Ćw. 1. BADANIE PRZEBIEGÓW NAGRZEWANIA SIĘ I STYGNIĘCIA PRZEWODÓW PRZY OBCIĄŻENIU PRZERYWANYM

Transkrypt

1 Ćw. 1. BADANIE PRZEBIEGÓW NAGRZEWANIA SIĘ I SYGNIĘCIA PRZEWODÓW PRZY OBCIĄŻENIU PRZERYWANYM 1. Wprowadzenie 1.1. Wiadomości podstawowe W eksploatacji urządzeń elektroenergetycznych i ich elementów, a do takich zaliczamy także przewody i kable elektroenergetyczne oraz szyny sztywne, ważną rolę odgrywają zjawiska cieplne. Wiadomo, że prąd elektryczny płynący przez przewodnik powoduje jego nagrzewanie się wywołane stratami energii na rezystancji, zgodnie z prawem Joule a. Przy prądzie przemiennym występują jeszcze dodatkowe straty, wywołane wpływem zmiennych pól magnetycznych, które rosną wraz z częstotliwością. Ciepło powstające w przewodniku (Q p) powoduje wzrost jego temperatury (Q c), a częściowo zostaje oddane otoczeniu (Q k). Q p = Q c + Q k (1.1) Matematycznie ścisłe ujęcie rzeczywistego przebiegu zjawiska nagrzewania, nawet dla prostych występujących w praktyce przypadków, jest trudne. Dla wyciągnięcia praktycznych wniosków można jednak przyjąć pewne uproszczenia, ułatwiające znacznie analizę matematyczną zjawisk. Jeśli założyć, że rozpatrywany będzie przebieg nagrzewania się przewodu zbudowanego z jednorodnego materiału, o jednakowym przekroju na całej długości i jednakowych warunkach chłodzenia całej powierzchni, można bilans energetyczny określony zależnością (1.1) zapisać w postaci: pdt = s l c dθ + α S l (θ θ 0 ) dt (1.2) gdzie: P moc chwilowa tracona w przewodniku [W], t czas [s], l długość rozpatrywanego odcinka przewodu [m], s przekrój przewodu [m 2 ], S powierzchnia zewnętrzna przypadająca na jednostkę długości przewodu [m 2 m -1 ], c ciepło właściwe materiału przewodowego [J m -3 C], α współczynnik oddawania ciepła [W m -2 C], ϑ temperatura przewodu [ C], ϑ 0 temperatura otoczenia [ C]. W podanym bilansie energetycznym wyraz po lewej stronie równania (1.2) określa ilość ciepła wytworzonego przez przepływający przez przewód prąd. Z kolei pierwszy wyraz prawej strony określa ilość ciepła potrzebnego do podwyższenia temperatury żyły przewodu o dϑ, a drugi wyraz ilość ciepła oddanego przez przewód do otoczenia wskutek wymiany ciepła. Moc traconą w przewodniku można obliczyć według wzoru: P = k d I 2 ρ 1 (1.3) S w którym: k d współczynnik strat dodatkowych wywołany wpływem zmiennych pól magnetycznych; dla prądu przemiennego k d>1, dla prądu stałego k d=1, ρ rezystywność materiału przewodowego [Ω m],

2 I natężenie prądu [A] (przy prądzie przemiennym wartość skuteczna). Podstawiając zależność do wzoru (1.2) otrzymujemy: k d I 2 ρ l s dt = s l c dt + α S l (θ θ 0) dt Zakładając dalej, że wartości występujących w równaniu (1.4) wielkości k d, ρ, c, k są niezmienne i wprowadzając oznaczenie: (1.4) c s α S = (1.5) można po przekształceniu otrzymać równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu w postaci: dθ dt + 1 (θ θ 0) = 1 k d ρ α S s I2 Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe (1.6) przy uwzględnieniu warunku, iż temperatura początkowa przewodu w chwili t = 0 równa się θ = θ p, można obliczyć wzrost temperatury przewodu ponad temperaturę otoczenia θ θ 0 = k d ρ α S s I2 (1 e t ) + (θ p θ 0 ) e t Ponieważ wyrażenie (1.5) jest dodatnie ( > 0), człon e t z upływem czasu t dąży do zera, a zatem temperatura przewodu dąży do wartości ustalonej θ = θ u, co można zapisać w postaci: Oznaczając przyrost temperatury: θ u θ 0 = lim t (θ θ 0 ) = k d ρ α S s I2 θ θ 0 = τ, θ u θ 0 =, θ u θ 0 = τ p i podstawiając wyrażenie (1.8) do równania (1.7), otrzymuje się prostą postać równania krzywej nagrzewania dla dowolnej temperatury otoczenia: τ = (1 e t ) + τ p e t W przypadkach, w których przewód na początku obserwacji ma temperaturę otoczenia, tj. τ p = 0, zależność (1.9) uprasza się do postaci: 1.2. Cieplna stała czasowa τ = (1 e t ) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) Wielkość określona zależnością (1.5) posiada wymiar czasu i jest nazywana cieplną stałą czasową lub stałą czasową przebiegu nagrzewania. Jest ona proporcjonalna do jednostkowej pojemności (na jednostkę długości) cieplnej przewodu c s, a odwrotnie proporcjonalna do jednostkowej mocy (na jednostkę długości) oddawanej przez przewód do otoczenia k S przy różnicy temperatur 1 C. Widać stąd, iż wartość stałej nie zależy od rezystywności przewodu, ani od natężenia płynącego prądu. Jeśli założyć, że w czasie nagrzewania przewód nie oddaje ciepła do otoczenia (k = 0), równanie (1.4) można uprościć do postaci: Całka tego równania w granicach 0 do t i od ϑ 0 do ϑ jest: dθ dt = k d ρ s 2 c I2 θ θ 0 = k d ρ I 2 s 2 c t (1.11) (1.12)

3 Przyjmując, że: otrzymujemy równanie: t = = c b α S θ θ 0 = k d ρ α S s I2 = θ u θ 0 (1.13) Wynika z tego, iż cieplna stała czasowa jest równa czasowi, po którym przewód całkowicie cieplnie izolowany (k = 0) osiągnąłby temperaturę równą temperaturze ustalonej przy istnieniu wymiany ciepła z otoczeniem (k > 1) Krzywa nagrzewania Równanie (1.10) można przedstawić w postaci: Powyższą zależność funkcyjną τ τ = 1 e t (1.14) = f ( t ), charakteryzującą przebiegi nagrzewania się dowolnego przewodu o temperaturze początkowej równej temperaturze otoczenia, przedstawiono graficznie na rysunku 1.1. Z właściwości funkcji wykładniczej wynika, że po czasie t = (3 5), temperatura przewodu praktycznie ustala się, co widoczne jest także na rysunku 1.1. Rys.1.1. Charakterystyka nagrzewania przewodów obciążonych prądem o stałym natężeniu 1.4. Wyznaczanie wartości i τu Jeśli dany jest przebieg krzywej τ = f ( t ), to można graficznie wyznaczyć wartość cieplnej stałej czasowej, kreśląc styczną w dowolnym punkcie krzywej nagrzewania. Długość podstycznej mierzona na prostej τ = 1 jest równa cieplnej stałej czasowej (rys. 1.1). Wynika to z następującego rozumowania: pochodna funkcji opisanej równaniem (1.14) d dt ( τ ) = 1 t e (1.15)

4 jej wartość w dowolnym punkcie t = t 0 [ d dt ( τ )] t = t 0 równanie stycznej przechodzącej prze ten punkt wartość odciętej punktu przecięcia powyższej stycznej z prostą τ = 1 = 1 t 0 e ( t t 0 ) (1.16) τ (1 e t 0 ) = 1 0 e t ( t t 0 ) (1.17) τ = + t 0 odległość między powyższym punktem a punktem styczności liczona wzdłuż osi odciętych (1.18) Δ = + t 0 t 0 = (1.19) Najwygodniej jest kreślić styczną do krzywej nagrzewania w punkcie początkowym dla t = 0. Wartości stałych czasowych wahają się w dość szerokich granicach w zależności m.in. od typu i przekroju przewodu, tak że w niektórych przypadkach całkowity czas próby nagrzewania może być bardzo długi (t (3 5)). Przy bardzo długich czasach trwania próby nagrzewania aż do chwili ustalenia się temperatury, istnieje możliwość skrócenia czasu próby dla wyznaczenia temperatury ustalonej, a mianowicie na podstawie próby częściowej. W tym przypadku z pomiarów wyznacza się przebieg części krzywej nagrzewania, a następnie wykreślnie wyznacza się temperaturę ustaloną. Po zróżniczkowaniu równania (1.10) względem czasu otrzymuje się: dτ dt = t e Jednocześnie z przekształcenia równania (1.10) wynika, że: a stąd: i dalej: (1.20) e t = 1 τ (1.21) dτ dt = τ τ = dτ dt (1.22) (1.23) Otrzymane wyrażenie (1.23) określa przyrost temperatury jako funkcję liniową dτ. Prosta ta na osi odciętych (τ = 0) wyznacza odcinek dτ, na osi rzędnych zaś ( = 0 ) odcinek τ dt u, który jest szukanym przyrostem temperatury. Mając więc wyznaczoną doświadczalnie część krzywej nagrzewania (rys. 1.2) należy przeprowadzić w jednakowych odstępach czasu Δt kilka rzędnych i określić przyrosty (Δτ), (Δτ), itd. Jeżeli odcinki czasu są dostatecznie małe w porównaniu z czasem ustalania się temperatury przewodu, to można zauważyć, że: ( dτ dt ) = (dτ) 1 dt ; (dτ dt ) = (dτ) 2 dt itd. dt (1.24)

5 Rys.1.2. Sposób wyznaczania ustalonego przyrostu temperatury na podstawie wyników próby częściowej Mianowniki prawych części powyższych równań są jednakowe. Do zbudowania zatem odcinka prostej τ = f ( Δτ ) wystarczy na lewo od osi rzędnych odkładać bezpośrednio odcinki (Δτ), (Δτ) itp. (rys.1.2.). Δt Wyznaczona zostanie w ten sposób prosta, której przecięcie z osią rzędnych wyznacza wartość ustalonego przyrostu temperatury. W dotychczasowych rozważaniach zakładana była niezmienność parametrów k d, ρ, c, α występujących w równaniu bilansu energetycznego przewodu (1.4). Wskutek zmienności tych parametrów obserwowane w praktyce przebiegi nagrzewania się przewodów odbiegają nieco od przebiegu wykładniczego. W zakresie temperatur nieprzekraczających 120 C, odchylenia od przebiegu wykładniczego są nieznaczne dla przewodów gołych i szyn, a nieco większe dla przewodów izolowanych i kabli. Stwierdzone odchylenia można interpretować jako skutek zmienności wartości cieplnej stałej czasowej i stosować podane dotychczas zależności przy przyjęciu odpowiedniej wartości średniej śr. Średnią wartość cieplnej stałej czasowej śr można wyznaczyć przez zrzutowanie punktu krzywej nagrzewania odpowiadającego 0,95 na oś czasu. Odcięta tego punktu wynosi wtedy 3 (rys. 1.1) Stygnięcie przewodnika Jeśli przerwać obwód prądu przepływającego przez przewodnik, to będzie on stygnąć i temperatura jego będzie spadać od wartości początkowej ϑ p do temperatury otoczenia ϑ o. Równanie krzywej stygnięcia otrzymuje się przez wstawienie do równania (1.9) wartości = 0 (gdyż I 2, a I = 0): τ = τ p e t (1.25) Jeśli przewód był nagrzany do temperatury ustalonej, to wtedy τ p= i można zapisać: τ = e t (1.26) Wykres tej funkcji w postaci:

6 Przedstawiono na rysunku 1.3. τ = e t (1.27) Rys.1.3. Charakterystyka stygnięcia przewodów Przecięcie się stycznej do krzywej stygnięcia z osią odciętych τ = 0 wyznacz odcinek (podstyczną) równą cieplnej stałej czasowej. Najwyższe (graniczne) temperatury nagrzewania się przewodów są ograniczone ze względu na szkodliwe działanie wysokiej temperatury na: wytrzymałość mechaniczną przewodów, stan izolacji, połączenia stykowe, otoczenie. Powyższe czynniki oraz doświadczenia eksploatacyjne decydują o wartościach temperatur granicznych (ϑ g) podawanych w normach Obciążalność prądowa długotrwała Obciążalnością prądową długotrwałą (I dd) nazywana jest skuteczna wartość prądu (przy prądzie stałym wartość prądu) o niezmiennym natężeniu, który przepływając prze` przewód w czasie nieograniczenie długim powoduje podwyższenie się temperatury przewodu (lub jego żyły) do wartości granicznej dopuszczalnej długotrwale. Obciążalność długotrwałą przewodów wyznacza się dla normalnych obliczeniowych temperatur otoczenia. Biorąc pod uwagę zależność (1.8) i zakładając I=I dd oraz ϑ u-ϑ o=τ dd, otrzymuje się wzór: I dd = S τ dd α s k d ρ (1.28) Z wzoru (1.28) wynika, że obciążalność prądowa zależy między innymi od warunków chłodzenia (α, S), które to zależą głównie od sposobu ułożenia przewodów.

7 Wartość natężenia prądu dopuszczalnego długotrwale dla danego przewodu można również wyznaczyć w sposób doświadczalny, określając ustalony przyrost temperatury () podczas obciążenia przewodu dowolnym prądem o stałym natężeniu I. Wówczas zgodnie z wzorami (1.8) i (1.28) obciążalność prądowa długotrwała będzie wynosić: gdzie: I dd = I τ dd I wartość natężenia prądu podczas próby nagrzewnia [A], ϑ gd temperatura dopuszczalna długotrwale [ C], ϑ o obliczeniowa temperatura otoczenia [ C], = I θ gd θ o θ u θ or ϑ u ustalona wartość temperatury przewodu obciążonego prądem I podczas próby nagrzewania [ C], ϑ or rzeczywista temperatura otoczenia w czasie próby nagrzewania [ C]. (1.29) 1.7. Rodzaje obciążeń W dotychczasowych rozważaniach analizowany był przebieg zjawiska nagrzewania się przy założeniu, że przez przewód płynie przez cały czas prąd przemienny o niezmiennej wartości skutecznej lub prąd stały o niezmiennym natężeniu. akie długotrwałe obciążenia występują w praktyce stosunkowo rzadko, stanowią one jednak bardzo dogodną podstawę do ustalenia obciążalności prądowej przewodów i innych urządzeń elektrycznych. Obciążenie utrzymujące się przez dłuższy czas niż (3 5) jest praktycznie długotrwałym, gdyż temperatura przewodu osiąga wartość niewiele różniącą się od wartości ustalonej (rys. 1.1). Zazwyczaj jednak obciążenia przewodów ulegają zmianie w wyniku zmian w charakterze pracy odbiorników. Spośród wielu możliwych zmiennych przebiegów obciążeń można wyróżnić jako najprostsze takie, przy których obciążenie o niezmiennej wartości jest przerywane okresami bezprądowymi. Rozróżnia się przy tym: pracę dorywczą tj. pracę urządzenia elektrycznego (przepływ prądu), przy której okres trwania obciążenia o niezmiennej wartości jest ograniczony przerwami tak długimi, że temperatura przewodu osiąga temperaturę otoczenia, pracę przerywaną tj. pracę (przepływ prądu), przy której występuje dowolnie długi szereg okresów obciążenia o niezmiennej wartości oraz przerw w obciążeniu. Podkreślić należy przy tym, że okresy obciążenia przy pracy dorywczej i przerywanej są tak krótkie, że temperatura przewodu nie osiąga wartości ustalonej (rys. 1.4). Ponieważ w obu przypadkach można dopuścić nagrzewanie się przewodu do temperatury dopuszczalnej przy pracy długotrwałej (τ dd), wartość obciążenia może być większa.

8 Rys.1.4. Krzywe zmian temperatury przewodu przy obciążeniu długotrwałym (1), dorywczym (2) i przerywanym (3); τ dd ustalony przyrost temperatury przy obciążeniu prądem I dd, p ustalony przyrost temperatury przy obciążeniu prądem I p 1.8. Obciążenie przerywane Największą dopuszczalną wartość natężenia prądu I p przy pracy przerywanej o równych cyklach pracy i stałych wartościach prądu obciążenia można wyznaczyć w sposób następujący, wprowadzając do rozważań następujące wielkości (rys. 1.5): t 1 czas pracy (przepływu prądu), t 1 czas postoju (bezprądowy), α p względny czas pracy α p = t 1 t 1 +t 2. Rys.1.5. Krzywa zmian temperatury przewodu przy obciążeniu przerywanym

9 Korzystając z równania (1.9), przy założeniu, że przewód na początku obserwacji ma temperaturę otoczenia tzn. τ p = 0 dla t = 0 oraz, że p jest ustaloną wartością przyrostu temperatury w przypadku gdyby prąd I p płynął trawle, można przebiegi nagrzewania przewodu przy pracy przerywanej (rys. 1.5) opisać jak poniżej: τ 1 = p (1 e t 1 (1.30) ) τ 1 = τ 1 e t 2 τ 2 = p (1 e t 1 )+τ 1 e t 1 = p (1 e t 1 )+τ 1 e (t 1+t2) τ 2 = τ 2 e t 2 τ 3 = p (1 e t 1 )+τ 2 e t 1 = p (1 e t 1 )+τ 2 e (t 1+t2) τ m = p (1 e t 1 )+τ m 1 e (t 1+t2) (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) (1.35) W stanie ustalonym τ m = τ m-1, a stąd: τ m [1 e (t 1+t 2 ) ] = p (1 e t 1 ) (1.36) Ponieważ jednak ustalony przyrost temperatury τ m nie może przekroczyć dopuszczalnego przyrostu temperatury przy pracy długotrwałej τ dd więc τ m= τ dd. Mając jednocześnie na uwadze, że w myśl wzoru (1.8): oraz można napisać iż: τ m p = τ dd p = Stąd szukana wartość natężenia prądu będzie równa: τ dd = k d ρ α S s I dd 2 (1.37) u = k d ρ α S s I u 2 (1.38) 1 t 1 e 1 e (t 1+t 2 ) I p = I dd p = I τ dd 1 (t 1 +t 2 ) e dd 1 e t 1 = I dd 2 I p 2 (1.39) (1.40) Wprowadzając pojęcie względnego czasu pracy α p wzór (1.40) przyjmuje postać: t 1 α p I p = I dd 1 e 1 e t 1 (1.41)

10 2. Przebieg ćwiczenia a) Wykorzystując wyznaczone w ćwiczeniu Badanie przebiegów nagrzewania się i stygnięcia przewodów przy obciążeniu długotrwałym wartości obciążenia dopuszczalnego długotrwale Idd dla badanego przewodu oraz średnią wartość cieplnej stałej czasowej śr, a także zakładając określone wartości czasu pracy t 1 i czasu bezprądowego t 2 obliczyć zgodnie z wzorem (1.41) dopuszczalną wartość natężenia prądu przy pracy przerywanej I p. b) Następnie ustawić wyliczoną dopuszczalną wartość natężenia prądu pracy przerywanej I p i przeprowadzić pomiary temperatury dla czasów t 1 i t 2 podanych przez Prowadzącego. c) Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 2.1 ab.2.1. Wyniki pomiarów l.p. t t 1 t 2 ϑ τ s s s C C itd. itd. itd. itd. itd. itd. 3. Opracowanie wyników pomiarów a) Na podstawie otrzymanych wyników wykreślić krzywą zmian temperatury badanego przewodu ϑ=f(t) względnie τ=f(t) podczas obciążenia przerywanego. b) Wyznaczyć teoretycznie przebieg zmian temperatury przewodu badanego i porównać go z krzywą rzeczywistą.

11