Przybliżanie rozwiązań chemicznego równania głównego poprzez
|
|
- Kazimiera Wilczyńska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przybliżanie rozwiązań chemicznego równania głównego poprzez domykanie momentów. Uniwersytet Warszawski Studenckie Koło Fizyki Kraków, 16 maj 2010
2 Będzie mowa o tzw. metodzie domykania momentów, która umożliwia przybliżone numeryczne wyznaczanie ewolucji momentów (np. wartości oczekiwanych) zmiennych losowych oznaczających liczbę cząstek w układzie chemicznym opisywanym tzw. chemicznym równaniem głównym - CRG (ang. chemical master equation). Polskie Towarzystwo Fizyczne odradza używania nazw równanie master lub równanie mistrza. Różne warianty tej metody zostały zaproponowane w pracach: 1 Moment-closure approximations for mass-action models, C.S. Gillespie, IET Systems Biology 2 A moment closure method for stochastic reaction networks, Lee C. H. et al., The Journal of Chemical Physics
3 Plan prezentacji: 1 Motywacje biochemiczne 2 Model matematyczny 3 Sposoby domykania i ich własności 4 Eksperymenty numeryczne 5 Plany i przemyślenia
4 Dlaczego modelowanie deterministyczne nie wystarczy? Modelowanie dobrze wymieszanych reagujących układów przy użyciu równań różniczkowych (z prawa działania mas) jest zazwyczaj skuteczne, ale zawodzi np. w następujących przypadkach: gdy są zaangażowane małe liczby czastek np. w szlakach sygnałowych układy o wielu punktach równowagi efekty czysto stochastyczne, np. sygnały wzmacniane szumem. (Więcej na ten temat w: Arkin A. et al, Control, exploitation and tolerance of intracellular noise, Nature 2002) (na podstawie: Pahle J., Biochemical simulations: stochastic, approximate stochastic and hybrid approaches, Briefings in bioinformatics 2008)
5 Czy chemiczne równanie główne jest fizyczne?... chemical master equation is exact for any gas-phase chemical system that is kept well stirred and thermally equilibrated D. T. Gillespie, A rigorous derivation of the chemical master equation, Physica A 1992 We suggest that the importance of the CME to small biochemical reaction systems is on a par with the Boltzmann equation for gases and the Navier Stokes equation for fluids. CHEMICAL BIOPHYSICS, Quantitative Analysis of Cellular Systems, Beard D., Qian H. 2008
6 Oznaczenia Eksperymenty Numeryczne W dalszym ciągu dla wektorów l = (l i ) N i=1, k = (k i) N i=1 NN będziemy oznaczać: l = l 1 + l l N l! = l 1!l 2!...l N! l k = N i=1 l k i i l k i l i k i. ( ) l = k l < k l k i l i < k i l! k!(l k)! dla l k 0, 0 w przeciwnym przypadku
7 Motywacje chemiczne Rozważmy układ chemiczny złożony z N substancji chemicznych {X 1,...X N }. Stan układu jest wyznaczony przez wektor x = (x 1,...x N ), gdzie x i - liczba cząsteczek i-tej substancji w układzie. Może zachodzić L reakcji chemicznych {R 1,...R L }. Reakcję chemiczną R l, zapisujemy symbolicznie: s l1 X s ln X N s l1 X s ln X N Oznaczmy s l = (s li ) N i=1, s l = (s li ) N i=1 - wektory liczb odpowiednio substratów i produktów. Zdefinujmy dodatkowo wektor przejścia odpowiadający reakcji l: s l = s l s l Zajście reakcji R L powoduje przejście układu ze stanu x do x + s l.
8 Formuły kinetyczne Każda reakcja posiada formułę kinetyczną, o której zakładamy, że ma postać wielomianową: a l (x) = a l,j x j j 0 Przy czym a l (x) 0 dla x 0. Intuicyjnie formuły kinetyczne mówią jak szybko zachodzi reakcja nr. l w stanie x, ich precyzyjne znaczenie w przyjętym modelu omówimy dalej. Przez stopień wielomianu a l (x) będziemy rozumieli max i:al,i 0{ i } Często przyjmuje się formuły kinetyczne postaci pewna stała stała razy liczba możliwych kombinacji substratów: ) a l (x) = k l N ( xi W zastosowaniach zazwyczaj mamy do czynienia z reakcjami o co najwyżej dwóch substratach dla których powyższa formuła jest wielomianem stopnia co najwyżej 2 (co dalej zakładamy). i=1 s l,i
9 Rachunek prawdopodobieństwa i procesy stochastyczne Doświadczenie losowe modelujemy przy użyciu przestrzeni probabilistycznej, czyli trójki (Ω, F, P), gdzie Ω - zbiór możliwych zdarzeń elementarnych np. dla rzutu kostką Ω = {ω 1, ω 2,... ω 6 }. F - rodzina podzbiorów Ω nazywanych też zdarzeniami np. zdarzenie że wypadło nieparzyście wiele oczek: A = {ω 1, ω 3, ω 5 } F P - funkcja na zdarzeniach, przypisująca im prawdopodobieństwa, Np. dla A jak powyżej P(A) = 1 2 Zmienna losowa - funkcja ze zbioru zdarzeń elementarnych w R Np. zmienna t. że X (ω i ) = i przypisuje zdarzeniu, że wypadło i oczek liczbę oczek. Proces stochastyczny (X t ) t 0 - rodzina zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, parametryzowana czasem. Trajektoria procesu stochastycznego odpowiadająca zdarzeniu elementarnemu ω to funkkcja: f (t) = X t (ω)
10 Model matematyczny Zakładamy, że stan układu chemicznego w każdej chwili czasu t opisuje proces stochastyczny o prawostronnie ciągłych trajektoriach (X t ) t 0 o wartosciach w N N
11 Zakładamy, że dla czasów t 1 < t 2 <... < t k i stanów j 1, j 2,......j k zachodzi: P(X tk = j k X tk 1 = j k 1,... X t1 = j 1 ) = P(X tk = j k X tk 1 = j k 1 ) Definicja Dla funkcji f : [0, T ] R będziemy pisali f (h) = o(h) jeśli f (h) lim 0 h 0 h Zakładamy, że dla stanów i, j, i j zachodzi: { al (x)h + o(h) jeśli l : j = i + s l, P(X t+h = j X t = i) = 0 w przeciwnym przypadku Ponadto P(X t+h = j X t = j) = 1 L a l (j)h + o(h) l=1
12 Oznaczmy p i,j (t) = P(X t = j X 0 = i) Zachodzi: p ij (t + h) = p ij (t) ( 1 L a l (j)h ) + l=1 L p i,(j sl )a l (j)[j s l 0]h + o(h) Przerzucamy p ij (t) na lewą stronę, dzielimy przez h i przechodzimy do granicy h 0. Na koniec przemnażamy przez prawdopodobieństwo stanu początkowego i sumujemy po stanach początkowych otrzymując chemiczne równanie główne (oznaczamy p(j)(t) = P(X t = j)): l=1 dp(j)(t) dt L ( = p(j sl )(t)a l (j s l )[j s l 0] p(j)(t)a l (j) ) l=1
13 Algorytm Gillespiego W przypadku nieskończonej liczby stanów bezpośrednie rozwiązywnie CRG jest niemożliwe. Można za to łatwo zasymulować losową trajektorię procesu. Służy do tego algorytm Gillespiego. Daniel T. Gillespie (1977). Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions. The Journal of Physical Chemistry Pomijając matematyczne szczegóły działa on następujaco: 1 Zainicjalizuj liczbę molekuł w systemie, stałe reakcji, generatory liczb losowych itd. 2 Oblicz formuły kinetyczne oraz reakcję która zaszła i czas oczekiwania na nią. 3 Zaktualizuj czas i liczbę cząstek zgodnie ze współczynnikami stechiometrycznymi wylosowanej reakcji. 4 Wróć do kroku drugiego, chyba że liczba cząstek wynosi zero lub skończył się czas symulacji.
14 Inne metody symulacji Stosuje się też bardziej wydajne przybliżone metody stochastyczne, np.: tau-leaping, stochastyczne równania rózniczkowe, metody hybrydowe. Oprócz efektów stochastycznych można też uwzględniać efekty przesrzenne, korzysta się tu m. in. z równań różniczkowych cząstkowych, dynamiki brownowskiej, przestrzennego algorytmu Gillespie go. W dalszej części prezentacji omówię metodę domykania momentów, względnie tanią, oparta na liczeniu równań różniczkowych zwyczajnych metodę pozwalającą obliczać przybliżone momenty rozkładu prawdopodobieństwa liczb cząstek.
15 Momenty i funkcje tworzące Dla i N N i-tym momentem wektora losowego X(t) nazywamy: µ i (t) = E[X (t) i ] = p(x)(t)x i x 0 Rzędem i-tego momentu nazywamy liczbę i. Niech θ = (θ 1, θ 2,..., θ N ). Funkcją tworzącą momenty X(t) definiujemy następujaco: M(θ)(t) = p(x)(t)e xθ = (xθ) k p(x)(t) k! x 0 x 0 k=0 Przy założeniu że funkcja tworząca momenty istnieje można pokazać, że zachodzi: dµ n (t) dt L = a l,i l=1 i 0 n k>0 ( ) n s k l µ n k+i (t) (1) k
16 Domykanie momentów Dalej rozważamy tylko równania na momenty rzędu co najwyżej n. ( dµn (t) = dt L a l,i l=1 i 0 n k>0 ( ) ) n s k l µ n k+i (t) k n n Jeśli pewna formuła kinetyczna ma rząd większy niż 1, to po prawej stronie powyższego układu mogą wystąpić momenty rzędu wyższego niż n. Rozważyłem 3 sposoby pozbywania się ich. (2)
17 Odrzucanie momentów, odrzucanie momentów centralnych Odrzucanie momentów: Odrzucany momenty rzędu większego niż n. Ta metoda ma taką przewagę nad konkurentami, że jako jedyna prowadzi do liniowych wyrażeń, które można rozwiązać analitycznie. Odrzucanie momentów centralnych: Zaproponowane w pracy C. H. Lee et. al. n-tym momentem centralnym nazywamy: E(X µ) n, gdzie µ - wektor wartości oczekiwanych liczb cząstek. Warunek zerowania się n-tego momentu centralnego realizujemy zastępując n-ty moment wyrażeniem: µ n = ( ) n ( µ) k µ n k k 0<k n
18 Domykanie kumulant: Zaproponowane przez C. H Gillespie go. F-cją tworzącą kumulanty nazywamy: ln(m(θ)), gdzie M(θ) - funkcja tworząca momenty. n-te kumulanty (ξ n ) są to odpowiednie współczynniki rozwinięcia powyższej funkcji w wielowymiarowy szereg Taylora. ln(m(θ)) = k 0 ξ k θ k k! Oznaczmy κ k = G (k) (0) = k! k! ξ k. Kumulant rzędu wyższego niż n pozbywamy się korzystając ze wzoru rekurencyjnego: µ k = κ k + ( ) k ei µ i κ k i i k e i i 0
19 Błąd lokalny metody Oznaczmy wektor momentów rzędu co najwyżej n: M n (t) = (µ l (t)) l n Wektor pewnych ustalonych momentów uogólnionych rzędu n oznaczamy: C n (t) = (ν l (t)) l =n gdzie ν l to odpowiednio l-te kumulanty, momenty, lub momenty centralne. Dla x R N oznaczmy: Definiujemy: x = max i {1,...N} x i. e k (h) = sup t [0,h] M k (t) M k (t), gdzie M k (t), k n - wektor przybliżeń momentów otrzymanych po odrzuceniu momentów uogólnionych rzędu n+1.
20 Definicja Dla funkcji f : [0, T ] R będziemy pisali f (h) = O(h N ) jeśli K > 0, s T h s f (h) Kh N (3) Twierdzenie Przy ustalonym n funkcje (e k (h)) k 1,...n spełniają e k (h) = O(h n k+1 ) (4) Jeśli dodatkowo C n+1 (0) = 0, to e k (h) = O(h n k+2 ) (5) Niestety marna z tego korzyść.
21 Technologia Eksperymenty Numeryczne Do domykania momentów i wypisywania skryptu z równaniami różniczkowymi rozbudowałem program C. Gillespiego z pakietu Pysbml, napisanego w pythonie. Program pobiera reakcje chemiczne w formacie SBML (Systems Biology Markup Language). Dostarcza skrypty dla programu Mathematica.
22 Reakcja dimeryzacji Układ chemiczny: P, P2. Zachodzą reakcje: R1 : 2P P 2 R2 : P 2 2P Oznaczmy #P = x 1, #P 2 = x 2. Współczyniki intensywności są postaci: a 1 (x) = k 1(x 2 1 ) 2 a 2 (x) = k 2 x 2 Jak w pracy C. Gillespiego przyjmujemy stałe reakcji: k 1 = 1, k 2 = 0.1 oraz dane początkowe: x 1 (0) = 301, x 2 (0) = 0.
23 Μ P P t Rysunek: Wartości oczekiwane liczb cząstek w reakcji dimeryzacji.
24 M2 P P t Rysunek: Wariancje liczb cząstek w reakcji dimeryzacji.
25 Log Error Μ N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N t Rysunek: Log 10 ( Ex 1 (t) z odrzucenia momentów rzędu wyższego niż N - wartość dokładna ).
26 N 1 Log Error Μ N 2 N t N 4 N 5 N 6 N Rysunek: Log 10 ( Ex 1 (t) z odrzucenia kumulant rzedu większego niż N - wartość dokładna ).
27 N 1 Log Error Μ t N 2 N 3 N 4 5 N 5 N 6 10 N Rysunek: Log 10 ( Ex 1 (t) z odrzucenia momentów centralnych rzędu wiekszego niż N - wartość dokładna ).
28 Odwracalna reakcja dwucząsteczkowa Układ chemiczny składa się z trzech substancji: S1,S2 i S3. Zachodzą reakcje: R1 : S 1 + S 2 S 3 R2 : S 3 S 1 + S 2 Oznczamy x i = #S i Współczynniki intensywności są postaci: a 1 (x) = k 1 x 1 x 2, a 2 (x) = k 2 x 3 Jak w pracy C. Gillespiego przyjmujemy stałe reakcji: k 1 = 1, k 2 = 0.1 oraz dane początkowe: x 1 (0) = 20, x 2 (0) = 10, x 3 (0) = 0.
29 Μ S1 20 S2 15 S t Rysunek: Wartości oczekiwane liczb cząstek w odwracalnej reakcji dwucząsteczkowej.
30 M2 S1 2.0 S2 1.5 S t Rysunek: Wariancje liczb cząstek w odwracalnej reakcji dwucząsteczkowej.
31 N 1 Log Error Μ N 2 20 N 3 N 4 15 N 5 10 N 6 N t 5 10 Rysunek: Log 10 ( Ex 1 (t) z odrzucenia momentów rzędu większego niż N - wartość dokładna ).
32 N 1 Log Error Μ N N N 4 N 5 80 N 6 60 N t 20 Rysunek: Log 10 ( Ex 1 (t) z odrzucenia kumulant rzędu większego niż N - wartość dokładna ).
33 N 1 Log Error Μ N 2 N 3 5 N 4 N 5 10 N 6 15 N t Rysunek: Log 10 ( Ex 1 (t)z odrzucenia momentów centralnych rzędu większego niż N - wartość dokładna ).
34 Plany i przemyślenia Metoda domykania przez odrzucenie momentów centralnych sprawuje się przyzwoicie na podanych przykładach, potrzeba testów na reakcjach okresowych i prowadzących do rozkładów bimodalnych. Brak podstaw teoretycznych metody - czy można podać kryteria stosowalności? Planuję wykorzystać otrzymane momenty m. in. do przybliżania rozkładów prawdopodobieństwa liczb cząstek.
35
36 Koniec Eksperymenty Numeryczne Dziękuję za uwagę. Prezentację będzie można pobrać ze strony koła naukowego studentów fizyki: skfiz.fuw.edu.pl
Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoDruga zasada termodynamiki a modelowanie sieci.
13 października 2009 O czym będzie mowa? Eksperyment biologiczny eksperyment biologiczny: mikromacierze modelowanie sieci interakcji: II zasada termodynamiki cel: weryfikacja metody metoda symulowania
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowo1 Kinetyka reakcji chemicznych
Podstawy obliczeń chemicznych 1 1 Kinetyka reakcji chemicznych Szybkość reakcji chemicznej definiuje się jako ubytek stężenia substratu lub wzrost stężenia produktu w jednostce czasu. ν = c [ ] 2 c 1 mol
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoZakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoStochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów
Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoA B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t
B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 13-14 można się umówić wysyłając e-maila 1
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoModelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu
Modelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki 23 października 2008 roku Plan prezentacji 1 Źródła 2 Motywy i ich znaczenie Łańcuchy
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14-15.50 można się umówić wysyłając e-maila
Bardziej szczegółowoXI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O górnym ograniczeniu zysku ze strategii handlowej opartej na kointegracji XI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych Zależność kointegracyjna
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoChaotyczne generatory liczb pseudolosowych
Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński michalkrzeminski@wp.pl Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych -
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób
Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowo