Modele na drzewach binarnych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modele na drzewach binarnych"

Transkrypt

1 Rozdzia l 2 Modele na drzewach binarnych W tym rozdziale rozważamy analogon modelu Coxa Rossa Rubinsteina (w skrócie CRR) dla cen obligacji Przedstawimy modele cen obligacji w czasie dyskretnym na drzewach binarnych Omówione zostana warunki braku arbitrażu, modele Ho Lee i HJM (Heath Jarrow Morton) 21 Drzewa binarne Kroki w drzewie oznaczamy przez t 0, 1, 2,, T a d lugość przedzia lu czasowego przez τ Dla danego w ez la ω t α 1 α 2 α t, gdzie α 1, α 2,, α t {u, d} oznaczamy przez B(t, T; ω t ) wartość w w eźle ω t ceny w chwili t obligacji o zapadalności w chwili T t, przyjmujac ω 0 W przeciwieństwie do modelu CRR, mamy w każdym w eźle (inna) liczb e aktywów B(0, 1; ω 0 ), B(0, 2; ω 0 ), B(0, 3; ω 0 ), B(0, T; ω 0 ), potem B(1, 2; ω 1 ), B(1, 3; ω 1 ), B(1, T; ω 1 ), w przedostatnim B(T 1, T; ω T 1 ), a w ostatnim w eźle mamy warunek końcowy B(T, T; ω T ) 1 Jeśli t < S to cena B(t, S, ω t ) może wzrosnać do B(t + 1, S; ω t u) lub zmaleć do B(t + 1, S; ω t d) Zwykle ale nie zawsze! (patrz model HJM) B(t + 1, S; ω t u) > B(t + 1, S; ω t d) Nie ma jednak powodów by np B(t + 1, S; ω t u) > B(t, S; ω t ) Zauważmy, że zbiór zdarzeń elementarnych to Ω {d, u} T Ponadto ω t to obci ecie ω Ω do pierwszych t-wyrazów 15

2 16 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH 211 Przyk ladowe drzewo binarne Przyk ladowe drzewo binarne dla T 3 wyglada nast epuj aco: B(0, 0) 1 B(0, 1) B(0, 2) B(0, 3) B(1, 1; u) 1 B(1, 2; u) B(1, 3; u) B(1, 1; d) 1 B(1, 2; d) B(1, 3; d) B(2, 2; uu) 1 B(2, 3; uu) B(2, 2; ud) 1 B(2, 3; ud) B(2, 2; du) 1 B(2, 3; du) B(2, 2; dd) 1 B(2, 3; dd) 212 Miary martynga lowe i brak arbitrażu Poj ecie barku arbitrażu definiuje si e w ten sam sposób jak dla rynku akcji Czyli arbitraż to istnienie strategii samofinansujacej si e, która z zerowego kapita lu poczatko- wego prowadzi w jakiejś chwili do zysku Z: P(Z 0) 1 i P(Z > 0) > 0 Przypomnijmy, że: rachunek bankowy B(t) (patrz Definicja 11) oraz stopa krótka r(t) (patrz Definicja 10) dane sa wzorami { } log B(t, t + 1) t 1 r(t), B(t) exp τ r(u) (21) τ Zdefiniujmy rodzin e liczb p(t, S; ω t ), 0 t < t + 1 < S, w nast epuj acy sposób 1 u0 p(t, S; ω t ) : B(t, S; ω t ) B(t + 1, S; ω t d)e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t u)e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t d)e τr(t;ωt) (22) : B(t, S; ω t ) B(t + 1, S; ω t d)b(t, t + 1; ω t ) B(t + 1, S; ω t u)b(t, t + 1; ω t ) B(t + 1, S; ω t d)b(t, t + 1; ω t ) Twierdzenie 6 Niech T b edzie maksymalnym czasem wykupu obligacji w modelu Niech p(t, S; ω t ) b ed a zdefiniowane wzorami (22) Wówczas w modelu nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich t i w t {u, d} t zachodza warunki: p(t, t + 2; ω t ) p(t, t + 3; ω t ) p(t, T 1; ω t ) (23) p(t, S; ω t ) (0, 1) dla każdego S t + 2,,T 1 (24) 1 Symbolowi nieoznaczonemy 0/0 przyporzadkujemy dowolna wartość

3 21 DRZEWA BINARNE 17 Ponadto, jeżeli zachodza powyższe warunki, to p(t; ω t ) : p(t, t + 2; ω t ) p(t, T 1; ω t ) (25) jest warunkowym prawdopodobieństwem martynga lowym, że dla dowolnego t + 1 < S < T, cena S-obligacji w chwili t+1 b edzie równa B(t+1, S; ω t u) pod warunkiem, że w chwili t wynosi la ona B(t, S; ω t ) Dowód Warunek na brak arbitrażu wyprowadza si e tak samo jak dla rynku akcji, tutaj T-tym walorem jest po prostu obligacja o czasie zapadalności T Fundamentalne prawo wyceny mówi, że brak arbitrażu jest równoważny istnieniu miary martynga lowej (z ang risk neutral probability), to jest miary na Ω {u, d} T, przy której zdyskontowane ceny (wszystkich aktywów na rynku) sa martynga lami Dyskontowanie polega na dzieleniu procesu cen przez rachunek bankowy B(t) Niech E oznacza operator wartości oczekiwanej wzgl edem miary martynga lowej Warunek braku arbitrażu ma postać ( ) B(t + 1, S) E B(t + 1) F t B(t, S) B(t) dla wszystkich t + 1 < S, (26) gdzie F t jest σ-cia lem zbiorów, które zasz ly do momentu t Ze wzoru (21), B(t+1) jest F t mierzalne (stan naszego konta w chwili t + 1 jest znany w chwili t) Stad (26) ma postać E B(t + 1) (B(t + 1, S) F t ) B(t, S) B(t) e τr(t) B(t, S) dla wszystkich t + 1 < S, Niech dla zadanej ω t, p(t; ω t ) oznacza warunkowe prawdopodobieństwo martynga lowe, że dla dowolnego t + 1 < S < T, cena S-obligacji w chwili t + 1 b edzie równa B(t + 1, S; ω t u) pod warunkiem, że w chwili t wynosi la ona B(t, S; ω t ) Mamy E (B(t + 1, S) F t ) (ω t ) p(t; ω t )B(t + 1, S; ω t u) + (1 p(t; ω t )) B(t + 1, S; ω t d) p(t; ω t ) (B(t + 1, S; ω t u) B(t + 1, S; ω t d)) + B(t + 1, S; ω t d) Tak wi ec (26) możemy zapisać w postaci p(t; ω t ) B(t, S; ω t ) B(t + 1, S; ω t d)e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t u)e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t d)e τr(t;ωt) dla wszystkich t + 1 < S

4 18 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH 213 Przyk lad B(0, 0) 1 B(0, 1) B(0, 2) B(0, 3) p(0) r(0) 1 p(0) B(1, 1;u) 1 B(1, 2;u) B(1, 3;u) B(1, 1;d) 1 B(1, 2;d) B(1, 3;d) p(1; u) r(1; u) 1 p(1; u) p(1; d) r(1; d) 1 p(1; d) B(2, 2; uu) 1 B(2, 3; uu) B(2, 2; ud) 1 B(2, 3; ud) B(2, 2; du) 1 B(2, 3; du) B(2, 2; dd) 1 B(2, 3; dd) B(3, 3; uu) 1 B(3, 3; ud) 1 B(3, 3; du) 1 B(3, 3; dd) 1 Zaobserwujmy, że ceny z najd luższymi czasami wykupu wraz z stopami krótkimi (równoważnie z cenami z czasem do wykupu 1) jak poniżej B(1, 3; u) r(1; u) B(2, 3;uu) B(2, 3;ud) B(3, 3;uu) 1 B(3, 3;ud) 1 B(0, 3) r(0) B(1, 3; d) r(1; d) B(2, 3;du) B(2, 3;dd) B(3, 3;du) 1 B(3, 3;dd) 1 determinuja wszystkie ceny B(t, S) w dowolnych w ez lach drzewa! Pozosta le ceny liczymy z warunku braku arbitrażu, przekszta lcaj ac (22) do postaci B(t, S; ω t ) [p(t; ω t )B(t + 1, S; ω t u) + (1 p(t; ω t ))B(t + 1, S; ω t d)] e τr(t;ωt) (27) Zadanie 7 Uzupe lnij drzewo cen, w którym τ 1, T 3 oraz ceny dla obligacji 12 z czasem wykupu 3 sa nast epuj ace B(1, 3;u) 0908 r(1; u) 2% B(2, 3; uu) 0989 B(2, 3; ud) 089 B(0, 3) 087 r(0) 4% B(1, 3;d) 085 r(1; d) 4% B(2, 3; du) 0985 B(2, 3; dd) Arbitraż i strategie arbitrażowe Aby wykryć arbitraż musimy policzyć p(t, S; ω) dane wzorem (22), na każdej ga l ezi używajac różnych czasów wykupu S t + 2,,T 1

5 21 DRZEWA BINARNE 19 Poniżej uwzgl ednimy parametr S w p(t, S; ω t ) by zaznaczyć, że prawdopodobieństwo by lo policzone dla czasu wykupu S Wiemy, że brak arbitrażu oznacza, że p nie zależy od S oraz, że p (0, 1) czyli, że zachodza warunki (23) i (24) Jeśli (22) prowadzi do wartości p(t, S; ω t ), dla których nie zachodza (23) lub (24) to oczywiscie w modelu wyst epuje arbitraż! Przeanalizujmy teraz możliwe scienariusze wyst epowania arbitrażu Piewsza możliwość Za lóżmy, że dla jakiś 0 t < t + 2 S i ω t, zachodzi p : p(t, S; ω t ) 1 lub p(t, S; ω t ) 0 Wtedy (22) prowadzi do oszacowań B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t u) > B(t + 1, S; ω t d), gdy p 1 i B(t + 1, S; ω t u) > B(t + 1, S; ω t u), B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t u) < B(t + 1, S; ω t d), gdy p 1 i B(t + 1, S; ω t u) < B(t + 1, S; ω t d), B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t d) < B(t + 1, S; ω t d), gdy p 0 i B(t + 1, S; ω t d) < B(t + 1, S; ω t u), B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) B(t + 1, S; ω t d) > B(t + 1, S; ω t u), gdy p 0 i B(t + 1, S; ω t d) > B(t + 1, S; ω t u) Stad albo albo B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) min {B(t + 1, S; ω t d), B(t + 1, S; ω t u)} (28) B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) max {B(t + 1, S; ω t d), B(t + 1, S; ω t u)} (29) Zauważmy, że (28) oznacza, że ceny w chwili t, S-obligacji sa niedoszacowane i powinniśmy grać na wzrost cen S-obligacji Strategia arbitrażowa polega wi ec na wzi eciu w chwili t pożyczki na jednej (a najlepiej na tyle ile si e da) S-obligacji W chwili t+1 sprzedajemy nasza obligacj e Niezależnie od tego czy nastapi l scenariusz d czy u kwota uzyskana ze sprzedaży pozwala na sp lat e d lugu i daje zysk gdy w formule wyst epuje ostra nierówność z prawdopodobieństwem 1 a gdy równość z niezerowym prawdopodobieństwem (o ile B(t + 1, S; ω t u) B(t + 1, S; ω t d)) Natomiast gdy zachodzi (29), to znaczy, że ceny w chwili t, S-obligacji sa przeszacowane i powinniśmy grać na spadek ich cen Strategia arbitrażowa polega wi ec na wystawieniu w chwili t jednej (a najlepiej tylu ile da si e sprzedać) S-obligacji i ulokowaniu kwoty uzyskanej za jej sprzedaż na rachunku bankowym Bilans jest nast epuj acy: w chwili t uzyskujemy ze sprzedaży B(t, S; ω t ) Lokujemy B(t, S; ω t ) w banku uzyskujac w chwili t + 1 kwote B(t, S; ω t )e τr(t;ωt) Kwota ta pozwala na

6 20 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH sp lat e d lugu i daje zysk gdy w formule wyst epuje ostra nierówność z prawdopodobieństwem 1 a gdy równość z niezerowym prawdopodobieństwem Druga możliwość Istnieja t, ω t oraz dwa czasy wykupu S 1 < S 2, takie, że p(t, S 1 ; ω t ) p(t, S 2 ; ω t ) Aby skrócić zapis b edziemy pomijali czynnik ω t Za lóżmy, że p(t, S 1 ) < p(t, S 2 ) oraz, że B(t + 1, S 1 ; u) > B(t + 1, S 1 ; d) i B(t + 1, S 2 ; u) > B(t + 1, S 2 ; d) Analiza pozosta lych przypadków może być przeprowadzona w podobny sposób Znalezienie strategi arbitrażowej zaczniemy od utworzenia w chwili t i w eźle ω t portfelu obligacji o czasach wykupu S 2 i t + 1 replikujacego w chwili t + 1 ceny obligacji o czasie wykupu S 1 Szukamy wi ec x i y takich, że xb(t + 1, S 2 ; u) + yb(t + 1, t + 1) B(t + 1, S 1 ; u), xb(t + 1, S 2 ; d) + yb(t + 1, t + 1) B(t + 1, S 1 ; d) Oczywiście B(t + 1, t + 1) 1 Stad oraz x B(t + 1, S 1; u) B(t + 1, S 1 ; d) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2 ; u) y B(t + 1, S 1 ; u) B(t + 1, S 1; u) B(t + 1, S 1 ; d) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2; u) W chwili t wartość portfela wynosi xb(t, S 2 )+yb(t, t+1) a w chwili t+1, B(t+1, S 1 ) Oczywiście w przypadku braku arbitrażu powinno być xb(t, S 2 ) + yb(t, t + 1) B(t, S 1 ) Istotnie, gdyby xb(t, S 2 ) + yb(t, t + 1) < B(t, S 1 ), to arbitraż uzyskamy sprzedajac w chwili t jedna obligacje o czasie wykupu S 1 i tworzac portfel x obligacji o czasie wykupu S 2 oraz y obligacji o czasie wykupu t + 1 W chwili t + 1 jesteśmy w stanie sp lacić nasz d lug uzyskujacy dochód B(t, S 1 ) xb(t, S 2 ) yb(t, t + 1) Podobnie, gdyby xb(t, S 2 )+yb(t, t+1) > B(t, S 1 ), to arbitraż uzyskamy sprzedajac portfel x obligacji o czasie wykupu S 2 i y obligacji o czasie wykupu t + 1, kupujac jedna obligacje o czasie wykupu S 1 Znowu w czasie t + 1 sprzedaż posiadanej S 1 - obligacji umożliwia nam sp lat e d lugu i uzyskanie zysku xb(t, S 2 ) + yb(t, t + 1) B(t, S 1 ) Pozostaje wi ec do rozstrzygni ecia czy p(t, S 1 ) p(t, S 2 ) implikuje xb(t, S 2 ) + yb(t, t + 1) B(t, S 1 ) Czyli, czy z faktu, że B(t, S 1 ) B(t + 1, S 1 ; d)b(t, t + 1) B(t + 1, S 1 ; u)b(t, t + 1) B(t + 1, S 1 ; d)b(t, t + 1) B(t, S 2 ) B(t + 1, S 2 ; d)b(t, t + 1) B(t + 1, S 2 ; u)b(t, t + 1) B(t + 1, S 2 ; d)b(t, t + 1)

7 21 DRZEWA BINARNE 21 wynika B(t + 1, S 1 ; u) B(t + 1, S 1 ; d) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2 ; u) B(t, S 2) ( + B(t + 1, S 1 ; u) B(t + 1, S ) 1; u) B(t + 1, S 1 ; d) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2; u) B(t, t + 1) B(t, S 1 ) Mnożac obie strony pierwszej nierówność przez B(t, t + 1) otrzymujemy, że jest ona równoważna nierówności B(t, S 1 ) B(t + 1, S 1 ; d)b(t, t + 1) B(t + 1, S 1 ; u) B(t + 1, S 1 ; d) która możemy zapisać w postaci B(t, S 2) B(t + 1, S 2 d)b(t, t + 1), (210) B(t + 1, S 2 u) B(t + 1, S 2 d) B(t + 1, S 1 ; u) B(t + 1, S 1 ; d) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2 ; u) (B(t, S 2) B(t + 1, S 2 ; u)b(t, t + 1)) Czyli, że B(t, S 1 ) B(t + 1, S 1 ; u)b(t, t + 1) B(t + 1, S 1 ; u) B(t + 1, S 1 ; d) B(t + 1, S 2 ; u) B(t + 1, S 2 ; u) B(t, S 1) B(t + 1, S 1 ; u)b(t, t + 1) B(t, S 2 ) B(t + 1, S 2 ; u)b(t, t + 1) (211) Oczywiście (210) jest równoważne (211) W pewnym sensie powtórzyliśmy dowód fundamentalnego twierdzenia wyceny! 215 Zadania Zadanie 8 Czy w nast epuj acym modelu wyst epuje arbitraż? B(0, 1) 0991 B(0, 2) 0987 B(0, 3) 0945 Jaka jest strategia arbitrażowa? B(1, 2; u) 0996 B(1, 3; u) 0987 B(1, 2; d) 0968 B(1, 3; d) 095 Zadanie 9 Czy w nast epuj acym modelu cen B(0, 1) B(0, 2) B(0, 3) p(0,2) 0750 p(0,3) 0750 q(0, 2) 0250 q(0, 3) 0250 B(1, 2) B(1, 3) B(1, 2) B(1, 3) B(2, 3;uu) B(2, 3;ud) 0967 B(2, 3;du) 0989 B(2, 3;dd) 0978 p(1,3) 0799 q(1, 3) 0201 p(1,3) 0411 q(1, 3) 1411 B(2, 3) B(2, 3) B(2, 3) B(2, 3)

8 22 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH wyst epuje arbitraż? Jaka jest strategia arbitrażowa? 22 Model Ho Lee Model ten jest odpowiednikiem modelu Coxa Rossa Rubinsteina cen akcji Zosta l zbudowany w 1986 i jest uznany jako pierwszy poważny model struktury terminowej 221 Za lożenia modelu Model Ho Lee (HL) jest oparty na drzewie binarnym rekombinowanym, to znaczy takim, w którym ceny obligacji nie zależa od ca lej ścieżki ale od liczby wzrostów i spadków Jeśli ceny sa deterministyczne to, patrz Twierdzenie 1 i Wniosek 1, istnieje r takie, że B(t, S) e r(s t) dla t S T Stad Ho i Lee przyj eli, że B(t + 1, S) e r(s t 1) e r(s t) e r B(t, S) B(t, t + 1) B(t + 1, S; ω t u) B(t, S; ω t) h(s (t + 1); u), B(t, t + 1; ω t ) B(t + 1, S; ω t d) B(t, S; ω t) h(s (t + 1); d), B(t, t + 1; ω t ) gdzie h( ; u) i h( ; d) sa pewnymi mnożnikami (z ang perturbation factors ) zależnymi od czasu do wykupu S (t + 1) B ed a one wyliczone później Wyrażenia h(s (t+1);u) B(t,t+1;ω t) i h(s (t+1);d) B(t,t+1;ω t) w modelu HL odpowiadaja wyrażeniom 1+U i 1 + R w modelu CRR Ale (w przeciwieństwie do CRR) zależa one od czasu t i czasu wykupu S 222 Postać mnożników Naszym celem jest wyznaczenie h( ; u) i h( ; d) Oczywiście B(S, S) 1 implikuje h(0; u) h(0; d) 1 Istotnie niech t + 1 S Wstawiajac do wzoru otrzymujemy 1 B(t + 1, S; ω t u) B(t, S; ω t) h(0; u) h(0; u) B(t, S; ω t )

9 22 MODEL HO LEE 23 Podobnie 1 B(t + 1, S; ω t d) B(t, S; ω t) h(0; d) h(0; d) B(t, S; ω t ) Nast epne wyliczenia polegaja na użyciu braku arbitrażu Z warunku braku arbitrażu wynika istnienie miary probabilistycznej, przy której wszystkie procesy zdyskontowanych cen sa martynga lami Przypomnijmy, patrz Twierdzenie 6, że warunkiem braku arbitrażu jest istnienie p p(t, w t ) (0, 1) takiego, że dla każdego S t + 2, B(t, S; ω t ) B(t, t + 1; ω t ) [pb(t + 1, S; ω t u) + (1 p)b(t + 1, S; ω t d)], co, po wstawieniu dynamiki cen daje warunek 1 ph(t + 1, S; u) + (1 p)h(t + 1, S; d) dla t < S Dodatkowo zak ladamy, że p jest sta le (nie zależy ani od t ani od ω t ani od S) Nast epnie zak ladamy, że drzewo jest rekombinowane, co znaczy, że cena po drodze ud jest taka sama jak po du Czyli, że B(t + 2, S; ω t ud) B(t + 2, S; ω t du) Lewa (potem prawa) strona wyst epuj ace w powyższej równości sa równe B(t + 2, S; ω t ud) B(t + 1, S; ω tu)h(s (t + 2); d) B(t + 1, t + 2; ω t u) B(t, S; ω t)h(s (t + 1); u)h(s (t + 2); d), B(t, t + 2; ω t )h(1; u) B(t + 2, S; ω t du) B(t + 1, S; ω td)h(s (t + 2); u) B(t + 1, t + 2; ω t d) B(t, S; ω t)h(s (t + 1); d)h(s (t + 2); u) B(t, t + 2; ω t )h(1; d) A wi ec dla S t + 2, mamy Reasumujac h(s (t + 1); u)h(s (t + 2); d) h(1; u) h(s (t + 1); d)h(s (t + 2); u) h(1; d) ph(n; u) + (1 p)h(n; d) 1, (212) h(n + 1; d) h(n + 1; u) h(n; d) h(1; d) h(n; u) h(1; u) (213)

10 24 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH dla dowolnych n 0, 1, 2, K lad ac δ h(1;d) h(1;u) a z (212) wnioskujemy dla n 0, 1, 2, h(n; d) h(n; d) h(n; u) δn, wnioskujemy z (213), że δ n (1 p)δ n + p, h(n; u) 1 (1 p)δ n + p 223 Ceny obligacji i stopa krótka Model HL jest wyznaczony przez podanie (znanych w czasie 0) cen B(0, 1),, B(0, T) oraz parametrów p i δ, które moga być wyznaczone przy kalibracji modelu Analiza dla konkretnych danych liczbowych podana jest (wraz z drzewem cen opcji) w Przyk ladzie 12 Dla zadanych t 0, S, gdzie t S T, oraz ω t α 1 α 2 α t 1, gdzie α 1, α 2,, α t 1 {u, d} mamy B(t, S; α 1 α 2 α t ) B(t 1, S; α 1α 2 α t 1 ) B(t 1, t; α 1 α 2 α t 1 ) h(s t; α t) B(t 2,S;α 1 α t 2 ) B(t 2,t 1;α 1 α t 2 ) h(s (t 1); α t 1) B(t 2,t;α 1 α t 2 ) B(t 2,t 1;α 1 α t 2 ) h(t (t 1); α t 1) h(s t; α t) (214) B(t 2, S; α 1α 2 α t 2 ) B(t 2, t; α 1 α 2 α t 2 ) B(0, S) B(0, t) h(s 1; α 1 ) h(s 2; α 2 ) h(t 1; α 1 ) h(s (t 1); α t 1 ) h(s t; α t ) h(1; α t 1 ) h(t 2; α 2 ) h(s (t 1); α t 1) h(s t; α t ) h(1; α t 1 ) Dla dowolnego n mamy h(n; d) δ n h(n; u) (215) Ponieważ drzewo jest rekombinowane cena w w eźle nie zależy od formy α 1 α 2 α t ale od tego ile w niej jest znaków d a ile u Jeśli mamy j znaków d, czyli t j

11 22 MODEL HO LEE 25 znaków u to taka ścieżk e oznaczamy przez d j u t j Wtedy B(t, S; d j u t j ) B(0, S) 1; u) h(s 2; u) h(s t; u) δj(s t)h(s B(0, t) h(t 1; u) h(t 2; u) h(0; u) [ ][ ] [ ] B(0, S) (1 p)δ t 1 + p (1 p)δ t 2 + p (1 p)δ 0 + p B(0, t) δj(s t) (1 p)δ S 1 + p (1 p)δ S 2 + p (1 p)δ S t + p Na uwag e w powyższym wzorze zas luguje wspó lczynnik δ j(s t) Jest on zwiazany z równościa (215) Mianowicie, w zasadniczym wzorze (214) mamy wyrażenie h(s 1; α 1 ) h(s 2; α 2 ) h(t 1; α 1 ) h(t 2; α 2 ) h(s (t 1); α t 1) h(s t; α t ) h(1; α t 1 ) Biorac pod uwag e (215) możemy go zapisać w postaci δ l h(s 1; u) h(s 2; u) h(t 1; u) h(t 2; u) h(s (t 1); u) h(s t; u), h(1; u) dla pewnego l Pokażemy, że l j(s t) Istotnie jeżeli α k d to h(s k; α k ) h(t k; α k ) δs k h(s k; u) k; u) δs th(s δ t k h(t k; u) h(t k; u) Jeżeli α t d to h(s t; α t ) δ S t h(s t; u) Stad wyrażenie δ S t pojawi si e tyle razy ile d w α 1 α t, a wi ec j-razy Możemy teraz policzyć stopy krótkie Mamy B(t, t + 1; d j u t j ) Wynika stad, że B(0, t + 1) B(0, t) B(0, t + 1) δ j h(t; u) B(0, t) B(0, t + 1) δ j B(0, t) (1 p)δ t + p δ j [ h(t; u) h(t 1; u) ][ ] h(t 1; u) h(t 2; u) r(t; d j u t j ) 1 τ log B(t, t + 1; dj u t j ) [ ] h(2; u) h(1; u) h(1; u) f(0, t) j τ log δ + 1 τ log((1 p)δt + p),

12 26 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH gdzie f(0, t) : log B(0, t) log B(0, t + 1) τ Policzymy teraz wartość oczekiwana i wariancj e r(t) wzgl edem prawdopodobieństwa martynga lowego Czy rzeczywiście r(t) jest zmienna losowa? Który ze sk ladników jest losowy? Oczywiście liczba j wyrażeń d! Tak wi ec wartość oczekiwana dana jest wzorem µ r(t) Er(t) f(0, t) Ej τ log δ + 1 τ log((1 p)δt + p) f(0, t) 1 t τ ln δ t! j j!(t j)! (1 p)j p t j + 1 τ log((1 p)δt + p) j0 f(0, t) log δ t(1 p) + 1 τ τ log((1 p)δt + p), gdzie korzystamy z nast epuj acego wzoru na wartość oczekiwana rozk ladu dwumianowego: Ej t t! j j!(t j)! (1 p)j p t j t(1 p) j0 j0 t j1 (t 1)! (j 1)!(t j)! (1 p)j 1 p t j t 1 (t 1)! t(1 p) j!(t j)! (1 p)j p t j t(1 p)((1 p) + p) t 1 t(1 p) Podobnie możemy policzyć wariancj e σr(t) 2 Var(r(t)) E (r(t) (log σ)2 Er(t))2 E (j Ej) 2 ( τ 2 t ( ) (ln δ)2 t j )(1 2 p) j p t j (t(1 p)) 2 τ 2 j j0 (ln δ)2 tp(1 p) τ 2 Użyliśmy nast epuj acej formu ly na wariancj e zmiennej losowej o rozk ladzie dwumia-

13 23 MODEL HJM (HEATH JARROW MORTON) W CZASIE DYSKRETNYM27 nowym: t j0 j 2 t! j!(t j)! (1 p)j p t j (t(1 p)) 2 t t! j(j 1) j!(t j)! (1 p)j p t j + j0 t(t 1)(1 p) 2 t j2 + t(1 p) (t(1 p)) 2 t t! j j!(t j)! (1 p)j p t j (t(1 p)) 2 j0 (t 2)! (j 2)!((t 2) (j 2))! (1 p)j 2 p (t 2) (j 2) t 2 t(t 1)(1 p) 2 (t 2)! j!(t 2 j)! (1 p)j p (t 2) j + t(1 p) (t(1 p)) 2 j0 t(t 1)(1 p) 2 + t(1 p) (t(1 p)) 2 tp(1 p) Zauważmy, że σ 2 r(t) jest proporcjonalne do t, co znaczy, że wolatylność jest sta le 23 Model HJM (Heath Jarrow Morton) w czasie dyskretnym Model HJM daje wi ecej elastyczności w porównaniu z modelem HL B edziemy rozważali wersje modelu HJM na (nie rekombinowanym) drzewie binarnym Wieloczynnikowe warianty moga być również rozważane 231 Modele stóp forward Wiemy, że ceny obligacji B(t, S) i stopy forward zwiazane sa nast epuj ac a relacja log B(t, S + 1) log B(t, S) f(t, S) τ dla t i S takich, że 0 t S < T Ponadto { } S 1 B(t, S) exp τ f(t, i) it (216)

14 28 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH dla t i S takich, że 0 t S T Oczywiście zamiast rozważyć drzewa cen, można rozważyć drzewo stóp forward f(0, 0) f(0, 1) f(0, 2) f(1, 1;u) f(1, 2;u) f(1, 1;d) f(1, 2;d) f(2, 2; uu) f(2, 2; ud) f(2, 2; du) f(2, 2; dd), gdzie dla prostoty przyj eliśmy, że T 3 W dyskretnym modelu HJM zak lada si e, że stopy forward zdefiniowane sa rekurencyjnie f(t + 1, S, ω t u) f(t, S, ω t ) + µ(t, S, ω t )τ + σ(t, S, ω t ) τ, f(t + 1, S, ω t d) f(t, S, ω t ) + µ(t, S, ω t )τ σ(t, S, ω t ) τ, (217) na każdym w eźle ω t dla t < T 2, przy zadanych funkcjach µ(t, S, ω t ) i σ(t, S, ω t ) Dodatkowo, zak lada si e, że prawdopodobieństwo martynga lowe na każdej ga l ezi wynosi p(t, ω t ) 1 W rezultacie warunkowa wartość oczekiwana i wariancje stóp 2 f(t + 1, S) w chwili t dane sa wzorami E (f(t + 1, S) F t ) f(t, S) + µ(t, S)τ, Var(f(t + 1, S) F t ) E (f(t + 1, S) E (f(t, S) F t ) F t ) 2 (σ(t, S)) 2 τ Oczywiście wartość oczekiwana brana jest po mierze martynga lowej, a F t to σ-cia lo generowane przez ω t α 1 α 2 α t 232 Warunek braku arbitrażu Przypomnijmy, że w drzewie binarnym warunek braku arbitrażu oznacza, że poniższe prawdopodobieństwa nie zależa od czasów wykupu S, a dodatkowo w naszym przypadku wynosza 1/2 Naszym celem b edzie ich wyliczenie w zależności od µ i σ

15 23 MODEL HJM (HEATH JARROW MORTON) W CZASIE DYSKRETNYM29 wyst epuj acych w równaniach na stopy forward Mamy p(t, S; ω t ) B(t, S) B(t + 1, S, ω t d)b(t, t + 1) B(t + 1, S, ω t u)b(t, t + 1) B(t + 1, S, ω t d)b(t, t + 1) e τ P S 1 it f(t,i) e τ P S 1 it+1 f(t+1,i,ωtd) e τf(t,t) e τ P S 1 it+1 f(t+1,i,ωtu) e τf(t,t) e τ P S 1 P S 1 it+1 f(t,i) e τ P S 1 it+1 f(t+1,i,ωtd) e τ e τ P S 1 Przypomnijmy, że it+1 f(t+1,i,ωtu) e τ P S 1 it+1 f(t+1,i,ωtd) it+1 f(t+1,i,ωtd) e τf(t,t) e τ P S 1 it+1 f(t,i) e τ P S 1 it+1[f(t,i)+µ(t,i)τ σ(t,i) τ] e τ P S 1 it+1[f(t,i)+µ(t,i)τ+σ(t,i) τ] e τ P S 1 it+1[f(t,i)+µ(t,i)τ σ(t,i) τ] PS 1 eτ2 it+1 µ(t,i) e P τ3/2 S 1 it+1 σ(t,i) it+1 σ(t,i) e P τ3/2 S 1 σ(t,i) it+1 e τ3/2 P S 1 cosh x : e x + e x 2 Ponieważ p(t, S; ω t ) 1/2, mamy { } e P τ2 S 1 S 1 it+1 µ(t,i) cosh τ 3/2 σ(t, i) it+1 Równość ta zachodzi dla wszystkich t i S takich, że 1 t + 1 < S T W szczególności, implikuje to, że wszystkie wspó lczynniki dryfu µ(t, i) sa zdeterminowane przez wolatylności σ(t, i) Istotnie, k lad ac S t + 2,,T, otrzymujemy ciag równości e τ2 µ(t,t+1) cosh τ 3/2 σ(t, t + 1), e τ2 [µ(t,t+1)+µ(t,t+2)] cosh τ 3/2 [σ(t, t + 1) + σ(t, t + 2)], e τ2 [µ(t,t+1)++µ(t,t 1)] cosh τ 3/2 [σ(t, t + 1) + + σ(t, T 1)], (218) z których wyliczamy µ(t, t + 1), µ(t, t + 2),, µ(t, T 1) w zależności od σ(t, t + 1), σ(t, t + 2),, σ(t, T 1)

16 30 ROZDZIA L 2 MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH 233 Konstrukcja struktury terminowej na drzewie Z powyższych rozważań wynika, że drzewo stóp forward f(t, S) lub równoważnie cen obligacji B(t, S), jest wyznaczone przez stopy poczatkowe oraz wolatylności f(0, 0), f(0, 1),, f(0, T 1) σ(t, t + 1), σ(t, t + 2),,σ(t, T 1), t 0, 1,, T 2 Algorytm konstrukcji drzewa dla modelu HJM jest nast epuj acy: Niech f(0, S), S 0,, T 1 b ed a wartościami stopy forward w chwili t 0 Wartości bieżace stóp forward (lub cen obligacji) sa dost epne Wyestymować wolatylności σ(t, S), na przyk lad z danych historycznych z wybranych instrumentów pochodnych Z σ wyliczyć dryf µ używajac (218) Wyliczyć drzewo stóp forward f(t, S) korzystajac z wartości poczatkowych f(0, S) oraz ze znanych µ i σ W tym punkcie używamy (217) Wyliczyć ceny obligacji B(t, S) ze stóp forward f(t, S), korzystajac z (216) Majac drzewo cen można wyceniać instrumenty pochodne Zadanie 10 Skonstruuj drzewo stóp f(t, S) i cen B(t, S) dla modelu, w którym T 3, τ 1 oraz f(0, 0) 29561%, f(0, 1) 29465%, f(0, 2) 29608%, σ(0, 1) σ(0, 2) σ(1, 2, u) σ(1, 2, d) 0, Wycena opcji na drzewach Za lóżmy, że mamy zadana struktur e terminowa na drzewie binarnym, to znaczy dla t, S 0, 1,, T, t S, zadane sa ceny obligacji B(t, S; α 1 α t ) w dowolnym w eźle ω t α 1 α t {d, u} t Oczywiście zak ladamy, że model jest wolny od arbitrażu (wyznaczanie cen arbitrażowych opcji w modelu z arbitrażem nie ma sensu) Możemy wi ec wyliczyć prawdopodobieństwa martynga lowe (z ang risk nutral probabilities) p(t, ω t ) Model jest zupe lny, czyli prawdopodobieństwa martynga lowe sa

17 24 WYCENA OPCJI NA DRZEWACH 31 jedyne Przypomnijmy (patrz wzór (22)), że prawdopodobieństwa martynga lowe wyliczamy z nast epuj acego wzoru p(t; ω t ) B(t, S; ω t)/b(t, t + 1; ω t ) B(t + 1, S; ω t d), S t + 2 B(t + 1, S; ω t u) B(t + 1, S; ω t d) Przypomnijmy, że cena C(t) w chwili t, instrumentu Z o cenie zapadalności S T dana jest przez warunkowa wartość oczekiwana ( { } ) S 1 C(t) E Z exp τr(k) F t { S 1 } Przypomnijmy, że czynnik dyskontujacy exp kt τr(k) jest zyskiem z rachunku bankowego na odcinku [t, S] Możemy ja podać na każdym w eźle ω t {u, d} Algorytm wyliczania C polega na posuwaniu si e po drzewie od w ez lów ω S do pierwszego w ez la Oczywiście Nast epnie C(S 1; ω S 1 ) Ogólnie kt C(S; ω S ) Z(ω S ), ω S {d, u} S [p(s 1; ω S 1 )Z(ω S 1 u) + (1 p(s 1; ω S 1 )) Z(ω S 1 d)] e τr(s 1;ω S 1) C(t; ω t ) [p(t; ω t )C(t + 1; ω t u) + (1 p(t; ω t )) C(t + 1; ω t d)] e τr(t;ωt) Zadanie 11 W modelu na drzewie z Zadania 7, T 3, τ 1, wycenić opcj 12 e kupna (call) na obligacj e o czasie zapadalności T 3 z cena realizacji (z ang strike price) 09 i z data wygaśni ecia opcji (z ang expiration date) 2 Zadanie 12 W modelu Ho Lee zadane sa: ceny poczatkowe B(0, 1) 0945, B(0, 2) 0987, B(0, 3) 0991, prawdopodobienstwo p 041 oraz parametr δ Dla T 3, znaleźć drzewo cen wraz z drzewem cen opcji sprzedaży (put) 3-obligacji, o momencie zapadalności 2 i cenie realizacji K Zwrócić uwag e na nietypowa interpretacj e symboli u i d Zadanie 13 Dla modelu HJM rozważnego w Zadaniu 10 wycenić opcj e kupna 3- obligacji o momencie wykupu 2 i cenie realizacji K 097

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych.

20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych. Z1. Sformu lować model dla optymalnego planowania produkcji w nast epujacych warunkach: Wytwórca mebli potrzebuje określić, ile sto lów, krzese l i biurek powinien produkować, aby optymalnie wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa WYCENA OPCJI EUROPEJSKIEJ I AMERYKAŃSKIEJ W MODELACH DWUMIANOWYCH I TRÓJMIANOWYCH COXA-ROSSA-RUBINSTEINA I JARROWA-RUDDA Joanna Karska W modelach dyskretnych wyceny opcji losowość wyrażana jest poprzez

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy.

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy. Obligacje De nicja Obligacj nazywamy papier warto sciowy maj acy, charakter wierzycielski. Obligacj jest zaci agni, eciem, po_zyczki przez instytucj e, sprzedaj ac, obligacj e, u jej nabywcy. Sprzedaj

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Współczynniki Greckie

Współczynniki Greckie Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.2014-3 godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

Opcje podstawowe własności.

Opcje podstawowe własności. Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych 1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Ćwiczenia ZPI 1 Współczynniki greckie Odpowiadają na pytanie o ile zmieni się wartość opcji w wyniku: Współczynnik Delta (Δ) - zmiany wartości instrumentu bazowego Współczynnik Theta (Θ) - upływu czasu

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki aproksymatywne. niecharakterystyczne. S. Brzostowski

Pierwiastki aproksymatywne. niecharakterystyczne. S. Brzostowski 1 Pierwiastki aproksymatywne niecharakterystyczne S. Brzostowski Denicja pierwiastka aproksymatywnego. 2 2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

DWUMIANOWY MODEL WYCENY OPCJI FINANSOWEJ. К. РЕ RA Wyższa Szkoła Bankowości i Finansów, Akademia Ekonomiczna, Katowice, Polska, pera@ae.katowice.

DWUMIANOWY MODEL WYCENY OPCJI FINANSOWEJ. К. РЕ RA Wyższa Szkoła Bankowości i Finansów, Akademia Ekonomiczna, Katowice, Polska, pera@ae.katowice. УДК 069.64 DWUMIANOWY MODEL WYCENY OPCJI FINANSOWEJ К. РЕ RA Wyższa Szkoła Bankowości i Finansów, Akademia Ekonomiczna, Katowice, Polska, pera@ae.katowice.pl WSTĘP Inwestowanie na rynku kapitałowym realizuje

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Piotr Bańbuła Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES Październik 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na

Bardziej szczegółowo

Modelowanie rynków finansowych

Modelowanie rynków finansowych Zaj ecia 2 8 października, 2012 Plan zaj eć 1 Czym nie b edziemy si e zajmować - finanse behawioralne 2 Autokorelacja mi edzy stopami zwrotu Efekt kalendarza Efekt wielkości firmy 3 Pu lapka reprezentatywności

Bardziej szczegółowo

Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane

Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane www.pwcacademy.pl Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane Jan Domanik Instrumenty pochodne ogólne zasady ujmowania i wyceny 2 Instrument pochodny definicja. to instrument finansowy: którego wartość

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko Jajuga Krzysztof, Jajuga Teresa SPIS TREŚCI Przedmowa Wprowadzenie - badania w zakresie inwestycji i finansów Literatura Rozdział 1. Rynki i instrumenty finansowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6. Hurtownie danych

Ćwiczenie 6. Hurtownie danych Ćwiczenie 6. Hurtownie danych Drzewa decyzyjne 1. Reprezentacja drzewa decyzyjnego Metody uczenia si e drzew decyzyjnych to najcz eściej stosowane algorytmy indukcji symbolicznej reprezentacji wiedzy z

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1).

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1). kwiecień 9 Ćwiczenia IV Zadania Zadanie Obliczyć kanoniczna sum e statystyczna funkcj e podzia lu, energi e swobodna i ciep lo w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly Rozwiazanie :

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B. kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk

Bardziej szczegółowo

Instrumenty pochodne - Zadania

Instrumenty pochodne - Zadania Jerzy A. Dzieża Instrumenty pochodne - Zadania 27 marca 2011 roku Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Zadania 1. Spekulant zajął krótką pozycję w kontrakcie forward USD/PLN zapadającym za 2 miesiące o nominale

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii).

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). 1 Mała powtórka: instrumenty liniowe Takie, w których funkcja wypłaty jest liniowa (np. forward, futures,

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. 1 Zadanie (29) zawar l umowe kredytu w momencie ukończenia

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA

Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 18 października 2011 Zadanie 3.1 W dniu 18 października 2004 Bank X kwotował: 3M PLN Depo -

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja

Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów Krzysztof Makarski 18 Technologia Wst ep Przypomnijmy: Teoria konsumenta w szczególności krzywa popytu Teraz krzywa podaży (analogicznie)

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo

Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo 1 Wprowadzenie Dokument przedstawia zaimplementowane w systemie KDPW_CCP formuły wyceny instrumentów

Bardziej szczegółowo

Streszczenia referatów

Streszczenia referatów Streszczenia referatów mgr Marcin Krzywda Jak estymować zmienność na rynku akcji? Do praktycznego zastosowania modeli matematyki finansowej musimy potrafić wyznaczyć parametry zmiennych rynkowych. Jednym

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INWESTYCJI. Wstęp

ANALIZA INWESTYCJI. Wstęp ANALIZA INWESTYCJI Wstęp Pod hasłem "analiza inwestycji" rozumie się analizę dochodowości aktywów, ich wycenę, jak też analizę ryzyka. Niniejsza książka dostarcza narzędzi służących kwantyfikacji wymienionych

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji amerykańskich w modelu dwumianowym

Wycena opcji amerykańskich w modelu dwumianowym Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Elżbieta Kukla Nr albumu: 266745 Wycena opcji amerykańskich w modelu dwumianowym Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo