GRY HAZARDOWE. Siedząc przy grze, masz do wyboru rozkosze dwie: Pierwsza kiedy wygrasz, a druga - gdy nie. Byron, Don Juan, Pieśń XW

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GRY HAZARDOWE. Siedząc przy grze, masz do wyboru rozkosze dwie: Pierwsza kiedy wygrasz, a druga - gdy nie. Byron, Don Juan, Pieśń XW"

Transkrypt

1 GRY HAZARDOWE Siedząc przy grze, masz do wyboru rozkosze dwie: Pierwsza kiedy wygrasz, a druga - gdy nie. Byron, Don Juan, Pieśń XW Letni wieczór w Monte Carlo. Ciepłe powietrze pachnie solą, wodą kolońską, dymem cygar i jachtowym paliwem. Cichym, ale stanowczym krokiem wchodzisz po schodach wysłanych dywanem. Nad tobą błyszczy róŝowa fasada z marmuru i uśmiechają się złote figurki. Czujesz się szczęśliwym wybrańcem losu, chociaŝ przemierzając Salon de l'europe, daremnie próbujesz dociec, dlaczego mają tam więcej okazalszych Ŝyrandoli niŝ ty Odpowiedź jest prosta: pewne rzeczy, w dłuŝszej perspektywie czasowej, zdarzają się częściej od innych. Mesdames et messieurs, faites vos jeux. Ruletka to przyrząd do nauki zasad prawdopodobieństwa Przyjrzyj się tarczy i stołowi, a zobaczysz urządzenie do liczenia zdarzeń i zestawiania ich w grupy. Na kole znajduje się 36 ponumerowanych przegródek, na przemian czarnych i czerwonych. Biorąc pod uwagę prędkość obrotu koła, rowki, skoki kuli i niedbały ruch ręki krupiera nie masz Ŝadnych dobrych powodów, aby sądzić, Ŝe kula szybciej wpadnie do tej a nie innej przegródki. Wydaje się, Ŝe kaŝda z 36 ma równe szanse. A zatem na dłuŝszą metę moŝesz się spodziewać, Ŝe do kaŝdej z przegródek kula będzie wpadać co 1/36 ogólnej liczby prób. Stawiać wolno na jeden numer, na dwa, trzy, cztery, pięć (w Stanach Zjednoczonych), sześć, dwanaście lub osiemnaście pogrupowanych na róŝne sposoby: parzyste lub nieparzyste, czarne lub czerwone, wysokie lub niskie, na ćwiartkę koła lub na orphelins, czyli pozostałe nienaleŝące do ćwiartek. Kasyno uprzejmie dopasowuje twoją potencjalną wygraną proporcjonalnie do twojego zakładu - od 36-krotności twojej stawki postawionej na jeden numer do dwukrotności, gdy wygrasz, typując połowę liczb. Jednym z powodów, dla których tarcza ruletki ma 36 numerów jest to, Ŝe liczbę tę łatwo podzielić według róŝnych proporcji, dając kaŝdemu skryte poczucie sprawiedliwości losu. Gdyby w ruletce chodziło tylko o to, kasyna byłyby organizacjami charytatywnymi zajmującymi się redystrybucją pieniędzy od osób stawiających na czarne lub parzyste, do osób stawiających na czerwone lub nieparzyste i odwrotnie. Drobiazg, który pozwala im zarabiać krocie i jest dla kasyn wszystkim - jest niczym. Dosłownie. Na kole obok 36 liczb jest jeszcze zero. Nie jest to Ŝadna magiczna liczba - kto chce, moŝe na nią stawiać - ale jej obecność wprowadza subtelną zmianę w równowagę pomiędzy wysokością wygranych a prawdopodobieństwem. Za wygraną na jeden numer otrzymujesz 36-krotność stawki, ale szanse na jego wypadnięcie wynoszą tylko 1 do 37. OstroŜne zakłady na rouge albo impair mogą podwoić stawkę, ale szanse na wypadnięcie jednych albo drugich nie są pół na pół, lecz pół na pół minus 1/74. Dlaczego ktoś, kto zdaje sobie sprawę z nierówności szans, miałby stawiać pieniądze? Dlaczego ktoś z własnej woli miałby płacić podatek wysokości 2,703 procent, bo tyle wynosi róŝnica pomiędzy prawdopodobieństwem, Ŝe wypadnie dany numer, a krotnością wypłaty? Niektórzy widzą w tym prowizję za wieczorną rozrywkę polegającą na rozniecaniu poczucia ryzyka. Inni przyglądają się całej zabawie uwaŝniej i - dokonując starannej analizy zawartej w niej koncepcji prawdopodobieństwa - od czasu do czasu rozbijają bank. InŜynier Joseph Jaggers miał 43 lata, pochodził z północnej Anglii i zajmował się kołowrotkami do przędzenia bawełny. Udowodnił teŝ wyŝszość człowieka nad kuszącymi siłami hazardu. Gdy w 1873 roku przyjechał do Monte Carlo, nie miał zielonego pojęcia na temat ruletki, za to wiedział wszystko o kołowrotkach. Jako laicy zakładamy, Ŝe ciche i stabilne koło ruletki musi się toczyć równomiernym torem. Ale praca zawodowa Jaggera polegała na bezskutecznej walce właśnie o to, aby kołowrotki obracały się równomiernie. Nie ma na tym świecie koła, które obracałoby się idealnie wokół swej osi. Maszyny (podobnie jak ludzie) skrzeczą i trajkoczą, a wprawione ucho potrafi je zrozumieć. Jaggers zatrudnił sześciu pomocników, aby przez tydzień zapisywali kaŝdy numer wypadający przy kaŝdym stole w kasynie. Z otrzymanymi wynikami zamknął się w pokoju i odkrył to, czego szukał: jedno koło było wyraźnie spaczone. Z tą wiedzą następnego dnia poszedł grać. Po całym dniu wysokich strat dyrekcja kasyna kazała przenieść koło do innego stołu. Ale Jaggers był

2 spostrzegawczy. Następnego dnia, zdziwiony nagłymi przegranymi, przypomniał sobie, Ŝe jego koło miało drobną rysę. Poszukał pomiędzy stołami i wkrótce znów grał na spaczonym kole. W sumie wygrał równowartość 325 tysięcy dolarów, po czym wyjechał do swojego hrabstwa i nigdy więcej nie wrócił do hazardu. ChociaŜ, prawdę mówiąc, nigdy nie grał hazardowo. Kula musi się gdzieś zatrzymać. Przegródka, do której w końcu wpadnie, stanowi rozwiązanie skomplikowanej, ale ściśle określonej matematycznie sekwencji kolizji, z których kaŝdą moŝna precyzyjnie opisać w kategoriach geometrycznych. Nazywamy to rozwiązanie przypadkiem, poniewaŝ zakładamy, Ŝe kolizje te są tak złoŝone i dochodzi do nich tak szybko, Ŝe fizyka rozkłada ręce i godzi się z tym, Ŝe dopiero po fakcie jesteśmy w stanie zrozumieć, co się stało. Ale gdyby odwrócić czas, dałoby się łatwiej przewidzieć ostatnie dwa odbicia przy załoŝeniu, Ŝe moglibyśmy wyliczyć precyzyjną prędkość ruchu i obrotów kuli oraz koła Właśnie taka myśl stała za techniką Charlesa Deville'a Wellsa, człowieka który rozbił bank w Monte Carlo. Claude Shannon z Massachusetts Institute of Technology (MIT) twórca teorii informatyki, uwaŝał, Ŝe te same komputery, które rozwiązują równanie trajektorii lotu pocisku, zdołają rozpracować koło ruletki. Bazując na tym załoŝeniu, stworzył taki komputer, a w jego ślady poszli później Norman Packard i Doyne Farmer. Ich komputer z 1980 roku, Eudaemonic Pie, zamontowany na bucie, próbował rozwiązać równania ruchu z ostatnich chwil pomiędzy zwolnieniem kuli a końcem zakładów. Pomimo słabego procesora 4K działał na tyle dobrze, Ŝe stał się utrapieniem właścicieli kasyn w Las Vegas. Obecnie w Nevadzie wejście do sali gier z komputerem w bucie stanowi powaŝne przestępstwo. Prostota mechanizmu ruletki od zawsze kusi, aby poszukiwać determinizmu w przypadkowości. Ale wszystko to mija się z istotą hazardu, która zakłada, Ŝe co prawda ogólne szanse są nierówne, ale tu i teraz nie przyjmujemy tego do wiadomości. KaŜdy człowiek wie, Ŝe to, co się dzieje na świecie i to, co faktycznie przydarza się nam, róŝni się między sobą tak jak socjologia i poezja. Nasze osobiste historie mają jakiś sens, to, co nam się przytrafia, to przeznaczenie, a nie jakiś zwykły przypadek. Przy stołach rzucamy losowi wyzwanie, a gdy wchodzimy po tych wysłanych dywanem schodach, chcemy stawać do walki. Myślę o tym, Ŝe za jakieś pięć minut musi trafić do mych rąk około czterystu złotych monet. Właśnie wtedy powinienem odejść, ale ogranie mnie dziwne uczucie, coś jak wyzwanie rzucane losowi, chęć dania mu prztyczka w nos, wykręcenia mu numeru. Gracz Dostojewskiego pierwotnie nosił tytuł Roulettenberg. To był świat, który pisarz znał doskonale: Wiesbaden, Bad Homburg, Baden-Baden - wszystkie niemieckie kurorty regularnie odwiedzane przez głośnych, rudowłosych Rosjan z coraz bardziej niezadowolonymi Ŝonami. Dostojewski przyjeŝdŝał zazwyczaj pełen wiary w siebie, trochę wygrywał, ale przez krótki czas, bo potem pogrąŝał się w katastrofalnych stratach, poczuciu winy i Ŝalu. Podobnie jak dla większości hazardzistów, strata była dla niego aberracją - zupełnie niespodziewaną usterką doskonale spisującego się dotychczas systemu. Zawarły w niej przekaz nie brzmiał: nie próbuj wygrać z kasynem, lecz: juŝ prawie to masz, jeszcze tylko drobna poprawka, a wszystko będzie działać idealnie. Z kosmosu ocean wygląda jak gładka, błękitna zbroja. Z samolotu widać juŝ nieregularności kutego metalu. A na tratwie podczas sztormu widzimy tylko tę falę, która jest nad nami, i tę, która właśnie się zbliŝa Mimo to nadal próbujemy doszukać się jakiejś prawidłowości w naszym nieszczęściu i wykorzystać szansę fragmentarycznego przewidzenia biegu wypadków. Na dłuŝszą metę wyraźnie widać, Ŝe kasyno ma przewagę. Ale po co tak długo czekać? śycie jest tu i teraz. Dlaczego nie spróbować wykorzystać chwilowych odstępstw od ogólnego trendu? Łatwo zetknąć się z opowieściami popierającymi koncepcję miejscowych nierówności na generalnie gładkiej powierzchni. W 1911 roku William Nelson Darnborough, najszczęśliwszy, o ile nie najsłynniejszy syn Bloomington w stanie Illinois, postawił na 5 i wygrał w pięciu następujących po sobie kolejkach. W sierpniu 1913 roku w Monte Carlo czarne wypadło dwadzieścia sześć razy z rzędu. 14 lipca 2000 roku w Caesars Palace w Las Vegas przy kole 211 sześć razy z kolei wypadła 7. Gdybyś załapał się na ten ostatni przypadek i postawił Ŝeton wartości 2 dolarów, a potem reinwestował wygrane i - co najwaŝniejsze - odszedł od stołu w odpowiednim momencie, to twój majątek wyniósłby na czysto ponad 4 miliardy dolarów - o ile przv stole nie byłoby jakichś ograniczeń. Ale nikt nie popłynął na tej fali. W rzeczywistości chociaŝ zebrał się duŝy tłum, a całe wydarzenie silnie oddziaływało na wyobraźnię, kasyno straciło przy tym stole na tych sześciu kolejkach zaledwie 300 dolarów. Gdy w Monte Carlo rządziło czarne, kasyno wygrało miliony franków, bo gracze byli

3 przekonani, Ŝe prawo przypadku oznacza, iŝ passa musi się skończyć wcześniej, niŝ się faktycznie skończyła, i Ŝe czerwonemu jakoś uda się przywrócić równowagę. W psychologii gry zawiera się zarówno przekonanie, Ŝe zdarzają się nietypowe sytuacje, jak i trudność uwierzenia gdy rzeczywiście do nich dochodzi. Jesteśmy skazani na niejednolitość natury długiego okresu czasowego. Tak jak widziany z kosmosu spokojny ocean w rzeczywistości składa się z huraganów i miejsc z martwą ciszą, tak działania powtarzane przez pewien czas ujawniają znaczne odstępstwa od spodziewanych normalnie rezultatów. Odstępstwa, które nie stanowią złamania prawa prawdopodobieństwa, lecz same w sobie są prawdopodobne. Weźmy serię czarnych w Monte Carlo. ZałóŜmy, Ŝe kasyno było tak uprzejme i dało nam koło bez zera. Wtedy szanse na wypadnięcie czarnego pola w jednej kolejce wynoszą 18/36, czyli dokładnie 50 procent. A jakie są szanse, Ŝe czarne pole wypadnie dwa razy z rzędu? CóŜ, moŝemy wymienić wszystkie moŝliwe wyniki dwóch rzutów: najpierw czarne, potem teŝ czarne; najpierw czarne, potem czerwone; najpierw czerwone, potem czarne; najpierw czerwone i potem teŝ czerwone. Ustalamy, Ŝe prawdopodobieństwo wypadnięcia dwóch czarnych pól po kolei wynosi jeden do czterech. Wyniki kolejnych gier moŝemy przedstawić pod postacią drzewa prawdopodobieństwa, które rozwidla się, wypuszczając dwa razy tyle gałęzi przy kaŝdej grze: dwie przy pierwszej, cztery przy drugiej, osiem przy trzeciej i tak dalej. Tylko na jednej z wszystkich tych losowych gałęzi będą usadowione wyłącznie czarne. Istnieje prawdopodobieństwo 1/2, Ŝe za pierwszym razem wypadnie czarne, 1/4 - Ŝe za drugim i 1/8 - Ŝe za trzecim. A zatem prawdopodobieństwo, Ŝe czarne wypadnie dwadzieścia sześć raz po kolei, wynosi 1/2 pomnoŝona przez samą siebie 26 razy, czyli jeden do około 67 milionów. Rzeczywiście rzadki przypadek. Ale pomyślmy, ile razy koła ruletki są wprawiane w ruch. Sześć stołów, kaŝde koło wiruje raz na minutę przez 24 godziny na dobę, przez 360 dni w roku. Jeden salon w Monte Carlo wykonuje ten eksperyment 67 milionów razy przez około 43 lata. Jeśli wierzyłbyś w prawo średniej, to mógłbyś powiedzieć, Ŝe Monte Carlo jest nam dłuŝne kolejny taki przypadek juŝ od pół wieku. Myśląc takimi kategoriami i czekając na coś, co powinno się wydarzyć, popełniamy błąd - zwany czasem złudzeniem gracza - na który nic nie moŝemy poradzić. Problem polega na tym, Ŝe musimy Ŝyć od początku, a rozumiemy Ŝycie dopiero, gdy obserwujemy je z końca W efekcie całe nasze doświadczenie sprowadza się do wyciągania prowizorycznych wniosków opartych na niedostatecznych dowodach - na odczytywaniu znaków i wyliczaniu szans. Niedawne badania wykonywane za pomocą skanera PET (tomografi pozytonowej) ujawniły, Ŝe nawet gdy badanym mówiono, iŝ obserwują bodźce w całkowicie losowej kolejności, części mózgu odpowiadające za znajdowanie prawidłowości świeciły jak okolice Las Vegas. Dostrzegamy twarze w chmurach, w kamieniach słyszymy kazania znajdujemy ukryte przesłania w staroŝytnych tekstach. Wiara, Ŝe rzeczy odkrywają znaczenia poprzez prawidłowości, to dar, który wynieśliśmy jeszcze z Edenu. Problem jednak w tym, Ŝe niektóre rzeczy mogą mieć kształt bez struktury, samą zewnętrzną formę znaczenia nie mając Ŝadnej treści. Jeśli podzielić ciąg przypadkowych liter na serie zbliŝone długością do angielskich słów, od razu wygląda to jak kod. Litery wybrane z dostatecznie długiej ksiąŝki zgodnie z subiektywnymi regułami będą zawierać jakieś przekazy dzięki ogromnej liczbie kombinacji. Po zamieszaniu, jakiego narobiło odnalezienie tą metodą w Torze nazwisk słynnych rabinów i izraelskich polityków, australijski matematyk doszukał się słynnych nazwisk - między innymi Indiry Gandhi, Abrahama Lincolna i Johna Kennedy'ego - w Moby Dicku. Tak samo jest z numerami wypadającymi w ruletce. Jednolitość prawdopodobieństwa w długim okresie powoduje, Ŝe kaŝda drobna nierówność budzi naszą obsesję szukania prawidłowości. Im dłuŝsza sekwencja danych, relatywne proporcje parzystych do nieparzystych lub czarnych do czerwonych rzeczywiście zbliŝają się do przewidywanego przez prawdopodobieństwo pół na pół, ale absolutna rozbieŝność pomiędzy jednymi a drugimi ulega powiększeniu. Obróćmy kołem ruletki trzy razy - czerwone wypadło dwa razy częściej niŝ czarne, ale dzieli je róŝnica tylko jednej kolejki. Zakręćmy kołem dziesięć tysięcy razy, a proporcje czerwonych i czarnych będą prawie równe... ale jeden procent róŝnicy świadczy o tym, Ŝe jeden kolor wypadł o sto razy więcej niŝ drugi. Te sto razy nie muszą się rozkładać w całej sekwencji równomiernie. Jeśli będziesz rozpatrywać, grę w nieskończoną przyszłość, to moŝesz być pewien, Ŝe jeden kolor lub jeden numer będzie wypadał częściej lub rzadziej niŝ sugeruje prawdopodobieństwo, niezaleŝnie od tego, jaki margines sobie wyznaczysz.

4 MoŜna argumentować, Ŝe to zwykła matematyczna zabawa, która wykorzystuje młot wielkich liczb do wyklepania interesujących nierówności do płaskiej powierzchni jednolitości. Ale to twierdzenie odnosi się do kaŝdego obrotu koła ruletki i kaŝdego rzutu kością. Informuje nas, Ŝe gra niczego nie pamięta i do niczego nie jest zobowiązana Nie ma znaczenia czy jest to pierwsza, czy ostatnia kolejka z miliona Prawo średniej rządzi kaŝdą grą, tak jak car wszystkich Rosjan rządzi kaŝdą wioską - absolutnie, ale z dystansu. Dlaczego nie moŝemy w to uwierzyć? Bo nie obserwujemy działania tego prawa osobiście. Wartość, jaką przypisujemy danym rzeczom, pozostaje w zaledwie luźnych relacjach z ich rzeczywistym prawdopodobieństwem. ChociaŜ szanse w ruletce i rankingi układów kart w pokerze trafnie odzwierciedlają prawdopodobieństwo kaŝdego zdarzenia nie przywiązujemy do nich jednakowej wagi. Kolor z ręki wyciągnięty osiem lat temu w partyjce na imieninach szwagra nie tylko przyćmiewa, ale wręcz wymazuje tysiące kiepskich rozdań, które mieliśmy przez wiele lat gry. Taka wybiórczość pamięci - podkreślająca zwycięstwa i przyćmiewająca poraŝki - prawdopodobnie wyjaśnia, dlaczego starzy ludzie uwaŝają się za szczęśliwszych niŝ młodzi. Patrzymy na Ŝycie jak na tekst literacki i... dokonujemy sprawnej redakcji. Znana z kasyn gra w kości o nazwie chaps, rozpatrywana jako ćwiczenie probabilistyczne, dokładnie pokazuje, w jaki sposób subiektywny odbiór walki z losem odbiega od rzeczywistości. Para kości róŝni się od ruletki tym, Ŝe róŝne wartości mają niejednakowe szanse wypadnięcia Jak juŝ zaobserwowaliśmy, istnieje 6 x 6 = 36 sposobów, na jakie dwie kości mogą utworzyć sumę. Jest zatem tylko jedna moŝliwość otrzymania 2 lub 12, dwie moŝliwości wyrzucenia 3 lub 11, trzy - 4 i 10, cztery - 5 i 9, pięć - 6 i 8 oraz sześć szans na 7. Do tych szans zostały dopasowane reguły gry i wypłat. W pierwszym rzucie moŝesz wygrać dzięki najczęstszej sumie (7, ale takŝe 11), a przegrać dzięki rzadkim wynikom (2, 12, 3). W dalszej części gry sytuacja ulega zmianie. Gdy juŝ ustaliłeś swój punkt wyjściowy (to moŝe być 4, 5, 6, 8, 9 lub 10), musisz wyrzucić go po raz drugi, zanim wyrzucisz najpopularniejszy wynik, czyli 7. Niektóre sumy łatwiej otrzymać niŝ inne. Trudne jest ponowne wyrzucenie czwórki lub dziesiątki. Jeśli rzucasz, zaraz zaobserwujesz, Ŝe ludzie obstawiają przeciwko tobie, wrzucając Ŝetony do przegródki Don't Pass. Szóstka i ósemka są bardziej prawdopodobne i moŝesz oczekiwać, Ŝe tym razem publiczność będzie za tobą. Czy w crapsie istnieje jakaś ogólna zasada prawdopodobieństwa? Czy jest szansa, aby wziąć kości i wykonać spektakularny rzut? MoŜna to obliczyć do pewnego poziomu - tak jak moŝemy zsumować liczbę sposobów wyrzucenia siódemki i porównać ją z ogólną liczbą przypadków, tak moŝemy zsumować liczbę sposobów otrzymania swojego punktu i porównania go z ogólną liczbą moŝliwych wyników. Zastanawiasz się być moŝe, dlaczego moŝemy sumować wszystkie moŝliwości? Bo nie zachodzą na siebie - są wzajemnie wyłączne. Równoległy świat, w którym wygrywasz łatwy pierwszy rzut, róŝni się od świata, w którym wygrywasz trudny zakład na dziesiątkę. Tutaj wolno nam zsumować wszystko, co moŝe się zdarzyć, i wykorzystać to do wyznaczenia tego, co się zdarzy. A zatem w crapsie po zsumowaniu wszystkich moŝliwości zwycięstw wychodzi, Ŝe rzucający powinien mieć przewagę w sumie w nieco ponad 49 procentach przypadków. Tak więc gość, który siedzi przy stole do kości, ma mniejsze szanse na wygraną niŝ babinka, która stawia Ŝeton na czarne w Monte Carlo. Jednak w Las Vegas gracz w kości ma większe szanse niŝ gracz w ruletkę, poniewaŝ na amerykańskim kole znajdują się dwa zera, a zatem zdwajają się szanse kasyna Dlaczego nie moŝemy się doczekać swojej kolejki na rzut kośćmi? Być moŝe dlatego, Ŝe rzucanie daje moŝliwość czynnej walki z losem za pomocą gestów i rytuałów, które napełniają bezduszny sześcianik z octanu celulozy mocą naszej woli. Dwie kości mogą ci powiedzieć tylko 36 rzeczy - jedne bardziej przyjemne, inne mniej. Ale juŝ talia kart znacznie powiększa zakres moŝliwości, a gracz zyskuje poczucie bezmiernej nieskończoności. Jeśli wyciągasz jedną kartę z 52, to pozostaje 51 kandydatek do wyciągnięcia przy drugim podejściu, 50 przy trzecim i tak dalej. Dla całej talii liczba moŝliwości (52 x 51 x 50 x... x 3 x 2 x 1, czyli 52 silnia, co zapisuje się: 52!) składa się z sześćdziesięciu ośmiu cyfr, jest zatem o wiele wyŝsza niŝ suma wszystkich ziarenek piasku na wszystkich plaŝach świata albo cząsteczek wody we wszystkich oceanach. W rzeczywistości moŝna więc zakładać, Ŝe w dobrze potasowanej talii nie ma szans, aby w całej historii gier karcianych dwa razy wypadła ta sama kolejność.

5 Ale dobrze potasowane to zwrot o wiele bardziej skomplikowany, niŝ się wydaje. MoŜna załoŝyć, Ŝe tasowanie talii to to samo, co zakręcenie kołem ruletki, czyli zachęta do gry, zrobienie na stole miejsca do walki gracza z losem. Ale tasowanie nie za kaŝdym razem rozpoczyna się od tego samego punktu. Gdy kręcisz kołem ruletki raz i drugi, to w kaŝdej kolejce 35 albo czerwone ma takie same szanse wypadnięcia Natomiast talia kart nie resetuje się do zera po kaŝdym tasowaniu. Jeśli przełoŝyłeś karty dwa razy, albo dwa razy przetasowałeś, to znalazłeś się dwa kroki od początkowego układu talii. Wynik drugiego tasowania zaleŝy od pierwszego. Jeśli jakimś cudem za drugim razem udało ci się potasować w ten sam sposób jak za pierwszym, wynik i tak będzie inny Tego typu bezwzględne następstwa nazywa się błądzeniem losowym. Powiedzmy, Ŝe idziesz z małym dzieckiem do parku, masz piłkę tenisową i psa i zamierzasz rozłoŝyć koc gdzieś na otwartej przestrzeni. Dziecko (Lucy) i pies (Dino) tryskają energią i grają w piłkę. Lucy za kaŝdym razem wyrzuca piłkę na odległość mniej więcej trzech metrów, ale prawie wcale nie ma wpływu na to, w którym kierunku. Dino jeszcze nie umie aportować: po kaŝdym rzucie Lucy kładzie się na piłce i szczeka do chwili, aŝ dziewczynka ją mu zabierze. Jak sądzisz, jak daleko od koca będzie Lucy, gdy podniesiesz wzrok? Domyślasz się, Ŝe to zaleŝy od tego, ile razy rzuciła piłką. ChociaŜ za kaŝdym razem piłka leci w losowym kierunku, w procesie tym istnieje pewne następstwo. Po trzech rzutach nie mogła być dalej niŝ dziewięć metrów, ale istnieje prawdopodobieństwo, Ŝe wracała w kierunku koca Tak naprawdę tego typu dwuwymiarowa wędrówka prędzej czy później na pewno dotrze do punktu wyjściowego. Wiedząc, na jaką odległość Lucy potrafi rzucić piłkę, moŝesz wyliczyć prawdopodobieństwo, z jakim dziewczynka znajdzie się w określonym oddaleniu jako funkcję liczby rzutów - dla n rzutów średnia odległość przemierzona podczas kilku piknikowych spacerów wyniesie Vn razy długość jednego rzutu. Te tak zwane procesy stochastyczne ujawniają się tam, gdzie przypadkowość zostanie zastosowana do wyniku innej funkcji losowej. Na przykład podsuwają metodę opisu czynnika przypadkowości na rynkach finansowych. Nie kaŝdego dnia jest moŝliwa kaŝda wartość indeksu Dow Jones. Zakres wahań cen zaleŝy od cen otwarcia. Podobnie w tasowaniu - wynik jednego jest punktem wyjściowym drugiego. A zatem jeśli otrzymałeś talię kart ułoŝonych w określonym porządku, to ile przełoŝeń musi mieć tasowanie, aby kolejność kart była faktycznie przypadkowa? Do najwaŝniejszych postaci nowoŝytnej probabilistyki naleŝy Persi Diaconis. Zanim został profesorem matematyki i statystyki na Uniwersytecie Stanforda, był zawodowym magikiem. Doskonale wiedział, jak daleki od przypadkowego moŝe być układ kart w talii i jak to wykorzystać do tworzenia niewiarygodnych efektów. Właśnie dlatego magicy zagadują publiczność, gdy tasują karty. Diaconis i jego współpracownicy potraktowali tasowanie jako błądzenie losowe, badając je pod kątem tego, ile razy trzeba przełoŝyć lub przemieszać karty, aby zaginął wszelki dostrzegalny porządek. Za kryterium przyjęli liczbę rosnących sekwensów. JeŜeli na początku ułoŝyłeś talię od 1 do 52, po przetasowaniu nadal moŝna w niej znaleźć karty ułoŝone tak, Ŝe 3 jest przed 6, a 6 przed 9... To za słabe podpowiedzi, aby kryptolog mógł odszyfrować ich układ pierwotny? O dziwo po pierwszych trzech lub czterech przetasowaniach zostaje całkiem sporo takich sekwensów. Jeśli porównać to do losowej wędrówki Lucy, to dziewczynka nie oddaliła się zbytnio od koca. Dopiero po sześciu przetasowaniach liczba uporządkowanych sekwensów znacznie przybliŝa się do zera. A po siedmiu - stosując tę normę - układ kart staje się całkowicie losowy. A to oznacza, Ŝe jeśli grasz w pokera i dostajesz do ręki karty potasowane raz, to wcale nie bierzesz udziału w grze losowej. Nad tym, abyś dostał fula, ktoś się napracował.

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 1/9 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 Zadanie 1 Zapisz pięć liczb całkowitych co najmniej trzycyfrowych oraz liczby do nich przeciwne. Następnie uszereguj

Bardziej szczegółowo

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów.

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów. 1. Gry dotyczące systemu dziesiętnego Pomoce: kostka dziesięciościenna i/albo karty z cyframi. KaŜdy rywalizuje z kaŝdym. KaŜdy gracz rysuje planszę: Prowadzący rzuca dziesięciościenną kostką albo losuje

Bardziej szczegółowo

Spekulacja na rynkach finansowych. znajomość narzędzi czy siebie? Grzegorz Zalewski DM BOŚ S.A.

Spekulacja na rynkach finansowych. znajomość narzędzi czy siebie? Grzegorz Zalewski DM BOŚ S.A. Spekulacja na rynkach finansowych znajomość narzędzi czy siebie? Grzegorz Zalewski DM BOŚ S.A. Narzędzia 2 Analiza techniczna Analiza fundamentalna Narzędzia (2) 3 AT astrologia rynków finansowych AF alchemia

Bardziej szczegółowo

Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH

Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Rozgrywki sportowe moŝna organizować na kilka róŝnych sposobów, w zaleŝności od liczby zgłoszonych druŝyn, czasu, liczby boisk

Bardziej szczegółowo

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Empik każdego inspiruje inaczej Aleksander Puszkin (1799 1837) Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856 1922) Wśród 20 tysięcy początkowych

Bardziej szczegółowo

ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY

ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY 12355541 Rummikub ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY Dla 2 4 graczy w wieku od 7 lat Zawartość opakowania: 104 kostki do gry, ponumerowane od 1 do 13, w czterech kolorach

Bardziej szczegółowo

Psychologia gracza giełdowego

Psychologia gracza giełdowego Psychologia gracza giełdowego Grzegorz Zalewski DM BOŚ S.A. Hipoteza rynku efektywnego 2 Ceny papierów wartościowych w pełni odzwierciedlają wszystkie dostępne informacje. Hipoteza rynku efektywnego (2)

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

PHASE 10 LICZBA GRACZY: 2-6

PHASE 10 LICZBA GRACZY: 2-6 PHASE 10 LICZBA GRACZY: 2-6 CEL GRY: Być pierwszym graczem, który ukończy wszystkie 10 faz. W przypadku remisu gracz z mniejszym wynikiem zostaje zwycięzcą. ZAWARTOŚĆ: Karty ściągi (opisujące 10 faz) oraz

Bardziej szczegółowo

Gra planszowa dla 2 5 graczy w wieku powyżej 4 lat

Gra planszowa dla 2 5 graczy w wieku powyżej 4 lat ZAWARTOŚĆ PUDEŁKA: 1 plansza 1 dwunastościenna kostka 36 kartoników ze zdjęciami potwora Nessie 1 woreczek 12 figurek fotografów (3 żółte, 3 czerwone, 2 niebieskie, 2 czarne i 2 zielone) 1 figurka potwora

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

Dobble? Co to takiego?

Dobble? Co to takiego? SZALONA GRA WYMAGAJĄCA REFLEKSU OD 2 DO 8 GRACZY OD 6. ROKU ŻYCIA GWIEZDNE WOJNY ZASADY GRY Dobble? Co to takiego? Gra Dobble składa się z 55 kart. Na każdej z nich znajduje się 8 różnych symboli z puli

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Ankieta. Instrukcja i Pytania Ankiety dla młodzieży.

Ankieta. Instrukcja i Pytania Ankiety dla młodzieży. Ankieta Instrukcja i Pytania Ankiety dla młodzieży www.fundamentywiary.pl Pytania ankiety i instrukcje Informacje wstępne Wybierz datę przeprowadzenia ankiety w czasie typowego spotkania grupy młodzieżowej.

Bardziej szczegółowo

Rozdział II 1. podręcznika Wolna przedsiębiorczość - Dział Drugi: Przedsiębiorczość w teorii - Ryzyko i ubezpieczenie

Rozdział II 1. podręcznika Wolna przedsiębiorczość - Dział Drugi: Przedsiębiorczość w teorii - Ryzyko i ubezpieczenie Rozdział II 1. podręcznika Wolna przedsiębiorczość - Dział Drugi: Przedsiębiorczość w teorii - Ryzyko i ubezpieczenie Autor: Mateusz Machaj Poniżej przedstawiamy wersję roboczą rozdziału pierwszego działu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Plenerowa gra wikingów!

Plenerowa gra wikingów! Plenerowa gra wikingów! Kubb jest popularną grą plenerową, w której celem jest przewrócenie drewnianych kręgli, rzucanymi w nie zbijakami. przewróć drewniane kręgle w kształcie klocków a następnie Króla,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

QUIZ O ŚWIECIE INSTRUKCJA WARIANT I

QUIZ O ŚWIECIE INSTRUKCJA WARIANT I INSTRUKCJA QUIZ O ŚWIECIE WARIANT I rekwizyty: 1) karty pytań i odpowiedzi - 97 szt. 2) karty liter a, b, c - 4 x 3 szt. 3) karta z nazwami działów - 1 szt. 4) pionki do gry - 4 szt. 5) kostka do gry 6)

Bardziej szczegółowo

Ułamki? To proste 140-2511

Ułamki? To proste 140-2511 IMPORTER: educarium spółka z o.o. ul. Grunwaldzka 207, 85-451 Bydgoszcz tel. (52) 320-06-40, 322-48-13 fax (52) 321-02-51 e-mail: info@educarium.pl portal edukacyjny: www.educarium.pl sklep internetowy:

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku.

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Dla nauczyciela Spotkanie 9 Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Na zajęcia potrzebne będą pomoce tzn. kostki do gry, talia kart, monety lub inne. Przy omawianiu doświadczeń losowych

Bardziej szczegółowo

Dorota Sosulska pedagog szkolny

Dorota Sosulska pedagog szkolny Czasem zapominamy o prostych potrzebach, które dzieci komunikują nam na co dzień. Zapraszam więc wszystkich dorosłych do zatrzymania się w biegu, pochylenia się nad swoimi pociechami i usłyszenia, co mają

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ Klasa POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze

Bardziej szczegółowo

Zawartość: Cel gry. Przygotowanie gry. Jak Grać

Zawartość: Cel gry. Przygotowanie gry. Jak Grać Zawartość: 108 Płytek Sieci Hotelowych 7 Znaczników Sieci Hotelowych 175 Świadectw Udziałowych Papierowe Pieniądze Plansza Instrukcja Cel gry Jesteś przedsiębiorczym, prawdziwym potentatem nieruchomości,

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

QUIZ PRZYRODA I GEOGRAFIA POLSKI

QUIZ PRZYRODA I GEOGRAFIA POLSKI INSTRUKCJA QUIZ PRZYRODA I GEOGRAFIA POLSKI WARIANT I rekwizyty: 1) karty pytań i odpowiedzi - 98 szt. 2) karty liter a, b - 4 x 2 szt. 3) karty ze znakiem? - 4 szt. 4) pionki do gry - 4 szt. 5) kostka

Bardziej szczegółowo

Dzięki ćwiczeniom z panią Suzuki w szkole Hagukumi oraz z moją mamą nauczyłem się komunikować za pomocą pisma. Teraz umiem nawet pisać na komputerze.

Dzięki ćwiczeniom z panią Suzuki w szkole Hagukumi oraz z moją mamą nauczyłem się komunikować za pomocą pisma. Teraz umiem nawet pisać na komputerze. Przedmowa Kiedy byłem mały, nawet nie wiedziałem, że jestem dzieckiem specjalnej troski. Jak się o tym dowiedziałem? Ludzie powiedzieli mi, że jestem inny niż wszyscy i że to jest problem. To była prawda.

Bardziej szczegółowo

DOOKOŁA ŚWIATA Z MARTYNĄ WOJCIECHOWSKĄ

DOOKOŁA ŚWIATA Z MARTYNĄ WOJCIECHOWSKĄ INSTRUKCJA DOOKOŁA ŚWIATA Z MARTYNĄ WOJCIECHOWSKĄ rekwizyty: 1) karty pytań i odpowiedzi - 90 szt. 2) karty liter a, b - 3 x 2 szt. 3) karty pocztówki z podróży - 4 szt. 4) karty opowieści Martyny - 10

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

V Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych województwa wielkopolskiego

V Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok V Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych ETAP REJONOWY Rok szkolny 01/016 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 1

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Popyt rynkowy. Wyprowadzenie funkcji popytu z funkcji uŝyteczności

Popyt rynkowy. Wyprowadzenie funkcji popytu z funkcji uŝyteczności Popyt rynkowy Wyprowadzenie funkcji popytu z funkcji uŝyteczności Zadanie 1 (*) Jak zwykle w tego typu zadaniach darujmy sobie tworzenie sztucznych przykładów i będziemy analizować wybór między dwoma dobrami

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA

WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA SZYBKI BILL 15 kart czerwonych i 15 kart czarnych na których występują trudniejsze przypadki tabliczki

Bardziej szczegółowo

Probabilistyka przykłady

Probabilistyka przykłady Probabilistyka przykłady Przestrzeń zdarzeń Zapisać przestrzeń zdarzeń dla: 1.liczby wygranych gier w serii liczącej trzy gry 2.liczby wizyt u lekarza w ciągu roku 3.ilości czasu (w minutach) od wezwania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny półroczne i roczne w roku szkolnym

GIMNAZJUM Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny półroczne i roczne w roku szkolnym GIMNAZJUM Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny półroczne i roczne w roku szkolnym 2013-2014 Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: wykorzystuje na lekcjach matematyki wiadomości z innych

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ ZA JĘĆ KLASA: III BLOK TEMATYCZNY: TEMAT: PODSTAWA PROGRAMOWA:

SCENARIUSZ ZA JĘĆ KLASA: III BLOK TEMATYCZNY: TEMAT: PODSTAWA PROGRAMOWA: SCENARIUSZ ZA JĘĆ KLASA: III BLOK TEMATYCZNY: W jesiennej szacie TEMAT: Mnożenie w zakresie 100. Utrwalanie. PODSTAWA PROGRAMOWA: Edukacja matematyczna: - (7.6) mnożny i dzieli liczby w zakresie tabliczki

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę POZNAŃ MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1 29). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. gra edukacyjna dla 2 6 graczy rekomendowany wiek: od lat 10 WARIANT I

INSTRUKCJA. gra edukacyjna dla 2 6 graczy rekomendowany wiek: od lat 10 WARIANT I INSTRUKCJA gra edukacyjna dla 2 6 graczy rekomendowany wiek: od lat 10 WARIANT I rekwizyty: 1) karty pytań i odpowiedzi - 191 szt. 2) karty liter a, b - 6 x 2 szt. 3) karty ważna data - 17 szt. 4) pionki

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN. Powiatowego Turnieju w Bilard

REGULAMIN. Powiatowego Turnieju w Bilard REGULAMIN Powiatowego Turnieju w Bilard 1. Organizator Organizatorem Powiatowego Turnieju w Bilarda jest Gminny Ośrodek Kultury w Dobrej, ul. Graniczna 31 2. Patroni medialni: Portal powiatpolicki.pl,

Bardziej szczegółowo

Odzyskajcie kontrolę nad swoim losem

Odzyskajcie kontrolę nad swoim losem Odzyskajcie kontrolę nad swoim losem Mocno wierzę w szczęście i stwierdzam, że im bardziej nad nim pracuję, tym więcej go mam. Thomas Jefferson Czy zadaliście już sobie pytanie, jaki jest pierwszy warunek

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naleŝy powielać ani udostępniać w Ŝadnej formie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

XXII Konferencja SNM. Porozmawiajmy o walorach dydaktycznych SET Game

XXII Konferencja SNM. Porozmawiajmy o walorach dydaktycznych SET Game 1 XXII Konferencja SNM AKTYWNOŚCI MATEMATYCZNE Katarzyna Sikora, (Chorzów) ksikora35@gmail.com Porozmawiajmy o walorach dydaktycznych SET Game Streszczenie. Podczas warsztatów uczestnicy poznali historię

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY IV : 1. przeczyta i zapisze liczbę wielocyfrową (do tysięcy) 2. zna nazwy rzędów

Bardziej szczegółowo

Czy się zdarzy, to co się nam zamarzy? Wahid Ben Khalfa Przemysław Prucnal

Czy się zdarzy, to co się nam zamarzy? Wahid Ben Khalfa Przemysław Prucnal Czy się zdarzy, to co się nam zamarzy? Wahid Ben Khalfa Przemysław Prucnal Klasa VI B Ogólnokształcąca Szkoła Muzyczna I stopnia im. I. J. Paderewskiego, Kraków opieka merytoryczna: mgr Joanna Zagórska

Bardziej szczegółowo

WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO 2 5 GRACZY W WIEKU OD 4 LAT

WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO 2 5 GRACZY W WIEKU OD 4 LAT WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO 2 5 GRACZY W WIEKU OD 4 LAT Zasady gry Dobble Gdzie jest Dory co to takiego? Dobble Gdzie jest Dory to 30 różnych kart z symbolami pochodzącymi ze świata tego filmu.

Bardziej szczegółowo

Kto jeszcze gra w domino?

Kto jeszcze gra w domino? Mirosław Dąbrowski Kto jeszcze gra w domino? Domino, choć wciąż jeszcze można jego zestawy kupić w sklepach z zabawkami, nie należy już chyba do bardzo popularnych dziecięcych rozrywek. Szkoda, bo gra

Bardziej szczegółowo

Kurs obsługi arkusza kalkulacyjnego EXCEL dla nauczycieli Szkoły Podstawowej nr5 w Wodzisławiu Śląskim w roku szkolnym 2004/2005

Kurs obsługi arkusza kalkulacyjnego EXCEL dla nauczycieli Szkoły Podstawowej nr5 w Wodzisławiu Śląskim w roku szkolnym 2004/2005 Kurs obsługi arkusza kalkulacyjnego EXCEL dla nauczycieli Szkoły Podstawowej nr5 w Wodzisławiu Śląskim w roku szkolnym 2004/2005 Kurs z zakresu obsługi arkusza kalkulacyjnego Excel przeznaczony jest dla

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć do programu kształcenia Myślę- działam- idę w świat

Scenariusz zajęć do programu kształcenia Myślę- działam- idę w świat Scenariusz zajęć do programu kształcenia Myślę- działam- idę w świat Aur: Danuta Szymczak Klasa II Edukacja: polonistyczna, muzyczna, społeczna, matematyczna. Cel/cele zajęć: -doskonalenie umiejętności

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. Zdobyte punkty gracz zaznacza na torze punktów (na swojej planszy gospodarstwa). Przesuwa do przodu pionek o tyle pól, ile zdobył punktów.

INSTRUKCJA. Zdobyte punkty gracz zaznacza na torze punktów (na swojej planszy gospodarstwa). Przesuwa do przodu pionek o tyle pól, ile zdobył punktów. Zdobyte punkty gracz zaznacza na torze punktów (na swojej planszy gospodarstwa). Przesuwa do przodu pionek o tyle pól, ile zdobył punktów. Rzut kostkami zwierząt znajdującymi się na niższych polach - jeśli

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR 1 ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342

SPRAWDZIAN NR 1 ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342 TECHNIKI ANALITYCZNE W BIZNESIE SPRAWDZIAN NR 1 Autor pracy ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342 Kraków, 22 Grudnia 2009 2 Spis treści 1 Zadanie 1... 3 1.1 Szereg rozdzielczy wag kobiałek.... 4 1.2 Histogram

Bardziej szczegółowo

UMIEJĘTNOŚCI PREZENTACYJNE

UMIEJĘTNOŚCI PREZENTACYJNE UMIEJĘTNOŚCI PREZENTACYJNE W największym skrócie prezentacja to pokaz. Dlatego pamiętaj, Ŝe prezentacja jest przedstawieniem, w którym grasz główną rolę. RóŜnica polega na tym, Ŝe celem twojego przedstawienia

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Klasa I I. Liczby. 1. Zamienia liczby dziesiętne na ułamki zwykłe i liczby mieszane. 2. Zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego.

Bardziej szczegółowo

Małopolski Konkurs Matematyczny etap szkolny

Małopolski Konkurs Matematyczny etap szkolny Kod ucznia Miejsce na metryczkę ucznia Liczba punktów moŝliwa do uzyskania 26 Uzyskana liczba punktów Drogi Uczniu! Zanim przystąpisz do rozwiązywania testu, wpisz swoje imię i nazwisko, datę oraz miejsce

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne, tzn.: 1. posiada i

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. gra edukacyjna dla 3 osób - od 8 lat

INSTRUKCJA. gra edukacyjna dla 3 osób - od 8 lat INSTRUKCJA gra edukacyjna dla 3 osób - od 8 lat Rekwizyty 1) plansza 2) karty Twierdzeń - 46 szt. 3) karty flag - 3 szt. 4) karty TAK, NIE - 6 szt. 5) pionki - 3 szt. 6) kostka 7) klepsydra Przygotowanie

Bardziej szczegółowo

WPUSZCZANIE PIENIĘDZY W KANAŁ

WPUSZCZANIE PIENIĘDZY W KANAŁ WPUSZCZANIE PIENIĘDZY W KANAŁ Cel(e): Zrozumienie, Ŝe woda jest wyczerpywalnym naturalnym zasobem i Ŝe codziennie marnujemy jej znaczne ilości. Wykształcenie odpowiedzialności za zuŝycie wody i zmniejszenie

Bardziej szczegółowo

Działania uczniów klasy 3a wg Scenariusza zajęć edukacyjnych z matematyki Wykorzystanie w edukacji matematycznej własnej gry planszowej

Działania uczniów klasy 3a wg Scenariusza zajęć edukacyjnych z matematyki Wykorzystanie w edukacji matematycznej własnej gry planszowej Działania uczniów klasy 3a wg Scenariusza zajęć edukacyjnych z matematyki Wykorzystanie w edukacji matematycznej własnej gry planszowej rok szkolny 2016/2017 OPRACOWANO W RAMACH PROJEKTU "PODNOSZENIA KOMPETENCJI

Bardziej szczegółowo

ZASADY GRY MODEL: Emprex ESS-0001 Tarcza do gry w lotki

ZASADY GRY MODEL: Emprex ESS-0001 Tarcza do gry w lotki MODEL: Emprex ESS-0001 Tarcza do gry w lotki 2 Istnieje wiele rodzajów gier i ich wariantów jednakże podstawowe reguły gry są takie same dla wszystkich modelów tarcz. Podstawowe zasady zostały opisane

Bardziej szczegółowo

W związku z duŝym zainteresowaniem noworocznym treningiem rozwoju osobistego postanowiliśmy zorganizować II edycję treningu: Start:1 marzec

W związku z duŝym zainteresowaniem noworocznym treningiem rozwoju osobistego postanowiliśmy zorganizować II edycję treningu: Start:1 marzec W związku z duŝym zainteresowaniem noworocznym treningiem rozwoju osobistego postanowiliśmy zorganizować II edycję treningu: Start:1 marzec Trening rozwoju osobistego przez Internet Chcesz zmienić swoje

Bardziej szczegółowo

Rachmistrz turniej z tabliczką mnoŝenia dla uczniów szkół podstawowych powiatu polkowickiego

Rachmistrz turniej z tabliczką mnoŝenia dla uczniów szkół podstawowych powiatu polkowickiego Rachmistrz turniej z tabliczką mnoŝenia dla uczniów szkół podstawowych powiatu polkowickiego Na podstawie 9 ust. 3 rozporządzenia Ministra Edukacji i Sportu z dnia 29 stycznia 2002 r. w sprawie organizacji

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Kurs online JAK ZOSTAĆ MAMĄ MOCY

Kurs online JAK ZOSTAĆ MAMĄ MOCY Często będę Ci mówić, że to ważna lekcja, ale ta jest naprawdę ważna! Bez niej i kolejnych trzech, czyli całego pierwszego tygodnia nie dasz rady zacząć drugiego. Jeżeli czytałaś wczorajszą lekcję o 4

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA KOMPETENCJI KLUCZOWYCH PROGRAM ROZWOJU UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POLSKI WSCHODNIEJ PROJEKT REALIZOWANY PRZEZ:

AKADEMIA KOMPETENCJI KLUCZOWYCH PROGRAM ROZWOJU UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POLSKI WSCHODNIEJ PROJEKT REALIZOWANY PRZEZ: AKADEMIA KOMPETENCJI KLUCZOWYCH PROGRAM ROZWOJU UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POLSKI WSCHODNIEJ PROJEKT REALIZOWANY PRZEZ: Bezpłatne zajęcia dodatkowe w Twojej szkole dowiedz się więcej!!!! Projekt

Bardziej szczegółowo

Nr art. 25516 XXL Papillon

Nr art. 25516 XXL Papillon Nr art. 25516 XXL Papillon Gra wspomaga: Naukę rozpoznawania kolorów: podstawowych i pochodnych Ruch w czasie gry / poznawanie liczb i kształtów, pojmowanie ilości: połączenie ruchu i rozwijanie umiejętności

Bardziej szczegółowo

Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,

Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.

Bardziej szczegółowo

SPRAWDŹ SWÓJ REFLEKS! DLA OD 2 DO 5 GRACZY OD 4 LAT

SPRAWDŹ SWÓJ REFLEKS! DLA OD 2 DO 5 GRACZY OD 4 LAT SPRAWDŹ SWÓJ REFLEKS! DLA OD 2 DO 5 GRACZY OD 4 LAT ZASADY GRY Dobble Kids co to jest? Gra Dobble Kids zawiera 30 kart, na których znajduje się ponad 30 wizerunków zwierząt po 6 zwierząt na karcie i tylko

Bardziej szczegółowo

Zawartość pudełka 6 kości surowców notes z 60 planszami

Zawartość pudełka 6 kości surowców notes z 60 planszami Zawartość pudełka 6 kości surowców notes z 60 planszami Przygotowanie Każdy z graczy otrzymuje jedną kartkę z mapą wyspy. Ponadto do gry będzie niezbędny jeszcze ołówek. Należy przygotować kości surowców

Bardziej szczegółowo

AGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO DLA 2 5 GRACZY OD 4. ROKU Ż

AGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO DLA 2 5 GRACZY OD 4. ROKU Ż WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO DLA 2 5 GRACZY OD 4. ROKU ŻYCIA. Zasady gry Dobble Auta co to takiego? Gra Dobble Auta składa się z 30 różnych symboli pochodzących ze świata Aut. Na każdej karcie znajduje

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Nadzwyczajne Walne Zgromadzenie Kredyt Inkaso S.A. uchwala co następuje: 1. [Utworzenie Programu Motywacyjnego.]

Nadzwyczajne Walne Zgromadzenie Kredyt Inkaso S.A. uchwala co następuje: 1. [Utworzenie Programu Motywacyjnego.] Uchwała nr 5/2007 Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia Kredyt Inkaso Spółka Akcyjna z siedzibą w Zamościu z dnia 30 listopada 2007 roku w sprawie przyjęcia Programu Motywacyjnego Nadzwyczajne Walne Zgromadzenie

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania

Bardziej szczegółowo

II POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY 1z10 o tytuł MISTRZA LOGICZNEGO MYŚLENIA

II POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY 1z10 o tytuł MISTRZA LOGICZNEGO MYŚLENIA II POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY 1z10 o tytuł MISTRZA LOGICZNEGO MYŚLENIA Załącznik nr 8 Część pisemna GIMNAZJUM Kod ucznia Czas w min. Drogi uczniu, przed Tobą zestaw 20 problemów, masz na ich rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo