Kolokwia Zadania i komentarz.

Transkrypt

1 Kolokwia Zadania i komentarz. Jan Gorski 28/01/ IV Kolokwium Szanowni panstwo musze przyznac, ze sprawdzanie panstwa prac nie nalezy do przyjemnosci. Daleki jestem od poczucia przyjemnosci ze stawiania 3-5 punktow panu/pani X,Y,Z. Gdybym nie prowadzil w tym semestrze zajec w innej uczelini: gdzie wyniki zbierane przez studentow raczej byly bliskie maksimum gdzie nie musialem wynikow mnozyc przez 1.5 gdzie mogle chciec wystwic 5 piatek w grupie pomyslalbym, ze nie potrafie uczyc. Panstwa bledy pokazuja w duzej mierze o braku panstwa pracy i nie chodzeniu na wyklady. Panstwo nie potrafia wykonywac dzialan w przedziale 1-10 mnozenia i dodawania. Napisalem dla panstaw dosc obszerny komentarz i zycze milej lektury mam nadzieje ze sie przyda. 1.1 Sprzezenie zwrotne Brakuje panstwu takiego odruchu: jak cos sie nie zgadza to trzeba poprawic blad. A tym razem dla wielu bylo az nadto czasu i wychodzili przed czasem. Zeby wam uzmyslowic o co chodzi to pare przykladow: 1

2 1. Jesli mowie, ze beda male liczby i calkowite i bedzie latwo liczyc to co panstwo powni robic jak w rachunkach pojawia sie 1/23 czy 226? Panstwo w tym momencie robia nic a ja bym sie zastanowil czy wczesniej nie zrobilem bledu Nie przeszkadza panstwu podac odpowiedz, ze w podprzestrzen R 4 ma baze zlozona z wektorow (1, 2, 3), (2, 3, 4). A czy przypadkiem nie widac, ze w tych wektorach nie brakuje jednej wspolzednej by byc elementem R 4. Liste przykladow mozna by ciagnac w nieskonczonosc od prostych do trudniejszych, na przyszlosc prosze sie odrobine zastanawiac, a nie pisac prac do przodu jak walec drogowy prawd Algebry Liniowej Mysle, ze duzo pansta bledow polega na calkowitym zagubieniu w teorii, ktorej sie nie uczycie i nie sluchacie na wykladach... wiec moze pare prostych stwierdzen, ktore moze wam rozjasnia sytuacje i warto je sobie przyswoic przed egzaminem (przypuszczam ze paru osobom sie jeszcze przyda) 1. Algebra Liniowa nie jest czarna magia i opiera sie na scislym wnioskowanium. 2. Jesli w matematyce wprowadza sie jakies nowe pojecie, nazwe to na ogol nie bez celu. 3. lin((1, 2), (2, 3)) {(1, 2), (2, 3)} Jedno to jest najmniejsza podprzestrzen liniowa zawierajaca te wektory - zbior ich kombinacji liniowych, a drugie to jest zbior zawierajacy tylko dwa wektory. 4. Rownanie i wektor to dwie rozne rzeczy. 5. Macierz jest jest tylko umownym zapisem i czasem musimy myslec o macierzy jako wierszach rownan, czasem jako o wierszach wektorow i o tym nie nalezy zapominac, a czesme jako o macierzy gdy myslimy o przeksztalceniach (patrz 1.3). 2

3 6. wykonujac operacje na wierszach macierzy, ktore pochodza od wektorow nie dostaniemy nic innego niz wektory - prowadza do wektorow (te operacje odpowiadaja operacjom dozwolonym w przestrzeni liniowej na wektorach, dodawaniu, odejmnowaniu i mnozeniu przez liczbe) 7. wykonujac operacje na wierszach macierzy, pochodzacych od rownan otrzymujemy rownania. 8. Wektor to jest element przestrzeni liniowej. 9. Baza przestrzeni jest pewnym podzbiorem zbioru wektorow przestrzeni. 10. Baza przestrzeni W nalezy do przestrzeni W. 11. Wymiar przestrzeni jest liczba. 12. Nie mozna powiedziec ze wymiar przestrzeni jest R 3 (nie porownuje sie zmiennych ktore maja rozne typy) Mozna powiedziec, ze podprzestrzen jest izomorficzna z przestzenia R Liczba wektorow w bazie jest rowna jej wymiarowi. 14. Kazda przestrzen moze miec bardzo duzo roznych baz wspolna jest jedynie liczba wektorow w bazie (rowna wymiarowi przestrzeni). 15. Wektor w bazie przestrzeni liniowej ma tyle samo wspolrzednych co wymiar tej bazy. 16. Jesli rozpatrujemy wektor jako wektor podprzestrzeni W R n to w bazie W liczba wspolrzednych bedzie rowna wymiarowi W, czyli liczbie wektorow w baze W co nie musi byc rowne n chyba, ze W = R n. 17. Jesli przestrzen W R n i wymiar dim W = n to W = R n. 18. Jesli przestrzen W R n to nigdy dim W > n. 19. Rownanie jest warunkiem, na pewne wektory przestrzeni liniowej. Na ogol nie wszystkie spelniaja ten warunek. 20. Podprzestrzenie mozna wyznaczac za pomoca ukladow rownan-warunkow jako zbior wektorow spelniajacych warunki. 3

4 21. Im wiecej rownan tym wiecej warunkow czyli tym mniej wektorow spelniajacych warunek, czyli tym mniejszy wymiar przestrzeni rozwiazan. 22. Przestrzen rozwiazan ukladu rownan, to jest zbior wektorow spelniajacych opisane warunki przez rownanie. 23. Jesli zbior jest opisany m niezaleznymi rownaniami liniwymi w przestrzeni n wymiarowej (= o n niewiadomych) to wymiar przestrzeni rozwiazan jest n m 24. Jesli liczba rowiazan zalezy od k parametrow to wymiar przstrzeni rowziazan jest k. 1.3 W ktora strone pisac wektory Najczestrzym nieporozumienie jest nie zrozumienie kiedy sie pisze w macierzach wektory wierszami a kiedy kolumnami. Wiec moze krotki kurs. Powiedzmy, ze mamy przestrzen generowana przez wektory α 1 = (1, 2, 3), α 2 = (2, 3, 4), α 3 = (3, 5, 7), α 4 = (5, 8, 11) czyli W = lin((1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 5, 7), (5, 8, 11)) 1. Jesli piszemy wektory poziomo (wierszami) i nie piszemy kolumny zer: ( 1, 2, 3 ) = ( 2, 3, 4 ) ( 3, 5, 7 ) ( 5, 8, 11 ) to wiersze sa wektorami i wykonywane operacje na wierszach prowadza do wektorow tej samej przestrzeni W. W ten sposob mozemy zmniejszyc (wyrugowac wektory) liczbe wektorow generujacych W. Po doprowadzeniu do postaci schodkowej dostajemy zbior wektorowwierszy liniowo niezaleznych, ktory jest baza W 4

5 2. Jesli piszemy wektory poziomo (wierszami) dopisujac kolumne zer: a 1 + 2a 2 + 3a 3 = = 2a 1 + 3a 2 + 4a 3 = 0 3a 1 + 5a 2 + 7a 3 = a 1 + 8a a 3 = 0 mamy na mysli uklad rownan, slozacy do znalezienia rownan opisujacych przestrzen W. Rozwiazania (a 1, a 2, a 3 ) sa wspolczynikami poszykiwanych rowna postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 Do wypisania tych rownan mozemy wziac dowolny zbior wektorow generujacych W np baze co zmniejsza liczbe rownan. Po wypisaniu rozwiazania ogolnego, mozna znalezc baze tego rozwiazania. Wektory bazy daja wspolczynniki poszukiwanych rownan opisujach W 3. Jesli piszemy wektory pionowo (kolumnami) dopisujac jakis wektor: s 1 + 2s 2 + 3s 3 + 5s 4 = = 2s 1 + 3s 2 + 5s 3 + 8s 4 = s 1 + 4s 2 + 7s s 4 = 18 mamy na mysli uklad rownan, pochodzacy kombinacji wektorow s s s s 4 8 = moze on slozyc do znalezienia czy wektor (8, 13, 18) nalezy do przestrzeni W. Znajdujac rozwiazanie dostajemy kombinacje liniowa wektorow α 1, α 2, α 3, α 4 dajaca wektor stojacy po prawej stronie. Mozemy zastapic wektory stojace po prawej stronie dowolnymi wektorami generujacymi W Jesli (8, 13, 18) zastapimy (0, 0, 0) to dowiadujac sie, ze jest rozwiazan to α 1, α 2, α 3, α 4 sa zalezne liniowo (latwiej zrobic to wykorzystujac metode szukania bazy patrz pkt1) 5

6 Jesli po prawej stronie stoi baza przestrzeni W to wowczas rozwiazanie sa to wspolrzedne (8, 13, 18) w tej bazie. Ta metoda raczej sluzy do szukania wspolrzednych jesli po prawej stronie stoi baza jakiejs przestrzeni, zeby sprawdzic czy dany wektor nalerzy do przestrzeni latwiej dorzucic go do zbioru wektorow i zapisanych wierszami 1.3(pkt1) i sprawdzic czy wyjdzie przestrzen tego samego wymiaru co bez tego wektora 4. Jesli piszemy wektory pionowo (kolumnami) nic nie dopisujac =? Szczerze mowiac trudno mi sobie wyobrazic po co to robic poza jedna dosc specyficzna sytuacja. To jest jesli pionowo zapisane wektory to baza przestrzeni i wowczas jest to macierz zmiany wspolrzednych z tej bazy do standartowej. Mbaza st Tutaj tak nie jest bo wektory sa liniowo zalezne. (4 wektory o trzech wspolrzednych musza byc zawsze liniowo zalezne bo naleza do przestrzeni o bazie 3 elementowej) 1.4 Zadania z komentarzem Sprawdzian 4 (27/01/03) Imie i nazwisko: Grupa: zad max-pkt pkt 1. (4pkt)(Oblicz macierz C = A B, a nastepnie znajdz macierz C 1 gdzie A = B = komentarz: Wiekszosc Panstwa nie umie mnozyc macierzy, co zwazywszy na to, ze macierz B miala duzo zer i jedynek nie powinno sprawiac problemow. Potem byli tacy co probowali metoda wyznacznikowa i 6

7 czesto sie mylili - ta metoda ma duzy koszt obliczeniowy i raczej trudno ja bezblednie wykonac. Inni liczyli metoda Gaussa ale czesto bez sukcesu mimo ze liczby byly tak dobrane, ze macierze wychodzily latwe ze wspolczynnikami calkowitymi. 2. (9pkt)(Uwaga przeczytac calosc przed zrobieniem, (d) nie wymaga rachunkow) (a) Znajdz wymiar i baze przestrzeni W = lin(α 1, α 2, α 3, α 4 ) generowanej przez wektory α 1 = (1, 0, 1, 2), α 2 = (1, 2, 7, 4), α 3 = ( 3, 1, 6, 7), α 4 = ( 1, 3, 10, 5). komentarz: Tu panstwo wykonywali prawie zawsze blad, nie wiedza panstwo czy trzeba pisac wektory pionowo czy poziomo by znalezc baze. Napisalem o tym wczesniej. 1.3(pkt 1) (b) Sprawdz dla jakiego parametru s wektor β = (2, 2, 8, s) lezy w przestrzeni generowanej przez wektory α 1, α 2, α 3, α 4 komentarz: tu mozna bylo zapisac wektory bazy W pinowo i dopisac wektor β i potraktowac macierz jako macierz ukladu rownan dalej zgodnie z 1.3(pkt3) w ten sposob mamy zalatwiony pkt nastepny (c) Dla parametru s z punktu (b) znajdz wspolrzedne wektora β W w bazie przestrzeni W znalezionej w punkcie (a). (d) Odpowiedz na nastepujace pytania (odpowiedz uzasadnij) Od ilu parametrow zalezy rozwiazanie ogolne rowania ( ) x 1 2x 2 x 3 x 4 = 0 Jaki jest wymiar przestrzeni opisanej przez rownanie (*) (wymiar przestrzeni rozwiazan)? Czy wszystkie wektory nalezace do zbioru W spelniaja rownanie (*)? Czy zbiorem rozwiazan rowania (*) jest dokladnie zbior W? komentarz: od razu widac ze parametrow jest 3 wiec wymiar jest 3 a przestrzen W ma wymiar 2 wiec nie moga byc rowene W i przestrzen rozwiazan. Pytanie (c) rozstrzygamy sprawdzajac czy wektory generujace spelniaja te rownanie 7

8 3. (pkt7) Dla jakich parametrów λ uklad { x 1 = λ x 1 6x 1 2x 2 = λ x 2 ma rozwiazania rozne od (0, 0) w R 2. Czy istnieje baza R 2 zlozona z (niezerowych) rozwiazan tego rownania? Jesli istnieje taka baza to prosze podac jej przyklad. komentarz: liczymy wielomian charakterystyczny, znajdujemy pierwiastki - wartosci wlasne a nastepnie dla kazdej z nich znajdujemy podprzestrzen wlasna. Warto pamietac, ze tak dobralismy λ, ze dla kazdej wartosci wlasnych otrzymanych z wielomianu przestrzen wlasna ma wymiar co najmniej 1 wiec jesli nie potrafimy znalezc rozwiazania 0 to albo sie pomylilismy przy obliczeniach z wielomianem charakterystycznym, albo z szukaniem przestrzeni (kierunku, wektora) wlasnego (patrz sprzezenie zwrotne 1.1) 8

9 Sprawdzian 4 (27/01/03) Imie i nazwisko: Grupa: zad max-pkt pkt 1. (4pkt)(Oblicz macierz C = A B, a nastepnie znajdz macierz C 1 gdzie A = B = (9pkt)(Uwaga przeczytac calosc przed zrobieniem, (d) nie wymaga rachunkow) (a) Znajdz wymiar i baze przestrzeni W = lin(α 1, α 2, α 3, α 4 ) generowanej przez wektory α 1 = ( 1, 0, 2, 3), α 2 = ( 1, 2, 4, 3), α 3 = (2, 1, 3, 9), α 4 = ( 2, 2, 6, 0), (b) Sprawdz dla jakiego parametru s wektor β = (2, 1, 3, s) lezy w przestrzeni generowanej przez wektory α 1, α 2, α 3, α 4 (c) Dla parametru s z punktu (b) znajdz wspolrzedne wektora β W w bazie przestrzeni W znalezionej w punkcie (a). (d) Odpowiedz na nastepujace pytania (odpowiedz uzasadnij) Od ilu parametrow zalezy rozwiazanie ogolne rowania ( ) x 1 + 4x 2 x 3 x 4 = 0 Jaki jest wymiar przestrzeni opisanej przez rownanie (*) (wymiar przestrzeni rozwiazan)? Czy wszystkie wektory nalezace do zbioru W spelniaja rownanie (*)? Czy zbiorem rozwiazan rowania (*) jest dokladnie zbior W? 3. (pkt7) Dla jakich parametrów λ uklad { 2x1 3x 2 = λ x 1 x 2 = λ x 2 ma rozwiazania rozne od (0, 0) w R 2. Czy istnieje baza R 2 zlozona z (niezerowych) rozwiazan tego rownania? Jesli istnieje taka baza to prosze podac jej przyklad. 9

10 Sprawdzian 4 (27/01/03) Imie i nazwisko: Grupa: zad max-pkt pkt 1. (4pkt)(Oblicz macierz C = A B, a nastepnie znajdz macierz C 1 gdzie A = B = (9pkt)(Uwaga przeczytac calosc przed zrobieniem, (d) nie wymaga rachunkow) (a) Znajdz wymiar i baze przestrzeni W = lin(α 1, α 2, α 3, α 4 ) generowanej przez wektory α 1 = ( 1, 0, 2, 2), α 2 = ( 1, 1, 5, 4), α 3 = (3, 2, 12, 10), α 4 = (2, 2, 10, 8). (b) Sprawdz dla jakiego parametru s wektor β = (2, 1, 1, s) lezy w przestrzeni generowanej przez wektory α 1, α 2, α 3, α 4 (c) Dla parametru s z punktu (b) znajdz wspolrzedne wektora β W w bazie przestrzeni W znalezionej w punkcie (a). (d) Odpowiedz na nastepujace pytania (odpowiedz uzasadnij) Od ilu parametrow zalezy rozwiazanie ogolne rowania ( ) x 2 x 3 x 4 = 0 Jaki jest wymiar przestrzeni opisanej przez rownanie (*) (wymiar przestrzeni rozwiazan)? Czy wszystkie wektory nalezace do zbioru W spelniaja rownanie (*)? Czy zbiorem rozwiazan rowania (*) jest dokladnie zbior W? 3. (pkt7) Dla jakich parametrów λ uklad { x 1 = λ x 1 3x 1 2x 2 = λ x 2 ma rozwiazania rozne od (0, 0) w R 2. Czy istnieje baza R 2 zlozona z (niezerowych) rozwiazan tego rownania? Jesli istnieje taka baza to prosze podac jej przyklad. 10

11 Sprawdzian 4 (27/01/03) Imie i nazwisko: Grupa: zad max-pkt pkt 1. (4pkt)(Oblicz macierz C = A B, a nastepnie znajdz macierz C 1 gdzie A = B = (9pkt)(Uwaga przeczytac calosc przed zrobieniem, (d) nie wymaga rachunkow) (a) Znajdz wymiar i baze przestrzeni W = lin(α 1, α 2, α 3, α 4 ) generowanej przez wektory α 1 = (1, 0, 1, 3), α 2 = ( 2, 3, 5, 3), α 3 = ( 2, 3, 1, 15), α 4 = (2, 2, 4, 0). (b) Sprawdz dla jakiego parametru s wektor β = (2, 3, 5, s) lezy w przestrzeni generowanej przez wektory α 1, α 2, α 3, α 4 (c) Dla parametru s z punktu (b) znajdz wspolrzedne wektora β W w bazie przestrzeni W znalezionej w punkcie (a). (d) Odpowiedz na nastepujace pytania (odpowiedz uzasadnij) Od ilu parametrow zalezy rozwiazanie ogolne rowania ( ) 4x 1 2x 2 x 3 x 4 = 0 Jaki jest wymiar przestrzeni opisanej przez rownanie (*) (wymiar przestrzeni rozwiazan)? Czy wszystkie wektory nalezace do zbioru W spelniaja rownanie (*)? Czy zbiorem rozwiazan rowania (*) jest dokladnie zbior W? 3. (pkt7) Dla jakich parametrów λ uklad { x1 6x 2 = λ x 1 2x 2 = λ x 2 ma rozwiazania rozne od (0, 0) w R 2. Czy istnieje baza R 2 zlozona z (niezerowych) rozwiazan tego rownania? Jesli istnieje taka baza to prosze podac jej przyklad. 11