93. Jaką liczbę dodatnią należy wpisać w trójkątach, a jaką w kwadratach, aby zachodziła poniższa równość? Podaj trzy różne rozwiązania.

Transkrypt

1

2

3 8 Liczby rzeczywiste Liczby rzeczywiste 93. Jaką liczbę dodatnią należy wpisać w trójkątach, a jaką w kwadratach, aby zachodziła poniższa równość? Podaj trzy różne rozwiązania. ( + + ) : ( ) =0,3 94. Uzupełnij przedstawiony obok diagram w taki sposób, aby powstał kwadrat magiczny z magicznym iloczynem (iloczyny w wierszach, kolumnach i obu przekątnych są równe). 95. Asia pomnożyła pewną liczbę naturalną przez ułamek dziesiętny i otrzymała 22,05. Po dodaniu tych samych liczb również otrzymała 22,05. Na jakich liczbach Asia wykonywała działania? 96. Ślimaczek Wojtuś lubi od czasu do czasu przemierzać odległość od muchomora do prawdziwka równą,5 m. Gdyby poruszał się dwa razy szybciej niż zwykle, to pokonałby tę odległość w czasie o godzinę i 5 minut krótszym. O ile krócej niż zwykle sunąłby ślimaczek, gdyby poruszał się trzy razy szybciej? 97. a) Sprawdź, wykonując odpowiednie rachunki, że zachodzi równość: ( ) ( ) ( ) : : :6= 6 b) Wykorzystując zależność =, zapisz podobną równość jak 42 w podpunkcie a) zadania. Uzasadnij poprawność zapisanej równości. 98. Uzupełnij liczbami przedstawiony poniżej diagram tak, aby w każdym polu (oprócz górnego wiersza) znalazła się średnia arytmetyczna trzech liczb leżących nad nim tak jak we wzorze na rysunku poniżej.

4 Liczby rzeczywiste Filip kupił trzy batony i z 4 zł kasjerka wydała mu kilkanaście groszy reszty. Kasia kupiła cztery takie same batony i chciała zapłacić monetą 5 zł, ale okazało się, że to za mała kwota. Musiała dopłacić jeszcze kilka groszy. Ile kosztował jeden baton? ( ) 00. Wwyrażeniu ,789 pod symbolem trójkąta kryje się 5 pewna liczba. ( Wartość ) całego wyrażenia jest równa 2,8. Oblicz wartość wyrażenia , Wojtek rzucił 0 razy kostką do gry. Średnia wyników pierwszych dwóch rzutów była równa 2,5, trzech następnych 5, a czterech kolejnych 3,25. Średnia wszystkich dziesięciu wyników po zaokrągleniu do całości była równa 3. Ile oczek otrzymał Wojtek w dziesiątym rzucie? 02. Jurek utworzył ułamek, umieszczając w liczniku pewną liczbę trzycyfrową, a w mianowniku również trzycyfrową, zapisaną tymi samymi cyframi, ale w odwrotnej kolejności. Po skróceniu stwierdził, że ułamkowi brakuje do jedynki. Jaki ułamek mógł zapisać Jurek? Czy mógł utworzyć ten ułamek, używając innych cyfr? 03. Kwadrat podzielono na mniejsze kwadraty tak jak na rysunku obok. Ile kwadratów należy zamalować, aby powierzchnia zamalowana stanowiła piątą część powierzchni początkowego kwadratu? Kwadratów nie można dzielić na mniejsze części. 04. Usuń pięć przecinków, tak aby powstał poprawny zapis dodawania. 6,3, ,8, + 7,, ,4,3 = 266,8,6 05. Oblicz, nie wykonując mnożenia ułamków danych w zapisie tego wyrażenia: Wojtek bawił się ułamkami, tworząc z jednego ułamka inny według następującej reguły: zaczynał od dodatniego ułamka właściwego i tworzył nowy, umieszczając w liczniku różnicę między mianownikiem i licznikiem poprzedniego ułamka, a w mianowniku iloczyn licznika i mianownika poprzedniego ułamka. Z otrzymanym ułamkiem postępował tak samo. Trzecim ułamkiem, jaki utworzył, był ułamek Od jakiego ułamka rozpoczął?

5 20 Liczby rzeczywiste 07. Z okazji walentynek przy zakupie sześciu róż po 5 zł za sztukę Kacper otrzymał dwie róże gratis. O ile procent była tańsza jedna róża dzięki tej promocji? 08. Uzupełnij liczniki i mianowniki ułamków, wiedząc, że użyte symbole oznaczają: liczbę jednocyfrową, liczby dwucyfrowe, liczby trzycyfrowe. 09. Michał szedł od schroniska na Żabiej Polanie do schroniska w Ropuchowie. Pierwszą część drogi, stanowiącą 25% całości, przebył, idąc ze stałą prędkością w ciągu 20% całego czasu wędrówki. Przez pozostałe 4 godziny szedł również ze stałą prędkością, ale nieco wolniej, tak że średnia prędkość całej wędrówki była równa 3,2 km h. Z jaką prędkością przeszedł pierwszą, azjakądrugączęśćtrasy? 0. Wojtek chce zwiększyć o jedną z czterech liczb 2009 występujących w zapisie poniższego wyrażenia, tak aby wartość całego wyrażenia zmalała. Czy taka zmiana może spowodować zmniejszenie wartości całego wyrażenia? Odpowiedź uzasadnij Po osi liczbowej toczy się kwadrat ABCD, przemieszczając się zgodnie z jej zwrotem. W pewnym momencie wierzchołek A znalazł się w punkcie owspółrzędnej5 3. Po wykonaniu kolejnego pełnego obrotu wierzchołek A trafił w punkt o współrzędnej a) Ustal, który z wierzchołków jako pierwszy trafi w punkt o współrzędnej całkowitej. b) Wskaż najbliższy punkt o współrzędnej całkowitej, w którym znajdzie się wierzchołek A. 2. Ulica Konkursów Matematycznych jest prostoliniowym odcinkiem drogi o długości 200 m. Przy ulicy równomiernie, co 300 metrów, rozmieszczono 5 przystanków tramwajowych. Znajdują się tam również dwa oddalone od siebie kioski, w których Asia niekiedy kupuje bilety na przejazd. Kioski są tak położone, że suma odległości każdego z nich od wszystkich pięciu przystanków jest taka sama i równa 2 km. Ile wynosi odległość między tymi kioskami?

6 Liczby rzeczywiste 2 3. W ułamku zapisanym poniżej licznik jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych od do 23, a w mianowniku kolejne liczby naturalne od do 203 są naprzemian odejmowane i dodawane. Czy wartość tego ułamka jest liczbą całkowitą? W pewnej potędze podstawa i wykładnik były liczbami naturalnymi mniejszymi od 0. Ania zmniejszyła wykładnik o 25%, a podstawę zwiększyła o 25%, otrzymując również potęgę o podstawie i wykładniku naturalnym, ale o wartości w przybliżeniu 4 razy mniejszej. Ustal początkową potęgę. 5. Znajdź wszystkie liczby naturalne x spełniające warunek: x : ,8 gdzie liczba po prawej stronie jest zaokrągleniem wyniku z dokładnością do części dziesiątych. Ile jest takich liczb? 6. Kwadratowa mapka jest wykonana w skali : Za pomocą kserokopiarki powiększono ją półtora raza, a następnie otrzymaną mapkę zmniejszono o połowę. Jaka jest skala otrzymanej mapki? 7. Wpisując do kratek diagramu (rysunek obok) różne liczby naturalne, otrzymujemy różne ułamki (w postaci liczby mieszanej). Używając pewnych trzech różnych liczb naturalnych, Asia utworzyła wszystkie możliwe ułamki, a następnie dodała je i otrzymała sumę 20. Jakie liczby Asia wpisywała do diagramu? 8. Wojtek pomnożył licznik pewnego ułamka u przez 00, a do mianownika tego ułamka dodał 00 i otrzymał ułamek o wartości. Asia najpierw skróciła ułamek u przez 5, a następnie zrobiła to co Wojtek, czyli licznik swojego ułamka pomnożyła przez 00, a do mianownika dodała 00 i otrzymała ułamek o wartości 5. Znajdź ułamek u Marek, pisząc pewne wyrażenie zawierające potęgi, nie zapisał wykładników we właściwy sposób, ale napisał je na równi z cyframi podstawy, na przykład zamiast 6 5 napisałby 65. Wynik nie zawierał potęg, więc jest zapisany poprawnie. Odtwórz to wyrażenie = 024

7 Rozwiązania zadań 73 Liczby rzeczywiste 93. Równość można sprowadzić do postaci: Po przekształceniach otrzymujemy: W trójkącie należy wpisać wielokrotność liczby 5. Przykładowe rozwiązania: trójkąt 5, kwadrat 3 trójkąt 0, kwadrat 6 trójkąt 5, kwadrat Iloczyn magiczny jest równy = 26. Liczba w prawym dolnym polu to 26 : (3 2 ) = 48. Liczba w środkowym polu to 26 : ( )=6. Liczba w środkowym polu lewej kolumny to 26 : (6 2 ) = 24. Liczba w środkowym polu dolnego wiersza to 26 : (96 6) = 3 8. Liczba w lewym dolnym polu to 26 : (6 3) = Ponieważ suma szukanych liczb jest równa 22,05, a jeden ze składników jest liczbą naturalną, więc część ułamkowa drugiej liczby to 0,05. Szukane liczby znajdują się wśród par: 22 i 0,05, 2 i,05, 20 i 2,05, 9 i 3,05,..., 2 i 20,05, i 2,05. Po zaokrągleniu ułamka dziesiętnego z dokładnością do jedności i oszacowaniu iloczynu można szybko wyeliminować prawie wszystkie pary. Zostaje do sprawdzenia para liczb 2 i,05. 2,05 = 22, Ślimaczek poruszając się dwukrotnie szybciej, pokonuje drogę w dwukrotnie krótszym czasie. Jeżeli czas byłby krótszy o h 5 min, to przemieszczając się w normalnym tempie, pokonałby tę drogę w czasie dwukrotnie dłuższym, czyli 2 h 30 min. Sunąc trzykrotnie szybciej, ślimaczek pokonałby drogę w czasie (2 h 30 min) : 3 = 50 min : 3 = 50 min. Gdyby ślimaczek poruszał się trzykrotnie szybciej, drogę przemierzyłby w czasie o 2 h 30 min 50 min = 50 min 50 min = 00 min = h 40 min krótszym.

8 74 Rozwiązania zadań 97. b) Równość = jest prawdziwa i można ją zapisać 42 w postaci: :2+:3+:7+:42= Wstawiając po lewej stronie w miejsce jedynek sumę , otrzymamy równość: 42 ( ) ( ) ( ) : : :7+ ( ) :42= Przykładowe rozwiązanie: 99. Szacujemy cenę jednego batona.,26 4 = 5,04 [zł],,27 4 = 5,08 [zł],,28 4 = 5,2 [zł] Zauważmy, że,27 3 = 3,8 [zł], czyli Filip otrzymałby 9 groszy reszty. W przypadku pozostałych kwot nie otrzymałby kilkunastogroszowej reszty. Zatem jeden baton kosztował,27 zł (tylko w tym przypadku trzeba dopłacić kilka groszy). ( ) = 2, więc ,789 = 8, Sumy oczek w dwóch pierwszych rzutach to 2 2,5 = 5, w trzech kolejnych: 3 5=5, w czterech następnych: 4 3,25=3. W dziewięciu rzutach otrzymano więc = 33 oczka. Ponieważ średnia po zaokrągleniu wynosiła 3, więc jedyna możliwość to wyrzucenie w dziesiątym rzucie jedynki. 02. Ułamek Jurka po skróceniu jest równy = 6. Licznik ułamka będzie trzycyfrowy, jeśli ułamek rozszerzymy, mnożąc przez liczby większe od 6: 6 49 = = = = = = Ułamkiem spełniającym warunki zadania jest 44. Nie jest to jedyne rozwiązanie. Jurek mógł zapisać także

9 Rozwiązania zadań Początkowy kwadrat podzielono na 9 dużych kwadratów. Jeden z nich ( ) 9 podzielono na jeden kwadrat średni 25 dużego kwadratu i 6 małych ( ) 25 dużego kwadratu każdy. Ponieważ 9 : 5 =,8, więc należy zamalować jeden duży kwadrat, średni kwadrat i małych kwadracików. 04. Lewa strona równości jest mniejsza od = 2030, więc wynikiem jest 266,86. Cyfrę 6 w rzędzie części tysięcznych wyniku można uzyskać jedynie z cyfry 6 w pierwszym składniku, więc ma on postać 6,356. Drugi składnik nie może być równy 898,, gdyż byłby większy od wyniku, więc jest równy 89,8. Z tych samych powodów czwarty składnik to 99,43. Po wykonaniu prostych rachunków stwierdzamy, że trzeci składnik to 7, ( = ) 635 = = ( ) Różnica między mianownikiem a licznikiem drugiego z utworzonych ułamków jest równa 23, a iloczyn tego licznika i mianownika jest równy 20. Rozłóżmy 20 na iloczyny dwóch liczb: 20=20 =05 2=70 3=42 5=35 6=30 7=2 0=5 4 Tylko czynniki w iloczynie 30 7 różnią się o 23. Drugi z utworzonych ułamków to Różnica między mianownikiem a licznikiem pierwszego z utworzonych ułamków jest równa 7, a iloczyn tego licznika i mianownika jest równy 30. Rozłóżmy 30 na iloczyny dwóch liczb: 30=30 =5 2=0 3=6 5 Tylko czynniki w iloczynie 0 3 różnią się o 7. Przedostatnim ułamkiem jest ułamek 3 0. Różnica między mianownikiem a licznikiem początkowego ułamka jest równa 3, a iloczyn tego licznika i mianownika jest równy 0. Rozłóżmy 0 na iloczyny dwóch liczb: 0=0 =5 2. Tylko czynniki w iloczynie 5 2 różnią się o 3. Początkowym ułamkiem jest Kacper zapłacił za róże 6 5 = 30 [zł]. Każda z ośmiu róż kosztowała 30 : 8 = 3,75 [zł]. Róża była tańsza o 5 3,75 =,25 [zł], czyli o, % = = 25%. Jedna róża dzięki promocji była tańsza o 25%. 08. Przykładowe rozwiązanie to 9 = = 90 0 = =

10 76 Rozwiązania zadań 09. Cztery godziny, czyli czas przejścia drugiej części drogi, stanowią 80% całego czasu wędrówki, tak więc czas całej wędrówki to 4 : 0,8 = 5 [h]. Skoro średnia prędkość całej wędrówki była równa 3,2 km h,amichałszedł5 godzin, więc droga, którą pokonał, to 3,2 5 = 6 [km]. Pierwsza część drogi to 25% 6 = 4 [km], a druga to 6 4 = 2 [km]. Prędkość na pierwszym odcinku drogi jest równa 4 km h,nadrugim3km h. 0. Wyrażenie ma strukturę A B C+D,gdzie: A = B= C= D= Gdy zwiększymy liczbę 2009 o, to wartość wyrażenia A wzrośnie, a B, C, D zmaleje. Jeżeli Wojtek dokona zmiany w wyrażeniu A lub B, to licznik ułamka A B wzrośnie, a mianownik się nie zmieni, więc wartość całego wyrażenia C+D wzrośnie. Jeżeli Wojtek dokona zmiany w wyrażeniu C lub D, to licznik ułamka A B pozostanie niezmieniony, a mianownik zmaleje, więc wartość całego C+D wyrażenia wzrośnie. W ten sposób nie można zmniejszyć wartości całego wyrażenia.. a) Bok kwadratu ma długość ( ):4= 4.Niechk oznacza najmniejszą całkowitą liczbę odcinków długości 5 4 (boków kwadratu), które należy odłożyć na osi, zaczynając od punktu 6 2, aby trafić do liczby całkowitej. 5 5 Liczba k 4 ma być całkowita k 4 5 = k 5 = k 5 = 96+4k = 4(24+k) 5 5 Ponieważ 4 i 5 są względnie pierwsze, więc 24 + k musi być podzielne przez 5. Najmniejsze k naturalne, które spełnia ten warunek, jest równe 6. Łatwo ustalić, że szukanym punktem jest punkt o współrzędnej 8 i trafi do niego wierzchołek C. b) Aby wierzchołek A trafił w punkt o współrzędnej całkowitej, wyrażenie m 6 musi być całkowite przy m będącym liczbą naturalną m 6 5 = m 5 = 96+6m = 6(6+m) 5 5 Ponieważ 6 i 5 są względnie pierwsze, więc 6 + m musi być podzielne przez 5. Najmniejsze m naturalne, które spełnia ten warunek, jest równe 9. Wówczas punkt A trafi w punkt o współrzędnej 6.

11

12