DOBÓR WSPÓŁCZYNNIKÓW KOREKCJI W PRZEKŁADNIACH PLANETARNYCH SELECTION OF MODIFICATION COEFFICIENTS IN PLANETARY GEAR TRANSMISSION

Transkrypt

1 JAN RYŚ, TOMASZ KASPEREK * DOBÓR WSPÓŁCZYNNIKÓW KOREKCJI W PRZEKŁADNIACH PLANETARNYCH SELECTION OF MODIFICATION COEFFICIENTS IN PLANETARY GEAR TRANSMISSION S t r e s c e n i e A b s t r a c t Celem niniejsej pracy jest preentacja procedury oblicenioej określającej dobór spółcynnikó korekcji planetarnych prekładniach ębatych aębieniem enętrnym kół. Tak ięc po obróbce cieplnej konstrukcja prekładni planetarnej charakteryuje się bardo ysoką obciążalnością, ależną jednak od doboru spółcynnikó korekcji. Jako prykład pryjęto koncepcję prekładni planetarnej o uprosconej technologii, gdy koła centralne i słonecne mają identycną geometrię, a satelity różną ilość ębó, lec procedura może być astosoana do doolnej prekładni planetarnej aębieniem enętrnym. Wymiary geometrycne będą opisane na baie dopuscalnej korekcji ora arunkó odniesieniu do ymagań normy ISO ora literatury. Słoa klucoe: planetarne prekładnie ębate, geometria kół ębatych, spółcynniki korekcji, ytrymałość postacioa i kontaktoa ębó prekładni The aim of this article is to present design procedure of modification coefficient of toothed heels of involutes planetary gear train ith external conjunction of teeth. It is possible to obtain a better dimensional accuracy thanks to grinding process. Therefore, after heating treatment, the construction of these planetary gear is characteried by a higher load-carrying capacity hich depends also ith correction coefficient. As an example e take into consideration one conception of planetary gears ith simplifying technology, hen the same geometry of sun gear and central gear and different number satellite teeth, but the same procedure can be applied to other planetary external gear. Geometrical dimensions ill be described for the sake of technological teeth correction scope and inequality restriction conditions are determined ith respect to the ISO standards recommendations and the literature. Keyords: planetary gear transmission, geometry of toothed heels, modification coefficients, surface and bending strength of teeth. * Prof. dr hab. inż. Jan Ryś, dr inż. Tomas Kasperek, Instytut Konstrukcji Masyn, Wydiał Mechanicny, Politechnika Krakoska.

2 1 1. Wstęp Posechną tendencją jest obecnie dążenie do mniejsenia ymiaró enętrnych prekładni pry rónocesnym dążeniu do uproscenia technologii ora iąanych tym kostó produkcji. Można auażyć duże ainteresoanie prekładniami planetarnymi aębieniem enętrnym. Punktem odniesienia jest prekładnia g schematu na rys. 1. Zębata prekładnia planetarna aębieniem enętrnym alcoym należy do grupy prekładni mechanicnych o małych gabarytach, których projektoanie ymaga jednak spełnienia ielu arunkó geometrycnych iąanych prełożeniem, licbą ębó, ilością satelitó ora doborem spółcynnikó korekcji [6, 7]. Prekładnia planetarna ma da stopnie sobody, dlatego jej prełożenie ależy od ablokoania jednego trech cłonó: jarma j lub koła 1, lub koła 4. Pry ablokoaniu jarma j otrymujemy t. prełożenie baoe [1, 8]. Gdy: ω ω j = 0, io = = ω (1) ω 1 ω = 0, i = = 1 = 1 1 j 4 ω i j o 4 () Rys. 1. Schemat kinematycny prekładni planetarnej aębieniem enętrnym Fig. 1. Kinematical diagram of planetary gears, ith external conjunction of teeth W scególnych prypadkach prekładni o uprosconej technologii [5, 6, 9]: A. = = = 1,, (3)

3 13 i ω ω 4 = = j 4 j B. = = = 1,, (4) i ω ω 4 = = j 4 Projektoana prekładnia g rys. 1 musi spełniać arunki sąsiedta s-satelitó j π π ( + ) sin y 0, ( + ) sin y 0 (5) s s i arunek rónomiernego romiescenia satelitó s = N N, ( N N ) N. (6) Ostatnim podstaoym arunkiem jest arunek spółosioości tak, aby oś obrotu satelitó była spólna, godnie rys. 1: / // ( + ) m = ( + ) m a = (7) 3 4 α = a a a ( ) m a ( ) m a α α = a α = + = + / o 1 // o cos cos, cos cos,, o1 o 3 4 gdie: m moduł narędia (ębatki odniesienia), α kąt arysu narędia (ębatki / // odniesienia), a, a o1 o eroe odległości osi, m, m moduły na kołach tocnych odpoiednio / ora / ; / // 3 4 α, α kąty pryporu odpoiednio par kół / ora / Zakres dopuscalnej korekcji Nieależnie cy pary kół będą miały korekcję P0 cy konstrukcyjną P [, 8], poprana geometria aębienia ymaga spełnienia rónań Fölmera dla każdej pary kół formie: x + x 1 / / {[tan( α ) α ] tan( α) + α} ( + = c = tan( α) 1 ) (8) x + x = c = 3 4 α α α + α + tan( α) / / {[tan( ) ] tan( ) } ( ) 3 4 gdie x, x, x, x 3 4 spółcynniki korekcji kół ębatych o ilości ębó 1,, 3, 4.

4 14 Dla każdego koła ębatego spółcynnik korekcji jest ogranicony od góry e ględu na dopuscalne aostrenie głoy ęba ora e ględu na położenie koła podiałoego strefie arysu eolentoego. 19 x + 10 dla 10 4 x 1 dla 5 (9) Dla każdego koła ębatego spółcynnik korekcji jest ogranicony od dołu e ględu na niedopuscenie do podcinania stopy ęba ora e ględu na położenie koła podiałoego strefie arysu eolentoego. x 1 dla 10 3 x 0.9 dla 33 (10) 17 W reultacie każdy e spółcynnikó x, x, x, x 3 4 ma prediał ograniconości g (9), (10), ponadto musą być spełnione rónania (8). W konsekencji roiąanie adania nie jest jednonacne, dlatego można posukiać takiego określenia spółcynnikó korekcji, aby ytrymałość kontaktoa i postacioa ębó była najięksa. 3. Sformułoanie adania W praktyce inżynierskiej godnie normą ISO [3, 4] stosuje się da kryteria: na naprężenia u podstay ębó: F K t F σ F1, = Y FS1, Y ε Y β σ FP, (11) b m n gdie σ F onaca oblicenioe naprężenie u podstay ęba, a σ FP jest dopuscalnym naprężeniem u podstay ęba i arunku ytrymałościoego na męcenie poierchnioe ęba (pitting) jednoparoym punkcie aębienia. F K t H u + 1 σ = Z Z Z Z σ, (1) H E H ε β HP b d u gdie σ H onaca oblicenioe naprężenie stykoe (kontaktoe), a σ HP jest dopuscalnym naprężeniem stykoym. W poyżsych orach F t jest nominalną siłą obodoą aębieniu na okręgu podiałoym, a b jest cynną serokością uębienia, d1 jest średnicą podiałoą koła o mniejsej ilości ębó. Onacenia i oblicenia ystępujących e orach (11) i (1) spółcynnikó K F, K H, Y FS, Y ε, Y β, Z H, Z E, Z ε, Z β i naprężeń dopuscalnych określone są normą ISO [4]. Ogranicenia oboiąują dla każdej pary kół ębatych prekładni planetarnej g rys. 1. Na artość naprężeń σ F i σ H ma pły korekcja ębó kół popre ależność Y FS ( x, ) i Z ( ρ ) H B, gdie ρ ( x,, ) B promień astępcej kryiny spółpracujących ębó punkcie jednoparoego aębienia B g rys. a, na którym dla pary kół anacono odcinek pryporu E 1 E, promienie kół asadnicych r b1, r b, promienie kół 1

5 ierchołkoych r a1, r a, podiałkę na kołach asadnicych p b ora kąt pryporu α, licbę pryporu ε α. 15 Rys.. Współpraca ębó a) na linii pryporu E 1 E N 1 N, b) mienność astępcego promienia kryiny na linii pryporu ρ(ξ) Fig.. Cooperation of teeth a) path of contact E 1 E N 1 N, b) changing of equivalent radii of teeth along line of action ρ(ξ) Z rys. b ynika, że astępcy promień kryiny spółpracujących ębó mienia się g paraboli na odcinku N 1 N = l, osiąga maksymalną artość środku odcinka N 1 N artość l/4. Można, ięc budoać funkcję, która określi pły korekcji na ględny promień kryiny punkcie jednoparoego aębienia, a konsekencji oblicenioe naprężenia stykoe. 4 ρ ( x) B κ ( x) = (13) l Z punktu idenia obniżenia naprężeń stykoych (kontaktoych) funkcja κ( x) poinna być maksymalnie bliska jedności, ponadto określenie godnie (8), (9), (10) akresu spółcynnika korekcji <x> poala ybrać artość optymalną e ględu na ytrymałość męcenioą poierchni ębó. Dla akresu <x> można także określić kolejna funkcję mającą pły na ytrymałość postacioą męcenioą u podstay ębó, ponieaż spółcynnik kstałtu ębó ależy od spółcynnika korekcji Y Fα ( x, ) ależność określona normie ISO [4].

6 16 Ostatecnie, dla określonego akresu spółcynnika korekcji <x> można sukać roiąania, gdy rónież beymiaroa funkcja 1,9 λ ( x) = (14) osiąga maksymalną artość (1,9 jest minimalną artością Y Fα dla ębatki odniesienia α=0 o, h ao /m=1,5, ρ/m = 0,), e orach (13 i (14) x onaca spółcynniki korekcji oddielnie dla obu spółpracujących kół spełniających arunek (8). YF α 4. Wynacenie funkcji κ ( x) W celu ynacenia funkcji κ( x) dla dóch doolnych kół ębatych doolną korekcją i naną ilościach ębó 1 astosujemy ależność na astępcy promień kryiny ębó, który g [8] opisuje dłuż odcinka N 1 N = l ależność: ξ ρ( ξ ) = ξ 1 l ilustroaną na rys. b. Onacając spółrędną punkcie jednoparoego aębienia ξ B możemy funkcję κ( x) apisać formie ponieaż to podstaiając (15) ξ B κ ( x) = 4 η( x) ( 1 η( x) ), η ( x) = (16) l ( ) ( ) ( ) ξ = r r p, l = a sin α = a cos α tg α (17) B a1 b1 b o p π r r + (1 + x ) b b1 1 a1 1 1 = cos ( α ), = cos ( α ), = a + a + a + o o o otrymamy dla pary kół ależność na η ( x) ograniceniami (18) η ( x) = ( ) [ + (1 + x )] [ cos( α) ] πcos( α) ( + ) cos( α) tan( α ) a cos( α ) = cos( α ) a o (19)

7 17 x + x = c1 = α α α + α + tan( α) / / {[tan( ) ] tan( ) } ( ) x x x x x x 1min 1 1max min max Podstaiając (19) do (16), można dla obu spółpracujących kół ykreślić funkcję κ( x ) κ ( x ), gdyż x iąane jest ależnością x + x = 1. c 5. Prykład obliceń Celem obliceń będie predstaienie płyu spółcynnikó korekcji dla prekładni planetarnej o uprosconej technologii g konstrukcji jak na rys. 3, o prełożeniu ω 1 4 i = = = j4 Do obliceń pryjęto dane aarte tabeli 1 spełniające arunek ω 17 j sąsiedta i symetrycnego romiescenia satelitó (5), (6). Rys. 3. Prekładnia planetarna o identycnej geometrii kół centralnych i satelitó o różnej ilości ębó Fig. 3. Planetary gear ith the same geometry of sun and central heel and different number of satellite teeth Zgodnie orami (8), (9), (10) określono akres dopuscalnych spółcynnikó korekcji pry dodatkoym arunku x 1 = x 4 (koła o ilości ębó 1 = 4 będą obrabiane pakiecie).

8 18 T a b e l a 1 Dane geometrycne prekładni o uprosconej technologii π m = 3 y = 1 α = 0 a = 7.7 α = α = 3 = 17 = 16 = 3 α = cos α = 0, α = 0, ( + ) a = m a = ( + " 3 4 ) " a = m a = ' ' Wyniki ograniceń korekcji predstaia tabela. W tabeli 3 natomiast umiescono artości granicne spółcynnikó korekcji: dla identycnych kół nr 1 i nr 4 onacono je jako x14, a dla satelitó nr i nr 3 odpoiednio x i x33, amiescono także granicne artości spółcynnikó kstałtu Y Fα. Na podstaie (16) i (19a) można dla każdej pary kół budoać ykresy κ( x ), κ( x ) określające ytrymałość kontaktoą par kół ębatych 1 / ora 3 / Ogranicenia na spółcynniki korekcji kół ębatych ' a ' " a " m = m =, m = m = 3, T a b e l a ' ' a cos α 0 ' ' ' 180 ' α = arccos 0, , α = α = α α = s s a π " " a cos α 0 " " " 180 " α = arccos 0, , α = α = α α = s s a π ' ' ( + )( tgα α tg α + α ) c1 = c1 0, tg α c = "' " ( )( tgα α tg α + α ) tgα c 0, x = + 10 x = 0, x = 1 x = 0, max 3 max 3 min 3 min x = + 10 x = 0, x = 1 x = 0, max max min min x = 1 x 0,88353 x 1 1min = = 1min 1max 17 x = x x = x 4 min 1min 4 max 1max

9 T a b e l a 3 Granicne artości spółcynnikó korekcji <x> ora odpoiadające artości <Y Fα > 19 c x = 0, c x = 0, min 3 max c x = 0, c x = 0, min max x = 0, 49 Y =,9 14 max Fα14 min x = 0, 370 Y = 3,10 14 min Fα14 max x = c x x = 0,1089 Y =, 90 max 1 14 min max Fα x = c x x = 1, Y = 3,10 4 min 1 14 max min Fα x = c x x = 0, Y =, 1 33 max 14 min 33 max Fα 3 x = c x x = 0, Y =, min 14 max 33 min Fα κ( x 1 ) κ( x 4 ) x 1 x 4 Rys. 4. Zależność ytrymałości kontaktoej (stykoej) dla pary kół ębatych 1 / κ(x 1 ) ora dla pary kół 3 / 4 κ(x 4 ) Fig. 4. Diagram of contact strength for engaged heels 1 / κ(x 1 ) and for heels 3 / 4 κ(x 4 ) 0.7 λ( x 1 ) x 1 Rys. 5. Zależność ytrymałości męcenioej ębó kół 1 = 4 od spółcynnika korekcji x 1 = x 4 Fig. 5. Diagram of fatigue strength of teeth engaged heels 1 = 4 as a function of coefficients x 1 = x 4

10 130 Jak można było prypuscać, ytrymałość kontaktoa obu par kół okaała się na dobrym poiomie nieależnie od yboru spółcynnika korekcji dopuscalnym prediale. Natomiast ytrymałość postacioa decydująca o ytrymałości męcenioej kół 1 = 4 ymaga astosoania korekcji x 1 = x 4 = 0,5 jako najkorystniejsej. W ynik może być bardo różny, dlatego każdy prypadek konstrukcji należy ropatryać oddielnie. Prykład obliceń licboych predstaionych poyżej, śiadcy o tym, że metoda postępoania i procedura oblicenioa jest skutecna i może być astosoana pry ybore spółcynnikó korekcji doolnej prekładni planetarnej aębieniem enętrnym. 6. Wnioski Z preproadonych obliceń ynika, że do projektoania prekładni planetarnych aębieniem enętrnym można ykorystać aproponoane funkcje κ( x) ora λ( x) aby można było decydoać, jakie spółcynniki korekcji będą najkorystniejse e ględu na ytrymałość męcenioą i kontaktoą ębó prekładni. Jako prykład pryjęto koncepcję prekładni planetarnej o uprosconej technologii, kiedy koła centralne i słonecne mają identycną geometrię, a satelity różna ilość ębó, lec procedura może być astosoana do doolnej prekładni planetarnej aębieniem enętrnym. Z uagi na fakt, że diałanie yżej ymienionej funkcji jest precistane, można ogólnym prypadku podjąć agadnienie polioptymaliacji ( ograniceniami) spółcynnikó korekcji. L i t e r a t u r a [1] Podstay Konstrukcji Masyn, pod redakcją Marka Dietricha, PWN, Warsaa [] M ü l l e r L., Prekładnie ębate. Projektoanie, WNT, Warsaa [3] O s iński Z., W r ó b e l J., Teoria konstrukcji masyn, PWN, Warsaa [4] PN-ISO //3. [5] K a s p e r e k T., R yś J., Projekt prekładni planetarnej o identycnej geometrii satelitó, Materiały XXI Konferencji Problemy Rooju Masyn Robocych, Zakopane 008. [6] R yś J., K a s p e r e k T., Geometria prekładni planetarnej aębieniem enętrnym o uprosconej technologii, Casopismo Technicne,. 1, 1-M/006. [7] R yś J., S e n d y k a B., Ustalenie obsaru roiąyalności II popraki kół o arysach eolentoych, Casopismo Technicne,. 6, [8] R yś J., S k r y s o s k i Z., Podstay konstrukcji masyn, t., Wyd. PK, Krakó 003. [9] R yś J., K a s p e r e k T., Project of planetary gear ith the same geometry of a satellite heel, The Archive of Mechanical Engineering, Vol. 55, No. 3, 008, s