rekurencja Przyk³ady algorytmów Józef Jerzy Danek

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "rekurencja Przyk³ady algorytmów Józef Jerzy Danek"

Transkrypt

1 rekurencja Przyk³ady algorytmów Józef Jerzy Danek Wydawnictwo Szkolne OMEGA Kraków 2011

2 Copyright 2011 by Wydawnictwo Szkolne OMEGA Wydawnictwo Szkolne OMEGA, Kraków, ul. Wielicka 44 C tel , ; tel./fax Druk: Zak³ad Graficzny COLONEL SA, Kraków, ul. D¹browskiego 16

3 5 Spis treœci O czym jest ta ksi¹ ka 4 Notacja matematyczna 7 Propozycje zmian: 10 Tekst matematyczny 14 Dlaczego matematyka jest trudna? 18 Zastosowanie iteracji w rozwi¹zywaniu równañ 23 Modu³ iteracje.mth 23 Program wykres 24 Program równanie 34 Punkt startu i wzór metody 38 Program skoczek 38 Równania diofantyczne 41 Program pell 42 Program elipt 44 Program fermat3 45 Modu³ diofant.mth 47 Modu³ solvexy.mth 49 Modu³ euler4x.mth 53 Weryfikacja hipotez. Równania rekurencyjne i funkcyjne 55 Modu³ hipoteza1.wxm 55 Modu³ hipoteza2.mth 57 Modu³ fibonacci.mth 58 Modu³ ruletka.mth 59 Matematyka w Internecie 63 Uogólnienia 73 Program kontekst 88 Zakoñczenie 92 Dodatek A 112 Program wykres Dodatek B 117 Program algebra dzia³ania na du ych liczbach ca³kowitych 117 Dodatek C 129 Makra dla OpenOffice 129

4 6

5 Rekurencja 7 Szanowny Czytelniku! Chcê uprzedziæ Ciê o kilku rzeczach. Ta ksi¹ eczka jest przeznaczona dla tych, którzy posiadaj¹ pewien poziom wykszta³cenia matematycznego. Piszê o tym, poniewa zdarza³o mi siê czytaæ ksi¹ ki matematyczne, które na pierwszej stronie zawiera³y tekst dostêpny dla uczniów pierwszych klas szko³y œredniej, a na dziesi¹tej ju wymaga³y wiedzy dostêpnej dla studentów ostatnich lat wydzia³ów matematycznych szkó³ wy szych. Wiedza matematyczna potrzebna przy czytaniu tej ksi¹ ki, to mniej lub wiêcej, zakres szko³y œredniej o profilu ogólnym. Jeœli mia³eœ ju w rêkach jak¹œ ksi¹ kê matematyczn¹, to stwierdzisz, e zawartoœæ tego dzie³ka zasadniczo ró ni siê od niej pod wzglêdem formy. Czy forma, któr¹ prezentuje ta ksi¹ ka jest udana, trudno mi jako autorowi, os¹dzaæ. Ró na i to zasadniczo od ksi¹ ek matematycznych, które czyta³eœ, jest jej treœæ. Zapewne czytaj¹c w szkole podrêcznik do matematyki, zadawa³eœ sobie czêsto, podobnie jak ja, pytania: Do czego to jest potrzebne? Czy to musi byæ takie skomplikowane? Ja niestety zwykle nie znajdowa³em odpowiedzi na adne z tych pytañ. Mottem tej ksi¹ ki mog³aby byæ sentencja Marka Aureliusza Najwa niejsza jest prostota.. WyobraŸ sobie, e ktoœ oznajmia Ci, e oprócz matematyki, której uczy³eœ siê w szkole, jest jeszcze inna, ca³kowicie od niej ró na. Inne s¹ tak e w tej matematyce metody i wzory, od tych, które ju znasz. Nawet wzór na pierwiastek równania kwadratowego jest ca³kowicie inny (chocia troszkê podobny) od dobrze Ci znanego wzoru Viete a. W tej matematyce tak samo rozwi¹zuje siê równania wielomianowe i diofantyczne, uk³ady równañ itd. Granice ci¹gów s¹ definiowane bez u ycia kwantyfikatorów, a same kwantyfikatory s¹ zdefiniowane jako funkcje logiczne. Myœlê, e uzna³byœ tego, kto twierdzi takie rzeczy, za szaleñca. Jeœli chcesz sprawdziæ, czy tym szaleñcem nie jest autor tej ksi¹ ki bo w³aœnie tak¹ matematykê ona zawiera, bêdziesz musia³ j¹ przeczytaæ. Byæ mo e jest odrobina szaleñstwa w tej ksi¹ ce. Na pewno jest ona odpowiedzi¹ na drêcz¹ce mnie fobie, na brak wiary w siebie, na stale powtarzaj¹ce siê prymitywne b³êdy w rozumowaniu, na walkê z matematycznymi wiatrakami. Napisanie tej ksi¹ ki pozwoli³o mi na zrozumienie samego siebie. Nie mogê napisaæ, e akceptujê swoje wady, ale po wykryciu kolejny raz koszmarnego b³êdu w moim rozumowaniu, ju nie zadajê sobie pytania: Jak mo na by³o zrobiæ coœ tak idiotycznego?. Có Ten typ to ja tak ma. Jest angielskie powiedzenie Ka dy ma jakiœ szkielet w szafie. Ten szkielet to wstydliwa tajemnica ukrywana przed wszystkimi. Ta ksi¹ ka jest w³aœnie takim szkieletem, a jej publikacja oznacza rozliczenie siê z moimi upiorami.

6 8 Rekurencja Chcia³em napisaæ ksi¹ kê, która w przystêpny sposób wyjaœnia³aby niektóre podstawowe pojêcia matematyczne (czasami nie ca³kiem podstawowe), upraszcza³aby symbolikê i pozwala³a na rozwi¹zanie niezbyt skomplikowanych zadañ (czasami przy u yciu komputera z odpowiednim programem). Problem matematyczny powinien czemuœ s³u yæ mo e to byæ tak e rozrywka, refleksja estetyczna lub filozoficzna. Programy zamieszczone w tej ksi¹ ce nie maj¹ celu praktycznego. Mo e natomiast ogarn¹æ Ciê chwila filozoficznej zadumy po uruchomieniu któregoœ programu lub modu³u, których kody Ÿród³owe znajduj¹ siê w tej ksi¹ ce. Mo e uœmiechniesz siê, ogl¹daj¹c obraz stworzony przez program do rysowania wykresów. Jeœli tak, to uznam, e moja ksi¹ ka spe³ni³a swój cel. Ksi¹ ki matematyczne zawieraj¹ aksjomaty, definicje i twierdzenia. Ta ksi¹ ka jest w zasadzie pozbawiona takich pojêæ. Inny jest tak e uk³ad treœci nie ma przechodzenia od rzeczy najprostszych i najmniej ogólnych do najbardziej skomplikowanych i najogólniejszych. Nie mia³oby to zreszt¹ sensu, bo nie bazuje ona na adnym systemie aksjomatycznym. Ma ona jeszcze dodatkowy atut ka dy wzór w niej podany mo e byæ przez Ciebie, Szanowny Czytelniku, zmodyfikowany, gdy w matematyce, któr¹ zawiera, istnieje nieskoñczenie wiele wariantów ka dego wzoru. Autor

7 Rekurencja 9 O czym jest ta ksi¹ ka W¹skie drzwi prowadz¹ daleko w g³¹b Gichin Funakoshi Pocz¹tkowo podtytu³ tej ksi¹ ki mia³ brzmieæ Uwagi laika o matematyce wspó³czesnej. Mia³em jednak w¹tpliwoœci co do tego, gdy nie jestem zupe³nym laikiem w pe³nym znaczeniu tego s³owa, ukoñczy³em bowiem studia matematyczne. Uzna³em ostatecznie, e tytu³ Przyk³ady algorytmów najlepiej odda zawartoœæ mojej pracy. Praca ta powsta³a w czasie wolnym od zajêæ nie zajmujê siê zawodowo nauk¹. Jestem obecnie ju by³em nauczycielem matematyki. Mo e teraz kilka s³ów wyt³umaczenia. W czasie studiów by³em uwa any za zdolnego, ale leniwego osobnika. Nie uwa am siê za nadmiernie pracowitego, ale lubiê wiedzieæ, jaki sens ma wykonywana praca. Tego zaœ w czasie moich studiów nie wiedzia³em. Cowiêcej,moinauczycielezajmowalisiêrzeczami,któreuwa a³emzanieistotneima³o ciekawe, a tym, co ja uwa a³em za wa ne, nie zajmowa³ siê nikt. Mia³em wiele pytañ, na które nie spodziewa³em siê otrzymaæ odpowiedzi, gdy uwa a³em, e zosta³yby uznane za naiwne. Oto niektóre z nich: Zgodnie z twierdzeniem G. Cantora, moc ( iloœæ elementów ) zbioru podzbiorów danego zbioru jest wiêksza ni moc tego zbioru. Poniewa zbiór wszystkich zbiorów nie spe³nia twierdzenia Cantora (bo zawiera zbiór swoich podzbiorów), wiêc nie istnieje. Co tu jest nieprawdziwe? Twierdzenie Cantora, czy to, e istnieje zbiór zbiór wszystkich zbiorów? Jeœli nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów, to dlaczego istnieje zbiór pusty? To tak jakby istnia³o nic, a nie istnia³o wszystko. Jeœli x: x x jest definicj¹ zbioru pustego, to jakiego zbioru elementem jest x? Liczby ujemne wprowadziæ mo na jako rozwi¹zania równañ typu x n 0. Symbole n,0 N. Jak mo na zdefiniowaæ symbol n bez wprowadzania symbolu? To samo dotyczy u³amków, pierwiastków i liczb zespolonych. 1/n jest rozwi¹zaniem równania n x 1. Jak zdefiniowaæ x bez u ywania symbolu /? 2 jest rozwi¹zaniem równania x 2 2. Jak zdefiniowaæ bez wprowadzania nowego symbolu? Liczba urojona i jest rozwi¹zaniem równania x Jak zdefiniowaæ î bez wprowadzania nowego symbolu? Dlaczego obliczanie pochodnych funkcji jest doœæ proste, a obliczanie funkcji pierwotnych trudne? Na niektóre z tych pytañ staram siê odpowiedzieæ w tej rozprawce.

