Programowanie animacji

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie animacji"

Transkrypt

1 Programowanie animacji Wykład 2 rok, 2 stopień Informatyki dr inż. Rafał Wcisło 1

2 Część I Wstęp 2

3 Definicja animacji S.J.P. PWN: Animacja 1. metoda polegająca na dokonywaniu serii zdjęć rysunków, plam barwnych, kukiełek itp. w poszczególnych fazach ruchu, których wyświetlanie daje na ekranie efekt ożywienia, ruchu ciągłego, 2. uruchamianie lalek w teatrze lalkowym Google: Wprawianie w ruch czegoś co samo z siebie się nie rusza 3

4 Definicja animacji komputerowej, wersja 1.0 Animacja, w której zastosowano komputer... 4

5 Problem kisielu Film Wulkan (1997) Wniosek: animacja komputerowa jest jeszcze na początku drogi... 5

6 Definicja animacji komputerowej, wersja 2.0 Animacja komputerowa animacja, w której ruch (kinematyka: zależność położenia, kształtu [i innych] od czasu) obliczany jest za pomocą komputera 6

7 Zastosowania animacji komputerowej Naukowe (inżynieria, medycyna) wizualizacja gotowych danych symulacja zjawisk Gadżetowe (słupki, wykresy, loga, www itp.) Rozrywka: efekty specjalne w filmach (Skarb, 1948) filmy animowane gry 7

8 Zastosowania animacji komputerowej Medyczne rehabilitacja (VR!) planowanie operacji 8

9 Rodzaje animacji komputerowej w filmach Animacja komputerowa jako taka np. Star Wars, Episode IV (1977), Lawnmower Man (1992), Total Recall (1990) Nie próbująca oszukać widza np. bajki dla dzieci i nie tylko np. Toy story (1995), Bug s Life (1998), Shrek (2001) Próbująca oszukać widza, ale bez szansy na sukces* np. Jurassic Park (1993), Apollo 13 (1995) 9

10 Rodzaje animacji komp., cd. Próbująca go oszukać skutecznie np. Star Wars, Episode II (2002), Gladiator (2000) Próbująca go oszukać prawie skutecznie np. Final Fantasy (2001) 10

11 Historia animacji era przedkomputerowa phenakistoscope I. Plateau (Belg), 1832 technika zdjęć poklatkowych J. Stuart Blackton (USA), 1906 The Sinking of Lusitania W. McCay, pierwszy film animowany pełnometrażowy, 1918 metoda przemysłowa produkcji filmów animowanych W. Disney, lata 1930 King Kong - Willis O'Brien,

12 Historia animacji komputerowej Hunger (La Faim) Peter Foldes, interpolacje 2D, 1974 Pixar: Adventures of Adre & Wally (1984) Luxo, Jr (1986) pierwsza animacja komputerowa nominowana do Oskara Red s Dream (1987) Tin Toy (1988) pierwsza animacja, która otrzymała Nagrodę Akademii Knick Knack (1989) Geri s Game (1997) - Oskar For the Birds (2001) - Oskar 12

13 13

14 Historia animacji komputerowej, cd. Tron (1982) pierwszy raz użyto grafiki komputerowej jako integralnej części filmu The Last Starfighter (1984) animowane statki kosmiczne (planety modele) pierwszy raz intencją było ukrycie animacji komputerowej 14

15 Historia animacji komputerowej, cd. Toy story (1995) pierwszy pełnometrażowy film 3D animowany komputerowo Epoka lodowcowa (2001) cała masa futrzaków Katedra (2002) nominacja do Oskara (wygrał The Chubbchubbs) 15

16 Główni producenci animacji komputerowych Pixar Industrial Light & Magic Pacific Data Images Disney Xaos Rhythm & Hues Digital Domain Lamb & Company Metrolight Studios Boss Film Studios Blue Sky Productions Sony Pictures Apple Studenci Informatyki AGH 16

17 Elementy składowe filmu film akt scena ujęcie klatka całość przedsięwzięcia jedność czasu, miejsca, akcji ciągła praca kamery 24/25/29.97 na sekundę 17

18 Etapy produkcji filmu scenariusz wstępny scenopis story board (rysunki kluczowych ujęć wraz z opisem akcji) ocena akcji (burza mózgów) szczegółowy story board 18

19 19

20 20

21 Etapy produkcji filmu, cd. opracowanie modeli postaci i innych obiektów, scenografii ujęcie testowe (pełny rendering pojedynczego ujęcia lub kadru) nagranie ścieżki dźwiękowej (pełnej/wstępnej) pencil test sprawdzenie ruchu (animacja z prostym renderingiem) 21

22 Etapy produkcji filmu, cd. ostateczna produkcja pełny rendering montaż i efekty dodatkowe (np. napisy) 22

23 Rodzaje animowanych obiektów Obiekty martwe ciała stałe sztywne elastyczne połączone... płyny gazy (płomienie, mgła, dym,...) ciecze (woda stojąca, wodospady, magma,...) 23

24 Rodzaje animowanych obiektów, cd. Obiekty żywe rośliny obce istoty The Abyss (1989), Terminator 2 (1995), Gatunek (1995), Star Wars, Ep.II (2002), Ep.III (2005) zwierzęta Jurrasic Park (1993) Jumanji (1995) 24

25 Rodzaje animowanych obiektów, cd. ludzie postaci twarze Shrek (2001), Final Fantasy (2001) 25

26 Zasady animacji tradycyjnej opracowane w latach 30-tych w Walt Disney Studios wykorzystywane do dziś, także w animacjach komputerowych 26

27 Squash and stretch tylko obiekty całkowicie sztywne nie podlegają deformacji podczas ruchu deformacje powinny zachowywać objętość efekt, choć nie zawsze realistyczny, powoduje wrażenie większej szybkości obiektu w momencie startu lub hamowania 27

28 Timing and Motion szybkość wykonywania ruchów powinna uwypuklać masę obiektu odpowiedni czas przed rozpoczęciem i po zakończeniu ruchu w przypadku ludzi szybkość reakcji ma także związek z emocjami 28

29 Anticipation podział akcji na: oczekiwanie akcję właściwą zakończenie akcji daje szansę przygotować się widzowi, ukierunkować jego spojrzenie pomaga widzowi zrozumieć szybką akcję 29

30 Follow Through moment zakończenia ruchu dla obiektów złożonych jest rozłożony w czasie drobne elementy wyhamowują za głównymi 30

31 Staging taka inscenizacja sceny, aby zamierzona akcja, kluczowa postać, nastrój itp. były czytelne inscenizacja powinna koncentrować widza na odpowiednim fragmencie ekranu (najczęściej środek) postacie częściej pokazywane są z boku bo to bardziej sprzyja wyrazistości ruchów 31

32 Overlapping Action rozpoczęcie kolejnej akcji może rozpocząć się przed zakończeniem poprzedniej pomaga utrzymać zainteresowanie widza i eliminuje dead time 32

33 Slow In and Out (Ease In/Out) obiekty pomiędzy skrajnymi położeniami nie powinny poruszać się jednostajnie wykorzystanie splinów zamiast interpolacji liniowej 33

34 Exaggeration podkreślanie ruchów i emocji zależy od przyjętej konwencji nie należy przesadzić 34

35 Secondary Action ruchy nie związane z akcją główną dodają realizmu scenie nie powinny odciągać uwagi od głównej akcji 35

36 Wymiarowość animacji co określa wymiarowość animacji? wymiarowość obiektów wymiarowość dynamiki wymiarowość wizualizacji nie wszystkie kombinacje mają sens 2-2-2D (2D) 3-2-2D (2½D) 3-3-2D (3D) 3-3-3D (3D) 36

37 2-2-2D 37

38 3-3-2D 38

39 3-2-2D 39

40 Techniki 2D warping morphing 40

41 Warping podstawa działania 41

42 Warping modyfikacje wersja dla obiektów niewektorowych wersja 3D 42

43 Morphing 43

44 Metoda ramek kluczowych animator generuje jedynie klatki kluczowe dla przebiegu ujęcia pozostałe klatki uzupełniane są za pomocą interpolacji spline y slow in/out warping/morphing 44

45 Metoda ramek kluczowych 45

46 Simpsonowie Praca dzielona jest między dwa studia w Kalifornii, gdzie rysuje się główne obrazki. Potem trafiają do Korei Południowej, gdzie ponad 100 wypełniaczy pracowicie rysuje kolejne klatki, by osiągnąć iluzję płynności ruchów (The Guardian) Jeden odcinek (21 minut) kosztuje milion dolarów. Produkcja odcinka trwa pół roku, 15 scenarzystów pisze teksty i wymyśla gagi. (jw) 46

47 Odwrotna kinematyka (IK Inverse Kinematics) obiekty złożone z połączonych sztywnych (nie zawsze) elementów polega na określeniu pożądanej pozycji wybranych elementów obiektu złożonego i automatycznym* obliczeniu położeń całego układu 47

48 Model hierarchiczny wykorzystywany bardzo często także w innych metodach bardzo wygodny do definiowania obiektów i ich animowania wygodny z punku widzenia informatycznego (drzewo) 48

49 każdy węzeł opisuje sztywny* fragment obiektu tułów każdy link opisuje wzajemne położenie węzłów, oraz ew.: stopnie swobody (rodzaj połączenia) ograniczenia ruchu sztywność barki głowa miednica lewe ramię prawe ramię lewe udo prawe udo lewe przedramię prawe przedramię lewa łydka prawa łydka lewa stopa prawa stopa 49

50 Odwrotna kinematyka ay przykład A ax bx A 2 2 ( b a ) ( b a ) AB x x y y 2 bx ax by B A 50

51 Odwrotna kinematyka przykład 2 51

52 Rodzaje zmian zginanie () zmiana długości (d) inne d 52

53 Kinematyka q = (d 1, d 2,..., 1, 2,...) wektor stanu obiektu g = (g x, g y, g z, g, g, g ) położenie i orientacja końca g = f(q) gdzie f łatwe do wyliczenia 53

54 Odwrotna kinematyka znamy g, chcemy poznać q problem z dziedziny robotyki q = f -1 (g) ale: f na ogół nie jest liniowa f -1 na ogół nie istnieje 54

55 Pomysły nie interesuje nas stan q, ale jego zmiana q ponieważ zmiany są niewielkie, stosujemy liniową aproksymację f: g df dq q 0 q 55

56 56 ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( q q q q q q q g f f f f f f f z y x n i n x i x j i f q f q f q f q f q f J q 0 q q J q f f ) ( ) ( 0 0 pierwszy wyraz rozwinięcia Taylora

57 ay A bx ax by B g Jq q J 1 g 57

58 Obliczanie J -1 J jest macierzą 6 x n szukamy takiej macierzy X, która posiada przynajmniej jedną z własności: JXJ = J XJX = X (XJ) T = XJ (JX) T = JX jeśli X spełnia wszystkie w/w warunki to jest pseudoinwersją J i oznaczmy ją J + J + jest jednoznaczna 58

59 Obliczanie J + g = J q J T g = J T J q J + g = (J T J) -1 J T J q = q czyli: J + = J T (JJ T ) -1 59

60 Można jeszcze inaczej q = J T g??? J T jest różna od J -1, ale wskazuje tę samą tendencję wzór należy zastosować iteracyjnie: q (i+1) = t J T g i 60

61 Porównanie J + i J T J + J T szybkie obliczenia wolniejsze obliczenia dokładniejszy wynik minimalizacja zmian konieczność iteracji zmiany bywają nieoczekiwane 61

62 Metoda CCD (Cyclic Coordinate Descent) rozwiązywanie problemu IK dla pojedynczego węzła (metodą dokładną ) przeniesienie problemu na poprzedni węzeł itd. aż do korzenia iterowanie, aż do osiągnięcia celu 62

63 Cechy metody CCD prosta w implementacji szybka stabilna nie zawsze gwarantuje płynny ruch 63

64 Podpatrywanie ruchu dokonanie pomiarów ruchu obiektu w naturze stosowane głównie dla obiektów żywych przeniesienie ruchów do animacji zmiana kształtu, stroju obiektu itp. zmiana scenografii zwielokrotnienie obiektów (np. klucz lecących ptaków) 64

65 Podpatrywanie ruchu analiza ruchów metodą Fouriera w celu znalezienia cech charakterystycznych możliwość uwypuklania możliwość tłumienia 65

66 Podpatrywanie ruchu przykłady metoda 1 metoda 1 - wynik metoda 2 metoda 2 wynik Final Fantasy Matrix 66

67 Metody symulacyjne metoda elementów skończonych metoda różnic skończonych metody cząstek analityczne wyznaczanie trajektorii inne 67

68 Schemat ogólny animacji komputerowej 68

69 Dwie ścieżki symulacji symulacja sceny symulacja ruchów wszystkich filmowanych obiektów symulacja działań ekipy filmowej symulacja ruchu kamery położenie kamery kierunek filmowania zbliżenie ostrość motion blur symulacja oświetlenia 69

70 Symulacja kamery widz utożsamia się z kamerą ruchy powinny być miękkie i naturalne filmowanie stabilne vs reporterskie przykład 70

71 Dwie skrajności filmy typu walk-through, fly-over brak symulacji sceny, wyłącznie animacja kamery animacje schematyczne brak symulacji kamery wyłącznie jedno, stałe położenie 71

72 Symulacja oparta o prawa fizyki ciało stałe sztywne ruch ciała swobodnego ograniczenia i kolizje ciała płynne gazy ciecze ciała stałe elastyczne odkształcenia sprężyste odkształcenia plastyczne 72

73 Animacja ciała sztywnego założenia: pojedyncze ciało sztywne o jednorodnej gęstości 73

74 Układy współrzędnych układ obiektu środek masy obiektu = środek układu obiektu układ sceny transformacja (obrót + przesunięcie) r( t) R( t) r x( t) 0 74

75 Znaczenie r( t) R( t) r x( t) 0 R(t) x(t) środek masy obiektu w układzie sceny R(t) -? r r r xx xy xz r r r yx yy yz r r r zx zy zz 1 R( t) 0 0 r r r czyli kolumny R(t) są współrzędnymi osi ciała w układzie sceny xx xy xz 75

76 76 Prędkości v(t) liniowa, zależność v i x: ) ( ) ( ) ( t t dt d t x x v w(t) obrotowa, zależność w i R: zz zy zx yz yy yx xz xy xx r r r t r r r t r r r t t ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω R

77 77 Drobne uproszczenie * x y x z y z a a a a a a a b a b a y x y x z x z x z y z y z y x x y x z y z a b b a a b b a a b b a b b b a a a a a a *

78 78 zz zy zx yz yy yx xz xy xx r r r t r r r t r r r t t ) ( ) ( ) ( ) ( * * * ω ω ω R ) ( ) ( ) ( ) ( * * t t r r r r r r r r r t t zz zy zx yz yy yx xz xy xx R ω ω R

79 79 Prędkości ) ( ) ( ) ( 0 * t t t v r ω R r ) ( ) ( ) ( 0 t t t x r R r ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( t t t t t v x r ω r składnik obrotowy składnik liniowy

80 Siły F(t) siła działająca na dowolny punkt ciała w punkcie r(t) moment siły: ( t) ( r( t) x( t)) F( t) 80

81 jeśli sił jest więcej to: F( t) F ( t) i i( t) ( ri ( t) x( t)) ( t) F ( t) i 81

82 82 Pęd ))) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( t t m t m t m t i i i i i x r v r p )) ( ) ( ( ) ( t t m t m i i i x r v ) ( )) ( ) ( ( ) ( t M t t m t M i i v x r v ) ( ) ( t t F p

83 Moment pędu trudniejszy dla intuicyjnego podejścia, ale: upraszcza wzory jest zachowywany L( t) I( t) ω( t) L ( t) ( t) 83

84 84 Obliczanie tensora bezwładności zz zy zx yz yy yx xz xy xx I I I I I I I I I I(t) dv y x I dv z x I dv z y I zz yy xx ) (, ) (, ) ( yzdv I xzdv I xydv I yz xz xy,,

85 Metoda obliczenia I = 0; hits = 0; for (x = x_min; x <= x_max; x += dx) for (y = y_min; y <= y_max; y += dy) for (z = z_min; z <= z_max; z += dz) if (inside_body(x,y,z)) { I += hits++; y } I = mass*i/hits; 2 z xy xz 2 x xy 2 z yz 2 x xz 2 yz y 2 85

86 I(t) jest zależne od czasu ale na szczęście: I ( t) R T ( t) I R body ( t) 86

87 87 Wektor stanu ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t L p R x Y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * t t t t t t F R ω v Y

88 Metoda Eulera Y( t t) Y( t) Y ( t) t 88

89 Metoda drugiego rzędu t Y( t t) Y( t) ty ( t Y ( t)) 2 Algorytm: obliczenie kroku Eulera obliczenia dla punktu środkowego krok z wykorzystaniem punku środkowego 89

90 Krok t jak oszacować błąd? obliczamy Y a jako jeden krok dla t obliczamy Y b jako dwa kroki dla t/2 błąd szacujemy jako e= Y b -Y a wartość e pozwala na zmianę t (e ~ t 2 ) stosowanie adaptacyjnego kroku daje duże korzyści 90

91 Ograniczenia ruchu penalty method dodatkowe siły, które wymuszają zmianę trajektorii problem: działają za późno konkurują z innymi siłami (problem z doborem parametrów) mogą powodować oscylacje 91

92 Przykład 92

93 Inne podejście działanie siły wytrącającej z równowagi trzeba przewidzieć przykład r położenie punktu dla okręgu: C(r) = 1 / 2 (r 2 1) = 0, gdzie r położenie punktu C = 0 dopuszczalne położenie C = 0 dopuszczalna prędkość C = 0 dopuszczalne przyspieszenie 93

94 czyli C r r 0 C r r r r 0 94

95 dołożona przez ograniczenie siła: r f f m po podstawieniu: C f f C C r r r m f C r fr mr r 0 95

96 Czy to wystarczy? niestety nie drugie założenie: dodana siła f C nie wpływa na zmianę energii (nie pracuje) E 2 1 mr r E mr r mf r mf r C 96

97 Kierunek f C czyli f C musi mieć taki sam kierunek jak r (czyli f C =lr) jest to ogólna zasada: siła wymuszająca trajektorię musi być do niej prostopadła 97

98 Dodatkowa siła ograniczająca gdyby obliczenia nie były obarczone błędem wszystko by było OK należy dodać siłę naprowadzającą (analogicznie jak w penalty method), ale: dużo, duuuużo mniejszą dodaną po obliczeniu f C! 98

99 Wzory ogólne q wektor położeń dla n punktów w 3D q ma długość 3n M macierz mas diagonalna z wartościami m 1,m 1,m 1, m 2,m 2,m 2,... C(q) ograniczenie q M 1 Q 99

100 szukamy Q C, które zapewni, że C 0 czyli obliczamy: C C C q Jq q Jq Jq 100

101 po podstawieniu sił: C Jq JM 1 ( Q Q C ) 0 1 JM Q Jq C JMQ 101

102 Dodatkowe założenie nie zmieniamy energii: Q x C 0 co jest spełnione dla: Q C J T l uwaga: l jest wektorem, obliczanym z: JM 1 J T l Jq JM 1 Q 102

103 Dodatkowa siła tłumiąca zamieniamy: C na: 0 C k s C k d C JM 1 T 1 J l Jq JM Q k s C k d C 103

104 Metody obliczania C analityczne opracowanie wzoru i obliczenie wszystkich potrzebnych pochodnych skomplikowane nawet dla pozornie prostych ograniczeń metoda nie jest skalowalna (dodanie nowego ograniczenia powoduje konieczność obliczania wszystkich wzorów od początku) składanie z klocków 104

105 Macierz J ograniczenia najczęściej dotyczą: pojedynczych punktów par punktów J C1 C2 x i x j x k macierz J jest zatem rzadka (J też) 105

106 Rozwiązywanie równań liniowych z rzadkimi macierzami wiele metod jedna z nich polega na rozwiązaniu: Mx b poprzez minimalizację: ( Mx b)( Mx b) 106

107 Inne metody wymuszania ograniczeń metoda Lagrange a ograniczenia zadawane jako funkcje parametryczne (np. dla okręgu: (x, y)=(cos, sin )) równania ruchu Lagrange a wady: znalezienie równania parametrycznego jest skomplikowane dla większości przypadków metody hybrydowe 107

108 Kolizje dwa zagadnienia składowe: wykrywanie kolizji (kiedy obiekty się stykają lub będą stykać) obsługa kolizji (odbicie, zatrzymanie, obliczanie sił itp.) dla układu N obiektów należy rozważyć co najwyżej N( N 1) 2 par 108

109 dwa rodzaje kolizji: ciała zderzają się (zbliżają się przed kolizją) i następuje odbicie: jeżeli ciała są niesprężyste, to funkcja prędkości przestaje być ciągła! Należy: wyłączyć mechanizm symulacji obliczyć nowe prędkości ponownie uruchomić symulację ciała spoczywają w stanie kolizji: funkcja prędkości pozostaje ciągła, należy jedynie zapewnić dodatkowe siły powodujące zerowanie przyspieszeń 109

110 Przykłady płyta łańcuch 2 łańcuch 3 łańcuch 6 huśtawka 110

111 Wykrycie czasu kolizji w kroku t+2t wykryta zostaje kolizja należy cofnąć symulację do kroku t+xt x wyliczane: t t t t xt t 2t metodą bisekcji (wolniej, ale dokładniej) na podstawie prędkości i położeń w chwilach t+t i t + 2t (szybciej, ale mniej dokładnie) nie należy szukać dokładnego punku styku, należy zastosować tolerancję e 111

112 Wykrycie kolizji wypukłych wielościanów dwa wielościany wypukłe nie kolidują, jeśli istnieje tzw. płaszczyzna separująca (każdy wielościan znajduje się w całości w różnych półprzestrzeniach wyznaczonych przez tę płaszczyznę) 112

113 Płaszczyzna separująca jeśli wielościany nie kolidują to istnieje płaszczyzna separująca, która: zawiera jedną ze ścian jednego z wielościanu lub zawiera jedną z krawędzi jednego wielościanu i jest równoległa do jednej z krawędzi drugiego wielościanu 113

114 Płaszczyzna separująca w trakcie symulacji jest znajdowana na początku symulacji (wielościany nie mogą kolidować) przeglądanie wszystkich kandydujących płaszczyzn wg własności z poprzedniego slajdu po każdym kroku symulacji sprawdza się czy płaszczyzna oparta o ściany/krawędzie ostatnio wyznaczone jest ciągle separująca jeśli nie, to ponowna próba wyznaczenia płaszczyzny (zaczynamy od sąsiednich) 114

115 115

116 116

117 117

118 118

119 Pudła ograniczające AABB wprowadzone w celu zminimalizowania obliczeń dla każdego ciała zdefiniowane jako: prostopadłościany krawędzie równoległe do osi współrzędnych łatwe do wyliczenia (wystarczy znaleźć: x min, x max, y min, y max, z min, z max ) 119

120 Które pudła ograniczające się przecinają? podejście brute-force: O(n 2 ) podejście z sortowaniem: O(nlogn+k) 120

121 Przypadek 1-wymiarowy pudła są odcinkami: (b i, e i ) algorytm: posortować listę b i, e i, wyzerować listę aktywnych pudeł przechodzimy po liście: jeśli mamy b i, to i-te pudło koliduje z aktywnymi pudłami, dodajemy i-te pudło do listy aktywnych jeśli mamy e i, to usuwamy i-te pudło z listy aktywnych złożoność wynika ze złożoności sortowania (min. O(nlogn)) 121

122 Usprawnienia ale przy następnych krokach symulacji stosujemy listę z poprzedniego kroku i np. dwukierunkowy bubble-sort! w drugiej fazie algorytmu można ograniczyć się do sprawdzania tylko tych pudeł, których wierzchołki zmieniały położenie w liście posortowanej 122

123 Wersja n-wymiarowa działamy niezależnie dla każdej osi pudła się przecinają, jeśli przecinają się dla każdej osi 123

124 Inne rodzaje pudeł AABB axis aligned boundig box OBB oriented bounding box BOXTREE dla każdego ciała drzewo OBB k-dop 124

125 Reakcja na kolizję dwa rodzaje kolizji wielościanów: wierzchołek ściana krawędź krawędź możliwe kolizje wielokrotne prostopadłościan leżący na stole: 4 x wierzchołek ściana prostopadłościan leżący na stole, ale jedna krawędź poza stołem: 2 x wierzchołek ściana + 3 x krawędź krawędź 125

126 Widok z góry 126

127 Zmiana prędkości w wyniku kolizji założenia: ciało A i B punkt kolizji: r A, r B n normalna kolizji dla wierzchołek ściana normalna ściany dla krawędź krawędź iloczyn wektorowy wektorów równoległych do krawędzi 127

128 prędkości punktów: r r A B v v A B w w A B ( r xa) A ( r xb) B względna prędkość: v rel n( r r B ) A jeśli v rel > 0 to ciała się oddalają jeśli v rel = 0 to ciała się stykają lub ocierają jeśli v rel < 0 to ciała się zderzają 128

129 Zderzenie obsługa poprzez wprowadzenie siły siła powinna być duża, aby zapewnić odbicie ciał siła powinna trwać jak najkrócej w praktyce F, t 0 impuls: J = Ft przy braku tarcia: J = jn 129

130 względna prędkość przed zderzeniem: v rel n( r A r B ) względna prędkość po zderzeniu: v rel n( r A r B jeśli nie ma tarcia, to: v lv rel rel ) 130

131 Działanie impulsu J zmiana prędkości: v J M impuls momentu siły: imp ( r x) J 131

132 132 Po podstawieniach B B B A A A B A rel s n s I n s n s I n M M v l j )) ( ( )) ( ( 1 1 ) (1 1 1 gdzie: ) ( ) ( B B B A A A x r S x r S,

133 Ciała nieruchome często występują w animacjach (ściany, stoły itp.) trik: 1/M = 0 I macierz 3x3 wypełniona zerami 133

134 Animacja obiektów elastycznych (soft objects) dwa podejścia do zagadnienia: dla poszczególnych klatek wykorzystuje się inny model obiektu model obiektu zmienia się w czasie animacji 134

135 Deformacje obiektu zmiana położeń wierzchołków dla modelu wielokątowego zmiana punktów kontrolnych dla modeli parametrycznych (krzywe 2D i 3D) 135

136 Deformacje modeli w reprezentacji wielokątowej deformacja polega na zmianie położeń wierzchołków układ połączeń pomiędzy wierzchołkami: krawędzi powierzchni pozostaje bez zmian 136

137 Wady deformacji modeli wielokątowych optymalny początkowy model stworzony z dokładnością odpowiadającą stanowi początkowemu przy pewnych deformacjach ujawnia się brak dodatkowych wierzchołków: np. prostopadłościan modelowany za pomocą wyłącznie 8 wierzchołków nie da się zgiąć

138 Rozwiązanie jedynym rozwiązaniem umożliwiającym poprawne animowanie odkształceń modeli wielokątowych polega na dynamicznym dogenerowywaniu wierzchołków w miejscach o największym odkształceniu 138

139 Rozwiązanie, c.d. problemy: kiedy generować nowe wierzchołki (problem sformułowania odpowiedniego warunku) następuje podział krawędzi następuje podział wielokątów operacja odwrotna, czyli usuwanie wierzchołków, kiedy deformacja zostanie cofnięta lub kiedy deformacja spowoduje wyrównanie powierzchni obiektu 139

140 Deformacje modeli w reprezentacji parametrycznej deformacja polega na zmianie parametrów kształtu obiektu podstawową zaletą jest łatwe uzyskanie gładkich powierzchni niezależnie od stopnia deformacji obiektu 140

141 Wady deformacji modeli parametrycznych podstawową wadą może być trudna do przewidzenia zależność pomiędzy parametrami obiektu a jego kształtem... często liczba parametrów jest znacząco mniejsza niż np. liczba wierzchołków dla podobnego modelu wielokątowego o podobnych zakrzywieniach 141

142 142

143 Rozwiązanie pośrednie B-spline!!! łączy w sobie: łatwość deformowalności właściwą modelom wielokątowym (także zachowuje lokalność zmian) zachowuje gładkość powierzchnii (klasa C 2 ) jest łatwiejszy do deformowania niż np. łaty Beziera 143

144 144

145 Hierarchiczne B-spline y jeżeli w wyniku przesunięcia punktu kontrolnego obserwowane zniekształcenie jest zbyt rozległe, można dokonać dogenerowania punktów w obrębie najbliższych segmentów spline a 145

146 146

147 Hierarchiczne B-spline y, c.d. nowe punkty: łatwe do wyliczenia łatwe do pominięcia 147

148 Globalne odkształcenia ściskanie skręcanie wyginanie (Barr A.H. 84) 148

149 Ściskanie wzdłuż osi Z: (X, Y, Z) = (r*x, r*y, z) r = f(z) 149

150 Skręcanie wzdłuż osi Z: (X, Y, Z) = (xcosf ysinf, xsinf + ycosf, z) f = f(z) 150

151 Wyginanie y min < y < y max f = k(y y 0 ) kąt zgięcia (y 0 środek wygięcia; k - promień) y = y min dla y < y min y max dla y > y max y dla y min < y < y max 151

152 X = x Y = -sinf(z k -1 )+y 0 dla y min <y<y max = -sinf(z k -1 )+y 0 +cosf(y y min ) dla y<y min = -sinf(z k -1 )+y 0 +cosf(y y max ) dla y>y max Z = cosf(z k -1 )+k -1 dla y min <y<y max = cosf(z k -1 ) +k -1 +sinf(y y min ) dla y<y min = cosf(z k -1 ) +k -1 +sinf(y y max ) dla y>y max 152

153 FFD Free Form Deformation Saderburg

154 Animacja płynów ciecze fale rozbryzgi krople piana...inne gazy ogień mgła chmury...inne 154

155 Ciecze trudność w stosowaniu: podpatrywania ruchu ale można sfilmować kisiel... kinematyki odwrotnej ramek kluczowych itp. rozwiązanie: symulacje komputerowe 155

156 Symulacje zachowania cieczy Należy uwzględnić: cechy cieczy takie jak: gęstość, lepkość napięcie powierzchniowe ciśnienie wewnętrzne cieczy ciśnienie zewnętrzne siłę ciężkości warunki brzegowe 156

157 Przypadek specjalny delikatne falowanie bez rozdzielania cieczy w pionie (akwen może być zdefiniowany jako pole wysokości powierzchni) występuje stosunkowo często może być łączony z innymi metodami 157

158 158 Przypadek ogólny Równania Naviera-Stockesa z w y w x w g z p z w y vw x uw t w z v y v x v g y p z uw y v x uv t v z u y u x u g x p z uw y uv x u t u z y x

159 Rozwiązanie równań N-S dyskretyzacja całość obszaru dzielona jest na sześcianiki (cele) zgodnie z układem kartezjańskim prędkości (z N-S) są przyjmowane dla środków ścianek ciśnienie dla środka sześcianu 4 rodzaje cel: wypełnione cieczą puste zawierające przeszkodę stanowiące powierzchnię cieczy 159

160 Rozwiązanie równań N-S gmip96.pdf przykłady 160

161 Metody cząsteczkowe Ciecz jako zbiór malutkich kuleczek Właściwości cieczy osiągane są poprzez odpowiedni dobór oddziaływań pomiędzy cząsteczkami oddziaływania sztywne aby ciecz była nieściśliwa oddziaływania krótkozasięgowe (typowo tylko pomiędzy sąsiadującymi cząstkami) często stosowany potencjał Lennarda- Jonesa (nie całkiem poprawnie) 161

162 Upraszczanie obliczeń Aby uniknąć obliczania oddziaływań pomiędzy każdą parą cząstek wykorzystuje się następujące fakty: oddziaływanie jest krótkozasięgowe sąsiedztwo cząstek nie zmienia się znacząco w kolejnych krokach symulacji popularne metody listy sąsiadów cele Hockney a 162

163 Wizualizacja Do wizualizacji cieczy potrzebna jest informacja o jej powierzchni Powierzchnia nie jest znana explicite w metodzie cząstek znalezienie cząstek brzegowych triangulacja cząstek brzegowych Powierzchnia jest dana częściowo w metodzie N-S znalezienie wypełnienia cel 163

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)

Bardziej szczegółowo

Techniki animacji komputerowej

Techniki animacji komputerowej Techniki animacji komputerowej 1 Animacja filmowa Pojęcie animacji pochodzi od ożywiania i ruchu. Animować oznacza dawać czemuś życie. Słowem animacja określa się czasami film animowany jako taki. Animacja

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Podstawy 3D Studio MAX

Podstawy 3D Studio MAX Podstawy 3D Studio MAX 7 grudnia 2001 roku 1 Charakterystyka programu 3D Studio MAX jest zintegrowanym środowiskiem modelowania i animacji obiektów trójwymiarowych. Doświadczonemu użytkownikowi pozwala

Bardziej szczegółowo

Animacja komputerowa. dr inż. Piotr Steć

Animacja komputerowa. dr inż. Piotr Steć Animacja komputerowa dr inż. Piotr Steć Plan wykładu Animacja tradycyjna Cykl produkcji Podstawy animacji Techniki produkcyjne Animacja komputerowa Cykl produkcji Klatki kluczowe i interpolacja Kinematyka

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Modelowanie biomechaniczne Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Zakres: Definicja modelowania Modele kinematyczne ruch postępowy, obrotowy, przemieszczenie,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja - wstęp. Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja - wstęp. Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D - wstęp opracowanie: Jacek Kęsik Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową 1 podstawowe pojęcia Scena Rodzaje animacji Symbole Bardzo szybkie wyświetlanie sekwencji

Bardziej szczegółowo

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu.

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu. 1 1 x (m/s) 4 0 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 t (s) a) Narysuj wykres a x (t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Układy cząstek. WPPT, Matematyka Stosowana

Wykład 7: Układy cząstek. WPPT, Matematyka Stosowana Wykład 7: Układy cząstek WPPT, Matematyka Stosowana Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał wypadek? Uderzasz kijem w kule bilardowe czy to uda ci się trafić w kieszeń?

Bardziej szczegółowo

i ruchów użytkownika komputera za i pozycjonujący oczy cyberagenta internetowego na oczach i akcjach użytkownika Promotor: dr Adrian Horzyk

i ruchów użytkownika komputera za i pozycjonujący oczy cyberagenta internetowego na oczach i akcjach użytkownika Promotor: dr Adrian Horzyk System śledzenia oczu, twarzy i ruchów użytkownika komputera za pośrednictwem kamery internetowej i pozycjonujący oczy cyberagenta internetowego na oczach i akcjach użytkownika Mirosław ł Słysz Promotor:

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Metody dynamicznej prezentacji kartograficznej

Metody dynamicznej prezentacji kartograficznej Czterej pancerni i Paweł J. Kowalski Metody dynamicznej prezentacji kartograficznej wykład 5 ziemniaki slajd 2 z 30 Geoprzedstawienie dynamiczne definicja: Animacja... obrazowo-znakowe przedstawienie Ziemi

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE Program nauczania: Fizyka z plusem, numer dopuszczenia: DKW 4014-58/01 Plan realizacji materiału nauczania fizyki w klasie I wraz z określeniem wymagań edukacyjnych DZIAŁ PRO- GRA- MOWY Pomiary i Siły

Bardziej szczegółowo

INTERAKTYWNA KOMUNIKACJA WIZUALNA ANIMACJA

INTERAKTYWNA KOMUNIKACJA WIZUALNA ANIMACJA INTERAKTYWNA KOMUNIKACJA WIZUALNA ANIMACJA LITERATURA: R. Reinhardt, S. Dowd, Adobe Flash Professional. Biblia. D. Hirmes, JD Hooge, K. Jokol, FLASH. AKADEMIA MATEMATYCZNYCH SZTUCZEK ZASTOSOWANIA ANIMACJI

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania.

Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania. Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania. Chcąc osiągnąć realizm renderowanego obrazu, należy rozwiązać problem świetlenia. Barwy, faktury i inne właściwości przedmiotów postrzegamy

Bardziej szczegółowo

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB Kocurek Łukasz, mgr inż. email: kocurek.lukasz@gmail.com Góra Marta, dr inż. email: mgora@mech.pk.edu.pl Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA. Plan wykładu. 1. Początki grafiki komputerowej. 2. Grafika komputerowa a dziedziny pokrewne. 3. Omówienie programu przedmiotu

GRAFIKA KOMPUTEROWA. Plan wykładu. 1. Początki grafiki komputerowej. 2. Grafika komputerowa a dziedziny pokrewne. 3. Omówienie programu przedmiotu GRAFIKA KOMPUTEROWA 1. Układ przedmiotu semestr VI - 20000 semestr VII - 00200 Dr inż. Jacek Jarnicki Instytut Cybernetyki Technicznej p. 226 C-C 3, tel. 320-28-2323 jacek@ict.pwr.wroc.pl www.zsk.ict.pwr.wroc.pl

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1 2 obiektów

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

SYNTEZA OBRAZU. Wprowadzenie. Synteza obrazu

SYNTEZA OBRAZU. Wprowadzenie. Synteza obrazu SYNTEZA OBRAZU Wprowadzenie Synteza obrazu Synteza obrazu Zagadnienie wchodzące w skład ogólnie pojętej grafiki komputerowej. Synteza obrazu - tworzenie obrazu na podstawie pewnego opisu. Komputerowa (cyfrowa)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu 1 Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

KLASA I PROGRAM NAUCZANIA DLA GIMNAZJUM TO JEST FIZYKA M.BRAUN, W. ŚLIWA (M. Małkowska)

KLASA I PROGRAM NAUCZANIA DLA GIMNAZJUM TO JEST FIZYKA M.BRAUN, W. ŚLIWA (M. Małkowska) KLASA I PROGRAM NAUZANIA LA GIMNAZJUM TO JEST FIZYKA M.RAUN, W. ŚLIWA (M. Małkowska) Kursywą oznaczono treści dodatkowe Temat lekcji ele operacyjne - uczeń: Kategoria celów podstawowe Wymagania ponadpodstawowe

Bardziej szczegółowo

Warsztaty z tworzenia filmów animowanych metodą poklatkową.

Warsztaty z tworzenia filmów animowanych metodą poklatkową. Klub Otwartej Kultury w ramach projektu Patriotyzm Jutra Warsztaty z tworzenia filmów animowanych metodą poklatkową. 1. Gatunki filmu animowanego. rysunkowy lalkowy wycinankowy plastelinowy animacja 3D

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

TEMAT :Animacja Komputerowa. Projekt współfinansowany w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

TEMAT :Animacja Komputerowa. Projekt współfinansowany w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego TEMAT :Animacja Komputerowa Projekt współfinansowany w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Animacja komputerowa: Animacja komputerowa jest generalnie rzecz biorąc cyfrowym spadkobiercą sztuki animacji

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia MECHANIKA Mechanics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do UML, przykład użycia kolizja

Wprowadzenie do UML, przykład użycia kolizja Bogdan Kreczmer bogdan.kreczmer@pwr.wroc.pl Zakład Podstaw Cybernetyki i Robotyki Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Kurs: Copyright c 2012 Bogdan Kreczmer Niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI Robot do pokrycia powierzchni terenu Zadania robota Zadanie całkowitego pokrycia powierzchni na podstawie danych sensorycznych Zadanie unikania przeszkód

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na:

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na: DYNAMIKA Oddziaływanie między ciałami można ilościowo opisywać posługując się pojęciem siły. Działanie siły na jakieś ciało przejawia się albo w zmianie stanu ruchu tego ciała (zmianie prędkości), albo

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka

Wymagania edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka 1 edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka *W nawiasie podano alternatywny temat lekcji (jeśli nazwa zagadnienia jest długa) bądź tematy lekcji

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~ ~ 1 ~ TUTORIAL: Sprężyna skrętna w SolidWorks jako wyciągni gnięcia po wielosegmentowej ście cieżce ce przykład Sprężyny występują powszechnie w maszynach, pojazdach, meblach, sprzęcie AGD i wielu innych

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY w RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE i OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Symulacja zderzeń sprężystych i niesprężystych"

Ćwiczenie: Symulacja zderzeń sprężystych i niesprężystych Ćwiczenie: "Symulacja zderzeń sprężystych i niesprężystych" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Czym jest wykrywanie kolizji. Elementarne metody detekcji kolizji. Trochę praktyki: Jak przygotować Visual Studio 2010 do pracy z XNA pod Windows

Czym jest wykrywanie kolizji. Elementarne metody detekcji kolizji. Trochę praktyki: Jak przygotować Visual Studio 2010 do pracy z XNA pod Windows Czym jest wykrywanie kolizji. Elementarne metody detekcji kolizji. Trochę praktyki: Jak przygotować Visual Studio 2010 do pracy z XNA pod Windows Phone 7. Skąd i jakie paczki pobrać. Coś napiszemy :-)

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 FIZYKA I ASTRONOMIA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1.1 Narysowanie toru ruchu ciała w rzucie ukośnym. Narysowanie wektora siły działającej na ciało w

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D

CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D Projektowanie parametryczne jest możliwe wyłącznie za pomocą pełnej wersji programu AutoCAD. AutoCAD LT ma bardzo ograniczone możliwości w tym zakresie. Pozwala

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

ICT w nauczaniu przedmiotów matematycznych i przyrodniczych w gimnazjach

ICT w nauczaniu przedmiotów matematycznych i przyrodniczych w gimnazjach Projekt ICT w na uczaniu prz e dmio tów ma tematycz nyc h i przyro dn iczyc h w gimnazjac h współfina nsowany prz ez U ni ę E uro p ej ską w r amac h Euro pe jski e go Fu n d usz u Społecz n ego Materiały

Bardziej szczegółowo

(1,10) (1,7) (5,5) (5,4) (2,1) (0,0) Grafika 3D program POV-Ray - 73 -

(1,10) (1,7) (5,5) (5,4) (2,1) (0,0) Grafika 3D program POV-Ray - 73 - Temat 10: Tworzenie brył obrotowych poprzez obrót krzywych (lathe). W poprzednim temacie wymodelowaliśmy kieliszek obracając krzywą Beziera wokół osi Y. Zastosowaliśmy w tym celu polecenie lathe. Krzywa

Bardziej szczegółowo

6. Organizacja dostępu do danych przestrzennych

6. Organizacja dostępu do danych przestrzennych 6. Organizacja dostępu do danych przestrzennych Duża liczba danych przestrzennych oraz ich specyficzny charakter sprawiają, że do sprawnego funkcjonowania systemu, przetwarzania zgromadzonych w nim danych,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy (propozycja 61 godzin)

Plan wynikowy (propozycja 61 godzin) 1 Plan wynikowy (propozycja 61 godzin) Kinematyka (19 godzin) *W nawiasie podano alternatywny temat lekcji (jeśli nazwa zagadnienia jest długa) bądź tematy lekcji realizowanych w ramach danego zagadnienia.

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Symulacja Komputerowa w Czasie Rzeczywistym

Symulacja Komputerowa w Czasie Rzeczywistym Piotr Tronczyk, Romuald Kotowski Symulacja Komputerowa w Czasie Rzeczywistym Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Metod Komputerowych Techniki ul. Koszykowa 86, 02-008 Warszawa tronczyk@pjwstk.edu.pl,

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie.

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie. Mając do dyspozycji 20 kartek papieru o gramaturze 80 g/m 2 i wymiarach 297mm na 210mm (format A4), 2 spinacze biurowe o masie 0,36 g każdy, nitkę, probówkę, taśmę klejącą, nożyczki, zbadaj, czy maksymalna

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe algorytmy techniki rastrowe a) dwa przecinające się odcinki mogą nie mieć wspólnego piksela (T) b) odcinek o współrzędnych końcowych

1. Podstawowe algorytmy techniki rastrowe a) dwa przecinające się odcinki mogą nie mieć wspólnego piksela (T) b) odcinek o współrzędnych końcowych 1. Podstawowe algorytmy techniki rastrowe a) dwa przecinające się odcinki mogą nie mieć wspólnego piksela (T) b) odcinek o współrzędnych końcowych (2,0), (5,6) narysowany przy wykorzystaniu algorytmu Bresenhama

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora)

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora) Kinematyka Ocena podaje przykłady zjawisk fizycznych występujących w przyrodzie wyjaśnia, w jaki sposób fizyk zdobywa wiedzę o zjawiskach fizycznych wymienia przyczyny wprowadzenia Międzynarodowego Układu

Bardziej szczegółowo

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie V - Biblioteka OpenGL - oświetlenie sceny

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie V - Biblioteka OpenGL - oświetlenie sceny Laboratorium grafiki komputerowej i animacji Ćwiczenie V - Biblioteka OpenGL - oświetlenie sceny Przygotowanie do ćwiczenia: 1. Zapoznać się ze zdefiniowanymi w OpenGL modelami światła i właściwości materiałów.

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo