PODSTAWY MORSKIEJ NAWIGACJI INERCYJNEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY MORSKIEJ NAWIGACJI INERCYJNEJ"

Transkrypt

1 AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Maciej Gucma Jakub Montewka PODSTAWY MORSKIEJ NAWIGACJI INERCYJNEJ q, M Szczecin

2 AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Maciej Gucma Jakub Montewka PODSTAWY MORSKIEJ NAWIGACJI INERCYJNEJ Szczecin

3 Autorzy: Jakub Montewka: część I Maciej Gucma: część II REDAKCJA NACZELNA Redaktor naczelny prof. dr hab. inż. Bernard Wiśniewski Komitet Naukowy prof. dr hab. inż. Bernard Wiśniewski dr hab. inż. Zbigniew Matuszak, prof. AM Komitet Wydawnictw Dydaktycznych dr inż. kpt. ż.w. Jerzy Hajduk, prof. AM dr hab. inż. Ruta Leśmian-Kordas, prof. AM dr hab. inż. Jerzy Listewnik, prof. AM RECENZENT dr hab. inż. Cezary Specht, prof. AMW REDAKTOR MERYTORYCZNY dr inż. kpt. ż.w. Jerzy Hajduk, prof. AM Copyright by Akademia Morska, Szczecin 2006 ISBN X ISBN

4 Spis treści Wstęp. 5 Część I Nawigacja inercyjna Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części I. 9 Wprowadzenie Układy odniesienia w nawigacji inercyjnej Układ inercyjny Układ geograficzny Układ geocentryczny Układ geodezyjny Układ związany z obiektem Transformacja wektora położenia do wybranego układu odniesienia Klasyfikacja układów nawigacji inercyjnej Układy kardanowe Układy bezkardanowe Systemy nawigacji inercyjnej INS Inertial Navigation Systems Wyznaczanie przemieszczenia obiektu w systemach nawigacji inercyjnej Określanie pozycji w systemach nawigacji inercyjnej Ustawianie położenia początkowego Zalety i wady układów nawigacji inercyjnej 36 Część II Budowa i dokładność sensorów inercyjnych Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części II 39 Wprowadzenie Budowa żyroskopów Żyroskopy mechaniczne i MEMS Żyroskopy piezoelektryczne (ceramiczne)

5 6.3. Żyroskopy FOG Żyroskopy RLG Budowa akcelerometrów Dokładność sensorów inercyjnych Dokładność żyroskopów Dokładność akcelerometrów Dokładność systemu INS Procesy stochastyczne w modelowaniu błędów INS Gaussowski biały szum Losowy bias Random Walk Procesy Markowa Możliwe kombinacje procesów losowych w systemach inercyjnych Analiza Fourierowska i falkowa w zastosowaniach nawigacji inercyjnej Filtracja Kalmana Literatura.. 79 Spis rysunków

6 Wstęp W nawigacji morskiej zachodzi konieczność estymacji wektora stanu, na elementy którego składają się między innymi przyspieszenie liniowe oraz prędkość kątowa badanego obiektu. Wartości te można mierzyć w sposób bezpośredni, używając wyspecjalizowanych urządzeń, takich jak akcelerometry i żyroskopy, które zwyczajowo należą do grupy urządzeń nawigacji inercyjnej. Dziedzina ta w zastosowaniach morskich, domyślnie zarezerwowana dla celów militarnych, zdobywa coraz większą popularność na gruncie użytkowników cywilnych. Przyczyną tego stanu rzeczy jest zarówno konieczność wspomagania działania systemów pozycjonowania, jak i znaczny wzrost prędkości obliczeniowej komputerów oraz opracowanie nowych, znacznie tańszych technologii wytwarzania czujników inercyjnych. Oddana do rąk czytelnika książka swoim zakresem obejmuje takie współczesne zagadnienia nawigacji inercyjnej jak: opis teoretyczny układów odniesień mających zastosowanie w nawigacji inercyjnej, klasyfikacja układów nawigacji inercyjnej, ogólne zasady transformacji informacji pochodzącej z układów inercyjnych, zasady działania i budowa żyrokompasów nawigacyjnych, funkcjonowanie i konstrukcja akcelerometrów, opis czynników wpływających na dokładność pracy układów inercyjnych. Zagadnienia poruszane w niniejszej publikacji stanowią jedynie wstęp do konstrukcji i funkcjonowania układów inercyjnych w zastosowaniach cywilnych. Jednym z czynników mających wpływ na powstanie tego opracowania jest brak aktualnej literatury tematu w języku polskim, pomimo tak burzliwego w ostatnich latach rozwoju opisywanej dziedziny. Nowo budowane statki wyposażane są w różnego typu układy nawigacji inercyjnej, stąd przekonanie autorów, iż w niedalekiej przyszłości znajomość funkcjonowania takich układów i systemów stanie się wymogiem. Dodatkowym elementem, jaki znalazł swoje miejsce w książce, są przykładowe ceny modułów nawigacji inercyjnej. Pomimo wyjątkowo szybkiej dezaktualizacji tego typu informacji, wydaje się, iż dla celów porównawczych umieszczenie jej jest uzasadnione. Książka zawiera zagadnienia teorii i praktyki nawigacji technicznej, a przeznaczona jest w szczególności dla: 5

7 pracowników naukowych, zajmujących się problematyką nawigacji technicznej; studentów uczelni morskich ze specjalności: nawigacja morska, połowy morskie, inżynieria ruchu morskiego, hydrografia morska; osób zawodowo zajmujących się implementacją systemów elektronicznych na jednostkach pływających. Autorzy mają nadzieję, że użytkownik odnajdzie w publikacji poszukiwane informacje, a dobór literatury pozwoli na bezpośrednie odniesienie do źródeł. Wyrażamy jednocześnie przekonanie, że wszelkie niedoskonałości, braki oraz niespójności tego opracowania zostaną wykryte przez czytelnika, a wiedzą tą podzieli się z autorami, do czego zachęcamy. Dziękujemy Panu Profesorowi Cezaremu Spechtowi za wnikliwą recenzję i bezcenne uwagi merytoryczne, bez których powstanie tego opracowania byłoby niemożliwe. Pragniemy podziękować wszystkim, którzy w sposób bezpośredni przyczynili się do powstania tej publikacji, a w szczególności: dr Januszowi Chrzanowskiemu za wstępną recenzję, dr hab. inż. Lucjanowi Gucmie za rady merytoryczne i leksykalne, dr inż. Pawłowi Zalewskiemu za skierowanie naszej uwagi na problemy nawigacji inercyjnej, naukowcom z Wydziału Inżynierii Geomatycznej Uniwersytetu w Calgary za pomoc w zdobyciu materiałów. Autorzy Maciej Gucma Jakub Montewka Dedykujemy tę książkę naszym Ojcom. 6

8 Część I Nawigacja inercyjna 7

9 8

10 Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części I r wektor położenia w układzie geocentrycznym; b C macierz cosinusów kierunkowych (DCM), transformująca i wektor położenia z układu b związanego z obiektem (indeks górny) do układu i inercyjnego (indeks dolny); cos(θ xr ) cosinus kierunkowy kąta pomiędzy osią x układu i a osią R układu b; μ x, μ y, μ z składowe wektora obrotu μ; μ wartość kąta obrotu układu; n wektor trójelementowy prędkości kątowej obiektu w układzie ω m geograficznym względem układu inercyjnego; λ długość względem południka niebieskiego; a r przyspieszenie ciała; F r siła oddziałująca na ciało o masie m; m masa ciała; a x, a y, a z przyspieszenia składowe obiektu względem osi: x, y, z; V x, V y, V z składowe prędkości liniowej obiektu względem osi: x, y, z; x(t), y(t), z(t) przebyta droga obiektu względem osi: x, y, z; dt przedział czasu, w którym następuje rejestracja wartości przyspieszeń (granice całkowania); v x, v y, v z składowe wektora prędkości względem osi: x, y, z; i 1, 2, 3,, n; Δt przedział czasu określający częstotliwość próbkowania Δt = t i t 0. 9

11 10

12 Wprowadzenie Podstawowym zadaniem nawigacji jest wyznaczenie pozycji geograficznej obiektu przemieszczającego się w przestrzeni trójwymiarowej (3D ang. three dimensional), w celu bezpiecznego doprowadzenia go do punktu docelowego, z założoną dokładnością i we właściwym czasie. Zadanie to rozwiązywane jest metodami autonomicznymi przy zastosowaniu różnego rodzaju pokładowych urządzeń oraz systemów pomiarowych. Pierwszymi wykorzystywanymi do tego celu urządzeniami były kompasy magnetyczne, logi, sekstanty oraz żyrokompasy. Urządzenia te umożliwiają wyznaczenie pozycji obiektu na podstawie pomiaru natężenia pola magnetycznego Ziemi, ciśnienia przepływu wody, położenia ciał niebieskich, czy stałych charakterystycznych obiektów na lądzie. W zależności od stosowanych urządzeń, nawigację można podzielić na następujące działy: nawigacja astronomiczna, astronawigacja jest to nawigacja oparta na obserwacji ciał niebieskich, przy dokładnej znajomości bieżącego czasu; nawigacja terrestryczna jest to nawigacja morska oparta na obserwacji znaków nawigacyjnych i innych charakterystycznych obiektów znajdujących się na wybrzeżu, możliwa na odległościach do około 20 mil morskich; nawigacja zliczeniowa jest to przybliżone określenie pozycji statku wodnego lub powietrznego na podstawie znajomości jego ostatniej zmierzonej pozycji oraz kierunku (kursu) i szybkości ruchu; nawigacja pilotowa jest to lokalna nawigacja wodna z uwzględnieniem znaków nawigacyjnych znajdujących się na danym akwenie i terenach okalających go, stosowana w otoczeniu portów, na prowadzących do nich torach wodnych oraz w innych oznakowanych miejscach trudnych nawigacyjnie (cieśniny, rafy, mielizny, zatopione wraki itp.); nawigacja radiowa, radionawigacja jest to nawigacja oparta o sygnały radiowe wysyłane przez specjalne nadajniki; nawigacja satelitarna, np.: GPS jest to nawigacja na podstawie sygnałów radiowych wysyłanych przez sztuczne satelity Ziemi; nawigacja meteorologiczna, meteonawigacja jest to nawigacja prowadzona dowolnymi metodami, a polegająca na prowadzeniu statku szlakiem najkorzystniejszych warunków meteorologicznych; nawigacja bezwładnościowa inercyjna. We współczesnych systemach nawigacji satelitarnej (GNSS z ang. Global Navigational Satellite System) rolę punktów odniesienia pełnią satelity, których położenie na orbicie w dowolnej chwili czasu uniwersalnego (UTC ang. 11

13 Universal Time Coordinated) względem Ziemi jest znane oraz systematycznie monitorowane. Wszystkie systemy nawigacyjne i związane z nimi instrumenty pomiarowe umożliwiają wyznaczenie pozycji obserwowanej. W nawigacji, oprócz pozycji obserwowanej, wykorzystuje się również pojęcie pozycji zliczonej i nawigacji zliczeniowej. Nawigacją zliczeniową nazywane są metody wyznaczania pozycji obiektu w danej chwili na podstawie ostatniej pozycji obserwowanej (pozycji o znanych współrzędnych), przebytej drogi obliczanej według wskazań przyrządów pokładowych oraz znanego kąta drogi. W żegludze morskiej nawigację zliczeniową stosowano od dawna, gdy niemożliwe było wyznaczenie pozycji obserwowanej. Zadaniem układów nawigacji zliczeniowej jest wyznaczenie przemieszczenia obiektu w nawigacyjnym układzie współrzędnych. Z reguły układem tym jest układ współrzędnych geograficznych. Przykładem układów nawigacji zliczeniowej są układy nawigacji inercyjnej, w których proces zliczenia prowadzony jest z wykorzystaniem czujników pomiarowych w postaci przyspieszeniomierzy oraz żyroskopów. Przyspieszeniomierze wyznaczają wartości przyspieszeń liniowych, natomiast żyroskopy służą do wyznaczania prędkości kątowych. Przyspieszeniomierze wyznaczają wartości przyspieszeń względnych, gdyż samodzielnie nie są w stanie uwzględnić oddziaływania sił pola grawitacyjnego Ziemi. Przyspieszeniomierz zamontowany na obiekcie umieszczonym na orbicie geostacjonarnej poruszałby się razem z Ziemią, jednak wyliczone wartości przyspieszenia oraz prędkości obiektu byłyby równe zeru. Chcąc wyznaczyć przyspieszenia rzeczywiste, wielkości otrzymane z pomiaru muszą zostać skorygowane w bloku obliczeniowym układu nawigacyjnego o wartość przyspieszenia ziemskiego. Żyroskopy natomiast, w zależności od zastosowanych rozwiązań sprzętowych, wyznaczają wartości prędkości kątowych lub kąty obrotu względem danej osi. Droga, jaką przebył obiekt, może być wyznaczona na podstawie całkowania prędkości liniowej lub dwukrotnego całkowania przyspieszenia obiektu względem czasu. Kąt orientacji przestrzennej (kurs) wyznaczany jest poprzez jednokrotne całkowanie prędkości kątowych obiektu względem czasu. Metody określania pozycji za pomocą urządzeń zawierających elementy pomiarowe, wykorzystujące zasady dynamiki Newtona, czyli przyspieszeniomierzy i żyroskopów, stanowią istotę nawigacji inercyjnej (bezwładnościowej). W chwili obecnej najczęściej spotykanymi w praktyce układami nawigacji zliczeniowej są układy nawigacji inercyjnej [19], wchodzące w skład systemów nawigacji inercyjnej. Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang. Inertial Navigation Systems) są: 12

14 blok pomiarowy (IMU ang. Inertial Measurement Unit), składający się z czujników: przyspieszeniomierzy (dwa lub więcej z reguły trzy czujniki) oraz żyroskopów (trzech lub więcej, z reguły stosowane są trzy), zamontowanych na wspólnej platformie; blok obliczeniowy, składający się z komputerów nawigacyjnych, których zadaniem jest modelowanie pola grawitacyjnego Ziemi, całkowanie sygnałów wyjściowych z IMU oraz wyznaczanie i kontrolowanie pozycji obiektu. Istnieje wiele modeli układów nawigacji inercyjnej, charakteryzujących się różnym stopniem skomplikowania, przyjętymi rozwiązaniami konstrukcyjnymi czy dokładnością, a co za tym idzie również i ceną. Jednak wszystkie te układy można podzielić na dwie podstawowe kategorie: układy kardanowe (ang. gimbaled), układy bezkardanowe (ang. strap-down). W rozdziale tym przedstawiona zostanie ogólna zasada działania oraz budowa układów inercyjnych. Przedstawione będą także podstawowe reguły matematyczne związane z wyznaczaniem położenia oraz parametrów ruchu obiektu za pomocą układów nawigacji inercyjnej. 1. Układy odniesienia w nawigacji inercyjnej W nawigacji inercyjnej obiekt traktowany jest jako punkt materialny poruszający się w nawigacyjnym układzie współrzędnych. Aby możliwe było wyznaczenie parametrów ruchu tego obiektu, jego położenia oraz ułożenia w przestrzeni wyrażonego we współrzędnych nawigacyjnych, niezbędne jest wyznaczenie układów odniesienia. Układem odniesienia nazywany jest punkt lub układ punktów w przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch) wybranego ciała. Wybrany punkt często wskazuje się poprzez wskazanie ciała, z którym związany jest układ współrzędnych. Wybór układu odniesienia jest warunkiem opisu ruchu lub spoczynku. Układ odniesienia można wybrać dowolnie, tak, by wygodnie opisać ruch. Z układem odniesienia związuje się zazwyczaj układ współrzędnych, z którym bywa czasami mylony [28]. Układem odniesienia w nawigacji inercyjnej jest trójwymiarowa przestrzeń wyznaczana przez układ trzech płaszczyzn. Wyróżnia się pięć zasadniczych układów odniesienia (ang. reference frames), z których cztery związane są z przestrzenią, a jeden z obiektem. Każdy z nich składa się z trzech płaszczyzn wzajemnie prostopadłych, prawoskrętnych, reprezentowanych przez trzy osie: x, y, z. Różnice pomiędzy układami odnoszą się do: 13

15 przyjmowanego modelu kształtu Ziemi (kula lub elipsoida), typu układu (kartezjański lub biegunowy), miejsca, w którym znajduje się środek układu (środek Ziemi lub lokalnie). W obliczeniach nawigacyjnych, w zależności od zastosowanego systemu nawigacji inercyjnej (analityczny, półanalityczny, bezkardanowy), przyjmowane są różne układy odniesienia dobierane w taki sposób, aby w konkretnych zastosowaniach zapewnić najbardziej wygodny i właściwy opis obserwowanych parametrów. Na rysunku 1 przedstawiono wykorzystane w nawigacji układy odniesienia oraz ich wzajemne relacje. Każdy z układów reprezentowany jest przez trzy odpowiednio oznakowane osie. Rys. 1. Układ płaszczyzn odniesienia: inercyjny (x, y, z); geograficzny (x e, y e, z e ); geocentryczny (x c, y c, z c ); geodezyjny (N, E, D) Źródło: [6] Układ inercyjny Układ inercyjny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: x, y, z i oznaczany wielką literą I, od angielskiego Inertial frame. Układ ten jest podstawowym układem odniesienia z początkiem w środku Ziemi. Sam układ pozostaje nieruchomy względem przestrzeni, co oznacza, że w stosunku do gwiazd nie wykonuje ruchu obrotowego. Osie x, y leżą w płaszczyźnie równika, natomiast oś z pokrywa się z osią obrotu Ziemi. 14

16 1.2. Układ geograficzny Układ geograficzny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: x e, y e, z e i oznaczany wielką literą E, od angielskiego Earth frame. W układzie tym Ziemia ma kształt kuli, więc odległość obiektu znajdującego się na jej powierzchni od środka Ziemi jest stała. Osie główne układu leżą na kierunkach: północnym, wschodnim oraz wzdłuż wektora prostopadłego do powierzchni Ziemi. Układ geograficzny jest układem biegunowym, którego naturalnym środkiem jest środek Ziemi. Współrzędne obiektu wyznaczane są poprzez: długość geograficzną λ g, szerokość geograficzną ϕ g, wysokość nad powierzchnią odniesienia h g Układ geocentryczny Układ geocentryczny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: x c, y c, z c i oznaczany wielką literą C. Według nomenklatury anglojęzycznej określany jest mianem geocentric frame. Układ ten aproksymuje kształt Ziemi elipsoidą obrotową. Jest to układ biegunowy z początkiem w środku ciężkości Ziemi. Oś z skierowana jest wzdłuż linii łączącej obiekt ze środkiem Ziemi, oś y skierowana jest na wschód, natomiast oś x leży w płaszczyźnie południka lokalnego. Położenie obiektu określane jest przez współrzędne geocentryczne: długość geocentryczną λ gc, szerokość geocentryczną ϕ gc, wektor odległości od środka Ziemi R gc. Ze względu na przyjęty model odwzorowania powierzchni Ziemi, odległość punktu od środka Ziemi zależy od pozycji tego punktu na elipsoidzie Układ geodezyjny Układ geodezyjny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: N, E, D i oznaczany wielką literą N. Według nomenklatury anglojęzycznej określany jest mianem geografic frame. Podobnie jak w przypadku układu geocentrycznego, układ geodezyjny aproksymuje kształt Ziemi elipsoidą obrotową i również jest to układ biegunowy. Układy geodezyjny i geocentryczny różnią się natomiast położeniem środka układu, gdyż środek układu geodezyjnego znajduje się na przecięciu płaszczyzny równikowej z linią prostopadłą do elipsoidy w punkcie pomiarowym. 15

17 Parametry określające pozycję w tym układzie to: długość geodezyjna λ c, szerokość geodezyjna ϕ c, wektor odległości od środka układu R c Układ związany z obiektem Układ związany z obiektem opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: R, P, Y i oznaczany wielką literą B. Według nomenklatury anglojęzycznej układ określany jest mianem Body frame. W skład tego układu wchodzą trzy płaszczyzny reprezentowane przez trzy osie obrotu obiektu: kołysanie R (ang.: roll), kiwanie P (ang.: pitch), myszkowanie Y (ang.: yaw) (rys. 2). Początek układu znajduje się w środku ciężkości obiektu, układ jest kartezjański, prawoskrętny. W porównaniu z wcześniej przedstawionymi układami, ten jest odrębny, gdyż nie odnosi się do Ziemi. Trzy płaszczyzny układu związane z obiektem pozwalają jedynie na wyznaczenie położenia oraz ułożenia obiektu względem jego położenia początkowego. Wyznaczenie pozycji geograficznej w tym układzie nie jest możliwe. P R Rys. 2. Układ odniesienia związany z obiektem [R, P, Y] (body frame) Źródło: opracowanie własne. 2. Transformacja wektora położenia do wybranego układu odniesienia Wektor położenia obiektu w przestrzeni trójwymiarowej jest wektorem trójelementowym, a położenie punktu opisywane jest przez trzy współrzędne Y 16

18 (x, y, z). Jednak nie każdy wektor położenia umożliwia wyznaczenie pozycji geograficznej obiektu. Wektor położenia wyznaczony we współrzędnych lokalnych nie będzie zawierał informacji o pozycji geograficznej obiektu. Chcąc uzyskać taką informację należy przeprowadzić transformację wektora położenia do odpowiedniego układu odniesienia. Transformacja w układach nawigacji inercyjnej dokonywana jest w sposób ciągły przez komputer pokładowy. Algorytmy obliczeniowe oparte są przede wszystkim na rachunku macierzowym. Orientacja przestrzenna obiektu opisywana jest przez co najmniej trzy niezależne parametry. Najbardziej obrazowym opisem są kąty względnego obrotu rozpatrywanych układów współrzędnych. Jednym ze sposobów opisu i orientacji obiektu w przestrzeni jest macierz Cb cosinusów kierunkowych kątów obrotu wersorów * układu współrzędnych związanego z obiektem, do układu współrzędnych nawigacyjnych. W podrozdziałach przedstawione zostaną podstawy teoretyczne związane z problemem transformacji wektora położenia oraz przyjęte oznaczenia i nomenklatura dotycząca tego zagadnienia [6, 12]. Wektor Wektory opisujące położenia obiektu, jego prędkość liniową, kątową lub inne stany obiektu, oznaczane są pogrubioną, małą literą: Macierz kolumnowa r wektor położenia w układzie geocentrycznym. Wektor związany z danym układem odniesienia i opisywany przez współrzędne (x, y, z), można zapisać jako macierz jednokolumnową (column matrix CM). Indeks górny macierzy (i) wskazuje na typ układu odniesienia. W tym wypadku jest to układ inercyjny: * Wersor, inaczej wektor jednostkowy wersorem dla wektora a jest wektor a o tym samym kierunku i zwrocie, jednak długości 1. Wersory o kierunkach i zwrotach zgodnych z osiami prostokątnego układu współrzędnych OX, OY, OZ oznacza się tradycyjnie symbolami i, j, k. 17

19 r x i r = r y = rx ry rz {,, } (1.1) r z W przypadku zapisu macierzowego wektora położenia, indeks górny, informujący o typie układu jest pomijany. Poszczególne parametry wektora posiadają natomiast indeksy dolne, nomenklaturowo związane z danym układem. W wypadku inercyjnego układu odniesienia są to indeksy x, y, z. Inny typ zapisu (współrzędne wektora ujęte w klamrę) informuje, iż wektor odnosi się do układu inercyjnego. Transformacja współrzędnych Wektor położenia obiektu w danym układzie współrzędnych, zapisany w formie macierzy kolumnowej może być transformowany do innego układu dzięki zastosowaniu macierzy cosinusów kierunkowych (direction cosine matrix DCM). W poniższym przykładzie dokonywana jest transformacja bezpośrednia z układu związanego z obiektem, reprezentowanego przez indeks b do układu inercyjnego indeks i: i b b r = C i r (1.2) gdzie: C macierz cosinusów kierunkowych (DCM), transformująca wektor b i położenia z układu b związanego z obiektem (indeks górny) do układu i inercyjnego (indeks dolny). W celu wyznaczenia pozycji geograficznej można także dokonywać transformacji wielokrotnej, przechodząc pomiędzy kilkoma układami. W przykładzie transformowany jest wektor r b do wektora r i, przechodząc kolejno z układu związanego z obiektem do układu horyzontalnego (C n b ), a następnie z układu horyzontalnego do układu inercyjnego (C i n ): r = CCr (1.3) i n b b i n W przypadku transformacji macierzowych istotna jest kolejność wykonywania działań, gdyż iloczyn macierzowy nie jest przemienny W niektórych przypadkach zapis w odwrotnej kolejności może spowodować, iż działania będą niewykonalne: 18

20 CCr CCr (1.4) n b b b n b i n n i Macierz cosinusów kierunkowych definiowana jest jako tablica składająca się z dziewięciu wielkości, związanych ze sobą dodatkowymi zależnościami [19]: cos( θ xr ) cos( θ xp ) cos( θ xy ) b RPY C = = i C xyz cos( θ yr ) cos( θ yp ) cos( θ yy ) (1.5) cos( θ ) cos( ) cos( ) zr θ zp θ zy gdzie: b C macierz cosinusów kierunkowych (DCM), i cos( θ xr ) cosinus kierunkowy kąta pomiędzy osią x układu i a osią R układu b. W przypadku, gdy dwa rozpatrywane układy są wzajemnie prostopadłe, zachodzi zależność: i b b ( C ) T C = (1.6) Podstawową wadą opisu orientacji przestrzennej za pomocą macierzy cosinusów kierunkowych jest duża liczba parametrów i dodatkowych związków między nimi, co opóźnia obliczenia prowadzone w czasie rzeczywistym. Zyskującym ostatnio na popularności sposobem opisu transformacji współrzędnych w układach nawigacyjnych, umożliwiającym szybkie przeliczanie wektora stanu, jest rachunek oparty na kwaternionach, które traktowane są jako wielkości opisujące obrót układu o kąt μ. Wartości kwaternionu znajdują się zawsze w przedziale [ 1, 1], co znacznie ułatwia i przyspiesza obliczenia numeryczne. Ze względu na liniowość równań, brak funkcji trygonometrycznych i stosunkowo niewielką liczbę parametrów, zastosowanie ich w algorytmach obliczeniowych otwiera nowe możliwości rozwojowe urządzeń nawigacji inercyjnej. Kwaterniony są wielkościami definiowanymi przez cztery parametry: q 1, q 2, q 3, q 4, gdzie składowe: q 1, q 2, q 3 opisują położenie chwilowej osi obrotu układu, natomiast parametr q 4 określa wartość kąta obrotu. Składowe kwaternionu są do siebie wzajemnie prostopadłe, czyli spełniają warunek ortogonalności: i 19

21 q + q + q + q 1 (1.7) = Poniższe wzory prezentują podstawowe zależności między wielkością kwaterionu a położeniem układu: q q q q μx = μ μy = μ μz = μ = μ sin( ) 2 μ sin( ) 2 μ sin( ) 2 μ cos( ) 2 μx μ sin( ) μ 2 q1 μy μ sin( ) q 2 μ 2 q = = q μ μ 3 z sin( ) q 4 μ 2 μ cos( ) 2 (1.8) (1.9) μ= μ + μ + μ (1.10) x y z gdzie: μ x, μ y, μ z składowe wektora obrotu μ, μ wartość kąta obrotu układu. Prędkość kątowa Prędkość kątowa jednego układu względem innego wyrażana jest w formie macierzy kolumnowej. Indeks dolny macierzy informuje o kierunku obrotu układu: {,, } ω = ω ω ω (1.11) b ib R P Y 20

22 Powyższy zapis informuje o obrocie układu związanego z obiektem (b) względem układu inercyjnego (i) wyrażonego we współrzędnych układu b. Dzięki przedstawieniu prędkości kątowych w formie wektorowej, transformacja tych wielkości pomiędzy układami odniesienia dokonywana jest analogicznie jak w przypadku wektora położenia. ωib = ωin + ω nb (1.12) Zmiana kierunku obrotu układu skutkuje zmianą znaku wektora lub zmianą kolejności indeksów tego wektora: ω = ω (1.13) Transformacja wektora prędkości kątowej Transformacja wektora prędkości kątowej pomiędzy układami współrzędnych dokonywana jest w sposób analogiczny jak w przypadku wektora położenia. W celu uproszczenia obliczeń niezbędne jest ujęcie wektora ω w formie macierzy symetrycznej. Macierz taka opisywana jest symbolem Ω, gdzie oznaczenia indeksów pozostają bez zmian: ib bi b b ω Ω (1.14) ib ib ωr 0 ω Y ω P ω P ωy 0 ωr ω Y P R 0 ω ω (1.15) Poniższa zależność przedstawia transformację wektora prędkości kątowych obiektu wyrażonego w formie macierzy s y m e t r y c z n e j, przedstawionego b w układzie odniesienia związanym z obiektem ( Ω ib ) do układu inercyjnego i ( Ω ib ): i i b b Ω = C Ω C (1.16) Wielkości mierzone oraz wyliczane ib W celu uniknięcia pomyłek związanych z nomenklaturą, należy rozróżnić parametry bezpośrednio mierzone przez urządzenie oraz wielkości podawane jako wynik końcowy. Wartości mierzone bezpośrednio przez czujniki, takie jak b ib i 21

23 trójelementowy wektor prędkości kątowych, względem układu związanego z obiektem, podawane jako sygnał wyjścia z trójosiowego żyrokompasu, oznaczane są znakiem (~) np.: %ω : 22 b ib {,, } ω% = ω% ω% ω % (1.17) b ib R P Y Wielkości wyliczane przez urządzenie, na podstawie parametrów zmierzonych bezpośrednio przez czujniki oraz po uwzględnieniu problemów geometrycznych związanych z transformacją, oznaczane są symbolem (^) np.: ω : ˆ n in gdzie: ω ˆ n in λ & λ = L dl L & = dt ˆ& ˆ { ˆ ˆ & & λ λ ˆ } n ω ˆ in = cos L, L, sin L (1.18) wektor trójelementowy prędkości kątowej obiektu w układzie geograficznym, względem układu inercyjnego, długość względem południka niebieskiego, dλ pierwsza pochodna parametru λ względem czasu, dt długość geograficzna, pierwsza pochodna parametru L względem czasu. 3. Klasyfikacja układów nawigacji inercyjnej Systemy układów nawigacji inercyjnej można podzielić na dwie grupy według następującej systematyki [6, 19]: 1. Układy kardanowe: a) układy geometryczne, b) układy analityczne system INS stabilizowany przestrzennie (ang. SSINS Space Stabilized INS), c) układy półanalityczne system INS stabilizowany lokalnie (ang. LLINS Local Level INS), 2. Układy bezkardanowe system INS związany na stałe z układem (ang. SINS Strapdown INS) Układy kardanowe Układy kardanowe składają się z dwóch podstawowych elementów:

24 zewnętrznej ramki zbudowanej z trzech lub czterech pierścieni wzajemnie prostopadłych tworzących tzw. zawieszenie kardanowe; platformy czujników umieszczonej wewnątrz ramki, na której zamontowane są trzy przyspieszeniomierze oraz trzy żyroskopy. Charakterystyka zawieszenia kardanowego umożliwia utrzymanie platformy w stałym położeniu względem wybranego układu współrzędnych, bez względu na wychylenia obiektu we wszystkich trzech płaszczyznach. W układach kardanowych platforma zmienia położenie względem płaszczyzn obiektu, gdy ten wykonuje manewr. W grupie układów kardanowych można wydzielić dwie podgrupy: układy stabilizowane przestrzennie, gdzie platforma zachowuje stałe położenie względem przestrzeni; układy stabilizowane lokalnie, gdzie platforma czujników utrzymywana jest w zadanej płaszczyźnie lokalnej na podstawie informacji o kątach obrotu obiektu względem przestrzeni otrzymywanych z żyros-kopów. Układy te posiadają dodatkowo pętle sprzężenia zwrotnego z serwomechanizmem, który powoduje odchylenie platformy względem zawieszenia kardanowego oraz przestrzeni o kąt obrotu zarejes-trowany przez żyroskopy, jednocześnie utrzymując platformę w płaszczyźnie lokalnej. Układy kardanowe były pierwszymi układami nawigacji inercyjnej, powstały i rozwijały się w okresie, gdy przetwarzanie sygnałów z czujnika w czasie rzeczywistym, ze względu na niewielkie możliwości obliczeniowe ówczesnych maszyn cyfrowych, nie było jeszcze możliwe. Na rysunku 3 schematycznie przedstawiono kardanowy układ nawigacji inercyjnej. Rys. 3. Kardanowy układ nawigacji inercyjnej Źródło: [6]. 23

25 Układy geometryczne Elementami składowymi układów geometrycznych są dwie platformy, które w czasie ruchu obiektu zmieniają położenie zarówno względem siebie, jak i względem obiektu. Na jednej z platform umieszczone są żyroskopy, na drugiej przyspieszeniomierze. Płaszczyzna żyroskopów orientowana jest względem układu równikowego (inercyjnego, przestrzennego), natomiast płaszczyzna akcelerometrów względem lokalnego układu horyzontalnego. W układach geometrycznych, wpływ obrotu Ziemi oraz obiektu na płaszczyznę żyrokompasów i akcelerometrów jest kompensowany, dzięki czemu kąty, jakie tworzą ze sobą obie te płaszczyzny, odwzorowują szerokość oraz długość geograficzną pozycji, w której znajduje się obiekt. W układach analitycznych oraz półanalitycznych występuje tylko jedna platforma, na której umieszczone są żyroskopy oraz przyspieszeniomierze. Platforma ta zmienia swoją orientację przestrzenną względem obiektu. Układy różnią się ustawieniem platformy względem przestrzeni. Układy analityczne układy INS stabilizowane przestrzennie Osie czujników zamontowanych w układach stabilizowanych przestrzennie pozostają przez cały czas pracy zgodne z osiami układu inercyjnego. Oznacza to, że układ (platforma z czujnikami) utrzymuje stałe położenie względem przestrzeni, niezależnie od położenia i ułożenia obiektu. Każde odchylenie obiektu od osi układu inercyjnego, wyznaczone przez czujniki, kompensowane jest poprzez odpowiednie odchylenie platformy, tak aby osie główne układu wciąż pozostawały zgodne z osiami układu przestrzennego. Zasadę działania, na której opierają się układy analityczne, przedstawiono schematycznie na rys. 4. W punkcie startowym A, układ horyzontalny (D, E) oraz układ przestrzenny (Z i, X i ) są ze sobą zbieżne, co oznacza, że ich osie pokrywają się. W trakcie przemieszczania się obiektu do punktu B, układ lokalny wykonuje obrót względem układu przestrzennego. Zmierzona przez żyroskopy zmiana położenia obiektu względem układu przestrzennego powoduje obrót platformy o wartość kąta zarejestrowaną przez żyroskopy. W ten sposób położenie układu względem przestrzeni pozostaje niezmienne. Całkowanie przyspieszeń odbywa się w odniesieniu do układu przestrzennego, a otrzymane w ten sposób dane przeliczane są następnie do lokalnego układu odniesienia. Istotną wadą systemów inercyjnych stabilizowanych przestrzennie jest fakt, iż czujniki przyspieszeń oraz żyrokompasy poddawane są działaniu zmiennego pola grawitacyjnego. 24

26 Z i D X i Z i A E ds Z i D Δβ X i X i B E Δβ Rys. 4. System INS stabilizowany przestrzennie Źródło: [27]. Układy półanalityczne układy INS stabilizowane lokalnie Półanalityczne układy nawigacji inercyjnej charakteryzują się tym, że platforma, na której znajdują się żyroskopy i przyspieszeniomierze utrzymywana jest w płaszczyźnie horyzontu lokalnego [19]. Oznacza to, że względem układu przestrzennego platforma pozostaje w ciągłym ruchu. Na rysunku 5 przedstawiono schematycznie zasadę działania układów stabilizowanych lokalnie. Oś skrętu żyroskopu oraz oś czułości przyspieszeniomierza leżą w płaszczyźnie rysunku. Żyroskop zachowuje stałe położenie w przestrzeni, natomiast platforma z przyspieszeniomierzami, utrzymując stałe położenie względem układu lokalnego, zostaje odchylona od położenia poziomego o kąt β. Zaburzenie takie jest równoważne przemieszczeniu układu o odległość S wzdłuż powierzchni Ziemi. Całkowanie przyspieszeń oraz obliczenia nawigacyjne realizowane są w odniesieniu do układu lokalnego. Zaletą systemów inercyjnych stabilizowanych lokalnie jest względna prostota obliczeń, nie wymagająca transformacji współrzędnych z układu przestrzennego do układu lokalnego. Wadą natomiast są błędy systemów, występujące na dużych szerokościach geograficznych, szczególnie w rejonach podbiegunowych. 25

27 Z i D a X i Z i E Δβ A ds D X i a B E Δβ 3.2. Układy bezkardanowe Rys. 5. System INS stabilizowany lokalnie Źródło: opracowanie własne. Układy bezkardanowe nawigacji inercyjnej składają się z bloku czujników, czyli trzech przyspieszeniomierzy i trzech żyroskopów, zamocowanych nieruchomo względem obiektu oraz pokładowych komputerów nawigacyjnych [12]. Układy te, w porównaniu z układami kardanowymi, charakteryzują się prostszą budową, gdyż nie zawierają żadnych elementów ruchomych, konieczne jest natomiast stosowanie większych mocy obliczeniowych, aby z odpowiednią szybkością uzyskiwać na bieżąco pełne informacje nawigacyjne. Dodatkową funkcję pełnią komputery nawigacyjne, modelujące przestrzeń trójwymiarową oraz rozwiązujące równania dotyczące ruchu platformy we wszystkich sześciu stopniach swobody, w celu transformowania położenia obiektu do układu geograficznego. W układach kardanowych transformacja dokonywana była częściowo mechanicznie dzięki zastosowaniu zawieszenia kardanowego. W układach strap-down realizowane jest to poprzez modelowanie matematyczne, większe muszą być także zakresy pomiarowe zastosowanych czujników. Jednak wraz z rozwojem technik komputerowych oraz zwiększaniem możliwości obliczeniowych maszyn cyfrowych, układy bezkardanowe stopniowo zastępują układy kardanowe. Na rysunku 6 przedstawiono schemat pojedynczego układu bezkardanowego składającego się z bloku trzech akcelerometrów i trzech żyroskopów. Osie czujników zorientowane są zgodnie z osiami położenia obiektu, na którym układ jest zainstalowany. Pomiary przyspieszeń oraz 26

28 kierunku dokonywane są względem układu związanego z obiektem, natomiast parametry ruchu obiektu oraz jego położenie wyliczane są na bieżąco w komputerze pokładowym, poprzez transformację parametrów do układu geograficznego. Rys. 6. Bezkardanowy układ nawigacji inercyjnej typu strap-down Źródło: [12]. W układzie można wyróżnić dwa podstawowe tory: tor prędkości kątowych mierzonych przez żyroskopy, tor przyspieszeń mierzonych przez przyspieszeniomierze. W chwili obecnej systemy oparte na układach kardanowych ustępują miejsca systemom, w których zainstalowano układy typu strap down. Wskazywanymi w literaturze [12, 19] zaletami tych ostatnich są: prostota budowy, brak ruchomych elementów mechanicznych, mały pobór mocy, większa odporność na przeciążenia w porównaniu z układami kardanowymi, natychmiastowa gotowość do pracy. Wadą ich jest skomplikowany sposób oraz intensywność obliczeń numerycznych wykonywanych w czasie rzeczywistym, wymagające dużych mocy obliczeniowych. Jednak dzięki dynamicznemu rozwojowi technologii komputerowych oraz miniaturyzacji, wymagania sprzętowe nie są już przeszkodą w rozwoju tego rodzaju systemów. 4. Systemy nawigacji inercyjnej INS Inertial Navigation Systems Metody określania pozycji za pomocą urządzeń zawierających elementy pomiarowe, wykorzystujące zasady dynamiki Newtona, czyli 27

29 przyspieszeniomierzy i żyroskopów, stanowią istotę nawigacji inercyjnej, zwanej także nawigacją bezwładnościową. Działanie systemów inercyjnych opiera się na drugiej zasadzie dynamiki Newtona, według której przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do oddziałującej na to ciało siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała [6, 17, 21]: gdzie: a r przyspieszenie ciała, F r siła oddziałująca na ciało o masie m, m masa ciała. F a r r = (1.19) m W systemach nawigacji inercyjnej realizowany jest pomiar przyspieszeń oraz kątów obrotu w trzech płaszczyznach (x, y, z). Pomiar przyspieszeń dokonywany jest za pomocą urządzeń zwanych przyspieszeniomierzami (akcelerometrami), natomiast pomiaru kątów obrotu dokonują żyroskopy, zamontowane na pokładzie obiektu (statku, samolotu, samochodu). Na podstawie analizy danych pochodzących z pomiaru wartości sił oraz prędkości kątowych poruszającego się obiektu, system realizuje proces zliczenia, prowadzący do uzyskania pozycji geograficznej we współrzędnych geograficznych (ϕ, λ, h) Wyznaczanie przemieszczenia obiektu w systemach nawigacji inercyjnej Pomiar przyspieszeń liniowych oraz kątowych obiektu dokonywany jest zazwyczaj w lokalnym układzie odniesienia, natomiast wyznaczenie pozycji obiektu wymaga transformacji składowych przemieszczenia do układu nawigacyjnego, pozwalającej wyznaczyć pozycję geograficzną. Położenie obiektu, względem układu nawigacyjnego nazywane jest orientacją przestrzenną obiektu. Na podstawie pomiaru przyspieszenia obiektu obliczane jest jego przemieszczenie, natomiast kąty orientacji przestrzennej wyznaczane po jednokrotnym scałkowaniu prędkości kątowych, pozwalają na wyznaczenie kursu obiektu. Znajomość początkowej pozycji obserwowanej pozwala natomiast na bardzo dokładne wyznaczenie pozycji zliczonej obiektu w chwili t na podstawie obliczonych wartości przemieszczenia i kąta [6, 17, 21]. 28

30 Na rysunku 7 przedstawiono schematycznie zasadę wyznaczania parametrów wektora przemieszczenia obiektu w układzie trzech współrzędnych (x, y, z). a) b) Rys. 7. Zasada wyznaczania wektora przemieszczenia obiektu na podstawie całkowania składowych wektora przyspieszenia: a) wypadkowy wektor przyspieszenia obiektu, b) schemat bloków całkujących przyspieszenia Źródło: [19]. Na rysunku 7 a) literą a oznaczono wypadkowy wektor przyspieszenia obiektu. Wektor ten wyliczany jest na podstawie wskazań trzech akcelerometrów, których osie umieszczone są ortogonalnie, czyli wzajemnie prostopadle. Przyspieszeniomierze rejestrują wartości przyspieszeń składowych (ax, ay, az) względem osi układu lokalnego (x, y, z). W punkcie b) przedstawiono zasadę wyznaczania prędkości obiektu oraz przebytej przez obiekt drogi poprzez całkowanie przyspieszeń składowych. Matematyczne zasady wyznaczania parametrów ruchu obiektu przedstawiają wzory [6, 17]: 29

31 V X ( t) = x( t) = Y y( t) = t 0 V ( t) = z( t) = t 0 t t 0 V t 0 V ( t) = Z 0 a X Y X ( t) dt ( t) dt a ( t) dt Y V ( t) dt t 0 a Z Z ( t) dt V ( t) dt (1.20) (1.21) (1.22) gdzie: a x, a y, a z przyspieszenia składowe obiektu odpowiednio względem osi: x, y, z; V x, V y, V z składowe prędkości liniowej obiektu odpowiednio względem osi: x, y, z; x(t), y(t), z(t) przebyta droga obiektu odpowiednio względem osi: x, y, z; dt przedział czasu, w którym następuje rejestracja wartości przyspieszeń (granice całkowania) Określanie pozycji w systemach nawigacji inercyjnej Na podstawie wskazań instrumentów pokładowych, wchodzących w skład układu nawigacji inercyjnej, otrzymywane są następujące parametry [18, 21]: kierunek północny, wskazywany przez żyrokompas; wskazania wektorowego miernika prędkości kątowych; wskazania wektorowego miernika przyspieszeń; kierunek pionowy, wskazywany przez siłę grawitacyjną; wskazania zegara pokładowego. Na podstawie wymienionych parametrów, całkując zarejestrowane przyspieszenia, tworzony jest zbiór dyskretnych wartości składowych wektora prędkości w chwili t i : 30

32 v v v x y z ( ti ) = vx ( t0 + iδt) ( ti ) = v y ( t0 + iδt) ( t ) = v ( t + iδt) i z 0 (1.23) gdzie: v, v, v składowe wektora prędkości względem osi: x, y, z; x y z i 1, 2, 3,, n; t moment wyznaczenia ostatniej pozycji obserwowanej; t 0 i moment wyznaczenia pozycji zliczonej; Δ t przedział czasu określający częstotliwość próbkowania Δ t = t. i t 0 Na podstawie przedstawionych powyżej dyskretnych wartości poszczególnych składowych wektora prędkości, drogą interpolacji wyznaczane są funkcje vx ( t), v y ( t), vz ( t), ciągłe w przedziale czasowym t0 t ti = t0 + nδt. Znając wartości funkcji oraz współrzędne pozycji obserwowanej, x, y z, można wyznaczyć traktowane jako współrzędne początkowe ( ) 0 0, ( x 1, y1, z1 współrzędne pierwszej pozycji zliczonej ), które są równe: 0 x1 = x0 + y = y + z 1 1 = z t1 t0 t1 t0 t1 t0 v ( t) dt x v ( t) dt z y v ( t) dt (1.24) gdzie: t1 = t0 + nδ t. Na rysunku 8 przedstawiono schemat blokowy układu kardanowego nawigacji inercyjnej. Schemat ogólnie opisuje zasadę wyznaczania pozycji obiektu w tego typu układach. Gdzie: 31

33 1. Czujniki pomiarowe jest to zestaw trzech przyspieszeniomierzy oraz trzech żyroskopów umieszczonych w zawieszeniu kardanowym. Dane wyjściowe z tego bloku to przyspieszenia wzdłuż trzech osi wybranego układu odniesienia. 2. Blok czujników jest bezpośrednio sprzężony z serwomechanizmem zawieszenia kardanowego, utrzymującym platformę czujników w stałym położeniu. Informacje o kątach obrotu zarejestrowanych przez żyrokompasy przekazywane są do silników korygujących, które sterują odchyleniami platformy o wartość kąta uzyskaną z żyrokompasów. Serwomechanizm zawieszenia kardanowego Kompensacja błędów żyroskopów Model pola grawitacyjnego Ziemi Prędkość początkowa x (t 0 ) Pozycja początkowa x (t 0 ) Czujniki pomiarowe x 1 Kompensacja x 1 t błędów x 2 t x przyspieszen 2 x 3 t iomierzy 0 x 3 t 0 x 1 (t) ϕ x 2 (t) λ x 3 (t) h Rys. 8. Schemat blokowy układu wyznaczania pozycji w kardanowym układzie nawigacji inercyjnej Źródło: [12]. 3. Blok kompensacji błędów żyroskopów odpowiada za korektę sygnałów pochodzących z bloku czujników pomiarowych. Sygnały z żyroskopów korygowane są pod kątem wpływu ruchu obrotowego Ziemi, zmian położenia obiektu na wartości rejestrowane przez żyroskopy oraz typowych błędów żyrokompasów. 4. Blok kompensacji błędów przyspieszeniomierzy realizuje kompensacja błędów czujników oraz uwzględnienie wpływu pola grawitacyjnego Ziemi i przyspieszenia Coriollisa na wskazania czujników. 5. Model pola grawitacyjnego Ziemi to blok, który w sposób dynamiczny wyznacza wartości pola grawitacyjnego Ziemi w danej pozycji obiektu. Informacja o wartości pola jest na bieżąco przesyłana do bloku kompensacji błędów przyspieszeniomierzy. 6. W węzłach sumacyjnych następuje wyznaczanie wartości przyspieszeń skorygowanych, odnoszących się do geograficznego układu odniesienia. 32

34 7. Pierwszy blok całkujący przyspieszenia wylicza całki oznaczone z wartości przyspieszeń składowych względem czasu, dając w rezultacie prędkości składowe obiektu wzdłuż trzech osi układu. Podanie prędkości początkowej pozwala na wyliczenie prędkości bieżącej obiektu. 8. Drugi blok całkujący oblicza przebytą drogę na podstawie całkowania prędkości składowych względem czasu. Podanie pozycji początkowej pozwala na wyznaczenie przez układ pozycji bieżącej obiektu we współrzędnych geograficznych. Rysunek 9 przedstawia schemat blokowy układu wyznaczania pozycji dla bezkardanowego układu nawigacji inercyjnej. Najistotniejsze różnice pomiędzy blokami wyznaczania pozycji układów kardanowych a typu strap-down, wynikają z zamocowania czujników w stosunku do obiektu. W układach bezkardanowych czujniki są nieruchome względem obiektu, komputer natomiast rozwiązuje równania matematyczne opisujące ruch obiektu we wszystkich sześciu stopniach swobody, zastępując w tym zadaniu zawieszenie kardanowe. przyspieszenie względem układu związanego z obiektem przyspieszenie względem układu inercyjnego Przyspieszenie całkowite Prędkości Pozycja Kompensacja błędów akcelerometrów Transformacja przyspieszeń Kompensacja błędów żyroskopów Transformacja układów odniesienia Model pola grawitacyjnego Ziemi Prędkość zmiany położenia obiektu Położenie obiektu Rys. 9. Schemat blokowy układu wyznaczania pozycji w bezkardanowym układzie nawigacji inercyjnej Źródło: [12]. 1. Kompensacja błędów akcelerometrów to blok, który oprócz wymienionych już wcześniej błędów, dodatkowo uwzględnia błędy generowane wskutek dużych przeciążeń, jakim w układach strap-down poddawane są akcelerometry. Jednym ze źródeł błędów jest siła związana z przyspieszeniem poprzecznym względem osi czułości, oddziałująca na akcelerometry, zależna od szybkości zmiany położenia obiektu. W układach kardanowych, dzięki zastosowaniu zawieszenia kardanowego, akcelerometry były izolowane od tego rodzaju zakłóceń. 33

35 2. Transformacja przyspieszeń oraz transformacja układów odniesienia to bloki, które pełnią rolę analogiczną do roli bloku serwomechanizmu w układach kardanowych. W blokach tych następuje transformacja wektorów przyspieszeń oraz układów odniesienia z poziomu obiektu do wybranego poziomu lokalnego. Podobnie jak układy kardanowe, układy typu strap-down wymagają procedury inicjalizacji, czyli podania parametrów początkowych: prędkości oraz pozycji. Na przedstawionym schemacie bloki całkowania przyspieszeń domyślnie uwzględniają te procedury Ustawianie położenia początkowego Aby układ nawigacji zliczeniowej mógł rozpocząć pracę, wymagane jest podanie początkowych wartości parametrów nawigacyjnych. Układy nawigacji inercyjnej są pod tym względem układami specyficznymi, gdyż czujniki zamontowane są na obiekcie nie poruszającym się względem Ziemi, a na skutek jej obrotu dobowego poddawane są zmiennym warunkom pracy, przez co, pozostając nieruchome, zwracają pewną wartość przyspieszenia [6, 12, 19]. Dokładność, z jaką zostają wprowadzone parametry początkowe oraz uwzględnienie wpływu wspomnianych zmiennych warunków pracy układu, rzutuje znacząco na późniejsze wskazania całego układu. Wymagane parametry początkowe układu to: pozycja początkowa, prędkość początkowa, położenie początkowe. Wartości pozycji obiektu podawane są na podstawie informacji z zewnętrznych źródeł pozycjonowania, np.: z systemów GNSS. Wartość prędkości ustawiana jest jako zerowa w momencie, gdy obiekt nie porusza się. Ustawianie położenia układu nazywane jest poziomowaniem układu. Procedura wprowadzania parametrów początkowych w układach nawigacji inercyjnej nazywana jest wstępną orientacją układu nawigacyjnego [19]. Z punktu widzenia metodologicznego, procedura ta jest taka sama zarówno dla układów kardanowych, jak i bezkardanowych. Różnica pojawia się natomiast w rozwiązaniach technicznych. W przypadku układów kardanowych, podczas orientacji wstępnej następuje odpowiednie ustawienie platformy czujników, w układach bezkardanowych położenie startowe oraz wszystkie parametry potrzebne do zliczania pozycji wyliczane są przez komputer nawigacyjny. Przed przystąpieniem do orientacji dokonywana jest kalibracja czujników pomiarowych oraz uwzględniany jest wpływ m.in.: ruchu obiektu, temperatury oraz pola magnetycznego na wskazania przyspieszeniomierzy oraz żyroskopów. W trakcie przeprowadzania procedury orientacji wstępnej należy: 34

36 wykonać żyrokompasowanie układu, czyli określić kierunek północy rzeczywistej, a następnie zorientować platformę układu nawigacyjnego względem tego kierunku; wypoziomować układ, czyli ustawić platformę w płaszczyźnie równikowej lub horyzontu lokalnego (układy kardanowe), wyznaczyć położenie osi przyspieszeniomierzy względem horyzontalnego układu współrzędnych (układy bezkardanowe). Orientacja wstępna układu kardanowego polega na ustawieniu platformy czujników w położeniu zgodnym z płaszczyzną nawigacyjnego układu współrzędnych. Dla układu geograficznego będzie to płaszczyzna horyzontu lokalnego, zorientowana w kierunku północnym. Wartości wektorów przyspieszenia ziemskiego oraz prędkości kątowej obrotu Ziemi, dla tak zorientowanego układu powinny wynosić: g = [ 0,0, g] [ ϕ ϕ] ω 0 = Ω cos,0, Ω sin z z (1.25) gdzie: składowa x skierowana jest w stronę północy rzeczywistej, wektorów g i ω składowa y skierowana jest wzdłuż równoleżnika lokalnego, wektorów g i ω składowa z skierowana jest zgodnie z kierunkiem i zwrotem wektorów g i ω przyspieszenia ziemskiego. Niedokładność ustawienia platformy czujników wynika z odchylenia platformy od położenia nominalnego. Spowodowany tym błąd wskazań czujników może być skompensowany poprzez wprowadzenie macierzy obrotu P. Wskazania przyspieszeniomierzy oraz żyroskopów będą określone następującymi równaniami: a = Pg ω= Pω (1.26) gdzie: P macierz obrotu wynikająca z niedokładności ustawienia platformy. 0 35

37 Powyższe równania ilustrują fakt, iż podczas orientacji wstępnej układu czujniki przyspieszenia ziemskiego oraz prędkości kątowej obrotu Ziemi doprowadzone zostają do zadanego położenia w przestrzeni. W układach bezkardanowych realizowane jest to poprzez wyliczenie, a następnie uwzględnienie w czasie pracy układu macierzy poprawek P. W układach kardanowych odchylenie, powodujące błąd wskazań czujników, korygowane jest mechanicznie poprzez odpowiednie ustawienie platformy w przestrzeni. W tym przypadku wyznaczenie macierzy poprawek nie jest konieczne [12, 19]. 5. Zalety i wady układów nawigacji inercyjnej Jako zalety układów nawigacji inercyjnej można wymienić: całkowitą autonomiczność, czujniki pomiarowe znajdują się na obiekcie; brak promieniowania żadnej formy energii na zewnątrz, układ nie jest wrażliwy na zakłócenia zewnętrzne; wskazania parametrów ruchu obiektu oraz pozycji podawane są w sposób ciągły, niezależnie od miejsca położenia obiektu (m.in. w tunelach czy pod wodą); w celu wypracowania przez układ pozycji oraz parametrów ruchu obiektu nie jest wymagana informacja ze stacji naziemnych, a obszar działania systemów nawigacji inercyjnej jest praktycznie nieograniczony; jakość informacji nawigacyjnej jest niezależna od manewrów obiektu ruchomego; układ nawigacji inercyjnej dostarcza informacji o pozycji, prędkości, azymucie oraz pionie, układy inercyjne są najdokładniejszymi układami określającymi azymut oraz pion ziemski na obiekcie ruchomym. Wadami układów nawigacji inercyjnej są: spadek dokładności wyznaczenia pozycji oraz prędkości wraz z upływem czasu, nie ma tu znaczenia czy obiekt porusza się, czy nie; układy inercyjne wymagają czasochłonnej wstępnej kalibracji polegającej na ustawieniu kierunku oraz pionu; utrudnione jest poziomowanie układu inercyjnego na obiekcie ruchomym oraz dla szerokości geograficznych powyżej 75º [19]. 36

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016 Aplikacje Systemów Wbudowanych Nawigacja inercyjna Gdańsk, 2016 Klasyfikacja systemów inercyjnych 2 Nawigacja inercyjna Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang.

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku w poprzednim odcinku 1 Wzorce sekunda Aktualnie niepewność pomiaru czasu to 1s na 70mln lat!!! 2 Modele w fizyce Uproszczenie problemów Tworzenie prostych modeli, pojęć i operowanie nimi 3 Opis ruchu Opis

Bardziej szczegółowo

nawigację zliczeniową, która polega na określaniu pozycji na podstawie pomiaru przebytej drogi i jej kierunku.

nawigację zliczeniową, która polega na określaniu pozycji na podstawie pomiaru przebytej drogi i jej kierunku. 14 Nawigacja dla żeglarzy nawigację zliczeniową, która polega na określaniu pozycji na podstawie pomiaru przebytej drogi i jej kierunku. Rozwiązania drugiego problemu nawigacji, tj. wyznaczenia bezpiecznej

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

Dynamika: układy nieinercjalne

Dynamika: układy nieinercjalne Dynamika: układy nieinercjalne Spis treści 1 Układ inercjalny 2 Układy nieinercjalne 2.1 Opis ruchu 2.2 Prawa ruchu 2.3 Ruch poziomy 2.4 Równia 2.5 Spadek swobodny 3 Układy obracające się 3.1 Układ inercjalny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu: Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

PL B BUP 26/ WUP 04/07 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11) (13) B1

PL B BUP 26/ WUP 04/07 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11) (13) B1 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11)194002 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 340855 (22) Data zgłoszenia: 16.06.2000 (51) Int.Cl. G01B 7/14 (2006.01)

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym Ćwiczenie 11A Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym 11A.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu mierzy się przy pomocy wagi siłę elektrodynamiczną, działającą na odcinek przewodnika

Bardziej szczegółowo

CEL PRZEDMIOTU Ogólne zapoznanie z charakterem, istotą, przeznaczeniem i zróżnicowaniem okrętowych urządzeń nawigacyjnych

CEL PRZEDMIOTU Ogólne zapoznanie z charakterem, istotą, przeznaczeniem i zróżnicowaniem okrętowych urządzeń nawigacyjnych I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: URZĄDZENIA NAWIGACYJNE. Kod przedmiotu: Vn. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Wszystkie specjalności

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Sensory (czujniki)

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Sensory (czujniki) Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Sensory (czujniki) 1 Zestawienie najważniejszych wielkości pomiarowych w układach mechatronicznych Położenie (pozycja), przemieszczenie Prędkość liniowa,

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Pomiar rezystancji metodą techniczną

Pomiar rezystancji metodą techniczną Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja

Bardziej szczegółowo

Podstawy Nawigacji. Kierunki. Jednostki

Podstawy Nawigacji. Kierunki. Jednostki Podstawy Nawigacji Kierunki Jednostki Program wykładów: Istota, cele, zadania i rodzaje nawigacji. Podstawowe pojęcia i definicje z zakresu nawigacji. Morskie jednostki miar. Kierunki na morzu, rodzaje,

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników

Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników 1. Podstawowe pojęcia związane z niewyważeniem Stan niewyważenia stan wirnika określony takim rozkładem masy, który w czasie wirowania wywołuje

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia

Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 12, pokój 04 Spis treści Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU C10

I. KARTA PRZEDMIOTU C10 I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: AUTOMATYZACJA NAWIGACJI. Kod przedmiotu:. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Nawigacja morska

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. NAWIGACJA MORSKA, WSPÓŁRZĘDNE GEOGRAFICZNE, ZBOCZENIE NAWIGACYJNE. KIERUNEK NA MORZU.

ROZDZIAŁ 1. NAWIGACJA MORSKA, WSPÓŁRZĘDNE GEOGRAFICZNE, ZBOCZENIE NAWIGACYJNE. KIERUNEK NA MORZU. SPIS TREŚCI Przedmowa ROZDZIAŁ 1. NAWIGACJA MORSKA, WSPÓŁRZĘDNE GEOGRAFICZNE, ZBOCZENIE NAWIGACYJNE. KIERUNEK NA MORZU. 1.1. Szerokość i długość geograficzna. Różnica długości. Różnica szerokości. 1.1.1.

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-15

Ć W I C Z E N I E N R E-15 NSTYTUT FZYK WYDZAŁ NŻYNER PRODUKCJ TECNOLOG MATERAŁÓW POLTECNKA CZĘSTOCOWSKA PRACOWNA ELEKTRYCZNOŚC MAGNETYZMU Ć W C Z E N E N R E-15 WYZNACZANE SKŁADOWEJ POZOMEJ NATĘŻENA POLA MAGNETYCZNEGO ZEM METODĄ

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ Mgr inż. Kamil DZIĘGIELEWSKI Wojskowa Akademia Techniczna DOI: 10.17814/mechanik.2015.7.232 MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ Streszczenie: W niniejszym referacie zaprezentowano stanowisko

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA czyli opis ruchu. Marian Talar

KINEMATYKA czyli opis ruchu. Marian Talar KINEMATYKA czyli opis ruchu 1 października 2006 2 Kinematyka czyli opis ruchu 1 Podstawowe pojęcia Kinematyka jest działem fizyki, który zajmuje się tylko opisem ruchu ciał. W ruchu postępowym ciało zastępuje

Bardziej szczegółowo

Sensory i systemy pomiarowe Prezentacja Projektu SYNERIFT. Michał Stempkowski Tomasz Tworek AiR semestr letni 2013-2014

Sensory i systemy pomiarowe Prezentacja Projektu SYNERIFT. Michał Stempkowski Tomasz Tworek AiR semestr letni 2013-2014 Sensory i systemy pomiarowe Prezentacja Projektu SYNERIFT Michał Stempkowski Tomasz Tworek AiR semestr letni 2013-2014 SYNERIFT Tylne koła napędzane silnikiem spalinowym (2T typu pocket bike ) Przednie

Bardziej szczegółowo

Kalibracja kamery. Kalibracja kamery

Kalibracja kamery. Kalibracja kamery Cel kalibracji Celem kalibracji jest wyznaczenie parametrów określających zaleŝności między układem podstawowym a układem związanym z kamerą, które występują łącznie z transformacją perspektywy oraz parametrów

Bardziej szczegółowo

Miarą oddziaływania jest siła. (tzn. że siła informuje nas, czy oddziaływanie jest duże czy małe i w którą stronę się odbywa).

Miarą oddziaływania jest siła. (tzn. że siła informuje nas, czy oddziaływanie jest duże czy małe i w którą stronę się odbywa). Lekcja 4 Temat: Pomiar wartości siły ciężkości. 1) Dynamika dział fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał z uwzględnieniem przyczyny tego ruchu. Przyczyną ruchu jest siła. dynamikos (gr.) = potężny, mający

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Regulacja dwupołożeniowa (dwustawna)

Regulacja dwupołożeniowa (dwustawna) Regulacja dwupołożeniowa (dwustawna) I. Wprowadzenie Regulacja dwustawna (dwupołożeniowa) jest często stosowaną metodą regulacji temperatury w urządzeniach grzejnictwa elektrycznego. Polega ona na cyklicznym

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE Program nauczania: Fizyka z plusem, numer dopuszczenia: DKW 4014-58/01 Plan realizacji materiału nauczania fizyki w klasie I wraz z określeniem wymagań edukacyjnych DZIAŁ PRO- GRA- MOWY Pomiary i Siły

Bardziej szczegółowo

Gdzie się znajdujemy na Ziemi i w Kosmosie

Gdzie się znajdujemy na Ziemi i w Kosmosie Gdzie się znajdujemy na Ziemi i w Kosmosie Realizując ten temat wspólnie z uczniami zajęliśmy się określeniem położenia Ziemi w Kosmosie. Cele: Rozwijanie umiejętności określania kierunków geograficznych

Bardziej szczegółowo

PRZYRZĄD DO BADANIA RUCHU JEDNOSTAJNEGO l JEDNOSTANIE ZMIENNEGO V 5-143

PRZYRZĄD DO BADANIA RUCHU JEDNOSTAJNEGO l JEDNOSTANIE ZMIENNEGO V 5-143 Przyrząd do badania ruchu jednostajnego i jednostajnie zmiennego V 5-43 PRZYRZĄD DO BADANIA RUCHU JEDNOSTAJNEGO l JEDNOSTANIE ZMIENNEGO V 5-43 Oprac. FzA, IF US, 2007 Rys. Przyrząd stanowi równia pochyła,

Bardziej szczegółowo

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA M WYZNACZANE MOMENTU BEZWŁADNOŚC WAHADŁA OBERBECKA opracowała Bożena Janowska-Dmoch Do opisu ruchu obrotowego ciał stosujemy prawa dynamiki ruchu obrotowego, w których występują wielkości takie jak: prędkość

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo

2. Pomiar drgań maszyny

2. Pomiar drgań maszyny 2. Pomiar drgań maszyny Stanowisko laboratoryjne tworzą: zestaw akcelerometrów, przedwzmacniaczy i wzmacniaczy pomiarowych z oprzyrządowaniem (komputery osobiste wyposażone w karty pomiarowe), dwa wzorcowe

Bardziej szczegółowo

Globalny Nawigacyjny System Satelitarny GLONASS. dr inż. Paweł Zalewski

Globalny Nawigacyjny System Satelitarny GLONASS. dr inż. Paweł Zalewski Globalny Nawigacyjny System Satelitarny GLONASS dr inż. Paweł Zalewski Wprowadzenie System GLONASS (Global Navigation Satellite System lub Globalnaja Nawigacjonnaja Sputnikowaja Sistiema) został zaprojektowany

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu

Bardziej szczegółowo

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 Kąty Ustawienia Kół Technologie stosowane w pomiarach zmieniają się, powstają coraz to nowe urządzenia ułatwiające zarówno regulowanie

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy

Bardziej szczegółowo

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r.

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r. Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge - Definicja geodezji, jej podział i zadania. - Miary stopniowe. - Miary długości. - Miary powierzchni pola. - Miary gradowe.

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory A: 1 OK Muszę to powtórzyć... Potrzebuję pomocy Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory Łódź żegluje po morzu... Płynie z szybkością 10 węzłów (węzeł to 1 mila morska na godzinę czyli

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH Krzysztof Horodecki, Artur Ludwikowski, Fizyka 1. Podręcznik dla gimnazjum, Gdańskie Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera) Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW

POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji TEMAT: Ćwiczenie nr 4 POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW ZADANIA DO WYKONANIA:. zmierzyć 3 wskazane kąty zadanego przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego

Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego POLIECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGEYKI INSYU MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH LABORAORIUM ELEKRYCZNE Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego (E 1) Opracował: Dr inż. Włodzimierz

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW.

3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW. 3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW. Przy rozchodzeniu się fal dźwiękowych może dochodzić do częściowego lub całkowitego odbicia oraz przenikania fali przez granice ośrodków. Przeszkody napotykane

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Fig. 1 (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) PL B1 (13) B1 G 01S 3/72 E21F 11/00 RZECZPOSPOLITA POLSKA. (21) Numer zgłoszenia:

Fig. 1 (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) PL B1 (13) B1 G 01S 3/72 E21F 11/00 RZECZPOSPOLITA POLSKA. (21) Numer zgłoszenia: RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174214 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 296697 (22) Data zgłoszenia: 23.11.1992 (51) IntCl6: G01S 11/00 G

Bardziej szczegółowo

Przetworniki A/C. Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Przetworniki A/C. Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Przetworniki A/C Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Parametry przetworników analogowo cyfrowych Podstawowe parametry przetworników wpływające na ich dokładność

Bardziej szczegółowo

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki Specjalność: Fizyka Medyczna WYZNAZANIE MAIERZY [ABD] UKŁADU OPTYZNEGO Zadanie II Zakład Optoelektroniki

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl 1 Program przedmiotu Wprowadzenie definicja, cel i zastosowania mechatroniki Urządzenie mechatroniczne - przykłady

Bardziej szczegółowo

Treści dopełniające Uczeń potrafi:

Treści dopełniające Uczeń potrafi: P Lp. Temat lekcji Treści podstawowe 1 Elementy działań na wektorach podać przykłady wielkości fizycznych skalarnych i wektorowych, wymienić cechy wektora, dodać wektory, odjąć wektor od wektora, pomnożyć

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Aktory

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Aktory Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Aktory 1 Definicja aktora Aktor (ang. actuator) -elektronicznie sterowany człon wykonawczy. Aktor jest łącznikiem między urządzeniem przetwarzającym informację

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, Spis treści

Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, Spis treści Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, 2015 Spis treści Od Wydawcy do drugiego wydania polskiego Przedmowa Podziękowania xi xiii xxi 1. Pomiar 1 1.1.

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1 Temat: Wyznaczanie współczynnika

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013 SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE ĆWICZENIE 1 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA Cel ćwiczenia: Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera, wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE ODBIORNIKÓW LEICA GPS 1200 W GEODEZYJNYCH POMIARACH TERENOWYCH

WYKORZYSTANIE ODBIORNIKÓW LEICA GPS 1200 W GEODEZYJNYCH POMIARACH TERENOWYCH WYKORZYSTANIE ODBIORNIKÓW LEICA GPS 1200 W GEODEZYJNYCH POMIARACH 93 Łukasz Śliwiński WYKORZYSTANIE ODBIORNIKÓW LEICA GPS 1200 W GEODEZYJNYCH POMIARACH TERENOWYCH Wstęp Dynamicznie rozwijająca się technologia

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU. Zapoznanie z układem współrzędnych sferycznych horyzontalnych.

I. KARTA PRZEDMIOTU. Zapoznanie z układem współrzędnych sferycznych horyzontalnych. I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: ASTRONAWIGACJA. Kod przedmiotu: Na. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Wszystkie specjalności

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu Układ izolowany Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu, ale brak jest oddziaływań

Bardziej szczegółowo

TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10

TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 Fotogrametria to technika pomiarowa oparta na obrazach fotograficznych. Wykorzystywana jest ona do opracowywani map oraz do różnego rodzaju zadań pomiarowych.

Bardziej szczegółowo

Wyposażenie Samolotu

Wyposażenie Samolotu P O L I T E C H N I K A R Z E S Z O W S K A im. Ignacego Łukasiewicza Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Awioniki i Sterowania Wyposażenie Samolotu Instrukcja do laboratorium nr 2 Przyrządy żyroskopowe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo