Zadania z ćwiczeń, domowe i jeszcze kilka innych Funkcje kwadratowe

Transkrypt

1 Zadania z ćwiczeń, domowe i jeszcze kilka innych Funkcje kwadratowe Zadanie 1. Wyprowadzić wzory na postać kanoniczną, deltę, pierwiastki i ekstremum funkcji kwadratowej. Uzasadnić wzory Viete a. Zadanie 2. Naszkicować wykres funkcji f(x) = 4x 2 + 6x + 5, sprowadzić równanie na miejsca zerowe tej funkcji do postaci kanonicznej. Zadanie 3. Znaleźć liczby rzeczywiste b i c, wiedząc, że są one pierwiastkami równania x 2 + bx + c. Zadanie 4. Rozwiązać równanie x x 2 5 = 7. Zadanie 5. Wyznacz x x 2 2, gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami równania ax 2 + bx + c = 0. Zadanie 6. Rozwiązać nierówność 5 x 3 x < 3x 1 2 x. Zadanie 7. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 8. Gdy pomnożymy tę liczbę przez liczbę otrzymaną przez przestawienie jej cyfr, to otrzymamy Jaka to liczba? Zadanie 8. Obwód rombu wynosi 116 cm. Różnica długości jego przekątnych wynosi 2 cm. Jaką długość ma krótsza przekątna? Zadanie 9. Zbiornik jest napełniany wodą przez dwie pompy. Jeśli pierwsza pompa pracuje sama, to napełnienie zbiornika trwa o 2 godziny dłużej, niż gdy pracują równocześnie. Jeśli druga pompa pracuje sama, to napełnienie zbiornika trwa o 4, 5 godziny dłużej, niż gdy pracują razem. Ile czasu zajmuje każdej z nich napełnienie zbiornika? Zadanie 10. Mamy dwa równania kwadratowe: x 2 + px + q = 0 oraz x 2 + mx + n = 0. Współczynniki spełniają zależność mp = 2(n + q). Pokazać, że przynajmniej jedno z tych równań ma rozwiązanie. Zadanie 11. to liczby? Suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych wynosi 534. Jakie Zadanie 12. Dla jakich liczb całkowitych a pierwiastki równania (a 1)x 2 (a 2 + 1)x + a 2 + a = 0 są całkowite? Zadanie 13. Dla jakich wartości parametru m równanie 2x 2 (m 1)x + m + 1 = 0 ma pierwiastki x 1 i x 2, które spełniają warunek x 1 x 2 = 1? Zadanie 14. Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x 2 (m 5)x + m 2 6m + 5 = 0 jest większa od 7 i pierwiastki są różnych znaków? Zadanie 15. Niech x 1 i x 2 będą pierwiastkami równania x 2 ax+a 1 = 0 (tzn. parametr a ma taką wartość, że równanie ma rozwiązanie). Dla jakich wartości parametru a wartość x x 2 2 jest najmniejsza? Indukcja, dwumian Newtona, podstawy kombinatoryki Zadanie 16. Udowodnić (i zapamiętać!), że n = n(n+1) 2. Zadanie 17. Udowodnić, że dla dowolnego n N, n > 0 zachodzi nierówność: 1 n n n + 1 > 1. 1

2 Zadanie 18. Udowodnić, że dla dowolnych n naturalnych liczba 11 n n 1 jest podzielna przez 133. Zadanie 19. Wykazać, że n (n+1) = 1 1 n+1. Zadanie 20. Udowodnić nierówność Cauchy ego. Kiedy zachodzi równość? Zadanie 21. Wykazać, że dla x > 0 zachodzi nierówność 3x Czy zachodzi x x 3 nierówność ostra? Zadanie 22. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność > n. 1 2 n Zadanie 23. Wykazać, że dla każdego n N, n 1 i dla każdego x takiego, że: 1 < x < 1 zachodzi nierówność n+1 (1 + x) n 1 + (Wskazówka: nierówność Bernoulliego.) Zadanie 24. Udowodnić, że dla każdego n N: 1. liczba postaci 3 4n jest podzielna przez 10, 2. liczba postaci n 3 + 2n jest podzielna przez 3. Zadanie 25. Udowodnić równość ( n k przez indukcję, korzystając z tego, że ) ( n k = ) nx 1 + (1 n)x. n! k!(n k)! = ( n 1 k Zadanie 26. Ile przekątnych ma n-kąt wpisany w okrąg? Zadanie 27. Ile różnych dzielników dodatnich ma liczba 375? ) + ( n 1 k 1 Zadanie 28. Znaleźć wyrazy rozwinięcia ( 3 3 7) 7, które są liczbami całkowitymi. Zadanie 29. Na płaszczyźnie narysowano k prostych równoległych i przecięto n prostymi równoległymi (ale nierównoległymi do początkowych). Ile powstało równoległoboków? Zadanie 30. Jakich sytuacji jest więcej: takich, że przy czterech rzutach kostką przynajmniej raz otrzymamy szóstkę, czy takich, że przy 24 rzutach dwiema kostkami przynajmniej raz otrzymamy dwie szóstki? Zadanie 31. Ile co najmniej znaków należy wykorzystać, żeby utworzyć 2000 trzyznakowych tablic rejestracyjnych (znaki na tablicy mogą się powtarzać)? ) Zadanie 32. Udowodnić (bez liczenia), że ( n n k=0 k = n2 k n 1. ) Zadanie 33. Udowodnć (bez liczenia), że ( n n k=0 k ) Zadanie 34. Uzasadnić, że n k=0 ( 1) k ( n k = 0. ) k(k 1) = n(n 1)2 n 2.. 2

3 Zadanie 35. Na płaszczyźnie narysowano k prostych równoległych i przecięto n prostymi równoległymi (ale nierównoległymi do początkowych). Ile powstało równoległoboków? Zadanie 36. Udowodnić kombinatorycznie, że ( ) n n k(k 1) = n(n 1)2 n 2. k k=2 Zadanie 37. W grupie 1000 osób: 480 studiuje matematykę, 410 studiuje biologię, 305 studiuje informatykę, 210 studiuje jednocześnie matematykę i informatykę, 105 studiuje biologię i informatykę, 100 studiuje matematykę i biologię, 65 studiuje równolegle te trzy kierunki. Ile osób w tej grupie nie studiuje żadnego z wymienionych kierunków? Ile osób studiuje dokładnie jeden z podanych kierunków? Logika, zbiory Zadanie 38. Niech A, B, C będą zbiorami. Udowodnić, że jeśli A B i B C, to A C. (Wskazówka: tautologia {(α β) (β γ)} (α γ).) Zadanie 39. Udowodnić, że zdanie (α (α β)) β jest tautologią. Zadanie 40. Udowodnić, że zdanie ((( α) β) ( β)) α jest tautologią. Zadanie 41. Sprawdzić, czy następujące zdania są tautologiami: p [(( q) q) r], (p q) [p (q r)], [(p q) (q p)] p q, p [(( p) q) (( p) ( q))], [(p q) (p q)] (q p). Zadanie 42. Udowodnić prawa de Mograna: (α β) ( α) ( β), (α β) ( α) ( β). Zadanie 43. Udowodnić następujące własności zbiorów: przemienność i łączność dodawania i przecięcia: A B = B A, A B = B A, (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C), rozdzielność dodawania względem mnożenia: A (B C) = (A B) (A C), rozdzielność mnożenia względem dodawania: A (B C) = (A B) (A C), 3

4 związek różnicy z przecięciem: A \ (A \ B) = A B, prawa de Morgana: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Zadanie 44. Udowodnić prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( x ψ(x)) x ψ(x), ( x ψ(x)) x ψ(x). Zadanie 45. Udowodnić następujące własności dla kwantyfikatorów: x ψ(x) x ψ(x), x y ψ(x, y) y x ψ(x, y). Zadanie 46. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory: A = {(x, y) R 2 z R x 2 < y 2 + z 2 }, B = {(x, y) R 2 z R x 2 = z y 2 }. Relacje, zasada włączeń i wyłączeń Zadanie 47. Uzasadnić, że jeśli zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma k elementów, to zbiór A B ma n k elementów. Zadanie 48. Niech X = Z, n N. Określamy relację: xry x y jest podzielne przez n. Wykaż, że R jest relacją równoważności. Wyznacz klasy abstrakcji tej relacji. Zadanie 49. Zbiór liczb naturalnych rozbijamy na klasy abstrakcji: A 1 = {1, 2,..., 9}, A 2 = {10, 11,..., 99}, A 3 = {100, 101,..., 999} itd. Wyznacz relację równoważności której klasami są podane zbiory A i. Zadanie 50. Niech X = {0, 1 3, 1 2, 1}. Relacja R jest określona wzorem xry x y > 1. Sporządź graf relacji R. Czy R jest relacją równoważności? Zadanie 51. Sprawdzić, czy następujące relacje są relacjami równoważności: R N N, mrn 2 (m + n), R N N, mrn 5 (m n), R R R, xry x y, R R R, xry x 2 = y 2. Zadanie 52. Definiujemy relację na N 2 N 2 : (m, n)r(p, q) nq = mp. Sprawdzić, że to jest relacja równoważności. Znaleźć jej klasy abstrakcji. Zadanie 53. Znaleźć przykład 5-elementowej relacji symetrycznej w zbiorze N. Czy istnieje zwrotna relacja 5-elementowa w N? A przechodnia? Zadanie 54. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich (x, y) takich, że 1. x 1 + y + 1 1; 2. y x 2, x + 1 2; 4

5 3. y 2x + 3, y x 2. Zadanie 55. Jak skonstruować najmniejszą relację równoważności zawierającą daną relację R A A? Do czego ta konstrukcja może być przydatna? Zadanie 56. Czy iloczyn dwóch relacji równoważności w zbiorze A może być pusty? Zadanie 57. Udowodnić zasadę włączeń i wyłączeń dla dwóch zbiorów: #(A B) = #A + #B #(A B). Zadanie 58. Udowodnić zasadę włączeń i wyłączeń dla trzech zbiorów: #(A B C) = #A + #B + #C #(A B) #(A C) #(B C) + #(A B C). Wersja ogólna zasady włączeń i wyłączeń (do udowodnienia dla chętnych): #(A 1... A n ) = 1 i n + ( 1) k+1 #A i 1 i 1 <...<i k n 1 i<j n #(A i A 2 ) +... #(A i1... A ik ) ( 1) n+1 #(A 1... A n ). Zadanie 59. Dla każdego z poniższych warunków sprawdzić, czy istnieje relacja R N N (czyli relacja w zbiorze liczb naturalnych) spełniająca: 1. R 1 R, 2. R, RR = R i R I N = (I N oznacza relację identyczności na zbiorze N) (trochę trudniejsze), 3. R 1 = N N R. Zadanie 60. punkt stały? Ile jest funkcji f : {1... m} {1... n} mających przynajmniej jeden Zadanie 61. Ile jest funkcji f : {1... m} {1... n}, które nie są na? Zadanie 62. Czy istnieje taka relacja równoważności w zbiorze N, która ma 37 klas abstrakcji, wszystkie po 22 elementy? A 2 klasy abstrakcji po 17 elementów, 5 po 33 elementy i jedną nieskończoną? A nieskończenie wiele nieskończonych klas abstrakcji? Zadanie 63. Definiujemy relację R będzie w zbiorze ciągów liczb całkowitych, czyli funkcji z N w Z. Weźmy dwa ciągi f, g : N Z. Powiemy, że frg wtedy i tylko wtedy, gdy n N m N,m>n f(m) = g(m). Pokazać, że R jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji. Zastanowić się, ile jest klas abstrakcji relacji R i jaką mają moc. Funkcje Zadanie 64. Udowodnij że 1. złożenie bijekcji jest bijekcją, 2. złożenie funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową, 3. złożenie funkcji na jest funkcją na. 5

6 Zadanie 65. Niech f(k) = 2k n nn n=1 dla k N. Wykaż, że zbiór {n 2 : n N} nie może być przeciwdziedziną funkcji f określonej na zbiorze liczb naturalnych. Zadanie 66. Niech x oznacza część całkowitą liczby x (inaczej: podłogę z x), czyli największą liczbę całkowitą nie większą niż x. Narysuj wykres funkcji x x. Określ jej dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zadanie 67. Niech k, n N; k < n, X n,k to zbiór kombinacji z powtórzeniami z n po k, a Y n,k to zbiór kombinacji bez powtórzeń z n po k, czyli: X n,k = {(a 1,... a k ) : a i {1,... n}, a 1 a 2... a k }. Y n,k = {(b 1,... b k ) : b i {1,... n}, b 1 < b 2 <... < b k }. 1. Skonstruuj bijekcję ze zbioru X n,k w zbiór Y n+k 1,k i stąd wywnioskuj, że #X n,k = #Y n+k 1,k. 2. Oblicz liczbę elementów zbiorów X n,k i Y n,k. Zadanie 68. Oznaczmy I = [a, b]. Udowodnić, że jeśli f : I I ma następujące własności: 1. f(a) = a, f(b) = b, 2. f nie zwiększa odległości między punktami, to f jest identycznością. Zadanie 69. Udowodnić, że jeśli f : I I I I przeprowadza na siebie wierzchołki kwadratu I I oraz nie zwiększa odległości między punktami, to jest identycznością. Jak to uogólnić? Zadanie 70. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R R takie, że dla dowolnych x, y R. f(xy) f(x) f(y) = x + y Zadanie 71. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R R takie, że dla dowolnych x, y R. f(x + y) f(x y) = f(x)f(y) Zadanie 72. Udowodnić, że funkcja f ma odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy jest 1 1 i na. Zadanie 73. Wykazać, że dowolne dwa odcinki domknięte są równoliczne. Zadanie 74. Wykaż, że relacja równoliczności jest relacją równoważności. Zadanie 75. Udowodnić następujące fakty: 1. dowolny nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym, 2. produkt zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym, 3. suma skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym, 4. suma przeliczalnej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym, 5. zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. 6

7 Zadanie 76. Udowodnić, że zbiór X nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym P (X). Zadanie 77. Dlaczego nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów? Zadanie 78. Podać przykład funkcji f : N N takiej, że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest 1. dwuelementowy, 2. nieskończony. To samo dla f : R R. Zadanie 79. Niech I α = [α, α + 4] dla α R. Rozpatrzmy funkcję f : R R, f(x) = x. 2 Opisać zbiory f(i α ), f 1 (I f(α )). α [0,2] α (0,1) Zadanie 80. Wyznacz wszystkie funkcje f : R R takie, że dla dowolnych x, y, z R. f(xy) + f(xz) 2f(x)f(yz) 1 2 Zadanie 81. Dana jest taka funkcja f : R R, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzą równości f(x) = f(2x) = f(1 x). Dowieść, że funkcja f jest okresowa. Zadanie 82. Wykaż, że zbiór liczb naturalnych jest przeciwdziedziną funkcji określonej wzorem f(n) = n 2 k=1 a k (n), gdzie a k (n) = n 2 k 1 k+ k 1. Wielomiany Zadanie 83. Niech a 0 0. Udowodnij, że dla dostatecznie małych x znak a(x) = a 0 + a 1 x a k x k jest taki sam jak znak a 0. Zadanie 84. Rozwiąż równanie x 4 + 4x x x + 9 = 0. Zadanie 85. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu f(x) = 3x 3 + mx 2 4x + 2 przez x 2 dostajemy resztę 6? Zadanie 86. Wyznaczyć wartości parametrów a i b tak, aby wielomian f(x) = x 4 3x 3 + 6x 2 + ax + b był podzielny przez x 2 1. Zadanie 87. Przy dzieleniu wielomianu f(x) stopnia n 2 przez x 1 otrzymujemy resztę 2, zaś przy dzieleniu f(x) przez x 2 resztę 1. Ile wynosi reszta z dzielenia f(x) przez (x 1)(x 2)? Zadanie 88. Wykaż, że dla każdego n N wielomian f(x) = (x 2) 2n + (x 1) n 1 jest podzielny przez (x 1)(x 2). Zadanie 89. Znajdź resztę i iloraz stosując algorytm Hornera dla f(x) = x 5 + 3x 4 4x 3 + 2x 2 + x + 1 g(x) = x + 3. Zadanie 90. Znajdź resztę i iloraz stosując algorytm Hornera dla f(x) = 3x 5 + 5x 4 + x 3 + 2x 7 g(x) = x 2. 7

8 Zadanie 91. Znajdź resztę i iloraz stosując algorytm Hornera dla f(x) = x 6 + x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 3x + 4 g(x) = x + 1. Zadanie 92. Znajdź największy wspólny dzielnik wielomianów f(x) = 2x 5 5x 3 + 7x x + 22 g(x) = 3x 3 17x 10. Zadanie 93. Znajdź największy wspólny dzielnik wielomianów f(x) = 2x 4 3x 3 + 2x x 21 g(x) = x 3 + x + 7. Zadanie 94. Znajdź największy wspólny dzielnik wielomianów f(x) = 3x 4 8x 3 + 7x 2 g(x) = x 2 + x + 1. Zadanie 95. Znajdź największy wspólny dzielnik wielomianów f(x) = 3x g(x) = x Znajdź zapis NW D(f, g) w postaci p(x)f(x) + q(x)g(x). Zadanie 96. Znajdź największy wspólny dzielnik wielomianów f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 g(x) = x 2 1. Znajdź zapis NW D(f, g) w postaci p(x)f(x) + q(x)g(x). Zadanie 97. Wielomian W k (x, y) (wielomian zmiennej x o współczynnikach w których występuje parametr y) spełnia (x y) k = (x y)w k (x, y). Znaleźć W k (x, y). Zadanie 98. Wykazać, że jeśli f(x) i g(x) są wielomianami o współczynnikach całkowitych, i g(x) jest unormowany, to przy dzieleniu f(x) przez g(x) iloraz i reszta są wielomianami o współczynnikach całkowitych. Zadanie 99. Udowodnić, że jeśli wielomiany g i h są względnie pierwsze i oba dzielą wielomian f, to ich iloczyn również dzieli wielomian f. Zadanie 100. Pokazać, że 2 nie jest liczbą wymierną (choć ( 2) 2 jest już liczbą wymierną). Zadanie 101. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną 2x + 5 (x 1) 2 (x + 3). Zadanie 102. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną (x + 5)(x 4) (x 1)(x + 1) 2 (x + 3) 2. 8

9 Zadanie 103. Pokazać, że wszystkie liczby wyrażające się za pomocą czterech podstawowych działań (+,,, /) i pierwiastkowania zastosowanych do liczb całkowitych są algebraiczne. Zadanie 104. Pokazać, że funkcje a) f(x) = 3 x, b) f(x) = [x], nie są wielomianami. Zadanie 105. Znaleźć wartość parametru a Z, dla której wielomian f(x) = (x a)(x 10) + 1 rozkłada się na iloczyn dwóch wielomianów unormowanych o współczynnikach całkowitych. Zadanie 106. Niech f(x) = (1 3x + 2x 2 ) 723 (1 + 3x 2x 2 ) 724. Znajdź sumę współczynników f(x). Zadanie 107. Dla jakich liczb a, b wielomian f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 8x + 1 jest kwadratem jakiegoś wielomianu? Zadanie 108. Rozwiązać równanie x 4 + 4x 3 18x 2 12x + 9 = 0. Zadanie 109. Niech f(x) = x 5 3x 4 + x 3 + 5x 2 6x + 2. Rozwiąż f(x) = 0 i f(x) 0. Zadanie 110. Udowodnić, że wielomian f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + 17 nie jest iloczynem dwóch wielomianów o współczynnikach wymiernych. Zadanie 111. Niech f(x) = nx n x n 1 x n 2... x 1. Wykazać, że jeśli x i jest dowolnym pierwiastkiem f(x), to x i 1. Zadanie 112. Załóżmy, że wielomian f(x) = a n x n a 1 x + a 0 ma n pierwiastków (licząc z krotnościami pierwiastki nie muszą być różne). Wyrazić ich sumę i iloczyn za pomocą współczynników a 0,..., a n. Zadanie 113. Wykazać, że jeśli m R +, to m + 4 m 2 3. Zadanie 114. Naszkicować wykresy funkcji a) f(x) = x 1 x 2 1, b) f(x) = 2x(1+x2 ) 2 x. Trygonometria Zadanie 115. Funkcje c(t) i s(t) określone na R definiujemy odpowiednio jako współrzędne punktu na okręgu jednostkowym odpowiadające danemu kątowi. Pokazać, że a) c(t 1 + t 2 ) = c(t 1 )c(t 2 ) s(t 1 )s(t 2 ), b) s(t 1 + t 2 ) = s(t 1 )c(t 2 ) + c(t 1 )s(t 2 ). Zadanie 116. Dlaczego s(t) i c(t) spełniają s(t) 2 + c(t) 2 = 1? Tak naprawdę powyższe własności prawie wystarczą jako definicja funkcji sin i cos (trzeba dodać ciągłość, fakt że nie są stałe i coś jeszcze...) W dalszych zadaniach będziemy używać tych powyższych wzorów. Zadanie 117. Pokazać, że sin(t) jest nieparzysta, a cos(t) jest parzysta. Zadanie 118. Wyprowadzić wzory na cos(2t) i sin(2t). Zadanie 119. Wykazać, że a) cos(t 1 t 2 ) = cos(t 1 ) cos(t 2 ) + sin(t 1 ) sin(t 2 ), 9

10 b) sin(t 1 t 2 ) = sin(t 1 ) cos(t 2 ) cos(t 1 ) sin(t 2 ), c) sin x + sin y = 2 sin x+y cos x y, 2 2 d) sin x sin y = 2 sin x y cos x+y, 2 2 e) cos x + cos y = 2 cos x+y cos x y, 2 2 f) cos x cos y = 2 sin x+y sin x y. 2 2 Zadanie 120. Wykazać, że a) cos( π t) = sin t, 2 b) sin( π t) = cos t, 2 c) cos(π t) = cos t, d) sin(π t) = sin t. i po- Oczywiście trzeba też znać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów π, π, π dobne własności... Zadanie 121. Naszkicować wykresy cos x, sin x, tg x, ctg x. Zadanie 122. Wykazać, że tg(x + y) = Wywnioskować wzory na tg 2x, ctg 2x. Zadanie 123. Wykazać, że tg x + tg y ctg x ctg y 1, ctg(x + y) = 1 tg x tg y ctg x + ctg y. sin x = 2 tg x tg 2 x, cos x = 1 tg2 x tg 2 x. 2 2 Zadanie 124. Policzyć (doprowadzić do najprostszej możliwej postaci): a) cos x sin 2 x cos x, b) sin 3 x + sin x cos 2 x, c) sin 2 x sin 2 x cos 2 x, d) cos 2 x + sin 2 x cos 2 x + sin 4 x. Zadanie 125. Wykazać, że arccos( x) = π arccos x oraz arcsin x + arccos x = π 2. Zadanie 126. Wykazać, że arctg x jest funkcją nieparzystą. Zadanie 127. Wykazać, że arcctg( x) = π arcctg x oraz arctg x + arcctg x = π 2. Zadanie 128. Wykazać następujące własności funkcji hiperbolicznych (w niektórych równościach trzeba dobrać odpowiednie znaki): a) sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, b) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, c) cosh 2 x sinh 2 x = 1, d) cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x, e) sinh 2x = 2 sinh x cosh x. Naszkicować wykresy funkcji hiperbolicznych. Zadanie 129. Naszkicować wykresy funkcji arccosh x, arcsinh x. Zadanie 130. Zdefiniować funkcje arctgh x, arcctgh x i naszkicować ich wykresy. Zadanie 131. Rozwiązać równania a) 2 1 cos x 2 = tg x 2, 10

11 b) 2x = π sin x w przedziale ( π 4, 3π 4 ), c) sin(π cos x) = cos(π sin x), d) 2 cos 2x + 2 cos 4x + 3 sin 2 2x = 1. Zadanie 132. Znaleźć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x) = 2 arcsin 1 x 2. Zadanie 133. Wykazać, że cos π 5 cos 2π 5 = 1 4. Zadanie 134. Rozwiązać nierówności: a) 7 cos x + 12 sin 2 x < 13, b) tg x + ctg x < 3. Zadanie 135. Wykazać, że a) sin a + sin 2a sin na = sin(na/2) sin((n+1)a/2), sin(a/2) b) cos a + cos 2a cos na = sin(na/2) cos((n+1)a/2). sin(a/2) Zadanie 136. Czy jest prawdą, że jeśli 0 < a < b < π, to a tg a < b tg b? 2 Zadanie 137. Rozwiązać nierówność tg 2 x + ctg 2 x > 2. Zadanie 138. Jakie{ warunki muszą spełniać parametry m i n, żeby istniała liczba cos x sin x = m; rzeczywista x taka, że sin(2x) = n. Funkcja wykładnicza, logarytm Zadanie 139. Dlaczego każda liczba rzeczywista jest granicą ciągu liczb wymiernych? Zadanie 140. Znaleźć wszystkie funkcje ciągłe f : R R spełniające f(x + y) = f(x)f(y). A dla f(xy) = f(x) + f(y)? Zadanie 141. Czy x > 0 w następujących przypadkach: 2 x = π 2 ; 3 x = 3 2; (0, 31) x = 0, 53; (0, 27) x = 1, 13. Zadanie 142. Rozwiązać równania a) 2 x+3 = 4 x 1, b) (0, 125) 3x+2 = 64 5x 7, c) 2 x 3 20 x 3 = 8 2x+1 5 2x+1. A gdyby były to nierówności? Zadanie 143. Rozwiązać równania a) ( 2 1) x+3 = ( 2 + 1) 5x 7, b) (0, 5) x+3 = 5 8 4x+1, c) 2 x2 = 4 2x 2, d) 27 3x2 +3x = 9 1, e) n+1 = n 1. Zadanie 144. Rozwiązać nierówności a) 2 x 1 < (0, 5) 3x 2, b) x2 +7x. Zadanie 145. Rozwiązać równania a) 3 5 x x = 5 x , b) x x 2 50 = 0, c) 3 4 x x + 3 = 0, ( d) 3 2 ) x ( x 2) = 34, 11

12 e) (0, 5) x + (0, 5) x = 2 (0, 5) x + 2. Zadanie 146. Wykazać, że jeśli liczby a 1, a 2,..., a n tworzą ciąg arytmetyczny, to 2 a 1, 2 a 2,..., 2 an tworzą ciąg geometryczny. Zadanie 147. Rozwiązać a) log 3 (3 x 8) = 2 x, b) 3 log 8 (x 2) log 2 ( 2x 1) = 0, c) log(2 + x) log(5 + x) > 0, d) 100x log x = x 3, e) x log a x = a 2 x, f) 2 log x a + log ax a + 3 log 2ax a = 0, g) (2 log 2 cos x) 2 + log 2 cos 2 x 2, h) log 1 5 (6 x+1 36 x ) 2. Zadanie 148. a) Wiedząc, że log ab a = 4 obliczyć log ab 3 a b) Wiedząc, że log b a = 3 obliczyć log a b c) Wiedząc, że log b a = 5 obliczyć log ab b. 3 a b. Zadanie 149. Znaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y spełniające układ równań { log(4y + 16) = 1 2 log 2 + log x; 2 x y = 4. Zadanie 150. Rozwiązać nierówność log x 2(2 + x) < 1. Zadanie 151. Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 2x+1 = 2x log m+(log m) 2 ma dwa różne pierwiastki? Liczby zespolone Najbardziej przydatna postać wzoru Moivre a: Zadanie 152. Wykazać, że a b. [r(cos φ + i sin φ)] n = r n (cos nφ + i sin nφ). 1. operacje dodawania i mnożenia są łączne: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ), 2. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania: (z 1 + z 2 )z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3. Zadanie 153. Obliczyć i, i, 12+5i i Zadanie 154. Udowodnić, że 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, 2. z 1 z 2 = z 1 z 2, 3. ( z 1 z 2 ) = ( z 1 z 2 ). Zadanie 155. Znaleźć postać trygonometryczną liczb i, 2. 3 i, 3. (7 7i)( 3 i). 12

13 Zadanie 156. Udowodnić wzory r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )), r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) = r 1 r 2 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )). Wyprowadzić wzór Moivre a: [r(cos φ + i sin φ)] n = r n (cos nφ + i sin nφ). Zadanie 157. Stosując wzór Moivre a obliczyć (1 + i) 10 (1 i) 10. Zadanie 158. oraz cos 3α. Stosując wzór Moivre a oraz dwumian Newtona znaleźć wzór na sin 3α Zadanie 159. Posługując się wzorem Moivre a znaleźć postać trygonometryczną każdego pierwiastka stopnia n z 1 oraz 1. Ciągi, szeregi Zadanie 160. Niech a n a. Pokazać, że jeśli b n jest podciągiem a n, to b n a. Zadanie 161. Pokazać, że jeśli wszystkie właściwe podciągi ciągu a n są zbieżne do tej samej granicy a, to a n a. Zadanie 162. Pokazać, że każdy ciąg monotoniczny ograniczony jest zbieżny. Zadanie 163. Zbadać zbieżność (i ewentualnie znaleźć granicę): 1. a n = 1, n 2. a n = n, n+1 3. a n = 3n+1 7n 9, 4. a n = n2 4n a n =, n 3 78 n n 1, 6. a n = n 2 n n, 7. a n = 3 n 3 + 2n + 1 n, 8. a n = n 2 + ( 1) n, 9. a n = k 2 + ( 1) n dla ustalonego k N, 10. a n = ( 1)n +3 n 2 n+2 +3 n 1, 11. a n = (1 1 2 )(1 1 4 ) (1 1 2 n ). Zadanie 164. Udowodnić, że jeśli a n > 0 i a n g, to n a 1 a 2 a n g. Zadanie 165. Udowodnić, że jeśli a n g, to a 1+a a n n g. Zadanie 166. Niech a n > 0, a n+1 a n g. Pokazać, że n a n g. Zadanie 167. Pokazać, że n n 1. Zadanie 168. Niech ciąg a n spełnia a n a n+1 g. Pokazać, że an n g. Zadanie 169. Pokazać, że jeśli a n, to 1 a n 0. Zadanie 170. Pokazać, że jeśli a n a, to k a n k a. Zadanie 171. Pokazać, że ciąg a n = n 2 jest zbieżny. Zadanie 172. Czy ciąg a n = ( 1)n 1 1 jest zbieżny? n Zadanie 173. Udowodnić następujące zależności: 13

14 jeśli lim n a n = + lub lim n a n = to lim n 1 a n = 0, jeśli lim n a n =, a b n jest ograniczony z dołu, to lim n a n + b n =, jeśli lim n b n = oraz a n c > 0, to lim n b n c =, jeśli a n b n i lim n a n =, to lim n b n =. Zadanie 174. Przyjrzeć się działaniom na granicach nieskończonych dlaczego czasami nie można powiedzieć nic o wyniku? Podać przykłady. Zadanie 175. Zbadać zbieżność ciągu a n : 0 < a 1 < 1, (1 a n )a n+1 = 1 4. u Zadanie 176. Pokazać, że jeśli dla ciągów u n i v n zachodzi lim n u n+1 n v n v n+1 u ciąg v n jest rosnący i nieograniczony, to lim n n vn = g (twierdzenie Stolza). Zadanie 177. Zbadać zbieżność ciągu n n!. Zadanie 178. Znaleźć granicę ciągu a n : 1. a n = w(n), gdzie w(x), v(x) są wielomianami, v(n) 2. a n = 3 n 3 + 2n + 1 n, 3. a n = n2 +3n 8 n ( + n 2n 2 +1 Zadanie 179. Zbadać zbieżność: 1. a n = kn dla k N, n! 2. a n = n!, n n 3. a n = n n 1. n n). = g, oraz Zadanie 180. Dany jest ciąg a n oraz skończona liczba jego podciągów: {b 1 n = a k 1 n } n N,..., {b l n = a k l n } n N, gdzie {k 1 n},..., {k l n} to podciągi N takie, że l s=1 n N {k s n} = N, czyli wyrazy tych podciągów wyczerpują wszystkie wyrazy ciągu N. Załóżmy dodatkowo, że istnieje liczba a N taka, że lim n b s n = a dla s = 1... l. Wówczas ciąg a n jest zbieżny i jego granicą jest a. Zadanie 181. Podać przykłady ciągów a n, b n rozbieżnych do +, takich, że a 1. lim n n bn =, a 2. lim n n bn = 0, a 3. lim n n bn = α, gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą z R +. Zadanie 182. Zbadać zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie: a 1 = 2, a n+1 = 1 3 (a n +1). Zadanie 183. Zbadać zbieżność ciągów, spróbować znaleźć granice ciągów zbieżnych: 1. a n = n + n n, 2. a n = n 3 n + ( 2) n, 3. a n = n n + ( 1) n, 4. a n = n 2, 5. a n = n n 7, 6. a n = 2n +5 n+1 3 n 1 +4 n, 7. a n = ( 1)n, 8. a n = n+( 1)n n+3. Zadanie 184. Pokazać (dokładnie!), że jeśli a n b n i lim n a n =, to lim n b n =. Zadanie 185. Załóżmy, że ciąg a n jest zbieżny, a b n nie jest zbieżny. Co można powiedzieć 14

15 o zbieżności ciągu a n + b n? Wskazać takie ciągi a n i b n spełniające warunki zadania, że a n b n jest zbieżny, i takie, że ten ciąg nie jest zbieżny. Zadanie 186. Udowodnić, że jeśli lim n a n = a, to lim n an = a dla a n, a > 0 (lepiej z definicji, niż z ciągłości pierwiastka celem jest nauczenie się używania definicji granicy). Zadanie 187. Wykazać, że każdy ciąg zbieżny ma wyraz najmniejszy lub największy. Zadanie 188. Zbadać zbieżność (w punktach 1 i 2 udowodnić porządnie, z definicji granicy; może przyda się nierówność Bernoulliego): 1. a n = n a dla a R +, 2. a n = a n, 3. a n = n 2, 3 n 4. a n = n 1 k + 2 k n k, k N. Zadanie 189. Pokazać, że jeśli szeregi a n i b n są zbieżne, to (a n +b n ) = a n + b n i (a n b n ) = a n b n. Zadanie 190. Pokazać, że jeśli szereg a n jest zbieżny i c R, to ca n = c a n Zadanie 191. Pokazać, że szereg a n jest zbieżny. Wywnioskować, że ciąg a n jest zbieżny do a n = cn, n! 2. a n = n!, n n 3. a n = np dla p N, c R. c n Zadanie 192. Przeanalizować zbieżność szeregu 1 w zależności od parametru α R. n α (Wskazówka: kryterium Abela lub kryterium Raabego.) Zadanie 193. Pokazać, że (1 1 n )n 1 e. Zadanie 194. Znaleźć granicę szeregu potęgowego q n. Zadanie 195. Pokazać, że jeśli a n, b n 0, a n <, b n a n i dla pewnego k zachodzi b k < a k, to b n < a n. Zadanie 196. Wykaż, stosując kryterium Cauchy ego i własność rozbieżności szeregu harmonicznego, że lim n n n = 1. Zadanie 197. Pokazać, że szereg n n 3 jest zbieżny. Zadanie 198. Pokazać, że szereg ( n )( 1)n jest zbieżny. n Zadanie 199. Ciąg a n jest taki, że a n jest zbieżny dla pewnego x. Wykazać, że dla n x każdego y > x szereg a n n y jest zbieżny. Zadanie 200. Pokazać, że szereg sin(x/n)+cos(n 3 x) jest zbieżny bezwzględnie. n 2 Zadanie 201. Pokazać, że szereg ( 1) n 1 jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie. log log n Zadanie 202. Udowodnić kryterium Kummera: jeśli ciągi {a n }, {b n } mają wszystkie wyrazy dodatnie oraz lim b a n n b n+1 > 0, n a n+1 to szereg a n jest zbieżny. Wywnioskować kryterium Raabego. Zadanie 203. x n. n! Pokazać, że szereg (x+y) n n! jest iloczynem Cauchy ego szeregów y n n! i 15

16 Ciągłość, jednostajna ciągłość... Zadanie 204. Znaleźć kresy zbioru { n+7 n 2 Zadanie 205. Znaleźć kresy zbiorów : n N}. a) { n + 1 n : n N}, b) {n 2 32n : n N}, c) { n2 2 n : n N}. Zadanie 206. Wartość funkcji wykładniczej a x definiujemy w punkcie niewymiernym x jako granicę wartości na ciągu punktów wymiernych x n x. Pokazać, że ta definicja nie zależy od wyboru ciągu liczb wymiernych zbieżnego do x, funkcja x a x jest ciągła, gdy a > 1, to funkcja wykładnicza jest rosnąca, a gdy a < 1 malejąca. Zadanie 207. Policzyć granice następujących funkcji w odpowiednich punktach, lub wykazać, że nie istnieją: lim x 0 x 2, lim x 0 cos x, lim x 0 a x, sin x lim x 0, x 1 lim x 0, x 1 lim x 0 x x, Zadanie 208. Pokazać, że jeśli granice jednostronne funkcji f w punkcie x istnieją i są równe g, to granica f w x istnieje i jest równa g. Zadanie 209. Udowodnić prawa działań na granicach funkcji w punkcie. Szczególnie dla złożenia (bo tu nie było analogicznej reguły dla ciągów): jeśli lim x a f(x) = A i lim x A g(x) = B, to lim x a g(f(x)) = B. Jak to zinterpretować dla granic niewłaściwych i w nieskończoności? Zadanie 210. Pokazać, że lim x 0 + f( 1 x ) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje lim t f(t) = B (obie granice w sensie właściwym lub nie), oraz jeśli te granice istnieją, to są równe. Zadanie 211. Policzyć granice następujących funkcji w odpowiednich punktach: e lim x x, x x lim x, log x lim x 0 + x log x. Zadanie 212. Pokazać, że funkcja odwrotna do funkcji ciągłej na odcinku jest ciągła. (Wskazówka: pokazać, że funkcja odwracalna na odcinku jest ściśle monotoniczna.) Zadanie 213. Pokazać, że minimum (maksimum) dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. A dla większej liczby funkcji? Zadanie 214. Pokazać, że jeśli a n a, to k a n k a dla każdego k N. Zadanie 215. Na płaszczyźnie dana jest krowa. Chcemy wpisać krowę w kwadrat, czyli narysować taki kwadrat, że każdy jego bok jest styczny do krowy. Czy można to zrobić niezależnie od krowy? Zadanie 216. Dana jest funkcja f : [0, 1] [0, 1]. Pokazać, że istnieje x [0, 1] taki, że f(x) = x (czyli punkt stały funkcji f). Zadanie 217. Pokazać, że jeśli f(x) = ax + b, to asymptota ukośna funkcji f pokrywa się z tą funkcją. 16

17 Zadanie 218. Pokazać, że funkcja Dirichleta f(x) = każdym punkcie. { 1, x Q 0, x / Q jest nieciągła w Zadanie 219. Znaleźć funkcję ciągłą dokładnie w punktach z danego skończonego zbioru. Zadanie 220. Czy funkcję sin 1 x ciągłej na [0, + )? określoną na (0, + ) można przedłużyć do funkcji Zadanie 221. Uzasadnić, że funkcja różnowartościowa określona na odcinku [a, b] mająca własność Darboux jest monotoniczna. Zadanie 222. Pokazać, że następujące funkcje są ciągłe we wszystkich punktach dziedziny: wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki, funkcje potęgowe (x r dla r Q), funkcje trygonometryczne. Zadanie 223. Udowodnić, że suma, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych są ciągłe. Zadanie 224. Udowodnić, że złożenie funkcji ciągłych g f jest ciągłe na zbiorze punktów x takich, że f jest ciągła w x, a g w f(x). Zadanie 225. Udowodnić, że wielomian stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek (rzeczywisty). Zadanie 226. Pokazazać, że funkcja f(x) = n x jest jednostajnie ciągła na [0, ). Zadanie 227. Podać przykład funkcji, która nie jest jednostajnie ciągła (dużo przykładów!). Zadanie 228. Sprawdzić jednostajną ciągłość następujących funkcji: 1. log x na R +, 2. e x na (, a] dla dowolnego a R, 3. e x na R, 4. sin 1 na (0, 1). x Zadanie 229. Czy ciąg funkcji f n : [0, π] R, f n (x) = sin(nx) jest zbieżny punktowo? Czy jest zbieżny jednostajnie? Zadanie 230. Pokazazać, że funkcja f : D f R jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary ciągów x n, y n D f takich, że x n y n 0 mamy f(x n ) f(y n ) 0. Zadanie 231. Podać przykład ciągu funkcji ciągłych, którego granica istnieje, ale nie jest ciągła (czyli ten ciąg nie może być jednostajnie zbieżny). Zadanie 232. Pokazazać, że granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest ciągła. Zadanie 233. Wykazać, że 1. promień zbieżności szeregu x n n! jest równy, 2. promień zbieżności szeregu x n jest równy 1, 3. promień zbieżności szeregu n!x n jest równy 0. Zadanie 234. Wykaż, że ciąg f n : D R zbiega jednostajnie do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg liczbowy A n = sup{ f n (x) f(x) : x D} zbiega do 0. Zadanie 235. Wykazać, że jeśli b = lim a n, to b sup n N a n. Zadanie 236. Udowodnić kryteria d Alemberta i Cauchy ego dla szeregów potęgowych: 17

18 jeśli lim n a n+1 n a n = g lub lim n a n = g to promień zbieżności szeregu a n x n jest równy 1. g Zadanie 237. Znaleźć promienie zbieżności szeregów a) x n n, b) c n x n dla pewnej stałej c R. Pochodne Zadanie 238. Pokazać, że funkcja f(x) = x sin 1 dla x 0 i f(0) = 0 jest ciągła w 0, x ale nie ma w 0 żadnej pochodnej jednostronnej. Naszkicować wykres tej funkcji. Zadanie 239. Pokazać, że funkcja f(x) = 3 x ma w 0 nieskończoną pochodną. Co można powiedzieć o pochodnej prawostronnej w 0 funkcji f(x) = n x? Zadanie 240. Podać przykład funkcji różniczkowalnej w każdym punkcie dziedziny i takiej, że f (x) > 0 dla każdego x z dziedziny, ale nierosnącej. Co można powiedzieć o dziedzinie tej funkcji? Zadanie 241. Niech f : R R będzie taką funkcją, że dla dowolnych x, y mamy f(x) f(y) C x y 2. Pokazać, że f jest funkcją stałą. Zadanie 242. Wykazać, że jeśli x (0, π), to 2x < sin x < x. 2 π Zadanie 243. Znaleźć wzór na pochodną iloczynu n funkcji (różniczkowalnych): f 1 f 2 f n oraz na pochodną f n. Zadanie 244. Policzyć pochodną dowolnego wielomianu (z definicji). Zadanie 245. Policzyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej (np. z poprzedniego zadania). Zadanie 246. Policzyć pochodne funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg x, ctg x (z definicji). Zadanie 247. Policzyć pochodne (albo pamiętać, czym są, dla znanych funkcji typu ln x, e x ; warto zrobić obliczenia dla funkcji odwrotnych do trygonometrycznych, żeby się nauczyć używać wzorów na pochodną funkcji odwrotnej). 1. ln x, 2. log a x, 3. e x, 4. a x, a R +, 5. arcsin x, 6. arccos x, 7. arctg x, 8. arcsinh x, 9. arccosh x, n 10. x, 11. x a, x R +, a R x 2, 13. x x, 14. x xx, 15. e 1 x 2, 16. ln(1 + x 2 ), sin x, 18. f(x) = x + x n x, 18

19 19. f(x) = { x 2 sin 1 x, x 0 0, x = 0, 20. f(x) = x7 + 3 x sin x cos x e x ln x, 21. f(x) = sin(ctg x), 22. f(x) = x (1 x) 3. Zadanie 248. Zbadać przebieg funkcji (znaleźć ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności, asymptoty... ogólnie wszystko, co się da policzyć) 1. f(x) = x 3 + 6x 2 17, 2. f(x) = 5x 5 + 3x 3 + 2, 3. f(x) = x 1, x+1 4. f(x) = 2x2, x f(x) = 3x 10 5x 6 119, 6. f(x) = (x 2 + 7)( x 5) Zadanie 249. Znaleźć granice 1. lim x 0 x x, 2. lim x x 1 x, 3. lim x π ( π x) tg x, 2 2 tg x x 4. lim x 0, x tg x x 3 5. lim x 0, x sin x 6. lim x π (tg x)tg 2x, 4 x ln cos x 7. lim x 0 sin x tg x. Zadanie 250. Dlaczego jeśli funkcja f różniczkowalna w otoczeniu x ma lokalne ekstremum w x, to f (x) = 0? Zadanie 251. Dowieść, że jeśli funkcja f(x) jest nieujemna i c > 0, to funkcja cf 2 ma te same lokalne ekstrema co f. Zadanie 252. Wykazać, że funkcja f(x) = (2 3x) x 2 2x + 11 jest malejąca. Zadanie 253. powierzchni. Wśród stożków o danej objętości wyznaczyć ten o najmniejszym polu Zadanie 254. Wśród trójkątów prostokątnych o danej sumie przyprostokątnej i przeciwprostokątnej wyznaczyć ten o największym polu. Zadanie 255. Wśród trójkątów wpisanych w okrąg o promieniu 1 znaleźć ten o największym polu. (Wskazówka: najpierw ustalić jeden bok i zobaczyć, dla jakiej wysokości pole jest największe. Następnie zobaczyć, dla jakiej długości boku pole przy najlepszym doborze wysokości jest największe.) Zadanie 256. Wykazać, że istnieje x 0 R + taki, że wielomian a n x n a 1 x + a 0 jest ściśle monotoniczny na półprostych (, x 0 ), (x 0, ). Zadanie 257. Obliczyć lim x 0 x xx 1. Zadanie 258. Wykazać, że dla dowolnych k, n N mamy lim x 0 x k (ln x) n = 0. Zadanie 259. Wyznaczyć pochodne rzędu k funkcji x n, sin x, cos x, a x, log a x dla dowolnego k N. Zadanie 260. dla k = 1, 2, 3. Zadanie 261. Wyprowadzić wzór na k-te pochodne złożenia i iloczynu dwóch funkcji Wykazać, że jeśli f : R R jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną 19

20 taką, że f (x) = f(x) dla dowolnego x R, to f(x) = f(0) cos x + f (0) sin x dla dowolnego x R. (Wskazówka: rozważyć pochodne funkcji h 1 (x) = f (x) cos x+f(x) sin x i h 2 (x) = f (x) sin x f(x) cos x.) Zadanie 262. Funkcja f jest określona na odcinku [c, d]. Wewnątrz odcinka [a, b] takiego, że c < a < b < d funkcja f jest różniczkowalna 2p + 1 razy, natomiast w a i b jest różniczkowalna p razy. Ponadto wiemy, że f(a) = f (a) =... = f (p) (a) = 0 i f(b) = f (b) =... = f (p) (b) = 0 (f (k) (x) oznacza k-tą pochodną f w x). Wykazać, że w (a, b) istnieje punkt x 0, w którym f (2p+1) (x 0 ) = 0. Zadanie 263. Wykazać, że jeśli funkcja f jak w poprzednim zadaniu jest p+q+1-krotnie różniczkowalna w [a, b] i ma pochodną rzędu p + q + 1 w każdym punkcie przedziału (a, b) i f(a) = f (a) =... = f (p) (a) = 0 oraz f(b) = f (b) =... = f (q) (b) = 0, to istnieje c (a, b) takie, że f (p+q+1) (c) = 0. (Wskazówka: twierdzenie Rolle a.) { sin 1 Zadanie 264. Wykazać, że 0 nie jest punktem przegięcia funkcji f(x) = e 1 x x 2, x 0; 0, x = 0. Zadanie 265. Pokazać, że suma dwóch funkcji wypukłych jest wypukła. Zadanie 266. Znaleźć (możliwie dokładnie, a przynajmniej określić ich liczbę) przedziały, na których funkcja x 2 e x + x jest wypukła. Wielomiany i szeregi Taylora Zadanie 267. Wykazać, że jeśli f(x) jest wielomianem stopnia k, to T k,f,c (x) = f(x) dla dowolnego x R (czyli k-ty wielomian Taylora wielomianu stopnia niewiększego niż k jest tym wielomianem). Zadanie 268. Znaleźć wielomiany Taylora stopnia k i szeregi Taylora funkcji sin x, cos x, e x w punkcie c = 0 i ln x w punkcie c = 1. Zadanie 269. Wykazać, że funkcja f(x) równa e 1 x 2 dla x 0 i 0 dla x = 0 jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w 0 i jej szereg Taylora w c = 0 jest funkcją stale równą 0. (To jest przykład, że szereg Taylora wcale nie musi dobrze przybliżać funkcji na dużych zbiorach ten szereg nie jest zbieżny do f(x) na żadnym nietrywialnym odcinku. To zadanie może wymagać trochę rachunków...) Zadanie 270. Wykazać, że jeśli f(x) jest wielomianem stopnia k, to T k,f,c (x) = f(x) dla dowolnego x R (czyli k-ty wielomian Taylora wielomianu stopnia niewiększego niż k jest tym wielomianem). Zadanie 271. Znaleźć wielomiany Taylora stopnia k i szeregi Taylora funkcji sin x, cos x, e x w punkcie c = 0 i ln x w punkcie c = 1. Zadanie 272. Wypisać wielomian Taylora T n,f,c dla f i r n dla n = 4 i c 1. Oszacować błąd przybliżenia dla T n,f,0 (x) i x 1 2. x+2 1. f(x) = 2. f(x) = 1, x 3 +3x 2 +3x+1. x 2 +x+1 Wskazówka: użyć wzoru na resztę w postaci Lagrange a. Zadanie 273. Znajdź przybliżone wartości podanych liczb i oszacuj błąd: , 2. sin 18, 3. e, 4. ln 7. 20

21 Wskazówka: wypisać wielomian Taylora rozpatrywanej funkcji w punkcie bliskim temu, w którym wartość funkcji chcemy oszacować. Na przykład, jeśli chcemy oszacować 3 30, to dobrym pomysłem jest wypisanie wielomianu Taylora funkcji f(x) = 3 x w x = 27. Wybrać n (stopień wielomianu) tak, żeby przybliżenie było sensowne. Zadanie 274. Wylicz 1. e z dokładnością 10 3, 2. sin 1 z dokładnością Wskazówka: wielomian Taylora, np. w 0, jeśli uda się w tym punkcie uzyskać dobre przybliżenie. Tym razem n trzeba dobrać tak, żeby błąd był odpowiednio mały. Pewnie warto stosować wzór Lagrange a na resztę. Całki Zadanie 275. Znaleźć (i zapamiętać!) całki nieoznaczone z następujących funkcji: wielomianów, sin, cos, 1, 1 1, x 1+x 2 1 x 2, e x, a x, funkcji hiperbolicznych. Zadanie 276. Wyliczyć całki oznaczone (na dowolnym przedziale) dla wielomianów. Zadanie 277. Wyliczyć f(x)dx z następujących funkcji: 1. f(x) = e ax (podstawić y = 2x), 2. f(x) = x (popatrzeć osobno na półprostych), 3. f(x) = xe x2 (podstawić y = x 2 ), 4. f(x) = xe x (przez części), 5. f(x) = x 2 e x (przez części), 6. f(x) = tg x (podstawić y = cos x), 7. f(x) = r 2 x 2 (podstawić x = r sin t), 8. f(x) = x cos ax (przez części), 9. f(x) = 1 (podstawić y = ax + b), ax+b 10. f(x) = x3 (rozbić na ułamki proste), x 2 +2x f(x) = ln x (przez części), 12. f(x) = x (pochodna logarytmiczna), 1+x f(x) = (1+x)2 1+x 2 (rozbić na ułamki proste), 14. f(x) = x 2 2x + 1 (podstawić y = 2x 1), 15. f(x) = e 2x sin 3x (dwukrotnie przez części i rozwiązać otrzymane równanie na wyjściową całkę). Zadanie 278. Policzyć 1 (1+x 2 ) n dx (wystarczy wzór rekurencyjny). Zadanie 279. Jak policzyć długość krzywej będącej wykresem funkcji? ( 1 + (f (x)) 2 dx) Zadanie 280. Jak policzyć powierzchnię boczną bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji wokół osi x? ((π f(x) 2 dx)) Zadanie 281. Jak policzyć objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji wokół osi x? (2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx) Zadanie 282. Jak policzyć długość krzywej danej w układzie biegunowym? Tzn. mamy dane współrzędne x(t), y(t) będące funkcjami parametru t. ( (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt) Zadanie 283. Policzyć: pole koła, 21

22 pole wycinka koła, pole pod parabolą, długość okręgu, długość krzywej łańcuchowej (wykresu cosh) od π do π, długość kawałka cykloidy (krzywej wyznaczonej przez drogę punktu na okręgu toczonym po prostej), pole elipsy, długość spirali ϕ(θ) = aθ dla a > 0 i θ [0, 2π], pole powierzchni i objętość stożka wyznaczonego przez funkcję f(x) = ax dla a > 0 i x [0, b]. Zadanie 284. Udowodnić następujące twierdzenie o wartości średniej: jeśli f : [a, b] R jest ciągła, to istnieje c [a, b] taka, że b a f(x)dx = (b a)f(c). Wskazówka: skojarzyć z innymi twierdzeniami o wartości średniej. Zadanie 285. Policzyć (dla dowolnych m, n N): π π π π cos(mx) sin(nx)dx, cos(mx) cos(nx)dx. Zadanie 286. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi: 1. y = 1 cos 2 x, y = 0, x = 0, x = π 4, 2. y = x 2, y = 3 x. Wskazówka: całka z funkcji nieujemnej po odcinku [a, b] to pole między wykresem a osią x na tym odcinku. Zadanie 287. Dla jakich wielkości parametru a > 0 pole figury ograniczonej krzywymi y = cos ax, y = 0, x = π, x = π jest większe od 3? 6a 2a Równania różniczkowe zwyczajne Zadanie 288. Rozwiązać równanie (x 2 1)y + 2xy 2 = 0. Zadanie 289. Rozwiązać równanie xy +(x+1)y = 0 z warunkiem brzegowym y(0) = 2. Zadanie 290. Rozwiązać równanie y = cos(y x). Zadanie 291. Rozwiązać równanie e y (1 + y ) = 1. 22