Anna Bechler PORÓWNANIE EFEKTYWNOŚCI SIECI NEURONOWYCH I MODELI EKONOMETRYCZNYCH WE WSPOMAGANIU DECYZJI KREDYTOWYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Anna Bechler PORÓWNANIE EFEKTYWNOŚCI SIECI NEURONOWYCH I MODELI EKONOMETRYCZNYCH WE WSPOMAGANIU DECYZJI KREDYTOWYCH"

Transkrypt

1 PORÓWNANIE EFEKTYWNOŚCI SIECI NEURONOWYCH I MODELI EKONOMETRYCZNYCH WE WSPOMAGANIU DECYZJI KREDYTOWYCH Anna Bechler Kaedra Badań Operacyjnych, Uniwersye Łódzki, Łódź WPROWADZENIE W świele obowiązującego w Polsce prawa kredy sanowi umowę, na mocy kórej bank zobowiązuje się oddać do dyspozycji kredyobiorcy kwoę środków pieniężnych z przeznaczeniem na usalony cel, a kredyobiorca jes zobowiązany do zwrou wykorzysanego kredyu wraz z odsekami w oznaczonych erminach spłay. Jak pokazuje bankowa prakyka, działalność kredyowa sanowi jeden z najisoniejszych elemenów, decydujących o kondycji finansowej banku. Z ego właśnie powodu zarządzanie ryzykiem kredyowym, a w szczególności jego ilościowa ocena, odgrywa zasadniczą rolę w złożonym procesie zarządzania bankiem, a akże przyjęej sraegii rozwojowej. Podsawową meodą oceny ryzyka, związanego z pojedynczą umową kredyową, jes analiza wniosku złożonego przez poencjalnego dłużnika. Przyznanie bądź odmowa udzielenia kredyu leży w głównej mierze w gesii pracownika bankowego, badającego zdolność kredyową danego kandydaa. Celem zobiekywizowania przeprowadzanej oceny coraz częściej sosuje się ilościowe meody wspomagania procesu decyzyjnego, służące właściwemu doborowi kredyobiorców. Wśród meod ych znajdują się: analiza dyskryminacyjna, analiza regresji (modele liniowe, probiowe i logiowe), drzewa decyzyjne, meody najbliższego sąsiedzwa, programowanie maemayczne, sieci neuronowe, sysemy eksperckie, czy eż algorymy geneyczne. Pomagają one zaklasyfikować klienów do odpowiedniej grupy ryzyka kredyowego, na podsawie obiekywnych i mierzalnych cech, co przyczynia się do minimalizacji prawdopodobieńswa przyznania kredyu osobom nierzeelnym, a ym samym poprawy jakości porfeli kredyowych. Wysoce wyspecjalizowane procedury, wykorzysujące meody saysyczne, pozwalają jednocześnie zredukować koszy związane z analizą wniosków kredyowych. Należy jednak pamięać, iż ich zasosowanie powinno odnosić się do jednorodnej grupy podmioów. Poprawna konsrukcja i późniejsze modyfikacje wspomnianych modeli wymagają ponado odpowiedniej bazy danych, zawierającej informacje zarówno na ema przyznanych kredyów, jak i decyzji odmownych. 2 ZBIÓR DANYCH EMPIRYCZNYCH Dane pierwone wykorzysane w prezenowanych badaniach pochodzą z jednego z łódzkich banków i doyczą osób fizycznych posiadających obywaelswo polskie, kóre ubiegały się o przyznanie raalnych kredyów konsumpcyjnych na zakup samochodu. Analizowana próba obejmuje laa i liczy ogółem 2 obserwacji (6 decyzji pozyywnych i 24 negaywne). Każda obserwacja zawiera zbiór cech ilościowych i jakościowych, charakeryzujących poencjalnego kredyobiorcę, kóre mogą być pomocne w ocenie jego wiarygodności oraz zdolności kredyowej, a ym samym usaleniu ryzyka związanego z daną umową. Ponado zebrane informacje doyczą: wysokości kredyu, odseek, długości okresu kredyowania, proponowanych zabezpieczeń oraz osaecznej decyzji inspekorów kredyowych. Zgromadzony maeriał saysyczny, po odpowiednim zakodowaniu, zosał poddany wsępnej

2 analizie, w wyniku kórej część cech diagnosycznych wyłączono z oku dalszych rozważań z uwagi na rzadkość wysępowania w omawianej próbie, bądź eż silne skorelowanie z innymi charakerysykami. Osaecznie wyselekcjonowano zbiór 35 cech, wykorzysanych zarówno przy budowie modelu ekonomerycznego, jak i sieci neuronowej. Tabela. Finalny zbiór cech diagnosycznych. Nazwa zmiennej NIESAM WIEK STANRODZ TEL TELKOM NIERUCH MIESZK AUTO INNE DOCHOD OBCIAZENIA FP GR DZG E S.A. OZ WOZ OBBANK ZUS KONTO KWOTAKREDYTU OKRES KREDYTU ODSETKI LD SK SI PT PL WA PS PW AC WIB SZR Cecha diagnosyczna San cywilny Wiek Liczba osób na urzymaniu Posiadanie elefonu Posiadanie el. kom. Posiadanie nieruchomości Posiadanie mieszkania Posiadanie samochodu Posiadanie innych dóbr Łączny mies. dochód neo Mies. obciążenia z y. św. Zarudn. w firmie pryw. Gospodarswo rolne Działalność gospodarcza Emeryura (lub rena) Zarud. w SA, sp. z o.o, ip. Okres zarudnienia Wysarczający okres zarud. Zadłużenie w banku Zadłużenie w ZUS Posiadanie rach. bank. Kwoa kredyu Okres kredyowania Miesięczne odseki Wojew. łódzkie Wojew. skierniewickie Wojew. sieradzkie Wojew. piorkowskie Wojew. płockie Wojew. warszawskie Przewłaszcz. samoch. Poręczenie wekslowe Cesja praw z polisy AC Weksel in blanco Sądowy zasaw rejesr. Miano (Rodzaj) 8 laa (N) osoba (D) zł (S) zł (D) Z-J (D) Z-J (D) miesiące (S) Z-J (D) Z-J (D) zł (D) miesiące (D) zł (D) 3 MODEL EKONOMETRYCZNY JAKO NARZĘDZIE OCENY KLIENTÓW Pierwszy eap omawianych badań sanowiła konsrukcja modelu ekonomerycznego, opisującego związek między decyzją o przyznaniu bądź odmowie udzielenia kredyu a kryeriami wpły- wającymi na ocenę zdolności kredyowej klienów, kórzy się o niego ubiegają. Zgodnie z przyjęym celem badania wyróżniono jedną zmienną zależną (DECYZJA), opisującą akcepację bądź odrzucenie wniosków w wybranej próbie klienów banku. Z uwagi na jakościowy charaker rozważanej kaegorii, dla porzeb obliczeniowych zakodowano ją w posaci binarnej (zerojedynkowej): - decyzja pozyywna, decyzja negaywna. W grupie zmiennych niezależnych, deerminujących osaeczną decyzję kredyową, uwzględnione zosały naomias wszyskie wyróżnione cechy poencjalnego kredyobiorcy (por. ab. ). Z uwagi na późniejszą weryfikację meryoryczną ocen paramerów modelu ekonomerycznego, czynniki e podzielono na: symulany, pozyywnie wpływające na badane zjawisko (spodziewane dodanie oszacowania współczynników funkcji regresji), desymulany, negaywnie oddziałujące na zm. objaśnianą (ujemne oceny paramerów), nominany, w przypadku kórych rudno jes jednoznacznie określić przyczynowy charaker i kierunek związku ze zmienną zależną. Jednocześnie należy pamięać, iż obok wymienionych obiekywnych, a jednocześnie ławych do pomiaru i opisu (jakościowego bądź ilościowego) składników oceny wnioskodawców, w prakyce wysępuje również szereg elemenów wysoce subiekywnych, kórych bezpośrednie uwzględnienie w konsruowanym modelu nasręczałoby wielu rudności lub niekiedy było wręcz niemożliwe. Zaliczyć do nich można chociażby: wielolenie doświadczenie pracowników banku, osobise odczucia i opinie o kliencie, wynikające z przeprowadzonych rozmów, czy eż isone wiadomości pozyskane przez bank od osób rzecich. W świele powyższych rozważań wspomniane czynniki zosaną włączone do modelu w posaci składnika losowego ξ i dla i=,..., 2. Kaegoria a będzie obejmować ponado błędy wysępujące w danych saysycznych, spowodowane niedokładnością pomiarów (np. celowe zawyżanie osiąganych dochodów bądź zaniżanie świadczeń), a akże niedoskonałości w specyfikacji modelu, kórych przyczyna kwi w ograniczonej wiedzy o prognozowanym zjawisku. 8 Symbol Z-J oznacza zmienną zerojedynkową. Rodzaj określa symulanę (S), desymulanę (D) oraz nominanę (N).

3 3. Budowa modelu ekonomerycznego Zasadniczy cel konsrukcji modelu ekonomerycznego sanowi ujęcie w formie równania (lub częściej układu równań) łącznego wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą, oraz ogółu powiązań wysępujących między rozważanymi wielkościami. Z uwagi na dychoomiczny charaker zmiennej objaśnianej, najpowszechniej sosowaną w ym przypadku funkcją jes liniowa funkcja prawdopodobieńswa (liniowy model prawdopodobieńswa), ujmująca zagadnienie binarnej zmiennej zależnej w formie zwykłego zadania regresji liniowej posaci: y i = α K + + αx i + α 2x2i + + α K xki ξ i, W związku z ograniczeniem warości przyjmowanych przez zmienną objaśnianą do dwuelemenowego zbioru { ;}, wyznaczone na podsawie modelu eoreyczne wielkości rozważanego zagadnienia mogą być inerpreowane w kaegoriach oszacowań warunkowego prawdopodobieńswa realizacji określonego zdarzenia (w ym przypadku przyznania kredyu) przy usalonych warościach zmiennych objaśniających. Niewąpliwą słabość omawianej meody sanowi możliwość orzymania eoreycznych warości zmiennej objaśnianej leżących poza przedziałem ;, co sawia pod znakiem zapyania inerpreację uzyskanych rezulaów jako prawdopodobieńswa. W zagadnieniu wspomagania decyzji kredyowych fak en jednakże nie wydaje się być aż ak poważnym problemem, gdyż orzymane na podsawie modelu ujemne warości zmiennej objaśnianej, uwierdzają niejako pracownika banku w przekonaniu, iż dany wniosek kredyowy należy rozparzyć negaywnie, naomias szacunki większe od jedności, powierdzają zasadność przyznania kredyu. Konsrukcję modelu ekonomerycznego rozpoczęo od modelu jak najbardziej ogólnego (rozbudowanego), redukując sukcesywnie liczbę zmiennych niezależnych, zgodnie z wynikami prowadzonych analiz saysycznych i ekonomerycznych. W celu skrócenia zapisu oraz uproszczenia obliczeń wprowadzone zosały nasępujące zależności o charakerze deerminisycznym: DOCHDYSP i = (DOCHOD i OBCIAZENIA i ) 2 KREDMIES i = (KWOTAKREDYTU i /OKRESKREDYTU i + ODSETKI i ) 3 DOCH_OS i = (DOCHDYSP i / STANRODZ i ) Osaecznie, z punku widzenia docelowej analizy porównawczej, spośród szeregu badanych warianów modelu ekonomerycznego wybrano rzy równania opisujące szacowaną linię regresji próby 2-elemenowej (oznaczone jako warian I, V i VII): (I) DECYZJA i = α + α DOCH_OS i + α 2 KREDMIES i + α 3 AUTO i +α 4 NIESAM i + α 5 INNE i +α 6 TEL i + α TELKOM i + α 8 NIERUCH i +α 9 MIESZK i + α DZG i + α E i + α 2 FP i + α 3 GR i + α 4 OZ i +α 5 PS i + α 6 PW i + α AC i + α 8 WIB i + α 9 PL i + α 2 WA i + α 2 SK i + α 22 SI i + α 23 PT i + α 24 WIEK i + α OBBANK i + α 26 ZUS i + α 2 KONTO i + ξ i (V) DECYZJA i = α + α OBCIAZENIA i + α 2 KREDMIES i + α 3 WOZ i +α 4 NIESAM i + α 5 KONTO i + α 6 PL i + α WA i + α 8 SK i + α 9 FP i +α PS i + ξ i (VII) DECYZJA i = α + α KREDMIES i + α 2 WOZ i + α 3 FP i + ξ i Z uwagi na dysproporcję między ilością pozyywnych (6) oraz negaywnych (24) decyzji kredyowych, w oku dalszych analiz uwzględniono dodakowy model (posaci ożsamej z warianem V), kórego esymację przeprowadzono w oparciu o próbę złożoną z wniosków rozparzonych odmownie (24) i akiej samej liczby losowo wybranych przyznanych kredyów (warian VIII). We wszyskich zaprezenowanych koncepcjach regresji drugiego rodzaju wykorzysano funkcję liniową w celu odzwierciedlenia związków zachodzących w populacji generalnej. Wybór danej posaci funkcyjnej oparo w głównej mierze na braku przesłanek eoreycznych, zarówno z zakresu ekonomii, jak i bankowości, sugerujących bardziej skomplikowaną formę zależności, opisującej analizowane zjawisko. Isony wpływ na ę decyzję wywarł również zerojedynkowy charaker zmiennej objaśnianej, limiujący możliwość wykorzysania funkcji wykładniczej, czy eż poęgowej z uwagi na ograniczony z dołu zbiór ich warości. Zasadniczą zaleę przyjęej posaci funkcyjnej (liniowej względem zmiennych, paramerów oraz zakłóceń) sanowi ponado ławość i wygoda esymacji paramerów srukuralnych modelu przy użyciu meody najmniejszych kwadraów. Niesey niespełnienie założeń doyczących normalności rozkładu składnika losowego, powoduje uraę przez MNK-esymaory cennych własności, w szczególności podważając zasadność sosowania akich esów, jak Sudena czy Goldfelda-Quanda, co znacznie urudnia ocenę saysyczną uzyskanych rezulaów.

