Przedmioty specjalistyczne do wyboru. oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia na rok akademicki 2012/2013

Transkrypt

1 Przedmioty specjalistyczne do wyboru oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia na rok akademicki 2012/2013

2 Spis treści 1. EKONOMETRIA EKONOMIA MATEMATYCZNA ELEMENTY TEORII GRAFÓW MATEMATYKA RYNKÓW FINANSOWYCH MODELOWANIE GIER ROZRYWKOWYCH MODELOWANIE MATEMATYCZNE W BIOLOGII MODELE SKOŃCZONYCH RYNKÓW FINANSOWYCH RYZYKO W UBEZPIECZENIACH STATYSTYKA FINANSOWA SZACOWANIE RYZYKA UKŁADY DYNAMICZNE NA MIARACH WSTĘP DO MATEMATYKI FINANSÓW WSTĘP DO MATEMATYKI UBEZPIECZEŃ WSTĘP DO TEORII OPTYMALIZACJI WSTĘP DO UKŁADÓW DYNAMICZNYCH WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII OPTYMALIZACJI ZASTOSOWANIA MATEMATYKI W FIZYCE

3 1. EKONOMETRIA (EKO-IS-07) Specjalność F+M Poziom 6 Status W 11.2 Modelowanie ekonometryczne: pojęcie modelu ekonometrycznego, klasyfikacja zmiennych, klasyfikacja modeli. Jednorównaniowy model ekonometryczny: dobór zmiennych objaśniających: metoda Hellwiga, estymacja metodą najmniejszych kwadratów (MNK), miary dopasowania, nieliniowy model ekonometryczny, modele ze zmiennymi zerojedynkowymi. Weryfikacja modelu ekonometrycznego: istotność zmiennych, liniowość modelu, autokorelacja składników losowych, heteroskedastyczność składników losowych. Zasady prognozowania ekonometrycznego: założenia i reguły prognozowania, prognoza nieobciążona z modelu jednorównaniowego, ex ante oraz ex post błędy prognozy. Wstęp do prognozowania na podstawie szeregów czasowych: stacjonarność szeregów czasowych, test Dickeya Fullera, szeregi ARIMA, prognozowanie adaptacyjne: metoda wyrównywania wykładniczego, metodologia Boxa Jenkinsa. poznanie i zrozumienie metod badań prawidłowości społeczno-ekonomicznych, umiejętność estymowania parametrów liniowej funkcji regresji, weryfikowanie zbudowanych modeli ekonometrycznych na podstawie testów statystycznych, poznanie własności szeregów czasowych, umiejętność prognozowania szeregów czasowych metodami wygładzania wykładniczego, średnich ruchomych, ARIMA. 1. K. Kukuła (red.), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN, A. Welfe, Ekonometria, PWE, wyd. 3, A. Welfe (red.), Ekonometria. Zbiór zadań, PWE, wyd. 2, W.W. Charemza, Deadman D.F., Nowa ekonometria, PWE, W.H. Greene, Econometric Analysis, Prentice Hall, C. Domański, Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, dr Sebastian Sitarz. 2. EKONOMIA MATEMATYCZNA (EMT-IS-07) Specjalność F Poziom 5 Status W 11.2 Teoria popytu: relacja preferencji konsumenta, funkcja użyteczności, funkcja popytu. Teoria produkcji: przestrzeń produkcyjna, funkcja produkcji, przedsiębiorstwo w warunkach monopolu. Równowaga konkurencyjna: model rynku Arrowa-Hurwicza, równowaga ogólna, model Walrasa-Patinkina, model gospodarki konkurencyjnej Arrowa-Debrego-McKenziego, równowaga konkurencyjna i optimum Pareta. poznanie i zrozumienie sposobów matematycznego modelowania zjawisk ekonomicznych; umiejętność rozwiązywania zadań poszukujących optymalnego koszyka konsumenta; umiejętność rozwiązywania zadań poszukujących optymalnego planu produkcji; umiejętność wyznaczanie cen równowagi w różnych modelach równowagi. 1. A.G. Chiang, Podstawy Ekonomii Matematycznej, PWN, Warszawa, E.T. Dowling, Introduction to Mathematical Economics, McGraw-Hill Professional, E. Panek, Elementy ekonomii matematycznej. Statyka, PWN, Warszawa, 1993.

4 4. E. Panek, Elementy ekonomii matematycznej. Równowaga i wzrost, PWN, Warszaw, H.R. Varian, Mikroekonomia, PWN, Warszawa, prof. UŚ dr hab. Andrzej Nowak. 3. ELEMENTY TEORII GRAFÓW (ETG-IS-11) Specjalność F+M Poziom 4 Status W Wymagania wstępne: algebra liniowa, wstęp do matematyki Głównym celem wykładu jest pokazanie licznych zastosowań teorii grafów. Wykład zawiera klasyczne zagadnienia teorii grafów i ich zastosowania do rozmaitych problemów z zakresu zarządzania i ekonomii. Uczestnik kursu pozna podstawowe technikami stosowane w teorii grafów. Nabędzie umiejętność opisu rozmaitych problemów z zakresu zarządzania i ekonomii w języku tej teorii. Będzie mógł stosować poznane algorytmy i techniki do rozwiązywania opisanych problemów. 1. C. Berge, Graphs, Nort-Holland, J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, American Elsevier, G. Chartrand, P. Zhang, Chromatic Graph Theory, CRC Press, New York, J. Clark, D.A. Holton, A First Look at Graph Theory, World Scientific Publishing, R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag Heilderberg, New York, F. Harary, Graph Theory, Addison-Wesley, G. Hartrand, Introductory Graph Theory, Dover, O. Ore, Graph and Their Uses, New Mathematical Library 10, Mathematical Association od America, R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa, R.J. Wilson, J.J. Watkins, Graphs: An Introductory Approach, Wiley, dr hab. Janusz Morawiec. 4. MATEMATYKA RYNKÓW FINANSOWYCH (MRF-IS-11) Specjalność F Poziom 6 Status W Wprowadzenie do środowiska obliczeniowego R. Rynki finansowe. Teoria portfela. Instrumenty pochodne: swapy, futures, opcje. Wzór Blacka-Scholesa. Strategie opcyjne. Arbitraż. Model dwumianowy. Przedmiot ma na celu zaznajomienie studentów z współczesnym stanem rynków finansowych, występujących na nich instrumentów oraz podstawowymi metodami matematycznymi służącymi do ich modelowania. Na zajęciach student powinien posiąść umiejętność rozwiązywania praktycznych problemów z pomocą arkusza kalkulacyjnego i środowiska obliczeniowego R.

5 1. P. Jaworski, J. Micał, Modelowanie matematyczne w finansach i ubezpieczeniach, Warszawa, Poltext, J. Czekaj, Rynki, instrumenty i instytucje finansowe, PWN, Warszawa, S. R. Pliska, Wprowadzenie do matematyki finansowej, modele z czasem dyskretnym, WNT, J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, WIG-Press, Warszawa, A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, P. Biecek, Przewodnik po pakiecie R, GiS, Dokumentacja on-line środowiska R: dr Rafał Kucharski. 5. MODELOWANIE GIER ROZRYWKOWYCH (MGR-IS-11) Specjalność M Poziom 6 Status W Wymagania wstępne: algebra liniowa, elementarny rachunek prawdopodobieństwa Wprowadzenie i rozwinięcie pojęć teorii gier. Modelowanie matematyczne gier rozrywkowych w zakresie niezbędnym (unikanie skomplikowanych obliczeń) do racjonalnego podejmowania decyzji. Rozwiązywanie zadań brydżowych, w tym podejmowanie decyzji w oparciu o rachunek prawdopodobieństwa. Własności symboli Newtona na przykładzie dowodu postulatu Bertranda. Algorytmy stosowane do zadań o uzupełnianiu kwadratów łacińskich, w rozwiązywaniu sudoku oraz kolorowaniu grafów (problem Dinitza). Modelowanie zadań rozrywkowych przy pomocy teorii grafów. Zapoznanie się z matematycznymi problemami występującymi w grach rozrywkowych. 1. M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z Ksiegi, PWN, J. Mioduszewski, Wykłady z topologii Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydanictwo Uniwersytetu Śląskiego Problemy brydżowe na podstawie miesięcznika Brydż. 4. Problemy brydżowe na podstawie miesięcznika Świat brydża. 5. Opracowania z różnych stron internetowych. prof. dr hab. Szymon Plewik. 6. MODELOWANIE MATEMATYCZNE W BIOLOGII (MMB-IS-11) Specjalność M Poziom 6 Status W Wstęp Istota modelowania biomatematycznego; zagadnienie realności i sensowności modelu; zakres dynamiki populacyjnej; pierwsze modele populacyjne: Fibonacciego, Malthusa, Verhulsta. Sezonowość w dynamice populacyjnej, równanie bilansu, populacja zamknięta i otwarta. Modele kilkupopulacyjne Współzawodnictwo gatunków. Podstawowy model Volterry drapieżca-ofiara: własności średnie rozwiązań i ich implikacje ekologiczne. Model drapiezca-ofiara i ograniczone zasoby. Model Kołmogorowa: asymptotyka rozwiązań, istnienie cyklu granicznego. Modele epidemiologiczne: model Kermacka i McKendricka, przebieg epidemii. Proste modele strukturalne Modele generacyjne i z czasem ciągłym. Przykłady modeli z genetyki z nieskończona liczbą podpopulacji: model ewolucji genomu i jego asymptotyka. Celem wykładu jest:

6 Zapoznanie studentów z zasadami modelowania, Przedstawienie podstawowych modeli dynamiki populacyjnej, z aktywnym udziałem studentów w ich tworzeniu, Wprowadzenie metod matematycznych potrzebnych do ich badania. W badaniu nawet elementarnych modeli populacyjnych wykorzystuje się dość zaawansowane metody matematyczne zwykle nieobecne w podstawowych wykładach. W szczególności w naszym wykładzie będziemy korzystać z metod jakościowych teorii równań różniczkowych zwyczajnych takich jak: klasyfikacja punktów równowagi, nierówności różniczkowe, funkcja Lapunowa, metoda Poincarégo-Bendixsona dowodu istnienia rozwiązań okresowych, bifurkacja Hopfa. Również używamy pewnych metod z analizy funkcjonalnej: teorię półgrup operatorów liniowych w tym operatorów Markowa. Wykład będzie miał kontynuację na II stopniu studiów, gdzie będą omawiane modele związane z równaniami z z opóźnionym argumentem, równaniami różniczkowymi cząstkowymi oraz modele probabilistyczne i stochastyczne. Efektem kształcenia powinna być umiejętność samodzielnego budowania prostych modeli matematycznych dynamiki populacyjnej i ich analiza. Student poznaje również metody jakościowe teorii równań różniczkowych zwyczajnych i elementy teorii półgrup operatorów przydatne w wielu innych zagadnieniach teoretycznych i praktycznych. 1. W.T. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, A. Pelczar, Wstęp do teorii równań różniczkowych. Cześć II, PWN, Warszawa, R. Rudnicki, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa, R. Rudnicki, Modele i metody biologii matematycznej, preprint. 5. R. Rudnickim, K. Pichor, M. Tyran-Kaminska, Markov semigroups and their applications, in Dynamics of Dissipation, Lecture Notes in Physics, vol. 597, Springer, Berlin, F.M. Scudo and J.R. Ziegler (eds.) The Golden Age of Theoretical Ecology: , Lecture Notes in Biomathematics 22, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, H.R. Thieme, Mathematics in Population Biology, Princeton Series in Theoretical and Computational Biology, Princeton University Press, Princeton, G.F. Webb, Theory of Nonlinear Age-Dependent Population Dynamics, Marcel Dekker, prof. dr hab. Ryszard Rudnicki. 7. MODELE SKOŃCZONYCH RYNKÓW FINANSOWYCH (MRF-IS-12) Specjalność F+M Poziom 5 Status W Ogólny model rynku skończonego, strategia dominująca, prawo jednej ceny, arbitraż, rynki zupełne i niezupełne. Równoważna miara martyngałowa, fundamentalne twierdzenia matematyki finansowej. Interpretacja geometryczna arbitrażu i równoważnej miary martyngałowej. Lemat Farkasa, konstrukcja równoważnej miary martyngałowej w modelu jednookresowym. Podstawowe instrumenty pochodne. Wycena i zabezpieczenie instrumentów finansowych. Problem optymalnej konsumpcji i inwestycji. Model dwumianowy.

7 znajomość podstawowych instrumentów pochodnych i zasad wyceny arbitrażowej instrumentów finansowych, umiejętność budowania i analizy modeli w przypadku skończonej przestrzeni probabilistycznej (przestrzeni stanów). 1. M. Capiński, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer-Verlag, R.J. Elliott, P.E. Kopp, Mathematics of Financial Markets, Springer, J. Jakubowski, Modelowanie rynków finansowych, SCRIPT, P. Kliber, Metody ograniczania ryzyka na rynku instrumentów pochodnych, Wydawnictwo AE w Poznaniu, M. Musiela, M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer, S.R. Pliska, Wprowadzenie do matematyki finansowej, modele z czasem dyskretnym, ( Introduction to Mathematical Finance. Discrete Time Models ), WNT, M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN S.E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance I. The Binomial Asset Pricing Model, Springer, prace M. Fritelli. dr Maria Górnioczek. 8. RYZYKO W UBEZPIECZENIACH (RWU-IS-09) Specjalność F Poziom 6 Status W 11.3 ryzyko a prawdopodobieństwo. Miary ryzyka. Problem kalkulacji składki. Charakterystyka ryzyka w ubezpieczeniach typu non-life. Podstawowe rozkłady wielkości szkód. Funkcja generująca momenty, charakterystyki rozkładów. Rozkłady liczby szkód: Poissona, dwumianowy, ujemny dwumianowy. Model ryzyka indywidualnego. Sploty rozkładów. Rozkłady mieszane. Model ryzyka łącznego. Rozkłady zagregowanej wartości szkód i ich charakterystyki. Metody wyznaczania rozkładów złożonych: wzór Panjera, aproksymacje. Proces ryzyka. Proces Poissona i złożony proces Poissona. Klasyczne modele nadwyżki zakładu ubezpieczeń z czasem ciągłym i dyskretnym. Elementy teorii ruiny. Poznanie podstawowych pojęć i metod probabilistycznych stosowanych w ubezpieczeniach. 1. R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, New York, T. Mikosch, Non-life Insurance Mathematics, Springer Verlag,Berlin, T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, J. Teugels,Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec,Metody aktuarialne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, W. Otto, Ubezpieczenia majątkowe. Część I: Teoria Ryzyka, seria Matematyka w Ubezpieczeniach, WNT, Warszawa, dr hab. Marta Tyran-Kamińska.

8 9. STATYSTYKA FINANSOWA (SFN-IS-07) Specjalność F Poziom 6 Status W Dane finansowe - statystyczne metody analizy. 2. Modele rynków finansowych. 3. Statystyczne modelowanie wybranych procesów finansowych. 4. Finansowe szeregi czasowe - modele liniowe i nieliniowe. 5. Testy służące identyfikacji szeregów czasowych. 6. Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych wybranych procesów finansowych. 7. Analiza portfelowa - stopa zwrotu, ryzyko inwestycji, portfel papierów wartościowych. 8. Rynek finansowy model Markowitza. 9. Statystyczna analiza ryzyka portfela. 10. Metody optymalizacji portfela. 11. Portfel Markowitza. 12. Miary ryzyka rynkowego. 13. Dynamiczne modelowanie wybranych wskaźników finansowych rynku za pomocą różnych modeli autoregresyjnych. 14. Wykorzystanie pakietów statystycznych do analizy aktualnych procesów finansowych. Zapoznanie studentów z najnowszymi metodami statystyki finansowej oraz nabycie umiejętności stosowania jej w rozwiązywaniu aktualnych problemów na rynku finansowym. Doskonalenie znajomości komputerowych pakietów statystycznych za pomocą których dokonywane są statystyczne analizy finansowe. 1. E. Nowak, Matematyka i statystyka finansowa, Warszawa, A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, PWN, Warszawa, K. Jajuga, T. Jajuga, Jak inwestować w papiery wartościowe, PWN, Warszawa, W. Tarczyński, Rynki kapitałowe, Warszawa, E. Nowak, Prognozowanie gospodarcze, Warszawa, K. Jajuga, Metody ekonometryczne i statystyczne w analizie rynku kapitałowego, PWE, Wrocław, M. Jackson, M. Staunton, Zaawansowane modele finansowe z wykorzystaniem Excela i VBA, Gliwice, Wydawnictwo Helion, Cz. Domański, K. Pruska, Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, Warszawa, dr Irena Wistuba. 10. SZACOWANIE RYZYKA (SZR-IS-09) Specjalność F Poziom 6 Status W 11.2

9 Metody statystyczne ułatwiające podejmowanie decyzji; Analiza relacji pomiędzy zjawiskami; Zależności przyczynowo skutkowe między zdarzeniami, metody ich wykrywania; Rozsądne decyzje w grach hazardowych; Podejmowanie decyzji zgodnie z oszacowaniami prawdopodobieństwa wydarzeń; Jak grać, aby nie przegrać zbyt wiele oraz jak zwiększać szansę na wygraną; Weryfikowanie oraz testowanie (ćwiczenia) zasad poprawnego myślenia. Zapoznanie się z metodami matematycznymi stosowanymi w cytowanej literaturze. 1. G. Gigerrenzer, How to know when numbers deceive you, Simon and Schuster, New York, B. Frey, Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds, Tłumaczenie: D. Biskup, T. Misiorek 75 sposobów na statystykę. Jak zmierzyć świat i wygrać z prawdopodobieństwem. prof. dr hab. Szymon Plewik. 11. UKŁADY DYNAMICZNE NA MIARACH (UDM-IS-10) Specjalność M Poziom 5 Status W L. godz. tyg. 2 W+ 2 L L. pkt. 6 Socr. Code Miary: podstawowe pojęcia i fakty. Twierdzenie Riesza-Skorochoda, słaba zbieżność ciągów miar, Twierdzenie Aleksandrowa, metryki w przestrzeni miar. 2. Operatory Markowa: podstawowe pojęcia i ich własności, operatory Fellera, operatory przejścia (Ciąg deterministyczny z losowym warunkiem początkowym, Układ z niezależnymi zaburzeniami losowymi, Iterowany układ funkcyjny z prawdopodobieństwami zależnymi od położenia). 3. Stabilność operatorów Markowa: twierdzenia o istnieniu miary niezmienniczej i asymptotycznej stabilności operatorów Markowa na miarach. 4. Zastosowania: Iterowane układy funkcyjne, Równania z zaburzeniami poissonowskimi. Znajomość teorii operatorów Markowa na miarach. Poznanie warunków gwarantujących istnienie regularnych operatorów Markowa oraz związków pomiędzy operatorem Markowa, operatorem do niego dualnym i funkcja przejścia. Umiejętność wyznaczenia operatora przejścia. Zapoznanie się z kryteriami asymptotycznej stabilności operatorów Markowa. 1. M.F. Barnsley, S.G. Demko, J.H. Elton i J.S. Geronimo, Invariant measures arising from iterated function systems with place dependent probabilities, Ann. Inst. H. Poincaré 24 (1988), A. Lasota, Układy dynamiczne na miarach, Wydawnictwo Uniwersytutu Śląskiego(2008). 3. A. Lasota, M. C. Mackey, Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics, Springer, A. Lasota, J. Myjak, Markov operators and fractals, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 45 (1997), A. Lasota, J. A. Yorke, Lower bound technique for Markov operators and iterated function systems, Random Comput. Dynam ,

10 6. T. Szarek, Invariant measures for nonexpansive Markov operators on Polish spaces,dissertationes Math R. Zaharopol, Invariant Probabilities of Markov-Feller operators and their supports, Birkhäuser Verlag, dr hab. Katarzyna Horbacz. 12. WSTĘP DO MATEMATYKI FINANSÓW (WMF-IS-07) Specjalność F Poziom 4 Status W 11.2 Wartość pieniądza w czasie, modele akumulacji kapitału. Dyskonto matematyczne i dyskonto handlowe. Modele spłaty długów. Renty kapitałowe. Wycena papierów wartościowych i ocena projektów inwestycyjnych. Schematy amortyzacji. Elementy analizy portfelowej. Umiejętność obliczania wartości kapitału, opanowanie rachunku rent, układanie planu spłaty długu, wyznaczanie mierników oceny inwestycji finansowej, znajomość podstawowego modelu wyceny instrumentów finansowych. 1. M. Capiński, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer-Verlag, M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN, Warszawa, E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa-Kraków, M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa, A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa, prof. dr hab. Maciej Sablik. 13. WSTĘP DO MATEMATYKI UBEZPIECZEŃ (WMU-IS-07) Specjalność F Poziom 5 Status W 11.2 Elementy modelu demograficznego, tablice trwania życia. Ubezpieczenia na życie i dożycie. Renty życiowe. Składki i rezerwy składek netto. Składki i rezerwy brutto. Ubezpieczenia grupowe. Zastosowanie równań funkcyjnych w zagadnieniach modelu demograficznego. Znajomość tablic trwania życia, obliczanie składek jednorazowych dla różnych ubezpieczeń na życie, opanowanie rachunku rent życiowych, obliczanie składek i rezerw netto, opanowanie podstawowych wariantów ubezpieczeń grupowych. 1. N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Itasca, Ill., H. U. Gerber, Life insurance mathematics, Springer Verlag, M. Skałba, Matematyka w ubezpieczeniach, WNT, A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, 1998.

11 prof. dr hab. Maciej Sablik. 14. WSTĘP DO TEORII OPTYMALIZACJI (WTO-IS-09) Specjalność F+M Poziom 5 Status W Klasyfikacja i przykłady zadań optymalizacyjnych. Programowanie liniowe: metoda simpleks, teoria dualności, wybrane zagadnienia postoptymalizacyjne: analiza wrażliwości, parametryczne programowanie liniowe. Zagadnienie transportowe. Programowanie wypukłe, twierdzenie Kuhna-Tuckera. Elementy teorii gier. Podstawowe metody numeryczne optymalizacji. graficzne ilustrowanie zadań optymalizacyjnych w R 2. rozwiązywanie zadań optymalizacji liniowej metodą simpleks analizowanie wrażliwości rozwiązań optymalnych zadań programowania liniowego rozwiązywanie zadań optymalizacji wypukłej bez ograniczeń i z ograniczeniami rozwiązywanie metodami iteracyjnymi wybranych zadań optymalizacji nieliniowej 1. W. Grabowski, Programowanie matematyczne, PWE, W. Findeisen, J. Szymanowski, A. Wierzbicki, Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji, PWN, B. Martos, Programowanie nieliniowe: teoria i metody, PWN, W.I. Zangwill, Programowanie nieliniowe, WNT, dr Sebastian Sitarz. 15. WSTĘP DO UKŁADÓW DYNAMICZNYCH (WUD-IS-09) Specjalność M Poziom 4 Status W Podstawowe pojęcia układów dynamicznych z czasem dyskretnym i ciągłym. Przykłady wprowadzające: modele wzrostu, układy ze sprzężeniem zwrotnym, równanie Newtona, reakcje chemiczne i biochemiczne, równanie Lorenza (efekt motyla). Układy liniowe. Portrety fazowe na płaszczyźnie. Klasyfikacja i stabilność punktów stałych. Układy nieliniowe i linearyzacja. Orbity okresowe i cykle graniczne. Odwzorowanie Poincarégo. Twierdzenie Poincarégo-Bendixsona. Elementy teorii bifurkacji. Wykładniki Lapunowa. Wrażliwość na warunki początkowe. Elementy teorii chaosu. Poznanie pojęć teorii układów dynamicznych i jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Student powinien nabyć umiejętność analizowania podstawowych układów dynamicznych wykorzystywanych w przybliżonym modelowaniu rzeczywistości. 1. K.T Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke, Chaos. An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in Mathematical Sciences, Springer Verlag, New York, 1997.

12 2. A. Beuter, L. Glass, M.C. Mackey, M.S. Titcombe (Eds), Nonlinear Dynamics in Physiology and Medicine, Interdisciplinary Applied Mathematics 25, Springer-Verlag, New York, B. Hasselblatt, A. Katok, A first Course in Dynamics, Cambridge University Press, S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Addison-Wesley, V.I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, J. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, E. Ott, Chaos w układach dynamicznych, WNT, Warszawa A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa, dr hab. Marta Tyran-Kamińska. 16. WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII OPTYMALIZACJI (WZO-IS-10) Specjalność F+M Poziom 6 Status W Podstawowe własności zbiorów i funkcji wypukłych. Programowanie nieliniowe; warunki Kuhna-Tuckera. Programowanie dynamiczne. Wstęp do teorii gier: gry dwuosobowe o sumie zerowej, gry n-osobowe niekooperacyjne, punkt równowagi w sensie Nasha, gry kooperacyjne, zastosowania ekonomiczne. rozwiązywanie zadań programowania wypukłego, zapoznanie się z metodą programowania dynamicznego, rozwiązywanie gier macierzowych, zapoznanie się z zastosowaniami teorii gier w ekonomii matematycznej. 1. W. Grabowski, Programowanie matematyczne, PWE, J. Franklin, Methods of Mathematical Economics, Springer, prof. UŚ dr hab. Andrzej Nowak. 17. ZASTOSOWANIA MATEMATYKI W FIZYCE (ZMF-IS-11) Specjalność M Poziom 5 Status W Wykład składa się z czterech części: 1) Uzupełnienia z równań różniczkowych 6h: analiza równania drgań; metoda małego parametru; równanie autonomiczne; twierdzenie Liouville a. 2) Elementy mechaniki Newtona 8h: zasady mechaniki; układy jednowymiarowe; praca pola sił; pole centralne; ogólne prawa ruchu; ruch w nieinercjalnym układzie współrzędnych. 3) Elementy rachunku wariacyjnego i mechanika Lagrange a 8h: ekstrema funkcjonałów; ekstremale funkcjonału działania; przykłady; związek rachunku wariacyjnego z mechanika Newtona; równania Hamiltona; nawiasy Poissona; całki pierwsze. 4) Wybrane równania cząstkowe fizyki 8h: Potencjał grawitacyjny i równania Poissona i Laplace a; równania cząstkowe pierwszego rzędu w tym równanie ciągłości; równanie struny. Celem wykładu jest: 1) przedstawienie podstawowych zagadnień mechaniki teoretycznej, 2) wprowadzenie metod matematycznych potrzebnych do ich badania.

13 Efektem kształcenia powinna być umiejętność stosowania narzędzi matematycznych do badania zagadnień fizycznych (głównie z mechaniki). Student poznaje również metody jakościowe teorii równań różniczkowych zwyczajnych i elementy rachunku wariacyjnego. 1. W.T. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, W.T. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa, I.M. Gelfand i S.W. Fomin, Rachunek wariacyjny, PWN, Warszawa, J. Govaerts, A Pedestrian Introduction to the Mathematical Concepts of Quantum Physics, in: Proceedings of the Fifth International Workshop on Contemporary Problems in Mathematical Physics, Cotonou, Republic of Benin 27 October 2 November 2007, J. Govaerts and M. N. Hounkonnou (eds), University of Abomey-Calavi, Benin Dostępna wersja elektroniczna cache/arxiv/pdf/0812/ v1.pdf 5. R. Rudnicki, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa, R. Rudnicki, Zastosowania w fizyce. Treść wykładu opracowana w postaci skryptu do dyspozycji studentów w postaci pliku pdf. prof. dr hab. Ryszard Rudnicki.