Programowanie animacji
|
|
- Gabriela Brzezińska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Programowanie animacji Wykład 2 rok, 2 stopień Informatyki dr inż. Rafał Wcisło wcislo@agh.edu.pl 1
2 Część I Wstęp 2
3 Definicja animacji S.J.P. PWN: Animacja 1. metoda polegająca na dokonywaniu serii zdjęć rysunków, plam barwnych, kukiełek itp. w poszczególnych fazach ruchu, których wyświetlanie daje na ekranie efekt ożywienia, ruchu ciągłego, 2. uruchamianie lalek w teatrze lalkowym Google: Wprawianie w ruch czegoś co samo z siebie się nie rusza 3
4 Definicja animacji komputerowej, wersja 1.0 Animacja, w której zastosowano komputer... 4
5 Problem kisielu Film Wulkan (1997) Wniosek: animacja komputerowa jest jeszcze na początku drogi... 5
6 Definicja animacji komputerowej, wersja 2.0 Animacja komputerowa animacja, w której ruch (kinematyka: zależność położenia, kształtu [i innych] od czasu) obliczany jest za pomocą komputera 6
7 Zastosowania animacji komputerowej Naukowe (inżynieria, medycyna) wizualizacja gotowych danych symulacja zjawisk Gadżetowe (słupki, wykresy, loga, www itp.) Rozrywka: efekty specjalne w filmach (Skarb, 1948) filmy animowane gry 7
8 Zastosowania animacji komputerowej Medyczne rehabilitacja (VR!) planowanie operacji 8
9 Rodzaje animacji komputerowej w filmach Animacja komputerowa jako taka np. Star Wars, Episode IV (1977), Lawnmower Man (1992), Total Recall (1990) Nie próbująca oszukać widza np. bajki dla dzieci i nie tylko np. Toy story (1995), Bug s Life (1998), Shrek (2001) Próbująca oszukać widza, ale bez szansy na sukces* np. Jurassic Park (1993), Apollo 13 (1995) 9
10 Rodzaje animacji komp., cd. Próbująca go oszukać skutecznie np. Star Wars, Episode II (2002), Gladiator (2000) Próbująca go oszukać prawie skutecznie np. Final Fantasy (2001) 10
11 Historia animacji era przedkomputerowa phenakistoscope I. Plateau (Belg), 1832 technika zdjęć poklatkowych J. Stuart Blackton (USA), 1906 The Sinking of Lusitania W. McCay, pierwszy film animowany pełnometrażowy, 1918 metoda przemysłowa produkcji filmów animowanych W. Disney, lata 1930 King Kong - Willis O'Brien,
12 Historia animacji komputerowej Hunger (La Faim) Peter Foldes, interpolacje 2D, 1974 Pixar: Adventures of Adre & Wally (1984) Luxo, Jr (1986) pierwsza animacja komputerowa nominowana do Oskara Red s Dream (1987) Tin Toy (1988) pierwsza animacja, która otrzymała Nagrodę Akademii Knick Knack (1989) Geri s Game (1997) - Oskar For the Birds (2001) - Oskar 12
13 13
14 Historia animacji komputerowej, cd. Tron (1982) pierwszy raz użyto grafiki komputerowej jako integralnej części filmu The Last Starfighter (1984) animowane statki kosmiczne (planety modele) pierwszy raz intencją było ukrycie animacji komputerowej 14
15 Historia animacji komputerowej, cd. Toy story (1995) pierwszy pełnometrażowy film 3D animowany komputerowo Epoka lodowcowa (2001) cała masa futrzaków Katedra (2002) nominacja do Oskara (wygrał The Chubbchubbs) 15
16 Główni producenci animacji komputerowych Pixar Industrial Light & Magic Pacific Data Images Disney Xaos Rhythm & Hues Digital Domain Lamb & Company Metrolight Studios Boss Film Studios Blue Sky Productions Sony Pictures Apple Studenci Informatyki AGH 16
17 Elementy składowe filmu film akt scena ujęcie klatka całość przedsięwzięcia jedność czasu, miejsca, akcji ciągła praca kamery 24/25/29.97 na sekundę 17
18 Etapy produkcji filmu scenariusz wstępny scenopis story board (rysunki kluczowych ujęć wraz z opisem akcji) ocena akcji (burza mózgów) szczegółowy story board 18
19 19
20 20
21 Etapy produkcji filmu, cd. opracowanie modeli postaci i innych obiektów, scenografii ujęcie testowe (pełny rendering pojedynczego ujęcia lub kadru) nagranie ścieżki dźwiękowej (pełnej/wstępnej) pencil test sprawdzenie ruchu (animacja z prostym renderingiem) 21
22 Etapy produkcji filmu, cd. ostateczna produkcja pełny rendering montaż i efekty dodatkowe (np. napisy) 22
23 Rodzaje animowanych obiektów Obiekty martwe ciała stałe sztywne elastyczne połączone... płyny gazy (płomienie, mgła, dym,...) ciecze (woda stojąca, wodospady, magma,...) 23
24 Rodzaje animowanych obiektów, cd. Obiekty żywe rośliny obce istoty The Abyss (1989), Terminator 2 (1995), Gatunek (1995), Star Wars, Ep.II (2002), Ep.III (2005) zwierzęta Jurrasic Park (1993) Jumanji (1995) 24
25 Rodzaje animowanych obiektów, cd. ludzie postaci twarze Shrek (2001), Final Fantasy (2001) 25
26 Zasady animacji tradycyjnej opracowane w latach 30-tych w Walt Disney Studios wykorzystywane do dziś, także w animacjach komputerowych 26
27 Squash and stretch tylko obiekty całkowicie sztywne nie podlegają deformacji podczas ruchu deformacje powinny zachowywać objętość efekt, choć nie zawsze realistyczny, powoduje wrażenie większej szybkości obiektu w momencie startu lub hamowania 27
28 Timing and Motion szybkość wykonywania ruchów powinna uwypuklać masę obiektu odpowiedni czas przed rozpoczęciem i po zakończeniu ruchu w przypadku ludzi szybkość reakcji ma także związek z emocjami 28
29 Anticipation podział akcji na: oczekiwanie akcję właściwą zakończenie akcji daje szansę przygotować się widzowi, ukierunkować jego spojrzenie pomaga widzowi zrozumieć szybką akcję 29
30 Follow Through moment zakończenia ruchu dla obiektów złożonych jest rozłożony w czasie drobne elementy wyhamowują za głównymi 30
31 Staging taka inscenizacja sceny, aby zamierzona akcja, kluczowa postać, nastrój itp. były czytelne inscenizacja powinna koncentrować widza na odpowiednim fragmencie ekranu (najczęściej środek) postacie częściej pokazywane są z boku bo to bardziej sprzyja wyrazistości ruchów 31
32 Overlapping Action rozpoczęcie kolejnej akcji może rozpocząć się przed zakończeniem poprzedniej pomaga utrzymać zainteresowanie widza i eliminuje dead time 32
33 Slow In and Out (Ease In/Out) obiekty pomiędzy skrajnymi położeniami nie powinny poruszać się jednostajnie wykorzystanie splinów zamiast interpolacji liniowej 33
34 Exaggeration podkreślanie ruchów i emocji zależy od przyjętej konwencji nie należy przesadzić 34
35 Secondary Action ruchy nie związane z akcją główną dodają realizmu scenie nie powinny odciągać uwagi od głównej akcji 35
36 Wymiarowość animacji co określa wymiarowość animacji? wymiarowość obiektów wymiarowość dynamiki wymiarowość wizualizacji nie wszystkie kombinacje mają sens 2-2-2D (2D) 3-2-2D (2½D) 3-3-2D (3D) 3-3-3D (3D) 36
37 2-2-2D 37
38 3-3-2D 38
39 3-2-2D 39
40 Techniki 2D warping morphing 40
41 Warping podstawa działania 41
42 Warping modyfikacje wersja dla obiektów niewektorowych wersja 3D 42
43 Morphing 43
44 Metoda ramek kluczowych animator generuje jedynie klatki kluczowe dla przebiegu ujęcia pozostałe klatki uzupełniane są za pomocą interpolacji spline y slow in/out warping/morphing 44
45 Metoda ramek kluczowych 45
46 Simpsonowie Praca dzielona jest między dwa studia w Kalifornii, gdzie rysuje się główne obrazki. Potem trafiają do Korei Południowej, gdzie ponad 100 wypełniaczy pracowicie rysuje kolejne klatki, by osiągnąć iluzję płynności ruchów (The Guardian) Jeden odcinek (21 minut) kosztuje milion dolarów. Produkcja odcinka trwa pół roku, 15 scenarzystów pisze teksty i wymyśla gagi. (jw) 46
47 Odwrotna kinematyka (IK Inverse Kinematics) obiekty złożone z połączonych sztywnych (nie zawsze) elementów polega na określeniu pożądanej pozycji wybranych elementów obiektu złożonego i automatycznym* obliczeniu położeń całego układu 47
48 Model hierarchiczny wykorzystywany bardzo często także w innych metodach bardzo wygodny do definiowania obiektów i ich animowania wygodny z punku widzenia informatycznego (drzewo) 48
49 każdy węzeł opisuje sztywny* fragment obiektu tułów każdy link opisuje wzajemne położenie węzłów, oraz ew.: stopnie swobody (rodzaj połączenia) ograniczenia ruchu sztywność barki głowa miednica lewe ramię prawe ramię lewe udo prawe udo lewe przedramię prawe przedramię lewa łydka prawa łydka lewa stopa prawa stopa 49
50 Odwrotna kinematyka ay przykład A ax bx A 2 2 ( b a ) ( b a ) AB x x y y 2 bx ax by B A 50
51 Odwrotna kinematyka przykład 2 51
52 Rodzaje zmian zginanie () zmiana długości (d) inne d 52
53 Kinematyka q = (d 1, d 2,..., 1, 2,...) wektor stanu obiektu g = (g x, g y, g z, g, g, g ) położenie i orientacja końca g = f(q) gdzie f łatwe do wyliczenia 53
54 Odwrotna kinematyka znamy g, chcemy poznać q problem z dziedziny robotyki q = f -1 (g) ale: f na ogół nie jest liniowa f -1 na ogół nie istnieje 54
55 Pomysły nie interesuje nas stan q, ale jego zmiana q ponieważ zmiany są niewielkie, stosujemy liniową aproksymację f: g df dq q 0 q 55
56 56 ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( q q q q q q q g f f f f f f f z y x n i n x i x j i f q f q f q f q f q f J q 0 q q J q f f ) ( ) ( 0 0 pierwszy wyraz rozwinięcia Taylora
57 ay A bx ax by B g Jq q J 1 g 57
58 Obliczanie J -1 J jest macierzą 6 x n szukamy takiej macierzy X, która posiada przynajmniej jedną z własności: JXJ = J XJX = X (XJ) T = XJ (JX) T = JX jeśli X spełnia wszystkie w/w warunki to jest pseudoinwersją J i oznaczmy ją J + J + jest jednoznaczna 58
59 Obliczanie J + g = J q J T g = J T J q J + g = (J T J) -1 J T J q = q czyli: J + = J T (JJ T ) -1 59
60 Można jeszcze inaczej q = J T g??? J T jest różna od J -1, ale wskazuje tę samą tendencję wzór należy zastosować iteracyjnie: q (i+1) = t J T g i 60
61 Porównanie J + i J T J + J T szybkie obliczenia wolniejsze obliczenia dokładniejszy wynik minimalizacja zmian konieczność iteracji zmiany bywają nieoczekiwane 61
62 Metoda CCD (Cyclic Coordinate Descent) rozwiązywanie problemu IK dla pojedynczego węzła (metodą dokładną ) przeniesienie problemu na poprzedni węzeł itd. aż do korzenia iterowanie, aż do osiągnięcia celu 62
63 Cechy metody CCD prosta w implementacji szybka stabilna nie zawsze gwarantuje płynny ruch 63
64 Podpatrywanie ruchu dokonanie pomiarów ruchu obiektu w naturze stosowane głównie dla obiektów żywych przeniesienie ruchów do animacji zmiana kształtu, stroju obiektu itp. zmiana scenografii zwielokrotnienie obiektów (np. klucz lecących ptaków) 64
65 Podpatrywanie ruchu analiza ruchów metodą Fouriera w celu znalezienia cech charakterystycznych możliwość uwypuklania możliwość tłumienia 65
66 Podpatrywanie ruchu przykłady metoda 1 metoda 1 - wynik metoda 2 metoda 2 wynik Final Fantasy Matrix 66
67 Metody symulacyjne metoda elementów skończonych metoda różnic skończonych metody cząstek analityczne wyznaczanie trajektorii inne 67
68 Schemat ogólny animacji komputerowej 68
69 Dwie ścieżki symulacji symulacja sceny symulacja ruchów wszystkich filmowanych obiektów symulacja działań ekipy filmowej symulacja ruchu kamery położenie kamery kierunek filmowania zbliżenie ostrość motion blur symulacja oświetlenia 69
70 Symulacja kamery widz utożsamia się z kamerą ruchy powinny być miękkie i naturalne filmowanie stabilne vs reporterskie przykład 70
71 Dwie skrajności filmy typu walk-through, fly-over brak symulacji sceny, wyłącznie animacja kamery animacje schematyczne brak symulacji kamery wyłącznie jedno, stałe położenie 71
72 Symulacja oparta o prawa fizyki ciało stałe sztywne ruch ciała swobodnego ograniczenia i kolizje ciała płynne gazy ciecze ciała stałe elastyczne odkształcenia sprężyste odkształcenia plastyczne 72
73 Animacja ciała sztywnego założenia: pojedyncze ciało sztywne o jednorodnej gęstości 73
74 Układy współrzędnych układ obiektu środek masy obiektu = środek układu obiektu układ sceny transformacja (obrót + przesunięcie) r( t) R( t) r x( t) 0 74
75 Znaczenie r( t) R( t) r x( t) 0 R(t) x(t) środek masy obiektu w układzie sceny R(t) -? r r r xx xy xz r r r yx yy yz r r r zx zy zz 1 R( t) 0 0 r r r czyli kolumny R(t) są współrzędnymi osi ciała w układzie sceny xx xy xz 75
76 76 Prędkości v(t) liniowa, zależność v i x: ) ( ) ( ) ( t t dt d t x x v w(t) obrotowa, zależność w i R: zz zy zx yz yy yx xz xy xx r r r t r r r t r r r t t ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω R
77 77 Drobne uproszczenie * x y x z y z a a a a a a a b a b a y x y x z x z x z y z y z y x x y x z y z a b b a a b b a a b b a b b b a a a a a a *
78 78 zz zy zx yz yy yx xz xy xx r r r t r r r t r r r t t ) ( ) ( ) ( ) ( * * * ω ω ω R ) ( ) ( ) ( ) ( * * t t r r r r r r r r r t t zz zy zx yz yy yx xz xy xx R ω ω R
79 79 Prędkości ) ( ) ( ) ( 0 * t t t v r ω R r ) ( ) ( ) ( 0 t t t x r R r ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( t t t t t v x r ω r składnik obrotowy składnik liniowy
80 Siły F(t) siła działająca na dowolny punkt ciała w punkcie r(t) moment siły: ( t) ( r( t) x( t)) F( t) 80
81 jeśli sił jest więcej to: F( t) F ( t) i i( t) ( ri ( t) x( t)) ( t) F ( t) i 81
82 82 Pęd ))) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( t t m t m t m t i i i i i x r v r p )) ( ) ( ( ) ( t t m t m i i i x r v ) ( )) ( ) ( ( ) ( t M t t m t M i i v x r v ) ( ) ( t t F p
83 Moment pędu trudniejszy dla intuicyjnego podejścia, ale: upraszcza wzory jest zachowywany L( t) I( t) ω( t) L ( t) ( t) 83
84 84 Obliczanie tensora bezwładności zz zy zx yz yy yx xz xy xx I I I I I I I I I I(t) dv y x I dv z x I dv z y I zz yy xx ) (, ) (, ) ( yzdv I xzdv I xydv I yz xz xy,,
85 Metoda obliczenia I = 0; hits = 0; for (x = x_min; x <= x_max; x += dx) for (y = y_min; y <= y_max; y += dy) for (z = z_min; z <= z_max; z += dz) if (inside_body(x,y,z)) { I += hits++; y } I = mass*i/hits; 2 z xy xz 2 x xy 2 z yz 2 x xz 2 yz y 2 85
86 I(t) jest zależne od czasu ale na szczęście: I ( t) R T ( t) I R body ( t) 86
87 87 Wektor stanu ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t L p R x Y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * t t t t t t F R ω v Y
88 Metoda Eulera Y( t t) Y( t) Y ( t) t 88
89 Metoda drugiego rzędu t Y( t t) Y( t) ty ( t Y ( t)) 2 Algorytm: obliczenie kroku Eulera obliczenia dla punktu środkowego krok z wykorzystaniem punku środkowego 89
90 Krok t jak oszacować błąd? obliczamy Y a jako jeden krok dla t obliczamy Y b jako dwa kroki dla t/2 błąd szacujemy jako e= Y b -Y a wartość e pozwala na zmianę t (e ~ t 2 ) stosowanie adaptacyjnego kroku daje duże korzyści 90
91 Ograniczenia ruchu penalty method dodatkowe siły, które wymuszają zmianę trajektorii problem: działają za późno konkurują z innymi siłami (problem z doborem parametrów) mogą powodować oscylacje 91
92 Przykład 92
93 Inne podejście działanie siły wytrącającej z równowagi trzeba przewidzieć przykład r położenie punktu dla okręgu: C(r) = 1 / 2 (r 2 1) = 0, gdzie r położenie punktu C = 0 dopuszczalne położenie C = 0 dopuszczalna prędkość C = 0 dopuszczalne przyspieszenie 93
94 czyli C r r 0 C r r r r 0 94
95 dołożona przez ograniczenie siła: r f f m po podstawieniu: C f f C C r r r m f C r fr mr r 0 95
96 Czy to wystarczy? niestety nie drugie założenie: dodana siła f C nie wpływa na zmianę energii (nie pracuje) E 2 1 mr r E mr r mf r mf r C 96
97 Kierunek f C czyli f C musi mieć taki sam kierunek jak r (czyli f C =lr) jest to ogólna zasada: siła wymuszająca trajektorię musi być do niej prostopadła 97
98 Dodatkowa siła ograniczająca gdyby obliczenia nie były obarczone błędem wszystko by było OK należy dodać siłę naprowadzającą (analogicznie jak w penalty method), ale: dużo, duuuużo mniejszą dodaną po obliczeniu f C! 98
99 Wzory ogólne q wektor położeń dla n punktów w 3D q ma długość 3n M macierz mas diagonalna z wartościami m 1,m 1,m 1, m 2,m 2,m 2,... C(q) ograniczenie q M 1 Q 99
100 szukamy Q C, które zapewni, że C 0 czyli obliczamy: C C C q Jq q Jq Jq 100
101 po podstawieniu sił: C Jq JM 1 ( Q Q C ) 0 1 JM Q Jq C JMQ 101
102 Dodatkowe założenie nie zmieniamy energii: Q x C 0 co jest spełnione dla: Q C J T l uwaga: l jest wektorem, obliczanym z: JM 1 J T l Jq JM 1 Q 102
103 Dodatkowa siła tłumiąca zamieniamy: C na: 0 C k s C k d C JM 1 T 1 J l Jq JM Q k s C k d C 103
104 Metody obliczania C analityczne opracowanie wzoru i obliczenie wszystkich potrzebnych pochodnych skomplikowane nawet dla pozornie prostych ograniczeń metoda nie jest skalowalna (dodanie nowego ograniczenia powoduje konieczność obliczania wszystkich wzorów od początku) składanie z klocków 104
105 Macierz J ograniczenia najczęściej dotyczą: pojedynczych punktów par punktów J C1 C2 x i x j x k macierz J jest zatem rzadka (J też) 105
106 Rozwiązywanie równań liniowych z rzadkimi macierzami wiele metod jedna z nich polega na rozwiązaniu: Mx b poprzez minimalizację: ( Mx b)( Mx b) 106
107 Inne metody wymuszania ograniczeń metoda Lagrange a ograniczenia zadawane jako funkcje parametryczne (np. dla okręgu: (x, y)=(cos, sin )) równania ruchu Lagrange a wady: znalezienie równania parametrycznego jest skomplikowane dla większości przypadków metody hybrydowe 107
108 Kolizje dwa zagadnienia składowe: wykrywanie kolizji (kiedy obiekty się stykają lub będą stykać) obsługa kolizji (odbicie, zatrzymanie, obliczanie sił itp.) dla układu N obiektów należy rozważyć co najwyżej N( N 1) 2 par 108
109 dwa rodzaje kolizji: ciała zderzają się (zbliżają się przed kolizją) i następuje odbicie: jeżeli ciała są niesprężyste, to funkcja prędkości przestaje być ciągła! Należy: wyłączyć mechanizm symulacji obliczyć nowe prędkości ponownie uruchomić symulację ciała spoczywają w stanie kolizji: funkcja prędkości pozostaje ciągła, należy jedynie zapewnić dodatkowe siły powodujące zerowanie przyspieszeń 109
110 Przykłady płyta łańcuch 2 łańcuch 3 łańcuch 6 huśtawka 110
111 Wykrycie czasu kolizji w kroku t+2t wykryta zostaje kolizja należy cofnąć symulację do kroku t+xt x wyliczane: t t t t xt t 2t metodą bisekcji (wolniej, ale dokładniej) na podstawie prędkości i położeń w chwilach t+t i t + 2t (szybciej, ale mniej dokładnie) nie należy szukać dokładnego punku styku, należy zastosować tolerancję e 111
112 Wykrycie kolizji wypukłych wielościanów dwa wielościany wypukłe nie kolidują, jeśli istnieje tzw. płaszczyzna separująca (każdy wielościan znajduje się w całości w różnych półprzestrzeniach wyznaczonych przez tę płaszczyznę) 112
113 Płaszczyzna separująca jeśli wielościany nie kolidują to istnieje płaszczyzna separująca, która: zawiera jedną ze ścian jednego z wielościanu lub zawiera jedną z krawędzi jednego wielościanu i jest równoległa do jednej z krawędzi drugiego wielościanu 113
114 Płaszczyzna separująca w trakcie symulacji jest znajdowana na początku symulacji (wielościany nie mogą kolidować) przeglądanie wszystkich kandydujących płaszczyzn wg własności z poprzedniego slajdu po każdym kroku symulacji sprawdza się czy płaszczyzna oparta o ściany/krawędzie ostatnio wyznaczone jest ciągle separująca jeśli nie, to ponowna próba wyznaczenia płaszczyzny (zaczynamy od sąsiednich) 114
115 115
116 116
117 117
118 118
119 Pudła ograniczające AABB wprowadzone w celu zminimalizowania obliczeń dla każdego ciała zdefiniowane jako: prostopadłościany krawędzie równoległe do osi współrzędnych łatwe do wyliczenia (wystarczy znaleźć: x min, x max, y min, y max, z min, z max ) 119
120 Które pudła ograniczające się przecinają? podejście brute-force: O(n 2 ) podejście z sortowaniem: O(nlogn+k) 120
121 Przypadek 1-wymiarowy pudła są odcinkami: (b i, e i ) algorytm: posortować listę b i, e i, wyzerować listę aktywnych pudeł przechodzimy po liście: jeśli mamy b i, to i-te pudło koliduje z aktywnymi pudłami, dodajemy i-te pudło do listy aktywnych jeśli mamy e i, to usuwamy i-te pudło z listy aktywnych złożoność wynika ze złożoności sortowania (min. O(nlogn)) 121
122 Usprawnienia ale przy następnych krokach symulacji stosujemy listę z poprzedniego kroku i np. dwukierunkowy bubble-sort! w drugiej fazie algorytmu można ograniczyć się do sprawdzania tylko tych pudeł, których wierzchołki zmieniały położenie w liście posortowanej 122
123 Wersja n-wymiarowa działamy niezależnie dla każdej osi pudła się przecinają, jeśli przecinają się dla każdej osi 123
124 Inne rodzaje pudeł AABB axis aligned boundig box OBB oriented bounding box BOXTREE dla każdego ciała drzewo OBB k-dop 124
125 Reakcja na kolizję dwa rodzaje kolizji wielościanów: wierzchołek ściana krawędź krawędź możliwe kolizje wielokrotne prostopadłościan leżący na stole: 4 x wierzchołek ściana prostopadłościan leżący na stole, ale jedna krawędź poza stołem: 2 x wierzchołek ściana + 3 x krawędź krawędź 125
126 Widok z góry 126
127 Zmiana prędkości w wyniku kolizji założenia: ciało A i B punkt kolizji: r A, r B n normalna kolizji dla wierzchołek ściana normalna ściany dla krawędź krawędź iloczyn wektorowy wektorów równoległych do krawędzi 127
128 prędkości punktów: r r A B v v A B w w A B ( r xa) A ( r xb) B względna prędkość: v rel n( r r B ) A jeśli v rel > 0 to ciała się oddalają jeśli v rel = 0 to ciała się stykają lub ocierają jeśli v rel < 0 to ciała się zderzają 128
129 Zderzenie obsługa poprzez wprowadzenie siły siła powinna być duża, aby zapewnić odbicie ciał siła powinna trwać jak najkrócej w praktyce F, t 0 impuls: J = Ft przy braku tarcia: J = jn 129
130 względna prędkość przed zderzeniem: v rel n( r A r B ) względna prędkość po zderzeniu: v rel n( r A r B jeśli nie ma tarcia, to: v lv rel rel ) 130
131 Działanie impulsu J zmiana prędkości: v J M impuls momentu siły: imp ( r x) J 131
132 132 Po podstawieniach B B B A A A B A rel s n s I n s n s I n M M v l j )) ( ( )) ( ( 1 1 ) (1 1 1 gdzie: ) ( ) ( B B B A A A x r S x r S,
133 Ciała nieruchome często występują w animacjach (ściany, stoły itp.) trik: 1/M = 0 I macierz 3x3 wypełniona zerami 133
134 Animacja obiektów elastycznych (soft objects) dwa podejścia do zagadnienia: dla poszczególnych klatek wykorzystuje się inny model obiektu model obiektu zmienia się w czasie animacji 134
135 Deformacje obiektu zmiana położeń wierzchołków dla modelu wielokątowego zmiana punktów kontrolnych dla modeli parametrycznych (krzywe 2D i 3D) 135
136 Deformacje modeli w reprezentacji wielokątowej deformacja polega na zmianie położeń wierzchołków układ połączeń pomiędzy wierzchołkami: krawędzi powierzchni pozostaje bez zmian 136
137 Wady deformacji modeli wielokątowych optymalny początkowy model stworzony z dokładnością odpowiadającą stanowi początkowemu przy pewnych deformacjach ujawnia się brak dodatkowych wierzchołków: np. prostopadłościan modelowany za pomocą wyłącznie 8 wierzchołków nie da się zgiąć
138 Rozwiązanie jedynym rozwiązaniem umożliwiającym poprawne animowanie odkształceń modeli wielokątowych polega na dynamicznym dogenerowywaniu wierzchołków w miejscach o największym odkształceniu 138
139 Rozwiązanie, c.d. problemy: kiedy generować nowe wierzchołki (problem sformułowania odpowiedniego warunku) następuje podział krawędzi następuje podział wielokątów operacja odwrotna, czyli usuwanie wierzchołków, kiedy deformacja zostanie cofnięta lub kiedy deformacja spowoduje wyrównanie powierzchni obiektu 139
140 Deformacje modeli w reprezentacji parametrycznej deformacja polega na zmianie parametrów kształtu obiektu podstawową zaletą jest łatwe uzyskanie gładkich powierzchni niezależnie od stopnia deformacji obiektu 140
141 Wady deformacji modeli parametrycznych podstawową wadą może być trudna do przewidzenia zależność pomiędzy parametrami obiektu a jego kształtem... często liczba parametrów jest znacząco mniejsza niż np. liczba wierzchołków dla podobnego modelu wielokątowego o podobnych zakrzywieniach 141
142 142
143 Rozwiązanie pośrednie B-spline!!! łączy w sobie: łatwość deformowalności właściwą modelom wielokątowym (także zachowuje lokalność zmian) zachowuje gładkość powierzchnii (klasa C 2 ) jest łatwiejszy do deformowania niż np. łaty Beziera 143
144 144
145 Hierarchiczne B-spline y jeżeli w wyniku przesunięcia punktu kontrolnego obserwowane zniekształcenie jest zbyt rozległe, można dokonać dogenerowania punktów w obrębie najbliższych segmentów spline a 145
146 146
147 Hierarchiczne B-spline y, c.d. nowe punkty: łatwe do wyliczenia łatwe do pominięcia 147
148 Globalne odkształcenia ściskanie skręcanie wyginanie (Barr A.H. 84) 148
149 Ściskanie wzdłuż osi Z: (X, Y, Z) = (r*x, r*y, z) r = f(z) 149
150 Skręcanie wzdłuż osi Z: (X, Y, Z) = (xcosf ysinf, xsinf + ycosf, z) f = f(z) 150
151 Wyginanie y min < y < y max f = k(y y 0 ) kąt zgięcia (y 0 środek wygięcia; k - promień) y = y min dla y < y min y max dla y > y max y dla y min < y < y max 151
152 X = x Y = -sinf(z k -1 )+y 0 dla y min <y<y max = -sinf(z k -1 )+y 0 +cosf(y y min ) dla y<y min = -sinf(z k -1 )+y 0 +cosf(y y max ) dla y>y max Z = cosf(z k -1 )+k -1 dla y min <y<y max = cosf(z k -1 ) +k -1 +sinf(y y min ) dla y<y min = cosf(z k -1 ) +k -1 +sinf(y y max ) dla y>y max 152
153 FFD Free Form Deformation Saderburg
154 Animacja płynów ciecze fale rozbryzgi krople piana...inne gazy ogień mgła chmury...inne 154
155 Ciecze trudność w stosowaniu: podpatrywania ruchu ale można sfilmować kisiel... kinematyki odwrotnej ramek kluczowych itp. rozwiązanie: symulacje komputerowe 155
156 Symulacje zachowania cieczy Należy uwzględnić: cechy cieczy takie jak: gęstość, lepkość napięcie powierzchniowe ciśnienie wewnętrzne cieczy ciśnienie zewnętrzne siłę ciężkości warunki brzegowe 156
157 Przypadek specjalny delikatne falowanie bez rozdzielania cieczy w pionie (akwen może być zdefiniowany jako pole wysokości powierzchni) występuje stosunkowo często może być łączony z innymi metodami 157
158 158 Przypadek ogólny Równania Naviera-Stockesa z w y w x w g z p z w y vw x uw t w z v y v x v g y p z uw y v x uv t v z u y u x u g x p z uw y uv x u t u z y x
159 Rozwiązanie równań N-S dyskretyzacja całość obszaru dzielona jest na sześcianiki (cele) zgodnie z układem kartezjańskim prędkości (z N-S) są przyjmowane dla środków ścianek ciśnienie dla środka sześcianu 4 rodzaje cel: wypełnione cieczą puste zawierające przeszkodę stanowiące powierzchnię cieczy 159
160 Rozwiązanie równań N-S gmip96.pdf przykłady 160
161 Metody cząsteczkowe Ciecz jako zbiór malutkich kuleczek Właściwości cieczy osiągane są poprzez odpowiedni dobór oddziaływań pomiędzy cząsteczkami oddziaływania sztywne aby ciecz była nieściśliwa oddziaływania krótkozasięgowe (typowo tylko pomiędzy sąsiadującymi cząstkami) często stosowany potencjał Lennarda- Jonesa (nie całkiem poprawnie) 161
162 Upraszczanie obliczeń Aby uniknąć obliczania oddziaływań pomiędzy każdą parą cząstek wykorzystuje się następujące fakty: oddziaływanie jest krótkozasięgowe sąsiedztwo cząstek nie zmienia się znacząco w kolejnych krokach symulacji popularne metody listy sąsiadów cele Hockney a 162
163 Wizualizacja Do wizualizacji cieczy potrzebna jest informacja o jej powierzchni Powierzchnia nie jest znana explicite w metodzie cząstek znalezienie cząstek brzegowych triangulacja cząstek brzegowych Powierzchnia jest dana częściowo w metodzie N-S znalezienie wypełnienia cel 163
Programowanie animacji. dr inż. Rafał Wcisło
Programowanie animacji dr inż. Rafał Wcisło wcislo@agh.edu.pl Wstęp 2 Sprawy organizacyjne wykład slajdy będą udostępniane na www: http://galaxy.agh.edu.pl/~wcislo ocena końcowa: oc := lab 3 Wykłady informatyk-animator
Bardziej szczegółowoSymulacje komputerowe
Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski (e-mail: jacek@fizyka.umk.pl) http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/modsym/ Symulacje komputerowe Dynamika bryły sztywnej Wersja: 8
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoTechniki animacji komputerowej
Techniki animacji komputerowej 1 Animacja filmowa Pojęcie animacji pochodzi od ożywiania i ruchu. Animować oznacza dawać czemuś życie. Słowem animacja określa się czasami film animowany jako taki. Animacja
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoGrafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik
Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa Wykład 4. Synteza grafiki 3D. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/30
Wykład 4 mgr inż. 1/30 Synteza grafiki polega na stworzeniu obrazu w oparciu o jego opis. Synteza obrazu w grafice komputerowej polega na wykorzystaniu algorytmów komputerowych do uzyskania obrazu cyfrowego
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 6.X.017 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA
WYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA ROK SZKOLNY: 2018/2019 KLASY: 2mT OPRACOWAŁ: JOANNA NALEPA OCENA CELUJĄCY OCENA BARDZO DOBRY - w pełnym zakresie - w pełnym opanował zakresie opanował
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku
WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoModelowanie i Animacja
Maciej Matyka Uniwersytet Wrocławski Maciej Matyka Plan wykładu Dlaczego animujemy używając komputera? Dlaczego animujemy używając komputera? Wyciąg z minimum programowego fizyki w liceum... Kinematyka
Bardziej szczegółowoPodstawy 3D Studio MAX
Podstawy 3D Studio MAX 7 grudnia 2001 roku 1 Charakterystyka programu 3D Studio MAX jest zintegrowanym środowiskiem modelowania i animacji obiektów trójwymiarowych. Doświadczonemu użytkownikowi pozwala
Bardziej szczegółowoCZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoMgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoAnimacja komputerowa. dr inż. Piotr Steć
Animacja komputerowa dr inż. Piotr Steć Plan wykładu Animacja tradycyjna Cykl produkcji Podstawy animacji Techniki produkcyjne Animacja komputerowa Cykl produkcji Klatki kluczowe i interpolacja Kinematyka
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoDynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu w postaci
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoOpis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoOpis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoModelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006
Modelowanie biomechaniczne Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Zakres: Definicja modelowania Modele kinematyczne ruch postępowy, obrotowy, przemieszczenie,
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona
Zasady dynamiki Newtona Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu Jeżeli na ciało nie działa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład III: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoFizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w poprzednim odcinku 1 Wzorce sekunda Aktualnie niepewność pomiaru czasu to 1s na 70mln lat!!! 2 Modele w fizyce Uproszczenie problemów Tworzenie prostych modeli, pojęć i operowanie nimi 3 Opis ruchu Opis
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu
Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Pęd Rozważamy
Bardziej szczegółowoStatyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał
Statyka Cieczy i Gazów Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał 1. Podstawowe założenia teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał: Ciała zbudowane są z cząsteczek. Pomiędzy cząsteczkami
Bardziej szczegółowoModelowanie i Animacja
Modelowanie i Animacja Maciej Matyka maq@panoramix.ift.uni.wroc.pl Uniwersytet Wrocławski Animacje Komputerowe p. 1/29 Co to jest Animacja? Układ pojedynczych klatek Odtwarzanych w ustalonej kolejności
Bardziej szczegółowoAutodesk 3D Studio MAX Animacja komputerowa i praca kamery
Autodesk 3D Studio MAX Animacja komputerowa i praca kamery dr inż. Andrzej Czajkowski Instyt Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Automatyki 5 maja 2017 1 / 22 Plan
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę
Bardziej szczegółowoZastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D
Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D autorzy: Michał Dajda, Łojek Grzegorz opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter I. O projekcie. 1. Celem projektu było stworzenie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 4 27.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 27.X.2016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoFIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)
2019-09-01 FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) Treści z podstawy programowej przedmiotu POZIOM ROZSZERZONY (PR) SZKOŁY BENEDYKTA Podstawa programowa FIZYKA KLASA 1 LO (4-letnie po szkole
Bardziej szczegółowoBryła sztywna Zadanie domowe
Bryła sztywna Zadanie domowe 1. Podczas ruszania samochodu, w pewnej chwili prędkość środka przedniego koła wynosiła. Sprawdź, czy pomiędzy kołem a podłożem występował poślizg, jeżeli średnica tego koła
Bardziej szczegółowoZasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoPierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.
Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy
Bardziej szczegółowoROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl
ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....
Bardziej szczegółowoRuch. Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował.
Kinematyka Ruch Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował. Ruch rozumiany jest jako zmiana położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA SIŁA I JEJ CECHY
DYNAMIKA SIŁA I JEJ CECHY Wielkość wektorowa to wielkość fizyczna mająca cztery cechy: wartość liczbowa punkt przyłożenia (jest początkiem wektora, zaznaczamy na rysunku np. kropką) kierunek (to linia
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoOddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.
Siły w przyrodzie Oddziaływania Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Występujące w przyrodzie rodzaje oddziaływań dzielimy na:
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoModelowanie Fizyczne w Animacji Komputerowej
Modelowanie Fizyczne w Animacji Komputerowej Wykład 2 Dynamika Bryły Sztywnej Animacja w Blenderze Maciej Matyka http://panoramix.ift.uni.wroc.pl/~maq/ Rigid Body Dynamics https://youtu.be/_e70usvrjra
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoAnimowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE
1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest
Bardziej szczegółowoModyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji
Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji Zakład Metod Obliczeniowych Chemii 11 kwietnia 2006 roku 1 Po co? Jak? 2 Algorytm Analiza zbieżności 3 dla układów symetrycznych 4 Fulleren 5 Po co?
Bardziej szczegółowoDynamika mechanizmów
Dynamika mechanizmów napędy zadanie odwrotne dynamiki zadanie proste dynamiki ogniwa maszyny 1 Modelowanie dynamiki mechanizmów wymuszenie siłowe od napędów struktura mechanizmu, wymiary ogniw siły przyłożone
Bardziej szczegółowoInformatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki
Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Zasady dynamiki Newtona Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2019 Zasady dynamiki Newtona Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Podstawowa teoria, która pozwala przewidywać ruch ciał, składa
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu
Bardziej szczegółowoPodstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora
Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym
Bardziej szczegółowoGrafika 2D. Animacja - wstęp. Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową. opracowanie: Jacek Kęsik
Grafika 2D - wstęp opracowanie: Jacek Kęsik Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową 1 podstawowe pojęcia Scena Rodzaje animacji Symbole Bardzo szybkie wyświetlanie sekwencji
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowo