Autor: Piotr Wołowik ( jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Autor: Piotr Wołowik (e-mail: piotrw@et.put.poznan.pl) jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej."

Transkrypt

1 Ruletka, Black Jack, zakłady bukmacherskie hazard widziany oczami matematyka. Matematyczna teoria informacji zastosowana do optymalnego zarządzania kapitałem w grach losowych. Autor: Piotr Wołowik ( jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej. Popularność hazardu Hazard był dziedziną, która od zawsze towarzyszyła rozwojowi ludzkiej cywilizacji. Ślady hazardu w postaci wykopalisk archeologicznych znajdowano już w starożytnym Babilonie i ruinach budowli Cesarstwa Rzymskiego. Wiele źródeł historycznych również donosi o hazardzie jako sposobie rozrywki lub metodach rozstrzygania sporów. O ile hazard może być pewnego rodzaju zabawą to w przypadku, gdy w grę wchodzą duże pieniądze, może stać się źródłem wielu nieszczęść, a przed wszystkim uzależnienia psychicznego. Uzależnienie takie, podobnie jak alkoholizm czy narkomania, potrafi doprowadzić człowieka do ruiny zarówno zdrowotnej jak i finansowej. W Polsce współcześnie, hazard jest prawnie zalegalizowany. Istnieją kasyna i salony gier (najczęściej w hotelach), gdzie każdy pełnoletni obywatel może spędzić rozrywkowo czas grając w takie popularne gry jak: ruletka, Black Jack, poker itp. Z hazardem mamy również do czynienia w przypadku popularnych sportowych zakładów bukmacherskich tyle tylko, że w tym przypadku nie zdajemy się całkowicie na los szczęścia - ale liczymy na swoje trafne szacowanie umiejętności sportowych graczy. Kasyna nie są instytucjami charytatywnymi i jak każde formy działalności gospodarczej nastawione są na zysk. Stąd nie powinno dziwić nawet laika, że gry w nich oferowane, z matematycznego punktu widzenia są tak skonstruowane, aby stanowić dla kasyna źródło dochodu, nigdy straty. Sposobem, w jaki kasyno najefektywniej zarabia jest duży obrót pieniędzmi graczy stąd im więcej ludzi odwiedza salony gier tym interes lepszy. Część graczy grająca w daną grę wygrywa pewne kwoty pieniężne, część pewne kwoty przegrywa. Pieniądze z tych przegrywających przepływają do wygrywających, ale pewna ich cześć pozostaje w kasie kasyna. Część ta, zależy od rodzaju gry i stanowi pewien procent od przepływającego kapitału. W terminologii gier funkcjonuje to pod pojęciem przewagi kasyna (ang. house advantage). Matematycznie gry są tak skonstruowane, że przewaga kasyna zawsze istnieje. Tyle tylko, że pewne gry są bardziej zachłanne niż inne tzn. większy procent od przepływającego kapitału trafia do kasy kasyna. Statystycznie rzecz ujmując grając w tak zaprojektowane gry, w długofalowej perspektywie, po zbilansowaniu naszych wygranych i przegranych, zawsze będziemy do tyłu. I nie mają tutaj znaczenia żadne tzw. systemy gier rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna stoją jawnie w sprzeczności z ich cudownym przesłaniem. Jedynym wyjątkiem spośród wszystkich gier hazardowych jest słynny Black Jack. Tutaj grając odpowiednim systemem mnemoniczno-matematycznym (systemy takie można znaleźć w Internecie oraz różnej tematycznej literaturze [1,2,3]), my mamy statystyczną przewagę nad kasynem. Jest ona nieznaczna, a jej wysokość uzależniona jest od ilości dostępnych talii kart w grze. Oznacza to, że grając takimi systemami, oprócz dobrej zabawy, możemy zwiększyć swój kapitał początkowy netto o kilka procent. No dobrze - ale spyta ktoś skoro istnieją systemy, to dlaczego kasyno promuję tą grę, mogąc w niej stracić? Rzecz w tym, że systemy te wymagają odpowiednio wyćwiczonej pamięci. Przy stole do gry, pod żadnym pozorem, nie wolno robić notatek. Dobra pamięć wymaga zapamiętywania schodzących z talii kart i na ich podstawie podejmowania decyzji odnośnie aktualnych i przyszłych kwot obstawiania. Film, w którym przedstawiono graczy grających tą techniką był legendarny Rain Man ze znakomitą rolą Dustina Hoffmana. Tyle tylko, że główny bohater był człowiekiem autystycznym. Ludzie z cechami autystycznymi cechują się w pewnych przypadkach niezwykłymi zdolnościami matematycznymi lub pamięciowymi. Zdolności te właśnie zapewniły głównym bohaterom filmu szczęście w grze w Las Vegas. Wartość oczekiwana gry Każda gra losowa z określoną wypłatą posiada dla gracza swoją wartość oczekiwaną. Wartość ta, w przypadku rozgrywania danej gry nieskończoną ilość razy, charakteryzuje jego średni zysk przypadający na pojedynczą grę (bilans zysków i strat podzielony przez ilość rozegranych partii). Matematyczny wzór ją definiujący wyraża formuła: [ X ] = p [ zysk] + ( 1 p) [ strata] E p określa prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu w grze (a tym samym określonego zysku), wartość (1-p) odpowiednio prawdopodobieństwo porażki i straty obstawienia. 1

2 Zobaczmy jak to wygląda w przypadku gry polegającej na pojedynczym rzucie sześcienną kostką. Gracz stawia pewną kwotę na określony wynik. Jeżeli trafi to dostaje od kasyna wypłatę k razy zwielokrotnioną względem tego co postawił, a jeżeli nie - traci swój zakład. Jaką wartość musi przyjąć k aby gra była sprawiedliwa dla obu stron? Prawdopodobieństwo trafienia obstawionej ścianki wynosi 1/6, zaś pozostałych ścianek jest ich pięć - czyli 5/6. Wartość oczekiwana gry dla gracza: 1 5 E ( 6 6 [ X ] = [ k ( stawka zakadu) ] + [( 1) stawka zakladu) ] Aby gra była sprawiedliwa, wartość oczekiwana powinna wynosić zero (nikt nic nie zyskuje czyimś kosztem). W takim przypadku wartość wypłaty k powinna wynosić 5 (tj. np. 5 złotych za każdą jedną postawioną złotówkę). Jeżeli kasyno ustaliłoby wypłatę k na poziomie np. 4, to wartość oczekiwana gry dla gracza byłaby ujemna i wynosiła minus 1/6. Byłaby to kwota, jaką gracz traciłby na rzecz kasyna średnio na każdy jeden postawiony zakład (tj. ok. 16%). Jeżeli wartość jego zakładów byłaby stała i wynosiła np. 1 zł, to w każdej grze traciłby on ok. 16 groszy. Natomiast jeżeli wyplata k wynosiłaby np. 6, to wartość oczekiwana tej gry byłaby dla niego dodatnia - co oznaczałoby, że w każdej grze średnio zyskiwałby 16 groszy netto - czyli dążyłby do tego, aby rozegrać jak największą ilość partii. Wszechobecna matematyka Spójrzmy teraz oczami matematyka na najpopularniejszą grę spotykaną w kasynach. Grą tą jest ruletka. Jak żadna spośród innych, nie obrosła tyloma mitami i legendami oraz cudownymi systemami, które miały przynieść ich właścicielom dużą, łatwą i szybką fortunę. Ruletka Amerykańska Koło podzielone jest na 37 części. Numeracja pól od 1 do 36 plus pole cyfry zero. Kwoty wypłat podane są w tabeli. Gra polega na odpowiednim obstawianiu stosownych pól, ich kombinacji lub całych wyszczególnionych grup. Pole zero gra na korzyść kasyna. Jeżeli wypadnie to wszystkie zakłady na inne numery, a także zakłady na tuziny i kolumny przegrywają. Pozostałe obstawienia na szansach: numery duże i małe, kolory czerwone i czarne, liczby parzyste i nieparzyste, przegrywają połowę stawki. Reguły ruletki uzależnione są od jej ustalonych przez kasyno odmian, np. niektóre posiadają podwójne pole zero. Tabela wypłat w ruletce. Zakład Wyplata Jeden numer 35:1 Dwa numery 17:1 Trzy numery 11:1 Cztery numery 8:1 Sześć numerów 5:1 Kolumna 2:1 Tuzin 2:1 Małe numery 1:1 Duże numery 1:1 Parzyste 1:1 Nieparzyste 1:1 Czerwone 1:1 Czarne 1:1 2

