ZARZĄDZANIE RYZYKIEM FINANSOWYM

Transkrypt

1 Heraklit: Much learning does not teach understanding Albert Einstein - wszystko może być tak proste jak to jest możliwe ale nie prostsze Walter Wriston CitiCorp: Całe życie to zarządzanie ryzykiem a nie jego eliminacja ZARZĄDZANIE RYZYKIEM FINANSOWYM Krzysztof Kalicki Aswath Damodaran, Ryzyko strategiczne, podstwy zarządzania ryzykiem, Koźminski, Warszawa, 2009 K.Jajuga, Zarządanie ryzykiem, PWN, Warszawa, 2007, W.Tarczyński, M.Mojsiewicz, Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa, 200 Z.Marciniak, Zarządzanie wartością i ryzykiem, SGH,W-wa 200; P.Jorion, Financial Risk Manager, handbook, WileyFinance, II ed. GARP, 2004 W.Tarczyński, M.Mojsiewicz, Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa, 2002 E.Chrabonszczewska, K.Kalicki,Teoria i polityka kursu walutowego,sgh, 996; A.Sopoćko, Droga do fortuny, Pochodne, Mediabank, 999; Ch.W.Smithson, C.W.Smith,Jr, D.S.Wilford, Zarządzanie ryzykiem finansowym, ABC, Kraków 2000; Butler Cormac, Tajniki value at risk, Liber, Warszawa, 200; W.Tarczyński, Instrumenty pochodne na rynku kapitałowym, PWE, Warszawa, 2003; ; Marry Jackson, Mike Staunton, Zaawansowane modele finansowe z wykorzystaniem Excla i VBA, Helion, Gliwice2004 Edgar E.Peters, Teoria Chaosu a rynki kapitałowe, WIG Press, Warszawa 997 Nassim Nicholas Taleb, Fooled by randomness, hidden role of chance in life and markets II wyd,thomson,texere, NY,2004 Tadeusz Teofil Kaczmarek Ryzyko i zarządzanie ryzykiem DIFIN, Warszawa 2005 Laurent Condamin, Jean-Paul Louisot, Patrick Naim, Risk quantification, Management, Diagnosis and Hedging, Wiley Finance,Chichester, 2006 P.L.Rubinstein, Przeciw Bogom, niezwykłe dzieje ryzyka, WIG Press, Warszawa, 977,E.Peters, Teoria Chaosu a rynki kapitałowe, WIG Press, Warszawa, 997,

2 Solon Grek do Krezusa Króla Lidii Krezusie człowiek jest całkowicie igraszką przypadku 568 pne PODSTAWY POMIARU RYZYKA Statystyka deskryptywna: średnia, wariancja, odchylenie standardowe, korelacja, skośność, kurtoza, podstawy rachunku prawdopodobieństwa, losowość zmiennych gospodarczych, chaos, rozkłady prawdopodobieństwa, Teoria finansów: ryzyko i awersja do ryzyka, podstawy kalkulacji ryzyka portfela, CAPM, APT Zarządzanie ryzykiem rynkowym: mtm, wrażliwość cen akcji, obligacje - duracja, konweksja, ryzyko portfela, VaR, modele VaR, Sress test Instrumenty pochodne: forwards & futures, opcje, swapy, derywaty kredytowe, Ryzyko kredytowe: default i recovery, zabezpieczenia, credit rating, rating klienta i ekspozycji, modele niewypłacalności, model Mertona, loss given default i efekty korelacji, spread kredytowy, cena ryzyka, derywaty kredytowe, regulacje Ryzyko operacyjne: ramy, kultura i świadomość, zbiór informacji o stratach, samoocena ryzyka, kluczowe wskaźniki,, analiza scenariuszy, raportowanie, governance & compliance Rynki i ryzyko próbują zrozumieć ekonomiści, matematycy, psychologowie, gdy to nie wystarcza szuka się inspiracji w gwiazdach, w astrologii. Rynki okazują się tak skomplikowane jak człowiek i mogą być de facto nieprzewidywalne.

3 GŁÓWNE BLOKI WYKŁADU RYZYKO - SYSTEMETYTKA, RYZYKO FINANSOWE, RYZYKO RYNKOWE, BADANIE EKSPOZYCJI -POMIAR, ZARZĄDZANIE RYZYKIEM RYZYKO KURSU WALUTOWEGO, RYZYKO STOPY %, TEORIA, WEWNĘTRZNE METODY OGRANICZANIA RYZYKA, ZEWNĘTRZNE METODY OGRANICZANIA RYZYKA, INSTRUMENTY ZABEZPIECZANIA SIĘ PRZED RYZYKIEM (POCHODNE)

4 RYZYKO WPROWADZENIE CZŁOWIEK A RYZYKO, POJMOWANIE RYZYKA, RYZYKO PESYMIZM POZNAWCZY

5 Ilościowcy stworzyli pułapkę losowości (wiele założeń trudnych do spełnienia), ale są fat tails lub zdarzenia jednokrotne wtedy można mówić o roli szczęścia w finansach Gregory Chatin mat. Świat o nieskończonym stopniu złożoności (w sensie informatycznym długość algorytmu do jego opisania). Każda z cyfr omega to jeden nieredukowalny fakt matematyczny. Program do jej obliczenia miałby nieskończoną długość. POJMOWANIE RYZYKA Rozumienie ryzyka nie jest nawet współcześnie jednoznaczne (niepewność wynika z braku wiedzy, brak determinizmu, brak kompletu informacji) Słownik: możliwość, że coś się nie uda, przedsięwzięcie, którego wynik nie jest znany Nassim Taleb: prawdopodobieństwo znaczy coś innego dla nauk ilościowych i dla humanisty, dla kwantysty (ilościowca) znaczy rozkład zdarzeń, dla humanisty sceptycyzm Pierwsi tworzą wspaniałe ilościowe narzędzia modelowe - drudzy w nie wątpią Dla humanisty ryzyko jest raczej nie kalkulacją, a niepewnością wynikającą z braku wiedzy, tworzeniem metod, które mają zastąpić ignorancję.

6 RYZYKO PESYMIZM ANALITYCZNY Przyszłość nigdy nie jest zdeterminowana, a więc nie można jej przewidzieć Religia ryzyka niepewność była źródłem wierzeń religijnych, ponieważ nie można powiedzieć, które ryzyko jest groźniejsze to wybór jest arbitralny - jak w religii. Tradycje religijne koiły niepewność i częściowo jej zapobiegały kształtując życie społeczne. Pod wpływem świadomości ryzyka ludzie też kształtują swoje życie. Zajmując się ryzykiem też kształtujemy rytuały np. kontrola ryzyka. Krytycy : nie wiele z tego wynika ale tworzy się poczucie bezpieczeństwa. Nieustanny spór czy decydować w oparciu o prawidłowości zaobserwowane w przeszłości, czy o intuicję?

7 RYZYKO PESYMIZM ANALITYCZNY Fizycy i matematycy w latach 90 podbili Wall Street ze swoimi modelami (jak David X.Li) Tworzyli modele zwiększające zyski przy redukcji ryzyka (raz na sto lat sic. Często Gaussian Copula Function czyli rozkład wokół średniej poszukiwanie uśrednionych prawidłowości ) Policzalne wydawało się każde ryzyko Teraz często teza o roli przypadku w dynamicznych sieciach zależności Niezwykle rzadkie zjawiska wyzwalają dynamikę zjawisk społecznych także finansowych (jak woda, gdy się gotuje pierwsze bąble i nagle parowanie w całej objętości) Węzły w sieci nie odzwierciedlają rozkładu normalnego najważniejsze są centralne elementy struktury a nie średnie Nauka o złożoności układów zasada dynamicznego minimalizmu czyli nawet niewielka zmiana jednego parametru układu może wywołać fundamentalne zaburzenie

8 RYZYKO MĄDROŚĆ POMIARU, POJĘCIE, KONCEPCJE RYNKU A RYZYKO, LOSOWOŚĆ, KONCEPCJE RYZYKA

9 Prof. Adrew Lo, MIT, the cosequences can be catastrophic, even if statisticaly improbable KONCEPCJE RYNKU A RYZYKO 4 GŁÓWNE KONCEPCJE RYNKU:. Błądzenie przypadkowe (losowe) 2. Zmiany jako skutek myślenia grupowego 3. Zmiany chaotyczne neutralne czynniki fundamentalne, wahania zbiorowych nastrojów 4. Zmiany rynek koherentny - zgodność nastrojów z fundamentami wyraźny trend

10 KONCEPCJE RYNKU A RYZYKO Założenie losowości zdarzeń gospodarczych. Przypadkowość zdarzeń, niezależność (kości nie mają pamięci) Lub Założenie chaosu. Chaos to porządek udający bałagan. Złożoność i prostota przenikają się. Geometryczna reprezentacja chaosu fraktale. Np. dym z papierosa, postrzępiony brzeg rzeki, wykres giełdowy kursu. Czy to może być przewidywalne? Teoria chaosu osobliwości: - Im więcej rozumiesz tym prognozy są mniej przewidywalne, - - Przyczyną nieprzewidywalności rynku nie jest ich przypadkowość, - Ruchy rynku nie są czysto przypadkowe, na dłuższą metę rynek jest nieprzewidywalny niemożliwe pokonanie rynku - Fraktale deterministyczne i losowe.

11 LOSOWOŚĆ Losowość wyraża brak celowości, przyczyny, nakazu, przewidywalności, zdarzenia mają niedeterministyczny charakter ale mają jakiś rozkład. W fizyce pojęcie losowości ruchu cząsteczek daje się opisać mechaniką statystyczną, aby wyjaśnić termodynamikę i cechy gazów. Mechanika kwantowa nie specyfikuje wyniku eksperymentu a jedynie określa prawdopodobieństwo. W biologii pojęcie losowych mutacji, które pozostają w poolu genów. W informatyce szum jest losowy Losowość a nieprzewidywalność coś co jest losowe dla jednego obserwatora nie musi być losowe dla innego. Dla jednego zaszyfrowana informacja jest nieczytelna a dla drugie czytelna. Niektórzy twierdzą, że nie ma losowości w świecie jest tylko nieprzewidywalność. Losowość daje się opisywać przez rozkłady. Buddyści odrzucają losowość bo wszystko determinują poprzednie uczynki. Chrześcijanie mają problem z wolną wolą i omnipotencją Boga. Bóg wiedział wszystko zanim pojawił się czas. Może nasza wolna wola jest tylko dopuszczalna do pewnego stopnia. Losowość pochodzi z przyrody, Brownian motions, lub z chaosu.

12 Liczby przenikają wszystkie dziedziny życia ale są bezduszne i mogą stać się fetyszami. Infantylne gry ruletka, kości i giełda są poligonem doświadczalnym dla badań nad ryzykiem. LOSOWOŚĆ CEN Rynek efektywny to zdyskontowanie każdej informacji w cenie, wielka ilość podmiotów warunek rzetelności cen, racjonalni inwestorzy. Zbiorowa świadomość rynku przetrawia informację. Tylko nowa informacja zmienia cenę i rynek nie ma pamięci. Stopy zwrotu niezależne a więc losowe i podlegają błądzeniu losowemu. Błądzenie losowe wymaga założenia efektywności rynku (i niezależności zdarzeń) ale nie odwrotnie. (duża rola 900 Louis Bachelier uznał, że proces Wienera ma naturę ruchów Browna, Einstein odkrył to 0 lat później). Osborne 964 oraz Fama 965. Ilość dzienna transakcji jest skończona i nieistotna, cena i wartość są ściśle związane, wartość oczekiwanej stopy zwrotu zależy od jej poziomu i prawdopodobieństwa. Jeżeli transakcja ma dojść do skutku kupujący nie może mieć przewagi nad sprzedającym. Konkluzja, gdy zdarzenia są losowe to rozkład będzie normalny ze stabilną średnią i skończoną wariancją co wynika z prawa wielkich liczb graniczne twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa. Liczba stopni swobody to ilość inwestorów na rynku a inwestorzy z założenia racjonalni. Kierują się wartością oczekiwaną wynikającą z subiektywnego prawdopodobieństwa ustalanego w sposób racjonalny i nieobciążony.

13 LOSOWOŚĆ CEN E.Peters podważa efektywność rynków i błądzenie losowe. Teoria rynków efektywnych dostarcza uzasadnienie do stosowania rachunku prawdopodobieństwa w ekonomii. Ale jeżeli zależności są nieliniowe i dynamiczne wtedy standardowa analiza statystyczna daje błędne wyniki Spór o losowość cen: Empiria tego nie potwierdza. Kiedy można podważyć losowość cen gdyby dowieść, że rynek ma długą pamięć i duże zdarzenie z przeszłości przez wiele lat wpływa na rynek. Mandelbrott pokazywał empirycznie, że stopy zwrotu nie mają rozkładu normalnego i formułował hipotezę o stabilnych Paretowskich rozkładach stóp zwrotu. A więc, jeżeli rozkład nie jest normalny to podważona jest hipoteza o rynkach efektywnych i nowoczesna teoria portfelowa.

14 Teoria chaosu chce zastąpić paradygmat liniowości nieliniowością i paradygmat rynków efektywnych ogólnym patrzeniem na rynki w ich złożoności. Człowiek chce zrozumieć nieuporządkowany świat przez jego porządkowanie czas przez zegary, wiedzę przez encyklopedie, prawo przez sądy E.Petres rynki nie zachowują zgodnie z zasadą błądzenia przypadkowego, niektóre zamiany są tak duże, że nie można ich zaliczyć do białego szumu. Ekonomiści wychodzili zwykle od pojęcia równowagi dążenia do równowagi system pragnie ładu Równowaga zakładała brak emocji chciwości, altruizmu E.Peters zdrowa gospodarka i zdrowy rynek nie zmierzają do równowagi (Teoria Chaosu a Rynki Kapitałowe 997) Ekonomia często ignoruje czynnik czasu (brak pamięci, czasu). Model nieliniowy pokazuje, że rynek może mieć bardzo wiele cen spełniających równanie popytu i podaży więcej niż jeden poziom równowagi. Złożoność rynku, gdy przyjąć, że rynki są nieliniowymi systemami dynamicznymi, wtedy są długoterminowe korelacje i trendy (sprzężenia zwrotne), poziomy krytyczne, struktury fraktalne, zmniejsza się trafność prognoz wraz z horyzontem. To podważa hipotezę o efektywności rynków, bo inwestorzy nie są racjonalni, nie działają w sposób uporządkowany i systematyczny rynki są raczej bezładne i skomplikowane. Teoria złożoności wiele rzeczy jest złożonych ale tworzy spójny obiekt lub proces drzewo, pismo, koryto rzeki Bezwładny motłoch może zmienić się w zwarty tłum i działa tak jakby miał jeden umysł

15 Już w latach 60-tych zauważano grube ogony i kurtozy. Problem był też w zakładanej liniowości zjawisk często reakcja inwestorów wynikała z okresowej kumulacji informacji. Fama zauważył, że więcej zdarzeń mieściło się w lewym ogonie niż w prawym lewa asymetria i wyższa wartość szczytu = leptokurtoza. Rozkład normalny zakłada małe prawdopodobieństwa w przypadku ogonów a obserwacje wskazywały na wartości większe. Niepokojąco niestabilne okazują się odchylenia standardowe. Teoretycznie odchylenia standardowe dla stóp 5 dniowych powinny być pierwiastek kwadratowy z 5 razy odchylenie standardowe dla 5 dni - ale tak nie było. Problem czy istnieją inwestorzy inteligentny kapitał czy reagujący na szum informacyjny wtedy podważa się racjonalne oczekiwania. Wiele badań kwestionuje racjonalność decyzji inwestorów. Grube ogony wyjaśnia się, że informacje nie docierają ciągle ale w wiązkach i skokowo. To powoduje leptokutozę. Mandelbrot 964 pisał, że rozkłady mają wysokie wierzchołki i grube ogony bo są paretowskie. Dalej cechuje je skłonność do wytwarzania trendów i cykli oraz gwałtownych zmian nieciągłych. Ale wtedy wariancja jest nieskończona czyli nieokreślona. Bez założenia losowości w ekonomii nie ma rachunku prawdopodobieństwa. Problem: ludzie nie zawsze unikają ryzyka (hazard), subiektywne prawdopodobieństwo często nie ma podstaw, ludzie nie reagują liniowo na informację ale pierwsze informacje ignorują a potem działają skokowo, czy racjonalność zbiorowości jest większa niż jednostek (brak dowodu). Specjaliści od zarządzania nie przynosili rezultatów lepszych niż średnio rynek. Czy przypadek i konieczność wykluczają się? Czy przypadkowość i porządek też się wykluczają? Gdy na obraz telewizora nałożyć biały szum (śnieg) obraz dalej będzie widać. Chartyści twierdzą, że eliminują szum przez średnie kroczące. Jest wiele systemów gdzie, losowość i determinizm współistnieją. W ekonomii panuje Newtonowskie założenie dążenia do równowagi - dynamiki w świecie trójwymiarowym. Naturalna równowaga podaży i popytu. A przyroda jest w stanie permanentnych fluktuacji.

16 IMPLIKACJE ODRZUCENIA EPeters Teoria chaosu..fraktale,,,.natura jest ciągiem powtarzających się formacji jest LOSOWOŚCI ona lokalnie losowa, globalnie CENzaś uporządkowana. To co złożone uzyskuje dzięki fraktalom strukturę. Natura jest nieliniowa, a fraktale są geometrią chaosu. Euklides to greckie dążenie do czystych form ale natura nie znosi symetrii podobnie jak nie znosi równowagi. Fraktale tworzył Benoit Mandelbrot. Fraktal to obiekt, którego części pozostają w pewnej relacji do całości. Każda gałąź drzewa jest podobna do całości. Jak wyjmowanie trójkątów z trójkąta Sierpińskiego przy pomocy geometrii Euklidesowej. Liczba jego wymiarów jest ułamkowa,58. Gdy istnieją dziury w płaszczyznach czy bryłach to obiekty nie są różniczkowalne w całej swojej powierzchni brak ciągłości. Płatek śniegu Kocha nieskończona długość w skończonej przestrzeni. Tak jest z cenami akcji z daleka widać powolne zmiany, z bliska postrzępione zmiany cen akcji (jak linia brzegowa z samolotu i z bliska). Fraktal jest atraktorem zbiorem granicznym. Atraktor nie jest losowy mimo, że ma nieskończenie wiele możliwych rozwiązań. Fraktal jest samopodobny. Mogą być fraktale deterministyczne (symetryczne) oraz losowe (niesymetryczne). Szereg nie ma charakteru losowego bo są zagęszczenia wynikające z korelacji. W szeregach losowych nie ma związków z wcześniejszymi zdarzeniami

17 KONCEPCJE RYZYKA Negatywna koncepcja ryzyka ryzyko jako zagrożenie nie osiągnięcie efektu (negatywny wpływ na ludzi, środowisko, gospodarkę) Katastrofy (zagrożenie jako zjawisko rzadkie, małoprawdopodobne ale o dużych negatywnych skutkach piorun) Ryzyko jako prawdopodobieństwo zdarzenia (zdarzenia, prawdopodobieństwo w określonym czasie) Neutralna koncepcja ryzyka zagrożenie ale i szansa efekt różny od zakładanego np. w języku chińskim znak niebezpieczeństwa i szansy (razem)

18 Brenoulli - Użyteczność będąca wynikiem jakiegokolwiek niewielkiego wzrostu zamożności będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr uprzednio posiadanych. Bernoulli pokazał postać osoby podejmującej ryzyko motywacje i różne decyzje mimo tych samych mierzonych prawdopodobieństw PODEJŚCIE DO RYZYKA Podejście do ryzyka ryzyko a nagroda (użyteczność): -risk aversion awersja do ryzyka wyższa premia za ryzyko (malejąca użyteczność, [stała lub malejąca awersja do ryzyka ]) -risk neutrality neutralność na ryzyko (stała użyteczność) - risk seeking ponoszenie dodatkowego ryzyka dla wyższego zwrotu (rosnąca krańcowa użyteczność) UZYTECZNOŚC AWERSJA SKŁONNOŚĆ NEUTRALNOŚĆ WARTOŚĆ D.Bernoulli Wartość przedmiotu wynika nie z ceny lecz z użyteczności paradoks Petersburski

19 Patrząc w przyszłość niektórzy widzą małą chmurkę a inni górę lodową i wielkie cierpienie RYZYKO POJĘCIE, ETYMOLOGIA, GENEZA BADAŃ RYZYKA Co to jest ryzyko?

20 T.S.Elliot poeta: Tylko ci, którzy zaryzykują pójście o krok za daleko dowiedzą się, jak daleko można w ogóle dojść RYZYKO Rozi(k) po persku los Risq arabski los, dopust boży Al zahr arab. Gra w kości (hazard) Ar-risco hiszpański odwaga, niebezpieczeństwo Risk, hazard ang. Risicare starowłoskie Omijać coś, odważyć się (a więc wybór a nie przeznaczenie) Risichio włoski statek powinien ominąć rafę Riza grecki ostra skała, rafa ale i Eikos Prawdopodobieństwo do Prawdy (Sokrates) Kindunos hazard obecnie pojęcie cindynics situation np. Czarnobyl, Challenger,.Sept.0 Probare łac. sprawdzać ilis możliwość istnienia - probabilistyczny możliwy do uznania Hazard to czysty los, ryzyko w działaniu to los i decyzje Ryzyko łączy się z osiąganiem celu, przy deficycie informacji Ryzyko czyste i dynamiczne Ryzyko nie jest jednorodne stąd trudności definicyjne Ryzyko w: ubezpieczeniach, ekonomii, prawie, polityce, technice, ekologii, medycynie, farmacji, psychologiczne, socjologiczne etc.

21 N.Taleb: Skutkiem nieprzewidzianego ryzyka jest duża asymetria skutków zdarzenia wielki zysk lub wielka strata Pozytywnie szansa (chance) RYZYKO Negatywnie ryzyko (risk) Dwa główne zagadnienie: Częstotliwość (frequency) Dolegliwość (severity of risk)

22 Jawaharlal Nehru The policy of beeing too cautious is the greatest risk of all PROBLEMATYKA RYZYKA Ryzyko jest jak kurz - jest wszędzie niezależnie od tego co czynimy, można z nim sobie radzić (zarządzać) ale nie da się go całkowicie wyeliminować (Penny Cagan). Risicare wł. Odważyć się Ryzyko można omijać ale nie można go się pozbyć (Tanya Styblo-Beder) Ryzyka nie da się dotknąć ani powąchać (U.Beck) Merton Miller Nobel 990..instrumenty pochodne uczyniły świat bezpieczniejszym, a nie bardziej ryzykownym Ale pozbyć się całkowicie ryzyka oznacza rezygnację z

23 GENEZA BADAŃ RYZYKA Arystoteles opisywał historię Talesa z Miletu ryzyko i funkcjonujące wtedy instrumenty pochodne XVI, XVII w ubezpieczenia towarów w handlu XVI w gry losowe XVII w Blaise Pascal 654 klasztor Port Royal, 662 Logika Sztuka Myślenia, ryzyko to skala zagrożenia oraz prawdopodobieństwo zdarzenia strach przed piorunem jest nadmierny (małe prawdopodobieństwo rażenia). Pytanie czy jest Bóg czy nie rozważa przez pryzmat przyszłych konsekwencji. XVIII idee braci Bernoullich, teoria użyteczności, unikanie ryzyka, 703 Jacob Bernoulli prawdopodobieństwo na podstawie wyrywkowych danych, niepewność to nieznane prawdopodobieństwo. F.Galton przekształcił dane statystyczne w pojęcie prawdopodobieństwa P.S.Laplace każde zdarzenie ma przyczynę. Wybór jest tylko między odrzuceniem lub nieodrzuceniem hipotezy. F.Knight 92 Risk, uncertainty and profit. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. Zbyt wiele wniosków wyciągamy z danych przeszłych. Knigth dzielił na uncertainty incomputable i risk computable We francuskim jest hasard (arabskie az-zahr jak kości losowość) oraz fortuit (jak Black swan czysty przypadek) Keynes uważał, że nic nie świadczy o tym, że w gospodarce przeszłe zdarzenia powtórzą się w przyszłości. John von Naumann ( ) teoria gier użyteczność przyrostu bogactwa jest odwrotnie proporcjonalna do jego wielkości. Harry Markowitz 952 Dobór Portfela, dywersyfikacja, ryzyko i wariancja są u niego synonimami. Duża wariancja to jak głowa w piekarniku a nogi w lodówce. Bez ryzyka nie ma zysku. Czas zmienia ryzyko czego nie uwzględniał Markowitz.

24 RYZYKO POJĘCIA PODSTAWOWE Czynnik ryzyka Przedmiot ryzyka (object) Spełnienie się ryzyka (peril) Konsekwencje spełnienia się ryzyka (loss) Ryzyko nie może być traktowane tylko jako element pogorszenia się sytuacji ale również jako możliwość poprawy (chance)

25 Bernstein,P 996: risk is not a fate but a choice RYZYKO POJĘCIA PODSTAWOWE Ryzyko to sytuacja, gdzie szkodliwy czynnik ryzyka może się pojawić ale nie jest w pełni przewidywalny. Z naukowego punktu widzenia przyczynowość jest podstawą determinizmu jeżeli znamy wszystkie przyczyny danego zjawiska to możemy przewidzieć jego pojawianie się i skutki. Teoria prawdopodobieństwa jest matematyczną odpowiedzią na niepewność gdzie zdarzenie nie jest w pełni przewidywalne - teoria - pozwala skwantyfikować możliwą przyszłość Prawdopodobieństwo tyle co szansa Wiedza redukuje niepewność, wtedy losowość zmniejsza się w stosunku do sytuacji deterministycznej Losowość jest tylko rezultatem niekompletnej wiedzy Heisenberg W, 927 Niepewność a wiedza: niepewność wynika z niekompletnej wiedzy, ale często kompletna wiedza jest nie do uzyskania. (dialektyczna sprzeczność wiedzy i niepewności) Ryzyko jest ciągle zjawiskiem losowym ale prawdopodobieństwo zależy od czynników (driverów) ryzyka.

26 RYZYKO Teoria prawdopodobieństwa to matematyczne kwantyfikowanie niepewności Klasyczna teoria prawdopodobieństwa: Aksjomaty Kołomogorova: Ryzyko od zjawisk niemożliwych p=0 do pewnych p= zajście zdarzenia przeciwnego -P(E)= (pewne jak śmierć) suma prawdopodobieństw P(A)+P(B)-P(AiB), iloczyn P(AiB), E=suma wszystkich możliwych zdarzeń ½ orzeł Rzut monetą 50:50, ½ reszka kostką 6*p=->p=/6. Skończona ilość elementów zbioru zdarzeń P=n/m Geometryczna definicja prawdopodobieństwa, gdy punkt w przestrzeni należy do q(q) to P=q/Q Teoria prawdopodobieństwa oparata w empirii o częstość względną Badanie statystyczne (próba) Prawdopodobieństwo jest granicą z próby P=lim (n/n), próba musi być reprezentatywna (Mises.R.) Prawdopodobieństwo warunkowe Bayes theorem P(A B)=P(AiB)/(P(B) lub P(B A)=P(AiB)/(P(A) lub P(A B)=P(A).P(B A)/(P(B) Zdarzenia niezależne vs. zależne

27 GENEZA BADAŃ RYZYKA Rozróżnienie ryzyka i niepewności wprowadził Willet w 90 roku ryzyko jest obiektywnie współzależne od subiektywnej niepewności niepewność wystąpienia określonych skutków stanów natury Frank H. Knight (92), Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin Company, Boston. Knight opublikował teorię niepewności mierzalnej (ryzyko) i niemierzalnej (niepewność sensu stricto) The practical difference between the two categories, risk and uncertainty, is that in the former the distribution of the outcome in a group of instances is known (either through calculation a priori or from statistics of past experience), while in the case of uncertainty this is not true, the reason being in general that it is impossible to form a group of instances, because the situation dealt with is in a high degree unique. Ryzyko może być wycenione, przy założeniu, że prawdopodobieństwo w przyszłości wiąże się z przeszłością.

28 RYZYKO I NIEPEWNOŚĆ Pfeffer 956 ryzyko jest hazardem i jest mierzone prawdopodobieństwem, a niepewność jest mierzona poziomem wiary. Stąd ryzyko to stan świata a niepewność to stan umysłu. Antonim pewności niepewność Peter L. Bernstein (996), Against the Gods, John Wiley & Sons Inc., New York. Peter Bernstein wskazuje, że myślenie na temat ryzyka wyrosło z hazardu, gdzie prawdopodobieństwo daje się kalkulować. Klasycznie szansa na zdarzenie znajdowała rodowód w ubezpieczeniach np. Oczekiwany czas życia, prawdopodobieństwo pożaru, wypadku samochodowego etc. daje się zdefiniować oraz wycenić cenowo. C.A.Williams, M.L.Smith, P.C.Young ryzyko to potencjalna zmienność zdarzeń W przypadku niepewności - uncertainty, nie znane są parametry rozkładu prawdopodobieństwa, nie potrafimy określić ich częstości, a więc i ceny. Np. ptasia grypa, dziś brak jeszcze informacji i doświadczenia.

29 RYZYKO Definicje: Ryzyko - możliwa szkoda lub strata związana z wyborem danego lub alternatywnego działania. Tu zwraca uwagę alternatywa wyboru. Preferencja ryzyka: preferowany wybór w warunkach ryzyka wynikający z preferencji wybierającego. Pojęcie odrębne od samego ryzyka (risk avers, risk neutral ) Miara ryzyka: realna wartość funkcji numerycznej reprezentująca ryzyko wyboru decydenta spośród dostępnych alternatyw. Zmienna losowa: funkcja zdefiniowana na zestawie przypadkowych zdarzeń z realnymi wartościami, które są uważane za losowe. Uporządkowanie ryzyka: ocena przez podejmującego ryzyko, które z nich jest większe, a które mniejsze

30 Pierre Corneille dramaturg XVIIw: Wygrać bez ryzyka to tak, jak przeżyć wielki triumf bez cienia glorii RYZYKO Wynik - możliwa konsekwencja działania Zakład - skończony zbiór wyczerpujących i wyłącznych wyników działania Prawdopodobieństwo - realna liczba między 0, wyrażająca stopień przekonania, który osoba przypisuje prawdzie określonej propozycji Niepewność - niekompletny stan wiedzy o istocie propozycji np. Jakie mogą być wyniki decyzji Alternatywa - wybór między dwiema lub większą ilością loterii Decyzja - nieowracalny, nieodwołalny wybór

31 Sting piosenkarz: Wielu ludzi postrzega ryzyko jak wroga, podczas gdy jest ono uśmiechem losu RYZYKO Ryzyko może być pojęciem jednokierunkowym (negatywny efekt) lub wielokierunkowym (wypadkowa wielu czynników, różne efekty) W jednokierunkowym ujęciu ryzyko jest niebezpieczeństwem poniesienia straty W jednokierunkowym ujęciu zarządzanie ryzykiem jest minimalizacją straty Kryterium opłacalności w wielokierunkowym ujęciu ryzyka jest maksymalizacja zysku nad stratą Ryzyko jest zjawiskiem częstym Ryzyko nie jest czymś jednorodnym a więc nie ma uniwersalnej definicji ryzyka Dwa aspekty ryzyka: obiektywny i subiektywny Ryzyko bada się jako: niebezpieczeństwo, hazard, niepewność, prawdopodobieństwo Ryzyko jest raczej procesem niż stanem otoczenia

32 NIEPEWNOŚĆ TAKTYCZNA: ekspozycja transakcyjna, zysk lub strata na kontraktowym cash flow wynikająca z FX, %, commodity, equity, cen, operacyjna, wpływ na rachunek wyników ekspozycja translacyjna, straty lub zyski na aktywach lub pasywach, wpływ na bilans, ważne przy M&A STRATEGICZNA: Ekspozycja na konkurencyjność, marże, udziały w rynku, technologia, kapitały Ekspozycja ekonomiczna - długi okres, trudny pomiar ryzyka,

33 PRAWDOPODOBIEŃSTWO Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się modelami ujmującymi zachowanie się obserwowanych zjawisk (np.. Kursów, stóp ) Prawdopodobieństwo mierzy się od 0 do. Zjawiska mogą być deterministyczne 0 lub oraz probabilistyczne (stochastyczne 0<p<) Narzędziem jest abstrakcja matematyczna opisująca rozkład czynnika ryzyka. Każdy czynnik uważa się za zmienną losową (random variable) o określonej charakterystyce rozkładu.

34 RYZYKO POJĘCIA PODSTAWOWE, NIEPEWNOŚĆ A RYZYKO, RODZAJE RYZYKA, PRAWDOPODOBIEŃSTWO,

35 RYZYKO POJĘCIA PODSTAWOWE Czynnik ryzyka Przedmiot ryzyka (object) Spełnienie się ryzyka (peril) Konsekwencje spełnienia się ryzyka (loss) Ryzyko nie może być traktowane tylko jako element pogorszenia się sytuacji ale również jako możliwość poprawy (chance)

36 Bernstein,P 996: risk is not a fate but a choice RYZYKO POJĘCIA PODSTAWOWE Ryzyko to sytuacja, gdzie szkodliwy czynnik ryzyka może się pojawić ale nie jest w pełni przewidywalny. Z naukowego punktu widzenia przyczynowość jest podstawą determinizmu jeżeli znamy wszystkie przyczyny danego zjawiska to możemy przewidzieć jego pojawianie się i skutki. Teoria prawdopodobieństwa jest matematyczną odpowiedzią na niepewność gdzie zdarzenie nie jest w pełni przewidywalne - teoria - pozwala skwantyfikować możliwą przyszłość Prawdopodobieństwo tyle co szansa Wiedza redukuje niepewność, wtedy losowość zmniejsza się w stosunku do sytuacji deterministycznej Losowość jest tylko rezultatem niekompletnej wiedzy Heisenberg W, 927 Niepewność a wiedza: niepewność wynika z niekompletnej wiedzy, ale często kompletna wiedza jest nie do uzyskania. (dialektyczna sprzeczność wiedzy i niepewności) Ryzyko jest ciągle zjawiskiem losowym ale prawdopodobieństwo zależy od czynników (driverów) ryzyka.

37 NIEPEWNOŚĆ A RYZYKO Rozróżnienie ryzyka i niepewności wprowadził Willet w 90 roku ryzyko jest obiektywnie współzależne od subiektywnej niepewności niepewność wystąpienia określonych skutków stanów natury Frank H. Knight (92), Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin Company, Boston. Knight opublikował teorię niepewności mierzalnej (ryzyko) i niemierzalnej (niepewność sensu stricto) The practical difference between the two categories, risk and uncertainty, is that in the former the distribution of the outcome in a group of instances is known (either through calculation a priori or from statistics of past experience), while in the case of uncertainty this is not true, the reason being in general that it is impossible to form a group of instances, because the situation dealt with is in a high degree unique. Ryzyko może być wycenione, przy założeniu, że prawdopodobieństwo w

38 Henry Adams Chaos jest prawem natury; porządek marzeniem człowieka NIEPEWNOŚĆ Krytyka przenoszenia pojęć z fizyki na ekonomię Minimalną niepewność DEFINIOWAŁ Werner Heisenberg 927 ale to dotyczyło wielkich liczb i cząsteczek - bliżej uśredniania i Gaussa. Krytyka: ale pogoda, czy ekonomia to nie fizyka epistemic opacity (poznawcza nieprzejrzystość) Świat nie jest jak geometria Matka Natura nie chodziła do wyższej szkoły z geometrią i nie czytała książek Euklidesa z Aleksandrii. To jest zaprzeczeniem tego co pisał o naturze Galileusz, iż jest napisana w języku matematyki o czcionkami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne. Hayek był przeciwnikiem stosowania narzędzi fizyki do nauk społecznych Sterylna losowość gier, rzutów kostkami nie przypomina losowości prawdziwego życia Im więcej prób tym większe uśrednianie wyników

39 Z. Bauman Płynny lęk nazwa, jaką nadajemy naszej niepewności, naszej niewiedzy o zagrożeniu i o tym co należy zrobić RYZYKO I NIEPEWNOŚĆ Pfeffer 956 ryzyko jest hazardem i jest mierzone prawdopodobieństwem, a niepewność jest mierzona poziomem wiary Stąd ryzyko to stan świata a niepewność to stan umysłu. Antonim pewności niepewność Peter L. Bernstein (996), Against the Gods, John Wiley & Sons Inc., New York. Peter Bernstein wskazuje, że myślenie na temat ryzyka wyrosło z hazardu, gdzie prawdopodobieństwo daje się kalkulować. Klasycznie szansa na zdarzenie znajdowała rodowód w ubezpieczeniach np. Oczekiwany czas życia, prawdopodobieństwo pożaru, wypadku samochodowego etc. daje się zdefiniować oraz wycenić cenowo. C.A.Williams, M.L.Smith, P.C.Young ryzyko to potencjalna zmienność zdarzeń W przypadku niepewności - uncertainty, nie znane są parametry rozkładu prawdopodobieństwa, nie potrafimy określić ich częstości, a więc i ceny. Np. ptasia grypa, dziś brak jeszcze informacji i doświadczenia.

40 RYZYKO Definicje: Ryzyko - możliwa szkoda lub strata związana z wyborem danego lub alternatywnego działania lub stanu. Tu zwraca uwagę alternatywa wyboru. Preferencja ryzyka: preferowany wybór w warunkach ryzyka wynikający z preferencji wybierającego. Pojęcie odrębne od samego ryzyka (risk avers, risk neutral ) Miara ryzyka: realna wartość funkcji numerycznej reprezentująca ryzyko wyboru decydenta spośród dostępnych alternatyw. Zamienna losowa: funkcja zdefiniowana na zestawie przypadkowych zdarzeń z realnymi wartościami, które są uważane za losowe. Uporządkowanie ryzyka: ocena przez podejmującego ryzyko, które z nich jest większe, a które mniejsze

41 Pierre Corneille dramaturg XVIIw: Wygrać bez ryzyka to tak, jak przeżyć wielki triumf bez cienia glorii RYZYKO Wynik - możliwa konsekwencja działania Zakład - skończony zbiór wyczerpujących i wyłącznych wyników działania Prawdopodobieństwo - realna liczba między 0, wyrażająca stopień przekonania, który osoba przypisuje prawdzie określonej propozycji Niepewność - niekompletny stan wiedzy o istocie propozycji np. Jakie mogą być wyniki decyzji Alternatywa - wybór między dwiema lub większą ilością loterii Decyzja - nieowracalny, nieodwołalny wybór

42 Sting piosenkarz: Wielu ludzi postrzega ryzyko jak wroga, podczas gdy jest ono uśmiechem losu RYZYKO Ryzyko może być pojęciem jednokierunkowym (negatywny efekt) lub wielokierunkowym (wypadkowa wielu czynników, różne efekty) W jednokierunkowym ujęciu ryzyko jest niebezpieczeństwem poniesienia straty W jednokierunkowym ujęciu zarządzanie ryzykiem jest minimalizacją straty Kryterium opłacalności w wielokierunkowym ujęciu ryzyka jest maksymalizacja zysku nad stratą Ryzyko jednowymiarowe np. efekt zmiany kursu walutowego, ryzyko wielowymiarowe efekt zmiany indeksu giełdowego Ryzyko jest zjawiskiem częstym Ryzyko nie jest czymś jednorodnym a więc nie ma uniwersalnej definicji ryzyka Dwa aspekty ryzyka: obiektywny i subiektywny Ryzyko bada się jako: niebezpieczeństwo, hazard, niepewność, prawdopodobieństwo Ryzyko jest raczej procesem niż stanem otoczenia

43 RYZYKO Przyszłość nigdy nie jest zdeterminowana a więc nie można jej przewidzieć. Koncentracja ryzyka jest jednym z największych problemów firm i banków, z natury oznacza to silną korelację czynników ryzyka, które w okresie wystąpienia mają silnie zdynamizowany efekt. Korelacja może być między przemysłami, geograficzna, produktowa etc. (multiple risk factors) W zależności od kierunku korelacji ryzyko może rosnąć lub maleć w stosunku do ryzyka poszczególnych czynników. Ulrich Beck Społeczeństwo ryzyka : dziś żyjemy w społeczeństwie globalnego ryzyka, większość zdarzeń przekracza granice państwowe, co się dzieje w Chinach wpływa na Polskę (ceny, inwestycje, zatrudnienie) Ubezpieczenie od ryzyka tworzy nowe ryzyko Ryzyko klimatyczne, finansowe, zatrucia środowiska, kryzysu energetycznego, terroryzmu

44 RYZYKO A CZAS Rzuty kostką, karty nie mają pamięci i nie ma znaczenia co wyrzucono wcześniej złe i dobre passy są losowe. Wygrywając gracz chce wierzyć, że krótki czas rozwinie się w długi okres, przegrywając wierzy, że długi czas zamieni się w krótki okres. Ale niepomyślna passa może być bolesna. Ryzyko i czas to dwie strony medalu. Gdyby nie było jutra nie byłoby ryzyka. Często spotyka się tezę, że inwestując na długi okres zmniejsza się ryzyko, ale gdyby tak było to opcje dla długiego okresu musiałyby być bardzo tanie a przecież są drogie Krótki okres jak ruletka Długi okres jak rosyjska ruletka

45 Centralną problemem niepewności nie jest prawdopodobieństwo ale ocena zdolności poniesienia konsekwencji NIEPEWNOŚĆ TAKTYCZNA: ekspozycja transakcyjna, zysk lub strata na kontraktowym cash flow wynikająca z FX, %, commodity, equity, cen, operacyjna, wpływ na rachunek wyników ekspozycja translacyjna, straty lub zyski na aktywach lub pasywach, wpływ na bilans, ważne przy M&A STRATEGICZNA: Ekspozycja na konkurencyjność, marże, udziały w rynku, technologia, kapitały Ekspozycja ekonomiczna - długi okres, trudny pomiar ryzyka,

46 Kenneth Arrow: nasza wiedza owiana jest mgłą niepewności. Wiara w pewność prowadzi do katastrofalnych nastepstw PRAWDOPODOBIEŃSTWO Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się modelami ujmującymi zachowanie się obserwowanych zjawisk (np.. Kursów, stóp ) Prawdopodobieństwo mierzy się od 0 do. Zjawiska mogą być deterministyczne 0 lub oraz probabilistyczne (stochastyczne 0<p<) rozróżnienie między populacją a próbą z populacji

47 PRAWDOPODOBIEŃSTWO Narzędziem jest abstrakcja matematyczna opisująca rozkład czynnika ryzyka. Każdy czynnik uważa się za zmienną losową (random variable) o określonej charakterystyce rozkładu. Proces stochastyczny może mieć różny przebieg: Zdarzenia losowe, niezależne, o rozkładzie symetrycznym, normalnym, [ w ekonomii koncepcja rynków efektywnych, losowość krocząca] Zdarzenia losowe gdzie wartość oczekiwana jest warunkowa i zależy od wartości poprzedzających, gdy znana wartość od wcześniejszego momentu s to wartość warunkowa oczekiwana jest równa wartości w momencie s [martyngał, teorii chaosu, fraktale, zmiany nieliniowe, rozkłady niesymetryczne]

48 J.M.Keynes gdy akumulacja kapitału jakiegoś kraju staje się ubocznym produktem gry hazardowej, wyniki zawsze są opłakane gdyby ludzi nie nęciło próbowanie szczęścia niewiele by chyba było inwestycji zrodzonych z chłodnej kalkulacji RYZYKO KATEGORIE RYZYKA, RYZYKO FINANSOWE, RYZYKO RYNKOWE, CZYNNIKI RYZYKA RYNKOWEGO

49 RYZYKO - KRYTERIA Kryteria: Ryzyko właściwe wynik działania prawa wielkich liczb Ryzyko subiektywne oceniane przez niedoskonałego człowieka Ryzyko obiektywne absolutna forma niepewności, niemożliwość przewidzenia niektórych zjawisk Ryzyko stałe (systematyczne, zewnętrzne, skorelowane) - dotyczy np. systemu gospodarczego, Ryzyko niestałe (niesystematyczne, specyficzne, wewnętrzne, nieskorelowane) konkretnego przedsiębiorstwa Kulpa, 922,s.4-7

50 Cardano hazardzista z gier hazardowych największy pożytek wypływa wówczas, gdy w ogóle ich nie uprawiamy RYZYKO - KRYTERIA Inny koncept ryzyka: Czyste (pure risk) gdy alternatywą do obecnego stanu jest wystąpienie straty Spekulacyjne (speculative risk) Gdy może wystąpić strata lub zysk Egzogeniczne vs endogeniczne Ryzyko zwykłe i ekstremalne Ekonomiczne, ludzkie, naturalne, przemysłowe Ryzyko taktyczne i strategiczne (holistic) Ryzyko ubezpieczane (gdzie istnieje rynek ubezpieczania ryzyka) Default risk, managemnt risk, business risk, financial risk, bankruptcy risk, liquidity risk, holding period risk, reinvestment risk, convertibility risk, political risk

51 RYZYKO A RYZYKO FINANSOWE Niepewność a ryzyko - niepewność mierzalna=ryzyko ryzyko to stan świata, niepewność to stan umysłu Ryzyko fiansowe - rozumie się tu jako zmienność strumieni finansowych (volatility).ryzyko też definiuje się jako odchylenie między oczekiwanym a uzyskanym wynikiem - możliwość zwiększenia lub zmniejszenia rynkowej wartości kapitału w wyniku oddziaływania czynników wewnętrznych lub zewnętrznych Narażenie na ryzyko = prawdopodobieństwo*ekspozycja Analitycy kredytowi preferują stabilny cash-flow, RoE, RoA, Hedge redukuje zmienność strumieni Wizualizować ryzyko można poprzez funkcję gęstości (często założenie rozkładu normalnego)

52 RYZYKO VS. NIEPEWNOŚĆ - KTYTERIA PRZYSZLE WYDARZENIA RYZYKO NIEPEWNOSC EFEKT ALTERNATYWA MIERZALNOSC NIEPEWNOSC POSTEP RYZYKO SPECYFICZNE wewnetrzne RYZYKO SYSTEMATYCZNE zewnetrzne RYZYKO CZYSTE Tylko strata RYZYKO SPEKULACYJNE Strata lub zysk FINANSOWE NIEFINANSOWE CZASU MIEJSCA WYSTAPIENIA SKUTKU STATYCZNE DYNAMICZNE

53 RYZYKO KRYTERIA RYZYKO RYZYKO TRANSAKCYJNE WYDATEK =P*Q RYZYKO TRANSALCYJNE BILANSOWE=Pb*Q np.3.2. p\p&l,a/p PODATKOWE RYZYKO EKONOMICZNE RYZYKO KONKURENCJI np.zmiana kursów inwestycje bezposrednie RYZYKO TAKTYCZNE RYZYKO STRATEGICZNE

54 RYZYKO FINANSOWE - KRYTERIA Główne rodzaje ryzyka finansowego w firmach Płynności (upłynnienie aktywów) Rynkowe (cen rynkowych) Kredytowe (kontrahenta, bankructwa) Operacyjne ( transferu, wyceny, systemów, utraty kontroli) Biznesowe (sprzedaży, prawne, regulacyjne, reputacji, nowego produktu)

55 RYZYKO FINANSOWE Ryzyko płynności czyli stanu, w którym podmiot ma zdolność do wywiązywania się z bieżących oraz przyszłych zobowiązań Ryzyko rynkowe niebezpieczeństwo poniesienia straty w wyniku niekorzystnych zmian parametrów rynkowych Ryzyko operacyjne czyli ryzyko poniesienia straty w wyniku niedostosowania lub zawodności wewnętrznych procesów, techniki, ludzi Ryzyko kredytowe czyli sytuacja, w której kontrahent, częściowo lub w całości, nie reguluje w umówionym terminie płatności przewidzianej umową.

56 RYZYKO FINANSOWE RYNKOWE główne problemy identyfikacja, pomiar (metody), monitorowanie, kontrola/ migracja,cashflow at risk, OPERACYJNE - główne problemy definicja, identyfikacja, modelowanie, wycena, bufor kapitałowy, VaR, modele strat, agregacja ryzyka operacyjnego, zarządzanie/limity Prawne, regulacyjne, podatkowe, reputacyjne, przyczyny, skutki, w tym regulacje derywatów, KREDYTOWE - główne problemy Czynniki ryzyka kredytowego, pomiar, rating, collateral, limity kredytowe, straty kredytowe, aktuariat default risk, proces odzyskiwania, spready a ryzyko, derywaty kredytowe, ekspozycja, prawdopodobieństwo straty, zwrot z ekspozycji zagrożonej, rozkład strat modelowanie ryzyka kredytowego, dywersyfikacja, migracja ryzyka, regulacje PŁYNNOŚCI główne problemy Płynność instrumentów finansowych na rynku, płynność firmy, miary, zarządzanie płynnością

57 RYZYKO FINANSOWE Ryzyko operacyjne Ryzyko rynkowe Ryzyko kredytowe Ryzyko płynności Model risk Ryzyko systemowe

58 RYZYKO - CZYNNIKI Główne czynniki: Niebezpieczeństwo (przyczyny, źródła straty) Sekwencja niebezpieczeństwa zagrożenie, realizacja, efekty Hazard (zespół warunków i okoliczności) Hazard fizyczny, moralny, duchowy

59 RYZYKO - CZYNNIKI Price risk Interest rates risk FX risk Credit risk Liquidity risk Capital risk Sovereign, country risk Off-balance sheet risk Business risk Operational risk Technology risk Marketability, liquidation risk Purchasing power risk War, revolution risk Force major

60 H. Von Moltke dowódca armii pruskiej: Najpierw rozważ wszelkie możliwości, potem podejmuje ryzyko ZARZĄDZANIE RYZYKIEM ZDARZENIE, EKSPOZYCJA, KONSEKWENCJE, CZYNNIK RYZYKA, ZARZĄDZANIE RYZYKIEM DEFINICJA, STRATEGIA A RYZYKO, OGRANICZANIE RYZYKA,

61 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Dlaczego firmy zajmują się zarządzaniem ryzykiem? LIBERALIZACJA GLOBALIZACJA KONKURENCJA R Y N E K ZYSK

62 Apetyt na ryzyko musi być pod kontrolą ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Rolą zarządzającego jest utrzymanie przeżycia organizacji i pomyślności w działaniu Definicja zarządzania ryzykiem jest koncepcją otwartą (open concept) ale celem jest możliwe ograniczenie ryzyka Celem jest ochrona zasobów i reputacji firmy (szerokie) oraz zmniejszenie niepewności co do skutków podejmowanych decyzji Różne podejścia: Zdarzenie niepewne prowokuje stratę (peril) Ekspozycja zasobów (object of risk) Konsekwencje finansowe (loss) Czynniki ryzyka (risk factors) Ryzyko twarde (możliwe do analizy) ryzyko miękkie (trudne do analizy)

63 Warren Buffet: Ryzyko rodzi się wtedy, gdy nie wiesz dokładnie co robisz ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Definicja: Zarządzanie ryzykiem to identyfikacja, mierzenie ryzyka oraz decydowanie o skali akceptacji ryzyka i instrumentach ograniczających ryzyko. Rozpoznawanie rodzajów ryzyka Pomiar ryzyka Wycena ryzyka Dezagregacja i integracja wyceny ryzyka Kontrola ryzyka Informacja o ryzyku Inna definicja:zarządzanie ryzykiem to dopasowywanie poziomu akceptowanego ryzyka do skłonności inwestorów do ponoszenia ryzyka. Zarządzanie ryzykiem to stały proces podejmowania i realizowania decyzji, które redukują ryzyko do akceptowalnego poziomu dla ekspozycji danej jednostki Inwestorzy: skłonni do ryzyka, neutralni na ryzyko oraz mający awersję do ryzyka Pasywne i aktywne zarządzanie ryzykiem Kontrola ryzyka fizyczna i finansowa

64 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM RYZYKO FIZYCZNA KONTROLA RYZYKA FINANSOWA KONTROLA RYZYKA UNIKANIE RYZYKA REDUKCJA RYZYKA PODJECIE RYZYKA TRANSFER RYZYKA

65 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Zarządzanie ryzykiem wpisuje się w: Cele zarządzania ryzykiem Cele organizacji Efektywność ekonomiczną Bezpieczeństwo środowiska Etykę i good citizenship Cele funkcjonalne

66 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Problemy: integracja ryzyka (różne rodzaje ryzyka w różnych departamentach) zdolność przywiązywania właściwej wagi między ryzykiem biznesowym i rynkowym (ryzyko a apetyt na ryzyko) właściwe zarządzanie zmiennością przychodów zachowanie właściwych marż na działalności operacyjnej (większe ryzyko - większa marża) minimalizowanie prawdopodobieństwa rynkowego kryzysów zarządzanie ryzykiem antycypowanych transakcji corporate governance w zakresie adekwatnego zarządzania ryzykiem

67 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Celem jest: poprawa wyników zmniejszenie ryzyka Etapy zarządzania: rozpoznanie ryzyka badanie ekspozycji - pomiar kontrola informacja ocena procesu Zarządzanie ryzykiem nie polega na jego unikaniu ale na wykorzystanie wiedzy i umiejętności do jego oszacowania oraz uzyskania przy nim optymalnego dochodu ZYSK RYZYKO

68 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Na płynnych (informacyjnie efektywnych) rynkach finansowych zarządzanie aktywne przeciętnie nie zapewnia ponadprzeciętnych stóp zwrotu Na mało płynnych rynkach finansowych Alfa często nie jest Alfą (ponadprzeciętną stopą zwrotu), lecz premią za ryzyko braku płynności rynku)

69 3 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Kluczowe pytania: Jak odpowiednio i efektywnie zarządzać ryzykiem? Jak zrozumieć profili ryzyka w firmie? Jak zarządzanie ryzykiem skutecznie wprowadzić w firmie? Czynniki ryzyka i ich wpływ na firmę? Wyniki finansowe przy akceptowanym ryzyku? Czy warto brać to ryzyko? Czy lepiej zabezpieczyć się? Jak zarządzać portfelem ryzyka? Jaki jest górny limit ryzyka dla firmy? Czy ryzyko jest adekwatnie zabezpieczone kapitałem? Jak wdrożyć efektywny system zarządzania ryzykiem? ZAGADNIENIA: Pomiar ryzyka Strategia w zakresie ryzyka Zarządzanie kapitałem Struktura zarządzania ryzykiem

70 Dawniej życie było stąpaniem po twardej ziemi dziś to marsz po ruchomych piaskach, tylko ruch i aktywność chroni przed utonięciem. WZROST RYZYKA Zjawisko nieustannego wzrostu ryzka (pieprz, złoto w Hiszpanii, złoto w USA) od XVII do połowy XIX w ceny i kursy były relatywnie stabilne (wahnięcia w czasie wojen napoleońskich, prusko-francuskiej i I Wojny Światowej) Do 97 r gold standard, gold bullion, gold foreign-exchange, stabilne stopy procentowe oraz ceny Deregulacja rynków pieniężnych, kapitałowych, walutowych, euro, azjo-rynki, integracja światowa, liberalizacja rynków energii, Enron, Worldcom, Ahold, Parmalat, ix0, 3 razy bankrutowała Argentyna, stopy% od % rosły do 2% $, subprime 2007 Odpowiedź harmonizacja (Sarbanes-Oxley, Basel II, MIFID) Bill Gates Biznes szybki jak myśl - stan przerywanej równowagi do 980 i stan przerywanego chaosu po 980

71 OGRANICZANIE RYZYKA Wzrost posiadanych informacji Przeciwdziałanie ryzyku: Unikanie ryzyka Wkalkulowanie ryzyka Tworzenie rezerw Przeniesienie ryzyka Kompensacja ryzyka

72 OGRANICZANIE RYZYKA - HISTORIA Wzrost ilości transakcji terminowych spowodował zagrożenie ryzykiem ostatecznego rozliczenia. Transakcje terminowe znali już Grecy na rynku oliwek, Flamandowie w XII w dokonywali transakcji forward. W XVII w Holendrzy wprowadzili opcje i futures. W XX w powstały giełdy na te instrumenty Pierwszy swap był zawarty między holenderską firmą Boskalis i angielskim koncernem ICI w 976 roku (wymiana strumienia guldenów na funty) oraz IBM i Bankiem Światowym

73 SKALA OPERACJI Transakcje terminowe FX 80 mld $ Transakcje terminowe % 5005 mld $ Transakcje terminowe na akcje 488 mld Transakcje terminowe commodities 037 Razem mld $ w tym giełdowe 3549 mld $ w tym Polska 25 mld $ Źródło: BIS (998)

74 RYZYKO STATE OF ART MAPOWANIE I PROFILOWANIE RYZYKA Podstawą zarządzania Risk map lub risk matrix (mapa ryzyka) Risk profile (profil ryzyka) PROSTA MATRYCA RYZYKA Częstość Dotkliwość Niska Wysoka Niska A B Wysoka C D

75 IDENTYFIKACJA RYZYKA FINANSOWEGO TRANSAKCJE BIZNESOWE.TYP RYZYKA.CZYNNIK RYZYKA.WRAŻLIWOŚĆ NA RYZYKO.STRUKTURA CZASOWA.GEOGRAFIA RYZYKA.SPONSOR RYZYKA FILTR RYZYKA Zła kominikacja, zły management, zły syste konkurencja, produkcja, zły marketing zła logistyka etc. MAPA RYZYKA Kursy, stopy procentowe, ceny, pogoda, kre Krótki, długi okres kraj, zagranica

76 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM Zarządzanie ryzykiem to funkcja ekonomiczna. Mierzą ją głównie 2 parametry (lub 3) OCZEKIWANY KOSZT RYZYKA = CZĘSTOŚĆ (frequency)* DOTKLIWOŚĆ (severity oczekiwany koszt zdarzenia) niekiedy jeszcze wymiar odchylenia standardowego np. na rok (F*S* )

77 NIEKTÓRE POJĘCIA KWANTYFIKACJA RYZYKA: Ekspozycja (notional - value, volume, object, resource) Czynniki ryzyka {r..rn} Zmienność {, 2.. n} Korelacje między różnymi rodzajami ryzyka wrażliwość {p, pn) Ekspozycja na ryzyko (risk exposure) { r, 2r2.. nrn} Probabilistyka Np. Z poziomem ufności 99% kurs nie zmieni się negatywnie o więcej niż np. 2%w ciągu jednego dnia. Relatywne zmiany dzienne mogą być przypadkowe lub losowe i mieć jakiś rozkład np. rozkład normalny Relative volatility to nie absolutne odchylenie standardowe ale względna procentowa zmiana np. Z poziomem ufności 99%

78 RYZYKO DRIVERS EKSPOZYCJA CZĘSTOŚĆ ZDARZENIA SKUTEK STRATA UNIKANIE TRANSFER REDUKCJA ABSORPCJA

79 DIAGNOZOWANIE RYZYKA MYŚL JAK FIRMA: Analizuj ekspozycję finansową Dokonuj pomiaru Określ co powoduje zmienność cash flow CZY RYZYKO JEST Mierzalne? Hedgeowalne? CO TO JEST HEDGE? Minimalizowanie ekspozycji strumieni i zasobów na przyszłe zmiany rynkowe Zero-Sum-game METODY: Tradycyjne (non option) Nowoczesne (opcyjne)

80 ZASADY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM DZIAŁANIA PROCEDURY POTWIERDZONE PRAKTYKI MIERZENIA KULTUTRA RYZYKA & BEZPIECZEŃSTWO RYZYKO

81 MIERZENIE RYZYKA Kwantyfikacja ryzyka musi zawierać dwa rodzaje danych: wiekość możliwej straty, prawdopodobieństwo wystąpienia straty. Określenie: ekspozycji, czynników ryzyka, wrażliwości na ryzyko, probabilistyka Podstawą jest rozkład prawdopodobieństwa lub jego określenie przez parametry - wartość oczekiwana, wariancja. kwantyfikacja RYZYKO RYNKOWE RYZYKO BRAKU SPŁATY RYZYKO OPERACYJNE RYZYKO PRAWNE FORCE MAJEUR ETC... Brak kwantyfikacji

82 MIERZENIE RYZYKA- MODEL XOI Exposure, occurance, impact XOI Ekspozycja ilościowa miara wolumenu podatnego na ryzyko (może to być zmienna losowa) Wystąpienie generalnie dwumianowa zmienna losowa kwantyfikowana jako prawdopodobieństwo Skutek miara dotkliwości poszczególnego wydarzenia (czyli źródłowo = object, peril, consequence)

83 2 Standard deviation KLASYCZNE GRUPOWANIE RYZYKA Ryzyko grupuje się w tzw. buckets aby efektywnie zarządzać Group Risk Volatility przychodów oraz wpływ na rynkową kapitalizację Credit Risk Volatility wynikająca ze zmienności strat kredytu Operational Risk Volatility wynikająca ze strat operacyjnych Market Risk Volatility wynikająca ze zmienności cen rynkowych Loss Rate Mean Credit Losses EL UL EUR/USD Exchange rate 2 Standard Deviations (VAR) Kluczową kwestią jest integracja ryzyka kredytowego, operacyjnego oraz rynkowego i przetłumaczenie tego na język KAPITAŁU EKONOMICZNEGO FIRMY

84 MIERZENIE RYZYKA Trzy modele oceny prawdopodobieństwa: Wycena empiryczna częstość (strata/ekspozycja w czasie) Wycena teoretyczna zewnętrzne założenia np. model Monte Carlo Wycena subiektywna - ekspercka Modele dla analizy ilościowej, czy jakościowej mają jakąś wiodącą zasadę (bazę ideologiczną), co powoduje różnicę ocen prawdopodobieństwa

85 MIERZENIE RYZYKA Scenariusz Object Peril Impact Błąd w orderze order błąd Koszt usunięcia błędu Kradzież kart Karta kredytowa defraudacja Koszt defraudacji Błąd odsetek Produkt bankowy Roszczenie prawne Kompensata Ogień w banku bank ogień Koszty napraw utrata dochodów Wirusy w serwerze Godziny pracy serwera Zawieszenie systemów Koszty naprawy, utrata dochodów Negatywna zmiana kursów Produkty bankowe Zmiana wycen Straty na transakcjach

86 KONTROLA RYZYKA Celem zarządzania jest możliwa redukcja ryzyka, ponieważ ryzyka nie można stłumić w pełni Redukcja ryzyka mikroekonomicznego i makroekonomicznego Drivery ryzyka: Kontrolowalne Przewidywalne Obserwowalne Ukryte - niemierzalne

87 CORPORATEMETRICS Definiowanie miar ryzyka Metodyka mierzenia ryzyka Źródła danych i prognoz Kalkulacja ryzyka Riskmeritcs - koncentracja na wpływie ryzyka na zmiany wartości finansowej portfela aktywów, corporatemetrics - badanie wpływu zmian rynku na wyniki Horyzont od 2-24 miesięcy

88 5 Risk Portfolio PROCES ZARZĄDZANIA Analysis ANALIZA RYZYKA Identifikacja ryzyka Prewencja RYZYKIEM Cele firmy Apetyt na ryzyko Oczekiwania managerów Reporting Kontrola ryzyka, Rezultat finansowy Redukcja Informacja, Pomiar ryzyka Portfel ryzyka Transfer Miary ryzyka uwzględniające Risk-Return Absorpcja Reszta Ryzyka Komunikacja Monitoring jako Early Warning System

89 Ryzyko strat KOSZTY RYZYKA - FINANSOWANIE Cat events Oczekiwana strata Stress test ródło okrycia apitałem Premie rezerwy Rezerwy waluacje Equity Retained profit Możliwość Refinansowania się

90 CORPORATE RISK BOOK VS TRADING BOOK CORP.RISK BOOK RISK LIMIT CFO ORIGINAL POSITION HEDGE POSITION TREASURY BUSINES EXPOSURE FINANCIAL EXPOSURE INVESTMENT EXPOSURE OPERATIVE STAFF DEAL DEAL DEAL DEAL INVENTORY

91 ETAPY ROZWOJU ANALIZY RYZYKA Era przed Markowitz ryzyko finansowe traktowano jako czynnik korekcyjny oczekiwanego zysku. Wariancja i odchylenie standardowe były podstawą analiz. Ale wariancja nie jest dobrą miarą przy szerokim ogonie, czyli dla małych prawdopodobieństw (np..ryzyko bankructwa) Markowitz zaproponował wariancję jako miarę powiązaną ze stopą zysku JP.Morgan 994 wprowadził VaR. (miara all or nothing) Braki VaR próbuje się nadrobić conditional VaR - CVaR Spektralne miary ryzyka (z funkcją odzwierciedlającą awersję do ryzyka) Dynamiczne miary ryzyka (wprowadza czynnik czasu)

92 RMS EWOLUCJA 997/ Start-Up: Risk Management Services Pure Advisory Service Centric Client Relationship Bt Additional Service: Technology Roll-out RMS in Germany Creating a Client Service Culture Building-up of RMS in Europe Additional Service: Outsourcing Functions Going Global: Decision to Establish RMS-Teams Internationally Establishing RMS as the Holistic Risk Management House

93 Risk is like air in a squishly baloon. You can squeeze the baloon into a shape you like but the air doesn t disappear ZARZĄDZANIE RYZYKIEM CELE: powiązanie strategii finansowej z ryzykiem finansowym ograniczenie niepewności taktycznej oraz strategicznej wpływ ryzyka na cele finansowe ZARZĄDZANIE: wykorzystanie związku ryzyka inwestora i firmy ograniczanie ryzyka, którego nie chce brać akcjonariusz

94 RYZYKO TO ODCHYLENIE MIĘDZY OCZEKIWANYM A FAKTYCZNYM WYNIKIEM OCZEKIWANA STOPA ZYSKU RZECZYWISTA STOPA ZYSKU

95 POWRÓT DO PRZESZŁOŚCI FUNDAMENTY MIERZENIA RYZYKA KRÓTKIE PRZYPOMNIENIE NARZĘDZI STATYSTYKI Georg Chatin matematyka to rodzaj fikcji. Nie wyjaśnisz stosunków z rodziną lub globalnej Ekonomii za pomocą prostych równań czy logicznego rozumowania

96 TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Teoria prawdopodobieństwa jest fundamentalnym matematycznym narzędziem służącym kwantyfikacji niepewności. Centralnym problemem teorii prawdopodobieństwa są zmienne losowe, procesy stochastyczne i wydarzenia. Mogą to być wydarzenia jednostkowe lub zmieniające się w czasie w sposób losowy. Prawdopodobieństwo jest miarą stopnia niepewności i niewiedzy niekompletność informacji, złożoność systemu, zjawisko losowe. W świecie deterministycznym Newtona nie ma miejsca na prawdopodobieństwo bo, gdy są znane wszystkie czynniki to skutek jest deterministyczny. Prawdopodobieństwo jest miarą relacji części zbioru do całości zbioru. Miary, które mogą być nazwane prawdopodobieństwem muszą wypełniać aksjomaty Kołomogorova. Aksjomaty reprezentują naszą intuicję niepewności. Zbiór wszystkich wyników E, które mogą się pojawić rzuty monetą, kostką Jeżeli koło rulety jest równe to prawdopodobieństwo pojawienia się wszystkich cyfr jest równe np. p z zerem =/37 Prawdopodobieństwo warunkowe: Prawdopodobieństwo A wiedząc, że wystąpi B Zdarzenia są niezależne gdy: P(A B)=P(A)*P(B) Np. osoba krótkowzroczna P(B)=0,4 i mężczyzna P(A)=0,5 tzn. 0,4*0,5=0,2 mężczyzna krótkowzroczny Np. P(daltonisci)=P(daltonista mężczyzna)*p(mężczyzna)+p(daltonista kobieta)*p(kobieta)=(40/500)*( 500/000)+(5/500)*(500/000)=0,045

97 Żołnierze Poncjusz Piłata rzucali losy o szatę Chrystusa RYZYKO Teoria prawdopodobieństwa to matematyczne kwantyfikowanie niepewności. Relacja podzbioru do zbioru wszystkich elementów Klasyczna teoria prawdopodobieństwa: Aksjomaty Kołomogorova: Ryzyko od zjawisk niemożliwych p=0 do pewnych p= ; podzbiór E<=0;>= zajście zdarzenia przeciwnego -P(E)= (pewne jak śmierć) suma prawdopodobieństw P(A)+P(B)-P(AiB), iloczyn P(AiB), E=suma wszystkich możliwych zdarzeń; prawdopodobieństwo całego zbioru P(E)= ½ orzeł Rzut monetą 50:50, ½ reszka kostką 6*p=->p=/6. Skończona ilość elementów zbioru zdarzeń P=n/m Geometryczna definicja prawdopodobieństwa, gdy punkt w przestrzeni należy do q(q) to P=q/Q Teoria prawdopodobieństwa oparata w empirii o częstość względną Badanie statystyczne (próba) Prawdopodobieństwo jest granicą z próby P=lim (n/n), próba musi być reprezentatywna (Mises.R.) Prawdopodobieństwo warunkowe Bayes theorem P(A B)=P(AiB)/(P(B) lub P(B A)=P(AiB)/(P(A) lub P(A B)=P(A).P(B A)/(P(B) Zdarzenia niezależne vs. zależne

98 PRAWDOPODOBIEŃSTWO Teoria prawdopodobieństwa dyskretnego Def. Nowoczesna - przestrzeń prób w relacji do wszystkich możliwych wyników f(x) należy do <0;>; suma f(x)= Zdarzenie E jako podzbiór omega Teoria prawdopodobieństwa ciągłego: Skumulowana funkcja rozkładu F(X)=P(X<=x) Własności: F funkcja monotonicznie niemalejąca, Lim F(x) dla nieskończoności=0 dla +nieskończoności= Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest różniczką F(x) i f(x)=df(x)/dx P(XdoE)= całka xdoe df(x) lub całka f(x)dx

99 ZAŁOŻENIA ANALIZ PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zmienne losowe: Gdy R przypisane jest prawdopodobieństwo na całym zbiorze E Gdy przypisze się możliwym wynikom X prawdopodobieństwo wtedy mówimy o rozkładzie X Dwie zmienne losowe X i Y są niezależne, jeżeli dla każdej pary (X=x) i (Y=y) są niezależne od jakiejkolwiek pary (x,y) Czyli P(X=x) Y=y)=P(X=x) Momenty zmiennych: Wartość oczekiwana zmiennych losowych jest sumą ważonych prawdopodobieństwem wartości: E(X)=x*P(X-x)+x2*P(X=x2)+ +xn*p(x=xn)

100 ZAŁOŻENIA ANALIZ PRAWDOPODOBIEŃSTWA Dla każdej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej E(X) można zdefiniować zmienną losową (wariancję) V=(X-E(X))^2= (x-e(x))^2*p(x=x)+ (xn-e(x))^2*p(x=xn) Wariancja lub pierwiastek kwadratowy to odchylenie standardowe Dla dwóch zmiennych X, Y, uwzględnia się kowariancję: Cov(X,Y)=(x-E(X))^2*P(X=x)(y-E(Y))^2*P(Y=y)+ (xn-e(x))^2*p(x=xn)(yn-e(y))^2*p(y=yn) Korelacja dwóch zmiennych X oraz Y jest definiowana jako współczynnik: (X,Y)=cov(X,Y)/( (X)* (Y))

101 ZAŁOŻENIA ANALIZ PRAWDOPODOBIEŃSTWA Czynniki ryzyka mają rozkład prawdopodobieństwa Każdy czynnik ryzyka jest traktowany jako zmienna losowa (random) Każdy czynnik ma funkcję gęstości oraz dystrybuantę Te funkcje mogą być opisane przy pomocy momentów (średnia, wariancja, skośność, kurtoza) Rozkłady mogą być np. normalne, lognormalne, Studenta, binominalne Klasyczne podejście do prawdopodobieństwa bazuje na koncepcji zmiennej losowej. Niezależne obserwacje mają atrakcyjną właściwość, że ich wspólny rozkład jest produktem ich marginalnych rozkładów. Można też przyjąć, że ceny są bliskie losowym a więc niezależnym zdarzeniom. To wynika z koncepcji efektywności rynków, gdzie cała informacja jest zdyskontowana w cenie. Zmiana ceny może tylko zależeć od nowych informacji a te są nieprzewidywalne. A więc ceny są nieprzewidywalne a więc są całkowicie losowe hipoteza random walk (to też oznacza, że analiza techniczna jest nonsensem) Jeżeli rozkład stóp zwrotu jest stały w czasie to zmienne są niezależne i mają identyczny rozkład. Ale losowość może być warunkowana poprzedzającymi zdarzeniami (nieznane

102 STATYSTYKA Niekompletna informacja o populacji (często nieskończonej) wymaga badań statystycznych na próbie (skończonej) Skala prawdopodobieństwa - od zdarzenia niemożliwego do zdarzenia pewnego Prawdopodobieństwo zdarzenia mieści się pomiędzy 0<=P(A)<= Prawdopodobieństwo: wkład klasyczny zmiennej losowej(a priori, eksperyment Laplace np. Moneta /2) (deterministyczne), - empiryczne, subiektywne (stochastyczne 0<P<) Np. rzut monetą daje zmienną losową o rozkładzie dwumianowym Koncepcję zmiennej losowej można przenieść na zjawiska gospodarcze zmienność cen, kursów, stóp zwrotu etc. P(Ai )

103 <-5% -5% 0% 5% 0% 5% >+5% P(X=xi) ROZKŁAD STOPY ZYSKU 30 (HISTOGRAM) ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ X PRAWDOPODOBIEŃSTWO 30 P(X=xi)=pi Suma pi= Stopa zysku x 95% PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ŻE NIE MNIEJ NIŻ -5% DYSTRYBUANTA P(X<=x)=p+p2..pn=

104 Częstość względna może być przybliżeniem prawdopodobieństwa o ile nie różni się istotnie z prawdopodobieństwem = Prawdopodobieństwo w przedziale 0, suma prawdopodobieństwa zdarzenia A i dopełniającego = Dystrybuanta skumulowana funkcja dystrybucji, dyskretna lub ciągła STATYSTYKA ni lim N 0 P( A) F( x) P{ N P( A) P( A) P( X p p x) } P( n A n ) n P( A ) n Dystrybuanta empiryczna dla x<xi to suma częstości względnych Funkcja gęstości prwadopodobieństwa; funkcja częstości f(x) Dystrybuanta, skumulowana funkcja dystrybucji F(x) f(x) F( x) F( x) G( x ) i x j x x f ( x j ) dyskretnyrozkłoz f ( u) d( u); f ( x) n... ni w( x xi ) N F(x) 0 df( x) dx

105 PRZYKŁAD 2 KOSTKI wynik czestosc P(xi) Skumu.P xi n(x) f(x) F(x) 2 0, , , , , , , 0, , , , , , , , 0, , , , , ,

106 STATYSTYKA DESKRYPTYWNA

107 STATYSTYKA Zadaniem jest przedstawienie danych empirycznych w przejrzysty sposób Opracownie informacji Główne formy miar statystycznych - momenty: wartość środkowa dyspersja odchylenie ostrość i n ( x dlaa dlaa dlaa i n dlaa a) 0oraz k to średnia oraz k średnia oraz k średnia oraz k czyli momenty,2,3,4 k jest średnia 2to 3to 4to jest wariancja jest skewness( asymetria) jest peakness( kurtoza)

108 STATYSTYKA Miary wartości środkowej: średnia, środek matematyczny mediana (50% wartości jest <me) wartość modalna (typowa) kwartyle,2,3,(<25%, <50%,<75%) percentyle podział zbioru na 00 równych części, (pierwszy przedział -nieskończoność do V) czyli z prawdopodobieństwem %, że w tym przedziale będzie (np.strata)

109 Wartość średnia = suma wszystkich wartości/ilość obserwacji STATYSTYKA ( )/7=5 x średnia nie ważona, ważona Kwantyl mediana jest 2 (wartość środkowa, gdy spełnia nierówność) x F( x) P( X dominanta, wartość modalna c i i n n N x x x) n f ( u) du 2, P( X E( x) N odcieciekwantyludla x x i i i c x) 2 x* f ( x) dx gdyc / 2media

110 STATYSTYKA Rozstęp Jeżeli średnia głębokość rzeki wynosi 30 cm, to czy można wejść do niej bez zastanowienia? Trzeba wiedzieć, jak się odchyla głębokość rzeki od średniej Wariancja lub odchylenie standardowe wartość średnia 5 odchylenie średnia odchyleń = 0 wariancja ( )/6=7 odchylenie standardowe 7^0.5=8.426 Xs - zmienna standaryzowana, średnia standaryzowana=0, odchylenie standardowe zmiennej standaryzowanej O( x) s 2 n 2 2 n x S( x) x is x max V ( x) [ x xi x S( x) n j x ( n j ( x x x j typowa x min j s x x )^2 x 0, )^2 E( X ) S( x) 2 f ( x) dx S( x s )

111 STATYSTYKA - CZAS Jeżeli stopa zwrotu zależy od czasu to i wariancja zależy od czasu stąd: Czyli można przeliczyć wariancję np. dzienną na okresową. Czyli przy nieskorelowanych stopach zwrotu zmienność rośnie wraz pierwiastkiem kwadratowym czasu. Dla skorelowanych zależy od wspólczynnika korelacji 2 E( r 2 stad ( r T ( r T ) T : ) ) E( r 2 ( r )* T ( r ) )* T T ( r2 ) ( r ) ( r ) 2 ( r ) 2 ( r )*( )

112 STATYSTYKA MIARY ZMIENNOŚCI ŚREDNIA, ODCHYLENIE STANDARDOWE PRZYKŁAD OKRES PORTFEL ASREDNIA X-XS (X-XS)^2 Stopa R Srednia R Odchylenia 0, ,0000-0, , ,5000 0,0000 0, , ,000 0,0000 0, , ,2000 0,0000 0, , , ,0000-0, , srednia 0,0000 suma ^2 0, odchyl.st 0, Rozkład normalny dla (E0)= 0,505958

113 STATYSTYKA MIARY Odchylenie przeciętne ZMIENNOŚCI d( x) N k i x i x n i Współczynnik zmienności V( x) S( x) x

114 STATYSTYKA - SKOŚNOŚĆ Współczynnik asymetrii (skewness) mierzy odchylenie od symetryczności rozkładu moment centralny trzeciego rzędu. Rozkład dyskretny i ciągły Wartość ujemna informuje o długiej ujemnej części ogona, a więc o większym prawdopodobieństwie zdarzeń negatywnych ( ( [ x ( x n ( x n x) x) E( x)] 3 ) 3 f ( x) dx) Skośność 0 Skośność dodatnia Skośność ujemna

115 STATYSTYKA - OSTROŚĆ Kuroza - miara niezgodności z rozkładem Gaussa, miara spłaszczenia szerokości ogona. Definicja: Dla nie Gaussa kurtoza =/ od 0 Pokazuje ostrość szczytu rozkładu Dla rozkładu normalnego: Współczynnik Kurtoza dyskretna i ciągła: ( [ x ( x n ( x n x) 4 x) E( x)] f ( x) dx) kurt( y) y jed. wariancji E( y 4 ) E( y 3( E( y 4 2 ) )) 2 3( E( y 2 )) Kurtoza>3 Kurtoza 3 Kurtoza<3 2 4

116 STATYSTYKA - PRZYKŁAD WYNIK xj PARWDOPOD.f(x) ŚREDNIA xf(x) WARIANCJA SKOŚNOŚĆ KURTOZA 2 0,0278 0,0556 0,6944-3,4722 7,36 3 0,0556 0,667 0,8889-3,5556 4, ,0833 0,3333 0,7500-2,2500 6, , 0,5556 0,4444-0,8889, ,389 0,8333 0,389-0,389 0, ,667,667 0,0000 0,0000 0, ,389, 0,389 0,389 0, ,,0000 0,4444 0,8889, ,0833 0,8333 0,7500 2,2500 6,7500 0,0556 0,6 0,8889 3,5556 4, ,0278 0,3333 0,6944 3,4722 7,36 suma,00 7,00 5,83 0,00 80,50 mianownik 4,09 34,03 Srednia Odchylenie stand Skośność kurtoza 7,00 2,42 0,00 2,37 Hazardzista szuka prawdopodobieństwa oczek w 2 rzutach kośćmi. Możliwości rzutów par wyników jest 36. Następnie buduje tabelę prawdopodobieństwa wyrzucenia oczek od 2 do 2.

117 STATYTSTYKA ROZKŁAD WIELOCZYNNIKOWY W praktyce występuje jednocześnie wiele zmiennych losowych determinujących np. zyskowność portfela. Różne waluty, różne stopy procentowe. Nie zawsze jednak zmienne są niezależne. Gdy mamy dwie zmienne możemy policzyć kowariancję lub współczynnik korelacji

118 STATYSTYKA - KOWARIANCJA; KORELACJA Kowariancja - cov( x, x 2 ),2 2 [ x E( X )][ x 2 E( X 2 )] f 2 ( x, x 2 ) dx dx 2 Współczynnik korelacji jest miarą liniwej zależności [-;+] mierzy czy oba czynniki poruszają się w tym samym kierunku, czy w przeciwnych ( X, X 2 ) cov( X 2 X 2 )

119 STATYSTYKA FUNKCJE ZMIENNEJ LOSOWEJ Zarządzanie ryzykiem polega na odkryciu rozkładu zmiennej losowej Najczęściej modeluje się rozkład przychodów z instrumentów finansowych.

120 STATYSTYKA LINIOWA TRANSFORMACJA ZMIENNEJ LOSOWEJ Zmienna losowa może zmieniać się liniowo według stałego parametru b i stałej a: Np. portfel mln $ oraz 000 mln Yen, gdy E(X)=/00 a SD(X)=0.0/00=0.00 E(Y)=$+000Y*/00= mln$ a stand dev.=000*0.00= mln$ E( a V ( a bx ) bx ) a b be( X 2 V ( X ) )

121 STATYSTYKA - SUMA ZMIENNYCH LOSOWYCH Gdy np. dwie zmienne losowe w portfelu np. dwie akcje ), ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( X X COV X V X V X X V X E X E X X E X X Y

122 STATYSTYKA PORTEL ZMIENNYCH LOSOWYCH Jeżeli portfel Y składa się z i instrumentów o wagach w oraz stopie zwrotu Xi: Wartość oczekiwana zwrotu z portfela: Wariancja portfela: Zapis macierzowy wariancji zwrotu z portfela [macierz kowariancji] Y w E( Y ) V ( Y ) 2 p 2 p N i w 2 [ w w X i p 2 w i 3 w 2 N i N i X X X w w w 2 i 2 i w' X w'*[ macierz cov]* w i i ][ 2 3 i N j N, j w w i i j w ][ w w 2 3 ij ]

123 STATYSTYKA 0,25 Rozkład zmiennej losowej (histogram i jego aproksymacja funkcją gęstości) Zwrot z rynku akcji w USA Gęstość prawdopodobieństwa (przy dostatecznie dużej próbie lim(n/n)->p(n),2 0,2 0,8 0,5 0, 0,6 0,4 STOPA ZYSKU Skumul 0,05 0,2 0-40% -30% -20% -0% 0% 0% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 0

124 STATYSTYKA Funkcja gęstości prawopodobieństwa oraz dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej (skumulowane prawdopodobieństwo), dla zdarzenia losowego pi=0, ale dla przedziału jest policzalne i różne od 0 p p i i P( X P( x x i ) 0 X x 0i i ) f(x) F(x) - Krzywa gęstości + Krzywa prawdopodobieństwa a b Przybycie do pracy punktualne F ( x) P( X x) f ( t) * dt -5 x minut +5 minut P ( a X b) f ( x) dx b a

125 STATYSTYKA Rozkład (funkcje gęstości) różne średnie E( X ) i xi p i skokowa E( X ) xf ( x) dx} ciagla x x D D 2 2 ( X) ( X) E[ x [ x i E( X)] E( x)] 2 2 p i f( x) dx Np..X P(X) 0 2 /4 /2 /4 E(X)=0*/4+*/2+2*/4=

126 STATYSTYKA Rozkład dwumianowy (Bernoulli): n doświadczeń, gdzie zdarzenie może być oczekiwane z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie dopełniające z prawdopodobieństwem q=-p (czyli np. opcja 0 lub ) czyli zdarzenie x zachodzi n razy a przeciwne n-x Rozkład symetryczny dla p=0,5 oraz niesymetryczny dla p=/0,5 Wartość oczekiwa E(x)=np Wariancja D(X)^2=npq Asymetria A(X)=(-2p)/D(X) f ( k) n ( ) k P n! k!( n n k k)! p k q n k pppp.. p * qqq

127 STATYSTYKA win win lose Prawdopodobieństwo wygrania w kasynie k razy na czerwone P=8/37. Rozkład binominalny - dwumianowy f ( k) n ( ) k P n! k!( n n k k)! p lose k q n k win lose pppp.. p * qqq.. q k 0 nad k P(n,k) 0 0, , , , , , , , , , ,000743

128 STATYSTYKA - ROZKŁAD NORMALNY Jeden z najważniejszych rozkładów dla analizy zachowań behavioralnych (metoda pierwszego wyboru jako pierwsza aproksymacja wielu zmiennych ekonomicznych kursy, ceny, stopy zwrotów duża częstość, małe zmiany np. P=Po(+r)) Rozkład dzwonu Rozkład normalny można scharakteryzować przez dwa momenty: wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe Aby ułatwić sobie analizy często używa się rozkładu normalnego standaryzowanego Rozkład jest symetryczny wokół nadziei matematycznej 50% z jednej i 50% z drugiej strony. Skośność = 0, kurtoza dla rozkładu normalnego = 3 Założenie stabilności parametrów, niezależnych losowych zmiennych

129 STATYSTYKA ROZKŁAD NORMALNY Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Dystrybuanta skumulowane prawdopodobieństwo Wartość oczekiwana: Wariancja: D 2 ( x f x m )^2 ( ) 2 ^2 F( x) 2 2 x e ( x m)^2 e 2 ^2 dt ( E X x e x m )^2 ( ) 2 ^ ( x m) 2 ( X ) ( x m) e 2 dx 2 dx 2 m

130 Rozkład normalny: wiele zjawisk gospodarczych ma rozkład zbliżony do normalnego: symetryczny, dzwonowaty, od - nieskończoności do + nieskończoności, zdefiniowany przez wartość średnią i odchylenie standardowe K.F.Gaussa( ) funkcja gęstości Gdy standaryzowana rozkład normalny o parametrach N(0,) Dystrybuanta dla standaryzowanego = N(d) STATYSTYKA Funkcjagestosci ( x )^2 f ( x) e 2 ^2 p( X 2 zmienna s tan daryzowana u f i wtedy ( u i x ) i 2 e 2 u i 2 i )

131 ,3-2 -,6-0,64 2 2, N(d) 2 u Pr( f ( u ) a) 2 i e i 2 a du i N( a) Ui STATYSTYKA Aby obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia się poniżej wartości a liczymy całkę od - do a : NORMSDIST(Ui) -5 0, , ,0035-2,3263 0, , ,6449 0, , , ,8434,6449 0, , ,3263 0, , , ,00000,20000, , , , , ,00000 SKUMULOWANE PRAWDOPODOBIEŃSTWO W ROZKŁADZIE NORMALNYM STANDARYZOWANYM Ui

132 STATYSTYKA Poziom Ui a Normsinv 0,00-3,0903 0,0-2,3263 0,05 -,6449 0, -,286 0,2-0,846 0,3-0,5244 0,4-0,2533 0,5 0,0000 0,6 0,2533 0,7 0,5244 0,8 0,846 0,9,286 0,99 2,3263 0,999 3,0903 Przedział ufności przy zakładanym poziomie istotności dla rozkładu normalnego standaryzowanego Przy poziomie istotności 5%, czyli ufności 95% prawdopodobieństwo znalezienia się poniżej -,6449 odchylenia standardowego wynosi 5%, a dla -2,33 wynosi %. Prawdopodobieństwo, że kurs spadnie poniżej 3,33 PLN/EUR jest równe % u i * np. 2,33*0,2 x i 0,2 PLN / EUR 3,8 3,33 ; 3,8PLN / EUR

133 ROZKŁAD NORMALNY f(ui) F(ui) 0.5-3D(X) -2D(X) -D(X) E(X) D(X) 2D(X) 3D(X) F(u=-3)= F(u=-2)= F(u=-)= F(u=0)= F(u=)= F(u=2)= F(u=3)=

134 STATYSTYKA TERMINOLOGIA Odchylenie standardowe volatility Funkcja gęstości a-poziom istotności Przedział ufności -a poziom ufności Zdarzenia rozdziela: małoprawdopodobne -Ua-wartość krytyczna średnia Zdarzenia prawdopodobne Ua-wartość krytyczna

135 STATYSTYKA TERMINOLOGIA Skumulowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa to dystrybuanta f(lnzt) Funkcja gęstości f(lnzt/ ) N(m, ) standaryzacja -poziom istotności - -poziom ufności N(0,) /2 /2 VaR= U *NOTIONAL U Wartość krytyczna Standaryzowany rozkład normalny łatwy w obsłudze

136 STATYSTYKA ROZKŁAD NORMALNY PRAWDOPODOBIEŃSTWO % 5% 5.9% 50% 84.% 95.% DYSTRYBUANTA PRZYJMIE U* ODCHYLENIE STANDARDOWE Odczyt z tablic Gaussa % % 68% Instrumenty symetryczne eliminuja ryzyko po obu stronach, instrumenty niesymetryczne tylko po jednej stronie % % U %

137 ROZKŁAD NORMALNY PRAWDOPODOBIEŃSTWO X= x= - m= 0 S= P(0,049<x<0,05) X;(,0)? P(-<x<) 0, /=NORMDIST(B3;B5;B6;)-/NORMDIST(B4;B5;B6;) Kluczowe dla rozkładu normalnego jest twierdzenie, że: Liniowa kombinacja zmiennych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny

138 ROZKŁAD LOGNORMALNY Rozkład normalny nie zawsze jest teoretycznie poprawny ponieważ np. akcje nie mogą mieć wartości ujemnej, podobnie jak ceny dóbr i najniższa stopa zwrotu może być - 00% r e czyli r( t) r e rt o rozkladzie (, ) r P ln( P P e 0 r / P 0 ) Dlatego często stosuje się rozkład lognormalny: Ceny są zawsze dodatnie, prawostronna skośność, fat tail P r=lnp/pt- Poexp(exp(B..) , , , , , , , ,20 0

139 ROZKŁAD LOGNORMALNY Rozkład jest lognormal, gdy ln zmiennej ma rozkład normalny Gdy zmiany są duże lub horyzont długi to zmienne skokowe i ciągłe dają różnice w wartościach przyrostów Funkcjagestosci f ( x) E( X ) D( X ) x exp 2 exp(2 e (ln x )^2 ^2 )(exp( dla x 2 ) ) 0 ZMIANA DZIENNA ROCZNA CENA CENA T 0 20 r,0000% 20,0000% LN r 0,9950% 8,2322% RÓŻNICA -0,0050% -,7678% Ten rozkład lepiej oddaje sytuację, w której wartość akcji nie może być poniżej 0, bo można stracić tylko akcje - limited liability w spólkach.

140 ROZKŁAD LOGNORMALNY cena akcji 0 volatiliy 0,05 śred R% 0,08% RANDOM LOSOWY SYMUL.AKCJE CZESTOŚĆVARIABLE ZWROT AKCJI 0 0, ,08% 0, , ,79% 9,92369, ,30% 0, , ,69% 9, , ,09% 0, , ,78% 0, , ,52% 0, , ,0% 9, , ,42% 9, , ,38% 9, , ,22% 0, , ,77% 9, , ,27% 0, , ,70% 9, , ,63% 0, , ,09% 0, , ,73% 0, , ,07% 9, , ,25% 9, , ,88% 0, , ,6% 9, S S0 exp( r) S 0e CZĘSTOŚĆ WARTOŚCI AKCJI WARTOŚĆ AKCJI W PLN rt

141 STATYSTYKA Okres Stopa zysku Średnia Różnica Kwadrat.5% % % % % % % % % % suma 55% średnia.0% Odch.st PRAWDOPOD volatility OBIENSTWO 5% -.645* *00%= % %<0.2736%

142 FUNDAMENTALNE TWIERDZENIA TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA Prawo wielkich liczb powtarzające się serie zdarzeń losowych konwergują do deterministycznej równowagi. Słabe prawo wielkich liczb stwierdza, że jeżeli nieskończona liczba nieskorelowanych zmiennych losowych, gdzie zmienne mają tę samą oraz wtedy średnia z próby dąży do. Central limit theorem, kiedy zmienne losowe mają skończoną wariancję to istnieje konwergencja średniej z próby ze średnią z próby standaryzowanej. S n 0 (( X... X n ) / n n)

143 ESTYMACJE PRAWDOPODOBIEŃSTWA Teoria prawdopodobieństwa daje narzędzia dla połączenia racjonalnie wiary z przekonaniami. Prawdopodobieństwo jest zawsze wyznaniem wiary, które może być umacniane przez fakty, informacje, opinie ekspertów i to jest naturą prawdopodobieństwa. Analizy mają tylko zracjonalizować podejmowaną decyzję i pierwotne przekonanie A więc dane empiryczne, opinie eksperckie, symulacje 965 FAMA The behaviour of stock market prices sformułował Hipotezę Rynków Efektywnych, gdzie cała informacja jest zdyskontowana i nie można przewidzieć ruchu cen. Niemniej wielu szuka modeli aby przebić rynek. Jeżeli ceny są losowe to zapewne mają rozkład normalny (ale czy są losowe na to pytanie matematyka nie odpowie to jest kwestią wiary) 3 parametry ryzyka EKSPOZYCJA, ZDARZENIOWOŚĆ, SKUTEK

144 LOSOWOŚĆ CEN AKTYWÓW

145 ZACHOWANIE LOSOWE Stopa lub indeks wzrostu aktywów Zwrot = (zmiana wartości aktywu + zakumowany cash flow) / oryginalna wartość Losowa wartość to efekt trendu oraz odchyleń losowych (tu normalny rozkład) Oczekiwany wzrost * upływ czasu Po m okresach skumulowany wzrost Ilość okresów w całym okresie Odchylenie dla całego okresu to odchylenie dla jednego okresu *dt^0,5 Łączymy drift + zmienność Drift =oczekiwany zwrot=stopa wzrostu Volatility skalowana czasem ) *ln( : / ) ( ) ( ) (. * tan.. 2 ) ( 2 t S t S S S t t S S S R t dew st komponentlosowy ilosc krokow t T e S e S t S S t S S t S S S S S R t w oczekiw d s od w oczekiwana S S S R e Rozkladnorm R R m R m R S S S R i i i i i i i i T t m m m m m i i i i i i i i i i m i i i i i i i

146 WIENER PROCES Przechodzimy ze zmiennej skokowej na proces ciągły, gdzie lim dt=0 dt przy wartości oczekiwanej pozostaje dt przy odchyleniu w procesie Wiener a zamienia się E(dX)=0 oraz E(dX^2)=dt W procesie Wiener a ciągłym; równanie stochastyczne różniczkowe: ds Sdt SdX To jest stochastyczne równanie różniczkowe dla zmiennej ciągłej

147 FUNDAMENTY RYZYKA W TEORII FINANSÓW

148 TEORIA PORTFELA

149 POJĘCIA PODSTAWOWE TRADEOFF ZYSK A RYZYKO PODEJŚCIA DO RYZYKA AWERSJA, NEUTRALNOŚĆ, POSZUKIWANIE RYZYKA KSZTAŁT FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI PROBLEM WIELOŚCI AKTYWÓW PROBLEM PORTFELA CZY DYWERSYFIKACJA PORTFELA JEST POŻYTECZNA?

150 Brenoulli - Użyteczność będąca wynikiem jakiegokolwiek niewielkiego wzrostu zamożności będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr uprzednio posiadanych. Bernoulli pokazał postać osoby podejmującej ryzyko motywacje i różne decyzje mimo tych samych mierzonych prawdopodobieństw PODEJŚCIE DO RYZYKA Podejście do ryzyka: -risk aversion awersja do ryzyka wyższa premia za ryzyko -risk neutrality neutralność na ryzyko - risk seeking ponoszenie dodatkowego ryzyka dla wyższego zwrotu UZYTECZNOŚC AWERSJA SKŁONNOŚĆ NEUTRALNOŚĆ WARTOŚĆ

151 Oczekiwana stopa zwrotu AWERSJA DO RYZYKA A UŻYTECZNOŚĆ E [r] σ U U=E[r] - 0,005*[A=4]*σ^2 5 2,25 5, ,00 0, ,50 5, ,00 20, ,9 25, ,42 30, ,62 45,00 35, ,59 40,00 40, ,00 STAŁĄ UŻYTECZNOŚĆ=2 30,00 Kryterium mean-standard deviation 25,00 20,00 5,00 0,00 5,00 0,00 KRZYWA OBOJĘTNOŚCI E[r] vs σ 0,00 0,00 20,00 30,00 40,00 50,00 Odchylenie standardowe

152 UŻYTECZNOŚĆ FUNKCJA KWADRATOWA WPŁYW ZMIANY WSPÓŁCZYNNIKA UŻYTECZNOŚCI NA U E [r] S U A=x U od A U=E[r] - 0,005*[A=4]*S^2 5 2,25 2 4, ,00 2, , , ,00 2 2,5 8, , , ,42 2 3,5WPŁYW AWERSJI 5,5 NA UŻYTECZNOŚĆ 35 40, , ,5-2,75 STAŁĄ UŻYTECZNOŚĆ=2 Kryterium mean-standard deviation WPŁYW AWERSJI NA UŻYTECZNOŚĆ MIARA AWERSJI A=X

153 PORTFOLIO THEORY Harry Markowitz 952 JoF Nobel z Merton Miller i William Sharp Inwestorzy oceniają zwrot i ryzyko inwestycji konstytując portfele formowanie portfela Dochód jest premią za podejmowane ryzyko Dywersyfikacja moderuje ryzyko Zakładając,że zwrot z papieru jest zmienną losową to można badać wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe oraz korelacje Celem jest optymalizacja oczekiwana stopa zwrotu z portfela oraz jego zmienność tradeoff risk/return Optymalna alokacja portfela - to prowadzi do efficient frontier

154 PORTFOLIO THEORY Hedging i dywersyfikacja Dla nieskorelowanych stóp zwrotu z aktywów stopa zwrotu jest niezależna i jest ich średnią ważoną stóp zwrotów Zmienność portfela będzie mniejsza niż średnia ważona ich zmienności - free lunch of finance Dywersyfikacja to nie hedging, który polega na skompensowaniu ryzyka Dywersyfikacja oznacza nieskorelowane ryzyko, a hedge oznacza ujemną korelacje Dodanie np. forwardów do portfela może zmniejszyć ale też zwiększyć ryzyko rynkowe ale dodaje nowe ryzyko overlay strategy i lewaruje je Dywersyfikacja nie oznacza dodania aktywów do portfela w sensie ilości i wartości Lewarowanie zwiększa ryzyko a nie zmniejsza

155 NOWOCZESNE ZARZĄDZANIE OPTYMALIZACJA (KWADRATOWA FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI) Return Risk/Return-Profile FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI WYBORU STRUKTURY PORTFELA TO MAKSYMALIZACJA STOPY ZWROTU POMNIEJSZONEJ O RYZYKO SKORYGOWANEJ O WSPÓŁCZYNNIK OSTROŻNOŚCI rp max->rp- *P ^2 rb Gdzie chcesz się znaleźć? ra unkcja użyteczności zależy od indeksu awersji A P. U=E(r)-0,005 A *σ^2 A B Risk A- risk averse, B-górne ograniczenie ryzyka VAR A=,65 A*V<VAR,65 B*V

156 TEORIA PROTFELOWA Problem optymalizacji portfela indywidualnego inwestora Markowitz 952 szukał portfeli efektywnych względem średniej i wariancji, gdzie oczekiwany zysk przy danym ryzyku jest najwyższy Markowitz H,Portfolio selection, J of Finance 952,3 Składowe kalkulacji E(r),S, macierz wariancji i kowariancji (np. historyczne) dla poszczególnych aktywów (oraz portfela), założenie random walk (przypadkowości kroczącej)

157 TEORIA PROTFELOWA 952 Markowitz termin efficient frontier, losowe ceny aktywów mają oczekiwane zwroty i zmienność, są też skorelowane Optymalny portfel: Dla każdego poziomu zmienności istnieją portfele, które mają tę zmienność, a więc kryterium wyboru jest najwyższy zwrot Dla każdego oczekiwanego zwrotu istnieją portfele o tym samym zwrocie, kryterium jest wybór tego, który ma najmniejszą zmienność Efficient frontier pokazuje zakres wyboru, a górna linia (gold curve) jest optymalna

158 TEORIA PORTFELOWA E( E( r w r j n 2 p i cov p w ij ij i j i ) j ) 2 i n j n n i j w ( w i j w E( j r ij i j ) j ) Wartość oczekiwana dla portfela aktywów Oczekiwana stopa zwrotu z aktywu udział aktywu w portfelu wariancja portfela aktywów Współczynnik korelacji

159 OPTYMALIZACJA PORTFELA Oczekiwana stopa zysku r, odchylenie standardowe S, udziały w portfelu, macierz korelacji, macierz wariancji i kowariancji Oczek.r Odchyl.S BONY 0,006 0,043 OBLIGACJE 0,02 0,0 AKCJE 0,09 0,208 SPÓŁ.KORELACJI BONY OBLIGACJEAKCJE UDZIAŁY W PORTFELU BONY 0,63 0,09 0,4 OBLIGACJE 0,63 0,23 0,5 AKCJE 0,09 0,23 0, ARIANCJI I KOWARIANCJI BONY OBLIGACJEAKCJE BONY 0, ,0027 0,0008 OCZEK.Rp 2,9% OBLIGACJE 0, ,0020 0,0048 Wariancja p 0,49% AKCJE 0, , , Odchyl.S 7,0% σxy=ρxy*σx*σy

160 OCZEKIWANY DOCHOD TEORIA PORTFELOWA GRANICA BEZWARUNKOWA Bony 0,006 0,043 Obligacje 0,02 0,0 Portfel 0,022 0,07 Akcje 0,09 0,208 0, efficient frontier ZYSK/RYZYKO AKCJE 0,08 0,06 0,04 0,02 0 PORTFEL PRZYKŁAD OBLIGACJE BONY 0 0,05 0, 0,5 0,2 0,25 ODCHYLENIE STANDARDOWE

161 STOPA ZWROTU PORTFELA PORTFEL Z DWÓCH AKTYWÓW - EFFICIENT FRONTIER AKTYW A WAGA Rp SD WAGA 50,00% 0 0,04 0,00% 0,04 Ra 4,00% 0, 0,05 9,32% 0,05 VOLATILITY 20,00% 0,2 0,06 9,2% 0,06 WARIANCJA 4,00% 0,3 0,07 9,44% 0,07 0,4 0,08 0,24% 0,08 AKTYW B PORTFEL 0,5 20,09 AKTYWÓW,40% 0,09 WAGA 50,00% 0,6 0, 2,84% 0, Rb 4,00% 0,5 0,7 0, 4,46% 0, VOLATILITY 0,00% 0,8 0,2 6,22% 0,2 0, WARIANCJA,00% 0,9 0,3 8,08% 0,3 KOREALACJA 5,00% COV 0,0% WARIANCJA PORTFELA,30% VOLATILITY PORTFELA,40% R PORTFELA 9,00% 0,05 0 0,4 20,00% 0,4 0,00% 5,00% 0,00 % 5,00 % 20,00 % ODCHYLENIE STANDARDOWE 25,00 %

162 MARKOWITZ VS TALMUDYCZNA DYWERSYFIKACJA Teoria oczekiwanej użyteczności i klasyczny model dywersyfikacji Markowitza wartość oczekiwana/wariancja optymalizują relację zwrot/ryzyko Jednak inwestorzy stosują często Talmudyczną- Babilońską zasadę /3 (lub /n) /3 depozyty, /3 obligacje, /3 akcje O dziwo dla małych portfeli indywidualnych ta strategia okazuje się być bardzo dobrą

163 TEORIA PORTFELOWA Wybór portfela zależy funkcji użyteczności w tym od skłonności do ryzyka =A (np.:<2;4>) Funkcja użyteczności np. kwadratowa U: Punkt styczny wyznacza optymalny indywidualny portfel Funkcja użyteczności indywidualnej U E 2 ( r p ) 0,5* A* p Krzywa użyteczności Krzywa efektywnych portfeli

164 UZYTECZNOŚĆ MAJĄTKU ln(w) UŻYTECZNOŚĆ MAJĄTKU MIERZONA ln (W) MALEJĄCA KRAŃCOWA U(W) WEALTH U(W)=lnW 00000, , , , , , , , , , , , , ,4 2,2 2,8,6,4 UŻYTECZNOŚĆ MAJĄTKU MIERZONA ln(w) MAJĄTEK UŻYTECZNOŚĆ MAJĄTKU MIERZONA ln(w)

165 DYWERSYFIKACJA PORTFELA σp Ryzyko jednostkowe dywersyfikowalne Ryzyko rynku niedywersyfikowalne n akcji

166 P JAK NISKIE MOŻE BYĆ RYZYKO PORTFELA ( w w 2 2 ) 2 gdy korelacjadoskonale przeciwna wtedy rownanie mozna przyrownac do 0 wtedy mozna uzyskac: w 2 2 w 2 2 w

167 OCZEKIWANA STOPA ZWROTU E(rp) OCZEKIWANY ZWROT Z PORTFELA W ZALEŻNOŚCI OD WAGI AKTYWU Z PORTFELU W DLA PAPIERU BEZ RYZYKA OCZEKIWANA WARTOŚĆ E(rp) W ZALEŻNOŚCI OD sp PRZY KORELACJI=0,3 8,0% 6,0% 4,0% OCZEKIWANA STOPA ZYSKU W ZALEZNOŚCI OD WAGI 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 ODCHYLENIE STANDARDOWE 2,0% 0,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0-0, -0,2-0 WAGA A

168 TEORIA PORTFELOWA James Tobin 958 dodał do koncepcji portfela lewar w postaci aktywów, które dają risk free rate Połączył risk free asset z portfelem w efficient frontier, co umożliwia konstruowanie portfela, gdzie profil zwrot-ryzyko jest korzystniejszy niż efficient frontier portfela Tangens kąta nachylenia nazywa się capital market line, czyli efficient frontier z aktywem wolnym od ryzyka superefficient portfolio

169 WŁĄCZENIE DO PORTFELA AKTYWU WOLNEGO OD RYZYKA Stopa całkowitego dochodu (rc) z portfela inwestycji (rp) oraz z aktywów wolnych od ryzyka (rf) zależy od wagi ich w portfelu (y) Czyli ostatecznie zależy od premii na ryzyko i udziału ryzykownych aktywów w portfelu Premia za ryzyko 8% =5%-7% Podobnie dla rf ryzyko jest 0 dlatego ryzyko całkowite zależy wprost od y=σc/σp Relacja premii do ryzyka r E( r r np r r c f p c c c c yr ) p y[ E( r 5% 7% y * ( ye( r p ) y) r ) r ( ] 22% y) r 0,5*(5% 7%) % p p p f f 22%* y 22%*0,5 % 7% y 0,5 zmiana y od 0doa przy pozyczkach y r f f

170 E [r] CAPITAL ALLOCATION LINE RISK/RETURN KOMBINACJE E[rp}= σp= rf= σc= E [r] 0,5 0,22 0,07 0,00% 7,00% 5,00% 8,82% 0,00% 0,64% 5,00% 2,45% 20,00% 4,27% 25,00% 6,09% 30,00% 7,9% 35,00% 9,73% 40,00% 2,55% DLA INWESTORA 25,00% 20,00% CAPITAL ALLOCATION LINE E( [rc]= rf+σc/σp *( E[rp]-rf)*σp 5,00% Premia 8% 0,00% case : gdy pożyczka i y np..4 to: E (rc ) = 7 % +,4 *8 % = 8,2 5,00% 7% σc=,4*22%=30,8% case 2: gdy y=4 to rc: E (rc) = 7% +4*8% = 3% σc=4*22% =88% 0,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 20,00% 22% 0,09 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

171 TNG KĄTA NACHYKENIA CAPITAL ALLOCATION LINE Slope c E( r c ) c r f ye( r y p ) p r f E( r p ) p r f

172 TEORIA PORTFELOWA CAPITAL MARKET LINE Gdy się łączy aktyw nie obciążony ryzykiem z portfelem ryzykownym można znaleźć optymalny portfel, gdzie rp będzie maksymalna, wzrost ryzyka daje liniowy wzrost premii za ryzyko w tej proporcji Czyli pojawia się capital allocation line dla portfela złożonego z aktywów ryzykownych oraz wolnych od ryzyka Oczekiwany dochód z takiego portfela wyniesie E(rc): E( R c ) r f rf ( E( R P ) P [ E( rp ) rf ]/ P Kat nachylenialinii marketline Krzywa rynku kapitałowego r f ) c Tu pożycza się Portfel M Tu udziela się pożyczki σ

173 STOPA ZWROTU PORTFELA APTAL MARKET LINE DLA INWESTORA MAJĄCEGO AKTYW RISK FREE KTYW A WAGA Rp SD AGA 56,40% 0 0,04 0,00% 0,04 a 4,00% 0, 0,05 2,00% 0,05 OLATILITY 20,00% 0,2 0,06 4,00% 0,06 ARIANCJA 4,00% 0,3 0,07 6,00% 0,07 0,4 0,08 8,00% 0,08 KTYW B BEZ RYZYKA PORTFEL 0,5 20,09 AKTYWÓW 0,00% 0,09 AGA 43,60% 0,6 0, 2,00% 0, b 4,00% 0,5 0,7 0, 4,00% 0, OLATILITY 0,00% 0,8 0,2 6,00% 0,2 0, ARIANCJA 0,00% 0,9 0,3 8,00% 0,3 OREALACJA 20,00% OV 0,00% ARIANCJA ORTFELA,27% OLATILITY ORTFELA,28% PORTFELA 9,64% 0,05 0 0,4 20,00% 0,4 0,00% 5,00% 0,00 % 5,00 % 20,00 % ODCHYLENIE STANDARDOWE 25,00 %

174 KRZYWE OBOJĘTNOŚCI OPTYMALNY PORTFEL CAPITAL ALLOCATION LINE 5% E[rc]=0,28% 7% σc=9,02% 22%

175 PROBLEM KORELACJI Generalnie przyjmuje się symetryczną wartość korelacji, ale w praktyce tak nie jest Zwroty na aktywach wykazują niższą korelację w przypadku ich wzrostu i bardzo wysoką w przypadku ich spadku. Jednocześnie pojawia się problem zmiennej wariancji w czasie Rozkład normalny i t-studenta zakłada symetryczność korelacji Stąd problemy z budową modeli portfolio, VaR i Expected Shortfall - mogą niedoszacowywać ryzyka spadku w tzw. grubych ogonach

176 MODEL JEDNOINDEKSOWY CAPM Model pośredni do zrozumienia CAPM Ustanawia zależność liniową między aktywem a indeksem R i i i R I i Nadwyżkowe stopy zwrotu ponad stopę wolną od ryzyka α, β, parametry modelu Część systematyczna β ryzyko systematyczne Reszta i i i E( i i R i ) I systematyczna 0 Wrażliwość i

177 RYZYKO SYSTEMATYCZNE I SPECYFICZNE Podstawą teorii inwestycji portfelowych są niedoskonale skorelowane stopy zwrotu z portfela Ryzyko całkowite da się podzielić na: ryzyko kowariancji (ryzyko niezdywersyfikowane, rynkowe, systematyczne) beta ryzyko ryzyko pozostałe - dywersyfikowalne, specyficzne dywersyfikacja powoduje zanikanie wariancji ale nie eliminuje kowariancji przy n składnikach jest n wariancji oraz n^2-n kowariancji CAPM

178 WYCENA AKTYWÓW - CAPM Z ujęcia mikro Markowitza przechodzi się na ujęcie makro Sharp, Lintner 964 (zachowanie wszystkich inwestorów) Ryzyko portfela składa się z ryzyka rynkowego systematic mierzonego β (wynikającego z cen rynkowych aktywów) niezdywersyfikowanego. CAPM to model jednoindeksowy (metoda stosowana to regresja względem stopy rynkowej indeksu rynku) Sharpe W, Capital Assets Prices, J of Finance 964,3 Tobin 958 uznał za superefektywny portfel cały portfel rynku, a inwestorzy lewarują lub delawarują pozycją w aktywach wolnych od ryzyka, aby osiągnąć pożądane ryzyko portfela

179 CAPM W CAPM chodzi o zależność między prawidłową premią na ryzyko aktywu w stosunku do udziału ryzyka tego aktywu w stosunku do całego portfela rynku. Np. udział i ryzyko akcji IBM Ryzyko portfela całego rynku decyduje o premii za ryzyko, które inwestorzy zechcą zaakceptować Portfel wagi w... w... IBM w n w cov( r cov( r cov( r... IBM n, r, r, r ) ) ) w cov( r cov( r IBM cov( r IBM n, r, r, r... IBM IBM ) IBM ) ) w cov( r cov( r n IBM cov( r n, r n, r, r n ) n ) )

180 CAPM Nagroda za inwestycje w akcje IBM wklad IBM do premii za ryzyko wklad IBM dowariancji Dla calego portfelarynkowego: premia ryzyka rynku wariancja rynku stad E( r IBM Cov( r [ E( r Cov( r ) IBM 2 M IBM r f, r M ) IBM ) r, r f M ] ) Cov( r IBM [ E( r [ E( r IBM 2 M, r ) M 2 M M ) [ E( r E( r ) M 2 M r IBM f ) r ] M f ) ] r IBM f IBM r f [ E( r Cov( r ] IBM IBM ) IBM [ E( r, r M M ) f ] ) r f [ E( r Cov( r Rynkowa cena za ryzyko W warunkach równowagi relacja nagroda/ryzyko powinna być taka sama stąd linowa zależność w w r ] IBM ) IBM r, r f M ] )

181 ZAŁOŻENIA CAPM Założenie, że rozkłady stóp zwrotu mają charakter logarytmiczno-normalny (wtedy można pominąć indywidualne funkcje użyteczności, lecz bazować na założeniu rozkładu normalnego), Majątek inwestorów w stosunku do całego rynku jest nieistotnie mały investors price takers, nie wpływają na ceny perfect competition Inwestorzy planują i maksymalizują majątek na jeden okres myopic short sighted (suboptymalność) Aktywa są przedmiotem powszechnego obrotu, inwestorzy mogą pożyczać po stopie wolnej od ryzyka Inwestorzy nie płacą podatków oraz brak kosztów transakcyjnych Inwestorzy optymalizują według zasad racjonalności wartość oczekiwana; odchylenie standardowe (Markowtz selection model) Inwestorzy mają ten sam pogląd na gospodarkę czyli tak samo oceniają rozkład prawdopodobieństwa zwrotu cash flow z inwestycji w papiery wartościowe, czyli tak samo wyceniają papiery, czyli też oczekują tych samych zwrotów i mają tę samą macierz wariancji i kowarinacji (korelacji), homogeniczność oczekiwań Czyli rynek papierów wartościowych jest efektywny, rynki są płynne, JAK WIDAĆ ŚWIAT JEST BARDZIEJ ZŁOŻONY

182 WYCENA AKTYWÓW - CAPM Systematic risk ryzyko utrzymywania portfela składającego się z całego rynku, gdy rusza się rynek każdy aktyw jest pod jego wpływem - niedywersyfikowalne Specific risk ryzyko indywidualnego aktywu nieskorelowane z rynkiem - Rynek kompensuje wzięcie ryzyka systematycznego, ale nie kompensuje ryzyka specyficznego specyficzne dywersyfikowalne Miarą ryzyka systematycznego jest beta

183 WARTOŚĆ OCZEKIWANA WARIANCJA PORTFELA Ryzyko całkowite portfela (wariancja portfela) dzieli się na dwa składniki: ryzyko kowariancji - ryzyko niezdywersyfikowane, rynkowe, systematyczne, beta, gospodarki ryzyko pozostałe - dywersyfikowalne, jednostkowe, specyficzne, Dywersyfikowanie pozwala zmniejszać wariancję ale nie eliminuje kowariancji między stopami zwrotu n instrumentów to n wariancji oraz (n^2-n) kowariancji, granicą jest: lim n 2 p 2 2 n 2 [ n ii ( n n) ij ] ij

184 Market portfolio to wszystkie akcje ich ilość przemnożona przez cenę, a udział to wartość danych akcji w proporcji do całego rynku (risky assets) Czyli wszystkie aktywa są na efficient frontier ale i na Capital Market Line (CML), czyli na optymalnej alokacji Premia za ryzyko jest proporcjonalna do awersji do ryzyka reprezentatywnych inwestorów E( r A 2 M Pr emia za ryzyko zalezy od rynku w proporcji : i E( r M stad i ) ) cov( r i 2 M, r premia : r r f f sredni A M ) 2 M cov( r i 2 M *0,0 wariancja portf elarynkowego poziom awersji, r M ) [ E( r do ryzyka inwestorow korelacja z rynkiem M ) r f ] i [ E( r M ) r f ]

185 CAPM Założenie CAPM istnieje tylko jeden ryzykowny model optymalny oraz jeden portfel rynkowy (wszystkie akcje wg wag) CAPM jest ujęciem teoretycznym między oczekiwanymi stopami zwrotu a oczekiwanymi stopami rynkowymi Zależy to od ryzyka systematycznego (rynkowego) β(i), czyli kowariancji akcji i rynku. Dla wszystkich akcji wartość oczekiwana α=0 β(i), - z danych historycznych np. 60 dni E( R ) gdzie i lub i i E( R ) i ( R cov( R, R M r f r i E( R i f ) M i M ( R ) ponieważ E( ) / M 2 M r f ) ) premia za ryzyko ) i ) 0

186 CAPM SECURITY MARKET LINE Model wyceny aktywów kapitałowych E(Ri) Akcje podwartościowe α>0 Security Market line Rm rf E(rm)-rf α<0 Akcje nadwartościowe βi Np.. Rm=2%, rf=5%, βi=0,5 stąd E(Ri)=8%+0,5(2%-5%)=,5%

187 CAPM Np. beta 0,8 oczekiwany zwrot 0,2 stopa wolna 0,02 to oczekiwany zwrot na aktywie= E(Ri)= 0,02+0,8[0,2-0,02]=0, Ponieważ założeniem jest liniowość dla każdego z aktywów to liniowa jest też zależność dla portrfela E(Rp)=rf+beta[Rm-rf] A więc zwrot na inwestycji zależy od beta a nie od volatility, CAPM zakłada istnienie ceny równowagi na aktyw oraz to że inwestorzy mają ten sam pogląd na betę i oczekiwaną stopę zwrotu Tzn CAPM jest jak widać teoretyczną koncepcją oderwaną trochę od rzeczywistości

188 CAPM I PRAKTYKA 5 ZASAD Mimo, że model Sharpa jest nauczany w szkołach i dzieli zwrot na α oraz β to w pracy menadżerowie często o tym zapominają i stosują 5 zasad: Decyzje dotyczące α oraz β powinny być podejmowane odrębnie Gra o sumie zerowej jest naturą aktywnego zarządzania Różne kryteria przyjmowane są dla α oraz β Wielką wartością jest poziom uzyskiwanego α Niezbędność płacenia odpowiednich fees dla pracowników przynoszących duże α

189 KONKLUZJE Inwestorzy optymalizując będą się skłaniać do tworzenia tego samego portfela z wagami takimi, jakie ma rynek M Wyrównanie cen i ryzyka będzie następować przez sprzedaż lub zakup aktywów price adjustment process Tworzenie się równowagi rynkowej Capital Market Line staje się Capital Allocation Line a to przez optymalizację prowadzi do Security Market Line dla całego rynku To oznacza, że inwestorzy mogą pominąć wszelkie analizy i kupować aktywa według proporcji całego rynku np. indeks giełdowy Lub w indeks funduszy inwestycyjnych mutual fund theorem portfel między funduszami i risk free rate

190 E(Ri) SCURITY MARKET LINE CAŁY RYNEK SECURITY MARKET LINE DLA INWESTORA MAJĄCEGO Rm ORAZ RISK FREE AKTYW A RISK FREEWAGA Rm SDm BETA i E(Ri) WAGA 56,4% 0,07 0 0,5 20,00%, ,889 Ra SECURITY 0,00% MARKET 0, LINE 0,45 8,23%, ,7636 VOLATILITY 0,00% 0,2 0,4 6,52%, ,64604 WARIANCJA,00% 0,3 0,35 4,89%, , ,2 0,4 0,3 3,39%,5843 0,4089 AKTYW B 0,5 0,25 2,04%, ,2933 0,5 WAGA 43,59% 0,6 0,2 0,92% 0, ,7574 2,9% Rb 5,00% 0,7 0,5 0,09% 0,8688 0,0587 0, VOLATILITY 20,00% 0,8 0, 9,63% 0, , % WARIANCJA 0,05 4,00% 0,9 0,05 9,60% 0, , , 0,00% 0, , KOREALACJA0 20,00% COV 0,40% σ^2 m RYNKU 0 JAKO 0,5 CAŁOŚCI,5 2 PORTFELA RYNKU,27% VOLATILITY BETA i

191 CAPM MODELE JEDNO I WIELOCZYNNIKOWE R i i i mt it Stopa dochodu z akcji względem dochodu z portfela rynkowego, rozbicie wariancji, gdzie beta stanowi miarę udziału całkowitych odchyleń stopy dochodu - udziału przypisowanego odchyleniom stopy dochodu z portfela rynkowego. R e Model ryzyka firmy (Flannery, James,990) R R ( i ) e c it i i mt i, i t t t i e, i P i, Pc e Pc beta odzwierciedla ryzyko rynkowe a pozostałe gamma ryzyko stóp %, kursu walutowego, cen commodities ( P ) ( P ) e it

192 ARBITRAGE PRICE THEORY Stephen Ross 976 Założenia: Model zwrotu z akcji można opisać wieloczynnikowo (czynniki ryzyka) Jest dostateczna ilość aktywów zdywersyfikowanych względem czynników ryzyka Arbitraż nie pozwala się odchylać cenom w długich okresach Np. wykorzystanie arbitrażu na różnych giełdach, różnice w wycenach ryzyka w warunkach różnych cząstkowych nierównowag mogą być wykorzystane, Prawo Jednej Ceny,

193 ARBITRAGE PRICE THEORY Jeżeli papiery wartościowe są niewłaściwie wycenione przez rynek to można dokonywać arbitrażu jednoczesnego zakupu i sprzedaży aktywu ( to oznacza odejście od cost-free arbitrage) Tu problem polega na dekompozycji β na czynniki rynkowe i specyficzne decydujące o kursie akcji multifactor models, multiple risk sources, z których każdy ma swoją premię za ryzyko Stąd pojawia się Multifactor Security Market Line, bo w CAPM jest przybliżenie całego rynku jedną wartością Rm Tu każdy czynnik ogólnogospodarczy ma swój odrębny wpływ na korektę oczekiwanej stopy dochodu (np. tempo wzrostu GDP, zmiany stopy%, zmiany udziału w rynku, inflacja etc) Model uwzględnia wrażliwość zmiany oczekiwanej stopy zwrotu pod wpływem różnych czynników ryzyka β-czynnikowa r E( r ) i i i F n i

194 ARBITRAGE PRICE THEORY Teoria wywodzi się z analizy wieloczynnikowej podobnej jak w ryzyku, gdzie ryzyko wynikało z ekspozycji i czynników Tu o stopie zwrotu z inwestycji np. w akcje decyduje wiele czynników Pierwszy wzór jest ex post regresją z czynnikiem losowym Drugi wzór jest ex ante wersją oczekiwanego zwrotu Czyli ekspozycja czynników mnożona razy czynnik CZYNNIKI RYZYKA r n ( t) X APT r n f n E( R i k E{ r ) k X n R n, k } f n, k * b ( t)* b k k i X u n n, k k [ E( R ( t) * m M ) k u R n f ( t) )

195 ARBITRAGE PRICE THEORY - PZRYKŁAD NIEOCZEKIWANE ODCHYLENIA WZROSTU, RENTOWNOŚCI OBLIGACJI.. P R O G N O Z A C Z Y N N I K Ó W E(Rm) ODCHYLENIA PROGNOZA 0,02 0,025-0,05 0 0,06 CZYNNIKI BETA i W MACIERZY AKCJE OCZEKIWANIE WZROST OBLIGACJESKALA ROE BETA APT CAPM ATP-CA AMEEX 6,00% 0,7-0,05 0,9-0,28,6 5,93% 6,96% -,03 ATT 6,00% -0,6 0,74,47-0,59 0,84 5,33% 5,04% 0,29 CHEVRON 6,00% -0,53-0,24 0,83-0,72 0,7 3,0% 4,20% -, COCACOLA 6,00% -0,02 0,3,4,48,06 4,60% 6,36% -,77 DISNAY 6,00% 0,3-0,86 0,7 0,42,3 3,05% 6,78% -3,74 DOW 8,00% -0,64-0,92 0,48 0,22,3 3,70% 6,78% -3,08 PROGNOZA + KOREKTA Z βi*prognoza CZYNNIKA DAJE ATP

196 ARBITRAGE PRICE THEORY W dobrze zdywersyfikowanym portfelu ryzyko niesystematyczne znosi się i ma wartość oczekiwaną =0 Tylko ryzyko czynnikowe βp*f decyduje o premii za ryzyko Nikt nie może być nagradzany premią za brak dywersyfikacji ryzyka specyficznego Jeżeli dwa portfele mają to samo ryzyko rynkowe a różne stopy zwrotu to musi zostać uruchomiony arbitraż i premia za ryzyko musi leżeć na prostej odzwierciedlającej premię za ryzyko uwzględniającej czynniki makro (czyli CAPM mieści się w APT)

197 RYNKI EFEKTYWNE A BAHVIORALNE FINANSE 953 Maurice Kandall estymował zmiany kursów akcji i nie dawały się one prognozować według jakiegokolwiek teoretycznego podejścia Wyjaśniać to zaczęto zmienną psychologią lub animal spirits Ale ceny zmieniają się natychmiast w związku z napływającą informacją antycypując przyszłość w cenie bieżącej Losowość zmian cen nie oznacza nieracjonalności Hipoteza Rynków Efektywnych dyskontowanie informacji w cenie Słaba dyskontuje historyczną informację Słabo-silna cała publiczna informacja jest dyskontowana w cenie Silna dyskontowana informacja publiczna i wewnętrzna z firm Ścieranie się analizy technicznej z fundamentalną obie analizy skazane są na porażki ponieważ nie mają pełnej informacji Istnieje konkurencja rynkowa masowych analiz, konkurencja strategii, różnej podatkowej sytuacji inwestorów, zmiany w dywidendach Wycieki informacji prowadzą do ponadnormalnych zysków Problem szczęśliwych trafów, krótki vs długi horyzont zwrotu, seryjność zwrotów Interpretacje behavioralne (realni ludzie podejmują decyzje nie komputery) Kahneman, Tversky przywiązanie do ostatnich doświadczeń większe niż do wcześniejszych przekonań (memory bias) Nadmierne zaufanie (ocerconfidence), Konserwatyzm, Behavioralne odchylenia Framing, unikanie rozczarowania (Regret avoidance)

198 ZARZĄDZANIE RYZYKIEM RYNKOWYM RYZYKO RYNKOWE CZYNNIKI RYZYKA, DEFINICJA, BANCHMARK, RYZYKO DYSKRETNE I NIEDYSKRETNE

199 RYZYKO RYNKOWE Ryzyko rynkowe straty wynikające z ruchu zmiennych na rynkach finansowych lub inna definicja fluktuacja portfela wartości na skutek zmian poziomu oraz zmienności cen rynkowych Celem analiz jest kwantyfikacja ryzyka wynikającego z ruchu zmiennych kształtowanych przez rynek (cen) Nie wszystkie stosowane w przeszłości miary są satysfakcjonujące, ponieważ czasami bazowały na intuicji, nie mierzyły prawdopodobieństwa i wysokości straty, nie uwzględniały korelacji etc. (analiza nominalnej ekspozycji, wrażliwości, analiza scenariuszowa ) Obecnie ryzyko rynkowe mierzy się najczęściej stosując wartość narażoną na ryzyko VaR. Podstawowe pytanie ILE MOŻNA STRACIĆ NA INWESTYCJI W OKREŚLONYM HORYZONCIE CZASU

200 RYZYKO RYNKOWE DEFINICJA: Ryzyko rynkowe - ekspozycja na niekorzystne zmiany wartości firmy pod wpływem wahania cen czynników rynkowych Ryzyko rynkowe wynika z mismatched pozycji w księgach firm, co naraża je na negatywne skutki ruchów cen. Rzadko daje się doskonale pokrywać pozycje (wartość, terminy, nieliniowość cen, zmiany volatility etc) Cena akcji stopa % FX Commodities - metale - bazowe towary - żywność Energia Pogoda

201 MARKET RISK Ryzyko rynkowe a ryzyko biznesowe - w przedsiębiorstwie zarządzanie ryzykiem jest bardzo złożone, nonhedgeable market risk, hedgeable market risk (FX,%,commodities..) Wyniki finansowe vs. wartość firmy, łatwiej jest wpływać na wyniki finansowe niż na wartość firmy Krótki i długi horyzont, firmy finansowe patrzą głównie na wynik z tradingu, przedsiębiorstwa korzystają z długiego okresu Kapitał ma charakter absorbera ryzyka i konfrontuje się ryzyko z kosztem Wymogi ujawniania pozycji w derywatach IAS, FASB, SEC...

202 MIERZENIE RYZYKA RYNKOWEGO Źródłem strat są zmiany wartości aktywów lub pasywów POMIAR RYZYKA WYMAGA: danych o portfelu lub książce transakcji, horyzontu czasu, wyceny rynkowej: marking-to-market rozkładu prawdopodobieństwa zysków i strat. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA POZWALA NA RÓŻNORODNE SPOSOBY DEFINIOWANIA SKALI RYZYKA. POŻĄDANE JEST: spójna koncepcja, jednolita miara ryzyka.

203 POMIAR RYZYKA Generalnie: Miary zmienności (np. Odchylenie standardowe, semioodchylenie standardowe, współczynniki zmienności, rozstęp, asymetrie) Miary wrażliwości (anliza luki, Greeks, bpv, duration, convexity.) Miary zagrożenia (VAR, stress test, crash test, expected shortfall)

204 RYZYKO RYNKOWE Ryzyko rynkowe absolutne: mierzone relacją zmniejszenia wartości do wartości początkowej odchylenies tan dardowe P portfel R ( P / P)* P stopa zwrotu )* P P Ryzyko relatywne: mierzy relację do benchmarku i prezentuje skutki aktywnego zarządzania R B [ ( R P R ( R B P ]* P zwrot z benchmarku P / P B benchmark indeks trackingerror volatility( TEV) [ B / B]* P P

205 RYZYKO RYNKOWE Sharp Ratio Mierzy stopę zwrotu z portfela względem stopy wolnej od ryzyka Information Ratio Sharp Ratio IR [ RP RF ]/ ( RP ) [ ( R P ( RB )] / Mierzy stopę zwrotu z portfela powyżej benchmarku TEV

206 IDENTYFIKACJA CZYNNIKÓW RYZYKA Podstawą jest identyfikacja czynników ryzyka w odniesieniu do pozycji bilansowych, pozabilansowych oraz handlowych Negatywny skutek ryzyka wynika z dwóch czynników: ekspozycji nominalnej oraz zmiany czynnika ryzyka (separacja ryzyka na dwa komponenty: ekspozycję i czynnik ryzyka) Krytycznie: Low volatility = low risk? People mistake low volatility for low risk. Banking is less volatile but vastly more dangerous that venture capital

207 DYSKRETNE I NIEDYSKRETNE RYZYKO Ryzyko dyskretne: ekspozycja na dyskretne ruchy zmiennych finansowych (mierzone pierwszą pochodną, aproksymacja liniowa) Beta β Duration Delta Ryzyko niedyskretne: nieliniowa ekspozycja na ryzyko, ekspozycja na hedge lub volatility (mierzone drugą pochodną lub wyżej) Ryzyko bazowe różnica stóp procentowych Ryzyko rezydualne portfele akcji Convexity (wypukłość) druga pochodna w efekcie zmian stóp% Gamma druga pochodna w opcji Ryzyko zmienności Generalnie ryzyko dyskretne jest większe od niedyskretnego

208 POMIAR RYZYKA METODY POMIARU, NARZĘDZIA POMIARU, MARK TO MARKET, WYCENY INSTRUMENTÓW MODELE, MIARY ZMIENNOŚCI - STATYSTYCZNE, MIARY WRAŻLIWOŚCI (LUKI, SCENARIUSZE, WRAŻLIWOŚĆ ANALITYCZNA, GREEKS, DURACJA, KONWEKSJA,), MIARY NARAŻENIA VAR PODEJSCIE HISTORYCZNE, ANALITYCZNE, SYMULACYJNE, TESTY NARAŻENIA

209 GŁÓWNE MIARY OCENY RYZYKA PODSTAWA NOMINALNA WARTOŚĆ NARAŻONA NA RYZYKO, WARTOŚĆ RYNKOWA Wiele miar miary ryzyka oraz miary stosunku decydenta do ryzyka Miary wynikające z rozkładu zmiennej ryzyka Miary zmienności, volatility, kwantyle, wartość dystrybuanty Miary wrażliwości sensitivity measures, pochodne cząstkowe, luka, bpv, greeks, modified duration, konweksja Miary zagrożenia VaR, Stress Test, Expected Shortfall

210 ANALIZA EKSPOZYCJI I RYZYKA Podstawa wartość nominalna oraz wycena według wartości rynkowej Analiza zmienności jakie są odchylenia od średniej wartości (nie mówi nic o prawdopodobieństwie) Analiza wrażliwości - o ile coś się zmieni, gdy zmieni się jeden z czynników? (nie ujmuje kwestii nieliniowości) Analityczne - badanie zmian przybliżonych na podstawie zmian funkcji pod wpływem czynników np. przy pomocy szeregu Taylora pierwsza (duration) i druga pochodna (wypukłość) Metody scenariuszowe - jakie zajdą zmiany, gdy spełni się scenariusz x? (może podejmować nieliniowość ale nie mówi nic o prawdopodobieństwie straty) Probabilistyczne - np. Drzewa decyzyjne, warunkiem zdarzenia b jest zajście zdarzenia a., zagrożenie VaR, CF at Risk, Stress Test (zakłada prawdopodobieństwo) Symulacyjne np. Monte Carlo W x W W x f ( x x 0 x x ) 2 f ( x 0 x ) 2

211 MIARY RYZYKA PŁYNNOŚCI Ryzyko płynności po stronie aktywów oraz po stronie fundingu Zależy od zacieśnienia rynku (cena/wolumen), głebokości rynku (bid/offer), szybkości zmian cen na rynku Analiza cash flow Wartość nadwyżki płynności Analiza stabilności źródeł finansowania Luka płynności Stress-test płynności

212 MIARY RYZYKA RYNKOWEGO Luka stopy procentowej Miary wrażliwości dochodu odsetkowego Miary wrażliwości wartości rynkowej (BVP, duracja, convexity ) Warość zagrożona (VaR) Stress-test Cash flow at Risk

213 ANALIZA EKSPOZYCJI I RYZYKA Główne metody pomiaru i kontroli ryzyka: Metody statystyczne analizy portfeli (wariancja, odchylenie s. odchylenie przeciętne, współczynniki ryzyka, skośność, kurtoza) Gap analysis - metoda badania luki - różnica strumienia wpływającego i wypływającego (maturity buckets). Sensitivity - Można analizować o ile zmiani się wynik banku, jeżeli stopa % zmieni się o %. (base point value, present value base point, PV0, Greeks).Duration (Macaulay) mierzy procentową wrażliwość wartości rynkowej produktu opartego o stopy %, przy jej zmianie o 0,0%. Wadą jest założenie, że cała krzywa zmienia się równolegle, wypukłość (convexity). Value at risk - za pomocą jednej liczby (odchylenie standardowe) można opisać portfel i historyczne zmiany jego cen. - wynika z teorii inwestycji portfelowych. To podejście pozwala na określenie wielkości nieprzekraczalnej starty, która może wystąpić z wcześniej założonym poziomem prawdopodobieństwa - czyli VaR. Metoda pierwszy raz użyta w latach 90. Stress test scenarios, crash test, event risk scenarios (szok giełdowy 97, kryzys rosyjski 98, kryzysy naftowe) Scenariusz (jednocześnie dewaluacja, wzrost stóp %, spadek giełdy, wzrost spreadów)

214 dająca rozkład prawdopodobieństwa. SZUKA SIĘ ODPOWIEDZI NA PYTANIE - JAK ŹLE MOŻE BYĆ? METODY BADANIA RYZYKA Analiza statystyczna Analizy wrażliwości Scenariusze Probabilistyczne (np.drzewa decyzji) Analityczne Symulacyjne (np.monte Carlo) Zmienność odchylenie standardowe Zmiana wartości pod wpływem zmiany składnika Budowa scenariuszy Warunkowy rozwój Jeżeli funkcję można rozwinąć w szereg Taylora to można określić wpływ czynnika na ryzyko (Duration pierwsza pochodna, współczynnik wypukłości druga pochodna) Inaczej modele pełnej wyceny wartości (full valuation model) - generowanie rozkładu prawdopodobieństwa, symulacja, wartości progowe. Budowanie funkcji ryzyka i symulacja

215 MIARY EKSPOZYCJI I RYZYKA ODCHYLENIE STADARD. C Z A S Kurtosis (kurioza) Odchylenie ostrość rozkładu przeciętne SEMIWARIANCJA Modified Duration Key-Rate Modified Duration Duration Key-Rate Duration Symulacja historyczna Konweksja Varianz-Kovarianz VaR Value at Risk Basispointvalue GREEKS β z CAPM Delta-Gamma VaR STRESS TEST CRASH TEST EVENT SCENARIO EXPECTED SHORTFALL Monte Carlo Simulation

216 WARIANCJA DCHYL.STNAD MIARY EKSPOZYCJI I RYZYKA RYNKOWEGO PERCENTYLE ANALIZA WRAŻLIWOŚCI Bada wrażliwość na zmiany czynników, wpływ czynnika ceteris paribus, GAP - analiza luki Np. Present value np. Do analizy cash flow różne kursy, ceny, stopy % basis point value delta, vega, gamma, theta β z CAPM VALUE AT RISK Jest miarą potencjalnej zmiany wartości portfela przy zakładanym poziomie ufności, w danym czasie np.cash flow at risk STRESS TEST CRASH TEST EVENT SCENARIO Bada skutki spełnienia si ekstremalnych sytuacji rynkowych i ich wpływu na wartość portfela lub cash-flow np. Najgorszy kurs z 5 la lub najwyższe ceny surowca

217 PRZEGLĄD Ceny/czynniki Produkty Raporty Interest Rates Foreign Exchange Rates Commodities/Metals Equities Weather Economic indices Loans Deposits Bonds Swaps FRAs Futures & Options FX-Deals (Spot & Forward) Commodity Deals (Spot & Forward) Weather derivatives Position Overview Mark to Markets Volatility Sensitivities BPV Value-at-Risk Asset Liability Management Gap Analyses Scenario Analyses Market Reports

218 NOTIONAL & FAIR VALUE - INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Pierwszym krokiem jest wycena według wartości rynkowej składników majątku (aktywa, pasywa, pozycje pozabilansowe). Nominalne wartości oraz PV są podstawą zarządzania ryzykiem. Wycena zawiera parametry ekonomiczne wyceny, które mogą podlegać zmianom. Drugim krokiem jest uwzględnienie zmian parametru czynnika ryzyka. SEC zgodził się, że tam gdzie są aktywa czasowo trudne do wyceny rynek nie działa może być wycena z modelu (to robił Enron) UE MSR 39 i MSSF 7 utrzymanie do wymagalności i przekwalifikowanie wartości

219 EKSPOZYCJA NOMINALNA MARK-TO-MARKET /TO MODEL Poziom pierwszy rozpoznanie nominalnej ekspozycji (maksymalna wartość straty). Marking-to-Market: Pozycje finansowe muszą być wyceniane po wartości rynkowej. Jeżeli ceny rynkowe są nieznane to zastępuje się je cenami fair - fair value models (Marking-to- Model). Marking-to-Market and Marking-to-Model są jedynymi technikami wycen, które prawidłowo mierzą bieżącą wartośc aktywów i pasywów. Obie techniki powinny być stosowane niezależnie od metod rachunkowości 8

220 MODELE DLA AKCJI Wyceny z Discounted Cash Flow DCF V t 0 ( E( gt )) t ( r) t Cash Flow oczekiwanywzrost, stopadyskonta, cash flow Model wzrostu M.J.Gordona 959, Review of Economics & Statistics s ( V D ( dzielacstrony przez V D*( r Lub D t 0 D( D V r g g) r) g ) g g) t t ( g r )

221 FAIR VALUE -METODY WYCEN Towary Papiery wartościowe Transakcje FX spot Transakcje FX forward FRA IRS Opcje Ceny giełdowe.. Cena na rynku aktywnym lub cena godziwa Spot porównuje się ze średnim NBP Fwd % d e P / L NPV P / L d ( d 2 r* n ( ) 00* BAZA N( Fwd NPV N PV Europejskie Black-Scholes S N D/ B* r D/ B* r P / L * e * * e * B B S Baza *00 ) * n n FRA) * * 00* BAZA cash_ flows zapadła Ct ( i) Cena obligacjip t, PV C * e T t t i* t Ct ( i) n * Fwd BAZA *00 t, * d S S

222 CZYNNIKI RYZYKA AKCJI I OBLIGACJI Zmiana cen akcji Ryzyko inflacji, stopy procentowej, płynności, wycofania kapitału, bankructwa Ryzyko efektywnej stopy% - yield Ryzyko defaultu (kredytowe) Ryzyko stopy % Ryzyko reinwestowania, gdy YTM jest inny niż stopa oprocentowania obligacji

223 MARK-TO-MARKET ANALIZA EKSPOZYCJI Obligacja nominał 00 przynosi 5%, ale stopa YTM=i na rynku spadła do 3%. W efekcie wartość rynkowa wzrosła do Obligacja t t2 t3 nominal stopa swap 3% Dyskonto,03,0609, , , , ,08987 Market value vs. 00 PV t 0 Ot ( i ) t t ( K i t ) t

224 MIARY ZMIENNOŚCI

225 ciagla dx x xf X E skokowa X E i xi p i } ) ( ) ( ) ( j i n i n j ij j i i n i i p n i n j ij j i i n i i p n j j j P w w w w w w w R R E ) ( MIARY ZMIENNOŚCI Wartość oczekiwana i wariancja aktywu Wartość oczekiwana i wariancja portfela )]^2 ( [ ) ( 2 X E x E X D

226 MIARY ZMIENNOŚCI Również takie miary jak semi wariancja i semi-odchylenie stadardowe Miary zmienności wskazują jedynie na skutki ryzyka (np. miary wrażliwości pokazują również przyczyny czynnik ryzyka)

227 MIARY WRAŻLIWOŚCI

228 POMIAR WRAŻLIWOŚCI VS. RYZYKO WRAŻLIWOŚĆ OKREŚLA JAKI WPŁYW NA ZMIANY WARTOŚCI MA ZMIANA CZYNNIKA WPŁYWAJĄCEGO. WRAŻLIWOŚĆ NIE JEST MIARĄ RYZYKA. WRAŻLIWOŚĆ POZWALA NA UCHWYCENIE WPŁYWU ZMIANY CZYNNIKA NA RACHUNEK STRAT & ZYSKÓW. WYPOWIEDŹ NA TEMAT RYZYKA JEST MOŻLIWA, GDY INFORMACJI O MOŻLIWEJ SKALI ZMIAN PRZYPISANE JEST PRAWDOPODOBIEŃSTWO.

229 ANALIZA LUKI Analiza niedopasowania aktywów i pasywów w wybranych okresach Mierzy ryzyko niedopasowania terminów zmiany oprocentowania aktywów i pasywów dla pozycji o stałym oprocentowaniu Pozycja long i short w danych okresach i wpływ stopy procentowej

230 POMIAR WRAŻLIWOŚCI - ANALIZA LUKI - GAP LUKA = RATE SENSITIVE ASSETS - RATE SENSITIVE LIABILITIES WYMAGALNE AKTYWA/ZAPADALNE ZOBOWIĄZANIA NET INTEREST INCOME (LOSS)= LUKA * % LUKA DO 2 MIES: =-300 CZYLI WZROST STOPY O 0,0% POWODUJE WZROST KOSZTÓW : -300 * = -30 TYS AKTYWA MLN PASYWA MLN DO MIES 3-6 MIES MIES BADANIA LUKI ZWYKLE DO 3 MIES DO 6 MIES DO ROKU >2 MIES RAZEM

231 POMIAR WRAŻLIWOŚCI - ZALETY ANALIZY LUKI Pozwala zarządzać ryzykiem finansowym - asset-liability management Pozwala zarządzać finansowaniem i płynnością wynikającą z ograniczeń cashflow oraz wymagalnych zobowiązań Identyfikacja szans na redukcję kosztów kapitału np. Swapy inne derywaty 6

232 ANALIZA SCENARIUSZY Analizy scenariuszowe są stare jak świat Zawsze zastanawiano się jak statek przebędzie sztormy i jaki może być tego skutek A więc brano pod uwagę różne scenariusze z różnym prawdopodobieństwem Odpowiadano na pytanie what if? Dziś analiza scenariuszy jest sformalizowanym procesem Często analiza np. silny, średni i mały wzrost przychodów firmy

233 SCENARIUSZ LIBOR CZAS M LIBOR 3 M LIBOR 6 M LIBOR 2 M LIBOR 3 L SWAP To często prowadzi do przyjęcia założeń np. o wzroście stóp np. o 200, 00 bps flat lub spadku O 200, 00 bps. To po włączeniu do tabeli pozwala budować wyniki scenariuszy Analiza scenariuszowa jest bardzo elastyczna może wpisywać również przyszłe decyzje Managerskie, a także nierównoległe zmiany krzywej dochodowości analiza gap, czy duration Pozwala tylko na analizę ryzyka bazowego (równoległa zmiana krzywej dochodowości)

234 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI I SCENARIUSZY Głównym wyzwaniem dla firm jest prognozowanie cen rynkowych w długim okresie obejmującym najczęściej planowanego cyklu - inwestycji, produkcji. Mierzenie ryzyka rynkowego zawartego w celach planowania finansowego o horyzoncie (np. 2 do 2 miesięcy) wymaga scenariuszy dla cen rynkowych. W celu opracowania scenariuszy, firma musi wiedzieć jak każdy komponent wyniku finansowego reaguje na małe zmiany cen rynkowych - analiza wrażliwości. 20

235 Leibniz Gotfried Wilhelm 686 współautor rachunku różnicowego WRAŻLIWOŚĆ - POCHODNA CZĄSTKOWA Formalną miarą wrażliwości jest pochodna cząstkowa pochodna cząstkowa funkcji P względem czynnika ryzyka F P j dla j... m F j Problem ceteris paribus, gdy istnieje wiele czynników ryzyka i nie są one niezależne Mogą być funkcje liniowe oraz nieliniowe

236 FUNKCJA LINIOWA Wtedy miarą wrażliwości jest parametr stojący przy czynniku ryzyka: P F F nf n

237 WRAŻLIWOŚĆ METODY ANALITYCZNE ANALIZA CZYNNIKOWA TAYLOR W analizie ryzyka interesuje nas co się stanie, jeżeli czynnik ryzyka wzrośnie o Δ: y y 0 y P( y Można skorzystać ze skrótu rozwinięcie P P Taylor a. Brook Taylor f '(.) rachunek różniczkowy. 0 y) dp dy a 0 f '( y 0 a ), a y f ( y) 2 "(.) a f "( y 2 0 ( )( 2 d P 2 dy y) 2 y) 2 2a

238 WRAŻLIWOŚĆ METODY ANALITYCZNE ANALIZA MODEL OGÓLNY: CZYNNIKOWA ij j a RF ij ij f: wartość funkcji (portfel/aktyw), RF:risk factor, Stopa przychodu w modelu czynnikowym to zważenie czynika RF przez wagę b oraz wartość rezydualna. Waga ta mierzy wrażaliwość instrumentu finansowego na jego ekspozycję Wzór Taylora rozwinięty do pierwszej (delta) i drugiej (gamma) pochodnej f f RF ij f RF 2 RF

239 TAYLOR ROZWÓJ CIĄGU Niech P t będzie wartością bieżącą Portfela w czasie t. P t zależy od czynników ryzyka RF()=F oraz RF(2)=F 2. Zmiana wartości bieżącej może być przedstawiona jako: P t P t P RYZYKO LINEARNE RYZYKO KWADRATU NIELINEARNE RYZYKO WYŻSZEGO STOPNIA *2*3 * F F F F P F F F F P F F P F F P F F P F F P F F P F F P P P t t Częsro zapomina się O czynnikach krzyżowych! ) ( ) (! ) ( ) ( n n n x x n x f x f

240 ELASTYCZNOŚĆ Współczynnik elastyczności określa o ile % zmieni się cena, gdy czynnik ryzyka zmieni się o % (ceteris paribus): E P P E P F F F F P

241 POMIAR WRAŻLIWOŚCI AKCJI Historia (sami Nobliści): Markowitz 952,59 model dla risk averse investors optymalizują zysk i ryzyko Tobin 958 dołączył do portfela stopę wolną od ryzyka i możliwość pożyczania środków inwestorom Modigliani Miller 958,6 brak arbitrażu wolnego od kosztów na rynku Sharpe 964, Lintner 965, Merton 973 CAPM równowaga zysk/ryzyko na rynku Ross Arbitrage Price Theory

242 POMIAR WRAŻLIWOŚCI AKCJI Model CAPM dekomponuje ryzyko zmiany cen akcji (stopa zwortu Ri) na relację zmiany stopy zwrotu z akcji do stopy zwrotu całego rynku RM i wartość rezydualną Zmiana ceny dekomponuje się na (tylko czynnik rynkowy): ] ) ( [ 0 ) ( ) ( ) ( ] [ 2 ), cov( * * f R M R E i f R i R E M R i R im M R M R i R i M i i M i i i R R R M i i i i R P R P P * ) ( Obok modeli jednoczynnikowych są modele wieloczynnikowe Arbitrage Pricing Theory (S.Ross)

243 POMIAR WRAŻLIWOŚCI AKCJI Ryzyko rynkowe (systemowe) & ryzyko specyficzne: Ryzyko specyficzne to reszta ryzyka, która pozostaje po uwzględnieniu wpływu ryzyka rynkowego: Wariancja portfela rozkłada się na dwie części pierwszą ryzyko rynkowe i drugą ryzyko specyficzne ] [ ] [ * ) ( ] [ : ) ( )* ( i i M i i i i M i i i i P R P P Wariancja P R P R P P

244 POMIAR WRAŻLIWOŚCI AKCJI Obok modeli jednoczynnikowych są modele wieloczynnikowe Arbitrage Pricing Theory (S.Ross): R F F nf n

245 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI GREEKS Delta: Gamma: f RF 2 f RF 2 JAK ZMIENIA SIĘ WARTOŚĆ PORTFELA PRODUKTU FINASOWEGO, GDY ZMIENIA SIĘ CZYNNIK RYZYKA(RF)? JAK ZMIENIA SIĘ DELTA, GDY ZMIENIA SIĘ CZYNNIK RYZYKA(RF)? Theta: f t f JAK ZMIENIA SIĘ WARTOŚĆ PORTFELA PRODUKTU FINANSOWEGO, GDY ZMIENIA SIĘ HORYZONT CZASU(t)? Vega: f JAK ZMIENIA SIĘ WARTOŚĆ PORTFELA PRODUKTU FINANSOWEGO, GDY ZMIENIA SIĘ VOLATILITY?

246 DURATION WRAŻLIWOŚĆ INSTRUMENÓW DŁUŻNYCH NA ZMIANĘ STOPY PROCENTOWEJ

247 DURATION Jest to rzeczywisty ekonomiczny cykl życia obligacji (kredytu, należności ) Np. Gdy mamy obligację 30 lat zerokuponową to okres dysponowania kapitałem oraz okres kontraktowy są takie same. Ale, jeżeli mamy obligację, która wypłaca odsetki lub kredyt spłacany ratami to czas dysponowania kapitałem różni się od czasu kontraktowego Duration i konweksja są czynnikami opisującymi wrażliwość ekspozycji na równoległe przesunięcia krzywej spotowej (ryzyko stopy

248 WRAŻLIWOŚĆ OBLIGACJI NA ZMIANY STÓP % Obligacje i yields są odwrotni zależna, rośnie yield spada wartość obligacji, spada yield cena obligacji rośnie Wzrost YTM powoduje mniejszą zmianę ceny niż spadek YTM w podobnej skali Ceny obligacji długoterminowych są bardziej wrażliwe na zmiany yields niż obligacji krótkich Wrażliwość cen obligacji na zmianę yields rośnie ale w malejącym tempie z rosnącym czasem do wygaśnięcia czyli ryzyko stóp% proporcjonalnie maleje do wzrostu czasu wymagalności Ryzyko stopy % jest odwrotne do kuponu obligacji, ceny obligacji o wysokim kuponie są mniej wrażliwe na zmiany stóp% niż ceny obligacji o niskim kuponie Wrażliwość cen obligacji do zmiany ich yields są odwrotnie zależne do YTM, po którym aktualnie obligacje są sprzedawane

249 Idea duration jest prosta, jeżeli czas ekonomicznego życia obligacji (duration) jest 3 lata a stopy wzrosły o % to wartość obligacji spadnie o około 3% Gdyby obligacja miała duration 0 lat a stopy wzrosły o % to spadek wartości obligacji wyniósłby około 0% Ale w rachunku dyskonta 7,65% Średni okres * utrata odsetek ze wzrostu= Δi DURATION CF Dyskonto PV(7%) Dyskonto PV(8%) 0,07 9,345794,08 9, ,449 8,734387,664 8, , ,79277, ,3255 sum 07, ,542 strata = 2,78754 CF Dyskonto PV(7%) Dyskonto PV(8%) 0,07 9,345794,08 9, ,449 8,734387,664 8, , ,62979, , , ,628952, , , ,29862, , , ,663422, , , ,227497, , ,7886 5,82009, , , ,439337, , , ,9842 2, ,9528 2,0707-3,4202 strata= 7,650582

250 DURATION Ekonomiczny sens duracji średni ważony czas angażowania kapitału Cash flow w okresach Odsetki + Kapitał Odsetki Odsetki Odsetki Odsetki Odsetki duration

251 DURATION D D zwykle zwykle w n n n n P ( ( P P... ncfn YTM) CFn YTM) n n w Pn n P t n t Pn t * PV PV, gdzie t t w P. P P. (.) CF (.) PV /( i) (.) Duration (Frederic Macaulay, J.Hicks): zwykłe mierzy ekonomiczny czas trwania instrumentu średni ważona zapadalność cash flow danego instrumentu, gdzie wagi wynikają z ich proporcji do present value Im wyższa stopa % tym niższe duration Im dłuższy termin tym wyższe duration Im wyższy yield tym niższe duration Karencja przedłuża duration Im dłuższe duration tym większe volatility ceny

252 DURATION OBLIGACJI DYSKONTO 5,00% WARTOŚĆ KUPON OKRES CASH FLOW PRESENT VALUE WAGA WAGA*OKRES 000 0,00% 00 95, , , , , , , , , , , , SUMA 77, , DURATION

253 DURATION Dla Macaulay duration oznaczała czas ekonomiczny obligacji i tak oryginalnie rozumiano duration Współcześnie zauważono, że przy Macauley duration przy kalkulacji ciągłej składanej stopy dyskonta i jest równa wrażliwości na stopę % Czyli dla stopy dyskonta ciągłej Macauley duration = modified duration

254 DURATION MODYFIKOWANE Jest ważoną pochodną cząstkową miarą tg kąta nachylenia P P 0 P P PONIEWAZ: i) P Pr zyblizenie: 0 ( duration* Duration(mod) 0 * i P i ( i) i duration* duration* i i i duration(mod)* i

255 POMIAR WRAŻLIOWŚCI OBLIGACJI DURATION Wpływ zmiany oprocentowania na zmianę ceny papieru mierzy zmodyfikowane duration, czyli mnożone przez zmianę stopy% zwykłe duration (Macaulay) Duration pieniężne bez dyskonta Duration modyfikowanemd(tzw present value duration/indeks stopy%): Przybliżony wpływ: Value of a basis point dp f '( y0) Duration biezace DMD * P0 di D MD P P lub P P V of Dzwykle D MD D i i zwykle abasis point i i D MD D zwykle i * *0,000* P 0 i

256 POMIAR WRAŻLIWOŚCI DURATION/MODIFIED DURATION P Duration i di dp Duration i ModifiedDuration PV i CF n PV i CF i di dpv PV zmiany do PV proporcja i ncf di dpv i CF PV n n n n n n n n * * * ) /(... ) /( * : ) ) ( ( ) (

257 DURATION Duration jest odwrotnie proporcjonalne do wysokości kuponu im wyższy kupon tym krótsze duration Duration a maturity im bardziej wydłuża się zapadalność tym większy dysparytet z maturity Duration spada, gdy rosnie yield, bo PV odleglejszych płatności spada bardziej Zakłada się dla duration płaską krzywą dochodowości Duration zakłada też równoległe zmiany krzywej dochodowości Duration jest aproksymacją ryzyka ceny w zasadzie tylko dla małych zmian stóp%

258 CENA CENA INSTRUMENTU 20 LAT W ZALEŻNOŚCI OD POZIOMU STOPY % PAR= 00 0,0 8, ,02 67,2973 0,03 55, ,04 45, ,05 37, ,06 3,8047 0,07 25,849 0,08 2, ,09 7, , 4, , 2, ,2 0, CENA INSTRUMENTU 20 LAT ,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 STOPA % 0,07 0,08 0,09 0, 0, 0,2

259 POMIAR MODIFIED DURATION PRZYKŁAD Z WCZEŚNIEJSZEGO WYKRESU ZMIANA CENY Z 37,68895 OD PAR DLA 5% DO 3,8047 OD PAR DLA 6% CENY/STOPY P0 P i0 i 0, , ,05 0,06 ΔP/P -0,466 DURATION BIEŻĄCEΔP/Δi -5, % PRZYBLIŻENIE ZAŁ. P/(+i)= MODYFIKOWANE DURATION PV-0,3788 ΔP/P= dla 00mln$ -378,83 np..$ STĄD OCZEKIWANA ZMIANA CENY DLA % = % (P/(+i)) OD -55% (DURATION PRZYBLIŻONE, BIEŻĄCE)=-5,5% MODYFIKOWANE DURATION=-0,466/(+6%)=-3,788 Value of a basis pointδp/p= -3,788*0,000*np.00 mln=378,083$

260 POMIAR WRAŻLIWOŚCI - DURATION F.Macaulay s (J.Hicks) duration - średni ważony czas cash flow (okres trwania). Np. 00$, 6%,4lata, bullet Przy równych ratach (n+)/2 np.5 lat (5+)/2=3 zwykle okres platnosc zdyskontowana zdyskontowana wagi lat waga okresow jako % 6 5,66 5,66 0, ,34 5,34 2 0, ,038 5, , ,962 83, , ,67302 INFORMACJE 6% 4 lata 00$ D n n n n ncfn ( YTM ) CFn ( YTM ) n n

261 POMIAR WRAŻLIWOŚCI MODIFIED DURATION Modyfikowane Duration=/(+i)*Macaulay s Duration (zwykłe) Duration zwykłe*( i/(+i)) = wpływ na zmianę ceny Np. (3.673/,06)*0.000= Służy do określenia o ile zmieni się cena np. obligacji, jeżeli yield zmieni się np. o 0,0% (price sensitivity to small changes) VAR= Wartość ryzyka = cena* modified duration*δi*(p(i)) Np. 00$ * 3,465*(dla 95% ufności, max wzrost stopy% =,645/00)= 5,7 mln $ P P D z i * * P i Obligacja Duration 3,673 YTM,06 MD 3, Ufność 0,95 max u,645 u/00 0,0645 VAR ,9 0

262 POMIAR WRAŻLIWOŚCI DURATION MODYFIKOWANE Modyf. duration Obligacja O-coupon 2 lata 5,5% DLA 0-COUPON PV = 00/ (.55)^2=74.96 Dmd= 2*00:[(.55)^3]/PV=.73 t * Notional / discount. factor/ PV OBLICZENIE Wynik OBLICZENIE OBLIGACJA 0 Coupon lata 2 nominal 00 stopa% 0,55 PV 74,96 00/(,55)^2 Sredni okres 2 Modified Duration,73602 (2*00/(,55)^3)/b6 Zmiana ceny PV0 0,00073

263 POMIAR WRAŻLIWOŚCI BVP PRESENT VALUE of BASIS POINT: PVBP MV Można estymować zmianę ceny obligacji pod wpływem małych zmian stopy % przez np. liniową ekstrapolację Czyli np. obliczając jak zmienia się jej cena pod wpływem zmiany stopy procentowej o punkt bazowy czyli o 0,0% (0,000) Metoda nazywa się Present value of basis point PV0 MD* PV *0,000 Jest podobna do duration i jest miarą wrażliwości ceny na zmianę stopy o bps lub BPV MV( r) marketvalue MV( 0,0% pa)

264 POMIAR WRAŻLIWOŚCI BVP PRESENT VALUE of BASIS POINT: PVBP MV Można estymować zmianę ceny obligacji pod wpływem małych zmian stopy % przez np. liniową ekstrapolację Czyli np. obliczając jak zmienia się jej cena pod wpływem zmiany stopy procentowej o punkt bazowy czyli o 0,0% (0,000) Metoda nazywa się Present value of basis point PV0 MD* PV *0,000 Jest podobna do duration i jest miarą wrażliwości ceny na zmianę stopy o bps lub BPV MV( r) marketvalue MV( 0,0% pa)

265 BASIS POINT VALUE PRESENT VALUE BASIS POINT Jak na cenę obligacji wpływa ryzyko zmiany stopy o punkt bazowy, np. z 0% do 0,0% T= T=2 T=3 CF Dyskonto,,2,33 DCF 9, , , ,000 Wzrost stopy % o 0bps Dyskonto,00,2022,33363 DCF 9, , , ,9754 Różnica -0,025 PV0 Present Value zmiany o 0,0%,czyli 0,000

266 KONWEKSJA INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH Linearne zależności są wyjątkami w życiu nielinearne są wszechobecne N.Taleb

267 CENA CENA INSTRUMENTU 20 LAT W ZALEŻNOŚCI OD POZIOMU STOPY % PAR= 00 % 8, % 67,2973 3% 55, % 45, % 37, % 3,8047 7% 25,849 8% 2, % 7, % 4,86436 % 2, % 0, CENA INSTRUMENTU 20 LAT % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 2% STOPA % 00

268 POMIAR WRAŻLIWOŚCI WYPUKŁOŚĆ - CONVEXITY Duration w małych przedziałach może być stosowane ale przy dużych zmianach stóp % rośnie błąd Krzywa wypukła pokazuje bardziej prawdziwe relacje cen i wartości pochodna drugiego rzędu Pierwsza dpv di Druga f "( i 0 ) Convexity y) ( ncf ( i) ( stad convexity f ( y) n n n( n ( 2 n n Taylor aproksymacja 2 rzedu f ( y n pochodna pochodna 2 d PV 2 di n YTM YTM factor ) ) * ) CF n 2 i) n n n*( n f '( y)* n( n ) CF ( YTM) CFn ( YTM) y n ); convexity 2 dduration di n n n f "( y)* y 2 n*( n ) 2 ( i)

269 KONWEKSJA - CONVEXITY Pierwszym przybliżeniem delty zmiany ceny obligacji pod wpływem zmiany ceny jest duracja drugim źródłem informacji jest konweksja Konwekcja dolicza efekt zagięcia paraboli Najlepiej dopasowana parabola definiuje się jako (Taylor aproksymacja): P convexity 2 P 2 Convexity: convexity Koweksja to stopa zmiany duracji pod wpływem zmiany yield Dodatnia konweksja, gdy cena instrumentu rośnie bardziej, gdy spada yield niż cena instrumentu spada wtedy, gdy yield rośnie Graficznie konweksja mierzy zmianę nachylenia ceny instrumentu w stosunku do zmiany yield curve (krzywej dochodowości) * P i P i duration mod * i

270 KONWEKSJA - CONVEXITY Koweksja to stopa zmiany duracji pod wpływem zmiany yield Dodatnia konweksja, gdy cena instrumentu rośnie bardziej, gdy spada yield niż cena instrumentu spada wtedy, gdy yield rośnie Graficznie konweksja mierzy zmianę nachylenia ceny instrumentu w stosunku do zmiany yield curve (krzywej dochodowości)

271 KRZYWA WYPUKŁA Jeżeli stopa % jest czynnikiem ryzyka to trzeba sumować pochodne wyższych rzędów Współczynnik wypukłości C: wykorzystuje zmodyfikowane Duration oraz szereg Taylora Wypukłość to drugi wyraz w szeregu Taylora P P D Convexity MD gdyczęzęsto i f 2 C 2 P d di / 2 P i (2) f n( n ) i ) f n wmianownikun 2 ( 2

272 Aproksymacja zmiany wartości poprzez Duration zakłada równoległe przesunięcie krzywej stopy %. Wyniki są prawdziwe tylko dla bardzo małych zmian stóp % KRZYWA WYPUKŁA P Wypukłość tym większa im niższy kupon niższa stopa zwrotu dłuższy termin wykupu P CENA OBLIGACJI Tg =dp/di Prawdziwa zależność P od i Błąd duracji Duracja Duracja+convexity i WEWNĘTRZNA STOPA PROCENTOWA YIELD

273 WYPUKŁOŚĆ convexity, factor convexity modified ( PV( CF)* n( n market' value C LATA CASH-FLOW PV WSPOLCZYNNIK WYPUKLOSC WYPUKLOSCI 0 9, A3*(A3+) 8,882 D3*C , A4*(A4+) 49,58678 D4*C , A5*(A5+) 90,5778 D5*C , A6*(A6+) 36,6027 D6*C , A7*(A7+) 2049,04 D7*C7 i) n*( n 2 suma 00 Suma F3:F72343,569 n(n+) wypuklosc 23,43569 mod.wypuk 9,36834 F0/(,)^2 ) )

274 WPŁYW WYPUKŁOŚCI I DURATION NA SZACOWANĄ ZMIANĘ CENY OBLIGACJI DURACJA A B ZMIANA STOPY% 0,0 0,05 WZROST STOP DURACJA -3,79-3,79 OSZACOWANIE DUR -0,0379 C5*C4-0,895 E5*E4 NOWA WARTOSC OBLIGACJI 96,2 00*(+C6) 8,05 00(+E6) CONVEXITY WYPUKLOSC MOD. 9,37 9,37 WPLYW WYPUKLOSCI 0, , E3*E4^2 DURACJA+WYPUKLOSC -0,03693 C6+C4-0,6529 E6+E4 NOWA WARTOSC 96, *(+C5) 83, (+E5) OBLIGACJI PAR Cena i nm ( ) m n Duracja m i ( ) m n( n Convexity m 2 ) i m 2

275 PERCENTYLE

276 PERCENTYLE Dzielą zbiorowość na 00 równych części A więc znalezienie się w percentylu wynosi % (dla zmiennej losowej) np. Strata od - nieskończoności do wartości dla granicznej dla pierwszego procenta pojawia się z prawdopodobieństwem %, a więc z prawdopodobieństwem 99% nie pojawi się!

277 CZĘSTOŚĆ DECYLE Średnia 4, Max 4,42 Min 4,0567 Odchylenie standardowe 0, Przedziały Częstość w % Skumulowana 4,2567 4,05 0 0,00% 0,00% 4,567 4, 8 9,5% 9,5% 4,2378 4,4 26,83% 46,34% 4,2365 4,8 26,83% 73,7% 4,2435 4,22 2 4,88% 78,05% 4,42 4,26 6 4,63% 92,68% 4,2234 4,28 2,44% 95,2% 4,3576 4,32 0 0,00% 95,2% 4,2786 4,36 2,44% 97,56% 4,2566 4,5 2,44% 00,00% 4,234 4,865 RAZEM 4 4,754 4,626 4,637 4,754 4,675 4,723 4,643 4, CZESTOSC

278 VALUE AT RISK POJĘCIE VAR, MODEL VAR, METODY VAR WARIANCJI-KOWARIANCJI, HISTORYCZNA, SYMULACYJNA, IMPLIKOWANY VAR, VAR PORTFELA, VAR DLA RÓŻNYCH INSTRUMENTÓW, MIERNIKI RYZYKA MARGINALNEGO, TESTY NAPIĘĆ STRESS TEST, CRASH TEST

279 VALUE AT RISK WARTOŚĆ POD RYZYKIEM Metoda Duration/Convexity okazała się niewystarczająca J.P.Morgan w 994 zaproponował Value At Risk i system zwany RiskMetrics Cztery metody: a/parametryczna, b/historyczna, c/ Monte Carlo d/(implikowana) a/ bazuje najczęściej na rozkładzie normalnym zmian cen instrumentów b/ i c/ metody symulacyjne d/z rynku

280 KLUCZOWE POJĘCIA Horyzont czasowy i przedział ufności Przedział ufności stanowi podstawę metody VaR jest on miarą stopnia ufności, którego ekwiwalentem jest prawdopodobieństwo wyniku zmiennej losowej. Przedział ufności X definiuje prawdopodobieństwo, że przy danym rozkładzie zmiennej losowej wynik znajdzie się w określonym zakresie (przedziale) Horyzont czasowy to okres przetrzymania aktywu zmienność rośnie wraz z czasem

281 VALUE AT RISK WARTOŚĆ POD RYZYKIEM VaR uznała Group of Thirty jako dobrą praktykę w 993 roku Ale wcześniej rozwijano: 938 bond duration 952 Markowitz nadzieja matematyczna/wariancja 963 Sharpe CAPM 966 Multiple factor model 973 Black-Scholes model opcji, Greeks 988 Ważenie aktywów ryzykiem w bankach 993 VaR 994 RiskMetrics 998 Integracja credit risk & market risk 998 Budżetowanie ryzyka

282 VALUE AT RISK VaR estymuje największą oczekiwaną stratę z inwestycji, przy założeniu normalnych warunków, przy danym poziomie ufności, w czasie przetrzymania (techniki statystyczne), czyli potencjalnie maksymalne zmniejszenie wartości z danym prawdopodobieństwem w czasie przetrzymania VaR estymuje ryzyko poprzez model (stochastyczny losowość zmian cen), sprowadza wynik do jednej liczby VaR okeśla stratę w warunkach normalnych zmian na rynku, a więc jest wartością szacunkową VaR jest rekomendowana przez Komitet Bazylejski i GINB (pozwala ustalić ile potrzeba kapitału ryzyka )

283 VALUE AT RISK VaR charakteryzuje poziom dyspersji w rozkładzie strat i zysków przez co jest dobrym narzędziem monitorowania ryzyka VaR szacuje tylko wartość maksymalnej straty, przy założonym poziomie ufności, a więc odnosi się tylko do ryzyka downsize Notacja matematyczna: VaR lub VaR gdzie : v{ Y}( K} v{ Y}( K} inf{ K Pr( v V ( ( Y ) K) ) Y ( Y ) 2erf (2y ) erf ( ) (2 / )) ^{ }exp( x 2 ) dx v N(, )

284 VALUE AT RISK Ryzyko wynika z mismatchu pozycji ze względu na zmienność cen, kursów, stóp etc. W starym podejściu dla ograniczenia ryzyka nakładano limity, ograniczano instrumenty, czas, ekspozycję. Najważniejszy jest rozkład ryzyka potencjalnej straty dla całej firmy a nie dla poszczególnego instrumentu. VaR ma służyć ograniczeniu potencjalnych start między dwoma punktami w czasie, przy założonym prawdopodobieństwie. VaR nie jest metodą na określenie worst scenario lecz tylko estymuje uzasadnioną stratę w normalnych warunkach rynkowych. Wyzwaniem w VAR jest właściwa estymacja zmienności W VAR arbitralnie określa się dwa parametry czas przetrzymania oraz poziom ufności

285 WARTOŚĆ NARAŻONA NA RYZYKO Koncepcja:inwestycja*wrażliwość*zmienność Przykład: Inwestycja akcji po 4$ = Jednoprocentowa wrażliwość np.zmiana ceny o % czyli o 4c daje zmianę wartości inwestycji o 4000$ Zmienność oczekiwana np. na jedną noc wynosi,5%; czyli,5 wrażliwości jednoprocentowej Wartość narażona na ryzyko na okres przetrzymania = dzień: $*%*,5=6000$

286 VAR DLA ROZKŁADU NORMALNEGO STANDARYZOWANEGO Z rozkladunorma ln ego s tan daryzowanego: u i * Stad : P( x W rozkladzienorma ln VaR j u i ( u i x * ) poziom istotnosci * ) V P( V VaR) poziomistotnosci np. Depozyt w EUR i t ym 0 stad dlainwestycjiv : 000EUR, u VaR ( 2,33*0,2PLN)*000PLN / EUR 466PLN i 2,33; 0,2; 3,8 Jeżeli wziąć 5% z 252 dni tzn 2,6 dnia straty w przedziale do 5%

287 MODEL VALUE AT RISK Stopa zwrotu R ma rozkład normalny 2 Wartość VaR przy poziomie N(, ) ufności α to dolny percentyl*ekspozycja VaR x V [ percentyl* wartosc ekspozycji] prawdopodobieństwo po prawej stronie xf ( x) dx VAR Uα zmienna standaryzowana rozkładu normalnego, µ - średnia x =0 dla rozkładu standaryzowanego, x u, gdzieu V ekspozycja VaR u V 0 rozklad s tan daryzowany Z- macierz prognozy kowariancji stóp zwrotów poszczególnych czynników ryzyka T B ZB

288 VALUE AT RISK VAR VAR - pozwala określić skalę i prawdopodobieństwo wystąpienia zwykłego ryzyka Korzystając z rozkładów symetrycznych można estymować, jakie jest prawdopodobieństwo, że cena danego instrumentu przekroczy określony poziom w okresie przetrzymania VAR mierzy największą stratę w czasie przetrzymania, na danym rynku, przy zakładanym przedziale ufności (prawdopodobieństwo - czyli tolerancja ryzyka, wrażliwość) - okres przetrzymania - najczęściej dzień

289 VAR VaR nie opisuje najgorszej straty, w rzeczywistości oczekuje się nawet, że wartość VaR będzie przekroczona raz na np. 00 dni. (współczynnik ufności 99%) VaR też nie opisuje strat po lewej stronie rozkładu bo nic nie mówi na temat rozkłady prawdopodobieństwa strat, jedynie co mówi to że taka strata może wystąpić i z jakim prawdopodobieństwem VaR jest miarą obciążoną pewnym błędem, co zależy od okresu analizy danych do mierzenia zmienności. Im większy poziom ufności tym większy VaR. Im większy horyzont tym większy VaR VaR ( Tdni) VaR(dzien) * T

290 MODEL VALUE AT RISK W uproszczeniu VaR to: VaR=NSTD* *T^(0,5)*V Czyli: NSTD: number of standard deviations for chosen confidence level and chosen distribution : odchylenie standardowe T: czas przetrzymania V: Wartość aktywu NAJCZĘŚCIEJ ZAKŁADA SIĘ ROZKŁAD NORMALNY, ALE DLA DUŻEJ WYPUKŁOŚCI ZMIANY CEN NIE JEST TO NAJLEPSZE ROZWIĄZANIE

291 METODOLOGIA Value-at-Risk Value-at-Risk (VaR): Maksymalny spadek wartości portfela w stosunku do określonego celu (np. budżetu), którego można doświadczyć pod wpływem ryzyka rynkowego w odniesieniu do wyspecyfikowanych ekspozycji, w określonym czasie przetrzymania, przy danym poziomie ufności. P{ R t,65 VaR,65 * * V t,65 wartości standaryzowanej zmienności rozkładu normalnego t, t } 5% dla prawdopodobieństwa P=5%, czyli 95% ufności, że strata w zwykłych warunkach nie przekroczy wyliczonego limitu 23