Programowanie animacji

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie animacji"

Transkrypt

1 Programowanie animacji Wykład 2 rok, 2 stopień Informatyki dr inż. Rafał Wcisło 1

2 Część I Wstęp 2

3 Definicja animacji S.J.P. PWN: Animacja 1. metoda polegająca na dokonywaniu serii zdjęć rysunków, plam barwnych, kukiełek itp. w poszczególnych fazach ruchu, których wyświetlanie daje na ekranie efekt ożywienia, ruchu ciągłego, 2. uruchamianie lalek w teatrze lalkowym Google: Wprawianie w ruch czegoś co samo z siebie się nie rusza 3

4 Definicja animacji komputerowej, wersja 1.0 Animacja, w której zastosowano komputer... 4

5 Problem kisielu Film Wulkan (1997) Wniosek: animacja komputerowa jest jeszcze na początku drogi... 5

6 Definicja animacji komputerowej, wersja 2.0 Animacja komputerowa animacja, w której ruch (kinematyka: zależność położenia, kształtu [i innych] od czasu) obliczany jest za pomocą komputera 6

7 Zastosowania animacji komputerowej Naukowe (inżynieria, medycyna) wizualizacja gotowych danych symulacja zjawisk Gadżetowe (słupki, wykresy, loga, www itp.) Rozrywka: efekty specjalne w filmach (Skarb, 1948) filmy animowane gry 7

8 Zastosowania animacji komputerowej Medyczne rehabilitacja (VR!) planowanie operacji 8

9 Rodzaje animacji komputerowej w filmach Animacja komputerowa jako taka np. Star Wars, Episode IV (1977), Lawnmower Man (1992), Total Recall (1990) Nie próbująca oszukać widza np. bajki dla dzieci i nie tylko np. Toy story (1995), Bug s Life (1998), Shrek (2001) Próbująca oszukać widza, ale bez szansy na sukces* np. Jurassic Park (1993), Apollo 13 (1995) 9

10 Rodzaje animacji komp., cd. Próbująca go oszukać skutecznie np. Star Wars, Episode II (2002), Gladiator (2000) Próbująca go oszukać prawie skutecznie np. Final Fantasy (2001) 10

11 Historia animacji era przedkomputerowa phenakistoscope I. Plateau (Belg), 1832 technika zdjęć poklatkowych J. Stuart Blackton (USA), 1906 The Sinking of Lusitania W. McCay, pierwszy film animowany pełnometrażowy, 1918 metoda przemysłowa produkcji filmów animowanych W. Disney, lata 1930 King Kong - Willis O'Brien,

12 Historia animacji komputerowej Hunger (La Faim) Peter Foldes, interpolacje 2D, 1974 Pixar: Adventures of Adre & Wally (1984) Luxo, Jr (1986) pierwsza animacja komputerowa nominowana do Oskara Red s Dream (1987) Tin Toy (1988) pierwsza animacja, która otrzymała Nagrodę Akademii Knick Knack (1989) Geri s Game (1997) - Oskar For the Birds (2001) - Oskar 12

13 13

14 Historia animacji komputerowej, cd. Tron (1982) pierwszy raz użyto grafiki komputerowej jako integralnej części filmu The Last Starfighter (1984) animowane statki kosmiczne (planety modele) pierwszy raz intencją było ukrycie animacji komputerowej 14

15 Historia animacji komputerowej, cd. Toy story (1995) pierwszy pełnometrażowy film 3D animowany komputerowo Epoka lodowcowa (2001) cała masa futrzaków Katedra (2002) nominacja do Oskara (wygrał The Chubbchubbs) 15

16 Główni producenci animacji komputerowych Pixar Industrial Light & Magic Pacific Data Images Disney Xaos Rhythm & Hues Digital Domain Lamb & Company Metrolight Studios Boss Film Studios Blue Sky Productions Sony Pictures Apple Studenci Informatyki AGH 16

17 Elementy składowe filmu film akt scena ujęcie klatka całość przedsięwzięcia jedność czasu, miejsca, akcji ciągła praca kamery 24/25/29.97 na sekundę 17

18 Etapy produkcji filmu scenariusz wstępny scenopis story board (rysunki kluczowych ujęć wraz z opisem akcji) ocena akcji (burza mózgów) szczegółowy story board 18

19 19

20 20

21 Etapy produkcji filmu, cd. opracowanie modeli postaci i innych obiektów, scenografii ujęcie testowe (pełny rendering pojedynczego ujęcia lub kadru) nagranie ścieżki dźwiękowej (pełnej/wstępnej) pencil test sprawdzenie ruchu (animacja z prostym renderingiem) 21

22 Etapy produkcji filmu, cd. ostateczna produkcja pełny rendering montaż i efekty dodatkowe (np. napisy) 22

23 Rodzaje animowanych obiektów Obiekty martwe ciała stałe sztywne elastyczne połączone... płyny gazy (płomienie, mgła, dym,...) ciecze (woda stojąca, wodospady, magma,...) 23

24 Rodzaje animowanych obiektów, cd. Obiekty żywe rośliny obce istoty The Abyss (1989), Terminator 2 (1995), Gatunek (1995), Star Wars, Ep.II (2002), Ep.III (2005) zwierzęta Jurrasic Park (1993) Jumanji (1995) 24

25 Rodzaje animowanych obiektów, cd. ludzie postaci twarze Shrek (2001), Final Fantasy (2001) 25

26 Zasady animacji tradycyjnej opracowane w latach 30-tych w Walt Disney Studios wykorzystywane do dziś, także w animacjach komputerowych 26

27 Squash and stretch tylko obiekty całkowicie sztywne nie podlegają deformacji podczas ruchu deformacje powinny zachowywać objętość efekt, choć nie zawsze realistyczny, powoduje wrażenie większej szybkości obiektu w momencie startu lub hamowania 27

28 Timing and Motion szybkość wykonywania ruchów powinna uwypuklać masę obiektu odpowiedni czas przed rozpoczęciem i po zakończeniu ruchu w przypadku ludzi szybkość reakcji ma także związek z emocjami 28

29 Anticipation podział akcji na: oczekiwanie akcję właściwą zakończenie akcji daje szansę przygotować się widzowi, ukierunkować jego spojrzenie pomaga widzowi zrozumieć szybką akcję 29

30 Follow Through moment zakończenia ruchu dla obiektów złożonych jest rozłożony w czasie drobne elementy wyhamowują za głównymi 30

31 Staging taka inscenizacja sceny, aby zamierzona akcja, kluczowa postać, nastrój itp. były czytelne inscenizacja powinna koncentrować widza na odpowiednim fragmencie ekranu (najczęściej środek) postacie częściej pokazywane są z boku bo to bardziej sprzyja wyrazistości ruchów 31

32 Overlapping Action rozpoczęcie kolejnej akcji może rozpocząć się przed zakończeniem poprzedniej pomaga utrzymać zainteresowanie widza i eliminuje dead time 32

33 Slow In and Out (Ease In/Out) obiekty pomiędzy skrajnymi położeniami nie powinny poruszać się jednostajnie wykorzystanie splinów zamiast interpolacji liniowej 33

34 Exaggeration podkreślanie ruchów i emocji zależy od przyjętej konwencji nie należy przesadzić 34

35 Secondary Action ruchy nie związane z akcją główną dodają realizmu scenie nie powinny odciągać uwagi od głównej akcji 35

36 Wymiarowość animacji co określa wymiarowość animacji? wymiarowość obiektów wymiarowość dynamiki wymiarowość wizualizacji nie wszystkie kombinacje mają sens 2-2-2D (2D) 3-2-2D (2½D) 3-3-2D (3D) 3-3-3D (3D) 36

37 2-2-2D 37

38 3-3-2D 38

39 3-2-2D 39

40 Techniki 2D warping morphing 40

41 Warping podstawa działania 41

42 Warping modyfikacje wersja dla obiektów niewektorowych wersja 3D 42

43 Morphing 43

44 Metoda ramek kluczowych animator generuje jedynie klatki kluczowe dla przebiegu ujęcia pozostałe klatki uzupełniane są za pomocą interpolacji spline y slow in/out warping/morphing 44

45 Metoda ramek kluczowych 45

46 Simpsonowie Praca dzielona jest między dwa studia w Kalifornii, gdzie rysuje się główne obrazki. Potem trafiają do Korei Południowej, gdzie ponad 100 wypełniaczy pracowicie rysuje kolejne klatki, by osiągnąć iluzję płynności ruchów (The Guardian) Jeden odcinek (21 minut) kosztuje milion dolarów. Produkcja odcinka trwa pół roku, 15 scenarzystów pisze teksty i wymyśla gagi. (jw) 46

47 Odwrotna kinematyka (IK Inverse Kinematics) obiekty złożone z połączonych sztywnych (nie zawsze) elementów polega na określeniu pożądanej pozycji wybranych elementów obiektu złożonego i automatycznym* obliczeniu położeń całego układu 47

48 Model hierarchiczny wykorzystywany bardzo często także w innych metodach bardzo wygodny do definiowania obiektów i ich animowania wygodny z punku widzenia informatycznego (drzewo) 48

49 każdy węzeł opisuje sztywny* fragment obiektu tułów każdy link opisuje wzajemne położenie węzłów, oraz ew.: stopnie swobody (rodzaj połączenia) ograniczenia ruchu sztywność barki głowa miednica lewe ramię prawe ramię lewe udo prawe udo lewe przedramię prawe przedramię lewa łydka prawa łydka lewa stopa prawa stopa 49

50 Odwrotna kinematyka ay przykład A ax bx A 2 2 ( b a ) ( b a ) AB x x y y 2 bx ax by B A 50

51 Odwrotna kinematyka przykład 2 51

52 Rodzaje zmian zginanie () zmiana długości (d) inne d 52

53 Kinematyka q = (d 1, d 2,..., 1, 2,...) wektor stanu obiektu g = (g x, g y, g z, g, g, g ) położenie i orientacja końca g = f(q) gdzie f łatwe do wyliczenia 53

54 Odwrotna kinematyka znamy g, chcemy poznać q problem z dziedziny robotyki q = f -1 (g) ale: f na ogół nie jest liniowa f -1 na ogół nie istnieje 54

55 Pomysły nie interesuje nas stan q, ale jego zmiana q ponieważ zmiany są niewielkie, stosujemy liniową aproksymację f: g df dq q 0 q 55

56 56 ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( q q q q q q q g f f f f f f f z y x n i n x i x j i f q f q f q f q f q f J q 0 q q J q f f ) ( ) ( 0 0 pierwszy wyraz rozwinięcia Taylora

57 ay A bx ax by B g Jq q J 1 g 57

58 Obliczanie J -1 J jest macierzą 6 x n szukamy takiej macierzy X, która posiada przynajmniej jedną z własności: JXJ = J XJX = X (XJ) T = XJ (JX) T = JX jeśli X spełnia wszystkie w/w warunki to jest pseudoinwersją J i oznaczmy ją J + J + jest jednoznaczna 58

59 Obliczanie J + g = J q J T g = J T J q J + g = (J T J) -1 J T J q = q czyli: J + = J T (JJ T ) -1 59

60 Można jeszcze inaczej q = J T g??? J T jest różna od J -1, ale wskazuje tę samą tendencję wzór należy zastosować iteracyjnie: q (i+1) = t J T g i 60

61 Porównanie J + i J T J + J T szybkie obliczenia wolniejsze obliczenia dokładniejszy wynik minimalizacja zmian konieczność iteracji zmiany bywają nieoczekiwane 61

62 Metoda CCD (Cyclic Coordinate Descent) rozwiązywanie problemu IK dla pojedynczego węzła (metodą dokładną ) przeniesienie problemu na poprzedni węzeł itd. aż do korzenia iterowanie, aż do osiągnięcia celu 62

63 Cechy metody CCD prosta w implementacji szybka stabilna nie zawsze gwarantuje płynny ruch 63

64 Podpatrywanie ruchu dokonanie pomiarów ruchu obiektu w naturze stosowane głównie dla obiektów żywych przeniesienie ruchów do animacji zmiana kształtu, stroju obiektu itp. zmiana scenografii zwielokrotnienie obiektów (np. klucz lecących ptaków) 64

65 Podpatrywanie ruchu analiza ruchów metodą Fouriera w celu znalezienia cech charakterystycznych możliwość uwypuklania możliwość tłumienia 65

66 Podpatrywanie ruchu przykłady metoda 1 metoda 1 - wynik metoda 2 metoda 2 wynik Final Fantasy Matrix 66

67 Metody symulacyjne metoda elementów skończonych metoda różnic skończonych metody cząstek analityczne wyznaczanie trajektorii inne 67

68 Schemat ogólny animacji komputerowej 68

69 Dwie ścieżki symulacji symulacja sceny symulacja ruchów wszystkich filmowanych obiektów symulacja działań ekipy filmowej symulacja ruchu kamery położenie kamery kierunek filmowania zbliżenie ostrość motion blur symulacja oświetlenia 69

70 Symulacja kamery widz utożsamia się z kamerą ruchy powinny być miękkie i naturalne filmowanie stabilne vs reporterskie przykład 70

71 Dwie skrajności filmy typu walk-through, fly-over brak symulacji sceny, wyłącznie animacja kamery animacje schematyczne brak symulacji kamery wyłącznie jedno, stałe położenie 71

72 Symulacja oparta o prawa fizyki ciało stałe sztywne ruch ciała swobodnego ograniczenia i kolizje ciała płynne gazy ciecze ciała stałe elastyczne odkształcenia sprężyste odkształcenia plastyczne 72

73 Animacja ciała sztywnego założenia: pojedyncze ciało sztywne o jednorodnej gęstości 73

74 Układy współrzędnych układ obiektu środek masy obiektu = środek układu obiektu układ sceny transformacja (obrót + przesunięcie) r( t) R( t) r x( t) 0 74

75 Znaczenie r( t) R( t) r x( t) 0 R(t) x(t) środek masy obiektu w układzie sceny R(t) -? r r r xx xy xz r r r yx yy yz r r r zx zy zz 1 R( t) 0 0 r r r czyli kolumny R(t) są współrzędnymi osi ciała w układzie sceny xx xy xz 75

76 76 Prędkości v(t) liniowa, zależność v i x: ) ( ) ( ) ( t t dt d t x x v w(t) obrotowa, zależność w i R: zz zy zx yz yy yx xz xy xx r r r t r r r t r r r t t ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω R

77 77 Drobne uproszczenie * x y x z y z a a a a a a a b a b a y x y x z x z x z y z y z y x x y x z y z a b b a a b b a a b b a b b b a a a a a a *

78 78 zz zy zx yz yy yx xz xy xx r r r t r r r t r r r t t ) ( ) ( ) ( ) ( * * * ω ω ω R ) ( ) ( ) ( ) ( * * t t r r r r r r r r r t t zz zy zx yz yy yx xz xy xx R ω ω R

79 79 Prędkości ) ( ) ( ) ( 0 * t t t v r ω R r ) ( ) ( ) ( 0 t t t x r R r ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( t t t t t v x r ω r składnik obrotowy składnik liniowy

80 Siły F(t) siła działająca na dowolny punkt ciała w punkcie r(t) moment siły: ( t) ( r( t) x( t)) F( t) 80

81 jeśli sił jest więcej to: F( t) F ( t) i i( t) ( ri ( t) x( t)) ( t) F ( t) i 81

82 82 Pęd ))) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( t t m t m t m t i i i i i x r v r p )) ( ) ( ( ) ( t t m t m i i i x r v ) ( )) ( ) ( ( ) ( t M t t m t M i i v x r v ) ( ) ( t t F p

83 Moment pędu trudniejszy dla intuicyjnego podejścia, ale: upraszcza wzory jest zachowywany L( t) I( t) ω( t) L ( t) ( t) 83

84 84 Obliczanie tensora bezwładności zz zy zx yz yy yx xz xy xx I I I I I I I I I I(t) dv y x I dv z x I dv z y I zz yy xx ) (, ) (, ) ( yzdv I xzdv I xydv I yz xz xy,,

85 Metoda obliczenia I = 0; hits = 0; for (x = x_min; x <= x_max; x += dx) for (y = y_min; y <= y_max; y += dy) for (z = z_min; z <= z_max; z += dz) if (inside_body(x,y,z)) { I += hits++; y } I = mass*i/hits; 2 z xy xz 2 x xy 2 z yz 2 x xz 2 yz y 2 85

86 I(t) jest zależne od czasu ale na szczęście: I ( t) R T ( t) I R body ( t) 86

87 87 Wektor stanu ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t L p R x Y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * t t t t t t F R ω v Y

88 Metoda Eulera Y( t t) Y( t) Y ( t) t 88

89 Metoda drugiego rzędu t Y( t t) Y( t) ty ( t Y ( t)) 2 Algorytm: obliczenie kroku Eulera obliczenia dla punktu środkowego krok z wykorzystaniem punku środkowego 89

90 Krok t jak oszacować błąd? obliczamy Y a jako jeden krok dla t obliczamy Y b jako dwa kroki dla t/2 błąd szacujemy jako e= Y b -Y a wartość e pozwala na zmianę t (e ~ t 2 ) stosowanie adaptacyjnego kroku daje duże korzyści 90

91 Ograniczenia ruchu penalty method dodatkowe siły, które wymuszają zmianę trajektorii problem: działają za późno konkurują z innymi siłami (problem z doborem parametrów) mogą powodować oscylacje 91

92 Przykład 92

93 Inne podejście działanie siły wytrącającej z równowagi trzeba przewidzieć przykład r położenie punktu dla okręgu: C(r) = 1 / 2 (r 2 1) = 0, gdzie r położenie punktu C = 0 dopuszczalne położenie C = 0 dopuszczalna prędkość C = 0 dopuszczalne przyspieszenie 93

94 czyli C r r 0 C r r r r 0 94

95 dołożona przez ograniczenie siła: r f f m po podstawieniu: C f f C C r r r m f C r fr mr r 0 95

96 Czy to wystarczy? niestety nie drugie założenie: dodana siła f C nie wpływa na zmianę energii (nie pracuje) E 2 1 mr r E mr r mf r mf r C 96

97 Kierunek f C czyli f C musi mieć taki sam kierunek jak r (czyli f C =lr) jest to ogólna zasada: siła wymuszająca trajektorię musi być do niej prostopadła 97

98 Dodatkowa siła ograniczająca gdyby obliczenia nie były obarczone błędem wszystko by było OK należy dodać siłę naprowadzającą (analogicznie jak w penalty method), ale: dużo, duuuużo mniejszą dodaną po obliczeniu f C! 98

99 Wzory ogólne q wektor położeń dla n punktów w 3D q ma długość 3n M macierz mas diagonalna z wartościami m 1,m 1,m 1, m 2,m 2,m 2,... C(q) ograniczenie q M 1 Q 99

100 szukamy Q C, które zapewni, że C 0 czyli obliczamy: C C C q Jq q Jq Jq 100

101 po podstawieniu sił: C Jq JM 1 ( Q Q C ) 0 1 JM Q Jq C JMQ 101

102 Dodatkowe założenie nie zmieniamy energii: Q x C 0 co jest spełnione dla: Q C J T l uwaga: l jest wektorem, obliczanym z: JM 1 J T l Jq JM 1 Q 102

103 Dodatkowa siła tłumiąca zamieniamy: C na: 0 C k s C k d C JM 1 T 1 J l Jq JM Q k s C k d C 103

104 Metody obliczania C analityczne opracowanie wzoru i obliczenie wszystkich potrzebnych pochodnych skomplikowane nawet dla pozornie prostych ograniczeń metoda nie jest skalowalna (dodanie nowego ograniczenia powoduje konieczność obliczania wszystkich wzorów od początku) składanie z klocków 104

105 Macierz J ograniczenia najczęściej dotyczą: pojedynczych punktów par punktów J C1 C2 x i x j x k macierz J jest zatem rzadka (J też) 105

106 Rozwiązywanie równań liniowych z rzadkimi macierzami wiele metod jedna z nich polega na rozwiązaniu: Mx b poprzez minimalizację: ( Mx b)( Mx b) 106

107 Inne metody wymuszania ograniczeń metoda Lagrange a ograniczenia zadawane jako funkcje parametryczne (np. dla okręgu: (x, y)=(cos, sin )) równania ruchu Lagrange a wady: znalezienie równania parametrycznego jest skomplikowane dla większości przypadków metody hybrydowe 107

108 Kolizje dwa zagadnienia składowe: wykrywanie kolizji (kiedy obiekty się stykają lub będą stykać) obsługa kolizji (odbicie, zatrzymanie, obliczanie sił itp.) dla układu N obiektów należy rozważyć co najwyżej N( N 1) 2 par 108

109 dwa rodzaje kolizji: ciała zderzają się (zbliżają się przed kolizją) i następuje odbicie: jeżeli ciała są niesprężyste, to funkcja prędkości przestaje być ciągła! Należy: wyłączyć mechanizm symulacji obliczyć nowe prędkości ponownie uruchomić symulację ciała spoczywają w stanie kolizji: funkcja prędkości pozostaje ciągła, należy jedynie zapewnić dodatkowe siły powodujące zerowanie przyspieszeń 109

110 Przykłady płyta łańcuch 2 łańcuch 3 łańcuch 6 huśtawka 110

111 Wykrycie czasu kolizji w kroku t+2t wykryta zostaje kolizja należy cofnąć symulację do kroku t+xt x wyliczane: t t t t xt t 2t metodą bisekcji (wolniej, ale dokładniej) na podstawie prędkości i położeń w chwilach t+t i t + 2t (szybciej, ale mniej dokładnie) nie należy szukać dokładnego punku styku, należy zastosować tolerancję e 111

112 Wykrycie kolizji wypukłych wielościanów dwa wielościany wypukłe nie kolidują, jeśli istnieje tzw. płaszczyzna separująca (każdy wielościan znajduje się w całości w różnych półprzestrzeniach wyznaczonych przez tę płaszczyznę) 112

113 Płaszczyzna separująca jeśli wielościany nie kolidują to istnieje płaszczyzna separująca, która: zawiera jedną ze ścian jednego z wielościanu lub zawiera jedną z krawędzi jednego wielościanu i jest równoległa do jednej z krawędzi drugiego wielościanu 113

114 Płaszczyzna separująca w trakcie symulacji jest znajdowana na początku symulacji (wielościany nie mogą kolidować) przeglądanie wszystkich kandydujących płaszczyzn wg własności z poprzedniego slajdu po każdym kroku symulacji sprawdza się czy płaszczyzna oparta o ściany/krawędzie ostatnio wyznaczone jest ciągle separująca jeśli nie, to ponowna próba wyznaczenia płaszczyzny (zaczynamy od sąsiednich) 114

115 115

116 116

117 117

118 118

119 Pudła ograniczające AABB wprowadzone w celu zminimalizowania obliczeń dla każdego ciała zdefiniowane jako: prostopadłościany krawędzie równoległe do osi współrzędnych łatwe do wyliczenia (wystarczy znaleźć: x min, x max, y min, y max, z min, z max ) 119

120 Które pudła ograniczające się przecinają? podejście brute-force: O(n 2 ) podejście z sortowaniem: O(nlogn+k) 120

121 Przypadek 1-wymiarowy pudła są odcinkami: (b i, e i ) algorytm: posortować listę b i, e i, wyzerować listę aktywnych pudeł przechodzimy po liście: jeśli mamy b i, to i-te pudło koliduje z aktywnymi pudłami, dodajemy i-te pudło do listy aktywnych jeśli mamy e i, to usuwamy i-te pudło z listy aktywnych złożoność wynika ze złożoności sortowania (min. O(nlogn)) 121

122 Usprawnienia ale przy następnych krokach symulacji stosujemy listę z poprzedniego kroku i np. dwukierunkowy bubble-sort! w drugiej fazie algorytmu można ograniczyć się do sprawdzania tylko tych pudeł, których wierzchołki zmieniały położenie w liście posortowanej 122

123 Wersja n-wymiarowa działamy niezależnie dla każdej osi pudła się przecinają, jeśli przecinają się dla każdej osi 123

124 Inne rodzaje pudeł AABB axis aligned boundig box OBB oriented bounding box BOXTREE dla każdego ciała drzewo OBB k-dop 124

125 Reakcja na kolizję dwa rodzaje kolizji wielościanów: wierzchołek ściana krawędź krawędź możliwe kolizje wielokrotne prostopadłościan leżący na stole: 4 x wierzchołek ściana prostopadłościan leżący na stole, ale jedna krawędź poza stołem: 2 x wierzchołek ściana + 3 x krawędź krawędź 125

126 Widok z góry 126

127 Zmiana prędkości w wyniku kolizji założenia: ciało A i B punkt kolizji: r A, r B n normalna kolizji dla wierzchołek ściana normalna ściany dla krawędź krawędź iloczyn wektorowy wektorów równoległych do krawędzi 127

128 prędkości punktów: r r A B v v A B w w A B ( r xa) A ( r xb) B względna prędkość: v rel n( r r B ) A jeśli v rel > 0 to ciała się oddalają jeśli v rel = 0 to ciała się stykają lub ocierają jeśli v rel < 0 to ciała się zderzają 128

129 Zderzenie obsługa poprzez wprowadzenie siły siła powinna być duża, aby zapewnić odbicie ciał siła powinna trwać jak najkrócej w praktyce F, t 0 impuls: J = Ft przy braku tarcia: J = jn 129

130 względna prędkość przed zderzeniem: v rel n( r A r B ) względna prędkość po zderzeniu: v rel n( r A r B jeśli nie ma tarcia, to: v lv rel rel ) 130

131 Działanie impulsu J zmiana prędkości: v J M impuls momentu siły: imp ( r x) J 131

132 132 Po podstawieniach B B B A A A B A rel s n s I n s n s I n M M v l j )) ( ( )) ( ( 1 1 ) (1 1 1 gdzie: ) ( ) ( B B B A A A x r S x r S,

133 Ciała nieruchome często występują w animacjach (ściany, stoły itp.) trik: 1/M = 0 I macierz 3x3 wypełniona zerami 133

134 Animacja obiektów elastycznych (soft objects) dwa podejścia do zagadnienia: dla poszczególnych klatek wykorzystuje się inny model obiektu model obiektu zmienia się w czasie animacji 134

135 Deformacje obiektu zmiana położeń wierzchołków dla modelu wielokątowego zmiana punktów kontrolnych dla modeli parametrycznych (krzywe 2D i 3D) 135

136 Deformacje modeli w reprezentacji wielokątowej deformacja polega na zmianie położeń wierzchołków układ połączeń pomiędzy wierzchołkami: krawędzi powierzchni pozostaje bez zmian 136

137 Wady deformacji modeli wielokątowych optymalny początkowy model stworzony z dokładnością odpowiadającą stanowi początkowemu przy pewnych deformacjach ujawnia się brak dodatkowych wierzchołków: np. prostopadłościan modelowany za pomocą wyłącznie 8 wierzchołków nie da się zgiąć

138 Rozwiązanie jedynym rozwiązaniem umożliwiającym poprawne animowanie odkształceń modeli wielokątowych polega na dynamicznym dogenerowywaniu wierzchołków w miejscach o największym odkształceniu 138

139 Rozwiązanie, c.d. problemy: kiedy generować nowe wierzchołki (problem sformułowania odpowiedniego warunku) następuje podział krawędzi następuje podział wielokątów operacja odwrotna, czyli usuwanie wierzchołków, kiedy deformacja zostanie cofnięta lub kiedy deformacja spowoduje wyrównanie powierzchni obiektu 139

140 Deformacje modeli w reprezentacji parametrycznej deformacja polega na zmianie parametrów kształtu obiektu podstawową zaletą jest łatwe uzyskanie gładkich powierzchni niezależnie od stopnia deformacji obiektu 140

141 Wady deformacji modeli parametrycznych podstawową wadą może być trudna do przewidzenia zależność pomiędzy parametrami obiektu a jego kształtem... często liczba parametrów jest znacząco mniejsza niż np. liczba wierzchołków dla podobnego modelu wielokątowego o podobnych zakrzywieniach 141

142 142

143 Rozwiązanie pośrednie B-spline!!! łączy w sobie: łatwość deformowalności właściwą modelom wielokątowym (także zachowuje lokalność zmian) zachowuje gładkość powierzchnii (klasa C 2 ) jest łatwiejszy do deformowania niż np. łaty Beziera 143

144 144

145 Hierarchiczne B-spline y jeżeli w wyniku przesunięcia punktu kontrolnego obserwowane zniekształcenie jest zbyt rozległe, można dokonać dogenerowania punktów w obrębie najbliższych segmentów spline a 145

146 146

147 Hierarchiczne B-spline y, c.d. nowe punkty: łatwe do wyliczenia łatwe do pominięcia 147

148 Globalne odkształcenia ściskanie skręcanie wyginanie (Barr A.H. 84) 148

149 Ściskanie wzdłuż osi Z: (X, Y, Z) = (r*x, r*y, z) r = f(z) 149

150 Skręcanie wzdłuż osi Z: (X, Y, Z) = (xcosf ysinf, xsinf + ycosf, z) f = f(z) 150

151 Wyginanie y min < y < y max f = k(y y 0 ) kąt zgięcia (y 0 środek wygięcia; k - promień) y = y min dla y < y min y max dla y > y max y dla y min < y < y max 151

152 X = x Y = -sinf(z k -1 )+y 0 dla y min <y<y max = -sinf(z k -1 )+y 0 +cosf(y y min ) dla y<y min = -sinf(z k -1 )+y 0 +cosf(y y max ) dla y>y max Z = cosf(z k -1 )+k -1 dla y min <y<y max = cosf(z k -1 ) +k -1 +sinf(y y min ) dla y<y min = cosf(z k -1 ) +k -1 +sinf(y y max ) dla y>y max 152

153 FFD Free Form Deformation Saderburg

154 Animacja płynów ciecze fale rozbryzgi krople piana...inne gazy ogień mgła chmury...inne 154

155 Ciecze trudność w stosowaniu: podpatrywania ruchu ale można sfilmować kisiel... kinematyki odwrotnej ramek kluczowych itp. rozwiązanie: symulacje komputerowe 155

156 Symulacje zachowania cieczy Należy uwzględnić: cechy cieczy takie jak: gęstość, lepkość napięcie powierzchniowe ciśnienie wewnętrzne cieczy ciśnienie zewnętrzne siłę ciężkości warunki brzegowe 156

157 Przypadek specjalny delikatne falowanie bez rozdzielania cieczy w pionie (akwen może być zdefiniowany jako pole wysokości powierzchni) występuje stosunkowo często może być łączony z innymi metodami 157

158 158 Przypadek ogólny Równania Naviera-Stockesa z w y w x w g z p z w y vw x uw t w z v y v x v g y p z uw y v x uv t v z u y u x u g x p z uw y uv x u t u z y x

159 Rozwiązanie równań N-S dyskretyzacja całość obszaru dzielona jest na sześcianiki (cele) zgodnie z układem kartezjańskim prędkości (z N-S) są przyjmowane dla środków ścianek ciśnienie dla środka sześcianu 4 rodzaje cel: wypełnione cieczą puste zawierające przeszkodę stanowiące powierzchnię cieczy 159

160 Rozwiązanie równań N-S gmip96.pdf przykłady 160

161 Metody cząsteczkowe Ciecz jako zbiór malutkich kuleczek Właściwości cieczy osiągane są poprzez odpowiedni dobór oddziaływań pomiędzy cząsteczkami oddziaływania sztywne aby ciecz była nieściśliwa oddziaływania krótkozasięgowe (typowo tylko pomiędzy sąsiadującymi cząstkami) często stosowany potencjał Lennarda- Jonesa (nie całkiem poprawnie) 161

162 Upraszczanie obliczeń Aby uniknąć obliczania oddziaływań pomiędzy każdą parą cząstek wykorzystuje się następujące fakty: oddziaływanie jest krótkozasięgowe sąsiedztwo cząstek nie zmienia się znacząco w kolejnych krokach symulacji popularne metody listy sąsiadów cele Hockney a 162

163 Wizualizacja Do wizualizacji cieczy potrzebna jest informacja o jej powierzchni Powierzchnia nie jest znana explicite w metodzie cząstek znalezienie cząstek brzegowych triangulacja cząstek brzegowych Powierzchnia jest dana częściowo w metodzie N-S znalezienie wypełnienia cel 163

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Techniki animacji komputerowej

Techniki animacji komputerowej Techniki animacji komputerowej 1 Animacja filmowa Pojęcie animacji pochodzi od ożywiania i ruchu. Animować oznacza dawać czemuś życie. Słowem animacja określa się czasami film animowany jako taki. Animacja

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa

18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Podstawy 3D Studio MAX

Podstawy 3D Studio MAX Podstawy 3D Studio MAX 7 grudnia 2001 roku 1 Charakterystyka programu 3D Studio MAX jest zintegrowanym środowiskiem modelowania i animacji obiektów trójwymiarowych. Doświadczonemu użytkownikowi pozwala

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Animacja komputerowa. dr inż. Piotr Steć

Animacja komputerowa. dr inż. Piotr Steć Animacja komputerowa dr inż. Piotr Steć Plan wykładu Animacja tradycyjna Cykl produkcji Podstawy animacji Techniki produkcyjne Animacja komputerowa Cykl produkcji Klatki kluczowe i interpolacja Kinematyka

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku w poprzednim odcinku 1 Wzorce sekunda Aktualnie niepewność pomiaru czasu to 1s na 70mln lat!!! 2 Modele w fizyce Uproszczenie problemów Tworzenie prostych modeli, pojęć i operowanie nimi 3 Opis ruchu Opis

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Modelowanie biomechaniczne Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Zakres: Definicja modelowania Modele kinematyczne ruch postępowy, obrotowy, przemieszczenie,

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu

Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Pęd Rozważamy

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków

Bardziej szczegółowo

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał Statyka Cieczy i Gazów Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał 1. Podstawowe założenia teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał: Ciała zbudowane są z cząsteczek. Pomiędzy cząsteczkami

Bardziej szczegółowo

Autodesk 3D Studio MAX Animacja komputerowa i praca kamery

Autodesk 3D Studio MAX Animacja komputerowa i praca kamery Autodesk 3D Studio MAX Animacja komputerowa i praca kamery dr inż. Andrzej Czajkowski Instyt Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Automatyki 5 maja 2017 1 / 22 Plan

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1

J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 4 27.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 4 27.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 27.X.2016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna Zadanie domowe

Bryła sztywna Zadanie domowe Bryła sztywna Zadanie domowe 1. Podczas ruszania samochodu, w pewnej chwili prędkość środka przedniego koła wynosiła. Sprawdź, czy pomiędzy kołem a podłożem występował poślizg, jeżeli średnica tego koła

Bardziej szczegółowo

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest

Bardziej szczegółowo

Ruch. Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował.

Ruch. Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował. Kinematyka Ruch Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował. Ruch rozumiany jest jako zmiana położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D

Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D autorzy: Michał Dajda, Łojek Grzegorz opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter I. O projekcie. 1. Celem projektu było stworzenie

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.

Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Siły w przyrodzie Oddziaływania Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Występujące w przyrodzie rodzaje oddziaływań dzielimy na:

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3. Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i Animacja

Modelowanie i Animacja Modelowanie i Animacja Maciej Matyka maq@panoramix.ift.uni.wroc.pl Uniwersytet Wrocławski Animacje Komputerowe p. 1/29 Co to jest Animacja? Układ pojedynczych klatek Odtwarzanych w ustalonej kolejności

Bardziej szczegółowo

Dynamika mechanizmów

Dynamika mechanizmów Dynamika mechanizmów napędy zadanie odwrotne dynamiki zadanie proste dynamiki ogniwa maszyny 1 Modelowanie dynamiki mechanizmów wymuszenie siłowe od napędów struktura mechanizmu, wymiary ogniw siły przyłożone

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja - wstęp. Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja - wstęp. Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D - wstęp opracowanie: Jacek Kęsik Wykład obejmuje podstawowe pojęcia związane z animacja komputerową 1 podstawowe pojęcia Scena Rodzaje animacji Symbole Bardzo szybkie wyświetlanie sekwencji

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu.

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu. 1 1 x (m/s) 4 0 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 t (s) a) Narysuj wykres a x (t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka

Bardziej szczegółowo

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Fizyka I (B+C) Wykład XIV: Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna Energia kinetyczna i zasada zachowania energii Zderzenia elastyczne dr P F n Θ F F t Praca i energia Praca

Bardziej szczegółowo

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał. ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, Spis treści

Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, Spis treści Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, 2015 Spis treści Od Wydawcy do drugiego wydania polskiego Przedmowa Podziękowania xi xiii xxi 1. Pomiar 1 1.1.

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

i ruchów użytkownika komputera za i pozycjonujący oczy cyberagenta internetowego na oczach i akcjach użytkownika Promotor: dr Adrian Horzyk

i ruchów użytkownika komputera za i pozycjonujący oczy cyberagenta internetowego na oczach i akcjach użytkownika Promotor: dr Adrian Horzyk System śledzenia oczu, twarzy i ruchów użytkownika komputera za pośrednictwem kamery internetowej i pozycjonujący oczy cyberagenta internetowego na oczach i akcjach użytkownika Mirosław ł Słysz Promotor:

Bardziej szczegółowo

Statyka płynów - zadania

Statyka płynów - zadania Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie współczynnika restytucji

Wyznaczenie współczynnika restytucji 1 Ćwiczenie 19 Wyznaczenie współczynnika restytucji 19.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika restytucji dla różnych materiałów oraz sprawdzenie słuszności praw obowiązujących

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku w poprzednim odcinku 1 Opis ruchu Opis ruchu Tor, równanie toru Zależność od czasu wielkości wektorowych: położenie przemieszczenie prędkość przyśpieszenie UWAGA! Ważne żeby zaznaczać w jakim układzie

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

1. K 5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego

1. K 5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego 1. K 5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego Zadanie 1 Koło napędowe o promieniu r 1 =1m przekładni ciernej wprawia w ruch koło o promieniu r =0,5m z przyspieszeniem 1 =0, t. Po jakim czasie prędkość

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ TEMAT NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

DZIAŁ TEMAT NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia ODDZIAŁYWANIA DZIAŁ TEMAT NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. Organizacja pracy na lekcjach fizyki w klasie I- ej. Zapoznanie z wymaganiami na poszczególne oceny. Fizyka jako nauka przyrodnicza.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI KLASA I Budowa materii Wymagania na stopień dopuszczający obejmują treści niezbędne dla dalszego kształcenia oraz użyteczne w pozaszkolnej działalności ucznia. Uczeń: rozróżnia

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora

Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej o dowolnym

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa dr Mikolaj Szopa 17.10.2015 Do 1600 r. uważano, że naturalną cechą materii jest pozostawanie w stanie spoczynku. Dopiero Galileusz zauważył, że to stan ruchu nie zmienia się, dopóki nie ingerujemy I prawo

Bardziej szczegółowo

Programowanie Współbieżne. Algorytmy

Programowanie Współbieżne. Algorytmy Programowanie Współbieżne Algorytmy Sortowanie przez scalanie (mergesort) Algorytm :. JEŚLI jesteś rootem TO: pobierz/wczytaj tablice do posortowania JEŚLI_NIE to pobierz tablicę do posortowania od rodzica

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład 10 Stan naprężenia w płynie

J. Szantyr Wykład 10 Stan naprężenia w płynie J. Szantyr Wykład 10 Stan naprężenia w płynie Można udowodnić, że tensor stanu naprężenia w płynie jest tensorem symetrycznym, czyli: itd. xy = yx Redukuje to liczbę niewiadomych naprężeń lepkościowych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej 1. Wielkości dynamiczne w ruchu postępowym. a. Masa ciała jest: - wielkością skalarną, której wielkość jest niezmienna

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z FIZYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z FIZYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z FIZYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WŁASNOŚCI MATERII - Uczeń nie opanował wiedzy i umiejętności niezbędnych w dalszej nauce. - Wie, że substancja występuje w trzech stanach skupienia. - Wie,

Bardziej szczegółowo