PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH"

Transkrypt

1 Wykład 1 Prosta regresja liniowa - model i estymacja parametrów. Regresja z wieloma zmiennymi - analiza, diagnostyka i interpretacja wyników.

2 Literatura pomocnicza J. Koronacki i J. Ćwik Statystyczne systemy uczące się. Wydawnictwo Naukowo- Techniczne, J. Koronacki i J. Mielniczuk Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, P. Biecek Przewodnik po pakiecie R.

3 Prosta regresja liniowa Pytanie : Mając próbę zawierającą wartości zmiennych dla badanych obiektów, na przykład X i oraz Y i, pytamy czy istnieje związek pomiędzy tymi wartościami? Szukamy związku liniowego gdzie β 0 i β 1 są współczynnikami. Na przykład pytamy : y = β 0 + β 1 x Czy istnieje związek pomiędzy liczbą wypalanych papierosów a zachorowalnością na raka płuc? Co możemy powiedzieć o związkach pomiędzy wiekiem drzewa a jego wysokością? Czy śmiertelność noworodków wzrasta wraz ze spadkiem wysokości dochodów na osobę? Czy możemy stwierdzić że im więcej lat edukacji tym dłuższa oczekiwana długość życia?

4 Przykład 1.1 Dane DANE1.txt 1 data1 <- read. table (" DANE1. txt ", header = TRUE ) 2 hist ( data1 $X) Histogram of data1$x Frequency data1$x Rysunek: Histogram - DANE1

5 Przykład 1.1(cd) 1 plot ( data1 $X, data1 $Y) Rysunek: DANE1

6 Prosty model regresji liniowej Dla i = 1, 2..., n Y i zmienna objaśniana X i zmienna objaśniająca Model Y i = β 0 + β 1 X i + ε i Y i wartość zmiennej objaśnianej dla i-tego osobnika β 0 - wyraz wolny β 1 - współczynnik nachylenia X i - wartość zmiennej objaśniającej dla i-tego osobnika ε i - błąd losowy o rozkładzie normalnym, ze średnią 0 i wariancją σ 2.

7 Własności prostego modelu regresji liniowej Y i = β 0 + β 1 X i + ε i E(Y i X i ) = β 0 + β 1 X i Var(Y i X i ) = σ 2. Interpretacja prostego modelu regresji liniowej W zależności od znaku i wartości współczynnika β 1, możemy interpretować model na trzy sposoby Gdy X rośnie, wartości Y rosną, maleją lub pozostają bez zmiany

8 Estymacja współczynników modelu Dopasowane równanie regresji Ŷ i = b 0 + b 1 X i Reszty modelu e i = Y i Ŷ i e i = Y i (b 0 + b 1 X i ) Metoda najmniejszych kwadratów (MNK): Wyznaczenie b 0 i b 1 minimalizujących (Y i (b 0 + b 1 X i )) 2 = i i e 2 i

9 Współczynniki modelu wyznaczone metodą MNK Minimalizacja wyrażenia i (Y i (b 0 + b 1 X i )) 2 prowadzi do : b 1 = i (X i X )(Y i Y ) i (X i X ) 2 b 0 = Y b 1 X Są to też estymatory największej wiarogodności

10 Przykład Dopasowanie modelu liniowego 1 X <- data1 $X 2 Y <- data1 $Y 3 lm(y ~ X) 4 5 lm. linear <- lm(y ~ X) 6 lm. linear Wynik Call: lm(formula = Y ~ X) Coefficients: (Intercept) X

11 Przykład 1.1- Podsumowanie wyników modelu 1 summary (lm. linear ) Call: lm(formula = Y ~ X) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Powierzchowna informacja o rozkładzie reszt. Średnia reszt jest z definicji równa zero, a więc mediana powinna być bliska zeru Minimum i maximum powinny być z grubsza równe co do wartości bezwzględnej

12 Przykład 1.1- Podsumowanie wyników modelu Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * X e-08 *** Współczynniki regresji Błędy standardowe Wartości statystyki t i p-wartości Signif.codes:0 *** ** 0.01 * *** oznacza 0 < p < ** oznacza < p < 0.01 * oznacza 0.01 < p < 0.05 itd.

13 Przykład 1.1- Podsumowanie wyników modelu Residual standard error: on 38 degrees of freedom Błąd standardowy reszt - opisuje wahania obserwacji wokół prostej regresji przy wyestymowanych współczynnikach modelu. Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: Pierwsza wartość to współczynnik korelacji Pearsona Druga wartość to skorygowana wartość R 2 - jeśli przemnożymy ją przez 100%, może być interpretowana jako % redukcji wariancji

14 Przykład Podsumowanie wyników modelu F-statistic: on 1 and 38 DF, p-value: 8.811e-08 Wartość statystyki F dla testowania hipotezy o tym, że współczynnik regresji β 1 jest równy 0. Daje ten sam wynik, co test t dla hipotezy β 1 = 0 - test F jest równy kwadratowi testu t: = (6.592) 2. Jest tak dla każdego modelu z jednym stopniem swobody.

15 Przykład Rysunek prostej regresji 1 plot ( data1 $X, data1 $Y) 2 abline (lm. linear )

16 Przykład Histogram reszt modelu 1 residuals ( lm. linear ) 2 lm. linear. resids <- residuals ( lm. linear ) 3 hist (lm. linear. resids )

17 Przykład Wartości dopasowane 1 fitted (lm. linear ) Funkcja fitted zwraca jako wynik wartości dopasowane przez model - wartości Y które uzyskalibyśmy przy najlepiej dopasowanej prostej regresji, przy danych obserwacjach X w naszym przykładzie : X

18 Przykład Wartości dopasowane 1 plot (X,Y) 2 lines (X, fitted ( lm. linear ))

19 Przykład Wartości dopasowane a reszty 1 plot (X,Y) 2 lines (X, fitted ( lm. linear )) 3 segments (X, fitted (lm. linear ),X,Y)

20 Przykład Wartości dopasowane a reszty 1 plot ( fitted (lm. linear ),resid (lm. linear ))

21 Przykład Wykres kwantyl-kwantyl 1 qqnorm ( resid (lm. linear )) Układ punktów na przekątnej sugeruje, że reszty pochodzą z rozkładu normalnego.

22 Przedziały ufności i przedziały predykcyjne Przedziały ufności Wyrażają niepewność co do wyznaczonej prostej regresji; dokładność z jaką ta prosta jest znana Wąskie przedziały ufności oznaczają dobrze dopasowaną prostą regresji Zazwyczaj są wyznaczone przez łukowate krzywe - prosta regresji jest lepiej wyznaczona w obszarze zagęszczenia obserwacji Przedziały predykcyjne Szersze niż przedziały ufności Wyrażają niepewność na temat przyszłych obserwacji Pomiędzy ich liniami znajduje się znaczna większość obserwacji Wykorzystują założenie o normalności rozkładu błędów

23 Przedziały ufności i przedziały predykcyjne 1 pred. frame <- data. frame (X =4:100) 2 pp <- predict ( lm. linear, int="p", newdata =pred. frame ) 3 pc <- predict ( lm. linear, int="c", newdata =pred. frame ) 4 plot (X,Y, ylim=range (Y, pp, na. rm=t)) 5 pred.x <- pred. frame $X 6 matlines ( pred.x, pc, lty=c (1,2,2), col=" red ") 7 matlines ( pred.x, pp, lty=c (1,3,3), col=" blue ") Tworzymy nowy zakres danych X dla których chcemy wyznaczyć przedziały predykcyjne pp i pc - przedziały predykcyjne i ufności dla nowo wybranych danych Zapewniamy obszar potrzebny na przedziały: ylim=range(y, pp, na.rm=t) Dodajemy linie używając wybranych wartości X

24 Przedziały ufności i przedziały predykcyjne

25 Wartości dopasowane wraz z przedziałami 1 predict ( lm. linear, int="c") 2 predict ( lm. linear, int="p") fit lwr upr fit - wartości oczekiwane (równe wartościom dopasowanym) lwr i upr oznaczają dolne i górne ograniczenia przedziału dla wartości oczekiwanych

26 Korelacja Współczynnik korelacji Symetryczna i niezależna od skali miara związku pomiędzy dwoma zmiennymi losowymi Przyjmuje wartości od 1 do +1, gdzie + 1 oznacza idealną korelację, 0 oznacza brak korelacji. Znak ujemny gdy duże wartości jednej zmiennej są związane z małymi wartościami drugiej zmiennej. Znak dodatni gdy obie zmienne rozsną lub maleją jednocześnie.

27 Korelacja Współczynnik korelacji Pearsona r = i (X i X )(Y i Y ) i (X i X ) 2 i (Y i Y ) 2 r jest mniejsza od 1, chyba że istnieje idealna liniowa zależność pomiędzy X i a Y i. Nazywany współczynnikiem korelacji liniowej 1 cor (X,Y, use=" complete. obs ") 2 cor ( data1, use =" complete. obs ") X Y X Y

28 Testowanie istotności wpółczynnika korelacji Pearsona Testowanie hipotezy o tym, czy współczynnik korelacji jest istotnie różny od zera 1 cor. test (X,Y) Pearson s product-moment correlation data: X and Y t = 6.592, df = 38, p-value = 8.811e-08 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: cor Otrzymujemy również 95% przedział ufności dla prawdziwej wartości korelacji

29 Rangowy współczynnik korelacji Spearmana Zastąpienie obserwacji ich rangami (indeksem w porządku rosnącym) Nie wymaga założenia o rozkładzie normalnym. 1 cor. test (X,Y, method =" spearman ") Spearman s rank correlation rho data: X and Y S = , p-value = 1.249e-08 alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 sample estimates: rho Warning message: In cor.test.default(x, Y, method = "spearman") : Cannot compute exact p-values with ties

30 Współczynnik korelacji τ Kendala Bazuje na zliczaniu liczby uporządkowanych par obserwacji pary (X1, Y 1) i (X 2, Y 2) są uporządkowane jeśli X 1 X 2 > 0 i Y 1 Y 2 > 0 lub X 1 X 2 < 0 i Y 1 Y 2 < 0 Przy hipotezie zerowej o niezależności powinno być tyle samo par uporządkowanych co nieuporządkowanych

31 Współczynnik korelacji τ Kendala 1 cor. test (X,Y, method =" kendall ") Kendall s rank correlation tau data: X and Y z = , p-value = 1.992e-07 alternative hypothesis: true tau is not equal to 0 sample estimates: tau

32 Regresja z wieloma zmiennymi

33 Regresja z wieloma zmiennymi Większa liczba zmiennych objaśniających Podstawowy model Y i = β 0 + β 1 X i,1 + + β k X i,k + ε i, gdzie X 1, X 2,..., X k są zmiennymi objaśniającymi, X i,j - i-ta obserwacja j-tej zmiennej objaśniającej Parametry β 0, β 1,..., β k estymowane metodą MNK

34 Przykład 1.2 Dane przykładowe: pakiet ISwR, dane cystfibr Dane dotyczą funckjonowania płuc u osób chorych na mukowiscydozę Jak uzyskać dane? Instalacja pakietu ISwR (Packages -> Install Packages) Packages ->Load Package -> ISwR data(cystfibr) Edycja danych: Edit -> Data editor -> cystfibr Przydatne komendy dla zbiorów danych w R 1 data () # lista wszystkich dostępnych zbiorów danych 2 try ( data ( package = " ISwR ") )# lista zbiorów danych w pakiecie ISwR 3 data ( cystfibr ) # załaduj zbiór danych 4 help ( cystfibr ) # informacje o zbiorze danych cystfibr

35 Przykład 1.2 Dane przykładowe: pakiet ISwR, dane cystfibr Dane dotyczą funckjonowania płuc u osób chorych na mukowiscydozę age Wiek w latach sex Płeć 0: mężczyzna, 1:kobieta. height Wzrost (cm). weight Waga (kg). bmp Indeks masy ciała. fev1 Wymuszona objętość oddechowa. rv Pozostała objętość. frc Funkcjonalna pojemność. tlc Całkowita pojemność płuc. pemax Maksymalne ciśnienie oddechowe.

36 Przykład Wykresy zależności parami 1 par ( mex =0.5) 2 pairs ( cystfibr, gap=0, cex. labels =0.9) Argumenty gap i cex.labels usuwają przestrzeń pomiędzy rysunkami i zmniejszają czcionkę. mex zmniejsza odległość między liniami w marginesach Rysunek daje (pobieżny) obraz zależności między zmiennymi

37 Przykład Wykresy zależności parami

38 Przykład Specyfikacja modelu 1 attach ( cystfibr ) 2 lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp+fev1+rv+frc+tlc ) 3 summary ( lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp+fev1+rv+frc+tlc )) Call: lm(formula = pemax ~ age + sex + height + weight + bmp + fev1 + rv + frc + tlc) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max

39 Przykład Specyfikacja modelu Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age sex height weight bmp fev rv frc tlc Residual standard error: on 15 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 9 and 15 DF, p-value:

40 Przykład Krokowy wybór modelu Chcemy uzyskać model zawierający tylko istotne zmienne (p- wartość poniżej poziomu istotności 0.05) Przeprowadzamy ręczną krokową eliminację zmiennych, na przykład Rozważamy najpierw cechy związane z funkcją płuc (bmp, fev1,rv, frc,tlc) spośród nich wyrzucamy cechę o największej p-wartości powtarzamy do momentu aż wszystkie pozostałe w modelu zmienne związane z funkcją płuc będą miały p-wartość<0.05 może się zdarzyć, że wyeliminujemy wszystkie Następnie rozważamy cechy uwzględniające stan pacjenta, jego wygląd fizyczny ( age, sex, weight, height) postępujemy analogicznie jak wyżej.

41 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp+fev1+rv+frc+tlc )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age sex height weight bmp fev rv frc tlc wyrzucamy zmienną tlc

42 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp+fev1+rv+frc )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age sex height weight bmp fev rv frc wyrzucamy zmienną frc

43 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp+fev1+rv)) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age sex height weight bmp fev rv wyrzucamy zmienną rv

44 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp+fev1 )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * age sex height weight * bmp * fev wyrzucamy zmienną fev1

45 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age+sex+ height + weight +bmp )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * age sex height weight * bmp * pozostałe w modelu zmienne związane z funkcją płuc (bmp) mają p-wartość<0.05 przechodzimmy do analizy cech uwzględniających stan pacjenta, jego wygląd fizyczny (age, sex, weight, height) wyrzucamy zmienną age

46 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~sex+ height + weight +bmp )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * sex height weight * bmp wyrzucamy zmienną height

47 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~sex+ weight +bmp )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** sex weight *** bmp wyrzucamy zmienną sex

48 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~ weight +bmp )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** weight *** bmp wyrzucamy zmienną bmp

49 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~ weight )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-05 *** weight *** Zmienna pozostała w modelu jest istotna Ostateczny model pemax = weight

50 Przykład Krokowy wybór modelu Startujemy z modelu uwzględniającego tylko zmienne age, height, weight, które są silnie skorelowane 1 summary ( lm( pemax~age+ height + weight )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age height weight Wyrzucamy zmienną weight (sami o tym decydując, bez względu na p-wartości)

51 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age+ height )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age height Wyrzucamy zmienną height

52 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~age )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** age ** Zmienna pozostała w modelu jest istotna Ostateczny model pemax = age

53 Przykład Krokowy wybór modelu 1 summary ( lm( pemax~ height )) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) height ** Zmienna pozostała w modelu jest istotna Ostateczny model pemax = height

54 Przykład Krokowy wybór modelu Wnioski Końcowy model silnie zależny od procedury eliminacji Prawdopodobnie istnieje związek pomiędzy cechami fizycznymi pacjentów, który może być opisany za pomocą zmiennych age, height lub weight. Wybór zależny od badacza Decyzja nie może być oparta o dane, a raczej o rozważania teoretyczne oparte na wcześniejszych badaniach

S t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski

S t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski S t a t y s t y k a, część 3 Michał Żmihorski Porównanie średnich -test T Założenia: Zmienne ciągłe (masa, temperatura) Dwie grupy (populacje) Rozkład normalny* Równe wariancje (homoscedasticity) w grupach

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy

Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: Eksploracja (mining) Problemy: Jedna zmienna 2000 najwi ększych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Dane są obserwacje x 1, x 2,..., x n. Czy można założyć, że x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH. Wykład 2 Obserwacje nietypowe i wpływowe Regresja nieliniowa

PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH. Wykład 2 Obserwacje nietypowe i wpływowe Regresja nieliniowa Wykład 2 Obserwacje nietypowe i wpływowe Regresja nieliniowa Obserwacje nietypowe i wpływowe Obserwacje nietypowe i wpływowe Obserwacje nietypowe w analizie regresji: nietypowe wartości zmiennej Y - prowadzące

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka w Pakiecie Stata

Diagnostyka w Pakiecie Stata Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Dwuczynnikowa analiza wariancji (2-way

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi.

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi. ANALIZA KORELACJI Większość zjawisk w otaczającym nas świecie występuje nie samotnie a w różnorodnych związkach. Odnosi się to również do zjawisk biologiczno-medycznych. O powiązaniach między nimi mówią

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Quick Launch Manual:

Quick Launch Manual: egresja Odds atio Quick Launch Manual: regresja logistyczna i odds ratio Uniwesytet Warszawski, Matematyka 28.10.2009 Plan prezentacji egresja Odds atio 1 2 egresja egresja logistyczna 3 Odds atio 4 5

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami Załącznik nr 1 do raportu końcowego z wykonania pracy badawczej pt. Handel zagraniczny w województwach (NTS2) realizowanej przez Centrum Badań i Edukacji Statystycznej z siedzibą w Jachrance na podstawie

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Autor prezentuje spójny obraz najczęściej stosowanych metod statystycznych, dodatkowo omawiając takie

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo

2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne

2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne PLAN SPOTKAŃ ĆWICZEŃ: Data Grupa 2a Grupa 4a Grupa 2b Grupa 4b 2008-02-19 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-02-26 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-03-04 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-11 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-18 wolne

Bardziej szczegółowo

zestaw zadań nr 7 Cel: analiza regresji regresja prosta i wieloraka MODELE

zestaw zadań nr 7 Cel: analiza regresji regresja prosta i wieloraka MODELE zestaw zadań nr 7 Cel: analiza regresji regresja prosta i wieloraka Przebieg regresji liniowej: 1. Znaleźć funkcję y=f(x) (dopasowanie modelu) 2. Sprawdzić: a) Wsp. determinacji R 2 b) Test istotności

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

ANOVA podstawy analizy wariancji

ANOVA podstawy analizy wariancji ANOVA podstawy analizy wariancji Marcin Kolankowski 11 marca 2009 Do czego służy analiza wariancji Analiza wariancji (ang. ANalysis Of VAriance - ANOVA) służy do wykrywania różnic pomiędzy średnimi w wielu

Bardziej szczegółowo

Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych

Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych Statistics for clinical research & post-marketing surveillance część III Program szkolenia część III Model regresji liniowej Współczynnik korelacji

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład 2 z 5

Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład 2 z 5 Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład 2 z 5 metoda typ Zmienna niezależna Regresja liniowa Regresja Wszystkie ilościowe Zakłada liniową zależność, prosta w implementacji Analiza dyskryminacyjna klasyfikacja

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej.

Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej. Temat: WYKRYWANIE ODCHYLEO W DANYCH Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej. Przykładem Box Plot wygodną metodą

Bardziej szczegółowo

Analiza statystyczna trudności tekstu

Analiza statystyczna trudności tekstu Analiza statystyczna trudności tekstu Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Problem badawczy Chcielibyśmy mieć wzór matematyczny,...... który dla dowolnego tekstu...... na podstawie pewnych statystyk......

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA W SELEKCJI

INFORMATYKA W SELEKCJI INFORMATYKA W SELEKCJI INFORMATYKA W SELEKCJI - zagadnienia 1. Dane w pracy hodowlanej praca z dużym zbiorem danych (Excel) 2. Podstawy pracy z relacyjną bazą danych w programie MS Access 3. Systemy statystyczne

Bardziej szczegółowo

W tym rozdziale książka opisuje kilka podejść do poszukiwania kolokacji.

W tym rozdziale książka opisuje kilka podejść do poszukiwania kolokacji. 5 Collocations Związek frazeologiczny (kolokacja), to często używane zestawienie słów. Przykłady: strong tea, weapons of mass destruction, make up. Znaczenie całości wyrażenia, nie zawsze wynika ze znaczeń

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Przykłady Ryzyko względne a iloraz szans ANOVA ZMAD. Stanisław Jaworski: ZMAD. Uniwersytet Medyczny

Przykłady Ryzyko względne a iloraz szans ANOVA ZMAD. Stanisław Jaworski: ZMAD. Uniwersytet Medyczny ZMAD Stanisław Jaworski proporcja Stosunek do aborcji (1) Z pewnej ściśle określonej populacji kobiet wylosowano 950 osób. Każdą kobietę zapytano, czy jest za utrzymaniem obecnej ustawy antyaborcyjnej.

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Zadanie Zbadano satysfakcję z życia w skali 1 do 10 w dwóch grupach rodziców: a) Rodzice dzieci zdrowych oraz b) Rodzice dzieci z niepełnosprawnością

Bardziej szczegółowo

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych 1 LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji Spis treści Laboratorium V: Podstawy korelacji i regresji...1 Wiadomości ogólne...2 1. Wstęp teoretyczny....2 1.1 Korelacja....2 1.2 Funkcja regresji....5

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 10. Analiza regresji. Część I.

Ćwiczenia 10. Analiza regresji. Część I. Ćwiczenia 10. Analiza regresji. Część I. Zadania obowiązkowe UWAGA! Elementy zadań oznaczone kolorem czerwonym należy przygotować lub wypełnić. Zadanie 10.1. (R/STATISTICA) Twoim zadaniem jest możliwie

Bardziej szczegółowo

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6 Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność 3 Problem Badanie skuteczności pewnej terapii medycznej:

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU

LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU Tomasz Demski, StatSoft Polska Sp. z o.o. Wprowadzenie Jednym z elementów walidacji metod pomiarowych jest sprawdzenie liniowości

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Krzywe przeżycia - testowanie różnic

Krzywe przeżycia - testowanie różnic 5 listopada 2008 Podstawowe pojęcia Przypomnienie Cel testowania Badamy np.: przeżywalność pacjentów po operacji; długość trwania małżeństwa. T zmienna losowa oznaczająca czas do interesującego nas zdarzenia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie

Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey 27 lutego 2015 1 / 77 Opis Kursu 1. Podstawy oraz Cele Modelowania

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to 3.1 Wprowadzenie do estymacji Ile mamy czerwonych krwinek w krwi? Ile karpi żyje w odrze? Ile ton trzody chlewnej będzie wyprodukowane w przyszłym roku? Ile białych samochodów jeździ ulicami Warszawy?

Bardziej szczegółowo

Kolejna z analiz wielozmiennowych Jej celem jest eksploracja danych, poszukiwanie pewnych struktur, które mogą utworzyć wskaźniki

Kolejna z analiz wielozmiennowych Jej celem jest eksploracja danych, poszukiwanie pewnych struktur, które mogą utworzyć wskaźniki Analiza czynnikowa Kolejna z analiz wielozmiennowych Jej celem jest eksploracja danych, poszukiwanie pewnych struktur, które mogą utworzyć wskaźniki Budowa wskaźnika Indeks był banalny I miał wady: o Czy

Bardziej szczegółowo

Modele selekcji próby

Modele selekcji próby Plan zajęć 1 Problem selekcji próby- heurystyka 2 Problem selekcji próby- teoria 3 Przykład empiryczny Selekcja próby 1 regresja tobitowa- cenzurowanie(transformacja) zmiennej objaśnianej 2 regresja ucięta-

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska

Analiza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska Analiza regresji część II Agnieszka Nowak - Brzezińska Niebezpieczeństwo ekstrapolacji Analitycy powinni ograniczyć predykcję i estymację, które są wykonywane za pomocą równania regresji dla wartości objaśniającej

Bardziej szczegółowo

Analiza danych ilościowych i jakościowych

Analiza danych ilościowych i jakościowych Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego 8 kwietnia 2010 Plan prezentacji 1 Zbiory danych do analiz 2 3 4 5 6 Implementacja w R Badanie depresji Depression trial data Porównanie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Statystyka komputerowa Computer statistics Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Engineering of Production Rodzaj przedmiotu: Fakultatywny - oferta Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

2.Wstępna analiza danych c.d.- wykład z 5.03.2006 Populacja i próba

2.Wstępna analiza danych c.d.- wykład z 5.03.2006 Populacja i próba 2.Wstępna analiza danych c.d.- wykład z 5.03.2006 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane wnioski. Próba- skończony podzbiór populacji

Bardziej szczegółowo

4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału

4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału 4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału Zebrany i pogrupowany materiał badawczy należy poddać analizie statystycznej w celu dokonania pełnej i szczegółowej charakterystyki interesujących badacza

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 01/01 Wydział Prawa, Administracji i Stosunków Miedzynarodowych Kierunek

Bardziej szczegółowo

Pojęcie korelacji. Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi.

Pojęcie korelacji. Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Pojęcie korelacji Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek oraz siłę. Korelacyjne wykresy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM RANDOM FOREST

ALGORYTM RANDOM FOREST SKRYPT PRZYGOTOWANY NA ZAJĘCIA INDUKOWANYCH REGUŁ DECYZYJNYCH PROWADZONYCH PRZEZ PANA PAWŁA WOJTKIEWICZA ALGORYTM RANDOM FOREST Katarzyna Graboś 56397 Aleksandra Mańko 56699 2015-01-26, Warszawa ALGORYTM

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do przeprowadzenia prostej analizy statystycznej w środowisku R

Instrukcja do przeprowadzenia prostej analizy statystycznej w środowisku R Instrukcja do przeprowadzenia prostej analizy statystycznej w środowisku R Spis treści Instrukcja do przeprowadzenia prostej analizy statystycznej w środowisku R... 1 Wstęp... 2 Część I... 2 Instalacja

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WARIANCJI - KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA

ANALIZA WARIANCJI - KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI - KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA Na poprzednich zajęciach omawialiśmy testy dla weryfikacji hipotez, że dwie populacje o rozkładach normalnych mają jednakowe wartości średnie. Co jednak

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Uwaga! Test studenta dla pojedynczej próby, niekierunkowy. Wykład 9: Testy Studenta. Test Studenta dla jednej próby, kierunkowy

Uwaga! Test studenta dla pojedynczej próby, niekierunkowy. Wykład 9: Testy Studenta. Test Studenta dla jednej próby, kierunkowy Wykład 9: Testy Studenta Jest kilka typów testów Studenta. Mają podobną strukturę, ale służą do testowania różnych hipotez i różnią się nieco postacią statystyki testowej. Trzy podstawowe typy testów Studenta

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

KREATOR REGRESJI LOGISTYCZNEJ

KREATOR REGRESJI LOGISTYCZNEJ KREATOR REGRESJI LOGISTYCZNEJ Grzegorz Migut, StatSoft Polska Sp. z o.o. W niniejszym opracowaniu zaprezentowany zostanie przykład budowy modelu regresji logistycznej za pomocą Kreatora Regresji Logistycznej.

Bardziej szczegółowo