p-issn e-issn

Transkrypt

1

2 Wydano za zgodą Retora R e d a t o r n a c z e l n y Wydawnictw Politechnii Rzeszowsiej prof. dr hab. inŝ. Leonard ZIEMIAŃSKI R a d a N a u o w a prof. Mohamed Eid Francja), prof. David Valis Czechy) prof. Nadežda Števulová Słowacja) prof. Antonio João Carvalho de Albuquerque Portugalia) prof. Volodymyr V. Cherniu Uraina) prof. João Antonio Saraiva Pires da Fonseca Portugalia) prof. Dušan Katunsy Słowacja), prof. Vincent Kvoča Słowacja) prof. Zinoviy Bliharsyy Uraina), prof. Tomasz Winnici Polsa) prof. Czesława Rosi-Dulewsa Polsa), prof. Krzysztof Knapi Polsa) prof. Janusz A. Tomasze Polsa), prof. Jerzy Zióło Polsa) prof. Ryszard L. Kowalczy Polsa), prof. Stanisław Kuś Polsa) K o m i t e t R e d a c y j n y afiliacja: Polsa) redator naczelny dr hab. inŝ. Piotr KOSZELNIK, prof. PRz redatorzy tematyczni nauowi) prof. dr hab. inŝ. Alesander KOZŁOWSKI, prof. dr hab. inŝ. Janusz RAK redator statystyczny dr hab. inŝ. Szczepan WOLIŃSKI, prof. PRz seretarz redacji dr inŝ. Katarzyna PIETRUCHA-URBANIK członowie dr inŝ. Renata GRUCA-ROKOSZ, dr inŝ. arch. Anna SIKORA dr inŝ. Zdzisław PISAREK, dr inŝ. Lucjan ŚLĘCZKA P r z y g o t o w a n i e m a t r y c Piotr NAZARKO p-issn e-issn Wersja druowana Kwartalnia jest wersją pierwotną. Redacja czasopisma: Politechnia Rzeszowsa, Wydział Budownictwa i InŜynierii Środowisa, al. Powstańców Warszawy 6, Rzeszów, -nauowe/czasopismo-inzynierii-ladowej-s/ piet@prz.edu.pl) Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechnii Rzeszowsiej, al. Powstańców Warszawy 1, Rzeszów, oficyna1@prz.edu.pl) Informacje dodatowe i stopa str. 1

3 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14 SPIS TREŚCI Bartłomiej BLACHOWSKI, Witold GUTKOWSKI: Minimum weight design of composite floors under human induced vibrations... 5 Danuta BRYJA, Ryszard HOŁUBOWSKI: Wpływ duŝych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu olejowego z losowo zmienną sztywnością podsypi Jace JAWORSKI, Olga SZLACHETKA: Drgania własne słupów w ształcie ściętego stoŝa Marcin KAMIŃSKI, Jace SZAFRAN: Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wieŝ teleomuniacyjnych Janusz KAWECKI, Krzysztof KOZIOŁ, Krzysztof STYPUŁA: Weryfiacja modeli dynamicznych na podstawie wyniów pomiarów tła dynamicznego Krystyna KUŹNIAR, Edward MACIĄG, Tadeusz TATARA: Unormowane spetra odpowiedzi od drgań powierzchniowych wzbudzanych wstrząsami górniczymi Roman LEWANDOWSKI, Mieczysław SŁOWIK: Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy uŝywanej w tłumiach drgań Bogusław ŁADECKI, Sławomir BADURA: Analiza dynamiczna mostu przeładunowego o onstrucji powłoowej Waldemar ŁATAS: Optimal tuning of the tunable translational-rotational dynamic absorbers in global vibration control problems in beams... 17

4 4 Katarzyna MISIUREK, Paweł ŚNIADY: Stochastyczne drgania beli sandwiczowej wywołane obciąŝeniem ruchomym. Analiza orelacyjna Stanisław NOGA: Vibration analysis of a thin ring interacting with the annular plate treated as an elastic foundation Karol PERETA: Wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu austycznego Dariusz SZYBICKI, Krzysztof KURC, Magdalena MUSZYŃSKA, Mirosław SOBASZEK: Dynamia gąsienicowego robota inspecyjnego Dariusz SZYBICKI, Łuasz RYKAŁA, Magdalena MUSZYŃSKA: WyrównowaŜanie mas w ruchu obrotowym Józef SZYBIŃSKI, Piotr RUTA: Analiza drgań swobodnych niepryzmatycznego pręta cienościennego Paweł ŚNIADY, Filip ZAKĘŚ: Drgania wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych wywołane siłą ruchomą Marcin TEKIELI, Łuasz MICHALSKI: Badania dynamiczne obietów mostowych niepodlegających obciąŝeniom próbnym w onteście monitoringu stanu onstrucji Stanisław WOLNY, Sławomir BADURA: Ocena wpływu obciąŝeń esploatacyjnych na stan napręŝenia w elementach nośnych onstrucji basztowej wieŝy szybowej w świetle przeprowadzonych esperymentów... 9

5 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Bartlomiej BLACHOWSKI 1 Witold GUTKOWSKI MINIMUM WEIGHT DESIGN OF COMPOSITE FLOORS UNDER HUMAN INDUCED VIBRATIONS The paper is concerned with a minimum weight design of composite floors subjected to dynamic loading, deriving from the rhythmic activity of a group of people. The floor structure consists of concrete slab cast, on thic trapezoidal dec, which is supported by a grid of steel beams. The structure is vibration-prone and exhibits a number of natural frequencies, which are within a range of loading function. Mini-mum weight design consists in assigning, from catalogues of prefabricated plates and beams appropriate elements assuring fulfillment of imposed constraints on dis-placements and accelerations. Applied, practical discrete optimization method is based on graph theory and finite element analysis. Efficiency of the proposed de-sign is demonstrated in an example of real-world engineering structure. Keywords: structural optimization, discrete optimization, structural vibrations, composite floor structure 1. Introduction Recent trends in building design exhibit large open spaces, with significant spans between columns, reaching even 9m [6]. On the other hand, there are increasing demands for saving of the structural material and fast erection processes. This is reflected in application of new technologies in construction industry. As a result of this, designers have to minimize the structural weight, verifying not only their static behavior, but also assuring required level of serviceability with respect to vibrations. Such a situation was observed on lightweight, London s Millennium Footbridge. Another example of vibration-prone structure is a composite floor, which consists of a concrete slab cast on a trapezoidal dec, supported by steel beams. 1 Bartlomiej Blachowsi, Institute of Fundamental Technological Research, Pawinsiego 5b, -16 Warsaw, Poland, bblach@ippt.gov.pl Autor do orespondencji/corresponding author: Witold Gutowsi, Institute of Mechanised Construction and Roc Mining, Racjonalizacji 6/8, -673 Warsaw, Poland, wgutow@ippt.gov.pl

6 6 B. Blachowsi, W. Gutowsi Nowadays, the composite floors are more frequently applied in public and office buildings as well as in hospitals and sport facilities. The above issues were the main reason for new updated recommendations and guidelines for engineers [6], dealing with dynamic problems in structures. Additionally, some standards oblige designers to verify not only the value of natural frequency of the considered structure, but indicate vibration levels, which are acceptable for humans [4, 5]. Traditional approach to structural design was an iterative approach, relying mostly on experience of the designer. Currently, design process can be significantly simplified and automated, allowing obtaining a solution by means of optimization procedures. The optimality criteria can be related to the weight of a structure or its cost. Optimization process taes into account several constraints. These constrains are required by structural codes on strength of material, but can be related also to displacement or accelerations. Among many discrete optimization methods, there are methods, lie genetic or evolutionary optimizations. However such methods are time consuming and require a number of parameters, which has to be tuned, in order to obtain an optimal solution. In this paper, an alternative approach has been proposed. It is based on graph representation of the structural optimization problem and is described in detail in previous authors papers [, 3]. The proposed solution is verified by an example of discrete optimization of composite floor subjected to rhythmic crowd activity.. Vibration response of composite floors Dynamic response of a composite floor Fig.1) is calculated applying Finite Element Method. The vector equations of motion of N-degree of freedom system have the following form: where Mq t) Cq t) Kq t) p t) 1) - M, C, K are mass, damping and stiffness matrices respectively - q t), q t), q t) are accelerations, velocities and displacements vectors respectively - p t) is external force vector The stiffness matrix contains orthotropic properties of the slab, together with offset between mid-plane of the slab and principal axis of the steel beams.

7 Minimum weight design of composite floors... 7 Applying modal transformation the structural displacement vector be transformed into qt) can q t) Φη t) ) where Φ is matrix whose columns represent mode shapes of the system. First mode shape for typical composite floor is presented on Fig.. Substituting ) in 1) we get where η t) ZΩη t) Ω η t) Φ T p t) 3) - Z is modal damping matrix T - Ω Φ KΦ diagonal. is the matrix with squares of natural frequencies on its 1 3 Fig. 1. Steel-concrete composite floor 1-RC slab, -trapezoidal steel sheet, 3-steel beam) Rys. 1. Zespolony strop stalowo-betonowy 1-strop żelbetowy, -blacha trapezowa, 3- bela stalowa Right hand side of the equation 1) represents time varying load, coming from synchronized human activity. This load can be expanded into Fourier series as follows [6] H p t) B1 h sin hf pt h 4) h1

8 8 B. Blachowsi, W. Gutowsi where - B is load pattern vector with components equal to the human weight. - H is the number of harmonics considered - f p is frequency corresponding to the first harmonic - h is the h-th Fourier coefficient - h is the h-th phase lag Fourier coefficient in the above equation are determined experimentally [1]. Fig.. 1st mode shape of steel-concrete composite floor Rys.. Pierwsza postać drgań stalowo-betonowego stropu zespolonego Having system matrices and loading vector one can determine vibration response of the composite floor in one of two following ways. In the first approach numerical integration of equation of motion is conducted using one of wellestablished methods for example Newmar method). Then, having time history of acceleration one can determine root-mean-square RMS) of acceleration at a given period of time. Example of loading function time history and corresponding acceleration of selected point of composite floor and presented in Fig.3. The second approach, which is much more computationally efficient, assumes that RMS value of acceleration can be estimated from summation of indi-

9 Minimum weight design of composite floors... 9 Fig. 3. Time history of loading function above) and corresponding acceleration of composite floor below) Rys. 3. Przebiegi czasowe funcji wymuszającej powyżej) oraz odpowiadającej jej wartości przyspieszenia stropu poniżej) vidual harmonics for individual mode shapes. This approach can be expressed in the following form RMS j) j) hg j) q j, h r e Dh 5) where - - j) r is r-th component of j-th mode shape component corresponding to the point at which response is evaluated j) e is e-th component of j-th mode shape corresponding to the point at which excitation is applied - G is weight of the human body g)

10 1 B. Blachowsi, W. Gutowsi - D j) h is dynamic amplification factor j) hf p / f 1 hf j) / f ) hf j) / f p The RMS of acceleration can be found from summation N modes H RMS j1 h1 RMS j, h q q 6) 3. Graph based discrete structural optimization The applied here minimizing approach is called discrete optimization method. It consists in searching optimal solution among all combinations arising from number of design variables and number of available prefabricated elements listed in a catalogue. From the mathematical point of view this is a combinatorial problem whose computational complexity can be evaluated with aid of the following formula p n m j j1 7) where - n is a number of design variables - m j is a number of catalogue values for j-th design variable.,) j A A j A j A 1 j Vmin V Fig. 4. Graph representation of structural volume V V d Rys. 4. Objętość onstrucji reprezentowana przez graf Vmax

11 Minimum weight design of composite floors From the equation 7), one can easily conclude, that even in a relatively simple problem, which 1 design variables with 1 catalogue available values there are 1 1 combinations. Such a large number of combinations is quite demanding even for modern PC computers. That s why an approximate, heuristic method has to be used. Most common discrete optimization methods are evolutionary algorithms. However, they rely on a numbers of parameters, which have to be found experimentally. Graph based discrete optimization method is a simpler, alternative for evolutionary algorithms. It relies only on a continuous optimum and graph representation of the cost function. Each of two branches of the tree graph Fig.4) is created from a set of numbers representing round-down, and round-up values of the continuous solution, as follows: A j A j A 1 j, j 1,, n 8) where A j is j-th design variable obtained in continuous optimization process. Assuming that discrete solution cannot be smaller than continuous one, a large number of combination is removed from further consideration. V V d 9) Where V n m j d j Aj l j 1 is volume of the structure for discrete values of design variables and l j is a length of j-th design variable. Details of the graph based discrete optimization are presented in previous authors papers [, 3]. 4. Numerical example The presented example deals with the discrete optimization of a composite floor subjected to synchronized crowd activity. The floor under consideration is composed of a concrete slab and a grid of supporting beams Fig.5). The data for the structure are taen from the paper by Smith et al. [6]. The concrete slab is cast on top of.9 mm trapezoidal steel dec. The slab is supported by 9m secondary steel beams, which, in turn, are supported by primary beams. The beams are selected from British Universal Beams Catalogue, containing 55 different sets of I-beams with cross section areas ranging from 16.5 cm to 8.1 cm. The thicness of the RC slab can be selected from 5 different values [.1;.1;.14;.16;.18;.] m. Slab thicness together with 5 cross sectional areas of steel beams are taen, as 6 design variables in the problem, which gives 5 times 55 5 possible combinations.

12 1 B. Blachowsi, W. Gutowsi All mode shapes below Hz have been found. Modal damping for all modes is 1% of critical damping. Constraints were imposed on stresses, displacement and accelerations. Fig. 5. Grid of steel beams supporting concrete slab Rys. 5. Ruszt bele stalowych stanowiących podporę dla płyty żelbetowej According the algorithm presented in paper [3], in order to find minimum weight of the composite floor the following steps have been proceeded: Step 1. The weight of all 6 structural components design variables) are obtained from continuous optimization. They are presented in Table 1. Step. The list of two closest catalogue values to continuous ones are also listed in Table 1. Step 3. Three graphs are created for different order of design variables. Step 4. Based on the 3 graphs from previous step, 3 different weights of the total structure are found [5178; 58; 9198] g. Verifying static and dynamic constraints for all three cases, we found that the lowest weight solution doesn t fulfill imposed constrains. Then, the solution with weight equal to 58 g has been selected as the discrete optimal solution. The corresponding cross section areas and slab thicness are presented in Table 1.

13 Minimum weight design of composite floors Table 1. Optimal cross section areas of the beams and RC slab thicness Tabela 1. Optymalne przeroje i grubość płyty żelbetowej Lining group 1 concrete plate) 9m secondary beams) 3 9m primary beams) 4 6m primary beams) 5 9m perimeter beams) Structural weight g) Continuous solution Two-branch graph for beams and plate Discrete solution 5. { 5., 3.} 5. Slab thicness = 1 cm) { 56.99, 59.8} 59.8 UB 457x15x6) { , 179.6} UB 61x35x179) { 11.19, 19.4} 19.4 UB 533x1x19) { 6.5, 67.1} 6.5 UB 533x1x6) 5178 { 4933, 9557} Conclusions Minimum discrete weight of the composite floor, under constraints imposed on displacement and accelerations is found. The considered structure was subjected to dynamic loading induced by rhythmic crowd activity. Discrete optimum is calculated for a set of three different graphs. Solution procedure is relatively simple, comparing with other discrete optimization methods. References [1] Bachmann H. and Amman W.: Vibrations In Structures: Induced by Man and Machines, IABSE, [] Blachowsi B., Gutowsi W..: A hybrid continuous-discrete approach to large discrete structural optimization problems, Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 41, Issue 6, 1, pp [3] Blachowsi B., Gutowsi W.: Graph based discrete optimization in structural dynamics, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, Vol. 6, No. 1, 14, pp [4] BS 647:199 Guide to evaluation of human exposure to vibration In building 1 Hz to 8 Hz), British Standards Institution, 199. [5] ISO 1137 Bases for design of structures Serviceability of buildings against vibration, International Organisation for Standardization, 7.

14 14 B. Blachowsi, W. Gutowsi [6] Smith A.L., Hics S.J., Devine P.J., Design of floors for vibration: A new approach, Revised Edition, SCI Publication P354, 9. DYSKRETNA OPTYMALIZACJA STROPÓW ZESPOLONYCH PODDANYCH DRGANIOM WYWOŁANYCH PRZEZ LUDZI S t r e s z c z e nie W pracy przedstawiono optymalizację ze względu na minimum ciężaru stropów zespolonych poddanych dynamicznym obciążeniom wywoływanym przez rytmicznie poruszającą się grupę ludzi np. podczas ćwiczeń). Rozpatrywana onstrucja stropu słada się z płyty żelbetowej wylewanej na szalunu traconym w postaci blachy trapezowej, tóra z olei oparta jest na ształtowniach stalowych. Taa onstrucja stropu jest podatna na drgania i posiada wiele częstotliwości własnych znajdujących się w zaresie wymuszeń dynamicznych. Proponowana w pracy minimalizacja ciężaru polega na doborze grubości płyty żelbetowej z oreślonego zestawu grubości oraz doborze bele stalowych z atalogu profili walcowanych, całość przy spełnieniu nałożonych ograniczeń na naprężenia, przemieszczenia i przyspieszenia. Efetywność metody została zaprezentowana na przyładzie rzeczywistej onstrucji inżyniersiej tego typu. Słowa luczowe: optymalizacja onstrucji, dysretna optymalizacja, drgania, stalowo-betonowe stropy zespolone DOI:1.786/rb.14.5 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

15 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Danuta BRYJA 1 Ryszard HOŁUBOWSKI WPŁYW DUŻYCH PRĘDKOŚCI W ANALIZIE STOCHASTYCZNYCH DRGAŃ MOSTU KOLEJOWEGO Z LOSOWO ZMIENNĄ SZTYWNOŚCIĄ PODSYPKI Przedmiotem pracy jest analiza drgań belowego mostu olejowego z nawierzchnią podsypową, obciążonego przejazdami pociągu z dużymi prędościami. W analizie uwzględniono losowe zmiany sztywności podsypi wzdłuż toru olejowego. Przedstawiono dynamiczny model pociągu, sładający się z pojazdów szynowych o 6 stopniach swobody i wyprowadzono równania drgań uładu: dźwigar mostowy nawierzchnia podsypowa pociąg. Stosując metodę Monte Carlo wy-znaczono przebiegi czasowe wartości oczeiwanych i odchyleń standardowych, do-tyczących przemieszczeń i przyspieszeń drgań. Przedstawiono wyresy ilustrujące zależność masymalnych wartości badanych charaterysty probabilistycznych od prędości pociągów. Na podstawie analizy wyniów obliczeń sformułowano wniosi dotyczące oceny wpływu dużych prędości na: a) wartości oczeiwane ugięć i przyspieszeń toru i dźwigara, b) odchylenia standardowe jao miary rozrzutu drgań, spowodowanego losowymi zmianami sztywności podsypi. Słowa luczowe: mosty olejowe, drgania losowe, symulacje Monte Carlo, charaterystyi probabilistyczne, analiza przemieszczeń, analiza przyspieszeń 1. Wprowadzenie Obecnie obserwuje się na świecie intensywny rozwój sieci szybich połączeń olejowych. W wielu rajach są rozbudowywane trasy olejowe przystosowane do dużych prędości, budowane są linie nowe i modernizowane są linie istniejące. Taże w Polsce są opracowywane plany budowy Kolei Dużych Prędości. Najnowsza oncepcja KDP w Polsce przewiduje budowę tzw. linii Y, 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Danuta Bryja, Instytut Inżynierii Lądowej, Politechnia Wrocławsa, Wyb. Wyspiańsiego 7, 5-37 Wrocław, tel. 71) 3 33, danuta.bryja@pwr.edu.pl Ryszard Hołubowsi, Instytut Inżynierii Lądowej, Politechnia Wrocławsa, Wyb. Wyspiańsiego 7, 5-37 Wrocław, tel. 71) , ryszard.holubowsi@pwr.edu.pl

16 16 D. Bryja, R. Hołubowsi czyli trasy olejowej, tóra połączy Warszawę, Łódź, Poznań i Wrocław, zapewniając rozwinięcie prędości o. 3 m/h. Zwięszenie prędości taboru szynowego powoduje wzrost dynamicznych oddziaływań pojazdów na nawierzchnie olejowe oraz obiety inżynieryjne, w tym mosty olejowe [11], co jest nieorzystne z puntu widzenia trwałości onstrucji, omfortu jazdy a nawet bezpieczeństwa użytowania. Stąd, duże znaczenie mają badania umożliwiające prognozę i ocenę drgań w onteście dużych prędości i wpływu różnych warunów esploatacyjnych. Efety dynamiczne obciążenia ruchem olejowym w dużym stopniu zależą od nieregularności nawierzchni olejowej, geometrycznych i materiałowych, tóre pojawiają się w tracie esploatacji nawet na liniach dużych prędości o wysoim standardzie technicznym [8]. W literaturze można znaleźć wiele publiacji, w tórych autorzy uwzględniają nierówności geometryczne szyn w analizie drgań mostów olejowych np. [], [1]), natomiast efety spowodowane zmiennością cech podsypi tłuczniowej są zazwyczaj pomijane. To podejście nie wydaje się właściwe, jeśli weźmiemy pod uwagę wynii analiz drgań toru podsypowego położonego na podtorzu gruntowym [1]. Według Dahlberga [8], zmiany sztywności podsypi wzdłuż toru olejowego mogą znacząco wpływać na oddziaływania dynamiczne między pojazdem i torem, a ich wpływ jest podobny do wpływu nierówności szyn. Wobec powyższego, efety zmian sztywności podsypi nie powinny być pomijane a priori w analizie drgań mostów olejowych, szczególnie w przypadu ruchu pociągów z dużymi prędościami. Stąd, jao cel niniejszej pracy przyjęto ocenę tych efetów w zależności od prędości ruchu pociągów. Zagadnienie będzie rozważane w ujęciu losowym, przy założeniu, że zmiany sztywności podsypi występujące na liniach dużych prędości są niewielie, przypadowe, spowodowane działaniem wielu różnych niezależnych czynniów, taich ja np. wpływy esploatacyjne, środowisowe, zabiegi utrzymaniowe, nierównomierne zagęszczenie. Badane będą przemieszczenia dynamiczne i przyspieszenia drgań mostu z nawierzchnią podsypową, w tórej sztywność podsypi oscyluje losowo na długości toru, woół stałej wartości średniej. Zmiany sztywności podsypi będą opisane funcją losową o zadanej autoorelacji, zależną od zmiennej przestrzennej mierzonej wzdłuż osi toru [5]. Wpływ zmian sztywności będzie oszacowany na podstawie analizy charaterysty probabilistycznych drgań spowodowanych przejazdem pociągu z dużymi prędościami. Wzięto pod uwagę fat, że drgania mostu są niestacjonarnymi procesami stochastycznymi, tóre wyznacza się na podstawie rozwiązania równań ruchu o zmiennych współczynniach. Stąd, do wyznaczenia badanych charaterysty, czyli wartości oczeiwanych i odchyleń standardowych, zastosowano metodę symulacyjną Monte Carlo. W analizach numerycznych wyorzystano metodyę i wniosi z wcześniejszych badań autorów, opisanych w publiacjach [4]-[7]. Badania te wyazały między innymi, że odchylenia standardowe drgań, szczególnie przyspieszeń, istotnie zależą od sposobu modelowania pojazdu szynowe-

17 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu go [7]. W związu z tym, przyjęto do obliczeń bardziej realistyczny model obciążenia ruchem taboru olejowego niż w pracach poprzednich, gdzie rozważano obciążenie w postaci uładu ruchomych nieresorowanych mas supionych. Rozbudowano wcześniej stosowany model obliczeniowy mostu olejowego poprzez wprowadzenie dodatowego poduładu dynamicznego o własnych stopniach swobody, tóry reprezentuje pojazd szynowy.. Model obliczeniowy uładu most tor pociąg.1. Dynamiczny model pociągu W pracy przyjęto powszechnie stosowany w literaturze model dynamiczny pociągu, w postaci zespołu N v powtarzalnych pojazdów jednoste napędowych) na dwuosiowych wózach jezdnych z dwustopniowym uładem zawieszenia por. [3]). Założono, że ażdy pojazd słada się z nadwozia, dwóch wózów jezdnych oraz czterech zestawów ołowych, połączonych ze sobą uładem więzi sprężysto-tłumiących modelujących pierwszy i drugi stopień zawieszenia rys. 1. Nadwozie oraz dwa wózi jezdne są tratowane jao sztywne tarcze masowe, posiadające dwa niezależne dynamiczne stopnie swobody: przemieszczenie pionowe w i oraz obrót φ i, gdzie i = 1,, 3. Masy i centralne biegunowe momenty bezwładności masy nadwozia i wózów jezdnych oznaczono olejno symbolami: M c, J c oraz M b, J b. Parametry sztywności i tłumienia zawieszeń wynoszą odpowiednio: 1, c 1 oraz, c. Przyjęto, że zestawy ołowe o masie M w pozostają w pełnym ontacie z szyną podczas ruchu pociągu, stąd ich pionowe przemieszczenia W 1 W 4 są równocześnie ugięciami szyny w puntach ontatu. W ten sposób, drgania ażdego pojazdu są opisane przez 6 wewnętrznych stopni swobody zebranych w wetorze w v oraz 4 przemieszczenia pionowe szyny śledzące położenie osi zestawów ołowych, zebrane w wetorze W v, gdzie T v [ w1, w, w3, 1,, 3] w, T v [ W1, W, W3, W4 ] W 1) Rys. 1. Dynamiczny model pojazdu szynowego Fig. 1. Dynamic model of a single vehicle

18 18 D. Bryja, R. Hołubowsi Po sporządzeniu bilansu energetycznego i wyorzystaniu równań Lagrange a otrzymuje się równanie drgań pojazdu, tóre można zapisać w następującej postaci ogólnej B w v i v C w v i v K v w i v F, gdzie i v wv w i v ) W v i v Indes i v oznacza numer pojazdu liczony od czoła pociągu por. rys. ). Macierze: bezwładności B v, tłumienia C v i sztywności K v mają wymiar 1 1 i są jednaowe dla wszystich pojazdów. Wetor sił wzbudzających o wymiarze 1 1 jest wetorem bloowym o postaci F i v Fv i v, gdzie T F v [ F1 t), F t), F3 t), F4 t)] 3) Siły F 1t) F 4t) są dynamicznymi oddziaływaniami toru na zestawy ołowe. Dodatnie zwroty sił poazano na rys.. Rys.. Ogólny model pociągu i mostu oraz ich wzajemne oddziaływania Fig.. General model of the train and bridge and their interactions Równania ) dotyczące olejnych pojazdów i v = 1,,, N v zapisano dalej w sposób łączny tworząc wetory w t = colw 1,, w Nv), F t = colf 1,, F Nv) i macierze bloowo-diagonalne typu B t = diagb v) 1,, B v) Nv). Symbol col oznacza tu macierz olumnową wetor). Następnie zmieniono uporządowanie równań, grupując równania związane z wewnętrznymi stopniami swobody olejnych pojazdów. Przemieszczenia odpowiadające wewnętrznym stopniom swobody zestawiono w wetor w T = colw v) 1,, w v) Nv), tóry zawiera 6N v elementów. Pozostałe równania tworzą drugą grupę związaną z przemieszczeniami zestawów ołowych, tóre tworzą wetor zawierający 4N v elementów: w R = colw v) 1,, W v) Nv).

19 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu Zmianę uporządowania równań zrealizowano przez podstawienie relacji w t = A t colw T, w R) do uładu zbloowanych równań ), gdzie A t jest macierzą przeształcenia polegającego na zmianie uporządowania przemieszczeń. Po lewostronnym pomnożeniu przez macierz A tt, otrzymuje się finalną postać równań opisujących drgania całego sładu pociągu, z podziałem na dwie sprzężone grupy według wcześniej opisanego schematu: B TT w B RR w T R C C TT RT C C TR RR w w T R K K TT RT K K TR RR w w T R F 4) Warto zauważyć, że macierze B RR, C RR i K RR są diagonalne. Ponadto, olejne przemieszczenia zestawów ołowych, zawarte w wetorze w R, są równocześnie ugięciami dynamicznymi szyny w puntach ontatu, w chwili t. Rozwinięcie równania 4) według pierwszego wiersza i przeniesienie na prawą stronę wyrazów zawierających człony sprzęgające prowadzi do równania Β TT T TT T TT T CTRw R KTRwR FT w C w K w 5) tóre opisuje drgania pociągu wzbudzane inematycznie drganiami szyn. Wyniiem rozwinięcia według drugiego wiersza jest natomiast formuła F C w K w B w C w K w RT 6) T RT T RR R tóra oreśla dynamiczne oddziaływania szyny na zestawy ołowe: F jt), gdzie j = 1,, N oraz N = 4N v. Według zasady oddziaływań wzajemnych, są to równocześnie dynamiczne nacisi zestawów ołowych na szynę, przy czym całowite siły nacisu P jt) = G j + F jt), poazane na rys., sładają się z nacisów statycznych G j =,5M c +,5M b + M w)g oraz dynamicznych F jt)... Równania ruchu uładu most tor pociąg W pracy [4] autorzy przedstawili oryginalny, płasi model obliczeniowy uładu: dźwigar mostowy tor podsypowy, tórego obciążeniem jest zbiór ruchomych, nieresorowanych mas supionych. Model ten wyorzystamy do sformułowania równań ruchu uładu złożonego z trzech sprzężonych poduładów: dźwigara mostowego, toru podsypowego i pociągu. Schemat rozważanego uładu jest poazany na rys. 3. Kluczową ideą modelu opisanego szczegółowo w pracy [4] jest założenie, że warstwa podsypi stanowi ciągłe, nieinercyjne podłoże sprężysto-tłumiące typu Winlera, o charaterystyach liniowych x) i cx) zmiennych na długości toru. Uwzględniono strefy dojazdowe, usytuowane przed i za przeprawą mostową, dostatecznie długie, aby wziąć pod uwagę efet propagacji drgań spowodowanych nadjeżdżającym pociągiem. Przyjęto zatem, że tor podsypowy słada się z trzech odcinów: odcina centralnego o rozpiętości L opartego na dźwigarze mostu oraz dwóch stref dojazdowych o długościach L 1 i L, spoczywają- RR R RR R

20 D. Bryja, R. Hołubowsi cych na nieodształcalnym podtorzu. Równania ruchu dźwigara mostowego i trzech odcinów toru wyprowadzono metodą elementów sończonych w ujęciu Galerina, przy czym zarówno dźwigar ja i zespół dwóch szyn tworzących tor potratowano jao pryzmatyczne beli Eulera z ciągłym rozładem masy. Wyprowadzone równania ruchu połączono za pomocą tzw. technii podstrutur, opisanej przez Biondiego [3]. Rys. 3. Schemat uładu: most tor pociąg z uwzględnieniem stref dojazdowych Fig. 3. A bridge trac train system and two approach trac sections Finalne równania ruchu zostały sformułowane w pracy [4] przy założeniu, że obciążeniem toru jest uład ruchomych, nieresorowanych mas supionych modelujących pociąg. Sutiem tego założenia było pojawienie się w równaniach współczynniów zmiennych w czasie. Po ich pominięciu otrzymuje się uład dwóch równań macierzowych zapisanych łącznie w następującej postaci B rr q r Crr B gg q g C gr C C rg gg q q r g K K rr gr K K rg gg q q r g Fr Wszystie oznaczenia użyte w równaniu 7), z wyłączeniem wetora F r, są zdefiniowane w pracy [4]. Nadpisane ropi oznaczają pochodne po czasie, indes g odnosi się do dźwigara mostowego, indes r oznacza tor zespół dwóch szyn). Równania 7) stanowią punt wyjścia do dalszych rozważań. Wetor F r, tóry reprezentuje obciążenie toru przejazdem pociągu, wymaga szczegółowego zdefiniowania. Znana jest ogólna formuła jego agregacji [4]) i T nri T F r Ai A 1 ifi 8) na podstawie wetorów F i zawierających równoważnii obciążenia działającego na -ty element sończony, wyodrębniony w i-tej strefie toru. Indes i oreśla odcine toru: centralny i =, strefę dojazdową przed mostem i = 1 i strefę za przeprawą mostową i =. Symbol n ri oznacza liczbę elementów, na tóre podzielono strefę i. Macierze A i i A i realizują transformacje przemieszczeń wę- 7)

21 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu... 1 złowych, polegające na wyborze onretnego podzbioru i oreślone wzorami Wi Aiqri, qr Aiqr i 9) gdzie: W i wetor przemieszczeń brzegowych elementu w strefie toru i, q ri wetor przemieszczeń węzłowych w strefie toru i, q r pełny zbiór przemieszczeń węzłowych toru trzech stref), z wyłączeniem utwierdzonych węzłów srajnych. Rozład przemieszczeń na długości elementu sończonego l i jest aprosymowany typowymi sześciennymi wielomianami Hermite a, tóre tworzą wetor funcji ształtu N i ), gdzie x / l) i i 1, zatem T w, t) N ) W t) 1) i i i Ja poazano na rys., tor jest obciążony zbiorem ruchomych sił supionych P jt), gdzie P jt) = G j + F jt). Przyjęto, że pociąg porusza się ze stałą prędością v, wtedy położenie j-tej siły na torze w chwili t opisuje funcja s jt) = vt d j, gdzie d j oznacza odległość siły od czoła pociągu, tóre w chwili początowej t = znajduje się na początu lewej strefy dojazdowej toru. Obciążenie -tego elementu sończonego szyny znajdującego się w obrębie i-tego odcina toru, mierzone na jednostę długości, można zapisać następującym wzorem wyrażonym z użyciem funcji delta Diraca δ ): p x i i N, t) j 1 P t)δ x j i s P j i ) P, si j t) s j t) 1) li ai 11) gdzie a = L 1, a 1 =, a = L 1+ L są rozpiętościami poprzedzających odcinów toru oraz N = 4N v. Wetor równoważniów obciążenia ma wówczas postać gdzie F i l i 1 N i p i N ~ Pj, t) d N P t) 1) j1 i j Pj Pj ~ Pj ~ Pj Ni[ )] gdy ;1] ) i t N i i Ni t P 13) j gdy i ;1] jest wetorem funcji ształtu o argumencie j i s j i t) / li, zależnym od czasu, śledzącym położenie siły P jt) względem danego elementu sończonego. Zestawiając nacisi zestawów ołowych pociągu w wetorach: G nacisi statyczne G j), F nacisi dynamiczne F jt)) i P nacisi łączne P jt)), oraz wetory funcji ształtu 13) w olumnach macierzy N ~, w uporządowaniu od j = 1 do i P P

22 D. Bryja, R. Hołubowsi j = N, otrzymujemy na podstawie wzoru 1) F i ~ ~ N P N i i ~ ~ P ~ 1 P G F, gdzie N [ N N...] 14) i Dynamiczne nacisi zestawów ołowych Ft) są oreślone wzorem 6), w tórym występują przemieszczenia zestawów ołowych W jt) zebrane w wetorze w R, a taże ich prędości i przyspieszenia. Przemieszczenia zestawów ołowych są równe ugięciom szyny śledzącym położenie sił P jt), mamy zatem i i W t) w j i P i T i j [ t), t] N [ Pj i t)] W i t) 15) jeśli siła P j znajduje się na -tym elemencie w i-tej strefie toru. Uwzględniając definicję 13) otrzymujemy po wyonaniu obliczeń w w R R ~ T v ~ T ~ T N i W i, w Ni Wi NiW R i 16) i i l i v ~ T v ~ T Ni Wi Ni W ~ T i NiW i 17) l l gdzie ) d / d. Podstawienie zależności 16) i 17) do wzoru 6), a następnie wzoru 6) do 14) daje wyni ~ ~ ~ ~ ~ ~ F N G N F N G N C w N K w i ~ N v l i i i B ~ N RR i B i ~ N T i i v l i ~ N i i ~ T v NiW ~ i NiB li RR C RR RR RT ~ N ~ N T T i T i ~ N ~ N i i i C K RT RR RR ~ N ~ N T T i T i W W i i 18) tóry na podstawie 8) i 9) prowadzi do następującej, ostatecznej postaci wetora obciążenia toru ~ ~ ~ ~ ~ ~ F F C w K w B q C q K q 19) gdzie ~ r r n rt T ri ri T T F r Ai AiNiG, rt i 1 n ri i 1 ~ rt T rr r n rr ~ ~ C A A N C, i 1 ri ~ T T ~ ~ K rt Ai AiNiKRT, B A T T ~ ~ T rr i AiNiBRRNiAiAi, r T i n i 1 T i rr r i RT

23 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu... 3 n ri ~ C A ~ A N rr i 1 n i 1 T i T i T i T i i ri ~ K A ~ A N rr i v B li v l i B RR RR ~ N ~ N T i T i C RR v l i ~ N C T i RR A ~ N i T i A i, K Zdefiniowany w równaniu 5) wetor wymuszenia inematycznego drgań pociągu, po podstawieniu zależności 16) i zsumowaniu po wszystich elementach szyny, przyjmuje postać n ri ri ~ T v ~ T ~ T FT CTR NiW i CTR Ni KTR Ni Wi ) li i 1 n i 1 tórą po uwzględnieniu relacji 9) zapisano ostatecznie w formie ~ ~ F C q K q 1) T Tr r w tórej wprowadzono oznaczenia ~ n Tr r ri ri T T K Tr CTR Ni KTR Ni AiAi, Tr i 1 v li ~ ~ RR ~ N n T i i 1 A TR i A ~ ~ C C N A A. Drgania sprzężonego uładu dźwigar mostowy tor podsypowy pociąg są ostatecznie opisane uładem trzech równań różniczowych BTTw T CTTw T KTTwT FT B q C q K q C q K q B rr gg r q g rr C gg r q g rr K r gg q g rg g C q K gr r rg g gr F q r r i T i. i i ) na tóre słada się równanie 5) opisujące drgania pociągu, wzbudzane inematycznie drganiami toru, oraz równania drgań toru i dźwigara mostowego 7). Po podstawieniu formuł 19) i 1) do równań ) i przeniesieniu na lewą stronę sładniów, tóre zależą od przemieszczeń, prędości i przyspieszeń drgań, uład równań ) można zapisać w następującej postaci, dogodnej do bezpośredniego całowania numerycznego:

24 4 D. Bryja, R. Hołubowsi B TT K ~ K TT rt B rr ~ B ~ KTr ~ K K rr K gr rr rr w T CTT ~ q r CrT B gg q g K K rg gg wt ~ qr Fr qg ~ CTr ~ C C rr C gr rr C C rg gg w q q T r g 3) W równaniach 3) ujawniają się sprzężenia drgań rozważanego uładu. Sprzężenie drgań pociągu i toru olejowego jest onsewencją założenia, że przemieszczenia pionowe zestawów ołowych pojazdu są jednocześnie ugięciami szyny w puntach styu, natomiast za sprzężenie drgań toru i dźwigara mostowego odpowiedzialna jest warstwa podsypi tłuczniowej..3. Symulacja losowych zmian sztywności podsypi Warstwa podsypi w przyjętym modelu obliczeniowym mostu olejowego stanowi podłoże sprężysto-tłumiące typu Winlera, o zmiennych parametrach x) i cx). Ja poazano w pracach [5] i [6], to założenie umożliwia wprowadzenie do modelu obliczeniowego funcji losowej, tóra opisuje niewielie, przypadowe zmiany sztywności podsypi wzdłuż toru olejowego, możliwe na liniach dużych prędości. Przyjęto, że sztywność podsypi x) x) jest sumą stałej wartości średniej i losowej flutuacji x) o zerowej wartości oczeiwanej i znanej funcji orelacyjnej. Biorąc pod uwagę fat, że zmiany sztywności podsypi wyniają z działania wielu niezależnych czynniów, założono zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym, że flutuacja sztywności woół wartości średniej stanowi stacjonarny proces Gaussa. Symulacje numeryczne taiego procesu można stosunowo łatwo przeprowadzić wyorzystując znaną w literaturze aprosymację spetralną procesu stacjonarnego por. [4], [6]), pod waruniem, że znana jest funcja gęstości widmowej procesu. W niniejszej pracy przyjęto funcję gęstości widmowej o postaci ) 4) ) 4 S tóra odpowiada dwuparametrowej funcji orelacyjnej K ) e cos 5) pulsującej harmonicznie z częstością θ [rad/m] i zaniającej wyładniczo wraz ze wzrostem odległości ζ = x 1 x między dwoma puntami x 1, x położonymi na

25 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu... 5 osi toru olejowego. Parametr α > odpowiada za szybość zaniania orelacji, symbol K ) oznacza wariancję procesu. Funcja gęstości widmowej 4) osiąga masymalne wartości w otoczeniu częstości θ = π/t θ, gdzie T θ oznacza dominującą długość fali procesu x), tóry opisuje zmiany sztywności podsypi wzdłuż toru. W dalszych analizach za T θ będzie podstawiany osiowy rozstaw podładów, co oznacza przyjęcie założenia, że zasadnicze zmiany sztywności podsypi zachodzą cylicznie, z częstością odpowiadającą rozstawowi podładów olejowych. To założenie, zgodne z intuicją inżyniersą, zostało potwierdzone doświadczalnie. Wynii badań esperymentalnych, opubliowane przez Dahlberga w pracy [8], wsazują bowiem jednoznacznie na występowanie pewnej charaterystycznej częstości zmian sztywności toru olejowego, wyniającej z istnienia podładów. 3. Badania numeryczne 3.1. Charaterystyi probabilistyczne drgań mostu Do wyznaczenia charaterysty probabilistycznych drgań zastosowano metodę symulacyjną Monte Carlo. Symulację numeryczną stacjonarnego procesu Gaussa, opisującego zmiany sztywności podsypi, przeprowadzono stosując wspomnianą wcześniej aprosymację spetralną procesu, oreśloną wzorami x) N n1 a n cos x ), a ) 6) n n n S n podanymi między innymi w monografii Sobczya i Spencera [1]. Przesunięcia fazowe φ n we wzorze 6) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładzie równomiernym w przedziale od do π, z gęstością 1/π. Amplitudy a n oraz częstości ω n = ω l + n,5)δω [rad/m] sładowych harmonicznych szeregu 6) są powiązane z liczbą wyrazów szeregu N ω, tóra dzieli przedział częstości ω l, ω u) na odcini Δω = ω u ω l)/n ω, gdzie ω l i ω u oreślają dolną i górną granicę przedziału częstości uznanego za istotny. Każdej symulacji procesu zmian sztywności podsypi, obliczonej według wzoru 6), odpowiada onretna realizacja drgań mostu, spowodowanych przejazdem pociągu. Po wyonaniu N symulacji, związanych ażdorazowo z numerycznym wyznaczeniem przebiegów drgań, otrzymuje się zbiór realizacji drgań losowych. Na ich podstawie można wyznaczyć charaterystyi probabilistyczne drgań zmienne w czasie, ponieważ drgania mostu są niestacjonarnymi procesami stochastycznymi. W niniejszej pracy ograniczono obliczenia do wartości oczeiwanych E[ ] i wariancji Var[ ], tóre w olejnych chwilach t są oreślone znanymi wzorami

26 6 D. Bryja, R. Hołubowsi N 1 1 E[ R t)] R i t), Var[ R t)] N Ri t) E[ R t)]) 7) N 1 i1 gdzie Rt) oznacza badany proces odpowiedzi mostu a R it) jego realizację. Na podstawie wariancji obliczono odchylenia standardowe σ Rt) = Var[Rt)]) 1/. 3.. Obiet badań Jao obiet badań przyjęto swobodnie podparty, jednotorowy, belowy most olejowy o rozpiętości L = 3, m. Sztywność giętna żelbetowego dźwigara mostu wynosi E gi g = 1, Nm. Masę warstwy podsypi tłuczniowej oraz podładów olejowych wliczono do równomiernie rozłożonej masy dźwigara m g = 3, g/m. Przyjęto, że parametr tłumienia podsypi jest stały i wynosi cx) = c =, Ns/m, natomiast sztywność podsypi zmienia się losowo wzdłuż toru oscylując woół wartości średniej 1,1 1 8 N/m. Założono, że długości stref dojazdowych toru wynoszą L 1 = L =1 m, uznając na podstawie pracy [3], że jest to długość wystarczająca, aby w numerycznych symulacjach drgań mostu zastąpić tor niesończenie długi. Sztywność giętna beli modelującej szyny toru olejowego wynosi E ri r = 1, Nm a jej masa jednostowa m r = 1,1 1 g/m. W obliczeniach uwzględniono tłumienie materiałowe w szynach z czasem retardacji κ r =,1 1-5 s oraz tłumienie onstrucyjne dźwigara z parametrem wymiarowym μ g =,984 s -1. Drgania mostu i toru olejowego wzbudzane są przejazdem pociągu typu Shinansen, tóry słada się z ośmiu 5-metrowych powtarzalnych jednoste napędowych, z tórych ażda zawiera dwa dwuosiowe wózi jezdne. Osiowy rozstaw wózów wynosi 17,5 m, osiowy rozstaw zestawów ołowych,5 m. Masa nadwozia przy masymalnym obciążeniu użytowym wynosi M c = 3,6 1 4 g, masa ramy wóza jezdnego wraz z masą silniów tracyjnych M b = 4, g, masa zestawu ołowego M w =,4 1 3 g. Masowe biegunowe momenty bezwładności nadwozia i wózów jezdnych, obliczone względem środów masy, wynoszą odpowiednio: J c = 1, g m i J b = 6, g m. Przyjęto następujące wartości parametrów sztywności i tłumienia zawieszeń pojazdu: 1 = 8, N/m, c 1 = 4, Ns/m, =, N/m, c = 1, Ns/m. Zaznaczone na rys. 1 odległości od środów ciężości tarcz masowych do puntów zamocowania zawieszeń wynoszą: e 1 = 8,5 m oraz e = 1,5 m. Wielości opisujące model pociągu Shinansen przyjęto na podstawie monografii [9] Wpływ prędości pociągu na charaterystyi probabilistyczne drgań dźwigara mostowego i toru Wartości oczeiwane i odchylenia standardowe odpowiedzi dynamicznej onstrucji obliczono na podstawie 1 symulacji, załadając, że współczynni N i1

27 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu... 7 zmienności sztywności podsypi /,3 3%. W obliczeniach przyjęto, że parametry funcji orelacyjnej 5) wynoszą α =, oraz θ = 1π/3, przy czym wartość parametru θ odpowiada rozstawowi podładów T, 6 m. Prędość ruchu pociągu zmienia się co 1 m/s począwszy od 3 m/s 18 m/h) do 1 m/s 36 m/h), przy czym wynii podano również dla pierwszej prędości rezonansowej v res = 78,31 m/s 81,94 m/h), obliczonej na podstawie podstawowej częstości własnej uładu dźwigar tor: ω 1 = 19,68 rad/s. Na rys. 4 przedstawiono masymalne wartości oczeiwane, wybrane z przebiegów czasowych, oraz masymalne odchylenia standardowe ugięć dynamicznych dźwigara i toru olejowego w środu rozpiętości mostu, w zależności od prędości przejazdu pociągu. Cechą charaterystyczną wyresów wartości oczeiwanych jest znaczny wzrost przemieszczeń w strefie prędości rezonansowej. Przemieszczenia zaczynają narastać już po przeroczeniu ooło 6 m/s 16 m/h), osiągają masimum dla prędości rezonansowej, potem maleją do poprzedniego poziomu, osiągając go przy prędości ooło 9 m/s 34 m/h). Strefa zwięszonych ugięć dynamicznych obejmuje więc dość szeroi zares dużych prędości: od 6 do 9 m/s. Poza tą strefą wartości oczeiwane ugięć utrzymują się w przybliżeniu na stałym poziomie i wynoszą w przypadu dźwigara od,9 do 3,4 mm, w torze od 3, do 3,9 mm. Prędości rezonansowej odpowiadają dwurotnie więsze wartości oczeiwane ugięć. Można zauważyć, że po przeroczeniu prędości rezonansowej wartości oczeiwane ugięć dynamicznych szyny i dźwigara pratycznie się zrównują. To oznacza, że efetem bardzo dużych prędości jest między innymi znaczne zwięszenie dynamicznej sztywności warstwy sprężystej, łączącej tor z dźwigarem, co sutuje dużym wzrostem przyspieszeń drgań toru. Efet ten jest widoczny na rys. 5, gdzie poazano wynii analogiczne do przedstawionych na rys. 4, ale dotyczące przyspieszeń. Wartości oczeiwane przyspieszeń drgań toru rosną znacznie ze wzrostem prędości przejazdu pociągu, w przeciwieństwie do przyspieszeń dźwigara mostowego, tóre utrzymują się na stosunowo nisim poziomie od,5 do 1,5 m/s, z loalnym masimum m/s w strefie prędości rezonansowej. Wzrost przyspieszeń toru nie jest monotoniczny, widoczne są loalne estrema: przy prędości jazdy pociągu 6 m/s 7 m/s, przy prędości rezonansowej v res = 78,31 m/s prawie 13 m/s, oraz przy prędości 9 m/s ponad 17 m/s. Są to wartości bardzo duże w porównaniu z wartościami granicznymi, oreślonymi w załączniu A do PN-EN 199 [13], gdzie podano, że pionowe przyspieszenie nadwozia pojazdu nie powinno przeraczać 1, m/s przy bardzo dobrym poziomie omfortu jazdy, 1,3 m/s przy dobrym i, m/s przy dostatecznym. Stąd wynia wniose, że przy dużych prędościach pociągów bardzo duże znaczenie ma odpowiedni dobór parametrów zawieszenia pojazdów szynowych, aby wytłumić drgania toru przeazywane na nadwozie pojazdu i zapewnić właściwy omfort jazdy. W tym celu należy przeprowadzić doładniejszą analizę drgań, w tym drgań pojazdu, z uszczegółowieniem modelu

28 8 D. Bryja, R. Hołubowsi obliczeniowego pociągu, w tórym powinna być uwzględniona możliwość chwilowego odrywania się ół pojazdu od toru, np. przez wprowadzenie więzi ontatowych typu Hertza [9]). Rys. 4. Masymalne wartości oczeiwane i masymalne odchylenia standardowe przemieszczeń dźwigara i toru w środu rozpiętości mostu Fig. 4. Maximum expected values and maximum standard deviations of girder and trac displacements at the bridge mid-span

29 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu... 9 Rys. 5. Masymalne wartości oczeiwane i masymalne odchylenia standardowe przyspieszeń drgań dźwigara i toru w środu rozpiętości mostu Fig. 5. Maximum expected values and maximum standard deviations of girder and trac accelerations at the bridge mid-span Miarą wpływu nieregularności cech sprężystych podsypi na drgania dźwigara mostowego i szyn są odchylenia standardowe, tóre informują o tym, jai jest rozrzut badanej odpowiedzi onstrucji, spowodowany losową zmiennością sztywności podsypi. Ja wynia z rys. 4, rozrzut ugięć dynamicznych dźwigara i toru jest bardzo niewieli, pomijalnie mały z inżyniersiego puntu widzenia odchylenia standardowe są wielorotnie mniejsze od wartości oczeiwanych i nie wyazują stałej tendencji wzrostowej ze wzrostem prędości przejazdu pociągu. Trzeba podreślić, że wpływ zmian sztywności podsypi na ugięcia dynamiczne onstrucji oazał się pomijalnie mały pomimo tego, że współczynni

30 3 D. Bryja, R. Hołubowsi zmienności sztywności względem wartości średniej założono na dość wysoim poziomie 3%. Z rys. 5 wynia natomiast, że założone, losowe zmiany sztywności podsypi mają widoczny wpływ na przyspieszenia drgań, jedna w przypadu dźwigara mostowego wpływ ten nie jest duży. Najwięsze masymalne odchylenie standardowe przyspieszeń, pojawiające się przy prędości pociągu 7 m/s, wynosi ooło,17 m/s, co stanowi 17% masymalnej wartości oczeiwanej przyspieszenia, wyznaczonej przy tej prędości. Rozrzut przyspieszeń rzędu 17% wydaje się znaczący, jedna biorąc pod uwagę fat, że wartości oczeiwane są stosunowo małe, można stwierdzić, że zmiany sztywności podsypi nie mają dużego wpływu na przyspieszenia dźwigara, nawet przy dużych prędościach ruchu pociągu. W przypadu toru, odchylenia standardowe przyspieszeń szybo rosną wraz ze wzrostem prędości pociągu. Należy jedna zauważyć, że równocześnie rosną wartości oczeiwane, dlatego najwięsza wartość masymalna odchylenia standardowego, występująca przy prędości 9 m/s, stanowi tylo ooło 7% odpowiedniej wartości oczeiwanej. Przy prędości 7 m/s otrzymujemy wartość 15%. Chociaż rozrzut przyspieszeń drgań toru generalnie nie jest duży w porównaniu z wartościami oczeiwanymi, to jedna przy dużych prędościach jego wartość może przeraczać 1 m/s. Uwzględnienie zmian sztywności podsypi może mieć zatem istotne znaczenie w ocenie omfortu jazdy a taże niezawodności zmęczeniowej szyn. W ujęciu stochastycznym problemu niezawodności niezbędne jest bowiem wyznaczenie częstotliwości występowania piów naprężeń, tóra zależy od przyspieszeń zmian naprężeń w materiale [1], a te z olei są bezpośrednio związane z przyspieszeniami drgań. 4. Podsumowanie W pracy zaprezentowano efetywną metodę wyznaczania charaterysty probabilistycznych drgań uładu dźwigar mostowy tor pociąg, z nawierzchnią podsypową o losowo zmiennej sztywności. Przeprowadzono analizy numeryczne dla różnych prędości przejazdu pociągu, z uwzględnieniem prędości rezonansowej. Przy założonym, średnim poziomie zmian sztywności podsypi tłuczniowej 3%), uzysano wynii pozwalające sformułować następujące wniosi: Duże prędości, przeraczające 6 m/s, mają istotny wpływ na wartości oczeiwane ugięć dynamicznych dźwigara mostowego i toru olejowego a taże na wartości oczeiwane przyspieszeń toru. Nie wpływają natomiast znacząco na wartości oczeiwane przyspieszeń dźwigara. W obszarze dużych prędości pojawia się rozległa strefa rezonansowa, w tórej następuje znaczny wzrost wartości oczeiwanych ugięć dźwigara i toru dwurotny w badanym obiecie, przy prędości rezonansowej.

31 Wpływ dużych prędości w analizie stochastycznych drgań mostu Efetem bardzo dużych prędości, więszych od prędości rezonansowej, jest zjawiso usztywnienia warstwy sprężystej w nawierzchni olejowej, tórego sutiem są bardzo duże wartości oczeiwane przyspieszeń toru. Duże prędości nie powodują istotnego zwięszenia efetów dynamicznych spowodowanych nieregularnościami cech sprężystych podsypi, tóre sutują losową zmiennością jej sztywności. Wpływ losowych zmian sztywności podsypi na ugięcia dynamiczne dźwigara i toru jest przy dużych prędościach nadal pomijalnie mały a wpływ na przyspieszenia drgań jest znaczący, może być rzędu ilunastu procent. W przypadu dźwigara, ilunastoprocentowy rozrzut przyspieszeń nie ma znaczenia z puntu widzenia inżyniersiego, ponieważ przyspieszenia są małe. Natomiast w torze olejowym, w tórym przyspieszenia drgań są bardzo duże w strefie dużych prędości, analogiczny rozrzut może mieć istotny wpływ na ocenę trwałości toru w aspecie zmęczenia materiału. Podsumowując zaprezentowane wynii analiz należy stwierdzić, że bardzo nieorzystnym efetem dynamicznym ruchu pociągów z dużymi prędościami jest nadmierny przyrost wartości przyspieszeń toru. Efet ten nie ujawnia się w drganiach dźwigara mostowego i może być znacznie zmniejszony poprzez wbudowanie w nawierzchnię olejową dodatowych elementów onstrucyjnych wyonanych z materiałów wibroizolacyjnych. Analiza suteczności taiej wibroizolacji będzie przedmiotem dalszych badań autorów. Literatura [1] Andersen L., Nielsen S.R.K.: Vibrations of a trac caused by variation of the foundation stiffness, Probabilistic Engineering Mechanics, vol. 18, 3, pp [] Au F.T.K., Wang J.J., Cheung Y.K.: Impact study of cable-stayed railway bridge with random rail irregularities, Engineering Structures, vol. 4, no. 5,, pp [3] Biondi B., Muscolino G., Sofi A.: A substructure approach for the dynamic analysis of train trac bridge system, Computers and Structures, vol. 83, 5, pp [4] Bryja D., Hołubowsi R.: Modelowanie belowych mostów olejowych z zastosowaniem metody GFEM. Część I. Sformułowanie teoretyczne, Zeszyty Nauowe Politechnii Rzeszowsiej, seria Budownictwo i Inżynieria Środowisa, nr 83, z. 59, 1, s [5] Bryja D., Hołubowsi R.: Losowe zmiany sztywności podsypi w analizie drgań zespolonego mostu olejowego, Przegląd Komuniacyjny, nr 1, 13, s [6] Bryja D., Hołubowsi R.: GFEM modelling and Monte Carlo solutions for railway bridge with random trac ballast, Proc. of the Fourteenth International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing, Civil-Comp Press, Stirlingshire, United Kingdom, 13, doi:1.43/ccp.1.1. [7] Bryja D., Hołubowsi R., Gistere I.: Railroad vehicle modelling in probabilistic vibration analysis of a railway bridge with randomly fluctuating trac ballast stiff-

32 3 D. Bryja, R. Hołubowsi ness, Proc. of the 9 th European Conference on Structural Dynamics, EURODYN 14, Porto, Portugal, 3 th June nd July 14 in print). [8] Dahlberg T.: Railway trac stiffness variations consequences and countermeasures, International Journal of Civil Engineering, vol. 8, no. 1, 1, pp [9] Klasztorny M.: Dynamia mostów belowych obciążonych pociągami szybobieżnymi, Wydawnictwa Nauowo-Techniczne, Warszawa 5. [1] Sobczy K., Spencer B.F.: Stochastyczne modele zmęczenia materiałów, PWN, Warszawa [11] Yang Y.B., Yau J.D., Wu Y.S.: Vehicle-bridge interaction dynamics: with applications to high-speed railways, World Scientific, Singapur 4. [1] Yau J.D., Yang Y.B., Kuo S.R.: Impact response of high speed rail bridges and riding comfort of rail cars, Engineering Structures, vol. 1, 1999, pp [13] PN-EN 199:4/A1:8 Podstawy projetowania onstrucji Załączni A. HIGH SPEED EFFECTS IN STOCHASTIC VIBRATION ANALYSIS OF RAILWAY BRIDGE WITH RANDOMLY VARYING BALLAST STIFFNESS S u m m a r y The paper is devoted to vibration analysis of railway beam bridge with ballasted trac under high-speed train passage. Along trac random variations of the ballast stiffness are taen into account in the analysis. The dynamic model of the train, consisting of vehicles with 6 internal degrees of freedom each, is presented, and then, equations of motion of the bridge girder ballasted trac train system are derived. Time histories of expected values and standard deviations are calculated with the use of Monte Carlo method, on the basis of numerical simulations performed for displacements and accelerations of bridge and trac vibrations. Maximal values of these timedependent probabilistic characteristics are shown on graphs in dependence on the train speed. Basing on an analysis of presented numerical results, the concluding remars are formulated in order to estimate high speed effects on: a) expected values of bridge and trac displacements and accelerations, b) standard deviations being a measure of vibration scattering due to random variations of the ballast stiffness. Keywords: railway bridges, random vibrations, Monte Carlo simulations, probabilistic characteristics, displacement analysis, acceleration analysis DOI:1.786/rb.14.6 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

33 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Jace JAWORSKI 1 Olga SZLACHETKA DRGANIA WŁASNE SŁUPÓW W KSZTAŁCIE ŚCIĘTEGO STOŻKA Przedmiotem analizy jest pierwsza postać drgań własnych giętnych) słupów o dolnym ońcu utwierdzonym, a górnym swobodnym, z materiału jednorodnego i sprężystego. Badane słupy mają ształt ściętego stoża o różnych zbieżnościach ściane bocznych, od stoża do walca. Metodą energetyczną oreślono pierwszą częstość drgań własnych, przyjmując różny ształt wychylenia osi podłużnej drgającego słupa, oreślonej funcjami: cosinus, wadratową, sześcienną i linią ugięcia statycznego osi słupa pod działaniem siły poziomej przyłożonej do jego wierzchoła. Otrzymane częstości względnie oresy drgań) porównano z wyniami uzysanymi metodą elementów sończonych ANSYS) i z obliczeniami według tablicy Z-- normy PN-77/B-11. Dobra zgodność wyniów występuje jedynie w zaresie małych zbieżności ściane stoża. Stwierdzono dużą zgodność ształtu linii ugięcia osi podłużnej słupa wychylonej podczas drgań oreślonego w programie ANSYS) z ształtem linii ugięcia statycznego słupa beli wsporniowej) przy obciążeniu ciągłym o wartości stałej i liniowo zmiennej. Przyjęcie taich ształtów deformacji osi drgającego słupa do wyprowadzenia metodą Rayleigh a wzorów na pierwszą częstość drgań własnych może więc prowadzić do lepszej doładności wyniów zgodności z obliczeniami MES). Słowa luczowe: słup stalowy, linia ugięcia, pierwsza częstość drgań własnych 1. Ores drgań własnych Częstości olejnych postaci drgań własnych beli można otrzymać rozwiązując dla oreślonych warunów brzegowych równanie drgań beli Bernoullego Eulera. W pracy [] dla beli w ształcie ściętego stoża podano rozwiązanie w postaci funcji Bessela, a zastąpienie ich wielomianami umożliwiło uzy- 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Jace Jaworsi, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego w Warszawie, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Katedra Inżynierii Budowlanej, -776 Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159, tel. ) , jace_jaworsi@sggw.pl Olga Szlacheta, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego w Warszawie, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Katedra Inżynierii Budowlanej, -776 Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159, tel. ) , olga_szlacheta@sggw.pl

34 34 J. Jaworsi, O. Szlacheta sanie rozwiązań numerycznych. Inne metody i dalsze wynii rozwiązań dla bele o zmiennych przerojach poprzecznych omówiono w pracy [3]. Autorzy tej pracy stawiają sobie za cel wyprowadzenie metodą Rayleigh a przybliżonych wzorów na pierwszą częstość drgań własnych giętnych) słupów wsporniowych w ształcie ściętego stoża. Założono, że amplituda drgań jest mała, materiał jednorodny, izotropowy i idealnie sprężysty, a masa jest rozłożona w sposób ciągły, co prowadzi czasem do dużych trudności przy całowaniu. Jeśli znajdzie się jedna rozwiązanie zamnięte, uzysujemy wzór ta prosty, że do obliczenia częstości lub oresu) drgań wystarcza podręczny alulator. W metodzie Rayleigh a załada się ształt wychylenia osi słupa podczas drgań. Przyjęto, że ształt ten jest opisany linią ugięcia statycznego osi słupa pod działaniem siły poziomej, przyłożonej do jego wierzchoła, funcją trygonometryczną ja we wzorze 1), funcją wadratową ), oraz sześcienną 3). u h f P1 cos h H f 3 1); uh h ); h H P f P u h 3) 3 H gdzie: u, h współrzędne u oreśla ugięcie, h wysoość), H wysoość słupa, P siła pozioma przyłożona do wierzchoła słupa, f przemieszczenie wierzchoła słupa pod działaniem siły P 1. Przy założeniu, że wychylona podczas drgań oś słupa w ształcie ściętego stoża ma ształt linii ugięcia statycznego pod działaniem siły supionej P, ores drgań wyrażony jest wyprowadzonym w pracy [4] wzorem 4H T d 1,8 n 7,1n 6 5 1,8 n 18n 4 3E 3 3n 7 3 n 1 n 15,3n 5,4n,8 6n 6 lnn 4) gdy ształt osi opisany jest wzorem 1), ores drgań [6] wynosi 4H 3 T n n 1 8 d 3 3En 15n 1 n 1 64n 1 5) a dla ształtu osi opisanego wzorami ) i 3), ores drgań wynosi T 8H 3d n 5n En 6); T 4H 3d n 7n 8 3 1En 7) gdzie: T ores drgań,

35 Drgania własne słupów w ształcie ściętego stoża 35 gęstość masy, E moduł sprężystości podłużnej, n iloraz średnic słupa: dolnej D i górnej d; D n. d Warto zauważyć, że w żadnym z powyższych przypadów nie można wyznaczyć oresu drgań słupa w ształcie stoża, bo wyrażenie na ugięcie wierzchoła stoża przyłożoną do niego siłą poprzeczną nie ma sensu matematycznego. Ores drgań walca nie może być tratowany jao przypade szczególny oresu drgań ściętego stoża; wzory dla walca są wyprowadzane oddzielnie. Na rysunu 1 porównano oresy drgań własnych stalowych słupów w funcji zbieżności ściane bocznych stoża, oreślonych parametrem n. Obliczenia wyonano dla słupów stalowych o wysoości H = 6 m, średnicy podstawy D = cm i średnicach głowicy od d = stoże) do d = cm walec). Wynii obliczeń MES w programie ANSYS są bardzo blisie wyniom pracy [] i obliczeniom według tablicy Z-- normy PN-77/B-11 [7]. Obliczenia według wzorów 4 i 5 cechuje dobra zgodność z MES w zaresie małych zbieżności stoża, przy dużych wartościach parametru n wynii są niezgodne. Wzory 6) i 7), a szczególnie 7) gorzej odzwierciedlają wynii obliczeń MES. T [s],6,4,,,18,16,14 6,1,1 5,8,6, d [cm] 4 4/3 1 D n= d D d H Rys. 1. Porównanie oresów drgań obliczonych: 1 według wzoru 4), według 5), 3 według 6), 4 według 7), 5 MES ANSYS), 6 według PN- 77/B-11 Fig. 1. Comparison of natural periods calculated: 1 by eq. 4), by eq. 5), 3 by eq. 6), 4 by eq. 7), 5 using FEM ANSYS), 6 according to the standard PN-77/B-11 Wzory 4 7) można przy niewieliej modyfiacji wyorzystać do słupów w ształcie ostrosłupa ściętego prawidłowego i dla szczególnego przypadu rury

36 36 J. Jaworsi, O. Szlacheta stożowej, gdy tworzące stoża zewnętrznego i wewnętrznego otworu) przecinają się w jednym puncie na osi stoża [4]. Natomiast próba wyprowadzenia wzoru analogicznego do 4) dla słupa w ształcie współosiowo wydrążonego ściętego stoża, prowadzi do znacznych trudności obliczeniowych [5].. Kształt linii ugięcia osi słupa.1. Wynii obliczeń w programie ANSYS Im doładniej w obliczeniach metodą Rayleigh a przyjmiemy ształt linii wychylenia osi drgającego słupa, tym doładniejsze będą wynii obliczenia częstości i oresu drgań [1]. Ponieważ nie jest znany rzeczywisty ształt osi drgającego słupa, jao podstawę do oceny analizowanych linii odształcenia przyjęto wynii obliczeń MES z programu ANSYS), tóre poazano na rys.. Odnosząc ugięcia na danej wysoości do ugięcia wierzchoła słupa, a wysoości do wysoości słupa, otrzymano wyresy dla wartości bezwymiarowych. Poszczególne rzywe dotyczą różnych zbieżności ściane stoża. Rys.. Kształt wychylenia osi drgającego słupa oreślony MES ANSYS) Fig.. Deflection form of the column axis during the vibration determined by FEM ANSYS).. Badane przypadi ugięcia statycznego Oreślono ształty linii ugięcia odwzorowujących słupy bele wsporniowych w ształcie ściętego stoża, pod statycznie działającym obciążeniem. Uwzględniono siłę supioną przyłożoną do swobodnego ońca rys. 3a), obciążenie ciągłe o stałej wartości rys. 3b) i obciążenie ciągłe liniowo zmienne, proporcjonalnie do zmiany średnicy pręta rys. 3c). Ugięcia policzono całując równania różniczowe osi odształconej pręta. Średnicę pręta i moment bezwładności przeroju wyrażono w funcji współrzędnej x

37 Drgania własne słupów w ształcie ściętego stoża 37 D d H d x 8); J x D x D 4 x 9) 64 Momenty gnące dla olejnych przypadów z rysunu 3a, 3b i 3c wyrażono jao M qx qx 1) 6D x Px 1); M x 11) M x ax 3d i wstawiono do równania różniczowego osi ugiętej EJ x d dx u M x 13) wprowadzając w celu uproszczenia zapisu podstawienie D d d a n 1 14) H H gdzie: x, u współrzędne u oreśla ugięcie), P siła supiona, q obciążenie ciągłe, d, D średnice pręta, H długość pręta, J moment bezwładności przeroju, M moment zginający. P a) b) c) q d q D q d D x d D x d D x H H H u u u d) e) x x u u Rys. 3. Beli wsporniowe: a) obciążenie siłą supioną na swobodnym ońcu, b) obciążenie ciągłe stałe, c) obciążenie ciągłe liniowo zmienne, d), e) przypadi szczególne Fig. 3. Cantilever beams: a) concentrated load on the free end, b) uniformly loaded, c) linear variable continuous load, d), e) special cases

38 38 J. Jaworsi, O. Szlacheta Dla obciążenia siłą supioną przyłożoną do swobodnego ońca pręta ja na rysunu 3a) otrzymano po scałowaniu zależność d ax d d ax D D d Ea P H x D d D D Ea P u 15) dla obciążenia ciągłego o stałej wartości ja na rysunu 3b) równanie ln d ax d d ax d D d D d d ax D Ea q H x D a d Dd D E q u 16) a dla obciążenia ciągłego liniowo zmiennego, ja na rysunu 3c, wzór d ax d ax D d ax d D d D ax D d x a D d ax d D d ax d x a D a ED q d ax d D d ax d D d ax d D D d D d Dd d D d D D a ED q D D d D d Dd d D d D D H a ED qx u ln ln 6 ln ln ) W przypadu obciążenia beli siłą supioną P przyłożoną na jej swobodnym ońcu lub obciążeniem ciągłym o stałej wartości q, rozwiązanie dla ugięcia swobodnego ońca pręta w ształcie stoża nie istnieje. Natomiast dla przypadu obciążenia ciągłego liniowo zmiennego ja na rysunu 3d, przyłożonego do słupa w ształcie stoża, gdy x dąży do, ugięcie dąży do wartości ED qh u 18)

39 Drgania własne słupów w ształcie ściętego stoża 39 Ugięcia bele w ształcie walca rys. 3e) nie są przypadiem szczególnym rozwiązań dla ściętego stoża i policzone zostały oddzielnie. Dla obciążenia ciągłego o stałej wartości q, ugięcie wyrażone jest jao 8q u 3ED 4 3H 4 4H 3 x x 4 19) Linie ugięcia bele poazano na rysunach 4 i 5. Kolejne wyresy na rysunu 5 odnoszą się do różnych sposobów obciążenia beli. Porównując ształt tych linii z wyznaczonym metodą elementów sończonych ształtem osi drgającego słupa, poazanym na rysunu, można ocenić, dla tórego z obciążeń linie ugięcia najlepiej odwzorowują ształt wychylonej osi drgającego słupa. Rys. 4. Linie ugięcia bele wsporniowych opisane funcjami ja we wzorach 1), ), 3) Fig. 4. Bending lines of cantilever beams described with functions from eqs. 1), ), 3).3. Ocena zgodności ształtu linii ugięcia z ształtem wychylenia osi słupa podczas drgań swobodnych W celu oceny, ja bliso położone są linie ugięcia względem wychylonej osi drgającego słupa wprowadzono wsaźni podobieństwa w wzór ), będący pierwiastiem z sumy wadratów różnic pomiędzy wartościami bezwymiarowego ugięcia statycznego i bezwymiarowych rzędnych linii wychylenia osi drgającego słupa, oreślonej w programie ANSYS. Zsumowano wartości dla ośmiu puntów rozłożonych równomiernie na wysoości słupa i dla słupów o czterech różnych zbieżnościach ściane stoża n = 1, n = 4/3, n =, n = 4). Im niższa wartość wsaźnia, tym mniejsze różnice pomiędzy rzywymi. 4 8 w u u ) MES i 1 j 1

40 4 J. Jaworsi, O. Szlacheta Wsaźni podobieństwa dla różnych rzywych ugięcia porównano na rys. 6. Linie ugięcia oreślone funcją trygonometryczną i zależnością wadraa) b) c) Rys. 5. Linie ugięcia bele wsporniowych: a) przy obciążeniu siłą supioną na swobodnym ońcu, b) przy obciążeniu ciągłym stałym, c) przy obciążeniu ciągłym liniowo zmiennym Fig. 5. Bending lines of cantilever beams: a) by concentrated load on the free end, b) uniformly loaded, c) by linear variable continuous load

41 wsaźni w Drgania własne słupów w ształcie ściętego stoża 41 tową lub sześcienną są niezależne od zbieżności ściane bocznych słupa, nie mogą więc dobrze opisywać ształtu osi drgającej słupów o różnych zbieżnościach ściane bocznych. Wsaźnii podobieństwa przyjmują dla nich wysoie wartości. Taże linia ugięcia beli wsporniowej pod działaniem siły supionej przyłożonej do swobodnego ońca pręta znacznie odbiega od ształtu osi drgającej a wsaźni podobieństwa ma nieorzystnie dużą wartość. Nisą wartość wsaźnia stwierdzono dla linii ugięcia pod obciążeniem ciągłym o stałej wartości i stosunowo nisą wartość dla obciążenia ciągłego liniowo zmiennego.,8,75,6,4,,,5,7,18,5,8 A B C D E F Rys. 6. Wsaźnii podobieństwa dla rzywych opisanych: A) funcją trygonometryczną według wzoru 1), B) funcją wadratową według ), C) funcją sześcienną według 3), D) linią ugięcia pod działaniem siły supionej według wzoru 15), E) linią ugięcia przy stałym obciążeniu ciągłym według 16), F) linią ugięcia przy obciążeniu ciągłym liniowo zmiennym według 17) Fig. 6. Similarity index for curves described with: A) trigonometric function eq. 1), B) second-degree function eq. ), C) third-degree function eq. 3), D) bending line by concentrated load on the free end according to eq. 15), E) deflection line by uniform load eq. 16), F) deflection line by linear variable continuous load eq. 17) 3. Wniosi Można się spodziewać, że dobrą zgodność wyniów z obliczeniami metodą elementów sończonych otrzymamy wtedy, iedy do wyprowadzenia metodą Rayleigh a wzoru na pierwszą częstość drgań własnych słupów wsporniowych w ształcie ściętego stoża przyjmiemy wychylenia osi drgającej słupa w postaci linii ugięcia pod działaniem obciążenia ciągłego o stałej wartości, ja na rysunu 3b. Interesujące byłoby też wyprowadzenie wzorów z założeniem ształtu osi drgającego słupa w postaci linii ugięcia pod działaniem obciążenia stałego liniowo zmiennego ja na rysunu 3c), gdyż uzysalibyśmy wtedy możliwość obliczenia pierwszej częstości drgań własnych słupa w ształcie stoża.

42 4 J. Jaworsi, O. Szlacheta Podzięowanie Autorzy serdecznie dzięują dr. inż. Janowi Grudzińsiemu za wyonanie obliczeń w programie ANSYS. Literatura [1] Arczewsi K., Pietrucha J., Szuster J.T.: Drgania uładów fizycznych, Oficyna Wydawnicza Politechnii Warszawsiej, Warszawa 8, s [] Conway H.D., Dubil J.F.: Vibration Frequencies of Truncated-Cone and Wedge Beams, Journal of Applied Mechanics ASME), Vol. 3 4), 1965, s [3] Ece M.C., Aydogdu M. Tasin V.: Vibration of variable cross-section beam, Mechanics Research Communications Elsevier), 34, 7, s [4] Jaworsi J., Bonieca M, Nycz M.: Obliczanie pierwszej częstości drgań własnych słupów stalowych o zmiennym przeroju poprzecznym, Acta Scientiarum Polonorum Architectura, nr 8 1-), 9, s. 3-. [5] Jaworsi J.: O pewnej metodzie obliczania pierwszej częstości drgań własnych słupów stalowych w ształcie wydrążonego ściętego stoża, Acta Scientiarum Polonorum Architectura, nr 9 3), 1, s [6] Jaworsi J.: Pierwsza częstość drgań własnych słupów w ształcie wydrążonego ściętego stoża, Acta Scientiarum Polonorum Architectura, nr 1 1), 13, s [7] PN-77/B-11 Obciążenia w obliczeniach statycznych. Obciążenia wiatrem. FREE VIBRATION OF TRUNCATED-CONE COLUMNS S u m m a r y The topic of this study is the form of deflection line in the first mode of natural transverse vibration of homogenous and elastic columns with clamped bottom and free head. The columns are shaped as truncated-cones with different inclination of lateral faces, from cylinder to cone. The first frequency of free vibration was determined by the energy method. The deflection line of a column axis during the vibration was assumed in forms of the cosine function, second-degree or third-degree function and bending line of a column axis by concentrated load acting on the free end. Resulting frequencies or periods) were compared with these obtained using FEM program ANSYS) and calculated according to the table Z-- of the standard PN-77/B-11. A good consistency of the deflection line of vibrated column determined using the program ANSYS with the form of a static bending line of cantilever beam by uniform load and by linear variable continuous load was observed. Assuming such forms of axis deformation during the vibration of columns in the derivation of formulas for the first natural frequency by Rayleigh's method can lead to a better accuracy of results better accordance with the FEM). Keywords: steel column, bending line, first natural frequency DOI:1.786/rb.14.7 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

43 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Marcin KAMIŃSKI 1 Jace SZAFRAN STOCHASTYCZNA ANALIZA DRGAŃ WYMUSZONYCH STALOWYCH WIEŻ TELEKOMUNIKACYJNYCH Zasadniczym celem niniejszej pracy jest udoumentowanie analizy omputerowej drgań wymuszonych stalowych wież teleomuniacyjnych wywołanych porywami wiatru przy pomocy Stochastycznej Metody Elementów Sończonych. Metoda ta jest oparta o rozwinięcie wszystich funcji losowych w szereg Taylora ogólnego rzędu i wyznaczenie stochastycznej odpowiedzi onstrucji na gaussowsi wejściowy losowy parametr projetowy onstrucji. Zagadnienie drgań wymuszonych jest rozwiązane numerycznie przy pomocy programu Metody Elementów Sończonych ROBOT Professional, natomiast funcje odpowiedzi wyznaczono symbolicznie w środowisu algebry omputerowej MAPLE, gdzie zaimplementowano również algorytm wyznaczania charaterysty losowych odpowiedzi onstrucji. Deterministyczna postać funcji odpowiedzi zostaje oreślona analitycznie z użyciem Metody Najmniejszych Kwadratów i ciągu rozwiązań MES wyznaczonych dla wejściowego parametru losowego zmieniającego wartość woół swojej wartości oczeiwanej. Testowanym parametrem losowym jest średnia prędość wiatru, tórego ciśnieniem obciążamy modelowaną onstrucję. Metodę zaproponowaną poniżej można z powodzeniem zastosować do obliczania wsaźnia niezawodności onstrucji z parametrami losowymi poddanymi drganiom wymuszonym o zadanych deterministycznych widmach obciążeń. Słowa luczowe: Stochastyczna Metoda Elementów Sończonych, onstrucje stalowe, wieże teleomuniacyjne 1. Wprowadzenie Niezawodność wież teleomuniacyjnych jest zagadnieniem luczowym dla bezpieczeństwa transmisji telefonii omórowej i zależy od wielu czynni- 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Marcin Kamińsi, Katedra Mechanii Konstrucji, Wydział Budownictwa, Architetury i Inżynierii Środowisa, Politechnia Łódza, 9-94 Łódź, Al. Politechnii 6, tel , Marcin.Kaminsi@p.lodz.pl Jace Szafran, Katedra Mechanii Konstrucji, Wydział Budownictwa, Architetury i Inżynierii Środowisa, Politechnia Łódza, 9-94 Łódź, Al. Politechnii 6, tel , Jace.Szafran@p.lodz.pl

44 44 M. Kamińsi, J. Szafran ów, zarówno materiałowych, onstrucyjnych, ja też i pogodowych. Wieże teleomuniacyjne wyorzystywane przez operatorów telefonii cyfrowej jao onstrucje wsporcze dla nowoczesnego sprzętu nadawczoodbiorczego w więszości przypadów wyonywane są ze stali. Jaolwie wieże stalowe [15] zabezpiecza się antyorozyjnie najczęściej poprzez ocynowanie na gorąco, to ulegają one procesom orozji w różnym stopniu i z różnym nasileniem w czasie w zależności od wilgotności powietrza i jego zanieczyszczenia. Losowość tego procesu jest jednaże różna dla rozmaitych loalizacji, wpływa na zmiany wsaźnia niezawodności w funcji czasu esploatacji, stąd też została ona pominięta w modelu obliczeniowym. Imperfecje materiałowe i geometryczne były już przedmiotem wcześniejszego stochastycznego modelowania omputerowego [14], stąd też zasadniczą uwagę poświęcono w niniejszym artyule losowym zmianom obciążenia wiatrem jao najbardziej naturalnego źródła losowości w esploatacji tych onstrucji. Celem analizy jest zweryfiowanie, w jaim stopniu losowy charater ciśnienia wiatrem wpływa na parametry losowe odpowiedzi onstrucji branej pod uwagę przy wyznaczaniu wsaźnia niezawodności w podstawowych stanach granicznych, tj. dla masymalnej siły osiowej w rawężniach przy fundamencie oraz dla przemieszczeń poziomych wierzchoła samej wieży. Przedstawione poniżej zagadnienie jest również cieawe z matematycznego i numerycznego puntu widzenia, jao że dotyczy dynamii uładu o sończonej liczbie swobody obciążonego obciążeniem losowym, tórego odpowiedź chcemy znaleźć przy pomocy Stochastycznej Metody Elementów Sończonych zrealizowanej na bazie uogólnionej metody perturbacji stochastycznej, a tórej zastosowanie do analizy onstrucji stalowych było przedmiotem wcześniejszych analiz [17]. Ja wiadomo, metoda ta oparta jest o rozwijanie w szereg Taylora wszystich losowych parametrów wejściowych i wyjściowych onstrucji, dalszym wyprowadzeniu odpowiednich równań perturbacyjnych dla momentów i charaterysty odpowiedzi, a taże na odpowiednim wyorzystaniu do ich obliczenia testów numerycznych wyonanych z użyciem programu Metody Elementów Sończonych MES) [1,]. W pracy posługujemy się Metodą Funcji Odpowiedzi MFO), podobną do Metody Powierzchni Odpowiedzi MPO) [8], tóra pozwala nam na uzależnienie parametrów stanu taich ja przemieszczenie, czy naprężenie pochodzące od ciśnienia wiatru za pomocą wielomianu dowolnego rzędu nieoniecznie niższego, ja miało to miejsce w przypadu MPO). Wielomian ten jest wyniiem wyonania szeregu modeli MES dla onstrucji ze zmieniającą się wielością ciśnienia wiatru paiet MES ROBOT Professional) i wyonaniem Metodą Najmniejszych Kwadratów MNK) odpowiednich aprosymacji wielomianowych środowiso algebry omputerowej MAPLE) [3,7]. Wzory na charaterystyi losowe zostały również zaimplementowane w programie MAPLE jao odpowiadające metodzie perturbacji rzędów drugiego, czwartego, szóstego i ósmego; umożliwiają one wyznaczenie wartości oczeiwanych, współczynnia wariancji,

45 Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wież 45 sośności oraz urtozy dla poszuiwanych przemieszczeń i sił wewnętrznych w modelowanej wieży. Z pewnością ta opracowany aparat numeryczny pozwala na wyznaczenie wsaźnia niezawodności stałego [11] lub zmiennego w czasie [16], a taże, w dalszym aspecie, na weryfiację bezpieczeństwa użytowania taich onstrucji w aspecie pożarowym, czy też przy nasilającej się orozji.. Model matematyczny Ja wiadomo, metoda perturbacji stochastycznej oparta jest o rozwinięcie wszystich funcji losowych w szereg Taylora rzędu wymaganego doładnością obliczeń woół wartości średniej danej funcji obliczonej dla wartości średniej wejściowego parametru losowego. W taim sformułowaniu założenie gaussowsości wejściowego rozładu losowego nie jest onieczne, gdyż możemy stosować taie podejście również dla rozładów niesymetrycznych. Rozwinięcie to dla losowej siły w rawężniu zależnej od prędości średniej wiatru Fv) ma postać [7] F v F v F v n n Fv n v... n v v v n! v gdzie: ε zastosowany parametr perturbacyjny może być równy 1 lub należeć do pewnego blisiego otoczenia tego argumentu), ω oznaczenie parametru lub funcji losowej,. wartość średnia parametru lub funcji., n rząd rozwinięcia w metodzie perturbacji, v różnica wartości parametru v i jego wartości średniej wariacja). Wariacja n-tego rzędu wejściowego parametru losowego jest oreślana jao n v n n n v v v n Uwzględniając taie rozwinięcie w lasycznych wzorach całowych rachunu prawdopodobieństwa [9] można przez całowanie poszczególnych członów perturbacyjnych wyprowadzić odpowiednie wzory analityczne na centralne momenty probabilistyczne niższych rzędów np. do czwartego włącznie). Dla wartości oczeiwanej funcji Fv) z równania 1 przy założeniu symetrycznego rozładu prawdopodobieństwa parametru v otrzymujemy np., iż E 1 Fv F v) F v 1 6 6! 6 F v v 6 vv v 6 v vv... v 1 4 4! 1 m! m 4 F b m v v 4 F m v vv vv 4 vv v m v v 1) ) 3)

46 46 M. Kamińsi, J. Szafran gdzie: m v - centralny moment probabilistyczny rzędu m wielości v, m dowolna liczba naturalna. Kluczowym problemem rozwinięcia jest wiarygodne w sensie numerycznym) wyznaczenie pochodnych, szczególnie wyższego rzędu, dla funcji Fv) względem parametru v. Są one co prawda wyznaczane ja dla funcji deterministycznych, ale MNK zawiera w sobie optymalne dopasowanie samej funcji, a nie - jej pochodnych. W przeciwieństwie do ogólnie znanego rozwiązania tego problemu uzysanego z wyorzystaniem Metody Różniczowania Bezpośredniego stosujemy tutaj Metodę Funcji Odpowiedzi, gdzie z góry załadamy wielomianową funcję odpowiedzi o nieznanych współczynniach, tóre ustala się za pomocą ciągu esperymentów numerycznych przeprowadzonych z wyorzystaniem Metody Elementów Sończonych. Załadamy więc niezależnie dla sił w prętach oraz przemieszczeń węzłowych, iż F m n vt A t v t, qvt B t v t, m n gdzie: F wetor sił wewnętrznych w prętach onstrucji, q wetor przemieszczeń węzłowych w modelu, A m macierz współczynniów wielomianowej statycznej funcji odpowiedzi, B n macierz współczynniów wielomianowej inematycznej funcji odpowiedzi, t parametr czasu. Powyższe równanie umożliwia analityczne wyprowadzenie wzorów na wszystie niezbędne centralne momenty losowe podobnie ja dla momentów zwyłych dowolnego rzędu) przed podjęciem rozwiązania problemu stochastycznego. Oczywiście macierze współczynniów odpowiednich rozwinięć wielomianowych są wyznaczane w ażdym elemencie sończonym oraz, niezależnie, w ażdym węźle, a taże oddzielnie dla wszystich dysretnych chwil w czasie. W pratyce rzędy rozwinięć wielomianowych mogą różnić się dla różnych rodzajów odpowiedzi onstrucji; możliwa jest również ażdorazowa optymalizacja rzędu rozwinięcia ze względu np. na orelację puntów próbowych z przybliżeniem uzysanym Metodą Najmniejszych Kwadratów. Inną możliwością jest zastosowanie Nieliniowej Metody Najmniejszych Kwadratów, ja też ważonej wersji dla obydwu z tych podejść. 3. Zastosowanie Metody Elementów Sończonych W analizie związanej z Metodą Elementów Sończonych rozważamy dysretną aprosymację nieznanej historii ciągłej w czasie i przestrzeni funcji 4)

47 Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wież 47 przemieszczeń za pomocą wartości węzłowych w dysretnych puntach siati jao x,t φx qt, u 5) u wetor historii przemieszczeń w uładzie ciągłym, qt) wetor przemieszczeń węzłowych w modelu, φ x macierz funcji ształtu. Ja wiadomo, Metoda Funcji Odpowiedzi [7] wprowadza serie rozwiązań zarówno o charaterze ciągłym, ja i dysretnym, tóre łączy ze sobą niezależny od czasu zbiór funcji ształtu. Mamy więc gdzie: x,t x,t φ x q t, 1,..., M, u 6) gdzie: M liczba niezależnych testów MES do utworzenia funcji odpowiedzi. Oczywiście M musi być więsze niż rząd aprosymowanego wielomianu. Analogicznie aprosymujemy sładowe tensora odształcenia jao gdzie: x,t B x q t, 1,..., M, ε 7) ε x,t B x ciąg tensorów odształceń do utworzenia funcji odpowiedzi, macierz pochodnych funcji ształtu. Stosujemy tai opis w lasycznym sformułowaniu wariacyjnym odniesionym do przemieszczeń, tóre w stosowanym podejściu jest równoważne ciągowi równań wariacyjnych przy 1,..., M uzysując δ gdzie: t t 1 1 T q M q r K r R r dτ, t t, t, 8) R x,t ciąg wetorów historii obciążeń węzłowych, M, K ciągi macierzy mas i sztywności w MES. Powszechnie definiujemy te macierze jao M T T ρ B xbx dω K B x C Bx dω. Ω 9) Ω

48 48 M. Kamińsi, J. Szafran Ponieważ wetor prędości wiatru jest zmienną losową w rozważanym problemie, ta więc równanie 7 można uprościć do następującej postaci: δ t t 1 1 T q M q r K r R r dτ, t t, t, 1) gdzie: u wariacja funcji przemieszczeń u, t, t czas początowy i ońcowy rozpatrywanych drgań. Dalsze całowanie powyższego równania po czasie pozwala na zapis: t T q Mδq q M q K R q t. 11) t Mając na względzie zerowanie się wariacji w chwili początowej oraz ońcowej q t, δ t, δ q 1) otrzymujemy zasadę stacjonarności w postaci ogólnie znanych równań ruchu [,6] M q K q R. 13) Alternatywne metody rozwiązania tego zagadnienia przy pomocy metody perturbacji rzędu drugiego w ujęciu różniczowania bezpośredniego można znaleźć w pracy [1], a taże przy pomocy metod nie wyorzystujących metod perturbacji w pracach [4,9,1,13]. 4. Analiza numeryczna Modelowanie omputerowe przeprowadzono przy pomocy programu MES ROBOT Professional, a taże, niezależnie, paietu do obliczeń symbolicznych MAPLE, wersja 14. Konstrucję analizowanej stalowej wieży poazanej na rys. 1, tórej pojedynczy segment na wysoości fundamentu poazano na rys. ; wszystie elementy onstrucyjne wyonano w postaci orągłych prętów pełnych rawężnii wieży) oraz ątowniów gorącowalcowanych równoramiennych i nierównoramiennych elementy sratowania) ze stali S35. Trójwymiarową dysretyzację całej wieży na potrzeby MES wyonano przy użyciu 41 dwuwęzłowych elementów belowych do analizy deformacji giętnych, a taże 8 dwuwęzłowych elementów ratowych; łącznie wprowadzono 33 węzły i 1374 stopni swobody. Całowanie równań ruchu przeprowadzono w ażdym teście do Metody Funcji Odpowiedzi zgodnie z algorytmem Hilbera-Hughesa- Taylora [6] wprowadzając ro czasowy Δt=1 se, parametr α=-.3, podział na

49 Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wież 49 1 przyrostów i przedział czasowy 7 seund. Zgodnie z danymi materiałowymi istniejącej onstrucji przyjęto moduł Younga równy E=1 GPa, a taże współczynni Poissona wynoszący odpowiednio ν=.3. Pominięto w analizie efety nieliniowości geometrycznych, materiałowych, dopuszczany w tego typu onstrucjach wpływ oblodzenia, a taże zmian własności wytrzymałościowych stali związanych z ewentualnymi flutuacjami temperatury. Połączenia pomiędzy poszczególnymi segmentami wieży potratowano jao idealnie sztywne ze względu na ich ołnierzowy ształt oraz ilość łączniów śrubowych. Podobnie modelowano połączenia prętów sratowania z rawężniami ze względu na rozład i ilość śrub w złączu. Modelowanie obciążenia wiatrem zostało wyonane na podstawie danych pomiarowych zmienności prędości wiatru w czasie uśredniania 1 minut podanych w [5]. Wartości obciążenia wiatrem uwzględniały również opór aerodynamiczny analizowanej onstrucji. Ja wynia ze sali osi pionowej wyresu na rys. 3, masymalne wartości tej prędości znacznie przeraczają wartość bazową braną pod uwagę w obliczeniach zastępczego ciśnienia statycznego w pierwszej strefie obciążenia wiatrem. Wejściowym parametrem losowym jest prędość wiatru, tóra ma rozład prawdopodobieństwa Gaussa, zmiany wartości oczeiwanej w czasie zaczerpnięte zostały z danych przyładowych rejestracji silnych wiatrów, natomiast współczynni wariancji jest dodatowym parametrem wejściowym w modelu. W celu weryfiacji probabilistycznej zbieżności metody perturbacji wyonano analizę rzędu drugiego, czwartego, szóstego i ósmego przedstawiając w dalszej części uzysane momenty losowe w funcji rzędu zastosowanej metody perturbacji. W wyniu deterministycznego modelowania omputerowego oreślono olejno zmiany w czasie estremalnej siły podłużnej w rawężniu dolnego segmentu rys. 4), w sąsiednim elemencie sratowania rys. 5), a taże zmiany w czasie przemieszczenia poziomego wierzchoła wieży rys. 6); wybór tych wielości wynia z analizowanych stanów granicznych nośności i użytowania sprawdzanych dla tego typu onstrucji. Ja wynia z porównania rys. 4 i 5, rawężnii są znacznie bardziej wytężone od prętów sratowania, natomiast przemieszczenie poziome wierzchoła zbliża się do wartości wymaganej przez odpowiedni stan graniczny. Porównanie zmian prędości i wszystich funcji stanu wsazuje wyraźnie, że położenie wartości estremalnych badanych wielości porywa się ze sobą w funcji czasu i doładnie odpowiada estremalnym wartościom wymuszenia. W dalszym ciągu numerycznie oreślano funcje odpowiedzi tj. zależność pomiędzy estremalną siłą oraz estremalnym przemieszczeniem, a losowym parametrem wejściowym, czego wynii są udoumentowane na rys. 7 siedem testów dynamicznych MES pozwoliło na odtworzenie funcji liniowej pomiędzy prędością wiatru i otrzymaną estremalną siłą w rawężniu. Zależność ta weryfiuje spodziewaną bezpośrednią proporcjonalność działającego ciśnienia do obliczonej siły w najbardziej wytężonym elemencie onstrucyjnym wieży.

50 5 M. Kamińsi, J. Szafran + 84,5m n.p.t 5 84 S-14 S-13 S-1 S-11 S-1 S-9 S-8 S-7 S-6 S-5 S-4 S-3 S- S wymiary w cm Rys. 1. Schemat analizowanej onstrucji wieżowej wraz z modelem obliczeniowym Fig. 1. Scheme of the analyzed tower structure with computational model Rys.. Wido asonometryczny najniższego segmentu wieży Fig.. Axonometric view of the lowest section of the tower

51 Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wież 51 Rys. 3. Wyres zależności prędości wiatru w funcji czasu Fig. 3. Graph of the wind velocity in the function of time Rys. 4. Wyres zależności siły podłużnej w rawężniu dolnego segmentu w funcji czasu Fig. 4. Graph of the axial force in the leg of the tower lowest section as a function of time Rys. 5. Wyres zależności siły podłużnej w elemencie sratowania dolnego segmentu w funcji czasu Fig. 5. Graph of the axial force in the bracing of the tower lowest section as a function of time

52 5 M. Kamińsi, J. Szafran Rys. 6. Wyres przemieszczeń wierzchoła wieży w funcji czasu Fig. 6. Graph of the displacement of the top of the tower as a function of time Rys. 7. Wyres funcji odpowiedzi dla poszczególnych chwil czasowych i siły osiowej w rawężniu dolnego segmentu wieży Fig. 7. Response function plots according to particular time moments and axial force in leg of the tower lowest section Rys. 8. Wartości oczeiwane sił osiowych w rawężniu dolnego segmentu wieży Fig. 8. Expected values of the axial forces in the leg of the lowest section of the tower

53 Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wież 53 Rys. 9. Wartości oczeiwane sił osiowych w rawężniu dolnego segmentu wieży Fig. 9. Expected values of the axial forces in the leg of the lowest section of the tower Rys. 1. Współczynnia wariancji sił osiowych w rawężniu dolnego segmentu wieży Fig. 1. Coefficient of variation of the axial forces in the leg of the lowest section of the tower Rys. 11. Odchylenia standardowe sił osiowych w rawężniu dolnego segmentu wieży Fig. 11. Standard deviations of the axial forces in the leg of the lowest section of the tower

54 54 M. Kamińsi, J. Szafran Kolejno zgromadzono wartości oczeiwane sił osiowych w funcji wejściowego współczynnia wariancji rys. 8), a taże współczynnia wariancji i czasu rys. 9). Przedział zmienności współczynnia wariancji wybrano dość duży ze względu na naturalnie przypadowy charater zjawisa. Wartości oczeiwane obliczono symbolicznie stosując przybliżenie rzędu drugiego, czwartego, szóstego oraz ósmego, a ich porównanie wsazuje jedno-znacznie, że rząd przybliżenia jest istotny dla, czyli przy dużych flutuacjach losowych modelowanego obciążenia wiatrem. Zgodnie z rys. 9 rząd wartości średniej siły w najbardziej wytężonym pręcie może zmieniać się w efecie porywów wiatru wielorotnie, nawet w odstępie iluseundowym. Współczynnii wariancji estremalnej siły osiowej są dla liniowo zależne od tego parametru, a rząd metody perturbacji nie ma wpływu na uzysane wynii. Przy analiza momentów drugiego rzędu staje się mało stabilna, co wsazuje na onieczność opracowania ryterium automatycznego wyboru rzędu przybliżenia. Zestawienie wyniów numerycznych ończy wizualizacja odchylenia standardowego estremalnej siły ścisającej w rawężniach wieży rys. 11). Jest ono wyonane zarówno w funcji wejściowego współczynnia wariancji, ja i czasu, ta więc może posłużyć wraz z danymi z rys. 9 do obliczenia wsaźnia niezawodności zmiennego w tracie drgań dla badanej onstrucji. 5. Podsumowanie i wniosi Przedstawiona w pracy metoda perturbacji stochastycznej dowolnego rzędu w połączeniu z lasyczną Metodą Elementów Sończonych pozwala na wyznaczanie momentów losowych dynamicznej odpowiedzi onstrucji przy relatywnie niewielim naładzie obliczeniowym. Podejście to jest efetywne również do numerycznej analizy drgań onstrucji przestrzennych taich ja wieże stalowe przy dynamicznym wymuszeniu losowymi porywami wiatru. Metoda perturbacji w wersji wyorzystującej Metodę Funcji Odpowiedzi wyznaczaną Metodą Najmniejszych Kwadratów na podstawie wielorotnych rozwiązań uzysanych przy pomocy MES umożliwia wyznaczenie podstawowych charaterysty losowych dla historii przemieszczeń czy naprężeń w onstrucjach. Parametry losowe stosowane w analizie nie muszą mieć rozładu Gaussa, ale przy wielu zmiennych niezbędna jest szczegółowa informacja dotycząca orelacji wyższego rzędu w celu wyprowadzenia niezbędnych wzorów na momenty losowe. Niezwyle przydatnym narzędziem jest program do obliczeń symbolicznych, tóry umożliwia automatyczne reprezentacje wybranych zmiennych za pomocą szeregu Taylora dowolnego rzędu. Przeprowadzone symulacje omputerowe pozwalają stwierdzić jednoznacznie, że rozrzut losowy funcji niezbędnych do oreślenia podstawowych stanów granicznych w wieżach poddanych losowemu działaniu wiatru jest wielorotnie więszy od losowych flutuacji amplitudy ciśnienia wiatrem zależność wyjściowych współczynniów wa-

55 Stochastyczna analiza drgań wymuszonych stalowych wież 55 riancji jest silnie nieliniowa w stosunu do odpowiedniego współczynnia wariancji obciążenia wiatrem. Wynii uzysane w pracy znajdują bezpośrednie zastosowanie do obliczenia wsaźniów niezawodności np. Cornella dla wież teleomuniacyjnych niezależnie dla SGN oraz SGU i mogą być porównane z wartościami przedstawionymi tabelarycznie w normie Eurocode. Dalsze esperymenty numeryczne pozwolą na porównanie uzysanych rezultatów z wyniami metody symulacji Monte-Carlo, a taże na wyznaczenie parametrów losowych wyższego rzędu, tj. sośności i urtozy pomocnych przy weryfiacji rozładu gęstości prawdopodobieństwa odpowiedzi onstrucji. Literatura [1] Bathe K.J.: Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Yor [] Clough R.; Penzien J.: Dynamics of Structures. McGraw-Hill, New Yor [3] Cornil J.M.; Testud P.: An Introduction to Maple V. Springer-Verlag, Berlin 4. [4] Elishaoff I.: Probabilistic Methods in the Theory of Structures. Wiley & Sons, New Yor [5] Flaga A.: Inżynieria wiatrowa. Podstawy i zastosowania. Arady, Warszawa 8. [6] Hughes T.J.R.: The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Dover Publications, Inc., New Yor. [7] Kamińsi M.: The Stochastic Perturbation Method for Computational Mechanics. Wiley & Sons, Chichester 13. [8] Khuri A.I., Cornell J.A.: Response Surfaces: Design and Analysis. Marcel Deer, New Yor [9] Lin Y.K.: Probabilistic Theory of Structural Dynamics. McGraw-Hill, New Yor [1] Liu W.K., Belytscho, T., Mani, A.: Random field finite elements. Int J Num Meth Engrg, nr 3, 1986, s [11] Melchers R.E.; Horwood, E.: Structural Reliability. Analysis and Prediction. Wiley & Sons, Chichester [1] Mironowicz W.; Śniady P.: Dynamics of machine foundations with random parameters. J Sound Vibr, nr 11, 1987, s [13] Moller B., Beer M.: Fuzzy Randomness. Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg 4. [14] Papadopoulos V., Papadraais M., Deodatis G.: Analysis of mean and mean square response of general linear stochastic finite element systems. Comput Methods Appl Mech Engrg, nr 195, 6, s [15] Ryalu K.: Konstrucje stalowe: ominy, wieże, maszty. Oficyna Wyd. Politechnii Wrocławsiej, Wrocław, 7. [16] Van Noortwij J.M., Frangopol D.M.: Two probabilistic life-cycle maintenance models for deteriorating civil infrastructures. Prob Engrg Mech, nr 19, 4, s [17] Waarts P.H.; Vrouwenvelder A.C.W.M.: Stochastic finite element analysis of steel structures. J Constr Steel Res, nr 5, 1999, s. 1 3.

56 56 M. Kamińsi, J. Szafran STOCHASTIC ANALYSIS OF THE FORCED VIBRATIONS OF STEEL TELECOMMUNICATION TOWERS S u m m a r y The main aim of this paper is a presentation of computational analysis of the forced vibration of the steel telecommunication tower resulting from the uncertain wind blows with the use of the Stochastic Finite Element Method. This approach is based upon the Taylor expansion with random coefficients of a general order for all input and output random functions and determination of the structural response related to some input Gaussian design parameter. The forced vibration problem is solved numerically by using the Finite Element Method system ROBOT Professional, while the response functions are determined symbolically in the environment of the program MAPLE, where all the probabilistic coefficients are additionally computed. Deterministic form of the response functions are derived analytically with the help of the Least Squares Method and the series of the FEM-based experiments provided for the several discrete values of the design parameter that fluctuates about its expected value. The basic random parameter considered here is mean velocity of the wind, whose pressure is applied on the tower seleton. The method proposed in this elaboration may be successfully further applied for a determination of the reliability indices for various engineering structures exhibiting different random parameters and also with deterministic loading spectra. Keywords: Stochastic Finite Element Method, steel structures, telecommunication towers DOI:1.786/rb.14.8 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

57 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Janusz KAWECKI 1 Krzysztof KOZIOŁ Krzysztof STYPUŁA 3 WERYFIKACJA MODELI DYNAMICZNYCH NA PODSTAWIE WYNIKÓW POMIARÓW TŁA DYNAMICZNEGO Esploatacja drogi projetowanej w pobliży istniejących budynów nie powinna naruszać warunów ich dalszej bezpiecznej esploatacji oraz wymagań odnośnie do zapewnienia niezbędnego omfortu wibracyjnego ludziom przebywającym w tych budynach. Projetant onstrucji drogi powinien na podstawie odpowiednich analiz dynamicznych wyazać, iż podane wymagania będą spełnione podczas esploatacji drogi. Rozpatrywane zagadnienia należą do zadań diagnozy z prognozą por. [3]). Obliczenia sprawdzające wpływ prognozowanego oddziaływania parasejsmicznego na budyne i ludzi w budynu przeprowadza się na modelu budynu. Uształtowany model obliczeniowy budynu przeważnie z zastosowaniem MES) powinno się zweryfiować. Można to zrobić orzystając z wyniów pomiarów tzw. tła dynamicznego por. [5]). W pracy opisano procedurę weryfiacji modelu dynamicznego budynu oraz podano przyłady jej zastosowania przy weryfiowaniu modelu stosowanego w ocenie wpływu prognozowanych drgań na onstrucję budynu, na ludzi w budynu oraz na inne obiety infrastrutury. Słowa luczowe: drgania parasejsmiczne, model dynamiczny budynu, weryfiacja modelu, badania tła dynamicznego 1. Wprowadzenie Projetując drogi w otoczeniu istniejącej zabudowy należy uwzględniać również wymagania odnośnie do oddziaływania esploatacji drogi na jej otoczenie. Wśród taich wymagań coraz częściej stawiane są te, tóre dotyczą zapewnienia budynom dalszej ich bezpiecznej esploatacji oraz ludziom przebywającym w budynach niezbędnego omfortu wibracyjnego. Taie zadanie zalicza 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Janusz Kaweci, Politechnia Kraowsa, ul. Warszawsa 4, Kraów, tel. 1) , jawec@p.edu.pl Krzysztof Kozioł, Politechnia Kraowsa, ul. Warszawsa 4, Kraów, tel. 1) , oziol_@poczta.fm 3 Krzysztof Stypuła, Politechnia Kraowsa, ul. Warszawsa 4, Kraów, tel. 1) 68 34, stypula@p.edu.pl

58 58 J. Kaweci, K. Kozioł, K. Stypuła się do sytuacji diagnostycznych por. [3]) oreślanych jao diagnoza z prognozą. W [5] opisano procedury projetowe i diagnostyczne odnoszące się do zapewnienia ludziom przebywającym w budynach niezbędnego omfortu wibracyjnego. Można, nawiązując do tamtego opisu, rozszerzyć procedurę diagnozy z prognozą na wpływ drgań przeazywanych przez podłoże parasejsmicznych) zarówno na ludzi w budynu ja i na onstrucję budynu. Zachowując w miarę ogólne ujęcie można wyróżnić w tej procedurze diagnostycznej następujące elementy: Wyonanie pomiarów drgań w puntach pomiarowych na istniejącym budynu albo innym obiecie budowlanym). Drgania te generowane są przez dostępne źródło drgań, inne od prognozowanego, występujące poza budyniem. W razie potrzeby można też dodatowo przyjąć punty pomiarowe pomiędzy źródłem drgań a budyniem. Ten etap oreśla się jao badanie tła dynamicznego. Uształtowanie najczęściej z zastosowaniem MES) modelu obliczeniowego budynu albo innego obietu budowlanego) na podstawie dostępnej doumentacji technicznej uzupełnionej informacjami zebranymi podczas wizji loalnej. Poddanie przyjętego modelu obliczeniowego budynu oddziaływaniu wymuszenia inematycznego, tórego zapis w dziedzinie czasu uzysano podczas pomiarów tła dynamicznego. Informacje te uzysuje się z pomiaru drgań w puntach pomiarowych usytuowanych na fundamencie albo na ścianie piwnicznej w sztywnym węźle onstrucji) w poziomie terenu, od strony źródła drgań. Analityczne wyznaczenie reacji modelu budynu w miejscach usytuowania puntów pomiarowych przyjętych w pomiarach objętych badaniem tła dynamicznego. W odniesieniu do wibrogramów uzysanych w wyniu pomiarów i obliczeń w tych samych puntach pomiarach wyonuje się ich analizę stosownie do ryterium oceny diagnostycznej i porównuje uzysane wynii. Na tej podstawie bada się zgodność przyjętego modelu budynu z obietem rzeczywistym. Przyjęta w ocenie funcja jaości oreśla wymagania umożliwiające aceptację modelu i jego wyorzystanie w następnym etapie analiz dotyczących prognozowania wpływu drgań na budyne i ludzi w budynu. Jeśli zestawione rezultaty uzysane na podstawie pomiarów i obliczeń spełniają ryterium opisane za pomocą funcji jaości, to model budynu można zaaceptować i stosować w olejnych analizach odnoszących się do prognozowanych oddziaływań omuniacyjnych. Jeśli zaś ta aceptacja nie jest możliwa np. zgodność wyniów analizy nie jest wystarczająca), to odpowiednio poprawia się model budynu. Aceptacją modelu budynu ończy

59 Weryfiacja modeli dynamicznych 59 się etap pierwszy diagnozy z prognozą obejmujący pomiar tła dynamicznego i wyorzystanie jego wyniów do weryfiacji modelu budynu. W drugim etapie opracowuje się prognozę wpływu drgań generowanych podczas esploatacji projetowanej drogi na budyni i ludzi w budynach. Na podstawie analizy zbioru danych pomiarowych pozysanych w podobnych sytuacjach występujących np. w Bazie Danych Pomiarowych, tórą dysponuje autor opracowania diagnostycznego) wyznacza się najbardziej prawdopodobny wibrogram odpowiadający wymuszeniu inematycznemu budynu. Po przyłożeniu do modelu budynu prognozowanego wymuszenia inematycznego wyznacza się drgania budynu w miejscach odgrywających istotną rolę w odniesieniu do wytężenia jego elementów albo w miejscach narażenia na drgania ludzi przebywających w budynu. Wyznaczone wibrogramy analizuje się z zastosowaniem odpowiednich ryteriów oceny wpływu drgań na onstrucję oraz na ludzi w budynach. Przy niespełnieniu odpowiednich wymagań w zaresie bezpiecznego przeniesienia drgań przez onstrucję budynu albo zapewnienia ludziom w budynu niezbędnego omfortu wibracyjnego wprowadza się środi techniczne doprowadzające do osiągnięcia potrzebnej reducji drgań. W niniejszej pracy opisano rozwiązane zadania weryfiacji modeli obliczeniowych budynów albo innych obietów budowlanych) na podstawie wyniów pomiarów tła dynamicznego.. Weryfiacja modelu obliczeniowego budynu wg [5] Weryfiację modelu obliczeniowego przeprowadza się z uwzględnieniem zaresu jego wyorzystania w prognozowaniu oddziaływań dynamicznych. Zares ten uwzględnia się również w opisie funcji jaości, na podstawie tórego doonuje się aceptacji modelu. Jeśli więc przyładowo model będzie stosowany w diagnozie dotyczącej wpływu prognozowanych drgań na ludzi w budynu, to w funcji jaości uwzględni się zgodność oceny drgań obliczonych na modelu) i pomierzonych na obiecie rzeczywistym) przy tym samym pomierzonym wymuszeniu inematycznym i w tym samym miejscu ich przeazywania na człowiea por. np. [4]). Dobrze ilustruje to rys. 1., tóry zaczerpnięto z [5]. W uładzie współrzędnych: częstotliwość oraz wartość RMS przyspieszenia drgań w pasmach 1/3-otawowych podano wynii analizy wibrogramów uzysanych w wyniu pomiaru na stropie 1. piętra w pewnym budynu oraz w wyniu obliczeń na modelu tego budynu. Na tym samym rysunu zaznaczono linie odpowiadające ryteriom oceny wpływu drgań na ludzi w budynach.

60 6 J. Kaweci, K. Kozioł, K. Stypuła RMS przyspieszenia w m/s,1,1,1,1 1, 1, 1,6,,5 3, 4, 5, 6,3 8, 1, 1,5 16,, 5, 31,6 4, 5, 63, 8, KASP.61 ANAL. POR. KON. 1 Częstotliw ość środow a pasma tercjow ego w Hz RMS przyspieszenia drgań pionow ych zmierzonych RMS przyspieszenia drgań pionow ych obliczonych próg odczuw alności przez człow iea drgań z ierunu pionow ego - az próg odczuw alności przez człow iea drgań z ierunu poziomego - axy granica omfortu w pomieszczeniu mieszalnym w ciągu dnia - 4*az granica omfortu w pomieszczeniu mieszalnym w ciągu nocy - 1,4*axy Rys.1. Porównanie wyniów analizy wibrogramów uzysanych jao rezultat pomiarów oraz obliczeń w puncie na stropie 1. piętra budynu za [5]) Fig. 1. Comparison of the results of the analysis of the vibrograms obtained as a result of measurements and calculations in the point on the second floor of the building [5]) Funcję jaości opisano ta, iż za wystarczającą zgodność modelu z obietem uznano zgodność wartości RMS przyspieszenia w paśmie o najwięszej wartości. Taie wymaganie uzupełniono dodatowymi informacjami, tóre dopuszczają uznanie modelu budynu za aceptowany, jeśli występujące różnice między podanymi wyżej wartościami nie przeraczają 3% i więsze wartości uzysano z analizy modelu. Zaaceptowanie taiego modelu wynia z analizy doładności pomiarów dynamicznych oraz przyjętego ryterium oceny wpływu drgań na ludzi por. [7]). Z informacji zawartych na rys. 1. wynia, iż wymaganie opisane za pomocą przedstawionej wyżej funcji jaości zostało spełnione i na tej podstawie zaaceptowano model budynu zbudowany na bazie MES o przyjętych parametrach opisujących jego właściwości materiałowe. Najwięsze wartości suteczne przyspieszenia drgań występują w paśmie o częstotliwości środowej 4Hz. Wartości uzysane na podstawie analizy wibrogramu pomierzonego na budynu oazały się mniejsze od wyznaczonych na podstawie analizy wibrogramu uzysanego w tym samym miejscu z modelu obliczeniowego. Tai rezultat otrzymano taże w wypadu pasma o częstotliwości środowej 1Hz. Więsze różnice między wartościami wyznaczonymi w odniesieniu do istniejącego budynu i jego modelu wystąpiły jedynie w pasmach, w tórych wyznaczone wartości suteczne przyspieszenia drgań

61 Weryfiacja modeli dynamicznych 61 były znacząco mniejsze. Nie wpływało to na wyni oceny zapewnienia ludziom wymaganego omfortu wibracyjnego. Podobne rezultaty uzysano w odniesieniu do innych puntów pomiarowych umieszczonych na tym budynu. 3. Opis procedury weryfiacji modeli 3.1. Pomiar tła dynamicznego Pomiary, analizy i oceny wpływu drgań na budyni i ludzi w budynach wyonuje się zgodnie z zaleceniami podanymi w normach [6, 7]. Uwzględniając ryteria oceny podane w tych normach przyjęto, że pomiar dotyczy przyspieszeń drgań w wybranych puntach pomiarowych w trzech ierunach: dwóch poziomych x i y) oraz pionowym z). Pomiar drgań odbywa się jednocześnie we wszystich puntach pomiarowych usytuowanych w danym budynu. Punty pomiarowe rozmieszcza się w budynu w następujący sposób uwzględniono tu wymagania zapisane w przywołanych normach oraz ich uzasadnienia zawarte np. w [1,, 5, 8]): Na fundamencie albo na ścianie piwnicznej w poziomie terenu, od strony źródła drgań. Dane pozysane w tym puncie pomiarowym dostarczają informacji o zmianie wymuszenia inematycznego budynu, tóre w procedurze weryfiacji modelu obliczeniowego będzie przyładane również do modelu budynu. Na środu stropu w wybranych pomieszczeniach w tym taże na stropie najwyżej położonej ondygnacji. Z wibrogramów zarejestrowanych podczas pomiarów tła dynamicznego wybiera się reprezentatywne, tóre będą wyorzystane w procedurze weryfiacji modelu obliczeniowego budynu. Jeśli np. model budynu będzie zastosowany w analizach dotyczących wpływu prognozowanych drgań na ludzi w budynu, to analiza wibrogramów zarejestrowanych w miejscach przeazywania tych drgań na ludzi dotyczy wyznaczenia masymalnych z wielu wartości sutecznych RMS przyspieszeń drgań oreślonych w 1/3 otawowych pasmach częstotliwości por. np.: [9]). W tym samym uładzie współrzędnych, w tórym przedstawiono wyresy schodowe wartości sutecznych przyspieszeń drgań nanosi się również linie odpowiadające progom odczuwalności drgań przez człowiea oraz zapewnieniu ludziom niezbędnego omfortu wibracyjnego por. rys. 1). Jeśli z olei model budynu będzie wyorzystany w analizach dotyczących wpływu prognozowanych drgań na onstrucję budynu, to analiza wibrogramów zarejestrowanych na elementach onstrucyjnych dotyczy przedstawienia strutury częstotliwościowej tych wibrogramów. Służy ona do wyznaczenia pasm częstotliwości, tórych udział w wibrogramie jest dominujący. Do weryfiacji modelu będą służyły wartości masymalne przyspieszenia drgań wyznaczone w tych pasmach.

62 6 J. Kaweci, K. Kozioł, K. Stypuła 3.. Metodologia modelowania budynów W ształtowaniu modeli budynów stosuje się przeważnie Metodę Elementów Sończonych. Obecnie dostępne programy obliczeń omputerowych umożliwiają ształtowanie modeli przestrzennych 3D). Wymiary i uład elementów przyjmuje się zgodnie z danymi zawartymi na rysunach technicznych z uwzględnieniem ich weryfiacji podczas wizji loalnej. Przyjmuje się również na tej podstawie wartości parametrów charateryzujących właściwości materiałów występujących w onstrucji. Wartości obciążeń użytowych przyjmuje się w modelu z uwzględnieniem zaleceń norm dotyczących obciążeń, normy [6] oraz ewentualnie informacji i obserwacji zebranych podczas wizji loalnej. Do ta opisanego modelu budynu przyłada się wymuszenie inematyczne opisane w dziedzinie czasu wibrogramem zapisanym podczas pomiarów tła dynamicznego. W wyniu rozwiązania uładów równań opisujących uształtowany model uzysuje się reację modelu budynu na wymuszenie inematyczne opisaną również w dziedzinie czasu. Oddziaływanie na budyne obiet) i na jego model opisane jest tym samym wibrogramem wymuszenie inematyczne). Porównanie zaś odnosi się do odpowiedzi budynu i jego modelu w tych samych puntach punty pomiarowe). 4. Przyłady weryfiacji modeli 4.1. Model budynu wyorzystany w ocenie wpływu drgań na ludzi w budynu Budyne mieszalny znajduje się w sąsiedztwie linii tramwajowej, tóra będzie modernizowana. Przewidziano zastosowanie wibroizolacji nowego toru tramwajowego. Badania tła dynamicznego wyonano podczas sterowanych jazd tramwajów po dotychczasowym torze. Punty pomiarowe obrano na ścianie piwnicy, w poziomie terenu, od strony toru tramwajowego. Pozostałe punty pomiarowe występowały na stropach poszczególnych ondygnacji, na posadzce w środu rozpiętości stropu w wybranych pomieszczeniach. Schemat modelu obliczeniowego MES budynu podano na rys.. Do modelu przyłożono wymuszenie inematyczne w postaci uzysanego z pomiaru wibrogramu. Wyznaczono reację budynu w puntach pomiarowych na stropach poszczególnych ondygnacji. Wibrogramy pomierzone i obliczone na stropach poddano analizie w pasmach 1/3-otawowych. Wynii analizy wybranych wibrogramów pomierzonych i obliczonych w tych samych puntach pomiarowych zestawiono na rys. 3 4.

63 Weryfiacja modeli dynamicznych 63 Rys.. Schemat modelu obliczeniowego budynu Fig.. Scheme of calculations model of building RMS a [m/s ],1,1,1,1 1, 1, 1,6,,5 3, 4, 5, NOWOWIEJSKA 1/18, ANAL. POR. KON. POM 5 6,3 8, 1, 1,5 16,, 5, 31,6 4, 5, 63, 8, f [Hz] in situ RMS az MES RMS az az axy 4*az 1,4*axy Rys. 3. Weryfiacja modelu budynu stosowanego w ocenie wpływu drgań na ludzi. Analiza drgań pionowych na stropie 1. piętra budynu. Wynii otrzymane z pomiaru słupi zaresowane) i z obliczeń słupi czarne). Fig. 3. Verification of building model used in the assessment of the effects of vibration on people. Analysis of vertical vibration on the second floor of the building. Results obtained from measurement hatched bars) and calculation blac bars)

64 64 J. Kaweci, K. Kozioł, K. Stypuła RMS a [m/s ],1,1,1,1 1, 1, 1,6,,5 3, 4, 5, NOWOWIEJSKA 1/18, ANAL. POR. KON. 6 POM 5 6,3 8, 1, 1,5 16,, 5, 31,6 4, 5, 63, 8, f [Hz] in situ RMS az MES RMS az az axy 4*az 1,4*axy Rys.4. Weryfiacja modelu budynu stosowanego w ocenie wpływu drgań na ludzi. Analiza drgań pionowych na stropie 5. piętra budynu. Wynii otrzymane z pomiaru słupi zaresowane) i z obliczeń słupi czarne). Fig. 4. Verification of building model used in the assessment of the effects of vibration on people. Analysis of vertical vibration on the six floor of the building. Results obtained from measurement hatched bar) and calculation blac bars). Posługując się ryterium opisanym w puncie 1. zaaceptowano model budynu i zastosowano go w ocenie wpływu prognozowanych drgań na ludzi w budynu. Drgania te wyznaczono z uwzględnieniem różnych wariantów wibroizolacji zastosowanej w onstrucji toru. 4.. Weryfiacja modelu z uwzględnieniem podłoża na drodze propagacji drgań Nieiedy należy zweryfiować model opisujący budowlę z podłożem między budowlą i drogą. Wówczas pomiar tła dynamicznego obejmuje również punt pomiarowy na rawędzi drogi lub na gruncie). Wielości zarejestrowane w tym puncie pomiarowym będą stanowiły wymuszenie drgań modelu, a zarejestrowane i obliczone w miejscu odbioru ich przez onstrucję posłużą do weryfiacji modelu. Na rys. 5 podano przyładowy wyni analiz, tóre posłużyły do weryfiacji modelu, w tórym występowało podłoże między źródłem drgań i obietem budowlanym hala producyjna). Zestawiono tam wynii analizy wibrogramów pomierzonego i obliczonego) na fundamencie słupa hali w pasmach 1/3-oawowych. Stosując do tych wyniów ryteria weryfiacji modelu obliczeniowego opisane w puncie 1 funcja jaości) stwierdza się, że przyjęty model obliczeniowy podłoża między onstrucją drogi a fundamentem hali można zaaceptować. Można go więc zastosować w obliczeniach, na podstawie tórych dobrane zo-

65 Weryfiacja modeli dynamicznych 65 staną parametry charateryzujące wibroizolację zaprojetowaną w onstrucji drogi. 1, 1, amax x-x [cm/s] 1,,1 1, 1,3 1,6,,5 3, 4, 5, 6,3 8, 1, 1,5 16,, 5, 31,5 4, 5, 63, 8, 1, WARTOŚCI Z POMIARU WARTOŚCI OBLICZONE Rys. 5. Porównanie wyniów analizy wibrogramów drgań poziomych fundamentu słupa hali w pasmach 1/3 otawowych, otrzymanych z pomiarów i z obliczeń Fig. 5. Comparison of the results of the analysis of horizontal vibrations of the foundation of the pillar hall in the 1/3-octave bands, derived from measurements and calculations Inny przyład weryfiacji modelu odnosi się do obliczeń wyonanych w związu z modernizacją uładu torowego na dworcu olejowym. Przewidziano zastosowanie wibroizolacji w modernizowanym uładzie torowym. W celu dobrania parametrów charateryzujących wibroizolację należało najpierw przyjąć model obliczeniowy obszaru między torem a onstrucją peronu i następnie wyonać prognozę suteczności wibroizolacji. Ma ona sutecznie zmniejszyć poziom drgań generowanych podczas przejazdów pociągów i przeazywanych na ludzi przebywających w tunelach pod peronami. Badania tła dynamicznego podczas przejazdów wielu pociągów po dotychczasowym torze dostarczyły informacji wyorzystywanych w procedurze weryfiacji modelu opisującego obszar między źródłem drgań a górną powierzchnią płyty peronowej. Na rys. 6 podano przerój poprzeczny przez uład torów i peron. Następnie uształtowano model obliczeniowy MES. Analizę porównawczą modelu obliczeniowego z obietem rzeczywistym przeprowadzono w puncie pomiarowym usytuowanym na płycie peronu, przy wyjściu środowym z peronu. Przyładowe wynii weryfiacji przyjętego modelu w odniesieniu do puntu pomiarowego na płycie peronowej podano na rys.7. Dotyczą one wartości odpowiadających przejazdowi pociągu, podczas tórego otrzymano wartości najwięsze RMS przyspieszenia drgań pionowych na płycie peronu. W badaniu odpowiedniości modelu stosowano wartości RMS przyspieszenia drgań w pa- f [Hz]

66 66 J. Kaweci, K. Kozioł, K. Stypuła smach 1/3-otawowych ze względu na wyorzystanie modelu w ocenie wpływu drgań na ludzi. Rys. 6. Przerój poprzeczny przez peron. Fig. 6. Cross section through the platform RMS a [m/s ],1,1,1,1 1, 1, 1,6,,5 3, 4, PKP WEJŚCIE DO TUNELU, ANAL. POR. POM 8 5, 6,3 8, 1, 1,5 16,, 5, 31,6 4, 5, 63, 8, f [Hz] in situ RMS az MES RMS az Rys. 7. Weryfiacja modelu. Masymalne wartości suteczne przyspieszenia RMS) w pasmach 1/3-otawowych pomierzone słupi zaresowane) i obliczone słupi czarne). Fig. 7. Verification of the model. The maximum values of the effective acceleration RMS) in 1/3- octave bands measured hatched bars) and calculated blac bars). W przedstawionej sytuacji ryteria aceptacji modelu opisane przyjętą funcją jaości uznano za spełnione i w olejnych analizach zastosowano zaa-

67 Weryfiacja modeli dynamicznych 67 ceptowany model do wyznaczenia parametrów charateryzujących wibroizolację torów olejowych. 5. Podsumowanie Opisana tu metodya weryfiacji modeli obliczeniowych przyjmowanych w zadaniach diagnozy z prognozą por. [3]) jest rozwinięciem metodyi przedstawionej wcześniej w [4, 5]. Jej zastosowanie zwięsza wiarygodność prognoz opracowywanych w związu z ochroną przed drganiami budynów i ludzi w budynach usytuowanych w otoczeniu projetowanych albo modernizowanych dróg. Autorzy zweryfiowali tę metodyę w wielu sytuacjach pratycznych. Przyłady przywołane w niniejszym opracowaniu nawiązują do taich opracowań. Literatura [1] Ciesielsi R., Kaweci J., Maciąg E., Stypuła K.: Ocena diagnostyczna sutów wpływów drgań na budyni i ludzi w budynach, Inżynieria i Budownictwo, nr 9, 1993, s [] Ciesielsi R., Kaweci J., Maciąg E.: Ocena wpływu wibracji na budyni i ludzi w budynach diagnostya dynamiczna), Wyd. Instytut Technii Budowlanej, Warszawa 1993 [3] Kaweci J.: Diagnostya drgań omuniacyjnych na budyni i ludzi w budynach, Transport Miejsi i Regionalny, nr 11, 6, s [4] Kaweci J., Stypuła K.: Metodya pomiarowo-interpretacyjna wyznaczania modelu budynu przydatnego w ocenie wpływu drgań parasejsmicznych na ludzi, Czasopismo Techniczne, seria: Budownictwo, z. -B, 7, s [5] Kaweci J., Stypuła K.: Zapewnienie omfortu wibracyjnego ludziom w budynach narażonych na oddziaływania omuniacyjne, Wydawnictwo Politechnii Kraowsiej, Kraów, 13. [6] PN-B-17:1985, Ocena szodliwości drgań przeazywanych przez podłoże na budyni. [7] PN-B-171:1988, Ocena wpływu drgań na ludzi w budynach. [8] Stypuła K.: Drgania wywołane esploatacją miejsiego transportu szynowego Badania i zapobieganie, Transport Miejsi i Regionalny, nr 1, 6, s [9] Zielińsi T. P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Od teorii do zastosowań, Wydawnictwo Komuniacji i Łączności, Warszawa, 5. VERIFICATION OF DYNAMIC MODELS BASED ON THE RE-SULTS OF THE "DYNAMIC BACKGROUND" MEASUREMENTS S u m m a r y The operation of the road projected near the existing buildings should not affect the conditions of their further safe operation and requirements to ensure the necessary vibration comfort of the people in these buildings. Road designer should demonstrate based on the respective analyses

68 68 J. Kaweci, K. Kozioł, K. Stypuła of dynamic that the requirements will be fulfilled during operation. Considered issues are among the tass of the diagnosis with the forecast. see [3]). Calculations of the influence of the forecasted paraseismic impact on the building and the people inside are carried out using the building model. Prepared calculation model of the building mostly using FEM) can be verified by using the results of these dynamic bacground measurements see [5]). This paper describes a procedure for the verification of the dynamic model of the building and gives examples of its use for the verification of the model used in the assessment of the expected impact of vibration on the structure of the building, on the people in the building and on the other infrastructure facilities. Keywords: paraseismic vibration, dynamic building model, dynamic model verification, research of a dynamic bacground DOI:1.786/rb.14.9 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

69 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Krystyna KUŹNIAR 1 Edward MACIĄG Tadeusz TATARA 3 UNORMOWANE SPEKTRA ODPOWIEDZI OD DRGAŃ POWIERZCHNIOWYCH WZBUDZANYCH WSTRZĄSAMI GÓRNICZYMI Praca dotyczy jednego ze sposobów opisu informacji o wymuszeniu inematycznym za pomocą spetrów odpowiedzi. Przedstawiono w niej propozycję opracowanego wzorcowego standardowego) przyśpieszeniowego spetrum odpowiedzi dla najbardziej atywnego sejsmicznie obszaru górniczego w Polsce Legnico-Głogowsiego Oręgu Miedziowego LGOM). Tego typu spetrum może być wyorzystane w analizach dynamicznych. Spetrum to wyznaczono na podstawie przebiegów drgań gruntu rejestrowanych za pomocą aparatury czuwającej w oresie ilu lat na trzech stanowisach pomiarowych. W obliczeniach pod uwagę wzięto tylo wyselecjonowane przebiegi drgań z amplitudami nie mniejszymi od 1cm/s, łącznie ilaset przebiegów drgań. Zestawienie uśrednionych bezwymiarowych przyśpieszeniowych spetrów odpowiedzi sporządzonych dla ażdego ze stanowis osobno, pozwoliło na wsazanie wpływu warunów gruntowych na postać otrzymywanego spetrum. Doonano porównania zaproponowanego wzorcowego spetrum z odpowiednim spetrum zamieszczonym w literaturze, wyazując i analizując występujące różnice. Dodatowo porównano rzywą wzorcową spetrum uzysaną na podstawie drgań gruntu z zaproponowaną rzywą wzorcową spetrum od jednocześnie rejestrowanych drgań fundamentów budynów trzech typów: nisiego, średniej wysoości i wysoiego), posadowionych obo ww. stacji pomiarowych na gruncie. Krzywe te istotnie się różnią i dowodzą silnego tłu-mienia drgań z wyższymi częstotliwościami przez budyni. Słowa luczowe: wzorcowe spetrum odpowiedzi, wstrząsy górnicze, przebiegi drgań, badania doświadczalne 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Krystyna Kuźniar, Uniwersytet Pedagogiczny w Kraowie, 3-84 Kraów, ul. Podchorążych, tel , uzniar@up.raow.pl Edward Maciąg, Wydział Inżynierii Lądowej Politechnii Kraowsiej, Kraów, ul. Warszawsa 4, tel , maciag@limba.wil.p.edu.pl 3 Tadeusz Tatara, Wydział Inżynierii Lądowej Politechnii Kraowsiej, Kraów, ul. Warszawsa 4, tel , ttatara@p.edu.pl

70 7 K. Kuźniar, E. Maciąg, T. Tatara 1. Wstęp Jednym z oddziaływań dynamicznych na onstrucję budowlaną może być ruch podłoża, na tórym ją posadowiono. Tego typu źródła drgań zwyle znajdują się poza obietem, a wstrząsy dochodzą do onstrucji na sute propagacji drgań w ośrodu gruntowym. Drgania podłoża stanowią w tym przypadu wymuszenie inematyczne, a obciążenie obietu wynia z powstających w tym czasie sił bezwładności. Źródła taich drgań mogą być naturalne, a więc niezależne od człowiea, albo mogą być w sposób bezpośredni lub pośredni spowodowane działalnością człowiea. W pierwszym przypadu mamy do czynienia z drganiami sejsmicznymi, tórych źródłem są trzęsienia ziemi wstrząsy typu tetonicznego), wybuchy wulanów. W przypadu drugim mamy do czynienia z tzw. drganiami parasejsmicznymi. Najsilniejszymi wśród drgań parasejsmicznych w Polsce są drgania pochodzenia górniczego. Mogą one prowadzić do uszodzeń obietów budowlanych. Zapewnienie bezpieczeństwa obietów podlegających wpływom taich drgań stwarza onieczność analizy propagacji drgań w ośrodu gruntowym, analizy oddziaływania drgań na obiety budowlane i oceny stopnia ich szodliwości. Wstrząsy górnicze, generując drgania budynów, oddziałują też na samych ludzi w budynach. Mieszańcy osiedli znajdujących się w strefach taich oddziaływań, wyraźnie tego typu drgania odczuwają. W tracie wstrząsów, szczególnie w budynach wysoich, zdarza się przemieszczanie mebli w mieszaniach, ołysanie żyrandoli lub wypadanie siąże z półe. Najlepszym sposobem oreślenia oddziaływania wstrząsów górniczych na onstrucje budowlane jest zarejestrowanie rzeczywistych przebiegów drgań w wybranych puntach na powierzchni ziemi oraz w budynach. Można to realizować z wyorzystaniem monitoringu sejsmometrycznego, przez tóry rozumie się prowadzenie ciągłych rejestracji zjawis sejsmicznych. Uzysane w ten sposób rejestracje drgań bądź w formie sejsmogramów zapis przebiegów prędości lub przemieszczeń drgań), bądź acelerogramów zapis przebiegów przyśpieszeń drgań), stanowią materiał wyjściowy do ich przetwarzania oraz specjalistycznej interpretacji. W pratyce nie jest możliwe, aby np. na etapie projetowania obietów projetant wyorzystywał jao wymuszenie inematyczne różne warianty przebiegów drgań podłoża, tóre potencjalnie mogą wystąpić w miejscu posadowienia budynu. Stosowane są tzw. wzorcowe standardowe) przyśpieszeniowe spetra odpowiedzi. Wyorzystuje się je do charaterystyi drgań powierzchniowych oraz w projetowaniu nowych obietów, ja również do oceny szodliwości drgań dla istniejących budynów [, 3, 9, 1, 1]. W pracy przedstawiono propozycję opracowanego wzorcowego standardowego) przyśpieszeniowego spetrum odpowiedzi dla najbardziej atywnego sejsmicznie obszaru górniczego w Polsce Legnico-Głogowsiego Oręgu Mie-

71 Unormowane spetra odpowiedzi od drgań powierzchniowych 71 dziowego LGOM). Doonano porównania zaproponowanego wzorcowego spetrum z odpowiednim spetrum zamieszczonym w literaturze, wyazując i analizując występujące różnice. Dodatowo porównano rzywą wzorcową spetrum uzysaną na podstawie drgań gruntu z zaproponowaną rzywą wzorcową spetrum od jednocześnie rejestrowanych drgań fundamentów budynów trzech typów: nisiego, średniej wysoości i wysoiego).. Sejsmiczność terenów górniczych Wstrząsy górnicze, tóre towarzyszą podziemnej esploatacji złóż, są sutiem pęania sał najczęściej nad wyrobisami górniczymi. Zjawiso to występuje samorzutnie, na sute zachwiania naturalnego stanu równowagi sał. W twardych sałach nadładowych zjawiso to przebiega w sposób gwałtowny por. rys. 1a). Wydziela się wtedy duża ilość energii. Powoduje ona propagowanie się do powierzchni terenu fal sejsmicznych, wzbudzających z olei drgania obietów budowlanych por. rys. 1b). a) b) Odległość epicentralna Epicentrum Fale powierzchniowe Głęboość hipocentralna Fale bezpośrednie materialne) Hipocentrum Rys. 1. Schemat: a) powstawania wstrząsu górniczego; b) oddziaływania wstrząsu typu sejsmicznego na obiet budowlany [4] Fig. 1. Scheme: a) the formation of mining tremor; b) the influence of mining tremor on a building structure [4] Wstrząsy górnicze wzbudzane są losowo, poza ontrolą człowiea. Poza losowym charaterem występowania, wstrząsy pochodzenia górniczego charateryzują się więszą intensywnością w stosunu do innych źródeł drgań parasejsmicznych. Energie wstrząsów górniczych mogą dochodzić nawet do 1 1 J, przy czym ze względu na oddziaływanie tych wstrząsów na powierzchnię terenu, jao wstrząsy wysooenergetyczne silne i bardzo silne) tratuje się wstrząsy o energii 1 6 J i więszej [5]. Przebiegi drgań powierzchniowych od wstrząsów górniczych wyazują pewne podobieństwa w stosunu do drgań wzbudzanych ruchami tetonicznymi

72 a [cm/s ] 7 K. Kuźniar, E. Maciąg, T. Tatara sorupy ziemsiej trzęsieniami ziemi), ale też i różnice [14]. Parametrem, tóry wyraźnie odróżnia wstrząsy górnicze od trzęsień ziemi jest czas trwania intensywnej fazy przebiegów drgań [13, 14]. W przypadu trzęsień ziemi ten czas wynosi s i więcej, a w przypadu wstrząsów górniczych,5,5 s. Inną cechą różniącą wstrząsy górnicze i trzęsienia ziemi jest zasięg ich występowania. Intensywne drgania występują na ogół w obszarze do ilu, a nie iluset ilometrów, ja może być w przypadu trzęsień ziemi. Wstrząsy górnicze pojawiają się na oreślonych obszarach, ograniczonych zwyle do regionów górniczych. Dominujące częstotliwości drgań powierzchniowych od trzęsień ziemi są dużo niższe niż od wstrząsów górniczych. Masymalne wartości przyśpieszeń drgań od wstrząsów górniczych osiągane są w zaresie częstotliwości,5 1,5 Hz, ale zdarza się dość często, że w paśmie 18 3 Hz, a nawet do 4 Hz [8]. W przypadu trzęsień ziemi jest to nie więcej niż ila Hz. Charater przebiegów drgań powierzchniowych od wstrząsów górniczych jest bardzo nieregularny i złożony. Zmianie ulegają amplitudy drgań w czasie oraz częstotliwości, co przyładowo poazano na rys., a na dystansach iluset metrów występują znaczne wahania intensywności wstrząsów górniczych, niezależnie od różnic w loalnej budowie geologicznej podłoża t [s] Rys.. Przyładowy przebieg poziomych drgań powierzchniowych przyśpieszeń) wzbudzonych wstrząsem górniczym o energii 3,5E7 J i odległości epicentralnej 655 m w LGOM Fig.. Example of horizontal surface vibrations accelerations) induced by rocburst with energy 3,5E7 J and epicentral distance 665 m in LGOM Wstrząsy górotworu towarzyszące esploatacji górniczej występują w wielu zagłębiach górniczych na świecie, np. w Wieliej Brytanii, w Zagłębiu Ruhry w Niemczech, w Republice Południowej Afryi i w Stanach Zjednoczonych. W Polsce powstawanie zjawis sejsmicznych, czyli wstrząsów górniczych, związane jest z prowadzeniem esploatacji w podziemnych opalniach Górnośląsiego Zagłębia Węglowego GZW) i Legnico-Głogowsiego Oręgu Miedziowego LGOM) oraz w odrywowej opalni węgla brunatnego w Bełchatowsim Oręgu Węgla Brunatnego BOWB). Najbardziej atywnym sejsmicznie jest obszar LGOM. W rejonie LGOM zalegające nad złożem sały wapienno dolomitowe i anhydryty gromadzą ener-

73 Unormowane spetra odpowiedzi od drgań powierzchniowych 73 gię sprężystą wyzwalając ją przy pęaniu. Również znaczna głęboość esploatacji 6 11 m) i stosowany sposób esploatacji na zawał) sprzyjają aumulacji energii. Najsilniejsze zjawisa sejsmiczne na tym terenie mają charater słabych trzęsień ziemi. Na terenach GZW i LGOM sejsmiczność jest monitorowana. Przebiegi drgań powierzchniowych są rejestrowane w powierzchniowych stacjach sejsmicznych. Czujnii umieszczone są na gruncie, na fundamencie budynu oraz na jego wyższych ondygnacjach. Celem monitoringu sejsmometrycznego jest ocena parametrów drgań w oreślonym puncie powierzchni pomiar rzeczywistego poziomu drgań powodowanych wstrząsami górniczymi [6]. 3. Spetra odpowiedzi drgań powierzchniowych w LGOM Spetrum odpowiedzi zawiera informacje o wymuszeniu inematycznym, a jego idea bazuje na przyjęciu modelu obietu w postaci oscylatora, tórego drgania wymuszane są ruchem podłoża. Jest to funcja wyrażająca masymalne wartości odpowiedzi przyśpieszenia, prędości, przemieszczenia) modeli oscylatorów na tego typu wymuszenie, w zależności od częstotliwości f ewentualnie oresów T = 1/f) drgań własnych oscylatorów oraz założonego tłumienia [1, 7]. Rozróżnia się spetrum przemieszczeniowe S d, prędościowe S v i przyśpieszeniowe S a. Wyrażają one odpowiedź oscylatora odpowiednio w przemieszczeniach i prędościach względnych oraz w przyśpieszeniach bezwzględnych. Masymalna wartość bezwzględnego przyśpieszenia oscylatora będąca sumą względnego przyśpieszenia oscylatora i przyśpieszenia podłoża) występującego w chwili t m należącej do przedziału czasu [, t 1] t 1 czas trwania drgań) nosi nazwę bezwzględnego przyśpieszeniowego spetrum odpowiedzi S a:.... S, ) max y a fi t, fi, ) x g t) 1) t [, t1] gdzie: f i częstotliwość drgań własnych oscylatora [Hz], ułame tłumienia rytycznego,.. y t,, ) odpowiedź oscylatora, względne przyśpieszenie drgań, f i.. x g t) przyśpieszenie drgań podłoża. Na rys. 3 przyładowo poazano spetrum odpowiedzi S a obliczone na podstawie przebiegu przyspieszeń drgań z rys.. Z olei tzw. unormowane bezwymiarowe) przyśpieszeniowe spetrum odpowiedzi powstaje jao wyni podzielenia wartości przyśpieszeniowego spetrum odpowiedzi przez masymalną wartość przyśpieszenia drgań odpowiadającą poszczególnym acelerogramom:

74 S a [cm/s ] 74 K. Kuźniar, E. Maciąg, T. Tatara f [Hz] Rys. 3. Spetrum odpowiedzi Sa wyznaczone na podstawie przebiegu drgań z rys. Fig. 3. Response spectrum Sa from vibrations presented in Fig. Sa fi, ) ) a max gdzie: S a przyśpieszeniowe spetrum odpowiedzi, a max masymalne przyśpieszenie drgań. Spetra odpowiedzi stosuje się przy projetowaniu onstrucji, ja również do oreślania odporności dynamicznej istniejących budynów. Taie podejście dla rejonów sejsmicznych zalecają normy. Eurocode8 EC8) [16] i normy ISO [17] wyorzystują metodę spetrum odpowiedzi. Polsa norma [18] również dopuszcza obliczanie sił bezwładności z uwzględnieniem przyśpieszeniowego spetrum odpowiedzi S a. Instrucja [19] zaleca stosowanie spetrów odpowiedzi jao narzędzia, tóre pełni istotną rolę w analizie dynamicznej obietu poddanego działaniu wstrząsów górniczych. Ze względów pratycznych i eonomicznych, w pratyce inżyniersiej nie jest możliwa rejestracja wymuszenia inematycznego osobno dla ażdego budynu i ażdego wstrząsu. Dopuszcza się więc stosowanie tzw. uśrednionego spetrum odpowiedzi. Taie uśrednione spetra odpowiedzi przygotowuje się na podstawie bardzo dużej liczby zarejestrowanych przebiegów drgań, oddzielnie dla ażdego regionu wstrząsów. Spetrum to ma oreślić spodziewaną masymalną odpowiedź dla danych warunów loalnych oreślone źródła drgań, odległości epicentralne, rodzaj podłoża). Przy onstruowaniu spetrów uśrednionych orzysta się z pomiarów drgań od wielu wstrząsów o różnej intensywności. Z uwagi na to, że uśrednione spetrum powstaje na podstawie bardzo dużej liczby zarejestrowanych przebiegów drgań, pozwala na uogólnienie i może być tra-

75 β g [-] Unormowane spetra odpowiedzi od drgań powierzchniowych 75 towane jao znormalizowane, standardowe, wzorcowe spetrum odpowiedzi [1, 16, 17]. W celu scharateryzowania drgań powierzchniowych w LGOM wyorzystano zapisy przebiegów sładowych poziomych przyspieszeń drgań zarejestrowanych na trzech stacjach sejsmologicznych w Polowicach. Na rys. 4 poazano położenie stacji względem siebie w loalnym uładzie współrzędnych sejsmologicznych stosowanych w LGOM. 3 Rys. 4. Loalizacja stanowis pomiarowych A, 3M, Mi z uwzględnieniem loalnych współrzędnych sejsmologicznych w LGOM Fig. 4. Position of measuring stations A, 3M, Mi in the local seismological coordinates in LGOM M Mi A 5 6 Doonano selecji zarejestrowanych przebiegów sładowych poziomych x, y przyspieszeń drgań gruntu. Kryterium selecji była masymalna wartość przyspieszenia przebiegu sładowej drgań nie mniejsza niż 1 cm/s. Wyorzystując ilaset obliczonych bezwymiarowych spetrów odpowiedzi dla ξ = 3%) od sładowych poziomych przebiegów przyspieszeń drgań, sporządzano uśrednione spetra, tóre następnie poddano iteracyjnej procedurze wygładzenia opisanej w [11]. Na rys. 5 poazano uśrednione bezwymiarowe spetra odpowiedzi drgań 4 3 A 3M 1 Mi A + 3M + Mi f [Hz] Rys. 5. Uśrednione bezwymiarowe spetra odpowiedzi drgań gruntu ze stanowis A, 3M, Mi oraz wyznaczone łącznie na podstawie drgań ze wszystich tych stanowis Fig. 5. Averaged dimensionless response spectra of ground vibrations from seismological stations at A, 3M, Mi and total spectrum designated on the basis of data from all stations

76 β f [-] 76 K. Kuźniar, E. Maciąg, T. Tatara gruntu ze stanowis A, 3M i Mi oraz łączne wyznaczone na podstawie przebiegów drgań pomierzonych na wszystich ww. stanowisach. Porównując te przebiegi uśrednionych bezwymiarowych spetrów odpowiedzi zauważa się ich różnice, co może dowodzić zmiennych warunów gruntowych na stacjach sejsmologicznych. Dodatowo na rys. 6 poazano uśrednione bezwymiarowe spetra odpowiedzi otrzymane na podstawie drgań fundamentów budynów A, 3M, Mi zarejestrowanych równocześnie z drganiami gruntu) oraz wyznaczone łącznie na podstawie drgań fundamentów budynów A, 3M, Mi. Porównując odpowiednie spetra z rys. 5 i rys. 6 zauważa się działanie budynu jao filtru dolnoprzepustowego. Wyraża się to spadiem wartości spetrów obliczonych na podstawie przebiegów drgań fundamentów w zaresie częstotliwości powyżej 1 Hz. 4 3 A 3M Mi A + 3M + Mi f [Hz] Rys. 6. Uśrednione bezwymiarowe spetra odpowiedzi drgań fundamentów budynów A, 3M, Mi oraz wyznaczone łącznie na podstawie drgań ze wszystich tych stanowis Fig. 6. Averaged dimensionless response spectra on the basis of foundation vibrations of buildings A, 3M, Mi and total spectrum designated on the basis of data from all stations Wyorzystując uśrednione bezwymiarowe łączne spetrum odpowiedzi drgań gruntu wyznaczone na podstawie drgań pomierzonych na stanowisach A, 3M, Mi, zaproponowano wzorcowe standardowe) spetrum odpowiedzi o prawdopodobieństwie przeroczenia równym 5%, tzw. uniform ris spectrum por. rys. 7. Opisy matematyczne gałęzi rzywych spetralnych zestawiono w tabeli 1. Zaproponowane spetrum porównane zostało ze spetrum podanym w [15] do wyorzystania w LGOM dla ategorii gruntu B ten przypade gruntu dominuje w obrębie Polowic). Krzywa spetralna z [15] została przesalowana z użyciem współczynnia η = 5/ξ, w tórym przyjęto ξ = 3% w celu ujednolicenia tłumienia).

77 β g [-] Unormowane spetra odpowiedzi od drgań powierzchniowych proponowane LGOM grunt at. B wg [15] f [Hz] Rys. 7. Porównanie proponowanego dla LGOM wzorcowego standardowego) spetrum odpowiedzi ze spetrami z [15] Fig. 7. Comparison of the proposed standard response spectrum for LGOM with spectrum from [15] Porównanie zaproponowanej rzywej wzorcowej z rzywą z [15] wsazuje na istotne różnice. Podane w [15] spetrum sporządzone zostało na podstawie danych pomiarowych dotyczących tylo najsilniejszych wstrząsów i przebiegów drgań z dominującymi sładowymi z nisimi częstotliwościami, z myślą o spetrum przydatnym przede wszystim do projetowania czy weryfiacji budynów wysoich z rejonu Polowic. Proponowana rzywa z rys. 7, tóra powstała z wyorzystaniem iluset pomierzonych, różnych przebiegów drgań z założeniem, że masymalna wartość przyśpieszenia przebiegu sładowej drgań jest nie mniejsza niż 1 cm/s ), jest przydatna do stosowania w przypadu budynów niższych. Tabela 1. Opis matematyczny proponowanego spetrum wzorcowego ß g z rys. 7 Table 1. The mathematical description of the proposed standard response spectrum ßg from Fig. 7 f [Hz] Równanie ß g, 6,5],3775 f,54 6,5, 1,],4 1,, 16,],875 f + 1,35 16,, 18,6],75 18,6, 5,],63 f,3744 f + 7,547 Na rys. 8 poazano porównanie rzywych wzorcowych spetrów uzysanych na podstawie drgań gruntu i fundamentów. Krzywe te istotnie różnią się

78 β [-] 78 K. Kuźniar, E. Maciąg, T. Tatara i dowodzą istotnego tłumiącego wpływu drgań przez budyni. Opisy matematyczne gałęzi rzywych spetralnych uzysanych na podstawie drgań fundamentów budynów zestawiono w tabeli. 3 1 grunt fundament f [Hz] Rys. 8. Porównanie proponowanego dla LGOM wzorcowego standardowego) spetrum odpowiedzi wyznaczonego na podstawie drgań gruntu i fundamentów budynów Fig. 8. Comparison of the proposed standard response spectrum from ground and foundation vibrations Tabela. Opis matematyczny spetrum wzorcowego ß f z rys. 8 Table. The mathematical description of the proposed standard response spectrum ß f from Fig. 8 f [Hz] Równanie ß f, 6,5],463 f,41 6,5, 9,],556 f +,9615 9,, 5,] 8,65 f -, Uwagi ońcowe W pracy przedstawiono propozycję wzorcowego spetrum odpowiedzi drgań gruntu do wyorzystania w projetowaniu w rejonie LGOM. Postać tego spetrum bazuje na wyniach sete pomiarów przebiegów drgań. Opracowane wzorcowe spetra odpowiedzi na podstawie równoczesnych zapisów sładowych poziomych drgań gruntu i budynów pozwoliły na doświadczalne oreślenie zjawisa dynamicznej interacji grunt budyne. Widać różnice w dominujących pasmach częstotliwości drgań, zwłaszcza w paśmie powyżej 1 Hz.

79 Unormowane spetra odpowiedzi od drgań powierzchniowych 79 Literatura [1] Chmielewsi T., Zembaty Z.: Podstawy dynamii budowli, Arady, Warszawa [] Ciesielsi R., Maciąg E.: Drgania drogowe i ich wpływ na budyni, WKiŁ, Warszawa 199. [3] Juhásová E.: Pôsobenie seizmicých pohybov na stavebné onštrucie, VEDA Vydavatel stvo Slovensej Aadémie Vied, Bratislava [4] Kuźniar K.: Sieci neuronowe w analizie drgań budynów wywołanych wstrząsami parasejsmicznymi i sejsmicznymi, Wyd. Politechnii Kraowsiej, Kraów 13. [5] Kuźniar K., Maciąg E., Tatara T.: Prognozowanie spetrów odpowiedzi drgań fundamentów budynów od wstrząsów górniczych z zastosowaniem sieci neuronowych, Prace Nauowe GIG. Górnictwo i Środowiso, nr 4/4/1, [6] Kwiate J. red.): Ochrona obietów budowlanych na terenach górniczych, Wyd. GIG, Katowice [7] Maciąg E.: Interacja uładu budyne-podłoże podlegającego działaniom sejsmicznym i parasejsmicznym praca przeglądowa), Mechania Teoretyczna i Stosowana, 17, 4, 1979, [8] Maciąg E.: Drgania powierzchniowe w LGOM i ich oddziaływanie na zabudowę, XXV Zimowa Szoła Mechanii Górotworu, Kraów, [9] Naeim F. ed.): The seismic design handboo, Boston, Kluwer 1. [1] Soołow W.J.: Ocena wierojatnych spetrow olebanij grunta spetrow reacii s uczietom łoalnych gruntowych usłowij, [w:] Kompliesnaja ocena sejsmicziesoj opasnosti, Woprosy inżieniernoj sejsmołogii, Wypus 3, Moswa [11] Tatara T.: Działanie drgań powierzchniowych wywołanych wstrząsami górniczymi na nisą tradycyjną zabudowę mieszalną, Zeszyty Nauowe Politechnii Kraowsiej, seria Inżynieria Lądowa, nr 74, Kraów. [1] Tatara T.: Odporność dynamiczna obietów budowlanych w warunach wstrząsów górniczych, Wyd. PK, Kraów 1. [13] Trifunac M. B., Brady A. G.: A study on the duration of strong earthquae ground motion, Bull. Seismol. Soc. Am., 65, 1975, [14] Zembaty Z.: Rocburst induced ground motion a comparative study, Soil Dynamics and Earthquae Engineering, 4, 4, [15] Zembaty Z.: Prędościowa oncepcja oceny intensywności wstrząsów górniczych dla celów projetowania budowli narażonych na wstrząsy górnicze. [w:] Zagrożenia i technologie. Praca zbiorowa pod red. J. Kabiesza, Katowice, GIG, 1, [16] EN Eurocode 8: Design of structures for earthquae resistance Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings, European standard EN 1998, January 14). [17] ISO/DIS 31, Basis for design of structures Seismic actions on structures, wersja z r. [18] PN-85/B-17, Ocena szodliwości drgań przeazywanych przez podłoże na budyni. [19] Wymagania techniczne dla obietów budowlanych wznoszonych na terenach górniczych, Instrucja 364/, ITB, Warszawa.

80 8 K. Kuźniar, E. Maciąg, T. Tatara NORMALIZED RESPONSE SPECTRA FROM SURFACE VIBRATIONS INDUCED BY MINING TREMORS S u m m a r y The paper deals with one of the methods of inematic loads describing - using the re-sponse spectra. It also presents the proposition of the drawn up standard acceleration re-sponse spectrum for the most seismically active mining area in Poland Legnica-Glogow Coppefield LGOM). This type of spectrum can be applied for approximate dynamic analyzes. This spectrum was determined on the basis of ground vibrations recorded over several years at three measuring stations. Only the selected vibrations with amplitudes not less than 1cm/s were taen into account in the calculations, hundreds in total. The statement of the average dimensionless accel-eration response spectra prepared for each of the station separately, enables to determine the effect of soil conditions on the form of the resulting spectrum. A comparison of the proposed standard spectrum with corresponding spectra given in the literature was performed, showing and analyzing the differences. In addition, the proposed standard response spectrum prepared on the basis of ground vibrations was compared with the spectrum from foundation vibrations for three types of buildings: low, medium-height, high). These curves are maredly different and show a strong damping of higher frequencies by buildings. Keywords: standard response spectrum, mining tremors, records of vibrations, experimental tests DOI:1.786/rb.14.3 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

81 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Roman LEWANDOWSKI 1 Mieczysław SŁOWIK MODELOWANIE MECHANICZNEGO ZACHOWANIA CIECZY UŻYWANEJ W TŁUMIKACH DRGAŃ W pracy rozważa się możliwość zastosowania tzw. ułamowych modeli reologicznych do opisu dynamicznego zachowania cieczy o bardzo dużej lepości. Ciecz ta jest często stosowana w pasywnych tłumiach drgań. Bierze się pod uwagę ułamowe modele reologiczne o trzech i czterech parametrach. Posłużono się rezultatami własnych badań w procedurze identyfiacji parametrów modeli. Dysutuje się wpływ temperatury cieczy i wpływ amplitudy drgań na wartości parametrów modeli. Wyazano, że ułamowy, trójparametrowy model Maxwella umożliwia wystarczająco doładny opis dynamicznego zachowania rozpatrywanej cieczy. Słowa luczowe: ciecz leposprężysta, badania esperymentalne, ułamowe modele reologiczne, identyfiacja parametrów 1. Wprowadzenie Ciecze o bardzo dużej lepości są często stosowane do budowy leposprężystych, cieczowych tłumiów drgań. Istnieje wiele typów taich tłumiów. W firmie GERB zaprojetowano tłumi schematycznie poazany na rys. 1. Jest on używany do reducji drgań rurociągów i jao element uładu izolacji sejsmicznej. Cylinder jest wypełniony żelem silionowym; cieczą o bardzo dużej lepości. Ruch tłoa powoduje odształcenia cieczy i dyssypację energii. Innym typem tłumia cieczowego jest tzw. ściana tłumiąca, poazana schematycznie na rys. 1. W tym rozwiązaniu funcję tłoa pełni stalowa płyta poruszająca się w swej płaszczyźnie i zanurzona w wąsim stalowym ontenerze wypełnionym cieczą o dużej lepości. Urządzenie to jest zwyle umieszczone na stropie budynu, przy czym płyta stalowa jest przymocowana do stropu górnej ondygna- 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Roman Lewandowsi, Politechnia Poznańsa, Instytut Konstrucji Budowlanych, Poznań, ul. Piotrowo 5, tel. 61) , roman.lewandowsi@put.poznan.pl Mieczysław Słowi, Politechnia Poznańsa, Instytut Inżynierii Lądowej, Poznań, ul. Piotrowo 5, tel. 61) , mieczyslaw.slowi@put.poznan.pl

82 8 R. Lewandowsi, M. Słowi cji, a pojemni do stropu dolnej ondygnacji. Względne ruchy obu stropów powodują ruch ściany tłumiącej względem ontenera, ścinanie cieczy i rozpraszanie energii. Lepość cieczy powinna być bardzo duża, aby efety tłumienia były znaczące. Właściwości cieczy używanych w tego typu tłumiach w istotny sposób zależą od częstości wymuszenia i temperatury cieczy. Właściwości tłumiów cieczowych zazwyczaj oreśla się wyonując odpowiednie badania dynamiczne tłumiów [1], a ich zachowanie opisuje się za pomocą różnorodnych modeli reologicznych [ - 4]. Podejście to wymaga wyonania żmudnych i osztownych badań doświadczalnych, tóre należy wyonać dla ażdego rodzaju tłumia. Zwyle badania te można przeprowadzić dla nisich częstości wymuszenia, a ontrola temperatury w tracie badań jest bardzo utrudniona. Rys. 1. Schematyczne przedstawienie cieczowych tłumiów drgań Fig. 1. Schematic view of fluids dampers W ilu pracach podjęto próbę numerycznego modelowania zachowania cieczowego tłumia drgań [5, 6]. To podejście stwarza możliwość ograniczenia zaresu badań doświadczalnych tłumiów. Wymagana jest jedna znajomość właściwości cieczy używanych do wyonania omawianych tłumiów. Badania cieczy o bardzo dużej lepości, dla dużego zaresu częstości wymuszenia oraz precyzyjnie ustalonej temperatury cieczy można w standardowy sposób przeprowadzić przy użyciu reometru. Wynii ta przeprowadzonych badań mogą być użyte w numerycznym modelu zachowania tłumia. Ciecze o bardzo dużej lepości stosowane w tłumiach drgań, są tzw. cieczami nienewtonowsimi, a ich równania onstytutywne często zawierają pochodne ułamowego rzędu [7, 8]. W pracy omawia się rezultaty badań cieczy o bardzo dużej lepości, z użyciem reometru dynamicznego ścinania. Przedstawiono również wynii identyfiacji modelu reologicznego i jego parametrów i na tej podstawie ustalono równanie onstytutywne badanej cieczy. Badaniom poddano ciecz o nazwie polydimethylsiloxane C H 6OSi) często używaną do wyonania tłumiów cieczowych.

83 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 83. Opis przeprowadzonych badań Badania omawianej cieczy zostały przeprowadzone w Laboratorium Badawczym Instytutu Inżynierii Lądowej Politechnii Poznańsiej w 11 rou. Badania wyonano za pomocą reometru dynamicznego ścinania DSR ang. Dynamic Shear Rheometer) typu Physica MCR 11 producji niemieciej firmy Anton Paar Germany GmbH. Reometr DSR zastosowany w badaniach ma następujące parametry: zares momentu obrotowego: od,5 Nm do 15 mnm; zares prędości obrotowej: od 1-4 min -1 do 31 3 min -1, zares częstości wymuszenia: od 1-4 Hz do 1 Hz. W badaniach wyorzystano uład pomiarowy sładający się z dwóch metalowych płyt równoległych o średnicy = 5 mm. Próbi badanego materiału umieszczano w szczelinie pomiędzy dwiema płytami, tórej szeroość przyjmowano równą 1, mm. W napędzie uładu pomiarowego zastosowane jest łożyso powietrzne, dzięi czemu zostały zminimalizowane opory tarcia podczas ruchu oscylacyjnego płyty ruchomej. Przeprowadzano badania cieczy w różnych temperaturach. Temperatura badanej cieczy była równa: C oraz 5 C i była utrzymywana z tolerancją ±,1 C. Ciecz pobudzano do ruchu oscylacyjnego, sinusoidalnie zmiennego wywołując przemieszczenia ątowe płyty ruchomej. Wyonano badania przyjmując różne amplitudy przemieszczeń ątowych płyty. Amplitudy te były równe:,1 mrad;,1 mrad; 1 mrad; 1 mrad; mrad oraz 1 mrad. Przy ustalonej temperaturze i zadanej amplitudzie wymuszenia wyonywano badania dla różnych częstotliwości wymuszenia wziętych z przedziału Hz. Reometr mierzy szereg wielości fizycznych, z tórych najistotniejsze znaczenie dla dalszych rozważań mają: zespolony moduł ścinania G* oraz ąt przesunięcia fazowego. 3. Opis ułamowych modeli reologicznych Istnieje szereg modeli reologicznych opisujących właściwości cieczy o dużej lepości. Modele te można podzielić na lasyczne modele reologiczne i tzw. ułamowe modele reologiczne [3, 4]. Tych ostatnich używa się do opisu właściwości omawianej cieczy. Analizowano możliwości użycia czterech ułamowych modeli reologicznych: a) trójparametrowego modelu Kelvina K3), b) trójparametrowego modelu Maxwella M3), c) czteroparametrowego modelu standardowego S4) i d) czteroparametrowego modelu Zenera Z4). Schematy mechaniczne omawianych modeli poazano na rys., na tórym za pomocą rombu przedstawiono tzw. element sprężysto-tłumiący the springpot element). Równanie onstytutywne tego elementu ma postać: t) D t), 1) t

84 84 R. Lewandowsi, M. Słowi a) E b) E c) E E 1 d) E E 1 Rys.. Schematyczne przedstawienie ułamowych modeli reologicznych, a) trójparametrowy model Kelvina K3), b) trójparametrowy model Maxwella M3), c) czteroparametrowy model standardowy S4), d) czteroparametrowy model Zenera Z4) Fig.. Schematic view of fractional rheological models, a) three-parameter Kelvin model K3), b) three-parameter Maxwell model M3), c) fourth-parameter standard model S4), d) fourth-parameter Zener model Z4) gdzie t) jest naprężeniem ścinającym, t) odształceniem postaciowym, jest lepością dynamiczną. Symbol t oznacza czas, a symbol D t xt) pochodną ułamową Riemanna-Liouville a rzędu, 1, zdefiniowaną w następujący sposób: t d x t) 1 d xs) Dt x t) 1 ) ds, ) dt dt t s) gdzie symbolem oznaczono funcję specjalną gamma, patrz [1]). Równania trójparametrowych modeli Kelvina i Maxwella mają odpowiednio postać: t) E t) E D t), t) D t) ED t), 3) t gdzie E jest modułem sprężystości, a / E. Zachowanie modeli czteroparametrowych jest opisane równaniem: t) D t) E t) E D t), 4) t t W modelu standardowym E E1E / E1 E), E E1, / E1 E), a w modelu Zenera E E 1 E, / E, E E1. Znaczenie symboli E 1 i E objaśniono na rys.. Ważnymi charaterystyami modeli reologicznych jest dynamiczny moduł sprężystości E ) i moduł rozpraszania energii E ). Moduły te wyznacza się załadając, że zmiany naprężenia i odształcenia w czasie opisują funcje t) exp it), t) exp it), gdzie jest częstością drgań. Po wyonaniu stosownych przeształceń otrzymuje się następujące zależności: t t

85 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 85 E E E ) ) cos / ) ) ) E E, 5) 1 ) cos / ) ) E E ) ) sin / ) E ), 6) 1 ) cos / ) ) w przypadu modeli czteroparametrowych oraz E ) E E ) cos / ), E ) E ) sin / ), 7) ) cos / ) E ) E ), 8) 1 ) cos / ) ) E ) E ), 9) 1 ) sin / ) cos / ) ) w przypadu odpowiednio trójparametrowego modelu Kelvina i Maxwella patrz [4]). W zastosowanej procedurze identyfiacji parametrów modeli reologicznych istotna jest znajomość rozwiązania problemu drgań ustalonych cieczy. Stan ustalony drgań harmonicznie zmiennych cieczy opisywany jest równaniami patrz [4]): t) cos t sint, t) cos t sint, 1) c s a zależności między współczynniami c, s, c i s mają postać: ) c s c E ) c E s, s E ) c E ) s 4. Ogólny opis metody identyfiacji, 11) Zastosowano procedurę identyfiacji parametrów szczegółowo opisaną w [11]. Tutaj porótce omawia się sformułowanie problemu identyfiacji jao zadania optymalizacji. Załada się, że dysponuje się, dla zadanej amplitudy odształceń i temperatury, ciągiem wartości modułów E ei i ) i E ei i ) wyznaczonych doświadczalnie dla zbioru częstości wymuszenia i i 1,,..., n). Parametry modeli reologicznych E, E, i w przypadu modeli czteroparametrowych oraz E, i w przypadu modeli trójparametrowych) dobiera się ta, aby zminimalizować wartość funcjonału o postaci: J n Eei i ) Ei i )) Eei i ) Ei i )) i1 przy ograniczeniach, 1)

86 86 R. Lewandowsi, M. Słowi 1,, E E, 13) jeżeli rozpatruje się modele czteroparametrowe lub z ograniczeniami 1,, E, 14) jeżeli rozpatruje się modele trójparametrowe. Powyższe zadanie optymalizacji rozwiązano metodą roju cząste the particle swarm optimization method) opisaną np. w pracach [11, 1]. Każde zadanie optymalizacji rozwiązywano 5 razy. W obliczeniach zastosowano rój liczący cząste. Każda cząsta roju poszuiwała optymalnego zbioru parametrów identyfiacji zmieniając 5 razy swoje położenie. Jao rozwiązanie problemu przyjmowano najlepsze ze wszystich otrzymanych położeń cząste roju, tzn. taie położenie, dla tórego wartość funcjonału 1) była najmniejsza i równocześnie były spełnione ograniczenia 13) lub 14). 5. Wynii identyfiacji Typowe wynii identyfiacji przedstawiono na rys. 3 i 4, na tórych poazano moduły E rys. 3) i E rys. 4) w zależności od częstotliwości wymuszenia. Na wspomnianych rysunach wartości modułów E i E otrzymane z pomiarów zaznaczono rzyżyami ), wartości tych modułów wyznaczone za pomocą modeli reologicznych przy pomocy nie zaczernionych rombów., model K3), nie zaczernionych trójątów, model M3), zaczernionych rombów, model S4) i zaczernionych trójątów, model Z4). Wynii doświadczalne dotyczą badania wyonanego w temperaturze C. Amplituda drgań srętnych wynosiła 1 mrad, a dane doświadczalne otrzymano dla częstotliwości z przedziału od,3 Hz do 63, Hz. Widać, że trójparametrowy, ułamowy model Kelvina nie opisuje poprawnie właściwości omawianej cieczy. Pozostałe modele opisują te właściwości w sposób zadawalający. Wobec tego w dalszej części pracy opisano wynii identyfiacji uzysane dla ułamowych modeli Maxwella, standardowego i Zenera. Wartości parametrów tych modeli zestawiono w Tabeli 1. Z tego zestawienia wynia, że właściwości omawianej cieczy mogą być opisane za pomocą trójparametrowego, ułamowego modelu Maxwella. Wartości lepości dynamicznej lub ) we wszystich modelach są zbliżone masymalne różnice ooło 3%), ponadto w modelu standardowym moduł sprężystości E, a w modelu Zenera E 1. Oznacza to, że modele czteroparametrowe reduują się do trójparametrowego modelu Maxwella. Różnice między wartościami modułów sprężystości E wynoszą ooło 8%. Wartości parametru rzędu pochodnej ułamowej) różnią się od siebie o mniej niż 3%.

87 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 87 5 E' [Pa] 15 1 C 1 mrad częstotliwość [Hz] Rys. 3. Porównanie wyniów identyfiacji zależność modułu E od częstotliwości wymuszenia, wynii doświadczalne +), model Kelvina K3) ), model Maxwella M3 ), model standardowy S4 ), model Zenera Z4 ) Fig. 3. Comparison of identification results modulus E vs. Excitation frequency, experimental results +), Kelvin model K3) ), Maxwell model M3 ), standard model S4 ), Zener model Z4 ) 3 5 C 1 mrad E'' [Pa] częstotliwość [Hz] Rys. 4. Porównanie wyniów identyfiacji zależność modułu E od częstotliwości wymuszenia, wynii doświadczalne ), model Kelvina K3) ), model Maxwella M3 ), model standardowy S4 ), model Zenera Z4 ) Fig. 4. Comparison of identification results modulus E vs. Excitation frequency, experimental results ), Kelvin model K3) ), Maxwell model M3 ), standard model S4 ), Zener model Z4 )

88 88 R. Lewandowsi, M. Słowi Tabela 1. Wartości stałych różnych modeli cieczy Table 1. Values of parameters of different models of fluids Model E lub E 1 [Pa] lub s [ Pa ] E [Pa] [-] Maxwella 85931, 6,9 -,75 Standardowy 9931, 19,4,,7369 Zenera, 67, ,4,731 W Tabeli zestawiono wartości parametrów modelu Maxwella oraz modelu standardowego dla trzech różnych amplitud drgań srętnych reometru. Widać, że w analizowanym przedziale amplitud drgań wartości parametrów są w przybliżeniu stałe. Tabela. Zależność wartości parametrów od amplitudy drgań srętnych reometru Table. Dependence of parameter values on amplitudes of torsion vibration of rheometer Amplituda [mrad] E [Pa] Model Maxwella s [ Pa ] [-] E 1 [Pa] E [Pa] Model standardowy s [ Pa ] [-],1 8614,7 38,84, ,8 168,4 1999,,7595 1, 87876, 95,16, ,5 187,4 17,,735 1, 85931, 6,9, ,, 19,4,7369 W Tabeli 3 poazano zmiany wartości parametrów modelu Maxwella w zależności od zmiany przedziału częstotliwości wymuszenia, dla tórego wyonuje się badania esperymentalne. Obliczenia wyonano dla drgań o amplitudzie 1 mrad wyonywanych w temperaturze C. Widać istotne różnice w wartościach parametrów modelu ułamowego Maxwella. Oznacza to, że wyniów identyfiacji nie można zbytnio rozszerzać poza przedział częstotliwości wymuszenia, dla tórego wyonano badania doświadczalne. Podobne uwagi można znaleźć w opracowaniach dotyczących identyfiacji parametrów lasycznych modeli reologicznych. Na rys. 5 i 6 poazano, w jai sposób omawiane różnice wartości parametrów ułamowego modelu Maxwella wpływają na przebieg funcji E ) i E ). Na wspomnianych rysunach linią ciągłą poazano wartości modułów E ) i E ) otrzymane na podstawie wyniów badań, linią resowaną rzywe E ) i E ) wyznaczone przy użyciu wartości parametrów modelu

89 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 89 Tabela 3. Zależność wartości parametrów od przedziału częstotliwości wymuszenia Table 3. Dependence of parameter values on a range of excitation frequencies Przedział częstotliwości [Hz] Model Maxwella s E [Pa] [ Pa ] [-],3 63, 8614,7 38,8,7544,3 5, 7595, 199,,7676,3 43, 68786,9 1941,9,69,3 8, 648,8 1885,1,833,3, 596, 1843,.89,3 1, 445,7 1793,3,86,3 5, 3474,4 1781,8, C 1 mrad E' [Pa] częstotliwość [Hz] Rys. 5. Przebieg funcji E ) dla różnych wartości parametrów modelu Maxwella M3 Fig. 5. Course of function E ) for different values of parameters of the Maxwell model M3 Maxwella wziętych z pierwszego wiersza Tabeli 3, a linią ropowaną rzywe E ) i E ) wyznaczone przy użyciu wartości parametrów wziętych z ostatniego wiersza Tabeli 3. Widać, że nie można stałych modelu wyznaczonych na

90 9 R. Lewandowsi, M. Słowi 3 5 C 1 mrad E'' [Pa] częstotliwość [Hz] Rys. 6. Przebieg funcji ) E dla różnych wartości parametrów modelu Maxwella M3 Fig. 6. Course of function E ) for different values of parameters of the Maxwell model M3 podstawie badań wyonanych w małym przedziale częstotliwości wymuszenia używać do obliczania omawianych modułów poza tym przedziałem. Dotyczy to zwłaszcza modułu E ). Z wyresów poazanych na rys. 7 i 8 wynia, że właściwości badanej cieczy w istotny sposób zależą od jej temperatury w tracie badania. Na wspomnianych rysunach linią ciągłą poazano wynii badań, a linią przerywaną wartości funcji E ) lub E ) wyniające z ułamowego modelu Maxwella. Wartości parametrów ułamowego modelu Maxwella zestawiono, dla różnych temperatur w Tabeli 4. Widać, że zmiana temperatury ma najwięszy wpływ na stałą, dynamiczny współczynni lepości. Zares przeprowadzonych badań nie pozwala jedna na zaproponowanie modelu, tóry uwzględniałby wpływ temperatury badanej cieczy. Tabela 4. Zależność wartości parametrów od temperatury Table 4. Dependence of parameter values on temperature Temperatura [ C ] Model Maxwella s E [Pa] [ Pa ] [-], 8614,7 38,8,7544 5, 77141,4 16,3,7865

91 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy C E' [Pa] 15 1 amplituda 1 mrad +5 C częstotliwość [Hz] Rys. 7. Zależność modułu E ) od częstotliwości dla różnych temperatur Fig. 7. Dependence of storage modulus E ) on frequency for different temperatures 3 5 amplituda 1 mrad + C E'' [Pa] C częstotliwość [Hz] Rys. 8. Zależność modułu ) E od częstotliwości dla różnych temperatur Fig. 8. Dependence of storage modulus E ) on frequency for different temperatures

92 9 R. Lewandowsi, M. Słowi 6. Uwagi ońcowe W pracy opisano wynii badań esperymentalnych cieczy o bardzo dużej lepości używanej w pasywnych, cieczowych tłumiach drgań. Zaproponowano trójparametrowy, ułamowy model reologiczny Maxwella do opisu dynamicznego zachowania omawianej cieczy. Wyazano, że model ten wystarczająco doładnie opisuje właściwości cieczy o bardzo dużej lepości dla dużego przedziału częstotliwości wymuszenia. Poazano, ze stałe modelu w istotny sposób zależą od temperatury cieczy. Wyazano również, że wynii identyfiacji stałych wystarczająco dobrze opisują zachowanie cieczy tylo w tym przedziale częstotliwości wymuszenia, dla tórego dysponuje się danymi esperymentalnymi. Podzięowania Część pracy wyonano w ramach programu badań sponsorowanego przez Narodowe Centrum Naui Projet Nr 13/9/B/ST8/1733), prowadzonego w latach Literatura [1] T.T. Soong, G.F. Dargush, Passive energy dissipation systems in structural engineering, Chichester, Wiley [] N. Maris, M.C. Constantinou, Fractional-derivative Maxwell model for viscous dampers, Journal of Structural Engineering, 117, 78 74, [3] Par S.W., Analytical modeling of viscoelastic dampers for structural and vibration control, International Journal of Solids and Structures, 38, , 1. [4] R. Lewandowsi, B. Chorążyczewsi, Identification of the parameters of the Kelvin-Voigt and the Maxwell fractional models, used to modeling of viscoelastic dampers, Computers and Structures, 88, 1-17, 1. [5] C.Y. Hou, Fluids dynamics and behavior of nonlinear fluid dampers, Journal of Structural Engineering, 134, 56-63, 8. [6] C. Frings, J.C. De La Llera, Multiphysics modeling and experimental behavior of viscous damper, G. De Roec, G. Degrande, G. Lambert, G. Muller eds. The 8 th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 11), Leuven, Belgium, July 4-6, 11. [7] D. Tong, Y. Liu, Exact solutions for the unsteady rotational flow of non-newtonian fluid in an annular pipe, International Journal of Engineering Science, 43, 81 89, 5. [8] P. Yang, Y. Lam, K. Zhu Constitutive equation with fractional derivatives for the generalized UCM model, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 165, 88 97, 1.

93 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 93 [9] Z. Osińsi, Tłumienie drgań mechanicznych, PWN, Warszawa [1] I. Podlubny, Fractional differential equations. Academic Press, [11] R. Lewandowsi, Identification of the parameters of the fractional rheological models of viscoelastic dampers using particle swarm optimization, Proceedings of the 19 th International Conference on Computer Methods in Mechanics, May 9-1, Warsaw, Poland, 11 [1] R.E. Perez, K. Behdinan, Particle swarm approach for structural design optimization, Computers and Structures, 85, , 7. MODELLING OF MECHANICAL BEHAVIOUR OF FLUID USED IN DAMPERS S u m m a r y In the paper the possibility of using the fractional rheological models to description of dynamic behavior of fluid of high viscosity is discussed. The considered high viscosity fluid is often used in the passive dampers. The fractional rheological models with three and fourth parameters are taen into account. The experimental data taen from our own experiments are used in the identification procedure. The influence of temperature of fluid and the influence of amplitude of vibration on values of model parameters are also presented and discussed. It was found that the fractional Maxwell model with three parameters is able to sufficiently well describe the dynamic behavior of considered fluid. Keywords: viscoelastic fluid, experimental study, fractional rheological models, parameters identification DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

94

95 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Bogusław ŁADECKI 1 Sławomir BADURA ANALIZA DYNAMICZNA MOSTU PRZEŁADUNKOWEGO O KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ Suwnice bramowe o onstrucji powłoowej stosowane są w polsim przemyśle hutniczym znacznie rzadziej od suwnic ratowych lub blachownicowych. Mosty przeładunowe o onstrucji powłoowej, charateryzują się podwyższoną podatnością na drgania mechaniczne, co sutuje ich więszą wrażliwością na powstawanie pęnięć zmęczeniowych. W pracy wyonano pomiary tensometryczne odształceń mostu powłoowego, dla tórego prowadzone cylicznie badania nieniszczące ujawniały występowanie licznych pęnięć zmęczeniowych głownie w obszarze bele podszynowych. Wyonywane oresowo naprawy i wzmocnienia onstrucji mostu nie wyeliminowały problemu powstawania olejnych pęnięć zmęczeniowych. Wyonana analiza dynamiczna pracy mostu, w połączeniu z przeprowadzonymi obliczeniami MES wyazała przeroczenie dopuszczalnych wartości naprężeń ze względu na zjawiso zmęczenia materiału. Uzysane wynii analiz dynamicznych stanowić mogą podstawę do wyonania doładniejszych analiz trwałości zmęczeniowej najbardziej wytężonych obszarów mostu. Słowa luczowe: pomiary tensometryczne, stan naprężeń, suwnice bramowe, MES, badania nieniszczące 1. Wprowadzenie Suwnice bramowe o onstrucji powłoowej charateryzują się bardzo dużą sztywnością oraz smułością, przy czym ich wadą jest parorotnie niższy udźwig w porównaniu z onstrucjami ratownicowymi o porównywalnych rozmiarach, ja również podwyższona podatność na drgania mechaniczne. Rozważania przeprowadzono dla mostu powłoowego czerpaowego o udźwigu 35 N, esploatowanego w jednej z polsich hut -- rys. 1. Dla mostu taiego 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Bogusław Ładeci, AGH University of Science and Technology, Faculty of Mechanical Engineering and Robotics, Al. Miciewicza 3, 3-59 Kraów, boglad@uci.agh.edu.pl Sławomir Badura, AGH University of Science and Technology, Faculty of Mechanical Engineering and Robotics, Al. Miciewicza 3, 3-59 Kraów, sbadura@agh.edu.pl

96 96 B. Ładeci, S. Badura element nośny stanowi przęsło o długości 133 m o onstrucji powłoowej wyonane z blach stalowych wzmocnionych użebrowaniem biegnącym wzdłużnie i poprzecznie. Rys. 1. Most przeładunowy o onstrucji powłoowej Fig. 1. Charging bridge of a shell structure. Badania nieniszczące mostu W związu z występowaniem pęnięć zmęczeniowych po olejno wyonywanych naprawach mostów, przeprowadzono ich omplesowe badania nieniszczące [1], w sład tórych wchodziło wyonanie: badań wizualnych całej powierzchni zewnętrznej suwnic, w celu oreślenia obszarów występowania niedopuszczalnych uszodzeń ich onstrucji nośnej, tj. naderwań, pęnięć, trwałych deformacji i innych niedopuszczalnych uszodzeń, badań defetosopowych metodą magnetyczno-proszową, oceny postępu ubytów orozyjnych z wyorzystaniem technii ultradźwięowej, analizy trwałych deformacji przęsła, na podstawie prowadzonych cylicznie geodezyjnych pomiarów ształtu profilu pionowego pasa górnego bele podszynowych []. Wyonane badania nieniszczące ujawniły szereg obszarów występowania pęnięć, najczęściej o charaterze zmęczeniowym oraz innych uszodzeń onstrucji mostu. Najwięsze nasilenie występowania pęnięć zmęczeniowych stwierdzono dla bele podszynowych wóza mostu, dla tórych zidentyfiowane typy uszodzeń zilustrowano na rys., 3 i 4. Oprócz sporadycznie wyrywanych pęnięć typu A, C i G, dla różnych serii badań stwierdzono występowanie ogółem: 4-47% pęnięć typu Z, 13-4% pęnięć typu O oraz 8-5% pęnięć typu B, w całowitej liczbie wyrytych pęnięć. Również w innych obszarach onstrucji mostu stwierdzano występowanie pęnięć zmęczeniowych, z tórych najgroźniejsze wyryto dla powłoi powyżej podpory długiej rys. 5, loalizacja pęnięć zgodnie z rys. 6.

97 Analiza dynamiczna mostu przeładunowego 97 Rys.. Loalizacja typów wyrytych pęnięć beli podszynowej Fig.. Location of the detected cracs of the bridge beam Na zwięszenie problemów esploatacyjnych mostów, oprócz omówionych wyżej zjawis zmęczeniowych występujących głównie w obszarze złączy spawanych bele podszynowych, wpływają również problemy z utrzymaniem w należytym stanie torowis wóza, spowodowanych luzowaniem się i pęaniem licznych śrub, ja również pojawiającymi się oresowo pęnięciami szyn. Wya) b) Wyryte pęnięcia: typu A pęnięcie złącza spawanego, w dolnej części żebera żebra poprzecznego beli podszynowej, typu B pęnięcie spoiny sufitowej łączącej górną półę dwuteownia z poziomą blachą beli podszynowej, typu C pęnięcie pionowe złącza spawanego blach beli podszynowej i powłoi, zloalizowane pomiędzy żebrami beli podszynowej, typu O pęnięcie blachy pod szyną w ierunu osi szyny, bliso żebra, typu O` pęnięcie blachy pod szyną, równoległe do osi szyny, typu Z1 Z3 ) pęnięcie spoiny równoległej do osi szyny, żebera żebra poprzecznego lub wręgi, typu Z pęnięcie spoiny pionowej, żebera żebra poprzecznego lub wręgi typu G pęnięcie spoiny czołowej podłużnicy ceowni 3) Rys. 3. Pęnięcia beli podszynowej wyryte metodą magnetyczno-proszową: a) typu Z1 spoiny o dł. 14 mm, b) typu O` blachy pod szyną o dł. 38 mm Fig. 3. Cracs of the bridge beam detected by the magnetic-powder method: a) type Z1 joint 14 mm long; b) type O` plate under the rail, 38 mm long Rys. 4. Pęnięcie spoiny czołowej podłużnicy typu G wyryte metodą magnetyczno-proszową Fig. 4. Cracs weld of the bridge beam stringer type G detected by the magnetic-powder method

98 98 B. Ładeci, S. Badura onywane oresowo naprawy i wzmocnienia onstrucji mostu nie wyeliminowały problemu powstawania olejnych pęnięć zmęczeniowych. W celu wyjaśnienia zaistniałej sytuacji przeprowadzono stosowną analizę dynamiczną onstrucji na podstawie wyonanych pomiarów tensometrycznych odształceń na obiecie rzeczywistym, zweryfiowanych obliczeniami MES. a) b) Rys. 5. Pęnięcia powłoi powyżej podpory długiej: a) po stronie zachodniej mostu o dług. 8 mm i 45 mm, b) po stronie wschodniej o dług. 4 mm i 6 mm Fig. 5. Shell cracs above the long support: a) western side of the bridge - 8 mm and 45 mm long, b) estern side of the bridge - 8 mm and 45 mm long 3. Analiza wytrzymałościowa Dla opracowanego modelu dysretnego onstrucji mostu, rozpatrzono ogółem 17 przypadów obciążeń [3]. Wyonane analizy MES wyazały, że dla najbardziej nieorzystnych wariantów obciążeń onstrucji mostu, estremalne wartości sił tnących dla przęsła występują w obszarze podpór, natomiast estremalne wartości momentów zginających w obszarze podpór oraz w środu rozpiętości przęsła pomiędzy podporami rys. 7. Obszary te są zgodne z obszarami najwięszego nasilenia występowania pęnięć zmęczeniowych w belach podszynowych. Przyładowe wynii naprężeń zreduowanych otrzymanych zgodnie z hipotezą Hubera Missesa dla przęsła, dla wariantu obciążeń odpowiadającego położeniu wóza w środu przęsła poazano na rys. 6. Wybrane wynii analizy MES dla elementów beli podszynowej zestawiono w tabeli 1. Estremalne war- Tabela 1. Wybrane wynii analizy MES dla elementów beli podszynowej Table 1. Selected FEM results for bridge beam elements Element onstrucji beli podszynowej Naprężenia [MPa] Zreduowane dla wariantu obciążenia: 1 - wóze na podporze rótiej wóze w środu przęsła Kategoria zmęczeniowa zg. z [4] Pasy boczne Przepony Spoiny typu B i Z

99 Analiza dynamiczna mostu przeładunowego 99 Miejsce pęnięcia powłoi z rys. 5 Rys. 6. Analiza MES - rozład naprężeń zreduowanych w przęśle wariant obciążenia [3] Fig. 6. FEM analysis distribution of the reduced stresses in the span load variant [3] tości naprężeń zreduowanych dla bele podszynowych wynoszące 65 MPa, uzysano dla obszaru występowania pęnięć pachwinowych złączy spawanych typu B oraz Z. 4. Badania tensometryczne odształceń mostu 4.1. Opis przeprowadzonych pomiarów Na podstawie wyonanej analizy wytrzymałościowej onstrucji przy użyciu MES [5] wytypowano obszary, dla tórych przeprowadzono pomiary tensometryczne. Pierwszy obszar znajdował się w środu rozpiętości przęsła, w oolicy beli podszynowej mostu, natomiast drugi na powłoce mostu za podporą długą. Do pomiarów stanu odształcenia naprężenia) wyorzystano trzy rozety tensometryczne oznaczone R1, R, R3 typu TFxy-4/1 oraz dwa tensometry T1 oraz T. Tensometry pomiarowe czynne były ompensowane temperaturowo przez czujnii ompensacyjne. Całość pomiarów obejmowała cztery cyle pomiarowe. Pierwsze trzy cyle obejmowały jazdę wóza przy zatrzymanym moście. Czwarty cyl obejmował jazdę całego mostu przy wózu zaparowanym na podporze rótiej. Po ażdym cylu pomiarowym następowało zapisanie zarejestrowanych danych i powtórne wysalowanie aparatury. Zalecania esploatacyjne mostu nie pozwalały na jazdę całego mostu przy równoczesnej jeździe

100 1 B. Ładeci, S. Badura wóza czerpaowego wewnątrz onstrucji, stąd cyle pomiarowe sładały się z następujących faz: jazda wóza przy zatrzymanym moście i odwrotnie. Opis cylów pomiarowych: Cyl I Cyl II Cyl III Cyl IV - jazda wóza na pusto z podpory rótiej do podpory długiej - jazda od podpory rótiej do długiej w obszarze podpory długiej nabranie rudy) - jazda do podpory rótiej z urobiem - powrót do podpory długiej i zrzucenie ładunu - postój w osi podpory długiej - wóze w osi podpory długiej następuje załadune rudy) - jazda z rudą do osi podpory rótiej - jazda z rudą do osi podpory długiej następuje zrzucenie rudy) - jazda na pusto do osi podpory rótiej - jazdę całego mostu przy wózu zaparowanym na podporze rótiej Schemat rozmieszczenia tensometrycznych czujniów pomiarowych R1, R, R3 oraz T1, T na moście przeładunowym poazano na rys. 7. W środu rozpiętości przęsła mostu w obszarze beli podszynowej pomiędzy wręgami nr 14 i 15 po stronie zachodniej zamontowano rozety R i R3 oraz tensometry T1 i T. Na powłoce po stronie zachodniej mostu za podporą długą umieszczona została rozeta tensometryczna R1 przedstawiona na rys. 7. A A-A A R R3 R1 T1 T Rys. 7. Schemat rozmieszczenia czujniów tensometrycznych Fig. 7. Positions of strain gauges inside the charging bridge 4.. Aparatura pomiarowa Do pomiarów wyorzystano wzmacniacz pomiarowy HBM MGCplus z możliwością pomiarów czujniami rezystancyjnymi i inducyjnymi. Moste zasilany był z aumulatorów żelowych 1V-1Ah a całość podłączono do omputera przenośnego laptop, tóry wyposażony w profesjonalny program Cat-

101 Analiza dynamiczna mostu przeładunowego 11 man firmy HBM rejestrował przebieg pomiarów. Zestaw aparatury użytej do pomiarów przedstawia rys. 8. Rys. 8. Aparatura pomiarowa Fig 8. Measuring equipment 4.3. Opracowanie wyniów pomiarów Wynii pomiarów dla tensometrów osiowych T1 i T Masymalne zmierzone wartości naprężeń zostały zarejestrowane podczas Cylu II oraz Cylu III na podłużnicy z ceownia C3 w dolnej części beli podszynowej, gdzie nalejono tensometr T oraz na dolnej części powłoi gdzie nalejony był tensometr T1 rys. 9, rys 11). Wzrost naprężeń w postaci charaterystycznych piów poazanych na rys. 9 oraz rys. 11 związany jest z przejazdem wóza po szynie nad zamontowanymi w oolicy podszynowej tensometrami T1 i T. W tracie przebywania wóza w osi podpory rótiej lub długiej, naprężenia w środowej części rozpiętości mostu są pratycznie zerowe a ich wzrost następuje w tracie przemieszczania się wóza do obszaru między podporowego gdzie osiągają wartości masymalne. Nabieranie przez czerpa rudy związane jest z pojawieniem się dodatowych naprężeń w onstrucji oscylujących w oolicach 3 MPa. Ta niewielie wartości spowodowane są tym, że w tracie nabierania rudy przez czerpa wóze znajdował się w osi podpory długiej, tóra przejmowała dodatowe obciążenie. Przejazd wóza od nogi długiej do rótiej z załadownym czerpaiem powodował wzrost naprężeń zarejestrowanych przez tensometry T1 i T o oło 5 MPa w stosunu do przejazdu wóza z pustym czerpaiem. W tracie przejazdu wóza najwięszy impulsowy wzrost naprężeń został zarejestrowany przy najeździe pierwszej osi ół wóza w stosunu do drugiej co może być spowodowane nierównomiernym rozłożeniem masy wóza na obie osie oraz zaparowaniem czerpaa przy pierwszej osi. Wartości i charater zmiany naprężeń dla Cylu I przejazd pustego wóza z podpory rótiej na długą) odpowiadał analogicznym fragmentom zarejestrowanym przez tensometry T1 i T w tracie Cylu II oraz Cylu III stąd pominięto graficzne przedstawienie tych wyniów.

102 1 B. Ładeci, S. Badura Podczas jazdy całego mostu cyl IV, dla tensometrów T1 i T występują dwustronne cyle niesymetryczne o niewieliej amplitudzie zmiany naprężenia wynoszącej ooło 1,5MPa. Związane jest to z rejestracją przez tensometr osiowy naprężeń tylo w jego osi, a jazda całego mostu odbywa się w ierunu prostopadłym osi tensometrów Wynii pomiarów dla rozet tensometrycznych R1, R oraz R3 Dla rozet R i R3 wzrost wartości naprężeń obserwowano w tracie zbliżania się wóza do płaszczyzny zamontowania rozet, gdzie najwięsze naprężenie występowało w tracie najazdu ół wóza w miejscu nalejenia rozety, a następnie w tracie oddalania się wóza naprężenia malały. Najwięsze naprężenia zarejestrowane zostały przez rozetę R rys. 1 i rys. 1) znajdującą się pod belą podszynową i wynosiły ooło 31 MPa, a dla rozety R3 na powłoce mostu naprężenia wynosiły ooło 1 MPa. Dla rozety R1 zamontowanej na powłoce mostu za podporą długą zauważyć można wzrost naprężeń w miarę zbliżania się wóza do podpory długiej, gdzie masymalna ich wartość wynosiła ooło 1 MPa. Należy zaznaczyć że wóze zawsze ończył jazdę w osi podpory długiej, nie wjeżdżając na przewieszenie za podporą, gdzie zamontowana była rozeta R1. Na rys. 1 i 1, tylo dla rozety R można zaobserwować soowy wzrost wartości naprężeń wynoszący ooło 15 MPa, co stanowi połowę najwięszych naprężeń zarejestrowanych przez tę rozetę. Spowodowane mogło to być zamocowaniem rozety R na belce podszynowej w najmniejszej odległości od szyny wóza ze wszystich tensometrów zastosowanych w pomiarach. Naprężenia dla rozety R3 zamontowanej w dolnej części na powłoce mostu naprzeciw rozety R, były ponad trzyrotnie mniejsze od zarejestrowanych przez rozetę R i wynosiły 1 MPa. Dla rozety R3 można również zaobserwować wzrost zarejestrowanych naprężeń w tracie zbliżania się wóza, ale nie zachodzą gwałtowne soi zmiany naprężeń w tracie najazdu ół wóza ja dla rozety R. Odczytane przebiegi wartości naprężeń dla rozety R1 zamocowanej na przewieszeniu za nogą długą wsazują, że masymalny wzrost naprężeń dla przejazdu z pustym czerpaiem wynosi ooło 5 MPa rys. 1), a po załadowaniu czerpaa 1 MPa. Niezależnie czy czerpa był pusty czy pełny, masymalne naprężenia obserwujemy w oolicach ¼ długości między podporowej od podpory długiej, zarówno dla jazdy wóza od podpory długiej do rótiej czy odwrotnie. Podczas jazdy całego mostu cyl IV, dla rozet R1, R, R3 wartości naprężeń zreduowanych nie przeraczały 4 MPa. Bra powrotu rozet R1 oraz R3 do stanu zerowego po zaończonej jeździe całego mostu można tłumaczyć niewielim soszeniem mostu po zaończeniu przejazdu w stosunu do stanu początowego.

103 Analiza dynamiczna mostu przeładunowego Graficzne przedstawienie wyniów pomiarów Na rys. 9 poazano wyresy naprężeń dla Cylu II zarejestrowane przez tensometry osiowe T1 i T, a na rys. 1 wyresy naprężeń dla Cylu II zarejestrowane dla rozet R1, R, R3. jazda od nogi rótiej do długiej nabranie rudy jazda do nogi rótiej z urobiem powrót do nogi długiej zrzucenie ładunu Najazd 1 osi wóza nad T Najazd osi wóza nad T Rys. 9. Wyres naprężeń σ1 w czasie cylu II pracy mostu zarejestrowany przez tensometry T1 i T Fig. 9. Normal stress σ1 registered by strain gauges T1 and T during the cycle II bridge wor jazda od nogi rótiej do długiej nabranie rudy jazda do nogi rótiej z urobiem powrót do nogi długiej zrzucenie ładunu Najazd 1 osi wóza nad R Najazd osi wóza nad R Rys. 1. Wyres naprężeń zreduowanych σz dla rozet R1, R, R3 w czasie cylu II pracy mostu Fig. 1. Reduced stress σz registered by rosettes R1, R, R3 during the cycle II bridge wor

104 14 B. Ładeci, S. Badura Na rys. 11 poazano wyresy naprężeń dla cylu III zarejestrowany przez tensometry osiowe T1 i T, natomiast na rys. 1 wyresy naprężeń dla cylu III zarejestrowane dla rozet R1, R, R3. [MPa] nabranie rudy jazda od nogi długiej do rótiej jazda do nogi rótiej do długiej zrzucenie rudy powrót do nogi rótiej na pusto Najazd 1 osi wóza nad R Najazd osi wóza nad T Rys. 11. Wyres naprężeń σ1 w czasie cylu III pracy mostu zarejestrowany przez tensometry T1 i T Fig. 11. Normal stress σ1 registered by strain gauges T1 and T during the cycle III bridge wor nabranie rudy jazda od nogi długiej do rótiej jazda do nogi rótiej do długiej zrzucenie rudy powrót do nogi rótiej na pusto Najazd 1 osi wóza nad R Najazd osi wóza nad T Rys. 1. Wyres naprężeń zreduowanych σz dla rozet R1, R, R3 w czasie cylu III pracy mostu Fig. 1. Reduced stress σz registered by rosettes R1, R, R3 during the cycle III bridge wor

105 Analiza dynamiczna mostu przeładunowego 15 W tabeli zestawiono najwięsze naprężenia zreduowane σ z [MPa] dla rozet R1, R, R3 oraz naprężenia osiowe σ 1 [MPa] dla tensometrów T1 i T, tóre zarejestrowano dla poszczególnych cyli pomiarowych. Różnica wartości naprężeń uzysanych na podstawie pomiarów tensometrycznych, w porównaniu z wyniami przeprowadzonej analizy MES [3] nie przeracza 1 %. 5. Wniosi ońcowe Tabela. Wartości masymalnych naprężeń zreduowanych σz [MPa] uzysane w poszczególnych cylach pomiarowych Table. Reduced stress σz [MPa] obtained in each measuring cycles Nazwa czujnia Cyl I Cyl II Cyl III Cyl IV σ z [MPa] σ z [MPa] σ z [MPa] σ z [MPa] R R R σ 1 [MPa] σ 1 [MPa] σ 1 [MPa] σ 1 [MPa] T T Wyonane badania nieniszczące mostu przeładunowego wyazały występowanie licznych pęnięć o charaterze zmęczeniowym, głownie w obszarze bele podszynowych, tórych źródła powstawania nie zostały wyeliminowane w wyniu wyonywania doraźnych napraw. Na podstawie przeprowadzonej analizy MES oraz wyonanych pomiarów tensometrycznych odształceń naprężeń), oreślono najbardziej wytężone obszary onstrucji mostu, odpowiadające miejscom występowania pęnięć zmęczeniowych. Dobra zgodność wyniów pomiarów tensometrycznych z wyniami obliczeń omputerowych MES wsazuje na poprawność przeprowadzonych pomiarów odształceń oraz wyonanej analizy wytrzymałościowej MES, a uzysane wartości masymalne naprężeń uznać można jao wiarygodne. Estremalne wartości naprężeń zreduowanych dla bele podszynowych wynoszące 65MPa, uzysano dla obszaru występowania pęnięć pachwinowych złączy spawanych typu B oraz Z, przy czym źródłem często wyrywanych pęnięć typu O jest prawdopodobnie ich sąsiedztwo z pęnięciami typu B i Z, od tórych najczęściej rozwijały się pęnięcia typu O. Dla rozważanych obietów nie jest znana historia ich esploatacji, jedna biorąc pod uwagę ategorię zmęczeniową dla obszaru występowania wzmianowanych pęnięć oreśloną jao 57 MPa [4], jao przyczynę powstawania i rozwoju pęnięć zmęczeniowych w obszarze bele podszynowych wsazać można przeroczenie wartości wytrzymałości zmęczeniowej rozważanych złączy spawanych. Wyonane obliczenia i pomiary posłużyć mogą, do wyonania doładniejszej analizy trwałości zmęczeniowej najbardziej wytężonych obsza-

106 16 B. Ładeci, S. Badura rów onstrucji i stanowiły podstawę do wyonania odpowiednich wzmocnień onstrucji mostów. Literatura [1] Ładeci B. i in.: Espertyzy mostu przeładunowego w Załadzie Wielie Piece. PREH Sp. z o.o., Kraów 3, 1 i 13. [] Ładeci B., Borowiec W.: Monitoring geodezyjny jao nieniszcząca metoda oceny stanu technicznego onstrucji. Materiały 39 Krajowej Konferencji Badań Nieniszczących, Szczyr 1. [3] Ładeci B., Badura S., Matachowsi F.: Strength analysis of a gantry crane of coating structure. Mechanics and control, Vol. 31, No 3, 1, s [4] PN-9/B-3 Konstrucje stalowe. Obliczenia i projetowanie. [5] Ładeci B., Badura S.: Pomiary odształceń mostu powłoowego. Praca niepubliowana. AGH, KWZMiK. Kraów listopad 9. DYNAMIC ANALYSIS OF CHARGING BRIDGE OF A SHELL STRUCTURE S u m m a r y Gantry cranes with shell construction are used in Polish steel industry much less than truss bridges. Charging bridge of a shell structure characterized by increased susceptibility to mechanical vibration, resulting in their greater sensitivity to fatigue cracing. In this paper shows strain stress) measurements charging bridge for which periodically carried out non-destructive testing, which revealed the presence of numerous fatigue cracs mainly in the area of a beam pad. Periodically carried out repairs and strengthening of bridges have not eliminated the problem of the emergence of more fatigue cracs. Made dynamic analysis Charging bridge in conjunction with the carried out calculations FEM has exceeded the limit values for stress due to the effect material fatigue. The results of dynamic analysis can serve as the basis for to perform more accurate analysis of the fatigue life the most efforts areas of the bridge. Keywords: metal structures, state of stress, FEM, strain measurements, NDT examination DOI:1.786/rb.14.3 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

107 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Waldemar ŁATAS 1 OPTIMAL TUNING OF THE TUNABLE TRANSLATIONAL-ROTATIONAL DYNAMIC ABSORBERS IN GLOBAL VIBRATION CONTROL PROBLEMS IN BEAMS The paper deals with vibration of the beam subjected to the concentrated and distributed harmonic forces, with the translational-rotational dynamic vibration absorbers attached. The linear Euler-Bernoulli beam model is assumed, the solution of the equation of motion is found with the use of Fourier method. The time- Laplace transformation allows to obtain the displacement amplitude in the frequency domain. Numerical examples present a problem of minimization of the inetic energy of the whole or the part of the beam by optimal tuning the translational-rotational dynamic vibration absorber. The results of calculation confirm the effectiveness of using the translational-rotational dynamic absorbers in beams. In the examples studied the optimal tuning strategies minimizing the inetic energy are determined. Keywords: dynamic vibration absorber, beam vibration, vibration reduction, tuning, de-tuning 1. Introduction Due to the application in a number of constructions, much attention has been paid to proper selection of parameters of the dynamic vibration absorbers [DVA] mainly the most common passive tuned mass dampers [TMD] in beam structures [1 7,1 1,15]. For continuous structures usually the best location of a vibration absorber is a point of application of the excitation force. If it is technically impossible or in the case of distributed loading, an important issue is the correct location of the absorber, especially in the global or non-collocated optimization problems [1,11,13]. 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Waldemar Łatas, Cracow University of Technology, Institute of Applied Mechanics, Cracow, Al. Jana Pawła II 37, Poland, tel , latas@mech.p.edu.pl

108 18 W. Łatas To improve the efficiency of vibration reduction there are used systems of tuned mass dampers [MTMD], tuned in the most general case for a single or several resonant frequencies for broadband excitation) [8 11,13,14]. Because of the simple control algorithm it is preferable to use the tunable dynamic absorbers. The drawbac of such a solution is that there may emerge the new natural frequencies of the resulting structure, depending on the position of absorbers, which coincide with the excitation frequency, so the proper location of the tunable absorbers is very important, the better performance may be also obtained by de-tuning the absorbers [1,4,8]. The present paper deals with vibration of the Euler-Bernoulli beam subjected to the concentrated and distributed harmonic forces, with a system of the translational-rotational vibration absorbers attached. The aim of the study is to demonstrate the effectiveness of the rotational absorbers [3,7] and to determine the optimal tuning strategy in problems of minimizing the inetic energy of the beam. The rotational absorbers may significantly improve the vibration reduction because they may be effective even when placed at nodal points of the host structure, where the translational absorbers have no effect; whereas de-tuning may be advantageous by shifting the resonance frequencies beyond the excitation band [1,4].. Theoretical model A system considered in the study is shown in Figure 1. The Euler-Bernoulli beam of length l, mass density, cross-section area A, geometrical moment of inertia I and Young's modulus E is subjected to the concentrated and distributed harmonic forces, the translational-rotational dynamic vibration absorbers are attached along the beam. J P 1 t) J J P t) qx,t) r P p t) r r x 1 c 1 c r c r m 1 m x p O m r x r E w Fig. 1. Beam with a system of translational-rotational vibration absorbers Rys. 1. Bela z uładem translacyjno-rotacyjnych tłumiów drgań

109 Optimal tuning of the tunable translational-rotational dynamic absorbers 19 Assuming small linear vibration the equation of motion taes the form [3,7]: 5 4 p w w w O A EI EI q x, t) P t) x x ) 4 4 j j t x t x r j1 E F t) x x ) j j j1 j1 r E M t) x x ) j x j 1) where the following notations are introduced: q x, t ) distributed force; P) t j-th concentrated force applied at the point of coordinate j O x ; j F ) t j-th concentrated force applied from the translational vibration absorber j at the location of coordinate M j E x ; j ) t j-th concentrated torque applied from the rotational vibration absorber at the location of coordinate E x ; j j j j m, c, mass, damping and stiffness coefficients of the j-th translational j j j vibration absorber; J,, moment of inertia, damping and stiffness coefficients of the j-th rotational vibration absorber; p number of concentrated forces; r number of translational-rotational vibration absorbers. The internal damping in beam is described by parameter Voigt-Kelvin model). The method of separation of variables is utilized: w x, t) q t) x) ) i1 i i i The functions x) in series ) are the eigenfunctions of the beam without absorbers attached and with the internal damping neglected. It is assumed the following form of the distributed loading: q x, t) h t) g x). The functions of time ) i q t need to be determined. Substitution of the series ) into equation 1) and performing the time Laplace transformation with zero initial conditions for beam) leads to:

110 11 W. Łatas p 4 4 [ As Q s) EI sq s) EI Q s) a H s) ) i i i i i i d P s ji j i1 j1 r b F s) e M s)] x) ji j ji j i j1 j1 r 3) 4 A where it is introduced: ; is the i-th natural angular frequency i i i EI of the beam without vibration absorbers attached and with the internal damping neglected ). The symbols: Q) s, H) s, P) s, F ) s, M ) s denote i the Laplace transforms of the: q ) t, ht ), P) t, F ) t, M ) t respectively. i Assuming that the eigenfunctions x) are orthogonal with the weight function x) i, the numerical coefficients in equation 3) are expressed as: j j j j j j a i l g x) x) dx K i i O E E x ) x ) x ) i j i j, b, e 4) ji ji K K K i j, d ji i i i where it is introduced the notation: L K x) x) dx. i Linear independence of the eigenfunctions x) in equation 3) leads to the expression for the Laplace transform of the beam deflection and slope: p r r a H s) d P s) b F s) e M s) 5) i ji j ji j ji j j1 j1 j1, ) x) 4 i i1 As EI 1 s) i W x s p r r a H s) d P s) b F s) e M s) W x, s) x As EI s i ji j ji j ji j j1 j1 j1 x) 6) 4 i i1 1 ) i Transforms of the force F ) s and torque M ) s, applied on the beam j j from the j-th translational-rotational vibration absorber attached at the point E of coordinate x, are given by with zero initial conditions for absorbers) [3]: j i i

111 Optimal tuning of the tunable translational-rotational dynamic absorbers 111 c s ) m s E j j j F s) W x, s) j j m j s c j s j s ) J s E j j j M s) x, s) j j J j s j s j 7) 8) W x, s) where it is introduced the symbol: xs, ). x Substituting the transforms 7) 8) into expressions 5) 6) furnishes with the transforms of the beam deflection and slope, which should be satisfied at the points where the translational-rotational absorbers are attached to the beam, resulting in the system of r linear algebraic equations to determine W and 1,,.. r): r r i i i i W 1 Di W D j ji E A j ji i i1 Bi j1, j i1 Bi j1 i1 Bi i1 Bi r r i i i i 1 Di E j ji W D j ji Ai i1 Bi j1, j i1 Bi j1 i1 Bi i1 Bi 9) where in order to simplify the expressions the following symbols are introduced: E E E E W x, s) W, x, s), x ), x ), j j j j i j ij i j ij p 4 a H s) d P s) A, As EI 1 s) i B i, i ji j i j1 ) c s m s j j j b ji D ji m s c s j j j, ) J s s J s j j j e ji E ji s j j j 1) Solution of the system 9) allows to determine from formulae 7) 8) the transforms of the forces F ) s and torques M ) s, and further to obtain j j from expressions 5) 6) the transforms of the deflection and slope of the beam. After substituting s j j 1 ) steady state vibration) it may be obtained the expressions for the deflection and slope of the beam in the frequency domain.

112 11 W. Łatas 3. Numerical results: tunable translational-rotational vibration absorber Because a simple control algorithm can be used, from the practical point of view it is preferable to use the tunable absorbers. The disadvantage of this method is the possibility of occurrence of the new resonant frequencies in the resulting structure [1,4,7]. A subject of the numerical calculations is a cantilever beam, excited by a uniform distributed force in the given region, with only one translationalrotational dynamic vibration absorber attached Figure ; translational one and rotational one are placed at the same point). J 1 1 x 1 1 c 1 m 1 x 1 E l w Fig.. Cantilever beam excited by a uniformly distributed harmonic force with a translationalrotational absorber attached Fig.. Bela wsporniowa poddana harmonicznemu obciążeniu równomiernie rozłożonemu z dołączonym tłumiiem translacyjno-rotacyjnym The beam of length 11 l 1. m is made of steel E.1 1 N/m, 3 78 g/m ), has a rectangular cross-section with a width of b.5m, a height of h.5 m, the internal damping of the beam is neglected ). The first four natural frequencies of the presented beam are: f 4.19 Hz, 1 f 6.6 Hz, f 73.54Hz, f Hz. 3 4 The results of numerical calculations presented in sections 3.1, 3. relate to the problem of minimization of the inetic energy of the whole or the part of the beam by the proper tuning of the translational-rotational vibration dynamic absorber. It is assumed in further calculations that the absorbers do not have any energy dissipating appliances c 1, ). 1 Tuning of the translational-rotational absorber is described by the ratios between the natural frequencies of the translational and rotational absorbers and

113 Optimal tuning of the tunable translational-rotational dynamic absorbers 113 T R the frequency of the harmonic excitation force: e, f, where:. For e 1. and f 1. the translational and rotational 1 1 T, R m1 J1 absorbers are tuned to be resonant at each frequency, when f. it means that there is only the translational dynamic vibration absorber attached Example 1 reduction of the inetic energy of the whole beam A system considered in Example 1 is shown in Figure 3 the beam is excited by the harmonic force uniformly distributed along the whole length, the translational-rotational dynamic vibration absorber is attached at the end of the beam. J 1 x 1 1 m 1 l w Fig. 3. Loading distribution and position of the absorber considered in Example 1 Rys. 3. Rozład obciążenia oraz położenie tłumia rozpatrywanego w przyładzie nr 1 The tas of the absorber is reduction of vibration the aim is to determine the optimal tuning of the absorber minimizing the time-averaged inetic energy of the whole beam, used as a global measure of vibration. The calculated time-averaged inetic energy is shown in Figure 4, for comparison, for three cases: the beam alone, without any vibration absorber attached; only the translational vibration absorber attached to the beam; the translational-rotational vibration absorber attached to the beam. The calculations performed show that applying the translational-rotational absorber may significantly improve the effectiveness of vibration reduction when compared to the case when the translational absorber only is used. In the example investigated the translational-rotational one e 1., f 1. ) is more effective than the translational one e 1., f. ) in band

114 114 W. Łatas 1 Without absorber Translational-rotational absorber Translational absorber resonant) resonant) Kinetic energy [db] -1 - e=.99 f=1.5 e=.97 f=1.1 e=.98 f=1.1 e=.99 f=1.1 e=.99 f=1.15 e=.99 f=1. e=.97 f=1.3 e=.99 f=1.4 e=.99 f= Frequency [Hz] Fig. 4. Kinetic energy of the whole beam for different values of tuning parameters Fig. 4. Energia inetyczna całej beli przy różnych wartościach parametrów strojenia [.-4. Hz], but there appears a new natural frequency of the structure equal 8.54 Hz. It occurs advantegous using only the translational absorber in band [4.-5. Hz]. Effectiveness of vibration reduction can be significantly improved by a slightly detuning the absorbers. The curves shown in Figure 4 are obtained for different values of the tuning parameters e and f. It occurs beneficial slightly decreasing the value of e and increasing the value of f. The envelope of the obtained curves gives the minimum of the inetic energy of the beam possible to obtain, it allows also to obtain the optimal tuning algorithm. There is a significant improvement in vibration reduction obtained by detuning the absorber, but it is also apparent the high sensitivity of the optimal solutions to inaccurate tuning. 3.. Example reduction of the inetic energy of a part of the beam A system considered in Example is shown in Figure 5 the beam is excited by the harmonic force uniformly distributed along half the length, the translational-rotational dynamic vibration absorber is attached in the middle of the beam.

115 Optimal tuning of the tunable translational-rotational dynamic absorbers 115 J 1 x 1 1 m 1 w.5l Fig. 5. Loading distribution and position of the absorber considered in Example Rys. 5. Rozład obciążenia oraz położenie tłumia rozpatrzone w przyładzie nr The tas of the absorber is isolation of vibration transferred from the loaded to the unloaded area of the beam the aim is determine the optimal tuning of the absorber minimizing the time-averaged inetic energy of the unloaded part of the beam, used as a global measure of vibration. The calculated time-averaged inetic energy is shown in Figure 6, for comparison, for three cases: the beam alone, without any vibration absorber attached; only the translational vibration absorber attached to the beam; the translational-rotational vibration absorber attached to the beam. The calculations performed show that the best vibration reduction in bands [.-16. Hz] and [ Hz] gives the resonant translational-rotational absorber e 1., f 1. ). There is a new natural frequency of the structure equal Hz; it occurs that the best way to eliminate the resonance is to apply only the translational absorber tuned for e.98. The following tuning parameters describe the optimal vibration control strategy: band [.-16. Hz] e 1., f 1. ) band [ Hz] e.98, f. ) band [ Hz] e 1., f 1. ) Comparing to the example discussed in section 3.1, slightly detuning the translational-vibrational absorber in the vicinity of values e 1., f 1. does not improve here the effectiveness of vibration reduction. If using only the translational absorber, the optimal values of the tuning parameters would be as follows: l

116 116 W. Łatas 1 Translational absorber 16. Hz 18.5 Hz e=.; f=. e=1.; f=. e=1.; f=1. e=.98; f=. Without absorber Kinetic energy [db] Translational-rotational absorber Fig. 6. Kinetic energy of the unloaded part of the beam for different values of tuning parameter Rys. 6. Energia inetyczna nieobciążonej części beli dla różnych wartości parametrów strojenia band [.-1.5 Hz] e 1. ) band [ Hz] e.98 ) Although there is a significant improvement in vibration reduction, which can be obtained by detuning the absorber, it is visible also the high sensitivity of the optimal solutions to inaccurate tuning. 4. Conclusions Frequency [Hz] It can be seen from the results of calculations presented in sections 3.1, 3. that there may be obtained much improvement in vibration reduction efficiency when the rotational absorbers are added to the translational ones. Translational absorbers have no effect when are placed at nodal points of the host structure, but the rotational ones may be the most effective when located at these points. Translational and rotational absorbers applied together may be very efficient, because they can absorb and isolate both the translational and rotational motion of the beam. In the numerical examples shown in the paper only one rotationaltranslational absorber is applied, but of course vibration reduction can be improved by applying, if it is admissible, several absorbers in different locations. Additional resonances which occur after applying the tunable absorbers depend on their location. In the examples presented the position of the absorbers is

117 Optimal tuning of the tunable translational-rotational dynamic absorbers 117 fixed, but if it would be changed, it could be possible to shift the resonances beyond the excitation band [1,4]. The proper tuning of the absorbers can greatly improve the efficiency of vibration attenuation, but the theoretically calculated minimum inetic energy of the system may be difficult to obtain in practice. This is due to high sensitivity to inaccurate tuning and location. Adding damping to the absorbers can be useful. If it would be admissible, the appropriately tuned absorbers with distributed parameters may be also the option. The computational model presented can be used in local and global problems of optimal choice of position and parameters of the system of translationalrotational vibration absorbers in beams. References [1] Brennan M.J., Dayou J., Global control of vibration using a tunable vibration neutralizer, Journal of Sound and Vibration, vol. 3, no. 3,, pp [] Caetano E., Cunha Á., Magalhães F., Moutinho C., Studies for controlling human-induced vibration of the Pedro e Inês footbridge, Portugal. Part : Implementation of tuned mass dampers, Engineering Structures, vol. 3, 1, pp [3] Cheung Y.L., Wong W.O., Isolation of bending vibration in a beam structure with a translational vibration absorber and a rotational vibration absorber, Journal of Vibration and Control, vol. 14, no. 8, 8, pp [4] Dayou J., Brennan M.J., Global control of structural vibration using multipletuned tunable vibration neutralizers, Journal of Sound and Vibration, vol. 58, no.,, pp [5] Esmalizadeh E., Jalili N., Optimal design of vibration absorbers for structurally damped Timosheno beams, ASME Journal of Vibration and Acoustics, vol. 1, 1998, pp [6] Łatas W., Martynowicz P., Modeling of vibration of wind turbine towernacelle system with dynamic absorber in Polish), Modelowanie Inżyniersie, vol. 44, no. 13, 1, pp [7] Łatas W., Multiple tuned tunable translational-rotational vibration absorbers in beam, Vibrations in Physical Systems, vol. 6, 14, pp [8] Li H.N., Ni X.L., Optimization of non-uniformly distributed multiple tuned mass damper, Journal of Sound and Vibration, vol. 38, 7, pp [9] Li J., Su M., Fan L., Vibration control of railway bridges under high-speed trains using multiple tuned mass dampers, ASCE Journal of Bridge Engineering, vol. 1, no. 3, 5, pp

118 118 W. Łatas [1] Li Quan., Fan J., Nie J., Li Quanwang., Chen Y., Crowd-induced random vibration of footbridge and vibration control using multiple tuned mass dampers, Journal of Sound and Vibration, vol. 39, 1, pp [11] Luu M., Zabel V., Köne C., An optimization method of multi-resonant response of high-speed train bridges using TMDs, Finite Elements in Analysis and Design, vol. 53, 1, pp. 13. [1] Yang F., Sedaghati R., Vibration suppression of non-uniform curved beams under random loading using optimal tuned mass damper, Journal of Vibration and Control, vol. 15, no., 9, pp [13] Yau J.D., Yang Y.B., A wideband MTMD system for reducing the dynamic response of continuous truss bridges to moving train loads, Journal of Structural Engineering, vol. 6, 4, pp [14] Yau J.D., Yang Y.B., Vibration reduction for cable-stayed bridges traveled by high-speed trains, Finite Elements in Analysis and Design, vol. 4, 4, pp [15] Younesian D., Esmailzadeh E., Sedaghati R., Passive vibration control of beams subjected to random excitations with peaed PSD, Journal of Vibration and Control, vol. 1, no. 9, 6, pp OPTYMALNE STROJENIE TRANSLACYJNO-ROTACYJNEGO TŁUMIKA DYNAMICZNEGO W GLOBALNYCH ZAGADNIENIACH REDUKCJI DRGAŃ W BELKACH S t r e s z c z e n i e Praca dotyczy drgań beli poddanej działaniu supionych i rozłożonych sił harmonicznych, z dołączonymi translacyjno-rotacyjnymi tłumiami dynamicznymi. W obliczeniach przyjęto liniowy model beli Eulera-Bernoulliego, równanie ruchu rozwiązano przy użyciu metody Fouriera. Zastosowanie czasowej transformacji Laplace a pozwala na wyznaczenie amplitudy drgań w funcji częstości. Przyłady obliczeń numerycznych dotyczą zagadnień minimalizacji energii inetycznej całej beli lub jej części poprzez odpowiednie dostrojenie translacyjno-rotacyjnego tłumia drgań. Wynii obliczeń numerycznych potwierdzają suteczność stosowania translacyjnorotacyjnych tłumiów dynamicznych w belach. W badanych przyładach wyznaczono optymalną strategię dostrajania tłumiów minimalizującą energię inetyczną. Słowa luczowe: dynamiczny tłumia drgań, drgania beli, tłumienie drgań, strojenie DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

119 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Katarzyna MISIUREK 1 Paweł ŚNIADY STOCHASTYCZNE DRGANIA BELKI SANDWICZOWEJ WYWOŁANE OBCIĄŻENIEM RUCHOMYM. ANALIZA KORELACYJNA. W pracy rozpatrywane są stochastyczne drgania beli sandwiczowej swobodnie podpartej wywołane stochastyczną siłą poruszającą się ze stałą prędością. Korzystając z podstawowych techni analitycznych przeprowadzono analizę orelacyjną dla stochastycznych drgań beli. Przedstawiono dla wariancji rozwiązanie częściowo w formie zamniętej. Rezultatem pracy jest zaprezentowanie wpływu prędości z jaą porusza się siła na losową charaterystyę drgań, m.in. wariancji przemieszczeń pionowych i obrotu beli sandwiczowej. Wyprowadzono również zależność na dynamiczny współczynni dla obciążeń stochastycznych. Słowa luczowe: bela sandwiczowa, stochastyczne drgania, obciążenie ruchome, losowy współczynni dynamiczny 1. Wstęp W onstrucjach inżyniersim często spotyanym zjawisiem jest występowanie drgań wywołanych poruszającym się obciążeniem. W rzeczywistości ruchome obciążenie działające na onstrucję obo sładowej deterministycznej może mieć sładową nieregularną mającą charater procesu stochastycznego. W pracy przedstawione zostanie rozwiązanie dla problemu drgań tłumionych beli sandwiczowej swobodnie podpartej wywołanych poruszającą się ze stałą prędością siłą supioną, tóra jest stacjonarnym procesem stochastycznym. Konstrucje sandwiczowe, zwane również onstrucjami przeładowymi lub warstwowymi, są uładami mającymi trójwarstwową budowę. Konstrucje te zbudowane są z dwóch cienich warstw zewnętrznych charateryzujących się 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Katarzyna Misiure, Instytut Inżynierii Lądowej, Politechnia Wrocławsa, Wybrzeże Wyspiańsiego 7, 5-37 Wrocław, tel , atarzyna.misiure@pwr.wroc.pl Paweł Śniady, Wydział Inżynierii Kształtowania Środowisa i Geodezji, Uniwersytet Przyrodniczy, pl. Grunwaldzi 4, Wrocław, tel , pawel.sniady@wp.pl

120 1 K. Misiure, P. Śniady wysoimi właściwościami wytrzymałościowymi pomiędzy tórymi znajduje się gruba warstwa środowa o nisich właściwościach mechanicznych [1-3]. Konstrucje sandwiczowe znajdują obecnie zastosowanie w wielu gałęziach przemysłu i wyonuje się je z najbardziej zaawansowanych technologicznie materiałów. Obszar ich zastosowania ciągle się poszerza, dzięi przede wszystim idei samych onstrucji, tóre mogą być wytrzymałe ta samo ja onstrucje jednorodne, ale cechują się znacznie niższa wagą. Zagadnienie związane z obciążeniem stochastycznym dla beli Bernoulli- Eulera w zaresie teorii orelacyjnej rozpatrywał L. Fryba [4-6]. W pracy [1] rozpatrywano stochastyczne drgania beli, gdy siła porusza się ruchem przyspieszonym, hamującym i jednostajnym. Drgania beli niesończenie długiej, tórej przemieszczenie opisane jest ruchem Browna rozpatrywane były w pracy [8]. Problem stochastycznych drgań bele wywołanych ruchomym obciążeniem analizowany był między innymi w pracach [1-1]. W niniejszej pracy przedstawione zostanie rozwiązanie w zaresie teorii orelacyjnej. Pomimo, że poruszająca się siła jest stacjonarnym procesem stochastycznym reacja beli jest niestacjonarnym procesem stochastycznym co wynia z fatu, że siła działa na belę przez sończony ores. Metodya zastosowana w pracy opiera się na założeniach dotyczących onstrucji sandwiczowych [7]. Poniższa praca stanowi ontynuację i poszerzenie rozważań zaprezentowanych w pracy [9], w tórej zaprezentowano rozwiązanie drgań nietłumionych dla deterministycznej siły ruchomej. Zastosowano podstawowy model jaim jest bela swobodnie podparta w celu zaprezentowania algorytmu rozwiązania dla stochastycznych drgań onstrucji sandwiczowych.. Rozwiązanie ogólne Rozpatrywana jest lasyczna bela sandwiczowa o prostoątnym przeroju poprzecznym sładająca się z dwóch cienich, sztywnych a zarazem elastycznych oładzin zewnętrznych i grubego rdzenia. Przyjęto następujące założenia przy analizie drgań beli wywołanych ruchomym obciążeniem: Ważne jest prawo Hooe a, w porównaniu z oładzinami rdzeń charateryzuje się dużą podatnością, zapewniając jednocześnie stały odstęp pomiędzy oładzinami, oładziny przenoszą tylo siły osiowe, siły ścinające są przenoszone przez rdzeń, ugięcie wszystich warstw oraz przemieszczenie w ierunu normalnym jest identyczne, warstwy oładzinowe są elastyczne, izotropowe i nie ulegają deformacją podczas ścinania, elastyczny rdzeń przenosi tylo ścinanie i w płaszczyźnie normalnej naprężenia są pomijane;

121 Stochastyczne drgania beli sandwiczowej 11 Inercja podłużnych drgań może zostać pominięta, natomiast inercja poprzeczna jest dominująca [7, 9]. Na poniższych ilustracjach zaprezentowano przyjęty dodatni zwrot sił i przemieszczenia dla wyciętego elementu beli. Rys. 1. Geometria beli sandwiczowej oraz wypadowe sił na podstawie [7]) Fig. 1. Geometry of a sandwich beam section and internal forces based on [7]) Rys.. Schemat deformacji i przemieszczeń elementu beli sandwiczowej na podstawie [7]) Fig.. Deformations and displacements in a sandwich beam section based on [7]) Tłumione drgania beli w modelu cięgnowym opisuje uład równań różniczowych,,,, wc x t c x t wc x t wc x t Gbdc c x x t t P t x vt), 1)

122 1 K. Misiure, P. Śniady c x, t Gb Gb wc x, t c xt, x d d x c c ) E1 c A1 cec A c gdzie symbol oznacza deltę Diraca,, przy czym E1 c A1 c Ec A c L t. Symbolem oznaczono masę przypadającą na jednostę długości v beli a przez c parametr tłumienia. Symbolem wc wc x, t) oznaczono przemieszczenie beli prostopadłe do jej osi a symbol c c xt, ) oznacza ąt wyniający z wzajemnego przesunięcia się warstw zewnętrznych. Symbolem b oznaczono szeroość beli, symbol dc oznacza wysoość beli. Przyjęto, że ruchoma siła supiona P) tporuszająca się ze stałą prędością v rys.3) jest stacjonarnym procesem stochastycznym w szerszym sensie i przedstawiamy ją w postaci sumy wartości średniej P odpowiadającej deterministycznej części siły i flutuacji losowej Pt ): P t) P P t) 3) Przy czym E[ P t)] P const., E[ P t)]. 4) Symbolem E [] oznaczono operację wartości oczeiwanej. Rys. 3. Ruch losowej siły Pt) po długości beli Fig. 3. The motion of the random Force Pt) along the beam. Przyjęto, że funcja owariancyjna ruchomej siły jest znana i jest równa C t, t ) E[ P t ) P t )] C t t ) C t). PP 1 1 PP 1 PP 5)

123 Stochastyczne drgania beli sandwiczowej 13 Rozwiązanie od sładowej stałej P dla drgań nietłumionych przedstawiono w pracy [9]. W pracy zajmiemy się tylo flutuacją losową Pt ) rozpatrując drgania beli swobodnie podpartej. Dla beli swobodnie podpartej rozwiązania poszuujemy w postaci: n x wc, T) ycn t)sin, L n1 n x c, T) cn t)cos n. L n1 Podstawiając powyższe szeregi do równań 1), ) i zastąpieniu Pt ) wielością Pt ) oraz wyonaniu odpowiednich operacji przedstawionych wcześniej otrzymuje się rozwiązanie w postaci: t n v ycn t) h ) )sin, y t P d cn L L t n v cn t) h t ) P )sin d. cn L L 6) 7) 8) 9) Impulsowe funcje przejścia mają postać t sin cnt hy t) e, cn h cn cn t b c n e sin cnt t), n b L c cn 1) 11) Gbdc n c gdzie: cn cn przy czym c cn, c. L n b cl Korzystając ze wzorów 8), 9) otrzymuje się rozwiązanie dla funcji owariancyjnych współrzędnych uogólnionych C t1 t yc ycn 4 t, t ) L) 1 v 1 n v hy t1 1) h ) [ 1 )]sin sin 1, c y t C cn PP d d L L 1) 4

124 14 K. Misiure, P. Śniady c c b b n C 1, ) 1, ). c t t C cn yc y t t cn bcl n bcl 13) Stąd otrzymamy szuane funcje owariancji dla przemieszczeń beli x nx 1 w 1,, 1, ) 1, )sin sin, cw c yc ycn 1 n1 L L C x x t t C t t x nx 1 1,, 1, ) 1, )cos cos. c c ccn 1 n1 L L C x x t t C t t 14) 15) Wariancję przemieszczeń otrzymuje się ze wzorów 14), 15) przyjmując x1 x x i t 1 t t. Warto podreślić, że gdy poruszająca się siła jest procesem o rozładzie normalnym to funcje przemieszczeń beli wc x, t ), xt c, ) ) są taże procesami o rozładzie normalnym i wówczas wyznaczone wartość oczeiwana od siły stałej) i funcja owariancji jednoznacznie oreślają ten rozład. Założenie, że proces wzbudzania drgań ruchoma siła) jest procesem normalnym jest w pełni uzasadniony, gdyż często jest on sumą wielu przypadowych i niezależnych czynniów. Przyładowo losowość obciążenia wynia z poruszania się pojazdu po nierównej nawierzchni drogowej, tórej profil zmienia się w sposób przypadowy. Bazując na rozwiązaniach powyżej, możliwe jest wyznaczenie dynamicznego współczynnia dla obciążenia losowego, tóre wyraża się jao stosune odchylenia standardowego dla ugięcia dynamicznego do odchylenia standardowego dla ugięcia statycznego wywołanego siłą w puncie x st max wcn d xt, max wcn xt,, xx, 16) n x n x n b sin sin cl PL gdzie: st xx, L L. w 4 cn Gbdc n1 n Dynamiczny współczynni dla obciążeń losowych może być wyorzystywany przy oreślaniu wartości charaterystycznej dla równoważnego obciążenia statycznego.

125 Stochastyczne drgania beli sandwiczowej Rozwiązanie szczegółowe Funcja owariancyjna ruchomej siły może mieć różną postać. Przyjmijmy, że poruszająca się siła jest stacjonarnym procesem stochastycznym normalnym typu biały szum a więc funcja owariancji jest oreślona wzorem CPP t) P t). Proces stochastyczny typu biały szum często stosowany jest do aprosymacji procesów szeroo widmowych. Po podstawieniu tej funcji owariancji do wzoru 1) otrzymuje się wyrażenie C yc ycn t, t ) 1 t1 t P 4 v 1 n v hy t1 1) h ) 1 )sin sin c y t d cn 1d L) L L t P 4 v n v hy t1 ) h )sin sin, c y t d cn L) L L 17) W szczególnym przypadu gdy t 1 t t i n po wyonaniu odpowiednich całowań otrzymuje się t 4 P c t) y, ) ) sin )sin cn y cn y cn cn L) cn n v C t t t e t d L [ Kcn 1 t) Kcn t) Kcn3 t) Kcn4 t)] L) gdzie: C P cn c cn b 1 ) ) c n Kcn t Kcn t P n b ) cl cn Kcn3 t) Kcn4 t) cl 18) t, t) 19) t 1 Kcn 1 t) e d 1 e c t) ct c

126 16 K. Misiure, P. Śniady t c t) cn ) cos n v K t e d L nvt nv nvt cos sin L L L nv c L ct ce c t c t) cn3 ) cos K t e t d ct c e cn sin cnt c cos cnt c cn t c t) cn4 ) cos cn cos n v K t e t d L nvt nv nvt c cos sin 1 cn L L L 4 nv c cn L nvt nv nvt c cos cn sin 1 L L L 4 nv c cn ) L nv c cos cnt cn sin cnt L nv c cn 1 ct L e 4 nv c cos cnt cn sin cnt L nv c cn L cn

127 Stochastyczne drgania beli sandwiczowej 17 Pomijając wzajemną owariancję między różnymi współrzędnymi szuane wariancje obliczane ze wzorów uproszczonych 18), 19) przyjmują postać: w cn L) cn L) xt, ) P n1 cn xt, ) 1 [ K t ) K t ) K t ) K t )]sin cn1 cn cn3 cn4 1 ) ) c 1 Kcn t Kcn t P cos n1 n b cn Kcn3 t) Kcn4 t) cl n x L b n n x L ) 1) Dynamiczny współczynni dla obciążeń losowych dla środowej przeroju przęsła wynosi: 1 n [ Kcn 1 t ) Kcn t ) Kcn3 t ) Kcn4 t )]sin L Gbdc n 1 cn, t L n n b cl 4. Przyład numeryczny n1 sin 4 n ) W tej części pracy analizowane jest zachowanie się beli sandwiczowej swobodnie podpartej obciążone losową siłą ruchomą poruszającą się ze stałą prędością v po długości beli L. Obliczenia numeryczne zostały przeprowadzone dla następujących założeń: oładziny wyonane są ze stali, rdzeń wyonany jest z drewna lejonego warstwowo. Przyjęto następujące parametry obliczeniowe: L 5 m, dc.4 m, b. m, t t.1 m, 1c c E 5 GPa, Gr 78 MPa, P 1 N. W przyładzie obliczeniowym przeanalizowano różne prędości z jaą poruszała się siła: c, c., c.4, c.8, gdzie v Gbdc c i vc vc jest prędością fali ścinającej w rdzeniu beli sandwiczowej. Analiza numerycz-

128 18 K. Misiure, P. Śniady na została przeprowadzona dla zmiennych bezwymiarowych gdzie,1 oraz T,1. x oraz L vt T, L Na rysunach nr 4 i 5 przedstawiono wyresy wariancji dla przemieszczeń pionowych i obrotu beli sandwiczowej w czasie przejazdu siły oraz w przerojach charaterystycznych. Wraz ze wzrostem prędości z jaą porusza się siła zmniejsza się wartość wariancji jest to związane z zależnością ugięcia beli od prędości przejazdu siły. wc, P P P. 1 8 P ,.5 c P P P P P Rys. 4. Wyres wariancji dla ugięcia i obrotu beli, gdy siła dojechała do środa beli Fig. 4. The variance for deflection and rotation of the beam when random moving force is inside the beam.5,t wc P 1 8 P P,T c P P P 1 8 P T T Rys. 5. Wariancja ugięcia środa przęsła i obrotu beli na podporze w czasie przejazdu siły Fig. 5. The variance of the center span deflection and the variance of the beam rotation on the support during the passage of forces

129 Stochastyczne drgania beli sandwiczowej Wniosi W pracy zaprezentowana została analiza orelacyjna beli sandwiczowej swobodnie podpartej, obciążonej stochastyczną siłą poruszającą się ze stałą prędością. Analiza orelacyjna została przeprowadzona dla drgań tłumionych. W celu wyznaczenia funcji owariancji wyprowadzono wzory na impulsowe funcje przejścia. Przyjęto również pewne uproszczenia, m.in. pominięto wzajemną orelację. Dla wariancji ugięcia i obrotu rozwiązanie przedstawiono częściowo w formie zamniętej. Analiza numeryczna przeprowadzona została przy założeniu, że poruszająca się siła jest stacjonarnym procesem stochastycznym normalnym typu biały szum. W ramach analizy numerycznej przedstawiono wpływ prędości z jaą porusza się siła na losową charaterystyę drgań: wariancję przemieszczeń pionowych i obrotu beli sandwiczowej. Wyprowadzono zależność na dynamiczny współczynni dla obciążeń stochastycznych. Literatura [1] Plantema F. J., Sandwich construction 1966, John Wiley & Sons. [] Vinson JR, Sieraowsi RL. The behavior of structures composed of composite materials. Dordrecht, The Netherlands: Martinus Nijhoff, [3] Matthews FL, Rawlings RD. Composite materials: engineering and science. London: Chapman & Hall, [4] Fryba L. Vibration of solids and structures under moving loads. Noordhoff International, 197. [5] Fryba L. Non-stationary response of a beam to a moving random force. Journal of Sound and Vibration 1976;46: [6] Fryba L, Naagiri S, Yoshiawa N. Stochastic finite elements for a beam on a random foundation with uncertain damping under a moving force. Journal of Sound and Vibration 1993;163: [7] Howson W.P., Zare A.: Exact dynamic stiffness matrix for flexural vibration of tree-layered sandwich beams, Journal of Sound and Vibration 8 5) [8] Knowles J. K., On the dynamic response of a beam to a randomly moving load, Journal of Applied Mechanics 1968, 35, 1-6. [9] Misiure K., Sniady P, Vibrations of sandwich beam due to a moving force, Composite Structures, Vol. 14, pp , 13. [1] Tung CC. Random response of highway bridges to vehicle loads. Proc. ASCE, J Eng Mech Div 1967;93: [11] Tung CC. Response of highway bridges to renewal traffic loads. Proc. ASCE, J Eng Mech Div 1967;95: [1] Zibdeh H. S., Abu-Hilal M., Stochastic vibration of laminated composite coated traversed by a random moving load 3, Engineering Structures. Projet został sfinansowany ze środów Narodowego Centrum Naui przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-11/1/N/ST8/544.

130 13 K. Misiure, P. Śniady STOCHASTIC VIBRATIONS OF SANDWICH BEAM TRAVERSED BY RANDOM MOVING LOAD S t r e s z c z e n ie Praca dotyczy drgań beli poddanej działaniu supionych i rozłożonych sił harmonicznych, z dołączonymi translacyjno-rotacyjnymi tłumiami dynamicznymi. W obliczeniach przyjęto liniowy model beli Eulera-Bernoulliego, równanie ruchu rozwiązano przy użyciu metody Fouriera. Zastosowanie czasowej transformacji Laplace a pozwala na wyznaczenie amplitudy drgań w funcji częstości. Przyłady obliczeń numerycznych dotyczą zagadnień minimalizacji energii inetycznej całej beli lub jej części poprzez odpowiednie dostrojenie translacyjno-rotacyjnego tłumia drgań. Wynii obliczeń numerycznych potwierdzają suteczność stosowania translacyjnorotacyjnych tłumiów dynamicznych w belach. W badanych przyładach wyznaczono optymalną strategię dostrajania tłumiów minimalizującą energię inetyczną. Słowa luczowe: dynamiczny tłumia drgań, drgania beli, tłumienie drgań, strojenie DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

131 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Stanisław NOGA 1 VIBRATION ANALYSIS OF A THIN RING INTERACTING WITH THE ANNULAR PLATE TREATED AS AN ELASTIC FOUNDATION In this paper the free in plane flexural vibration of a thin ring with elastic foundation of a Winler type is analysed on the basis of the analytical and numerical methods. Mathematical model of the three parameter elastic foundation is proposed. The separation of variables method is used to obtain the general solution of the considered system free vibration. Then the eigenvalue problem is solved by using the finite element method. Natural frequencies and normal modes of the system vibration are determined. The achieved results of calculation are discussed and verified by experimental data. FE model is formulated by using ANSYS software. It is important to note that the problems discussed in the paper bring practical advice for engineers dealing with dynamics of circular ring systems lie aviation gears and railway wheels, respectively. Keywords: in plane flexural vibration, ring with foundation, three parameter elastic foundation, circular systems 1. Introduction The vibration theory of thin rings with wheel plate as an elastic foundation finds application in several fields of engineering including the railway and aviation industries, and others [1,, 6]. The fundamental vibration theory of circular rings is presented in monograph [5]. The theory of thin circular rings is employed in paper [6] for a vibration analysis of a ring gear. Vibration of rotating rings with foundation are studied in paper [1]. The introductory investigation related to the systems of the rings with wheel plate as the elastic foundation are conducted in articles [3,4]. In paper [] the analytical model of foundation which consists of a special three parameter Winler elastic foundation is proposed. In the present paper the free in plane flexural vibration of a circular ring with 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Stanisław Noga, Rzeszow University of Technology, al. Powstańców Warszawy 1, Rzeszów, tel.: , e mail: noga@prz.edu.pl

132 13 S. Noga wheel plate as a special three parameter elastic foundation is studied using the classical thin ring theory, and the finite element FE) formulation. The procedure of determining the substitute mass density of a system consisting of a ring with massless elastic foundation is presented. The achieved solutions are discussed and compared with experimental data. An experimental test is conducted by applying an object with arbitrary chosen geometry.. Theoretical formulation Mechanical model of the system under consideration consists of a plane circular thin ring with wheel plate as a special three parameter, elastic foundation. It is assumed that the ring is perfectly elastic and that the centerline of the ring has radius R and an element of the ring, designed by angle, displaces in the radial and circumferential direction, respectively see Fig. 1). Moreover, it is assumed that the ring has homogeneous, rectangular cross sectional area. The small displacements in these directions are denoted u,t and w,t, respectively, and t is time. Similarly as in paper [], the foundation is formulated by the special three parameter Winler model. The coefficients f, p and S represent the radial and tangential stiffness per length unit, and the ring cross section angle rotation stiffness modulus, respectively. ρ w dθ ring u θ foundation R Fig. 1. Vibrating system under study Rys. 1. Model uładu drgającego According to the vibrating thing rings classical theory [,5], the partial differential equations of motion for the free in plane flexural vibration can be combined into an one equation in terms of radial deflection u,t as

133 Vibration analysis of a thin ring u u t AR R u u u u u R u u u R EI p f S 1) where: E Young s modulus, I 1 the rim cross section area moment of inertia, the mass density, A the cross section area. The general solution of equation 1) is assumed in the form t U t u i e, ) where: the natural frequency, i 1 the imaginary unit. After substitution ) into equation 1), it becomes d d d d 1 d d d d U U b U h c U a h U h U 3) where: EI R a f, EI AR b, EI R c p, 1 1 EI R h S. 4) The solution of equation 3) is assumed as 3 1 sin j jn D jn n U, 3,, n 5) where: D jn, jn constants. When equation 5) is substituted into equation 3), it yields the natural frequencies of vibration as

134 134 S. Noga 6 4 h n 1 h a n c h n n, n, 3, 6) b n 1 1 As denoted in the previously presented equations, n must be an integer with a value greater than 1. For the case when n is equal 1 only the pure rigid body oscillation without any alteration of ring shape exists. 3. The finite element representation In this section the discrete model of the system under study is formulated using finite element method ANSYS program). To find the eigenpairs eigenvalue, eigenvector) connected with the natural frequencies and normal modes of the ring system, the bloc Lanczos method is employed [5]. The principal problem of this section is the elaboration of the FE model of the system with proper value of the ring substitute mass density z and massless elastic foundation, respectively. The analysed object has the geometry as it is displayed in Fig.. The proposed FE model is realized as follows. The ring part is modeled as the solid body and the foundation part is prepared as the massless solid body. a) l r b) l w ødw ødz ødl bearing Fig.. a) geometrical dimensions, b) model of the system Rys.. a) wymiary geometryczne, b) model uładu The ten node tetrahedral element solid187) with three degrees of freedom in each node is utilized to solve the considered problem. The proper value of the substitute mass density z of the ring system is selected during simulation to minimise the so called frequency error defined by [] f c c 1% 7) n n n n f where: n the natural frequency of the model, c n the natural frequency of the object. The elaborated FE model includes solid elements.

135 Vibration analysis of a thin ring Numerical analysis Numerical solutions for free vibration analysis of the circular ring with wheel plate, models suggested earlier, are obtained. For all results presented here, the first seven natural frequencies and corresponding normal modes are discussed. Table 1. Parameters characterizing the system of ring with foundation Tabela 1. Parametry techniczne rozważanego uładu pierścieniowego d z d w h R d 1 l r l w E [m] [m] [m] [g/m 3 ] [m] [m] [m] [m] [Pa] Table 1 shows the parameters characterizing the considered system. In this Table, h is the depth of the ring, is the Poisson ratio and the rest of geometrical dimensions are defined as displayed in Fig.. Firstly, the computations are conducted to determine the ring substitute mass density z of the FE model related to the corresponding object. Satisfactory results are achieved for the value of z = [g/m 3 ]. The same value of z is included in the analytical solution. Then the proper values of stiffness modulus f, p and S in the analytical model are evaluated during numerical simulation. The results of calculations of the natural frequencies are displayed in Table. Table. Results of calculations related to the system under study Tabela. Wynii obliczeń odnoszących się do badanego uładu n f p S [N/m ] [N/m ] [N/m] natural frequencies of the considered model n [Hz] analytical solution) natural frequencies of the considered model n [Hz] FE solution) In the Figs. 3 and 4 four normal modes come from the FE model are shown.

136 136 S. Noga a) b) Fig. 3. Mode shapes related to the following frequencies: a), b) 3 Rys. 3. Postacie drgań własnych odpowiadające częstościom a), b) 3 a) b) Fig. 4. Mode shapes related to the following frequencies: a) 4, b) 5 Rys. 4. Postacie drgań własnych odpowiadające częstościom a) 4, b) 5 5. Experimental investigation In this section the results related to the experimental verification of the considered analytical and numerical models of the system under study are discussed. LMS measurement set is employed in the experimental investigation. The measuring set consisted of the PCB model 86C3 type modal hammer equipped with a gauging point made of steel, accelerometer PCB model 353B18, LMS SCADA data acquisition system, and SCM-V4E type measuring module supported by LMS Test.Lab software. The experimental investigation is conducted to identify natural frequencies and corresponding normal modes related to the in plane flexural vibration of the object under study. The values of the excited natural frequencies are displayed in Table 3. These values are compared with the values of natural frequencies from the FE and analytical model, respectively. In the same Table the values of the frequency error related to the discussed models are included. The achieved results are satisfactory and a better fit is obtained for the analytical model especially for the frequency 7, see Table 3).

137 Vibration analysis of a thin ring 137 Table 3. Results of verification of the system under study Tabela 3. Wynii badań doświadczalnych rozważanego uładu n natural frequencies of the considered object n [Hz] experimental data) frequency error n [%] comes from the analytical solution) frequency error n [%] comes from the FE solution) In the Figs. 5 and 6 four normal modes come from the experimental test are shown. In this paper, a comprehensive study of the free in plane flexural vibration analysis of thin ring with wheel plate as a special three parameter Winler foundation is investigated on basis of the analytical method and numerical simua) b) Fig. 5. Mode shapes related to the following frequencies: a), b) 3 Rys. 5. Postacie drgań własnych odpowiadające częstościom a), b) 3 a) b) 6. Conclusions Fig. 6. Mode shapes related to the following frequencies: a) 4, b) 5 Rys. 6. Postacie drgań własnych odpowiadające częstościom a) 4, b) 5

138 138 S. Noga lation. The separation of variables method is employed to solve the free vibration problem. The obtained analytical and numerical solutions are verified successfully during experimental investigation. Literatura [1] Bert C.W., Chen T.L.C.: On vibration of a thic flexible ring rotating at high speed, Journal of Sound and Vibration, 61, 1978, pp [] Noga S., Bogacz R., Marowsi T.: Vibration analysis of wheels composed of a ring and wheel plate modeled as the three parameters elastic foundation, Journal of Sound and Vibration, 14, [3] Noga S., Marowsi T., Bogacz R.: Natural frequencies of flexural vibration of a ring with wheel plate as the Winler elastic foundation, Symulacja w Badaniach i Rozwoju, vol. 3, no. 1, 1, pp [4] Noga S., Marowsi T.: In plane flexural vibration of a ring interacting with the Winler foundation, Vibration in Physical System, vol. XXV, 1, pp [5] Rao S.S.: Vibration of Continuous Systems, Wiley, Hoboen, 7. [6] Wu X., Parer R.G.: Vibration of rings on a general elastic foundation, Journal of Sound and Vibration, 95, 6, pp ANALIZA DRGAŃ CIENKIEGO PIERŚCIENIA WSPÓŁPRACUJĄCEGO Z PŁYTĄ PIERŚCIENIOWĄ, TRAKTOWANĄ JAKO PODŁOŻE SPRĘŻYSTE S t r e s z c z e n ie W pracy analizowane są drgania giętne w płaszczyźnie cieniego pierścienia współpracującego z podłożem sprężystym typu Winlera, w oparciu o metody analityczne i numeryczne. Zaproponowano trzyparametryczny model matematyczny podłoża sprężystego. Zagadnienie drgań własnych uładu rozwiązano metodą rozdzielenia zmiennych. Następnie wyorzystując metodę elementów sończonych, rozwiązano zagadnienie własne omawianego uładu. Otrzymane rozwiązania zweryfiowano badaniami doświadczalnymi. Wymagane modele MES opracowano w środowisu obliczeniowym ANSYS. Warto podreślić, że omawiane w pracy zagadnienia mogą być pomocne inżynierom, zajmującym się obliczeniami dynamii uładów ołowych ół zębatych, ół olejowych). Słowa luczowe: drgania giętne w płaszczyźnie, pierścień z podłożem sprężystym, trzyparametryczne podłoże sprężyste, ułady ołowe DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

139 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Karol PERETA 1 WPŁYW BRAMY WJAZDOWEJ NA SKUTECZNOŚĆ EKRANU AKUSTYCZNEGO Jednym z najwięszych problemów ochrony przed hałasem, tórego źródłami są pojazdy samochodowe jest prawidłowe zaprojetowanie eranów austycznych, ich wysoości, długości oraz zapewnienie możliwości wjazdu na posesję ta by nie obniżał on suteczności projetowanego eranu. W niniejszym artyule przedstawiono doświadczalną i obliczeniową ocenę suteczności eranu austycznego z bramą wjazdową oraz wpływ bramy na suteczność eranu. Głównym zadaniem badanego eranu, jest zapewnienie omfortu austycznego mieszańcom chronionego obietu. W celu wyznaczenia suteczności eranu in-situ, zastosowano metodę pośrednią zgodnie z []. Wynii z badań terenowych porównano z trzema metodami analitycznymi. W metodach analitycznych uwzględniono temperaturę powietrza, a na jej podstawie prędość i długość fali dźwięowej w oreślonych częstotliwościach. Wyazano stosunowo niewielą suteczność wyniającą przede wszystim z niedostatecznej długości i wysoości eranu. Wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu jest zniomy i wacha się od.37 do.6 db. Niewieli wpływ bramy wjazdowej na poprawę limatu austycznego w obszarze chronionych wynia z prześwitu pod bramą, mniejszej wysoości bramy o. 3 cm) od wysoości eranu oraz prześwitów pomiędzy bramą a eranami, widocznych dopiero po jej zasunięciu. Słowa luczowe: eran austyczny, hałas omuniacyjny, suteczność eranów, brama wjazdowa 1. Wstęp Zaobserwowany szybi rozwój motoryzacji oraz zwięszająca się liczba pojazdów ołowych na polsich drogach spowodowała zwięszenie zanieczyszczenia środowisa hałasem i towarzyszącymi mu wibracjami. Fat ten odczuwalny jest najbardziej przez ludzi zamieszujących więsze aglomeracje oraz blisie sąsiedztwo szlaów omuniacji samochodowej. Zgodnie z [1] ocenia się, że głównym sładniiem nadmiernego poziomu dźwięu w Polsce jest hałas omuniacyjny, zwłaszcza hałas drogowy. Narastający hałas omuniacyjny wymusił budowę eranów austycznych wzdłuż szlaów omuniacyjnych, 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Karol Pereta, Politechnia Rzeszowsa, ul. Poznańsa, Rzeszów, tel , pereta@prz.edu.pl

140 14 K. Pereta między jezdniami a zabudową mieszaniową. Ze względu na onieczność wjazdu na posesję, erany wyposażane są w bramy wjazdowe, tórych wpływ na suteczność całego eranu jest zniomy. Tai właśnie przypade rozważono w niniejszym artyule.. Opis badanego eranu Przedmiotem badań był eran austyczny, pochłaniająco odbijający, o długości 14 m i wysoości 3.4 m, zloalizowany wzdłuż drogi rajowej o średnim dobowym natężeniu ruchu pojazdów. Droga znajduje się na nasypie o wysoości o. 1. m. Głównym celem budowy eranu była ochrona austyczna budynu jednorodzinnego, usytuowanego w odległości 35.6 m od rawędzi jezdni. Eran został wyposażony w przesuwną bramę z Plexiglass u, umożliwiającą wjazd na posesję rys. 1). Brama jest o.3 m niższa od eranu, a między spodem bramy a drogą dojazdową do posesji zmierzono szczelinę o wysoości o..15 m. Eran wyonano z płyt betonowych o gr. 9 mm i dźwięochłonnej wyładziny ze zrębobetonu gr. 11 mm. Do producji wyładziny zastosowano mechanicznie rozdrobnione awałi drewna iglastego oraz zaprawę cementową. Rys. 1. Wido eranu austycznego od strony drogi Fig. 1. Acoustic screen view from the road side Rys.. Wido bramy wjazdowej Fig.. Entry gate view

141 Wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu austycznego Doświadczalna ocena suteczności eran Ze względu na bra możliwości pomiaru ciśnienia austycznego w sytuacji przed instalacją istniejącego eranu austycznego, ocenę suteczności wyonano metodą pomiaru pośredniego zgodnie z []. Szacunowy poziom ciśnienia austycznego przed instalacją eranu wyznaczono po-przez wyonanie pomiaru w miejscu będącym równoważniiem miejsca badań zasadniczych. Czas trwania pomiarów przyjęto na podstawie przewidywanego zaresu zmienności poziomu dźwięu zgodnie z []. Czas ten był równy 3 min Aparatura pomiarowa Do badań austycznych użyto sprzęt firmy Brüel&Kjær, tj. dwuanałowy, ręczny mierni typu 7, mirofony typu 4189 z osłonami przeciwwietrznymi UA-37, UA-165 oraz statywy mirofonowe rys. 3). Waruni atmosferyczne mierzono przenośną stacją meteorologiczną HOBO U3-NRC wyposażoną w anemometr, higrometr, termometr i rejestrator. Rys. 3. Mirofon odbioru, mierni B&K, mirofon odniesienia Fig. 3. Reception microphone, measurer B&K 7, reference microphone 3.. Punty i schematy pomiarowe Na rys. 4 przedstawiono obszar objęty badaniami i rozmieszczenie puntów pomiarowych. Oznaczono również schematy pomiarowe. Pomiary przeprowadzono w trzech schematach: schemat I w tórym punt odbioru znajdował się bezpośrednio przy elewacji budynu.8 m nad poziomem terenu, a punt odniesienia 1.65 m nad górną rawędzią eranu austycznego rys. 5), schemat II to pomiary w obszarze podlegającym ochronie przed hałasem, w miejscu gdzie nie było budynu; punt pomiarowy usytuowano w taich samych odległościach od źródła ja w schemacie I rys. 6), schemat III to pomiary w obszarze porównawczym służącym oreśleniu poziomu dźwięu przed instalacją eranu obszar porównawczy wybrano

142 14 K. Pereta zgodnie z []), punt odbioru zloalizowano w taiej samej odległości od źródła ja w schemacie I i II rys. 7). Rys. 4. Obszar badań Pic. 4. Area of study Rys. 5. Schemat pomiarowy I Fig. 5. Measurement scheme I Rys. 6. Schemat pomiarowy II Fig. 6. Measurement scheme II

143 Wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu austycznego 143 Rys. 7. Schemat pomiarowy III Fig. 7. Measurement scheme III 3.3. Wynii pomiarów Masymalna temperatura jaą zanotowano w czasie badań to 17.3 C a minimalna C. Wilgotność względna powietrza wahała się w granicach 9.8% do 4.1%, prędość wiatru nie przeroczyła 3.9 m/s. Zachmurzenie zostało zawalifiowane do lasy pierwszej. Poziom ciśnienia austycznego rejestrowano w pasmach tercjowych, w zaresie od 5 Hz do 5 Hz. Zastosowano charaterystyę orecyjną A. Rejestracja ciśnienia austycznego w puncie odniesienia i puncie odbioru była równoczesna. Przyładowe widma hałasu w puncie odniesienia i puncie odbioru przedstawiono na rys. 8. Zarejestrowane w pasmach tercjowych poziomy dźwięu przeliczono na równoważny poziom dźwięu stosując wzór: 1.1L L 1log 1 i 1) i1 Rys. 8. Widmo dźwięu w puncie odniesienia i puncie odbioru schemat I, II i III Fig. 8. Sound spectrum at the reference and reception point scheme I, II and III

144 144 K. Pereta gdzie: L i poziom dźwięu w paśmie tercjowym. Wartości równoważnych poziomów dźwięu w poszczególnych puntach pomiarowych, dla poszczególnych pomiarów i schematów pomiarowych przedstawiono w Tab. 1. Tabela 1. Równoważne poziomy dźwięu w [db] dla poszczególnych schematów pomiarowych Table 1. Equivalent sound levels on [db] for each measurement scheme Schemat I [db] Schemat II [db] Schemat III [db] I zam I otw II otw II zam Punt odniesienia L ref,aizam) 7.91 Punt odbioru L r,aizam) Punt odniesienia L ref,aiotw) Punt odbioru L r,aiotw) Punt odniesienia L ref,aiiotw) 71.5 Punt odbioru L r,iiaotw) Punt odniesienia L ref,aiizam) Punt odbioru L r,aiizam) Punt odniesienia L ref,b) Punt odbioru L r,b) 6.73 Różnice poziomów dźwięu w puncie odniesienia i puncie odbioru obliczono uwzględniając usytuowanie puntu odbioru, orzystając ze wzorów: ΔL B = L ref,b L rb C r) = ) = 1.61 db, ΔL A1zam = L ref,aizam L raizam C r') = ) = db, ΔL A1otw = L ref,aiotw L raiotw C r') = ) = db, ΔL Aotw = L ref,aiiotw L raiiotw C r) = ) = 17.8 db, ΔL Azam = L ref,aiizam L raiizam C r) = ) = db, gdzie: C r i C r' to współczynnii orecyjne, przyjęte zgodnie z []: dla pola swobodnego w obszarze półulistym: C r = db, dla puntu odbioru na powierzchniach odbijających : C r' = 6 db. Zmierzona pośrednio suteczność eranu D IL' wynosi: na powierzchni odbijającej brama zamnięta): D IL1zam' = ΔL A1zam ΔL B = = db, na powierzchni odbijającej brama otwarta): D IL1otw' = ΔL A1otw ΔL B = = db,

145 Wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu austycznego 145 dla pola swobodnego brama otwarta): D ILotw' = ΔL Aotw ΔL B = = db, dla pola swobodnego brama zamnięta): D ILzam' = ΔL Azam ΔL B = = db. 4. Obliczeniowe oreślenie efetywności eranu Miarą suteczności austycznej eranu jest efetywność austyczna ΔL E, obliczana jao różnica pomiędzy poziomem ciśnienia austycznego w sąsiedztwie obietu chronionego przy brau eranu L 1 i poziomem ciśnienia austycznego w obecności eranu L : ΔL E = L 1 - L 3) Metody obliczeniowe oreślenia efetywności austycznej opierają się na założeniu niesończenie długiego eranu w postaci cieniej pionowej płyty. W analizowanym przypadu uwzględniono waruni atmosferyczne, w jaich wyonano pomiary. Średnią prędość dźwięu V [m/s] sorygowano, uwzględniając rzeczywistą temperaturę powietrza, orzystając ze wzoru: V = Θ 4) gdzie: Θ temperatura powietrza w [ºC], Θ = ºC. Długości fal λ [m] dla częstotliwości w zaresie od 5 Hz do 5 Hz obliczono ze wzoru: V 5) f gdzie: V średnia prędość dźwięu w powietrzu, f częstotliwość [Hz]. Wynii obliczeń przedstawiono w Tab.. Efetywność austyczną eranu obliczono w poszczególnych pasmach częstotliwości trzema metodami: Rettingera, Meaawy i Rathego [4]. Parametry geometryczne przedstawiono na rys. 9. Wartości parametrów są następujące: h = 1.5 m, h 1 =.8 m, a = 9.43 m, b = 6.m, H = 3.4 m, A = 9.41 m, B = 6.46 m. Wynii obliczeń zamieszczono w Tab. 3. W tabeli tej zamieszczono również efetywność oreśloną na podstawie pomiarów in-situ, obliczoną jao różnicę zmierzonych wartości poziomu ciśnienia austycznego w puncie odbioru przy brau eranu schemat III) i w puncie odbioru w obecności eranu schemat I i II). W celu lepszego zobrazowania otrzymanych wyniów, przedstawiono je na rys. 1 i 11.

146 146 K. Pereta Tabela. Długość fali dźwięowej w temperaturze powietrza ºC Table. Sound wave length at air temperature ºC f [Hz] λ [m] f [Hz] λ [m] f [Hz] λ [m] Rys. 9. Parametry geometryczne badanego obietu Fig. 9. Geometry parameters of the tested object 5. Podsumowanie i wniosi Wyznaczona doświadczalnie suteczność eranu mieści się w przedziale, 4-7 db. Suteczność badanych eranów austycznych może być slasyfiowana jao suteczność tolerowana w przypadu dolnej granicy przedziału i wystarczająca dostateczna), w przypadu górnej granicy przedziału. Przyjęty współczynni orecyjny Cr' uwzględniający zjawiso odbicia fali dźwięowej wydaje się poprawnie opisywać to zjawiso fizyczne dla więszości częstotliwości fali dźwięowej. Ujemne wartości przedstawione w Tab. 3 wystąpiły wyłącznie w schematach, w tórych brama wjazdowa była otwarta. Przyczyną uzysania suteczności mieszczącej się na granicy przedziałów, suteczności tolerowanej i dostatecznej jest przede wszystim zbyt mała wysoość i długość eranu oraz brama wjazdowa ze szczeliną i wysoością mniejszą od pozostałych segmentów eranu. Na suteczność ma również wpływ usytuowanie drogi na nasypie. Wpływ bramy na suteczność eranów jest zniomy. Zamnięcie bramy w schemacie I spowodowało wzrost suteczności eranu o.6 [db], zaś w schemacie II o.37 [db]. Porównanie efetywności w poszczególnych pasmach częstotliwości pozwala na stwierdzenie, że żadna z zastosowanych metod obliczeniowych nie daje wyniów blisich wyniom pomiarów. Zniomy wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu zmusza nas do postawienia pytania: czy wyposażenie eranu w bramę wjazdową miało sens?

147 Wpływ bramy wjazdowej na suteczność eranu austycznego 147 Rys. 1. Porównanie suteczności eranu austycznego dla schematu I Fig. 1. Comparison of the effectiveness of the acoustic screen at scheme I Rys. 11. Porównanie suteczności eranu austycznego dla schematu II Fig. 11. Comparison of the effectiveness of the acoustic screen at scheme II

148 148 K. Pereta Według mieszańców budynu, zasunięcie bramy sprawia iż jest ciszej. Na ile jedna możemy być pewni że jest to wpływ zamnięcia bramy wjazdowej a nie efet psychologiczny? Przeprowadzone badania jednoznacznie wsazują iż wpływ bramy na poprawę środowisa austycznego w obszarze chronionym jest zniomy. Literatura [1] Marcza P. Zagrożenie hałasem. Wybrane zagadnienia. Kancelaria Senatu, Warszawa 1 [] PN-ISO 1847:, Austya. Wyznaczanie "In Situ" suteczności zewnętrznych eranów austycznych wszystich rodzajów. [3] Rozporządzenie Ministra Środowisa z dnia 16 czerwca 1r. w sprawie wymagań w zaresie prowadzenia pomiarów w środowisu substancji lub energii przez zarządzającego drogą, linią olejową, linią tramwajową, lotnisiem, portem Dz. U. 1 nr 14 poz. 84) [4] Zarzewsi T., Żuchowsi R. Kompendium austyi architetonicznej wraz z przyładami metod obliczeniowych. Wydawnictwo Politechnii Śląsiej, Gliwice 9 INFLUENCE OF ENTRY GATE ON EFFICIENCY OF AN ACOUSTIC SCREEN S u m m a r y One of the biggest problems of traffic noise protection is the proper design of noise barriers, their location, length, height and entry gate in such a way so as not lowered efficiency of acoustic screen. An experimental and analytical efficiency method of traffic noise protection against traffic noise and influence entry gate, have been presented in this paper. Primary objective this screen is assurance property acoustic climate for people who have lived in protected home. The efficiency of this screen has been evaluated by an indirect method. In this case research survey on site has been made. The calculations have been made with the use of three methods. The results of measurements and calculations have been compared. The temperature has been used to calculated speed and length sound wave in analytical method. A low efficiency acoustic screen has been demonstrated, whereas its low efficiency mainly resulted from the low height and length of acoustic screen. The entry gate has had low influence on efficiency of acoustic screen and it is up.37 to.6 db. Insignificant influence has resulted from a slot under the gate, lower height than the height screen and slots between gate and the screens. We can see this slots after closed the gate. Keywords: acoustic screen, traffic noise, efficiency of an acoustic screen, entry gate DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

149 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Dariusz SZYBICKI 1 Krzysztof KURC Magdalena MUSZYŃSKA 3 Mirosław SOBASZEK 4 DYNAMIKA GĄSIENICOWEGO ROBOTA INSPEKCYJNEGO W artyule opisano sposób modelowania dynamii gąsienicowego robota inspecyjnego. Robot został zbudowany w ramach projetu finansowanego przez Narodowe Centrum Naui i jest przeznaczony do inspecji rur, anałów wentylacyjnych,,suchych" ja i zalanych wodą. Robot zbudowany jest modułowo, ma dwie niezależne, wodoszczelne gąsienice. Moduł główny robota stanowi orpus zbudowany ze stopu aluminium. W orpusie znajduje się eletronia sterująca, amera oraz systemy łączności. Dynamia robota została opisana przy pomocy równań Lagrange a II rodzaju dla uładu nieholonomicznego. W celu wyeliminowania mnożniów Lagrange'a z równań ruchu posłużono się formalizmem Maggiego. Przeprowadzając analizę dynamii wzięto pod uwagę taie czynnii ja: poślizg gąsienicy zależny od odształceń szponów oraz podłoża, siłę oporu hydrodynamicznego, siłę wyporu oraz siłę oporu hydrodynamicznego. Prototyp robota przeszedł pozytywne testy w Miejsim Przedsiębiorstwie Wodociągów i Kanalizacji w Kraowie. Słowa luczowe: robot gąsienicowy, dynamia, równania Lagrange a, robot inspecyjny 1. Wstęp Model fizyczny oraz opis inetyi robota gąsienicowego są luczowe w procesie projetowania mechatronicznego [4]. Umożliwiają one przeprowa- 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Dariusz Szybici, Katedra Mechanii Stosowanej i Robotyi, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 8, Rzeszów, dszybici@prz.edu.pl Krzysztof Kurc, Katedra Mechanii Stosowanej i Robotyi, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 8, Rzeszów, urc@prz.edu.pl 3 Magdalena Muszyńsa, Katedra Mechanii Stosowanej i Robotyi, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 8, Rzeszów, magdaw@prz.edu.pl 4 Mirosław Sobasze, Katedra Podstaw Eletronii, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 1, Rzeszów, somire@prz.edu.pl

150 15 D. Szybici, K. Kurc, M. Muszyńsa, M. Sobasze dzenie symulacji oraz są niezbędne przy projetowaniu uładów sterowania. Sam robot Rys. 1) został zaprojetowany do inspecji rur oraz anałów wentylacyjnych, może pracować na głęboości do 3 m pod wodą. Rys. 1. Prototyp robota inspecyjnego Fig. 1. The prototype of inspection robot Opis i modelowanie gąsienicowych uładów napędowych jest zadaniem sompliowanym, gdyż oddziaływają na nie różnego typu czynnii zmienne w czasie. Dynamia robota zostanie opisana przy pomocy równań Lagrange a II rodzaju dla uładu nieholonomicznego.. Opis dynamii robota Do opisu dynamii użyto równań Lagrange a II rodzaju dla uładu nieholonomicznego [, 5]. Uład napędowy analizowanego robota gąsienicowego są to dwa moduły Rys..) odsunięte od siebie równolegle i połączone ramą.

151 Dynamia gąsienicowego robota inspecyjnego 151 Rys.. Model matematyczny robota modułu robota Fig.. The dynamic model of the robot module Siły oraz momenty działające na robota przedstawiono na rys. 3. Na rysunu zaznaczono następujące siły i momenty: P u - siła wyniająca z ciągniętego przewodu; F D - siła oporu hydrodynamicznego; F w - siła wyporu; M n1- moment na ole napędowym; M s1- moment na silniu; Rys. 3. Siły oraz momenty działające na robota Fig. 3. Forces and torques acting on the robot

152 15 D. Szybici, K. Kurc, M. Muszyńsa, M. Sobasze M p - moment oporów poprzecznych; W t1, W t - siły oporu toczenia gąsienicy. Siły i momenty działające na robota wyznaczono na podstawie danych literaturowych [1],[3]. Współczynnii niezbędne do oreślenia sił i momentów uzysano na podstawia symulacji omputerowych i testów wyonanych na prototypie robota. Równania Lagrange a II rodzaju uładu nieholonomicznego, mają postać: d dt E q T T E q Q J T q, 1) gdzie: q - wetor współrzędnych onfiguracyjnych; E E q, q ) - energia inetyczna uładu; Q - wetor sił onfiguracyjnych; Jq) - jaobian; - wetor mnożniów Lagrange a. Należy przyjąć, że energia inetyczna robota E jest sumą energii poszczególnych jego elementów, a więc: E=E R +E M1+E M, ) gdzie: E R - energia inetyczna ramy robota; E M1- energia inetyczna lewego modułu napędowego robota; E M- energia inetyczna prawego modułu napędowego robota. Energia inetyczna ramy robota jest sumą energii E R1, wyniającej z ruchu postępowego ramy oraz energii E R wyniającej z ruchu obrotowego względem chwilowego środa obrotu O. Na podstawie analizy inematyi robota energia inetyczna ramy jest równa: 1 1 E R= mr x C +y C +z C + IRβ. 3) gdzie: m R - masa ramy robota; I R - masowy moment bezwładności ramy robota; β - prędość ątowa względem chwilowego środa obrotu;

153 Dynamia gąsienicowego robota inspecyjnego 153 x C, y C, z C - sładowe prędości środa ramy robota wyznaczone z inematyi. Kolejny etap obliczeń to wyznaczenie energii inetycznej pojedynczego modułu napędowego: E M=E K1+E K +E K3+E O, 4) gdzie: E K1 - energia inetyczna oła napędowego gąsienicy; EK - energia inetyczna oła napinającego; EK3 - energia inetyczna oła prowadzącego; EO - energia inetyczna obudowy modułu napędowego. Energię inetyczną ażdego z ół napędowych pojedynczego, modułu można przedstawić jao sumę energii inetycznej ruchu postępowego, ruchu obrotowego, względem osi obrotu oła oraz ruchu obrotowego względem chwilowego środa obrotu. Co zapisano jao: gdzie: E K1= mk1v A + Ix1α K1+ Iz1β, E K = mkv B + Ixα K + Izβ, E K3= mk3v E + Ix3α K3+ Iz3β, 5) mki - masa oła i-tego; Ixi - masowy moment bezwładności oła i-tego względem osi obrotu x; Izi - masowy moment bezwładności oła i-tego względem osi z; Ki - prędość ątowa oła i-tego w analizowanym module napędowym; V A,V B,V - prędości charaterystycznych puntów Rys. 3). E Energia inetyczna obudowy modułu napędowego jest zbiorczym ujęciem energii inetycznej orpusu napędu, gąsienicy oraz elementów przeładni.

154 154 D. Szybici, K. Kurc, M. Muszyńsa, M. Sobasze E O= mov O+ IxOα 1 + IzOβ, 6) gdzie: m - masa obudowy modułu napędowego; O IxO - masowy moment bezwładności elementów znajdujących się w ruchu obrotowym; IzO - masowy moment bezwładności modułu napędowego względem osi z. Energia inetyczna pojedynczego modułu napędowego jest więc równa: E M = mk1v A + Ix1α K1+ Iz1β + mkv B + Ixα K + Izβ mk3v E + Ix3α K3+ Iz3β + mov O + IxOα 1 + IzOβ, 7) Po uproszczeniu i odpowiednich podstawieniach otrzymano zależność na energię inetyczną modułu napędowego: E M = mv + Ixα 1 + Izβ. 8) Do tej pory analizowano pojedynczy moduł napędowy i pomijano indes, oznaczający jego numer. Przechodząc z analizy ogólnej na bardziej szczegółową, ponownie wprowadzono indes numeru napędu i otrzymano zależności na energię inetyczną robota: E= mr x C +y C +z C + IRβ + m xc-βhsinβ + yc-βhcosβ +z C Ixα 1 +Izβ + mx C+βHsinβ + y C+βHcosβ +z C + Ixα, 9) Na podstawie analizy inematyi wiadomo że: rα 11s 1)+rα 1s ) x C= sinβ, 11)

155 Dynamia gąsienicowego robota inspecyjnego 155 rα 11s 1)+rα 1s ) y C= cosβcosγ, 1) rα 11s 1)+rα 1s ) z C= sinγ, 13) 1 1 s) r 11 H r 1 s ), 14) VC,5 H r1 s1, 15) VC,5 H r1 s, 16) V C= x C+y C+z C. 17) Otrzymane wyrażenia podstawiono do równania Lagrange a II-go rodzaju, obliczono pochodne energii inetycznej po prędościach onfiguracyjnych, a następnie ich pochodne po czasie. Wyznaczono wyrażenia, będące lewą stroną równań Lagrange a. Wyznaczając prawą stroną równań Lagrange a, sorzystano z równań więzów inematycznych narzuconych na uład: xc 1 rα1 1 s1 sinβ 1 rα 1 s sinβ=, 18) yc 1 rα1 1 s1 cosβcosγ 1 rα 1 s cosβcosγ=, 19) zc 1 rα1 1 s1 sinγ 1 rα 1 s sinγ=. ) Ostatecznie otrzymano uład równań opisujących ruch badanego robota:

156 156 D. Szybici, K. Kurc, M. Muszyńsa, M. Sobasze m x +mx =λ, R C C 1 m y +my =λ, R C C m z +mz =λ, R C C 3 I β+i β+mβh = M, R z p I α =M ηi+,5p,5f,5gsinγ+,5f sinγ,5w r 1 s, x 1 s1 u D w t1 1 I α =M ηi+,5p,5f,5gsinγ+,5f sinγ,5w r 1 s. x s u D w t 1) Gdy do uładu równań 1) dodano równania więzów nieholonomicznych otrzymano uład równań na podstawie tórych można wyznaczyć sześć współrzędnych uogólnionych: x C,y C,z C,β,α 1,α oraz trzy mnożnii Lagrange a λ 1,λ,λ 3. Uzysanie rozwiązania tych równań wymaga jednoczesnego wyznaczenia mnożniów oraz współrzędnych uogólnionych q r. W celu wyeliminowania mnożniów Lagrange a z równań ruchu posłużono się formalizmem Maggiego. Dzięi taiemu podejściu wyrażono sześć prędości uogólnionych dwoma parametrami inematycznymi: 1 1 r 1-s1sinβ r 1-ssinβ xc 1 1 r 1-s1cosβcosγ r 1-scosβcosγ y C z 1 1 C α1 = r 1-s1sinγ r 1-ssinγ β α α r 1-s1 r 1-s 1 - α H H 1 1. ) Wyniające z zastosowanego formalizmu macierz C ma więc postać r1-s ) H Cq = r1-s ) 1 r 1-s1 sinβ r 1-s1 cosβcosγ r 1-s1 sinγ - 1 r 1-s sinβ r 1-s cosβcosγ r 1-s sinγ 1 H, 3)

157 Dynamia gąsienicowego robota inspecyjnego 157 C q gdzie: C d E E CqQ dt q q, 4) q - macierz transformacji prędości uogólnionych na parametry inematyczne; E - energia inematyczna uładu; q - wetor współrzędnych uogólnionych; q - wetor prędości uogólnionych. Po przeształceniach otrzymano: 1 1 xc m R+m r 1-s1 sinβ+yc m R+m r 1-s1 cosβcosγ+ 1 r1-s 1) +zc m R+m r 1-s1 sinγ-β I R+I z+mh +Ixα1 H, 5) oraz 1 1 xc m R+m r 1-s sinβ+yc m R+m r 1-s cosβcosγ+ 1 r1-s ) +zc m R+m r 1-s sinγ+β I R+I z+mh +Ixα H. 6) Równania Maggiego, opisujące ruch robota gąsienicowego, są następujące: r α 1 1-s 1 )+α 1-s ) sinβ+ 1 R 1 r rα 1-s )-rα 11-s 1) + α 1-s )+α 1-s ) cosβ m +m r 1-s sinβ+ 1 1 H r α 1 1-s 1 )+α 1-s ) cosβcosγ- 1 + m R+m r 1-s1cosβcosγ+ r rα 1-s )-rα 11-s 1) + α 11-s 1)+α 1-s ) sinβcosγ H r 1 + α 11-s 1)+α 1-s ) sinγ m R+m r 1-s1 sinγ+ rα 1-s )-rα 11-s 1) r1-s 1) - I R+I z+mh +Ixα1 H H r1-s 1) =M n1+ -,5Pu -,5FD -,5Gsinγ+,5Fw sinγ-,5wt1r 1-s 1 +Mp H, 7)

158 158 D. Szybici, K. Kurc, M. Muszyńsa, M. Sobasze r α 1 1-s 1 )+α 1-s ) sinβ+ 1 R r rα 1-s )-rα 11-s 1) + α 1-s )+α 1-s ) cosβ m +m r 1-s sinβ+ 1 1 H r α 1 1-s 1 )+α 1-s ) cosβcosγ- 1 + m R+m r 1-scosβcosγ+ r rα 1-s )-rα 11-s 1) + α 11-s 1)+α 1-s ) sinβcosγ H r 1 + α 11-s 1)+α 1-s ) sinγ m R+m r 1-s sinγ+ rα 1-s )-rα 11-s 1) r1-s ) + I R+I z+mh +Ixα H H r1-s ) =M n + -,5Pu -,5FD -,5Gsinγ+,5Fw sinγ-,5wt r 1-s -Mp H gdzie: r - promień ół napędowych gąsienice; H - odległość pomiędzy osiami gąsienic; m - masa modułu gąsienicowego; m R - masa ramy; I R, I z, I x - masowe momenty bezwładności; β - ąt obrotu ramy robota; α - przyspieszenie ątowe oła napędowego gąsienicę 1; 1 α - przyspieszenie ątowe oła napędowego gąsienicę ; 1 - prędość ątowa oła napędowego gąsienicę 1; - prędość ątowa oła napędowego gąsienicę ; s 1, s - poślizg gąsienicy 1 oraz., 8) Po uporządowaniu równań 7) i 8) i wstawieniu wszystich współczynniów otrzymano rozwiązanie zadania odwrotnego dynamii dla analizowanego robota inspecyjnego. 3. Podsumowanie W artyule przedstawiono opis dynamii inspecyjnego robota gąsienicowego. Kinematya robota była przedmiotem wcześniejszych publiacji wiec ograniczono się tylo do opisu dynamii. Wartości sił i momentów działających

159 Dynamia gąsienicowego robota inspecyjnego 159 na robota wyznaczono na podstawie danych literaturowych oraz symulacji numerycznych. Dynamia została opisana przy pomocy równań Lagrange'a II rodzaju dla uładu nieholonomicznego. By wyeliminować mnożnii Lagrange'a z równań ruchu wyorzystany został formalizm Maggiego. Otrzymane rozwiązania zadania odwrotnego oraz prostego dynamii posłużyły do zbudowania modelu matematycznego zaprojetowanego i zbudowanego robota. Symulacje oraz identyfiacja otrzymanego modelu matematycznego robota będą przedmiotem dalszych publiacji. Literatura [1] Burdzińsi Z.: Teoria ruchu pojazdu gąsienicowego, Wydawnictwa Komuniacji i Łączności, Warszawa 197. [] Ciszewsi M., Buratowsi T., Giergiel M., Kurc K., Mała P.: The pipes mobile inspection robots, Polsie Towarzystwo Diagnostyi Technicznej, nr 3 s. 9-15, 1 [3] Dajnia H.: Ciągnii teoria ruchu i onstruowanie, Wydawnictwa Komuniacji i Łączności, Warszawa 1985 [4] Giergiel J., Hendzel Z., Żylsi W.: Kinematya, dynamia i sterowanie mobilnych robotów ołowych w ujęciu mechatronicznym, monografia, Wydz. IMiR, AGH Kraów, [5] Giergiel M., Kurc K., Mała P., Buratowsi T., Szybici D.: Kinematics of underwater inspection robot, Pomiary Automatya Robotya nr 1/1, s , 1 DYNAMICS OF INSPECTION ROBOT WITH CRAWLER DRIVE S u m m a r y In this article authors present the problem connected with the dynamics modeling mobile robot with crawler drive. This robot has been designed to enable monitoring and analysis of the technical state of pipes and water tans. On the crawler module trac drive different types of variables interact over time. Description of crawler motion in real conditions, with the uneven ground with variable parameters, it is very complicated and therefore it is necessary to use simplified models. The description of the robot's dynamic based on the energetic method based on Lagrange equation. In order to avoid modeling problems connected with decoupling Lagrange multipliers Maggi equation are used. Keywords: inspection robot, dynamics, underwater robot, robot with crawler drive, Lagrange equation DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

160

161 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Dariusz SZYBICKI 1 Łuasz RYKAŁA Magdalena MUSZYŃSKA 3 WYRÓWNOWAŻANIE MAS W RUCHU OBROTOWYM Problem poruszany w artyule dotyczy zjawisa wyrównoważania wyważania) mas w ruchu obrotowym. W celu rozwiązania danego zagadnienia opracowano algorytm dotyczący problemu wyważania przy pomocy mas próbnych. Ponadto doonano prezentacji autorsiego projetu urządzenia i omówiono procedury wyważania na omawianym stanowisu. Zaprezentowano również wynii badań symulacyjnych oraz weryfiacyjnych przeprowadzonych na zbudowanym urządzeniu. Słowa luczowe: wyważanie, drgania, elementy wirujące, stanowiso do wyważania 1. Wprowadzenie Postęp techniczny wymusza nieustanny wzrost prędości obrotowych maszyn i urządzeń. Ze względu na to, iż są one w znacznym stopniu lżejsze i bardziej wydajne niż ich wolnoobrotowe odpowiednii, dlatego w blisiej przyszłości można doszuiwać się zwięszenia prędości obrotowych elementów wirujących. W przypadu, gdy masy wirujących elementów są rozmieszczone symetrycznie względem osi obrotu, to spowodowane przez nie siły odśrodowe równoważą się obopólnie. W wyniu tego oddziaływania w elementach wirujących powstają tylo naprężenia inetostatyczne. Taie elementy nazwano wyważonymi. Z olei stan urządzeń i maszyn z wyważonymi elementami, tóre pracują spoojnie, bez drgań oraz hałasów, oreśla się ogólnie jao dobry stan dynamiczny maszyny. Każda niewiela asymetria mas wirującego elementu przy 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Dariusz Szybici, Katedra Mechanii Stosowanej i Robotyi, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 8, Rzeszów, tel. 17) , dszybici@prz.edu.pl Łuasz Ryała, Katedra Mechanii Stosowanej i Robotyi, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 8, Rzeszów, tel. 17) , lryala@prz.edu.pl 3 Magdalena Muszyńsa, Katedra Mechanii Stosowanej i Robotyi, Politechnia Rzeszowsa, al. Powstańców Warszawy 8, Rzeszów, tel. 17) , magdaw@prz.edu.pl

162 16 D. Szybici, Ł. Ryała, M. Muszyńsa znacznych prędościach obrotowych jest przyczyną powstania stanu niewyważenia. Charateryzuje się on powstaniem niezrównoważonej siły odśrodowej wywołującej zły stan dynamiczny maszyny, np. wzmożone drgania wirnia, łożys, adłuba oraz fundamentów. Wspomniane drgania mocno pogarszają niezawodność maszyny oraz sracają jej żywotność. Zły stan dynamiczny maszyny staje się zasadniczą przyczyną małej doładności realizowanych procesów technologicznych, a to z olei wpływa na pogorszenie się jaości produowanych wyrobów. Ze względu na to, iż więszość maszyn i urządzeń ma wirujące elementy ich wyważanie stało się niezbędną i powszechnie stosowaną operacją technologiczną.. Stanowiso do opisu zjawisa wyrównoważania mas w ruchu obrotowym W ramach prac badawczych zostało zbudowane stanowiso do opisu zjawisa wyrównoważania mas w ruchu obrotowym, rys. 1. Urządzenie słada się z ruchomej platformy, nieruchomej podstawy, silnia prądu stałego, zabezpieczającej osłony, wirującej tarczy oraz pary sprężyn. W omawianym stanowisu zastosowano silni prądu stałego. Wyonana tarcza jest mocowana do osi silnia przy pomocy oła zacisowego. W ten sposób omawiany element nie jest montowany na stałe na osi silnia oraz jest łatwy w demontażu, co znacznie zwięsza możliwy zares badań o olejne elementy. Tarcza słada się z 18 otworów, 4 rozmieszczonych względem środa tarczy na trzech średnicach. a) b) Rys. 1. a) Stanowiso laboratoryjne do opisu zjawisa wyrównoważania mas w ruchu obrotowym, b) stanowiso z masami orecyjnymi Fig. 1. a) Laboratory stand for describing the phenomenon of balancing masses in angular rate, b) stand with correction mass Do jednej z dwóch możliwych do zastosowania dla tej onstrucji metod wyważania omawianej tarczy należy wręcanie w wymienione otwory śrub o wcześniej dobranej długości. Drugim dodatowym sposobem wyważania jest załadanie fragmentów plasteliny na specjalnie przygotowanym rowu znajdującym się na wewnętrznym obwodzie tarczy i widocznym na rys. 1b. Rys. a przedstawia boczny wido onstrucji ze zdjętą osłoną zabezpieczającą. Ponad-

163 Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 163 to rys. a dobrze obrazuje sposób mocowania wirującej tarczy do osi silnia. Specjalnie wyonana przeźroczysta osłona zapewnia bezpieczeństwo pracy z wirującymi elementami. Platforma jest przymocowana do podstawy za pomocą 3 śrub rys. a). Do łożysowania onstrucji wyorzystano dwa łożysa ulowe. Urządzenie wyposażone jest również w omplet sprężyn: nacisowej oraz naciągowej. Współczynni sprężystości omawianej sprężyny wyznaczony doświadczalnie wynosi ooło 8 [N/m]. Sprężyna ta jest niewiele twardsza od sprężyny naciągowej. Z olei współczynni sprężystości sprężyny naciągowej wyznaczony doświadczalnie wynosi ooło 7 [N/m]. a) b) 3. Procedura wyważania Rys..a) Boczny wido onstrucji ze zdjętą osłoną, b) boczny wido stanowisa Fig.. a) Side view of the construction with the removed cover, b) side view of the stand Opisywana platforma jest osadzona obrotowo w podstawie i podparta sprężynami w drugim ońcu. Jeżeli wirni w postaci tarczy będzie znajdował się w ruchu obrotowym, to siły bezwładności mas niewyważonych będą powodować wychylenie się platformy woół puntu podparcia uładu w łożysach. Wspomniane wychylenie ramy z położenia równowagi będzie wywołane przez siły bezwładności niewyważenia odpowiadające płaszczyźnie orecji π znajdującej się na powierzchni tarczy z otworami. Wartość omawianego niewyważenia jest możliwa do obliczenia orzystając, np. z pomocy acelerometru. Wyni pomiaru, a mianowicie amplituda drgań uładu A jest proporcjonalna do siły wymuszającej P w. Dla uproszczenia zapisu przyjęto, iż P w= P 1. Wartość pomiaru można przedstawić następującym wzorem 1): A1 P 1 1) gdzie: współczynni proporcjonalności, P 1 siła bezwładności niewyważenia odniesiona do płaszczyzny π [4]. W celu oreślenia wartości współczynnia należy przeprowadzić następujące roi. Oreślona w badaniach doświadczalnych wartość A 1 wyznaczona przy prędości rezonansowej) wynia z fatu

164 164 D. Szybici, Ł. Ryała, M. Muszyńsa działania siły P 1 rys. 3). Wspomniana siła jest nieznana, ponieważ niewiadomymi są również masa niewyważenia m 1 oraz parametry jej położenia: r 1 i α [4]. Rys. 3. Siły bezwładności w poszczególnych fazach wyważania Fig. 3. Forces of inertia in the individual phases of the balancing Następnie mocowana jest w dowolnym miejscu, np. w puncie D rys.3) dowolna o znanej wartości) masa próbna m p na również znanym promieniu r p. Po olejnym uruchomieniu wirnia doonywany jest pomiar i odczytywana jest wartość A, tóra w tym przypadu jest proporcjonalna do wypadowej siły bezwładności obu mas m 1 oraz m p. gdzie: A P ) P P1 PPD 3) Identyczny pomiar przeprowadzany jest ponownie z tą różnicą, iż masa próbna m D jest umieszczana po przeciwnej stronie wirnia w puncie E rys. 3c). Uzysuje się wtedy olejną amplitudę A 3 oreśloną wzorem 4): gdzie: A3 P 3 4) P 3 P1 PPE 5) Występujące siły P 1, P PE, P PE, P, P 3 tworzą plan sił przedstawiony na rys. 4a. a) b) Rys. 4. Wyznaczanie położenia masy orecyjnej a) na elemencie wyważanym, b) na wyważanym podzespole Fig. 4. Determining the position of the correction masses a) on a balanced element, b) on a balanced component

165 Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 165 Z olei widoczny na rys. 4b plan pozwala wyliczyć nie znaną dotychczas amplitudę A p przypadającą na masę próbną m p [4]. p 1 3 A A A A 6) Z równania 6) wynia zależność 7): A p A A3 A1 7) Wiadome jest, że spełniona jest równość 8): Ap P p 8) Z olei po prostym przeształceniu powyższego wzoru otrzymujemy zależność 9): A p 9) P p Natomiast orzystając z poprzednich wzorów można otrzymać następujące równanie: A A P 1) Pp Ap Po porównaniu wzoru 1) ze wzorem 1) można uzysać następującą zależność: A P 11) 1 1 m1r1 mprp A v W ten sposób wyznaczamy nieznane dotychczas niewyważenie P 1 w płaszczyźnie π. Korzystając ze wzoru 1) można również oreślić miejsce masy niewyważonej [4]. A1 A p A α ar cos 1) A 1A p 3.1. Badania symulacyjne, inematya uładu Rozważany uład można przedstawić w postaci ja na rys. 5, gdzie: 1 - wstępnie ściśnięta sprężyna nacisowa, - wstępnie rozciągnięta sprężyna naciągowa, 3 nieruchoma podstawa uładu, 4 obracająca się platforma.

166 166 D. Szybici, Ł. Ryała, M. Muszyńsa Rys. 5. Rozpatrywany uład mechaniczny Fig. 5. Considered mechanical system Zaprezentowany na powyższym rysunu uład jest nieliniowy, jednaże przyjęto założenie, że ąt φ jest mały. W taim przypadu można przyjąć, iż: sinφ φ 13) Ta, więc orzystając z zależności 13) otrzymujemy równanie: y y p r AP sin φ AP φ AR sin φ AR φ 14) Obydwie sprężyny zostały umieszczone obo siebie w tej samej odległości AP od puntu podparcia platformy do podstawy. Przyjęte wcześniej oznaczenia zostały sformułowane właśnie w tai sposób ze względu na niemożliwość przedstawienia obydwu sprężyn w jednym rzucie. AP AR, a z tego wynia, iż: yp y r []. Wiadomo jest również, iż w stanie równowagi statycznej siła wstępnego napięcia sprężyny równoważy ciężar uładu i z tego względu w różniczowych równaniach ruchu pomięto działanie ciężaru onstrucji Q []. 3.. Masowy moment bezwładności platformy Masowy moment bezwładności platformy wyznaczono doświadczalnie wyorzystując poniższy wzór: Qp AS Io 15) ω gdzie: Q p 17[N] - ciężar drgającej platformy, AS 15[cm] - odległość puntu mocowania platformy od jego środa masy, ω 7.13[rad/ s] - częstość własna platformy [, 4]. Z zależności 15) otrzymano, iż masowy moment bez-

167 Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 167 władności drgającej platformy wynosi Io.48[gm ]. Współczynni tłumienia jednostowego h został wyznaczony doświadczalnie i wynosi h= Różniczowe równania ruchu uładu Przedstawiony uład wyonuje ruch obrotowy woół puntu A, co sprawia, iż różniczowe równania ruchu są równaniami ruchu obrotowego 16): φ M S AP S AR 16) Io n 1 Z olei wymuszenie uładu gdzie: M n jest równe zależności 17): Mn mprp AT ωw cos ωwt 17) m p masa próbna wywołująca niewyważenie wirującego elementu, r p promień na, tórym zamocowana jest masa m p na tarczy, AT AK odległość od puntu do miejsca mocowania tarczy, ω w prędość ątowa wirującej tarczy [, 4]. Natomiast siły reacji sprężyn: S 1 oraz S są z olei opisane następującymi zależnościami: S 18) 1 1yp S 19) yr gdzie: 1, współczynnii sprężystości sprężyn 1 oraz [, 4]. Wstawiając do równania 16) przedstawione zależności 18) oraz 19) otrzymuje się następującą poniższą zależność: ω t y AP y AR I φ m r AT ω cos ) o p p w w 1 p Drgania wymuszone tłumione z tarciem wisotycznym) opisane są wzorem 1): o φ hφ ω φ qcos ωt 1) gdzie: ω o to częstość drgań własnych uładu, h współczynni tłumienia jednostowego, q to wymuszenie jednostowe [,4]. Zależność ) można przeształcić do formy 1) oraz dodając znane już h, otrzymać zależność ): hφ 1 AP AR φ φ m prp AT ωw cosω w t ) Io Io r

168 168 D. Szybici, Ł. Ryała, M. Muszyńsa W celu przeprowadzenia symulacji pracy uładu powyższe równanie zostało zamodelowane w paiecie Matlab/Simulin. W przeprowadzonej symulacji przyjęto następujące dane: m p 5[g], r p [mm], AT AK.1[m], h.75[ ], Io.48[gm ], 1 8[N / m], 7[N / m], AP AR.[m], ω rez 9.[rad/ s],. 1 ro dysretyzacji, czas symulacji 1 [s] oraz zerowe waruni początowe: φ, φ 3.4. Wynii symulacji. Otrzymane na rys. 6 przebiegi inematyczne, a szczególnie ten widoczny na rys. 6c, wsazują na poprawne zaprojetowanie stanowisa. Rys. 6. Przebiegi inematycznych parametrów ruchu uładu: a) przyspieszenie liniowe puntu K, b) prędość liniowa puntu K, c) przemieszczenie liniowe puntu K Fig. 6. Graph of the inematic parameters of the movement: a) linear acceleration of the point K, b) linear speed of point K, c) linear displacement of point K Amplituda drgań uładu w srajnym puncie platformy przy rezonansowej częstości wymuszenia nie przeracza 4 [mm]. Pomiar stanu niewyważenia jest możliwy w zbudowanym stanowisu właśnie dzięi pomiarowi drgań uładu. Wspomniana amplituda jest, więc ważnym parametrem dla omawianego stanowisa ze względu na fat, iż zbyt małe drgania byłyby bardzo trudne do zarejestrowania, natomiast zbyt duża wartość amplitudy drgań uładu mogłaby doprowadzić do zniszczenia całej onstrucji. Drgania uładu o amplitudzie nie przeraczającej 4 [mm] są również łatwe do zarejestrowania przy pomocy więszości aparatur pomiarowych Badania doświadczalne na zaprojetowanym stanowisu Badania doświadczalne przeprowadzone były w zgodzie z przedstawioną w poprzednich rozważaniach procedurą wyważania uładu. Proces wyważania w rozpatrywanym przypadu słada się z 3 podstawowych faz oraz montażu obliczonej masy orecyjnej. W pierwszej fazie wyważania zmierzono wartość amplitudy drgań A1 przy wyznaczonej doświadczalnie prędości rezonansowej uładu po wprowadzeniu masy niewyważenia w postaci plasteliny widocznej na rys. 7a. Zachowanie uładu dla tej fazy operacji wyważania przedstawia wyres na rys. 7b. Powstał on w wyniu użycia acelerometru przymocowanego do

169 Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 169 a) b) Rys. 7. a) Wido tarczy w pierwszej fazie wyważania, b) wyres przemieszczenia liniowego rańcowego puntu platformy w zależności od czasu Fig. 7. a) View of the disc in the first phase of balancing, b) the plot of linear displacement of the marginal point for the platform in function of time rańcowego puntu platformy. Z wyresu odczytano max. amplitudę drgań w stanie ustalonym A 1=3 [mm]. Druga faza wyważania polega na umieszczeniu we wcześniej przygotowanej tarczy w analizowanym przypadu wraz z plasteliną) masy próbnej w wybranym miejscu rys. 8a). W omawianym przypadu jao masę wybrano śrubę o masie: m=.6 [g] umieszczoną w dobrze widocznym na wspomnianym rysunu miejscu. a) b) Rys. 8. a) Wido tarczy w drugiej fazie wyważania, b) wyres przemieszczenia liniowego rańcowego puntu platformy w zależności od czasu Fig. 8. a) View of disc in second phase of balancing, b) plot of linear displacement of marginal point for platform in function of time Następnie doonano tych samych pomiarów, tóre zostały wyonane w pierwszej fazie wyważania. Wynii omawianych badań są widoczne na rys. 8b. Z wyresu przemieszczenia liniowego rańcowego puntu dla fazy drugiej odczytano max. amplitudę drgań w stanie ustalonym A =3.8 [mm]. Z olei trzecia faza wyważania polega na umieszczeniu we wcześniej przygotowanej tarczy masy próbnej po przeciwnej stronie w stosunu do wybranego miejsca umieszczenia

170 17 D. Szybici, Ł. Ryała, M. Muszyńsa masy próbnej w poprzednim przypadu. Jao masę ponownie wybrano śrubę o m=.6 [g] umieszczoną w widocznym na rys. 9a miejscu. a) b) Rys. 9. a) Wido tarczy w trzeciej fazie wyważania, b) wyres przemieszczenia liniowego rańcowego puntu platformy w zależności od czasu Fig. 9. a) View of disc in the third phase of balancing, b) plot of linear displacement of the maginal point for platform in function of time Następnie doonano tych samych pomiarów, tóre zostały wyonane w pierwszej i drugiej fazie wyważania. Wynii omawianych badań są widoczne na rys. 9b. Ta ja w poprzednich dwóch przypadach z wyresu przemieszczenia liniowego rańcowego puntu dla fazy trzeciej rys. 9b.) odczytano max. amplitudę drgań w stanie ustalonym A 3=3. [mm]. Znając wyznaczone doświadczalnie amplitudy drgań, wartości masy próbnej oraz promienia próbnego wyorzystano podane w poprzednim rozdziale zależności pozwalające uzysać poszuiwaną wartość niewyważenia oraz jego miejsce. W celu wyonania wspomnianych obliczeń zastosowano paiet Matlab/Simulin. Uzysane wynii obliczeń: Ap =.18 [m], P 1 = e-5 [gm], = [m/N], α = [rad]=11[º]. Wsazują one, iż w celu wyważenia uładu należy użyć ciężaru orecyjnego o momencie statycznym P 1 = [g mm] na ącie α =11[º]. W celu wyważenia uładu sporządzono ciężar orecyjny z plasteliny i umieszczono go w taim miejscu, aby miał podobny moment statyczny do obliczonego P 1 i umieszczono go na wcześniej podanym ącie α rys. 1a). Następnie doonano identycznych pomiarów, tóre zostały wyonane w ażdej z opisanych wcześniej faz wyważania. Wynii omawianych badań są widoczne na rys. 1b. Masymalna amplituda jest równa ooło.75 [mm]. Jest więc ona ooło czterorotnie mniejsza od amplitudy uzysanej w pierwszej fazie wyważania równej A 1=3[mm]. Wyni ten dowodzi poprawności całej metody. W doświadczeniach wyazano, iż niewiela zmiana masy uładu np. dodanie masy próbnej, czy orecyjnej) zmienia położenie strefy rezonansu urządzenia. Wspomniany fat negatywnie wpływa na doładność procesu wyważania. Dlatego w pracy badania przeprowadzano przy pomocy stałej prędości obrotowej wirnia, doświadczalnie ustawionej jao rezonans w pierwszej fazie wyważania.

171 Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 171 a) b) 4. Wniosi ońcowe Rys. 1. a) Wido tarczy wraz z masą orecyjną, b) wyres przemieszczenia liniowego rańcowego puntu platformy w zależności od czasu dla uładu po zastosowanej orecji mas Fig. 1. a) View of disc with correction mass b) plot of linear displacement of marginal point for platform in function of time of a system after masses correction application W niniejszym artyule zwrócono szczególną uwagę na współczesne metody wyważania wirujących elementów. Współczesny rozwój eletronii doprowadził do powstania wielu urządzeń, w tórych pomiar niewyważenia jest w pełni zautomatyzowany lub półautomatyczny. Powstała oncepcja stanowisa wraz z procedurą wyważania. Wspomniana procedura wyorzystuje pomiar drgań platformy w celu oreślenia stanu niewyważenia uładu. Ja wyazały badania symulacyjne zaproponowany uład mechaniczny umożliwia uzysanie wystarczającej amplitudy drgań platformy, co stanowi dobrą podstawę do pratycznej realizacji wyważania. Przeprowadzone badania doświadczalne wsazują, iż zaprojetowany uład wraz z przyjętą procedurą wyważania jest w stanie zmniejszać niewyważenie elementów wirujących. W przedstawionych badaniach poprzez właściwe rozmieszczenie mas na powierzchni wirującej tarczy doonano ooło czterorotnego zmniejszenia niewyważania obracającej się części. W przyszłości można rozbudować platformę o dodatową płaszczyznę wyważania i w ten sposób zbudować wyważarę dynamiczną. W taim przypadu znacznie wzrósłby zares możliwych do wyonania na taim urządzeniu prac badawczych Literatura [1] Den Hartog P.: Drgania mechaniczne, PWN, Warszawa, [] Giergiel J.: Drgania mechaniczne, Uczel. Wydaw. Nau.-Dydat. AGH, Kraów,. [3] Łączowsi R.: Wyważanie elementów wirujących, WNT, Warszawa, [4] Miller S.: Teoria mechanizmów i maszyn : synteza uładów mechanicznych, Wydaw. Politech. Wrocł., Wrocałw, 1977.

172 17 D. Szybici, Ł. Ryała, M. Muszyńsa DESCRIPTION PHENOMENON OF BALANCING MASSES IN ANGULAR RATE S u m m a r y In the article description of the phenomenon of balancing masses in angular rate. In order to solve the problem of balancing test masses, the algorithm was elaborated. In addition created stand was presented and procedures for balancing in the discussed stand were described. The paper presents also the results of simulation and experiments performed on the created device. Keywords: balancing, vibration, rotating components, balancing stand DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

173 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Józef SZYBIŃSKI 1 Piotr RUTA ANALIZA DRGAŃ SWOBODNYCH NIEPRYZMATYCZNEGO PRĘTA CIENKOŚCIENNEGO Przedmiotem rozważań w niniejszej pracy jest zagadnienie własne niepryzmatycznego pręta cienościennego opisanego według teorii Własowa. Przestrzenne drgania pręta opisane są czterema, w ogólnym przypadu sprężonymi, równaniami o zmiennych współczynniach. Równania te zostały rozwiązane z wyorzystaniem szeregów Czebyszewa. Zastosowana metoda bazuje na twierdzeniu dotyczącym rozwiązywania równań różniczowych zwyczajnych, przedstawionym w monografii Paszowsiego, Zastosowanie numeryczne wielomianów i szeregów Czebyszewa, PWN, Warszawa, Uzysane w wyniu zastosowania opisanego twierdzenia związi reurencyjne pozwalają na wyznaczenie współczynniów rozwinięć, w szeregi Czebyszewa, poszuiwanych funcji przemieszczeń i obrotu. W przypadu drgań swobodnych związi te mają postać niesończonego uładu równań algebraicznych. Przedstawione rozważania dotyczą uładu o dowolnie zmiennych parametrach geometrycznych i materiałowych. Uzysane ońcowe wzory pozwalają na rozwiązanie zagadnienia własnego dowolnego pręta. Wystarczy tylo w niesończonym uładzie równań podstawić współczynnii rozwinięć parametrów atualnie analizowanego uładu. W celu weryfiacji uzysanych wyniów porównano otrzymane częstości i formy własne z wyniami otrzymanymi z wyorzystaniem MES. Do analizy MES wyorzystano program omputerowy Sofisti. Uład podzielono na 1 pryzmatycznych belowych elementów sończonych o siedmiu stopniach swobody. Otrzymane rezultaty w zaresie częstości własnych dały dobrą zgodność wyniów otrzymanych z wyorzystaniem przedstawionej w pracy metody, a wyniami uzysanymi z wyorzystaniem MES. Gorszą zgodność otrzymano w zaresie form własnych, niewątpliwy wpływ na to miał istotnie różny sposób modelowania analizowanych uładów. Słowa luczowe: teoria Własowa, częstości i formy własne, szeregi Czebyszewa, związi reurencyjne, rozwiązania analityczne 1 Józef Szybińsi, Politechnia Wrocławsa, Instytut Inżynierii Lądowej, Wyb. Wyspiańsiego 7, 5-37 Wrocław, jozef.szybinsi@pwr.edu.pl Autor do orespondencji/corresponding author: Piotr Ruta, Politechnia Wrocławsa Instytut Inżynierii Lądowej, 5-37 Wrocław Wyb. Wyspiańsiego 7, piotr.ruta@pwr.edu.pl

174 174 J. Szybińsi, P. Ruta 1. Wprowadzenie Konieczność racjonalnego ształtowania i eonomicznego projetowania onstrucji, ja również względy architetoniczne są powodem stosowania we współczesnych onstrucjach inżyniersich cienościennych uładów prętowych o zmiennych parametrach geometrycznych i materiałowych. Problem analizy tych uładów jest również cieawy ze względów teoretycznych, gdyż równania opisujące te ułady są równaniami o zmiennych współczynniach i jao taie poza szczególnymi przypadami nie mają zamniętych rozwiązań analitycznych. Zagadnieniem drgań cienościennych ustrojów prętowych zajmowało się wielu autorów. Ze względu na ograniczoną objętość pracy zostaną przedstawione tylo wybrane pozycje literatury dotyczące uładów niepryzmatycznych. Zagadnieniem drgań swobodnych uładów niepryzmatycznych zajmowali się m.in. Soltani i in. [1], [], Ambrosini i in. [3], Sung-Bo Kim, Moon-Young Kim [4] oraz Liviu Librescu, Sungsoo Na [5]. W pracy [1] autorzy rozwiązali zagadnienia stateczności, a w [] stateczności i drgań swobodnych bele cienościennych o zmiennych przedziałami, liniowo, wysoościach. Do rozwiązania wyorzystali lasyczne szeregi potęgowe. W praca [3] rozwiązano zagadnienie drgań wymuszonych aperiodycznie, niepryzmatycznej, cienościennej o liniowo zmiennej wysoości beli wsporniowej. Autorzy pracy [4] sformułowali cienościenny element sończony, tóry następnie wyorzystali do rozwiązania problemu stateczności oraz zagadnienia drgań swobodnych. W niniejszej pracy do rozwiązania zagadnienia własnego zastosowano metodę wyorzystującą przedstawione przez Paszowsiego [6] twierdzenie opisujące metodę rozwiązywania równań różniczowych zwyczajnych o zmiennych współczynniach z wyorzystaniem szeregów Czebyszewa. Metoda ta sprowadza się do wyprowadzenia związów reurencyjnych w postaci niesończonego uładu równań algebraicznych, tórego rozwiązaniem są współczynnii rozwinięć w szeregi, poszuiwanych funcji. Metoda ta została również przedstawiona w pracach autora [7], [8]. Ze względu na ogólny charater stosowanej metody, wyprowadzenie wzorów reurencyjnych dla onretnego problemu onretnego uładu równań) pozwala na rozwiązania analizowanego zagadnienia dla różnych parametrów geometrycznych i materiałowych.. Sformułowanie problemu Przedmiotem analizy są drgania swobodne niepryzmatycznej, cienościennej beli opisanej według teorii Własowa, o długości a. Puntem wyjścia do rozważań są ogólne sprzężone równania różniczowe pręta cienościennego o osi prostoliniowej zapisane dla uładu osi głównych), w tórym środe ścinania nie musi porywać się ze środiem przeroju [9]. Równania opisujące przestrzenne drgania taiego pręta mają postać

175 Analiza drgań swobodnych niepryzmatycznego pręta cienościennego 175, ), ), ), ) ) t X I t X U I t X U I X t I X GI X X U EI X U EI X X EI X t X U I t X I X t U A X EI X U X EI X t X U I t X I X t U A X EI X U X EI X t U X A X U X EA X Y Z Z Y s Z Y Y Z Z Y Y Z Y Z Y Y Z Z Y Z Y Z X X 1) gdzie -gęstość pręta, A - pole przeroju poprzecznego,,, I I I Y Z - momenty bezwładności odpowiednio względem osi Z, Y oraz środa, s I - moment bezwładności na sręcanie, Y Z I I, - wycinowe momenty odśrodowe dewiacyjne) względem osi Z i Y, I - wycinowy moment bezwładności. Wyorzystywana przy obliczaniu tych charaterysty współrzędna wycinowa jest współrzędną znormalizowaną spełniającą warune ds - grubość ściani profilu). Natomiast przy definiowaniu warunów brzegowych w puntach a X, wyorzystywane są następujące zależności ), t X U X lub ) X U X EA N X ) ), t X U Y lub, ) ) ) 3 3 t X X I t X U X I X U EI X X EI X Q Z Y Z Y Z Z Y 3)

176 176 J. Szybińsi, P. Ruta ), t X U Z lub, ) ) ) 3 3 t X X I t X U X I X U EI X X EI X Q Y Z Y Z Y Y Z 4) ), t X lub, ) t X U I t X U I t X I X GI X U EI X U EI X X EI X M Z Y Y Z s Z Y Y Z X 5) ), X t X U Y lub, ) ) X X EI X U X EI M Z Y Z Z 6) ), X t X U Z lub, ) ) X X EI X U X EI M Y Z Y Y 7) ), X t X lub. ) ) ) X U X EI X U X EI X X EI M Z Y Y Z 8) Obliczając występujące we wzorze 1) pochodne iloczynów funcji oraz wprowadzając zmienne i funcje bezwymiarowe a X x /,, / a U u X x a U u a U u Z z Y y /, /, wyjściowy uład równań 1) w przypadu drgań swobodnych można przedstawić w następującej postaci macierzowej ) ) )) ) 4 ) 4 x x x x m m m m P f R P 9) Po wprowadzeniu macierzy pomocniczych EI EI EI EI EI EI EI x y z y y z z ) K, GI s EA x ) 1 K,

177 Analiza drgań swobodnych niepryzmatycznego pręta cienościennego 177 I I I I I I I x y z y y z z ) G, 1 ) I A A A x G, x) O, x) P, 1) macierzowe funcje ) ), x x m m R P oraz wetory ) x P i ), t x f występujące w 9) można opisać następującymi wzorami we wzorach przyjęto zapis p p p x t x t x / ), ), ) f f ):, ) ), ) ) ), ) ) ), ) ), ) x x x x x x x x x x x x x x O P K P K K P K P K P 11), ) ), ) ), ) ), ) ) ) x x x x x x x x x x G R G R G R O R R 1) T ) z y x u u u x f. 13) Występujące w macierzach 1) parametry to bezwymiarowe odpowiednii parametrów występujących w wyjściowym wzorze 1). Przyładowo:,,,, 4 3 EI EA a EI EI EA a EI EI EA a EI EA EA EA y Y y Y.,,, / I EA a I I a EA I I EA I a EA EA A y Y y Y 3. Rozwiązanie Do rozwiązania uładu 9) zastosujemy przedstawione w monografii [6] twierdzenie patrz [6] str. 31 i 33) przedstawiające metodę rozwiązywania równań różniczowych o zmiennych współczynniach. W szczególnym przypadu, gdy uład równań różniczowych jest czwartego rzędu z cytowanego twierdzenia wynia, że współczynnii rozwinięcia poszuiwanego wetora ) f s spełniają następujący niesończony uład równań

178 178 J. Szybińsi, P. Ruta... 3,, 1,, [ ] [ ] [ 3) ) 1) ]) [ ] [ 4) 3) 4 ]) [ ] [ 9) 6 ]) [ ] [ 4) 3) 4 ]) [ ] [ 3) ) 1) 1 ])) [ ] [ ) 1) ]) [ ] [ ) 1) 3 ]) [ ] [ ) 1) 3 ]) [ ] [ ) 1) 9) ])) [ ] [ 1) ]) [ ] [ ]) [ ] [ 1) 4) 9) ]) [ ] [ ] [ ] [ 1) 4) 9) 4 ]) [ ] [ 1) 4) 9) 8 ] ' a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l f Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 14) gdzie funcje macierzowe m Q oreślone są wzorami 4..., 1,,, ) 4 1) ) ) m j m j x j m j j m j j m R P Q m 15) T,,, ] [ l z l y l xl l u u u a f, a l z l y l l x u u u,,, są współczynniami rozwinięć funcji przemieszczeń i obrotu w szeregi Czebyszewa, ) T ), ) T ), ) T ), ) T ) ' ' ' ' x x x u x u x u x u x u x u l l l l l z l z l l yl y l l xl x 16) gdzie... ] [ ] [ ] [ 1 ] [ 1 ' f a f a f a f a l l, a ) T x l jest l- tym wielomianem Czebyszewa I rodzaju. Wyonując obliczenia z wyorzystaniem wzoru 15) oreślającego macierzowe funcje ) m x Q otrzymano

179 Analiza drgań swobodnych niepryzmatycznego pręta cienościennego 179 ), ) ), ) ) ), ) ) ) ), ) ), ) x x x x x x x x x x x x x x x x x G Q G K Q G K K Q K Q K Q 17) Po podstawieniu współczynniów rozwinięć w szeregi Czebyszewa funcji m Q, do równania 14) otrzymano następujący uład równań różniczowych zwyczajnych,1,,3,..., ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ' u u u l m l m l m l m l m l m l m l m u u u l l l l l l l l l zl yl xl l l zl yl xl 18) Współczynnii ), l ij i ), l ij poddano dalszym przeształceniom wyorzystując następującą zależność między współczynniami rozwinięcia pochodnej funcji a współczynniami funcji wyjściowej,, 1 ) 1 1 1) 1 l a a l a l l l 19) gdzie ] [ f a a l l, a ] [ ) p p l p l x f a a. Ze względu na ograniczoną objętość pracy przedstawiono tylo te istotnie różniące się:, )] ) 1) ) 4) ) ) 1) [ 9) ), 11 l l l l l l EA EA EA EA EA EA l l ). ] 1) 1) ) 1) 1) [ 4) 9) 8 ), 1 1 l z j l z l j l z EI l EI j l l EI l l l 1)

180 18 J. Szybińsi, P. Ruta m 11 1, l) [ 1) ) 3) A 4 3) 6 9) A 4) A l l A l l4 A l A ) ) 4 3) l4 ) 4) A l A l ) ) 1) ) 3) A l4 A l4 )] m 4, l) m 4, l) 4) I 1) ) I 9) l[ 1) ) I z l I z l z l I ) z l z l )] I z l ) 3) Na podstawie podanych współczynniów można wyznaczyć pozostałe np. 44, l) to suma współczynniów oreślonych przez wzory ) i 1) w tórych odpowiednio: za EA m podstawiono GI m, a za EI z m podstawiono EI m. Pierwsze szesnaście równań uładu 18) gdy, 1,, 3) jest spełnionych tożsamościowo. Równania te zastępuje się czternastoma równaniami opisującymi warunami brzegowymi. Przy definiowaniu warunów brzegowych wyorzystuje się następujące wzory pozwalające na obliczenie wartości wielomianów Czebyszewa i ich pochodnych T 1 1) n m 1)!! n ) m, m) m1 m) nm m) n Tn 1) 1) Tn m1 m, 1). 4) 4. Przyłady obliczeniowe x y Przedstawioną metodę zastosowano do wyznaczenia częstości i form własnych cienościennej, niepryzmatycznej beli monosymetrycznej przedstawionej na rys. 1. Występujące tam wymiary przyjmują następujące wartości: a 5m, h.5m, b1.5m, b.1m, b3.3m. Grubości wszystich ściane blachownicy t.1m. Natomiast parametry materiałowe przyjmują wartości: E 11 N/m, G 81 N/m, 785g/m. Analizowany uład był obustronnie sztywno utwierdzony, a zatem w puntach x 1 spełnione są relacje u u u, u y u. Po rozwinięciu równań opisujących waruni brzegowe w szeregi Czebyszewa i wyorzystaniu wzorów 4) otrzymano dla warunów u x 1), 1) następujące równania z z

181 Analiza drgań swobodnych niepryzmatycznego pręta cienościennego 181 b 1 h b 3 b 1 b b 3 - a a X Rys. 1. Analizowany pręt cienościenny Fig. 1. Analysed thin-walled bar 1) 1) ' l 1 1), ' l u x u x l 1) l l. 5) l x l Dla pozostałych, analizowanych warunów brzegowych uzysane równania są analogiczne. W celu weryfiacji otrzymanych rezultatów otrzymane wynii porównano z częstościami i formami własnymi wyznaczonymi z wyorzystaniem MES. Do analizy użyto programu Sofisti, modelując uład 1 pryzmatycznymi elementami sończonymi o siedmiu stopniach swobody w węźle). Pierwsze dziesięć częstości własnych przedstawiono w Tabeli 1. W zaresie form własnych porównano pierwsze pięć form. Wyresy tych form oraz odchylenie między nimi oznaczone przez Err f x), 1,,... 5 zostało przedstawione na Rys.. Ze względu na monosymetryczność przerojów bra bisymetrii) formy te zazwyczaj są formami sprzężonymi, giętno-srętnymi. Z tego też względu na Rys. ich sładowe przedstawiono na oddzielnych wyresach. Linią czarną ) oznaczono formy uzysane przedstawioną w pracy metodą, linią szarą ) formy wyznaczone z pomocą MES. Wyonano również obliczenia dla uładu z bisymetrycznym przerojem. Analizowany uład miał taie same wymiary ja uład z Rys. 1, z tym że pryzmatyczny prostoątny pas dolny zastąpiono pasem o liniowo zmiennej szeroości, identycznym ja pas górny. W tym przypadu wyresy form własnych wyznaczone z pomocą MES i prezentowanej w pracy metody pratycznie porywały się.

182 18 J. Szybińsi, P. Ruta Err Err 3 Err Err Err u y1 Err u y1 4 4 u y Err u y 4 4 u y 3 Err u y u y 4 Err u y u y 5 Err u y Rys. Wyresy form własnych oraz różnice między formami wyznaczonymi MES i przedstawioną metodą Fig. Eigenforms and differences between results obtained using FEM and proposed method

183 Analiza drgań swobodnych niepryzmatycznego pręta cienościennego 183 Tabela 1. Częstości własne uładu Table 1. Structure s eigenfrequencies Częstości własne [Hz] Nr Praca Sofisti Nr Praca Sofisti 1 11,1 11, , 57,3 13,17 1, ,69 67,64 3 9,9 9, ,3 93,8 4 35,46 34, ,8 1, ,86 36, ,76 11,63 5. Wniosi Otrzymane wynii potwierdzają zgodność otrzymanych częstości własnych z wartościami uzysanymi z wyorzystaniem MES. Błąd względny dla pierwszych dziesięciu częstości zawarty jest w przedziale,9-,1%. Gorszą zgodność uzysano w zaresie form własnych. Ja widać z Rys. różnice te mają jedna głównie charater ilościowy. Ja już wspomniano w przypadu beli o przeroju bisymetrycznych dla tórej z powodu ograniczonej objętości pracy nie podano wyniów) różnice między formami były pratycznie niezauważalne, a między częstościami własnymi były zawarte w przedziale,8-,54% Warto podreślić też, że ońcowa postać wyprowadzonych równań patrz wzory )-3)) pozwala na bezpośrednie rozwiązanie beli o dowolnych parametrach geometrycznych i materiałowych. Literatura [1] Asgarian B., Soltani M., Mohri F: Lateral-torsional bucling of tapered thin-walled beams with arbitrary cross-sections, Thin-Walled Structures, 6, 13, s [] Soltani M., Asgarian B., Mohri F.: Elastic instability and free vibration analyses of tapered thin-walled beams by the power series method, Journal of Constructional Steel Research, 96, 14, s [3] Ambrosini R. D., Riera J. D., Danesi R.F., A modified Vlasov theory for dynamic analysis of thin-walled and variable open section beams, Engineering Structures,,, s [4] Sung-Bo Kim, Moon-Young Kim: Improved formulation for spatial stability and free vibration of thin-walled tapered beams and space frames, Engineering Structures,,, s [5] Liviu Librescu, Sungsoo Na: Active vibration control of doubly tapered thin walled beams using piezoelectric actuation, Thin-Walled Structures, 39, 1, s [6] Paszowsi S.: Zastosowania numeryczne wielomianów Czebyszewa, PWN, Warszawa 1975.

184 184 J. Szybińsi, P. Ruta [7] Ruta P.: Application of Chebyshev series to solution on non-prismatic beam vibration problems. Journal of Sounds and Vibration, 7), 1999, s [8] Ruta P.: The application of Chebyshev polynomials to the solution of the nonprismatic Timosheno beam vibration problem, Journal of Sound and Vibration, 96, 6, s [9] Chang-New Chen: Variational Derivation of the Dynamic Equilibrium Equations of Nonprismatic Thin-Walled Beams Defined on an Arbitrary Coordinate System, Mechanics of Structures and Machines: An International Journal, 6, 1998, s ANALYSIS OF THE FREE VIBRATION OF A THIN-WALLED NONPRISMATIC BEAM S u m m a r y This paper deals with the eigenvalue problem of a thin-walled nonprismatic beam described in accordance with the Vlasov theory. The spatial vibration of the beam is described by four compressed in the general case) equations with variable coefficients. The equations have been solved using the Czebyshev series. The method used is based on the theorem concerning the solution of ordinary differential equations, presented in Paszowsi s monograph: Numerical application of Czebyshev polynomials and series in Polish), PWN, Warsaw, The recurrence relations obtained by solving the above theorem mae it possible to determine the coefficients of the expansions of the sought displacement and rotation functions into Czebyshev series. In the case of free vibrations, the relations have the form of an infinite system of algebraic equations. The considerations apply to a system with arbitrarily variable geometrical and material parameters. The derived formulas mae it possible to solve the eigenvalue problem of any beam. It is enough to substitute the expansion coefficients of the parameters of the currently analyzed system into the infinite system of equations. In order to verify the results the calculated eigenfrequencies and forms were compared with the ones obtained using FEM. The Sofisti software was used for the FE analysis. The system was divided into 1 finite prismatic beam elements with seven degrees of freedom. As regards eigenfrequencies, the results obtained using the proposed method were found to be in good agreement with the ones yielded by FEM. The agreement for the eigenforms was worse, which was undoubtedly due to the significantly different ways of solving the considered systems. Keywords: Vlasov theory, eigenfrequencies and forms, Czebyshev series, recurrence relations, analytical solutions DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

185 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Paweł ŚNIADY 1 Filip ZAKĘŚ DRGANIA WIELOPRZĘSŁOWYCH CIĄGŁYCH BELEK PRYZMATYCZNYCH WYWOŁANE SIŁĄ RUCHOMĄ Praca przedstawia rozwiązanie zagadnienia drgań wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych wywołanych supioną siłą poruszającą się ze stałą prędością. Wyorzystując znane rozwiązania dla beli swobodnie podpartej obciążonej siłą ruchomą oraz zmienną w czasie siłą supioną w puncie wyznaczono równanie drgań beli wieloprzęsłowej analogicznie do statycznej metody sił, zastępując algebraiczny uład równań zgodności przemieszczeń uładem równań całowych Volterry, podając również procedurę numeryczną ułatwiającą ich rozwiązanie. W pracy zmieszczono przyład obliczeniowy beli trójprzęsłowej. Słowa luczowe: teoria Własowa, częstości i formy własne, szeregi Czebyszewa, związi reurencyjne, rozwiązania analityczne 1. Wprowadzenie Ważnym zagadnieniem w dynamice onstrucji inżyniersich jest problem drgań wywołanych poruszającym się obciążeniem. Zagadnienie to występuje między innymi w dynamice mostów drogowych i olejowych, łade dla pieszych, torów olejowych, pasów startowych lotnis, dróg, oleje linowych a taże samolotów i raiet. Jest to problematya ważna, a równocześnie interesująca z teoretycznego puntu widzenia. Poświęcono jej seti prac nauowych [1]. Badano drgania cięgien, bele, płyt, powło, ram, łuów, a szczególnie mostów, w tym mostów wiszących. Analizowano drgania onstrucji wywołane różnymi rodzajami obciążeń ruchomych, tóre można podzielić na obciążenia nieinercyjne i obciążenie inercyjne. Do obciążeń nieinercyjnych należą: ruchoma siła supiona, ruchome obciążenie rozłożone a taże ruchomy moment su- 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Paweł Śniady, Wydział Inżynierii środowisa i Geodezji, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, tel , pawel.sniady@wp.pl Filip Zaęś, Wydział Inżynierii Środowisa i Geodezji, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, tel , filip.zaes@up.wroc.pl

186 186 P. Śniady, F. Zaęś piony. Do ruchomych obciążeń inercyjnych często modelujących poruszające się pojazdy należą: nieresorowana masa supiona lub rozłożona, oscylatory o jednym i wielu stopniach swobody. Rozwiązywano problemy zarówno w zaresie deterministycznym ja i w ujęciu drgań stochastycznych. W więszości prac badano proste dźwigary jednoprzęsłowe [], a taże ustroje bardziej sompliowane ja podwójna struna, podwójna bela czy most wiszący, ale również jao dźwigary jednoprzęsłowe. Ważnym i interesującym zagadnieniem są drgania bele wieloprzęsłowych wywołane obciążeniem ruchomym, gdyż wiele obecnie projetowanych onstrucji inżyniersich np. mostów) odpowiada taiemu właśnie schematowi dynamicznemu [3]-[11]. Stosunowo mało jest prac poświęconych temu zagadnieniu. W niniejszej pracy przedstawiono algorytm wyznaczania drgań wieloprzęsłowej pryzmatycznej beli Eulera-Bernoulliego poddanej działaniu ruchomej siły supionej o stałej wartości. Przy rozwiązywaniu zagadnienia połączono procedury analityczne i numeryczne. Założono, że sztywność oraz masa jednostowa przeroju beli są jednaowe w ażdym przęśle, natomiast zmienna może być rozpiętość poszczególnych przęseł. Problem rozwiązano w sposób analogiczny do statycznej metody sił, gdzie uład równań algebraicznych zastąpiono uładem równań całowych Volterry pierwszego gdy podpory są stałe) lub drugiego rodzaju gdy podpory są sprężyste). Za uład podstawowy metody sił belę podstawową) przyjęto jednoprzęsłową belę swobodnie podpartą. Aby otrzymać rozwiązanie dla beli wieloprzęsłowej, onieczne jest wyznaczenie drgań beli swobodnie podpartej o sończonej długości poddanej działaniu siły ruchomej oraz wywołanych siłami supionymi w miejscach usuniętych podpór nadliczbowych.. Drgania beli swobodnie podpartej wywołane siłą ruchomą Rozpatrujemy drgania wieloprzęsłowej beli Eulera-Bernoulliego obciążonej siłą P poruszającą się ze stałą prędością v. Bela spoczywa na + =1,,3 ) podporach rys. 1), co oznacza, że jest -rotnie statycznie niewyznaczalna. Bela charateryzuje się stałą geometrią przeroju poprzecznego w ażdym przęśle oraz dowolną loalizacją podpór pośrednich. W prezentowanej metodzie za uład podstawowy metody sił przyjęto belę swobodnie podpartą Eulera-Bernoulliego o sończonej rozpiętości L, obciążoną ruchomą siłą o stałej wartości P, poruszającej się ze stałą prędością v rys. ). Drgania tłumione taiej beli opisuje równanie: EI 4 w P x,t) x 4 + c wp x,t) + m w P x,t) = Pδx vt) 1) t t

187 Drgania wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych 187 gdzie EI oznacza sztywność giętną beli, m oznacza masę jednostową przeroju beli, natomiast c jest współczynniiem tłumienia. Symbolem.) oznaczono deltę Diraca. Rys. 1. Bela wieloprzęsłowa obciążona ruchomą siłą supioną Fig. 1. Multi-span continuous beam loaded with moving force Rys.. Bela swobodnie podparta obciążona ruchomą siłą supioną Fig.. Simply supported beam loaded with moving force Dla beli swobodnie podpartej waruni brzegowe mają postać: w P, t) = w P L, t) =, w P x, t) x = w P x, t) x = ) x= x=l Po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych: ξ = x L, vt T =, ξ [,1], T [,1] 3) L równanie 1) przyjmuje postać: [w P ξ, T)] IV + c o w P ξ, T) + σ w P ξ, T) = P δξ T) 4)

188 188 P. Śniady, F. Zaęś gdzie: E ρ c = c vl3, EI σ = mv L = μ λ, P EI = PL3, μ = v, λ = L, r = I, v EI v g r A g =. Cyframi rzymsimi oznaczono różniczowanie po przestrzennej współrzędnej, natomiast ropą oznaczono różniczowanie po czasie T. Wielość v g oznacza prędość rozchodzenia się fali giętnej fali podłużnej w pręcie), a przez symbol oznaczono smułość beli. Symbole A, I, r oznaczają olejno pole przeroju beli, jego moment bezwładności oraz promień bezwładności, E oznacza moduł Younga zaś ρ = m oznacza gęstość materiału. A Waruni brzegowe ) przyjmują postać: w P, T) = w P 1, T) =, w P ξ,t) ξ ξ= = w P ξ,t) = 5) ξ ξ=1 Przyjęto, że w chwili początowej bela jest w spoczynu stąd waruni początowe mają postać: w P ξ, ) =, w P ξ, ) = 6) Rozwiązanie równania 4) przy warunach brzegowych 5) przyjmuje się w postaci szeregu: wξ, T) = n=1 y n T)sinnπξ 7) Po podstawieniu wyrażenia 7) do równania 4) oraz wyorzystaniu ortogonalności funcji własnych otrzymano uład równań różniczowych zwyczajnych: y nt) + αy nt) + nπ)4 y σ n T) = P σ sinnπt 8) gdzie α = cl. Waruni początowe mają postać: mv y n ) =, y n) = 9) Po rozwiązaniu równania 8) z uwzględnieniem warunów początowych 9) dynamiczna odpowiedź beli ma postać: gdzie: w P ξ, T) = w A P ξ, T) + w S P ξ, T), 1)

189 Drgania wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych 189 w P A ξ, T) = P [nπ) σ ]sinnπtsinnπξ nπ) [nπ) σ ] + 4α σ 4 w S P ξ, T) = n=1 4P ασ cosnπtsinnπξ nπ){[nπ) σ ] + 4α σ 4 } n=1 = 4P α σ e αt sinω n Tsinnπξ Ω n nπ){nπ) [nπ) σ ] + 4α σ 4 } n=1 P e αt nπ)[nπ) σ ]sinω n Tsinnπξ Ω n {nπ) [nπ) σ ] + 4α σ 4 } n=1 + 4P ασ e αt cosω n Tsinnπξ nπ){nπ) [nπ) σ ] + 4α σ 4 }, n=1 11) 1) gdzie Ω n = nπ)4 α. W przypadu drgań nietłumionych c=) dynamiczna σ odpowiedź uładu ma postać: w P ξ, T) = w A P ξ, T) + w S P ξ, T) = = P sinnπtsinnπξ n=1 nπ) [nπ) σ ] sin nπ) Tsinnπξ σ P σ n=1. 13) nπ) 3 [nπ) σ ] Jeżeli spełniona jest równość σ = vl m = μλ = π szeregi w rozwiązaniu 13) EI zmierzają do niesończoności. Stąd prędość rezonansowa v cr jest równa: v cr = π L EI m = π λ v g. 14) Dla więszości bele >> stąd dla tych przypadów v cr < v g. Funcja w A P,T) podana w wyrażeniach 11) i 13) opisuje drgania i aperiodyczne i spełnia niejednorodne równanie różniczowe 4), nie spełnia jedna warunów początowych ruchu 6). Funcja w S P,T) opisuje drgania swobodne beli i jesdddt rozwiązaniem jednorodnego równania różniczowego 4) przy P = i wraz z funcją opisującą drgania aperiodyczne spełnia waruni początowe 6). 3. Drgania beli wywołane siłą supioną W olejnym etapie rozważmy drgania beli wywołane siłą XT) supioną w puncie i. Posługując się zmiennymi bezwymiarowymi 3) i postępując ana-

190 19 P. Śniady, F. Zaęś logicznie ja w przypadu siły ruchomej uzysuje się rozwiązanie w postaci splotu w X ξ, T) = L v T h iξ, T τ)xτ)dτ, gdzie impulsowa funcja przejścia h i,t) jest równa h i ξ, T) = vl σ EI e αt sinω n Tsinnπξ i sinnπξ, Ω n 15) n=1 16) a w przypadu drgań nietłumionych = ) odpowiednio h i ξ, T) = vl = vl σ EI nπ) sin σ Tsinnπξ isinnπξ σei n=1 = nπ) sinω n Tsinnπξ i sinnπξ n=1. 17) ω n Impulsowa funcja przejścia h i,t) została uzysana z równania h i IV ξ, T) + c h iξ, T) + σ h iξ, T) = vl EI δt)δξ ξ i). 18) Przedstawione powyżej rozwiązania dla beli swobodnie podpartej obciążonej siłą ruchomą i siłą supioną w puncie zostaną wyorzystane do rozwiązania zagadnienia drgań beli wieloprzęsłowej. 4. Drgania beli wieloprzęsłowej równania całowe Volterry Jao podstawowy schemat dynamiczny przyjęto statycznie wyznaczalną belę swobodnie podpartą obciążoną siłą ruchomą i siłami nadliczbowymi X it) i=1,,) przyłożonymi w miejscach podpór pośrednich rys.3). Ugięcia statycznie wyznaczalnej beli w miejscu podpór pośrednich w belce statycznie niewyznaczalnej wywołane wyżej wymienionymi siłami są równe. Na tej podstawie uzysano uład równań całowych Volterry pierwszego rodzaju L v T j=1 δ ijt τ)x j τ)dτ + ip T) =, i = 1,,, 19) gdzie ijt) i ipt) oznaczają odpowiednio przemieszczenie pionowe beli swobodnie podpartej w puncie i spowodowane siłą supioną X j oraz siłą ruchomą. Funcje te są równe δ ij T) = h j ξ i, T), ) ip T) = w P A ξ i, T) + w P S ξ i, T), 1)

191 Drgania wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych 191 gdzie impulsowa funcja przejścia δ ij T) = h j ξ i, T) jest podana w równaniach 16) lub 17), a funcja ip T) = w A P ξ i, T) + w S P ξ i, T) jest oreślona równaniami 1) - 1) lub 13). Współrzędne i i=1,,) oreślają położenie podpór pośrednich beli wieloprzęsłowej. Rys. 3. Schemat podstawowy Fig. 3. Primary structure Dla porównania rozwiązanie statyczne ma postać δ ij = L3 EI n=1 sinnπξ i sinnπξ nπ) 4, ip T) = PL3 EI sinnπtsinnπξ i nπ) 4 n=1, ) a uład równań całowych 15) jest zastąpiony uładem równań algebraicznych j=1 δ ij X j + ip T) =, i = 1,,,. 3) Po rozwiązaniu równań całowych Volterry dynamiczna odpowiedź beli wieloprzęsłowej obciążonej siłą ruchomą jest uzysana jao rozwiązanie dla beli swobodnie podpartej i ma postać w d ξ, T) = w P A ξ, T) + w P S ξ, T) + L v i=1 δ ijt τ)x j τ)dτ. 4) Ugięcie statyczne beli wieloprzęsłowej wywołane siłą supioną w puncie T wynosi w st ξ, T) = L3 [PsinnπT + EI i=1 X isinnπξ i T ] sinnπξ nπ) 4 5) Współczynni dynamiczny może być zdefiniowany jao stosune ugięcia dynamicznego do ugięcia statycznego θξ, T) = w d ξ,t) w st ξ,t) 6)

192 19 P. Śniady, F. Zaęś Załóżmy, że podpory pośrednie beli wieloprzęsłowej są podporami sprężystymi o sztywności s i rys.4). W tym przypadu zamiast uładu równań 19) mamy uład równań całowych Volterry drugiego rodzaju L v j=1 T δ ijt τ)x j τ)dτ + ip T) = X j s j, i = 1,,,. 7) Rys. 4. Bela wieloprzęsłowa na podporach sprężystych Fig. 4. Multi-span continuous beam with elastic supports 4.1. Procedura numeryczna Uład równań całowych Volterry 15) jest trudny do rozwiązania w sposób analityczny, dlatego też zostanie rozwiązany w sposób numeryczny zgodnie z rys. 5. Tym sposobem w miejsce uładu równań całowych uzysujemy uład reurencyjnych równań algebraicznych L K δ v j=1 r=1 ijt K τ r )X j τ r ) τ + ip T K ) =, 8) gdzie T K = K τ, τ r = r,5) τ, r = 1,,,K, K = 1,,,N oraz τ = 1 N. Dla beli dwuprzęsłowej równanie 8) ma postać L K v r=1 h iξ i, T K τ r )X j τ r ) τ + ip T K ) =. 9) Rys. 5. Schemat obliczeń numerycznych Fig. 5. Numerical calculations scheme

193 Drgania wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych Przyład numeryczny Jao przyład obliczeniowy posłuży bela trójprzęsłowa o rozpiętości między srajnymi podporami L = 6 m, z dwiema podporami pośrednimi dzielącymi belę na trzy równe przęsła rys.6). Do obliczeń przyjęto masę jednostową przeroju beli m = 1 g/m oraz sztywność giętną EI = 1,96 GNm. Ustrój obciążony jest stałą siłą supioną P = 9,8 N poruszającą się ze stałą prędością v = 37 m/s. W obliczeniach analizowano drgania puntów a, b i c znajdujących się odpowiednio w środu lewego, środowego i prawego przęsła w zależności od położenia siły poruszającej się wzdłuż beli rys. 6). Wynii obliczeń przedstawiono na rys. 7 do 9. Linią przerywaną zaznaczony przypade statyczny v = ). Rys. 6. Trójprzęsłowa bela pryzmatyczna obciążona siłą ruchomą Fig. 6. Three-span continuous uniform beam loaded with moving force Rys. 7. Ugięcie dynamiczne puntu a środe pierwszego przęsła) Fig. 7. Dynamic deflection of point a middle of the first span)

194 194 P. Śniady, F. Zaęś Rys. 8. Ugięcie dynamiczne puntu b środe drugiego przęsła) Fig. 8. Dynamic deflection of point b middle of the first span) Rys. 9. Ugięcie dynamiczne puntu c środe trzeciego przęsła) Fig. 9. Dynamic deflection of point c middle of the third span) 6. Podsumowanie Przedstawiona w pracy metoda wyznaczania drgań giętnych ciągłych bele wieloprzęsłowych polegająca na wyorzystaniu równań całowych Volterry może być z powodzeniem zastosowana przy rozpatrywaniu bele pryzmatycznych o stałym przeroju i stałym rozładzie masy we wszystich przęsłach uładu. Podano wzory zarówno dla drgań nietłumionych ja i drgań z uwzględnieniem tłumienia zewnętrznego. Po odpowiednich przeształceniach opisaną metodę można wyorzystać również w przypadu innych nieinercyjnych obciążeń ruchomych, taich ja ruchome obciążenie rozłożone, ruchomy moment supiony lub ruchoma seria sił supionych. Zastosowana procedura numeryczna prowadzi do zastąpienia równań całowych równaniami algebraicznymi, co umożliwia przeprowadzenie doładnych obliczeń przy zastosowaniu prostych aruszy alulacyjnych.

195 Drgania wieloprzęsłowych ciągłych bele pryzmatycznych 195 Literatura [1] Fryba L., Vibration of Solids and Structures under Moving Loads, 1999,Telford, London. [] Kączowsi Z., Vibration of a beam under a moving load. Proceedings of Vibration Problems 1963; 4 4): [3] Reipert Z.,Vibration of frames under moving load. Archiwum Inżynierii Lądowej 197;16 3): [4] Johansson C., Pacoste C., Karoumi R., Closed-form solution for the mode superposition analysis of the vibration in multi-span beam bridges caused by concentrated moving loads, Computers and Structures 13; 119: [5] Salvo V.D., Muscolino G., Palmeri A., A substructure approach tailored to the dynamic analysis of multi-span continuous beams under moving loads, Journal of Sound and Vibration 1: 39: [6] Martinez-Castro A. E., Museros P., Castello-Linares A., Semi-analytic solution in the time domain for non-uniform multi-span Bernoulli Euler beams traversed by moving loads. Journal of Sound and Vibration 6;94: [7] Dugush Y.A., Eisenberger M., Vibrations of non-uniform continuous beams under moving loads, Journal of Sound and Vibration ; 45: [8] Henchi K, Fafard M, Dhatt G, Talbot M., Dynamic behaviour of multi-span beams under moving loads, Journal of Sound and Vibration 1997; 199:33 5. [9] Henchi K., Fafard M., Dhatt G., Talbot M., Dynamic behaviour of multi-span beams under moving loads, 1997; 199:33-5. [1] Lee H.P., Dynamic response of a beam with intermediate point constraints subject to a moving load, Journal of Sound and Vibration 1994;171: [11] Hayashiawa T., Watanabe N., Dynamic behavior of continuous beams with moving load, Journal of Engineering Mechanics Division 1981;17:9 46. VIBRATIONS OF MULTI-SPAN CONTINUOUS BEAMS UNDER MOVING FORCE S u m m a r y In this paper authors consider damped and undamped vibrations o multi-span continuous beams, uniform in every span, subjected to a moving constant force. Presented solution is analogical to the static force method, with simply supported beam applied as a primary structure. Instead of set of algebraic force method equations a set of Volterra integral equations is given. A numerical example of three span beam is presented. Keywords: multi-span beam, moving force, Volterra integral equation DOI:1.786/rb.14.4 Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

196

197 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s Marcin TEKIELI 1 Łuasz MICHALSKI BADANIA DYNAMICZNE OBIEKTÓW MOSTOWYCH NIEPODLEGAJĄCYCH OBCIĄŻENIOM PRÓBNYM W KONTEKŚCIE MONITORINGU STANU KONSTRUKCJI W artyule przeanalizowano zasadność przeprowadzania badań obietów mostowych, tóre zgodnie z obowiązującym prawem nie podlegają procedurze próbnych obciążeń dopuszczających obiet do esploatacji długość przęsła nie przeracza m)[3]. Analiza polegała na porównaniu wyniów badań statycznych i dynamicznych dla dwóch obietów mostowych. Wynii uzysane w tracie badań polowych porównano również z wyniami otrzymanymi z wyorzystaniem modeli numerycznych onstrucji. Wsazano istotne rozbieżności dla rzeczywistych i otrzymanych z modelu wyniów dla jednego z obietów. Przedstawiono możliwe przyczyny pojawienia się rozbieżności i zaproponowano wyorzystanie badań dynamicznych jao elementu systemu do oceny i monitoringu stanu obietu mostowego. Słowa luczowe: dynamia onstrucji, obiety mostowe, symulacja, obciążenia próbne, monitoring stanu onstrucji SHM), wyrywanie uszodzeń onstrucji 1. Wprowadzenie Obiety mostowe należą do grupy onstrucji, tórych głównym przeznaczeniem jest funcja omuniacyjna. Podnoszą jaość transportu przynosząc tym samym wymierne orzyści społeczne. Stanowią często strategiczne znaczenie dla gospodari. Należą do grupy odpowiedzialnych obietów budowlanych, tóre powinny spełniać wygórowane ryteria bezpieczeństwa. 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Marcin Teieli, Politechnia Kraowsa im. Tadeusza Kościuszi, Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej, ul. Warszawsa 4, Kraów, tel. 1) , mteieli@l5.p.edu.pl Łuasz Michalsi, Politechnia Kraowsa im. Tadeusza Kościuszi, ul. Warszawsa 4, Kraów, luaszmichalsins@o.pl

198 198 M. Teieli, Ł. Michalsi Przyjmowane na etapie projetowania założenia upraszczające modelowanie obietów mostowych, tylo w pewnym stopniu odzwierciedlają ich pracę w warunach esploatacyjnych. Geometria onstrucji, właściwości materiałowe, ja i odziaływania są jedynie próbą opisania rzeczywistej pracy obietu. Potwierdzeniem tego są awarie, a co gorsza atastrofy budowlane, tóre pomimo gwałtownego rozwoju techni obliczeniowych wciąż jeszcze występują. W związu z powyższym coraz częściej na świecie wyposaża się obiety mostowe szczególnie o więszych rozpiętościach) w systemy SHM monitoringu stanu technicznego onstrucji mające na celu pozysiwanie istotnych informacji dotyczących głównie parametrów stanu onstrucji oraz nasilania oddziaływań środowisowych, na bazie tórych identyfiowane są stany ostrzegawcze i alarmowe. Pod pojęciem SHM ang. SHM Structural Health Monitoring) należy rozumieć system monitorowania stanu technicznego onstrucji, tórego ideą jest wdrożenie strategii identyfiacji uszodzenia w obietach budowlanych. Uszodzenie definiowane jest przez zmianę właściwości materiałowych lub geometrycznych uładu onstrucji, a taże przez zmianę w struturze i warunach brzegowych uładu. Uszodzenia te wpływają na obecny albo przyszły stan techniczny onstrucji. Proces identyfiacji uszodzenia odbywa się zazwyczaj w czterech następujących po sobie etapach: detecja uszodzenia etap, w tórym wyrywana jest obecność uszodzenia, loalizacja uszodzenia etap, w tórym podawane jest miejsce uszodzenia, typizacja uszodzenia etap, w tórym podawany jest rodzaj uszodzenia, zares uszodzenia etap, w tórym następuje ocena wpływu uszodzenia na onstrucję [1, ]. Istotną grupą obietów mostowych, tóre powinny podlegać podstawowej formie ontroli ich stanu oraz monitoringowi w tracie esploatacji są obiety, tórych długość nie przeracza m. Obiety taie - zgodnie z obowiązującym prawem, nie podlegają procedurze obciążeń próbnych przed dopuszczeniem ich do esploatacji [3, 4, 5]. W związu z tym, istnieje uzasadnione przypuszczenie, że nietóre z taich obietów mogą nie spełniać założeń postawionych na etapie projetowania. Spowodowane może to być wyorzystaniem przez wyonawcę materiałów o jaości niższej od założonej przez projetanta lub braiem staranności podczas prac wyonawczych. Tego typu działania sutują w więszości przypadów nieodpowiednim zachowaniem się obietu pod wpływem standardowych obciążeń występujących w tracie jego esploatacji, a to z olei w prosty sposób może prowadzić do istotnego srócenia żywotności taiego obietu, a w srajnych przypadach może też zwięszać prawdopodobieństwo pojawienia się uszodzeń zagrażających bezpieczeństwu użytowania obietu.

199 Badania dynamiczne obietów mostowych 199 W dalszej części artyułu przedstawiono analizę odpowiedzi dwóch obietów mostowych podczas obciążeniowych badań statycznych i dynamicznych. Otrzymane podczas rzeczywistych testów wynii porównano z wyniami otrzymanymi z wyorzystaniem modeli numerycznych. Zauważono i wsazano istotne rozbieżności w przeanalizowanych wyniach oraz zaproponowano wyorzystanie badań dynamicznych onstrucji mostowej do detecji i wstępnej loalizacji uszodzenia w ramach dwóch pierwszych etapów identyfiacji uszodzenia.. Opis badanych obietów mostowych W ramach jednego z prowadzonych przez Politechnię Kraowsą im. Tadeusza Kościuszi projetów wyonano badania na dwóch obietach mostowych zloalizowanych na terenie województwa małopolsiego w miejscowościach Libertów i Bodzanów..1. Geometria badanych obietów Analizowany most w miejscowości Libertów, tórego przerój podłużny przedstawiono na rys. 1 jest budowlą o charaterze omuniacyjnym przeprowadzającym ruch samochodowy nad cieiem wodnym. Obiet został zaprojetowany na lasę obciążenia taborem samochodowym A według normy PN- 85/S-13. Obiety mostowe. Obciążenia. Konstrucja mostu, to dwa ułady ramowe, zintegrowane ze ścianami przednimi i srzydłami przyczółów. Ustrój nośny to płyta żelbetowa, z monolitycznymi gzymsami, o grubości 3 cm z betonu B3 i zbrojona stalą BSt5 [6]. Rys. 1. Przerój podłużny obietu mostowego w miejscowości Libertów na podstawie [6]) Fig. 1. Longitudinal section of the bridge structure in Libertów based on [6]) Obiet w miejscowości Bodzanów, tórego przerój podłużny przedstawiono na rys., to wiadut o charaterze omuniacyjnym przeprowadzający ruch samochodowy nad drogą loalną. Konstrucja wiadutu to prefabryowane beli typu Kujan w schemacie beli swobodnie podpartej wyonane z betonu B35. W przeroju poprzecznym występuje 1 bele, tóre zespolone są betonem in-situ lasy B3, Pracę poprzeczną zapewnia beton in-situ między belami

200 M. Teieli, Ł. Michalsi oraz płyta o grubości 1 cm. Konstrucja zbrojona jest prętami przepuszczonymi przez otwory w środniach bele i dodatowym zbrojeniem płyty i stref wsporniowych [7]. Rys.. Przerój podłużny obietu mostowego w miejscowości Bodzanów na podstawie [7]) Fig.. Longitudinal section of the bridge structure in Bodzanów based on [7]).. Modele numeryczne badanych obietów Analizę przeprowadzono przez zamodelowanie onstrucji mostu z podziałem na elementy o oreślonych sztywnościach, parametrach geometrycznych odpowiadających rzeczywistym elementom onstrucji w oparciu o doumentację [6, 7]. Do obliczeń badanych onstrucji wyonano przestrzenne, numeryczne modele obliczeniowe z wyorzystaniem metody elementów sończonych MES) w środowisu obliczeniowym Sofisti v. 1. Obie onstrucje przybliżono modelami lasy e1+e, p3, w tórych główny uład nośny został zbudowany w postaci rusztu, na tórym rozpostarto elementy służące do rozładu obciążeń. Siata węzłów została zbudowana środowej powierzchni płyty w celu odwzorowania rzeczywistego ształtu poprzecznego i loalnego obrotu bele względem osi pionowej. Położenie dźwigarów, bele poprzecznych oraz płyty różnicowano za pomocą mimośrodów offsetów). Płyty pomostowe wygenerowano za pomocą czterowęzłowych elementów powłoowych o zreduowanej sztywności, tóre służą do rozładu obciążeń na beli. W przeroju poprzecznym ustrój onstrucyjny obietu w miejscowości Libertów został podzielony na 6 bele, a ustrój onstrucyjny obietu w miejscowości Bodzanów na 1 bele. Analogicznie, ustrój onstrucyjny w przeroju podłużnym podzielono na 17 i 3 beli. Dla modelu obietu w miejscowości Libertów przyjęto sztywność przerojów ta, jaby były wyonane z betonu B3, a w przypadu obietu w miejscowości Bodzanów odpowiednio z betonu B35. W obu przypadach były to elementy nieważie bez założonej masy). Charaterystyi geometryczne przerojów elementów belowych zostały obliczone w programie do obliczeń statycznych. W ta przygotowanym modelu obliczono wartości sił wewnętrznych i ugięć od obciążeń normowych dla lasy obciążenia taborem samochodowym A według normy [4] odpowiadającej fatycznej lasie obciążenia, na jaą został zaprojetowany obiet. Analizy doonano dla najbardziej nieorzystnego uładu schematów obciążeń wywołującego estremalne wartości sił wewnętrznych w onstrucji nośnej mostu. Obciążenie pojazdem K zamodelowano jao jeden przejazd zrealizowany zgodnie z normą [4]. W ombinacji z nimi uwzględniono

201 Badania dynamiczne obietów mostowych 1 obciążenie taborem q. Wybrano ustawienia obciążenia wywołujące najwięsze wartości sił wewnętrznych. a) b) Rys. 3. Model numeryczny wraz z jego wizualizacją dla obietu w miejscowości Libertów a) oraz Bodzanów b) Fig. 3. Numerical model with visualization of bridge structure in Libertów a) and Bodzanów b) 3. Opis badań polowych Przeprowadzone badania polowe polegały na pomiarze zmiany odształcenia w wybranych puntach ustroju nośnego, spowodowanej ontrolowanymi przejazdami oraz postojem pojazdu testowego. Do pomiaru odształcenia wyorzystano przetwornii eletrooporowe. Częstotliwość próbowania wynosiła 1Hz. Na rysunach 4 a) i 1 b) przedstawiono rozmieszczenie tensometrów na przedmiotowych obietach mostowych tensometr w przeroju podłużnym zloalizowano w środu rozpiętości przęsła) oraz położenie pojazdu w dwóch osiach pomiarowych. Pod nazwą pojazdu testowego należy rozumieć samochód ciężarowy dwuosiowy o znanej masie. Firma transportowa, tóra była odpowiedzialna za dostarczenie pojazdu do badań, jest w posiadaniu certyfiowanej wagi samochodowej. Na rys. 5 przedstawiono procedurę związaną z ważeniem pojazdu i uzysane wynii.

202 M. Teieli, Ł. Michalsi a) b) Rys. 4. Rozmieszczenie czujniów tensometrycznych oraz położenie pojazdu testowego na obiecie w miejscowości Libertów a) oraz Bodzanów b) Fig. 4. Location of strain gauges and position of the vehicle on the tested object in Libertów a) and Bodzanów b) a) b) Rys. 5. Pomiar masy pojazdu a) oraz przyjęty uład obciążenia b) Fig. 5. Measurements of the test vehicle weight a) and load system b) W ramach badań przeprowadzono zarówno pomiary statyczne, ja i dynamiczne. Osie A1 i A stanowiły osie pomiaru dynamicznego, natomiast osie B1 i B pomiaru statycznego. W przypadu pomiaru dynamicznego wyonane zostały trzy przejazdy testowe opisanym wyżej pojazdem z prędością 4 m/h, 6 m/h oraz 8 m/h. Pomiar statyczny odbył się poprzez ustawienie samochodu na pasie awaryjnym ja najbliżej rawężnia. W przeroju podłużnym środe rozstawu osi pojazdu porył się ze środiem rozpiętości oprzyrządowanych przęseł obu badanych obietów mostowych. 4. Porównanie wyniów badań i symulacji numerycznych W celu porównania danych uzysanych z badań polowych z symulacjami numerycznymi założono sześć najbardziej reprezentatywnych schematów usta-

203 Badania dynamiczne obietów mostowych 3 wienia pojazdu testowego wzdłuż obietu mostowego: schemat a) przednia oś w 1/4 przęsła, b) przednia oś w 1/ przęsła, c) tylna oś w 1/4 przęsła, d) przednia oś w 3/4 przęsła, e) tylna oś w 1/ przęsła, f) tylna oś w 3/4 przęsła Wynii badań statycznych i dynamicznych Dla obu badanych obietów mostowych wyonano podczas badań polowych pomiar odształcenia przęsła dla 9 przejazdów ontrolnych 3x4m/h, 3x6m/h, 3x8m/h) oraz dla ustawienia pojazdu na pasie awaryjnym. Na rys. 6 przedstawiono wynii z pomiaru statycznego, a na rys. 7 z pomiarów dynamicznych dla badanych obietów. a) b) Rys. 6. Wynii pomiaru statycznego dla obietu w miejscowości Bodzanów a) i Libertów b) Fig. 6. Results of static load test in Bodzanów a) and Libertów b) 4.. Analiza wyniów dla obietu w miejscowości Bodzanów Na rys. 8 przedstawiono dane z analizy numerycznej orespondujące z pomiarem statycznym, a na rys. 9 dane orespondujące z pomiarem dynamicznym dla modelu obietu w miejscowości Bodzanów. Porównując ze sobą pomiar statyczny i odpowiadające mu symulacje numeryczne można zauważyć, iż z badań otrzymano odształcenie przęsła mostowego o wartości 7,6 µε, a z modelu MES 9, µε. Analogiczne porównanie pomiaru dynamicznego z rozwiązaniem numerycznym wsazuje, iż wynii z badań, tj. masymalne odształcenie onstrucji obietu o wartości 11, µε dla prędości 4m/h, nie przeracza masymalnego odształcenia dla schematu e) tj. 13,3 µε.

204 4 M. Teieli, Ł. Michalsi a) b) Rys. 7. Wynii pomiaru dynamicznego dla obietu w miejscowości Bodzanów a) i Libertów b) Fig. 7. Results of dynamic load tests in Bodzanów a) and Libertów b) 4.3. Analiza wyniów dla obietu w miejscowości Libertów Na rys. 1 przedstawiono dane z analizy numerycznej orespondujące z pomiarem statycznym, a na rys. 11 dane orespondujące z pomiarem dynamicznym dla modelu obietu w miejscowości Libertów. W tym przypadu, porównując ze sobą pomiar statyczny i odpowiadające mu symulacje numeryczne można zauważyć, iż z badań otrzymano odształcenie przęsła mostowego o wartości 33,5 µε, a z modelu MES 9,5 µε schemat c)) i 9,8 µε schemat d)) co stanowi ponad trzyrotną różnicę. Analogiczne

205 Badania dynamiczne obietów mostowych 5 Odształcenia ε x ,1, Schemat c) Schemat d) Rys. 8. Wynii ze statycznej analizy numerycznej, rozład odształceń dla osi B1 w środu rozpiętości przęsła dla obietu w miejscowości Bodzanów Fig. 8. Results of static numerical analysis, the strain distribution for the B1 axle in center of the bridge span in Bodzanów Odształcenia ε x ,1, Schemat a) Schemat b) Schemat c) Schemat d) Schemat e) Schemat f) Rys. 9. Wynii z dynamicznej analizy numerycznej, rozład odształceń dla osi A1 w środu rozpiętości przęsła dla obietu w miejscowości Bodzanów Fig. 9. Results of dynamic numerical analysis, the strain distribution for the A1 axle in center of the bridge span in Bodzanów porównanie pomiaru dynamicznego z rozwiązaniem numerycznym wsazuje, iż wynii z badań, tj. masymalne odształcenie onstrucji obietu o wartości 15,5 µε dla prędości 8m/h przeracza ponad czterorotnie odształcenie dla schematu e) tj. 8,5 µε.

206 6 M. Teieli, Ł. Michalsi Odształcenia ε x,1, Schemat c) Schemat d) Rys. 1. Wynii ze statycznej analizy numerycznej, rozład odształceń dla osi B1 w środu rozpiętości przęsła dla obietu w miejscowości Libertów Fig. 1. Results of static numerical analysis, the strain distribution for the B1 axle in center of the bridge span in Libertów Odształcenia ε x ,,4 Rys. 11. Wynii z dynamicznej analizy numerycznej, rozład odształceń dla osi A1 w środu rozpiętości przęsła dla obietu w miejscowości Libertów Fig. 11. Results of dynamic numerical analysis, the strain distribution for the A1 axle in the center of the bridge span in Libertów 5. Podsumowanie i wniosi Schemat a) Schemat b) Schemat c) Schemat d) Schemat e) Schemat f) W artyule opisano i przeanalizowano procedurę obciążeń testowych statycznych i dynamicznych) dla dwóch obietów mostowych, tóre przed oddaniem ich do esploatacji nie zostały poddane obciążeniom próbnym. Wynii uzysane podczas badań polowych porównano z wyniami analizy numerycznych odpowiednich modeli obu onstrucji. Dla obietu mostowego w miejscowości Bodzanów wynii z badań polowych w zadawalającym stopniu zgadzają się z danymi z symulacji numerycznych. Atestowane prefabryowane dźwigary mostowe typu Kujan posiadają od-

207 Badania dynamiczne obietów mostowych 7 powiedni moduł sprężystości i są wyonane zgodnie ze sztuą inżyniersą. Dla drugiego obietu wynii z badań polowych w znacznym stopniu odbiegają od danych z symulacji numerycznych. Dla pomiaru statycznego różnica jest ponad trzyrotna, a dla pomiaru dynamicznego ponad czterorotna na nieorzyść badań). Prawdopodobna przyczyna tych różnic może twić w jaości zastosowanych materiałów betonu i/lub stali. Moduł sprężystości zastosowanego betonu jest wyraźnie niższy od projetowanego. Mniejsza może być również ilość stali użytej do zbrojenia elementów obietu w stosunu do ilości założonej przez projetanta. Ponadto należy zauważyć, iż analizowany obiet jest stosunowo nowy 3 r.). W zaistniałej sytuacji, przyczyn zaobserwowanego zachowania się obietu nie należy rozpatrywać w onteście zjawis reologicznych. Warto też zauważyć, że dla obietu płytowego występuje znaczny wpływ efetów dynamicznych w porównaniu do obietu belowego sprężonego. Przedmiotowe obiety są onstrucjami mostowymi, tóre nie podlegają próbnym badaniom obciążeniowym. Instalacja nawet szczątowego systemu SHM, może pomóc w wyrugowaniu z rynu nierzetelnych i nieuczciwych wyonawców. Monitoring tego typu onstrucji chociażby w podstawowym zaresie pozwala też lepiej zrozumieć wpływ efetów dynamicznych, przez co może dostarczyć istotnych informacji do normatywów projetowych. W obecnej normie mostowej wartość współczynnia dynamicznego nie przeracza 1,35 [4, 5]. Ja poazała analiza przedstawiona w niniejszym artyule, w nietórych przypadach nie oresponduje z rzeczywistą pracą obietu mostowego. Literatura [1] Wenzel H.: Health Monitoring for Bridges, Vienna, Austria, Wiley, 9. [] Boller C., Chang FK., Fujino Y.: Encyclopedia of Structural Health Monitoring, Wiley, 9. [3] Rozporządzenia Ministra Transportu i Gospodari Morsiej z dnia 3 maja r. w sprawie warunów technicznych, jaim powinny odpowiadać drogowe obiety inżyniersie i ich usytuowanie. Dz. U. z dnia 3 sierpnia r.). [4] PN-85/S-13 Obiety mostowe. Obciążenia. [5] PN S 14:1999 Obiety mostowe. Konstrucje betonowe żelbetowe i sprężone. Wymagania i badania. [6] Projet Wyonawczy. Przebudowa przepustu w m w ciągu drogi rajowej nr 7 Gdańs Chyżne w miejscowości Libertów. Biuro Projetowo- Badawcze Promost, Wrocław, 3. [7] Projet Wyonawczy. Przebudowa wiadutu m drogi rajowej nr 4 wraz budo-wą dróg dojazdowych i murów oporowych w rejonie obietu. Transprojet Kraów Sp. z o. o., Kraów, 4.

208 8 M. Teieli, Ł. Michalsi DYNAMIC LOAD TESTS OF SHORT BRIDGE STRUCTURES AS A PART OF STRUCTURAL HEALTH MONITORING SYSTEM S u m m a r y In Poland, in accordance with the law, it is not necessary to mae load test for short bridge structures if the span length is less than meters). The analysis was based on a comparison of the results of static and dynamic tests for the two short bridge structures. The results obtained during the field trials was also compared with the results obtained from numerical models of both structures. Significant differences between these two type of results for one of the tested structure were identified. Possible causes of mentioned discrepancies were presented and the use of dynamic tests as an element of a system for bridge structure health monitoring was proposed. Keywords: dynamics of structures, bridge structures, simulation, load test, structural health monitoring SHM), structural failures detection DOI:1.786/rb Przesłano do redacji: r. Przyjęto do druu: r.

209 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 /14), wiecień-czerwiec 14, s. 9- Stanisław WOLNY 1 Sławomir BADURA OCENA WPŁYWU OBCIĄŻEŃ EKSPLOATACYJNYCH NA STAN NAPRĘŻENIA W ELEMENTACH NOŚNYCH KONSTRUKCJI BASZTOWEJ WIEŻY SZYBOWEJ W ŚWIETLE PRZEPROWADZONYCH EKSPERYMENTÓW Wyorzystanie do analizy wytrzymałościowej onstrucji wieży szybowej metody stanów granicznych wymagało oreślenie wielości obliczeniowych ta obciążeń ja i wytrzymałości. Do oreślenia obliczeniowych wartości obciążenia, niezbędnym było wyznaczenie charaterystycznych wartości obciążeń elementów onstrucyjnych wieży szybowej [1, 3, 4]. W celu potwierdzenia poprawności przeprowadzonych w tym zaresie obliczeń w oparciu o uzysane rezultaty przeprowadzono numeryczną analizę naprężeń i odształceń. Wynii tych analiz zostały zweryfiowane pomiarami naprężeń odształceń) w najbardziej wytężonych obszarach onstrucji, wytypowanych na podstawie mapy naprężeń stanowiącej wyni analizy numerycznej, co stanowi treść opracowania. Tensometryczne pomiary stanu odształcenia naprężenia) wyonano na belach ondygnacji poziomu +65, m), na tórych posadowione są maszyny wyciągowe łożysa wału napędowego, mocowania stojanów silniów eletrycznych) co schematycznie poazano na rys.. Przeprowadzono ponadto analizę wytrzymałościową numeryczną), tórą ograniczono do obszarów elementów nośnych ondygnacji poziom +65,) wieży szybowej, w tórej mierzono odształcenia naprężenia) oraz obciążeń, tóre wywołały masymalne wartości zmienionych wartości naprężeń [4]. Wynii dodatowo wyonanej numerycznej) analizy stanu naprężenia, ograniczonej do obszarów elementów nośnych onstrucji basztowej wieży szybowej, w tórych stwierdzono masymalne wytężenie materiału onstrucji [4], w całej rozciągłości orespondują z wyniami esperymentu przeprowadzonego na obiecie rzeczywistym. Oznacza to, że wyonane numeryczne) analizy stanu odształcenia i naprężenia w elementach nośnych onstrucji basztowych wież szybowych atualnie esploatowanych w polsim górnictwie upoważniają do przyjęcia generalnego założenia, że w ramach analizy geometrii uładu napędowego maszyn wyciągowych, onstrucje na tórych posadowione są elementy tego uładu można tratować ja- 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Stanisław Wolny, AGH University of Science and Technology, Faculty of Mechanical Engineering and Robotics, Al. Miciewicza 3, 3-59 Kraów, Poland, stwolny@agh.edu.pl Sławomir Badura, AGH University of Science and Technology, Faculty of Mechanical Engineering and Robotics, Al. Miciewicza 3, 3-59 Kraów, Poland, sbadura@agh.edu.pl

210 1 S. Wolny, S. Badura o sztywne. Wniose ten dodatowo potwierdzają wynii geodezyjnych pomiarów przemieszczeń wybranych puntów onstrucji nośnej basztowej wieży szybowej. Wynii te co jest pewnego rodzaju cieawostą wsazują, że onstrucja basztowej wieży szybowej, powyżej pierwszej ondygnacji, zachowuje się ja bryła sztywna. Słowa luczowe: wieża szybowa, stan naprężenia, obciążenia, pomiary tensometryczne 1. Wstęp Wyorzystanie do analizy wytrzymałościowej onstrucji wieży szybowej metody stanów granicznych, wymagało oreślenia wielości obliczeniowych ta obciążeń ja i wytrzymałości. W tym celu niezbędnym było wyznaczenie charaterystycznych wartości obciążeń elementów onstrucyjnych wieży szybowej [1, 3, 4] a ponadto przeprowadzenia analiz numerycznych w zaresie naprężeń i odształceń. Wynii tych analiz zostały zweryfiowane pomiarami naprężeń odształceń) w najbardziej wytężonych obszarach onstrucji, wytypowanych na podstawie mapy naprężeń stanowiącej wyni analizy numerycznej, co stanowi treść opracowania. Wynii analiz numerycznych w zaresie przemieszczeń, zostały zweryfiowane pomiarami poziomych przemieszczeń wybranych puntów onstrucji wieży szybowej, podczas normalnego cylu esploatacji. Wyonano również powtórną numeryczną) analizę stanu naprężenia ograniczoną do obszarów elementów nośnych onstrucji wieży szybowej, w tórych mierzono naprężenia odształcenia). Wynii przeprowadzonych analiz, pozwoliły na sformułowanie wniosów, dotyczących zachowania się elementów nośnych onstrucji basztowej wieży szybowej, podczas normalnej esploatacji wyciągu.. Pomiar naprężeń w elementach nośnych onstrucji wieży szybowej Uzysane rezultaty analizy wytrzymałościowej stan naprężenia) [4] w elementach nośnych onstrucji wieży szybowej rys. 1) zostały zweryfiowane pomiarami naprężeń odształceń) w najbardziej wytężonych obszarach onstrucji. Odształcenia naprężenia) mierzono w puntach elementów nośnych onstrucji wieży w tórych, bazując na wyniach numerycznej analizy wytrzymałościowej, stwierdzono masymalne wytężenie materiału onstrucji [4]. Tensometryczne pomiary stanu odształcenia, wyonano na belach ondygnacji poziom +65,mm) na tórych posadowione są maszyny wyciągowe łożysa

211 Ocena wpływu obciążeń esploatacyjnych 11 wału pędnego, mocowania stojanów silniów eletrycznych) co schematycznie poazano na rys.. Rys. 1. Schemat onstrucyjny wieży szybowej. Fig. 1. Diagram of construction the tower shaft Odształcenia mierzono na sześciu belach, a schemat rozmieszczenia czujniów tensometrycznych poazano na rys. 3. Beli tej ondygnacji to blachownice o przerojach dwuteowych. Na ażdej belce nalejono po dwa tensometry, jeden do pasa dolnego a drugi do środnia. Na belach nr 3 i nr 5 na tórych posadowiony jest stojan silnia napędowego maszyny południowej rys. 3), nalejone zostały tensometry T3_1 pas dolny beli nr 3), T3_ środni beli oraz T5_1 pas dolny beli nr 5), T5_ środni beli. Na belę nr 1 i nr 6 na tórych posadowiony jest stojan silnia napędowego maszyny północnej rys. 3) nalejone zostały tensometry T1_1 pas dolny beli nr 1), T1_ środni beli) oraz T6_1 pas dolny beli nr 6), T6_ środni beli. Na rysunu 4 przyładowo poazano czujni tensometryczny T1_1 nalejony na pas dolny beli nr 1.

212 1 S. Wolny, S. Badura bela nr 6 bela nr 4 bela nr 1 bela nr bela nr 3 bela nr 5 Rys.. Schemat bele ondygnacji poziom +65, m) Fig. Diagram of the floor beams level +65, m) Rys. 3. Schemat rozmieszczenia czujniów tensometrycznych podczas prowadzonych badań. Fig. 3. Strain gauge attachment points during the research Ponadto na belce nr rozdzielającej przedziały szybu rys. 3), nalejono tensometry T_1 pas dolny beli) oraz T_ środni beli). Na belce nr 4 prostopadłej do bele nr 1, nr, nr 3, nr 5, nr 6 na tórej posadowione są orpusy