6. Zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu, praca. Wybór i opracowanie zadań Bogumiła Strzelecka.

Transkrypt

1 6 Zasady zachowania energii, pędu i oenu pędu, praca Wybór i opracowanie zadań 6-69Boguiła Srzeecka 6 Sanki zsuwają się ze szczyu oru o długości pochyonego pod kąe α do poziou, a nasępnie wjeŝdŝają na or prosy WzdłuŜ całego oru działa na sanki siła arcia Współczynnik arcia na orze pochyły wynosi µ, zaś na orze prosy µ Obiczyć jaką drogę s przebędą sanki po orze prosy 6 Kuka o asie g wyrzucona pionowo w górę z prędkością v o /s, spadła na zieię z prędkością v 5 /s Obiczyć pracę sił arcia w powierzu 6 Do gałęzi drzewa przywiązana jes ina, po kórej wspina się człowiek o asie Jaką pracę wykona człowiek, jeŝei przebędzie on po ej inie odcinek o długości Przyspieszenie zieskie wynosi g 64 Kuka o asie M, znajdująca się na końcu ogącego się obracać cienkiego pręa o długości (asę pręa poijay), zosała wychyona o 8 o ze swego najniŝszego połoŝenia Spadając kuka zderza się w najniŝszy połoŝeniu z kuką paseinową o asie Na jaką wysokość wzniosą się obie kuki po zderzeniu i zepieniu się? W obiczeniach przyjąć, Ŝe jes duŝo większe niŝ roziary as M i 65 Na szczycie gładkiej kui o proieniu R połoŝono oneę, kórej nadano prędkość począkową w kierunku pozioy o warości v q W kóry iejscu, icząc od wierzchołka kui, onea oderwie się od niej (onea zsuwa się bez arcia)? Przyspieszenie zieskie jes równe g 66 Dwie kue o asach i, poruszające się z aką saą prędkością v zderzają się cenranie Zderzenie jes doskonae spręŝyse Podać warunki, jakie uszą być spełnione, aby: a) pierwsza kua zarzyała się; b) druga kua zarzyała się; c) nasąpiła ziana zwrou prędkości kaŝdej z ku 67 Jaką pracę naeŝy wykonać, aby słup eegraficzny o asie M kg, do kórego wierzchołka przyocowano poprzeczkę o asie kg, podnieść z połoŝenia pozioego do pozycji pionowej, jeŝei długość słupa jes równa? Przyspieszenie zieskie przyjąć g /s 68 Znaeźć noc wodospadu Niagara, jeŝei jego wysokość h 5, a średni przepływ wody V 59 /s Gęsość wody ρ kg/, a przyspieszenie zieskie g /s 69 Kuka o asie uderza w wahadło fizyczne o asie M i pozosaje w ni Jaka część energii kuki zaieni się na ciepło? 6 Ciało wyrzucono pionowo w górę z prędkością v o Znaeźć wysokość, na kórej energia kineyczna ciała będzie równa jego energii poencjanej? Przyspieszenie zieskie wynosi g 6 Kuka o asie ecąca pozioo, uderza w powierzchnię kina o asie M eŝącego na pozioej płaszczyźnie ak, Ŝe odskakuje pionowo w górę na wysokość h Zakładając, Ŝe zderzenie jes doskonae spręŝyse, znaeźć prędkość, jaką uzyskał kin uŝ po zderzeniu Przyspieszenie zieskie jes równe g

2 6 Piłeczkę pingpongową o proieniu r 5 i asie 5 g zanurzono w wodzie na głębokości h c kiedy puszczono ę piłeczkę, wyskoczyła ona z wody na wysokość h c Jaka iość ciepła wydzieiła się w wyniku działania sił arcia? Gęsość wody ρ kg/ Przyjąć g /s 6 Dwie kue o asach, kg i,8 kg zawieszone na dwóch równoegłych niciach o długości kaŝda, sykają się ze sobą Mniejsza kua zosaje odchyona o ką 9 o od począku połoŝenia i puszczona Znaeźć prędkość ku po zderzeniu zakładając, Ŝe zderzenie ku było: a) doskonae spręŝyse, b) doskonae niespręŝyse Jaka część energii począkowej zaieni się na ciepło w przypadku zderzenia doskonae niespręŝysego? 64 Ciało o asie przyocowane do nici o długości o zaacza okrąg o proieniu równy długości nici z prędkością v o Jaką pracę naeŝy wykonać ściągając ciało do środka okręgu, skracając nić o 65 Znaeźć haujący oen siły, kóry oŝe zarzyać w ciągu czasu s koło zaachowe o asie 5 kg i proieniu R, obracające się z częsoiwością f s - ZałoŜyć, Ŝe asa koła zaachowego rozieszczona jes na jego obwodzie Jaka praca będzie porzebna do zarzyania ego koła zaachowego? 66* Jednorodna deska o asie i długości eŝy na granicy zeknięcia dwóch sołów, na soe pierwszy Jaką inianą pracę naeŝy wykonać, aby przesunąć ją ze sołu pierwszego na drugi, jeŝei współczynniki arcia poiędzy deską a sołe wynoszą µ i µ, odpowiednio da pierwszego i drugiego sołu 67* Waec o wysokości h, proieniu podsawy R i gęsości ρ pływa w naczyniu wypełniony cieczą o gęsości ρ > ρ Oś waca jes prosopadła do podsawy naczynia Obiczyć pracę, jaką naeŝy wykonać aby waec zanurzyć całkowicie w cieczy? 68* Na podłodze eŝy ina o asie i długości Jeden z jej końców podnosiy do góry dopóki ina nie oderwie się od podłogi Wyznaczyć inianą warość pracy jaką naeŝy wykonać, aby podnieść inę z podłogi w pou grawiacyjny Ziei w przypadku, gdy: a) ina jes jednorodna b) ina jes niejednorodna i jej asa zaeŝy od odegłości x od jednego z jej końców x według wzoru ( x), gdzie x jes długością podnoszonej części sznura 69 Człowiek soi na nieruchoy wózku i rzuca do przodu kaień o asie, nadając u prędkość v Wyznaczyć pracę, jaką usi wykonać przy y człowiek, jeŝei Masa wózka wraz z ni wynosi M 6 Człowiek o asie 6 kg, biegnący z prędkością v 8 k/h, dogania wózek o asie 9 kg, kóry jedzie z prędkością v 4 k/h i wskakuje na en wózek Z jaką prędkością będzie poruszał się wózek z człowiekie? Jaka będzie prędkość wózka z człowiekie w przypadku, gdy człowiek będzie biegł naprzeciwko wózka? 6 Lecący pozioo grana z prędkością v /s w pewnej chwii rozerwał się na dwa odłaki Większy odłaek, kórego asa sanowiła n 6% asy całego granau,

3 konynuował o w pierwony kierunku, ecz ze zwiększoną prędkością v 5 /s Znaeźć kierunek i warość prędkości niejszego odłaka 6 Znaeźć warość prędkości począkowej poruszającego się po odzie krąŝka hokejowego, jeŝei przed zderzenie z bandą przebył on drogę s 5, a po zderzeniu, kóre oŝna rakować jako doskonae spręŝyse, przebył jeszcze drogę s do chwii zarzyania się Współczynnik arcia krąŝka o ód jes równy µ, 6 Z rury o przekroju s 5 c wypływa w kierunku pozioy sruień wody z prędkością, kórej warość wynosi v /s, uderzając pionowo w ścianę sojącej na szynach wózka, a nasępnie spływa w dół po ej ściance Z jaki przyspieszenie będzie poruszać się wózek? Jego asa kg, a kierunek sruienia wody jes równoegły do kierunku szyn Przyjąć, iŝ haująca ruch wózka siła oporu jes so razy niejsza od cięŝaru ego pojazdu 64 Dwie pozioe arcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek Moeny bezwładności arcz wynoszą I oraz I, a ich prędkości kąowe ω i ω Po upadku arczy górnej na doną obie arcze ( w wyniku działania sił arcia) obracają się raze jak jedno ciało Wyznaczyć: a) prędkość kąową arcz po złączeniu; b) pracę wykonaną przez siły arcia 65 Na brzegu pozioo usawionej arczy o oencie bezwładności I (wzgęde osi pionowej przechodzącej przez środek arczy) i proieniu R znajduje się człowiek o asie Obiczyć prędkość kąową arczy ω, gdy człowiek zacznie poruszać się wzdłuŝ jej brzegu z prędkością v wzgęde niej 66 Człowiek o asie soi na osi obroowego soika o proieniu R rzyając oburącz za oś, pionowo nad głową obracające wokół ej osi (pionowej) z prędkością kąową ω o koło rowerowe o oencie bezwładności I o Wyznaczyć prędkość kąową ω ruchu obroowego soika po: a) obróceniu przez człowieka koła o ką 8 o, b) zahaowaniu koła przez człowieka Moen bezwładności soika z człowiekie wynosi I 67 Liswa drewniana o długości i asie oŝe się obracać dookoła osi prosopadłej do iswy, przechodzącej przez jej środek W koniec iswy rafia pocisk o asie, ecący z prędkością v w kierunku prosopadły do osi i do iswy Znaeźć prędkość kąową, z jaka iswa zacznie się obracać, gdy ukwi w niej pocisk 68 Na pozioy, doskonae gładki soe eŝy prę o długości i asie W koniec pręa rafia pocisk o asie, ecący z prędkością v w kierunku prosopadły do osi pręa Znaeźć prędkość kąową, z jaką prę zacznie się obracać, gdy ukwi w niej pocisk oraz warość prędkości iniowej środka pręa Rozwiązania: 6R

4 Korzysając z zasady zachowania energii oraz paięając, Ŝe praca jes forą energii orzyujey: v () gh + W v () W oraz z definicji pracy () W T (4) W T x i siły arcia (5) T µ g cosα (6) g T µ podsawiay wyraŝenia okreśone równaniai (), (), (4), (5) i (6) do równania () rzyując: (7) gh µ gx + µ g cosα PoniewaŜ h (8) sinα, sąd h sinα Podsawiając oŝsaość (8) do równania (7) i przekszałcając je orzyujey: x sin α µ cos α µ 6O W 75 J 6O W g 64R Korzysając z zasady zachowania energii echanicznej orzyujey równanie: p () Mg, gdzie p oznacza warość pędu asy M w najniŝszy połoŝeniu M Z zasady zachowania pędu: () p pu Wysokość, na kórą wzniosą się obie asy po złączeniu, obiczay korzysając ponownie z zasady zachowania energii:

5 p () u ( M + )gh M + ( ) Po przekszałceniach (4) h M ( M + ) 65R Z zasady zachowania energii wynika: v o v + () gr + g( R x) W punkcie, w kóry oderwie się ciało: v () N R Z podobieńswa rójkąów:, gdzie N warość siły nacisku () N g R x R Po rozwiązaniu układu powyŝszych równań orzyujey: (4) x R v g 66O a) b), c) 67R Praca jes równa zianie energii poencjanej słupa wzgęde jego pierwonego połoŝenia: () W E p Słup rakujey jako bryłę szywną, naoias poprzeczkę jako punk aeriany () W Mg + g kj 68R

6 W () P () W E gh gh () P (4) ρ V (5) P ρ Vgh 95MW 69R () x Q E o, gdzie Q wydzieone ciepło, E o energia kineyczna kuki; () Q E E, E energia kineyczna układu kuka wahadło po zderzeniu; o po p () Eo, E, gdzie p ( M + ) o pęd kuki przed zderzenie, p pęd układu kuka wahadło po zderzeniu Zgodnie z zasadą zachowania pędu: (4) p p Podsawiając wzory (), () i (4) do równania () orzyujey: (5) x M M + 6O vo h 4g 6R Korzysając z zasady zachowania pędu oraz zasady zachowania energii orzyujey układ rzech równań: () p p + p, p pęd kuki przed zderzenie, p pęd kuki po zderzeniu, p pęd kina p p p () + M p () gh

7 Rozwiązując powyŝszy układ równań orzyujey wzór na warość p : (4) p ghm M PoniewaŜ p M v, sąd (5) v M gh ( M ) 6R Praca siły wyporu F w na drodze h zosaje wykorzysana na zianę energii poencjanej ciała E wzgęde połoŝenia począkowego oraz na ciepło Q: () h Q + E F w () ρ gv ; F w () E g( h + ) h 4 V π r Przekszałcając powyŝsze równania orzyujey: 4 (4) Q π r ρ gh g( h + h ), J 6R a) W zderzeniu doskonae spręŝysy spełniona jes zasada zachowani pędu i energii echanicznej () v v + v, gdzie v,v warości prędkości ciała o asie przed i po zderzeniu, v warość prędkości ciała po zderzeniu () v v + v Rozwiązując powyŝsze równania orzyujey: () v v oraz v v + + Energia poencjana odchyonej kuki jes równa jej energii kineycznej w oencie zderzenia z drugą kuką: v (4) g sąd v g więc:

8 (5) v g,8 / s + i v + g,5 / s b) W zderzeniu doskonae nie spręŝysy spełniona jes zasada zachowania pędu: + v v, () ( ) x gdzie v warość prędkości asy przed zderzenie, v x warość prędkości obu złączonych kuek po zderzeniu sąd: () v x v + PoniewaŜ () v g sąd v g orzyujey (4) (5) (6) v x + g, / s Q x - oznacza, jaka część energii zaieni się na ciepło g Q g ( + ) v x Po podsawieniu za v x orzyujey: (7) x, R Wykonana praca jes równa zianie energii kineycznej: () W v v E o Prędkość v kuki po skróceniu nici znajdujey z zasady zachowania pędu: () v ( ) v Wówczas praca jes równa:

