Mechanika ruchu ciała sztywnego

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mechanika ruchu ciała sztywnego"

Władysława Karczewska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Mchnik ruchu cił szwngo N chwilę zpoinjąc o zdrznich wprowdzi równni ruchu płskigo dl go cił. Dziłją n ni nsępując sił: Sił łuiąc (oporu) Sił cznn Sił, kór oż pojwić się w wniku odici się od przszkod Dl kżdgo cił w ruchu płski są rz zinn opisując położni: = współrzędn -ow środk s = współrzędn -kow środk s θ = ką orou wokół środk s Pondo dl kżdgo cił okrśl się prędkości odpowidjąc zinn: ' = ' = θ' = ω = prędkość kąow Równni ruchu go cił zwirją cłkowią siłę F = (F, F ) i on τ dziłjąc n o ciło: F = '' F = '' τ = I θ'' gdzi = s nd I = on zwłdności względ środk s. Wkor ozncz pogruini. Sił cznn Zuduj rz równni rchu dodjąc po jdnj sil n rz, zcznjąc od sił cznnj. Nich T = [T, T ] ędzi wkor sił cznnj, kór dził w punkci P cił. Sił powoduj przspiszni cił zgodni z II prw Nwon: '' = T '' = T

2 W ch równnich ni znczni gdzi n cil sił js przłożon. Punk P oż ć gdzikolwik, poniwż ciło js szwn I dlgo sił powoduj przspiszni cłgo cił. Z drugij sron dl ruchu oroowgo js rdzo wżn gdzi sił js przłożon. Mon zwłdności js dl ruchu oroowgo kwiwln s. Mirz, jk rudno js orcć ciło wokół dngo punku. Poniwż nsz prosoką orc się swoodni wokół środk s przji środk z punk, względ kórgo ędzi oliczć on zwłdności. Dl cinkij prosokąnj pł olicz się go z wzoru I = (długość + wsokość ) Nich R = (R, R ) ędzi wkor opisując odlgłość od środk s do P. Mon oroow w punkci P js opisn iloczn wkorow R T = R T R T skąd I θ'' = R T Fkczni on oroow js wkor, l poniwż prcuj w wirch o wi, ż on oroow js zwsz prosopdł do płszczzn, k ż wkorzsuj lko jgo rzcią współrzędną. Tk więc lko równni dl rzcij współrzędnj, o [R, R, ] [T, T, ] = [,, R T R T ] Ogólni iloczn wkorow dfiniuj się jko: [,, z] [u,, w] = [ w z, w + z u, u] Sił, kór oż pojwić się w wniku odici się od przszkod Przszkod dził wzdłuż wkor od punku P do ijsc sku przszkodą; nzwi n wkor L. Siłą odici o B = (B, B ) = s L gdzi s słą odici. Dziłni j sił js idnczn jk sił cznnj, więc dodj ją do równń k:. '' = T + B '' = T + B I θ'' = R T + R B Sił łuiąc Tłuini (opór, rci) powoduj siłę przciwną do kirunku ruchu. I szcij jdzisz, większ opór ruchu. Tk więc wilkość sił łuini js

3 proporcjonln do prędkości. Nich k ędzi słą proporcjonlngo łuini. Dodjąc o do nszch równń ruchu dj '' = T + B k ' () '' = T + B k ' () I θ'' = R T + R B k θ' (3) W sulcji rdzij rliscznj ogą ć różn współcznniki łuini dl ruchu oroowgo w porównniu z ruch posępow. Al uj użw ch sch słch. Równni (-3) są równni ruchu dl jdngo nszgo prosokąngo cił. Dopóki ni pojwi się zdrzni, równni funkcjonują z zrzuu. Oo podsuowni nikórch zinnch: = s k = sł łuini T = wkor sił cznnj B = wkor sił, kór oż pojwić się w wniku odici się od przszkod R = wkor od środk s do punku P, gdzi dził sił cznn Jk oliczć nrgię i pęd Wjśni u jk oliczn js nrgi i pęd oików. Jśli ni ur nrgii chnicznj n rci (łuini = ) lo podczs zdrzni (zdrzni s częso sprężs, co ozncz współcznnik rsucji = ) wd nrgi chniczn ukłdu się ni zini. Zdrzni dwóch oików ni powinno zinić onu pędu. Jdnkż zdrzni z ściną zini on pędu. poniwż ścin ni js rn jko s podczs oliczń doczącch pędu oików. Enrgi kinczn ruchu posępowgo js równ / gdzi js wkor prędkości środk s oiku. Kwdr prędkości olicz nożąc sklrni wkor prędkości przz sii. Enrgi kinczn ruchu oroowgo js równ I ω / gdzi I js on zwłdności, ω js prędkością kąową. 3

4 Pęd w kirunku -ow js równ, w kirunku -kow. Mon pędu (krę) j irzon względ okrślongo punku w przsrzni, np. począku ukłdu współrzędnch. Js okrślon wzor: I ω k + r gdzi r js wkor opisując odlgłość od począku ukłdu do środk s oiku. k js wkor jdnoskow (wrsor) osi z, prosopdłj do płszczzn. Krę dwi skłdow: skłdnik związn z wirowni I ω k i skłdnik związn z oro wokół począku ukłdu, okrślon poprzz iloczn wkorow r. Mchnik zdrzni dwóch cił w D Złóż, ż wirzchołk cił A udrz w rzg cił B w punkci P. Zdfiniuj nsępując zinn, = s cił A i B r p = wkor od środk s cił A do punku P r p = wkor od środk s cił B do punku P ω, ω = prędkości kąow przd zdrzni cił A i B ω, ω = prędkości kąow po zdrzni cił A i B, = prędkości środków s przd zdrzni cił A i B, = prędkości środków s po zdrzni cił A i B p = prędkość przd zdrzni punku zdrzni w cil A p = prędkość przd zdrzni punku zdrzni w cil B 4

5 n = wkor norln do rzgu cił B = wkor sczn do rzgu cił B = współcznnik rsucji ( = zdrzni plsczn, = zdrzni sprężs) Wkorzs rz sndrdow wzór n prędkość dowolngo punku cił szwngo poruszjącgo się ruch płski (złożni ruchu posępowgo I oroowgo), u - punku P. Njpirw prędkość przd zdrzni: p = + ω r p p = + ω r p Prędkości po zdrzniu, p i p : p = + ω r p p = + ω r p Prędkość kąow kirunk osi z, więc iloczn wkorow licz nsępująco: ω r = [,, ω] [r, r, ] = [ω r, ω r, ] Trz znjdzi prędkość z kórą zdrzją si punk ou cił. Nzw ją prędkością względną. Nich ędzi prędkością względną przd zdrzni, -. prędkością względną po zdrzniu. Dfiniuj prędkości względn nsępująco: = p p = p p Korzsjąc z podnch powżj wzorów oż npisć = + ω r p ω r p (4) = + ω r p ω r p (5) Zuwż, ż przd jąc nsąpić zdrzni względn norln prędkości uszą ć przciwn (czli oik uszą zliżć się do sii). Nich współcznnik rsucji. poniwż oż wsąpić odici w kirunku norlnj i w kirunku scznj (o są prędkości norln i sczn), o rozróżni dw współcznniki rsucji: 5

6 n norln współcznnik rsucji i sczn współcznnik rsucji (współcznnik poślizgu). Przji wżn złożni w posci nsępującgo związków: n = n n = (6) (6) Równni opisując zdrzni A rozwiązć prol zdrzni, wprowdz pojęci ipulsu sił Π (popędu). Popęd js ziną onu pędu oiku gd duż sił dził przz króki okrs czsu. Gd się zcłkuj ę siłę po czsi, orz ipuls sił, czli popęd: Π = ε Wd Dlczgo użw koncpu ipuls sił, ni znngo koncpu wiążącgo siłę z przspiszni F =? Odpowidź js k, ż ni wi, jki sił dziłją podczs zdrzni, gdż wiąż się o z oddziłwnii wwnąrz riłu ch cił. Szczęśliwi oż złożć, ż zdrzni odw się n l szko, ż położni I orincj cił podczs zdrzni si ni zini. Ziniją się lko prędkości. Jko ż zin prędkości ozncz zinę pędu, koncpcję ipulsu sił. Popęd js wkor, o sił js wkor. Okzuj się, z njwgodnijsz począki ukłdu współrzędnch js punk zdrzni, kirunki osi kirunki sczn (jko oś ) i norln (jko oś ). Trz z zrzuowć popęd n osi i npisć równni pędu i popędu, kór wnikją z zisnini zdrzni: ( - ) = Π ( ) = Π Po zrzuowniu n kirunki i n (sczn i norln), o zncz po prznożniu onu równńsklrni przz i n, orz równni nsępując: ( n - n ) = Π n 6

7 ( - ) = Π (7) ( n n ) = Π n ( ) = Π Współrzędn środków s ou cił, A i B, w ukłdzi i n ozncz jko (, ) orz (, ). Z równń (7) po wliinowniu ipulsu sił wnikją nsępując dw równni: ( n - n ) + ( n n ) = ( - ) + ( ) = (8) (8) Zin ędą kż doczł kręu, gdż pęd uiszcz się w środku s cił, więc powsni w kżd cil on uworzon przz ipuls sił n riniu równ wkorowi opisującu odlgłość od począku ukłdu współrzędnch do środk s cił: I (ω - ω ) k = r Π I (ω - ω ) k = r Π lu w zpisi n osi prosopdłj do płszczzn (rozpięj n wkorch i n) (uj wkor r p = [,, ] orz r p = [,, ] z uwgi n o, ż są o wkor zczpion w środku s o końcch w począku ukłdu współrzędnch czli w punkci zdrzni: I (ω n - ω n ) = Π n + Π I (ω - ω ) = Π n Π Po wliinowniu ipulsu sił prz wkorzsniu równń pędu (7) wnikją sąd równni I (ω n - ω n ) + ( n - n ) - ( - ) = I (ω n - ω n ) + ( n - n ) - ( - ) = (9) (9) Norln współcznnik rsucji n i sczn współcznnik rsucji, okrśljąc związki poiędz prędkościi norlni i sczni przd i po zdrzniu, dją nsępując dodkow związki 7

8 8 n = n n (6) = (6) kór woc związków = + ω r p ω r p (4) = + ω r p ω r p (5) przjują posć n ω n + ω = n ( n ω + ω ) () + ω ω = ( + ω ω ) () Równni (8), (9) i () ożn zpisć w zwrj posci cirzowj: = = n n n n n n n n I I I I ω ω ω ω () lu M V = M V gdzi posci cirz M i V wnikją z wzoru (). Przdswion odl js rdzo wgodn prz rkonsrukcji dnch przrd zdrzni, gd łwo js oszcowć dn po zdrzniu. Wówczs V = M - M V

Podobne dokumenty

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0) Kolokwium z mmki 7.. Tm A godz.. Imię i nzwisko Nr indksu Zdni Wznczć cłkę d cos sin Wznczć ką unkcję pirwoną do unkcji cos sin kór przchodzi przz punk Odp. c cos cos F Zdni Nrsowć wrswic unkcji ln odpowidjąc