Statystyka Inżynierska

Transkrypt

1 Statystyka Inżynierska dr hab. inż. Jacek Tarasiuk AGH, WFiIS 2014 Wykład 1 ODSTAWY RACHUNKU RAWDOODOBIEŃSTWA ojęcie, Własności, rawdopodobieństwo i, Twierdzenie

2 Definicja Zdarzenie (doświadczenie) nazywamy losowym, jeżeli może być powtarzane w tych samych warunkach, jego wynik nie może być przewidziany w sposób pewny, a zbiór wszystkich możliwych wyników jest znany jeszcze przed zajściem zdarzenia. Każdy pojedynczy wynik zdarzenia losowego nazywany jest zdarzeniem elementarnym. 1.Definicja i pojęcie 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywany jest przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczany bywa jako Ω. Dowolny podzbiór Ω nazywany jest zdarzeniem (nie elementarnym). 2 odstawy rachunku

3 Definicja Definicja Laplace a prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: gdzie oznacza liczbę elementów zbioru. kn A Definicja von Misesa: A lim n n gdzie liczba wystąpień zdarzenia w n próbach. k n A A A 1.Definicja i pojęcie 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo W matematyce najczęściej używa się definicji Kołmogorowa, którą można znaleźć w każdej książce i w Wikipedii. Definicja ta jest przydatna zwłaszcza przy dowodzeniu twierdzeń. 3 odstawy rachunku

4 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 1. rawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0. rawdopodobieństwo, że w serwisie naprawiającym wyłącznie samochody produkcji francuskiej znajdziemy BMW jest równe zero. 0 0 marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo 4 odstawy rachunku

5 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 2. rawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1. I 1 marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo tego, że w serwisie znajdziemy jakikolwiek zepsuty francuski samochód wynosi jeden. 5 odstawy rachunku

6 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 3. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, to: rawdopodobieństwo znalezienia w serwisie samochodu młodszego niż dwa lata jest mniejsze lub równe prawdopodobieństwu tego, że znajdziemy w serwisie samochód młodszy niż trzy lata. A B marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo A B 6 odstawy rachunku

7 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 4. Jeżeli zdarzenia A 1,, A n są rozłączne, to: A A A 1 n 1 A n marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo znalezienia w serwisie samochodu marki Citroen lub eugeot: C C A 2 A 1 A 4 A 3 7 odstawy rachunku

8 Citroen eugeot Renault Kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 5. rawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń: A B A B A B marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo znalezienia w serwisie samochodu, któremu zepsuły się hamulce lub układ kierowniczy (lub jedno i drugie): K H K H K H K H A AB B 8 odstawy rachunku

9 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 6. Jeżeli zdarzenia A i A dopełniają się (są przeciwne), to: rawdopodobieństwo, że zepsuło się cokolwiek innego niż hamulce: A A' 1 marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W H' 1 H 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo \A H' A 9 odstawy rachunku

10 rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (podobnie B pod warunkiem, że A): A B A B B B A A B A A B A B B B A A 2. Własności 3.rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo, że zepsuł się układ kierowniczy pod warunkiem, że samochód jest starszy niż 7 lat: K odczas gdy: K W W7 W K odstawy rachunku

11 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo, że uszkodzeniu uległ układ elektryczny pod warunkiem, że samochód ma trzy lata lub mniej: marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W rawdopodobieństwo, że samochód ma trzy lata lub mniej jeśli wiadomo, że uszkodzeniu uległ układ elektryczny: E W3 34 E W W3 95 E W3 34 W 3 E 171 E Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo 11 odstawy rachunku

12 rawdopodobieństwo - przykłady W opinii profesora Jacka Jassema, kierownika Kliniki Onkologii i Radioterapii Akademii Medycznej w Gdańsku, palenie tytoniu jest odpowiedzialne za 90% przypadków raka płuc. Inne statystyki mówią nawet o 96% R 0. 9 Aktualnie ilość palących w olsce szacuje się na milionów. Sam rak płuc zabiera w olsce rocznie 24 tysiące istnień ludzkich p 0,002 q 1 p rawdopodobieństwo, że przez 50 lat ktoś nie umrze na raka płuc q 50 0,904, czyli: R 1 q (naprawdę jest jeszcze troszkę mniejsze) Niemal połowa wieloletnich palaczy spontanicznie zrywa z nałogiem na ok. 2,5 roku przed diagnozą raka płuca, a większość robi to zanim zauważy jakiekolwiek symptomy choroby - wynika z pracy, którą opublikowano w marcu 2013 w "Journal of Thoracic Oncology".

13 rawdopodobieństwo - przykłady Akwizytor firmy farmaceutycznej, przekonuje że: Spośród 100 chorych, którym podano lek, 80 wyzdrowiało!!! Spośród 120 chorych, którzy wyzdrowieli, 80 brało lek!!! W N L B A ilu było chorych, którzy nie brali leku i nie wyzdrowieli? 13

14 rawdopodobieństwo - przykłady Akwizytor firmy farmaceutycznej, przekonuje że: Spośród 100 chorych, którym podano lek, 80 wyzdrowiało!!! Spośród 120 chorych, którzy wyzdrowieli, 80 brało lek!!! W N L B A ilu było chorych, którzy nie brali leku i nie wyzdrowieli? W W B L

15 Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B są niezależne, gdy: a skoro: więc z tego wynika, że: A B A B A B A B B B A A A B A B A B Oznacza to, że zajście jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo zaistnienia drugiego ze zdarzeń. 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 4.Niezależność zdarzeń 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo I odwrotnie, możemy powiedzieć, że zdarzenia są zależne jeśli zajście jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo zaistnienia drugiego (a nie jak to czasami się mylnie rozumie, wywołuje drugie zdarzenie). 15 odstawy rachunku

16 Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Niezależność zdarzeń Sprawdźmy, czy znalezienie w serwisie Citroena i samochodu starszego niż 7 lat są niezależne? W C marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W C W C W7 C W Własności 3. rawdopodobieństwo 4.Niezależność zdarzeń 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo Na tej podstawie wnioskujemy, że zdarzenia te są niezależne. 16 odstawy rachunku

17 rawdopodobieństwo - przykłady Akwizytor firmy farmaceutycznej, przekonuje że: Spośród 100 chorych, którym podano lek, 80 wyzdrowiało!!! Spośród 120 chorych, którzy wyzdrowieli, 80 brało lek!!! A ilu było chorych, którzy nie brali leku i nie wyzdrowieli? W N L B B 50 L 0. 8 W 0. 8 W L W L W L W

18 rawdopodobieństwo TWIERDZENIE O RAWDOODOBIEŃSTWIE CAŁKOWITYM (ZUEŁNYM) Jeżeli zdarzenia A 1,, A n : wykluczają się parami (jak zajdzie jedno, to nie zajdzie żadne inne), sumują się do zdarzenia pewnego (któreś musi zajść), a ich są niezerowe (każde może zaistnieć), to prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia B wynosi: B B A A B A 1 1 n A n 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5.rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo 18 odstawy rachunku

19 rawdopodobieństwo - przykłady Elementy elektroniczne w komórkach można montować w technologii A lub B. Technologia A powoduje błędy produkcyjne w 3% przypadków, a technologia B w 1.8% przypadków. W jednej z firm 30% komórek produkowanych jest w technologii A, a 70 % w technologii B. W wadliwa komórka, A technologia A, B technologia B W W A A W B B W Długoletnie doświadczenia pokazują, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnie trudniejsza od części ustnej. Część pisemną zdaje 60% zdających. Część ustną zdaje 95% dopuszczonych do egzaminu ustnego. Oblanie egzaminu pisemnego wyklucza zdawanie części ustnej. Aby zdać egzamin, trzeba pozytywnie zaliczyć obydwie części. E zdany egzamin, zdana część pisemna, U zdana część ustna E' E' E' ' ' E' E 1 E' U 19

20 rawdopodobieństwo TWIERDZENIE BAYESA Jeżeli zdarzenia A 1,, A n : wykluczają się parami (jak zajdzie jedno, to nie zajdzie żadne inne), sumują się do zdarzenia pewnego (któreś musi zajść), a ich są niezerowe (każde może zaistnieć), a prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B jest niezerowe to: A k B B Ak Ak B 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6.rawdopodobieństwo To prawdopodobnie najważniejsze twierdzenie jakie aństwo dotychczas poznali i jedno z najbardziej pożytecznych w Waszym przyszłym życiu!!! 20 odstawy rachunku

21 rawdopodobieństwo - przykłady Załóżmy, że 1 mężczyzna na 1000 choruje na pewną chorobę. Rutynowy test wykrywa ją w 100%, a błędne wykrycie zdarza się w 0.5% przypadków. Losowo wybrany mężczyzna zostaje poddany badaniu i wynik jest pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest chory? C chory, pozytywny wynik testu C C C C C C' C' C 21

22 rawdopodobieństwo - przykłady W pewnym mieście istnieją dwa przedsiębiorstwa taksówkarskie: "Niebieskie taxi" (170 taksówek) i "Zielone taxi" (30 taksówek). ewnego wieczora zdarzył się wypadek. Taksówka potrąciła pieszego. Taksówkarz zbiegł z miejsca wypadku. Świadek twierdzi, że widział uciekającą zieloną taksówkę. Eksperyment sądowy wykazał, że w warunkach jakie panowały w chwili wypadku, świadek w 80% przypadków jest w stanie prawidłowo rozpoznać kolor taksówki. Co jest bardziej prawdopodobne, że wypadek spowodowała zielona czy niebieska taksówka? WN, WZ wypadek spowodowała N/Z taksówka SN, SZ świadek widział N/Z taksówkę (a przynajmniej tak twierdzi) WN SZ SZ WN WN SZ? SZ SZ WZ WZ SZ WN WN WZ SZ SZ SZ WZ WZ SZ WN SZ SZ > WZ