9 () W v ( ) 65R () M I ε ; gdzie M warość oenu siły, I R oen bezwładności arczy, ε - warość przyspieszenia kąowego () ω ω πf ε π fr () M 4, 9N Praca porzebna do zarzyania koła jes równa zianie energii kineycznej: (4) W E Iω R ( π f ) π R f 79, 9kJ 66R Przesunięcie deski z jednego sołu na drugi wyaga wykonania pracy siłą co najniej równą sie arcia poiędzy deską a płaszczyznai sołów Siła arcia w y przypadku jes równa suie sił arcia poiędzy deską i, odpowiednio, sołe pierwszy (T ) i drugi (T ) T T -x x X () W ( T + T )dx Zgodnie z rysunkie warości sił T i T zaeŝą od ego, jaka część deski znajduje się na soe pierwszy, a jaka na drugi PoniewaŜ deska jes jednorodna wychodząc z załoŝenia, Ŝe asa jes proporcjonana do długości deski oŝey znaeźć warości sił nacisku na poszczegóne soły x x () N g, a więc T µ g x x () N g, a więc T µ g

10 Podsawiając do wzoru () orzyujey po scałkowaniu: (4) W ( µ + µ ) g 67R Pracę obiczay z wzoru () W Fwdx h hx h h x poniewaŝ warość siły wyporu waca F w ρ Vg ρ g π R x zaeŝy od głębokości zanurzenia Wiekość począkowego zanurzenia waca h obiczay z równowagi siły wyporu i siły cięŝkości w chwii począkowej: ρ () F w Q, czyi ρ π R h x g ρ π R hg, sąd h ρ h x Po podsawieniu do równania jeden orzyujey wyraŝenie na pracę: () W π R gh ρ ρ ρ 68R a) Na fragen iny o asie d, znajdujący się w odegłości x od jej końca, działa siła () df g d Podnosząc en fragen na wysokość x naeŝy działać na niego siłą równą co do warości df ecz przeciwnie skierowaną Zosanie przy y wykonana praca eeenarna :

11 () dw x df xg d PoniewaŜ cała jednorodna ina o długości a asę, z proporcji rozparywany fragen a asę dx d wynika, Ŝe () d dx Podsawiając wzór () do wzoru () i suując prace eeenarne dw orzyujey: (4) W g g x dx x b) Da iny niejednorodnej ay zaeŝność asy od odegłości x: ( x) Masę d eeenu iny o długości dx obiczay róŝniczkując ę zaeŝność: (5) d x dx Siła df a eraz posać: g (6) df g d x dx, zaś praca eeenarna g (7) dw x df x dx Praca całkowia jes równa całce: (8) W g g x dx 69R Praca wykonana przez człowieka będzie równa przyrosowi energii kineycznej układu: Mv () v W Ek +, gdzie prędkość v jes prędkość wózka z człowiekie po rzucie Prędkość ę obicza się z zasady zachowania pędu:

12 r r () Mv + v Po uwzgędnieniu zwroów wekorów : () Mv v orzyujey : (4) v v M Uwzgędniając zaeŝność (4) orzyujey wzór na pracę: M v v (5) W v + + M M 6O v + v k a) v 5, 6 + h v v k b) v, 8 + h 6R Z zasady zachowania pędu wynika, Ŝe pęd granau przed wybuche usi być równy suie pędów wszyskich odłaków granau po wybuch: r r r () v v + v Przechodząc do równania skaarnego naeŝy uwzgędnić, Ŝe prędkości ułaków są skierowane przeciwnie: () v v v Przekszałcając równanie () orzyujey: () v v v Z warunków zadania wynika: n oraz ( n) Podsawiając powyŝsze zaeŝności do równania () orzyujey: (4) nv v v, 5 n s

13 Mniejszy odłaek odeciał w kierunku przeciwny do kierunku ou odłaka większego 6R Energia kineyczna począkowa krąŝka zosaje zuŝya na pracę siły arcia przed zderzenie z bandą i po zderzeniu z bandą, poniewaŝ w wyniku zderzenia doskonae spręŝysego zienia się kierunek a nie warość pędu v () kgs + kgs Po przekszałceniu powyŝszego równania orzyujey: () kg( s + s ) v o, 7 s 6R Siła wypadkowa działająca na wózek opisana jes równanie: () F w a F g Siłę F, jaką woda popycha wózek, obiczay z II zasady dynaiki Newona: () F p Ziana pędu w kierunku ruchu drezyny jes równa: () p p PoniewaŜ p v, zaś ρ V ρ S x orzyujey podsawiając e zaeŝności do równania (): (4) F ρ S x v Dzieąc powyŝsze równanie obusronnie przez orzyujey: (5) F x ρ S v ρ S v, poniewaŝ x v Podsawiając do równania () orzyujey: (6) a ρ S v g Po przekszałceniu orzyujey:

14 S v g (7) a ρ,5 s 64R Na układ opisany w zadaniu nie działa Ŝaden zewnęrzny oen sił Moen pędu układu L przed połączenie arcz wynosi: () L I ω + I, ω naoias po połączeniu oenu pędu L wynosi: L I + I () ( ) ω W powyŝszy wzorze ω jes prędkością kąową po połączeniu się arcz Z zasady zachowania oenu pędu L L, oeŝ porównując oba powyŝsze wzory orzyujey wyraŝenie na prędkość kąową ω w posaci: () I ω + I ω I + I ω Pracę, kóra zosała wykonana przez siłę arcia podczas wyrównywania się prędkości arcz, obiczay jako róŝnicę energii kineycznych układu: począkowej: (4) Iω I ω E k + i końcowej: (5) ( I I ) + E k ω Wówczas : (6) W E k E k ( ω ω ) ( I + ) II I 65R Sosując zasadę zachowania oenu pędu orzyujey: r r () L c + L, gdzie Lc oen pędu człowieka, L oen pędu arczy Zapisując powyŝsze równanie w posaci skaarnej orzyujey: () L c + L

15 Moen pędu arczy wynosi: () L I ω, gdzie ω prędkością kąową arczy v Człowiek porusza się z prędkością kąową ω c wzgęde arczy i jednocześnie jes R unoszony przez arczę z prędkością kąową ω w kierunku przeciwny Zae jego całkowiy oen pędu wynosi: (4) Lc I c ω I c ω c, gdzie I c R jes oene bezwładności człowieka o asie wzgęde osi obrou arczy Podsawiając równania () i (4) do () orzyujey: Rv (5) ω I + R 66R a) Począkowy oen pędu układu wynosi: () L I ω, poniewaŝ yko koło się obraca Po obróceniu koła o 8 o jego oen pędu zieni się na przeciwny, wskuek czego człowiek ze soikie będzie się poruszał ruche obroowy Wówczas całkowiy oen pędu układu jes równy: () L I ω I ω gdzie ω prędkość kąowa człowieka ze soikie Korzysając z zasady zachowania oenu pędu: () L L wyznaczay prędkość kąową ω : (4) ω I I ω b) Po zahaowaniu koła rowerowego całkowiy oen pędu układu będzie równy oenowi pędu soika z człowiekie: (5) L I ω Sosując zasadę zachowania oenu pędu wyznaczay ω :

16 (6) ω I I ω 67R Z zasady zachowania oenu pędu wynika: () L L, gdzie: () L v jes oene pędu układu iswa pocisk przed zderzenie, zaś: () L I ω jes oene układu po zderzeniu Moen bezwładności układu I po zderzeniu opisany jes zaeŝnością: (4) I + Przekszałcając powyŝsze równania orzyujey: v (5) ω + 68R Przy rozwiązaniu zadania korzysay z zasady zachowania pędu i z zasady zachowania oenu pędu Przed zderzenie pęd układu równy jes pędowi pocisku: () p v Moen pędu układu wzgęde dowonie wybranego punku jes równy oenowi pędu pocisku () L v x, gdzie x jes odegłością środka asy układu pocisk-prę od środka pręa PołoŜenie środka asy znajdujey ze wzoru: + () x + +

17 Po zderzeniu pocisku z pręe pęd układu jes równy: (4) p ( + ) v s, gdzie v s prędkość środka asy układu Porównując warości pędów przed () i po zderzeniu (4) obiczay prędkość środka asy: (5) v v s + Moen pędu układu pocisk-prę po zderzeniu wyraŝa się wzore: (6) L I ω, gdzie ω - prędkość kąowa, zaś oen bezwładności I jes suą oenu bezwładności pręa i oenu bezwładności pocisku: (7) I I pr + I poc Moen bezwładności pocisku iczyy jak oen bezwładności punku aerianego: (8) I poc x Moen bezwładności pręa wzgęde środka asy układu obiczay korzysając z prawa Seinera: (9) I pr + I + x x Korzysając z zasady zachowania oenu pędu [rów() i (6)] oraz podsawiając wzory: (), (7), (8) i (9) orzyujey wzór na prędkość kąową: () ω 6 ( + ) ( ) v