Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej.
|
|
- Marta Rosińska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Hanna Paduch nauczyciel matematyki Zespół Szkół Rolniczych -CKP w Miętnem Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej. Matematyka jest często oceniana przez uczniów jako nauka trudna i mało użyteczna. Zdarzyło mi się usłyszeć od ucznia zarzut, że to o czym mówię na lekcji do niczego nie przyda mu się w życiu. Takie opinie wygłaszają osoby, które matematyki nie rozumieją, a więc nie lubią. Nie potrafią zatem zauważyć odniesienia poznawanych wiadomości teoretycznych do praktyki. Wprawdzie matematyka w szkole średniej polega na poznawaniu wiadomości teoretycznych (uczeń powinien znać i rozumieć pojęcia, przynajmniej te wymagane podstawą programową wyszczególnione w I standardzie wymagań egzaminacyjnych), lecz także na nabywaniu umiejętności wykorzystywania i przetwarzania informacji (II standard) oraz umiejętności argumentowania, prowadzenia rozumowania typu matematycznego i analizy sytuacji problemowych (III standard). Nie można zarzucić autorom podręczników do matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych, że nie pokazują praktycznych odniesień nauczanych treści. Oczywiście, dla spójności prowadzonego wykładu, nie można do każdego tematu na siłę szukać zastosowań praktycznych. Na pewno jednak na koniec każdego rozdziału można przeprowadzić lekcję, na której uczniowie dostaną do rozwiązania zadania o treści brzmiącej jak problem, nad którym wczoraj zastanawiał się ojciec, lub jak informacja słyszana niedawno w telewizji. Takie zadania z kontekstem realistycznym mają wiele zalet : - sprawdzają znajomość wiedzy teoretycznej i wzmacniają rozumienie poszczególnych pojęć, - kształcą umiejętność analizowania tekstu matematycznego i zapisywania wniosków za pomocą zależności (równania, nierówności, funkcje, wykresy, diagramy), - uczą twórczego rozwiązywania problemów, - pokazują pojęcia matematyczne w aspekcie praktycznym, co sprawia, że uczeń odbiera je jako bardziej przystępne, a rozwiązanie zadania praktycznego daje mu większą satysfakcję, - kształcą krytyczny stosunek do otrzymanego wyniku, poprzez odniesienie go do realiów, - kształcą umiejętność analizy problemu, porównywania sytuacji, wyboru wariantu optymalnego, - wskazują na duże znaczenie i przydatność matematyki we współczesnym świecie i jej powiązania z różnymi dziedzinami nauki, techniki, gospodarki i życia codziennego, - uczniom, którzy nie mają zainteresowań matematycznych dają możliwość wykazania się na lekcji matematyki wiedzą w zakresie swoich zainteresowań Spotkałam się ze stwierdzeniem, że nie potrafimy poradzić sobie z pewnymi problemami życia codziennego bo nie znamy matematyki: nie potrafimy zdecydować, w którym banku najkorzystniej zaciągnąć kredyt, jak korzystnie ulokować swoje oszczędności, poddając się opiniom i reklamom, niejako po omacku gramy na giełdzie, czy wybieramy taryfę opłat za telefon. Z taką opinią zgadzam się. Rzeczywiście, wiedza matematyczna taka, jak: umiejętność przetwarzania informacji i analizowania problemu pomogłaby rozwiązać powyższe sytuacje. Podstawowe umiejętności z zakresu przetwarzania informacji to umiejętność szacowania, ustalania zależności funkcyjnych oraz analizowanie wykresów i diagramów. W zakresie analizy problemu najważniejsza umiejętność to odniesienie sytuacji do realiów, ustalenie warunków istnienia problemu lub tzw. czynników ryzyka przy formowaniu wniosków ostatecznych. Wiele problemów praktycznych wiąże się z pojęciem funkcji i analizą zależności funkcyjnych. Zależnościami między różnymi wielkościami zajmowano się już w czasach Arystotelesa (III w. p.n.e.) przy okazji badań nad ruchem, jednak teoria nie rozwinęła się w tamtych czasach ze względu na nieznajomość zasad rządzących ruchem. Dopiero teoretyczne rozważania dotyczące ruchu prowadzone w XIII-XIV w. doprowadziły do pewnego postępu w jednym z dzieł Nicole Oresme (ok filozof przyrody, ekonomista, biskup i doradca króla Francji) znaleźć można pierwszy znany wykres funkcji.
2 Termin funkcja pojawił się w pracy Wilhelma Gottfrieda Leibnitza z 1692 r., zaś sposób oznaczania funkcji wprowadzili Johann Bernoulli i Leonard Euler w I poł. XVIIIw. Zdefiniowanie funkcji w dzisiejszym rozumieniu zawdzięczamy Dirichletowi ( ). Rozwój nauk matematycznych od XVIII wieku do czasów współczesnych spowodował rozszerzenie się pojęcia funkcji na różne typy, których badaniem zajmują się poszczególne działy matematyki a także nauki pokrewne, jak fizyka czy informatyka. Obecnie funkcja to najważniejsze pojęcie współczesnej matematyki. Pojawia się prawie w każdym jej rozdziale, definicji, zadaniu. Pojęcie to występuje też w teoriach wszystkich współczesnych nauk przyrodniczych, a zależności funkcyjne bada się również w naukach ekonomicznych, społecznych i politycznych. Funkcja liniowa, której wzór można zapisać w postaci y = ax + b, gdzie a i b są danymi liczbami rzeczywistymi, określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest najprostszą z funkcji rozważanych w matematyce. Ponieważ jest to funkcja prosta, łatwa do zbadania i wyobrażenia, wiele modeli zagadnień dotyczących zjawisk w różnych dziedzinach nauki i życia codziennego jest budowanych właśnie w oparciu o zależności liniowe (lub przedziałami liniowe). Może się wydawać, że zależność liniowa jest zbyt prosta by ilustrować złożone sytuacje praktyczne, lecz wbrew pozorom jest to całkiem dobry sposób opisu wielu zjawisk. Nie możemy oczywiście zapominać, że budując liniowy model zależności między dwiema wielkościami dokonujemy pewnych uproszczeń i przybliżeń, a niektóre czynniki wpływające na przebieg zjawiska zaniedbujemy. Należy jednak mieć świadomość, że otaczające nas zjawiska są na tyle skomplikowane, że w żadnym nawet najbardziej skomplikowanym zapisie nie jesteśmy w stanie uwzględnić wszystkich czynników, które determinują dane zjawisko, jego przebieg i skutek. Zależności liniowe w szkole ponadgimnazjalnej występują w wielu aspektach praktycznych. I. Przeliczenia, zamiana jednostek. Zadanie1. W USA jako parametr charakteryzujący samochód podaje się min., ile mil przejeżdża on na jednym galonie benzyny. Ustal, ile litrów benzyny na 100 km spala samochód, który na jednym galonie przejeżdża 28 mil. Przyjmij, że 1 mila to około 1600 m, jeden galon około 3,79 l. [ 0 F] Poniższy wykres przedstawia zależność między (20, 68) temperaturą mierzoną w stopniach Celsjusza [ 0 70 C] a tą samą temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita [ 0 F]. 60 Skala ta jest używana min. w USA i Wielkiej Brytanii. 50 Do wykresu należą punkty (0, 32) i (20, 68), tzn. 0 0 C = 32 0 F oraz 20 0 C = F. 30 a) Wyznacz zależność między temperaturą w skali (0, 32) Celsjusza a tą samą temperaturą mierzoną w skali 20 0 Fahrenheita. 10 b) Uzupełnij tabelkę: [ 0 C] x temperatura [ 0 C ] y temperatura [ 0 F ] c) Jaka temperatura w skali Celsjusza, odpowiada temperaturze w skali Fahreheita: 95 0 F, 23 0 F, 14 0 F?
3 Zadanie 3. Gdybyśmy mierzyli temperaturę i ciśnienie powietrza podgrzewanego w szczelnie zamkniętym naczyniu i zaznaczali wyniki w układzie współrzędnych, zauważylibyśmy, że zależność między tymi wielkościami jest funkcją liniową y = ax + b, gdzie x temperatura, y - ciśnienie. Korzystając z danych w tabeli oblicz, dla jakiej temperatury ciśnienie będzie równe zeru. Temperatura (w 0 C) Ciśnienie (w hpa) 962,71 996,71 Zadania przedstawione powyżej polegają na wyznaczaniu wzoru funkcji liniowej opisującej sytuacje. Zadanie 3. pokazuje, że dzięki doświadczalnemu wykryciu zależności liniowej między wielkościami można obliczyć wartości niemożliwe do uzyskania w warunkach doświadczalnych. Jest to metoda, przy pomocy której w XIX wieku ustalono temperaturę zera bezwzględnego. uczniowie być może zechcą rozwiązać przy pomocy proporcji. II. Produkcja, koszty, zyski. Właściciel sklepu kupuje u producenta tabliczki czekolady po 1zł za sztukę i sprzedaje je z zyskiem 25%. Funkcja f przyporządkowuje liczbie x sprzedanych czekolad łączny zysk z ich sprzedaży. Dla x 10,20,30,40,50 ułóż tabelkę wartości funkcji i narysuj jej wykres. Wyznacz wzór funkcji f. { } Zakład mleczarski dostarcza codziennie masło do dwóch sklepów firmowych i kilku innych sklepów spożywczych. Do każdego ze sklepów firmowych dostarcza codziennie po 5 kartonów masła, a do pozostałych po 2 kartony. a) Wyraź wzorem liczbę dostarczanych codziennie kartonów masła do obu sklepów firmowych i n sklepów spożywczych. b) Do ilu sklepów spożywczych dostarcza masło ten zakład mleczarski, jeśli wiadomo, że codziennie rozwożonych jest 36 kartonów masła? Zadanie 3. Pewna firma produkuje długopisy. Funkcja f określona wzorem f ( x) = 0,80x opisuje łączny dzienny koszt działalności firmy w zależności od liczby x wyprodukowanych długopisów (200zł to koszty stałe). Funkcja g( x) = 1, 20x wyraża łączny przychód ze sprzedaży długopisów. Ile długopisów dziennie należy produkować, przy założeniu, że wszystkie zostaną sprzedane, by dzienny zysk tej firmy wyniósł co najmniej 400zł? Zadanie 4. Firma produkująca pokarm dla psów ponosi koszty dzienne wyrażające się wzorem: y = 2x + 800, gdzie x oznacza ilość produkowanych dziennie puszek pokarmu, 800 to dzienne koszty działalności firmy, a 2 oznacza koszt wyprodukowania jednej puszki pokarmu wyrażony w złotówkach. Dochody tej firmy opisuje wzór: y = 4x, gdzie x oznacza ilość dziennie sprzedawanych puszek pokarmu, a 4 oznacza cenę jednej puszki p wyrażoną w złotówkach. Załóżmy, że ilość puszek wyprodukowanych i sprzedanych w danym dniu jest taka sama. Na wykresie przedstawiono koszty i dochody tej firmy w zależności od dziennej ilości wyprodukowanych puszek pokarmu. Y a) Przy jakiej wielkości dziennej produkcji firma osiąga zerowy wynik ekonomiczny (dochód jest równy poniesionym kosztom) dochód koszty X
4 b) Przy jakiej wielkości produkcji zysk dzienny firmy wynosi 400zł? c) Sporządź analogiczny wykres dla sytuacji, gdy przy takich samych kosztach firma podnosi o 1 zł cenę sprzedaży jednej puszki pokarmu i znajdź na ty wykresie punkt, w którym zysk jest równy kosztom. Rozwiązując z uczniami tego typu zadania zwracamy uwagę na fakt, że funkcje, choć opisane zależnościami liniowymi mają ograniczone dziedziny, a ich argumenty nie mogą być dowolnie duże, ani też ujemne. Ograniczenia dla argumentów wynikają z ich znaczenia praktycznego oraz z ograniczeń dla wartości tych funkcji, np. ilość wyprodukowanych długopisów zależy od procesu produkcyjnego, od ilości maszyn i od ich wydajności, jest też ograniczona popytem na długopisy. Tym samym dochód firmy czy koszty produkcji nie rosną do nieskończoności. Uczniowie, formułując wnioski mają okazję wykazać się znajomością ekonomii. III. Taryfy, abonamenty. Telefon komórkowy w promocji kosztuje złotówkę (oczywiście). Operator sieci oferuje dwie możliwości korzystania z usług: 1) Abonament miesięczny 19,90 zł oraz za połączenie 0,85 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy lub 2) Abonament miesięczny 29,90 zł oraz za połączenie 0,65 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy a) Który z wariantów jest korzystniejszy przy 50 minutach rozmów miesięcznie? b) W jakiej sytuacji droższy abonament jest korzystniejszy (ustal łączną ilość minut rozmów miesięcznie) c) Ile naprawdę kosztuje ten telefon za złotówkę, jeśli jednym z warunków skorzystania z tej promocji jest zobowiązanie się do korzystania z usług tego operatora (czyli do płacenia abonamentu) przez co najmniej 2 lata? Rachunek telefoniczny uwzględnia stałą opłatę abonamentową oraz koszty za przeprowadzone rozmowy. Za korzystanie z telefonu styczniu pan X zapłacił 79 zł, a w lutym 101 zł, przy czym wiadomo, że w styczniu pan X rozmawiał przez telefon 200 minut, a w lutym 300 minut. Wiedząc, że za opłata za każdą rozpoczętą minutę rozmowy prowadzoną w tych miesiącach pan X płacił taką samą stawkę, ustal cenę abonamentu i stawkę za jedną minutę. Wyznacz wzór funkcji wyrażającej koszt rachunku telefonicznego w zależności od czasu rozmów. Analizując zadanie 1. należy zwrócić uwagę na konieczność dokładnego zapoznania się z warunkami promocji i decyzję o ewentualnym skorzystaniu z niej podjąć po przeanalizowaniu warunków w odniesieniu do własnych potrzeb, np. nie ma sensu korzystanie z usługi darmowe weekendy jeśli nie prowadzimy w tym czasie zbyt wielu rozmów. Zadanie to jest szczególnie aktualne w dobie gwałtownego upowszechnienia się telefonii komórkowej i powinno zainteresować młodych ludzi. Można też zwrócić uwagę na mechanizm działania reklamy eksponującej treści chwytliwe dla ucha w tym wypadku niska cena telefonu. Zadania dotyczą porównywania dwóch sytuacji i zmuszają do wyciągania wniosków z tych porównań. IV. Samochód, ale jaki? Samochód A kosztuje 40 tys. zł i spala 6 l benzyny na 100 km, a samochód B 35 tys. zł, ale spala 8 l benzyny na 100 km. Niech x oznacza ilość przejechanych tysięcy kilometrów, y cenę samochodu plus koszty paliwa (pozostałe koszty pomijamy). Narysowany wykres pokazuje łączny koszt samochodu A, przy założeniu, że cena litra benzyny wynosi 3,15 zł. a) Narysuj analogiczny wykres dla samochodu B b) Po przejechaniu ilu kilometrów zwróci się różnica w cenie przy zakupie droższego samochodu? Y X
5 Koszt instalacji gazowej do samochodu wraz z montażem wynosi 3 tys. zł. Przyjmując, że koszt 1 l benzyny wynosi 3,15 zł a koszt 1 dm 3 gazu 1,70 zł, oraz zużycie paliwa na 100 km 8 l, zaś gazu 9,5 dm 3, ustal, po przejechaniu ilu tysięcy kilometrów zwróci się koszt montażu tej instalacji. Problemy związane z samochodami są na ogół bliskie młodym ludziom i nie powinno być problemów z formowaniem wniosków (szczególnie w klasach męskich). Analizując problemy przedstawione w tych zadaniach, zwracamy uwagę na fakt, że czas zwracania się kosztów poniesionych na inwestycje nie może być dowolnie długi. W przypadku samochodu czas ten zależy od ilości przejechanych kilometrów. Po za tym inwestor powinien zastanowić się, jak długo chce jeździć danym samochodem, tak aby inwestycja zwróciła się przed przewidywanym terminem odsprzedaży. Oprócz zależności linowej opisanej jednym wzorem w określonej dziedzinie, często spotykamy się z przypadkami funkcji przedziałami liniowej (inaczej kawałkami liniowej). Funkcja taka jest opisana w swojej dziedzinie kilkoma zależnościami liniowymi, z których każda dotyczy innego przedziału dziedziny. Zadania związane z funkcją przedziałami liniową wiążą się często z analizą jej wykresu. V. Analiza drogi Piotr szedł z domu do szkoły. Wykres przedstawia zależność przebytej przez niego drogi od czasu. a) Co można wywnioskować na temat zachowania chłopca między 7 42 a 7 46? b) Który odcinek drogi przebył z największą prędkością? c) Co Wojtek robił między 7 50 a 7 52? d) Który odcinek przebył z prędkością 6 km/h? e) Z jaką prędkością poruszał się między 7 46 a 7 50? odległość do domu [m] szkoła dom czas [min] Droga przebyta przez samochód składa się z dwóch odcinków o długościach s 1 i s 2. Samochód przejechał drogę o długości s 1 z prędkością v 1, a drogę o długości s 2 z prędkością v 2. Podaj wzór pozwalający obliczyć średnią prędkość samochodu w całej podróży. Wykonaj obliczenia dla s 1 =10 km, s 2 =15 km, v 1 =70km/h, v 2 =75 km/h. Zadania takie wymagają pewnych wiadomości z fizyki i umiejętności analizowania wielkości fizycznych. VI. Taryfy raz jeszcze. Pan Y ma do wyboru dwie taryfy opłat za rozmowy telefoniczne: standard za każdą rozpoczętą minutę rozmowy płacimy 0,80 zł wykres obok lub special płacimy 0,50 zł za pierwszą minutę rozmowy i za każdą następną rozpoczętą minutę 1zł a) naszkicuj wykres odpowiadający taryfie special b) która taryfa jest korzystniejsza przy rozmowie 2-minutowej, a która przy rozmowie5-minutowej? c) W ciągu miesiąca przeprowadzono 30 rozmów trwających krócej niż 1 minutę, 20 rozmów trwających krócej niż 2 minuty i n rozmów trwających niecałe 5 minut. Przy jakiej wartości n opłacalna była taryfa special? opłata [zł] czas [min]
6 Tabela przedstawia koszt przesłania paczki pocztą. a) Jak najtaniej przesłać w paczkach 12 kg nasion, jeśli paczki nie mogą ważyć więcej niż 4 kg? b) Chcemy przesłać ładunek 42 kg. Co jest korzystniejsze wysłanie 7 paczek po 6 kg, czy 6 paczek po 7 kg? Paczki krajowe waga opłata [zł] do 1 kg 5 powyżej 1 kg do 2 kg 6 powyżej 2 kg do 3 kg 7 powyżej 3 kg do 4 kg 8 powyżej 4 kg do 5 kg 9 powyżej 5 kg do 6 kg 10 powyżej 6 kg do 7 kg 12 powyżej 7 kg do 8 kg 13 powyżej 8 kg do 9 kg 14 powyżej 9 kg do 10 kg 15 VII. Zyski raz jeszcze. Wykres przedstawia wyniki finansowe pewnej firmy (w milionach złotych). a) Jaki był łączny zysk tej firmy w latach ? b) W których latach firma nie przynosiła zysku? c) W jakich okresach wyniki firmy poprawiały się, a w jakich pogarszały? zysk lata Analiza wyników firmy może wynikać z chęci zainwestowania w akcje giełdowe. Podejmując ostateczną decyzję co do inwestycji należy wziąć pod uwagę koniunkturę na rynku w obszarze związanym z działalnością tej firmy. Można zwrócić uwagę, że przedstawienie wyników finansowych firm w formie wykresu funkcji przedziałami liniowej bardziej przemawia do wyobraźni niż przedstawienie w formie wykresy słupkowego. Tego typu zadania wiążą się wyłącznie z analizą wykresu. VIII. Podatki Przedział Podstawa [zł] Podatek [zł] 0 <0 ; 2 596,42> 0 I <2 596,42 ; > 19 % podstawy 493,32 II < ; > 6 541, % nadwyżki ponad III < ; > , % nadwyżki ponad W tabeli podano skalę podatkową obowiązującą w 2001r. Podatek w każdym z przedziałów można zapisać wzorem, przy pomocy funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie x oznacza podstawę naliczania podatku. Dla przedziału II wzór ten ma postać: f(x) = 6 541,24 + 0,3(x ). a) Podaj wzory funkcji opisujących należny podatek w I i III przedziale podatkowym. b) O ile mniejszy podatek zapłaciłaby zarabiająca osoba zł, a o ile osoba zarabiająca zł rocznie gdyby obowiązywał tzw. podatek liniowy równy 20% opodatkowania niezależnie od wielkości zarobków? W zadaniu połączenie funkcji przedziałami liniowej z funkcją liniową. Do wyznaczenia wzorów funkcji w poszczególnych przedziałach podatkowych wystarcza skojarzenie liczb występujących w danym wzorze z odpowiednimi liczbami w tabeli. Wykonanie części a) ułatwi wykonanie obliczeń w części b).
7 Można polecić wykonanie wykresów obu zależności, aby uświadomić uczniom, dla kogo podatek liniowy może być korzystny. Przy okazji do przemyślenia problem z pogranicza polityki: dlaczego w naszym kraju nie obowiązuje podatek liniowy. Przedstawione przykłady zadań praktycznych odnoszą się do zależności liniowych, których zauważenie, zapisanie w postaci wzoru, czy analiza własności są raczej łatwe i nie powinny sprawić uczniom większych problemów. Zadania kształcą rozumienie pojęcia dziedziny naturalnej funkcji, sprawdzają umiejętność odczytywania z wykresu potrzebnych informacji, wymagają umiejętności posługiwania się różnymi sposobami opisywania zależności liniowych (wzór, wykres, opis słowny, tabela). Treści zadań ukazują wiele sytuacji, w których wykorzystać można wiadomości o funkcji liniowej. Kontekst realistyczny zadań wymusza niejako analizowanie otrzymanych wyników pod kątem zgodności z realiami. Łatwo też zauważyć czynniki pominięte w treści zadania i zastanowić się, czy i w jakim stopniu wpłynęło to na otrzymane wyniki. Zadania dają też okazję do zwrócenia uwagi na pewne zjawiska czy zachowania dając przyczynek do realizowania celów wychowawczych. Bibliografia: Informator maturalny od 2005 roku. Warszawa Encyklopedia szkolna Matematyka, Warszawa Andrzej Górski Twórcze rozwiązywanie zadań, Warszawa Walter Warwick Sawyer Myślenie obrazowe w matematyce elementarnej, Warszawa 1988.
FUNKCJA LINIOWA. Poziom podstawowy
FUNKCJA LINIOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Funkcja f przechodzi przez punkty A = (, ) oraz = (,) a) Wyznacz wzór funkcji f ) Podaj miejsce zerowe funkcji f c) Dla jakich x funkcja f przyjmuje wartości
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI. Poziom podstawowy
WŁASNOŚCI FUNKCJI Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Które z przyporządkowań jest funkcją? a) Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowana jest jej odwrotność b) Każdemu uczniowi klasy pierwszej przyporządkowane
Bardziej szczegółowo. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz
Funkcja liniowa powtórzenie wiadomości Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że: a) miejscem zerowym funkcji jest liczba oraz f()=, b) miejscem zerowym funkcji jest liczba i i wykres funkcji przecina oś
Bardziej szczegółowoZestaw 6 funkcje. Zad. 1. Zad.2 Funkcja określona jest przy pomocy tabeli
Zestaw 6 funkcje Zad. 1 Zad.2 Funkcja określona jest przy pomocy tabeli 5 10 15 20 25 3 2 17 10-8 a) Określ dziedzinę i wypisz wartości tej funkcji. b) Jaka jest największa wartość tej funkcji? c) Dla
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH
KONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Część organizacyjna: Opracowała: grupa 4 ds. korelacji matematyczno-fizycznej Przedmiot: matematyka Klasa: I technikum poziom podstawowy Czas trwania: 45 min. Data: Część merytoryczna
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP
Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoTemat: Przedstawianie i odczytywanie informacji przedstawionych za pomocą wykresów. rysowanie i analizowanie wykresów zależności funkcyjnych.
Scenariusz lekcji matematyki dla klasy I Gimnazjum Temat: Przedstawianie i odczytywanie informacji przedstawionych za pomocą wykresów Cel ogólny : rysowanie i analizowanie wykresów zależności funkcyjnych.
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska
ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)
Bardziej szczegółowoGRUPOWE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ
GRUPOWE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ MALGORZATA PEŁKOWSKA-JEMCZURA Praca w grupach jest taką formą organizacyjną lekcji matematyki, która aktywizuje wszystkich uczniów w klasie. Jest ona stosowana dość rzadko,
Bardziej szczegółowoProporcjonalność prosta i odwrotna
Literka.pl Proporcjonalność prosta i odwrotna Data dodania: 2010-02-14 14:32:10 Autor: Anna Jurgas Temat lekcji dotyczy szczególnego przypadku funkcji liniowej y=ax. Jednak można sie dopatrzeć pewnej różnicy
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoOkreśl zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.
Zadanie 1 Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową Zadanie 2 Wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie 3 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny:
Bardziej szczegółowoWARSZTATY METODYCZNE (dla nauczycieli matematyki szkół ponadgimnazjalnych)
WARSZTATY METODYCZNE (dla nauczycieli matematyki szkół ponadgimnazjalnych) Aktywizujące metody nauczania na przykładzie tematu: Dyskusja nad liczbą rozwiązań równania liniowego z wartością bezwzględną
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE I PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA. FIZYKA poziom podstawowy i rozszerzony
Programy nauczania: Klasy pierwsze: WYMAGANIA EDUKACYJNE I PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA FIZYKA poziom podstawowy i rozszerzony L. Lehman, W. Polesiuk Po prostu Fizyka Kształcenie w zakresie podstawowym.
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE. LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS FUNKCJE LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Dana jest funkcja f przedstawiona
Bardziej szczegółowoTEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO
Semestr 3A, 3B, 3C TEMAT: ZASTOSOWANIE FUNKCJI LINIOWEJ W ZADANIACH Z ŻYCIA CODZIENNEGO PRZYKŁAD 1 Temperaturę w stopniach Celsjusza x przelicza się na stopnie y w skali Fahrenheita według wzoru: y = 5
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoSkrypt 10. Funkcja liniowa. Opracowanie L Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 10 Funkcja liniowa 10. Równanie
Bardziej szczegółowoPracę domową znajdziecie na szklonej platformie e-learningowej
Wiesława Konopka Scenariusz lekcji Temat lekcji: Odczytywanie informacji z wykresów. Cele lekcji: Uczeń odczytuje własności funkcji liczbowej z jej wykresu, odczytuje współrzędne danych punktów, odczytuje
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej
Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej Temat : Powtórzenie i utrwalenie wiadomości z funkcji kwadratowej Czas trwania : 90 min. Środki dydaktyczne:
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia opisane w podstawie programowej obowiązujące do sprawdzianu klas VI:
Hanna MAREK Samorządowy Ośrodek Doradztwa Metodycznego i Doskonalenia Nauczycieli w Łomży Materiał uzupełniający dotyczący monitorowania osiągnięć uczniów Przykład sprawdzianu łącznie z obudową dla nauczyciela
Bardziej szczegółowoMatura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP
Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP I Zadania zamknięte (pkt) Zadanie Liczba - jest miejscem zerowym funkcji liniowej = x + B. f ( x) = x C. f ( x) = x + D. f
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji z matematyki w szkole ponadgimnazjalnej
Scenariusz lekcji z matematyki w szkole ponadgimnazjalnej Temat: Wzory Viete a. Zastosowanie wzorów Viete a w zadaniach. Czas trwania lekcji: dwie jednostki lekcyjne (90 minut) Powiązanie z wcześniejszą
Bardziej szczegółowoKONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA Temat: Powtórzenie i utrwalenie wiadomości o funkcji liniowej Cel ogólny Przykłady funkcji; odczytywanie własności
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji 1. Informacje wst pne: 2. Program nauczania: 3. Temat zaj 4. Integracja: 5. Cele lekcji: Ucze potrafi:
Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 25 września 2012r. Klasa: II a 2 liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka. 2. Program nauczania:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej Wymagania dostosowano do sześciostopniowej skali ocen. I. Liczby rzeczywiste zna cechy
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LINIOWE SCENARIUSZE LEKCJI OPRACOWAŁA EWA SKOROCH
FUNKCJE LINIOWE SCENARIUSZE LEKCJI OPRACOWAŁA EWA SKOROCH Iława 2006 Wstęp Opracowanie jest zbiorem sześciu scenariuszy lekcji z zakresu funkcji opartych na programie Matematyka z plusem. Służą one jako
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowomiesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze?
miesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze? Zadanie 3.3. Sklepowa cena pewnej lodówki wynosi 9 zł. Sprzedawca
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA
MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA 1. Funkcje i ich własności. odróżnić przyporządkowanie,
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO
PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO ZADANIA OPRACOWANE PRZEZ Agnieszkę Sumicką Katarzynę Hejmanowską
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Odczytywanie wykresów.
Klasa 3 Odczytywanie wykresów 1 Wykres obok przedstawia zmiany temperatury podczas pewnego zimowego dnia w Giżycku Jaką temperaturę powietrza pokazywał tego dnia termometr o godzinie 18 00? A 0 C B 1 C
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji i jej podstawowe własności.
Konspekt lekcji matematyki w klasie II gimnazjum Pojęcie funkcji i jej podstawowe własności. Opracowała mgr Iwona Żuk Gimnazjum nr 2 w Świętoniowej I. Umiejscowienie lekcji w jednostce metodycznej: Pojęcie
Bardziej szczegółowoFUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy
FUNKCJA WYMIERNA Poziom podstawowy Zadanie Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia: a+ a) + ; ( pkt.) a+ a a b) + + ; ( pkt.) + m m m c) :. ( pkt.) m m+ Zadanie ( pkt.) Oblicz wartość liczbową wyrażenia
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
Bardziej szczegółowoSkrypt 7. Funkcje. Opracowanie: L1
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 7 Funkcje 8. Miejsce zerowe
Bardziej szczegółowoW jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012
Jerzy Matwijko Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 W Pracowni
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH
KONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Część organizacyjna: Przedmiot: matematyka Klasa: II technikum poziom rozszerzony Czas trwania: 45 min. Data: Część merytoryczna: Dział programowy: Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy System Oceniania z matematyki klasy 4 6 Szkoły Podstawowej w Kluczewie. Przedmiotowy System Oceniania z matematyki jest zgodny z:
Przedmiotowy System Oceniania z matematyki klasy 4 6 Szkoły Podstawowej w Kluczewie Przedmiotowy System Oceniania z matematyki jest zgodny z: 1. Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO
Wymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO Lekcja Liczba Treści z podstawy godzin programowej I. Liczby rzeczywiste (9 h) 1. Liczby naturalne 1 Przypomnienie ze szkoły podstawowej ułatwiające
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA I 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO
Przedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO 1. Ponieważ celem nauczania jest kształtowanie kompetencji kluczowych, niezbędnych człowiekowi w dorosłym życiu, niezależnie od rodzaju wykształcenia i wykonywanego
Bardziej szczegółowoFunkcje. należący do tej prostej napisz jej wzór oraz narysuj jej wykres. i której wykres jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y = 1 4
Opracowała mgr Lucyna Nikiel Zespół szkół Ogólnokształcących im Armii Krajowej w Bielsku Białej Zadania można wykorzystać do przygotowania uczniów do egzaminu gimnazjalnego lub do powtórzenia wiadomości
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO
Przedmiotowy system oceniania FIZYKA klasa I LO 1. Ponieważ celem nauczania jest kształtowanie kompetencji kluczowych, niezbędnych człowiekowi w dorosłym życiu, niezależnie od rodzaju wykształcenia i wykonywanego
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji hospitacyjnej z matematyki w klasie III gimnazjum
Konspekt lekcji hospitacyjnej z matematyki w klasie III gimnazjum Temat lekcji: Funkcja liniowa w praktycznych zastosowaniach. Obserwowana w czasie lekcji umiejętność: Stosowanie zdobytej wiedzy i umiejętności
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI: TEMAT LEKCJI: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Interpretacja danych w arkuszu kalkulacyjnym
Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI: OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i
Bardziej szczegółowoTEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 2007/2008)
TEST POZIOMU KOMPETENCJI UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH TECHNIKUM PO GIMNAZJUM Z MATEMATYKI (rok szkolny 007/008) Test i analizę opracował: mgr Wojciech Janeczek Test przeprowadziły: mgr Barbara Zalewska, mgr
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoTemat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi
Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =
Bardziej szczegółowoPropozycja planu wynikowego z rozkładem materiału dla klasy 1 branżowej szkoły I stopnia
Propozycja planu wynikowego z rozkładem materiału dla klasy 1 branżowej szkoły I stopnia Zamieszczone poniżej zestawienie zagadnień omawianych na lekcjach matematyki to propozycja połączenia planu wynikowego
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoMiędzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź
Bardziej szczegółowoKLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoStopień dobry otrzymuje uczeń, który spełnia wymagania na stopień dostateczny oraz:
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLASY I ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ (IF, IA/L) (zgodny z wymaganiami nowej podstawy programowej z grudnia 2008) Rok szkolny 2015/2016 Stopień dopuszczający potrafi:
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA oraz WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z FIZYKI w Liceum Ogólnokształcącym im. B. Limanowskiego w Warszawie
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA oraz WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z FIZYKI w Liceum Ogólnokształcącym im. B. Limanowskiego w Warszawie I. Ustalenia ogólne. 1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoII Liceum Ogólnokształcące im. Ks. Prof. Józefa Tischnera W Wodzisławiu Śl. WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA
II Liceum Ogólnokształcące im. Ks. Prof. Józefa Tischnera W Wodzisławiu Śl. WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA Opracował: Tadeusz Winkler Obowiązuje od 1 września 2018r. 1 Narzędzia i częstotliwość pomiaru dydaktycznego
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania w Zespole Szkół Ogólnokształcących nr 3 we Wrocławiu
Przedmiotowy system oceniania w Zespole Szkół Ogólnokształcących nr 3 we Wrocławiu Przedmiotowy System Ocenia jest zgodny z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania i jest jego integralną częścią. Zasady ogólne
Bardziej szczegółowoWYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ
GIMNAZJUM NR 2 W KAMIENNEJ GÓRZE WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ Oprcowała Wiesława Kurnyta Kamienna Góra, 2006 Oto wypisy z Podstawy programowej o nauczaniu matematyki w gimnazjum Cele edukacyjne 1. E Przyswajanie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy
MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione
Bardziej szczegółowoLicz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania
Bardziej szczegółowoScenariusz zajęć na hospitację diagnozującą z fizyki kl I gimnazjum dział,,kinematyka
Scenariusz zajęć na hospitację diagnozującą z fizyki kl I gimnazjum dział,,kinematyka Temat: Rozwiązywanie zadań dotyczących ruchów z wykorzystaniem wykresów V(t) i S(t). Diagnoza: Na lekcjach fizyki w
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji. 3. Temat lekcji: Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru o podanych własnościach;
Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 16 kwietnia 2013r.; Klasa: I c liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka; 2. Program nauczania:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym Klasa 1 (4 godziny tygodniowo) Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien
Bardziej szczegółowo