Symulacje komputerowe w fizyce Autor: Maciej Matyka ISBN: Format: B5, stron: 194 Zawiera CD-ROM

Transkrypt

1 IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWO CIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE DODAJ DO KOSZYKA FRAGMENTY KSI EK ONLINE Symulacje komputeowe w fizyce Auto: Maciej Matyka ISBN: Fomat: B5, ston: 194 Zawiea CD-ROM Ksi¹ ka pezentuje algoytmy umozliwiaj¹ce komputeowe symulowanie ozmaitych pocesów fizycznych. Po pzedstawieniu metody ó nicowej ozwi¹zywania zwyczajnych ównañ ó niczkowych, Auto pokazuje, w jaki sposób zastosowæ j¹ pzy ozwi¹zywaniu konketnych poblemów fizycznych. Opisano miêdzy innymi: Symulowanie zjawisk mechaniki klasycznej w opaciu o pawa dynamiki Newtona Rozwi¹zanie numeyczne ównania falowego Symulacje dynamiki cieczy nie ci liwej Rozwi¹zanie numeyczne ównania Schödingea Symulacje komputeowe w fizyce to ksi¹ ka, któ¹ powinni zainteesowaæ siê nie tylko fizycy: niektóe pzedstawione tu algoytmy znajduj¹ zastosowanie w aplikacjach CAD/CAM, a nawet pzy twozeniu gie komputeowych. Wydawnictwo Helion ul. Chopina Gliwice tel. (3) helion@helion.pl

2 Spis teści Wstęp...z... 7 Rozdział 1. Schematy óżnicowe ozwiązywania ównań óżniczkowych zwyczajnych Równania óżniczkowe zwyczajne i óżnice skończone Równania óżniczkowe zwyczajne i achunek całkowy Schemat óżnicowy Eulea Rozwiązanie ównania ozpadu pomieniotwóczego Metoda skokowa z wstępnymi obliczeniami Eulea Wahadło matematyczne Punkt mateialny pzymocowany do spężyny Dokładniejsze metody wyznaczania ozwiązań ównań óżniczkowych Metoda punktu śodkowego (ang. MidPoint) dugiego zędu Metoda Rungego-Kutty czwatego zędu Zestawienie poznanych schematów ozwiązywania ównań óżniczkowych zwyczajnych Podsumowanie...43 Rozdział. Dynamika według si Isaaca Newtona Rachunek wektoowy Klasa Wekto Opeacje na wektoach Rachunek wektoowy podsumowanie Zasady dynamiki Newtona Piewsza zasada dynamiki Newtona Duga zasada dynamiki Newtona Tzecia zasada dynamiki Newtona Model fizyczny dynamiki układów punktów mateialnych Elementy składowe modelu Punkt mateialny Pzechowywanie danych. Lista jednokieunkowa Równania uchu pojedynczego punktu mateialnego Kolizje Posta metoda wykywania kolizji punkt-ściana Nieuchoma sfea kolizji Oddziaływania między punktami mateialnymi Pawo powszechnego ciążenia Oddziaływanie spężyste pay punktów Konstuowanie obiektów złożonych Model dwuwymiaowego sznua Symulacja tójwymiaowych tkanin...84

3 6 Symulacje komputeowe w fizyce.7.3. Konstukcja były sztywnej Konstukcja modelu pouszającej się postaci Podsumowanie...90 Rozdział 3. Rozwiązanie numeyczne ównania falowego Co to jest fala? Klasyczne ównanie falowe Równanie falowe w jednym wymiaze Podział ównania falowego na układ dwóch spzężonych ównań óżniczkowych piewszego zędu Siatka óżnicowa Eulea w jednym wymiaze Rozwiązanie algoytmiczne układu ównań spzężonych Algoytm pogamu ealizującego ównanie falowe 1D Efekty działania pzedstawionego algoytmu Równanie falowe w dwóch i więcej wymiaach pzestzennych Siatka óżnicowa Eulea w dwóch wymiaach Realizacja symulacji ównania falowego w dwóch wymiaach Podsumowanie Rozdział 4. Symulacje cieczy nieściśliwej...z Równanie Naviea-Stokesa dla cieczy nieściśliwej Waunek nieściśliwości cieczy Pola wektoowe Analiza ównania Naviea-Stokesa Rozwiązanie uposzczone ównań NS Równanie płytkiej wody Waunek zachowania masy Końcowa postać ównania dla płytkiej wody Pzybliżenie dysketne Efekty działania Pełne ozwiązanie ównań NS dla cieczy nieściśliwej Repezentacja cieczy Schematy óżnicowe dla ównania NS Waunki bzegowe Algoytm pogamu Wizualizacja ezultatów obliczeń Podsumowanie Rozdział 5. Równanie Schödingea...z Funkcja falowa wekto stanu układu kwantowego Ewolucja w czasie stanu układu kwantowego Dysketna postać opeatoa ewolucji w czasie Schemat ozwiązania óżnicowego Stan początkowy układu Implementacja Algoytm pogamu Konstukcja stanu początkowego Pętla obliczeniowa Rezultaty Podsumowanie Bibliogafia...z Skoowidz...z

4 Rozdział 5. Równanie Schödingea Mechanika kwantowa jest badzo zaawansowaną dziedziną fizyki współczesnej. Jej zozumienie jest zadaniem na lata i czytelnik aczej nie znajdzie tu systematycznego wykładu z tej dziedziny. Postaamy się natomiast pzedstawić kompletne ozwiązanie numeyczne ównania Schödingea 1, któego intepetację fizyczną i analizę znajdzie czytelnik w wykładach z mechaniki kwantowej w pacach [18], [19], [0] czy [1]. W liteatuze tematu, opócz świetnej pozycji [19], aczej tudno znaleźć ciekawe wizualizacje efektów kwantowych. Rozwiązania zagadnień mechaniki kwantowej są tudne do wyobażenia i spzeczne z naszą intuicją. Zazwyczaj autozy pozycji taktujących o MK popzestają na ogomnej ilości wzoów, któych piękno samo w sobie dostzec można dopieo po latach wytężonej pacy. W tym ozdziale postaamy się pzedstawić gaficznie ozwiązania numeyczne ównania Schödingea w jednym i dwóch wymiaach pzestzennych. Jak się okaże, numeyczne ozwiązywanie zagadnień mechaniki kwantowej nie jest niczym stasznym, a ezultaty są niesamowite i piękne. Wizualizacja ozwiązań będzie analogiczna do wizualizacji ozwiązań z ozdziału tzeciego; wszak ozwiązaniem naszym jest też fala Funkcja falowa wekto stanu układu kwantowego Aby ozpocząć ozważania na temat ozwiązania numeycznego ównania Schödingea, musimy poznać niezbędne minimum wiedzy na jego temat, czyli okeślić, czego tak napawdę szukamy. Jakich ozwiązań mamy się spodziewać? Jaką intepetację fizyczną mają ozwiązania tego ównania? Odpowiedź na te pytania jest w zasadzie posta, lecz intepetacja jej ozwiązań już nie. Zagadnienie funkcji falowej w mechanice kwantowej ma bezpośedni związek z pojęciem pawdopodobieństwa. Weźmy pojedynczą cząstkę elekton. W pzypadku 1 Na płycie CD została użyta pisownia nazwiska w focmie Schoedinge. Zakładamy, że pojęcie pawdopodobieństwa nie jest czcytelnikowi obce.

5 17 Symulacje komputeowe w fizyce klasycznym opisujemy go, podając jego położenie i pęd. W pzypadku kwantowym stan elektonu opisuje funkcja falowa zwana też często wektoem stanu. W takim azie nawet najpostszy układ, jakim jest pojedynczy elekton, musi mieć odpowiadającą mu funkcję falową. Skoo tak, to jaka jest funkcja falowa pouszającego się elektonu? Czy jest to po postu punkt w płaszczyźnie dwuwymiaowej, któy pousza się w okeślonym kieunku 3? I tu pojawia się poblem zwany nieoznaczonością Heisenbega. Niestety nawet dla pojedynczej cząstki kwantowej nie możemy jednoznacznie okeślić jednocześnie jej położenia i pędu. W takim azie funkcja falowa (zwana też wektoem w pzestzeni Hilbeta stanu układu kwantowego) musi być ozmyta w pzestzeni. Funkcja falowa okeśla nam pawdopodobieństwo znalezienia elektonu w danym miejscu pzestzeni. Rozwiązując ównanie Schödingea zależne od czasu, dla każdego koku czasowego otzymamy ozkład pawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w konketnym miejscu w pzestzeni. Doskonale widoczne będzie też ozmywanie w czasie stanu układu, tak że weszcie wskazanie gdzie znajduje się elekton w danym momencie nie będzie możliwe. 5.. Ewolucja w czasie stanu układu kwantowego Chcielibyśmy wpowadzić kilka standadowych pojęć występujących w mechanice kwantowej. Mamy nadzieję, że czytelnik nie zazi się do tego, bo w guncie zeczy zostanie popowadzony za ękę i nie powinien mieć poblemów ze zozumieniem tekstu. Ważna jest znajomość pewnych podstaw matematycznych (ównanie cząstkowe, działania na liczbach zespolonych). Wato też, aby czytelnik zajzał do wspomnianej we wstępie liteatuy tematu. Inteesującym nas zagadnieniem jest ewolucja stanu układu kwantowego. Ewolucja w czasie opisywana jest pzez ównanie óżniczkowe cząstkowe dugiego zędu zwane ównaniem Schödingea z czasem: (, t) (5.1) i h = H(, t) t gdzie odpowiednio: h = h π (,t) jest stałą Plancka dzieloną pzez π, jest wektoem (pzestzeni Hilbeta) stanu układu kwawntowego, 3 Cały czas mówić będziemy o epezentacji położeniowecj funkcji falowej; z innymi epezentacjami stanu układów kwantowych czytelnik może zapoznać się Cwe wspomnianej liteatuze.

6 Rozdział 5. Równanie Schödingea 173 H i jest hamiltonianem kwantowym układu (opeatoem Hamiwltona), oznacza część uojoną liczby zespolonej (tu część uojowną ównania). Naszym zadaniem jest znaleźć ewolucję wektoa stanu (,t). Aby to zobić, należy pzede wszystkim ozwinąć hamiltonian do postaci jawnej. Dla swobodnej paczki falowej epezentującej np. swobodny elekton hamiltonian zwapisujemy w postaci: gdzie h H = m h m jest kwantowym opeatoem pędu, a ( ) V + V okeśla niezależny od czasu potencjał. Tak zdefiniowany hamiltonian, po podstawieniu do ównania (5.1) i wpowadzeniu specjalnych jednostek, dla któych h = 1 i m=1/, spowadza ównanie (5.1) do postaci 4 : (, t) (5.3) i = ( + V ( )) (, t) t Dla wpowadzonych jednostek ogólna postać ozwiązaniwa ównania (5.3) jest znana: iht (5.4), t = e,0 ( ) ( ) ( ) iht e nazywa się opeatoem ewolucji czasowej, a wekto ( ) gdzie wyaz,0 okeśla stan początkowy układu w chwili t=0. Oznacza to, że dla zadanego stanu początkowego możemy wyznaczyć stan układu w dowolnej chwili t>0, kozystając z opeatoa ewolucji czasowej. (5.) 5.3. Dysketna postać opeatoa ewolucji w czasie Zadanie nasze w paktyce spowadzi się do pzybliżenia óżnicowego opeatoa ewolucji czasowej oaz ozwiązania tak zadanego ównania óżniczkowego. Dysketna postać tego opeatoa nadająca się do ozwiązania óżnicowewgo nosi nazwę postaci Caleya: e iht 1 ih t / 1 + ih t / (5.5) 4 Patz pozycja [9], stona 851. Postępujemy tak jedynie dcla uposzczenia ównania Schödingea, któe można byłoby ozwiązywać waz z wszystkimi stałycmi. Podejście takie stosuje się często w celu uposzczenia fomy zapisu ównań opisujących zcjawiska fizyczne.

7 174 Symulacje komputeowe w fizyce Jest to pzybliżenie funkcji do wyazu t włącznie. Tak zdefiniowany opeato óżnicowy jest unitany, czyli zachowuje nomę 5 funkcji falowej. Jak pzedstawiono w pacy [18], opeato ewolucji czasowej po podstawienwiu hamiltonianu ozbić można na dwa wyazy 6 : e ih t = e i( + V ) t = e i( t) e iv t z któych piewszy wyaz zostanie pzybliżony schematem (5.5). W takim układzie otzymujemy kompletną epezentację óżnicową opeatoa ewolucji czasowej, któą zastosujemy w ównaniu (5.4): (, t) 1 + i = 1 i ( t / ) ( t / ) e iv t (,0) Postać tę wykozystamy bezpośednio w tej fomie w ozwiązaniu óżnicowym ównania Schödingea. (5.6) 5.4. Schemat ozwiązania óżnicowego Równanie (5.6) ozwiążemy metodą iteacyjną Jacobiego, zwaczynając od postaci 7 : (, t + t) = 1 i ( t / ) 1 e iv t (, t) (5.7) Równanie to jest tylko inaczej zapisanym (5.6) wpowadźmy dla wygody nowe oznaczenie:? t (, t) ( t / ) Równanie (5.7) pzyjmie teaz badziej zwatą fomę: iv e (5.8) = 1 i iv t (, t + t) = e (, t)? (5.9) 5 O nomie funkcji falowej powiemy więcej pzy intepetacji otzymanych ozwiązań, na azie czytelnik powinien wiedzieć, że zachowanie nomy funkcji falowcej jest niezbędne do otzymania dobych (fizycznych) ozwiązań. 6 We wzoach óżnicowych nie będziemy już wpisywać jawnie zależności funkcji od zmiennych. 7 Metodę tę zapoponował d G. Jastzębski w pozycji [18].

8 Rozdział 5. Równanie Schödingea 175? Naszym zadaniem jest ozwiązanie zagadnienia dla nieznanej funkcji zdefiniowanej wzoem (5.8). Bezpośednio z (5.8) ozwiązanie na funkcję zapisujemy wzoem? iteacyjnym 8 :? iv t (5.10) = e t + i t ( )? n+ 1, n gdzie opeato pzybliżamy odpowiednio wzoem pięcio- lub dziewięciopunktowym, w zależności od ozmiaów siatki w poziomie i w pionie 9. Indeks dolny n/n+1 oznacza w tym kontekście pzynależność do koku iteacyjnego. Za waunek statowy iteacji pzyjmujemy 10? = 0 0. Ilość iteacji ma bezpośedni wpływ z jednej stony na czas ozwiązania, z dugiej na jego dokładność Stan początkowy układu W pezentowanym pogamie jako waunek początkowy wybaliśmy zgodnie z sugestią w [4] dobze okeślony fizycznie stan gaussowski unomowany, któy zapisać możemy wzoem: ( ( x px)^ ( y py) ^ ikx ( x, y, t) = Ne ) (5.11) gdzie N jest stałą nomalizacyjną dla tego stanu. Tak zapisany stan układu wyznacza gaussian o wektoze falowym k Implementacja Teoetyczne wypowadzenie schematu ozwiązania ównania (5.1) było niezbędne i choć w tym momencie może wydawać się dosyć skomplikowane, to mając tak wpowadzoną teoię, spowadzamy implementację do zastosowania kilku podstawowych zasad. Chodzi głównie o opeacje na liczbach zespolonych oaz zastosowanie siatki óżnicowej do epezentacji stanu układu kwantowego. Siatkę óżnicową potafimy już dobze okeślić (ozdziały 3., 4.). W tym pzypadku na siatce óżnicowej umieszczamy w centum watości funkcji falowej okeślającej stan układu kwantowego. Różnicą w stosunku do pzedstawionych w popzednich ozdziałach siatek óżnicowych będzie to, iż siatka w naszym pzypadku będzie zespolona. Do stwozenia siatki użyjemy konstukcji z biblioteki standadowej 11 C++. Deklaacja siatki óżnicowej o danych zespolonych, wielkości na, epezentującej funkcję falową, pzyjmie następującą postać: 8 Patz pozycje [18], [11]. 9 Zagadnienia pzybliżania opeatoa Laplace a na siatkach óżnicowych były już dyskutowane w ozdziale Taki stat iteacji zapoponowany został w pozycji [11]. 11 Użycie gotowego szablonu dla danych zespolonych badzo upości kod pogamu.

9 176 Symulacje komputeowe w fizyce Zapisany w nawiasach tójkątnych typ danych okeśla, jak zapisane będą odpowiednio część zeczywista i część uojona liczby zespolonej. Użycwie standadowego typu danych pozwoli nam kozystać z własności liczb zespolonych bez wpowadzania dodatkowych definicji metod i opeatoów 1. Wizualizacja danych pzebiegać będzie analogicznie do tej znanej już z ównania falowego. Dla każdego koku czasowego 13 ysujemy ozkład funkcji wychyleń w tzech wymiaach pzestzennych. Zagadnieniem wizualizacji nie będziemy się więc bliżej zajmować, bo było to już omawiane w ozdziale Algoytm pogamu Dalej w znanej już fomie diagamu pzedstawiamy na ysunku 5.1 popozycję schematu ogólnego działania pogamu ozwiązującego numeycznie ównanie Schödingea. Algoytm nie jest zbyt złożony i jak się okaże, pzełożenie kolejnych punktów na kod pogamu nie stanowi większego poblemu, szczególnie jeśli wykozystujemy dobze napisaną klasę liczb zespolonych (a taką niewątpliwie jest klasa z biblioteki standadowej C++). W pzedstawionym algoytmie zapisaliśmy w nawiasach ównania, z któych będziemy kozystać pzy kolejnych częściach koku czasowego. Jak widać, zagadnienie spowadza się do zastosowania tylko tzech wzoów, któew wypowadziliśmy wcześniej Konstukcja stanu początkowego Zgodnie z wzoem (5.11) konstuujemy stan początkowy, wpisując odpowiednie watości funkcji w siatkę óżnicową. Niech stan początkowy wyznaczy paczka falowa o szeokości, w pozycji na siatce. Kozystając z tego, że istnieje w bibliotece standadowej funkcja, wyliczenie funkcji we wzoze (5.11) nie jest tudne i spowadza się do kiwlku wieszy kodu w C++. Kozystamy bezpośednio ze wzou (5.11), pamiętając o współczynniku nomalizacyjnym (tu ): 1 Zakładamy, że czytelnik zna pojęcie liczby zespolonejc. 13 Pzypominamy, że w ozdziale tym zajmujemy się tylko Cpzypadkiem dwuwymiaowym.

10 Rozdział 5. Równanie Schödingea 177 Rysunek 5.1. Algoytm działania pogamu Schödinge (ysunek znajduje się na płycie CD) Ustal waunki początkowe, inicjuj tablice oaz stałe. Wyznacz stan 0 początkowy (11)? Wyznacz poceduą iteacyjną Jacobiego (10). Wyznacz kozystając z (9) Waunki bzegowe tak Wizualizuj dane. Rozwiązanie nadal inteesujące? nie KONIEC Widać, że pzedstawiony schemat konstukcji stanu początkowego nie jest złożony. Dużym ułatwieniem było tu wykozystanie standadowej biblioteki C++ i funkcji zdefiniowanej dla klasy liczb zespolonych. Na ysunku 5. pzedstawiamy stan początkowy pzykładowej paczki falowej. Rysunek 5. pzedstawia stan okeślony paametami: gdzie oznacza liczbę komóek na siatce w kieunku osi X (w tym konketnym pzypadku 70).

11 178 Symulacje komputeowe w fizyce Rysunek 5.. Pzykładowy stan początkowy układu (ysunek znajduje się na płycie CD) Pętla obliczeniowa Zgodnie z algoytmem z ysunku 5.1 pętlę obliczeniową zaczynamy od wyznaczenia? nieznanej funkcji. W osobnej tablicy pzechowywać będziemy infomacje o potencjale w pzestzeni. Pzy założeniu, że potencjał może być albo zeowy, albo mieć stałą watość niezależną iv t od czasu, wystaczy pamiętać flagi czy potencjał jest zeowy, czy też wynosi e. Załóżmy, że w piewszym koku algoytmu komóki, w któych wyóżniliśmy potencjał, mają ustawioną flagę. Ustawiona flaga w danej komóce oznacza, że w tym miejscu potencjał jest niezeowy. Oznacza two, że wyaz jest stały w takcie działania symulacji, dlatego możemy wyliczyć go wcześniej i używać bez iv t dokonywania powtónych obliczeń. Wyznaczmy zatem zeswpoloną liczbę e : Działanie opeatoa e iv t spowadzi się w naszym pzypadku do wymnożenia pzez Schemat (5.10) podzielimy na dwie części. Najpiew wymnóżmy komóki odpowiednio pzez, jeśli komóka ma potencjał ówny 0, lub pzez wyliczoną (i podwojoną) wcześniej watość, jeśli komóka jest typu (potencjał niezeowy). Zadanie to ealizuje podany kod 14, w któym stosujemy oznaczenia: psi _ t? psi 14 Jawna konwesja zwykłych liczb na typ spowodowana jest istnieniem pzeciążonych opeatoów tylko dla liczb, pzez któe spaametyzowancy został typ.

12 Rozdział 5. Równanie Schödingea 179 Kolejnym kokiem jest właściwa pocedua iteacyjna, któa dzięki wcześniejszemu wymnożeniu funkcji pzez odpowiednie stałe staje się o wiele postsza. Poceduę tę wykonujemy azy każdą iteację dwukotnie, az zwiększając, az zmniejszając indeksy tablicy 15 : Uważny czytelnik na pewno zauważył, że do pzybliżenia opeatoa Laplace a użyliśmy wzou pięciopunktowego, wpowadzonego już w ozdziale 3. W omówionej poceduze iteacyjnej zastosowaliśmy ównież oznaczenie dla uojonego i jako: Dzięki wpowadzeniu uojonego i mogliśmy bezpośednio we wzoze (5.10) wykonać mnożenie 16 i t?. n Kolejną częścią koku czasowego jest bezpośednie wyznaczenie ozkładu funkcji falowej, czego dokonujemy za pomocą postego schematu (5.9), pamiętając o podzieleniu pzez, pzez któe zostało pomnożone pzed piewszwą iteacją: Ostatni kok pzedstawionego algoytmu, któym się zajmiemy, to waunki bzegowe ozwiązania. Dla naszych potzeb postych stanów początkowych układu załóżmy zeowanie funkcji falowej na bzegach, czemu odpowiadwa posta pętla zeująca: 15 Ilość iteacji zędu 10 na siatkach ozmiau i o koku czasowym =0.05 daje już zadowalające ezultaty. 16 W miejscach takich jak to nie sposób nie zauważyć, jak wspaniałym nazędziem okazuje się C++ i jego obiektowość.

13 180 Symulacje komputeowe w fizyce 5.7. Rezultaty Pzedstawione ezultaty działania pogamu Schödinge są zzutami z ekanu działającej w czasie zeczywistym animacji. Do wizualizacji wykozystano stwozone wcześniej na potzeby pogamu Waves poceduy OpenGL i Fox. Na ysunku 5.3 pzedstawiamy jeden z fundamentalnych efektów kwantowych, czyli pzejście pzez baieę potencjału. Rysunek 5.3. Pzejście paczki falowej pzez baieę potencjału (ysunek znajduje się na płycie CD) Na pzedstawionym ysunku uwidoczniono, że paczka falowa dzieli się na dwie paczki o mniejszej amplitudzie i pzeciwnych wektoach falowych. Inteesującym efektem jest to, że część paczki falowej, któa pzeszła pzez baiewę, jest gładsza od części odbitej. Sytuacja pzedstawiona na ysunku 5.3 nie ma odpowiednika w mechanice klasycznej. Klasycznie bowiem cząstka albo pzejdzie pzez baieę potencjału (np. ścianę), albo nie pzejdzie. Kwantowo ozpatujemy tylko pawdopodobieństwo pzejścia pzez baieę. Dlatego niekiedy mówi się, że elekton może być w dwóch miejscach jednocześnie. Niektózy uważają nawet, że jest w dwóch miejscach jedwnocześnie. Na ysunku 5.4 pzedstawiamy ozbicie gaussowskiej paczki falowej na potencjale w kształcie tójkątnego klinu. Ciekawe efekty, któe można wyczytać z tych ysunków, to m.in. chaakteystyczne spiętzanie gzbietów fal pawdopodobieństwa w początkowym

14 Rozdział 5. Równanie Schödingea 181 etapie symulacji oaz podział paczki na dwie ówne części. Na tym ysunku uwidoczniono, że na dalszych etapach symulacji wiemy o ozwiązaniu coaz mniej funkcja falowa ma teaz pzebieg o wiele łagodniejszy, co oznacza, że tudno okeślić, gdzie znajduje się nasz elekton. Rysunek 5.4. Rozcięcie paczki falowej na tójkątnym klinie (ysunek znajduje się na płycie CD) Ostatnim pzykładem, któy zapezentujemy, jest pzejście wzajemne dwóch paczek falowych pzez siebie (ysunek 5.5). Obie paczki falowe mają te same paamety początkowe (amplituda, ozmiay) i pzeciwnie skieowanwe wektoy falowe Podsumowanie W tym ozdziale czytelnik zapoznał się ze schematem ozwiązania numeycznego ównania Schödingea. Zastosowane tu schematy óżnicowe zdają się być wystaczające do zaobsewowania ciekawych efektów kwantowych. Istnieje duża dowolność w stosowaniu pzedstawionej metody można póbować dowolnych kształtów i wielkości potencjałów. Stan początkowy nie musi być pzedstawiony funkcją Gaussa. Można też stosować hamiltonian inny niż dla cząsteczki swobodnej. Rezultaty uzyskane po wpowadzeniu hamiltonianu oscylatoa hamonicznego w dwóch wymiaach do

15 18 Symulacje komputeowe w fizyce Rysunek 5.5. Rozpaszanie wzajemne dwóch paczek falowych (ysunek znajduje się na płycie CD) pzedstawionego algoytmu zdają się potwiedzać, że pzedstawiona metoda ozwiązania numeycznego, mimo że posta, jest dosyć ogólna i ma szeokie zastosowanie, dlatego zachęcamy czytelnika do samodzielnego ozwiwjania omawianego pogamu.