OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH SIŁOWNI OKRĘTOWYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH SIŁOWNI OKRĘTOWYCH"

Transkrypt

1 MOTROL, 29, 11c, OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH SIŁOWNI OKRĘTOWYCH Zbigniew Matuszak 1, Grzegorz Nicewicz 2 1 Instytut Technicznej Eksploatacji Siłowni Okrętowych, Akademia Morska w Szczecinie Wały Chrobrego 1-2, 7-5 Szczecin, 2 Instytut Nauk Podstawowych Technicznych, Akademia Morska w Szczecinie Wały Chrobrego 1-2, 7-5 Szczecin, Streszczenie. Przedstawiono oszacowanie rozkładu chwil uszkodzeń dla instalacji parowych siłowni okrętowych różnych statków. Oszacowania dokonano dla rozkładów: wykładniczego, Weibulla, logarytmicznonormalnego, gamma. Weryfikacji zgodności rozkładu chwil uszkodzeń w instalacjach parowych z wybranymi rozkładami teoretycznymi dokonano za pomocą testu Kołmogorowa-Smirnowa z pakietu statystycznego STATGRAPHICS oraz z pakietu statystycznego STATISTICA 8.. Słowa kluczowe: siłownia okrętowa, instalacja parowa, rozkład chwil uszkodzeń, test Kołmogorowa-Smirnowa. Wprowadzenie Analizę statystyczną danych o uszkodzeniach instalacji siłowni okrętowych przeprowadzono dla dziesięciu statków, których armatorem była Polska Żegluga Morska w Szczecinie. Poszczególnym statkom nadano symbole: S1 - m/s "ZIEMIA OLSZTYŃSKA", S2 - m/s "ZIEMIA SUWALSKA", S3 - m/s "HUTA ZGODA", S4 - m/s "GENERAŁ BEM", S5 - m/s "SOLIDAR- NOŚĆ", S6 - m/s "ZAGŁĘBIE MIEDZIOWE", S7 - m/s "KOPALNIA RYDUŁTOWY", S8 - m/s "OBROŃCY POCZTY", S9 - m/s "MACIEJ RATAJ", S1 - m/s "UNIWERSYTET GDAŃSKI". Każdy ze statków został zbudowany w innym czasie, przez różne stocznie i ma inne parametry techniczne. Warunki, w których zbierano informacje o uszkodzeniach siłowni okrętowych, były analogiczne dla wszystkich statków, tzn. prowadzone były przez obserwatora znajdującego się na statku, pracującego w jego siłowni. Analiza chwil uszkodzeń w siłowniach dziesięciu statków testem Kruskala-Wallisa wykazała, że dla instalacji parowej (IPar) kolejne chwile uszkodzeń ze wszystkich 1 statków można traktować jako próbę pochodzącą z tej samej populacji generalnej, Korzystając z uzyskanych, na podstawie badań eksploatacyjnych [13, 14], danych o uszkodzeniach instalacji (tab. 1) zbudowano model matematyczny rozkładu chwil do uszkodzenia dla instalacji parowych.

2 OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH 131 Tab. 1. Zestawienie chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowej IPar Tab. 1. Instants t n of a steam system consecutive failures Numer Chwile kolejnych uszkodzeń (w dniach) uszkodzenia S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S Z uwagi na charakter danych statystycznych, preferowano rozkłady względnie proste i najczęściej wykorzystywane w teorii niezawodności. Zatem kolejno sprawdzono możliwość zbudowania modelu opartego na rozkładach: wykładniczym, z gęstością prawdopodobieństwa: t f ( t) e dlat, (1) Weibulla, z gęstością prawdopodobieństwa: 1 f ( t) t e t dla t, (2) logarytmiczno-normalnym, z gęstością prawdopodobieństwa: 1 f ( t) e t 2 ln t gamma, z gęstością prawdopodobieństwa: dla t, 1 t t f ( t) e dla t. (3) (4) W celu sprawdzenia zgodności rozkładu empirycznego z wymienionymi czterema rozkładami teoretycznymi posłużono się testem zgodności Kołmogorowa-Smirnowa zawartym w pakiecie STATGRAPHICS oraz STATISTICA 8.. Test ten można stosować dla małych liczebnie prób (n<1) [5] na podstawie danych indywidualnych. Oszacowanie rozkładu chwil uszkodzeń dla instalacji parowych pakietem STATGRAPHICS E wobec hipotezy alterna- Poniżej zweryfikowano hipotezę zerową H : G( ti ) F( ti ) tywnej H 1 : E G( t ) F( t ). i i Wg [7, 8, 9] interpretacja występujących dystrybuant empirycznych jest następująca:

3 132 Zbigniew Matuszak, Grzegorz Nicewicz się: dla wektora danych indywidualnych, w którym nie powtarzają się te same realizacje obseri wowanej zmiennej losowej G( t i ) dla i 1,2,..., n, n dla wektora danych indywidualnych, w którym powtarzają się (razy te same realizacje obi serwowanej zmiennej losowej G( t i ) dla i 1,2,..., k,(k - liczba klas). n Jeśli przez F t ) oznaczy sie wartość dystrybuanty rozkładu teoretycznego, to przyjmuje ( i i Dn max F( ti ) oraz 1 i n n i 1 Dn max F ( ti ). 1 i n n Test Kołmogorowa-Smirnowa oparty jest na statystyce D D, D n max n n. Buduje się prawostronny obszar krytyczny D n,, dla określonego poziomu istotności α. Zatem hipotezę H należy odrzucić, gdy wartość statystyki Dn D n,, w przeciwnym przypadku brak podstaw do odrzucenia hipotezy H. Pakiet STATGRAPHICS [5] podaje oszacowanie poziomu istotności significance level ˆ dla wartości statystyki D n uzyskanej z próby: P D n ˆ ˆ, D n. Decyzję o odrzuceniu hipotezy H lub braku podstaw do jej odrzucenia można podjąć porównując poziom istotności oraz significance level ˆ. Jeśli ˆ, to hipotezę H odrzuca się, w przeciwnym przypadku brak podstaw do jej odrzucenia. Wyniki testu Kołmogorowa-Smirnowa, w przypadku małych liczebnie prób losowych, są bardziej jednoznaczne niż przy stosowaniu innych testów zgodności. Wyniki testu Kołmogorowa-Smirnowa zgodności rozkładu empirycznego ze wszystkimi wybranymi wcześniej rozkładami teoretycznymi, to znaczy: wartości statystyk Dn, Dn orazdn wraz z poziomem istotności significance level ˆ dla danych ze wszystkich dziesięciu statków zostały umieszczone w tabeli 2. Uwzględnienie danych ze wszystkich statków jest wynikiem przeprowadzonego wcześniej testu Kruskala-Wallisa. Tab. 2. Wyniki testu Kołmogorowa-Smirnowa dla rozkładu chwil uszkodzeń instalacji parowej IPar Tab. 2. Results of Kolmogorov-Smirnov test for steam system failure moments distribution Parametry rozkładu Wartości statystyk Poziom istotności Rozkład + D n - D n D n wykładniczy λ=,149,914,1393,1393,2862 Weibulla logarytmicznonormalny gamma α = 1,4689 β = 74,555 µ= 75,558 σ= 89,7121 α = 1,696 β =,251,869,132,132,3651,111,1411,1411,2723,65,137,137,347 Przyjęto poziom istotności α=,5. Zatem uzyskane wartości aproksymowanego poziomu istotności significance level ˆ wskazują, że brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności rozkładu empirycznego z każdym ze sprawdzanych rozkładów. Oznacza to, że modelem rozkładu chwil uszkodzeń instalacji parowej (IPar) dla danych empirycznych mogą być rozkłady: wykładniczy, Weibulla, logarytmiczno-normalny lub gamma. Na rysunkach 1, 2, 3 oraz 4 zamieszczono histogramy częstości oraz histogramy skumulowane chwil uszkodzeń instalacji parowej (IPar) wraz z gęstością i dystrybuantą rozkładów wykładniczego, Weibulla, logarytmiczno-normalnego oraz gamma.

4 OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH 133 częstości.12 Częstości skumulowane 1 skumulowanych Rys. 1. Histogram i histogram skumulowany chwil uszkodzeń instalacji parowej (IPar) wraz z gęstością i dystrybuantą rozkładu wykładniczego z parametrem λ=,149 Fig. 1. Histogram and cumulative histogram of steam system failure instants with probability density and distribution function of the exponential distribution with the parameter λ=,149 czestosci.12 Częstości skumulowane 1 skumulowanych Rys. 2. Histogram i histogram skumulowany chwil uszkodzeń instalacji parowej (IPar) wraz z gęstością i dystrybuantą rozkładu Weibulla z parametrami α= 1,4689, β= 74,555 Fig. 2. Histogram and cumulative histogram of steam system failure instants with probability density and distribution function of the Weibull distribution with the parameters α= 1,4689, β= 74,555

5 134 Zbigniew Matuszak, Grzegorz Nicewicz częstości.12 Częstości skumulowane 1 skumulowanych Rys. 3. Histogram i histogram skumulowany chwil uszkodzeń instalacji parowej (IPar) wraz z gęstością i dystrybuantą rozkładu logarytmiczno-normalnego z parametrami µ= 75,558, σ= 89,7121 Fig. 3. Histogram and cumulative histogram of steam system failure instants with probability density and distribution function of the log-normal distribution with the parameters µ= 75,558, σ= 89,7121 częstości.12 Częstości skumulowane 1 skumulowanych Rys. 4. Histogram i histogram skumulowany chwil uszkodzeń instalacji parowej (IPar) wraz z gęstością i dystrybuantą rozkładu gamma z parametrami α= 1,696, β=,251 Fig. 4. Histogram and cumulative histogram of steam system failure instants with probability density and distribution function of the gamma distribution with the parameters α= 1,696, β=,251

6 OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH 135 Oszacowanie rozkładu chwil uszkodzeń dla instalacji parowych pakietem STATISTICA 8. Program z pakietu STATISTICA [17, 18] domyślnie wykonuje test chi-kwadrat na podstawie liczności obserwowanych i oczekiwanych. Testu chi-kwadrat nie można zastosować w odniesieniu do prób o małej liczebności (n<5) [17, 18]. Kategorie, w obrębie których liczności oczekiwane są niższe od 5, są łączone tak, aby utworzyły klasy o wyższej liczności. Liczba stopni swobody dla statystyki testu chi-kwadrat jest wyliczana w podany poniżej sposób: df = liczba kategorii - liczba parametrów - 1, gdzie: liczba kategorii odnosi się do liczby klas w tablicy liczności, w której liczności oczekiwane są wyższe niż 5; liczba parametrów dotyczy liczby parametrów odpowiedniego rozkładu teoretycznego. Jeżeli wynikom testu chi-kwadrat towarzyszy zastrzeżenie df poprawione, oznacza to, że program w celu obliczenia statystyki testu chi-kwadrat dokonał połączenia kategorii, w których liczności oczekiwane są niższe od 5. W szczególności, kategorie te są łączone z sąsiednimi, aż do momentu, gdy oczekiwana liczność tak utworzonych klas przekroczy 5. Jeżeli test wykazuje istotność (tzn. wartość p jest mniejsza od założonego poziomu istotności, zazwyczaj równego,5 lub,1), wówczas odrzuca się hipotezę zakładającą, że obserwowane dane podlegają określonemu rozkładowi [17, 18]. Test Kołmogorowa-Smirnowa jest obliczany lub nie, w zależności od ustawień na karcie Opcje. Test Kołmogorowa-Smirnowa dla dwóch prób jest testem istotności różnic pomiędzy dwoma próbami. Podobnie jak w teście dla jednej próby, statystyka testowa porównuje dystrybuanty, w tym przypadku dystrybuanty dwóch prób (np. wartości obserwowanych i pochodzących z symulacji). Duża różnica dystrybuant wskazuje, że dane pochodzą z dwóch różnych populacji. Ten test może być przydatny w fazie budowy modelu do oceny, czy wyniki przewidywane (w oparciu o dane wejściowe z symulacji) różnią się od wyników obserwowanych. Istotna różnica pomiędzy wynikami przewidywanymi a obserwowanymi zazwyczaj oznacza, że model jest niewystarczający (do reprezentowania zależności między danymi wejściowymi i wyjściowymi) [17, 18]. W grupie Test Kołmogorowa-Smirnowa można ustawić opcje dla testu Kołmogorowa- Smirnowa. Obliczenia w przypadku tego testu mogą być wykonywane w oparciu o dane skategoryzowane (poprzez zaznaczenie opcji Tak (skategoryzowany) - obliczenia są wtedy szybsze) lub dane surowe (jest to metoda wolniejsza; w celu zastosowania tej metody należy uaktywnić przycisk opcji Tak (ciągły) ) W pierwszym przypadku program obliczy wartość statystyki D-maks na podstawie danych pogrupowanych. W drugim przypadku program w oparciu o uporządkowane dane dokonuje obliczenia skumulowanych liczności oczekiwanych w każdym punkcie. Statystyka D-maks Kołmogorowa jest największą z bezwzględnych różnic między zaobserwowaną a oczekiwaną skumulowaną wartością rozkładu. Jeżeli test Kołmogorowa-Smirnowa wykazuje statystyczną istotność (tzn. poziom p jest mniejszy od założonego poziomu istotności), to mamy prawo odrzucić hipotezę zakładającą, że obserwowane dane podlegają hipotetycznemu rozkładowi [17, 18]. Przy użyciu programu STATISTICA 8. (karta Dopasowanie rozkładów ) przeprowadzono weryfikacje hipotezy zerowej o zgodności rozkładów chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych z następującymi rozkładami teoretycznymi: wykładniczym, gamma i logarytmiczno-normalnym. Wykorzystano w tym celu test Kołmogorowa-Smirnowa (ciągły). Z uwagi na ograniczoną objętość pracy nie umieszczono w tekście arkuszy programu STATISTI-

7 136 Zbigniew Matuszak, Grzegorz Nicewicz CA 8. z obserwowanymi i oczekiwanymi licznościami oraz wynikami testów zgodności danych z dopasowanym rozkładem. Wyniki testów zgodności zamieszczono na histogramach i histogramach skumulowanych częstości chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych wraz z gęstościami prawdopodobieństwa i dystrybuantami rozważanych rozkładów teoretycznych. Na rys. 5 i 6 przedstawiono wyniki oszacowania rozkładu wykładniczego o parametrach: liczba kategorii - 18; dolna granica - ; górna granica - 18; lambda -,1486; średnia obserwowana - 67,3; wariancja obserwowana ,2551. Rys. 5. Histogram chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz funkcja gęstości rozkładu wykładniczego (linia ciągła) z naniesionymi wynikami testu Kołmogorowa-Smirnowa Fig. 5. Histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and the exponential distribution density function (full line) with the inserted Kolmogorov-Smirnov test results 11 Zmienna: chwile t n kolejnych uszkodzeń, Rozkład: wykładniczy d Kołmogorowa-Smirnowa,13933, p = n.i. test chi-kwadrat = 11,9695, df = 6 (dopasow.), p =, Częstości względne (%) Rys. 6. Histogram skumulowany chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz dystrybuanta rozkładu wykładniczego (linia ciągła) z naniesionymi wynikami testu Kołmogorowa - Smirnowa Fig. 6. Cumulative histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and cumulative distribution function of the exponential distribution (full line) with the inserted Kolmogorov - Smirnov test results Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkład empiryczny częstości chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych jest zgodny z rozkładem wykładniczym.

8 OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH 137 Na rys. 7 i 8 przedstawiono wyniki oszacowania rozkładu gamma o parametrach: liczba kategorii - 18; dolna granica - ; górna granica - 18; parametr skali - 39,755; parametr kształtu - 1,6931; średnia obserwowana - 67,3; wariancja obserwowana: 1974, Zmienna: chwile t n kolejnych uszkodzeń, Rozkład: gamma d Kołmogorowa-Smirnowa,1376, p = n.i. test chi-kwadrat = 4,39434, df = 4 (dopasow.), p =, Częstości względne (%) Rys. 7. Histogram chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz funkcja gęstości rozkładu gamma (linia ciągła) z naniesionymi wynikami testu Kołmogorowa-Smirnowa Fig. 7. Histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and the gamma distribution density function (full line) with the inserted Kolmogorov-Smirnov test results Rys. 8. Histogram skumulowany chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz dystrybuanta rozkładu gamma (linia ciągła) z naniesionymi wynikami testu Kołmogorowa-Smirnowa Fig. 8. Cumulative histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and cumulative distribution function of the gamma distribution (full line) with the inserted Kolmogorov-Smirnov test results Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkład empiryczny częstości chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych jest zgodny z rozkładem gamma. Na rys. 9 i 1 przedstawiono wyniki oszacowania rozkładu logarytmiczno-normalnego o parametrach: liczba kategorii - 18; dolna granica - ; górna granica - 18; średnia (M) - 3,8851; wariancja -,8795; średnia obserwowana - 67,3; wariancja obserwowana ,2551.

9 138 Zbigniew Matuszak, Grzegorz Nicewicz 14 Zmienna: chwile t n kolejnych uszkodzeń, Rozkład logarytmiczno-normalny d Kołmogorowa-Smirnowa,14112, p = n.i. test chi-kwadrat = 6,8973, df = 4 (dopasow.), p =, Częstości względne (%) Rys. 9. Histogram chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz funkcja gęstości rozkładu logarytmiczno-normlnego (linia ciągła) z naniesionymi wynikami testu Kołmogorowa- Smirnowa Fig. 9. Histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and the log-normal distribution density function (full line) with the inserted Kolmogorov-Smirnov test results 11 Zmienna: chwile t n kolejnych uszkodzeń, Rozkład logarytmiczno-normalny d Kołmogorowa-Smirnowa,14112, p = n.i. test chi-kwadrat = 6,8973, df = 4 (dopasow.), p =, Częstości względne (%) Rys. 1. Histogram skumulowany chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz dystrybuanta rozkładu log-normalnego (linia ciągła) z naniesionymi wynikami testu Kołmogorowa- Smirnowa Fig. 1. Cumulative histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and cumulative distribution function of the log-normal distribution (full line) with the inserted Kolmogorov- Smirnov test results Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkład empiryczny częstości chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych jest zgodny z rozkładem gamma. Na rys. 11 przedstawiono wyniki oszacowania rozkładu Weibulla. W celu określenia zgodności uzyskanego rozkładu empirycznego chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych z rozkładem Weibulla posłużono się metodą graficzną i wykorzystano okno Wykresy 2W > Histogramy 2W programu STATISTICA 8.. Parametry rozkładu Weibulla α, β estymowane są metodą największej wiarygodności. Parametry rozkładu: liczba kategorii - 18; dolna granica - ; górna granica - 18; α=1,4689; β=74,69.

10 OSZACOWANIE ROZKŁADU CHWIL USZKODZEŃ DLA INSTALACJI PAROWYCH % Zmienna: chwile t n kolejnych uszkodzeń; Rozkład: Weibulla α = 1,4689, β=74,69 12% 1% Częstości względne 8% 6% 4% 2% % Rys. 11. Histogram chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych oraz funkcja gęstości rozkładu Weibulla (linia ciągła) Fig. 11. Histogram of marine power plant steam systems consecutive failure instants t n and the Weibull distribution density function (full line) Uwagi końcowe Wykonane oszacowanie rozkładów chwil uszkodzeń testem Kołmogorowa-Smirnowa z pakietów statystycznych STATGRAPHICS i STATISTICA 8. wykazuje zbliżone wyniki. Dla rozkładów: wykładniczego, logarytmo-normalnego i gamma nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkłady empiryczne częstości chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych są zgodne z tymi rozkładami. Pakiet STATISTICA 8. nie dysponuje porównywalnym aparatem statystycznym do oszacowania rozkładu Weibulla, tak jak w pakiecie STATGRAPHICS, jednak na podstawie dokonanej analizy można uznać, że i dla tego rozkładu rozkład empiryczny częstości chwil t n kolejnych uszkodzeń instalacji parowych siłowni okrętowych jest zgodny z tym rozkładem. Oszacowanie rozkładów powinno być poprzedzone oceną przynależności uszkodzeń do jednej populacji generalnej (np. testem Kruskala-Wallisa). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej dotyczącej czterech rozkładów najprawdopodobniej wynika z różnorodności uszkodzeń w instalacjach parowych, wśród których występują m.in. uszkodzenia erozyjne, korozyjne, zmęczeniowe Próby zastosowania do oszacowania metod przedstawionych w pracach [1, 2, 3, 4, 6, 1, 11, 12] a dotyczących również oceny niezawodności instalacji metodami sieciowymi i za pomocą algorytmów wydają się mało przydatne. Zaproponowany w pracy sposób szacowania rozkładu chwil uszkodzeń wydaje się najprostszy i najbardziej przejrzysty. Potwierdzają to w ogólny sposób treści zawarte w [15, 16]. literatura 1. Abraham J.A.: An improved method for network probability. IEEE Transactions on Reliability Vol. R-28, No. 1, 1979, s Aggarwal K.K., Misra K. B., Gupta J.S.: A fast algorithm for reliability evaluation. IEEE Transactions on Reliability Vol. R-24, No. 1, 1975, s

11 14 Zbigniew Matuszak, Grzegorz Nicewicz 3. Agraval J.A., Barlow R.E.: A survey on network reliability and domination theory. Operations Research Vol. 32, 1984, s Ahmad S.H., Jamil A.T.M.: A modified technique for computing network reliability. IEEE Transactions on Reliability Vol. R-36, No. 5, 1987, s Andrzejczak K.: Statystyka elementarna z wykorzystaniem systemu STATGRAPHICS, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Bailey M.P., Kulkarni V.G.: A recursive algorithm for computing exact reliability measures. IEEE Transactions on Reliability, Vol. R-35, No. 1, 1986, s Bobrowski D.: Probabilistyka w zastosowaniach technicznych. WNT, Warszawa, Bobrowski D.: Modele i metody matematyczne teorii niezawodności. WNT, Warszawa, Domański Cz.: Statystyczne testy nieparametryczne. PWN, Warszawa, Dotson W.P., Gobien J.O.: A new analysis technique for probabilistic graphs. IEEE Transactions on Circuits and Systems Vol. CAS-26, No. 1, 1979, s Fong C.C., Buzacott J.A.: Improved bounds for system-failure probability. IEEE Transactions on Reliability Vol. R-36, No. 4, 1987, s Heidtmann K. D.: Bounds on reliability of a noncoherent system using its length & width. IEEE Transactions on Reliability Vol. R-31, No. 5, 1982, s Przydatność modeli matematycznych do badań niezawodności urządzeń siłowni okrętowych. Raport nr 1997/3 Projektu Badawczego Nr 9T12C771 pod kierownictwem Zbigniewa Matuszaka Badanie uszkodzeń i rozkładów uszkodzeń złożonych układów technicznych na przykładzie instalacji siłowni okrętowych. Wyższa Szkoła Morska w Szczecinie, Szczecin, 1997, maszynopis. 14. Przydatność modeli matematycznych w badaniach niezawodności urządzeń siłowni okrętowej na przykładzie okrętowych silników spalinowych. Raport nr 1998/12 Projektu badawczego Nr 9 T12C 77 1 pod kierownictwem Zbigniewa Matuszaka Badanie uszkodzeń i rozkładów uszkodzeń złożonych układów technicznych na przykładzie instalacji siłowni okrętowych. Wyższa Szkoła Morska w Szczecinie, Szczecin, 1998, maszynopis. 15. Rausand M., Høyland A.: System Reliability Theory: Models, Statistical Methods and Applications. Second edition. New Jersey: Wiley, Interscience Saleh J. H., Marais K.: Reliability: How much is it worth? Beyond its estimation or prediction, the (net) present value of reliability. Reliability Engineering and System Safety Vol. 91, 26, s Stanisz A.: Przystępny kurs statystyki. Tom 1: Statystyki podstawowe. StatSoft, Kraków, StatSoft Statistica 8.: Podręcznik elektroniczny STATISTICA. ESTIMATION OF THE FAILURE MOMENTS DISTRIBUTION FOR STEAM SYSTEMS IN MARINE POWER PLANTS Summary. The paper deals with the estimation of failure moments distribution of power plant steam systems in a variety of ships. Exponential, Weibull, log-normal and gamma distributions have been the subject of the assessment. Moreover, the compliance verification of steam systems failure moments distribution with the selected theoretical distributions by Kolmogorov-Smirnov tests from statistical packages STATGRAPHICS and STATISTICA 8. has been carried out. Key words: marine power plant, steam system, failure moments distribution, Kolmogorov-Smirnov test.

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Akademia Morska w Szczecinie. Wydział Mechaniczny

Akademia Morska w Szczecinie. Wydział Mechaniczny Akademia Morska w Szczecinie Wydział Mechaniczny ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Marcin Kołodziejski Analiza metody obsługiwania zarządzanego niezawodnością pędników azymutalnych platformy pływającej Promotor:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11 Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu Levene a i testu Browna-Forsythe a w badaniach jednorodności wariancji

Wykorzystanie testu Levene a i testu Browna-Forsythe a w badaniach jednorodności wariancji Wydawnictwo UR 2016 ISSN 2080-9069 ISSN 2450-9221 online Edukacja Technika Informatyka nr 4/18/2016 www.eti.rzeszow.pl DOI: 10.15584/eti.2016.4.48 WIESŁAWA MALSKA Wykorzystanie testu Levene a i testu Browna-Forsythe

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Pomiar na skali porządkowej mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Wykład 12 (21.05.07): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego) n 1 = 9 poletek w dąbrowie,

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

W4 Eksperyment niezawodnościowy

W4 Eksperyment niezawodnościowy W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Biologia, poziom drugi Sylabus modułu: Metody statystyczne w naukach przyrodniczych

Kierunek i poziom studiów: Biologia, poziom drugi Sylabus modułu: Metody statystyczne w naukach przyrodniczych Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Biologia, poziom drugi Sylabus modułu: Metody statystyczne w naukach przyrodniczych kod modułu: 2BL_02 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1 Statystyka opisowa. Testowanie zgodności STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych I. Miary położenia: Mediana Moda

ĆWICZENIE 1 Statystyka opisowa. Testowanie zgodności STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych I. Miary położenia: Mediana Moda ĆWICZENIE 1 Statystyka opisowa. Testowanie zgodności Przedmiotem statystyki jest zbieranie, prezentacja oraz analiza danych opisujących zjawiska losowe. Badaniu statystycznemu podlega próbka losowa pobrana

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do estymacji rozkładów w SAS.

Wprowadzenie do estymacji rozkładów w SAS. Wprowadzenie do estymacji rozkładów w SAS Henryk.Maciejewski@pwr.wroc.pl 1 Plan Empiryczne modele niezawodności Estymacja parametryczna rozkładów zmiennych losowych Estymacja nieparametryczna Empiryczne

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pawel@cibis.pl 12 maja 2007 1 Badanie normalności rozkładu elementu losowego Test Hellwiga dla małej próby Test Kołmogorowa dla dużej próby 2 Testy Pakiet Analiza Danych

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE PRZEBIEGÓW WYBRANYCH MIAR NIEZAWODNOŚCIOWYCH NA PRZYKŁADZIE SYSTEMÓW ZASILANIA PALIWEM DWÓCH STATKÓW SERII B-584

PORÓWNANIE PRZEBIEGÓW WYBRANYCH MIAR NIEZAWODNOŚCIOWYCH NA PRZYKŁADZIE SYSTEMÓW ZASILANIA PALIWEM DWÓCH STATKÓW SERII B-584 Chybowski L., Grzebieniak R., Matuszak Z. Maritime Academy Szczecin, Poland Summary PORÓWNANIE PRZEBIEGÓW WYBRANYCH MIAR NIEZAWODNOŚCIOWYCH NA PRZYKŁADZIE SYSTEMÓW ZASILANIA PALIWEM DWÓCH STATKÓW SERII

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6 Metody sprawdzania założeń w analizie wariancji: -Sprawdzanie równości (jednorodności) wariancji testy: - Cochrana - Hartleya - Bartletta -Sprawdzanie zgodności

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności.

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności. Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności. Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby

Bardziej szczegółowo

Niezawodność i diagnostyka projekt

Niezawodność i diagnostyka projekt Niezawodność i diagnostyka projekt Jacek Jarnicki Henryk Maciejewski Zajęcia wprowadzające 1. Cel zajęć projektowych 2. Etapy realizacji projektu 3. Tematy zadań do rozwiązania 4. Podział na grupy, wybór

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

rok 2006/07 Jacek Jarnicki,, Kazimierz Kapłon, Henryk Maciejewski

rok 2006/07 Jacek Jarnicki,, Kazimierz Kapłon, Henryk Maciejewski Projekt z niezawodności i diagnostyki systemów cyfrowych rok 2006/07 Jacek Jarnicki,, Kazimierz Kapłon, Henryk Maciejewski Cel projektu Celem projektu jest: 1. Poznanie metod i napisanie oprogramowania

Bardziej szczegółowo

Jak sprawdzić normalność rozkładu w teście dla prób zależnych?

Jak sprawdzić normalność rozkładu w teście dla prób zależnych? Jak sprawdzić normalność rozkładu w teście dla prób zależnych? W pliku zalezne_10.sta znajdują się dwie zmienne: czasu biegu przed rozpoczęciem cyklu treningowego (zmienna 1) oraz czasu biegu po zakończeniu

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe

1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe Zjazd 7. SGGW, dn. 28.11.10 r. Matematyka i statystyka matematyczna Tematy 1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe nna Rajfura 1 Zagadnienia Przykład porównania wielu obiektów w

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Dane bibliograiczne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Mieczysław Połoński 1 1. Metodyka statystycznego opracowania

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne #7 1 Czy straszenie jest bardziej skuteczne niż zachęcanie? Przykład 5.2. s.197 Grupa straszona: 8,5,8,7 M 1 =7 Grupa zachęcana: 1, 1, 2,4 M 2 =2 Średnia ogólna M=(M1+M2)/2= 4,5 Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Porównanie wyników grupy w odniesieniu do norm Test t dla jednej próby

Porównanie wyników grupy w odniesieniu do norm Test t dla jednej próby Porównanie wyników grupy w odniesieniu do norm Test t dla jednej próby 1. Wstęp teoretyczny Prezentowane badanie dotyczy analizy wyników uzyskanych podczas badania grupy rodziców pod kątem wpływu ich przekonań

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.03.2017r Problem Behrensa Fishera Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

P: Czy studiujący i niestudiujący preferują inne sklepy internetowe?

P: Czy studiujący i niestudiujący preferują inne sklepy internetowe? 2 Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia czy pomiędzy zmiennymi istnieje związek/zależność. Stosujemy go w sytuacji, kiedy zmienna zależna mierzona jest na skali

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo