

Bardziej szczegółowo

Moduł 3: Technika płynowa. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Moduł 3: Technika płynowa. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 3: Technika płynowa Ćwiczenia (Koncepcja) Matthias Römer Uniwersytet Techniczny w Chemnitz, Instytut Obrabiarek i Procesów Produkcyjnych Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od

Bardziej szczegółowo

Matematyka na szóstke

Matematyka na szóstke Stanislaw Kalisz Jan Kulbicki Henryk Rudzki Matematyka na szóstke Zadania dla klasy V Opole Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Wstêp...5 1. Liczby naturalne...7 Rachunek pamiêciowy...7 1. Dodawanie i odejmowanie...7

Bardziej szczegółowo

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody. Propozycja rozkładu materiału nauczania Matematyka wokół nas Rozkład materiału nauczania z odniesieniami do wymagań z podstawy programowej. Matematyka wokół nas KLASA 5 Nr lekcji Temat lekcji Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

XXII Krajowa Konferencja SNM. Egzamin gimnazjalny- matematyka

XXII Krajowa Konferencja SNM. Egzamin gimnazjalny- matematyka 1 XXII Krajowa Konferencja SNM Egzamin gimnazjalny- matematyka Beata Bork-Krzywicka, lubuskie@pazdro.com.pl Przedstawiciel Regionalny oficyny Edukacyjnej* Krzysztof Pazdro Streszczenie. Od przedstawiciela

Bardziej szczegółowo

Modu 9: Szybkie Prototypowanie

Modu 9: Szybkie Prototypowanie Mechatronika Modu 9: Szybkie Prototypowanie rozwi zania (pomys ) prof. dr hab. in. Edward Chlebus dr in. Bogdan Dyba a, dr in. Tomasz Boraty ski dr in. Jacek Czajka dr in. Tomasz B dza dr in. Mariusz Frankiewicz

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Mechatronika. Modu 12: Interfejsy. rozwi zania. (pomys ) dr Gabriele Neugebauer mgr in. Matthias Römer Neugebauer und Partner OHG Niemcy

Mechatronika. Modu 12: Interfejsy. rozwi zania. (pomys ) dr Gabriele Neugebauer mgr in. Matthias Römer Neugebauer und Partner OHG Niemcy Mechatronika Modu 12: Interfejsy rozwi zania (pomys ) dr Gabriele Neugebauer mgr in. Matthias Römer Neugebauer und Partner OHG Niemcy Europejski Projekt transferu innowacji dla dodatkowej kwalifikacji

Bardziej szczegółowo

Moduł 2 (Część 2): Organizacja i zarządzanie projektami. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Moduł 2 (Część 2): Organizacja i zarządzanie projektami. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 2 (Część 2): Organizacja i zarządzanie projektami Instrukcja (Koncepcja) Andre Henschke Firma konsultingowa Henschke, Drezno, Niemcy Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005

Bardziej szczegółowo

Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 4: Napędy i sterowania elektryczne Podręczniki (Koncepcja) Matthias Römer Uniwersytet Techniczny w Chemnitz, Instytut Obrabiarek i Procesów Produkcyjnych Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS,

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl LICZBY NATURALNE I UŁAMKI

Spis treści. Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Spis treści LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Działania na liczbach naturalnych i ułamkach dziesiętnych... 3 Potęgowanie liczb.. 8 Przykłady pierwiastków 12 Działania na ułamkach zwykłych... 13 Ułamki zwykłe i

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Mechatronika. Modu 11: Migracje Europejskie. wiczenia. (pomys ) Andre Henschke Henschke Consulting, Niemcy

Mechatronika. Modu 11: Migracje Europejskie. wiczenia. (pomys ) Andre Henschke Henschke Consulting, Niemcy Mechatronika Modu 11: Migracje Europejskie wiczenia (pomys ) Andre Henschke Henschke Consulting, Niemcy Europejski Projekt transferu innowacji dla dodatkowej kwalifikacji Mechatronika dla specjalistów

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

1. Rozk³ad materia³u nauczania dla klasy VI (4 godziny tygodniowo)

1. Rozk³ad materia³u nauczania dla klasy VI (4 godziny tygodniowo) 1. Rozk³ad materia³u nauczania 1. Rozk³ad materia³u nauczania dla klasy VI (4 y tygodniowo) 1. LICZBY NATURALNE. PODZIELNOŒÆ LICZB NATURALNYCH. U AMKI 1. Liczby naturalne 1 Przypomnienie i utrwalenie dzia³añ

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROS-ALUMINIUM.COM

Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROS-ALUMINIUM.COM Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROSALUMINIUM.COM Tolerancje standardowe gwarantowane przez Albatros Aluminium obowiązują dla wymiarów co do których nie dokonano innych uzgodnień podczas potwierdzania

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

Konkurs matematyczny dla uczniów szko³y podstawowej

Konkurs matematyczny dla uczniów szko³y podstawowej Teresa Dziemidowicz Konkurs matematyczny dla uczniów szko³y podstawowej Zadania z Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów szkó³ podstawowych województwa opolskiego z lat 2004 2014 OPOLE Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Białystok, 19 grudzień 2012 r. Seminarium współfinansowane ze środków Unii Europejskiej w ramach

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak nale

Bardziej szczegółowo

Moduł 3: Technika płynowa. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Moduł 3: Technika płynowa. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 3: Technika płynowa Instrukcja (Koncepcja) Matthias Römer Uniwersytet Techniczny w Chemnitz, Instytut Obrabiarek i Procesów Produkcyjnych Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

Moduł 2 (Część 2): Organizacja i zarządzanie projektami. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Moduł 2 (Część 2): Organizacja i zarządzanie projektami. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 2 (Część 2): Organizacja i zarządzanie projektami Podręczniki (Koncepcja) Andre Henschke Firma konsultingowa Henschke, Drezno, Niemcy Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005

Bardziej szczegółowo

Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25.

Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25. Gimnazjum nr 26 w Gdańsku im. Jana III Sobieskiego ul. R. Traugutta 92 sekretariat@gim26.gda.pl 80-226 Gdańsk www.gim26.gda.pl tel. 58-341-02-33 fax 58-344-05-02 Konkurs matematyczny dla uczniów szkół

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Jerzy Jędrzejewski Wojciech Kwaśny Zbigniew Rodziewicz Andrzej Błażejewski. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007

Jerzy Jędrzejewski Wojciech Kwaśny Zbigniew Rodziewicz Andrzej Błażejewski. Projekt UE Nr 2005-146319 MINOS, Realizacja od 2005 do 2007 Mechatronika Moduł 6: Systemy i funkcje mechatroniczne Podręczniki (Koncepcja) Jerzy Jędrzejewski Wojciech Kwaśny Zbigniew Rodziewicz Andrzej Błażejewski Politechnika Wrocławska, Instytut Technologii Maszyn

Bardziej szczegółowo

Matematyka test dla uczniów klas piątych

Matematyka test dla uczniów klas piątych Matematyka test dla uczniów klas piątych szkół podstawowych w roku szkolnym 2011/2012 Etap szkolny (60 minut) Dysleksja [suma punktów] Imię i nazwisko... kl.5... Wśród uczniów klas piątych przeprowadzono

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

LICZBY I ZBIORY. Wymagania podstawowe

LICZBY I ZBIORY. Wymagania podstawowe I LICZY I ZIORY LICZY I ZIORY Wymagania podstawowe Konieczne (na ocenê dopuszczaj¹c¹) Uczeñ: 1. wyznaczy czêœæ wspóln¹ i sumê dwóch zbiorów skoñczonych, 2. dokona przybli enia liczby rzeczywistej z zadan¹

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Umowa kredytu. zawarta w dniu. zwanym dalej Kredytobiorcą, przy kontrasygnacie Skarbnika Powiatu.

Umowa kredytu. zawarta w dniu. zwanym dalej Kredytobiorcą, przy kontrasygnacie Skarbnika Powiatu. Umowa kredytu Załącznik nr 5 do siwz PROJEKT zawarta w dniu. między: reprezentowanym przez: 1. 2. a Powiatem Skarżyskim reprezentowanym przez: zwanym dalej Kredytobiorcą, przy kontrasygnacie Skarbnika

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

ZA CZNIK C: FUNKCJE KLAWISZY I SPOSOBY WPROWADZANIA PARAMETRÓW

ZA CZNIK C: FUNKCJE KLAWISZY I SPOSOBY WPROWADZANIA PARAMETRÓW ZA CZNIKI ZA CZNIK C: FUNKCJE KLAWISZY I SPOSOBY WPROWADZANIA PARAMETRÓW Pola, do których wprowadzamy dane, mog¹ byæ: znakowe, numeryczne, typu daty oraz typu memo (pola tekstowe). Istniej¹ ró nice w wykorzystaniu

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

TERMIN ODDAWANIA PRAC 29 LUTEGO KLASA IV ZESTAW 3

TERMIN ODDAWANIA PRAC 29 LUTEGO KLASA IV ZESTAW 3 KLASA IV Pierwszy autobus odjeżdża z przystanku o godzinie 5.30, a następne autobusy odjeżdżają z tego przystanku co 45 minut. Janek przyszedł na przystanek o godzinie 14.22. o ile minut przyszedł za późno

Bardziej szczegółowo

Część matematyczna sprawdzian 2013 r.

Część matematyczna sprawdzian 2013 r. Część matematyczna sprawdzian 2013 r. 1. Szyfr zabezpieczający zamek jest liczbą czterocyfrową podzielną przez 9. Trzy cyfry szyfru są już ustawione. Brakującą cyfrą jest A. 5 B. 2 C. 0 D. 9 4 2? 7 2.

Bardziej szczegółowo

GEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007

GEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007 GEO-SYSTEM Sp. z o.o. 02-732 Warszawa, ul. Podbipięty 34 m. 7, tel./fax 847-35-80, 853-31-15 http:\\www.geo-system.com.pl e-mail:geo-system@geo-system.com.pl GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.

Bardziej szczegółowo

znaczeniu określa się zwykle graficzne kształtowanie tekstu za pomocą dostęp-

znaczeniu określa się zwykle graficzne kształtowanie tekstu za pomocą dostęp- Właściwe relacje między literami Tytularia i elementy rozpoczynające Typografia znaczenia: pierwsze technika druku wypukłego, drugie dawna, historyczna nazwa drukarni, zwanej też oficyną. Trzecie w węższym

Bardziej szczegółowo

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości

Bardziej szczegółowo

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu.

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2011 UZUPE NIA ZESPÓ NADZORUJ CY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejk z kodem

Bardziej szczegółowo

PORADNIK METODYCZNY. dla nauczyciela. Urszula ¹czyñska

PORADNIK METODYCZNY. dla nauczyciela. Urszula ¹czyñska Urszula ¹czyñska PORADNIK METODYCZNY dla nauczyciela do podrêczników Matematyka dla ka dego 1 i Matematyka dla ka dego 2 oraz Zbioru zadañ dla uczniów zasadniczej szko³y zawodowej 1 i Zbioru zadañ dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna)

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R.

REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. Termin: 13 kwietnia 2013 r. godz. 10:45 15:45 Miejsce: WiMBP im. Zbigniewa

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.),

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.), Istota umów wzajemnych Podstawa prawna: Księga trzecia. Zobowiązania. Dział III Wykonanie i skutki niewykonania zobowiązań z umów wzajemnych. art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny

Bardziej szczegółowo

Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą.

Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą. Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą. Po pierwsze - notacja - trzymasz swoją kostkę w rękach? Widzisz ścianki, którymi można ruszać? Notacja to oznaczenie

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Steelmate - System wspomagaj¹cy parkowanie z oœmioma czujnikami

Steelmate - System wspomagaj¹cy parkowanie z oœmioma czujnikami Steelmate - System wspomagaj¹cy parkowanie z oœmioma czujnikami Cechy: Kolorowy i intuicyjny wyœwietlacz LCD Czujnik wysokiej jakoœci Inteligentne rozpoznawanie przeszkód Przedni i tylni system wykrywania

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

Mechatronika. Modu 12: Interfejsy. podr czniki. (pomys ) dr Gabriele Neugebauer mgr in. Matthias Römer Neugebauer und Partner OHG Niemcy

Mechatronika. Modu 12: Interfejsy. podr czniki. (pomys ) dr Gabriele Neugebauer mgr in. Matthias Römer Neugebauer und Partner OHG Niemcy Mechatronika Modu 12: Interfejsy podr czniki (pomys ) dr Gabriele Neugebauer mgr in. Matthias Römer Neugebauer und Partner OHG Niemcy Europejski Projekt transferu innowacji dla dodatkowej kwalifikacji

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Wynagrodzenia i świadczenia pozapłacowe specjalistów

Wynagrodzenia i świadczenia pozapłacowe specjalistów Wynagrodzenia i świadczenia pozapłacowe specjalistów Wynagrodzenia i podwyżki w poszczególnych województwach Średnie podwyżki dla specjalistów zrealizowane w 2010 roku ukształtowały się na poziomie 4,63%.

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex) Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach

Bardziej szczegółowo

Gry i zabawy matematyczne

Gry i zabawy matematyczne Krystyna Wojciechowska Gry i zabawy matematyczne w przedszkolu Opole 2008 Spis n treœci Uwagi wstêpne...4 1. U³ó tyle samo...10 2. Autobus....12 3. Co mówi bêbenek?... 14 4. ZnajdŸ swoje miejsce....16

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy dla klasy 6 Matematyka wokół nas"

Plan wynikowy dla klasy 6 Matematyka wokół nas Plan wynikowy dla klasy 6 Matematyka wokół nas" NR LEKCJI 3-4 TEMAT LEKCJI Nowy rok szkolny poznajemy program oraz podręcznik do klasy VI. Zapoznanie z systemem oceniania i wymaganiami edukacyjnymi z matematyki.

Bardziej szczegółowo

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

POWIATOWY URZĄD PRACY

POWIATOWY URZĄD PRACY POWIATOWY URZĄD PRACY ul. Piłsudskiego 33, 33-200 Dąbrowa Tarnowska tel. (0-14 ) 642-31-78 Fax. (0-14) 642-24-78, e-mail: krda@praca.gov.pl Załącznik Nr 3 do Uchwały Nr 5/2015 Powiatowej Rady Rynku Pracy

Bardziej szczegółowo