3 W grze w Black Jacka udział bierze krupier (po stronie kasyna), który gra przeciwko graczom. Zasada i przebieg gry w uproszczeniu odbywa się w następujący sposób. Na początku gracze stawiają swoje zakłady. Krupier rozdaje karty (jednocześnie je odkrywając) każdemu z uczestników po dwie, sobie tylko jedną. Zadaniem graczy jest dobór kart do wartości 21. Figury w kartach (króle, damy, walety) maja wartość 10, pozostałe zgodnie z ich wartością liczbową. Wyjątkiem jest AS, który może w zależności od kontekstu oznaczać 1 lub 11. Gracz może dobierać dowolną ilość kart, jakkolwiek przekroczenie limitu 21 oczek powoduje jego natychmiastowa porażkę i stratę całości obstawienia. Jeżeli zdecyduje się zatrzymać na jakiejś ilości oczek mniejszej od 21, karty zaczyna dobierać sobie krupier. Zasadą jest, że dobierać (za każdym razem) musi on tylko do wartości 17. Jeżeli posiada np. 18 lub więcej oczek musi na tym poprzestać. W przypadku, gdy krupier dobierając karty przekroczy limit 21, również natychmiastowo przegrywa. Gracz wygrywa jeżeli jego ilość oczek jest bliższa wartości 21 niż krupiera. W takim przypadku wygrywa wartość netto 100% swojego zakładu. Możliwa jest także większa wypłata, jeżeli otrzyma on w pierwszych dwóch kartach tak zwanego Black Jacka. Składa się on z asa i karty o wartości 10 (dowolna figura lub liczbowa dziesiątka). W takim przypadku wyplata wynosi 150% netto wartości postawionego zakładu (przy założeniu, że krupier Black Jacka nie posiada, bo wtedy jest sytuacja remisowa). W grze w Black Jacka możliwe są różne warianty, takie jak rozbijanie par, podwajanie w ciemno, rozbijanie i podwajanie, ubezpieczenie. Warianty te nie są omawiane ze względu na objętość artykułu. Ich różnorodność w znacznym stopniu wzbogaca tą grę w dodatkowe interesujące możliwości strategiczne. Na ich podstawie konstruowane są właśnie rozmaite systemy gry. Są one dość skomplikowane i zależą od ilości dostępnych talii kart w grze, jakkolwiek przede wszystkim znaczenie ma w nich odpowiednio wyćwiczona pamięć. Na początku gry, gdy zbiór talii kart liczy wiele sztuk, nie jest możliwe przewidzenie jakie karty pojawią się w najbliższym rozdaniu. Jeżeli gra trwa i w talii zostaje ich coraz mniejsza ilość, to pamięć o tych kartach co już zeszły, pomocna może być w przewidzeniu jakie jeszcze w niej zostały. Względem tego oceniając swój rozkład kart i karty krupiera, gdy jest korzystny, gracz może zacząć grać podwyższonymi stawkami lub stosować podwojenia. Najprostsze systemy proponują liczenie tylko kart dziesiątek, które zeszły i w zależności od tego podejmowanie stosownych rozbić i podwojeń. Gracz z dobrą pamięcią może zapamiętywać wszystkie schodzące karty, takie jak dziewiątki, ósemki itd. i względem tego trafniej podejmować decyzje odnośnie obstawień i dobierania kolejnych kart w grze. Należy wspomnieć również to, że może on grać na więcej niż jednym polu stosując różne wysokości obstawień. W takim przypadku pola o minimalnych kwotach gry może przeznaczyć na stratę, ale dzięki nim mieć wpływ na przewidywanie i rozkład stosownych kart wpływających na pole o dużej stawce zakładu. Widać stąd jaka istnieje różnorodność wariantów gier, gdzie każdy zainteresowany (np. przy pomocy symulacji komputerowych) może sobie wypracować własny znany tylko jemu skuteczny system. Opis różnych wariantów Black Jacka jak i proponowanych względem nich systemów liczenia schodzących kart, a także wiele innych ciekawostek dotyczących tej gry, znaleźć można na stronach: oraz Załóżmy, że decydujemy się na najprostszy i najpopularniejszy sposób gry. Obstawiamy kolor czarny albo czerwony. Prawdopodobieństwo ich wypadnięcia wynosi 18/37 - co jest bardzo bliskie 0,5. Stawiamy jeden żeton (załóżmy dla uproszczenia, że wart jedną złotówkę) na określony kolor. Jeżeli trafimy zyskujemy jeden żeton, a jeżeli nie - tracimy nasze obstawienie. Wartość oczekiwana naszej wygranej: E [ X ] = ( + 1) + ( 1) + ( 0.5) = Widzimy, że gra jest dla nas niekorzystna (E[X]<0). Nasza strata to ok. 1.35%. Stanowi ona wspomnianą wcześniej przewagę kasyna. Kasyno uzyskuje w grze przewagę poprzez wprowadzenie pola zero (prawdopodobieństwo jego wypadnięcia wynosi 1/37), które gra na jego korzyść. Jeżeli nie było by zera to E[X]=0 i mielibyśmy do czynienia z grą sprawiedliwą. Jeżeli obstawialibyśmy tuziny lub kolumny to wartość oczekiwana naszej gry wynosiłaby: 3

4 E [ X ] = ( + 2) + ( 1) + ( 1) = W takim przypadku, na każdy postawiony zakład, tracimy średnio na rzecz kasyna, aż ok. 2,7% naszych pieniędzy. Podobnie możemy wyliczyć pozostałe wartości oczekiwane uwzględniając tabelę wypłat. Zasada jest jednak taka - tracimy zawsze, bo statystycznie rzecz ujmując stracić musimy. Popatrzmy, jak próbowano oszukać kasyno i stworzyć system, który zamieniłby ujemną wartość oczekiwaną gry na dodatnią. System Martingale Ktoś kiedyś wymyślił tak: postawię na kolor czerwony 1 żeton, jak wygram - to w porządku zyskałem jeden żeton netto, a jak przegram to podwoję stawkę i postawie w następnej grze 2 żetony na ten sam kolor. Jeżeli wygram teraz - to mam 2 żetony zysku minus 1 żeton straty w poprzedniej grze, czyli netto i tak jestem 1 żeton do przodu. Jakkolwiek, jeżeli i w drugiej grze również nie dopisze mi szczęście, to w trzeciej grze znowu podwoję stawkę, czyli teraz postawię na ten sam kolor 4 żetony. Gdy wygram teraz - to mój zysk 4 żetony minus 3 żetony straty w poprzednich grach - zostaje na czysto 1 żeton. Rozumowanie takie, można prowadzić w nieskończoność - grając i za każdym razem podwajając stawkę. W nieskończoność raczej teoretycznie, gdyż w końcu jednak kolor czerwony wypadnie. Można wtedy zacząć nasze rozumowanie od początku, rozpoczynając tym samym nowy ciąg takich samych gier-obstawień będąc z jednym żetonem zysku netto w kieszeni. W rozpatrywanym schemacie, w celu uproszczenia przyjęto, że wypadniecie zera jest sytuacją przegrywającą. Takie założenie znacząco nic nie zmienia, więc możemy sobie na nie pozwolić (zresztą w niektórych odmianach ruletki tak faktycznie jest). Powyższe rozumowanie takiego systemu gry, wydaje się spójne logiczne. U podstaw jego leży ekonomicznomatematyczny termin tzw. martyngał. Sama zaś zasada takiego obstawiania w grze nosi nazwę zasady Martingale. Jej wariacje - to systemy potrajania lub innej specyficznej modyfikacji kwoty początkowej stawki. Reguły i prawa nimi rządzące są jednak identyczne do tych, jakie można wyprowadzić dla zasady Martingale. Gra tą metodą jest tylko z pozoru korzystna. Proszę zwrócić uwagę jak szybko rośnie kwota obstawiania, którą sukcesywnie podwajamy. Przy złym losie (a jak pokazują symulacje komputerowe nie jest to rzadki przypadek), nie trafić pod rząd możemy nawet 10 razy - co powoduje rząd obstawienia 1024 żetony na kolejną jedenastą w cyklu grę (przy dotychczas postawionej kwocie 1023 żetonów). Po prostu, może mam zabraknąć pieniędzy na następne obstawienie!!! Może się również zdarzyć, że nasza kwota, którą chcemy postawić przekroczy maksymalny limit stołu gry. Maksymalny limit stawki na pojedynczy zakład - jest pewnego rodzaju zabezpieczeniem się kasyna, aby ktoś przy nieskończonej kwocie pieniędzy - jednak nie miał opcji gry w nieskończoność. W przypadku osiągnięcia limitu, można jednak ten problem obejść w sposób polegający na zamianie stołu gry (w trakcie trwania naszego cyklu obstawień) na ten o wyższych limitach początkowym i końcowym. Rozpocząć należałoby wtedy podwajanie od odpowiednio wyznaczonej kwoty, na którą dany stół zezwala. Oczywiście, żeby taka zmiana stołu gry była możliwa, rozpoczynać należałoby na stole o najniższym dolnym limicie stawki na jeden zakład. Gra tym systemem ciągle posiada ujemna wartość oczekiwaną gry dla gracza, wobec czego korzystna jest dla kasyna. Interesujący jest jednak fakt, że systemy takiego obstawiania, oraz ich różne odmiany, cieszą się bardzo duża popularnością. Wynika ona jednak nie z obliczeń matematycznych, które nie każdy umie przeprowadzić, ale pozornie słusznego rozumowania dotyczącego zasad ich działania. Nie powinno wobec czego dziwić, że tego rodzaju systemy są również promowane przez kasyna. Mamy z nimi do czynienia również w innych grach losowych. Promowane są one do tego typu gier jak MultiLotek, także do zakładów bukmacherskich itp. 4

5 Przykładowa gra systemem Martingale Rozważmy przykład statystycznego obywatela. Dysponuje on kwotą 2047 zł i zdecydował się kupić wymarzony telewizor w cenie równo posiadanej kwoty. Przed dokonaniem transakcji postanowił zjeść obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, zdecydował się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek. Aby mu się to udało - musiałby wygrać 30 cykli gry zasadą podwajania obstawień. Z każdego cyklu zarobiłby netto jeden żeton (wart 1 zł) razem 30 zł. Jeżeli obstawia nieustannie kolor czerwony - to aby osiągnąć zysk 30 zł netto dysponując kwotą początkową 2047 zł - potrzebuje, aby w jego 30 cyklach gry ani razu pod rząd (w jednym cyklu) nie wypadł kolor czarny 11 razy. Taki przypadek skończyłby się dla niego całkowitym bankructwem (jego 11 zakład posiadałby wartość 1024 zł plus 1023 zł stracone w poprzednich 10 grach). Bezpieczeństwo tej strategii gry wynosi ok. 98% i jest to wartość bardzo duża - ale proszę pamiętać, że istnieje ok. 2% realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Przy możliwości zarobku 30 zł nie wszystkim może wydawać się taka opcja rozsądna. Wykres przedstawiający teoretyczne prawdopodobieństwo sukcesu oraz bankructwa metody Martingale (podwajanie obstawień) w przypadku chęci osiągnięcia określonego zysku netto. Wraz ze wzrostem tego zysku maleje prawdopodobieństwo jego osiągnięcia, a rośnie możliwość całkowitego bankructwa. Granie w praktyce Jeżeli już jednak ktoś postanowi stosować takie systemy (a sądzę, że niektórych czytelników może to zainteresować) istnieje system najbardziej optymalny. Ma on sens tylko w przypadku gry giełdowej lub zakładów sportowych (oprócz szczęścia decyduje również stosowna wiedza). W pozostałych przypadkach (gry hazardowe), jego powodzenie zależy od naszego dodatkowego systemu, który sami sobie wypracujemy, obserwując reguły rządzące konkretną grą, a raczej odchyleniami od niej. Przykładem takich zaobserwowanych odchyleń od normy jest choćby fakt zużywania się łożysk koła do gry oraz szacowanie prędkości kuli rzucanej mechanicznie przez tego samego krupiera. Na podstawie tego obstawiać można określone sektory koła (w ruletce obstawiać można, kiedy kulka krąży już po kole). O ile z pozoru mogłoby się to wydawać nierealne, autor książki [2] opisał taką metodę jako sposób, który właśnie zapewnił mu zysk w tej grze. Z całkowicie innej perspektywy pozycji krupiera autor pozycji [1], również zalecał taka analizę. Zainteresowane szczegółami osoby więcej informacji znajdą we wspomnianych pozycjach. Warto tutaj też jako ciekawostkę wspomnieć, że na początku zaistnienia w Polsce gry MultiLotek, kiedy kule oprócz cyfr pokolorowane były różnymi barwami, jeden z kolorów wypadał statystycznie nieznacznie rzadziej niż pozostałe, co zaowocowało ich stosownym przebarwieniem. 5

6 Wspomniany system optymalnego obstawiania, nosi nazwę tzw. kryterium Kelly, na cześć autora, który pierwszy na niego zwrócił uwagę [4]. Dotyczy on takiego zarządzania pieniędzmi, aby umiejętnie obstawiając osiągnąć optymalny zysk przy minimalnej możliwości bankructwa. Przykład gry z wypłatą 1:1 Aby zobrazować zjawisko, rozważmy następną, czysto teoretyczną grę z wypłatą 1:1. Grają gracze A i B monetą, która jest lekko niesymetryczna jedna strona wypada statystycznie 52%, druga 48%. Gracz A dysponuje kwotą 100 zł i obstawia korzystną dla siebie stronę monety (gracz B obstawia stronę przeciwną). Decyduje się na bezpieczna strategię gry. Stawia 1 zł na każdy zakład i w zależności od wyniku rzutu zyskuje lub traci 1 zł (odpowiednio na niekorzyść lub korzyść gracza B). Jeżeli rozegrają 1000 gier, to statystycznie rzecz biorąc, gracz A wygra średnio 520 razy a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. Gracz A, mógłby zagrać strategią ryzykowną - stawiać 100% tego co ma na każdą grę. Po 5 kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł. Zyskałby 3100 zł netto. Żeby tego dokonać, musiałby wygrać 5 gier pod rząd, co jest z punktu widzenia teoretycznej wartości prawdopodobieństwa tego zdarzenia nie jest łatwe jakkolwiek nie niemożliwe. Jeżeli choć raz wynik gry byłby dla niego niekorzystny, zakończyłby grę bankrutując. Gracz nasz, mógłby wybrać inny wariant obstawiania - polegający np. na przeznaczaniu na następny zakład, pewnego stałego procenta posiadanej kwoty. Jeżeli procent ten byłby wysoki (np. 60%), to jego zysk końcowy zdeterminowany byłby wynikami początkowych gier. Przy dominującym na początku ciągu przeważających w grze porażek, straciłby znaczącą część kapitału, której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby wtedy grę poniżej kwoty początkowej 100 zł mimo, iż gra była dla niego korzystna. Z kolei, przeznaczony na kolejne gry mały procent aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np. 2%) byłby strategią bezpieczną, jakkolwiek niekorzystną jeśli chodzi o optimum zysku, jakie mógłby w niej uzyskać. Powstaje pytanie: jak nasz gracz powinien obstawiać (jaki stały procent swojego posiadanego kapitału powinien przeznaczać na kolejne gry), aby zmaksymalizować swój zysk i jednocześnie zminimalizować ewentualna stratę? Kryterium Kelly Odpowiedź na to pytanie została po raz pierwszy udzielona przez J. L. Kelly'ego. Bazując na matematycznej teorii informacji i jej zastosowania w telekomunikacji podał on wzór definiujący optymalna wartość procenta aktualnie posiadanej kwoty przeznaczanej na kolejne gry. Pomijając dowód matematyczny, który można odnaleźć w [4], wartość zakładów gracza A powinna być równa odpowiedniemu stałemu procentowi aktualnie posiadanej kwoty pieniężnej. Procent ten określa formuła: * ( k + 1) p 1 f = k Oznaczenia: p - jest to prawdopodobieństwo sukcesu (gra musi być korzystna - czyli p>0.5) i w rozważanej grze wynosi 0,52. k - jest to wypłata netto w grze w przypadku sukcesu. W naszej grze wynosi ona 1 (na każdą postawiona złotówkę jest jedna złotówka wypłaty). W rozważanym przypadku ułamek ten wynosi 0,04. Strategia gracza A, z uwzględnieniem naszej formuły, wyglądałaby w ten sposób. Na każdą kolejna grę stawia 4% swojego aktualnego kapitału. Tak więc w pierwszej grze stawia 4 zł. Jeżeli wygra, dysponuje kwotą 104 zł. W drugiej stawia 4%*104 zł=4,16 zł. Jeżeli przegra, to jego kapitał wynosi 99,84 zł i w trzeciej grze stawia 4%*99,84 zł= 3,99 zł itd. Statystycznie kapitał gracza po rozegraniu przez niego 1000 gier wynosić będzie średnio 100 zł*2,226=222,6 zł. Na czysto zyskałby 122,6 zł - to jest 122,6% kwoty początkowej. Reasumując, przedstawiony system optymalnego obstawiania znajduje swoja użyteczność tylko w przypadkach posiadania w grze statystycznie niewielkiej przewagi (patrz sytuacje arbitrażowe w zakładach sportowych). W innych przypadkach jest on bezwartościowy. Nawet w grze sprawiedliwej równych szans i wypłat. Strategia taka może być stosowana w przypadku gry giełdowej (oczywiście po odpowiedniej modyfikacji). Przewaga, jaką mamy po naszej stronie to stosowna wiedza ekonomiczna. Drugą dziedziną może być możliwość jej wykorzystania w sportowych grach bukmacherskich. O ile tutaj, również proponowane stawki na określone zdarzenia sportowe wyliczone są w specyficzny korzystny dla bukmachera sposób (ramka poniżej) to po naszej stronie, mamy znajomość realiów sportowych rządzących dana dyscypliną (także sytuacji arbitrażowych). Zdarzenia sportowe tak rozpatrywane - można porównać do typowego rynku finansowego, w którym przedmiotem analizy technicznej są wyniki drużyn osiągane w aktualnie rozgrywanym sezonie. Autor mają nadzieję, że przedstawione rozważania stanowić będą dla czytelników dobry materiał wyjściowy do samodzielnego wniknięcia w przedstawioną problematykę. 6

7 W jaki sposób bukmacher ustala kursy na określone zdarzenia sportowe? Rozpatrzmy (w celu uproszczenia obliczeń) przypadki obstawień u bukmacherów internetowych. Proponują oni większe stawki ze względu na redukcje kosztów prowadzenia i utrzymania swojej działalności. Firmy te zarejestrowane są w krajach (np. Malta), w których ta forma działalności gospodarczej zwolniona jest z podatku, względem czego grający przy zawieraniu zakładu również jest niego zwolniony. Zwycięstwo Remis Zwycięstwo B Zdarzenie sportowe A (P3, W3) (P1, W1) (P2, W2) A versus B K1=1,95 K2=3,20 K3=3,55 Grają dwie drużyny A i B. Bukmacher szacuje większą szansę (większe prawdopodobieństwo P1) zwycięstwa drużyny A (wynik W1) - wobec czego proponuje zakład na jej zwycięstwo z kursem wypłaty K1=1,95 (za każdą postawiona złotówkę w przypadku zwycięstwa A wyplata wynosi 1,95 zł, czyli zysk netto 0,95 zł). W ten sam sposób szacuje szanse (prawdopodobieństwo P3) i kurs K3=3,55 na zwycięstwo drużyny B (wynik W3). Zdarzenie to bukmacher ocenia za mniej prawdopodobne dlatego proponowany kurs jest wyższy. Kurs wyznaczony na zdarzenie remisowe (prawdopodobieństwo zdarzenia P2, wynik W2) wynosi K2=3,20. Dokładne wartości prawdopodobieństw wyników na określone zdarzenia nie są oczywiście znane bukmacherowi ani jego klientom, są one szacowane i ustalane na podstawie analizy rynku zdarzeń sportowych. Brana jest pod uwagę przeważnie aktualna sportowa dyspozycja drużyny weryfikowana ostatnio osiąganymi przez nią wynikami. Jeżeli gra polegająca na postawieniu dowolnej stawki (S) na określony wynik (W1, W2, W3) przy ustalonych na nich kursach (K1, K2, K3) i oszacowanych prawdopodobieństwach ich zajścia (P1, P2, P3) ma być uczciwa, to wartość oczekiwana wygranej powinna wynosić zero: ( K1 1) S + ( P2 + P3) ( S) = 0; ( P2 + P3 = 1 P1) ; K1 1 1 ( K 2 1) S + ( P1 + P3) ( S) = 0; ( P1 + P3 = 1 P2) ; K ( K3 1) S + ( P1 + P2) ( S) = 0; ( P1 + P2 = 1 P3) ; K3 1 3 E [ X ] = P1 = P E [ X ] = P2 = P E [ X ] = P3 = P Ustalony kurs K1, K2 oraz K3 - w przypadku gry sprawiedliwej - powinien być wyznaczony na podstawie odwrotności oszacowanych prawdopodobieństw wyników danego zdarzenia sportowego. W praktyce tak jednak nie jest. Bukmacher prowadzi swoją działalność aby zarobić i ustala kursy na poziomie nieznacznie niższym tzn. K1<1/P1, K2<1/P2 oraz K3<1/P3. Wartość Z=1/K1+1/K2+1/K3 jest w takim przypadku większa od jedynki i określa ile, niezależnie od wyniku zdarzenia, zarabia bukmacher. Im wartość Z jest większa od 1 - tym jest bardziej zachłanny. Ważne jest to, że porównując kursy u kilkunastu (a nawet kilkudziesięciu) bukmacherów, możemy znaleźć odpowiednią wartość Z mniejszą od jedynki (oczywiście nigdy nie u tego samego bukmachera). W takim przypadku umiejętne obstawienie przeciwnych zdarzeń tego samego zdarzenia sportowego u różnych bukmacherów, bez względu na wynik - przyniesie nam wymierny pewny zysk. Wyszukiwaniem takich kursów (tzw. sytuacji arbitrażowych), ich analizą i porównywaniem, zajmują się różne tematyczne serwisy internetowe (np. oraz ). Zobaczmy ile zarabia bukmacher naszym kosztem niezależnie od wyniku zdarzenia sportowego A vs B. Otrzymujemy Z=1/K1+1/K2+1/K3=1,107 wartość powyżej jedynki wynosi 0,107 - czyli około 10,7% (wartość ta stanowi odpowiednik przewagi kasyna). Weźmy teraz pod uwagę przykład porównywania kursów u różnych bukmacherów. Przykład jest całkowicie fikcyjny i wymyślony przez autora względem zobrazowania rozważanego zagadnienia. Andrzej Gołota spotyka się w finale meczu bokserskiego o mistrzostwo świata z Mikem Tysonem. Bukmacher Epekt wycenia kurs na zwycięstwo Gołoty jako K1a=2,50, a na zwycięstwo Tysona K2a=1,50. Otrzymujemy Za=1/K1a+1/K2a=1,066. Inny bukmacher Unibet daje większe szanse na zwycięstwo Gołoty i ustala kurs K1b=2,00 przy kursie K2b=1,73 na zwycięstwo Tysona. Otrzymujemy Zb=1/K1b+1/K2b=1,078. Obliczmy teraz wartość Zab w przypadku obstawiania zwycięstwa Andrzeja Gołoty w Epekt a zwycięstwa Mika Tysona w Unibet. Otrzymujemy Zab=1/K1a+1/K2b=0,978. Jest to wartość mniejsza od jedynki czyli gwarantująca nam pewny zysk. Jeżeli teraz gracz postawiłby np. 40 zł na zwycięstwo Gołoty w Epekt, a 57,80 zł na zwycięstwo Tysona w Unibet, to w obu przypadkach niezależnie od wyniku meczu zarobiłby 100 zł przy łącznej inwestycji 97,80. Jego zysk netto były pewny i wyniósłby 2,20 zł. Jeżeli zainwestowałby kwotę 10-krotnie większą to również 10-krotnie wzrósł by jego zysk netto do poziomu 22 zł. Sytuacje arbitrażowe jakie proponują odpłatnie rozważane serwisy (informacja jak wiadomo kosztuje) gwarantują zysk rzędu do ok. 10% (a czasami nawet większy). W żadnym banku czy funduszu takiego pewnego zysku tak szybko nie osiągniemy. Wadą i niedogodnością w stosowaniu takich rozwiązań jest to, że należałoby mieć pozakładane konta u różnych bukmacherów (a jest ich na całym świecie bardzo wielka ilość) z odpowiednią kwotą dostępnych funduszy 7

8 umożliwiających grę rozsądnymi stawkami. [1] Buczny A.: Wygrać w kasynie. Wyd. Prószyński i S-ka, Warszawa [2] Thorp E. O.: The Mathematics of Gambling, ( ). [3] Epstain R. A.: The Theory of Gambling and Statistical Logic. Academic Press, INC [4] Kelly J. L.: A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, Vol. 35, pp , System Martingale KONIEC Matematyczny dodatek Poniższa tabela przedstawia przebieg gry systemem Martingale. Ilość porażek pod rząd (N) Końcowy rezultat w (N+1) grze Najwyższy zakład Całkowita kwota postawiona (CKP) Zysk netto (ZN) Prawdopodobieństwo (P) 19 N 18 P = * Oczekiwany zysk=ckp*p Oczekiwany zwrot= ZN*P 0 zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo zwycięstwo porażka Bilans Dzieląc wartość oczekiwaną zwrotu (w tym przypadku straty - bo jest ujemna) w jednym cyklu gry 0, przez wartość oczekiwaną (średnią) kwoty postawioną na jeden cykl 12, otrzymujemy wartość 0, Dąży ona do naszej teoretycznej wartości oczekiwanej gry, czyli ze statystycznego punktu widzenia nic nie zyskujemy i jesteśmy w punkcie wyjścia pozycji straty już na samym początku gry. Przykładowa gra systemem Martingale Rozważmy przykład statystycznego obywatela. Dysponuje on kwotą 2047 zł i zdecydował się kupić wymarzony telewizor w cenie równo posiadanej kwoty. Przed dokonaniem transakcji postanowił zjeść obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, zdecydował się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek. Aby się mu to udało - musiałby wygrać 30 cykli gry zasadą podwajania obstawień. Z każdego cyklu zarobiłby netto 1 zł razem 30 zł. Rozpoczyna grę decydując się obstawiać swój szczęśliwy kolor czerwony. Oszacujmy bezpieczeństwo jego strategii gry. Aby osiągnąć zysk 30 zł netto dysponując kwotą początkową 2047 zł, potrzebuje, aby w jego 30 cyklach gry ani razu pod rząd (w jednym cyklu) nie wypadł kolor czarny 11 razy. Taki przypadek skończyłby się dla niego całkowitym bankructwem (jego 11 zakład posiadałby wartość 1024 zł plus 1023 zł stracone w poprzednich 10 grach). Prawdopodobieństwo takiego pecha (z uwzględnieniem zera jako przegrywającego) w jednym cyklu wynosi: = Wobec tego, prawdopodobieństwo zysku 1 zł netto w jednym cyklu (jest to zdarzenie przeciwne do powyższego): 8

9 = Sukces ten powinien być powtórzony w 30 cyklach - czyli mamy jego prawdopodobieństwo: = Jest to wartość bardzo duża - ale proszę pamiętać, że istnieje ok. 2% realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Przy możliwości zarobku 30 zł nie wszystkim może wydawać się taka opcja rozsądna. Wykres przedstawiający teoretyczne prawdopodobieństwo sukcesu oraz bankructwa metody Martingale (podwajanie obstawień) w przypadku chęci osiągnięcia określonego zysku netto. Wraz ze wzrostem tego zysku maleje prawdopodobieństwo jego osiągnięcia, a rośnie możliwość całkowitego bankructwa. 2. System określany jako stuprocentowy do MultiLotka Zasady gry. Grający wybiera stawkę, za którą chce grać: od 1 zł do 10 zł. Do każdej stawki doliczana jest 25% dopłaty na rozwój kultury fizycznej oraz wspieranie kultury narodowej. Następnie określa ile liczb będzie typował. Z zestaw ponumerowanych od 1 do 80 kul losowane jest 20. W przypadku poprawnego typowania - kwoty wypłat zawiera poniższa tabela. Przedstawiają one wielokrotność wypłaty jaką otrzyma gracz względem stawki przez niego postawionej. ILOŚĆ TYPOWANYCH LICZB ILOŚĆ TRAFIEŃ

10 System. Zasada działania tego systemu jest modyfikacją systemu Martingale przeniesioną i dostosowana do wymogów gry MultiLotek. Różnica polega nie na podwajaniu zakładów ale na ich potrajaniu. Potrajanie wynika z faktu doliczenia wspomnianego wyżej 25% podatku i względem tego stosownego skalkulowania wartości wypłat i obstawień aby gra była opłacalną. Grający wybiera sobie jakaś liczbę i codziennie dokonuje jej obstawienia. Prawdopodobieństwo wypadnięcia określonej pojedynczej liczby w jednym losowaniu wynosi 0,25 (25%). Wypłata w przypadku jej trafienia stanowi dwukrotność kwoty postawionej. Schemat gry wygląda następująco: Kolejne losowania Wysokość stawki za którą gramy Koszt losowania (pojedynczy zakład w ML kosztuje 1,00 zł +25% dopłaty) Koszt gry (suma kapitału wydana na dotychczasowe losowania) Wygrana (w przypadku trafienia wypłacana jest podwójna wartość granej stawki) Zysk (wygrana minus koszt gry) 1 1 1,25 1,25 2,00 0, ,75 5,00 6,00 1, ,25 16,25 18,00 1, ,75 50,00 54,00 4, ,25 151,25 162,00 10, ,75 455,00 486,00 31, , , ,00 91, , , ,00 274, Zgodnie z powyższą tabela możemy zaobserwować, że w miarę wzrostu ilości losowań otrzymujemy coraz większe wygrane. Dzieje się to jednak kosztem coraz większego inwestowanego wkładu. Jeżeli prawdopodobieństwo wypadnięcia liczby wynosi 0,25 (25%) to statystycznie powinna ona wypadać średnio raz w przeciągu czterech losowań. W praktyce jednak tak nie jest i tutaj tkwi niebezpieczeństwo tego system, że grając nim możemy wyczerpać wszystkie swoje posiadane środki pieniężne. W związku z tym trzeba uważać jaką liczbę decydujemy się obstawiać. Można wybrać taką, która od bardzo długiego czasu nie została wylosowana - co tym samym mogłoby wskazywać, że wypadnie w najbliższym czasie. Nie jest to żadną regułą, bo numery nie pamiętają, że dawno nie wypadły, jakkolwiek na takich przesłankach opierają się sprzedawcy tego systemy próbujący zwiększyć jego użyteczność i wiarygodność. Poniższa tabela przedstawia prawdopodobieństwo oczekiwania na wypadnięcie danej obstawianej liczby w przeciągu określonej liczby losowań. Proszę zwrócić uwagę, że liczba tych losowań - aby uzyskać 99,99% pewności - może wynosić aż 34 razy. Przy takim oczekiwaniu (a nie jest powiedziane, że w 34 losowaniu na pewno miałaby już wypaść) kwota obstawień byłaby astronomiczna. Rozwiązaniem mogłoby być rozpoczęcie gry oczekując momentu kiedy dana liczba ma już stosowna długą przerwę niewypadnięcia np. 16. Takie podejście wcale jednak nie gwarantuje, że niebawem ona wystąpi, ponieważ do 34 (lub więcej) losowań pozostaje jeszcze 18, co przy potrajaniu stawki i tak było by kwotą astronomiczną. W przypadku gry w ruletkę można by było podobnie oczekiwać pewnego ustalonego ciągu kolejnych tych samych kolorów (np. czarnych) i zacząć obstawiać kolor przeciwny (czerwony) gdy wartość ta wynosić będzie np

11 Prawdopodobieństwo P trafienia Ilość rozpatrywanych danej liczby w przeciągu tych losowań N losowań. 1 25,00% 2 43,75% 3 57,81% 4 68,35% 5 76,26% 6 82,20% 7 86,65% 8 89,98% 9 92,49% 10 94,36% 16 98,99% 22 99,82% 28 99,96% 34 99,99% Uniwersalna formuła hazardu Jeżeli p określa prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia to prawdopodobieństwo zdarzenia do niego przeciwnego - czyli jego braku wynosi 1-p. Prawdopodobieństwo wypadnięcia w pojedynczym losowaniu typowanego jednego numeru wynosi p=0,25 (25%). Prawdopodobieństwo, że dane zdarzenie nie wystąpi ani razu w przeciągu N doświadczeń (losowań) wynosi: ( 1 p) N Natomiast interesujące nas prawdopodobieństwo P, że choć raz to zdarzenie w tym ciągu N doświadczeń (losowań) wystąpi wynosi: P = 1 1 ( p) N Formuła ta jest jedną z podstawowych i uniwersalnych zależności stosowanych w celu uchwycenia jakiegokolwiek determinizmu w przypadku rozpatrywanych gier losowych. 3. Kryterium Kelly Przykład gry z wypłatą 1:1 Aby zobrazować zjawisko, rozważmy następną, czysto teoretyczną grę z wypłatą 1:1. Grają gracze A i B monetą, która jest lekko niesymetryczna jedna strona wypada statystycznie 52%, druga 48%. Gracz A dysponuje kwotą 100 zł i obstawia korzystną dla siebie stronę monety (gracz B obstawia stronę przeciwną). Decyduje się na bezpieczna strategię gry. Stawia 1 zł na każdy zakład i w zależności od wyniku rzutu zyskuje lub traci 1 zł (odpowiednio na niekorzyść lub korzyść gracza B). Jeżeli rozegrają 1000 gier, to statystycznie rzecz biorąc, gracz A wygra średnio 520 razy a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. Gracz A, mógłby zagrać strategią ryzykowną - stawiać 100% tego co ma na każdą grę. Po 5 kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł. Zyskałby 3100 zł netto. Żeby tego dokonać, musiałby wygrać 5 gier pod rząd, co jest z punktu widzenia teoretycznej wartości prawdopodobieństwa tego zdarzenia nie jest łatwe jakkolwiek nie niemożliwe. Jeżeli choć raz wynik gry byłby dla niego niekorzystny, zakończyłby grę bankrutując. Gracz nasz, mógłby wybrać inny wariant obstawiania - polegający np. na przeznaczaniu na następny zakład, pewnego stałego procenta posiadanej kwoty. Jeżeli procent ten byłby wysoki (np. 60%), to jego zysk końcowy zdeterminowany byłby wynikami początkowych gier. Przy dominującym na początku ciągu przeważających w grze porażek, straciłby znaczącą część kapitału, której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby wtedy grę poniżej kwoty początkowej 100 zł mimo, iż gra była dla niego korzystna. Z kolei, przeznaczony na kolejne gry mały procent aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np. 2%) byłby strategią bezpieczną, jakkolwiek niekorzystną jeśli chodzi o optimum zysku, jakie mógłby w niej uzyskać. Powstaje pytanie: jak nasz gracz powinien obstawiać (jaki stały procent swojego posiadanego kapitału powinien przeznaczać na kolejne gry), aby zmaksymalizować swój zysk i jednocześnie zminimalizować ewentualna stratę? Kryterium Kelly Odpowiedź na to pytanie została po raz pierwszy udzielona przez J. L. Kelly'ego. Bazując na matematycznej teorii informacji i jej zastosowania w telekomunikacji podał on wzór definiujący optymalna wartość procenta aktualnie posiadanej kwoty przeznaczanej na kolejne gry. Pomijając dowód matematyczny, który można odnaleźć w [4], wartość zakładów gracza A powinna być równa odpowiedniemu stałemu procentowi aktualnie posiadanej kwoty pieniężnej. Procent ten określa formuła: * ( k + 1) p 1 f = k Oznaczenia: p - jest to prawdopodobieństwo sukcesu (gra musi być korzystna - czyli p>0.5) i w rozważanej grze wynosi 0,52. k - jest to wypłata netto w grze w przypadku sukcesu. W naszej grze wynosi ona 1 (na każdą postawiona złotówkę jest złotówka wypłaty). W rozważanym przypadku ułamek ten wynosi 0,04. 11

12 Maksymalizuje to zysk gracza A po N grach [2] średnio w przybliżeniu o: gdzie: określa szybkość wzrostu naszej fortuny w grze [2,4]. * W = ep( N G( f )), G( f ) = p ln(1 + kf ) + (1 p) ln(1 f ) Strategia gracza A, z uwzględnieniem naszej formuły, wyglądałaby w ten sposób. Na każdą kolejna grę stawia 4% swojego aktualnego kapitału. Tak więc w pierwszej grze stawia 4 zł. Jeżeli wygra, dysponuje kwotą 104 zł. W drugiej stawia 4%*104 zł = 4,16 zł. Jeżeli przegra, to jego kapitał wynosi 99,84 zł i w trzeciej grze stawia 4% * 99,84 zł= 3,99 zł itd. Policzmy ile statystycznie wynosić będzie jego kapitał po rozegraniu 1000 gier. Mamy: oraz * G ( f ) = 0.52 ln( ) ln(1 0.04) = W = ep( 1000 (0.0008)) = Jego kapitał po rozegraniu tysięcznej partii średnio wyniósłby 100 zł * 2.226= 222,6 zł. Na czysto zyskałby 122,6 zł - to jest 122,6% kwoty początkowej. Na powyższym wykresie oś odciętych wyraża współczynnik procentowego udziału aktualnie posiadanej kwoty pieniężnej w bieżącym zakładzie. Oś rzędnych reprezentuje wartości funkcji G(f). Na wykresie zaobserwować możemy, że każda z tych funkcji - dla określonych prawdopodobieństw (wypłata k=1) - posiada swoje maksimum, które jest przedmiotem naszego zainteresowania. Maksima te, występują zawsze w punktach: * ( k + 1) p 1 f = = 2 p 1 k [1] Buczny A.: Wygrać w kasynie. Wyd. Prószyński i S-ka, Warszawa [2] Thorp E. O.: The Mathematics of Gambling, ( ). [3] Epstain R. A.: The Theory of Gambling and Statistical Logic. Academic Press, INC [4] Kelly J. L.: A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, Vol. 35, pp ,

MATEMATYK w szponach. WBREW TEMU, w co może od czasu do czasu. matematyka

MATEMATYK w szponach. WBREW TEMU, w co może od czasu do czasu. matematyka matematyka >>systemy gier losowyc h MATEMATYK w szponach W cenie od kilku do kilkuset złotych można kupić w Internecie absolutnie pewne systemy gwarantujące wygraną w Lotto, Multilotka czy zakładach sportowych.

Bardziej szczegółowo

Zakłady Bukmacherskie

Zakłady Bukmacherskie Zakłady Bukmacherskie Jak działają bukmacherzy? Nie interesuje go wynik spotkania, dla niego najważniejsza jest marża. Oszacowanie prawdopodobieństwa 1. A wygrana gospodarzy 2. X remis 3. B wygrana gości

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Empik każdego inspiruje inaczej Aleksander Puszkin (1799 1837) Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856 1922) Wśród 20 tysięcy początkowych

Bardziej szczegółowo

OGRAĆ BUKMACHERA. DLACZEGO JEST TO MOŻLIWE? KAMIL STUPAK SKN BUSINESS ANALYTICS SGH

OGRAĆ BUKMACHERA. DLACZEGO JEST TO MOŻLIWE? KAMIL STUPAK SKN BUSINESS ANALYTICS SGH OGRAĆ BUKMACHERA. DLACZEGO JEST TO MOŻLIWE? KAMIL STUPAK SKN BUSINESS ANALYTICS SGH PODSTAWOWE DEFINICJE KURS oferowana przez bukmachera stopa zwrotu z pojedynczego zakładu, w Europie wyrażana najczęściej

Bardziej szczegółowo

Rozdział II 1. podręcznika Wolna przedsiębiorczość - Dział Drugi: Przedsiębiorczość w teorii - Ryzyko i ubezpieczenie

Rozdział II 1. podręcznika Wolna przedsiębiorczość - Dział Drugi: Przedsiębiorczość w teorii - Ryzyko i ubezpieczenie Rozdział II 1. podręcznika Wolna przedsiębiorczość - Dział Drugi: Przedsiębiorczość w teorii - Ryzyko i ubezpieczenie Autor: Mateusz Machaj Poniżej przedstawiamy wersję roboczą rozdziału pierwszego działu

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

Gry(nie)losowe. Andrzej GRZESIK, Kraków

Gry(nie)losowe. Andrzej GRZESIK, Kraków Jest to zapis odczytu nagrodzonego Medalem Filca na XLIII Szkole Matematyki Poglądowej, Wbrew intuicji, Grzegorzewice, sierpień 2009. Gry(nie)losowe Andrzej GRZESIK, Kraków Artykuł będzie dotyczył gier

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie lub rozpowszechnianie całości czy też fragmentu tej publikacji w jakiekolwiek postaci jest zabronione.

Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie lub rozpowszechnianie całości czy też fragmentu tej publikacji w jakiekolwiek postaci jest zabronione. Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie lub rozpowszechnianie całości czy też fragmentu tej publikacji w jakiekolwiek postaci jest zabronione. Autor dołożył wszelkich starao, tak by informacje zawarte w

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.1. Pomoc

- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.1. Pomoc - 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.1 Pomoc Wstęp Jest tylko jeden legalny sposób na wygrywanie na ruletce w kasynie w długim okresie czasu - wykryć uszkodzone koło ruletki i grać na nim. Statystyczny

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

RZYMAJ DLA WPŁAT REGULARNYCH W OKRESIE DLA WYBRANYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH. Data opracowania:

RZYMAJ DLA WPŁAT REGULARNYCH W OKRESIE DLA WYBRANYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH. Data opracowania: ANALIZA INWESTOWANIA K NA ZASADZIE KUP I TRZYMAJ RZYMAJ DLA WPŁAT REGULARNYCH W OKRESIE 09.2004-09.2009 DLA WYBRANYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH Data opracowania: 2009-09-10 WWW.OPIEKUNINWESTORA.PL NARZĘDZIA

Bardziej szczegółowo

Niniejszy ebook jest własnością prywatną.

Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejsza publikacja, ani żadna jej część, nie może być kopiowana, ani w jakikolwiek inny sposób reprodukowana, powielana, ani odczytywana w środkach publicznego

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 5, grupa zaawansowana (7..009) Gry matematyczne.

Bardziej szczegółowo

Co należy wiedzieć o spreadzie walutowym i różnicach kursowych?

Co należy wiedzieć o spreadzie walutowym i różnicach kursowych? Co należy wiedzieć o spreadzie walutowym i różnicach kursowych?, czyli na co zwrócić szczególną uwagę przy doborze kredytu. Autor: Przemysław Mudel p.mudel@niezaleznydoradca.pl Copyright 2007 Przemysław

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

PROJEKT REGULAMINU II EDYCJI GRAND PRIX POWIATU MIĘDZYCHODZKIEGO W SPORTOWEJ GRZE W KOPA O PUCHAR KRAINY 100 JEZIOR

PROJEKT REGULAMINU II EDYCJI GRAND PRIX POWIATU MIĘDZYCHODZKIEGO W SPORTOWEJ GRZE W KOPA O PUCHAR KRAINY 100 JEZIOR PROJEKT REGULAMINU II EDYCJI GRAND PRIX POWIATU MIĘDZYCHODZKIEGO W SPORTOWEJ GRZE W KOPA O PUCHAR KRAINY 100 JEZIOR I. II Grand Prix Powiatu Międzychodzkiego w sportowej grze w Kopa o Puchar Kariny 100

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I

25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I 124 25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I Mirosław Dąbrowski 25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I Cele ogólne w szkole podstawowej: zdobycie

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku Bartek Majewski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 11 października 2011 r. JAK POMNAŻAĆ BOGACTWO? Oszczędzanie

Bardziej szczegółowo

- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.2

- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.2 - 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.2 Pomoc Spis treści: Wstęp 1.Porównanie gry w black jack z liczeniem kart i gry na uszkodzonym kole ruletki. 2.Wybór kół ruletki i sposób notowania wyników

Bardziej szczegółowo

Patrycja Prokopiuk. Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w Pokerze Pięciokartowym

Patrycja Prokopiuk. Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w Pokerze Pięciokartowym Patrycja Prokopiuk Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w Pokerze Pięciokartowym Wrocław 7 maja 04 Spis treści Wstęp........................................ Objaśnienie obliczeń................................

Bardziej szczegółowo

Odmiany Gry. Rozpoczęcie gry

Odmiany Gry. Rozpoczęcie gry Odmiany Gry Limit: każda runda ma określony wcześniej limit podbicia, Pot-Limit: w każdej rundzie gracz nie może postawić więcej niż wartość puli znajdującej się na stole, No-Limit: w każdej chwili można

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. Zdobyte punkty gracz zaznacza na torze punktów (na swojej planszy gospodarstwa). Przesuwa do przodu pionek o tyle pól, ile zdobył punktów.

INSTRUKCJA. Zdobyte punkty gracz zaznacza na torze punktów (na swojej planszy gospodarstwa). Przesuwa do przodu pionek o tyle pól, ile zdobył punktów. Zdobyte punkty gracz zaznacza na torze punktów (na swojej planszy gospodarstwa). Przesuwa do przodu pionek o tyle pól, ile zdobył punktów. Rzut kostkami zwierząt znajdującymi się na niższych polach - jeśli

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Hazard i uzależnienia behawioralne w opinii społecznej

Hazard i uzależnienia behawioralne w opinii społecznej Krajowe Biuro ds. Przeciwdziała nia Narkomanii Hazard i uzależnienia behawioralne w opinii społecznej Projekt badawczy zrealizowany przez Fundację Centrum Badania Opinii Społecznej, współfinansowany ze

Bardziej szczegółowo

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options). Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można

Bardziej szczegółowo

Żeby wygrać, trzeba grać?

Żeby wygrać, trzeba grać? Informacja o badaniu Czy Polacy grają w gry pieniężne? Które z nich są najbardziej popularne? Ilu Polaków choć raz grało w kasynie? Czy polscy gracze wierzą w swoje szczęście? Poniższy raport odpowiada

Bardziej szczegółowo

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Poradnik gracza opcyjnego

Poradnik gracza opcyjnego Poradnik gracza opcyjnego Wstęp Na rynku istnieje całe mnóstwo spekulantów. Szukają oni szybkiego zysku. Chcą pomnożyd kapitał wykorzystując krótkoterminowe (przypadkowe) ruchy cenowe. Handlują nieustannie.

Bardziej szczegółowo

Rodzaje Szkoleń Wine Casino

Rodzaje Szkoleń Wine Casino Rodzaje Szkoleń Wine Casino Niniejsza oferta przedstawia propozycję współpracy z firmą. Jesteśmy gotowi również do rozmów prowadzących do uszczegółowienia niniejszej oferty. W razie jakichkolwiek pytań

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

Eliminacje do Mistrzostw Polski w Rummikub

Eliminacje do Mistrzostw Polski w Rummikub Eliminacje do Mistrzostw Polski w Rummikub Data: 12.09.2015 Godziny: I Turniej 10:00-14:00, II Turniej 15:00-19:00 Miasto: Warszawa CH Arkadia, adres: Aleja Jana Pawła II 82, 00-175 http://www.arkadia.com.pl/

Bardziej szczegółowo

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,

Bardziej szczegółowo

Czy się zdarzy, to co się nam zamarzy? Wahid Ben Khalfa Przemysław Prucnal

Czy się zdarzy, to co się nam zamarzy? Wahid Ben Khalfa Przemysław Prucnal Czy się zdarzy, to co się nam zamarzy? Wahid Ben Khalfa Przemysław Prucnal Klasa VI B Ogólnokształcąca Szkoła Muzyczna I stopnia im. I. J. Paderewskiego, Kraków opieka merytoryczna: mgr Joanna Zagórska

Bardziej szczegółowo

Ranking OFE 2013: fundusze lepsze od ZUS-u. Który zarobił najwięcej?

Ranking OFE 2013: fundusze lepsze od ZUS-u. Który zarobił najwięcej? : fundusze lepsze od ZUS-u. Który zarobił najwięcej? Nawet najgorszy OFE zarobił w ostatnich latach dla swoich klientów więcej niż ZUS. Mimo niedawnej zapaści na rynkach finansowych i roku 2008 oraz 2011,

Bardziej szczegółowo

OPCJE W to też możesz inwestować na giełdzie

OPCJE W to też możesz inwestować na giełdzie OPCJE NA WIG 20 W to też możesz inwestować na giełdzie GIEŁDAPAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WARSZAWIE OPCJE NA WIG 20 Opcje na WIG20 to popularny instrument, którego obrót systematycznie rośnie. Opcje dają ogromne

Bardziej szczegółowo

Polskie kasyna przeciw 10% dopłacie

Polskie kasyna przeciw 10% dopłacie Polskie kasyna przeciw 10% dopłacie 21.10.2008, 12:59 Przedsiębiorcy prowadzący kasyna zwrócili się do Instytutu Badań Systemowych Polskiej Akademii Nauk o przeanalizowanie skutków wprowadzenia proponowanych

Bardziej szczegółowo

Vademecum bukmacherstwa

Vademecum bukmacherstwa 1 Vademecum bukmacherstwa 2 Od autora Odkąd kilka lat temu zacząłem interesować się tematem zakładów bukmacherskich zapragnąłem napisać książkę na ich temat. Wtedy jednak nie miałem, ani dostatecznej wiedzy

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

ZYSK BRUTTO, KOSZTY I ZYSK NETTO

ZYSK BRUTTO, KOSZTY I ZYSK NETTO ZYSK BRUTTO, KOSZTY I ZYSK NETTO MARŻA BRUTTO Marża i narzut dotyczą tego ile właściciel sklepu zarabia na sprzedaży 1 sztuki pojedynczej pozycji. Marża brutto i zysk brutto odnoszą się do tego ile zarabia

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną

Bardziej szczegółowo

Białoruś nie było podstaw prawnych dla jego funkcjonowania Ustawodawca czuwa

Białoruś nie było podstaw prawnych dla jego funkcjonowania Ustawodawca czuwa Białoruś Pierwsze automaty do gry pojawiły się w Białoruskiej Republice Radzieckiej w końcu lat 80. minionego stulecia. Najpierw na stołecznym lotnisku i w niektórych hotelach Mińska. Atmosfera polityczna

Bardziej szczegółowo

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne 4.1 Wprowadzenie do modelowania Uwaga!!! Rzut monetą nie jest eksperymentem losowym. Znając warunki początkowe oraz wiedząc wszystko o otoczeniu, wyposażeni w znajomość zasad dynamiki jesteśmy w stanie

Bardziej szczegółowo

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne? Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,

Bardziej szczegółowo

Część II teoretyczne modele wyceny opcji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Część II teoretyczne modele wyceny opcji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Część II teoretyczne modele wyceny opcji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Rozwiązanie zagadnienia z 16.04.15 I.) Kurs rozliczeniowy = 90-1 short 90 call = 0 + (8,45 x 1) = + 8,45-2 long 100 calls

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN, Gliwice oraz Zakład Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Śląski, Katowice 7 Czerwca 2005 Plan

Bardziej szczegółowo

Tradycyjne gry karciane. Przewodnik po zasadach gry w karty.

Tradycyjne gry karciane. Przewodnik po zasadach gry w karty. tylkorelaks.pl Tradycyjne gry karciane. Przewodnik po zasadach gry w karty. Wersja demonstracyjna. Wydawnictwo Psychoskok Konin 2016 tylkorelaks.pl Tradycyjne gry karciane. Przewodnik po zasadach gry w

Bardziej szczegółowo

Andrzej Ubik. klasa VI, Szkoła Podstawowa nr 41 im. Jana Kochanowskiego w Krakowie. A czemu nie?! Opiekun pracy: Martha Łącka

Andrzej Ubik. klasa VI, Szkoła Podstawowa nr 41 im. Jana Kochanowskiego w Krakowie. A czemu nie?! Opiekun pracy: Martha Łącka Andrzej Ubik klasa VI, Szkoła Podstawowa nr 41 im. Jana Kochanowskiego w Krakowie A czemu nie?! Opiekun pracy: Martha Łącka Kraków, luty 2017 Spis treści Wstęp I. Idź na całość! II. Grasz czy nie grasz?

Bardziej szczegółowo

Stanowisko Stowarzyszenia. 4. Posiedzenie Parlamentarnego Zespołu ds. efektywnej regulacji gry w pokera

Stanowisko Stowarzyszenia. 4. Posiedzenie Parlamentarnego Zespołu ds. efektywnej regulacji gry w pokera Stanowisko Stowarzyszenia 4. Posiedzenie Parlamentarnego Zespołu ds. efektywnej regulacji gry w pokera Stowarzyszenie Wolny Poker Dobre regulacje i rozsądne opodatkowanie Stowarzyszenie Wolny Poker powstało

Bardziej szczegółowo

Obliczanie procentu danej liczby i liczby na podstawie jej. procentu jako umiejętności kluczowe w pracy doradcy. inwestycyjnego.

Obliczanie procentu danej liczby i liczby na podstawie jej. procentu jako umiejętności kluczowe w pracy doradcy. inwestycyjnego. 1 Obliczanie procentu danej liczby i liczby na podstawie jej procentu jako umiejętności kluczowe w pracy doradcy inwestycyjnego. Czas trwania zajęć: ok. 40 minut Kontekst w jakim wprowadzono doświadczenie:

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 1. Diagram 1. Diagram 3

LEKCJA 1. Diagram 1. Diagram 3 Diagram 1 LEKCJA 1 - zaawansowanie czarnych zdecydowanie lepsze, - szansa dojścia czarnych do damki, - przynajmniej jeden kamień białych ginie, ale od czego jest ostatnia deska ratunku - KOMBINACJA! Ale

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

BATERIA METOD SŁUŻĄCYCH DO OCENY RYZYKA ZABURZEŃ ZWIĄZANYCH Z HAZARDEM

BATERIA METOD SŁUŻĄCYCH DO OCENY RYZYKA ZABURZEŃ ZWIĄZANYCH Z HAZARDEM BATERIA METOD SŁUŻĄCYCH DO OCENY RYZYKA ZABURZEŃ ZWIĄZANYCH Z HAZARDEM Iwona Niewiadomska Weronika Augustynowicz Agnieszka Palacz-Chrisidis Rafał P. Bartczuk Michał Wiechetek Joanna Chwaszcz LUBLIN 2014

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Gra planszowa dla 2 5 graczy w wieku powyżej 4 lat

Gra planszowa dla 2 5 graczy w wieku powyżej 4 lat ZAWARTOŚĆ PUDEŁKA: 1 plansza 1 dwunastościenna kostka 36 kartoników ze zdjęciami potwora Nessie 1 woreczek 12 figurek fotografów (3 żółte, 3 czerwone, 2 niebieskie, 2 czarne i 2 zielone) 1 figurka potwora

Bardziej szczegółowo

Zasady gry. Zawartosc pudełka. Przygotowanie do gry

Zasady gry. Zawartosc pudełka. Przygotowanie do gry Zasady gry Cel gry Po przegranym wyścigu zając zażądał rewanżu, a żółw przyjął wyzwanie. Wieść o zbliżającym się wyścigu rozeszła się po całej krainie. Na starcie zebrali się wszyscy uczestnicy: zając,

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Analiza wskaźnikowa przedsiębiorstwa - wskaźniki rentowności

Analiza wskaźnikowa przedsiębiorstwa - wskaźniki rentowności Analiza wskaźnikowa przedsiębiorstwa - wskaźniki rentowności Dynamiczne otoczenie, ciągłe zmiany przepisów oraz potrzeba dostosowania się do nich, a także rozwój konkurencji znacznie utrudnia funkcjonowanie

Bardziej szczegółowo

Gra: Partnerstwo biznesowe

Gra: Partnerstwo biznesowe Gra: Partnerstwo biznesowe Opis: Gra uczy partnerstwa biznesowego. Pokazuje jakie są jego zalety i wady. Pozwala uczestnikom szkolenia odkryć główny powód, dla którego firmy tworzą partnerstwa biznesowe.

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Temat spotkania: Finanse dla sprytnych Dlaczego inteligencja finansowa popłaca? Prowadzący: dr Anna Miarecka Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie 28 maj

Bardziej szczegółowo

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa W modelu tym rozważamy optymalny wybór konsumenta dotyczący konsumpcji w okresie obecnym i w przyszłości. Zakładając, że nasz dochód w okresie bieżącym i przyszłym

Bardziej szczegółowo

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI Prowadząc z dziećmi zajęcia usprawniania technik szkolnych odczuwałam niedosyt pomocy i materiałów niezbędnych do prowadzenie tych zajęć. Szczególnie uciążliwe było to

Bardziej szczegółowo

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI Prowadząc z dziećmi zajęcia usprawniania technik szkolnych odczuwałam niedosyt pomocy i materiałów niezbędnych do prowadzenie tych zajęć. Szczególnie uciążliwe było to

Bardziej szczegółowo

Testy popularnych wskaźników - RSI

Testy popularnych wskaźników - RSI Testy popularnych wskaźników - RSI Wskaźniki analizy technicznej generują wskazania kupna albo sprzedaży pomagając przy tym inwestorom podjąć odpowiednie decyzje. Chociaż przeważnie patrzy się na co najmniej

Bardziej szczegółowo

ATOLL. Wykonali: Aleksandra Kuchta, Łukasz Wójcik, Sztuczna Inteligencja, Semestr trzeci, Kierunek Informatyka, Wydział Informatyki i Zarządzania,

ATOLL. Wykonali: Aleksandra Kuchta, Łukasz Wójcik, Sztuczna Inteligencja, Semestr trzeci, Kierunek Informatyka, Wydział Informatyki i Zarządzania, Sztuczna Inteligencja, Semestr trzeci, Kierunek Informatyka, Wydział Informatyki i Zarządzania, Politechnika Poznańska ATOLL Wykonali: Aleksandra Kuchta, WFT, PP, nr 76690, rok IV Łukasz Wójcik, WIiZ,

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa starsza. Dzień pierwszy 27.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ PODSTAWOWYCH 1. Zadanie najłatwiej rozwiązać od tyłu 210:3=70 Trzeci koszyk 70-16=54 Drugi koszyk 70+16-6=80 Pierwszy koszyk 70+6=76 Odp: 76, 80, 54. 2. 200-144= 56km 12-8=4l 144 8=18 Potrzebuje jeszcze 56 18=3,(1)

Bardziej szczegółowo

Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału.

Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału. Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału Wiktor Miszuris 2 czerwca 2004 Przepustowość kanału Zacznijmy od wprowadzenia równości IA, B HB HB A HA HA B Można ją intuicyjnie

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Aviva Gwarancja Akcje Europejskie

Aviva Gwarancja Akcje Europejskie inwestycje Aviva Gwarancja Akcje Europejskie W ofercie od 15 czerwca do 10 lipca 2009 roku AVIVA_Gwarancja_broszura_A4x8_v05.indd 1 2009-06-05 17:34:28 Recepta na sukces jest prosta buduj mosty zamiast

Bardziej szczegółowo