8 10 Rekurencja Po studiach i rocznym sta u na uczelni, mój szef doszed³ do wniosku, e nie spe³niam jego oczekiwañ. Ja równie stwierdzi³em, e ewentualna kariera naukowa specjalnie mnie nie interesuje, a ju na pewno nie interesuje mnie to, czym musia³bym siê dla niej zajmowaæ. Nie chcia³em braæ udzia³u w tym, co w wysoko rozwiniêtych pañstwach Zachodu nazywa siê wyœcigiem szczurów 1. Wydawa³o mi siê, e moja praca naukowa musia³aby polegaæ na tworzeniu komentarzy do komentarzy. Owszem, chcia³em zajmowaæ siê matematyk¹, ale choæ by³a ona dla mnie wa na, nie by³a najwa niejsza. Pensja asystenta by³a bardzo niska, a ja mia³em onê oraz syna i oni byli dla mnie wa niejsi od matematyki. Nie przyj¹³em wiêc oferty pracy na innej uczelni i zacz¹³em pracê jako nauczyciel matematyki, a w czasie wolnym mog³em siê zajmowaæ tym, czym chcia³em. Wrócê jednak do mojej rozprawki. W ksi¹ ce Algorytmy Piotr Wróblewski pisze, e nic tak nie przekonuje o wadze tematu, jak Definicje i Twierdzenia. Tauwagaznajdujesiêtylko w pierwszym wydaniu ksi¹ ki, póÿniej autor sta³ siê bardziej spolegliwy (okreœlenie wybitnego polskiego filozofa T. Kotarbiñskiego) i stwierdzenie usun¹³. Jeœli to prawda, to szkic ten ma znikom¹ wartoœæ, nie zawiera prawie adnych twierdzeñ i prawie adnych definicji, poza wzorami okreœlaj¹cymi funkcje. Matematycy najbardziej ceni¹ metody ³¹cz¹ce ró ne dzia³y matematyki, w tej rozprawce natomiast u ywana jest w zasadzie jedna metoda rozwi¹zywania problemów, w dodatku z zakresu tzw. matematyki elementarnej (chocia nieklasycznej). Stosowan¹ metod¹ w matematyce jest przechodzenie od metod szczegó³owych do mo liwie najbardziej ogólnych. W tej rozprawce jest inaczej metoda ogólna jest demonstrowana wy³¹cznie za pomoc¹ przyk³adów. Moja rozprawka jest adresowana do czytelników, którzy matematyk¹ nie zajmuj¹ siê zawodowo. S¹dzê jednak, e szkic zawiera kilka metod ³¹cz¹cych informatykê z matematyk¹, które mog¹ byæ u yteczne. Zagadnienia tu poruszane nale ¹ do dzia³u matematyki nazywanego matematyk¹ dyskretn¹. Tekst jest napisany w pierwszej osobie. Matematycy pisz¹ dowiedziemy, ale ja nigdy nie by³em pewny, czy oznacza to autora i czytelnika, czy te autor zwraca siê do czytelnika w formie My stosowanej przez monarchów. Wed³ug Kartezjusza: Nale yw¹tpiæwewszystko. Tylko to, w co zw¹tpiæ nie mo na jest prawd¹. Poniewa byæ mo e to dzie³ko zawiera b³êdy, wiêc forma pluralis maiestaticus nie wyda³a mi siê w³aœciwa. Zacznê od podstawowego pytania: Po co uczyæ matematyki? 1 Wyœcig szczurów" (w jêz. ang.: rat race ) to niekoñcz¹ca siê pogoñ wspó³czesnych ludzi za sukcesem materialnym i zawodowym. Okreœlenie pochodzi od sposobu zachowania szczurów laboratoryjnych, biegn¹cych bez koñca w labiryntach lub w obracaj¹cych siê ko³ach.

9 Rekurencja 11 OdpowiedŸ jest trudna tu przytoczê anegdotê: Podczas przechadzki w Akademii jeden z uczniów zapyta³ Platona: Mistrzu, powiedz, jaka jest korzyœæ z matematyki? Na to filozof odwracaj¹c siê, powiedzia³ do s³u ¹cego: Daj mu obola, bo on chce mieæ korzyœæ z tego, czego siê nauczy. Inna wersja tej anegdotki mówi, e Euklides wyrzuci³ swojego ucznia za pytanie: Po co jest potrzebna matematyka? Dla przeciêtnego cz³owieka wiêkszoœæ wiadomoœci matematycznych nie jest zbyt przydatna.tak eludziezajmuj¹cysiêprac¹wdziedzinach zbli onych do matematyki czêsto pow¹tpiewaj¹ w wartoœæ posiadanej wiedzy matematycznej. Jednak ka dy cz³owiek powinien posiadaæ pewn¹ wiedzê ogóln¹, a wykszta³cenie matematyczne jest na pewno czêœci¹ tej wiedzy. W wykszta³ceniu podstawowym (do szczebla œredniego w³¹cznie) matematyka w skali wa noœci zwykle zajmuje drugie miejsce po jêzyku ojczystym. Dlaczego? Matematyka kszta³tuje cechy umys³u, powszechnie uznawane za bardzo po ¹dane: pamiêæ umiejêtnoœæ kojarzenia uczy rozwi¹zywania problemów Allan E. Poe Zabójstwo przy Rue Morgue Zdolnoœci umys³owe zwane analitycznymi nie nadaj¹ siê w swej istocie zbytnio do analizy. Oceniamy je tylko wedle ich wyników. Wiemy o nich, miêdzy innymi, i dla osób, które posiadaj¹ je w niepowszednim stopniu, bywaj¹ one zawsze Ÿród³em naj ywszej radoœci. Podobnie jak cz³owiek silny cieszy siê sw¹ cielesn¹ krzepkoœci¹ i lubuje w æwiczeniach, które wymagaj¹ sprawnoœci jego miêœni, tak samo analityk szuka chluby w czynnoœci umys³owej, która polega na rozwik³ywaniu. Lubuje siê nawet w zajêciach najpospolitszych, które nastrêczaj¹ mu sposobnoœæ do zastosowania swych uzdolnieñ. Przepada za ³amig³ówkami, zagadkami, hieroglifami. Okazuje we wszystkich swych rozwi¹zaniach tyle przenikliwoœci, i w pojmowaniu zwyczajnym wydaje siê ona nadprzyrodzona. Wyniki jego, osi¹gane przez najistotniejsz¹ treœæ i ducha metody, maj¹ rzeczywiœcie wszystkie znamiona intuicji.

10 12 Rekurencja Ta zdolnoœæ rozk³adania zjawisk z³o onych wzmaga siê wielce pod wp³ywem wiedzy matematycznej, w szczególnoœci zaœ pod wp³ywem najznamienitszej jej ga³êzi, zwanej nies³usznie i jedynie ze wzglêdu na jej dzia³anie wsteczne analiz¹ Skradziony list Podajê w w¹tpliwoœæ znaczenie, a wraz z nim wartoœæ rozumu kszta³conego w jakiœ inny sposób ni abstrakcyjno-logiczny. W szczególnoœci zaœ podajê w w¹tpliwoœæ rozum wykszta³cony na studiach matematycznych. Wiedza matematyczna jest nauk¹ formy i wieloœci, zaœ rozumowanie matematyczne najzwyczajniejsz¹ logik¹, zastosowan¹ do badania kszta³tu i wieloœci. Wielki b³¹d tkwi w mniemaniu, jakoby pewniki algebry tak zwanej czystej by³y pewnikami abstrakcyjnymi czy powszechnymi. Zaœ b³¹d ten jest tak ogromny, i s³upiejê nad jednomyœlnoœci¹, z jak¹ go przyjêto. Pewniki matematyczne nie s¹ pewnikami prawdy powszechnej... S³owem nie zdarzy³o mi siê jeszcze spotkaæ czystego matematyka, na którym mo na by polegaæ poza jego równaniami i pierwiastkami lub który by nie uznawa³ za dogmat swojej wiary, i x 2 px równa siê bezwarunkowo i absolutnie q. Spróbuj powiedzieæ któremuœ z tych panów, je eli ciê to bawi, i zdaniem twoim mog¹ zajœæ okolicznoœci, kiedy x 2 px niekoniecznie równaæ siê bêdzie q, jednak e powiedziawszy, co masz na myœli, usuñ siê mu co rychlej i najuprzejmiej spod rêki, gdy na pewno bêdzie chcia³ ciê grzmotn¹æ. Czy mo na wiêc uczyæ matematyki, tak aby æwicz¹c pamiêæ i umiejêtnoœæ kojarzenia, nie wchodziæ zbytnio w zawi³oœci nauki? Przy coraz ³atwiejszym dostêpie do ca³oœci ludzkiej wiedzy dziêki Internetowi ogromnie wzrasta znaczenie umiejêtnego sformu³owania pytania. Trudnoœæ zagadnienia polega tak e na tym, e matematyka posiada swoj¹ historiê, a jej twórcy przyzwyczajenia. Takie umiejêtnoœci matematyczne wa ne kiedyœ, jak przekszta³canie wyra eñ trygonometrycznych, czy logarytmicznych straci³y swoje znaczenie. Nikt nie u ywa ju suwaka logarytmicznego, rzadko w u yciu s¹ tablice matematyczne. Do ycia codziennego coraz bardziej wkracza informatyka, co zbyt ma³o jednak odbija siê w treœciach programów nauczania matematyki. Czêsto u ywa siê komputerów do wizualizacji pojêæ oraz rysowania wykresów funkcji, ale w nauczaniu podstaw matematyki niewiele siê zmieni³o. Czêœæ zmian jest niekorzystna. Nie uczy siê ju wykreœlania figur geometrycznych. Spowodowa³y to nowoczesne tablice, w które nie mo na wbiæ cyrkla. Próba zast¹pienia tablicy i cyrkla przez komputer nie uda³a siê, bo ekran monitora jest za ma³y.

11 Rekurencja 13 Reformy nauczania matematyki nie powiod³y siê, bo przyjête za³o enia w praktyce okaza³y siê niemo liwe do realizacji. Chyba b³êdny by³ pogl¹d, e ka dy cz³owiek posiada instynkt matematyczny, który wystarczy rozbudziæ. Zdecydowana wiêkszoœæ ludzi posiada naturaln¹ sk³onnoœæ do badania i modyfikowania otaczaj¹cego œwiata, co czasami mo na wykorzystaæ przy nauczaniu matematyki, ale równie zdecydowana wiêkszoœæ jest leniwa i niestaranna jak mogê s¹dziæ na w³asnym przyk³adzie wiêc uczenie siê bez dodatkowej motywacji dla tej e wiêkszoœci nie ma sensu. To, co naturalne dla matematyka, dla cz³owieka spoza bran y mo e byæ be³kotem. Ka da teoria matematyczna jest pewn¹ konstrukcj¹ umys³ow¹ podobnie jak partia szachowa, utwór muzyczny, powieœæ czy sztuka teatralna. We wspó³czesnej matematyce czêsto przeciwstawia siê intuicjonizm 2 formalizmowi. W formalizmie wszystko otrzymuje siê z przyjêtych aksjomatów, w intuicjonizmie obiekty matematyczne powinny byæ konstruowane. Jednak aksjomaty s¹ tworzone przez matematyków, i to na bie ¹co wiêc formaliœci równie s¹ w jakimœ stopniu intuicjonistami. Poniewa w teorii zbiorów uznawanej za podstawê matematyki pojawi³y siê sprzecznoœci (antynomie), wiêc dla ich wyeliminowania intuicjoniœci zakwestionowali stosowanie prawa wy³¹czonego œrodka 3 dla zbiorów nieskoñczonych. Wed³ug mnie, za wiele antynomii odpowiada nie prawo wy³¹czonego œrodka, a u ywanie zdañ typu: Dla ka dego x..., Istnieje takie x, e bez okreœlenia jaka jest dziedzina zmiennej x. Prawdy matematyczne w oczywisty sposób zale ¹ od przyjêtych za³o eñ i definicji. Zasad¹ przyjêt¹ w matematyce jest, i prawdziwe jest to, co nie prowadzi do sprzecznoœci, ale Kurt Gödel wykaza³, e ka dy aksjomatyczny system zawieraj¹cy arytmetykê liczb naturalnych jest albo niezupe³ny (zawiera zdania prawdziwe, ale niemo liwe do weryfikacji wewn¹trz systemu), albo sprzeczny. Dla przeciêtnego cz³owieka oznacza to, e matematyka przesta³a byæ nauk¹ œcis³¹. Wszystkie symbole matematyczne powsta³y w nie tak bardzo odleg³ej przesz³oœci. Grecy nie mieli osobnych symboli dla liczb, w czasach Newtona nie istnia³ symbol równoœci, ani potêgowania. Wiele symboli wi¹ e siê z ich interpretacj¹ w przesz³oœci np. dx oznaczaj¹cy u Newtona nieskoñczenie ma³¹. Powstaje pytanie, czy mo liwa i potrzebna jest modyfikacja notacji matematycznej. Niektóre pojêcia u ywane obecnie s¹ reliktami. W szczególnoœci dotyczy to wielkoœci zwi¹zanych z czasem i astronomi¹. System mierzenia czasu pochodzi z zamierzch³ej przesz³oœci. Zwi¹zany 2 Intuicjonizm kierunek w matematyce zapocz¹tkowany przez L. Brouwera. Intuicjonizm odrzuca obiekty, których istnienie otrzymuje siê wy³¹cznie przez dowód nie wprost. Przeciwieñstwem intuicjonizmu jest formalizm ka dy obiekt, którego istnienie daje siê wyprowadziæ z przyjêtych aksjomatów, istnieje. 3 Prawo wy³¹czonego œrodka mówi, e w logice dwuwartoœciowej zdanie p lub nie p jest prawdziwe.

12 14 Rekurencja z religi¹ system podzia³u roku na 360 dni 4, kalendarza zwi¹zanego z ruchem ksiê yca (miesi¹c ksiê ycowy liczy 28 dni, czyli 4 tygodnie po 6 dni z jednym dniem œwi¹tecznym) posiada³ wówczas ogromne zalety, wiêc do niego zosta³ dostosowany system liczenia. Dobê podzielono na godziny. Nie u ywamy ju systemu szeœædziesi¹tkowego poza mierzeniem czasu i k¹tów, ale mimo to przejœcie przy mierzeniu czasu na system dziesiêtny by³oby prawdziw¹ rewolucj¹. Jak mo na zreformowaæ notacjê matematyczn¹ i dlaczego wed³ug mnie nale y to zrobiæ, postaram siê pokazaæ w rozdziale Notacja matematyczna. Tekst matematyczny, wbrew tytu³owi, prawie wcale nie zawiera matematyki. W rozdzia³ach Dlaczego matematyka jest trudna? i Zastosowanie iteracji w rozwi¹zywaniu równañ zajmujê siê rozwi¹zywaniem równañ z jedn¹ niewiadom¹, wizualizacj¹ rozwi¹zañ i wykresami funkcji zmiennej zespolonej. Do rozwi¹zywania równañ i sporz¹dzania wykresów u ywam metod iteracyjnych. Punkt startu i wzór metody omawia sposoby poprawiania metod rekurencyjnych. Rozdzia³ Równania diofantyczne jest poœwiêcony zastosowaniu iteracji do znajdowania rozwi¹zañ ca³kowitych kilku równañ o wspó³czynnikach ca³kowitych, zastosowaniu arkusza matematycznego do rozwi¹zywania takich równañ oraz szkicowe omówienie ogólnej metody rozwi¹zywania równañ diofantycznych za pomoc¹ iteracji. Weryfikacja hipotez przedstawia sposób u ycia arkusza matematycznego do sprawdzenia prostych hipotez oraz rozwi¹zywania równañ rekurencyjnych. W rozdziale Matematyka w Internecie zajmujê siê sposobami przedstawiania informacji matematycznej w Internecie. Uogólnienia s¹ prób¹ syntezy, rozdzia³ zawiera kilka metod wskazuj¹cych na mo liwe zastosowania rekurencji w ró nych dzia³ach matematyki. Zakoñczenie jest mo e najbardziej kontrowersyjnym rozdzia³em tej pracy. Jeœli niektóre problemy zosta³y tam przedstawione w bardzo ostrej formie, to dlatego, e jak s¹dzê, by³y do tej pory zbywane milczeniem. W Dodatkach przedstawiam kilka interesuj¹cych wykresów funkcji, przyk³adowy program do dzia³añ na du ych liczbach ca³kowitych oraz kilka makr, które by³y u yte przy pisaniu tej rozprawki. 4 Myœlê, e przy obliczaniu d³ugoœci roku pomylili siê sumeryjscy astronomowie. W Babilonie 5 dni koñcz¹cych rok nie by³o liczonych do kalendarza. Tak e w staroegipskiej legendzie O Izydzie i Ozyrysie podanej przez Plutarcha z Cheronei, rok ma pocz¹tkowo 360 dni. Bogini nieba Nut jest w ci¹ y, ale nie mo e urodziæ w adnym dniu roku, na skutek przekleñstwa boga Re. Pomaga jej dopiero bóg Thot (miêdzy innymi opiekun matematyków). Gra w warcaby z bogini¹ ksiê yca i wygrywa od niej 70 czêœci z jej czasu œwiecenia. Z tych czêœci tworzy 5 dodatkowych dni.

13 Rekurencja 15 Weryfikacja hipotez Równania rekurencyjne i funkcyjne U ywam arkuszy Maxima i Derive 6.10 Czytaj¹c ksi¹ kê Co to jest matematyka? R. Couranta i H. Robbinsa natkn¹³em siê na nastêpuj¹cy tekst: Jako æwiczenie zechce czytelnik udowodniæ przez indukcjê matematyczn¹, e (5) n 3 =(n (n + 1)/2) 2 Nale y zaznaczyæ, e chocia zasada indukcji matematycznej pozwala dowieœæ wzoru (5), gdy wzór ju znamy, to jednak dowód nie daje adnych wskazówek co do sposobu wyprowadzenia tego wzoru i nie t³umaczy, dlaczego oczekujemy, e w³aœnie wyra enie ( n ( n 1)/ 2) 2 daje sumê n pierwszych szeœcianów, a nie wyra enie ( n ( n 1)/ 3) 2 2 lub ( 19n 41n 24)/ 2, czy te jakiekolwiek spoœród nieskoñczenie wielu wyra eñ podobnego typu. Fakt, e dowód danego twierdzenia polega na zastosowaniu pewnych prostych regu³ logiki, nie ogranicza twórczego elementu w matematyce, który przejawia siê w wybieraniu spoœród ró nych mo liwoœci. Zagadnienie powstawania hipotezy (5) nale y do dziedziny, w której nie mo na podaæ adnych naprawdê ogólnych regu³; doœwiadczenie i intuicja odgrywaj¹ tu du ¹ rolê. Ale gdy choæ raz sformu³owano w³aœciw¹ hipotezê, to zasada indukcji matematycznej czêsto wystarcza do przeprowadzenia dowodu. Poniewa dowód taki nie daje klucza do dokonania odkrycia, mo e nale a³oby go nazwaæ weryfikacj¹. Okazujesiê, earkuszmatematycznyznakomiciesprawdzasiêprzyrozwi¹zywaniusformu³owanego przez autorów problemu. Powiedzmy, e chcê znaleÿæ ogólny wzór na wyra enie SUM(F(k),k,1,n), gdzief(k) jest wielomianem stopnia m. Jeœli zapiszê wyra enie SUM(F(k),k,1,n) wpostaci(f(1)+f(n))+(f(2)+f(n-1))+ to ³atwo sformu³owaæ hipotezê, e wynik powinien byæ wielomianem stopnia m+1, bo wyra enie (F(1)+F(n))+(F(2)+F(n-1))+ jest sum¹ n/2 wielomianów zmiennej n, zktórychka dyjest stopnia m. Wspó³czynniki hipotetycznego wielomianu W(n) mo na obliczyæ z uk³adu m+1 równañ liniowych SUM(F(k),k,1,n)=W(n) dla n = 1,2 m+1. Poni ej podajê przyk³adowe rozwi¹zanie problemu dla wielomianu F(k):=k 5. Analogicznie bêdzie wygl¹daæ rozwi¹zanie dla innego wielomianu F(k), niekoniecznie o wspó³czynnikach ca³kowitych.

14 16 Rekurencja Modu³ hipoteza1.wxm Weryfikacja hipotezy w arkuszu wxmaxima (%i1) F(k):=k^5; A:makelist(concat(a,k),k,0,6); (%o1) F(k):=k 5 (%o2) [a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6] Wspó³czynniki a0, a6 obliczam rozwi¹zuj¹c uk³ad równañ liniowych. Abyprzypisaæwspó³czynnikomtewartoœci muszê zadeklarowaæ zmienn¹ globaln¹. (%i3) globalsolve:true$ solve(makelist(sum(f(k),k,1,n)=sum(a[k]*n^(k-1),k,1,7),n,1,7),a); (%o4) [[a0:0,a1:0,a2: 1 12,a3:0,a4: 5 12,a5:1 2,a6:1 6 ]] Deklarujê B jako wektor wartoœci zmiennych a0, a1... (%i5) B:[[a0:0,a1:0,a2:-1/12,a3:0,a4:5/12,a5:1/2,a6:1/6]][1]; (%5) [0,0, 1 12,0, 5 1 1,, ] Piszê hipotetyczny wzór na sumê: 1^5+2^5...+n^5. (%i9) sum(f(k),k,1,n)=factor(sum(b[k]*n^(k-1),k,1,7)); (%o9) n k 1 k n( n 1)( 2n 2n 1) 12 Otrzymany wzór dowodzê metod¹ indukcji regresywnej. W odró nieniu od klasycznej wersji, przy sprawdzaniu II za³o enia indukcji dowodzi siê, e T(n) T(n-1). Sprawdzam I za³o enie indukcji: (%i6) subst(1, n,sum(k^5,k,1,n)=(n^2*(n+1)^2*(2*n^2+2*n-1))/12); (%o6) n k 1 k 5 1

15 Rekurencja 17 Sprawdzam II za³o enie indukcji. W symbolice wxmaxima # to symbol nie jest równe. Niech: (%i7) sum(k^5,k,1,n)#(n^2*(n+1)^2*(2*n^2+2*n-1))/12; (%o7) n k n n 1 2n 2n 1 k # ( )( ) 12 St¹d oczywiœcie po odjêciu od obu stron n^5: (%i8) sum(k^5,k,1,n-1)#factor((n^2*(n+1)^2*(2*n^2+2*n-1))/12-n^5); (%o8) n k n 1 n 2n 2n 1 k # ( ) ( ) 12 Poniewa ostatnia nierównoœæ przedstawia T(n-1), wiêc sprawdzi³em II za³o enie indukcji. Znacznie trudniejsz¹ spraw¹ jest znalezienie wzoru na wyra enie typu SUM(1/F(k),k,1,n),gdzieF(x) jest wielomianem. Poza szczególnymi przypadkami wyniku nie da siê przedstawiæ w prostszej postaci. Tu muszê siê przyznaæ do mistyfikacji podany problem mo na rozwi¹zaæ za pomoc¹ arkusza Maxima w sposób trywialny. Mog³em w pierwszej linijce modu³u napisaæ load("simplify_sum")$, wdrugiejsimplify_sum(sum(k^5,k,1,n)) i otrzyma³bym wzór (2 n 6 +6 n 5 +5 n 4 n 2 )/12. Czy wiêc podany modu³ jest zupe³nie nieprzydatny? Na szczêœcie tak Ÿle nie jest, nale y tylko zastosowaæ podan¹ metodê tam, gdzie bezpoœrednie u ycie arkusza bêdzie niemo - liwe.powiedzmy, enale ydlazadanegoci¹gu liczbowego znaleÿæ dobry wielomianowy wzór aproksymuj¹cy, lub jeœli to mo liwe, wzór dok³adny. Skorzystam z nastêpuj¹cego faktu jeœli dany jest ci¹g F(1),F(2), F(n) i F(x) jest wielomianem stopnia m, to ci¹g ró nic: F(2) F(1),,F(n) F(n 1) daje siê przedstawiæ jako F1(1),,F1(n 1) przy czym F1(x) jest stopnia m 1.

16 18 Rekurencja Modu³ hipoteza2.mth (weryfikacja hipotezy w arkuszu Derive 6.10) [CaseMode:=Sensitive,InputMode:=Word,DisplayFormat:=Compressed] X:=[1/3,-5/3,-5,-5/3,73/3,97,745/3,1555/3,955,4843/3,7681/3,3865] Na pocz¹tku metod¹ ró nic ustalam stopieñ szukanego wielomianu. ITERATES(VECTOR(ELEMENT(Y,i)-ELEMENT(Y,i-1),i,2,DIMENSION(Y)),Y,X) Upraszczam wzór powy ej: [[1/3,-5/3,-5,-5/3,73/3,97,745/3,1555/3,955,4843/3,7681/3,3865],[2, 10/3,10/3,26,218/3,454/3,270,1310/3,1978/3,946,3914/3], [-4/3,20/3,68/3,140/3,236/3,356/3,500/3,668/3,860/3,1076/3],[8,16,24, 32,40,48,56,64,72],[8,8,8,8,8,8,8,8],[0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0],[0,0],[0],[],[]] Po 5 iteracjach z ci¹gu wyjœciowego otrzyma³em ci¹g sta³y, wiêc szukany wielomian jest stopnia 4. Ogólnie - wybieram tak¹ iloœæ iteracji, e otrzymany ci¹g jest bliski ci¹gowi sta³emu. A:=VECTOR(APPEND(a,k),k,0,4) A:=[a0,a1,a2,a3,a4] Obliczam wspó³czynniki szukanego wielomianu: B:=ELEMENT(SOLUTIONS(VECTOR(ELEMENT(X,n) =SUM(ELEMENT(A,k) n k-1,k,1,5),n,1,dimension(a)),a),1) i upraszczam wzór: B:=[1,-2,3,-2,1/3] Piszêhipotetycznywzórnaogólnywyrazci¹gu: SUM(ELEMENT(B,k) n k-1,k,1,dimension(b)) i upraszczam go: n 4 /3-2 n 3 +3 n 2-2 n+1

17 Rekurencja 19 Sprawdzam poprawnoœæ otrzymanego wzoru: VECTOR(n 4 /3-2 n 3 +3 n 2-2 n+1-element(x,n),n,1,dimension(x)) po uproszczeniu otrzymujê ci¹g z³o ony z samych zer: [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] Poda³em tu dwa modu³y zapisane w ró nych arkuszach matematycznych, aby pokazaæ, jak bardzo ró ne mog¹ byæ programy zbudowane na bazie tego samego jêzyka programowania. Derive powsta³ na bazie dialektu mulisp jêzyka LISP, stworzonego specjalnie dla tego programu, Maxima jest oparta na dialekcie GNU Common Lisp (aka GCL). Obydwa programy maj¹ swoje zalety i wady. Derive instaluje w³asne zestawy czcionek i mo e eksportowaæ pliki do formatu *.rtf. Problem w tym, e jeœli w systemie operacyjnym nie zosta³y zainstalowane czcionki Derive Unicode, pliki*.rtf nie bêd¹ mo liwe do odczytania w edytorze tekstu. W programie Maxima mo liwy jest eksport do pliku *.html, wiêc utworzone pliki s¹ bardziej przenoœne, ale jest to mo liwe dlatego, e wyniki przekszta³ceñ s¹ zapisywane jako obrazy w plikach *.png. Rozwi¹zaniem radykalnym by³by eksport do formatu *.html pliku tekstowego zapisanego z u yciem notacji liniowej, ale nie robi tego aden z wymienionych arkuszy. Maxima jest bezp³atnym programem typu Open Source. Derive jest programem komercyjnym, ale jego cena jest umiarkowana. Za pomoc¹ arkusza matematycznego mo na równie rozwi¹zywaæ równania rekurencyjne. Podany ni ej modu³ jest oparty na metodzie zawartej w ksi¹ ce Matematyka konkretna R. Grahama, D. Knutha i O. Patashnika. Podana metoda jest uniwersalna, co nie znaczy, e rozwi¹zanie konkretnego równania rekurencyjnego bêdzie proste. Czêsto ³atwiejsze jest skorzystanie ze wzoru rekurencyjnego przy zastosowaniu rekurencji prawostronnej (ogonowej 5 ) dla uproszczenia obliczeñ. DlawzorurekurencyjnegoF(n)=G(F(n),.,F(n-k)),nale yznaleÿæjawnywzórnaf(n)jako funkcji n. 5 W zwyk³ej rekurencji kolejne wywo³ania funkcji s¹ odk³adane na stos. Obliczanie rozpoczyna siê po osi¹gniêciu wartoœci nierekurencyjnej. W rekurencji prawostronnej obliczenia wykonywane s¹ na bie ¹co, w zwi¹zku z tym nie wymaga ona stosu. Przyk³adowo - w zwyk³ej rekurencji obliczanie 4! odbywa siê nastêpuj¹co: na stos odk³ada siê kolejno 4!,3!,2!,1! i oblicza siê 0!=1,1!=1*0!=1, 2!=2*1!=2 itd. W rekurencji prawostronnej liczy siê 4!=4*3! (nie u ywa siê stosu, tylko modyfikuje wartoœæ argumentu) =12*2!=24*1!=24*0!=24*1=24. Zwyk³a rekurencja bêdzie bardziej u yteczna, gdy nale y znaleÿæ (i wypisaæ) wszystkie wyrazy ci¹gu rekurencyjnego np. od 0 do n.

18 20 Rekurencja Algorytmrozwi¹zywaniazapomoc¹funkcjitworz¹cych: 1. PiszêrównanierekurencyjneF(n)=G(F(n),.,F(n-k)). 2. Mno ê obie strony równania przez x n i sumujê (przyjmujê, e F(-1)=F(-2)=...=F(n-k)= 0) Szereg formalny SUM(F(n) x n,n,0,inf) nosi nazwê funkcji tworz¹cej dla ci¹gu (F(n)). 3. Otrzymujê równanie CF(x)=SUM(F(n) x n,n,0,inf)=sum(g(f(n),.,f(n-k)) x n,n,0,inf)=h(cf(x)) Uwaga: Prawa czêœæ równania musi byæ przekszta³cona tak, aby by³a wyra eniem zale nym od CF(x). 4. Z równanie CF(x)=H(CF(x)) obliczam CF(x). 5. Rozwijam CF(x) w szereg potêgowy. Wspó³czynnik przy x n jest równy F(n) Modu³ poni ej zawiera przyk³adowe rozwi¹zanie dla ci¹gu Fibonacci ego. Ci¹g ten jest u ywany miêdzy innymi do prognozowania potencjalnych punktów zwrotnych indeksów gie³dowych i cen aktywów. Modu³ fibonacci.mth (rozwi¹zywanie równañ rekurencyjnych w arkuszu Derive 6.10) [CaseMode:=Sensitive,InputMode:=Word,DisplayFormat:=Compressed, TimesOperator:=Implicit] [F(n):=,x:=,CF(x):=,H(x):=] FIB(n):=IF(n=0,0,IF(n=1,1,FIB(n-1)+FIB(n-2))) RECSUM(Fib(n) x n,n:=k):=fib(n) x n +RECSUM(Fib(n) x n,n+1) St¹d FIB(n) x n =IF(n=0,0,IF(n=1,x,FIB(n-1) x n +FIB(n-2) x n )) wiêc RECSUM(FIB(n) x n,0)=x+recsum(fib(n-1) x n,0)+recsum(fib(n-2) x n,0) =x+recsum(fib(n) x n+1,0)+recsum(fib(n) x n+2,0) czyli CF(x)=x+x CF(x)+x 2 CF(x) wiêc CF(x)=x/(1-x-x 2 ) CF(x) rozk³adam na sumê u³amków prostych CF(x)=x/(1-x-x 2 )=A/(x-B)+C/(x-D)

19 Rekurencja 21 Mam [x 2 -(B+D) x+b D=x 2 +x-1,(a+c) x-a D-B C=-x] Przez porównanie wspó³czynników dostajê uk³ad równañ: [B+D=-1,B D=-1,A+C=-1,A D+B C=0] który rozwi¹zujê metod¹ SOLUTIONS SOLUTIONS([B+D=-1,B D=-1,A+C=-1,A D+B C=0],[A,B,C,D]) [[SQRT(5)/10-1/2,SQRT(5)/2-1/2,-SQRT(5)/10-1/2,-SQRT(5)/2-1/2], [-SQRT(5)/10-1/2,-SQRT(5)/2-1/2,SQRT(5)/10-1/2,SQRT(5)/2-1/2]] Mam CF(x)=(-A/B)/(1-x/B)+(-C/D)/(1-x/D)=-A/B SUM((x/B)n,n,0, )-C/D SUM ((x/d)n,n,0, ) Wspó³czynnik przy x n wynosi FIB(n)=(-A/B) B -n +(-C/D) D -n Podstawiam wartoœci za A, B, C, D: FIB(n)=SUBST(-A B -n-1 -C D -n-1,[a,b,c,d],[sqrt(5)/10-1/2,sqrt(5)/2-1/2, -SQRT(5)/10-1/2,-SQRT(5)/2-1/2]) czyli FIB(n)=SQRT(5) (SQRT(5)/2-1/2) -n /5-SQRT(5) (SQRT(5)/2+1/2) -n COS(pi n)/5 +SQRT(5) î (SQRT(5)/2+1/2) -n SIN(pi n)/5 Uwaga: Przy obliczaniu granicy program Derive u y³ liczb zespolonych, mimo i wartoœci funkcji s¹ rzeczywiste. Poniewa SIN(pi n)=0 oraz COS(pi n)=(-1) n wiêc ostatecznie: FIB(n)=(SQRT(5)/2-1/2) -n /SQRT(5)-(SQRT(5)/2+1/2) -n (-1) n /SQRT(5) Otrzymany tu wzór koñcowy jest równowa ny czêœciej podawanemu wzorowi: FIBONACCI(n):=((1+SQRT(5))/2) n /SQRT(5)-((1-SQRT(5))/2) n /SQRT(5) Rozwi¹zanie rekurencji w module powy ej polega³o na obliczeniu sumy nieoznaczonej.

20 22 Rekurencja Równanie rekurencyjne analizowane w nastêpnym module jest zwi¹zane z teori¹ gier. Dla wyznaczenia jawnego wzoru szukanej funkcji nale y rozwi¹zaæ kolejno dwa równania rekurencyjne. Rozpatrywany jest nastêpuj¹cy problem: Do kasyna przybywa gracz z kapita³em n i przyjmuje strategiê gry w ruletkê przy tej samej stawce do momentu, gdy kapita³ wzroœnie do C, lub do wyczerpania zasobów finansowych. p oznacza prawdopodobieñstwo wygranej w pojedynczej grze, q prawdopodobieñstwo przegranej, wiêc p+q=1. Poniewa kasyno nie jest instytucj¹ charytatywn¹, wiêc q>p. SC(n) oznacza prawdopodobieñstwo uzyskania kapita³u C, przy kapitale pocz¹tkowym n. Przyjmowane jest za³o enie, e jednorazowa stawka wynosi 1, wygrana i przegrana równie 1, n i C s¹ ca³kowite. Klasyczna ruletka (europejska) ma 37 pól: 18 czerwonych, 18 czarnych i jedno zielone. Jeœli postawimy na czarne, a wypadnie czerwone lub zielone to tracimy stawkê, jeœli wypadnie czarne, to dostajemy podwojon¹ stawkê. Po ka dej grze kapita³ gracza zmienia siê losowo o jeden: wzrasta z prawdopodobieñstwem p=18/37, spada z prawdopodobieñstwem q=1-p=19/37.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex) Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra

Bardziej szczegółowo

Spis treœci Uwagi wstêpne L i c z b a n a t u r a l n a T e c h n i k a r a c h u n k o w a

Spis treœci Uwagi wstêpne L i c z b a n a t u r a l n a T e c h n i k a r a c h u n k o w a Spis n treœci Uwagi wstêpne...5 Liczba naturalna 1. Jak¹ jestem liczb¹?... 10 2. Jak¹ liczbê mam na myœli?...12 3. Kto dzwoni?....14 4. Porz¹dkujemy liczby...16 5. Zapisujemy liczby...18 6. Uzupe³nianki...20

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania

Podstawy programowania Podstawy programowania Elementy algorytmiki C w środowisku.e (C#) dr inŝ. Grzegorz Zych Copernicanum, pok. 104 lub 206a 1 Minimum programowe reści kształcenia: Pojęcie algorytmu. Podstawowe konstrukcje

Bardziej szczegółowo

Fed musi zwiększać dług

Fed musi zwiększać dług Fed musi zwiększać dług Autor: Chris Martenson Źródło: mises.org Tłumaczenie: Paweł Misztal Fed robi, co tylko może w celu doprowadzenia do wzrostu kredytu (to znaczy długu), abyśmy mogli powrócić do tego,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

HAŚKO I SOLIŃSKA SPÓŁKA PARTNERSKA ADWOKATÓW ul. Nowa 2a lok. 15, 50-082 Wrocław tel. (71) 330 55 55 fax (71) 345 51 11 e-mail: kancelaria@mhbs.

HAŚKO I SOLIŃSKA SPÓŁKA PARTNERSKA ADWOKATÓW ul. Nowa 2a lok. 15, 50-082 Wrocław tel. (71) 330 55 55 fax (71) 345 51 11 e-mail: kancelaria@mhbs. HAŚKO I SOLIŃSKA SPÓŁKA PARTNERSKA ADWOKATÓW ul. Nowa 2a lok. 15, 50-082 Wrocław tel. (71) 330 55 55 fax (71) 345 51 11 e-mail: kancelaria@mhbs.pl Wrocław, dnia 22.06.2015 r. OPINIA przedmiot data Praktyczne

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA. dla uczniów gimnazjum

Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA. dla uczniów gimnazjum Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA dla uczniów gimnazjum OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2014 SK AD KOMPUTEROWY I RYSUNKI Barbara Kwaœnicka PROJEKT OK ADKI Tomasz Fronckiewicz ISBN: 978-83-62687-49-7 Wydanie

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój

Bardziej szczegółowo

revati.pl Drukarnia internetowa Szybki kontakt z klientem Obs³uga zapytañ ofertowych rozwi¹zania dla poligrafii Na 100% procent wiêcej klientów

revati.pl Drukarnia internetowa Szybki kontakt z klientem Obs³uga zapytañ ofertowych rozwi¹zania dla poligrafii Na 100% procent wiêcej klientów revati.pl rozwi¹zania dla poligrafii Systemy do sprzeda y us³ug poligraficznych w internecie Drukarnia Szybki kontakt z klientem Obs³uga zapytañ ofertowych Na 100% procent wiêcej klientów drukarnia drukarnia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Podstawy matematyki finansowej (MFI221)

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Podstawy matematyki finansowej (MFI221) Załącznik Nr 5 KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Podstawy matematyki finansowej (MFI221) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: II/3 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 6

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z CHEMII W GIMNAZJUM w ZESPOLE SZKÓ W SZTUTOWIE

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z CHEMII W GIMNAZJUM w ZESPOLE SZKÓ W SZTUTOWIE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z CHEMII W GIMNAZJUM w ZESPOLE SZKÓ W SZTUTOWIE Przedmiotowy System Oceniania sporz dzony zosta w oparciu o: 1. Rozporz dzenie MEN z dnia 21.03.2001 r. 2. Statut Szko y 3.

Bardziej szczegółowo

Matematyka na szóstke

Matematyka na szóstke Stanislaw Kalisz Jan Kulbicki Henryk Rudzki Matematyka na szóstke Zadania dla klasy V Opole Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Wstêp...5 1. Liczby naturalne...7 Rachunek pamiêciowy...7 1. Dodawanie i odejmowanie...7

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Gry i zabawy matematyczne

Gry i zabawy matematyczne Krystyna Wojciechowska Gry i zabawy matematyczne w przedszkolu Opole 2008 Spis n treœci Uwagi wstêpne...4 1. U³ó tyle samo...10 2. Autobus....12 3. Co mówi bêbenek?... 14 4. ZnajdŸ swoje miejsce....16

Bardziej szczegółowo

biuro@cloudtechnologies.pl www.cloudtechnologies.pl Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia

biuro@cloudtechnologies.pl www.cloudtechnologies.pl Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia Warszawa, 11 kwietnia 2016 roku Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia w sprawie przyjęcia porządku obrad Zwyczajne Walne Zgromadzenie przyjmuje następujący porządek obrad: 1. Otwarcie Zgromadzenia,

Bardziej szczegółowo

1. Od kiedy i gdzie należy złożyć wniosek?

1. Od kiedy i gdzie należy złożyć wniosek? 1. Od kiedy i gdzie należy złożyć wniosek? Wniosek o ustalenie prawa do świadczenia wychowawczego będzie można składać w Miejskim Ośrodku Pomocy Społecznej w Puławach. Wnioski będą przyjmowane od dnia

Bardziej szczegółowo

Zapytanie ofertowe nr 3

Zapytanie ofertowe nr 3 I. ZAMAWIAJĄCY STUDIUM JĘZYKÓW OBCYCH M. WAWRZONEK I SPÓŁKA s.c. ul. Kopernika 2 90-509 Łódź NIP: 727-104-57-16, REGON: 470944478 Zapytanie ofertowe nr 3 II. OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWIENIA Przedmiotem zamówienia

Bardziej szczegółowo

o: - umorzenie* / odroczenie* / rozłoŝenie na raty * naleŝności w opłatach związanych z lokalem mieszkalnym.

o: - umorzenie* / odroczenie* / rozłoŝenie na raty * naleŝności w opłatach związanych z lokalem mieszkalnym. ... (imię i nazwisko)... w Rybniku (adres) ul. 3 Maja 12 44-200 Rybnik... (pesel)... ( NIP)... (nr telefonu kontaktowego) Wniosek Do Dyrektora Zakładu Gospodarki Mieszkaniowej o: - umorzenie* / odroczenie*

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa kształcenia ogólnego informatyki w gimnazjum

Podstawa programowa kształcenia ogólnego informatyki w gimnazjum 1 Podstawa programowa kształcenia ogólnego informatyki w gimnazjum Obowiązująca podstawa programowa nauczania informatyki w gimnazjum, w odniesieniu do propozycji realizacji tych zagadnień w podręcznikach

Bardziej szczegółowo

PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ

PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ Nie wystarczy mieć rozum, trzeba jeszcze umieć z niego korzystać Kartezjusz Rozprawa o metodzie PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ II KLASA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 1 Opracowała : Dorota

Bardziej szczegółowo

DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15

DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania

Bardziej szczegółowo

POSTANOWIENIA DODATKOWE DO OGÓLNYCH WARUNKÓW GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE KREDYTOBIORCÓW Kod warunków: KBGP30 Kod zmiany: DPM0004 Wprowadza się następujące zmiany w ogólnych warunkach grupowego ubezpieczenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka z komputerem dla gimnazjum

Matematyka z komputerem dla gimnazjum IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWO CIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE DODAJ DO KOSZYKA FRAGMENTY

Bardziej szczegółowo

KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY

KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH Bruksela, dnia 13.12.2006 KOM(2006) 796 wersja ostateczna Wniosek DECYZJA RADY w sprawie przedłużenia okresu stosowania decyzji 2000/91/WE upoważniającej Królestwo Danii i

Bardziej szczegółowo

POWIATOWY URZĄD PRACY

POWIATOWY URZĄD PRACY POWIATOWY URZĄD PRACY ul. Piłsudskiego 33, 33-200 Dąbrowa Tarnowska tel. (0-14 ) 642-31-78 Fax. (0-14) 642-24-78, e-mail: krda@praca.gov.pl Załącznik Nr 3 do Uchwały Nr 5/2015 Powiatowej Rady Rynku Pracy

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KURSU ONLINE Asertywność i poczucie własnej wartości

PROGRAM KURSU ONLINE Asertywność i poczucie własnej wartości PROGRAM KURSU ONLINE Asertywność i poczucie własnej wartości Marta Pyrchała-Zarzycka www.astrosalus.pl www.kosmetyka-fitness.pl http://www.astrosalus.com/ www.sukces-biznes.pl kursy@astrosalus.pl 506-320-330

Bardziej szczegółowo

Zalecenia dotyczące prawidłowego wypełniania weksla in blanco oraz deklaracji wekslowej

Zalecenia dotyczące prawidłowego wypełniania weksla in blanco oraz deklaracji wekslowej Zalecenia dotyczące prawidłowego wypełniania weksla in blanco oraz deklaracji wekslowej 1. Do wystawienia weksla in blanco umocowane są osoby, które w świetle ustawy, dokumentu założycielskiego i/lub odpisu

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

ZAŁĄCZNIK NR 1. Zakres wiedzy i umiejętności oraz wykaz proponowanej bibliografii

ZAŁĄCZNIK NR 1. Zakres wiedzy i umiejętności oraz wykaz proponowanej bibliografii ZAŁĄCZNIK NR 1 Zakres wiedzy i umiejętności oraz wykaz proponowanej bibliografii I. Obszary umiejętności sprawdzane na kaŝdym etapie Konkursu 1. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń: 1) interpretuje

Bardziej szczegółowo

ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY

ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 1. ZMIANA GRUPY PRACOWNIKÓW LUB AWANS W przypadku zatrudnienia w danej grupie pracowników (naukowo-dydaktyczni, dydaktyczni, naukowi) przez okres poniżej 1 roku nie dokonuje

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

FORUM ZWIĄZKÓW ZAWODOWYCH

FORUM ZWIĄZKÓW ZAWODOWYCH L.Dz.FZZ/VI/912/04/01/13 Bydgoszcz, 4 stycznia 2013 r. Szanowny Pan WŁADYSŁAW KOSINIAK - KAMYSZ MINISTER PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ Uwagi Forum Związków Zawodowych do projektu ustawy z dnia 14 grudnia

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE Przedmiotowy system oceniania z matematyki jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej

Bardziej szczegółowo

Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie konsumenckim

Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie konsumenckim Prezes Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów Warszawa, 16 maja 2016 r. Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie

Bardziej szczegółowo

Niniejszy ebook jest własnością prywatną.

Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejsza publikacja, ani żadna jej część, nie może być kopiowana, ani w jakikolwiek inny sposób reprodukowana, powielana, ani odczytywana w środkach publicznego

Bardziej szczegółowo

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Wójt Gminy Bobrowniki ul. Nieszawska 10 87-617 Bobrowniki WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO W ROKU SZKOLNYM 2010/2011

Wójt Gminy Bobrowniki ul. Nieszawska 10 87-617 Bobrowniki WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO W ROKU SZKOLNYM 2010/2011 Nr wniosku.../... Bobrowniki, dnia... Wójt Gminy Bobrowniki ul. Nieszawska 10 87-617 Bobrowniki WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO W ROKU SZKOLNYM 2010/2011 1. Dane osobowe WNIOSKODAWCY Nazwisko

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa nr 1 w Sanoku. Raport z ewaluacji wewnętrznej

Szkoła Podstawowa nr 1 w Sanoku. Raport z ewaluacji wewnętrznej Szkoła Podstawowa nr 1 w Sanoku Raport z ewaluacji wewnętrznej Rok szkolny 2014/2015 Cel ewaluacji: 1. Analizowanie informacji o efektach działalności szkoły w wybranym obszarze. 2. Sformułowanie wniosków

Bardziej szczegółowo

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

Nasz kochany drogi BIK Nasz kochany drogi BIK

Nasz kochany drogi BIK Nasz kochany drogi BIK https://www.obserwatorfinansowy.pl/tematyka/bankowosc/biuro-informacji-kredytowej-bik-koszty-za r Biznes Pulpit Debata Biuro Informacji Kredytowej jest jedyną w swoim rodzaju instytucją na polskim rynku

Bardziej szczegółowo

Eksperyment,,efekt przełomu roku

Eksperyment,,efekt przełomu roku Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już

Bardziej szczegółowo

OPIS PRZEDMIOTU. Podstawy edukacji matematycznej. Wydzia Pedagogiki i Psychologii

OPIS PRZEDMIOTU. Podstawy edukacji matematycznej. Wydzia Pedagogiki i Psychologii OPIS PRZEDMIOTU Nazwa przedmiotu Kod przedmiotu Wydzia Wydzia Pedagogiki i Psychologii Instytut/Katedra INSTYTUT PEDAGOGIKI, Zak ad Pedagogiki Wczesnoszkolnej i Edukacji Plastycznej Kierunek pedagogika,

Bardziej szczegółowo

Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów. Organizatorzy Konkursu

Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów. Organizatorzy Konkursu Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów 1 Organizatorzy Konkursu 1. Organizatorem Konkursu Start up Award (Konkurs) jest Fundacja Instytut Studiów Wschodnich

Bardziej szczegółowo

ZASADY REPRODUKCJI SYMBOLI GRAFICZNYCH PRZEDMOWA

ZASADY REPRODUKCJI SYMBOLI GRAFICZNYCH PRZEDMOWA Poprzez połączenie symbolu graficznego Unii Europejskiej oraz części tekstowej oznaczającej jeden z jej programów operacyjnych powstaje symbol graficzny, który zgodnie z obowiązującymi dyrektywami ma być

Bardziej szczegółowo

Formularz Zgłoszeniowy propozycji zadania do Szczecińskiego Budżetu Obywatelskiego na 2016 rok

Formularz Zgłoszeniowy propozycji zadania do Szczecińskiego Budżetu Obywatelskiego na 2016 rok Formularz Zgłoszeniowy propozycji zadania do Szczecińskiego Budżetu Obywatelskiego na 2016 rok 1. KONTAKT DO AUTORA/AUTORÓW PROPOZYCJI ZADANIA (OBOWIĄZKOWE) UWAGA: W PRZYPADKU NIEWYRAŻENIA ZGODY PRZEZ

Bardziej szczegółowo

Automatyczne przetwarzanie recenzji konsumenckich dla oceny użyteczności produktów i usług

Automatyczne przetwarzanie recenzji konsumenckich dla oceny użyteczności produktów i usług Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Informatyki Ekonomicznej Streszczenie rozprawy doktorskiej Automatyczne przetwarzanie recenzji konsumenckich dla

Bardziej szczegółowo

Automatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec.

Automatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. Automatyka Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. : samoczynny. Automatyka to: dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi, dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity)

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity) Załącznik do Uchwały Nr 1226/2015 Zarządu Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. z dnia 3 grudnia 2015 r. Szczegółowe zasady obliczania wysokości i pobierania opłat giełdowych (tekst jednolity)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak nale

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA W KLASIE II

KRYTERIA OCENIANIA W KLASIE II EDUKACJA POLONISTYCZNA POROZUMIEWANIE SIĘ I KULTURA JEZYKA słuchanie i rozumienie wypowiedzi innych udział w rozmowie wypowiedzi ustne CZYTANIE czytanie i rozumienie opracowanych tekstów rozumienie słuchanych

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA dr inż.. ALEKSANDRA ŁUCZAK Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Katedra Finansów w i Rachunkowości ci Zakład Metod Ilościowych Collegium Maximum,, pokój j 617 Tel. (61) 8466091 luczak@up.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania).

Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania). Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania). W momencie gdy jesteś studentem lub świeżym absolwentem to znajdujesz się w dobrym momencie, aby rozpocząć planowanie swojej ścieżki

Bardziej szczegółowo

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM PLANOWANIE DZIAŁAŃ Określanie drogi zawodowej to szereg różnych decyzji. Dobrze zaplanowana droga pozwala dojechać do określonego miejsca w sposób, który Ci

Bardziej szczegółowo

1. NAUCZANIE JĘZYKÓW NOWOŻYTNYCH (OBOWIĄZKOWYCH) W RAMACH PROGRAMU STUDIÓW STACJONARNYCH (CYKL A I B) I NIESTACJONARNYCH

1. NAUCZANIE JĘZYKÓW NOWOŻYTNYCH (OBOWIĄZKOWYCH) W RAMACH PROGRAMU STUDIÓW STACJONARNYCH (CYKL A I B) I NIESTACJONARNYCH 1 Szczegółowe przepisy wykonawcze na rok akadem. 2010/11 wprowadzające w życie Zarządzenie Rektora PWT we Wrocławiu w sprawie nauczania języków obcych na PWT we Wrocławiu z dnia 29 września 2009 r. 1.

Bardziej szczegółowo

Osoby pracujące na obszarze Starego Miasta w różnym wymiarze godzin stanowią 23% respondentów, 17% odbywa na Starówce spotkania biznesowe i służbowe.

Osoby pracujące na obszarze Starego Miasta w różnym wymiarze godzin stanowią 23% respondentów, 17% odbywa na Starówce spotkania biznesowe i służbowe. Toruńska Starówka według jej mieszkańców i użytkowników podsumowanie wyników ankiety internetowej przeprowadzonej w ramach projektu rewitalizacji Starego Miasta w Toruniu RESTART. Przez kilka miesięcy

Bardziej szczegółowo

PROGRAM STYPENDIALNY GMINY DOBRZYCA

PROGRAM STYPENDIALNY GMINY DOBRZYCA Załącznik do Uchwały nr XLVI/328/2014 Rady Miejskiej Gminy Dobrzyca z dnia 30 czerwca 2014r. PROGRAM STYPENDIALNY GMINY DOBRZYCA 1 Cele i formy realizacji programu 1. Tworzy się Program Stypendialny Gminy

Bardziej szczegółowo

RUCH KONTROLI WYBORÓW. Tabele pomocnicze w celu szybkiego i dokładnego ustalenia wyników głosowania w referendum w dniu 6 września 2015 r.

RUCH KONTROLI WYBORÓW. Tabele pomocnicze w celu szybkiego i dokładnego ustalenia wyników głosowania w referendum w dniu 6 września 2015 r. RUCH KONTROLI WYBORÓW Tabele pomocnicze w celu szybkiego i dokładnego ustalenia wyników głosowania w referendum w dniu września r. Plik zawiera - dwie tabele pomocnicze do zliczania wyników cząstkowych

Bardziej szczegółowo

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.),

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.), Istota umów wzajemnych Podstawa prawna: Księga trzecia. Zobowiązania. Dział III Wykonanie i skutki niewykonania zobowiązań z umów wzajemnych. art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny

Bardziej szczegółowo

Zasady racjonalnego dokumentowania systemu zarządzania

Zasady racjonalnego dokumentowania systemu zarządzania Jerzy Kowalczyk Zasady racjonalnego dokumentowania systemu zarządzania Zasady doskonalenia systemu zarządzania oraz podstawowe procedury wspomagające Zarządzanie jakością VERLAG DASHÖFER Wydawnictwo VERLAG

Bardziej szczegółowo

Regulamin studenckich praktyk zawodowych w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Nowym Sączu

Regulamin studenckich praktyk zawodowych w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Nowym Sączu Regulamin studenckich praktyk zawodowych w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Nowym Sączu 1 1. Uczelnia organizuje studenckie praktyki zawodowe, zwane dalej "praktykami", przewidziane w planach studiów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

STATUT POLSKIEGO STOWARZYSZENIA DYREKTORÓW SZPITALI W KRAKOWIE. Rozdział I

STATUT POLSKIEGO STOWARZYSZENIA DYREKTORÓW SZPITALI W KRAKOWIE. Rozdział I STATUT POLSKIEGO STOWARZYSZENIA DYREKTORÓW SZPITALI W KRAKOWIE Rozdział I Postanowienia Ogólne. 1. Stowarzyszenie nosi nazwę Polskie Stowarzyszenie Dyrektorów Szpitali w Krakowie w dalszej części określone

Bardziej szczegółowo

Wolontariat w Polsce. Gimnazjum Szkoła ponadgimnazjalna. Scenariusz lekcji wychowawczej z wykorzystaniem burzy mózgów. 45 min

Wolontariat w Polsce. Gimnazjum Szkoła ponadgimnazjalna. Scenariusz lekcji wychowawczej z wykorzystaniem burzy mózgów. 45 min Gimnazjum Szkoła ponadgimnazjalna Scenariusz lekcji wychowawczej z wykorzystaniem burzy mózgów 45 min Wolontariat w Polsce Autorka scenariusza: Małgorzata Wojnarowska Cele lekcji: Uczeń: wyjaśnia znaczenie

Bardziej szczegółowo

Efektywna strategia sprzedaży

Efektywna strategia sprzedaży Efektywna strategia sprzedaży F irmy wciąż poszukują metod budowania przewagi rynkowej. Jednym z kluczowych obszarów takiej przewagi jest efektywne zarządzanie siłami sprzedaży. Jak pokazują wyniki badania

Bardziej szczegółowo

Niezależnie od rodzaju materiału dźwiękowego ocenie podlegały następujące elementy pracy egzaminacyjnej:

Niezależnie od rodzaju materiału dźwiękowego ocenie podlegały następujące elementy pracy egzaminacyjnej: W czasie przeprowadzonego w czerwcu 2012 roku etapu praktycznego egzaminu potwierdzającego kwalifikacje zawodowe w zawodzie asystent operatora dźwięku zastosowano sześć zadań. Rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Powiatowy Urząd Pracy w Rawie Mazowieckiej

Powiatowy Urząd Pracy w Rawie Mazowieckiej ...... pieczęć firmowa wnioskodawcy (miejscowość i data) Powiatowy Urząd Pracy w Rawie Mazowieckiej WNIOSEK PRACODAWCY O PRZYZNANIE ŚRODKÓW Z KRAJOWEGO FUNDUSZU SZKOLENIOWEGO NA KSZTAŁCENIE USTAWICZNE

Bardziej szczegółowo

Regionalna Karta Du ej Rodziny

Regionalna Karta Du ej Rodziny Szanowni Pañstwo! Wspieranie rodziny jest jednym z priorytetów polityki spo³ecznej zarówno kraju, jak i województwa lubelskiego. To zadanie szczególnie istotne w obliczu zachodz¹cych procesów demograficznych

Bardziej szczegółowo

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu

Bardziej szczegółowo

Karta Nauczyciela. Ustawa z dnia 26 stycznia 1982 r. (z późniejszymi zmianami)

Karta Nauczyciela. Ustawa z dnia 26 stycznia 1982 r. (z późniejszymi zmianami) Karta Nauczyciela Ustawa z dnia 26 stycznia 1982 r. (z późniejszymi zmianami) Karta Nauczyciela Jest ustawą regulującą prawa i obowiązki nauczyciela, które są konsekwencją szczególnego charakteru pracy

Bardziej szczegółowo

Czy przedsiêbiorstwo, którym zarz¹dzasz, intensywnie siê rozwija, ma wiele oddzia³ów lub kolejne lokalizacje w planach?

Czy przedsiêbiorstwo, którym zarz¹dzasz, intensywnie siê rozwija, ma wiele oddzia³ów lub kolejne lokalizacje w planach? Czy przedsiêbiorstwo, którym zarz¹dzasz, intensywnie siê rozwija, ma wiele oddzia³ów lub kolejne lokalizacje w planach? Czy masz niedosyt informacji niezbêdnych do tego, by mieæ pe³en komfort w podejmowaniu

Bardziej szczegółowo

Temat dnia: Znam niebezpieczeństwa, które mi grożą. W razie ich wystąpienia wiem, jak się zachować.

Temat dnia: Znam niebezpieczeństwa, które mi grożą. W razie ich wystąpienia wiem, jak się zachować. SCENARIUSZ ZAJĘĆ ZINTEGROWANYCH Dzieñ aktywnoœci Kultura bezpieczeñstwa Ośrodek tematyczny: Chcê wiedzieæ coraz wiêcej Temat dnia: Znam niebezpieczeństwa, które mi grożą. W razie ich wystąpienia wiem,

Bardziej szczegółowo

OŚWIADCZENIE O STANIE RODZINNYM I MAJĄTKOWYM ORAZ SYTUACJI MATERIALNEJ

OŚWIADCZENIE O STANIE RODZINNYM I MAJĄTKOWYM ORAZ SYTUACJI MATERIALNEJ OŚWIADCZENIE O STANIE RODZINNYM I MAJĄTKOWYM ORAZ SYTUACJI MATERIALNEJ Niniejsze oświadczenie należy wypełnić czytelnie. W przypadku, gdy zakres informacji wskazany w danym punkcie nie ma odniesienia do

Bardziej szczegółowo

Stronicowanie na ¹danie

Stronicowanie na ¹danie Pamiêæ wirtualna Umo liwia wykonywanie procesów, pomimo e nie s¹ one w ca³oœci przechowywane w pamiêci operacyjnej Logiczna przestrzeñ adresowa mo e byæ du o wiêksza od fizycznej przestrzeni adresowej

Bardziej szczegółowo

Postanowienia ogólne. Usługodawcy oraz prawa do Witryn internetowych lub Aplikacji internetowych

Postanowienia ogólne. Usługodawcy oraz prawa do Witryn internetowych lub Aplikacji internetowych Wyciąg z Uchwały Rady Badania nr 455 z 21 listopada 2012 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uchwała o poszerzeniu możliwości

Bardziej szczegółowo

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego 1.Imię, nazwisko (nazwa) i adres (siedziba) kredytodawcy lub pośrednika kredytowego KREDYTODAWCA: POLI INVEST Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością

Bardziej szczegółowo

Wybrane programy profilaktyczne

Wybrane programy profilaktyczne Wybrane programy profilaktyczne Szkolna interwencja profilaktyczna Szkolna interwencja profilaktyczna Program wczesnej interwencji Profilaktyka selektywna Program adresowany do szkół Opracowanie programu

Bardziej szczegółowo

Regulamin korzystania z serwisu http://www.monitorceidg.pl

Regulamin korzystania z serwisu http://www.monitorceidg.pl Regulamin korzystania z serwisu http://www.monitorceidg.pl 1 [POSTANOWIENIA OGÓLNE] 1. Niniejszy regulamin (dalej: Regulamin ) określa zasady korzystania z serwisu internetowego http://www.monitorceidg.pl

Bardziej szczegółowo

pdfmachine by BroadGun Software

pdfmachine by BroadGun Software 10 ÃWICZENIE 6 ÃWICZENIA W ADRESOWANIU MIESZANYM ÃWICZENIE POKAZOWE nr 6. Oblicz objêtoœã walcó w o promieniu r = 1; 1,5; 2; 7 cm i wysokoœci h = 10; 10,5;..; 18 cm. Wynik podaj w dcm 3 z dokùadnoœci¹

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej

Bardziej szczegółowo

Uchwała Nr XXII / 242 / 04 Rady Miejskiej Turku z dnia 21 grudnia 2004 roku

Uchwała Nr XXII / 242 / 04 Rady Miejskiej Turku z dnia 21 grudnia 2004 roku Informacja dotycząca Stypendiów Burmistrza Miasta Turku za wyniki w nauce, stypendia za osiągnięcia sportowe oraz stypendia za osiągnięcia w dziedzinie kultury i działalności artystycznej. Urząd Miejski

Bardziej szczegółowo

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751 Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

WZÓR SKARGI EUROPEJSKI TRYBUNAŁ PRAW CZŁOWIEKA. Rada Europy. Strasburg, Francja SKARGA. na podstawie Artykułu 34 Europejskiej Konwencji Praw Człowieka

WZÓR SKARGI EUROPEJSKI TRYBUNAŁ PRAW CZŁOWIEKA. Rada Europy. Strasburg, Francja SKARGA. na podstawie Artykułu 34 Europejskiej Konwencji Praw Człowieka WZÓR SKARGI EUROPEJSKI TRYBUNAŁ PRAW CZŁOWIEKA Rada Europy Strasburg, Francja SKARGA na podstawie Artykułu 34 Europejskiej Konwencji Praw Człowieka oraz Artykułu 45-47 Regulaminu Trybunału 1 Adres pocztowy

Bardziej szczegółowo