Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej."

Transkrypt

1 Hanna Paduch nauczyciel matematyki Zespół Szkół Rolniczych -CKP w Miętnem Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej. Matematyka jest często oceniana przez uczniów jako nauka trudna i mało użyteczna. Zdarzyło mi się usłyszeć od ucznia zarzut, że to o czym mówię na lekcji do niczego nie przyda mu się w życiu. Takie opinie wygłaszają osoby, które matematyki nie rozumieją, a więc nie lubią. Nie potrafią zatem zauważyć odniesienia poznawanych wiadomości teoretycznych do praktyki. Wprawdzie matematyka w szkole średniej polega na poznawaniu wiadomości teoretycznych (uczeń powinien znać i rozumieć pojęcia, przynajmniej te wymagane podstawą programową wyszczególnione w I standardzie wymagań egzaminacyjnych), lecz także na nabywaniu umiejętności wykorzystywania i przetwarzania informacji (II standard) oraz umiejętności argumentowania, prowadzenia rozumowania typu matematycznego i analizy sytuacji problemowych (III standard). Nie można zarzucić autorom podręczników do matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych, że nie pokazują praktycznych odniesień nauczanych treści. Oczywiście, dla spójności prowadzonego wykładu, nie można do każdego tematu na siłę szukać zastosowań praktycznych. Na pewno jednak na koniec każdego rozdziału można przeprowadzić lekcję, na której uczniowie dostaną do rozwiązania zadania o treści brzmiącej jak problem, nad którym wczoraj zastanawiał się ojciec, lub jak informacja słyszana niedawno w telewizji. Takie zadania z kontekstem realistycznym mają wiele zalet : - sprawdzają znajomość wiedzy teoretycznej i wzmacniają rozumienie poszczególnych pojęć, - kształcą umiejętność analizowania tekstu matematycznego i zapisywania wniosków za pomocą zależności (równania, nierówności, funkcje, wykresy, diagramy), - uczą twórczego rozwiązywania problemów, - pokazują pojęcia matematyczne w aspekcie praktycznym, co sprawia, że uczeń odbiera je jako bardziej przystępne, a rozwiązanie zadania praktycznego daje mu większą satysfakcję, - kształcą krytyczny stosunek do otrzymanego wyniku, poprzez odniesienie go do realiów, - kształcą umiejętność analizy problemu, porównywania sytuacji, wyboru wariantu optymalnego, - wskazują na duże znaczenie i przydatność matematyki we współczesnym świecie i jej powiązania z różnymi dziedzinami nauki, techniki, gospodarki i życia codziennego, - uczniom, którzy nie mają zainteresowań matematycznych dają możliwość wykazania się na lekcji matematyki wiedzą w zakresie swoich zainteresowań Spotkałam się ze stwierdzeniem, że nie potrafimy poradzić sobie z pewnymi problemami życia codziennego bo nie znamy matematyki: nie potrafimy zdecydować, w którym banku najkorzystniej zaciągnąć kredyt, jak korzystnie ulokować swoje oszczędności, poddając się opiniom i reklamom, niejako po omacku gramy na giełdzie, czy wybieramy taryfę opłat za telefon. Z taką opinią zgadzam się. Rzeczywiście, wiedza matematyczna taka, jak: umiejętność przetwarzania informacji i analizowania problemu pomogłaby rozwiązać powyższe sytuacje. Podstawowe umiejętności z zakresu przetwarzania informacji to umiejętność szacowania, ustalania zależności funkcyjnych oraz analizowanie wykresów i diagramów. W zakresie analizy problemu najważniejsza umiejętność to odniesienie sytuacji do realiów, ustalenie warunków istnienia problemu lub tzw. czynników ryzyka przy formowaniu wniosków ostatecznych. Wiele problemów praktycznych wiąże się z pojęciem funkcji i analizą zależności funkcyjnych. Zależnościami między różnymi wielkościami zajmowano się już w czasach Arystotelesa (III w. p.n.e.) przy okazji badań nad ruchem, jednak teoria nie rozwinęła się w tamtych czasach ze względu na nieznajomość zasad rządzących ruchem. Dopiero teoretyczne rozważania dotyczące ruchu prowadzone w XIII-XIV w. doprowadziły do pewnego postępu w jednym z dzieł Nicole Oresme (ok filozof przyrody, ekonomista, biskup i doradca króla Francji) znaleźć można pierwszy znany wykres funkcji.

2 Termin funkcja pojawił się w pracy Wilhelma Gottfrieda Leibnitza z 1692 r., zaś sposób oznaczania funkcji wprowadzili Johann Bernoulli i Leonard Euler w I poł. XVIIIw. Zdefiniowanie funkcji w dzisiejszym rozumieniu zawdzięczamy Dirichletowi ( ). Rozwój nauk matematycznych od XVIII wieku do czasów współczesnych spowodował rozszerzenie się pojęcia funkcji na różne typy, których badaniem zajmują się poszczególne działy matematyki a także nauki pokrewne, jak fizyka czy informatyka. Obecnie funkcja to najważniejsze pojęcie współczesnej matematyki. Pojawia się prawie w każdym jej rozdziale, definicji, zadaniu. Pojęcie to występuje też w teoriach wszystkich współczesnych nauk przyrodniczych, a zależności funkcyjne bada się również w naukach ekonomicznych, społecznych i politycznych. Funkcja liniowa, której wzór można zapisać w postaci y = ax + b, gdzie a i b są danymi liczbami rzeczywistymi, określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest najprostszą z funkcji rozważanych w matematyce. Ponieważ jest to funkcja prosta, łatwa do zbadania i wyobrażenia, wiele modeli zagadnień dotyczących zjawisk w różnych dziedzinach nauki i życia codziennego jest budowanych właśnie w oparciu o zależności liniowe (lub przedziałami liniowe). Może się wydawać, że zależność liniowa jest zbyt prosta by ilustrować złożone sytuacje praktyczne, lecz wbrew pozorom jest to całkiem dobry sposób opisu wielu zjawisk. Nie możemy oczywiście zapominać, że budując liniowy model zależności między dwiema wielkościami dokonujemy pewnych uproszczeń i przybliżeń, a niektóre czynniki wpływające na przebieg zjawiska zaniedbujemy. Należy jednak mieć świadomość, że otaczające nas zjawiska są na tyle skomplikowane, że w żadnym nawet najbardziej skomplikowanym zapisie nie jesteśmy w stanie uwzględnić wszystkich czynników, które determinują dane zjawisko, jego przebieg i skutek. Zależności liniowe w szkole ponadgimnazjalnej występują w wielu aspektach praktycznych. I. Przeliczenia, zamiana jednostek. Zadanie1. W USA jako parametr charakteryzujący samochód podaje się min., ile mil przejeżdża on na jednym galonie benzyny. Ustal, ile litrów benzyny na 100 km spala samochód, który na jednym galonie przejeżdża 28 mil. Przyjmij, że 1 mila to około 1600 m, jeden galon około 3,79 l. [ 0 F] Poniższy wykres przedstawia zależność między (20, 68) temperaturą mierzoną w stopniach Celsjusza [ 0 70 C] a tą samą temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita [ 0 F]. 60 Skala ta jest używana min. w USA i Wielkiej Brytanii. 50 Do wykresu należą punkty (0, 32) i (20, 68), tzn. 0 0 C = 32 0 F oraz 20 0 C = F. 30 a) Wyznacz zależność między temperaturą w skali (0, 32) Celsjusza a tą samą temperaturą mierzoną w skali 20 0 Fahrenheita. 10 b) Uzupełnij tabelkę: [ 0 C] x temperatura [ 0 C ] y temperatura [ 0 F ] c) Jaka temperatura w skali Celsjusza, odpowiada temperaturze w skali Fahreheita: 95 0 F, 23 0 F, 14 0 F?

3 Zadanie 3. Gdybyśmy mierzyli temperaturę i ciśnienie powietrza podgrzewanego w szczelnie zamkniętym naczyniu i zaznaczali wyniki w układzie współrzędnych, zauważylibyśmy, że zależność między tymi wielkościami jest funkcją liniową y = ax + b, gdzie x temperatura, y - ciśnienie. Korzystając z danych w tabeli oblicz, dla jakiej temperatury ciśnienie będzie równe zeru. Temperatura (w 0 C) Ciśnienie (w hpa) 962,71 996,71 Zadania przedstawione powyżej polegają na wyznaczaniu wzoru funkcji liniowej opisującej sytuacje. Zadanie 3. pokazuje, że dzięki doświadczalnemu wykryciu zależności liniowej między wielkościami można obliczyć wartości niemożliwe do uzyskania w warunkach doświadczalnych. Jest to metoda, przy pomocy której w XIX wieku ustalono temperaturę zera bezwzględnego. uczniowie być może zechcą rozwiązać przy pomocy proporcji. II. Produkcja, koszty, zyski. Właściciel sklepu kupuje u producenta tabliczki czekolady po 1zł za sztukę i sprzedaje je z zyskiem 25%. Funkcja f przyporządkowuje liczbie x sprzedanych czekolad łączny zysk z ich sprzedaży. Dla x 10,20,30,40,50 ułóż tabelkę wartości funkcji i narysuj jej wykres. Wyznacz wzór funkcji f. { } Zakład mleczarski dostarcza codziennie masło do dwóch sklepów firmowych i kilku innych sklepów spożywczych. Do każdego ze sklepów firmowych dostarcza codziennie po 5 kartonów masła, a do pozostałych po 2 kartony. a) Wyraź wzorem liczbę dostarczanych codziennie kartonów masła do obu sklepów firmowych i n sklepów spożywczych. b) Do ilu sklepów spożywczych dostarcza masło ten zakład mleczarski, jeśli wiadomo, że codziennie rozwożonych jest 36 kartonów masła? Zadanie 3. Pewna firma produkuje długopisy. Funkcja f określona wzorem f ( x) = 0,80x opisuje łączny dzienny koszt działalności firmy w zależności od liczby x wyprodukowanych długopisów (200zł to koszty stałe). Funkcja g( x) = 1, 20x wyraża łączny przychód ze sprzedaży długopisów. Ile długopisów dziennie należy produkować, przy założeniu, że wszystkie zostaną sprzedane, by dzienny zysk tej firmy wyniósł co najmniej 400zł? Zadanie 4. Firma produkująca pokarm dla psów ponosi koszty dzienne wyrażające się wzorem: y = 2x + 800, gdzie x oznacza ilość produkowanych dziennie puszek pokarmu, 800 to dzienne koszty działalności firmy, a 2 oznacza koszt wyprodukowania jednej puszki pokarmu wyrażony w złotówkach. Dochody tej firmy opisuje wzór: y = 4x, gdzie x oznacza ilość dziennie sprzedawanych puszek pokarmu, a 4 oznacza cenę jednej puszki p wyrażoną w złotówkach. Załóżmy, że ilość puszek wyprodukowanych i sprzedanych w danym dniu jest taka sama. Na wykresie przedstawiono koszty i dochody tej firmy w zależności od dziennej ilości wyprodukowanych puszek pokarmu. Y a) Przy jakiej wielkości dziennej produkcji firma osiąga zerowy wynik ekonomiczny (dochód jest równy poniesionym kosztom) dochód koszty X

4 b) Przy jakiej wielkości produkcji zysk dzienny firmy wynosi 400zł? c) Sporządź analogiczny wykres dla sytuacji, gdy przy takich samych kosztach firma podnosi o 1 zł cenę sprzedaży jednej puszki pokarmu i znajdź na ty wykresie punkt, w którym zysk jest równy kosztom. Rozwiązując z uczniami tego typu zadania zwracamy uwagę na fakt, że funkcje, choć opisane zależnościami liniowymi mają ograniczone dziedziny, a ich argumenty nie mogą być dowolnie duże, ani też ujemne. Ograniczenia dla argumentów wynikają z ich znaczenia praktycznego oraz z ograniczeń dla wartości tych funkcji, np. ilość wyprodukowanych długopisów zależy od procesu produkcyjnego, od ilości maszyn i od ich wydajności, jest też ograniczona popytem na długopisy. Tym samym dochód firmy czy koszty produkcji nie rosną do nieskończoności. Uczniowie, formułując wnioski mają okazję wykazać się znajomością ekonomii. III. Taryfy, abonamenty. Telefon komórkowy w promocji kosztuje złotówkę (oczywiście). Operator sieci oferuje dwie możliwości korzystania z usług: 1) Abonament miesięczny 19,90 zł oraz za połączenie 0,85 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy lub 2) Abonament miesięczny 29,90 zł oraz za połączenie 0,65 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy a) Który z wariantów jest korzystniejszy przy 50 minutach rozmów miesięcznie? b) W jakiej sytuacji droższy abonament jest korzystniejszy (ustal łączną ilość minut rozmów miesięcznie) c) Ile naprawdę kosztuje ten telefon za złotówkę, jeśli jednym z warunków skorzystania z tej promocji jest zobowiązanie się do korzystania z usług tego operatora (czyli do płacenia abonamentu) przez co najmniej 2 lata? Rachunek telefoniczny uwzględnia stałą opłatę abonamentową oraz koszty za przeprowadzone rozmowy. Za korzystanie z telefonu styczniu pan X zapłacił 79 zł, a w lutym 101 zł, przy czym wiadomo, że w styczniu pan X rozmawiał przez telefon 200 minut, a w lutym 300 minut. Wiedząc, że za opłata za każdą rozpoczętą minutę rozmowy prowadzoną w tych miesiącach pan X płacił taką samą stawkę, ustal cenę abonamentu i stawkę za jedną minutę. Wyznacz wzór funkcji wyrażającej koszt rachunku telefonicznego w zależności od czasu rozmów. Analizując zadanie 1. należy zwrócić uwagę na konieczność dokładnego zapoznania się z warunkami promocji i decyzję o ewentualnym skorzystaniu z niej podjąć po przeanalizowaniu warunków w odniesieniu do własnych potrzeb, np. nie ma sensu korzystanie z usługi darmowe weekendy jeśli nie prowadzimy w tym czasie zbyt wielu rozmów. Zadanie to jest szczególnie aktualne w dobie gwałtownego upowszechnienia się telefonii komórkowej i powinno zainteresować młodych ludzi. Można też zwrócić uwagę na mechanizm działania reklamy eksponującej treści chwytliwe dla ucha w tym wypadku niska cena telefonu. Zadania dotyczą porównywania dwóch sytuacji i zmuszają do wyciągania wniosków z tych porównań. IV. Samochód, ale jaki? Samochód A kosztuje 40 tys. zł i spala 6 l benzyny na 100 km, a samochód B 35 tys. zł, ale spala 8 l benzyny na 100 km. Niech x oznacza ilość przejechanych tysięcy kilometrów, y cenę samochodu plus koszty paliwa (pozostałe koszty pomijamy). Narysowany wykres pokazuje łączny koszt samochodu A, przy założeniu, że cena litra benzyny wynosi 3,15 zł. a) Narysuj analogiczny wykres dla samochodu B b) Po przejechaniu ilu kilometrów zwróci się różnica w cenie przy zakupie droższego samochodu? Y X

5 Koszt instalacji gazowej do samochodu wraz z montażem wynosi 3 tys. zł. Przyjmując, że koszt 1 l benzyny wynosi 3,15 zł a koszt 1 dm 3 gazu 1,70 zł, oraz zużycie paliwa na 100 km 8 l, zaś gazu 9,5 dm 3, ustal, po przejechaniu ilu tysięcy kilometrów zwróci się koszt montażu tej instalacji. Problemy związane z samochodami są na ogół bliskie młodym ludziom i nie powinno być problemów z formowaniem wniosków (szczególnie w klasach męskich). Analizując problemy przedstawione w tych zadaniach, zwracamy uwagę na fakt, że czas zwracania się kosztów poniesionych na inwestycje nie może być dowolnie długi. W przypadku samochodu czas ten zależy od ilości przejechanych kilometrów. Po za tym inwestor powinien zastanowić się, jak długo chce jeździć danym samochodem, tak aby inwestycja zwróciła się przed przewidywanym terminem odsprzedaży. Oprócz zależności linowej opisanej jednym wzorem w określonej dziedzinie, często spotykamy się z przypadkami funkcji przedziałami liniowej (inaczej kawałkami liniowej). Funkcja taka jest opisana w swojej dziedzinie kilkoma zależnościami liniowymi, z których każda dotyczy innego przedziału dziedziny. Zadania związane z funkcją przedziałami liniową wiążą się często z analizą jej wykresu. V. Analiza drogi Piotr szedł z domu do szkoły. Wykres przedstawia zależność przebytej przez niego drogi od czasu. a) Co można wywnioskować na temat zachowania chłopca między 7 42 a 7 46? b) Który odcinek drogi przebył z największą prędkością? c) Co Wojtek robił między 7 50 a 7 52? d) Który odcinek przebył z prędkością 6 km/h? e) Z jaką prędkością poruszał się między 7 46 a 7 50? odległość do domu [m] szkoła dom czas [min] Droga przebyta przez samochód składa się z dwóch odcinków o długościach s 1 i s 2. Samochód przejechał drogę o długości s 1 z prędkością v 1, a drogę o długości s 2 z prędkością v 2. Podaj wzór pozwalający obliczyć średnią prędkość samochodu w całej podróży. Wykonaj obliczenia dla s 1 =10 km, s 2 =15 km, v 1 =70km/h, v 2 =75 km/h. Zadania takie wymagają pewnych wiadomości z fizyki i umiejętności analizowania wielkości fizycznych. VI. Taryfy raz jeszcze. Pan Y ma do wyboru dwie taryfy opłat za rozmowy telefoniczne: standard za każdą rozpoczętą minutę rozmowy płacimy 0,80 zł wykres obok lub special płacimy 0,50 zł za pierwszą minutę rozmowy i za każdą następną rozpoczętą minutę 1zł a) naszkicuj wykres odpowiadający taryfie special b) która taryfa jest korzystniejsza przy rozmowie 2-minutowej, a która przy rozmowie5-minutowej? c) W ciągu miesiąca przeprowadzono 30 rozmów trwających krócej niż 1 minutę, 20 rozmów trwających krócej niż 2 minuty i n rozmów trwających niecałe 5 minut. Przy jakiej wartości n opłacalna była taryfa special? opłata [zł] czas [min]

6 Tabela przedstawia koszt przesłania paczki pocztą. a) Jak najtaniej przesłać w paczkach 12 kg nasion, jeśli paczki nie mogą ważyć więcej niż 4 kg? b) Chcemy przesłać ładunek 42 kg. Co jest korzystniejsze wysłanie 7 paczek po 6 kg, czy 6 paczek po 7 kg? Paczki krajowe waga opłata [zł] do 1 kg 5 powyżej 1 kg do 2 kg 6 powyżej 2 kg do 3 kg 7 powyżej 3 kg do 4 kg 8 powyżej 4 kg do 5 kg 9 powyżej 5 kg do 6 kg 10 powyżej 6 kg do 7 kg 12 powyżej 7 kg do 8 kg 13 powyżej 8 kg do 9 kg 14 powyżej 9 kg do 10 kg 15 VII. Zyski raz jeszcze. Wykres przedstawia wyniki finansowe pewnej firmy (w milionach złotych). a) Jaki był łączny zysk tej firmy w latach ? b) W których latach firma nie przynosiła zysku? c) W jakich okresach wyniki firmy poprawiały się, a w jakich pogarszały? zysk lata Analiza wyników firmy może wynikać z chęci zainwestowania w akcje giełdowe. Podejmując ostateczną decyzję co do inwestycji należy wziąć pod uwagę koniunkturę na rynku w obszarze związanym z działalnością tej firmy. Można zwrócić uwagę, że przedstawienie wyników finansowych firm w formie wykresu funkcji przedziałami liniowej bardziej przemawia do wyobraźni niż przedstawienie w formie wykresy słupkowego. Tego typu zadania wiążą się wyłącznie z analizą wykresu. VIII. Podatki Przedział Podstawa [zł] Podatek [zł] 0 <0 ; 2 596,42> 0 I <2 596,42 ; > 19 % podstawy 493,32 II < ; > 6 541, % nadwyżki ponad III < ; > , % nadwyżki ponad W tabeli podano skalę podatkową obowiązującą w 2001r. Podatek w każdym z przedziałów można zapisać wzorem, przy pomocy funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie x oznacza podstawę naliczania podatku. Dla przedziału II wzór ten ma postać: f(x) = 6 541,24 + 0,3(x ). a) Podaj wzory funkcji opisujących należny podatek w I i III przedziale podatkowym. b) O ile mniejszy podatek zapłaciłaby zarabiająca osoba zł, a o ile osoba zarabiająca zł rocznie gdyby obowiązywał tzw. podatek liniowy równy 20% opodatkowania niezależnie od wielkości zarobków? W zadaniu połączenie funkcji przedziałami liniowej z funkcją liniową. Do wyznaczenia wzorów funkcji w poszczególnych przedziałach podatkowych wystarcza skojarzenie liczb występujących w danym wzorze z odpowiednimi liczbami w tabeli. Wykonanie części a) ułatwi wykonanie obliczeń w części b).

7 Można polecić wykonanie wykresów obu zależności, aby uświadomić uczniom, dla kogo podatek liniowy może być korzystny. Przy okazji do przemyślenia problem z pogranicza polityki: dlaczego w naszym kraju nie obowiązuje podatek liniowy. Przedstawione przykłady zadań praktycznych odnoszą się do zależności liniowych, których zauważenie, zapisanie w postaci wzoru, czy analiza własności są raczej łatwe i nie powinny sprawić uczniom większych problemów. Zadania kształcą rozumienie pojęcia dziedziny naturalnej funkcji, sprawdzają umiejętność odczytywania z wykresu potrzebnych informacji, wymagają umiejętności posługiwania się różnymi sposobami opisywania zależności liniowych (wzór, wykres, opis słowny, tabela). Treści zadań ukazują wiele sytuacji, w których wykorzystać można wiadomości o funkcji liniowej. Kontekst realistyczny zadań wymusza niejako analizowanie otrzymanych wyników pod kątem zgodności z realiami. Łatwo też zauważyć czynniki pominięte w treści zadania i zastanowić się, czy i w jakim stopniu wpłynęło to na otrzymane wyniki. Zadania dają też okazję do zwrócenia uwagi na pewne zjawiska czy zachowania dając przyczynek do realizowania celów wychowawczych. Bibliografia: Informator maturalny od 2005 roku. Warszawa Encyklopedia szkolna Matematyka, Warszawa Andrzej Górski Twórcze rozwiązywanie zadań, Warszawa Walter Warwick Sawyer Myślenie obrazowe w matematyce elementarnej, Warszawa 1988.

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO

TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO Semestr 3A, 3B, 3C TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO PRZYKŁAD 1 Temperaturę w stopniach Celsjusza x przelicza się na stopnie y w skali Fahrenheita według wzoru: y = 5

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

Funkcje. należący do tej prostej napisz jej wzór oraz narysuj jej wykres. i której wykres jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y = 1 4

Funkcje. należący do tej prostej napisz jej wzór oraz narysuj jej wykres. i której wykres jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y = 1 4 Opracowała mgr Lucyna Nikiel Zespół szkół Ogólnokształcących im Armii Krajowej w Bielsku Białej Zadania można wykorzystać do przygotowania uczniów do egzaminu gimnazjalnego lub do powtórzenia wiadomości

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Odczytywanie wykresów.

Klasa 3. Odczytywanie wykresów. Klasa 3 Odczytywanie wykresów 1 Wykres obok przedstawia zmiany temperatury podczas pewnego zimowego dnia w Giżycku Jaką temperaturę powietrza pokazywał tego dnia termometr o godzinie 18 00? A 0 C B 1 C

Bardziej szczegółowo

TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 2007/2008)

TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 2007/2008) TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 007/008) Test i analizę opracował: mgr Wojciech Janeczek Test przeprowadziły: mgr Barbara Zalewska, mgr

Bardziej szczegółowo

W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012

W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 Jerzy Matwijko Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 W Pracowni

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ

WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ GIMNAZJUM NR 2 W KAMIENNEJ GÓRZE WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ Oprcowała Wiesława Kurnyta Kamienna Góra, 2006 Oto wypisy z Podstawy programowej o nauczaniu matematyki w gimnazjum Cele edukacyjne 1. E Przyswajanie

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM LICZBY RZECZYWISTE BAZA ZADAŃ KLASA TECHNIKUM. Znajdź liczbę odwrotną i liczbę przeciwną do liczby jeśli a). Wyznacz NWD(x, y), jeśli: a) x = 780, y = 6 b) x = 0, y = 6 c) x = 700, y = 60 d) x = 96, y

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji matematyki

Konspekt lekcji matematyki Konspekt lekcji matematyki 1) Nauczyciel: Ewelina Śliż ) Przedmiot: Matematyka 3) Szkoła: Gimnazjum 4) Klasa: III 5) Czas trwania lekcji: 45 min 6) Nr programu nauczania: DPN 500 17 /08 7) Jednostka metodyczna:

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego przeprowadzonego w roku szkolnym 2011/2012 w części matematyczno przyrodniczej z zakresu matematyki

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego przeprowadzonego w roku szkolnym 2011/2012 w części matematyczno przyrodniczej z zakresu matematyki Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego przeprowadzonego w roku szkolnym 2011/2012 w części matematyczno przyrodniczej z zakresu matematyki Zestaw zadań egzaminacyjnych zawierał 23, w tym 20 zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian umiejętności matematycznych uczniów narzędziem diagnozy dyspozycji nauczyciela xxi wieku?

Sprawdzian umiejętności matematycznych uczniów narzędziem diagnozy dyspozycji nauczyciela xxi wieku? XIX Konferencja Diagnostyki Edukacyjnej, Gniezno 2013 Monika Jonczak Elżbieta Ostaficzuk Grażyna Śleszyńska Mazowieckie Samorządowe Centrum Doskonalenia Nauczycieli Sprawdzian umiejętności matematycznych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ORAZ SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ORAZ SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI I. Ustalenia ogólne. PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ORAZ SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI dla Liceum 1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów klas I i II: odpowiedź ustna, obejmująca

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdającego 1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak należy

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć otwartych dla nauczycieli Publicznego Gimnazjum w Pajęcznie prowadzonych przez Iwonę Jędrzejewską

Scenariusz zajęć otwartych dla nauczycieli Publicznego Gimnazjum w Pajęcznie prowadzonych przez Iwonę Jędrzejewską Klasa: Przedmiot: Dział programu: Scenariusz zajęć otwartych dla nauczycieli Publicznego Gimnazjum w Pajęcznie prowadzonych przez Iwonę Jędrzejewską III Matematyka Funkcje Temat: Powtórzenie i utrwalenie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI - GIMNAZJUM

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI - GIMNAZJUM 1 PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI - GIMNAZJUM I System oceniania w nauczaniu matematyki ma sprzyjać : dostarczaniu uczniowi bieżącej informacji o poziomie jego osiągnięć edukacyjnych i postępach

Bardziej szczegółowo

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD?

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD? EWD co to jest? Metoda EWD to zestaw technik statystycznych pozwalających oszacować wkład szkoły w końcowe wyniki egzaminacyjne. Wkład ten nazywamy właśnie edukacyjną wartością dodaną. EWD jest egzaminacyjnym

Bardziej szczegółowo

Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę

Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę ZESTAW I Liczby rzeczywiste Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności, rozwiązując zadania, w których: a) planuje i wykonuje obliczenia na

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY w RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE i OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy.

TEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy. Elżbieta Kołodziej e-mail: efreet@pf.pl matematyka, informatyka Gimnazjum Nr 5 37-450 Stalowa Wola ul. Poniatowskiego 55 SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT : Przykłady innych funkcji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO 11 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 90 MINUT 1 Informacja do zadań 1 i 2 Koszt ubezpieczenia samochodu w pewnej firmie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI Zespół Szkół Ekonomicznych w Brzozowie PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI Przedmiotowy System Oceniania (PSO) z matematyki opracowany na podstawie programu nauczania nr DKW-4015-37/01 oraz podręczników

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcyjny Zadania typu maturalnego: procenty, przedziały, wartość bezwzględna, błędy przybliżeń, logarytmy. Scenariusz lekcyjny

Scenariusz lekcyjny Zadania typu maturalnego: procenty, przedziały, wartość bezwzględna, błędy przybliżeń, logarytmy. Scenariusz lekcyjny Scenariusz lekcyjny Data: 20 listopad 2012 rok. Klasa: I c liceum ogólnokształcące (profil bezpieczeństwo wewnętrzne). Czas trwania zajęć: 45 minut. Nauczany przedmiot: matematyka. Program nauczania: program

Bardziej szczegółowo

Konspekt do lekcji matematyki w klasie I

Konspekt do lekcji matematyki w klasie I Konspekt do lekcji matematyki w klasie I Prowadzący: Edyta Pikor Miejsce: Publiczne Gimnazjum w Jacie Temat lekcji: O ile procent więcej, o ile procent mniej. Punkty procentowe. Cel główny: Poznanie podstawowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

RAPORT Z ZAKRESU UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH. przeprowadzonego w Szkole Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi nr 10. im.

RAPORT Z ZAKRESU UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH. przeprowadzonego w Szkole Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi nr 10. im. RAPORT Z WYNIKÓW Z WEWNĄTRZSZKOLNEGO TESTU KOMPETENCJI DRUGOKLASISTY Z ZAKRESU UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH przeprowadzonego w Szkole Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi nr 10 im. Polonii w Słupsku

Bardziej szczegółowo

Oto przykład konspektu lekcji jaką przeprowadziłam w klasie pierwszej gimnazjum.

Oto przykład konspektu lekcji jaką przeprowadziłam w klasie pierwszej gimnazjum. Metody aktywizujące na lekcjach matematyki. Przygotowując lekcje matematyki staram się tak dobrać metody pracy, żebybyłyone atrakcyjne dla ucznia oraz zachęcały do intensywnej nauki. Podczas lekcji utrwalających

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze.

Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. (Scenariusz lekcji o wprowadzeniu pojęcia ciągłości funkcji w punkcie, w zbiorze CFX9859GB PLUS) Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. Cele: poznawczy - poznanie pojęć: ciągłość funkcji w punkcie, w

Bardziej szczegółowo

Załącznik do Uchwały Nr 1/2014/2015 Rady Pedagogicznej Szkoły Podstawowej w Czernikowie z dnia 15.09.2014 r.

Załącznik do Uchwały Nr 1/2014/2015 Rady Pedagogicznej Szkoły Podstawowej w Czernikowie z dnia 15.09.2014 r. Celem doskonalenia sprawności rachunkowej należy: stosować różnorodne ćwiczenia doskonalące sprawność rachunkową, dostosowane do indywidualnych możliwości uczniów; wykorzystywać codzienne okazje do utrwalania

Bardziej szczegółowo

Przed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA

Przed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA GIMNAZJUM Przed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA Zadanie 1. Trzy lata temu posadzono przed domem krzew. Co roku

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji matematyki opracowany przez: Jadwigę Murawiecką nauczyciela Szkoły Podstawowej w Chodowie

Konspekt lekcji matematyki opracowany przez: Jadwigę Murawiecką nauczyciela Szkoły Podstawowej w Chodowie Konspekt lekcji matematyki opracowany przez: Jadwigę Murawiecką nauczyciela Szkoły Podstawowej w Chodowie Temat: Obliczanie procentu danej liczby z wykorzystaniem sytuacji praktycznych. Klasa VI szkoły

Bardziej szczegółowo

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE 1. Rozwiązywanie problemów decyzji krótkoterminowych Relacje między rozmiarami produkcji, kosztami i zyskiem wykorzystuje się w procesie badania opłacalności różnych wariantów

Bardziej szczegółowo

Matematyka z ekonomią w klasie VI

Matematyka z ekonomią w klasie VI INNOWACJA PEDAGOGICZNA Matematyka z ekonomią w klasie VI Szkoła Podstawowa w Zawadce Osieckiej WSTĘP Innowacja została opracowana na podstawie programu Błękitna Matematyka (DKW 4014-139/99) poprzez rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcja i jej własności

Temat: Funkcja i jej własności SCENARIUSZ LEKCJI przedmiot i poziom: podręcznik: matematyka, gimnazjum Egzamin gimnazjalny. Standardy wymagań w pytaniach i odpowiedziach (Część matematyczno przyrodnicza.) - Oficyna Edukacyjna * Krzysztof

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI We współpracy z POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015

Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 MATEMATYKA Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 IMIĘ I NAZWISKO Data urodzenia: 08/09/2000 ID: 5200154019 Klasa: 11 Niniejsze sprawozdanie zawiera informacje o wynikach zdobytych przez Państwa dziecko

Bardziej szczegółowo

Bezkrytycznie podchodząc do tej tabeli, możemy stwierdzić, że węgiel jest najtańszym paliwem, ale nie jest to do końca prawdą.

Bezkrytycznie podchodząc do tej tabeli, możemy stwierdzić, że węgiel jest najtańszym paliwem, ale nie jest to do końca prawdą. Taryfa dla ciepła Popatrzmy na tabelkę poniżej. Przedstawiam w niej ceny energii przeliczone na 1GJ różnych paliw. Metodyka jest tu prosta; musimy znać cenę danej jednostki paliwa (tona, kg, litr, m3)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa VI szkoła podstawowa marzec 2012

PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa VI szkoła podstawowa marzec 2012 PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa VI szkoła podstawowa marzec 202 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. 2 Zad. 3 SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad.

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja B. Stopnie: bdobry (5) dobry (4) (2) 20 1 3 5 7 3 1. chłopcy 15 3 5 3 2 2

Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja B. Stopnie: bdobry (5) dobry (4) (2) 20 1 3 5 7 3 1. chłopcy 15 3 5 3 2 2 Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja B Zadanie. ( pkt.) W baku samochodu Fiat Uno mieści się 40 l benzyny. Samochód ten spala przeciętnie 5, l benzyny na 00 km. Czy trzeba będzie

Bardziej szczegółowo

Procentowe: 1. Towar po podwyżce o 30% kosztuje 845 zł. Ile kosztował ten towar przed podwyżką?

Procentowe: 1. Towar po podwyżce o 30% kosztuje 845 zł. Ile kosztował ten towar przed podwyżką? pitagoras.d2.pl II. ZADANIA TEKSTOWE Procentowe: 1. Towar po podwyżce o 30% kosztuje 845 zł. Ile kosztował ten towar przed podwyżką? 2. Towar z 23% podatkiem VAT kosztuje 984 zł. Ile wynosi podatek VAT?

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE FIGURY GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE FIGURY GEOMETRYCZNE TEST SPRAWDZAJĄCY Z MATEMATYKI dla klasy IV szkoły podstawowej z zakresu PODSTAWOWE FIGURY GEOMETRYCZNE autor: Alicja Bruska nauczyciel Szkoły Podstawowej nr 1 im. Józefa Wybickiego w Rumi WSTĘP Niniejsze

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE OCENIANIE Z MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWE OCENIANIE Z MATEMATYKI PRZEDMIOTOWE OCENIANIE Z MATEMATYKI w XLV Liceum Ogólnokształcącym im. Romualda Traugutta w Warszawie I. Przedmiotowe Ocenianie (PO) opiera się na Wewnątrzszkolnym Ocenianiu, które z kolei reguluje: 1.

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 03 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 odpowiedź

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

II. OBSZARY AKTYWNOŚCI PODLEGAJĄCE OCENIE:

II. OBSZARY AKTYWNOŚCI PODLEGAJĄCE OCENIE: PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z CHEMII dla I, II, III klasy gimnazjum ( uwzględnia główne ramy i systemy wartości określone w Wewnątrzszkolnym Systemie Oceniania). Nauczyciel zapoznaje uczniów z Przedmiotowym

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji otwartej z matematyki w klasie 1C LO (2 godziny lekcyjne) przeprowadzonej w dniu 22.06.2015r.

Scenariusz lekcji otwartej z matematyki w klasie 1C LO (2 godziny lekcyjne) przeprowadzonej w dniu 22.06.2015r. Scenariusz lekcji otwartej z matematyki w klasie 1C LO (2 godziny lekcyjne) przeprowadzonej w dniu 22.06.2015r. Temat: Matematyka to się liczy...w życiu. Cele ogólne: podsumowanie wiadomości i umiejętności

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie 1 technikum

Scenariusz lekcji matematyki w klasie 1 technikum Scenariusz lekcji matematyki w klasie 1 technikum TEMT: Funkcja i jej własności - powtórzenie. Cele: Uczeń zna - definicję funkcji, miejsca zerowego, dziedziny, zbioru wartości funkcji - sposoby przedstawiania

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI.

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. Przeczytaj uważnie pytanie. Chwilę zastanów się. Masz do wyboru cztery

Bardziej szczegółowo

Istota podatku VAT. 1. Cele lekcji. Metody i formy pracy Wykład, ćwiczenia techniczne praca z dokumentami, praca w grupach.

Istota podatku VAT. 1. Cele lekcji. Metody i formy pracy Wykład, ćwiczenia techniczne praca z dokumentami, praca w grupach. Istota podatku VAT 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń zna: zagadnienia związane z podatkiem VAT, sposoby ewidencjonowania podatku VAT w mał ej firmie, stawki podatku VAT. b) Umiejętności Ucze ń: sprawnie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI. I Liceum Ogólnokształcące w Jeleniej Górze Gimnazjum w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI. I Liceum Ogólnokształcące w Jeleniej Górze Gimnazjum w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI I Liceum Ogólnokształcące w Jeleniej Górze Gimnazjum w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze Przedmiotowy system oceniania z fizyki w ZSO nr 1 sporządzono w oparciu o : 1. Wewnątrzszkolny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

PISA a egzamin gimnazjalny - w poszukiwaniu wspólnej ścieżki na przykładzie części matematyczno-przyrodniczej

PISA a egzamin gimnazjalny - w poszukiwaniu wspólnej ścieżki na przykładzie części matematyczno-przyrodniczej Badania międzynarodowe i wzory zagraniczne w diagnostyce edukacyjnej Urszula Mazur Elżbieta Tyralska-Wojtycza Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie PISA a egzamin gimnazjalny - w poszukiwaniu wspólnej

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH

DZIENNIK ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH DZIENNIK ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH REALIZOWANYCH W RAMACH PROGRAMU ROZWOJOWEGO SZKOŁY w projekcie Dolnośląska szkoła liderem projakościowych zmian w polskim systemie edukacji Priorytet IX Rozwój wykształcenia

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy.

Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy. Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy. Wymagania ogólne interpretuje tekst matematyczny, po rozwiązaniu

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5.

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie. ( pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono 5 początkowych wyrazów nieskończonego ciągu a. arytmetycznego ( ) n y - a) Podaj trzeci wyraz tego ciągu.

Bardziej szczegółowo

Próbny sprawdzian międzyprzedmiotowy dla klas VI

Próbny sprawdzian międzyprzedmiotowy dla klas VI entrum Pomiarowo-ydaktyczne 80-299 Gdańsk, ul. Orfeusza 4/9 tel. (58) 522 91 93, faks (58) 732 74 84, e-mail: biuro@meritum-cpd.pl www.meritum-cpd.pl Próbny sprawdzian międzyprzedmiotowy dla klas VI Szkoła

Bardziej szczegółowo

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części

Bardziej szczegółowo

Zakres wiedzy i umiejętności oraz proponowana literatura

Zakres wiedzy i umiejętności oraz proponowana literatura Zakres wiedzy i umiejętności oraz proponowana literatura I. Obszary umiejętności sprawdzane na każdym etapie Konkursu ZAŁĄCZNIK NR 1 1. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1) interpretuje i tworzy tekst

Bardziej szczegółowo

KLASA O PROFILU MATEMATYCZNO-INFORMATYCZNYM

KLASA O PROFILU MATEMATYCZNO-INFORMATYCZNYM KLASA O PROFILU MATEMATYCZNO-INFORMATYCZNYM COS SIN I. Część matematyczna Uczniowie, którzy będą uczyć się w tej klasie będą mieli możliwość rozwijać swoje talenty matematyczne, a pozyskaną wiedzę weryfikować

Bardziej szczegółowo

Do czego chcemy przygotować nasze dzieci i naszych uczniów: do testów czy do życia i pracy? Gdańsk, 16 maja 2009 roku

Do czego chcemy przygotować nasze dzieci i naszych uczniów: do testów czy do życia i pracy? Gdańsk, 16 maja 2009 roku Do czego chcemy przygotować nasze dzieci i naszych uczniów: do testów czy do życia i pracy? 1 Prawdziwe wartości edukacji Europejskie ramy odniesienia Polskie ramy odniesienia Badania PISA 2 Jeżeli nie

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI Klasy IV VI szkoła podstawowa

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI Klasy IV VI szkoła podstawowa PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI Klasy IV VI szkoła podstawowa I. OBSZARY AKTYWNOŚCI UCZNIÓW - co oceniamy Ocenianiu podlegają następujące formy aktywności uczniów: sprawdziany obejmujące zakres

Bardziej szczegółowo

PRZEDSIĘBIORCZOŚCI CZĘSTOTLIWOŚĆ I ILOŚC SPOTKAŃ:

PRZEDSIĘBIORCZOŚCI CZĘSTOTLIWOŚĆ I ILOŚC SPOTKAŃ: SZKOLNY KLUB PRZEDSIĘBIORCZOŚCI Spotkania w ramach SKP mają na celu przygotować ucznia do aktywnego i świadomego uczestnictwa w życiu gospodarczym, pobudzić w nim ducha przedsiębiorczości, kształcić postawy

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WYNIKÓW EGZAMINU GIMNAZJALNEGO w GIMNAZJUM nr 1 KWIECIEŃ 2012. WYNIKI ZESTAWU W CZĘŚCI matematycznej

ANALIZA WYNIKÓW EGZAMINU GIMNAZJALNEGO w GIMNAZJUM nr 1 KWIECIEŃ 2012. WYNIKI ZESTAWU W CZĘŚCI matematycznej ANALIZA WYNIKÓW EGZAMINU GIMNAZJALNEGO w GIMNAZJUM nr 1 KWIECIEŃ 2012 WYNIKI ZESTAWU W CZĘŚCI matematycznej Dane statystyczne o uczniach (słuchaczach) przystępujących do egzaminu gimnazjalnego Liczbę uczniów

Bardziej szczegółowo

(Lekcja w III klasie gimnazjum. Czas trwania: 90 min.)

(Lekcja w III klasie gimnazjum. Czas trwania: 90 min.) Katarzyna Jasek nauczycielka matematyki w gimnazjum w Górze Kalwarii Jak efektywnie i efektownie poprowadzić lekcję powtórzeniową? Powtórzenie wiadomości o funkcjach liniowych metodą układanki - Jigsaw

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki

Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania z matematyki 1 Uczeń ma prawo znać plan wynikowy z matematyki określający, co uczeń powinien wiedzieć, rozumieć i umieć po zakończeniu procesu nauczania (według poziomów nauczania)

Bardziej szczegółowo

Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej matematyka

Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej matematyka Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej matematyka. Informacje ogólne Badanie osiągnięć uczniów I klas odbyło się 7 września 2009 r. Wyniki badań nadesłało 2 szkół. Analizie poddano wyniki 992 uczniów z 4 klas

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa druga. Poziom podstawowy.

Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa druga. Poziom podstawowy. Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa druga. Poziom podstawowy. Wymagania ogólne interpretuje tekst matematyczny, po rozwiązaniu

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI Przesuwanie paraboli - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki

SCENARIUSZ LEKCJI Przesuwanie paraboli - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki SCENARIUSZ LEKCJI Przesuwanie paraboli - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA

Bardziej szczegółowo

MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa VI PŁOCK 2014

MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa VI PŁOCK 2014 MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa VI PŁOCK 204 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 Zad. 8 SUMA PUNKTÓW Max liczba

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na poziomie podstawowym. Narzędzie to było dostępne do pobrania

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w Publicznym Gimnazjum nr 9 w Opolu

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w Publicznym Gimnazjum nr 9 w Opolu Przedmiotowy system oceniania z matematyki w Publicznym Gimnazjum nr 9 w Opolu I Podstawy prawne opracowania PSO Przedmiotowy system oceniania z matematyki jest zgodny z 1. Rozporządzeniem Ministra Edukacji

Bardziej szczegółowo

1. Przedmiotowe Zasady Oceniania z matematyki są zgodne z Wewnątrzszkolnymi Zasadami Oceniania w Zespole Szkół nr 119.

1. Przedmiotowe Zasady Oceniania z matematyki są zgodne z Wewnątrzszkolnymi Zasadami Oceniania w Zespole Szkół nr 119. PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W GIMNAZJUM nr 71 im. Krzysztofa Kamila Baczyńskiego oraz W XXXIX LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. LOTNICTWA POLSKIEGO 1. Przedmiotowe Zasady Oceniania z matematyki

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w III Liceum Ogólnokształcącym im. Marii Skłodowskiej Curie w Opolu

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w III Liceum Ogólnokształcącym im. Marii Skłodowskiej Curie w Opolu Przedmiotowy system oceniania z matematyki w III Liceum Ogólnokształcącym im. Marii Skłodowskiej Curie w Opolu I. Podstawy prawne opracowania PSO. Przedmiotowy system oceniania z matematyki jest zgodny

Bardziej szczegółowo

2. Konstruowanie budżetu domowego

2. Konstruowanie budżetu domowego 1. Uczeń: 2. Konstruowanie budżetu domowego a. 1. Cele lekcji i. a) Umiejętności analizuje strukturę dochodów i wydatków rodziny, ustala źródła potencjalnych oszczędności w budżecie domowym, ocenia zdolność

Bardziej szczegółowo