4 Waro podkreślić, iż niespełnienie warunków MNK-esymaora jes problemem sosunkowo częso spoykanym przy klasyfikacji klienów w credi-scoringu. Z ego eż względu dość powszechnie w miejsce regresji liniowej, wykorzysuje się modele: logiowy lub probiowy. Techniki e pozwalają uniknąć ograniczeń związanych z założeniami wymaganymi w przypadku funkcji liniowej, a prócz ego orzymane na ich podsawie warości zmiennej objaśnianej należą do przedziału ; i mogą być inerpreowane w kaegoriach prawdopodobieńswa przyznania kredyu. Za kryerium oceny jakości wybranych modeli ekonomerycznych przyjęo poziom współczynnika deerminacji skorygowanego ilością 2 sopni swobody ( R ). Miara a, wyznacza sopień korelacji pomiędzy warościami empirycznymi a eoreycznymi (oszacowanymi na podsawie modelu). Innymi słowy sanowi ona charakerysykę dopasowania równania do danych empirycznych, a ponado nie zależy od ilości zmiennych objaśniających i może być wykorzysana do porównań modeli różniących się liczbą szacowanych paramerów. Najlepszy, z punku widzenia przyjęego kryerium oceny okazał się warian V ( zm. objaśniających, 2 obs. w próbie) konsruowanego modelu ( R =,).Warość orzymanej 2 miary dopasowania sugeruje jednak, iż rozważana funkcja regresji zaledwie w 2,5% objaśnia zmienność decyzji kredyowej. Ten sosunkowo niski poziom precyzji szacunku należy przypisać binarnej posaci zmiennej zależnej, wymuszającej generowanie przez model dokładnie wielkości i. Powoduje o masowe wysępowanie pewnych różnic miedzy danymi empirycznymi a eoreycznymi, wywołujących wzros błędu esymacji. W związku z wysępowaniem powyższych resz zosał wprowadzony dodakowy wskaźnik, określający rafność modelowego szacunku w porównaniu z decyzją inspekora kredyowego. Miara a opiera się na założeniu, że decyzja d m wydana na podsawie modelu jes pozyywna, jeżeli warość oszacowana (eoreyczna) jes równa lub przekracza przyjęy próg 9, oraz negaywna - w pozosałych przypadkach. Warunek en odpowiada funkcji progowej posaci: 9 Warość progu klasyfikacji decyzji kredyowej zosała przyjęa w sposób arbiralny na poziomie,65. gdy yˆ <,65 d m = gdy yˆ,65 gdzie d m oznacza decyzję modelową, a ŷ oszacowaną warość zmiennej objaśnianej. Korzysając z wprowadzonej zależności wskaźnik rafień wyraża się wzorem: I ( i) ( i) d e d m i= w = I gdzie d e jes decyzją empiryczną, i - numerem kliena, zaś I - liczebnością próby. W rozważanej syuacji I = 2. Dla rozparywanego modelu ( zm. Objaśniających) wskaźnik rafień wynosi w =, 95, a zaem decyzja modelowa w 9,5% zgodziła się z opinią pracowników banku. Uzyskany rezula sugeruje znacznie większą zgodność modelu z danymi, niż wynikało o ze skorygowanego współczynnika deerminacji. 4 ROZPATRYWANIE WNIOSKÓW KREDYTOWYCH Z UŻYCIEM SIECI NEURONOWEJ. Meodą alernaywną dla opisanego wcześniej modelu ekonomerycznego jes konsrukcja szucznej sieci neuronowej funkcjonującej w oparciu o en sam zbiór danych empirycznych. Zadanie posawione sysemowi neuronowemu zdefiniowano w sposób analogiczny do problemu sformułowanego w analizie regresji, a zaem doyczyło ono klasyfikacji wniosków pod kąem pozyywnej bądź negaywnej decyzji kredyowej. Podobnie jak w przypadku modelu ekonomerycznego zmienna objaśniana (prognozowane zjawisko) sanowiła zaem rodzaj binarnego klasyfikaora, sygnalizującego jaką decyzję (pozyywną, negaywną ) podjęli inspekorzy kredyowi banku w sosunku do rozparywanego wnioskodawcy. Dla zapewnienia porównywalności wyników orzymanych w analizie regresji z rezulaami dosarczonymi przez sieć neuronową, rozparzonych zosało kilka alernaywnych sysemów neuronowych,

5 odpowiadających kolejnym wersjom proponowanych modeli ekonomerycznych. Do budowy wszyskich warianów sieci użyo programu STATISTICA Neural Nework 3.. Z uwagi na ograniczenia, doyczące zarówno warości wejściowych, jak i wyjść, narzucone przez program STATISTICA Neural Neworks (SNN), wielkości wszyskich zmiennych niebinarnych znormalizowano względem odchylenia od warości minimalnej, ransformując ym samym pierwoną dziedzinę w przedział [ ;]. Pozwoliło o orzymać współczynniki wagowe z przedziału [ ; ], zapewniając jednocześnie sabilność procesu uczenia. Analogicznie jak w przypadku analizy regresji należy spodziewać się, że współczynniki wagowe związane z pewnymi cechami (zmiennymi wejściowymi) będą miały charaker wzmacniający (dodanie warości), z innymi hamujący (ujemne warości), niekóre zaś powiązania mogą okazać się zbyeczne (wagi zerowe). Uwzględniwszy jednakże specyfikę procesu przewarzania informacji oraz sopień komplikacji srukury syemu neuronowego rudno jes w sposób jednoznaczny z góry określić yp poszczególnych połączeń między komórkami. 4. Selekcja odpowiedniej archiekury sieci Do konsrukcji wszyskich wspomnianych warianów sieci neuronowej przyjęo sosunkowo prosą, a zarazem jedną z najczęściej sosowanych archiekur, czyli rzywarswową sieć jednokierunkową. Wybór powyższej srukury podykowany był sugesiami wynikającymi z doświadczeń wielu auorów, zajmujących się problemayką echnik neuronowych oraz wnioskami pochodzącymi z serii eksperymenów przeprowadzonych dla sieci regresji uogólnionej, a akże liniowej. Rezulay uzyskane dla obu wymienionych srukur okazały się bowiem gorsze niż w przypadku sieci rzywarswowej. Liczba neuronów w warswie wejściowej wahała się od 3 do 34 zależnie od rozważanego warianu worzonego układu. Analogiczne zróżnicowanie doyczyło również ilości neuronów w warswie ukryej, kóra dla odpowiednich wersji wynosiła od 2 do. Przy wyznaczaniu sosownej do analizowanego przypadku liczby neuronów ukryych skorzysano z opcji auomaycznego jej usalania przez program SNN. Niezmienny we wszyskich podejściach pozosał naomias pojedynczy neuron wyjściowy. Przykładową srukurę sieci dla wejść prezenuje rysunek. Rys.. Srukura sieci neuronowej dla warianu V. Kolejny isony aspek zadanej archiekury sanowiły przyjęe funkcje: possynapyczne (PSP) oraz akywacji. W przypadku pierwszej z nich zarówno dla warswy ukryej, jak i wyjściowej wybrano funkcję liniową, co w prakyce oznacza, że warości wychodzące z neuronów jednej warswy są przemnażane przez odpowiednie współczynniki wagowe, dodawane, po czym od uzyskanej sumy odejmuje się poziom progu (hreshold). Tak orzymana wielkość saje się argumenem funkcji akywacji. Zagadnienie wyboru najlepszej, z punku widzenia analizowanego zjawiska, posaci funkcji akywacji okazało się jednak bardziej skomplikowane. Problem doyczył przede wszyskim odwzorowania użyego w warswie wyjściowej. Wziąwszy bowiem pod uwagę binarny charaker badanego zagadnienia, a akże wprowadzony przy okazji modeli ekonomerycznych próg decyzyjny (,65), właściwą w ym przypadku byłaby funkcja progowa z zadanym przez użykownika poziomem progu. Osaecznie, w obu warswach (ukryej i wyjściowej) wykorzysano funkcję logisyczną ze współczynnikiem kszału β =, kórej przeciwdziedziną jes przedział (;). 4.2 Wybór sosownego algorymu reningowe i przebieg procesu uczenia Osanim krokiem przed przysąpieniem do rozpoczęcia procesu uczenia (odgrywającego kluczową rolę w konsrukcji każdego sysemu W warswie pierwszej nie zachodzi przewarzanie danych, sąd auomaycznie program zadaje posać liniową obu powyższych funkcji oraz zerową warość progu.

6 neuronowego), było usalenie algorymu reningowego, właściwego dla rozparywanego zagadnienia oraz wybranej archiekury. W przypadku wielowarswowych sieci jednokierunkowych program SNN dosarcza pięć różnych możliwości: meodę wsecznej propagacji błędu, algorym gradienu sprzężonego, Levenberga-Marquarda, Quickprop oraz Dela- Bar-Dela. Ponownie, opierając się w głównej mierze na opiniach doświadczonych badaczy echnik neuronowych, wybrano najpopularniejszą i najlepiej doychczas poznaną meodę wsecznej propagacji błędów, przyjmując jednocześnie współczynnik uczenia η =,6 oraz momenum λ =,3. Z 2-elemenowego zbioru danych empirycznych, 5 (5%) losowo wyypowanych obserwacji użyo jako wzorców uczących, a pozosałe 5 (%) jako weryfikujących poprawność działania sieci. Pewne wąpliwości budzi fak, iż mimo sosunkowo zadowalającej liczby zgromadzonych obserwacji, wysępuje wyraźna ilościowa przewaga wniosków rozparzonych pozyywnie (88%) nad odmowami (2%). W związku z powyższym, dla porównania rezulaów rening sieci przeprowadzono również na idenycznej, jak przy konsrukcji modelu ekonomerycznego, próbie zredukowanej do 48 obserwacji, z kórej 38 elemenów sanowiło zbiór uczący, a pozosałe weryfikujący. W przypadku próby 2 elemenowej sysemowi neuronowemu zaprezenowano 5 epok, zaś przy zbiorze okrojonym 3. Wiązało się o ze spadkiem błędu uczenia i jednoczesnym wzrosem błędu weryfikacji, wysępującym przy zwiększeniu liczby kolejnych epok. Zjawisko akie sugerowało, iż sieć zaczyna uczyć się na pamięć, racąc ym samym zdolność generalizacji, i sanowiło podsawę do skrócenia reningu. Próbki w zbiorze uczącym były usawione w kolejności losowej, zaś korekcja wag miała charaker wsadowy, o znaczy nasępowała po każdej epoce. Za kryerium oceny jakości poszczególnych wersji sieci przyjęo przede wszyskim wprowadzony wcześniej wskaźnik rafień, określający rafność prognozy sysemu neuronowego w porównaniu z decyzją inspekorów kredyowych. Warość zadanego progu decyzyjnego wynosiła,65, analogicznie do poziomu wykorzysanego w analizie regresji. 5 ANALIZA PORÓWNAWCZA METOD WYKORZYSTANYCH W BADANIACH Dla zapewnienia porównywalności wyników między zasosowanymi meodami klasyfikacji wniosków kredyowych, oba rodzaje eksperymenów przeprowadzono w idenycznych warunkach, o znaczy wykorzysując odpowiednie próby saysyczne oraz uwzględniając analogiczne zbiory zmiennych objaśniających. W celu oceny jakości prognozy dosarczonej przez obie echniki, dla każdej z nich wyznaczono en sam zbiór miar dopasowania oraz błędów. Tabela 2. Warości skorygowanych współczynników deerminacji dla wybranych modeli oraz sieci. Skorygowany współczynnik Warian 2 deerminacji ( R ) Model Sieć Warian I (2 zm., 2 obs),96,6538 Warian V ( zm., 2 obs),,429 Warian VII (3 zm., 2 obs),592,82 Warian VIII ( zm., 48 obs),263,36 Oceniając dopasowanie warości eoreycznych do danych empirycznych na podsawie skorygowanych współczynników deerminacji, należy swierdzić, iż w każdym z wybranych warianów sysemy neuronowe okazały się echniką efekywniejszą, w sensie procenowego poziomu objaśnienia zmienności rozważanego problemu. Doyczy o zwłaszcza warianu I (2 zm., 2 obs.), dla kórego orzymana warość wspomnianego współczynnika sugeruje, że skonsruowana sieć w 65,38% jes w sanie wyjaśnić zachowanie prognozowanej zmiennej. Rezula en można uznać za wysoce zadowalający, zważywszy na fak, iż klasyfikacja wniosków kredyowych należy do zagadnień, na kóre ogromny wpływ mają czynniki losowe rudne do przewidzenia (nie mówiąc już o uwzględnieniu ich w zbiorze zmiennych objaśniających). Wyciągnięe doychczas wnioski wydaje się powierdzać wzrokowa analiza wykresów eoreycznych oraz empirycznych decyzji kredyowych, zamieszczonych w dalszej części pracy. Waro zauważyć ponado ciekawą zależność między poziomem współczynnika deerminacji a ilością wejść w omawianych warianach sysemu neuronowego. Warość miary dopasowania maleje bowiem wraz z ograniczaniem liczby zmiennych objaśniających, co

7 powierdza przypuszczenia, że niekóre zmienne, nieisone z punku widzenia analizy regresji, w przypadku sieci neuronowej mogą mieć wpływ na decyzję kredyową. Wąpliwości może budzić zasadność porównywania skorygowanych współczynników deerminacji obliczonych dla każdej z echnik, z uwagi na brak bezpośredniego uwzględnienia wyrazu wolnego w wynikach przedsawionych dla sieci. Składnik en w sysemach neuronowych wysępuje jednak pośrednio w posaci wspomnianego wcześniej progu (obciążenia, bias, hreshold) i w danej formie zosał on uwzględniony w przeprowadzonych obliczeniach. Na korzyść echnik neuronowych przemawiają również wyznaczone wielkości wskaźnika rafień, choć w przypadku ej miary rozbieżności między modelami ekonomerycznymi a sieciami nie są już ak znaczne. Tabela 3. Warości wskaźnika rafień dla wybranych warianów modelu i sieci. Wskaźnik rafień ( w ) [%] Warian Model Sieć Warian I (2 zm., 2 obs.) 9,5 95, Warian V ( zm., 2 obs.) 9,5 92,5 Warian VII (3 zm., 2 obs.) 89, 9,5 Warian VIII ( zm., 48 obs.), 8, Przyczyny akiego sanu rzeczy można doparywać się w lepszym dopasowaniu szacunków sysemów neuronowych do danych empirycznych, a ym samym większą rafnością prognozy. Powierdzają o akże wielkości odchylenia sandardowego resz (SEE). Tabela 4. Warości wybranych miar błędów prognozy. SEE MAE RMSE Warian Model Sieć Model Sieć Model Sieć Warian I,29,8,9,48,2,8 Warian V,28,24,3,98,28,2 Warian VII,3,29,5,5,296,292 Warian VIII,38,36,3,2,4,35 Jak widać na zamieszczonych poniżej wykresach, sysemy neuronowe wydają się być bardziej sanowcze w podejmowanych decyzjach, podczas gdy modele ekonomeryczne pozosawiają większy margines niepewności. Inerpreując uzyskane w obu meodach rezulay w kaegoriach prawdopodobieńswa przyznania kredyu, można by powiedzieć, iż w przypadku sieci, dla klienów kórych wnioski inspekorzy kredyowi rozparzyli pozyywnie, oszacowane prawdopodobieńswo było z reguły większe, w porównaniu z wynikami analizy regresji. Sąd usalony próg klasyfikacji (obecnie,65) mógłby, przy zasosowaniu echniki neuronowej, być zdecydowanie wyższy, bez isonego wpływu na poziom wprowadzonego wskaźnika rafień. Podobna syuacja doyczy decyzji negaywnych, dla kórych warości prawdopodobieńsw, orzymane na podsawie sysemów neuronowych, były odpowiednio niższe niż szacunki pochodzące z modelu. Powyższe prawidłowości ławo zauważyć zwłaszcza w wariancie I (2 zm., 2 obs.), posiadającym największą, w sosunku do pozosałych zaprezenowanych wersji, liczbę zmiennych objaśniających. Sposrzeżenia e wydają się powierdzać, relaywnie wysokie w ym przypadku, wielkości miar dopasowania: skorygowanego współczynnika deerminacji ( R 2 = 65,38% ) i wskaźnika rafień ( w = 95% ). Porównanie wykresów sporządzonych dla warianu I (2 zm., 2 obs.) oraz warianu V ( zm., 2 obs.) prowadzi do wniosku, iż zasadna, z punku widzenia analizy regresji, redukcja zmiennych niezależnych, niekorzysnie wpływa na rezulay sieci. Ponownie sugeruje o możliwość wysępowania głęboko ukryych związków między wyeliminowanymi cechami diagnosycznymi a decyzją kredyową, wykryych i wykorzysywanych przez sysemy neuronowe. Omawiane zjawisko można zauważyć zwłaszcza na przykładzie grupy klienów, kórych wnioski rozparzono odmownie. Niskie prawdopodobieńswo udzielenia kredyu oszacowane w wariancie I (2 zm., 2 obs.) jes w większości rozważanych przypadków wyższe w wariancie V ( zm., 2 obs.). Jednocześnie dla znacznej części wnioskodawców, kórym przyznano kredy, wysokie warości prawdopodobieńswa, wyznaczone przez sieć w wariancie I, w wariancie V nieco spadają. Syuacja a prowadzi do pogorszenia miar dopasowania szacunków sysemu neuronowego do danych empirycznych (warian V: R 2 = 4,29%, w = 92,5% ). Proponowana inerpreacja jes ym wygodniejsza, iż z uwagi na użycie logisycznej funkcji akywacji w warswie wyjściowej sieci, szacunki sysemu neuronowego, należą do przedziału (;).

8 Porównanie efekywności sieci neuronowych i modeli ekonomerycznych we wspomaganiu decyzji kredyowych Decyzja kredyowa na podsawie modelu ekonomerycznego (warian V) - RMSE =,28. Trafność = 9,5% Decyzja kredyowa na podsawie sieci neuronowej (warian V ) - RMSE =,24. Trafoność = 92,5%,4,2,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa],8,6,4,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa],8,6,4, , decyzja oszacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny decyzja szacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny Decyzja kredyowa na podsawie modelu ekonomerycznego (warian I ) - RMSE =,2. Trafność = 9,5%. Decyzja kredyowa na podsawie sieci neuronowej (warian I ) - RMSE =,8. Trafność = 95%,4,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa,2,8,6,4,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa,8,6,4, , decyzja oszacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny decyzja szacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny Decyzja kredyowa na podsawie modelu ekonomerycznego (warian VII ) - RMSE =,296. Trafność = 89%,2 Decyzja kredyowa na podsawie sieci neuronowej (warian VII) - RMSE =,29. Trafność = 9,5%,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa],8,6,4,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa ,8,6,4,2 -, decyzja oszacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny decyzja szacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny,4 Decyzja kredyowa na podsawie modelu ekonomerycznego (warian VIII - 48 ) - RMSE =,4. Trafność = %,2 Decyzja kredyowa na podsawie sieci neuronowej (warian VIII - 48 ) - RMSE =,5. Trafność = 8,%,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa],8,6,4, ,2 Decyzja [ - przyznanie, - odmowa],8,6,4,2 -,4 -,6 decyzja szacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny decyzja szacowana decyzja empiryczna próg decyzyjny Zmniejszenie rozbieżności między wynikami analizy regresji i echnik neuronowych widać naomias wyraźnie na wykresach warianu VII (3 zm., 2 obs.), kóre wydają się być najbardziej do siebie zbliżone, podobnie jak wielkości skorygowanych współczynników deerminacji (model: R 2 = 5,92%, sieć: R 2 = 8,2% ) oraz wskaźników rafień (model: w = 89%, sieć: w = 9,5% ). Waro ponado zauważyć, iż w sosunku do pewnej grupy wnioskodawców sieci miały znacznie większe wąpliwości niż modele

9 ekonomeryczne. Doyczyły one zarówno kilku decyzji pozyywnych, wydanych przez pracowników banku, jak i negaywnych. Zasrzeżenia e są najlepiej widoczne w wariancie I (2 zm., 2 obs) i V ( zm., 2 obs.). Powierdzają o różnice między poziomem średnich absolunych błędów (MAE) a wyznaczonymi błędami średniokwadraowymi (RMSE), kóre sugerują wysępowanie zbioru resz o skrajnie dużych warościach. Najmniejsze rozbieżności między powyższymi miarami odnoowano naomias w obu echnikach dla warianu z zmiennymi objaśniającymi, oszacowanego na podsawie zbioru obserwacji zredukowanego do 48 elemenów. Wiąże się o z fakem, iż zarówno dla równania regresji, jak i sysemu neuronowego, zwłaszcza w przypadku pozyywnej decyzji empirycznej, wielkości eoreyczne były sysemaycznie niedoszacowane, co powodowało wzros obu rozważanych miar błędów. Najlepszym rozsrzygnięciem kwesii, czy zasrzeżenia zgłaszane przez sieć miały głębsze uzasadnienie, czy eż okazały się bezpodsawne, byłaby analiza erminowości spła kredyów przyznanych podejrzanym wnioskodawcom, lecz niesey nie jes ona możliwa z uwagi na brak niezbędnych informacji. Jeszcze większe problemy pojawiają się przy próbie odpowiedzi na pyanie: Czy w grupie odrzuconych wniosków nie znaleźli się poencjalnie sumienni klienci?. 6 PODSUMOWANIE Zaprezenowane badania miały na celu porównanie efekywności sieci neuronowych i modeli ekonomerycznych we wspomaganiu decyzji kredyowych. Warości wskaźnika rafień (przy usalonym progu decyzyjnym) dla większości analizowanych warianów, zarówno modeli ekonomerycznych, jak i sieci, przekroczyły 9%. Wysoki poziom powyższej miary wskazuje na znaczną zgodność wyników, dosarczonych przez zobiekywizowane meody ilościowe, z osaeczną decyzją doświadczonych pracowników banku, sugerując jednocześnie większą efekywność wykorzysanych narzędzi niż wynikałoby o z warości skorygowanego współczynnika deerminacji. Orzymane wyniki można uznać za szczególnie zadowalające, zwłaszcza jeśli wziąć pod uwagę fak, iż procedury oceny ryzyka kredyowego oraz klasyfikacji wnioskodawców, nie są prosymi, deerminisycznymi funkcjami określonych cech poencjalnych dłużników. Isoną rolę odgrywa w nich również subiekywny czynnik ludzki, wprowadzający elemen losowości do złożonego sysemu udzielania kredyów. Analiza porównawcza wspomnianych miar dopasowania i błędów przemawiała nieco na korzyść sysemów neuronowych, choć fak en nie przesądza jednoznacznie o większej efekywności danej meody. Obie echniki posiadają bowiem cenne własności, wnoszące isony wkład do prowadzonych badań. Zasadniczą zaleą sieci jes z całą pewnością zdolność wykrywania związków głęboko ukryych we wzorcach empirycznych, kórych nie sposób uwzględnić w modelu ekonomerycznym na podsawie posiadanej wiedzy eoreycznej. Powierdza o warość wskaźnika rafień obliczona dla dodakowego warianu sieci wykorzysującego maksymalną liczbę 34 zmiennych objaśniających ( w = 96% ). Wspomniana ilość wejść pozwala uwzględnić wszyskie posiadane informacje o kliencie, spośród kórych pewne faky (na pozór nieisone) mogą jednak zawierać dane deerminujące poziom prognozowanego zjawiska. Obliczone dla danej wersji sysemu neuronowego poziomy odchylenia sandardowego resz (SEE A =,), średniego absolunego błędu (MAE A =,58), a akże błędów średniokwadraowych (MSE A =,34, RMSE A =,),wskazują na zadowalające dopasowanie szacunków do danych empirycznych, a ponado są z reguły niższe niż wielkości orzymane dla pozosałych warianów sieci oraz odpowiadających im modeli ekonomerycznych. Na niekorzyść sysemów neuronowych przemawia naomias brak inerpreacji współczynników wagowych oraz wciąż słabo poznane szczegóły zasad funkcjonowania. Mimo większej precyzji prognoz sieci, nie można na ich podsawie przeprowadzić wnioskowania doyczącego isoności poszczególnych cech diagnosycznych dla osaecznej decyzji kredyowej, a ym samym w jednoznaczny sposób wskazać zbioru zmiennych o największym znaczeniu. Pod ym względem modele ekonomeryczne sanowią znacznie lepsze narzędzie analiyczne, dosarczające cennych informacji o związkach zachodzących w badanym zagadnieniu. Niepodważalny au analizy regresji sanowi możliwość analizy i oceny jakości orzymanych wyników na podsawie sprawdzonych esów saysycz-

10 nych, a akże wyznaczenia czynników wywierających decydujący wpływ na omawiane zjawisko. Jak wynika z prac auorów zajmujących się problemayką ilościowych meod doboru odpowiednich kredyobiorców, rudno jes wskazać najbardziej efekywną z nich. Wysuwane wnioski w dużym sopniu zależą bowiem od danych wykorzysanych w badaniach. Sąd eż powszechna opinia, iż mając do wyboru kilka modeli klasyfikacji poencjalnych kredyobiorców, najlepsze rezulay daje łączne uwzględnienie wyników, generowanych przez każdy z nich. 2 Mimo, iż przeprowadzone badania miały przede wszyskim charaker eoreyczny, fak en nie podważa prakycznej przydaności sworzonych układów. Jako echniki wspomagania procesu decyzyjnego, mogą być one wykorzysane we wsępnej ocenie wnioskodawców, sanowiącej punk wyjścia do dalszych analiz, dokonywanych przez inspekorów kredyowych. Ich znaczenie wiąże się ponado z wórną weryfikacją wysąpień klienów, w przypadku kórych meody ilościowe miały zasrzeżenia zarówno w sensie negaywnym, jak i pozyywnym. Ponowna analiza danych wniosków pozwala zmniejszyć prawdopodobieńswo sra powsałych w wyniku udzielania kredyów nierzeelnym dłużnikom, a akże zapobiec uracie możliwych do uzyskania przychodów wskuek nieprzyznania kredyu poencjalnie dobrym klienom. W celu obiekywnej oceny prakycznej przydaności obu narzędzi analiycznych, sensowna byłaby weryfikacja poprawności ich działania na zbiorze nowych danych empirycznych, doyczących jednakże ej samej populacji wnioskodawców w danej jednosce banku. Podsumowując powyższe rozważania należy swierdzić, iż przewaga sysemów neuronowych nad równaniami regresji w każdym z porównywanych warianów, zarówno pod kąem miar dopasowania, jak i błędów, sugeruje zasadność przeprowadzenia dalszych badań, najlepiej dla rozszerzonej, i w miarę możliwości zbilansowanej (pod względem ilości pozyywnych i negaywnych decyzji kredyowych) próby saysycznej oraz nowych warianów obu omawianych echnik. BIBLIOGRAFIA ) Żurada, J., Barski, M., Jędruch, W. (996). Szuczne sieci neuronowe: podsawy eorii i zasosowania. Warszawa: PWN. 2) Masers, T. (996). Sieci neuronowe w prakyce. Warszawa: Wydawnicwo Naukowo Techniczne. 3) Gaely, E. Sieci neuronowe. Prognozowanie finansowe i projekowanie sysemów ransakcyjnych. (999). Warszawa: WIG Press. 4) Osowski, S. Sieci neuronowe do przewarzania informacji. (2). Warszawa: Oficyna Wydawnicza Poliechniki Warszawskiej. 5) Herz, J., Krogh, A., Palmer, R.G. Wsęp do eorii obliczeń neuronowych. (993). Warszawa: Wydawnicwo Naukowo-Techniczne. 6) STATISTICA Neural Neworks - documenaion. (998). Tulsa, USA: SaSof, Inc. ) Azoff, E.M. Neural nework ime series forecasing of financial markes. (994). Chicheser: John Wiley & Sons Ld. 8) Zieliński, P. Sysemy informayczne dla bankowości w zarysie. (998). Warszawa: Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ. 9) Jaworski, W.L., Krzyżkiewicz, Z., Kosiński, B. Banki rynek, operacje, poliyka. (999). Warszawa: POLTEXT. ) Borys, G. Zarządzanie ryzykiem kredyowym w banku. (996). Warszawa: PWN. ) Paerson, R. Poradnik kredyowy dla bankowców. (995). Warszawa: TWIGGER. 2) Herpoliańska, J., Borowska, E. Kredyy i gwarancje bankowe. (993). Warszawa: TWIGGER. 3) Janc, A., Kraska, M. Credi-scoring. Nowoczesna meoda oceny zdolności kredyowej. (2). Warszawa: Zarządzanie i finanse. 4) Gajda, J. Ekonomeria prakyczna. (996). Łódź: Absolwen. 5) Welfe, A. Ekonomeria. Meody i ich zasosowanie, (998). Warszawa: PWE. 6) Goldberger, A.S. Teoria ekonomerii. (92). Warszawa: PWE. ) Kuryłek, W. Credi scoring podejście saysyczne. Bank i kredy. 2, 6. 8) Rex, P.J.L. Sraegia kredyowa podejście prakyczne i jego zasosowanie. Bank. 995, 2, ) Dura, A. O naurze ryzyka kredyowego. Bankowe abc. Bank i Kredy. 2, -8, -5. 2) Boyes, W.J., Hoffman, D.L., Low, S.A. An economeric analysis of he bank credi scoring problem. Journal of Economerics. 989, 4. 2 Kuryłek, W. Credi scoring podejście saysyczne. Bank i kredy. 2, 6, s. 6.

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Analiza rynku projekt

Analiza rynku projekt Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes

Bardziej szczegółowo

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM prof. dr hab. Paweł Dimann 1 Znaczenie prognoz w zarządzaniu firmą Zarządzanie firmą jes nieusannym procesem podejmowania decyzji, kóry może być zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe Pior Srożek * Kobiey w przedsiębiorswach usługowych prognozy nieliniowe Wsęp W dzisiejszym świecie procesy społeczno-gospodarcze zachodzą bardzo dynamicznie. W związku z ym bardzo zmienił się sereoypowy

Bardziej szczegółowo

Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób

Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób 243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Barbara Baóg Iwona Foryś PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH Wsęp Koszy dosarczenia wody

Bardziej szczegółowo

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne

Bardziej szczegółowo

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk PROJEKT nr 1 Projek spawanego węzła kraownicy Sporządził: Andrzej Wölk Projek pojedynczego węzła spawnego kraownicy Siły: 1 = 10 3 = -10 Kąy: α = 5 o β = 75 o γ = 75 o Schema węzła kraownicy Dane: Grubość

Bardziej szczegółowo

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu OeconomiA copernicana 2011 Nr 4 Małgorzaa Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu TESTOWANIE PRZYCZYNOWOŚCI W WARIANCJI MIĘDZY WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE DRZEW KLASYFIKACYJNYCH DO BADANIA KONDYCJI FINANSOWEJ PRZEDSIĘBIORSTW SEKTORA ROLNO-SPOŻYWCZEGO

ZASTOSOWANIE DRZEW KLASYFIKACYJNYCH DO BADANIA KONDYCJI FINANSOWEJ PRZEDSIĘBIORSTW SEKTORA ROLNO-SPOŻYWCZEGO 120 Krzyszof STOWARZYSZENIE Gajowniczek, Tomasz Ząbkowski, EKONOMISTÓW Michał Goskowski ROLNICTWA I AGROBIZNESU Roczniki Naukowe om XVI zeszy 6 Krzyszof Gajowniczek, Tomasz Ząbkowski, Michał Goskowski

Bardziej szczegółowo

ZJAWISKA SZOKOWE W ROZWOJU GOSPODARCZYM WYBRANYCH KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ

ZJAWISKA SZOKOWE W ROZWOJU GOSPODARCZYM WYBRANYCH KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ Anna Janiga-Ćmiel Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Zarządzania Kaedra Maemayki anna.janiga-cmiel@ue.kaowice.pl ZJAWISKA SZOKOWE W ROZWOJU GOSPODARCZYM WYBRANYCH KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ Sreszczenie:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonometrycznych na podstawie testów trafności prognoz

Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonometrycznych na podstawie testów trafności prognoz 233 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych na podsawie esów rafności prognoz Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja wahań koniunkturalnych gospodarki polskiej

Identyfikacja wahań koniunkturalnych gospodarki polskiej Rozdział i Idenyfikacja wahań koniunkuralnych gospodarki polskiej dr Rafał Kasperowicz Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu Kaedra Mikroekonomii Sreszczenie Celem niniejszego opracowania jes idenyfikacja wahao

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów:

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOWEGO

REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOWEGO REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOEGO przyjęy uchwałą nr 10/60/98 Rady Nadzorczej Krajowego Depozyu Papierów arościowych S.A. z dnia 28 września 1998 r., zawierdzony decyzją Komisji Papierów arościowych i

Bardziej szczegółowo

O EFEKTACH ZASTOSOWANIA PEWNEJ METODY WYZNACZANIA PROGNOZ JAKOŚCIOWYCH ZMIAN CEN AKCJI W WARUNKACH KRYZYSU FINANSOWEGO 2008 ROKU

O EFEKTACH ZASTOSOWANIA PEWNEJ METODY WYZNACZANIA PROGNOZ JAKOŚCIOWYCH ZMIAN CEN AKCJI W WARUNKACH KRYZYSU FINANSOWEGO 2008 ROKU Arykuł opublikowany w: Rynki kapiałowe a koniunkura gospodarcza, red. A. Szablewski, R. Wójcikowski, Wydawnicwo Poliechniki Łódzkiej, Łódź 009, s. 95-07 Doroa Wiśniewska Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem

Bardziej szczegółowo

Metody ilościowe w systemie prognozowania cen produktów rolnych. Mariusz Hamulczuk Cezary Klimkowski Stanisław Stańko

Metody ilościowe w systemie prognozowania cen produktów rolnych. Mariusz Hamulczuk Cezary Klimkowski Stanisław Stańko Meody ilościowe w sysemie prognozowania cen produków rolnych nr 89 2013 Mariusz Hamulczuk Cezary Klimkowski Sanisław Sańko Meody ilościowe w sysemie prognozowania cen produków rolnych Meody ilościowe

Bardziej szczegółowo

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów

Bardziej szczegółowo

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Insyu Technik Innowacyjnych EMAG Wykorzysanie opycznej meody pomiaru sężenia pyłu do wspomagania oceny paramerów wpływających na możliwość zaisnienia wybuchu osiadłego pyłu węglowego

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones

Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones Kompuerowa analiza przepływów urbulennych i indeksu Dow Jones Rafał Ogrodowczyk Pańswowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie Wiesław A. Kamiński Uniwersye Marii Curie-Skłodowskie w Lublinie W badaniach porównano

Bardziej szczegółowo

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme)

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme) PROGRAM PRIORYTETOWY Tyuł programu: Sysem zielonych inwesycji (GIS Green Invesmen Scheme) Część 6) SOWA Energooszczędne oświelenie uliczne. 1. Cel programu Ograniczenie lub uniknięcie emisji dwulenku węgla

Bardziej szczegółowo

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1 Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy

Bardziej szczegółowo

Obszary zainteresowań (ang. area of interest - AOI) jako metoda analizy wyników badania eye tracking

Obszary zainteresowań (ang. area of interest - AOI) jako metoda analizy wyników badania eye tracking Inerfejs użykownika - Kansei w prakyce 2009 107 Obszary zaineresowań (ang. area of ineres - AOI) jako meoda analizy wyników badania eye racking Pior Jardanowski, Agencja e-biznes Symeria Ul. Wyspiańskiego

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

JAKOŚĆ ZYSKU SPÓŁEK IPO NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE

JAKOŚĆ ZYSKU SPÓŁEK IPO NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Rafał Cieślik Uniwersye Warszawski JAKOŚĆ ZYSKU SPÓŁEK IPO NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Wprowadzenie Noblisa Joseph E. Sigliz za jedną z pięciu głównych przyczyn obecnego kryzysu gospodarczego uważa

Bardziej szczegółowo

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych Meody analizy i prognozowania szeregów czasowych Wsęp 1. Modele szeregów czasowych 2. Modele ARMA i procedura Boxa-Jenkinsa 3. Modele rendów deerminisycznych i sochasycznych 4. Meody dekompozycji szeregów

Bardziej szczegółowo

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO Sreszczenie Michał Barnicki Poliechnika Śląska, Wydział Oranizacji i Zarządzania Monika Odlanicka-Poczobu Poliechnika Śląska, Wydział

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Anna Krauze Uniwersye Warmińsko-Mazurski

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARTWOWYCH Zagadnienia wyrzymałościowe w przypadku maeriałów kompozyowych, a mówiąc ściślej włóknisych kompozyów warswowych (np. laminay zbrojone włóknami) należy rozparywać na

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie technologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK

Zastosowanie technologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK Jan M. KELNER, Cezary ZIÓŁKOWSKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Elekroniki, Insyu Telekomunikacji doi:1.15199/48.15.3.14 Zasosowanie echnologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

Estymacja stopy NAIRU dla Polski *

Estymacja stopy NAIRU dla Polski * Michał Owerczuk * Pior Śpiewanowski Esymacja sopy NAIRU dla Polski * * Sudenci, Szkoła Główna Handlowa, Sudenckie Koło Naukowe Ekonomii Teoreycznej przy kaedrze Ekonomii I. Auorzy będą bardzo wdzięczni

Bardziej szczegółowo

Jednofazowe przekształtniki DC AC i AC DC z eliminacją składowej podwójnej częstotliwości po stronie DC

Jednofazowe przekształtniki DC AC i AC DC z eliminacją składowej podwójnej częstotliwości po stronie DC Akademia Górniczo-Hunicza im. Sanisława Saszica w Krakowie Wydział Elekroechniki, Auomayki, Informayki i Inżynierii Biomedycznej Kaedra Energoelekroniki i Auomayki Sysemów Przewarzania Energii Auorefera

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. 1. Wstęp

MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. 1. Wstęp WERSJA ROBOCZA - PRZED POPRAWKAMI RECENZENTA Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. Wsęp Spośród wielu rodzajów ryzyka, szczególną

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu

Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu Poliechnika Wrocławska Insyu Konsrukcji i Eksploaacji Maszyn Zakład Logisyki i Sysemów Transporowych Rozprawa dokorska Model logisycznego wsparcia sysemu eksploaacji środków ransporu Rapor serii: PRE nr

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27 3 Spis reści Spis reści... 3 Użye oznaczenia... 7 Wsęp i założenia pracy... 9 1. Akualny san wiedzy medycznej i echnicznej związanej zagadnieniami analizy decyzyjnej w chorobach górnego odcinka przewodu

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TESTU PERRONA DO BADANIA PUNKTÓW ZWROTNYCH INDEKSÓW GIEŁDOWYCH: WIG, WIG20, MIDWIG I TECHWIG

ZASTOSOWANIE TESTU PERRONA DO BADANIA PUNKTÓW ZWROTNYCH INDEKSÓW GIEŁDOWYCH: WIG, WIG20, MIDWIG I TECHWIG Doroa Wikowska, Anna Gasek Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW dwikowska@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE TESTU PERRONA DO BADANIA PUNKTÓW ZWROTNYC INDEKSÓW GIEŁDOWYC: WIG, WIG2, MIDWIG I TECWIG Sreszczenie:

Bardziej szczegółowo

MODELE AUTOREGRESYJNE JAKO INSTRUMENT ZARZĄDZANIA ZAPASAMI NA PRZYKŁADZIE ELEKTROWNI CIEPLNEJ

MODELE AUTOREGRESYJNE JAKO INSTRUMENT ZARZĄDZANIA ZAPASAMI NA PRZYKŁADZIE ELEKTROWNI CIEPLNEJ Agaa MESJASZ-LECH * MODELE AUTOREGRESYJNE JAKO INSTRUMENT ZARZĄDZANIA ZAPASAMI NA PRZYKŁADZIE ELEKTROWNI CIEPLNEJ Sreszczenie W arykule przedsawiono wyniki analizy ekonomerycznej miesięcznych warości w

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA PREDYKCJA PRZEWOZÓW PASAŻERÓW W ŻEGLUDZE PROMOWEJ NA BAŁTYKU W LATACH 2008 2010

PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA PREDYKCJA PRZEWOZÓW PASAŻERÓW W ŻEGLUDZE PROMOWEJ NA BAŁTYKU W LATACH 2008 2010 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Chrisian Lis PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA PREDYKCJA PRZEWOZÓW PASAŻERÓW W ŻEGLUDZE PROMOWEJ NA BAŁTYKU W LATACH 2008 2010 Wprowadzenie Przedmioem

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K

POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 37, s. 97-104, Gliwice 2009 POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MARIUSZ GIERGIEL, PIOTR MAŁKA Kaedra Roboyki i Mecharoniki, Akademia Górniczo-Hunicza

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO PROBLEY NIEONWENCJONALNYCH ŁADÓW ŁOŻYSOWYCH Łódź, 4 maja 999 r. Jadwiga Janowska, Waldemar Oleksiuk Insyu ikromechaniki i Fooniki, Poliechnika Warszawska ETROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTE BADAWCZEGO SŁOWA LCZOWE:

Bardziej szczegółowo

EFEKT DNIA TYGODNIA NA GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE WSTĘP

EFEKT DNIA TYGODNIA NA GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE WSTĘP Joanna Landmesser Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: jgwiazda@mors.sggw.waw.pl EFEKT DNIA TYGODNIA NA GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE Sreszczenie: W pracy zbadano wysępowanie efeku

Bardziej szczegółowo

Nie(efektywność) informacyjna giełdowego rynku kontraktów terminowych w Polsce

Nie(efektywność) informacyjna giełdowego rynku kontraktów terminowych w Polsce Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Szczecińskiego nr 862 Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia nr 75 (2015) DOI: 10.18276/frfu.2015.75-16 s. 193 204 Nie(efekywność) informacyjna giełdowego rynku konraków erminowych

Bardziej szczegółowo

Scoring kredytowy w pigułce

Scoring kredytowy w pigułce Analiza danych Data mining Sterowanie jakością Analityka przez Internet Scoring kredytowy w pigułce Mariola Kapla Biuro Informacji Kredytowej S.A. StatSoft Polska Sp. z o.o. ul. Kraszewskiego 36 30-110

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 87 Transpor 01 Jarosław Poznański Danua Żebrak Poliechnika Warszawska, Wydział Transporu ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Ocena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych

Ocena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych Bank i Kredy 455, 04, 467 490 Ocena wpływu zmian poziomu rezerw waluowych na premię za ryzyko kredyowe Polski wykorzysanie meody roszczeń warunkowych Michał Konopczak* Nadesłany: 5 kwienia 04 r. Zaakcepowany:

Bardziej szczegółowo

Efekty agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA

Efekty agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA Joanna Górka * Efeky agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA Wsęp Wprowadzenie losowego parameru do modelu auoregresyjnego zwiększa możliwości aplikacyjne ego modelu, gdyż pozwala

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci

Bardziej szczegółowo

Sprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie!

Sprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie! Sprawujesz osobisą opiekę nad dzieckiem? Przeczyaj koniecznie! Czy z yułu sprawowania osobisej opieki nad dzieckiem podlegasz ubezpieczeniom społecznym i zdrowonemu Od 1 września 2013 r. osoba sprawująca

Bardziej szczegółowo

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń Sanisław Garska 1 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny Użyeczność bezpośredniej likwidacji szkód (LS) dla klienów zakładów ubezpieczeń Sreszczenie Wprowadzeniu bezpośredniej likwidacji szkód jako produku

Bardziej szczegółowo

METODA DOBORU ŚCIEŻEK TRANSMISYJNYCH DLA POPRAWY JAKOŚCI POŁĄCZEŃ GŁOSOWYCH IP

METODA DOBORU ŚCIEŻEK TRANSMISYJNYCH DLA POPRAWY JAKOŚCI POŁĄCZEŃ GŁOSOWYCH IP Krysian Ryłko Zakład Sieci Kompuerowych Wydział Informayki Poliechnika Szczecińska krysian@ps.pl 2005 Poznańskie Warszay Telekomunikacyjne Poznań 8-9 grudnia 2005 METODA DOBORU ŚCIEŻEK TRANSMISYJNYCH DLA

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo