Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej."

Transkrypt

1 Hanna Paduch nauczyciel matematyki Zespół Szkół Rolniczych -CKP w Miętnem Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej. Matematyka jest często oceniana przez uczniów jako nauka trudna i mało użyteczna. Zdarzyło mi się usłyszeć od ucznia zarzut, że to o czym mówię na lekcji do niczego nie przyda mu się w życiu. Takie opinie wygłaszają osoby, które matematyki nie rozumieją, a więc nie lubią. Nie potrafią zatem zauważyć odniesienia poznawanych wiadomości teoretycznych do praktyki. Wprawdzie matematyka w szkole średniej polega na poznawaniu wiadomości teoretycznych (uczeń powinien znać i rozumieć pojęcia, przynajmniej te wymagane podstawą programową wyszczególnione w I standardzie wymagań egzaminacyjnych), lecz także na nabywaniu umiejętności wykorzystywania i przetwarzania informacji (II standard) oraz umiejętności argumentowania, prowadzenia rozumowania typu matematycznego i analizy sytuacji problemowych (III standard). Nie można zarzucić autorom podręczników do matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych, że nie pokazują praktycznych odniesień nauczanych treści. Oczywiście, dla spójności prowadzonego wykładu, nie można do każdego tematu na siłę szukać zastosowań praktycznych. Na pewno jednak na koniec każdego rozdziału można przeprowadzić lekcję, na której uczniowie dostaną do rozwiązania zadania o treści brzmiącej jak problem, nad którym wczoraj zastanawiał się ojciec, lub jak informacja słyszana niedawno w telewizji. Takie zadania z kontekstem realistycznym mają wiele zalet : - sprawdzają znajomość wiedzy teoretycznej i wzmacniają rozumienie poszczególnych pojęć, - kształcą umiejętność analizowania tekstu matematycznego i zapisywania wniosków za pomocą zależności (równania, nierówności, funkcje, wykresy, diagramy), - uczą twórczego rozwiązywania problemów, - pokazują pojęcia matematyczne w aspekcie praktycznym, co sprawia, że uczeń odbiera je jako bardziej przystępne, a rozwiązanie zadania praktycznego daje mu większą satysfakcję, - kształcą krytyczny stosunek do otrzymanego wyniku, poprzez odniesienie go do realiów, - kształcą umiejętność analizy problemu, porównywania sytuacji, wyboru wariantu optymalnego, - wskazują na duże znaczenie i przydatność matematyki we współczesnym świecie i jej powiązania z różnymi dziedzinami nauki, techniki, gospodarki i życia codziennego, - uczniom, którzy nie mają zainteresowań matematycznych dają możliwość wykazania się na lekcji matematyki wiedzą w zakresie swoich zainteresowań Spotkałam się ze stwierdzeniem, że nie potrafimy poradzić sobie z pewnymi problemami życia codziennego bo nie znamy matematyki: nie potrafimy zdecydować, w którym banku najkorzystniej zaciągnąć kredyt, jak korzystnie ulokować swoje oszczędności, poddając się opiniom i reklamom, niejako po omacku gramy na giełdzie, czy wybieramy taryfę opłat za telefon. Z taką opinią zgadzam się. Rzeczywiście, wiedza matematyczna taka, jak: umiejętność przetwarzania informacji i analizowania problemu pomogłaby rozwiązać powyższe sytuacje. Podstawowe umiejętności z zakresu przetwarzania informacji to umiejętność szacowania, ustalania zależności funkcyjnych oraz analizowanie wykresów i diagramów. W zakresie analizy problemu najważniejsza umiejętność to odniesienie sytuacji do realiów, ustalenie warunków istnienia problemu lub tzw. czynników ryzyka przy formowaniu wniosków ostatecznych. Wiele problemów praktycznych wiąże się z pojęciem funkcji i analizą zależności funkcyjnych. Zależnościami między różnymi wielkościami zajmowano się już w czasach Arystotelesa (III w. p.n.e.) przy okazji badań nad ruchem, jednak teoria nie rozwinęła się w tamtych czasach ze względu na nieznajomość zasad rządzących ruchem. Dopiero teoretyczne rozważania dotyczące ruchu prowadzone w XIII-XIV w. doprowadziły do pewnego postępu w jednym z dzieł Nicole Oresme (ok filozof przyrody, ekonomista, biskup i doradca króla Francji) znaleźć można pierwszy znany wykres funkcji.

2 Termin funkcja pojawił się w pracy Wilhelma Gottfrieda Leibnitza z 1692 r., zaś sposób oznaczania funkcji wprowadzili Johann Bernoulli i Leonard Euler w I poł. XVIIIw. Zdefiniowanie funkcji w dzisiejszym rozumieniu zawdzięczamy Dirichletowi ( ). Rozwój nauk matematycznych od XVIII wieku do czasów współczesnych spowodował rozszerzenie się pojęcia funkcji na różne typy, których badaniem zajmują się poszczególne działy matematyki a także nauki pokrewne, jak fizyka czy informatyka. Obecnie funkcja to najważniejsze pojęcie współczesnej matematyki. Pojawia się prawie w każdym jej rozdziale, definicji, zadaniu. Pojęcie to występuje też w teoriach wszystkich współczesnych nauk przyrodniczych, a zależności funkcyjne bada się również w naukach ekonomicznych, społecznych i politycznych. Funkcja liniowa, której wzór można zapisać w postaci y = ax + b, gdzie a i b są danymi liczbami rzeczywistymi, określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest najprostszą z funkcji rozważanych w matematyce. Ponieważ jest to funkcja prosta, łatwa do zbadania i wyobrażenia, wiele modeli zagadnień dotyczących zjawisk w różnych dziedzinach nauki i życia codziennego jest budowanych właśnie w oparciu o zależności liniowe (lub przedziałami liniowe). Może się wydawać, że zależność liniowa jest zbyt prosta by ilustrować złożone sytuacje praktyczne, lecz wbrew pozorom jest to całkiem dobry sposób opisu wielu zjawisk. Nie możemy oczywiście zapominać, że budując liniowy model zależności między dwiema wielkościami dokonujemy pewnych uproszczeń i przybliżeń, a niektóre czynniki wpływające na przebieg zjawiska zaniedbujemy. Należy jednak mieć świadomość, że otaczające nas zjawiska są na tyle skomplikowane, że w żadnym nawet najbardziej skomplikowanym zapisie nie jesteśmy w stanie uwzględnić wszystkich czynników, które determinują dane zjawisko, jego przebieg i skutek. Zależności liniowe w szkole ponadgimnazjalnej występują w wielu aspektach praktycznych. I. Przeliczenia, zamiana jednostek. Zadanie1. W USA jako parametr charakteryzujący samochód podaje się min., ile mil przejeżdża on na jednym galonie benzyny. Ustal, ile litrów benzyny na 100 km spala samochód, który na jednym galonie przejeżdża 28 mil. Przyjmij, że 1 mila to około 1600 m, jeden galon około 3,79 l. [ 0 F] Poniższy wykres przedstawia zależność między (20, 68) temperaturą mierzoną w stopniach Celsjusza [ 0 70 C] a tą samą temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita [ 0 F]. 60 Skala ta jest używana min. w USA i Wielkiej Brytanii. 50 Do wykresu należą punkty (0, 32) i (20, 68), tzn. 0 0 C = 32 0 F oraz 20 0 C = F. 30 a) Wyznacz zależność między temperaturą w skali (0, 32) Celsjusza a tą samą temperaturą mierzoną w skali 20 0 Fahrenheita. 10 b) Uzupełnij tabelkę: [ 0 C] x temperatura [ 0 C ] y temperatura [ 0 F ] c) Jaka temperatura w skali Celsjusza, odpowiada temperaturze w skali Fahreheita: 95 0 F, 23 0 F, 14 0 F?

3 Zadanie 3. Gdybyśmy mierzyli temperaturę i ciśnienie powietrza podgrzewanego w szczelnie zamkniętym naczyniu i zaznaczali wyniki w układzie współrzędnych, zauważylibyśmy, że zależność między tymi wielkościami jest funkcją liniową y = ax + b, gdzie x temperatura, y - ciśnienie. Korzystając z danych w tabeli oblicz, dla jakiej temperatury ciśnienie będzie równe zeru. Temperatura (w 0 C) Ciśnienie (w hpa) 962,71 996,71 Zadania przedstawione powyżej polegają na wyznaczaniu wzoru funkcji liniowej opisującej sytuacje. Zadanie 3. pokazuje, że dzięki doświadczalnemu wykryciu zależności liniowej między wielkościami można obliczyć wartości niemożliwe do uzyskania w warunkach doświadczalnych. Jest to metoda, przy pomocy której w XIX wieku ustalono temperaturę zera bezwzględnego. uczniowie być może zechcą rozwiązać przy pomocy proporcji. II. Produkcja, koszty, zyski. Właściciel sklepu kupuje u producenta tabliczki czekolady po 1zł za sztukę i sprzedaje je z zyskiem 25%. Funkcja f przyporządkowuje liczbie x sprzedanych czekolad łączny zysk z ich sprzedaży. Dla x 10,20,30,40,50 ułóż tabelkę wartości funkcji i narysuj jej wykres. Wyznacz wzór funkcji f. { } Zakład mleczarski dostarcza codziennie masło do dwóch sklepów firmowych i kilku innych sklepów spożywczych. Do każdego ze sklepów firmowych dostarcza codziennie po 5 kartonów masła, a do pozostałych po 2 kartony. a) Wyraź wzorem liczbę dostarczanych codziennie kartonów masła do obu sklepów firmowych i n sklepów spożywczych. b) Do ilu sklepów spożywczych dostarcza masło ten zakład mleczarski, jeśli wiadomo, że codziennie rozwożonych jest 36 kartonów masła? Zadanie 3. Pewna firma produkuje długopisy. Funkcja f określona wzorem f ( x) = 0,80x opisuje łączny dzienny koszt działalności firmy w zależności od liczby x wyprodukowanych długopisów (200zł to koszty stałe). Funkcja g( x) = 1, 20x wyraża łączny przychód ze sprzedaży długopisów. Ile długopisów dziennie należy produkować, przy założeniu, że wszystkie zostaną sprzedane, by dzienny zysk tej firmy wyniósł co najmniej 400zł? Zadanie 4. Firma produkująca pokarm dla psów ponosi koszty dzienne wyrażające się wzorem: y = 2x + 800, gdzie x oznacza ilość produkowanych dziennie puszek pokarmu, 800 to dzienne koszty działalności firmy, a 2 oznacza koszt wyprodukowania jednej puszki pokarmu wyrażony w złotówkach. Dochody tej firmy opisuje wzór: y = 4x, gdzie x oznacza ilość dziennie sprzedawanych puszek pokarmu, a 4 oznacza cenę jednej puszki p wyrażoną w złotówkach. Załóżmy, że ilość puszek wyprodukowanych i sprzedanych w danym dniu jest taka sama. Na wykresie przedstawiono koszty i dochody tej firmy w zależności od dziennej ilości wyprodukowanych puszek pokarmu. Y a) Przy jakiej wielkości dziennej produkcji firma osiąga zerowy wynik ekonomiczny (dochód jest równy poniesionym kosztom) dochód koszty X

4 b) Przy jakiej wielkości produkcji zysk dzienny firmy wynosi 400zł? c) Sporządź analogiczny wykres dla sytuacji, gdy przy takich samych kosztach firma podnosi o 1 zł cenę sprzedaży jednej puszki pokarmu i znajdź na ty wykresie punkt, w którym zysk jest równy kosztom. Rozwiązując z uczniami tego typu zadania zwracamy uwagę na fakt, że funkcje, choć opisane zależnościami liniowymi mają ograniczone dziedziny, a ich argumenty nie mogą być dowolnie duże, ani też ujemne. Ograniczenia dla argumentów wynikają z ich znaczenia praktycznego oraz z ograniczeń dla wartości tych funkcji, np. ilość wyprodukowanych długopisów zależy od procesu produkcyjnego, od ilości maszyn i od ich wydajności, jest też ograniczona popytem na długopisy. Tym samym dochód firmy czy koszty produkcji nie rosną do nieskończoności. Uczniowie, formułując wnioski mają okazję wykazać się znajomością ekonomii. III. Taryfy, abonamenty. Telefon komórkowy w promocji kosztuje złotówkę (oczywiście). Operator sieci oferuje dwie możliwości korzystania z usług: 1) Abonament miesięczny 19,90 zł oraz za połączenie 0,85 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy lub 2) Abonament miesięczny 29,90 zł oraz za połączenie 0,65 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy a) Który z wariantów jest korzystniejszy przy 50 minutach rozmów miesięcznie? b) W jakiej sytuacji droższy abonament jest korzystniejszy (ustal łączną ilość minut rozmów miesięcznie) c) Ile naprawdę kosztuje ten telefon za złotówkę, jeśli jednym z warunków skorzystania z tej promocji jest zobowiązanie się do korzystania z usług tego operatora (czyli do płacenia abonamentu) przez co najmniej 2 lata? Rachunek telefoniczny uwzględnia stałą opłatę abonamentową oraz koszty za przeprowadzone rozmowy. Za korzystanie z telefonu styczniu pan X zapłacił 79 zł, a w lutym 101 zł, przy czym wiadomo, że w styczniu pan X rozmawiał przez telefon 200 minut, a w lutym 300 minut. Wiedząc, że za opłata za każdą rozpoczętą minutę rozmowy prowadzoną w tych miesiącach pan X płacił taką samą stawkę, ustal cenę abonamentu i stawkę za jedną minutę. Wyznacz wzór funkcji wyrażającej koszt rachunku telefonicznego w zależności od czasu rozmów. Analizując zadanie 1. należy zwrócić uwagę na konieczność dokładnego zapoznania się z warunkami promocji i decyzję o ewentualnym skorzystaniu z niej podjąć po przeanalizowaniu warunków w odniesieniu do własnych potrzeb, np. nie ma sensu korzystanie z usługi darmowe weekendy jeśli nie prowadzimy w tym czasie zbyt wielu rozmów. Zadanie to jest szczególnie aktualne w dobie gwałtownego upowszechnienia się telefonii komórkowej i powinno zainteresować młodych ludzi. Można też zwrócić uwagę na mechanizm działania reklamy eksponującej treści chwytliwe dla ucha w tym wypadku niska cena telefonu. Zadania dotyczą porównywania dwóch sytuacji i zmuszają do wyciągania wniosków z tych porównań. IV. Samochód, ale jaki? Samochód A kosztuje 40 tys. zł i spala 6 l benzyny na 100 km, a samochód B 35 tys. zł, ale spala 8 l benzyny na 100 km. Niech x oznacza ilość przejechanych tysięcy kilometrów, y cenę samochodu plus koszty paliwa (pozostałe koszty pomijamy). Narysowany wykres pokazuje łączny koszt samochodu A, przy założeniu, że cena litra benzyny wynosi 3,15 zł. a) Narysuj analogiczny wykres dla samochodu B b) Po przejechaniu ilu kilometrów zwróci się różnica w cenie przy zakupie droższego samochodu? Y X

5 Koszt instalacji gazowej do samochodu wraz z montażem wynosi 3 tys. zł. Przyjmując, że koszt 1 l benzyny wynosi 3,15 zł a koszt 1 dm 3 gazu 1,70 zł, oraz zużycie paliwa na 100 km 8 l, zaś gazu 9,5 dm 3, ustal, po przejechaniu ilu tysięcy kilometrów zwróci się koszt montażu tej instalacji. Problemy związane z samochodami są na ogół bliskie młodym ludziom i nie powinno być problemów z formowaniem wniosków (szczególnie w klasach męskich). Analizując problemy przedstawione w tych zadaniach, zwracamy uwagę na fakt, że czas zwracania się kosztów poniesionych na inwestycje nie może być dowolnie długi. W przypadku samochodu czas ten zależy od ilości przejechanych kilometrów. Po za tym inwestor powinien zastanowić się, jak długo chce jeździć danym samochodem, tak aby inwestycja zwróciła się przed przewidywanym terminem odsprzedaży. Oprócz zależności linowej opisanej jednym wzorem w określonej dziedzinie, często spotykamy się z przypadkami funkcji przedziałami liniowej (inaczej kawałkami liniowej). Funkcja taka jest opisana w swojej dziedzinie kilkoma zależnościami liniowymi, z których każda dotyczy innego przedziału dziedziny. Zadania związane z funkcją przedziałami liniową wiążą się często z analizą jej wykresu. V. Analiza drogi Piotr szedł z domu do szkoły. Wykres przedstawia zależność przebytej przez niego drogi od czasu. a) Co można wywnioskować na temat zachowania chłopca między 7 42 a 7 46? b) Który odcinek drogi przebył z największą prędkością? c) Co Wojtek robił między 7 50 a 7 52? d) Który odcinek przebył z prędkością 6 km/h? e) Z jaką prędkością poruszał się między 7 46 a 7 50? odległość do domu [m] szkoła dom czas [min] Droga przebyta przez samochód składa się z dwóch odcinków o długościach s 1 i s 2. Samochód przejechał drogę o długości s 1 z prędkością v 1, a drogę o długości s 2 z prędkością v 2. Podaj wzór pozwalający obliczyć średnią prędkość samochodu w całej podróży. Wykonaj obliczenia dla s 1 =10 km, s 2 =15 km, v 1 =70km/h, v 2 =75 km/h. Zadania takie wymagają pewnych wiadomości z fizyki i umiejętności analizowania wielkości fizycznych. VI. Taryfy raz jeszcze. Pan Y ma do wyboru dwie taryfy opłat za rozmowy telefoniczne: standard za każdą rozpoczętą minutę rozmowy płacimy 0,80 zł wykres obok lub special płacimy 0,50 zł za pierwszą minutę rozmowy i za każdą następną rozpoczętą minutę 1zł a) naszkicuj wykres odpowiadający taryfie special b) która taryfa jest korzystniejsza przy rozmowie 2-minutowej, a która przy rozmowie5-minutowej? c) W ciągu miesiąca przeprowadzono 30 rozmów trwających krócej niż 1 minutę, 20 rozmów trwających krócej niż 2 minuty i n rozmów trwających niecałe 5 minut. Przy jakiej wartości n opłacalna była taryfa special? opłata [zł] czas [min]

6 Tabela przedstawia koszt przesłania paczki pocztą. a) Jak najtaniej przesłać w paczkach 12 kg nasion, jeśli paczki nie mogą ważyć więcej niż 4 kg? b) Chcemy przesłać ładunek 42 kg. Co jest korzystniejsze wysłanie 7 paczek po 6 kg, czy 6 paczek po 7 kg? Paczki krajowe waga opłata [zł] do 1 kg 5 powyżej 1 kg do 2 kg 6 powyżej 2 kg do 3 kg 7 powyżej 3 kg do 4 kg 8 powyżej 4 kg do 5 kg 9 powyżej 5 kg do 6 kg 10 powyżej 6 kg do 7 kg 12 powyżej 7 kg do 8 kg 13 powyżej 8 kg do 9 kg 14 powyżej 9 kg do 10 kg 15 VII. Zyski raz jeszcze. Wykres przedstawia wyniki finansowe pewnej firmy (w milionach złotych). a) Jaki był łączny zysk tej firmy w latach ? b) W których latach firma nie przynosiła zysku? c) W jakich okresach wyniki firmy poprawiały się, a w jakich pogarszały? zysk lata Analiza wyników firmy może wynikać z chęci zainwestowania w akcje giełdowe. Podejmując ostateczną decyzję co do inwestycji należy wziąć pod uwagę koniunkturę na rynku w obszarze związanym z działalnością tej firmy. Można zwrócić uwagę, że przedstawienie wyników finansowych firm w formie wykresu funkcji przedziałami liniowej bardziej przemawia do wyobraźni niż przedstawienie w formie wykresy słupkowego. Tego typu zadania wiążą się wyłącznie z analizą wykresu. VIII. Podatki Przedział Podstawa [zł] Podatek [zł] 0 <0 ; 2 596,42> 0 I <2 596,42 ; > 19 % podstawy 493,32 II < ; > 6 541, % nadwyżki ponad III < ; > , % nadwyżki ponad W tabeli podano skalę podatkową obowiązującą w 2001r. Podatek w każdym z przedziałów można zapisać wzorem, przy pomocy funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie x oznacza podstawę naliczania podatku. Dla przedziału II wzór ten ma postać: f(x) = 6 541,24 + 0,3(x ). a) Podaj wzory funkcji opisujących należny podatek w I i III przedziale podatkowym. b) O ile mniejszy podatek zapłaciłaby zarabiająca osoba zł, a o ile osoba zarabiająca zł rocznie gdyby obowiązywał tzw. podatek liniowy równy 20% opodatkowania niezależnie od wielkości zarobków? W zadaniu połączenie funkcji przedziałami liniowej z funkcją liniową. Do wyznaczenia wzorów funkcji w poszczególnych przedziałach podatkowych wystarcza skojarzenie liczb występujących w danym wzorze z odpowiednimi liczbami w tabeli. Wykonanie części a) ułatwi wykonanie obliczeń w części b).

7 Można polecić wykonanie wykresów obu zależności, aby uświadomić uczniom, dla kogo podatek liniowy może być korzystny. Przy okazji do przemyślenia problem z pogranicza polityki: dlaczego w naszym kraju nie obowiązuje podatek liniowy. Przedstawione przykłady zadań praktycznych odnoszą się do zależności liniowych, których zauważenie, zapisanie w postaci wzoru, czy analiza własności są raczej łatwe i nie powinny sprawić uczniom większych problemów. Zadania kształcą rozumienie pojęcia dziedziny naturalnej funkcji, sprawdzają umiejętność odczytywania z wykresu potrzebnych informacji, wymagają umiejętności posługiwania się różnymi sposobami opisywania zależności liniowych (wzór, wykres, opis słowny, tabela). Treści zadań ukazują wiele sytuacji, w których wykorzystać można wiadomości o funkcji liniowej. Kontekst realistyczny zadań wymusza niejako analizowanie otrzymanych wyników pod kątem zgodności z realiami. Łatwo też zauważyć czynniki pominięte w treści zadania i zastanowić się, czy i w jakim stopniu wpłynęło to na otrzymane wyniki. Zadania dają też okazję do zwrócenia uwagi na pewne zjawiska czy zachowania dając przyczynek do realizowania celów wychowawczych. Bibliografia: Informator maturalny od 2005 roku. Warszawa Encyklopedia szkolna Matematyka, Warszawa Andrzej Górski Twórcze rozwiązywanie zadań, Warszawa Walter Warwick Sawyer Myślenie obrazowe w matematyce elementarnej, Warszawa 1988.

WŁASNOŚCI FUNKCJI. Poziom podstawowy

WŁASNOŚCI FUNKCJI. Poziom podstawowy WŁASNOŚCI FUNKCJI Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Które z przyporządkowań jest funkcją? a) Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowana jest jej odwrotność b) Każdemu uczniowi klasy pierwszej przyporządkowane

Bardziej szczegółowo

Zestaw 6 funkcje. Zad. 1. Zad.2 Funkcja określona jest przy pomocy tabeli

Zestaw 6 funkcje. Zad. 1. Zad.2 Funkcja określona jest przy pomocy tabeli Zestaw 6 funkcje Zad. 1 Zad.2 Funkcja określona jest przy pomocy tabeli 5 10 15 20 25 3 2 17 10-8 a) Określ dziedzinę i wypisz wartości tej funkcji. b) Jaka jest największa wartość tej funkcji? c) Dla

Bardziej szczegółowo

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz Funkcja liniowa powtórzenie wiadomości Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że: a) miejscem zerowym funkcji jest liczba oraz f()=, b) miejscem zerowym funkcji jest liczba i i wykres funkcji przecina oś

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Temat: Przedstawianie i odczytywanie informacji przedstawionych za pomocą wykresów. rysowanie i analizowanie wykresów zależności funkcyjnych.

Temat: Przedstawianie i odczytywanie informacji przedstawionych za pomocą wykresów. rysowanie i analizowanie wykresów zależności funkcyjnych. Scenariusz lekcji matematyki dla klasy I Gimnazjum Temat: Przedstawianie i odczytywanie informacji przedstawionych za pomocą wykresów Cel ogólny : rysowanie i analizowanie wykresów zależności funkcyjnych.

Bardziej szczegółowo

WARSZTATY METODYCZNE (dla nauczycieli matematyki szkół ponadgimnazjalnych)

WARSZTATY METODYCZNE (dla nauczycieli matematyki szkół ponadgimnazjalnych) WARSZTATY METODYCZNE (dla nauczycieli matematyki szkół ponadgimnazjalnych) Aktywizujące metody nauczania na przykładzie tematu: Dyskusja nad liczbą rozwiązań równania liniowego z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)

SCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka) SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny:

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej

Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej Temat : Powtórzenie i utrwalenie wiadomości z funkcji kwadratowej Czas trwania : 90 min. Środki dydaktyczne:

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP

Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP I Zadania zamknięte (pkt) Zadanie Liczba - jest miejscem zerowym funkcji liniowej = x + B. f ( x) = x C. f ( x) = x + D. f

Bardziej szczegółowo

TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO

TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO Semestr 3A, 3B, 3C TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO PRZYKŁAD 1 Temperaturę w stopniach Celsjusza x przelicza się na stopnie y w skali Fahrenheita według wzoru: y = 5

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)

Bardziej szczegółowo

miesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze?

miesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze? miesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze? Zadanie 3.3. Sklepowa cena pewnej lodówki wynosi 9 zł. Sprzedawca

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA Temat: Powtórzenie i utrwalenie wiadomości o funkcji liniowej Cel ogólny Przykłady funkcji; odczytywanie własności

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia opisane w podstawie programowej obowiązujące do sprawdzianu klas VI:

Osiągnięcia opisane w podstawie programowej obowiązujące do sprawdzianu klas VI: Hanna MAREK Samorządowy Ośrodek Doradztwa Metodycznego i Doskonalenia Nauczycieli w Łomży Materiał uzupełniający dotyczący monitorowania osiągnięć uczniów Przykład sprawdzianu łącznie z obudową dla nauczyciela

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Odczytywanie wykresów.

Klasa 3. Odczytywanie wykresów. Klasa 3 Odczytywanie wykresów 1 Wykres obok przedstawia zmiany temperatury podczas pewnego zimowego dnia w Giżycku Jaką temperaturę powietrza pokazywał tego dnia termometr o godzinie 18 00? A 0 C B 1 C

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji 1. Informacje wst pne: 2. Program nauczania: 3. Temat zaj 4. Integracja: 5. Cele lekcji: Ucze potrafi:

Scenariusz lekcji 1. Informacje wst pne: 2. Program nauczania: 3. Temat zaj 4. Integracja: 5. Cele lekcji: Ucze potrafi: Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 25 września 2012r. Klasa: II a 2 liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka. 2. Program nauczania:

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA 1. Funkcje i ich własności. odróżnić przyporządkowanie,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012

W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 Jerzy Matwijko Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 W Pracowni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Funkcje. należący do tej prostej napisz jej wzór oraz narysuj jej wykres. i której wykres jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y = 1 4

Funkcje. należący do tej prostej napisz jej wzór oraz narysuj jej wykres. i której wykres jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y = 1 4 Opracowała mgr Lucyna Nikiel Zespół szkół Ogólnokształcących im Armii Krajowej w Bielsku Białej Zadania można wykorzystać do przygotowania uczniów do egzaminu gimnazjalnego lub do powtórzenia wiadomości

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI: TEMAT LEKCJI: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Interpretacja danych w arkuszu kalkulacyjnym

SCENARIUSZ LEKCJI: TEMAT LEKCJI: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Interpretacja danych w arkuszu kalkulacyjnym Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI: OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 2007/2008)

TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 2007/2008) TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 007/008) Test i analizę opracował: mgr Wojciech Janeczek Test przeprowadziły: mgr Barbara Zalewska, mgr

Bardziej szczegółowo

WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ

WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ GIMNAZJUM NR 2 W KAMIENNEJ GÓRZE WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ Oprcowała Wiesława Kurnyta Kamienna Góra, 2006 Oto wypisy z Podstawy programowej o nauczaniu matematyki w gimnazjum Cele edukacyjne 1. E Przyswajanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO

Przedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO Przedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO 1. Ponieważ celem nauczania jest kształtowanie kompetencji kluczowych, niezbędnych człowiekowi w dorosłym życiu, niezależnie od rodzaju wykształcenia i wykonywanego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji. 3. Temat lekcji: Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru o podanych własnościach;

Scenariusz lekcji. 3. Temat lekcji: Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru o podanych własnościach; Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 16 kwietnia 2013r.; Klasa: I c liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka; 2. Program nauczania:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Stopień dobry otrzymuje uczeń, który spełnia wymagania na stopień dostateczny oraz:

Stopień dobry otrzymuje uczeń, który spełnia wymagania na stopień dostateczny oraz: KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLASY I ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ (IF, IA/L) (zgodny z wymaganiami nowej podstawy programowej z grudnia 2008) Rok szkolny 2015/2016 Stopień dopuszczający potrafi:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin gimnazjalny w części matematyczno-przyrodniczej dnia r.

Próbny egzamin gimnazjalny w części matematyczno-przyrodniczej dnia r. Próbny egzamin gimnazjalny w części matematyczno-przyrodniczej dnia 06.12.2007r. L.p. Klasa Liczba uczniów w klasie Liczba uczniów, którzy przystąpili do egzaminu Liczba uczniów nieobecnych 1. III a 14

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć na hospitację diagnozującą z fizyki kl I gimnazjum dział,,kinematyka

Scenariusz zajęć na hospitację diagnozującą z fizyki kl I gimnazjum dział,,kinematyka Scenariusz zajęć na hospitację diagnozującą z fizyki kl I gimnazjum dział,,kinematyka Temat: Rozwiązywanie zadań dotyczących ruchów z wykorzystaniem wykresów V(t) i S(t). Diagnoza: Na lekcjach fizyki w

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza Arkusz zawierał 23 zadania: 20 zamkniętych i 3 otwarte. Dominowały zadania wyboru wielokrotnego, w których uczeń wybierał jedną z podanych odpowiedzi. W pięciu

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM LICZBY RZECZYWISTE BAZA ZADAŃ KLASA TECHNIKUM. Znajdź liczbę odwrotną i liczbę przeciwną do liczby jeśli a). Wyznacz NWD(x, y), jeśli: a) x = 780, y = 6 b) x = 0, y = 6 c) x = 700, y = 60 d) x = 96, y

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Statystyka...2. Liczby...8. Figury płaskie Prostokątny układ współrzędnych Wielkości proporcjonalne Procenty...

Spis treści. Statystyka...2. Liczby...8. Figury płaskie Prostokątny układ współrzędnych Wielkości proporcjonalne Procenty... Spis treści Statystyka...2 Liczby...8 Figury płaskie... 27 Prostokątny układ współrzędnych... 2 Wielkości proporcjonalne... 5 Procenty... 56 Potęga o wykładniku naturalnym... 6 Wyrażenia algebraiczne...

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego przeprowadzonego w roku szkolnym 2011/2012 w części matematyczno przyrodniczej z zakresu matematyki

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego przeprowadzonego w roku szkolnym 2011/2012 w części matematyczno przyrodniczej z zakresu matematyki Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego przeprowadzonego w roku szkolnym 2011/2012 w części matematyczno przyrodniczej z zakresu matematyki Zestaw zadań egzaminacyjnych zawierał 23, w tym 20 zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych

SCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji matematyki

Konspekt lekcji matematyki Konspekt lekcji matematyki 1) Nauczyciel: Ewelina Śliż ) Przedmiot: Matematyka 3) Szkoła: Gimnazjum 4) Klasa: III 5) Czas trwania lekcji: 45 min 6) Nr programu nauczania: DPN 500 17 /08 7) Jednostka metodyczna:

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Zajęcia wyrównawcze klasa III b, c gim.

Zajęcia wyrównawcze klasa III b, c gim. Zajęcia wyrównawcze klasa III b, c gim. Cele nauczania: Głównym celem zajęć jest wyrównanie braków z matematyki oraz poprawa wyników nauczania i kształcenia. Cele szczegółowe: 1. Rozwijanie umiejętności

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI DOŚWIADCZALNEJ

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI DOŚWIADCZALNEJ PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI DOŚWIADCZALNEJ realizowany w III Liceum Ogólnokształcącym im. św. Jana Kantego w Poznaniu w roku szkolnym 2016/17 Przedmiotowy system oceniania stosowany na zajęciach

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ORAZ SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ORAZ SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI I. Ustalenia ogólne. PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ORAZ SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI dla Liceum 1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów klas I i II: odpowiedź ustna, obejmująca

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian umiejętności matematycznych uczniów narzędziem diagnozy dyspozycji nauczyciela xxi wieku?

Sprawdzian umiejętności matematycznych uczniów narzędziem diagnozy dyspozycji nauczyciela xxi wieku? XIX Konferencja Diagnostyki Edukacyjnej, Gniezno 2013 Monika Jonczak Elżbieta Ostaficzuk Grażyna Śleszyńska Mazowieckie Samorządowe Centrum Doskonalenia Nauczycieli Sprawdzian umiejętności matematycznych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE 1. Rozwiązywanie problemów decyzji krótkoterminowych Relacje między rozmiarami produkcji, kosztami i zyskiem wykorzystuje się w procesie badania opłacalności różnych wariantów

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III CZEŚĆ PIERWSZA I. POTĘGI Zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładniku naturalnym. Oblicza wartości

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD?

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD? EWD co to jest? Metoda EWD to zestaw technik statystycznych pozwalających oszacować wkład szkoły w końcowe wyniki egzaminacyjne. Wkład ten nazywamy właśnie edukacyjną wartością dodaną. EWD jest egzaminacyjnym

Bardziej szczegółowo

1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności ucznia wraz z wagami ocen

1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności ucznia wraz z wagami ocen Przedmiotowy System Ocenia jest zgodny z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania i jest jego integralną częścią. Zasady ogólne oceniania jak i zasady planowania prac klasowych, sprawdzianów i kartkówek znajdują

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający dostateczny Dobry bardzo dobry celujący Zna, rozumie i stosuje Zna, rozumie i stosuje Zna i rozumie prosty

Dopuszczający dostateczny Dobry bardzo dobry celujący Zna, rozumie i stosuje Zna, rozumie i stosuje Zna i rozumie prosty WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych Z FIZYKI w Liceum Ogólnokształcącym im. Jana Pawła II Sióstr Prezentek w Rzeszowie Zna, rozumie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI - GIMNAZJUM

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI - GIMNAZJUM 1 PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI - GIMNAZJUM I System oceniania w nauczaniu matematyki ma sprzyjać : dostarczaniu uczniowi bieżącej informacji o poziomie jego osiągnięć edukacyjnych i postępach

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania z fizyki Gimnazjum i liceum

Przedmiotowy System Oceniania z fizyki Gimnazjum i liceum Przedmiotowy System Oceniania z fizyki Gimnazjum i liceum Bieżąca ocena osiągnięć ucznia polega na odnotowywaniu postępów i ocenianiu osiągnięć jego pracy na podstawie: - obserwacji aktywności uczniów,

Bardziej szczegółowo

RAPORT Z ZAKRESU UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH. przeprowadzonego w Szkole Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi nr 10. im.

RAPORT Z ZAKRESU UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH. przeprowadzonego w Szkole Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi nr 10. im. RAPORT Z WYNIKÓW Z WEWNĄTRZSZKOLNEGO TESTU KOMPETENCJI DRUGOKLASISTY Z ZAKRESU UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH przeprowadzonego w Szkole Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi nr 10 im. Polonii w Słupsku

Bardziej szczegółowo

Temat: Odczytywanie informacji.

Temat: Odczytywanie informacji. Opracowanie: mgr Małgorzata Urban - n-l matematyki, mgr inż. Alicja Gankowska- n-l informatyki PSP nr 5 w Ostrowcu Świętokrzyskim SCENARIUSZ LEKCJI W KLASIE 6 Lekcja matematyki z wykorzystaniem technologii

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI Przedmiotowy system oceniania z fizyki w gimnazjum sporządzono w oparciu o : 1. Rozporządzenie MEN z dnia 21.03.2001 r. 2. Statut Szkoły 3. Wewnątrzszkolny system

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasach technikum

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasach technikum Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasach technikum Zasady oceniania określone w niniejszym dokumencie zostały opracowane na podstawie: Statutu Zespołu Szkół Zawodowych im. Władysława Sikorskiego

Bardziej szczegółowo

Załącznik do Uchwały Nr 1/2014/2015 Rady Pedagogicznej Szkoły Podstawowej w Czernikowie z dnia 15.09.2014 r.

Załącznik do Uchwały Nr 1/2014/2015 Rady Pedagogicznej Szkoły Podstawowej w Czernikowie z dnia 15.09.2014 r. Celem doskonalenia sprawności rachunkowej należy: stosować różnorodne ćwiczenia doskonalące sprawność rachunkową, dostosowane do indywidualnych możliwości uczniów; wykorzystywać codzienne okazje do utrwalania

Bardziej szczegółowo