KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 2 w języku angielskim Mathematical Analysis 2 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

Transkrypt

1 Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM2_M w języku polskim Analiza Matematyczna 2 w języku angielskim Mathematical Analysis 2 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma studiów Poziom studiów Profil studiów Specjalność Matematyka Stacjonarne Studia I stopnia licencjackie Ogólnoakademicki Matematyka bankowa i ubezpieczeniowa Jednostka prowadząca przedmiot Osoba odpowiedzialna za przedmiot- koordynator przedmiotu Termin i miejsce odbywania zajęć Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Imię i nazwisko Prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk Kontakt wlkzxa@math.uni.lodz.pl Forma zajęć Miejsce realizacji Termin realizacji i konwersatorium Zajęcia w pomieszczeniu dydaktycznym Instytutu Nauk Ekonomicznych i Informatyki OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU Semestr letni Status przedmiotu/przynależność do modułu Język wykładowy Moduł treści podstawowych Przedmiot obowiązkowy Polski Semestry, na których realizowany jest przedmiot II Wymagania wstępne Student powinien posiadać wiedzę dotyczącą AM1_M Formy zajęć Liczba godzin FORMY, SPOSOBY I METODY PROWADZENIA ZAJĘĆ ćwiczenia lektorat rok Sem estr Sposób realizacji zajęć Sposób zaliczenia zajęć Metody dydaktyczne konwersato rium seminariu m ZP PZ Samokszt ałcenie- ZBUN r s r s r s r s r S r s R S Zajęcia konwersatoryjne w grupach osobowych, 2 godziny tygodniowo wykładu, 2 godziny tygodniowo konwersatorium. egzamin ustny Konwersatorium - kolokwia 1. wykład, analiza tekstu z dyskusją. Przedstawione są zagadnienia teoretyczne - twierdzenia, definicje, ilustrujące przykłady, stawiane są i rozwiązywane problemy, prezentowane są idee i możliwości stosowań, prezentowany jest rys historyczny oraz wskazywane są kontynuacje oraz związki z innymi działami matematyki. 2. Konwersatorium pogadanka, własna działalność, zadania do

2 Przedmioty powiązane/moduł Wykaz literatury Podstawowa Uzupełni ająca rozwiązania. Analizowane są zadania ilustrujące materiał teoretyczny zaprezentowany na wykładzie, konwersatorium prowadzone jest w formie pogadanki i ogólnej dyskusji. [1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa, [2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II, PWN, Warszawa, [3] G. N. Berman, A problem book in mathematical analysis, [4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna, Wydaw. UJ, [1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I-III, PWN, W-wa, [2] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin, [3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, W-wa, [4] W. I. Smirnow, Matematyka wyższa, PWN, Warszawa, [5] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa, [6] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium. PWN, Warszawa [7] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Całki. Metody rozwiązywania zadań. PWN, Warszawa CELE, TREŚCI I EFEKTY KSZTAŁCENIA Cele przedmiotu (ogólne, szczegółowe) C1 Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi granic funkcji, ciągłości funkcji i jednostajnej ciągłości funkcji (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C2 Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi różniczkowalności funkcji, wyznaczania ekstremów funkcji różniczkowalnych i badania funkcji różniczkowalnych (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C3 Zaznajomienie studenta z funkcjami n-krotnie różniczkowalnymi, ich własnościami i twierdzeniami o wartości średniej (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C4 Zaznajomienie studenta z całkowalnością funkcji. C5 Zaznajomienie studenta z zastosowaniami rachunku całkowego (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). Efekty kształceni a (kody) Forma zajęć Treści programowe Temat Granica i ciągłość funkcji (w przestrzeniach metrycznych) Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji - ich równoważność. Jedyność granicy funkcji. Działania na granicach. Ciągłość funkcji w punkcie i na zbiorze (każda funkcja określona na zbiorze E jest ciągła w każdym punkcie izolowanym tego zbioru). Jeśli odwzorowanie f zbioru E w R (E otwarty podzbiór przestrzeni metrycznej X) jest ciągłe w punkcie p zbioru E i f(p)=α>0 (<0), to istnieje otoczenie punktu p, w którym funkcja f jest dodatnia (ujemna). Superpozycja funkcji i ciągłość superpozycji funkcji ciągłych. Odwzorowanie f przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X. Definicja odwzorowania ograniczonego. Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym. (Weierstrass) Funkcja rzeczywista, ciągła na zbiorze zwartym, osiąga swoje kresy. Odwzorowanie odwrotne. Jeśli f jest ciągłym 1-1 odzorowaniem zwartej przestrzeni metrycznej X na przestrzeń metryczną Y, to odwzorowanie odwrotne f -1 jest ciągłym odzwzorowaniem Y na X. Homeomorfizm. Metryka jest funkcją ciągłą. Odzwzorowanie zwężające. Punkt stały. Zasada kontrakcji Banacha (proste zastosowania). Ciągłość jednostajna. Funkcja jednostajnie ciągła na X jest ciągła na X. Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej X jest jednostajnie ciągła na X. Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest zbiorem Liczba godzin

3 , W2,W4 -W4 spójnym. Własność Darboux dla funkcji rzeczywistej ciągłej na przedziale <a,b>. Granice jednostronne. Nieciągłości I i II rodzaju. Istnienie granic jednostronnych funkcji monotonicznych. Zbiór punktów nieciągłości funkcji monotonicznej jest co najwyżej przeliczalny. Jeśli f jest funk-cją rzeczywistą, ciągłą i ściśle monotoniczną na (a,b), to funkcja odwrotna f -1 jest ciągła na f((a,b)). Ciągłość funkcji elementarnych i odwrotnych do nich. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej. Pewne uwagi o różniczkowaniu funkcji wektorowej Pochodna. Różniczkowalność a ciągłość. Działania na funkcjach a pochodne. Różniczkowalność funkcji odwrotnej. Pochodne podstawowych funkcji elementarnych i odwrotnych do nich. Maksima i minima lokalne. Lemat Fermata (war. konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a o wartości średniej (wnioski). Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej (pierwszy). Uogólnione twierdzenie (Cauchy'ego) o wartości średniej. Symbole nieoznaczone. Reguły de l'hospitala. Różniczka. Definicje funkcji (różniczkowalnych) wypukłych i wklęsłych. Punkt przegięcia funkcji. Warunki wypukłości i wklęsłości. Warunek konieczny i warunek dostateczny (pierwszy) istnienia punktu przegięcia. Asymptoty. Wzór Taylora (Maclaurina) z resztami Lagrange'a i Cauchy'ego. Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n-krotnie różniczkowalnej (drugi). Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia (drugi). Wzory Taylora (Maclaurina) dla funkcji elementarnych. Analogony twierdzeń o wartościach średnich Lagrange'a i Cauchy'ego dla odwzorowań f określonych na przedziale <a,b> o wartościach w R k. Własność Darboux dla pochodnej funkcji różniczkowalnej. Badanie zmienności krzywych określonych parametrycznie lub w postaci biegunowej. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Całka Riemanna funkcji rzeczywistej Funkcja pierwotna F funkcji f przekształcającej I w R, I - przedział w R. F=F 0 +C. Funkcja ciągła na I ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całka oznaczona - wzór na wartość średnią, całkowanie przez części i przez podstawienie, własności, przypadek odwzorowań o wartościach w R k i w C. Całka funkcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograni-czonym oraz jej aproksymacja sumami Riemanna. Całka Riemanna - podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Zastosowania całki oznaczonej: krzywa prostowalna i jej długość; obliczania pola zbioru płaskiego; punkty osobliwe funkcji i całka niewłaściwa, pole powierzchni i objętość brył obrotowych. Funkcje o wahaniu ograniczonym (informacyjnie). Twierdzenie Cauchy-Maclaurina (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych). K_U01- K_U04 Konwersatorium Granica i ciągłość funkcji (w przestrzeniach metrycznych) Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji - ich równoważność. Jedyność granicy funkcji. Działania na granicach. Ciągłość funkcji w punkcie i na zbiorze (każda funkcja określona na zbiorze E jest ciągła w każdym punkcie izolowanym tego zbioru). Jeśli odwzorowanie f zbioru E w R (E otwarty podzbiór przestrzeni metrycznej X) jest ciągłe w punkcie p zbioru E i f(p)=α>0 (<0), to istnieje otoczenie punktu p, w którym funkcja f jest dodatnia (ujemna). Superpozycja funkcji i ciągłość superpozycji funkcji ciągłych. Odwzorowanie f przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X. Definicja odwzorowania ograniczonego. Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym. (Weierstrass) Funkcja rzeczywista, ciągła na zbiorze zwartym, osiąga swoje kresy. Odwzorowanie odwrotne. Jeśli f jest ciągłym 1-1 odzorowaniem zwartej przestrzeni metrycznej X na przestrzeń metryczną Y, to

4 , W2 Konwersatorium odwzorowanie odwrotne f -1 jest ciągłym odzwzorowaniem Y na X. Homeomorfizm. Metryka jest funkcją ciągłą. Odzwzorowanie zwężające. Punkt stały. Zasada kontrakcji Banacha (proste zastosowania). Ciągłość jednostajna. Funkcja jednostajnie ciągła na X jest ciągła na X. Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej X jest jednostajnie ciągła na X. Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest zbiorem spójnym. Własność Darboux dla funkcji rzeczywistej ciągłej na przedziale <a,b>. Granice jednostronne. Nieciągłości I i II rodzaju. Istnienie granic jednostronnych funkcji monotonicznych. Zbiór punktów nieciągłości funkcji monotonicznej jest co najwyżej przeliczalny. Jeśli f jest funk-cją rzeczywistą, ciągłą i ściśle monotoniczną na (a,b), to funkcja odwrotna f -1 jest ciągła na f((a,b)). Ciągłość funkcji elementarnych i odwrotnych do nich. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Pewne uwagi o różniczkowaniu funkcji wektorowej Pochodna. Różniczkowalność a ciągłość. Działania na funkcjach a pochodne. Różniczkowalność funkcji odwrotnej. Pochodne podstawowych funkcji elementarnych i odwrotnych do nich. Maksima i minima lokalne. Lemat Fermata (war. konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a o wartości średniej (wnioski). Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej (pierwszy). Uogólnione twierdzenie (Cauchy'ego) o wartości średniej. Symbole nieoznaczone. Reguły de l'hospitala. Różniczka. Definicje funkcji (różniczkowalnych) wypukłych i wklęsłych. Punkt przegięcia funkcji. Warunki wypukłości i wklęsłości. Warunek konieczny i warunek dostateczny (pierwszy) istnienia punktu przegięcia. Asymptoty. Wzór Taylora (Maclaurina) z resztami Lagrange'a i Cauchy'ego. Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n-krotnie różniczkowalnej (drugi). Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia (drugi). Wzory Taylora (Maclaurina) dla funkcji elementarnych. Analogony twierdzeń o wartościach średnich Lagrange'a i Cauchy'ego dla odwzorowań f określonych na przedziale <a,b> o wartościach w R k. Własność Darboux dla pochodnej funkcji różniczkowalnej. Badanie zmienności krzywych określonych parametrycznie lub w postaci biegunowej. K_U06, K_U23 Konwersatorium Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Całka Riemanna funkcji rzeczywistej Funkcja pierwotna F funkcji f przekształcającej I w R, I - przedział w R. F=F 0 +C. Funkcja ciągła na I ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całka oznaczona - wzór na wartość średnią, całkowanie przez części i przez podstawienie, własności, przypadek odwzorowań o wartościach w R k i w C. Całka funkcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograni-czonym oraz jej aproksymacja sumami Riemanna. Całka Riemanna - podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Zastosowania całki oznaczonej: krzywa prostowalna i jej długość; obliczania pola zbioru płaskiego; punkty osobliwe funkcji i całka niewłaściwa, pole powierzchni i objętość brył obrotowych. Funkcje o wahaniu ograniczonym (informacyjnie). Twierdzenie Cauchy-Maclaurina (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych). Efekty kształcenia Kod Student, który zaliczył przedmiot Odniesienie do efektów kształcenia w zakresie WIEDZY dla kierunku Student zna zagadnienia związane z granicami funkcji, ciągłością funkcji i jednostajną ciągłością funkcji. K_W01-K_W05_ W2 Student zna zagadnienia związane z różniczkowalnością funkcji. K_W01-K_W07 W3 Student zna zagadnienia związane z całkowalnością funkcji K_W01-K_W07

5 W4 U1 U2 U3. Student zna zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego funkcji. w zakresie UMIEJĘTNOŚCI Student potrafi wyznaczać granice funkcji, potrafi badać ciągłość funkcji i potrafi badać ciągłość jednostajną funkcji. Student potrafi wyznaczać pochodne funkcji i potrafi badać funkcje. Student potrafi wyznaczać całki funkcji. K_W01-K_W07 K_U12 K_U12 K_U12- K_U14 U4 Student potrafi stosować rachunek całkowy. K-U12- K_U15 K1 Efekty kształceni a (kody) w zakresie KOMPETENCJI Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień dotyczących teorii funkcji, różniczkowalności funkcji, całkowalności funkcji oraz różnorodnych zastosowań. Egzamin ustny W2 W3 W4 Metody weryfikacji efektów kształcenia Egzamin pisemny Projekt Kolokwium U1 U2 U3 U4 K1 Punkty ECTS Sprawozdanie Referat/ prezentacja K_K01-K_K07 Obciążenie studenta Forma aktywności Liczba punktów Liczba godzin ECTS Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim, w tym: wykłady 30 1,2 konwersatoria 30 1,2 Ćwiczenia Konsultacje przedmiotowe w ramach wykładów Konsultacje przedmiotowe w ramach konwersatorium/ćwiczeń 30 1,2 Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim 90 3,6 Godziny bez udziału nauczyciela akademickiego wynikające z nakładu pracy studenta, w tym: Przygotowanie się do egzaminu + zdawanie egzaminu 35 1,4 Przygotowanie się do kolokwium zaliczeniowego 30 1,2 Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach wykładów Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach konwersatorium/ćwiczeń 20 0,8 Przygotowanie raportu, projektu, prezentacji, dyskusji Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z samodzielnej pracy studenta 85 3,4 Sumaryczna liczba godzin/punktów ECTS dla przedmiotu wynikająca z całego nakładu pracy studenta Odsetek godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim 51% 51% Inne