DYNAMICZNA ESTYMACJA WARUNKOWEGO ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA w STRUMIENIOWEJ ANALIZIE DANYCH EKONOMICZNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "DYNAMICZNA ESTYMACJA WARUNKOWEGO ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA w STRUMIENIOWEJ ANALIZIE DANYCH EKONOMICZNYCH"

Transkrypt

1 DYNAMICZNA ESTYMACJA WARUNKOWEGO ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA w STRUMIENIOWEJ ANALIZIE DANYCH EKONOMICZNYCH Daiel Kosiorowski Katedra Statystyki UEK w Krakowie Posiedzeie Rady Wydziału Zarządzaia Kraków

2 PLAN REFERATU. Czym jest strumieiowe przetwarzaie daych. 2. Strumieiowa aaliza daych vs. aaliza ekoometrycza wielowymiarowego procesu stochastyczego. 3. Strumieie daych ekoomiczych modele i zagadieia badawcze (przekleństwo wielowymiarowości iestacjoarość procesu złożoość obliczeiowa procedury statystyczej). 4. Wybrae zagadieia ieparametryczej estymacji warukowego rozkładu prawdopodobieństwa (WRP). 5. Propozycje dyamiczych procedur estymacji WRP. 6. Własości propozycji. 7. Kokluzje i play a przyszłość.

3 WPROWADZENIE. Koieczość szacowaia warukowego rozkładu prawdopodobieństwa bezpośredio lub pośredio pojawia się w większości procedur statystyczych wykorzystywaych w ekoomii credit scorig ubezpieczeia a życie ale także audit fiasowy aaliza wskaźikowa przewidywaie wpływów z podatku VAT progozy iflacji sodaże opiii publiczej itd. 2. Nowe zjawiska w ekoomii jak p. strumieiową aaliza (aalizą o lie) wielkich wielowymiarowych zbiorów daych geerowaych przez złośliwe modele staowią wyzwaie dla statystyków i ekoometryków (Cox Rubi Huber 20). Nowe zjawiska ie przystają do możliwości klasyczej statystyki wywodzącej się z postulatów R. A Fishera z lat 20 ubiegłego wieku. Nasza próba ie ma końca procedura ie może być zbyt złożoa obliczeiowo

4 JAK ROZUMIEĆ STRUMIEŃ DANYCH? Strumień daych może zostać ieformalie zdefiioway jako ciąg obserwacji o ieokreśloej długości (Szewczyk 200). Strumieie daych to geerowae z wysoką prędkością zbiory daych które są wyzwaiem dla systemów obliczeiowych w związku z koieczością ich przetwarzaia magazyowaia oraz wioskowaia co do ich (Gaber 202). Termiologia wywodzi się z teoretyczej iformatyki gdzie strumieie były rozważae po raz pierwszy (zobacz p. Aggerwal 2007 Muthukrisha 2006 Imieliński 20 Idyk 200 ). W ekoomii z wykorzystujemy stochastycze podejście metodologicze odwołujące się do teorii ieliiowych szeregów czasowych i tzw. machie learig. Nasze ispiracje: Dooho D. High-dimesioal Data Aalysis: The Curses ad Blessigs of Dimesioality Mauscript AMS Fa J. Yao Q. Noliear Time Series: Noparametric ad Parametric Methods Spriger New York 2005.

5 Jiaqig Fa David Dooho Muthu Muthukrisha Tomasz Imieliński statystyka + ekoometria teoretycza iformatyka

6 PRZYKŁADY STRUMIENI DANYCH (zaledwie sześć współrzędych )

7 MONITOROWANIE FUNKCJI WIELOWYMIAROWEGO STRUMIENIA DANYCH - NAPREŻĘNIA NA POLSKIM RYNKU AKCJI a podstawie ideksów brażowych Źródło: Obliczeia włase dae Parkiet.

8 STRUMIENIOWA ANALIZA DANYCH VS. ANALIZA EKONOMETRYCZNA Strumieie daych staowią waże źródło wiedzy które umożliwia am podejmowaie decyzje w tzw. czasie rzeczywistym (systemy bezpieczeństwa roboty przemysłowe ale też wypowiedzi w sieci Iteret akcje społecze zapisy ze stacji meteorologiczych W przypadku aalizy procesu stochastyczego powiedzmy { X t } zakładamy ustaloy (ajczęściej czasowy) przedział badaia T powiedzmy [0 ]. Wszelkie asze obliczeia dotyczą tego przedziału wioskujemy a podstawie iformacji zawartej w tym przedziale. W przypadku aalizy strumieia daych ie ustalamy przedziału badaia każda koleja chwila ozacza ową aalizę stochastyczą.

9 Nowe zjawiska w ekoomii takie jak wielowymiarowe fiasowe dae wysokiej częstości hadel elektroiczy przeszukiwaie sieci Iteret za pomocą automatów moitorowaie opiii publiczej sieci teleiformatycze roboty przemysłowe propozycje owych procedur statystyczych które odbiegają od paradygmatu statystyki R. A. Fishera. Trzy reżimy strumieia daych i dwie obserwacje odstające. Moitorowaie strumieia a podstawie ruchomego oka. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA PROCEDURY POWINNA 32 O ( )!!! Metody DATA MINING to w istocie klasycza statystyka opisowa!!!

10 CECHY CHARAKTERYSTYCZNE STRUMIENIOWEGO PRZETWARZANIA DANYCH EKONOMICZNYCH. Dae geerowae są przez procesy ieliiowe. 2. Strumieie daych cechuje występowaie wielu reżimów. 3. Sygał iesioy przez strumień może pojawiać w ieregularych odstępach czasu oraz powiie być przetwarzay o-lie. Przez sygał rozumiemy relację pomiędzy charakterystykami liczbowymi procesu a ie jako wyik usuięcia tzw. szumu ze strumieia. 4. Aalizujemy strumień a podstawie stale uaktualiaej próby ruchomego oka bądź okie (oka mogą się różić długością jeżeli iteresują as róże skale czasowe częstością odświeżaia ). 5. Strumieie geerują wielkie zbiory wielowymiarowych daych które zawierają obserwacje odstające. W związku z rozmiarem dae te często ie mogą być magazyowae w pamięci komputera.

11 ISTNIEJĄCE PODEJŚCIA DO STRUMIENIOWEJ ANALIZY DANYCH. Techiki dwufazowe (Aggarwal i i. 2007) podsumowaie daych olie z wykorzystaiem mikroklastrów. p. algorytm CluStream bądź algorytm HPStream aaliza skupisk opierająca się o projekcje wielowymiarowych strumiei daych. 2. Techiki wykorzystujące teorię Hoeffdiga Domigos i Hulte (2000) bardzo szybkie machie learig (VFML). Strategia aalizy daych wiąże się z osiągaiem pewego górego ograiczeia dla fukcji straty (p. wyrażającej dokładość oszacowaia średiej) zależej od liczby obserwacji w kolejym kroku algorytmu. 3. Aproksymacja symbolicza (SAX) reprezetacja szeregu czasowego zapropoowaa przez Koegh i i Reprezetacja szeregu czasowego w tzw. przestrzei staów - zalezieie ajczęstszych oraz ajbardziej różiących się wzajemie jego podciągów. Pierwszy krok to zagregowaa aproksymacja po podprzedziałach wartości szeregu (Piecewise Aggregate Approximatio - PAA). Drugi krok to dyskretyzacja symbolicza szeregu agregaty zastępujemy tzw. zakami (Symbolic Discretizatio). W końcowym kroku liczymy odległości pomiędzy zakami. 4. Techiki wieloziariste (ag. graularity based techiques): Zapropoowae przez Gaber i i. (2009) takie modyfikacje techik data miig aby za ich pomocą moża było badać dae pochodzące z różych źródeł (różej częstości wymiaru itd.)

12 MODEL STRUMIENIA DANYCH EKONOMICZNYCH W teoretyczej iformatyce jeżeli wprowadza się model probabilistyczy daych to przeważie jest to model daych iezależych o tym samym rozkładzie główy akcet badawczy to zmiejszeie złożoości obliczeiowej zagadieia przy zadowalającej dokładości wiarygodości teoria grafów kombiatoryka modele graficze przetwarzaie rówoległe W ekoomii w zasadzie rozważmy jedyie probabilistycze modele strumiei odwołujemy się przy tym do teorii procesów iestacjoarych procesów o wielu reżimach. Zakładamy że strumieie mogą zawierać obserwacje odstające różego typu (outliers iliers odstające pod warukiem kokretego reżimu itd.) Model strumieia moża wprowadzić w oparciu o zae w ekoometrii modele szeregów o wielu reżimach p. SETAR FTAR itd. Próby: Kosiorowski (20) Kosiorowski (202a) (202b) Kosiorowski (203a) (203b) (203c) Kosiorowski i Sarska (202) Kosiorowski i Zawadzki (203) pośredio Kosiorowski i Bocia (203) Kosiorowski i Węgrzykiewicz (203).

13 OGÓLNY SCHEMAT DLA STRUMIENIA DANYCH EKONOMICZNYCH CHARME (Coditioal Vector Heteroscedastic Autoregressive Mixture of Experts) (zobacz Stockis i i. 200) to ogólych schemat modelowaia szeregów czasowych o wielu reżimach. W szczególości obejmuje wiele zaych modeli liiowych i ieliiowych jak p. modele autoregresyje modele TAR SETAR FAR GARCH czy SV (Frases i Va Dijk 2000). Modelując strumień za pomocą CHARME umawiamy się że Odczytać sygał iesioy przez strumień = wskazać który z reżimów modelu geeruje dae. Niech X strumień daych ( X... X d ) d X ( X... X d )... ozacza d-wymiarowy Oko W i się w x i o wielkości tz. Wi ( xi... x i). ozacza ciąg puktów kończących

14 W modelu CHARME dyamiką procesu { X t } zawiaduje ukryty łańcuch Q t Markowa { } a skończoej przestrzei staów {2... K }. Model defiiujemy za pomocą rówaia: K X S ( m ( X... X ) ( X... X ) ) b Θ t tk k t t p k t t p t t t k gdzie S tk dla k... K Qt są pewymi fukcjami k oraz S tk 0 w przeciwym wypadku t m k ozaczają zmiee losowe iezależe o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwaej zero czło b t Θ t k wiąże się z obserwacjami odstającymi b t jest biarą zmieą losową wskazującą pojawieie się obserwacji odstającej w chwili t oraz Θ t to (losowa) wartość odstająca. Zakładamy że Q t zmieia rzadko swą wartość tz. obserwoway proces podlega temu samemu reżimowi przez względie długi czas zaim astąpi zmiaa reżimu.

15 PRZYKŁADY PROBLEMÓW DO ROZWIĄZANIA Dalej rozważamy jedowymiarowy strumień daych oraz wioskowaie w oparciu o ruchome oko ustaloej długości. Dalsze uogólieie patrz Kosiorowski (202) uogólieia wielowymiarowe patrz Kosiorowski i Sarska (202) (203). PROBLEM : Moitorujemy jedowymiarowy strumień X X2... oraz aszym zadaiem jest wykrycie zmia w bezwarukowym rozkładzie a podstawie ruchomego oka A i W i i 2... tz. zmia X i P( X A) i PROBLEM 2: Moitorujemy jedowymiarowy strumień X X... 2 i aszym zadaiem jest wykryć zmiay w rozkładzie warukowym X i pod warukiem obserwowaego oka W i i 2... tz. zmiay P( X A W x ) A i i i

16 W celu rozwiązaia powyższych problemów skupiamy aszą uwagę a zmodyfikowaym estymatorze Nadaraya Watsoa warukowej dystrybuaty który został zapropooway przez Halla i i. (999). Autorzy założyli że dae dostępe są w formie ściśle stacjoarego Y X procesu stochastyczego {( )} gdzie i i Y i jest skalarem oraz X i jest d- wymiarowym wektorem. Autorzy zapropoowali dwie procedury szacowaia warukowej dystrybuaty F( y x) P( Y y X x) metodę lokalej regresji logistyczej oraz zmodyfikoway estymator Nadaraya-Watsoa które mają lepsze własości statystycze iż zae podejścia lokale i lub ieparametrycze. Ich propozycje ie były jedakże odpore Jak rozumieć odporość estymatora dystrybuaty? i i

17 ESTYMATOR JĄDROWY GĘSTOŚCI PRAWD. (por. Tsybakov 200) Niech X... X ozaczają iezależe zmiee losowe o tym samym rozkładzie o gęstości prawdopodobieństwa f względem miary Lebesque a a. x Pamiętamy że dystrybuatę tej zmieej defiiujemy jako F( x) f( t) dt. Jej odpowiedik z próby to tzw. dystrybuata empiryczą F( x) I( Xi x) i gdzie I() ozacza fukcję wskaźikową. Z mocego prawa wielkich liczb wiemy że a pewo gdy każdego x.. Dlatego też F () x F ( x ) F ( x ) jest zgodym estymatorem x prawie Fx () dla Dla dostateczie małego h 0 ma miejsce aproksymacja gęstości fx () fx () F( x h) F( x h) 2h.

18 Zastępując dystrybuatę F poprzez jej oszacowaie F możemy zdefiiować tzw. estymator Roseblatta ˆ R F ( ) ( ) () x h F x h f x 2 h. Możemy zapisać te estymator w astępującej postaci gdzie ˆ R X ( ) ( ) i f x I x h X x h K0 2h h h K 0 ( u) 2 I( u ) i i i. x Poprzez proste uogólieie mamy ˆ f () x K h i X i h x gdzie K : jest całkowalą fukcją spełiającą K( u) du (jądrem). Fukcja x fˆ () x Parzea Roseblata. azywaa jest estymatorem jądrowym bądź estymatorem

19 Przykłady wykorzystywaych jąder: K( u) I( u ) 2 (jądro prostokąte) 3 2 K( u) ( u ) I( u ) 4 (jądro Epaechikowa) 2 K( u) exp u / 2 2

20 OCENA JAKOŚCI ESTYMATORA JĄDROWEGO Podstawową miarą jakości estymatora jądrowego jest jego błąd średiokwadratowy (ryzyko średiokwadratowe) liczoe w dowolym lecz ustaloym pukcie x 0 : MSE MSE( x ) E fˆ ( x ) f( x ) 0 p gdzie E p ozacza wartość oczekiwaą liczoą względem rozkładu (... ) X X. Uwaga: MSE= obciążeie + wariacja estymatora ˆ f w pukcie x 0. Waże globale kryterium to scałkoway błąd średiokwadratowy MISE E fˆ ( x ) f ( x ) dx MSE ( x ) dx p 2.

21

22 ESTYMATOR JĄDROWY W PRZYPADKU WIELOWYMIAROWYM Dla x d d potrzebujemy jądra K : d Najczęściej korzysta się z tzw. jądra produktowego. gdzie K j do współrzędej ormie wektora : j K( u) K ( u ) j d to jedowymiarowe jądra szerokości pasm oraz h h h K( u) K( u ) d j j h j w odiesieiu bądź stosuje się jądra określoych a dla stosowie wybraej ormy a W awiązaiu do aalizy szeregów czasowych ajczęściej stosujemy jądra produktowe estimator gęstości ma wówczas postać d. x f() x K h h d ij j i j j j x j gdzie h ˆ h wiąże się z oszacowaiem odchyleia std. dla j-tej współrzędej j j (oszacowaia jądrowe i szeregi czasowe - zjawisko ag. whiteig by a widowig priciple zobacz Hart 994)

23 PRZYKŁAD: OSZACOWANIE JĄDROWE 2D wiek vs. log(płaca) we Włoszech

24 SZACOWANIE WARUNKOWEJ GĘSTOŚCI Y X Niech ( ) z y gęstości fyx ( ) oraz fx () x Wtedy warukowa gęstość x d d ozacza wektor losowy o łączej iech będzie gęstością brzegową X. gy ( X x) fy ( x) fx () x może być szacowaa poprzez podstawieie estymatora jądrowego do liczika i miaowika wzoru a. Wybierając fukcje jądrowe g( y x) K oraz szerokości pasm gęstości warukowej. d h i odpowiedio h K( y x) K ( y) K( x) uzyskujemy estymator jądrowy g i i h y y xi x h K K h ( y x ). xi x K h i

25 PRZYKŁADY SZACOWANIA GĘSTOŚCI WARUNKOWEJ Kluczową kwestią w estymacji jądrowej jest właściwy wybór szerokości pasma wybór jądra ma zaczeie drugorzęde (por Tsybakow 202 Krzyśko 202 Wad & Johes 996)

26 SZEREG DOBRYCH METOD WYBORU PASMA JEST CZĘSTO BARDZO ZŁOŻONYCH OBLICZENIOWO BEZUŻYTECZNYCH W PRZYPADKU ANALIZY STRUMIENI (ag. - cross validatio (uwiarygodiaie krzyżowe) pilot desity method (metoda podstawień) rules of thumb (reguły kciuka) referece desity methods )

27 ODPORNOŚĆ JĄDROWEGO ESTYMATORA GĘSTOŚCI W przypadku wielu ekoomiczych zbiorów daych często apotykamy obserwacje odbiegające od większości daych. Takie obserwacje mogą powodować trudości poieważ mogą wpływać a wyiki aalizy ekoomiczej. Jedym z celów statystyki odporej jest wykrywaie obserwacji odstających poprzez poszukiwaie modelu dopasowywaych do większości obserwacji. Przypuśćmy że mamy obserwacje pięciu miesięczych wyagrodzeń (w zł) w Polsce w 20 roku: 3225; 303; 2944; 300; 23 oraz aszym celem jest oszacowaie prawdziwej wartości cetralego wyagrodzeia średia = 2699; media = 300; SD=886.63; MAD=85.23 X { X... X } SD / ( Xi X ) 2 MAD MED X MED{ X } i i

28 ODPORNOŚĆ ZWYKŁEGO WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI Z PRÓBY 20 obserwacji wygeerowaych z dwuwymiarowego rozkładu ormalego o jedostkowych wariacjach i wsp. korelacji 0.8. Wsp. korelacji z próby wyosi 0.8. Na rysuku B występują dwie obserwacje odstające (tz. 0% daych): zamieioo pozycje dwóch puktów. Zwykłe oszecowaie wsp. korelacji spada teraz do (przykład Maroy i Yohai a). A B Pomiar odporości ogóle podejście Getoa i Lucasa (2002) Szukamy frakcji obserwacji odstających która sprawia że estymator bądź szerzej pewa miara jakości procedury przyjmuje jedyie skończoą liczbę wartości pomimo kotiuum możliwych realizacji próby.

29 ODPORNOŚĆ ESTYMATORA JĄDROWEGO GĘSTOŚCI? Pomiar odporości w kategoriach miary dobroci estymatora fˆ - błędu średiokwadratowego w dowolym ustaloym pukcie x 0? Jedakże jeżeli dae geerowae są przez mieszaię rozkładów to estymator jądrowy ujmuje wszystkie składowe mieszaiy co jeśli chcielibyśmy pomiąć jedą ze składowych mieszaiy?

30 PROPOZYCJE: W duchu propozycji Hall i i. (999) iech i p p x i i () dla ozacza wagi (fukcje daych x... x jak rówież x) o tej własości że każde p i 0 i p ( x)( X x) K ( X x) 0 i i h i i Możemy zdefiiować astępujące estymatory bezwarukowej p i. oraz warukowej gęstości gy ( x) f ( x) pi( x) Kh( xi x) i h i gdzie K jest jądrem (p. Gaussowskim) jedowymiarowymi h K ( y y) p ( y x) K ( x x) i i i h i p ( x) K ( x x) i h i Kh () h K ( / h ) K ozacza jądro d-wymiarowe d 2 h K h jest jądrem h to szerokość pasma.

31 Możemy uodporić podejście Hall i i. (999) wybierając wagi będącej wartościami zmodyfikowaej fukcji głębi z próby. pi () x Głębia daych to sposób pomiaru głębi bądź odstawaia daego puktu względem wielowymiarowej chmury daych bądź wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa który tę chmurę geeruje. Statystycza fukcja głębi umożliwia porządkowaie obserwacji a podstawie ich odstawaia od cetrum. Taki porządek umożliwia pomiar wielu cech wielowymiarowej populacji wielowymiarowej skośości wielowymiarowej kurtozy propoowaie wielowymiarowych testów Wilcoxoa wykresów kwatyl-kwatyl wielowymiarowych wykresów pudełkowych itd.

32 Odwiedź: Depth Procedures R package {depthproc} 202 https://r-forge.r-project.org/projects/depthproc/

33 d Niech X { X... X } ozacza próbę losową z rozkładu G () w. Niech zachodzi oraz I() ozacza fukcję wskaźikową tz. IA ( ) 0 w przeciwym wypadku. IA ( ) d jeżeli A Dyspoując próbą X defiiujemy głębię symplicjalą z próby (głębię Liu) puktu x d za pomocą D( x X ) I( x s[ Xi... X ]) i d d (*) gdzie (*) przebiega wszystkie możliwe podzbiory X wielkości d s[ X... X ] ozacza domkięty sympleks z wierzchołkami i i d X... X. i i d

34 Prof. Regia Y. Liu (za jej sprawą statystycze fukcje głębi zyskały rozgłos)

35 Gdy rozkład G defiiujemy jako jest zay wtedy głębię symplicjalą x względem G D( x G) P { x s[ X... X ]} G d gdzie d obserwacjami losowymi z G s ozacza sympleks. X... Xd są

36 o PROPOZYCJA : Niech wielkości Wj { x j... x j} ozacza oko ze strumieia w chwili j l... W celu dyamiczej estymacji bezwarukowego rozkładu strumieia determiowaej za pomocą fukcji gęstości f propoujemy liczyć w kolejych chwilach f ( x) K ( x x) D( x W ) j h ij j i j l... gdzie K ozacza fukcję jądrową Kh () h K( / h ) D( x W j ) ozacza zmodyfikowaą głębię z próby x x ij W j i... j l...

37 PROPOZYCJA 2: Niech ozacza N Wj N { xj N... xj N } okie ze strumieia o długości Wj { x j... x j} j l... kn N k. Niech N X j {( x... x )...( x... x )} j k N j N j k j j j N { x... x } N j j N j j Y { x... x x } j j N { y... y }. W celu dyamiczej estymacji warukowego rozkładu X j determiowaego przez f j pod warukiem przeszłości ( X... X ) j j k k 23 propoujemy liczyć w kolejych chwilach gdzie f ( y ( X... X ) x) f j j j j k N j N N j h K yi y D y Yj j K h h i i N N j D x Xj Kh( xi x) i ( ) ( x)( X ) ( x x) jest zmodyfikowaym estymatore jądrowym K () K ( / ) ( ) h h h D jest zmodyfikowaą głębią z próby. f j j l... K () to jądro

38 W przypadku obu propozycji początkowo w celu wyboru szerokości pasma h wykorzystywaliśmy wariat uwiarygodiaia krzyżowego (cross-validatio) a podstawie Hall i i stosoway do ajbardziej cetralych puktów oka względem pewej próby referecyjej tz.{: ( ) } g Y ozacza próbę referecyją N j y Y D y Y D( ) to fukcja głębi. g gdzie Jedakże w związku z wielką złożoością procedury zdecydowaliśmy się wykorzystywać dyamiczą regułę kciuka i h opt = MAD{W i } /4 i= która prowadziła do zadowalających wyików.

39 WŁASNOŚCI PROPOZYCJI - SYMULACJE MONTE CARLO Geerowao po 500 razy trajektorie złożoe z 5000 obs. z wielu zaych w ekoometrii liiowych i ieliiowych modeli daych. Rozpatrywao ruchome oka o ustaloej długości obs. oraz próby zawierające do 5% tzw. addytywych obs. odstających (AO). X. SETAR MODEL t X X 3 t t t 0.9X X 3 t t t ~ t to iezależe zm. losowe o rozkładzie Studeta t(3) każda. Y t 0 0.9Y Y 3 t t t 0.9Y Y 3 t t t

40 X 2. MODELE CHARME złożoe z dwóch podmodeli AR()-GARCH() 5 0.X t t t t tzt t 0.75 t gdzie Z t ~ X rozkład ormaly N(0)skośy rozkład Studeta T skośy rozkład ormaly SN(0) skośy rozkład GED.

41 WYNIKI SYMULACJI (wybór) MODEL SETAR i szacowaie rozkładu bezwarukowego

42 SETAR + 5% OBS. ODSTAJĄCYCH TYPU AO SETAR + 5% OBS. ODSTAJĄCYCH TYPU AO

43 MODEL 2 AR()-GARCH() i szacowaie rozkładu warukowego Cod skewed t(4) Cod ormal N(0) Cod skewed N(0)

44 CHARME: przeskoki pomiędzy AR()-GARCH() z rozkładem warukowym skośym T(4) i tym samym AR()- GARCH() ale z warukowym rozkładem N(0)

45 AR()-GARCH() ze skośym T(4) + 5% odstających AO AR()-GARCH() ze skośym T(4) + 0% odstających AO

46 PODSUMOWANIE I DALSZE STUDIA ZAGADNIENIA Jeżeli złożoość procedury 32 O ( ) wtedy uzaje się ją za zbyt złożoą do aalizy wielkich zbiorów daych tym samym do aalizy ekoomiczych strumiei daych. Niestety wiele propozycji odporych procedur statystyczych cechuje wielka złożoość obliczeiowa. jedakże Assume you are cofroted with a huge data set (0 0 bytes or 0 gigabytes). If a meaigful aalysis is possible with a % radom subsample the problem is solved - we are back to large sets. Except for validatio ad cofirmatio we might ot eve eed the other 99%. P. Huber (20) - ostatio pojawia się szereg obiecujących podejść do przybliżoego obliczaia fukcji głębi oraz do przybliżoego obliczaia optymalej szerokości pasma wygładzaia. Propozycje Kosiorowski i Zawadzki (203) Kosiorowski i Sarska (203) Kosiorowski Rydlewski i Sarska (203).

47 oraz koleja myśl I probably sped more time turig messy source data ito somethig usable tha I do o the rest of the data aalysis process combied. P. Warde (20) - czyżby reesas tzw. podejścia merytoryczego (Zeliaś 998) w statystyczej aalizie daych? - być może kolejy wymiar stosowaia tzw. subiektywej aalizy bayesowskiej (Press 2009)? DZIĘKUJĘ!

48 WYBÓR LITERATURY [] Aggerwal Ch. C. (ed.) Data Streams Models ad Algorithms Spriger New York [2] Bocia M. Kosiorowski D. Węgrzykiewicz A. Zawadzki Z. Depth Procerures R package {depthproc} 202 https://r-forge.r-project.org/projects/depthproc/ [retrieved: Feb. 203] [3] Dooho D. High-dimesioal Data Aalysis: The Curses ad Blessigs of Dimesioality Mauscript [4] Fa J. Yao Q. Noliear Time Series: Noparametric ad Parametric Methods Spriger New York [5] Frases P. H. Va Dijk D. (2000) No-liear Time Series Models i Empirical Fiace Cambridge: Cambridge Uiversity Press [6] Hart J.D. (994). Smoothig time-depedet data: a survey of data drive methods. Joural of Noparametric Statistics [7] Gaber M. M. (202) Advaces i data stream miig WIREs Data Miig Kowl Discov 202 2: doi: 0.002/widm.52 [8] Geto M. G. Lucas A. Comprehesive Defiitios of Breakdow Poits for Idepedet ad Depedet Observatios Joural of the Royal Statistical Society Series B [9] Hall P. Rodey C. L. ad Yao Q. Methods for Estimatig a Coditioal Distributio Fuctio. Joural of the America Statistical Associatio vol pp [0] Hall P. Racie J. Li Q Cross-Validatio ad the Estimatio of Coditioal Probability Desities Joural of the America Statistical Associatio vol. 99 pp

49 [] Hahsler M. Duhamr H. M. EMM: Extesible Markov Model for Data Stream Clusterig i R Joural of Statistical Software vol pp [2] Härdle W. Hautsch N. ad Overbeck L. Applied Quatitative Fiace 2d editio Spriger Heidelberg [3] Jacod J. Shiryaev A.N. Limit Theorems for Stochastic Processes Secod ed. Spriger-Verlag New York [4] Kosiorowski D. Studet Depth i Robust Ecoomic Data Stream Aalysis Colubi A. (Ed.) Proceedigs COMPSTAT 202 ISI/IASC 202 pp [5] Kosiorowski D. Sarska M. Robust Moitorig of a Multivariate Data Stream 203 upublished https://r-forge.r-project.org/projects/depthproc/ [retrieved: Feb. 203] [6] Li J. Liu R. Y. New Noparametric Tests of Multivariate Locatios ad Scales Usig Data Depth. Statistical Sciece vol pp [7] Maroa R. A. Marti R. D. Yohai V. J. Robust Statistics - Theory ad Methods. Chichester: Joh Wiley & Sos Ltd [8] Muthukrisha S. Data Streams: Algorithms ad Applicatios Now Publishers [9] Ramsay J. O. Hooker G. Graves S. Fuctioal Data Aalysis with R ad Matlab New York Spriger [20] Racie J. S. (2008) Noparametric Ecoometrics: A Primer Foudatios ad Treds i Ecoometrics vol 3 o 88. [2] Wad M. P. Joes M. C. (995) Kerel Smoothig Moographs o Statistics ad Applied Probability 60 Chapma ad Hall Lodo

50 [22] Shalizi C. R. Kotorovich A. Almost Noe of the Theory of Stochastic Processes A Course o Radom Processes [Feb. 203] [23] Serflig R. Depth Fuctios i Noparametric Multivariate Iferece I: Liu R.Y. Serflig R. Souvaie D. L. (Eds.): Series i Discrete Mathematics ad Theoretical Computer Sciece AMS vol pp [24] Stockis J-P.Frake J. Kamgaig J. T. O Geometric Ergodicity of CHARME Models Joural of the Time Series Aalysis vol pp [25] Szewczyk W. Streamig Data Wiley Iterdiscipliary Rev.: Computatioal Statistics vol [26] Torti F. Perrotta D. Atkiso A. C Riai M. Bechmark Testig of Algorithms for Very Robust Regressio Computatioal Statistics ad Data Aalysis vol pp [27] Tsybakov A. B. (200) Itroductio to Noparametric Estimatio Spriger New York. [28] Shao W. ZuoY. (202). Simulated Aealig for Higher Dimesioal Projectio Depth. Computatioal Statistics ad Data Aalysis vol pp

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja ryzyka strukturalnego, podejście Vapnika

Minimalizacja ryzyka strukturalnego, podejście Vapnika Miimalizacja ryzyka strukturalego, podejście Vapika Wykład IV Wisła, grudzień 2009 Miimalizacja ryzyka strukturalego Problem klasyfikacji dla dwóch klas, g = 2. L(f (x), y) = I {f (x) y}. Załóżmy, że daa

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

GŁĘBIA POŁOŻENIA-ROZRZUTU W STRUMIENIOWEJ ANALIZIE DANYCH EKONOMICZNYCH 1. WPROWADZENIE 011/03/B/HS4/01138 DANIEL KOSIOROWSKI 1

GŁĘBIA POŁOŻENIA-ROZRZUTU W STRUMIENIOWEJ ANALIZIE DANYCH EKONOMICZNYCH 1. WPROWADZENIE 011/03/B/HS4/01138 DANIEL KOSIOROWSKI 1 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY NUMER SPECJALNY 1 2012 DANIEL KOSIOROWSKI 1 GŁĘBIA POŁOŻENIA-ROZRZUTU W STRUMIENIOWEJ ANALIZIE DANYCH EKONOMICZNYCH 1. WPROWADZENIE Współczesna gospodarka w sposób ciągły generuje

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Estymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka

Estymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka Ogólopolska Koferecja Naukowa Zagadieia Aktuariale Teoria i praktyka Warszawa, 9- czerwca 008 Estymacja współczyika dopasowaia w klasyczym modelu ryzyka Aa Nikodem Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu Klasyczy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Katarzya Zeug-Żebro Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Katedra Matematyki katarzya.zeug-zebro@ue.katowice.pl ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Wprowadzeie Zjawisko starzeia

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS. wersja 9.2 i 9.3. Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS. wersja 9.2 i 9.3. Szkoła Główna Handlowa w Warszawie STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS wersja 9.2 i 9.3 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Spis treści Wprowadzenie... 6 1. Podstawowe informacje o systemie SAS... 9 1.1. Informacje ogólne... 9 1.2. Analityka...

Bardziej szczegółowo

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji:

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji: Wyszukiwaieiformacjitoproceswyszukiwaiawpewymzbiorze tychwszystkichdokumetów,którepoświęcoesąwskazaemuw kweredzietematowi(przedmiotowi)lubzawierająiezbędedla Wg M. A. Kłopotka: użytkowikafaktyiiformacje.

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

Punktowe procesy niejednorodne

Punktowe procesy niejednorodne Modelowaie i Aaliza Daych Przestrzeych Wykład 5 Adrzej Leśiak Katedra Geoiformatyki i Iformatyki Stosowaej Akademia Góriczo-Huticza w Krakowie Puktowe procesy iejedorode Jak wcześiej wspomiao, dla procesów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA Zakład Modelowaia i Grafiki Komputerowej, Istytut Iformatyki, Uiwersytet Śląski e-mail: {kotarski, kgdawiec,

Bardziej szczegółowo

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych

Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych Łukasz Wawrowski l.wawrowski@stat.gov.pl Urząd Statystyczny w Poznaniu SKN Estymator, UEP 5.03.2012 1 Wprowadzenie Podstawowe pojęcia Badanie 2 Estymator

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA

UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVII ZESZYT 4 010 CZESŁAW DOMAŃSKI UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA 1. MIARY SKOŚNOŚCI I KURTOZY W literaturze statystycznej prezentuje się wiele miar skośności i spłaszczenia (kurtozy).

Bardziej szczegółowo

Zmiany w zarządzaniu jakością w polskich szpitalach

Zmiany w zarządzaniu jakością w polskich szpitalach Łopacińska Hygeia Public I, Tokarski Health 2014, Z, Deys 49(2): A. 343-347 Zmiay w zarządzaiu jakością w polskich szpitalach 343 Zmiay w zarządzaiu jakością w polskich szpitalach Quality maagemet chages

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Czas trwania obligacji (duration)

Czas trwania obligacji (duration) Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968)

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968) 5. MEODY MONE CARLO A SYMULACJA POOKÓW RUCHU (wg Drew, 968) 5.. Wprowadzeie Moeta jest rzucaa aż do osiągięcia orła. Jeżeli to zdarzy się w pierwszym rzucie, gracz otrzymuje zł od baku. Jeżeli poraz pierwszy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Zróżnicowanie poziomu ubóstwa w Polsce z uwzględnieniem płci

Zróżnicowanie poziomu ubóstwa w Polsce z uwzględnieniem płci Zróżnicowanie poziomu ubóstwa w Polsce z uwzględnieniem płci Łukasz Wawrowski Katedra Statystyki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Zróżnicowanie poziomu ubóstwa w Polsce z uwzględnieniem płci 2 / 23 Plan

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 255-26, Gliwice 26 ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA RYSZARD KORYCKI DARIUSZ WITCZAK Katedra Mechaiki

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo