MATEMATIKA V PRIMÁRNEJ ŠKOLE RÔZNE CESTY, ROVNAKÉ CIELE. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATIKA V PRIMÁRNEJ ŠKOLE RÔZNE CESTY, ROVNAKÉ CIELE. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou"

Transkrypt

1 MATEMATIKA V PRIMÁRNEJ ŠKOLE RÔZNE CESTY, ROVNAKÉ CIELE Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou Prešov 2013

2 Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou organizovanej Pedagogickou fakultou Prešovskej univerzity v Prešove s podporou projektu VEGA 1/1230/12 Komparatívna analýza vybraných aspektov primárnej matematickej edukácie na Slovensku a v zahraničí v kontexte kurikulárnej transformácie vzdelávania na ZŠ a medzinárodných výskumov OECD PISA a IEA TIMSS, ktorá sa konala v Prešove Medzinárodný vedecký a programový výbor konferencie Aro Chikashige (Japonsko, Tokio) Adam Plocki (Poľsko, Nowy Sacz) Grazyna Rygal (Poľsko, Czestochowa) Ewa Jagiello (Poľsko, Siedlce) Jana Coufalová (Česká republika, Plzeň) Bohumil Novák (Česká republika, Olomouc) Michaela Kaslová (Česká republika, Praha) Ondrej Šedivý (Slovensko, Nitra) Pavol Hanzel (Slovensko, Banská Bystrica) Iveta Scholtzová (Slovensko, Prešov) Organizačný výbor Iveta Scholtzová Alena Prídavková Blanka Tomková Marek Mokriš Edita Šimčíková Anna Vašutová Dominika Štefková Jana Chlupová Editori Blanka Tomková Marek Mokriš Za pôvodnosť a správnosť jednotlivých príspevkov zodpovedajú ich autori. Príspevky neprešli jazykovou úpravou. ISBN

3 OBSAH Úvodom... 7 Plenárne prednášky Aro CHIKASHIGE MATHEMATICAL PREPARATION OF PUPILS IN JAPANESE EDUCATIONAL SYSTEM Bohumil NOVÁK K MATEMATICKÉMU VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ PRIMÁRNÍCH ŠKOL Príspevky Eva BARCÍKOVÁ APLIKÁCIA VAN HIELEHO MODELU V ELEMENTÁRNEJ GEOMETRII Jaroslav BERÁNEK MATEMATICKÉ HŘÍČKY A KOUZLA Růžena BLAŽKOVÁ, Milena VAŇUROVÁ KOMUNIKAČNÍ BARIÉRY ŽÁKŮ PŘI ŘEŠENÍ SLOVNÍCH ÚLOH Jaroslava BRINCKOVÁ VPLYV KURIKULÁRNYCH ZMIEN NA RIEŠENIE SLOVNÝCH ÚLOH ŽIAKMI 4. A 5. ROČNÍKA ZŠ Beata BUGAJSKA-JASZCZOŁT, Monika CZAJKOWSKA WYKORZYSTANIE E-OBUDOWY PODRĘCZNIKÓW DO ROZWIJANIA MYŚLENIA MATEMATYCZNEGO UCZNIÓW Jana COUFALOVÁ MISKONCEPCE PODPOROVANÉ UČITELEM Martina DROBNÁ EDUKAČNÝ SYSTÉM V ÍRSKEJ REPUBLIKE A PRVÝ POHĽAD NA MATEMATICKÉ VZDELÁVANIE V PRIMÁRNOM ŠKOLSTVE Agata FIJAŁKOWSKA MODERN AUDIOVISUAL AND TEACHING AIDS USED IN THE MATHEMATICS LESSONS IN GRADES 1 TO Ľubica GEROVÁ PRIPRAVENOSŤ ŠTUDENTOV K ŠTÚDIU MATEMATIKY NA VYSOKEJ ŠKOLE Ján GUNČAGA NIEKTORÉ MATEMATICKÉ ÚLOHY V UČEBNICIACH VÁCLAVA POSEJPALA A VLADIMÍRA HAVELKU Pavol HANZEL DYNAMIKA A INTERAKTIVNOSŤ E-ŠTUDIJNÝCH MATERIÁLOV Milan HEJNÝ, Renáta ZEMANOVÁ VYUČOVÁNÍ ORIENTOVANÉ NA BUDOVÁNÍ SCHÉMAT V PRAXI Ewa JAGIEŁŁO, Anna KLIM-KLIMASZEWSKA JAZYK JAKO KOMUNIKAČNÍ PROSTŘEDEK PŘI VÝUCE MATEMATIKY Anna JAKUBOWICZ-BRYX GRY I ZABAWY MATEMATYCZNE JAKO CZYNNIK WSPOMAGAJĄCY OCENIANIE WE WCZESNOSZKOLNEJ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ Darina JIROTKOVÁ, Radek KRPEC VYUČOVÁNÍ ORIENTOVANÉ NA BUDOVÁNÍ SCHÉMAT V PŘÍPRAVĚ UČITELŮ Pavel KLENOVČAN TVORBA ELEKTRONICKÝCH EDUKAČNÝCH TESTOV Hedviga KOCHOVÁ EDUKAČNÝ PROGRAM V MATEMATIKE NA 1. STUPNI ZÁKLADNEJ ŠKOLY Janka KOPÁČOVÁ MERANIE FYZIKÁLNYCH VELIČÍN V PRIMÁRNOM VZDELÁVANÍ

4 Maria KORCZ O KONIECZNOŚCI I MOŻLIWOŚCIACH WSPIERANIA ROZWOJU DZIECI MATEMATYCZNIE UZDOLNIONYCH Marie KUPČÁKOVÁ JAK DĚTI KRESLÍ TĚLESA Elżbieta MAREK KSZTAŁTOWANIE POJĘĆ Z ZAKRESU MATEMATYCZNYCH UMIEJĘTNOŚCI PRAKTYCZNYCH W KLASACH POCZĄTKOWYCH Marek MOKRIŠ ÚLOHY ZO STEREOMETRIE V UČEBNÝCH TEXTOCH NA PRIMÁRNOM STUPNI VZDELÁVANIA NA SLOVENSKU A V NEMECKU POHĽAD PRVÝ Małgorzata MYSZKA EDUKACJA MATEMATYCZNA DZIECI W MŁODSZYM WIEKU SZKOLNYM Z PODEJRZENIEM DYSKALKULII Barbara NAWOLSKA KORYGOWANIE PRZEZ DZIECI PIĘCIOLETNIE ZABURZEŃ W REGULARNOŚCIACH GEOMETRYCZNYCH Jiřina NOVOTNÁ MATEMATICKÝ TALENT NA 1. STUPNI ZŠ Zbigniew NOWAK WIELOPOZIOMOWOŚĆ ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ Z TREŚCIĄ JAKO ODPOWIEDŹ NA ZRÓŻNICOWANIE DZIECI Edita PARTOVÁ NÁSOBENIE - FAKT, POJEM A POZNATOK Gabriela PAVLOVIČOVÁ, Valéria ŠVECOVÁ ZVYŠOVANIE POROZUMENIA SLOVNÝM ÚLOHÁM V PRÍPRAVE BUDÚCICH UČITEĽOV PRIMÁRNEHO VZDELÁVANIA Šárka PĚCHOUČKOVÁ MATEMATICKÁ PŘÍPRAVA BUDOUCÍCH UČITELŮ MATEŘSKÝCH ŠKOL Jaroslav PERNÝ UČITELÉ PRIMÁRNÍ ŠKOLY A VÝUKA GEOMETRIE Milan POKORNÝ, Silvia MALATINSKÁ INTERAKTÍVNE PRVKY VO VYUČOVANÍ POZIČNÝCH ČÍSELNÝCH SÚSTAV Alena PRÍDAVKOVÁ, Milan DEMKO, Ján BRAJERČÍK ÚLOHY Z MATEMATIKY AKO PROSTRIEDOK STIMULÁCIE EXEKUTÍVNYCH FUNKCIÍ Jana PŘÍHONSKÁ MOTIVACE V PŘÍPRAVĚ STUDENTŮ UČITELSTVÍ PRVNÍHO STUPNĚ ZŠ Alena RAKOUŠOVÁ ROZVÍJENÍ POSTOJŮ ŽÁKŮ 1. STUPNĚ ZÁKLADNÍ ŠKOLY K ŘEŠENÍ SLOVNÍCH ÚLOH PROSTŘEDNICTVÍM INTEGROVANÝCH SLOVNÍCH ÚLOH Renata RECLIK THE SKILL OF ABSTRACTING AND CONCRETIZING AS A DETERMINANT OF TEACHER S COMPETENCES IN THE SPHERE OF FORMING MATHEMATICAL NOTIONS IN PUPILS OF YOUNGER YEARS Viera RINGLEROVÁ, Tatiana KOŠINÁROVÁ APLIKAČNÉ ÚLOHY Z MATEMATIKY PRE ŽIAKOV PRIMÁRNEHO VZDELÁVANIA Grażyna RYGAŁ SYSTEM DZIESIĘTNY W NAUCZANIU WCZESNOSZKOLNYM PRZYKŁADY AKTYWNOŚCI Katarína SEBÍNOVÁ ZRUČNOSTI ŠTUDENTOV BUDÚCICH UČITEĽOV VO VYUŽÍVANÍ IKT Alena SEDLÁKOVÁ UMELECKÉ ILUSTRÁCIE V UČEBNICIACH MATEMATIKY Iveta SCHOLTZOVÁ ZAČIATKY MATEMATICKEJ EDUKÁCIE V OBLASTI GEOMETRIE NA SLOVENSKU A V ÍRSKEJ REPUBLIKE

5 Edita ŠIMČÍKOVÁ, Juraj KRESILA VZDELÁVANIE ŽIAKOV 1. ROČNÍKA ZÁKLADNEJ ŠKOLY V PREDMETE MATEMATIKA V JAPONSKU Helena SIWEK GRY I ZABAWY W PODRĘCZNIKACH ZINTEGROWANYCH DLA KLAS I III I ICH ROLA W KOGNITYWNEJ, PROBLEMOWEJ I TWÓRCZEJ AKTYWIZACJI UCZNIÓW Dominika ŠTEFKOVÁ ÚLOHA KOMBINATORICKÉHO CHARAKTERU - VÝSLEDKY KVALITATÍVNEJ ANALÝZY PÍSOMNÝCH RIEŠENÍ ŽIAKOV Blanka TOMKOVÁ MATEMATICKÉ VZDELÁVANIE ŽIAKOV ZÁKLADNEJ ŠKOLY V CHORVÁTSKU Blanka TOMKOVÁ MATEMATICKÉ VZDELÁVANIE 6 10 ROČNÝCH ŽIAKOV VO FRANCÚZSKU Martina UHLÍŘOVÁ VNÍMÁNÍ MATEMATIKY STUDENTY UČITELSTVÍ PRVNÍHO STUPNĚ ZŠ Dušan VALLO, Lucia RUMANOVÁ SKLADANIE OSOVÝCH SÚMERNOSTÍ VO VYUČOVANÍ ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE Anna VAŠUTOVÁ MATEMATICKÉ VZDELÁVANIE VO FÍNSKU Tomáš ZDRÁHAL DVOJKOVÁ POZIČNÍ SOUSTAVA V ELEMENTÁRNÍ MATEMATICE Katarína ŽILKOVÁ DILEMY V TVORBE E-KURZU MANIPULAČNÁ GEOMETRIA Postery Alena PRÍDAVKOVÁ MATEMATIKA BÚRA JAZYKOVÉ BARIÉRY Jana PŘÍHONSKÁ SVĚT POHÁDEK JAKO PROSTŘEDÍ PRO ROZVOJ ŽÁKOVA MYŠLENÍ...284

6

7 ÚVODOM Históriu konferencií Elementary Mathematics Education už možno počítať na desaťročia. Po prvýkrát privíta účastníkov mesto Prešov, Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie. Konferencia je každoročné stretnutie všetkých učiteľov vysokých i základných škôl a ďalších odborníkov ktorí sa vo svojej vedeckej, odbornej a pedagogickej práci zaoberajú problematikou matematickej edukácie v predprimárnom, primárnom aj špeciálnom vzdelávaní. Témou konferencie Elementary Mathematics Education 2013 je Matematika v primárnej škole rôzne cesty, rovnaké ciele. Determinujúce faktory pre výber témy boli dva. Na pracovných stretnutiach, seminároch, konferenciách, obhajobách dizertačných i habilitačných prác u odborníkov, ktorí sa zaoberajú aktuálnymi otázkami matematiky v primárnom vzdelávaní a vo vysokoškolskej príprave budúcich učiteľov, vždy na konci rezonuje jedna myšlienka. Aj keď pôsobíme na rozličných stupňoch škôl, na iných vysokých školách či pracoviskách, v rôznych mestách, ba dokonca aj v iných štátoch všetci rôznymi cestami smerujeme k rovnakým cieľom. Na jednej strane je to dieťa žiak, rozvoj jeho matematickej gramotnosti a vytváranie pozitívneho vzťahu k matematickému vzdelávaniu. Na druhej strane je to kvalitná príprava budúceho učiteľa, ktorý bude v pedagogickej praxi realizovať vyučovanie matematiky v rôznorodých podmienkach. Ďalším determinujúcim faktorom bol v roku 2012 začiatok riešenia projektu VEGA 1/1230/12 Komparatívna analýza vybraných aspektov primárnej matematickej edukácie na Slovensku a v zahraničí v kontexte kurikulárnej transformácie vzdelávania na ZŠ a medzinárodných výskumov OECD PISA a IEA TIMSS na Pedagogickej fakulte Prešovskej univerzity. Už prvé poznatky, získané riešením projektu, potvrdzovali myšlienku, že aj keď sú cesty, ktorými sa matematické vzdelávanie realizuje rôzne, ciele sú rovnaké. Záštitu nad konferenciou EME 2013 Matematika v primárnej škole rôzne cesty, rovnaké ciele, prijala dekanka Pedagogickej fakulty Prešovskej univerzity doc. Ing. Jana Burgerová, PhD. Jej patrí poďakovanie organizátorov konferencie z Katedry matematickej edukácie PF PU v Prešove, ale aj všetkých, ktorí sa podieľali na úspešnom priebehu konferencie v Prešove. Recenzovaný zborník plných textov príspevkov v jazyku prezentácie s anglickými abstraktmi, vydaný Pedagogickou fakultou Prešovskej univerzity v Prešove, je jedným z výsledkov práce účastníkov a organizátorov konferencie. Medzinárodný vedecký a programový výbor i organizačný výbor veria, že konferencia EME 2013 v Prešove bola úspešným pokračovateľom predchádzajúcich ročníkov. Dúfame, že odborné aj ľudské stretnutia prispeli k obohateniu všetkých tých, ktorí sa venujú matematike v primárnom vzdelávaní i vo vysokoškolskej príprave učiteľov. V Prešove Iveta Scholtzová

8

9 Plenárne prednášky

10 MATEMATICKÁ PRÍPRAVA ŽIAKOV V JAPONSKOM ŠKOLSKOM SYSTÉME Aro CHIKASHIGE Abstrakt Japonsko sa podľa výsledkov medzinárodných meraní žiakov v oblasti matematickej gramotnosti PISA v rokoch 2003, 2006 a 2009 umiestnilo nad priemerom štátov OECD v prvej desiatke. Takéto výsledky zvyšujú záujem odborníkov o poznanie štátnej politiky vo vzťahu k školstvu, ale predovšetkým o skúmanie systému vzdelávania žiakov v Japonsku, o štruktúru a výstupy prípravy žiakov z oblasti matematiky. V príspevku je predstavená koncepcia školského vzdelávacieho systému v Japonsku v súčasnosti. Osobitná pozornosť je venovaná druhom a typom škôl a možnostiam matematickej prípravy žiakov od vstupu do základnej školy až po ukončenie povinnej školskej dochádzky. Pre poznanie súvislostí uvádzame aj možnosti prípravy detí pred vstupom do prvého ročníka základnej školy. Kľúčové slová: povinná školská dochádzka, matematická príprava, podnet na štúdium MATHEMATICAL PREPARATION OF PUPILS IN JAPANESE EDUCATIONAL SYSTEM Abstract Japan, according to the results of measurements of international students in mathematical literacy in PISA 2003, 2006 and 2009 ranked above the average of OECD countries in the top ten. These results raise interest of experts about the government policy in relation to the education system, but especially to the analysis of the education method in Japan, the structure and outcomes of pupils' training in mathematics. This paper introduces the concept of the contemporary school education system in Japan. Particular attention is given to a type of mathematical education and training opportunities for children from entering primary school up to the end of compulsory schooling. The knowledge also cites the possibility of preparing children before entering the first grade of primary school. Key words: Compulsory education, Arthimetic, Incentive to study 1. The Japanese Educational System The educational system of Japan is comprised fundamentally of 6 years of elementary school, 3 years of lower secondary school, 3 years of upper secondary school and 4 years of college ( system). The period of compulsory education is the 9 years at elementary and lower secondary schools. Higher education institutions besides universities are junior colleges and colleges of technology. This system was set up by the new School Education Act enacted in 1947 after the Second World War. In addition there are kindergartens, five-year technical colleges for graduates of lower middle school, and schools for the handicapped. Universities include 10

11 undergraduate colleges (4-6 years), junior colleges (2-3 years), and graduate schools (2-5 years) 1 (Figure 1). (Figure 1) Children enter elementary school at age 6. In elementary school, pupils learn basic subjects necessary for daily life in society. During the elementary education period, one teacher generally teaches all subjects in each class. The school years in Japan start in April and end in March. For cultivating the qualities that young people will need to play useful roles in the nation and society, lower secondary school students are taught fundamental knowledge and skills necessary for socially useful occupations. Their ability to choose the future path which best suits their individual capabilities is also nurtured. Each subject is taught by a different teacher. The rate of school attendance by children during the period of compulsory schooling is 100%, because under the Constitution (Article 26), parents are obligated to 1 Of the March 2011 upper secondary school graduates, 53.9 % went straight on to enter a university or junior college. The ratio of upper secondary school graduates who entered a university, junior college, etc. in 2011 was 56.7 % (57.2 % of male and 56.1 % of female graduates), including graduates from previous years. (Stastical Handbook of Japan 2012, published by the Statistics Bereau, Ministry of Internal Affairs and Communications, Japan., p.177), see also Figure 2. 11

12 send their children to school for this compulsory education, and municipalities are required to establish the school needed. (Figure 2) 2. The Curriculum Standards at the elementary school level According to the curent school course guidelines (Curriculum Standards) which is established by the Ministry of Education, Culture, Sport, Science and Technology (MEXT, in Japanese Mombukagakusho), the subjects taught in Japanese elementary school are as follows: Academic subjects: Japanese language, Arithmetic (Elementary Mathematics), Social studies, Science ( Life Environment Studies during the first and second grades) Nonacademic subjects: Art and Handicrafts (including Japanese Calligraphy), Music, Homemaking, Physical education, Moral education, Special activities The structure of the domains of Arthimetic (Elementary Mathematics) are Numbers and Calculations, Quantities and Measurements, Geometrical Figures, and Mathematical Relations. The last domain will be spared the time to work on mathematical activities which can include various activities. Hands-on activities, experimental activities, physical activities and activities that use concrete objects are often considered to be typical examples of mathematical activities. But there are also other posibilities to enhance the interest of pupils in mathematical activities. Thinking about mathematical problems, building on mathematical knowledge and applying that knowledge, representing and explaining what pupils think etc. Although these do not deal with concrete objects, but are included in mathematical activities. Various studies such as the Program for International Student Assessment (PISA) study implemented by Organization for Economic Co-operation and Development (OECD) or the recent Japanese study of the curriculum indicate no decline in Japanese students technical skills such as caluculation, but the students find difficulty in interpreting the meaning of a problem and they do not sufficiently use their acquired skills and knowledges in learning and daily life. It is necessary to increase their motivation for learning. Mathematical activities play an important role in helping pupils or students acquire fundamental and basic knowledge and skills, in increasing their ability to think and express mathematically, and in enabling students to feel a joy and 12

13 purpose in learning mathematics. For this reason, simply listening to what teachers say and doing practice problems are not included in the definition of mathematical activities. 3. The features of Japanese Education System After the abolishment of the caste system during the Meiji Restoration, the job a person could secure came to depend basically on ability and no longer had much to do with social class at birth, lineage or parent s wealth. What a person had studied at what school the person s educational attainment became the direct measure of this ability. Consequently, all Japanese, even the poor, dreamed of graduating from a prestigious school, finding a good job, and thereby attaining high social status. At the same time, the Meiji government, which was bent on modernizing the country, put tremendous effort into promoting education. Because of these factors, everyone competed for opportunities in higher education, and tried to enter a university if at all possible. This eagerness for education persisted unabated into the post-second World War period, so that the proportion of students going on to higher education became quite high. As we have already seen in the Japanese educational system above, the huge number of upper secondary school graduates enter a university or junior college. The number of students who wish to go to graduate studies has been also increasing. And for instance in 2008, 97.8 % of graduates from lower secondary schools continued to upper secondary school. The percentage of preschoolers attending kindergarden was 56.7%. Thus many people going on to collage, the mere fact of graduation from a collage or university is no longer considered proof of ability. In addition, the differences in quality between universities and between their students is considerable, and the standards of the best schools anywhere in the world. Although the chance of being accepted by one of the top-ranking colleges is not so low as in the past, the competition among those seeking admission is nevertheless still very intense. This has led to the development of private-sector educational institutions such as preparatory schools (cramming schools) that focus on university entrance examination. Also popular are tutoring school (Juku) for elementary-school children who want to enter famous, private integrated lower secondary and upper secondary schools. Yasuo Saito who is a resercher of the National Institute for Educational Policy Research (NIER) mentions that a great number of Japanese children go to private cramming schools on events and/or weekends to supplement or catch up with their school lessons. Concerning the arithmetic, there are special training schools for arithmatic by use of the abacus (soroban). High respect for education had become a characteristic of Japannese society from no later than the Edo period (the 17th to middle of 19th century), well before the days of rapid modernization that started with the Meiji Restoration in Study of reading, writing, and arithmatic was widespread during the Edo period, so that about half of the population, including farmers and ordinary townspeople, could read and write by the time of the Restoration. This level of literacy was rare anywhere in the world at the time. There were 20 thousand Terakoya (literally temple schools though they were not generally operated by temples) set up throughout the country to teach reading, writing, and arithmetic (by use of the abacus) to farmers and townspeople who needed such skills in their daily life. Although a tution fee was not free of charge, the attendance at these temple schools was on a purely voluntary basis. No one was compelled to attend and there was no age limit on those who did. About 13

14 40 % of the farmers and townspeople are estimated to have studies at such schools. National literacy is therefore thought to have been about 50 %. It does not have reluctance that the parent of these days lets children go to such private supplementary schools like Juku or Soroban Juku. Also many students attend various kinds of private training institutions to take lessons on such activities as playing the music instruments, painting, dancing, sporting, learning English, and calligraphy. There exists a large market for these educational industry. The preschool education shows a slight overheat in these days. These learning activities amount to no small expenses for the household. Generally, Japanese famillies prioritize their children s education and show a great readiness to invest in schooling. As a result of the relatively equitable distribution of income throughout the period of high economic growth, the average household has become able to bear these educational expenses without experiencing too heavy and burden 2. It might be said, that the foundations of Japanese education may consist of the Terakoya culture and this climate supports children in the basic-level of Japanese education. Therefore the high educational achievement with little deviation seen in Japanese schools, but this has changed slightly, and Japan s reputation and recognition among educators has become slightly shaky. A number of university science and engineering professors have expressed their dissatisfaction and anxiety over their student s academic abilities, alleging that their level of knowledges in science and mathematics has clearly diminished compared to the previous generation. It appeares in the subjects at the university of students choice (Figure 3). (Figure 3) On the other hand, it has also been argued that there is no objective data demonstrating that young people s levels of academic achievement have fallen. Some people are anxious over the results of OECE-PISA. According to the 2003 results, Japanese 15-years olds ranked among the top class in science and mathematics. However, in reading literacy, the Japanese students dropped to a rank below other Asian countries such as Hong Kong and South Korea, and were no longer ranked among the best in the world. Controversy over students academic abilities has continued. And in the new curriculum for elementary school and lower secondary school announced by the Ministry of Education in March 2008, which are scheduled to be implemented from 2 SAITO, Y.: Distinctive Features of the Japanese Education System. Tokyo: NIER, FJE.pdf 14

15 April 2011, the total number of teaching hours at both sbhool levels will be increased by around 10 %. Incidentally, these private cramming schools which are mentioned above do not need to obey the Curriculum Standards. It is also necessary to point out the fact that increase of number of the entrance examinees for universitiy or a college brought evils. The class contents which were tought in private supplementary schools and performed under the name of test measures may greatly become estranged from school textbooks. As a result, the excessive guidline principle of private supplementary schools force children to cram up the contents of study. The main aim of Yutori (latitude) - education was a reconsideration of such unusual tendency among the field of Japanese education. In the controversy on education reform in the 1990s, criticisms was leveled at the excessive way that schooling and education was dominating children s lifes. It was argued that children had hardworking and busy lives at school, and that even after school hours they were under a lot of stress and strain because of pressure from school and cramming schools. One of the main themes of discussion on education at the time was that how to secure Yutori (latitude) in the lives of the children and their families. In order for them to ensure Yutori in their school lives, Saturday classes were gradually stepped down beginning from 1992, and in 2002 the five-day school week was completely implemented. Also in the 2002, in revised curriculum for elementary and lower secondary schools, the educational content was cut buck by around 30%, and the total number of teaching hours in a school year at the compulsory level was reduced 3. The result was unsatisfactory. The attitude for learning manner of children has passivized. In the argument of the modern education reform in Japan, it is a long time since the Yutori education is criticized. However, many people begin to notice that there seems to be the core of the Yutori education problem in the different place. The contemporary educational issues of Japan are: 1. How is possible to maintain the learning level of the compulsory education, and 2. How is possible to draw the incentive to study from students in the higher education as well. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu VEGA 1/1230/12 Komparatívna analýza vybraných aspektov primárnej matematickej edukácie na Slovensku a v zahraničí v kontexte kurikulárnej transformácie vzdelávania na základných školách a medzinárodných výskumov OECD PISA a IEA TIMSS ( ). Literatúra 1. Benesse Educational Research & Development Center: The research data Clip! Children and Education (in Japanese), CLIP0006C, Tokyo, 2012, Dostupné na internete: 2. ISODA, M.(Edit.): Elementary School Teaching Guide for the Japanese Course of Study : Mathematics (Grade 1-6), Tsukuba: CRICED, University of Tsukuba, Japan Technical Information Service Co., Ltd.: NIPPON THE LAND AND ITS PEOPLE, Tokyo: Gakuseisha Publishing Co., Ltd., 2010, p Ibid., Assertion of and emphasis on latitude or Yutori 15

16 4. Kodansha Europe Ltd., Kodansha America, Inc.: THE JAPAN BOOK, Tokyo: Kodansha International Ltd., 2007, p SAITO, Y.: Distinctive Features of the Japanese Education System. Tokyo: NIER, Dostupné na internete: Japan_files/201103DFJE.pdf 6. Statistical Research and Training Institute Ministry of Internal Affairs and Communications Japan: STATISTICAL HANDBOOK OF JAPAN 2012, Tokyo: Japan Stastical Association, 2012, p Kontaktná adresa Mgr. Aro Chikashige Prešovská univerzita v Prešove, Ústav Ázijských študií Exnárova 36, Prešov Telefón: /

17 K MATEMATICKÉMU VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ PRIMÁRNÍCH ŠKOL Bohumil NOVÁK Abstrakt Příspěvek se zamýšlí nad některými dominantami matematické komponenty profesní přípravy učitelů primární školy jako reflexí aktuálního stavu. Prezentuje pohled vzdělavatelů, opírající se o výstupy inovativních aktivit, ale také požadavky a očekávání studentů. Upozorňuje na některé otevřené problémy a naznačuje možnosti, které může vysokoškolské matematické vzdělávání poskytnout osobnostnímu rozvoji budoucích učitelů. Klíčová slova: Matematické vzdělávání, primární škola, učitel, školská matematika. ON MATHEMATICAL EDUCATION OF PRIMARY SCHOOL TEACHERS Abstract In the contribution we discuss some dominants of the mathematical component of professional training of primary school prospective teachers as a reflection of the current status quo. We present the point of view of both faculties training prospective teachers and expectations of their students. We outline ways in which university education can enhance personality of prospective teachers. Key words: Mathematical education, primary school, teacher, school mathematics. 1. Úvod Hledání odpovědi na otázku jakou matematiku potřebuje učitel primární školy je hledáním optimálního modelu matematické složky přípravného vzdělávání učitelů. Je předmětem mnoha diskusí, analýz a studií z různého úhlu pohledu, kladou si ji také studenti učitelství. V posledních asi 15 letech se stalo rovněž ústředním tématem vědeckých konferencí, které pod názvem EME (Elementary Mathematics Education) každoročně spolupořádají české i slovenské pedagogické fakulty za účasti odborníků z řady zahraničních vysokých škol. Sloveso potřebuje lze ovšem nahradit slovesem očekává nebo požaduje. Připomínky ke vzdělávání učitelů zaznamenává např. Průcha (2002) jednak od autorů výzkumů zaměřených na učitele a jejich vzdělávání, jednak od učitelů samotných, kteří konfrontují své profesní postřehy s tím, jak je pro výkon profese (ne)připravilo studium na fakultách. Zatímco vysokoškolští učitelé obvykle akcentují obecně formativní vlivy učitelské přípravy, jsou učitelé v praxi orientováni podstatně více pragmaticky a požadují, aby učitel byl vybavován především těmi kompetencemi, kterých v praxi bezprostředně využije. Proměna školy totiž znamená nejen změnu kurikulárního rámce vzdělávání, ale přináší zřetelně se zvyšující nároky na osobnostní a profesní kvality učitelů. Řešení složitých situací ve vzdělávacím procesu spojených se změnou přístupu k dítěti, vytváření prostředí poskytujícího dostatek podnětů pro jeho osobnostní rozvoj, diferenciace a individualizace výuky, integrace dětí se speciálními vzdělávacími potřebami, posílení 17

18 mezipředmětové integrace, ale i změny v sociálních poměrech dětí, to vše přináší nové požadavky na profesní přípravu učitelů. Rovněž vliv evropské dimenze vzdělávání, zavádění nových technologií do škol a další faktory vyžadují, aby kvalifikační požadavky na učitele primární školy byly reflektovány v koncepci přípravného a dalšího vzdělávání. Je skutečností školskou praxí neustále potvrzovanou, že učitele nestačí vybavit nějakými (např. matematickými) poznatky, nějakými recepty, jednou provždy. Schopnost absolventa aplikovat akademické poznání, jeho způsobilost vybírat, aktualizovat, adekvátním způsobem komunikovat se širokým spektrem partnerů (se žáky, kolegy, rodiči, veřejností) se ukazuje jako nezbytná pro jeho praxi. V našem příspěvku se pokusíme uvést některé dílčí poznatky z realizace a inovace matematické komponenty profesní přípravy učitelů primárních škol na Pedagogické fakultě UP v Olomouci. Vycházejí z mnohaletých intuitivních zkušeností, ale také z několika výzkumných šetření (podrobněji např. Novák, 2010, 2012). Roky působení na vysoké škole umožňují autorovi srovnávat, i když vedou k pohledu značně subjektivnímu, při vědomí omezené výpovědní hodnoty a bez nároku na obecnou platnost. Pohled pamětníka jako vždy zkresluje, má tendenci idealizovat minulost, i když se často říká, že dnešní studenti nejsou horší nebo lepší, jsou prostě jiní. Přesto naše poznatky považujeme za užitečný zpětnovazební nástroj, který může být zohledněn při hledání alespoň částečných odpovědí na otázku formulovanou v úvodu. 2. O smyslu matematického vzdělávání učitelů primární školy V listopadu 2010 vyšel v Lidových novinách článek s názvem Přes matematiku k duševní kondici. Jeho autor, novinář Miloš Čermák, je jedním z nemnoha mediálně vlivných lidí, kteří se nechlubí svými matematickými neznalostmi, když píše: Když jede auto průměrnou rychlostí 80 km/h a z Prahy do Brna je to 200 km, jak dlouho potrvá cesta? Když má pravoúhlý trojúhelník dvě kratší strany o délce 3 cm a 4 cm, jak dlouhá je ta nejdelší strana? Pokud si ťukáte na čelo a myslíte, že tyto úlohy přece každý spočítá z hlavy, pak možná něco víte o základech matematiky, ale nemáte nejmenší tušení o stavu současného školství. Za deset nebo ještě spíše pět let bude většina dvacátníků nad uvedenými příklady jen bezmocně kroutit hlavou. A na dalším místě pokračuje: Matematika není nic, co lidé buď mají nebo nemají. Že to nemají je pouze výmluva lenochů, kterým se nechce odvést potřebnou práci. V tom je krása i krutost matematiky. Učí logickému a racionálnímu myšlení, ale také vyžaduje pracovitost, houževnatost a dril Že nebudu matematiku nikdy potřebovat je výmluva stejně hloupá, jako kdyby jakýkoliv sportovec tvrdil, že nemusí cvičit a posilovat. Uvedená slova poměrně přesně vystihují naše pedagogické přesvědčení. Přestože matematika na základní a střední (nezřídka střední odborné, např. pedagogické) škole nepatřila mezi stěžejní a oblíbené předměty studentů primární pedagogiky a přestože jejich matematické znalosti jsou chatrné, mezerovité, mnohdy formální, věří, že se matematika stane pro jejich žáky přitažlivá. Aby mohli rádi a dobře učit matematiku, je ovšem třeba osvojit si v průběhu vysokoškolského studia způsob práce v matematice. Ten vyžaduje vedle zvládnutí nezbytného množství základních znalostí vytvořit si svůj vlastní matematický svět, v němž krystalizují poznatky prací s matematickými pojmy, algoritmy a řešením matematických úloh v různých kontextech. Matematika se nedá osvojit pouze memorováním definic, pojmů a vět, ale systematickou prací s nimi (Brincková, 2010, s. 6). 18

19 Vysokoškolská výuka matematických předmětů ve studiu učitelství 1. stupně ZŠ v minulých letech prošla a stále ještě prochází řadou organizačních a obsahových proměn v kontextu změněné filozofie přípravy učitelů. K zásadním koncepčním změnám patří akcent na nové pojetí profese učitele primární školy v souvislosti s proměnami primárního vzdělávání (Spilková, 2006). Stále častěji ovšem zaznívají hlasy upozorňující, že nárůst komplexnosti vzdělávání a současně zřetelně pociťovaná klesající úroveň připravenosti absolventů škol pro tradiční formy vzdělávání na školách vyšších stupňů (tedy i na pedagogických fakultách) je už nyní natolik zřejmá, že mýtus kdo ovládá svou disciplínu, ovládá i její vyučování je nadále neudržitelný (Stuchlíková, Janík 2011). Jádrem kvalifikace učitele primární školy je přitom psychodidaktická kompetence je odborníkem na didaktickou transformaci učiva matematiky pro žáky mladšího školního věku. Znamená to, že nebude matematiku přednášet, diktovat definice a poučky, ale trpělivě vysvětlovat a pomáhat žákům osvojit si základy matematiky, vytvořit si k ní příznivý vztah a učit se využívat matematických poznatků v reálném životě. Že je často obtížné překonávat vlastní prožitky ze základní a střední školy, dokumentují některé autentické výpovědi studentek 1. ročníku: Nevím, co mi středoškolská matematika dala. Snad stres, že jsem hloupější než ostatní, pocit méněcennosti. Mé hodiny matematiky na SŠ byly kritické. Měla jsem naučené vzorečky a věděla, do kterého příkladu který dosadit. Středoškolská matematika mi připadala nezáživná, nudná. Pamatuji se na první písemku na gymnáziu, dostala jsem první čtyřku v životě. Od té chvíle jsem byla zapsána jako velmi slabá. Bylo mi hrozně. Připomeňme alespoň v heslech a bez nároku na úplnost některé další společenské a pedagogické souvislosti, které do přípravy učitelů (nejen) primárních škol a do jejich praxe nesporně intervenují: tradice a historie přípravy učitelů pro základní školy v českých zemích - vysokoškolské vzdělávání magisterského stupně pro učitele nejmladších školáků zdaleka není samozřejmostí, s rostoucími ekonomickými obtížemi se stále vynořují náměty na úsporná opatření., společenský status a ekonomické postavení učitele - úroveň odměňování, vztah veřejnosti a rodičů ke vzdělání, ke škole, k učitelům, nekvalifikovanost, resp. neaprobovanost, nedostatek učitelů některých oborů v některých regionech, s tím související feminizace školství, vysoký věk učitelů (děti na ZŠ učí často jejich babičky), liberalizace a privatizace ve školství, projevující se počtem a různou kvalitou veřejných i soukromých škol od mateřských po vysoké, škálou vzdělávacích proudů, s tím související diverzifikace programů vysokoškolského studia, různost studijních plánů, například různé zastoupení oborově matematické a didaktické komponenty někdy podle aktuální personální situace na jednotlivých pracovištích, vlivy a inspirace z rozmanitých pedagogických směrů (waldorfské školy, pedagogika M. Montessori, pragmatická pedagogika projekty, reformní školství 20. a 30. let minulého století aj.), počet a charakter studijních materiálů a internetových informačních zdrojů. Všichni víme, že máme k dispozici několik učebnicových řad pro matematiku na 1. stupni, 19

20 včetně metodických příruček, ale nemáme od roku 1989 žádnou vysokoškolskou učebnici didaktiky matematiky pro učitelství primární (ale ani sekundární) školy, absence efektivních evaluačních nástrojů (například dlouholeté diskuse o státní maturitě z matematiky, evaluační standardy), neochota školské praxe přijímat státní regulativy (osud kurikulární reformy Rámcové a Školní vzdělávací programy). Naše dosavadní zkušenosti z matematické komponenty profesní přípravy učitelů realizované na Pedagogické fakultě UP v Olomouci jako pětileté magisterské nestrukturované studium zdůrazňují požadavek integrálního přístupu k vysokoškolské přípravě, v němž se po celou dobu studia navzájem prolínají oborově předmětová, didaktická a pedagogicko-psychologická stránka. Inovace struktury i obsahu jednotlivých předmětů je v současné době podpořena využitím ekonomického potenciálu evropských sociálních fondů. Prostředky ESF umožňují nejen tvorbu studijních opor pro distanční část studia (s efektivním potenciálem využívání i v prezenční formě), ale také postupné vytváření podmínek pro širší uplatnění aktivizujících forem výuky a dovednostních edukačních technologií včetně širokého využití ICT. Uvedeme alespoň jeden z příkladů, který lze využít v didakticky zaměřených předmětech. 3. Projekt Matematika pro všechny Na webových stránkách projektu jsou postupně uveřejňovány úlohy projektu JČMF a Společnosti učitelů matematiky (SUMA) s názvem "Matematika pro všechny", který je určen učitelům, žákům všech stupňů škol a jejich rodičům. Jsou zde postupně uveřejňovány úlohy, které mohou žáky zaujmout svou tematikou (např. řešení úloh s aktuálními problémy běžného života, propojení matematiky s dalšími oblastmi vzdělávání) i možnostmi řešení (využití výpočetní techniky a interaktivní tabule, internetu). Úlohy jsou odstupňovány podle obtížnosti, tak, aby i slabší žáci měli možnost vniknout do problematiky a nebyli od počátku odrazeni nepřiměřenou obtížností, současně zde i ti nejlepší žáci najdou aktivity, které je zaujmou. Na stránkách pro učitele jsou zveřejněny kromě metodických pokynů i konkrétní materiály (pracovní listy, speciální úlohy apod.) pro práci s těmito žáky. Úlohy pro 1. stupeň (jedním z tvůrců úloh je autor příspěvku) jsou rozděleny do 5 skupin: aritmetika; geometrie; statistika a pravděpodobnost; hrátky, kvízy a rébusy; multiaktivita, uvnitř každé skupiny jsou ještě dále členěny (například odrážka aritmetika je strukturována na přirozená čísla; zlomky a desetinná čísla; kombinatorika. Při tvorbě a zpracování úloh jsme vycházeli z teoretického ukotvení problematiky. Ve shodě s pedagogickou teorií rozumíme učební úlohou každou pedagogickou situaci, která se vytváří proto, aby zajistila u žáků dosažení určitého učebního cíle (Průcha aj., 1995). V aplikaci do edukační praxe je pak zřejmé, že se jedná o širokou škálu všech učebních zadání, a to od úkolů vyžadujících pamětní reprodukci poznatků až po úkoly vyžadující tvořivé myšlení (Tollingerová, 1986). Při konkrétní práci v rámci projektu bylo třeba respektovat několik zásad. Zmíníme alespoň tyto: vytvořit úlohy aktivity různé obtížnosti ve dvou rovinách: jednak vzhledem k věku žáků různých ročníků 1. stupně ZŠ (1. 5. ročník), jejich poznatkové výbavě dané osvojenými matematickými znalostmi, jednak vzhledem k různým matematickým 20

21 schopnostem a mentální vyspělosti žáků stejného věku, stejného ročníku ZŠ (matematicky nadaní, ale především průměrní a slabší žáci), nabídnout úlohy pro žáky atraktivní, přitažlivé, se zajímavým námětem, podnětným kontextem, s motivačním sémantickým pozadím, které by se alespoň zčásti lišily od běžných učebnicových úloh, a poskytovaly možnost přesahů do jiných oborů vzdělání, resp. umožňovaly využít průřezových témat, přitom dostatečně sdělné a srozumitelné žákům i jejich učitelům, zpracovat aktivity do jednotné šablony stejné pro všechny stupně a typy škol, kterou by bylo možno z webové stránky snadno, s náležitým uživatelským komfortem po stránce metodické (např. pracovní listy) i technické aplikovat v edukační realitě. Šablona je nositelem informací o obsahu i formě aktivity: její název a popis, předpokládané znalosti, charakteristiky: předpokládaná doba trvání, obtížnost (vyjádřená ve 3 stupních), případné využití ICT, prostředí (třída, mimotřídní či mimoškolní aktivita), předpokládaná forma práce (jedinec, skupina), potřebné pomůcky, možný postup řešení, přílohy. Pro ilustraci uvádíme ukázku zpracování dvou úloh. Úloha 1 Základní charakteristiky úlohy: Určeno pro 1. stupeň ZS Aritmetika Přirozená čísla Název aktivity Samohlásky a souhlásky Doba trvání: 10 minut Obtížnost: 1 Prostředí: třída Využití ICT: není nutné Forma práce: jedinec, dvojice, skupina Klíčová slova: Přirozené číslo, početní operace, sčítání Materiál pro uživatele ke stažení na webové stránce: Popis aktivity Přirozené číslo, početní operace, sčítání Předpokládané znalosti Porozumění textu úlohy, samohláska a souhláska, početní operace zpaměti Potřebné pomůcky Tužka, papír Zadání Každá samohláska má hodnotu 2, každá souhláska má hodnotu 3. a) Jaká je číselná hodnota slova MATEMATIKA? b) Jaká je číselná hodnota tvého jména? Možný postup řešení, metodické poznámky Doplňkové aktivity Přesahy a vazby Literatura Předpokladem řešení je znalost pojmů samohláska a souhláska: = 25 Ovšem preferujeme jiné řešení: ve slově matematika je 5 samohlásek, 5 souhlásek, proto =10+15 = 25. Žáci si mohou vzájemně zadávat úlohy jednotlivá slova nebo věty. Můžeme také změnit hodnotu jednotlivých hlásek. Jazyková výchova, pojmy hláska písmeno číslice. Námět úlohy podle Novák, B., Stopenová, A., Uhlířová, M., Molnár, J. Počítejte s Klokanem, kategorie Klokánek. Olomouc: Prodos

22 Úloha 2 Základní charakteristiky úlohy: Určeno pro 1. stupeň ZS Aritmetika Přirozená čísla Statistika a pravděpodobnost Název aktivity Fotbalisté Doba trvání: 15 minut Obtížnost: 2 Prostředí: třída Využití ICT: není nutné Forma práce: jedinec Klíčová slova: Aritmetický průměr, početní operace. Materiál pro uživatele ke stažení na webové stránce: Popis aktivity Slovní úloha, propedeutika pojmu aritmetický průměr, logický úsudek. Předpokládané znalosti Intuitivní představa aritmetického průměru, početní operace s přirozenými čísly. Zadání Průměrný věk fotbalistů mužstva Slavoj Bystřice, kteří nastoupili k zápasu, byl 22 let. Po odchodu jednoho vyloučeného hráče ze hřiště se průměrný věk zbylých hráčů snížil na 21 let. Kolik roků je vyloučenému hráči? Možný postup řešení, metodické poznámky Doplňkové aktivity Přesahy a vazby Literatura Počet hráčů fotbalového mužstva je 11. Průměrný věk byl před vyloučením jednoho z nich 22 let tedy součet věku 11 jednotlivých hráčů byl = 242 (jakoby všichni fotbalisté měli stejný věk). Po odchodu jednoho hráče se situace změnila takto: 10 hráčů má průměrný věk 21 let, tedy součet věku 10 hráčů je 210. Rozdíl = 32 je věk vyloučeného hráče. Popsaný úsudek umožňuje řešit úlohu i bez znalosti obecného vzorce pro výpočet aritmetického průměru. Úloha umožňuje modifikovat zadání směřující k reálným situacím ze života např. k výpočtů průměrného věku členů rodiny, průměrné výšky žáků ve třídě, aj. Kontextová stránka úlohy umožňuje motivační diskusi o sportovních aktivitách žáků, v širším smyslu o jejich zájmech a zálibách. Námět úlohy z překladu publikace International Math Competition 2006, European Kangaroo, Bulgaria, Borovets Matematické vzdělávání z pohledu studentů Již v úvodu bylo zdůrazněno, že očekávání studentů nemusí být vždy ve shodě s tím, co vysokoškolské studium k rozvoji jejich profesních kompetencí skutečně nabízí. Šimoník (1994) komentuje výsledky výzkumu zaměřeného na zjištění profesní vybavenosti učitelů získané vysokoškolskou přípravou slovy: " učitelé od prvních dnů ve škole si uvědomují nedostatky své pedagogické výbavy a jsou schopni poukázat na konkrétní mezery v učitelské přípravě. Tyto zpětnovazební informace jsou však 22

23 učitelskými fakultami zatím využívány minimálně, i když je jejich význam v pedagogické teorii často zdůrazňován." (s. 70). Naše zkušenost potvrzuje, že otázky studentů typu k čemu budu tyto matematické znalosti na 1. stupni potřebovat? a tvrzení fakulta mě do praxe nedostatečně připravila jsou stále poměrně časté. Někdy mají poněkud komickou podobu, např. od fakulty očekávám, že mě dobře připravý na povolání pedagoga nebo chtěla bych, aby drogy a alkohol zmizeli ze škol tady měl na vzdělání našich studentů asi pořádně zapracovat jiný stupeň školy. Součástí vstupní analýzy řešení projektu směřujícího k inovaci matematické komponenty studia, která měla přispět ke zjištění, které vědomosti a dovednosti, "nabízené" k osvojení v dosavadní profesní přípravě, považují studenti za důležité pro svou praxi učitele matematiky primární školy, se stalo několik dílčích sond realizovaných v letech Jako výzkumného nástroje jsme využili dotazníku o potřebnosti pedagogické přípravy v učitelském studiu (autoři Kalhous, Z., Horák, F., 1996) a jeho modifikací. Podrobnější výsledky šetření jsou prezentovány v článcích Novák, 2011, Bártková, Stopenová, Novák, 2011, Bártková, Stopenová Z výsledků zřetelně vyplývá, že studenti významně preferují ty kompetence, které mají vztah k jejich konkrétní didaktické činnosti v matematickém vyučování. Někteří autoři, například Tichá (2012), v této souvislosti rozlišují obecnější termín profesní kompetence, kterými rozumí komplex dispozic, kvalifikací a zdatností potřebných pro úspěšné vykonávání práce a oborově didaktické kompetence jako jádro profesních kompetencí učitelů, kterými se učitelé odlišují od jiných profesionálů a jsou tak jinými profesionály nezastupitelní. Zahrnují zvláště znalost oboru i didaktických přístupů k němu, znalost kurikula a uplatnění těchto znalostí v praxi a také umění kvalifikovaně reagovat na projevy žáků ve vyučování a schopnost využít je jako přínos pro vyučování (Tichá, 2012, s. 25). V našem šetření bylo respondenty považováno za významné především umět řešit matematické učební úlohy, umět řídit učební činnost žáků při řešení matematických úloh, umět správně používat matematickou terminologii a symboliku, ale také kompetence obecnějšího charakteru, jejichž rozvoj lze stěží přisoudit jen jedné - například matematickodidaktické - komponentě studia umět žáka vhodně motivovat, umět adekvátně hodnotit výkon žáka a umět komunikovat se žáky. Za jednu z nejméně potřebných považují studenti znalost odborných základů matematiky. Z následných rozhovorů a reflexí vyplývá, že někteří studenti považují za zcela dostatečné pro vlastní pedagogické působení poznatky, získané na základní a střední škole. Kritizují odbornou teoretickou přípravu, kterou považují za zbytečně náročnou a pro vlastní praxi málo užitečnou. Požadují rozšíření a prohloubení praktických námětů a konkrétních receptů na úspěšné vyučování. Nezřídka přitom v jejich vlastní poznatkové výbavě chybí bezpečné zvládnutí například algoritmů písemného násobení víceciferných čísel nebo určení největšího společného dělitele. Zjištěnou skutečnost, že studenti nepovažují za příliš potřebné ovládnutí odborných základů matematiky, ale přitom preferují potřebu správného používání matematické terminologie a symboliky, lze podle našeho názoru interpretovat dvěma způsoby: v pozitivním smyslu jako potřebný akcent na přesnost učiteli aktivně užívaného 23

24 matematického jazyka, ve smyslu negativním spíše jako tendenci k formalismu či verbalismu, bez potřebného oborově matematického nadhledu. Alarmující je, že za nejméně potřebné považují studenti (a to nejen prezenční, ale i kombinované formy studia) své vlastní permanentní sebevzdělávání. 5. Závěr Matematická stránka vysokoškolské přípravy učitelů primárních škol musí být podle našeho přesvědčení považována za významnou ve smyslu pojetí učitelství matematiky jako příspěvku k profesionalitě učitelství. Jak uvádí Hošpesová, (2011, s. 40), mají být ovšem znalosti učitele matematiky strukturovány s ohledem na jejich využití ve vyučování při vedení žáka k porozumění. Tendence ke snižování poznatkové matematické výbavy spojená s bezbřehou liberalizací vzdělávacích konceptů, kurikulárních materiálů, širokou nabídkou učebnicových řad a internetových portálů učitele matematiky podle našeho názoru do značné míry znejišťuje, neposkytuje mu dostatečnou oporu. Absence nezbytných matematických znalostí na úkor líbivé aktivizace žáků stejně jako prakticistické metodikaření bez potřebného odborného zázemí nevytváří podle našeho názoru podmínky pro moderní a efektivní matematické vyučování, v němž se svět matematiky má stát světem tvořivé práce, příležitostí k rozvíjení potencialit dítěte. Světem, do něhož slovy jednoho čínského přísloví dveře sice otevírá učitel, ale vchází žák sám. Poznámka: Příspěvek je dílčím výstupem grantového projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/ Inovace matematické komponenty pregraduální přípravy učitelů primárních škol na Pedagogické fakultě UP v Olomouci. Literatura 1. BÁRTKOVÁ, E., STOPENOVÁ, A, NOVÁK, B. Innovation in the mathematics component of the future primary school teachers pregraduate curriculum. Matematika. Práce naukowe. Czestochowa: 2011, XVI, č. 1, s ISSN BÁRTKOVÁ, E., STOPENOVÁ, A. Analýza vzdělávacích potřeb studentů. In: In: Specifika matematické edukace v prostředí primární školy. Acta Univ. Palack. Olomucensis, Fac. Paed., Mathematica VII 2012, Matematika 4. UHLÍŘOVÁ, M. (ed.) Olomouc: Vydavatelství UP 2012, s ISSN , ISBN BRINCKOVÁ, J. Vyučovanie matematiky z pohľadu súčasnej školskej reformy. (Tvorivá práca učiteľa matematiky). Banská Bystrica: UMB 2010, 200 s. ISBN ČERMÁK, M. Přes matematiku k duševní kondici. [online] (lidovky.cz ) [cit ]. Dostupné z: /ln_noviny.asp?c=a101111_000047_ln_noviny_sko&klic=239867&mes=101111_0 5. HOŠPESOVÁ, A. aj. Matematická gramotnost a vyučování matematice. České Budějovice: JČU 2011, 232 s. ISBN 6. KALHOUS, Z., HORÁK, F. K aktuálním problémům začínajících učitelů. Pedagogika, 46, 1996, č. 3, s

25 7. NOVÁK, B. Sebereflektivní bilance v matematickém vzdělávání učitelů primární školy. In: Sborník z konference s mezinárodní účastí "Cesty (k) poznávání v matematice primární školy". UHLÍŘOVÁ, M. (ed.). Olomouc: UP 2004, s ISBN X. 8. NOVÁK, B. Nestandardní aplikační úloha, její reflexe a interpretace budoucími učiteli primární školy. In: Matematické vzdělávání v kontextu proměn primární školy (EME 2010). Acta Univ. Palack. Olomucensis, Fac. Paed., Mathematica VII 2010, Matematika 4. UHLÍŘOVÁ, M. (ed.) Olomouc: Vydavatelství UP 2010, s ISSN , ISBN NOVÁK, B. Jakou matematiku potřebuje učitel matematiky primární školy? In: Pregraduální příprava učitelů primární a preprimární školy v kontextu kurikulární reformy. ŠMELOVÁ, E., FASNEROVÁ, M. (eds.) Olomouc: Vydavatelství UP 2011, s ISBN PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E. MAREŠ, J.: Malý pedagogický slovník. Praha: Portál ISBN PRŮCHA, J. Učitel. Současné poznatky o profesi. 1. vyd. Praha: Portál, s. ISBN SPILKOVÁ, V. Klíčové trendy v proměnách vzdělávání učitelů primárních škol po roce In: In: Sborník z konference s mezinárodní účastí "Matematika jako prostředí pro rozvoj osobnosti žáka". UHLÍŘOVÁ, M. (ed.). Olomouc: UP 2006, s ISBN STUCHLÍKOVÁ, I., JANÍK, T. Editorial oborové didaktiky bilance a perspektivy. Pedagogická orientace, roč. 21, č. 2, s ISSN ŠIMONÍK, O. Začínající učitel. Brno: Masarykova univerzita, 1994, 94 s. 15. TICHÁ, M. Rozvíjení profesních kompetencí učitelů. In: In: Specifika matematické edukace v prostředí primární školy. Acta Univ. Palack. Olomucensis, Fac. Paed., Mathematica VII 2012, Matematika 4. UHLÍŘOVÁ, M. (ed.) Olomouc: Vydavatelství UP 2012, s ISSN , ISBN TOLLINGEROVÁ, D.: K teorii učebních činností a jejich projektování. Acta Univ. Palack. Olom., Fac. Phil., Paedagogica-Psychologica, 23. Olomouc Kontaktní adresa Doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP v Olomouci Žižkovo nám 5, Olomouc Telefon:

26

27 Príspevky

28 APLIKÁCIA VAN HIELEHO MODELU V ELEMENTÁRNEJ GEOMETRII Eva BARCÍKOVÁ Abstrakt V článku sa venujeme teórii holandského pedagóga Pierra Van Hieleho. Podstatou Van Hieleho modelu je snaha pochopiť spôsob, ako sa študenti učia, ale aj uvažujú a argumentujú o geometrických útvaroch a vzťahoch medzi nimi. Model obsahuje päť hierarchicky usporiadaných úrovní. Popisujeme jeho model úrovní geometrického myslenia z pohľadu viacerých autorov a uvádzame aj stručnú komparáciu s Piagetovou teóriou kognitívneho vývinu. Následne na základe tohto modelu uvažujeme o možnostiach vyučovania zhodných zobrazení v príprave budúcich učiteľov elementaristov. Kľúčové slová: Van Hiele, model úrovní geometrického myslenia, zhodné zobrazenia APPLICATION OF VAN HIELE MODEL OF GEOMETRIC THOUGHT IN ELEMENTARY GEOMETRY Abstract In this article we deal with theory of Dutch teacher Pierre Van Hiele. The Van Hiele model is a theory in mathematics education, which describes the way that students reason about shapes and other geometric ideas. In this model five discrete hierarchical levels were described. We describe this model of geometric thinking levels from point of view of different authors and also we provide a brief comparison of Piaget's theory of cognitive development. Subsequently, based on this model, we deal with the teaching of isometries especially in primary school teacher training. Key words: Van Hiele, Model of Geometric Thought, isometries 1. Úvod Riešenie konštrukčných úloh a pochopenie geometrických vzťahov je obzvlášť náročné na priestorovú predstavivosť a logické myslenie. Náročnosti výberu vhodných foriem a metód vyučovania geometrie sa venovali okrem iných aj holandský pedagóg Pierre van Hiele a jeho manželka Dita Van Hiele Geldof, keď pozorovali ťažkosti svojich žiakov pri štúdiu geometrie. Na základe svojich pozorovaní a skúseností vypracovali teóriu zaoberajúcu sa úrovňami myslenia v geometrii. Po smrti manželky pokračoval Pierre Van Hiele vo vývoji teórie dnes známej ako Van Hieleho model úrovní geometrického myslenia. Ide o medzinárodne známu a uznávanú teóriu. 2. Van Hieleho model úrovní geometrického myslenia Podstatou Van Hieleho modelu je snaha pochopiť spôsob, ako sa študenti učia, ale aj uvažujú a argumentujú o geometrických útvaroch a vzťahoch medzi nimi. Model obsahuje päť hierarchicky usporiadaných úrovní. Jednotlivé úrovne boli pôvodne číslované od 0 do 4, no neskôr boli inými autormi prečíslované od 1 do 5 alebo upravené na tri úrovne. Jednotlivé úrovne nezávisia od veku žiaka, ako je to v prípade 28

29 Piagetových vývinových štádií. 1 Podľa Mayberry (1983) mnohí študenti (dokonca aj učitelia) nedosiahnu vyššiu ako 1. či 2. úroveň počas celého života. 1. úroveň Vizuálna - Objektmi myslenia sú tvary a vzhľad. Produktom myslenia sú triedy alebo skupiny podobných, rovnakých tvarov. Žiaci uvažujú o geometrických útvaroch na základe ich vzhľadu, ktorý prevažuje nad vlastnosťami. 2. úroveň (Opisno-) Analytická - Objektmi myslenia sú už triedy útvarov. Produktom myslenia sú vlastnosti útvarov. 3. úroveň Abstrakcia (neformálna dedukcia) - Objektmi myslenia sú vlastnosti útvarov. Produktom myslenia sú vzťahy medzi vlastnosťami geometrických objektov. Žiaci uvažujú logicky, vedia formulovať abstraktné definície. 4. úroveň (Formálna) Dedukcia - Objektmi myslenia sú vzťahy medzi vlastnosťami geometrických objektov. Produktom myslenia sú deduktívne axiomatické systémy v geometrii. Sú schopní tvoriť dôkazy vytváraním postupnosti tvrdení, ktoré logicky zdôvodňujú výsledok ako dôsledok daného, rozumejú vzájomným vzťahom medzi pojmami, postulátmi, definíciami, vetami a formálnym dôkazom. 5. úroveň Axiomatizácia - Objektmi myslenia sú deduktívne axiomatické systémy v geometrii. Produktom myslenia je porovnanie a rozdiely medzi rôznymi axiomatickými systémami v geometrii. Dá sa povedať, že Van Hieleho model v niektorých bodoch protirečí Piagetovej teórii kognitívneho vývinu. Piagetova teória presadzuje, že jednotlivé štádiá dosahujú deti približne v rovnakom veku a nie na základe spôsobu vyučovania... Je veľkým omylom predpokladať, že dieťa nadobúda predstavy o číslach a ďalšie matematické predstavy iba počas vyučovania. Naopak, pozoruhodnú úroveň dosiahne samostatne, nezávisle a spontánne... ( Piaget, 1953) Naproti tomu Van Hiele predpokladá prechod do vyššej úrovne hlavne na základe skúseností, ktoré nadobudne žiak v procese vzdelávania sa. Nadobudnuté skúsenosti žiakovi uľahčujú prechod do vyššej úrovne alebo mu ho môžu sťažiť. Piaget aj Van Hiele sa zhodujú v tom, že študent jednotlivé úrovne myslenia nemôže preskočiť a že sa jeho myslenie vyvíja smerom od nižšej úrovne k vyššej. Prejsť na vyššiu úroveň znamená, že žiak si vytvoril vlastné typy objektov a vzťahov, ktoré sú základom pre geometrické myslenie na vyššej úrovni. Určiť, v akej úrovni sa žiak nachádza, môže byť zložité, keďže úrovne myslenia v rámci rôznych pojmov alebo oblastí geometrie môžu byť u žiaka rôzne Učivo zhodné zobrazenia podľa Van Hieleho modelu Vývoj geometrického myslenia v rámci pojmu zhodné zobrazenia rozobrali vo svojej práci autori Jaime a Gutierrez (1995). Ich výskum prebiehal v Španielsku a bol zameraný na ročníky 3 až 12. Na základe ich práce sa dá rozčleniť učivo zhodných zobrazení do Van Hieleho úrovní 1 4 nasledovne: 1. úroveň Žiak má všeobecný nematematický pohľad na zhodné zobrazenia. Rozoznáva zhodné zobrazenie ako pohyb a chápe zachovanie tvaru a veľkosti po vykonaní zhodného zobrazenia (ako manipulácie). 2. úroveň Žiak uvažuje o prvkoch a vlastnostiach, ktoré mu pomôžu určiť zhodné zobrazenie. Osvojuje si definície zhodných zobrazení a matematickú terminológiu. 1 Približné určenie odpovedajúcich vekových kategórií uvádza napr. Pavlovičová,

30 Na základe experimentovania objavuje vlastnosti zhodných zobrazení a objavuje výsledok skladania zhodných zobrazení. 3. úroveň Žiak objavuje a používa vlastnosti a vzťahy medzi vlastnosťami jednotlivých zhodných zobrazení. Rozumie matematickým formuláciám a vie formulovať vlastné neformálne argumenty ako dôkaz. Chápe skladanie zobrazení a vie určiť jeho výsledok. 4. úroveň Žiak argumentuje sám bez učiteľovej asistencie. Vie určiť množinu zhodných zobrazení, ich vlastnosti a skonštruovať dôkaz, že ide o zhodné zobrazenie Zhodné zobrazenia v príprave študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky Učiteľ si musí uvedomovať, že aj pri rovnakom vyjadrovaní sa učiteľa a žiaka o nejakej preberanej téme, interpretácia používaných slov a pojmov môže byť celkom odlišná. (Pavlovičová 2012). Je žiaduce, aby učiteľ dosahoval vyššiu úroveň geometrického myslenia ako jeho žiaci a aby zároveň vedel odhadnúť úroveň myslenia svojich žiakov a prispôsobiť jej svoje vyučovacie metódy a formy. V rámci predmetu Geometria - vybrané kapitoly I. sa študenti predškolskej a elementárnej pedagogiky zoznámia so zhodnými zobrazeniami a ich použitím pri riešení konštrukčných úloh. Študenti by mali disponovať základnými poznatkami z tohto učiva. Zo skúseností však vieme, že úroveň ich vedomostí je často nepostačujúca. Je teda nutné pristupovať k výučbe na spomenutom predmete takmer od základov. Študenti by po absolvovaní mali dosiahnuť dostatočnú úroveň geometrického myslenia v problematike zhodných zobrazení, ktorá im následne počas ich budúcej praxe umožní použiť vhodnú propedeutiku, vďaka čomu pripravia svojich žiakov na toto učivo. Našou snahou je pomôcť študentom postupovať na vyššiu úroveň geometrického myslenia a zároveň im ukázať, ako sa o to môžu snažiť aj oni vo vyučovaní svojich budúcich žiakov. Ďalej uvádzame ukážky aktivít, ktoré používame v pregraduálnej príprave učiteľského štúdia. Sú navrhnuté v súlade s Van Hieleho modelom úrovní geometrického myslenia. Aktivita 1 Hľadanie zhodných zobrazení v obrázkoch (negeometrického charakteru). Úloha 1 V nasledujúcich ukážkach zo života vieme nájsť stredovú alebo osovú súmernosť, no i napríklad otočenie alebo posunutie. Skúste ich vyhľadať. (Rumanová, Vallo, 2009 ) (obr. 1) Obr. 1 Aktivita 2 Aktivity v štvorcovej sieti doplnenie, resp. dokreslenie obrázku podľa osi súmernosti a manipulačné aktivity Úloha 1 Maliarovi sa nechcelo dokončiť ornament, pomôžte mu ho dokresliť. (obr. 3) 30

31 Úloha 2 Posúvajte, otáčajte alebo preklápajte vystrihnutý domček po papieri a obkresľujte jeho tvar pred a po každej zmene polohy. Skúmajte získané dvojice obrázkov. (obr. 2) Obr. 2 Obr. 3 Aktivita 3 Hľadanie zhodných zobrazení v geometrických útvaroch a aktivity v štvorcovej sieti s geometrickými útvarmi zamerané na zhodné zobrazenia Úloha 1 V nasledujúcich mnohouholníkoch vieme nájsť stredovú alebo osovú súmernosť, no napríklad aj otočenie alebo posunutie. Skúste ich vyhľadať. (obr. 4) Úloha 2 Dokreslite pravú polovicu obrázka zloženého z mnohouholníkov tak, aby bol súmerný. Pomôžte si štvorcovou sieťou. Experimentujte s inými spôsobmi dokreslenia. (obr. 5) Obr. 4 Obr. 5 Predchádzajúce aktivity sú chápané ako úvod do problematiky. Zároveň slúžia ako inšpirácia pre budúcu prax. Následne sa študenti postupne oboznamujú s formálnymi definíciami a vlastnosťami zobrazení. Hneď ako si tieto osvoja a dokážu s nimi pracovať, môžu začať riešiť konštrukčné úlohy riešené metódou zhodných zobrazení. V tejto časti by mali byť úlohy volené tiež postupne a v súlade s princípmi Van Hieleho teórie. Aktivita 4 Gradované úlohy zamerané na riešenie konštrukčných úloh. (pozri publikáciu 9.) 3. Záver Statické konštrukcie na tabuli a rigidný prístup k spôsobu vyučovania, ktorého podstata je priame transmisívne podávanie vedomostí žiakom, vyučovanie geometrie neuľahčuje. Pochopenie spôsobu, akým študent buduje a rozvíja svoje geometrické myslenie, môže učiteľovi výrazne napomôcť pri výučbe. Van Hieleho tória je k tomu vhodnou platformou. Z tohto dôvodu považujeme za vhodné, aby sa s ňou budúci učitelia nielen zoznámili, ale aj boli vyučovaní na jej základe. 31

32 Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 073UKF- 4/2011 Didaktické postupy vyučovania matematiky na II. stupni ZŠ a v príprave učiteľov s akcentom na prioritné úlohy matematiky vo vzdelávaní v intenciách Štátneho vzdelávacieho programu.. Literatúra 1. PAVLOVIČOVÁ, G., RUMANOVÁ, L., VIDERMANOVÁ, K. Zábavné úlohy z geometrie. Nitra : FPV UKF, s. ISBN PAVLOVIČOVÁ, G.: Niektoré kľúčové názory na rozvoj matematických predstáv Nitra : UKF, s. 82, ISBN PIAGET, J: How Children Form Mathematical Concepts. Scientific American, 189(5), 1953, s. 74 -, ISSN MAYBERRY: The Van Hiele Levels of Geometric Thought in Undergraduate Preservice Teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 14 (1), 1983, s JAIME, A., & GUTIERREZ, A.: Guidelines for teaching plane isometries in secondary school. The Mathematics Teacher, 88(7), 1995, s ISSN CROWLEY, M.: The van Hiele model of development of geometric thought. In Learning and Teaching Geometry, K-12, 1987 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA: NCTM s MASON, M. M.: The van Hiele Levels of Geometric Understanding. In: The Professional Handbook for Teachers: Geometry. Boston: McDougal-Littell / Houghton-Mifflin, s. 4-8 Dostupné na internete: he%20van%20hiele%20levels%20of%20geometric%20understanding.% p df 8. RUMANOVÁ, L., VALLO, D.: Geometria - vybrané kapitoly : zhodné a podobné zobrazenia. Nitra : UKF, s. 9. BARCÍKOVÁ, E.: Teaching Isometries Based On Van Hiele Model Of Geometric Thought. In Slovné a konštrukčné úlohy ako prostriedok rozvoja logického myslenia vo vyučovaní matematiky, Nitra: FPV UKF, 2013 Kontaktná adresa PaedDr. Eva Barcíková Katedra Matematiky, Fakulta Prírodných Vied, Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1, Sk Nitra Telefón:

33 MATEMATICKÉ HŘÍČKY A KOUZLA Jaroslav BERÁNEK Abstrakt V příspěvku je obsaženo několik matematických hříček a kouzel. Mezi nematematiky působí taková kouzla velmi efektně; mohou však u nich navozovat dojem, že matematika je něco nadpřirozeného, že se jí nelze naučit a podobně. Proto je úkolem, zejména pro učitele matematiky, tyto jevy vysvětlovat a objasňovat jejich matematickou podstatu. Klíčová slova: matematická hříčka, dělitelnost, číselné soustavy MATHEMATICAL PUNS AND TRICS Abstract The article contains a few mathematical puns and tricks. These tricks seem very impressive for non-mathematicians; but on the other hand they can also imply the feeling that Mathematics is something supernatural which is impossible to learn. Therefore, the task, especially for teachers of Mathematics, is to explain these phenomena and clarify their mathematical substance. Key words: mathematical puns, the divisibility, numerical systems S různými matematickými hříčkami a kouzly se setkáváme poměrně často. Zejména mezi nematematiky působí taková kouzla, která se dnes šíří zejména po internetu, velmi efektně. Problémem však je, že u lidí, kteří matematiku nemají v oblibě a nezajímají se o ni, mohou navozovat dojem, že matematika je jako věda něco nadpřirozeného, že se jí nelze naučit a podobně. Proto je úkolem, zejména pro učitele matematiky, tyto jevy vysvětlovat a objasňovat jejich matematickou podstatu, která bývá většinou velmi jednoduchá a snadno ji zvládnou i studenti oboru učitelství pro 1. stupeň ZŠ. V tomto příspěvku několik takových hříček a kouzel ukážeme. 1. Magická koule [3] Toto matematické kouzlo se v poslední době po internetové síti poměrně často šíří (http://www.ultrapc.cz/magicka-koule). Po zadání webové adresy se vygeneruje magická koule (viz obrázek na následující straně). Úkol pro řešitele je následující: Myslete si libovolné dvojciferné číslo, sečtěte jeho cifry a výsledek odečtěte od původního čísla. V tabulce vyhledejte výsledné číslo a koncentrujte mysl na symbol vedle něho. Poté klikněte na magickou kouli. Na magické kouli se vždy objeví symbol, na který jste se koncentrovali a který je uveden u výsledného čísla. Jaké je zdůvodnění? Ať je myšlené číslo jakékoliv, výsledek je vždy číslo dělitelné devíti. Označíme-li myšlené číslo xy, pak platí (10x + y) (x + y) = 9x, x = 1, 2,..., 9 (čísla 90 a 99 výsledným rozdílem být nemohou). U všech čísel 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 se vždy při spuštění koule vygeneruje týž symbol (při každém novém vygenerování samozřejmě jiný). 33

34 2. Hledání ideálního partnera (partnerky) Často se můžeme v elektronické poště setkat s dopisem, obsahujícím následující úkol (původní autor není dohledatelný): 1. Zvol si libovolné přirozené číslo od 1 do 9 2. Toto číslo vynásob třemi 3. K součinu přičti číslo tři 4. Získané číslo znovu vynásob třemi 5. Urči ciferný součet vzniklého čísla Podle čísla, které Ti vyšlo, najdeš svůj skutečný idol: 1. Albert Einstein 2. Ondřej Vetchý 3. Bill Gates 4. Mel Gibson 5. Michael Jackson 6. Brad Pitt 7. Arnold Schwarznegger 8. Boleslav Polívka 9. Hurvínek Jaká je podstata? Při jakékoliv volbě vždy vychází číslo devět. V seznamu ideálních osob je proto vždy prvních osm sestaveno z populárních herců, politiků a jiných významných osob, na devátém místě je pak osoba, která má vyjít jako výsledek (nějaká žertovná postavička nebo sám odesílatel dopisu). Nyní následuje vysvětlení: Zvolené číslo označme x. Jednotlivé kroky podle zadání lze pak zapsat takto: x, 3x, 3x + 3, 9x + 9 = (10x + 9) x = 10x + (9 x), když jsme v posledním kroku využili jednoduchého umělého obratu. Ciferný součet je x + (9 x) = Hádání čísla 1 [2, Kuncová 2008, s. 43] Zvolte si tři po sobě jdoucí trojciferná čísla. Sečtěte je. Určete ciferný součet vypočteného součtu, dále určete ciferný součet předchozího ciferného součtu atd. Pokračujte tak dlouho, až obdržíte jednociferné číslo. Číslo si zapamatujte. Při pohledu na původně zvolená tři čísla vám řeknu, k jakému výsledku jste došli. Jak je to možné? 34

35 Řešení: Záleží na postavení čísla dělitelného třemi mezi třemi zvolenými po sobě jdoucími čísly. Když bude v řadě jako první, dostaneme číslo 3, když bude v řadě jako druhé, dostaneme číslo 9. Bude-li jako třetí z nich, dostaneme výsledek 6. Ilustrace (číslo dělitelné třemi je vytištěno tučně): = = = = = = = = = 6 Důkaz: Číslo dělitelné třemi nechť je a = 100x + 10y + z. Platí x + y + z = 3p, kde číslo p {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} podle předpokladu, že zvolená čísla jsou trojciferná. Odtud plyne 3p {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}. a) Nechť a je na prvním místě. Platí: (100x+10y + z) + (100x+10y + z + 1) + (100x+10y + z + 2) = 3(100x+10y + z) + 3. Ciferný součet čísla 3(100x+10y + z) je 3x+3y+3z = 9p, p {1, 2,..., 9}, odtud tedy 9p {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81}. Ciferný součet čísla 9p je vždy roven 9. Nyní určíme ciferný součet čísla 3(100x+10y + z)+3. S ohledem na předchozí úvahy je roven 3x+3y+(3z+3) = 9p+3; 9p+3 {12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75, 84}, ciferný součet všech těchto čísel je 3 nebo 12, výsledný ciferný součet je tedy 3. b) Nechť a je na druhém místě. Platí: (100x+10y+ z 1) + (100x+10y + z) + (100x+10y+ z+1) = 3(100x+10y+ z). Stejně jako v prvním případě, ciferný součet čísla 3(100x+10y + z) je 3x+ 3y+ 3z = 9p, p {1, 2,..., 9}, tedy 9p {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81}. Ciferný součet čísla 9p je vždy roven 9. c) Nechť a je na třetím místě. Platí: Analogicky jako v předchozích dvou případech, ciferný součet čísla 3(100x+10y + z) je vždy roven 9; Nyní určíme ciferný součet čísla 3(100x+10y + z) 3. Ten je roven 3x+3y+(3z 3) = 9p 3; 9p 3 {6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78}, ciferný součet všech těchto čísel je 6 nebo 15, výsledný ciferný součet je tedy Hádání čísla 2 [2, Kuncová 2008] Zvolte si libovolné přirozené číslo od 1 do 9. Vynásobte toto číslo nejprve číslem 9 a součin potom ještě číslem a sdělte mi výsledek; podle něj poznám číslo, které jste si mysleli. Řešení: Je velmi jednoduché a lze jej využít i ve výuce matematiky na 1. stupni ZŠ. Uvedeme jej bez komentáře: = = = = = = = = = Určení zašifrovaného data [4, Pereľman 1985, s. 95] 35

36 Zvolte si libovolné datum v roce (den, měsíc). Toto datum zašifrujte takto: Číslo označující den v měsíci vynásobte číslem 12, číslo označující měsíc v roce vynásobte číslem 31. Oba součiny sečtěte. Sdělíte-li mi součet, vypočítám z něho myšlené datum. Řešení: Označíme-li číslo dne v měsíci jako x, číslo měsíce v roce jako y a vypočtený součet jako c, vede úloha k řešení neurčité rovnice 12 x + 31 y = c, kde x, y N, x 31, y 12, c N, 43 c 744. Tato rovnice je vždy řešitelná, neboť čísla 12 a 31 jsou nesoudělná. V oboru přirozených čísel vždy existuje jediné řešení [x, y]. Jako příklad zvolme datum , tedy x = 24, y = 4, c = = 412. Jediným řešením neurčité rovnice 12x + 31y = 412 v oboru N je x = 24, y = 4. Důležité je nyní dokázat výše uvedené tvrzení, že v oboru přirozených čísel existuje pro každé přípustné číslo c vždy jediné řešení. Postupujeme sporem. Nechť pro dané číslo c existují dvě různá řešení [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ], x 1, x 2 31, y 1, y Platí tedy 12 x y 1 = c, 12 x y 2 = c. Odečteme druhou rovnici od první, dostaneme 12(x 1 x 2 )+ 31(y 1 y 2 ) = 0. Číslo 12(x 1 x 2 ) musí být dělitelné číslem 31. Protože 1 x 1, x 2 31, platí x 1 x Číslo 12(x 1 x 2 ) může být tedy dělitelné číslem 31 pouze pro x 1 x 2 = 0, tedy x 1 = x 2. Pak ale musí platit 31( y 1 y 2 ) = 0, tedy y 1 = y 2. Dohromady tedy platí [x 1, y 1 ] = [x 2, y 2 ]. Poslední poznámka se týká možné snahy publika zmást předkladatele úlohy zašifrováním neexistujícího data. V tom případě ale rovnice buďto nemá žádné řešení nebo jich má více. Jako příklad uveďme, že nám bylo oznámeno číslo c = 561. Obecným řešením rovnice 12x + 31y = 561 je x = 39 31t, y = 3+ 12t. Rovnice má dvě kladná řešení [39, 3], [8, 15], která ale označují nemožná data. 6. Dyadické početní kouzlo [1, Beránek 1998, s. 74] Na stole je rozloženo šest tabulek, označených A, B, C, D, E, F. Myslete si nyní libovolné přirozené číslo od 1 do 63 a oznamte mi, ve kterých tabulkách je toto číslo obsaženo. Z toho je okamžitě možné určit, které číslo jste si mysleli. Řešení: Zmíněné tabulky jsou na následujícím obrázku: A B D E C F

37 Víme, že každé přirozené číslo a lze jednoznačně vyjádřit ve dvojkové (dyadické) soustavě, ve tvaru a = a n 2 n + a n 1 2 n a a 0, kde n N 0, a 2 n+1, přičemž každý z koeficientů a 0,..., a n je buďto roven číslu jedna nebo nula. Populárně lze říci, že každá z mocnin čísla dvě v dyadickém rozvoji čísla a buďto obsažena je nebo není. Pro každé k N 0 nyní sestavíme rostoucí posloupnosti dekadických zápisů přirozených čísel, které mají ve svém dyadickém rozvoji u mocniny 2 k koeficient jedna. k = 0: 1, 3, 5, 7,... tzn. všechna lichá čísla k = 1: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18,... k = 2: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21,..., atd. Obecně lze tedy psát: k = n: 2 n, 2 n +1, 2 n +2,..., 2 n +2 n 1, 3.2 n, 3.2 n +1, 3.2 n +2,...,3.2 n +2 n 1,..., (2p+1).2 n, (2p+1).2 n +1, (2p+1).2 n +2,..., (2p+1).2 n +2 n 1, p N 0. Každé přirozené číslo a je obsaženo v konečném počtu těchto posloupností, odpovídajících řádům, na kterých je v dyadickém rozvoji čísla a číslice jedna. Např. číslo 41 je obsaženo v posloupnostech pro k = 1, k = 3, k = 5, protože 41 = Zapíšeme-li dané posloupnosti do tabulek, pak informace, ve kterých tabulkách je číslo obsaženo, umožní určit toto číslo jako součet nejmenších prvků těchto posloupností (čísel v levém horním rohu každé tabulky). Číslo 41 je skutečně obsaženo v tabulkách A, D a F. Při praktické realizaci je samozřejmě nutno omezit shora rozsah přirozených čísel některým z čísel 2 n 1a sdělit to publiku. V tom případě je potřeba připravit n tabulek, z nichž každá bude obsahovat 2 n 1 čísel. Povšimněme si, že každá z tabulek vždy končí číslem 2 n 1. V úvodním zadání je n = 6, rozsah čísel je od 1 do 63, je sestaveno šest tabulek, které všechny končí číslem 63. V příspěvku jsme uvedli několik zajímavých matematických problémů. Podobných kouzel existuje samozřejmě daleko více. Velmi oblíbené jsou například různé číselné početní pyramidy. To je však již námět na další příspěvek. Literatúra 1. BERÁNEK, J. O číselných soustavách trochu jinak. In XVI. vědecké kolokvium o řízení osvojovacího procesu. Vyškov: VVŠ PV, s isbn KUNCOVÁ, V. Historie matematiky ve vztahu k vyučování matematice na 1.stupni ZŠ: diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, s 3. Magická koule: Dostupné z www stránky Citováno dne PEREĹMAN, J. I. Zajímavá algebra. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, s., ISBN Kontaktná adresa Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU Poříčí 7, Brno Telefón:

38 KOMUNIKAČNÍ BARIÉRY ŽÁKŮ PŘI ŘEŠENÍ SLOVNÍCH ÚLOH Růžena BLAŽKOVÁ, Milena VAŇUROVÁ Abstrakt Ve vyučování matematice na prvním stupni základní školy je důležité věnovat pozornost správnému vytváření pojmů a jejich vlastností. Pozornost je třeba věnovat i problémům v komunikaci verbální, symbolické, grafické, obrazově názorné. Mnoho problémů žáků při řešení slovních úloh je způsobeno problémy v komunikaci. Jsou uvedeny konkrétní příčiny a projevy problémů v komunikaci u žáků při řešení některých slovních úloh. Kľúčové slová: komunikace v matematice, komunikace verbální, grafická, obrazově názorná, první stupeň ZŠ, řešení slovních úloh. COMMUNICATION BARRIERS OF PUPILS IN SOLVING WORD PROBLEMS Abstract In mathematical education in primary school it is important to pay attention to proper conceptualization and their properties. Attention should be paid to the problems of communication verbal, symbolic, graphical, visually telling. Many problems of pupilss in solving word problems are caused by problems in communication. Specific causes and symptoms in comunicative problems of pupils with solving word problems are given. Key words: communitation in mathematics, verbal, graphic, visually instructive, primary school, solving word problems 1. Úvod Při vytváření matematických pojmů i při samotné výuce matematiky se jako jeden ze zásadních problémů jeví problém dorozumění se jak v rámci běžné komunikace, tak v oblasti matematiky a porozumění učivu v celé šíři matematického vyjadřování. V praxi se ukazuje, že devadesát procent problémů dětí v matematice je způsobeno problémy v komunikaci mezi dítětem a okolním světem. Přitom předpoklady pro komunikaci mohou být vrozené nebo získané. Úkolem pedagoga je, aby odhalil komunikační specifika každého dítěte a pro výuku matematiky je maximálně využil. Při výuce matematiky jde především o tyto typy komunikace: Komunikace v oblasti čtení matematického textu, komunikace verbální, komunikace grafická, komunikace obrazově symbolická a obrazově názorná. 38

39 2. Komunikace v oblasti čtení matematického textu Čtení úloh a přepis textu do matematického jazyka je pro mnoho dětí oříškem. Děti mají problémy s přečtením celého textu, s porozuměním textu, se zvládnutím délky textu. Často nejsou schopny pochopit otázku úlohy v souvislosti se čteným zadáním a často odpovídají na otázku jinou, která nebyla v textu uvedena a třeba ani nesouvisí s řešením úlohy. Někteří žáci mají problémy s pochopením používaných výrazů v textu úlohy (např. čtvrtletí, tržba), jiní s vyjádřením vztahů pomocí předložek. Např. významu předložky po nerozumí v úloze: Koupíme 8 jogurtů po osmi korunách. Největší problém pak činí přepis textu úlohy do matematického jazyka, tj. zápis příkladu, rovnice apod. Objevují se problémy se čtením symbolického zápisu a vlastní vizí dítěte, např. číselný výraz = 8 může dítě chápat jako: tři a pět je osm, tři plus pět je osm, když přidám ke třem 5, dostanu 8, osm je o tři víc než 5, osm je o pět víc než tři, atd. 3. Komunikace verbální Předpokladem pro to, aby se žák mohl v matematice správně vyjadřovat, je pochopení, porozumění matematickým pojmům, termínům a vztahům. To však vyžaduje, aby měl vytvořenou jasnou představu o každém pojmu v duchu jeho správné definice, i když se po žácích definice nevyžadují. Při verbálním vyjádření by bylo třeba, aby se učitel i žák zaměřili na podstatné jevy, na skutečnosti, které jsou pro daný pojem nebo dané učivo podstatné, omezili vlastnosti méně podstatné a charakterizovali daný pojem naprosto výstižně. Vyjádřit myšlenku svými vlastními slovy a přitom zachovat význam pojmu je velkým uměním. Při rozvoji verbální komunikace bychom měli vnímat, zda mají děti v matematice dostatek prostoru pro verbální vyjádření, zda rozumí slovnímu vyjádření učitele a otázkám učitele, zda vidí a vnímají to, co předpokládá jejich učitel, jakou mají slovní zásobu a jak rozumí používaným pojmům. Neměly by být odmítány při slovním vyjádření, které není právě správné nebo nejlépe formulované. 4. Komunikace grafická Pěstování kultury grafického projevu je nejdůležitějším prostředkem grafické komunikace. Jde zejména o matematické zápisy (např. zápisy čísel, zápisy algoritmů písemných operací, stručné zápisy zadání úloh, postupu jejich řešení i odpovědi) a o úpravu písemného projevu, která je předpokladem správnosti výpočtu. Děti mají problémy s dodržováním stejné velikosti číslic v zápisu čísla, s dodržováním lineatury, se správným zápisem čísel ve schématech algoritmů, v zápisu zlomků, zápisu algebraických výrazů aj. Je však důležité uvědomit si, že upravený písemný projev dítěte není zárukou porozumění a zvládnutí matematického učiva. Často se stává, že děti opisují z tabule vzorně vedený učitelův zápis, ale vůbec nerozumí tomu, co píší. 5. Komunikace obrazově názorná a obrazově symbolická Při komunikaci obrazově názorné děti využívají obrázků ke ztvárnění matematických pojmů a vztahů. Pomocí obrázků je možné dětem přiblížit zadání slovních úloh, nástin jejich řešení aj. Znázornění matematické situace prostřednictvím symbolického obrázku, např. symbolické znázornění slovní nebo konstrukční úlohy pomocí jednoduchého schematického obrázku slabým žákům řešení umožní, ale i šikovným žákům řešení 39

40 usnadní. Důležité je, aby symbolické znázornění nebylo chybné a vyjadřovalo skutečnou situaci v úloze (např. znázornění slovní úlohy na sčítání je jiné než znázornění slovní úlohy na porovnávání pomocí vztahů o několik více ). Dalším příkladem ilustrace vztahů mezi číselnými údaji jsou např. diagramy užívané ve statistice. Symbolické znázornění čísel v diagramech je mnohem více čitelnější, než zápis čísel např. v tabulkách. 6. Problémy v komunikaci obrazově názorné při řešení slovních úloh Postup řešení slovních úloh předpokládá, že žák si přečte zadání úlohy a porozumí mu a pochopí, co je předmětem otázky. Přístupy k řešení by měly být zbaveny jakéhokoliv formalismu, měly by žákům poskytnout co největší prostor pro vlastní řešení. Pokud žáci mají vhled do úlohy a řeší ji bez formálních zápisů správně, jejich řešení akceptujeme. Avšak protože učíme žáky nejen řešit jednotlivé úlohy, ale také metodám práce tak, aby v budoucnu uměli řešit i složitější úlohy, diskutujeme s nimi o jejich postupech řešení a postupně je vedeme k zápisům řešení. Existují některé zásady, které by žáci neměli opominout. Jde především o rozbor úlohy, kdy si žáci ujasní vztah mezi údaji hledanými a údaji zadanými. Součástí rozboru může být i grafické znázornění, kdy toto znázornění většině žáků usnadní řešení úlohy. Z rozboru vyplývá matematický zápis úlohy (matematizace), následuje řešení matematické úlohy, interpretace výsledků matematické úlohy do reality (zpravidla formou odpovědi) a zkoušky správnosti. Největší problémy v obrazově názorné komunikaci jsme zaznamenali u různých typů úloh, které se sice řeší stejným početním výkonem, ale grafické znázornění je jiné: Př. 1. Jednoduché slovní úlohy. Pozorujte grafická znázornění úloh: a) Matěj měl 14 kuliček, 5 kuliček vyhrál. Kolik kuliček měl po hře? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o zápis příkladu: = 19 b) Matěj měl 14 kuliček, Tomáš měl o 5 kuliček více než Matěj. Kolik kuliček měl Tomáš? M o o o o o o o o o o o o o o T o o o o o o o o o o o o o o o o o o o zápis příkladu: = 19 Obě úlohy a), b) se řeší stejným příkladem, avšak realita se liší. Pokud žáci použijí grafické znázornění typu M T o o o o o o o o o o o o o o o o o o o, jde o formální znázornění, kde není jasné, čí jsou které kuličky. c) Matěj měl na začátku hry 19 kuliček, ale 5 kuliček prohrál. Kolik kuliček měl po hře? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o zápis příkladu: 19 5 = 14 d) Matěj měl 19 kuliček, Tomáš měl o 5 kuliček méně než Matěj. Kolik kuliček měl Tomáš? M o o o o o o o o o o o o o o o o o o o T o o o o o o o o o o o o o o zápis příkladu 19 5 = 14 Podobně jako v případě c) zápis příkladu je stejný, reálná situace je však jiná. Chybné grafické znázornění typu M o o o o o o o o o o o o o o o o o o o T o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 40

41 není znázorněním slovní úlohy na porovnávání, ale např. slovní úlohy: Matěj měl 19 kuliček, Tomáš měl také 19 kuliček, ale 5 kuliček prohrál. Největším problémem při znázorňování těchto slovních úloh je, že žáci znázorní pouze příklad (sčítání, odčítání), avšak bez spojitosti s reálnou situací v úloze popsanou. Rovněž znázorňování slovních úloh, charakterizovaných vztahy na porovnávání, na číselné ose je nevhodné. e) Maminka koupila každému z tří svých dětí 4 sešity. Kolik sešitů koupila celkem? A B C zápis příkladu: 3. 4 = 12 f) Roman vyhrál 4 kuličky a Petr vyhrál třikrát více kuliček než Roman. Kolik kuliček vyhrál Petr? R o o o o P o o o o o o o o o o o o 3krát více než zápis příkladu: 3. 4 = 12 Chybné znázornění: P R o o o o o o o o o o o o Obrázek opět neodpovídá konkrétní reálné situaci. U této úlohy jsme se setkali i se znázorněním: R o o o o P o o o o o o o o o o o o o o o o o 3krát více než g) Maminka měla 12 bonbonů a rozdělila je spravedlivě mezi tři děti. Kolik bonbonů dostalo každé dítě? Při grafickém znázornění postupujeme tak, že každému z dětí dáváme postupně jeden bonbon, až všechny vyčerpáme: A B C o o o o o o o o o o o o zápis příkladu: 12 : 3 = 4 h) Jirka měl 12 bonbonů, Kryštof měl třikrát méně bonbonů než Jirka. Kolik bonbonů měl Kryštof? J o o o o o o o o o o o o K? Je problém znázornit počet bonbonů Kryštofa. Vhodnější je znázornit počet Jirkových bonbonů úsečkou nebo obdélníkem, na kterých snadno vyznačíme tři díly. J K zápis příkladu: 12 : 3 = 4 V souvislosti s výše uvedenými úlohami se setkáváme také s nepochopením vyjádření a vztahů: jednou tolik používá se ve významu dvakrát tolik a dvakrát tolik někdy se používá vyjádření o dvakrát tolik a potom žáci počítají třikrát tolik 41

42 Př. 2. Složené slovní úlohy. a) Matěj měl 14 kuliček, Tomáš měl o 5 kuliček více než Matěj. Kolik kuliček měli dohromady? M o o o o o o o o o o o o o o T o o o o o o o o o o o o o o o o o o o zápis příkladu: 14 + (14 + 5) = 33 b) Matěj má 19 kuliček, Tomáš má o 5 kuliček méně než Matěj. Kolik kuliček mají dohromady? M o o o o o o o o o o o o o o o o o o o T o o o o o o o o o o o o o o zápis příkladu 19 + (19 5) = 33 Pokud si žáci znázorní úlohu nevhodně (viz výše př. 1b)), zpravidla první číslo (tj. počet kuliček Matěje) zapomenou přičíst (časté stížnosti učitelů z praxe). c) Matěj s Tomášem mají dohromady 33 kuliček. Tomáš má o 5 kuliček méně než Matěj. Kolik kuliček má každý? M T 5 33 zápis příkladu (33 5) : 2 = = 19 Matěj 19 kuliček, Tomáš 14 kuliček. Tuto úlohu je možné znázornit i jinými způsoby, např. T M Další úloha ilustruje nesprávný postup při výpočtu i zkoušce při řešení analogické úlohy: d) Marek a Terezka ušetřili dohromady 250 Kč. Terezka ušetřila o 50 Kč více než Lukáš. Kolik Kč ušetřil každý z nich? Výpočet: 250 : 2 = 125, = 175, = 75 Terezka ušetřila 175 Kč, Lukáš 75 Kč. Zkouška = 250. Žáci neberou v úvahu, že rozdíl mezi částkami Marka a Terezky není 50 Kč, jak požaduje zadání úlohy, ale 100 Kč. 7. Závěr Komunikační bariéry v matematice překonáváme výběrem vhodných postupů a cvičení, při kterých se nejprve snažíme v rámci individuálního přístupu odhalit komunikativní cesty a možnosti každého dítěte a následně pak je využít pro jeho úspěšnou práci v matematice. Pro většinu výše uvedených komunikačních bariér lze nalézt nápravná cvičení, která usnadní dětem jejich komunikační problémy. Avšak nápravná cvičení musí být opřena o vlastní manipulativní činnost dětí, o výuku prostřednictvím zážitků, nikoliv jen o pouhou paměť. Rovněž je nutné dbát na matematickou správnost a preciznost nabízených postupů, protože např. chybným znázorněním se zvyšuje nedůvěra dětí v matematiku a porucha v komunikaci se může ještě prohloubit. 42

43 Poznámka: Příspěvek je částečným výstupem řešení výzkumného záměru MSM s názvem Speciální potřeby žáků v kontextu Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. Literatura 1. GAVORA, P. a kol.: Pedagogická komunikácia na základnej škole. Bratislava: Veda, HEJNÝ, M. KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika. Praha: Portál s. ISBN MAREŠ, J. KŘIVOHLAVÝ, J.: Komunikace ve škole. Brno: CDVU s. ISBN MARCHINI, C. KASLOVÁ, M.: Metody řešení a komunikace. In: Sborník příspěvků Dva dny s didaktikou matematiky Praha: PedF UK, Kontaktná adresa RNDr. Růžena Blažková, CSc. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta MU Poříčí 31, Brno, Česká republika Telefon: RNDr. Milena Vaňurová, CSc. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta MU Poříčí 31, Brno, Česká republika Telefon:

44 VPLYV KURIKULÁRNYCH ZMIEN NA RIEŠENIE SLOVNÝCH ÚLOH ŽIAKMI 4. A 5. ROČNÍKA ZŠ Jaroslava BRINCKOVÁ Abstrakt Príspevok sa zaoberá rozvojom funkčného myslenia žiaka pri prechode z 1. na 2. stupeň ZŠ, vplyvom schopnosti čítať s porozumením na riešenie zložených slovných úloh v projektoch, realizovaných v prierezových témach stanovených Školským vzdelávacím programom. Poukazuje na inovatívny prístup učiteľov matematiky pri riešení slovných úloh v 5. ročníku ZŠ. Navrhuje možnosti diferencovaného prístupu pri opakovaní učiva o delení prirodzených čísel jedno a dvojciferným deliteľom. Kľúčové slová: matematické slovné úlohy, projekty, funkčné myslenie, vyučovacie metódy, základná škola THE IMPACT OF CURRICULUM CHANGES ON WORD PROBLEMS SOLVING BY PUPILS IN FOURTH AND FIFTH GRADE OF ELEMENTARY SCHOOL Abstract The paper deals with the development of functional thinking of a pupil in transition from primary to secondary school, the effect of the ability to read for understanding on compound word problems solving in projects implemented in multidisciplinary topics of School educational program. It mentions the innovative approach of mathematics teachers to word problems solving in fifth grade of elementary school. Key words: problem solving in mathematics, projects, functional thinking, teaching methods, elementary school 1. Kurikulárne zmeny Veľké množstvo ročných žiakov slovenských základných škôl má každoročne skúsenosť s prechodom z 1. na 2. stupeň ZŠ. V primárnom vzdelávaní videl učiteľ žiaka globálne sám, teraz je tu iný prístup každého vyučujúceho, iný pohľad, iné usmerňovanie, iné nároky, iné hodnotenie. Aj tieto nové aspekty sú zdrojom mnohých ťažkostí v osvojovaní si učiva matematiky, najmä bariér psychologických. Ľahko vzniká hlavne u detí nervovo labilných nervozita, depresia, stres, šoky a odpor k niektorému predmetu. Do nového prostredia sa musí každý najprv adaptovať, o to viac dieťa, ktoré je v etape telesného a duševného rozvoja. Zabezpečiť plynulý prechod z primárneho na nižšie sekundárne vzdelávanie je predpokladom dosiahnutia cieľov nižšieho sekundárneho vzdelávania. 1 1 Štátny vzdelávací program pre 2. stupeň ZŠ v SR,

45 Na plynulosť prechodu žiaka na vyšší stupeň školy vplývajú aj kurikulárne zmeny v obsahu vyučovaného predmetu a variabilita na trhu dostupných učebníc. Podľa Štátneho vzdelávacieho programu ISCED 1 a ISCED2 je ťažisko vzdelávania v matematike položené na schopnosti žiaka riešiť slovné úlohy a aplikačné úlohy rozvíjajúce špecifické matematické myslenie. Komparatívu analýzu okruhov vzdelávania v matematike vo 4. a 5. ročníku ZŠ, uvedenú v tabuľke 1, sme zamerali na obsahový štandard, týkajúci sa riešenia slovných úloh. Tabuľka 1: Slovné úlohy a odporúčaný obsahový štandard Téma 4. ročník ISCED 1 Téma 5. ročník ISCED 2 Násobenie a delenie v obore násobilky Sčítanie a odčítanie v obore do Riešenie slovných úloh na násobenie a delenie. Riešenie jednoduchých slovných úloh typu: porovnanie podielom. Riešenie slovných úloh, ktoré vedú k zápisu: a+ a. b; a + a: b; a. b + c; a. b + c. d (aj typy slovných úloh z 3. ročníka). Tvorenie textov k numerickým príkladom Slovné úlohy na priamu úmernosť (propedeutika). Nepriamo sformulované slovné úlohy. Tvorba slovnej úlohy k danému príkladu na násobenie a delenie v obore násobilky do 100. Riešenie všetkých typov jednoduchých a zložených slovných úloh v číselnom obore do Riešenie slovných úloh za pomoci zaokrúhľovania čísel. Násobenie a delenie prirodzených čísel v obore do Vytvorenie oboru prirodzených čísel do a nad milión Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické myslenie s využitím násobenia a delenia (aj ako propedeutika zlomkov, propedeutika pomeru). Riešenie slovných úloh a úloh na rozvíjanie matematickej gramotnosti. Kontextové a podnetové úlohy z obrázkov, máp, schém, tabuliek, diagramov, grafov,... Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie Propedeutika pravdivých a nepravdivých výrokov. Vytváranie stĺpcových diagramov z údajov získaných žiakmi. Výpočet aritmetického priemeru pre menší počet dát- propedeutika Riešenie nepriamo sformulovaných úloh. Slovné úlohy s kombinatorickou motiváciou. Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie Propedeutika pravdivých a nepravdivých výrokov. Vytváranie stĺpcových diagramov z údajov získaných žiakmi. Výpočet aritmetického priemeru pre menší počet dát- propedeutika Riešenie nepriamo sformulovaných úloh. Slovné úlohy s kombinatorickou motiváciou. Geometria a meranie Riešenie slovných úloh o meraní dĺžky úsečky, jednotky dĺžky, premena jednotiek m, dm, cm, mm v obore prirodzených čísel. Obvod trojuholníka, štvorca, obdĺžnika. Z analýzy údajov v tabuľke vyplýva, že pri riešení slovných úloh sa dôraz kladie na rozvoj funkčného myslenia žiaka pri porovnávaní čísel podielom, ako propedeutikou 45

46 kryštalizácie pojmu pomer čísel, zlomok, priama úmernosť. V porovnaní s Učebnými osnovami matematiky, platnými od roku 1997, sa učivo rozširuje o kontextové a podnetové úlohy z obrázkov, máp, schém, tabuliek, diagramov, grafov, nepriamo sformulované úlohy a slovné úlohy s kombinatorickou motiváciou. 2. Číslo ako operátor časti Pri prechode žiakov z prvého na druhý stupeň ZŠ porovnávame čísla rozdielom, alebo podielom. Skúmajme porozumenie číslu ako operátoru časti alebo porovnania či zmeny, z pohľadu operácie použitej v riešení slovných úloh. V prípade porovnávania a zmeny, odpovedáme pri aditívnej operácii (rozdiel) na otázku O koľko viac (menej)? Pri multiplikatívnej operácii (podiel), odpovedáme na otázku Koľkokrát viac (menej)? Ak žiak nemá dostatočne prepojenú predstavu Sveta vecí a Sveta čísel stretávame sa vo fáze interpretácie situácie Sveta čísel vo Svete vecí s chybne položenou otázkou: O koľkokrát viac (menej)? U niektorých žiakov sa formálne pochopenie čísla ako operátora, nedostatočne prepojené na Svet vecí, prenáša pri riešení slovných úloh až do učiteľskej prípravy. (J. Brincková 2007) Operátor časti nás vedie do sveta zlomkov - pomeru a úmernosti, ktorého ťažisko sa rozvíja na 2. stupni ZŠ. Toto učivo nás vedie do sveta vážnych didaktických problémov. Dlhodobá snaha metodikov matematiky o voľbu najoptimálnejšej vyučovacej metódy pri vyučovaní zlomkov sa minula účinkom. Efektívnosť výučby slovných úloh so zlomkami sa nezvýšila. Položme si otázku: Prečo? S vnímaním čísla ako operátora násobenia sa v programe ISCED 1 stretávajú žiaci po prvý krát v matematike 3. ročníka ZŠ. Precvičujú spoje násobenia v obore do 20. Napríklad 3 x 4 = 12. Číslo 3 chápu ako operátor, číslo 4 ako mnohosť a súčin 12 tiež ako mnohosť. Pri utvrdení spojov násobenia v obore do sto sa stretávajú v pracovných listoch s úlohami zapísanými v tabuľkách. Napr. 1. úloha: Doplň čísla do tabuľky a a Učiteľ matematiky vie z tabuľky intuitívne navodiť problematiku priamej úmernosti, ako množiny usporiadaných dvojíc [a; 4a], znázornených šípkami, pre ktorú platí: koľkokrát sa zväčší prvá zložka, toľkokrát sa zväčší druhá zložka dvojice. Aplikácii učiva priamej úmernosti sa venujú žiaci viac v Prírodovede a Vlastivede ako v Matematike. Učia sa používať mierku na mape, zväčšovať rozmery objektov zapísaných v kmeňových zlomkoch. Na učivo Vlastivedy a Prírodovedy nadviaže čiastočne Matematika až v závere 4. ročníka pri modelovaní telies pomocou kociek. Napríklad modelovaním budovy tvaru kvádra podľa predlohy, ak budova má rozmery uvedené podľa architekta takto: dĺžka tri kocky, šírka štyri kocky a výška dve kocky. Kocka architekta má hranu dlhú 10cm, kocka žiaka 1 cm. Modelovaním pomocou kociek s inou dĺžkou hrany vidia, že ich počet sa nemení, ale rozmery budovy sa menia. Väčšinou pomocou manipulatívnej činnosti si ukladajú v pamäti predstavy, ktoré sa s narastajúcim počtom opakovaní interiorizujú a postupne pretransformujú do predpojmu zlomok. Až v 5. ročníku sa prvý krát učia názvy kmeňových zlomkov ½ - 46

47 jedna polovica,... a poukazuje sa na to, že zápis zlomku 1/10 môžeme chápať ako podiel 1:10. Tento metodický prístup je používaný v nových učebniciach matematiky vydavateľstva AITEC. Výrazne sa odlišuje od učebných materiálov platných v predchádzajúcej školskej koncepcii. Počet slovných úloh o porovnávaní čísel podielom sa ale nezväčšil. Podľa našich zistení z prípravy učiteľov v Kvalifikačnom štúdiu matematiky spôsobuje učiteľom matematiky pre 2. a 3. stupeň školy aj po štyroch rokoch prestavby ešte stále problémy v praxi, pri komunikácii so žiakmi o ich postupe riešenia slovnej úlohy. 3. Riešenie matematických slovných úloh Matematické slovné úlohy radíme v rámci literárnych textov do troch skupín ako: vecná literatúra; matematika; učebnicová literatúra. Na úspešnosť ich riešenia výrazne vplýva schopnosť čítať s porozumením. Pozri výsledky PISA Aktívny sociálny prístup k stvárneniu matematických slovných úloh, ktorý sa dá realizovať v rámci učiva v Prierezových tematikách, napríklad Matematika v obchode, presúva slovné úlohy do oblasti vysoko tvorivej činnosti a žiakov obohacuje o vnútornú skúsenosť s vnímaním textu slovnej úlohy. Pôsobí na nich silne motivačne. Ak analyzujeme obsah súčasne platných učebníc a školských zbierok úloh, zameraných na aplikáciu učiva o slovných úlohách, konštatujeme, že je prezentovaný rôznymi typmi textu. Texty sú členené na súvislé (rozprávanie, výklad, popis) a nesúvislé (grafy, diagramy, tabuľky, obrázky, mapy, formuláre, reklama). Od budúceho učiteľa, ale aj od žiaka sa vyžaduje, aby o predloženom texte uvažoval ako o celku, aby bol schopný vystihnúť hlavnú myšlienku, vysvetliť účel textu a pretransformovať ho do jazyka matematiky. Riešiteľský proces úlohy umožňuje využívať sociálny prístup k vyučovaniu matematiky. Dá sa chápať podľa tabuľky 2 ako dráma, v ktorej žiak postupuje v nasledujúcich krokoch: Tabuľka 2: Dráma v krokoch 5. vytvára si vlastný model 1. uvedomuje predpoklady úlohy 6. rieši úlohu 2. usiluje sa o ich pochopenie 7. overuje jej riešenie 3. zoznámi sa s problémom formulovaným 8. koriguje prípadné chyby v úlohe 4. hľadá cesty od pochopenia k riešeniu 9. formuluje výsledok V nasledujúcej tabuľke 3 analyzujme sociálny prístup k riešeniu slovnej úlohy vo vzťahu subjekt objekt z pohľadu členenia literárneho textu. Tabuľka3: Subjekt - žiak Objekt- úloha Prostriedky zošit, tabuľa, kalkulačka,, vzorce,.. Podmienky okolnosti riešenia úlohy, fyzický a psychický stav riešiteľa Činnosť subjektu priebeh riešenia Činnosť a prejavy subjektov rada učiteľa, spolužiaka, Expozícia zoznámenie sa s prvkami a väzbami, Kolízia formulovanie a rozbor problému, Kríza rozhodnutie o metóde riešenia, Peripetie vlastné riešenie, Katastrofa formulácia výsledku. 47

48 Zaradenie učiva matematiky do prierezových tematík umožňuje učiteľovi riešiť so žiakmi problémové, projektové a aplikačné úlohy, ktoré si vyžadujú väčšiu časovú dotáciu. Učitelia v kurze Kvalifikačného štúdia matematiky, realizovaného pri FPV UMB v Banskej Bystrici tvoria pre žiakov vlastné pracovné listy, zamerané na precvičenie algoritmov riešenia matematických slovných úloh k určeným okruhom. Napríklad matematický projekt Nákup v obchode pre žiakov 4. a 5. ročníka ZŠ, zameraný na precvičenie učiva o delení jedno a dvojciferným deliteľom, v ktorom si žiaci mohli z 10 úloh zvoliť štvoricu. K zvoleným úlohám zostavili dramatický dej, v ktorom úlohy aplikujú a riešia. Zo súboru úloh pre krátkosť príspevku vyberáme úlohu, ktorej úspešnosť riešenia sme vyskúšali u piatakov aj žiakov 8. ročného gymnázia a v príprave učiteľov matematiky pre 1. až 3. stupeň ZŠ. Analýzu riešení uvedieme v prednáške. 1. Minerálka sa predáva v obchode v dvoch baleniach. Sklenená fľaša má objem 7dcl a stojí 57 centov a záloha na fľašu je 13 centov. Nevratná plastová fľaša má objem 15 dcl a stojí 105 centov. Koľko sklenených fliaš musíme kúpiť, ak chceme kúpiť rovnaké množstvo minerálky, ako je v siedmich plastových fľašiach? V ktorom balení je liter minerálky lacnejší a o koľko? Záver Obdobie prechodu žiakov z nižšieho na vyšší stupeň začalo v súčasnosti viac zaujímať pedagógov, nakoľko podľa niektorých výskumov až štyridsať percent žiakov si pravidelne zhorší prospech na začiatku prechodu z prvého na druhý stupeň. To môže viesť k zmene obľuby daného predmetu. Riešenie zložených a aplikačných slovných úloh v matematike sa radí k najobtiažnejšiemu učivu z obdobia prechodu medzi stupňami škôl. Schopnosť objavovať funkčné vzťahy medzi objektmi v texte úlohy môžeme posilniť zmenou sociálneho prístupu k riešeniu úlohy. Literatúra 1. BRINCKOVÁ, J.: Číslo ako operátor časti v učive matematiky ZŠ In: DiDZA2007. Nové trendy vo vyučovaní matematiky a informatiky na základných a stredných školách. Žilina: Žilinská univerzita, Vydavateľstvo ŽU EDIS, s KORŠŇÁKOVÁ, P.: PISA 2009.Národná správa NÚCEM Bratislava: ŠPÚ, Dostupné na internete: acia/1_narodne_spravy/n%c3%a1rodn%c3%a1_spr%c3%a1va_pisa_2009.pdf 3. ISCED 2- Štátny vzdelávací program pre 2. stupeň ZŠ v SR, Dostupné na internete: 4. Učebné osnovy z Matematiky. Bratislava: SPÚ Dostupné na internete: Kontaktná adresa Doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc. Katedra matematiky, FPV UMB Tajovského 40, Banská Bystrica, SR Telefón:

49 WYKORZYSTANIE E-OBUDOWY PODRĘCZNIKÓW DO ROZWIJANIA MYŚLENIA MATEMATYCZNEGO UCZNIÓW Beata BUGAJSKA-JASZCZOŁT, Monika CZAJKOWSKA Abstrakt Szybki rozwój technologii informacyjnej spowodował, że koniecznością stało się przygotowanie dzieci i młodzieży do rozumnego korzystania ze środków TI, w tym również do wspomagania własnego uczenia się. Coraz częściej do podręczników do matematyki dołączane są płyty CD. W artykule omówimy wyniki analizy ich zawartości pod kątem rozwijania myślenia matematycznego uczniów będących na różnych etapach edukacyjnych. Pokażemy, że płyty CD mogą służyć indywidualizacji nauczania i być wykorzystane zarówno do pracy z uczniem o niskich umiejętnościach, jak i uzdolnionych matematycznie. Kluczowe słowa: uczniowie o różnych potrzebach edukacyjnych, TI w nauczaniu matematyki THE USE OF E-RESOURCES ACCOMPANYING THE COURSEBOOKS TO DEVELOP MATHEMATICAL THINKING SKILLS OF STUDENTS Abstract The rapid development of information technology has brought about the necessity to prepare children and youth for using IT tools wisely, including their selfdirected learning support. Nowadays CD- ROMs frequently accompany the coursebooks for mathematics. In this paper we will discuss the analysis results of their content and try to determine their didactic functionality at various stages of education. We will demonstrate that CD- ROMs help to individualize instruction and can be used with both weak and mathematically gifted learners. Key words: learners with different educational needs, IT in teaching mathematics 1. Rozwój społeczeństwa informatycznego i ich wpływ na edukację W ostatniej dekadzie XX wieku nastąpił w Polsce szybki rozwój technologii informacyjnej, który wywarł ogromny wpływ na wszystkie dziedziny ludzkiej działalności. Kalkulatory graficzne, komputery, ipady, smartfony stały się elementem rzeczywistości, w której dorasta i rozwija się młode pokolenie. Tworzenie się społeczeństwa informacyjnego postawiło przed szkołą i nauczycielami nowe zadanie przygotowanie dzieci i młodzieży do rozumnego posługiwania się środkami TI oraz wykorzystania TI do wspomagania własnego uczenia i doskonalenia się. Konieczność zmian w edukacji i włączenia do procesu kształcenia technologii informacyjnej na każdym etapie edukacyjnym dostrzegli twórcy podstawy programowej. W rozporządzeniu z 23 grudnia 2008 r. czytamy m.in., że Do najważniejszych umiejętności zdobywanych przez ucznia w trakcie kształcenia ogólnego w szkole podstawowej należą: ( ) umiejętność posługiwania się nowoczesnymi technologiami 49

50 informacyjno-komunikacyjnymi, w tym także dla wyszukiwania i korzystania z informacji oraz że ważnym zadaniem szkoły podstawowej jest przygotowanie uczniów do życia w społeczeństwie informacyjnym. Nauczyciele powinni stwarzać uczniom warunki do nabywania umiejętności wyszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z różnych źródeł, z zastosowaniem technologii informacyjno-komunikacyjnych, na zajęciach z różnych przedmiotów. 2. Wyniki analizy zawartości płyt CD pod kątem rozwijania myślenia matematycznego uczniów Zadania matematyczne można, biorąc pod uwagę aktywność umysłową ucznia, podzielić na takie, do rozwiązania których uczeń musi stosować różnorodne zabiegi i strategie heurystyczne oraz takie, które wymagają zastosowania algorytmu albo znanego sposobu postępowania 1. W analizowanych materiałach CD, dołączanych do szkolnych podręczników, znaleźć można zarówno zadania pobudzające do złożonej aktywności matematycznej, jak i zadania schematyczne. Dalej przyjrzymy się tym zadaniom, które sprzyjają rozwojowi myślenia matematycznego uczniów. Wśród nich na szczególną uwagę zasługują zadania z kontekstem pozamatematycznym. Aby je rozwiązać uczeń musi dokonać sensownego wyboru środków lub modeli matematycznych do opisania językiem matematycznym przedstawionej sytuacji. Przykład 1. W programie Wesoła Szkoła klasa III uczeń zostaje postawiony w sytuacji klienta. Wie co ma kupić i jaką kwotę może na ten cel przeznaczyć. Przechodząc między stoiskami ma zdecydować, u którego sprzedawcy dokona zakupów. rys. 1 rys. 2 Program pozwala na samodzielne podejmowanie decyzji, zmusza do analizowania sytuacji, myślenia i działania. Uczeń mający trudności z matematyką może eksperymentować i ćwiczyć wykonywanie rachunków jakby przy okazji, bowiem nie są one celem działania, lecz narzędziem do rozwiązania postawionego problemu. Takie zadania pozwalają rozwijać podstawowe dla realistycznego nauczania aktywności matematyzowania i schematyzowania. Natomiast uczeń uzdolniony matematycznie może szukać optymalnego rozwiązania, doskonaląc swoje kompetencje w tym zakresie. Przykład 2. 1 Taki podział zadań w literaturze znany jest jako podział na zadania standardowe i niestandardowe ze względu na schematyczność rozwiązania. 50

51 W materiałach z serii Policzmy to razem przedstawiona jest sytuacja, w której uczeń wybierając konkretne wyrażenie algebraiczne i wartość zmiennej, obserwuje zmiany prędkości dwóch kolejek. Musi dostrzec, że pomimo jednakowego zapisu, wyrażenie algebraiczne za każdym razem oznacza coś innego w przypadku kolejki zielonej jest ono liczbą, określającą ile razy kolejka zielona porusza się szybciej niż kolejka żółta, natomiast w przypadku kolejki czerwonej jest wielkością mianowaną, wyrażoną domyślnie w określonych jednostkach prędkości. Może też zauważyć, że w przypadku gdy wartość wyrażenia algebraicznego jest liczbą ujemną kolejka zielona zawsze porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaś kolejka czerwona może poruszać się w obu kierunkach. Uczeń uzdolniony może postawić sobie pytania związane z podaną sytuacją (np. Przy jakim wyrażeniu, spośród podanych, i dla jakiej wartości n prędkość zielonej (czerwonej) kolejki będzie największa? Czy można, zakładając, że prędkości kolejek: żółtej, zielonej i czerwonej wyrażone są w tych samych jednostkach, oszacować prędkość kolejki żółtej?) i poszukiwać na nie odpowiedzi, najpierw w toku eksperymentowania, a następnie, już bez użycia TI, na gruncie formalnego rozumowania matematycznego. rys. 3. Przykład 3 Poniższe zadnie pochodzi z płyty CD z serii Matematyka Europejczyka. Uczeń ma posadzić jabłonie i śliwy tak, aby spełnione były warunki zadania. Może eksperymentować, wielokrotnie zmieniać położenie drzew, sprawdzać wyniki swojej pracy. Zadanie to sprzyja nie tylko rozwijaniu myślenia matematycznego, ale także umiejętności czytania tekstów zadań matematycznych ze zrozumieniem, z czym, jak pokazuje praktyka, polscy uczniowie mają sporo trudności. 51

52 rys. 4 Gotowe, statyczne zadania w podręcznikach nie dają uczniowi możliwości eksperymentowania i obserwowania rezultatów własnych decyzji. W przypadku analizowanych programów na płytach CD uczeń każdorazowo może przekonać się o zasadności podejmowanych przez siebie działań, doskonaląc przy tym i rozwijając swoje umiejętności. 3. Zakończenie Nauczyciele stają przed wyzwaniem inspirowania uczniów cyfrowej generacji do kreatywnego kształcenia się. W związku z zachodzącymi zmianami społecznymi komputer powinien być wykorzystywany do celów edukacyjnych zarówno na lekcjach, jak i w takcie samodzielnej pracy ucznia w domu. Właściwie wykorzystane płyty CD dołączane do podręczników do matematyki oraz różne komputerowe programy edukacyjne mogą sprzyjać indywidualizacji nauczania i wspierać kształcenie matematycznie uczniów o różnych potrzebach edukacyjnych. Materiały te mogą pełnić funkcje: kształcące, w tym ułatwiać a) wizualizację treści matematycznych, b) zrozumienie sytuacji opisanej tekstem zadania, c) dostrzegania luk i błędów w rozumowaniu, aktywizujące, w tym: a) ułatwiać indywidualizację nauczania poprzez dostosowanie zadań i problemów do aktualnych potrzeb i możliwości uczniów o różnych potrzebach edukacyjnych, b) dostarczać prawie natychmiastowej informacji zwrotnej o skuteczności (lub braku) działań ucznia c) ukazywać zjawiska w sposób dynamiczny, a nie statyczny, d) umożliwiać badanie skończonej, ale dowolnie dużej liczby przypadków, e) pobudzać do aktywności umysłowej, a w przypadku gier dydaktycznych do opracowania strategii wygrywającej. Jednak, jak wynika z rozmów z nauczycielami, co potwierdza praktyka i badania naukowe, polscy nauczyciele bardzo rzadko wykorzystują TI w edukacji matematycznej ucznia. Niektórzy nie odczuwają potrzeby korzystania z e-obudowy podręczników i nie znają jej zawartości. Inni nie wiedzą jak wykorzystać je w praktyce, jak z ich pomocą zindywidualizować nauczanie. Niektórym nauczycielom szkoła nie stwarza możliwości wykorzystania płyt CD na zajęciach z edukacji matematycznej nie mogą oni korzystać z pracowni komputerowych, a zatem nie mają możliwości takiej organizacji nauczania, w której każdy z uczniów pracuje przy własnym komputerze, własnym tempem, nad zadaniami najlepiej dostosowanymi do jego potrzeb edukacyjnych. W tej sytuacji niektórzy nauczyciele, chcąc sprostać nowym wymogom, zalecają uczniom korzystanie w domu z płyt dołaczanych do podręczników lub darmowych programów edukacyjnych, których propozycje znajdują się na stronach internetowych. Programy te mają bardzo różną wartość edukacyjną. Jak wynika z badań, niektóre z nich (zob. Bugajska Jaszczołt, Czajkowska, 2009a, 2009b) nie tylko nie wspierają procesu uczenia się matematyki, ale wręcz mogą wpływać negatywnie na kształcenie matematyczne ucznia. Nauczyciel nie może bezkrytycznie ufać twórcom programu i przed zastosowaniem powinien program rzetelnie przebadać pod kątem jego zalet i wad w płaszczyźnie poznawczej i emocjonalno motywacyjnej, przemyśleć jego przydatność do realizacji postawionych celów nauczania oraz możliwość wykorzystania w pracy z konkretną grupą uczniów. 52

53 Z tego powodu istnieje pilna konieczność szkoleń nauczycieli w zakresie wykorzystania TI do wspierania edukacji matematycznej uczniów o różnych potrzebach edukacyjnych, a także przekonania organów odpowiedzialnych za organizację pracy szkoły o korzyściach płynących z organizacji niektórych lekcji matematyki w pracowniach komputerowych. Literatúra 1. BUGAJSKA JASZCZOŁT, B., CZAJKOWSKA, M.: Analiza wybranych programów komputerowych pod kątem możliwości ich wykorzystania w kształceniu matematycznym [w]: Współczesne problemy nauczania matematyki. Prace monograficzne z dydaktyki matematyki, t. 2, (red. H.Kąkol), 2009a, s BUGAJSKA JASZCZOŁT, B., CZAJKOWSKA, M.: Analiza wybranych programów komputerowych pod kątem możliwości ich wykorzystania w edukacji matematycznej w klasach początkowych, [w]: Szkoły, Nauczyciele, Uczniowie. Dyskusja o programie, metodzie, uczeniu się w Europie, (red. T. Gumuła, T. Dyrda), Wydawnictwo Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacji PIB, 2009, s KRYGOWSKA, Z.: Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich, Dydaktyka Matematyki nr 6, 1986, s Kontaktná adresa Beata Bugajska-Jaszczołt PhD Uniwersytet Jana Kochanowskiego Ul. Żeromskiego 5, Kielce Telefón: Monika Czajkowska Uniwersytet Jana Kochanowskiego Ul. Żeromskiego 5, Kielce Telefón:

54 MISKONCEPCE PODPOROVANÉ UČITELEM Jana COUFALOVÁ Abstrakt Miskoncepce, které vznikají v průběhu prvotního uchopení tématu žáky, jsou v počátečním vyučování matematiky přirozeným jevem. Snaha autorů učebnic i řady učitelů o propojení matematického učiva s reálným životem žáků však vyvolává situace, které vedou k chybám v pojmotvorném procesu žáků zcela zbytečně. Příspěvek uvádí několik příkladů takových miskoncepcí s analýzou příčin jejich vzniku. Autorka čerpá z učebnic pro počáteční vyučování matematiky, z analýzy žákovských prací a z pozorování realizovaných v průběhu vyučování. Kľúčové slová: vytváření pojmů, miskoncepce, komunikace žák - učitel, prototyp MISCONCEPTIONS SUPPORTED BY TEACHER Abstract Misconceptions occurring during the initial processing of the theme are natural phenomenon at mathematics education at the primary level. Textbook authors and many teachers are trying to connect the curriculum to real life of pupils. Sometimes it causes unnecessary errors in the pupil conceptualization. The paper presents several examples of such misconceptions and analyzes its causes. Sources of examples are textbooks, analysis of pupils' work and observations carried out during the teaching. Key words: conceptualization, misconception, communication student teacher, prototype 1. Miskoncepce jako chybná prekoncepce V počátečním matematickém vzdělávání se učitel setkává s představami, které si žák vytvořil ještě před vstupem do školy, s představami, které vznikaly každodenním pozorováním a vnímáním bezprostředního okolí a v průběhu činností žáka. Takové představy označujeme jako prekoncepty. Prekoncept lze definovat jako primární představu o daných pojmech, kdy představy jsou otevřené systémy, které podléhají dynamickým změnám v interakci s novými informacemi, podněty a zkušenostmi, které jedinec přijímá (Čáp, Mareš, 2007, s ). Utváření prekonceptů je formováno vnějšími vlivy (kulturními, sociálními, ekonomickými, náboženskými apod.) a vlivy vnitřními, které odrážejí individualitu žáka z hlediska jeho osobnostních a psychosociálních charakteristik. Proto nelze k prekonceptu přistupovat pouze v rovině kognitivní, ale je třeba zvažovat jeho složitou strukturu (afektivní dimenzi, začlenění do struktury kognitivní mapy dítěte, plasticitu jako schopnost podléhat změnám). (Doulík, Škoda, 2003). Poměrně často nejsou tyto prvotní představy v souladu s poznatky matematické teorie a pro žáka znamenají překážku v uchopování učiva. Tyto chybné prekoncepce 54

55 označujeme jako miskoncepce 1. Miskoncepce projevují značnou odolnost vůči nápravě (Doulík, Škoda, 2010), proto je důležité jejich včasné diagnostikování. Miskoncepce, které vznikají na základě předchozích zkušeností žáka, musíme chápat jako přirozenou součást procesu učení a přistupovat k jejich odstraňování s respektováním individuality žáka. Zdrojem vzniku miskoncepcí může být i učitel. Právě tomuto typu se budeme věnovat v následujícím textu. 2. Hledání modelu v reálném světě Za lék na klesající zájem žáků o matematiku a přírodovědné předměty bývá považováno spojení učiva s praxí. Úlohy ze života mají vést k motivaci, ale i ke zvládnutí učiva. Především v počátečním vyučování není takový přístup zpochybňován a učitelé se snaží najít vhodnou reálnou situaci v rozmanitých fázích vyučovacího procesu. Snaha o maximální přiblížení světu dětí však skrývá některá úskalí, na která by učitel neměl zapomínat. Matematika jako obor s vysokou mírou abstrakce pracuje často s pojmy, jejichž definování není založeno na tom, co přímo vidíme v reálném světě. Kočku můžeme dětem ukázat, bod jako takový ukazujeme obtížněji. Při vytváření matematických pojmů se proto učitelé uchylují k modelům, které jsou pro žáky známé a srozumitelné, ale mohou se stát zdrojem žákovských miskoncepcí. Studentka na pedagogické praxi ukazuje dětem velký nafukovací míč. Potom zvedne postupně míč na kopanou a míček na tenis. Nakonec ukazuje pingpongový míček a říká: Když budeme dál míček zmenšovat, dostaneme bod. Základní idea je i z hlediska matematické teorie v pořádku, ale žák druhého ročníku není vybaven představou nekonečného zmenšování. Není tedy překvapením, že při další práci s pojmem bod se projevuje miskoncepce bod = hodně malá koule. Tato miskoncepce je ještě upevněna, když učitelka vyznačuje body na přímce kroužkem. 3. Obsah a rozsah pojmu Uvedená chybná představa bodu bývá dočasná a poměrně dobře korigovatelná se vzrůstající schopností abstrakce u žáků. Mnohem komplikovanější jsou situace, ve kterých dochází k chybě v samotném obsahu pojmu 2. Zavedení pojmu bod bylo zařazeno do zimního období. Autoři učebnice se proto pokusili přiblížit dětem pojem obrázkem zasněženého svahu, na kterém se protínají dráhy dvou jezdců na snowboardu. Obrázek byl doplněn textem: V místě, kde se čáry protínají, vznikají body. Učitelka, která s rukopisem učebnice pracovala, si uvědomovala nedostatek obrázku v tom, že průnikem drah je čtyřúhelník, proto vyzvala žáky, aby si všímali jenom těch čar. Průsečík čar je skutečně bodem, ale děti potom viděly na obrázku jenom čtyři body vrcholy čtyřúhelníku. Problém vyvstal již při řešení prvních úloh z pracovního sešitu, ve kterých měly vyznačit na přímce body K, L. 1 Miskoncepce = mylné, chybné, nepřesné pojetí (např. učiva ve škole), nesprávná osobní prekoncepce, hypotéza nebo teorie, která bývá značně rezistentní vůči změnám (http://slovnik-cizich-slov.abz.cz/web.php/slovo/miskoncepce) 2 Obsahem pojmu rozumíme souhrn charakteristických znaků, z nichž každý je nutný, a všechny současně postačují k vymezení pojmu. Souhrn objektů spadajících pod uvažovaný pojem je rozsahem pojmu. Rozšiřujeme-li obsah pojmu, zúží se jeho rozsah, a obráceně. 55

56 Učitelka řešila situaci pokynem: Uděláme tam čárky a tím nám ty body vzniknou, kterým byla mylná představa ještě utvrzena. 4. Nedorozumění v komunikaci Některé miskoncepce mají původ v rozdílné komunikační rovině učitele a žáka. Jirotková, Kratochvílová na základě zkušeností z experimentálního vyučování poukazují v práci učitele na nutnost věnovat pozornost obsahové stránce svých vlastních sdělení, získávat zpětnou vazbu o tom, jak žák interpretuje jeho sdělení, naslouchat žákovi a interpretovat jeho sdělení, (Jirotková, Kratochvílová, 2004, s. 90). Některé učivo počáteční matematiky se zdá na první pohled tak triviální a některé učební postupy se staly natolik obecně vžitými, že učitelé potřebu takového přístupu nepociťují. Mnoho učebnic matematiky pro 1. ročník obsahuje u zavedení znaku pro rovnost či nerovnost čísel obrázek zobáku, který je otevřen tam, kde má být něčeho více. Některé ilustrace však neporovnávají množství, ale velikost objektu (typickým příkladem je obrázek myši a slona). Možnost vzniku chybného prvotního chápání nerovnosti čísel zvyšuje formulace typu: Číslo 5 je větší než číslo 2. Zatímco učitel sděluje tímto zavedeným vyjádřením automaticky porovnání mnohosti, dítě na základě předchozí životní zkušenosti chápe velikost jiným způsobem. Pokud si je učitel vědom rizika vzniku rozdílného chápání nerovnosti, může tuto miskoncepci poměrně snadno diagnostikovat a korigovat ji v činnostech žáků, při manipulaci s předměty, při tvoření dvojic. Vhodným a v počátečním vyučování matematice často využívaným modelem jsou peníze. I model, který koresponduje s předchozí zkušeností žáka, však nese svá rizika. Nedorozumění mezi učitelkou a žákyní popsané v následující situaci má své kořeny v rozdílné interpretaci stejného modelu. Učitelka zaváděla čísla v oboru do sta a pojmy jednotka, desítka, stovka pomocí peněz. Podcenila však fázi, ve které je deset jednokorunových mincí nahrazováno jednou desetikorunou, žáci nezískali dostatečnou zkušenost ani s tvořením skupin o deseti prvcích manipulací s různými předměty. Nerozlišovali potom dostatečně počet mincí a jejich hodnotu. To se projevilo v komunikaci mezi učitelkou a žákem v situaci, ve které byl vyvozován rozdíl desítek (typ 60 20). Učitelka nakreslila na tabuli 6 desetikorun (6 kruhů, uvnitř číslo 10). Potom dvě desetikoruny na obrázku škrtla a pod obrázek napsala 6 2 = 4, pod to 6D 2D = 4D a nakonec dolů = 40. Obrátila se na žáky: Pozorně si prohlédněte obrázek a porovnejte ho s příkladem pod ním. Kolik je na obrázku korun? Míša se přihlásila a řekla: Žádná. Je tam nula korun. Při jiném zadání (například nákup, cena zboží) by pravděpodobně k nedorozumění mezi učitelkou a žákyní nedošlo. 5. Teorie prototypů Odpověď na příčinu vzniku dětských miskoncepcí lze hledat pomocí tzv. teorie prototypů, která se zabývá možností organizace pojmů. Prototyp je obvykle původní položka, od níž se odvozují následující modely. (Sternberg, Koukolík, 2002, s. 289). Vyzveme-li žáka, aby nakreslil trojúhelník, zpravidla nakreslí rovnoramenný trojúhelník, obdobně jako na požadavek nakreslit jehličnatý strom odpoví nakreslením 56

57 smrku. V obou případech volí pro něho typický model, který je nositelem tzv. charakteristických znaků. Na rozdíl od definujících znaků pro danou kategorii (jehličnatý strom, trojúhelník) se charakteristické znaky nemusí vyskytovat u každého objektu, který do kategorie patří. Výzkumy ukázaly, že děti ve věku, který odpovídá 1. stupni základní školy, chápou kategorie pouze v pojmech charakteristických znaků (Sternberg, Koukolík, 2002). Při vytváření pojmu trojúhelník žáci pracovali s obrázky střech domků. Vybarvovali, vystřihovali, skládali obrázky a mozaiky, ale ve všech případech se jednalo o rovnoramenné trojúhelníky. Když později žák neuměl označit předložený rovinný útvar jako trojúhelník, učitelka mu napověděla slovy: Vzpomeň si, to je ta střecha. Po určité době dostaly děti jako samostatnou práci za úkol vybarvit v pracovním sešitu na stránce s geometrickými tvary všechny trojúhelníky. Několik dětí vybarvilo pouze rovnoramenné trojúhelníky. Učitelka se zastavila u Petra, který postupoval při vybarvování správně, ukázala na vybarvený trojúhelník v jeho sešitě a zeptala se: Proč je to trojúhelník? Petr reagoval slovy: Aha, to není střecha., uchopil gumu a chtěl vygumovat vybarvení trojúhelníku s různými stranami. Při kategorizaci pojmu by měl proto učitel používat různé příklady reprezentantů dané kategorie (Ross, Spalding, 1994). Začínáme u typických reprezentantů a postupně ukážeme i příklady, ve kterých jsou naplněny znaky rozhodující pro zařazení do kategorie, ale objekt je zahrnuje v méně obvyklé podobě. 6. Závěr Uvedené příklady ukazují, že je nutné, aby se učitel v počátečním vyučování matematiky zabýval odhalováním chybných interpretací, pojetí či představ žáků. Nelze se spoléhat na to, že dětské miskoncepce budou odstraněny s rozvojem abstraktního myšlení žáků nebo v souvislosti s učivem ve vyšších ročnících. Přetrvávání miskoncepcí může naopak v budoucnosti narušit vytváření žákových znalostních struktur. V počátečním vyučování matematiky musí pochopitelně docházet k jistým zjednodušením, ale vždy tak, aby žákovy představy mohly být dále rozvíjeny, nikoliv zcela měněny. Literatura 1. ČÁP, J. MAREŠ, J.: Psychologie pro učitele. Praha: Portál, 2007, 632 s. 2. DOULÍK, P. ŠKODA, J.: Tvorba a ověření nástrojů kvantitativní diagnostiky prekonceptů a možnosti jejího vyhodnocení. Pedagogika, 2003, č. 2, s DOULÍK, P. ŠKODA, J.: Vliv sociokulturního prostředí na genezi vybraných prekonceptů z oblasti přírodovědného vzdělávání. In: Sociální a kulturní souvislosti výchovy a vzdělávání: Sborník anotací příspěvků z XI. mezinárodní konference ČAPV. Brno: Paido, 2003, s GAVORA, P.: Naivné teórie dieťaťa a ich pedagogické využitie. Pedagogika, roč. 42, č. 1, 1992, s JIROTKOVÁ, D. KRATOCHVÍLOVÁ, J.: Nedorozumění v komunikaci učitel - žák/student. In: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 2004, s

58 6. ROSS, B. H. SPALDING, T. L.: Concepts and categories. In: Handbook of perception and cognition. Vol. 12. Thinking and problem solving. New York: Akademic Press, s STERNBERG, R. J. KOUKOLÍK, F.: Kognitivní psychologie. Praha: Portál, 2002, 632 s. 8. ŠKODA, J. DOULÍK, P. ET AL. Prekoncepce a miskoncepce v oborových didaktikách. Acta Universitatis Purkynianane č Studia paedagogica. Ústí nad Labem: UJEP, s. 9. Kontaktní adresa Doc. PaedDr. Jana Coufalová, CSc. Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická ZČU v Plzni Sedláčkova 38, Plzeň Telefon:

59 EDUKAČNÝ SYSTÉM V ÍRSKEJ REPUBLIKE A PRVÝ POHĽAD NA MATEMATICKÉ VZDELÁVANIE V PRIMÁRNOM ŠKOLSTVE Martina DROBNÁ Abstrakt V príspevku je prezentovaná stručná charakteristika edukačného systému v Írskej republike od predškolskej prípravy až po univerzitné vzdelávanie, v komparácii so Slovenskou republikou. Pozornosť je v prvom rade zameraná na primárne školstvo a v jeho rámci na matematickú edukáciu. Popísaná je organizácia výchovnovzdelávacieho procesu v írskych školách. Predstavený je kurikulárny dokument pre primárne vzdelávanie. Pozornosť je venovaná aj obsahu matematickej edukácie v primárnej škole, ktorý bude podrobnejšie analyzovaný v ďalšom výskume. Kľúčové slová: Írska republika, edukačný systém, primárna edukácia, matematika EDUCATION SYSTEM IN THE REPUBLIC OF IRELAND AND THE FIRST INSIGHT INTO MATHEMATICS EDUCATION AT THE PRIMARY SCHOOL Abstract The article provides a brief description of the education system in the Republic of Ireland from pre-school to university education in comparison to the Slovak Republic. It focuses on primary schools and their mathematics education. It describes the organization of the education process in Ireland. It introduces the primary school curriculum. The focus is on the content of mathematics education at primary schools which will be analysed in the next research. Key words: Republic of Ireland, education system, primary education, mathematics Kurikulárna transformácia, ktorou prechádza edukačný systém v Slovenskej republike, prináša mnohé otvorené otázky, na ktoré je potrebné hľadať odpovede. Jednou z možností, aj v rámci matematickej edukácie v primárnej škole, je inšpirovať sa pozitívnymi skúsenosťami zo zahraničia, ktoré môžu byť prínosné pre pedagogickú prax na Slovensku. (Scholtzová, 2007) 1. Charakteristika edukačného systému v Írskej republike Školský systém v Írskej republike je rozčlenený na niekoľko stupňov: predprimárny stupeň (Early childhood), primárny stupeň (Primary) (8 rokov štúdia), sekundárne vzdelávanie (Post Primary) (5 alebo 6 rokov štúdia), rozširujúce vzdelávanie (Further Education and Training), vyššie vzdelávanie (Higher Education). V súčasnosti sa kladie veľký dôraz na predškolské vzdelávanie a vzdelávanie dospelých ako koncept celoživotného vzdelávania. (Department of Education and Skills, 2012) Predprimárna edukácia (Early childhood) 59

60 V predprimárnom vzdelávaní je široké spektrum súkromných, komunitných a dobrovoľníckych organizácií, ktoré zastrešujú jasle, materské školy, tzv. creches, materské školy typu Montessori, naíonraí (materská škola, používaný jazyk írsky), rôzne kluby a skupiny s dennou starostlivosťou o deti v predškolskom veku. Predprimárne školstvo je spoplatnené, preto záleží len na rodičoch, v akom veku a do akého predprimárneho zariadenia umiestnia svoje dieťa. V roku 2010 vstúpila do platnosti tzv. Schéma bezplatnej predškolskej starostlivosti (Free pre-school scheme), ktorá umožňuje deťom od 3 rokov a 2 mesiacov do 4 rokov a 7 mesiacov navštevovať predškolské zariadenie zdarma po dobu jedného roka v trojhodinovej dennej starostlivosti. (Department of Education and Skills, 2012) Primárna edukácia (Primary Education) Primárna edukácia pozostáva z ôsmich rokov štúdia a je bezplatná. Po junior a senior infants triedach (ekvivalentné predprimárnemu vzdelávaniu v Slovenskej republike), nasleduje povinná školská dochádzka začínajúca prvým ročníkom zavŕšeným tzv. Communion (prvým svätým prijímaním) a cyklus primárneho vzdelávania je ukončený šiestou triedou spravidla vo veku dvanástich rokov. Nie je podmienený žiadnou záverečnou skúškou. Opäť, z náboženského hľadiska, sa ukončuje tzv. Confirmation (birmovaním). Napriek tomu, že deti do veku 6 rokov nemajú povinnú školskú dochádzku, približne 40% štvorročných a takmer všetky deti vo veku piatich rokov začínajú školskú dochádzku v junior infants triedach. V akom veku dieťa nastúpi do školy záleží opäť od rodiča. Do junior infants triedy môže nastúpiť dieťa najskôr vo veku 4 rokov, najneskôr vo veku 5 rokov. (Department of Education and Skills, 2012) Typy základných škôl Sektor írskej edukácie zahŕňa štátne školy, špeciálne školy a súkromné typy škôl. Pod štátne školstvo spadajú katolícke školy, necirkevné školy, multireligiózne školy a Gaelské školy Gaelscoileanna (na týchto školách sa vyučuje v gaelskom jazyku). Organizácia vyučovania základných škôl Vyučovanie spravidla začína o 9.30 a končí o v infants triedach, o v prvej až šiestej triede. Dĺžka vyučovacích hodín podlieha rozhodnutiu vyučujúceho učiteľa, pričom sa riadi týždňovou časovou dotáciou k jednotlivým predmetom. Časové znamenie je použité dvakrát v priebehu vyučovania, keď oznamuje čas malej prestávky (o 11.00) a čas obedňajšej prestávky (o 13.00). Učitelia vyučujú v jednej triede všetky predmety a nepostupujú s triedou do vyššieho ročníka. Ministerstvo školstva Írskej republiky rieši vzdelávanie detí s mentálnym a fyzickým postihnutím umiestnením týchto detí v bežných základných školách. Vzhľadom na to je v každej triede okrem triedneho učiteľa aj triedny asistent, v prípade prítomnosti dieťaťa s ťažšou úrovňou postihnutia osobný asistent. Ak je postihnutie dieťaťa na vysokom stupni, môže rodič požiadať o umiestnenie v špeciálnej triede alebo v špeciálnej škole. Každá škola má možnosť zriadenia tzv. doučovacích tried (resource classroom), v ktorých špeciálny učiteľ (special resource teacher) doučuje žiakov matematiku a anglický jazyk. Keďže väčšina škôl je multikultúrna, jedná sa prevažne o deti s jazykovou bariérou alebo o deti s poruchami pozornosti. Doučovanie prebieha presne podľa stanoveného rozvrhu v čase výchovno-vzdelávacieho procesu. (Department of Education and Skills, 2012) Kurikulum a školský vzdelávací plán Kurikulum pre primárne školstvo (Curaclam na Bunscoile) bolo navrhnuté Národným úradom pre učebné osnovy a hodnotenie NCCA (National Council for 60

61 Curriculum and Assessment) a uvedené do pedagogickej praxe v roku Bola to prvá kompletná revízia kurikulárneho dokumentu od roku Kurikulum je rozdelené do šiestich kľúčových oblastí: 1. Jazyk anglický a írsky (Language); 2. Matematika (Mathematics); 3. Sociálna, environmentálna a vedecká výchova (Social Environmental and Scientific Education); 4. Umelecká výchova, zahŕňajúca vizuálne umenie, hudbu a drámu (Arts Education); 5. Telesná výchova (Physical Education); 6. Sociálna, osobná a zdravotná výchova (Social, Personal and Health Education). Pre každú z uvedených oblastí platí odporúčaná minimálna týždenná časová dotácia, podľa ktorej sa riadia jednotlivé školy pri tvorbe školského vzdelávacieho plánu. Dve hodiny týždenne sú prenechané na voľné uváženie podľa potreby školy. Učiteľ je povinný vyhotoviť ročný vzdelávací plán pre jeho triedu, krátkodobý týždenný plán a dennú prípravu. (Primary School Curriculum, 1999) Sekundárne vzdelávanie (Post Primary Education) Túto časť vzdelávania začínajú deti vo veku 12 až 13 rokov, trvá 5 rokov a je rozdelená na dva cykly. Prvý cyklus vzdelávania Junior Cycle (JC) - nižšie sekundárne vzdelávanie - končí po troch rokoch štúdia skúškou Junior Certificate. V súčasnosti sú v tomto cykle vzdelávania plánované výrazné zmeny, ktoré budú realizované v septembri Nižším sekundárnym vzdelávaním sa končí aj povinná školská dochádzka a študenti si môžu vybrať z niekoľkých možností ako pokračovať v štúdiu. Senior Cycle (SC) - vyššie sekundárne vzdelávanie - ponúka študentom nepovinnovoliteľný tzv. prechodný rok (Transition Year), ktorý nasleduje hneď po nižšom sekundárnom vzdelávaní a študenti v ňom získavajú praktické skúsenosti do života. Je to jednoročný program, ktorý nie je podmienený testovaním a podporuje študentov v kreativite a zodpovednosti samých za seba. Po ukončení tohto programu študent pokračuje dvojročným štúdiom v Senior Cycle, kde si vyberá z troch študijných programov, ktoré sú ukončené skúškou. The Leaving Certificate je program, ktorý je ukončený skúškou z piatich voliteľných predmetov, pričom jeden z nich musí byť írsky jazyk. The Leaving Certificate Vocational Programme (LCVP) je zameraný na technické predmety a sústreďuje sa na odborné moduly. Posledný z troch voliteľných programov The Leaving Certificate Applied Programme (LCA) je dvojročný program, ktorý je zameraný na študentov s problémami v učení a je vytvorený špeciálne s osobným prístupom k študentovi. (Department of Education and Skills, 2012) Rozširujúce vzdelávanie (Further Education and Training) Tento typ vzdelávania zahŕňa kurzy a pracovné tréningy realizované rôznymi organizáciami, školami a úradmi práce. Sú certifikované, rozdeľujú sa na denné (fulltime) a večerné (part-time) a nie sú súčasťou tretieho stupňa vzdelávania. (Department of Education and Skills, 2012) Vyššie vzdelávanie (higher level) Vyššie vzdelávanie zahŕňa univerzity a technologické inštitúty (IT). Univerzitné vzdelávanie je rozčlenené na tzv. College of Education, kde sa získava vysokoškolské vzdelanie prvého stupňa (rovnako aj na technologických inštitútoch) a vysokoškolské vzdelanie druhého a tretieho stupňa prebieha na University. Celý systém vyššieho vzdelávania je klasifikovaný ako tretí stupeň vzdelávania, podmienkou pre prijatie je ukončenie vyššieho sekundárneho vzdelávania získaním The Leaving Certificate alebo The Leaving Certificate Vocational Programme. Štúdium na vyššie uvedených typoch škôl je spoplatnené. (Department of Education and Skills, 2012) 61

62 2. Porovnanie edukačných systémov v medzinárodnej klasifikácii vzdelávania ISCED Stupeň vzdelávania SLOVENSKO ÍRSKO Predprimárne Materská škola (3-6) ISCED 0 Materské školy všetkých typov (2-4) ISCED 0 Primárne Základná škola 1. stupeň (6-10) ISCED 1 Primary ISCED 1 Junior infants (4 a 5 ) Senior infants (5 a 6) 1.ročník (communion, 6-7) Nižšie sekundárne 2. stupeň ZŠ, nižšie ročníky 8-roč. gymnázií (10-15) ISCED2 Vyššie sekundárne Gymnázia a vyššie ročníky 8- ročných gymnázií (15-19) ISCED 3A Stredné odborné školy ISCED 3B Doplňujúce vzdelávanie Vyššie vzdelávanie Kurzy a programy na získavanie kvalifikácií ukončené certifikátom ISCED 4B Vysokoškolské vzdelávanie prvého stupňa ISCED 5B druhého stupňa ISCED 5A tretieho stupňa ISCED ročník (confirmation, 7-12) Junior certificate ( 12-15) ISCED 2A The Leaving certificate, The Leaving Certificate Vocational Programme(15-18) ISCED 3A The Leaving Certificate Applied Programme ISCED 3C Transition Year (15-16) ISCED 3C Kurzy a programy na získavanie kvalifikácií ukončené certifikátom ISCED 4B Vysokoškolské vzdelávanie 1.stupňa (college, IT) ISCED 5B 2.stupňa (university) ISCED 5A 3.stupňa (university) ISCED 6 (Zdroj: ISCED: International Standard Classification of Education, 2011) 3. Matematika v primárnom vzdelávaní Kurikulum matematiky zahŕňa päť základných oblastí: Čísla - Určovať hodnotu čísel v desiatkovej ústave, pochopiť podstatu počtových operácií, poznať súvis medzi zlomkami, percentami a desatinnými číslami. Pochopiť a vedieť použiť vlastnosti čísel. Algebra - Formálne oboznamovanie sa s reálnymi číslami, výrokmi, výrazmi, pojmom premenná a rovnicami, vlastnosťami čísel. Vedieť sa orientovať na číselnej osi v obore reálnych čísel, riešiť jednoduché lineárne rovnice. Tvary a priestor - Rozvíjanie priestorového vnímania a jeho aplikácia v reálnom živote, oboznamovanie sa s priestorovými a rovinnými útvarmi, súmernosťou, poznať vlastnosti čiar a uhlov. Rysovanie a konštrukcia rovinných a priestorových útvarov. Merania - Oboznamovanie sa s pojmami dĺžka, váha, objem, obsah, čas a peniaze, ich jednotkami, vedieť ich odhadnúť, odmerať a vypočítať. Poznať a vedieť použiť správny nástroj na meranie a poznať neštandardné jednotky merania. Dáta - Získavanie informácií na základe vizuálnej interpretácie, rozvíjanie schopnosti rozhodovať sa, samostatne myslieť a diskutovať. Triedenie informácií na základe daných vlastností, tvorenie grafov, tabuliek, piktogramov. Takmer po každom tematickom celku v kurikule sú poznámky o nadväznosti k inému resp. predchádzajúcemu celku, informácie o námetoch pre integráciu 62

63 matematiky a jednotlivých vyučujúcich predmetov a pre implementáciu matematiky v reálnom živote. Na základe štátneho kurikulárneho dokumentu sú tvorené školské vzdelávacie plány. Tie môžu obsahovať okrem informácií o obsahu učiva v jednotlivých ročníkoch aj kapitolu s názvom Rodičia a matematika, ktorá dáva do pozornosti rodičom ako implementovať matematiku v každodennom živote a tým participovať na rozvoji matematických zručností a schopností dieťaťa. Okrem iného predkladá typy problémov, ktoré majú žiaci v matematike, prácu s nadanými deťmi a s deťmi so špeciálnymi potrebami. Týždenná časová dotácia predmetu sú 2 hodiny a 15 minút v infant triedach a 3 hodiny v ostatných ročníkoch. (Primary School Curriculum, Mathematics, 1999) Záver Komparáciou primárnej edukácie Slovenska a Írska by sme dospeli k záveru, že sa líšia práve v dôležitých znakoch a to je veková hranica pri vstupe a ukončení dochádzky na základnej škole a organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu. Obidva tieto znaky edukácie do značnej miery ovplyvňujú ziskavanie vedomostí a rozvíjanie zručností žiakov. A práve tieto sa odzrkadľujú vo výsledkoch rôznych meraní a testovaní. Posledné medzinárodné testovanie žiakov TIMSS 2011 poukazuje na fakt, že Írsko dopadlo úspešnejšie ako Slovensko. Dôvodmi na dosiahnutie lepších výsledkov môžu byť vyššie spomenuté znaky edukácie, inovatívne metódy a formy vyučovania, prístup učiteľov a rodičov, obsah kurikula. Detailná komparácia oboch systémov je predmetom ďalšieho výskumu. Literatúra 1. Department of Education and Skills. Dublin. Dostupné na internete: 2. ISCED: International Standard Classification of Education. Montreal. Dostupné na internete: 3. Primary school curriculum, Curaclam na Bunscoile, Mathematics. Dublin: Publish by the stationary office, Dostupné na internete: 4. SCHOLTZOVÁ, I.: Vybrané aspekty matematickej edukácie v primárnej škole na Slovensku a v zahraničí. Prešov: PU v Prešove, Pedagogická fakulta, 2007, 200 s. Kontaktná adresa Martina Drobná, PaedDr. (externá doktorandka) Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov , Slovakia 63

64 MODERNÉ AUDIOVIZUÁLNE A UČEBNÉ POMÔCKY POUŽÍVANÉ V HODINÁCH MATEMATIKY V TRIEDACH 1 AŽ 3. Agata FIJAŁKOWSKA Abstrakt Článok pojednáva o úlohe a význam audio-vizuálnych a základné modernými učebnými pomôckami vo výučbe matematiky v triedach 1 až 3. Tento článok popisuje, okrem iného, logické materiál, Cuisenaire prúty, minipočítač, aritmetické bloky (na undecimal počítacie systémy), geoplan, a spôsoby ich použitia. Použitie interaktívne tabule pri výučbe matematiky bola predložená. Tiež článok ukazuje príklady matematických hier pre deti mladšieho školského veku. Kľúčovéslová: audiovizuálne, učebné pomôcky, interaktívne tabule, hry, matematika lekcie. MODERN AUDIOVISUAL AND TEACHING AIDS USED IN THE MATHEMATICS LESSONS IN GRADES 1 TO 3. Abstract The article discusses the role and importance of audio-visual and basic modern teaching aids in the teaching of Mathematics in Grades 1 to 3. This article describes, inter alia, logical material, Cuisenaire rods, minicomputer, arithmetic blocks ( to undecimal counting systems), geoplan, and ways of using them. The usage of the interactive whiteboard in teaching Mathematics was presented. Also, the paper shows examples of math games for children of early school age. Key words: audiovisual, teaching aids, interactive whiteboard, games, Mathematics lesson. I hear and I forget. I see and I remember. I do and I understand. Confucius People all around the world are learning mathematics, although we are not always successful and it does not always give us enjoyment. In the school mathematics curricula we can find a lot of information about numbers and the relationships between them, which are described by means of operations and functions. It also concerns: arithmetic, algebra, science of geometric figures or elements of geometry and trigonometry. Mathematics can often pose great difficulties, not only for children, but for adults as well. So, in order to know all the ins and outs of mathematics and to discern its beauty, we need to know maths and where it can be used. Learning becomes 64

65 easy and enjoyable, only when teaching aids are appropriately selected, thus they facilitate the assimilation of information. 1 According to Vincent Okoń, teaching aids are all kinds of material objects that improve your learning process. He distinguished teaching aids such as: 1. words - present printed or written texts 2. simple visuals - teaching aids such as objects, models, charts, images, maps, 3. technical visual aids - such as microscopes, telescopes, overhead projector, etc. 4. technical means of hearing tape recorder, radio, 5. audio-visual - film, television, 6. automating the teaching process- teaching machines, computers, language lab equipment, stimulation devices. 2 Modern teaching aids in the teaching of mathematics include: 1. Material logic - forefather of this aid was Lev Semyonovich Vygotsky, who used it in the studies of the shaping of concepts. Currently, Zoltan Paul Dienes, a professor of psychology at the University of Canada, leads experimental studies on the material logic and its useage in the process of developing mathematical concepts and reasoning skills of children aged 5-8. Complete set of material logic consists of 48 bricks, which are characterized by four basic features: a) shape: square, circle, rectangle, triangle, b) color: blue, red, yellow, c) size: large, small, d) thickness: thin, thick. These bricks help to develop a child's logical thinking and are used in the practice of the set concept and shaping the concept of numbers. 2. 'Numbers in colour' or the set of coloured number rods (Cuisenaire rods) - is a set of building bricks used for the numerical games. By way of bricks, it is possible to illustrate the concept of a natural number in various aspects, operations on numbers, properties of operations and solving simple equations. A cuboid shape brick in white is essential. The other bricks vary in terms of colour and length that is a multiple of the white brick's length. The colour is associated with the length. There are versions of the bricks that have dots on the edges and the numerical values expressed in digits. This makes it easier for children to solve problems in various aspects of numbers The Papy Minicomputer- is a modern teaching aid that is used in mathematic classes in Grades 1-3. The founding father of this aid was a Belgian astronomer, Georges Lemaitre. He put forward a suggestion about the introduction of a new digital recording, together with maintaining a decimal position system. The Papy minicomputer consists of several square boards which correspond to 1 J. Nowik, math education in early childhood education, ed.nowik, Opole 2009, ISBN , pp W. Perch, New Dictionary pedagogical, Zak, Warsaw 2004, ISBN , p J. Nowik, math education in early childhood education, ed.nowik, Opole 2009, ISBN , pp

66 particular rows of hundreds, tens and units. Each board is divided into four fields marked with colours: white, pink, red and brown. Working with this abacus is very interesting as it increases the efficiency of accounting, making the kids more willing to count on it Arithmetic blocks - square blocks on which digits and signs are placed, such as: greater than, less than, equals, addition, subtraction, multiplication and division. The child performs arithmetic operations by placing particular components (blocks) with numbers or arithmetic signs on the board. Thanks to blocks, the child learns how to perform arithmetic operations more efficiently, and has the opportunity to actively manipulate during the task which helps to understand practiced material. 5.Geoboard - the basis for the construction is a square lattice of points in which parallel and perpendicular lines decussate at equal distances from each other. Geoboard is a physical board covered by a lattice of pegs or nails half driven in it, around which a child can wrap colorful rubber bands, thereby forming variety gometric figures and exploring the relationship between them. 5 The interactive whiteboard plays a major role and is very helpful in the teaching of mathematics and explaining the fundamental contents of study in algebra and geometry. The level of absorbing new information by the students rises considerably thanks to visualization, high enlargement, colouring, and sounding of certain parts of the demonstration. An example would be solving maths exercises which lead to the arragement of the first degree equation with one unknown. A significant help is a program with interactive scales owing to the fact that weights - the numbers or bags - with one unknown, can be arranged in any way on the scale pans. Another application is the compilation of the graph of a function with the given parameters and quick observation of changes in the course of this function, accordingly to the change in one or more parameters. The possibility to zoom in an image on the interactive whiteboard works great in the teaching of decimals and division of the unit segment into smaller and smaller parts. 4 of r. 5 J. Nowik, math education in early childhood education, ed.nowik, Opole 2009, ISBN , pp

67 An important advantage of the interactive whiteboard is the ability to be able to quickly screen the text exercises adapted in appropriate enlargement, it also facilitates highlighting important information in an exercise as well as drawing students' attention. All students are watching with interest what is happening on the board, even those who have forgotten a coursebook, especially when the board has interactive remote controls. After solving the exercise, it can be immediately removed from the board giving place to the next one. All the information on the interactive whiteboard, namely the way of solving problems with all underlines, drawings and annotations are recorded on a hard drive, so they can be used by students during learning or ed to the person who did not participate in the classes. However, the interactive whiteboard cannot take the place of a teacher who has subject- matter knowledge with the ability of a quick response to students' behaviours. Undoubtedly, the teacher needs to continuously update his knowledge in view of the fact that on a sharp, large screen it's easy to show very colourful images, but it's also easy to expose mistakes. 6 The child is constantly dealing with mathematics, even when playing board games. Since, such games require the child to employ a dice, to count the number of dots located on the side of the rolled dice and to move the counter with the same number of dots on the board. Examples of games that help develop mathematical skills are: Farmer, Superfarmer, Mathematical snake, or mathematical jigsaw puzzle "PUS" (in Polish: Pomyśl, Ułóż, Sprawdź). By playing these games the child combines the pleasure of playing with completing useful work and develops the ability to correct and efficiently count as well. As early as in the kindergarten, the teacher initiates and organises various educational games designed to develop logical thinking, among other things, these are: puzzles and table games like domino or ludo (traditional board game, in Polish: "Chińczyk"). Didactic games for pre-school education are used in the teaching of mathematical concepts. 7 For children in primary school in Grades 1-3, thought processes are closely linked to action and practice. Therefore, in order to have a positive impact on the development of logical thinking and stimulation of interests, including mathematics, all areas of the child development must be involved. The next stages of development should be taken into consideration, and gradually prepare the child for moving to the higher level of thinking (eg. math games, mathematical research stations). The next tasks cannot be too difficult as the child must have a sense of achievement and motivation for further actions. 8 In the teaching of mathematics, operating on the detailed information is crucial to be able to move to the imaginative activities. Also, the selection of appropriate teaching and learning aids is significant, so that study will be easy to understand as well as being enjoyable. Hence, teachers should vigilantly follow the new teaching aids, as R. Thomas claims "in school mathematics is not to be modern, but its teaching." 6 on , the 7 A. Klim-Klimaszewska, Preschool Pedagogy. The new core curriculum, ERICA, Warsaw 2010, ISBN , pp I. Fechner-Sędzicka, B. Ochmańska, W. A little, Developing mathematical interests and abilities of students in grades I-III school. A Guide for Teachers, ed. Education Development Center, Warsaw 2012, ISBN , p.11 67

68 References: 1. Fechner-Sędzicka I., Ochmańska B., Alittle W.: Developing mathematical interests and abilities of students in grades I-III school. A Guide for Teachers. Warsaw: ed. Education Development Center, 2012, 11 s. 2. of r. 3. tyki on , the 4. Klim-Klimaszewska A.: Preschool Pedagogy. The new core curriculum. Warsaw: ERICA, 2010, 48 s. 5. Nowik J.: Math education in early childhood education. Opole: ed.nowik, 2009, 7-9 s. 6. Nowik J.: Math education in early childhood education. Opole: ed.nowik, 2009, s. 7. Nowik J.: Math education in early childhood education, Math education in early childhood education. Opole: ed.nowik, 2009, 245 s. 8. Perch W.: New Dictionary pedagogical. Warsaw: Zak, 2004, 408 s. Contact address: Mgr Agata Fijałkowska Instytut Pedagogiki, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny ul. Popiełuszki 9, Siedlce, Polska Tel

69 PRIPRAVENOSŤ ŠTUDENTOV K ŠTÚDIU MATEMATIKY NA VYSOKEJ ŠKOLE Ľubica GEROVÁ Abstrakt Príspevok sa zaoberá kvalitou poznatkov študentov študujúcich v programe Predškolská a elementárna pedagogika po nástupe na vysokú školu - Pedagogickú fakultu Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici. Výskumné šetrenie bolo zamerané na učivo geometrie. Úroveň matematických kompetencií študentov poukázala na rezervy v systéme výberu študentov pre učiteľstvo 1. stupňa základnej školy. Kľúčové slová: matematika, geometria, predškolská a elementárna pedagogika STUDENTS READINESS TO STUDY MATHEMATICS AT UNIVERSITY Abstract The article is dealing with quality of students knowledge in Pre-school and elementary pedagogy programme after their entrance to Pedagogic faculty at Matej Bel University in Banská Bystrica. Investigation was focussed on geometry. The level of students mathematical competences showed reserves in system of choose the students for study in Pre-school and elementary pedagogy programme. Key words: mathematics, geometry, pre-school and elementary pedagogy 1. Úvod Už viac rokov sa odborná verejnosť zaoberá kvalitou vyučovacieho procesu a dosiahnutými výsledkami žiakov a študentov v matematike na základnej škole (ďalej len ZŠ) a strednej škole (ďalej len SŠ) a úrovňou ich pripravenosti na štúdium na vysokej škole (ďalej len VŠ). Dosiahnuté výsledky z medzinárodných testovaní TIMSS a PISA (http://www.nucem.sk/sk/medzinarodne_merania) a Monitoru 9 v 9. ročníku ZŠ v matematike niekoľko rokov upozorňujú na klesajúcu úroveň vedomostí a zručností žiakov. To vplýva spolu s ďalšími zmenami v rámci reformy školstva v SR i na kvalitu vyučovacieho procesu na VŠ. Aj v práci (Gerová, 2012) sa konštatuje, že študenti Predškolskej a elementárnej pedagogiky (ďalej len PEP) pripravujúci sa na učiteľstvo na 1. stupni ZŠ majú podobné problémy ako 15-roční žiaci. V školskom roku 2012/2013 študenti na začiatku štúdia predmetu Elementárne matematické zručnosti v 1. ročníku bakalárskeho štúdia PEP na PF UMB v Banskej Bystrici absolvovali test s úlohami z geometrického učiva, ktoré boli použité v Monitore 9 v r Dosiahnuté výsledky prezentujeme v nasledovnej časti. 2. Charakteristika výskumného šetrenia Cieľom bolo zistiť aktuálnu úroveň osvojenia základného učiva z geometrie a matematických kompetencií študentov na začiatku ich vysokoškolského štúdia. 69

70 Vzorku tvorilo 96 študentov z 1. ročníka, ktorí poskytli údaje uvedené v tabuľkách 1 3. Z týchto študentov si 49 zvolilo predmet Elementárne matematické zručnosti a zúčastnili sa testovania. Z objektívnych organizačných dôvodov nebolo možné testovanie realizovať u všetkých študentov. Nasledovné tabuľky uvádzajú prehľad o absolvovaných stredných školách študentov, o počte rokov štúdia matematiky na SŠ a dĺžke obdobia medzi ich ukončením SŠ a nástupom na VŠ. Tabuľka 1 Stredné školy Tabuľka 2 Dĺžka štúdia matematiky na SŠ Druh SŠ Študenti Počet rokov Študenti Gymnázium 36 37,50 % 2 8 8,33 % SPgŠ, PaSA 27 28,13 % ,08 % OA 17 17,71 % ,59 % HA 4 4,17 % SOŠ 12 12,49 % Legenda: SPgŠ, PaSA stredné školy s pedagogickým zameraním OA, HA obchodné a hotelové akadémie SOŠ stredné odborné školy s rôznym zameraním Môžeme konštatovať, že viac-menej tretina študentov je z gymnázií, tretina zo škôl pedagogického zamerania a ostatní sú zo škôl rôzneho odborného zamerania (napr. na dopravu, podnikanie, kozmetiku a pod.). Prevažuje 3-ročná matematická príprava, ktorá sa vyskytla u všetkých uvedených SŠ (na gymnáziu u 11,46 % študentov), 4-ročná príprava okrem gymnázií sa realizovala ešte na obchodných akadémiách (9,38 %). Tabuľka 3 Prestávka v štúdiu matematiky po SŠ Počet rokov Študenti ,21 % ,59 % 2 2 2,08 % 3 2 2,08 % 4 1 1,04 % Z tabuľky 3 vyplýva, že skoro jedna pätina študentov nenastúpila na VŠ hneď po ukončení SŠ. Vzhľadom na počet rokov štúdia matematiky na SŠ (tabuľka 2) a prestávku v štúdiu matematiky (tabuľka 3) možno uviesť, že značná časť študentov (približne dve tretiny) sa do nástupu na VŠ po absolvovaní SŠ nezaoberala učivom matematiky viac ako jeden rok. Je to doba zabúdania poznatkov a zručností. Študent nie je nútený zopakovať si poznatky ani pri nástupe na VŠ vzhľadom na nekonanie prijímacích skúšok. Výskumným nástrojom bolo 7 úloh z certifikačného testu z matematiky T (testová forma A, kontrolné číslo 5301). Boli použité úlohy č. 3, 5, 9, 10, 14, 17, 19, ktoré súviseli s učivom geometrie v rovine (http://www.nucem.sk/documents// 26/testovanie_9 2009/certifika%C4%8Dn%C3%BD_test_z_M_v_SJ_2009_%281% 29.pdf). Ponúknuté možnosti odpovedí a/ - d/ v úlohách č. 14 a 17 boli nahradené otvorenou odpoveďou. Úlohy vyžadovali poznatky o pomere (dĺžka úsečky, mierky mapy), o trojuholníkovej nerovnosti, o rysovaní trojuholníka (Ssu), o veľkosti uhlov (rovnostranný a rovnoramenný trojuholník), o dĺžke, obvode a obsahu rovinných útvarov (kružnica, rovnoramenný lichobežník, medzikružie). Úlohy boli štandardné, algoritmické, konvergentné s malým počtom elementárnych krokov. Pri ich riešení stačilo uplatniť len základné geometrické poznatky. Dve úlohy boli prepojené s reálnym kontextom (ohrada športového areálu, veľkosť plochy chodníka). Použité úlohy boli spojené s matematickými kompetenciami: rozmýšľanie a usudzovanie (reprodukcia z pamäte vzorce, zautomatizované činnosti, jednoduché 70

71 myšlienkové operácie), komunikácia (výber vhodných informácií z krátkeho textu), modelovanie (priamy prevod medzi matematikou a realitou), reprezentácia (tvorba a použitie štandardných znázornení), použitie symbolického, formálneho a technického vyjadrovania a operácií (elementárne riešenia, priame používanie vzorcov a symbolov). Pri piatich úlohách išlo o reprodukčnú úroveň, pri dvoch o úroveň prepojenia (ohrada športového areálu, veľkosť plochy chodníka). Na riešenie úloh bol stanovený čas 20 minút (vzhľadom na pôvodný čas v Monitore 9, a to 45 minút pre 20 úloh). 3. Dosiahnuté výsledky V tabuľke 4 je uvedená úspešnosť riešenia jednotlivých úloh. Vzhľadom na to, že ide o úlohy ZŠ, je úspešnosť riešenia študentov PEP nízka. U všetkých úloh je pod hranicou 31 %, u niektorých výrazne. Značná časť študentov sa niektoré úlohy ani nepokúsila riešiť (buď im chýbali poznatky, alebo ich zručnosti neboli dostatočne rutinné na to, aby v stanovenom čase úlohy vyriešili). Vyžaduje to vyššiu pozornosť geometrickému učivu na ZŠ a SŠ. Tabuľka 4 Úspešnosť riešenia č. 1 č. 2 č. 3 č. 4 n % n % n % n % S 15 30, ,24 4 8, ,45 ČS , ,28 V 5 10,21 2 4, N 12 24, , , ,41 Ch 17 34, , , ,86 č. 5 č. 6 č. 7 n % n % n % S 11 22,45 2 4,08 2 4,08 ČS 2 4,08 2 4, V N 7 14,29 3 6, ,29 Ch 29 59, , ,63 Legenda: S správne, ČS čiastočne správne, V len výsledok, N nesprávne, Ch neriešená úloha, n počet študentov Celková úspešnosť študentov bola len 14,87 %. To poukazuje aj na to, prečo výsledky v teste kvality (Gerová, 2012) nedosahovali vyššie hodnoty. Tabuľka 5 uvádza počet správne vyriešených úloh jedným študentom. Nik nevyriešil všetky úlohy, len 9 zo študentov vyriešilo aspoň dve úlohy. Na druhej strane ani jednu úlohu správne nevyriešila viac ako tretina študentov. Na základe týchto výsledkov učiteľ na VŠ nemôže nadviazať na učivo geometrie ZŠ a SŠ, ktoré by mali študenti ovládať pri nástupe na VŠ. Tomu musí prispôsobiť plán svojej práce a je pre neho náročnejšie zvládnuť vo vymedzenom čase aj nedostatky študentov, s ktorými prichádzajú na VŠ, aj sprostredkovať im nové poznatky a rozvíjať ich schopnosti a matematické kompetencie. 71

72 Tabuľka 5 Správne riešenia úloh Počet úloh Počet študentov Počet úloh Počet študentov ,78 % 4 2 4,08 % ,86 % 5 1 2,04 % 2 4 8,16 % % 3 2 4,08 % % Výsledky výskumného šetrenia potvrdili klesajúcu úroveň matematických kompetencií vysokoškolákov. Vzhľadom na to, by bolo potrebné v prvom semestri vysokoškolského štúdia PEP zaviesť povinný predmet, ktorý by svojim obsahom pripravil absolventov SŠ na matematické disciplíny v programe študovaného odboru. Bližšie analyzujeme úlohu, ktorá bola najúspešnejšie riešenou: Úsečku dlhú 4 cm zväčšite v pomere 5. Koľko centimetrov bude merať nová úsečka? Učiteľ na 1. stupni ZŠ (i v materskej škole) je neraz nútený zväčšiť alebo zmenšiť obrázky, schémy, geometrické tvary, ktoré chce použiť vo svojej práci. Žiaci majú v učebnici úlohy, kde kreslia alebo rysujú zväčšený obrázok napr. (Bero, Berová, 2008, s. 79) na obr. č. 1. Obrázok č. 1 2 Ich budúci učiteľ by mal rozumieť matematickej podstate tejto činnosti, s ktorou sa oboznamuje žiak 2. stupňa ZŠ. Riešenie úlohy vyžadovalo len základné geometrické poznatky a uplatnenie matematických kompetencií - rozmýšľanie a usudzovanie, komunikácia, použitie symbolického, formálneho a technického vyjadrovania a operácií. Pri riešení tejto úlohy sme mohli pozorovať nasledovné nedostatky a rezervy v : čítaní s porozumením - dostatočnom pochopení textu zadania (použili rysovanie útvarov, konštrukčné delenie úsečky na rovnaké časti); pochopení vykonávaných výpočtov (napr = 5. 2 = = 16); dôslednosti riešenia a jeho zápisu (porušenie rovnosti, nerozlíšenie pôvodnej a novej úsečky 5. 2 = = 14); tipovaní výsledku (aj správneho) bez uvedenia postupu (napr. 6,5 cm, 40 cm, chýbajúca následná kontrola, logické chyby); ovládaní operácií so zlomkami ( 4. = 2,5); ovládaní vzťahu algoritmu ( A B = k. AB ), uplatnení logickej úvahy. Sledované matematické kompetencie študentov nie sú u väčšiny z nich dostatočne rozvinuté. Študenti majú rezervy v jednoduchých myšlienkových operáciách, v elementárnych postupoch, v reprodukcii učiva ZŠ Záver Súčasní študenti, ktorí prichádzajú na učiteľské štúdium v odbore PEP, nedosahujú v matematike úroveň svojich predchodcov, ktorí študovali v odbore Učiteľstvo pre 1. stupeň ZŠ. Školská reforma z r je v tomto smere menej 72

73 nápomocná, nutná je systémová zmena. Jednota slovenských matematikov a fyzikov pripravuje Pripomienky a návrhy k vyučovaniu matematiky a fyziky na ZŠ a SŠ, čím by chcela ovplyvniť jeho úroveň. S kvalitou vyučovania matematiky na ZŠ a SŠ úzko súvisí príprava študentov budúcich učiteľov tohto predmetu, preto by pozornosť mala smerovať aj k vysokým školám pedagogickým fakultám. O poklese úrovne štandardných matematických vedomostí informuje aj Brincková (2010, s. 40): Zastúpenie matematiky v novom ŠVP je menšie v ISCED 1 ako je v ISCED 2 na 2. stupni ZŠ. Preto testovanie úrovne poznania vo vzdelávacom štandarde z matematiky na výstupe ZŠ môže byť len 58,28 % a na maturite iba 45,8 % oproti učebným plánom maturity v Jednotnej škole. Prezentované výsledky v tomto príspevku poukázali na rezervy vo vedomostiach študentov z učiva geometrie. Na doplnenie chýbajúcich poznatkov a na zvýšenie ich poznatkovej úrovne v predmete Matematická gramotnosť II má vyučujúci 30 hodín počas jedného semestra. Potom sa proces získavania matematických poznatkov preruší na dva roky, pretože študent v študijnom programe nemá ďalšie povinné matematické disciplíny. To ovplyvňuje jeho úroveň vedomostí a zručností tak, ako matematická prestávka počas a po SŠ. Nadväzujúca príprava študenta je už len didakticky orientovaná (pre geometriu cca 10 hodín). Je to dôvod na prehodnotenie študijného programu PEP a vytvorenie samostatného programu pre štúdium učiteľstva na 1. stupni ZŠ. Literatúra 1. BERO, P, BEROVÁ, Z.: Matematika pre 3. ročník základných škôl, učebnica. Bratislava: OPI, ISBN BRINCKOVÁ, J.: Vyučovanie matematiky z pohľadu súčasnej školskej reformy. Banská Bystrica: FPV UMB, ISBN GEROVÁ, Ľ.: Matematické poznatky a zručnosti študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky na začiatku ich štúdia na VŠ. In: Komplexnosť a integrita v predprimárnej, primárnej a špeciálnej edukácii. Prešov: PF PU, s ISBN KOL.: Certifikačný test z matematiky T9 2009, testová forma A, kontrolné číslo Bratislava: Dostupné na internete : 2009/certifika%C4%8Dn%C3 %BD_test_z_M_v_SJ_2009_%281%29.pdf 5. KOL.: Dostupné na internete : Kontaktná adresa PaedDr. Ľubica Gerová, PhD. Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky Ružová 13, Banská Bystrica Telefón:

74 NIEKTORÉ MATEMATICKÉ ÚLOHY V UČEBNICIACH VÁCLAVA POSEJPALA A VLADIMÍRA HAVELKU Ján GUNČAGA Abstrakt Pri príležitosti 180. výročia založenia Učiteľského ústavu v Spišskej Kapitule (1999) boli zozbierané od jeho bývalých absolventov rôzne učebnice. V tejto zbierke sa nachádza aj Aritmetika a Geometria pre ústavy učiteľské, ktoré vyšli v období Ich autormi boli Dr. Václav Posejpal a Dr. Vladimír Havelka a do slovenčiny ich preložil Vladimír Hapala. Boli určené pre budúcich učiteľov primárneho vzdelávania. V našom príspevku chceme prezentovať aspoň niektoré vybrané úlohy z nich. Kľúčové slová: aritmetika, geometria, učiteľský ústav, matematika v príprave budúcich učiteľov primárneho vzdelávania SOME MATHEMATICAL EXAMPLES IN THE TEXTBOOKS OF VÁCLAV POSEJPAL AND VLADIMÍR HAVELKA Abstract There were in the occasion of the 180th anniversary of The Teacher Institute in Spišská Kapitula (1999) collected many textbooks from his absolvents. There are in this collection also Arithmetic a Geometry for Teacher Institutes, which were published in period Their authors were Dr. Václav Posejpal and Dr. Vladimír Havelka. Vladimír Hapala translates these textbooks into Slovak language. These textbooks were prepared for the future teachers of primary schools. We show some examples in our article from them. Key words: arithmetic, geometry, Teacher Institute, mathematics for future teachers of primary schools 1. Úvod Myšlienka založiť inštitút na vzdelávanie a výchovu slovenských kvalifikovaných učiteľov pre naše dedinské školy vznikla u osvietensky zmýšľajúcich a konajúcich bernolákovcov pôsobiacich na Spišskej Kapitule (pozri [2]). V tom čase na čele spišskej diecézy stál vzdelaný biskup Ján Ladislav Pyrker ( ), podporovateľ bernolákovcov. V roku 1819 podnikol dvojmesačnú okružnú cestu po svojej diecéze. Sprevádzal ho tajomník dr. Ladislav Zábojský, a bernolákovský spisovateľ Juraj Paleš. Všetci traja upriamili pozornosť na školy spišskej diecézy. Po návrate z cesty a po zistení zlého stavu škôl, biskup si zaumienil, že zriadi Učiteľský ústav pre výchovu dedinských učiteľov. Všetky prípravné práce so zriadením ústavu mal na starosti kanonik Juraj Paleš, ktorého biskup dekrétom z 22. septembra 1819 vymenoval za prvého riaditeľa ústavu. Súčasne poslal cisárovi Františkovi Jozefovi žiadosť o povolenie zriadiť inštitút pre vzdelávanie dedinských učiteľov. 74

75 2. Vyučovanie matematiky v učebnici Pedagogika Riaditeľ ústavu Juraj Paleš je autorom učebnice PEDAGOGIA Slovenská pre Triviálne Školy Biskupstva Spišského, spísaná skrz G. P. MDCCCXX. V Levoči, vytlačená u Jána Werthmüllera. str. 48 (pozri 3). Napísal ju najprv latinsky, ale s ohľadom na čitateľov, ktorí nevedia latinsky, znova ju spísal slovensky. Vo svojom čase to bola prvá učebnica pedagogiky v Uhorsku, navyše napísaná v bernolákovčine. Otázkam vyučovania matematiky v jednotlivých ročníkoch ľudovej školy sa Juraj Paleš vo svojej učebnici venuje v rozsahu približne 6 strán. Teraz si uvedieme jednu ukážku. Na strane 30 sa v paragrafe 5 O umení počítania nachádzajú zaujímavé slovné úlohy, ktoré sú uvedené s nasledovnou didaktickou poznámkou: V druhej triede základnej školy sa znovu musí opakovať všetko to, čo sa deti naučili v prvej triede základnej školy v umení počítania. Robí sa to tak, aby učiteľ neopakoval príliš dlho, aby nemeškal s látkou. Musí tu dávať pozor, aby príklady na počítanie boli skutočné, nie vymyslené a vhodné pre každodenné použitie. Napr.: V prvej triede základnej školy je 21 detí, v druhej 30, v tretej 18, koľko je teda detí vo všetkých troch triedach? Mal som 36 grajciarov. Z tých som za papier dal 12. Koľko mi ešte zostalo? Sľúbil mi môj pán otec, že každý rok mi dá 12 zlatých, keď sa budem dobre učiť. Koľko teda zlatých dostanem za tri roky v základnej škole? V našej škole bol jeden pán, ktorý nás obdaroval s 30-timi zlatými a v našej škole je 15 detí. Koľko zlatých dostane každé dieťa? Atď. Obr. č. 1: Pedagogika, Strana 30 (časť) Podľa poznámok na ľavej strane si môžeme všimnúť, že každá slovná úloha je zameraná na inú počtovú operáciu. Prvá úloha je na sčítanie, druhá na odčítanie, tretia na násobenie a štvrtá na delenie. 3. Učebnice Václava Posejpala a Vladimíra Havelku V období prvej československej republiky boli na tomto učiteľskom ústave používané učebnice Václav Posejpal: Aritmetika pre ústavy učiteľské a Jaroslav Havelka: Geometria pre ústavy učiteľské. Obidve učebnice preložil do slovenčiny Vladimír Hapala (pozri [4], [6], [7]). 75

76 Prvá učebnica osahuje kapitoly: 1. Celé čísla a počtové operácie s nimi 2. Deliteľnosť čísel 3. Zlomky a počtové operácie s nimi 4. Rovnice 5. Pomery a úmernosti 6. Mocniny, odmocniny a logaritmy 7. Aritmetika v živote občianskom a kupeckom 8. Rovnice prvého stupňa s viacerými neznámymi, kvadratické rovnice 9. Číselné rady a zložené úrokovanie 10. Úvod do jednoduchého účtovníctva 11. Pozemkové knihy K týmto kapitolám bola ako príloha aj úlohy, ktoré slúžili na precvičenie učiva preberaného k jednotlivým kapitolám. Z pohľadu súčasných zmien v obsahu vyučovania matematiky podľa nových štátnych vzdelávacích programov sú zaujímavé najmä kapitoly 7, 9, 10 a 11, ktoré poukazujú na využitie matematiky v praxi. Ako ukážku uvedieme dve úlohy z časti Jednoduché úrokovanie, ktoré sú v 7. kapitole. Úloha 1. Ktorá istina prinesie za 3 roky pri 5% úrokovaní úrok 49,05 Kčs? a) Riešenie úsudkom: Úrok 1 Kčs za 1 rok pri 1% úrokovaní prinesie istina 100 Kčs, Úrok 49,05 Kčs za 1 rok pri 1% úrokovaní prinesie istina 4905 Kčs, Úrok 49,05 Kčs za 1 rok pri 5% úrokovaní prinesie istina 981 Kčs, Úrok 49,05 Kčs za 3 roky pri 5% úrokovaní prinesie istina 327 Kčs. b) Podľa vzorca (zloženou úmerou) J = ,05 = 327 Kčs. 5.3 Úloha 2. Na koľko percent bolo uložených 512 Kčs, ktoré priniesli za 2 roky 40,96 Kčs úrokov? c) Riešenie úsudkom: 100 Kčs vynesie za 1 rok 1 Kčs pri 1% úrokovaní, 100 Kčs vynesie za 1 rok 40,96 Kčs pri 40,96% úrokovaní, 100 Kčs vynesie za 2 roky 40,96 Kčs pri 20,48% úrokovaní, 1 Kčs vynesie za 2 roky 40,96 Kčs pri 2048% úrokovaní, 512 Kčs vynesie za 2 roky 40,96 Kčs pri 2048: 512 = 4 % úrokovaní d) Podľa vzorca (zloženou úmerou) J = 100.4, = 4% V druhej učebnici, ktorá je dvojdielna, môžeme v druhej časti nájsť hlavné kapitoly: Stereometria, Základy pravouhlého premietania, Základy merania v prírode. Ako ukážku uvedieme odvodenie objemu gule v časti Stereometria: Zvoľme stred gule ako vrchol nekonečného množstva ihlanov, ktorých základne sú nekonečne malé časti povrchu gule. Objem gule sa rovná súčtu objemov týchto ihlanov, ktoré majú rovnakú výšku a súčet základní sa rovná 4 r 2. Preto platí: 76

77 V = 1 3 P.v = r2. r = 4 3 r3. V tejto úvahe vidno použitie základov infinitezimálneho počtu. 4. Záver Spomenuté učebnice v príspevku boli používané pre budúcich učiteľov ľudových škôl, z dnešného pohľadu budúcich učiteľov primárneho vzdelávania. Obsahujú viaceré praktické matematické úlohy, vhodné do bežného života. V budúcnosti plánujeme urobiť ich komparáciu s učebnicami používanými na Učiteľskom ústave v Jágri, pretože Učiteľský ústav v Spišskej Kapitule má s týmto ústavom spoločnú históriu, pretože ich založil ten istý biskup. Ján Ladislav Pyrker založil Učiteľský ústav v Jágri v roku Metodológiu takéhoto výskumu je možné nájsť aj v [1]. Metodické prístupy v týchto učebniciach môžu byť prínosom pre vzdelávanie učiteľov primárneho stupňa v oblasti vyučovania matematiky s porozumením a jej využitím v praktickom živote. Ďalšie podnety možno nájsť v [5]. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu VEGA 1/0534/11 Špecifické matematické poznatky učiteľov matematiky pre primárne a nižšie sekundárne vzdelávanie. Literatúra 1. GÁBOR, B. A.: Educational scientific relevance of textbook revision research. In: Hungarian Educatioanl Research Journal. II. roč., č. 3, 2012, In: 2. GEJDOŠ, M.: Explanácia Pedagogiky Slovenskej pre Triviálne školy Spišského biskupstva podľa Juraja Paleša. In: Týždeň európskej vedy na PF KU v Ružomberku. Zborník prednášok z týždňa európskej vedy. Ružomberok: Pedagogická fakulta KU, 2007, s PÁLEŠ, J. : PAEDAGOGIA Slowenská pre Triwiálske Školi Biskúpstwa Spíšského spisaná skrz G. P. Levoča: Ján Werthmüller, 1820, 48 s. 4. HAVELKA, J.: Geometria pre ústavy učiteľské. Diel druhý. Praha: Česká grafická únia, 1924, 102 s. 5. PARTOVÁ E.: Vyučovanie matematiky modernými technológiami. Bratislava: UK, 2011, 94 s. 6. POSEJPAL, V.: Aritmetika pre ústavy učiteľské. Praha: Česká grafická únia, 1926, 277 s. 7. POSEJPAL, V., PILZ, L.: Aritmetika. Úlohy pre tretie vydanie. Praha: Česká grafická únia, 1926, 129 s. Kontaktná adresa doc. PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Katolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta Hrabovská 1 Telefón:

78 DYNAMIKA A INTERAKTIVNOSŤ E-ŠTUDIJNÝCH MATERIÁLOV Pavol HANZEL Abstrakt V príspevku sa zameriame na problémy súvisiace s tvorbou elektronického študijného materiálu. Navrhované didaktické zásady sú výsledkom niekoľkoročnej vedecko-výskumnej práce v oblasti tvorby elektronických študijných materiálov, dynamických grafických študijných materiálov s využitím špeciálnych matematických softvérov a implementácie LMS MOODLE do matematického vzdelávania budúcich učiteľov matematiky na ZŠ. Kľúčové slová: e-materiál, didaktické zásady, C.a.R., Excel DYNAMICS AND INTERACTIVITY OF E-LEARNING MATERIALS Abstract In this paper we focus on problems related to the creation of electronic study materials. Suggested teaching principles are the result of several years of research work in the field of e-learning materials, study of dynamic graphical materials using specialized mathematical software and implementation of LMS MOODLE in mathematical education of future teachers of mathematics at the elementary school. Key words: e-material, didactic principles, C.a.R., Excel Úvod Aktuálne problémy v matematickom vzdelávaní ovplyvňuje predovšetkým: Nízka úroveň matematických vedomostí Zníženie dotácie hodín pre matematiku Nedostatočné využívanie elektronickej podpory O problémoch s vyučovaním matematiky na rôznych stupňoch škôl sa v poslednom období veľa popísalo. Hľadajú sa najvhodnejšie formy a metódy práce pre elektronickú podporu vzdelávania. Dnešné elektronické nástroje umožňujú nám, aby matematická prezentácia bola zaujímavejšia a názornejšia, schematicky jasnejšia ale hlavne prístupnejšia pre široký okruh ľudí. Napriek týmto možnostiam mnohí autori zotrvávajú len pri zaužívaných stereotypoch. Študijné texty striktně dodržují matematickou terminologii, jsou psány stylem definice, věta, důkaz a na závěr je uvedený příklad (Majovská, 2007). Pomerne málo využívajú grafiku a dynamické prednosti bežne dostupných matematických softvérov. V tomto príspevku zhrnieme naše viacročné skúsenosti, ktoré sme získali pri tvorbe elektronických študijných materiálov. 1. Didaktické zásady tvorby elektronických študijných materiálov Pojem elektronický študijný materiál je veľmi široký. Pri jeho vymedzení musíme brať do úvahy dve roviny spracovania: technickú a didaktickú. 78

79 Technickou stránkou sa zaoberajú prevažne profesionálni informatici, ktorí vytvárajú vhodné softvérové prostredie pre výučbu so zohľadnením jej špecifickosti. Za didaktickú stránku sú zodpovední učitelia, ktorí toto softvérové prostredie využívajú priamo vo výučbe. Výber učiva, jeho metodické spracovanie a následná transformácia do elektronického prostredia je úloha učiteľa, kde sa v plnej miere premietnu jeho pedagogické ale i počítačové schopnosti. Dobrá počítačová gramotnosť učiteľa matematiky je nutným predpokladom pri tvorbe elektronických študijných materiálov. Elektronický študijný materiál mal by spĺňať aspoň tri parametre: 1. Dynamiku, ktorá skúma invarianty pri transformácii. 2. Interaktivitu, ktorá umožňuje zmenu vstupných parametrov. 3. Krokovanie step by step materiál rozkladá do tematických oblastí. Pri tvorbe elektronických študijných materiálov a pri ich zaradení do vzdelávacieho procesu vychádzame z dvoch hlavných funkcií. Elektronický študijný materiál môže mať len podpornú funkciu vo vzdelávaní alebo má komplexnú funkciu, pri ktorej sledujeme predovšetkým možnosť samo štúdia. Podporný pracovný nástroj - numerické výpočty, planimetrické úlohy. Komplexný vzdelávací materiál - LMS Moodle, Planéta vedomostí Podporný pracovný nástroj - základné charakteristiky V súčasnosti najpoužívanejším podpornými formami elektronického spracovania nového učiva sú: Prezentácia v dostupnom programe PowerPoint. Dynamické applety vytvorené v DGS (Dynamic Geometry Systems). Excelovské zošity na zjednodušenie aritmetických výpočtov. Tieto formy najčastejšie používajú učitelia na demonštrovanie - názornú ukážku - matematických vzťahov prípadne prezentujú tieto vzťahy na vhodných matematických modeloch. V prípade DGS geometrické softvéry C.a.R., Geogebra, Cabri učiteľovi umožňujú dosiahnuť veľkú presnosť rysovania a pomocou appletov učiteľ dokáže prezentovať dynamiku v geometrických konštrukciách. PowerPoint Dobré možnosti poskytuje aj prezentačný softvér PowerPoint, ktorý výhodne môžeme použiť pri výklade nového učiva. Treba si ale uvedomiť niekoľko zásad, ktoré si tvorba takéhoto typu študijného materiálu vyžaduje. Predovšetkým: na snímke uvádzame najnutnejšie informácie v duchu menej je viac, na všetkých snímkach používame jeden typ schémy a rovnaké animácie. Mnohí autori si myslia, že prezentačný softvér PowerPoint je vhodný len pre textové študijné materiály a pre geometrické konštrukcie je nevyhovujúci. Uvedieme ukážku z konštrukčnej geometrie, kde prezentujeme dynamické možnosti tohto softvéru. Pozri obrázok 1. Túto prezentáciu nájdete v elektronickom kurze na adrese 1 v lekcii pod názvom Kótované premietanie - PowerPoint. Dynamické applety Dynamické applety sa vyznačujú tým, že boli vytvorené pre potreby vzdelávania na simuláciu konštrukčných úloh vo virtuálnom prostredí. Umožňujú skúmať vlastnosti útvarov a geometrických vzťahov pomocou dynamických konštrukcií. V dynamických 1 79

80 konštrukciách sa dá manipulovať s voľnými prvkami konštrukcie a pozorovať vyvolané zmeny na odvodených útvaroch. Táto základná vlastnosť dynamických konštrukcií nám umožní vyšetrovať invariantné vlastnosti geometrických útvarov a vzájomné geometrické vzťahy medzi týmito útvarmi. Obraz priamky a 1 B a A i a B 1 (z B ) A 1 (z A ) P a 1 (0) Pa Obraz priamky: je daný priemetmi 2 rôznych bodov Stopník priamky: a = P a ( z P =0) Spád priamky je tangens uhla 90, ktorý zviera priamka s priemetňou. Spádový uhol priamky a: = (a, ) = (a 1, (a)). Interval priamky: i a = A 1 B 1 =1/tg =1/s a. Obr. 1 PowerPoint V publikácii (Žilková, 2009) sa uvádza, že DGS umožňujú učiteľovi i žiakom nielen vytvoriť geometrické riešenie úlohy, ale najmä skúmať interaktívne väzby medzi jednotlivými prvkami konštrukčnej úlohy. Príkladmi otvorených, interaktívnych výučbových programových produktov určených na riešenie geometrických úloh sú aplikácie s názvami Cabri geometria a Compass and Ruler (C.a.R.). Silnou stránkou DGS je vlastnosť, že útvary s ktorými pracujeme môžu byť vo dvoch stavoch: nezávislý útvar závislý útvar Závislosťou a nezávislosťou útvarov sa stáva applet dynamickým a interaktívnym, čo poskytuje užívateľovi možnosti experimentovania, skúmania, objavovania nových vzťahov medzi geometrickými objektmi. Príklad Výšky v ľubovoľnom trojuholníku 2 sa pretínajú v jednom bode, ktorý nazývame priesečník výšok trojuholníka. Interpretácia je urobená ako applet v programe C.a.R. Jeho funkčnú verziu získate kurze Didaktika - geometria. Kurz nájdete na adrese 3, kde sa musíte prihlásiť ako hosť. Po prihlásení zvoľte postupne: Učiteľstvo matematiky a v kurze Didaktika - geometria vyberte elektronickú prednášku Základné geometrické pojmy. Potom aktivujte tlačidlo Polrovina, uhol, trojuholník a následne tlačidlo Trojuholník. Zvoľte tlačidlo Priečky v trojuholníku. Pod zobrazeným obrázkom kliknite na hypertext Dokážte tvrdenie: V ľubovoľnom trojuholníku sa priamky, na ktorých ležia jeho výšky pretínajú v jednom bode!. Nutným predpokladom pre zobrazenie appletu je stiahnutie programu C.a.R. do vášho PC. 2 Presnejšie: Priamky, na ktorých ležia výšky trojuholníka 3 80

81 Excelovské zošity O tom, že excelovské zošity uľahčujú užívateľom aritmetické prípadne databázové výpočty niet pochýb a nebudeme sa nimi zaoberať. K tomu postačuje akákoľvek užívateľská príručka pre Excel. Poukážeme len na možnosti interaktivity v excelovských zošitoch, ktorú dosiahneme využitím makier. Pozri obrázok 2. Jeho funkčnú verziu získate už v spomínanom kurze Didaktika - geometria pod názvom Excel a Interaktívne prvky. Obr. 2 Excel 1.2. Komplexný elektronický študijný materiál Pod komplexným elektronickým vzdelávacím materiálom rozumieme taký študijný materiál, ktorý môže uchádzač študovať distančnou formou. Pri jeho štúdiu mu môže pomáhať učiteľ formou konzultácií prípadne počas prezenčných stretnutí. K takýmto materiálom zaraďujeme: elektronické prednášky, zadania a testy v nejakom LMS (napr. Moodle) Planétu vedomostí a pod. Vzhľadom na obmedzenia rozsahu tohto príspevku odkazujeme čitateľa na dostupnú literatúru (Hanzel, 2011) a (Klenovčan, 2012). Literatúra 1. HANZEL, P.: Tvorba elektronického kurzu v Moodle. Výukový materiál, UMB, Banská Bystrica, 2011, ISBN KLENOVČAN, P.: Vzdelávacie matematické testy. In: Acta Universitatis Palackianae Olomucensis, PF UPOL, Olomouc, MAJOVSKÁ, R.: Limita funkce nemusí patřit k obtížným tématům. ACTA MATMEMATICA 11, FPV UKF Nitra, ŽILKOVÁ, K.: Školská matematika v prostredí IKT. UK Bratislava, 2009, ISBN Kontaktná adresa Pavol Hanzel, Prof. Fakulta prírodných vied UMB Tajovského 40 Telefón: umb.sk 81

82 VYUČOVÁNÍ ORIENTOVANÉ NA BUDOVÁNÍ SCHÉMAT V PRAXI Milan HEJNÝ, Renáta ZEMANOVÁ Abstrakt V stávajícím školním roce se naplno rozeběhla spolupráce kateder matematiky pedagogických fakult v Praze a Ostravě zaměřená na vyučování orientované na budování matematických schémat. Článek uvádí základní principy metody a naznačuje problémy, s nimiž se implementace nové metody setkává. Sérií pěti komentovaných epizod vybraných z vypravování úspěšných učitelek ostravského regionu ilustruje pozitivní příklady použití nové metody a deklaruje konkrétní formu spolupráce. Klíčová slova: budování matematických schémat, edukační metoda, zkušenosti učitelů SCHEME ORIENTED MATHEMATICS EDUCATION Abstract In this school year a collaboration between the mathematics education departments of wo faculties of education (in Prague and in Ostrava) has fully developed in the common endeavour to study the teaching of mathematics through the building of mathematics schemata. This article describes the main principles of this teaching and learning method and outlines some problems that have been noted during its implementation. Five episodes with commentaries have been chosen to illustrate positive examples of the use of this novel method and to give evidence of a specific form of collaboration. Key words: mathematics scheme building, educational method, teachers' experience 1. Úvod Metoda vyučování matematice, kterou jsme pojmenovali Vyučování orientované na budování schémat (VOBS), byla v posledních deseti letech rozpracována ve výzkumném týmu pedagogické fakulty Karlovy Univerzity (M. Hejný, D. Jirotková, J. Slezáková, M. Michnová, E. Bomerová a N. Stehlíková). Sadu učebnic a příruček pro učitele pro 1. až 5. třídu vydal tento tým v nakladatelství Fraus. V roce 2012 se do výzkumu zapojila i pedagogická fakulta ostravské univerzity. Tento a s ním související článek Jirotková, Krpec (2013) podávají první výsledky společného výzkumu zaměřeného na implementaci metody VOBS do škol. 2. Principy metody V tradičním vyučování učitel vysvětluje, instruuje a demonstruje, a žák si postupy a poznatky ukládá do paměti, procvičuje a osvojuje, aby je později při řešení standardních úloh imitoval a reprodukoval. Žák je pasivní konzument matematiky a stává se, řečeno slovy A. M. Maťuščina (1973), intelektuálním příživníkem. 82

83 Metoda VOBS žáka aktivuje a třídu vede k objevování celé matematiky. Metoda je opřena o poznání psychologů, že matematické znalosti jsou uloženy ve vědomí člověka ve schématech, nikoli v pojmech, tvrzeních, postupech, důkazech a vzorcích. Teoretici vytvořili termín schéma k označení paměťové struktury, která zahrnuje klastry informací relevantní k porozumění Základní vhled do teorií schématu spočívá ve skutečnosti, že v paměti nemáme jenom izolovaná fakta. Informace jsou shlukovány do smysluplných funkčních jednotek. 1 R. J. Gerrig (1991). Gerrig osvětluje pojem schématu následující ilustrací: Když se vás někdo zeptá na počet dveří či koberců ve vašem bytě, asi nebudete schopni hned odpovědět. Odpověď naleznete až poté, kdy v mysli projdete všemi místnostmi a spočítáte příslušné objekty. Obě požadované informace (a mnoho dalších) máte ve svém vědomí uloženy ve schématu vašeho bytu. To se nevytvořilo učením, ale tím, že jste v daném prostředí žili. Podobně i VOBS uvede žáka do různých didaktických matematických prostředí a žák řešíce úlohy v těchto prostředích buduje ve svém vědomí potřebná matematická schémata. Pojem didaktického matematického prostředí (substantial learning environment) zavedl E. Wittmann (1984) jako soubor vzájemně provázaných pojmů, vztahů, procesů a situací, které umožňují tvořit úlohy, pomocí nichž se žáci dopracují k hlubokým myšlenkám matematiky. Ideu hluboké matematické myšlenky (deep mathematical idea) podrobně rozpracoval Z. Semadeni (2002). Wittmanovu koncepci didaktického matematického prostředí jsme obohatili o tři další požadavky: 1. vstřícnost, tj. je propojeno s životní zkušenosti žáka, 2. dlouhodobost, tj. umožňuje formulovat úlohy pro žáky nejméně šesti ročníků, 3. nastavitelná náročnost úloh, tj. umožňuje tvořit úlohy jak pro žáky matematicky velice zdatné, tak pro žáky slabé. Dodejme, že v současnosti máme rozpracováno asi třicet takových prostředí. 3. Zavádění metody VOBS do výuky Jako každá netradiční iniciativa i metoda VOBS má kromě těch, kteří se s ní zatím nesetkali či si nevytvořili názor, jak své odpůrce, tak příznivce. Týká se to nejen učitelů a ředitelů škol, ale i rodičovské veřejnosti, resp. veřejnosti celé. Učitelé odpůrci například namítají, že 1) žáci nebudou umět rychle a bezpečně počítat, 2) slabší žáci se budou ztrácet nebudou vědět, co se mají učit, 3) učivo není vykládáno systematicky, skáče se z jednoho prostředí na druhé a žádný tematický celek není jasně ukončen souborem toho, co se má žák naučit, 4) když se žák přistěhuje z jiné školy, učivo nezvládne. Rodiče odpůrci namítají, že 1) učivu nerozumí a nemohou pomáhat dětem s domácími úkoly, 2) učebnice jsou drahé. Protože zde není prostor na diskusi těchto námitek, omezíme se na náš hlavní argument proti nim: sledujte žáky a posuďte, zda je nový způsob učení se matematice baví více. Porovnejte dřívější nezájem a strach s jejich současným přístupem. Musíme zdůraznit, že rozhodující roli v metodě VOBS má učitel. Učebnice je pouze jeho pomocníkem. Když učitel nedá žákům plnou důvěru v to, že oni sami všechny úlohy vyřeší, a začne jim matematická prostředí vysvětlovat, tak didaktická účinnost učebnic prudce klesá a takový edukační styl učitele nelze nazvat metodou VOBS. Když se učitel ztotožní s metodou VOBS, pozná, že žáci jsou schopni rozřešit i náročné úlohy a objevit neuvěřitelné věci. Zjistí, že i slabší žáci se toho od spolužáků hodně naučí a 1 Theorists have coined the term schemata to refer to the memory structure that incorporate clusters of information relevant to comprehension A primary insight to schema theories is that we do not just have isolated facts in memory. Information is gathered together in meaningful functional units. 83

84 lecčemus dobře porozumí. A to hlavní, učitel pozná radost žáků a jejich vděčnost za to, že on to byl, kdo tuto radost zprostředkoval. Učitele, který účinně používá metodu VOBS, charakterizují zejména tři ukazatele: 1. Učitel má dobrý vztah k žákům. To znamená, že má radost z úspěchu žáka a dokáže se žákem jeho radost z objevu spoluprožívat; případný neúspěch, který je součástí každého hledání, učí žáka analyzovat; snaží se žákům porozumět, tj. zkoumá příčiny žákova úspěchu, aby mu umožnil úspěch opakovat, i příčiny nezdaru, aby mu pomohl chyby minimalizovat. Kriteriem dobrého vztahu učitele k žákům je důvěra žáků v učitelovu radu a pomoc. 2. Učitel má schopnost motivovat i slabé žáky. Protože hlavní nástroj motivace je žákova radost z objevu nebo z úspěšně vyřešené úlohy, učitel dokáže každému žákovi zadat úlohu, kterou po vynaložení jistého úsilí žák vyřeší. Kriteriem dobré motivace je potřeba žáků pokračovat v řešení úloh a diskusi. Například, když žáci nedbají konce hodiny a loudí na učiteli další úlohy. 3. Učitel dává žákům intelektuální autonomii. To znamená, že jeho akustická přítomnost na hodině je upozaděná. Nevykládá učivo, nepoučuje, neskáče žákům do řeči, neupozorňuje na chyby, je trpělivý a zejména podporuje komunikaci mezi žáky. Kritériem intelektuální autonomie žáků je jejich sebevědomí. Spontánně mezi sebou diskutují, na učitele se obrací velice zřídka. 4. Příběhy výuky Obecné povídání v předchozím textu nyní ilustrujeme komentovanými epizodami vybranými z vyprávění dvou učitelek, doplnili jsme smyšlená jména žáků. Pavlína Placzková, ZŠ a MŠ Kontešinec, Český Těšín. Frausovské učebnice používá od školního roku 2009/2010. Dlouhodobě rozpracovává výukové metody dramatické výchovy. Epizoda 1. Na konci druhé třídy k nám přišel žák Aleš, který se doposud učil klasickou matematiku. Zpočátku se chlapec ztrácel v učivu. Nechala jsem na šikovných dětech nebo kdo chtěl, tak mu mohl dané prostředí vysvětlit. Chlapec se do měsíce zapojil do matematiky a byl to jeho nejoblíbenější předmět. Nejpěknější na tom bylo, že chlapec, jak k nám přišel, měl z matematiky trojku a předmět ho nebavil, na konci roku ode mě dostal jedničku a rok na to vyhrál olympiádu Klokánek kategorie Cvrček. Komentář 1. Způsob, kterým učitelka seznámila Aleše s prostředími, byl velice účinný. Dokladuje to zejména změna vztahu hocha k matematice. Trojka z matematiky, kterou měl Aleš na předchozí škole, hodnotila jeho neschopnost pamětí zvládnout aritmetické spoje. Hochovi se to nedařilo i proto, že měl vnitřní zábranu opakovat slova, která nebyla opřena o porozumění. Jednička z matematiky, kterou dostal Aleš od Pavlíny, hodnotila kvalitu jeho myšlení. Zdrojem hochovy radosti určitě byla i dobrá známka, ale domníváme se, že to byl především vnitřní pocit intelektuálního růstu, který byl dříve silově tlumen. Epizoda 2. Jednou jsme měli v Krokování doplnit do zápisu rovnosti scházející šipky. Sama jsem doma dlouho přemýšlela, jak bych to dětem měla vysvětlit, přišla jsem na jedno řešení, ale děti jsem žádala, aby to vyřešily samy. Boris přišel k tabuli a začal vysvětlovat. To máte tak, když je jedna šipka doprava a druhá doleva tzn., že se vyruší. Na moji otázku, jak se vyruší, Boris zápis přepsal na tabuli, vzal si dvě kostky, na jednu namaloval šipku doprava a na druhou šipku doleva, následně s těmi kostkami o sebe udeřil a řekl, tak a teď se tyto dvě kostky srazily (to jsou jako planety) a tím jak do sebe narazily, tak se rozbily (byl velký třesk) a nic nezůstalo. Vysvětlil to zcela 84

85 jednoduše a moje náročné vysvětlování, jak to dětem podat odpadlo. Od toho dne si děti pokaždé při rušení opačných šipek si vzpomněly na to, jak se dvě planety srazily. Komentář 2. Pavlína odolala běžnému kantorskému pokušení úlohu dětem vysvětlovat. Iniciativu přenechala žákům, a to se velice vyplatilo. Borisův úspěch spočívá v teatrálnosti, kterou Pavlína, citlivá na dramatické situace, vysoce hodnotí. Zejména pro slabší žáky bývá podobná asociace matematické myšlenky a spektakulárního aktu dobrým pomocníkem. Xenie Obšilová, ZŠ a MŠ Pustá Polom. Frausovské učebnice používá od školního roku 2012/2013. Ve prospěch metody využívá svůj cit pro sociání klima třídy. Epizoda 3. Připravovala jsem úlohy pro pololetní práci mých prvňáků. Kolem prošla dcera, studující ve 3. ročníku na gymnáziu a s údivem konstatovala: Toto se učí prvňáci? Vždyť tohle bývá na matematických soutěžích. Komentář 3. Podobných výpovědí učitelů i rodičů jsme zaznamenali více. Obecné předsudky o tom, že jen výjimečně nadané děti jsou schopny vlastního úsudku, působí jako bariera rozvoje všech žáků (včetně těch nadaných viz epizoda 1). Epizoda 4. Maminka propadlé žákyně Cecílie mi s hrůzou řekla, že její dcera, když píše sloupečky, se najednou zastaví a řekne: To už tu někde bylo. A hledá maminka ji brzdí: Ale to nesmíš opisovat, to musíš vypočítat! A já naopak kladu mamince na srdce: To je skvělé, že na to přišla, víte, kolik dětí do té fáze ještě nedošlo, že se něco opakuje a že některé příklady jsou stejné a mají tudíž stejný výsledek? Komentář 4. Zajímavá replika. Maminka je přesvědčena, že úloha je kognitivní výzva, na kterou má dcera reagovat řešitelským procesem. Cecílie použije metakognitivní strategii opřenou o paměťový záznam, že stejná výzva zde již byla. Xenie pozitivně hodnotí schopnost dívky použít k řešení úlohy meta-kognitivní strategii. Podle našeho názoru to hlavní, na co nutno upřít pozornost, není spor mezi kognicí a metakognicí, ale interakční klima. Matka dceru kárá, Xenie správně nabádá k její podpoře. Epizoda 5. Náš pan ředitel byl v hodině matematiky na hospitaci velmi spokojen, sám se zapojil a odcházel doslova nadšen nad tím, co skutečně prvňáci zvládají. Jak dokáží v listopadu počítat do 11, rozloží toto číslo na všechny možnosti rozkladu, aniž by jim kdokoliv říkal, jak to mají dělat. Sestaví a zaznamenají prostorové stavby do půdorysného nákresu, zapíší zkoumané jevy do tabulky, apod. Komentář 5. Poslední epizoda vypovídá o klimatu školy. I když hlavní ocenění učitelce dají její žáci tím, co všechno umí a zejména svým nadšením, pochvala ředitele, který dokáže hodnotit to, co je na práci jeho učitelky nejcennější, určitě silně přispívá k nadšení Xenie pro nový styl práce a vytváří ve škole klima, které dodává i dalším učitelkám sboru odvahu pokusit se o náročný úkol změny edukační strategie. Pěti epizodami jsme naznačili problematiku zavádění metody VOBS. Náš výzkum vztahu učitelů k nové metodě pokračuje. Uvítáme, když nám čtenář pošle svoji zkušenost nebo svůj názor. 5. Závěr Mnoho učitelů z ostravského regionu shodně uvádí, že by uvítali vzájemný bližší kontakt s cílem společného řešení problémů, předání inspirací, námětů a podpory, a to zejména učitelé, kteří metodu začali používat nedávno a ti, kteří učí na své škole metodou sami či v malé izolované skupině. Předpokládáme proto, že na katedře matematiky pedagogické fakulty v Ostravě vytvoříme s podporou katedry matematiky pedagogické fakulty v Praze a ve spolupráci s nakladatelstvím FRAUS regionální centrum podpory výuky matematiky metodou budování schémat na 1. st. ZŠ se záměrem předávání informací a koncentrace aktivit učitelů z praxe. 85

86 V prezentovaných článcích věnovaným metodě VOBS jsme naznačili vývoj a aktuální stav spolupráce kateder matematiky pedagogických fakult v Praze a Ostravě v oblasti didaktiky matematiky 1. st. ZŠ, uvedení metody VOBS do výuky studentů oboru Učitelství pro 1. st. ZŠ, zavádění metody do učitelské praxe na 1. st. ZŠ a záměr další spolupráce všech zúčastněných. Zamýšlíme další rozvoj spolupráce s cílem stabilizace metody tam, kde je již úspěšně aplikována; rozšíření tam, kde je její použití zvažováno; předávání informací o metodě tam, kde schází. Studentům pak chceme nabídnout metodu jako alternativu k metodě tradiční tak, aby všichni měli v budoucí učitelské praxi dostatek informací a zkušeností pro možnost volby. Poznámka: Tvorba článku byla podpořena výzkumným záměrem MSM Literatura 1. GERRIG, R. J.: Text comprehension. In: The psychology of human thought (Eds.) R. J. Sternberg, E. E. Smith, Cambridge University Press, Cambridge 1991, p JIROTKOVÁ, D.: Tool for diagnosing the teacher s educational style in mathematics. Orbis Scholae (v tisku). 3. JIROTKOVÁ, D., KRPEC, R.: Vyučování orientované na budování schémat v přípravě učitelů (v tisku). 4. MAŤUŠKIN, A., M.: Problémové situácie v myslení a vo vyučování. Bratislava, SPN SEMADENI, Z.: Trojaka natura matematyki: idee głębokie,, formy powierzchniowe, modele formalne. Rocz. Pol. Tow. Mat., 5 Dydakt. Mat., No. 24, 2002, s WITTMANN, E. Ch.: Teaching Units as the Integrating Core of Mathematics Education, in: Educational Studies in mathematics. 1984, 15, p Kontaktní adresa Prof. RNDr. Milan Hejný, CSc. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze M. D. Rettigové Praha 1 Telefon: RNDr. Renáta Zemanová, Ph.D. Katedra matematiky s didaktikou Pedagogická fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Mlýnská Ostrava 1 Telefon:

87 JAZYK JAKO KOMUNIKAČNÍ PROSTŘEDEK PŘI VÝUCE MATEMATIKY Ewa JAGIEŁŁO, Anna KLIM-KLIMASZEWSKA Abstrakt Tento příspěvek se týká vztahu mezi jazykem matematiky a přirozeným jazykem. Budeme se v něm zabývat otázkami, které se týkají otázek logického myšlení, stejně tak v oblasti didaktické a metodické (glottodidaktika), jakož i v matematice. Jde o rozvinutí tradiční výuky matematiky o metody v oblasti tzv. glottodidaktiky. Obrací svůj zájem k možnostem uvedení do praxe takových nástrojů, které ulehčí a inspiruje konverzaci v jazyce matematiky. Kľúčové slová: jazyk, matematika, vzdělávání, komunikační prostředek, glottodidaktika THE LANGUAGE AS AN INSTRUMENT OF CONVERSATION DURING THE CLASSES OF MATHEMATICAL EDUCATION Abstract This article concerns the correlation between the language of mathematics and the natural language. There are mentioned deliberations on the issue of logical thinking both in glottodidactics and in mathematics. It s the complement to traditional process of teaching mathematics using the methods within the range of glottodidactics. It points out that there is the possibility to introduce the tool which makes it easier and inspires to enter into a conversation in the language of mathematics. Key words: language, mathematician, teaching, object glottodidactics of communications, Schopnost používat jazyk matematiky je poměrně stará záležitost, která se objevuje již v prehistorických časech. Prosté počítání bylo lidem vlastní od nepaměti, například při lovu nebo na trhu, při směně. Egypťané zapisovali počty poměrně přesně až do desítek tisíc spolu s jejich násobky, zaznamenávali objem pyramid i plochu kola. Matematické výrazy se narodily ve chvíli vzniku prvních grafických symbolů s pomocí čárek zaznamenaných na různých předmětech, jako např. na kostech, holích, časem Inkové vytvořili trojrozměrné písmo uzlové písmo výsledné počty představovaly uzly uvázané na šňůře. Dodnes u peruánských Indiánů se můžeme setkat s uzlovými počitadly od Inků a sami indiáni je nazývají jako quipu (můžeme se setkat ještě s transkripcí v podobě kipu, khipu ), což v jazyku kečua znamená uzel. Jsou vyráběny jako počitadla, tj. nástroje, které slouží k pokladnímu sčítání, k vypočtení daní, finančního stavu, ke sčítání zvířat a tak dále. Stává se, že dítě je schopné číst matematický úkol, ale na druhé straně má nemalé těžkosti s jeho zakódováním do matematických symbolů, má problémy s hledáním a řešením problémů, se samostatným myšlením, s hledáním závěrů nebo s vyhledáváním vhodných argumentů. Nelze ukrývat ten fakt, že takový postoj koreluje s edukačním procesem, a s tím - jakým způsobem učitel dítě seznamuje s pravidly 87

88 formálního jazyka matematiky. Dobrá praxe ve škole ukazuje, že s jistotou lze říci, že je potřeba začít od jazyka, který je dítěti nejbližší, který používá doma, v obchodě, u bankomatu atd. Můžeme v tomto místě navázat na slova Zofie Krygowské:... začínat je potřebné od takového jazyka, který je bližší dětem, které začínají s výukou matematiky, a který by mohl být rovněž postupně přetvořen do přirozeného jazyka, bez skoků a pro žáka nepotřebných komplikací v konvenčním jazyce matematiky ( ), nejde o snížení úrovně učení a o to, aby se žák učil nepřesnému vyjadřování, nebo snad rezignoval na systém jazyka symbolů, snad i naopak je potřeba opanovat jazyk přesný, ale současně i přirozený pro dítě, opravdový jazyk matematického vyjadřování, i když nekonvenční. 1 Je jasné, že mnoho toho spojuje běžný přirozený jazyk s matematikou, vždyť při výuce matematiky používáme rovněž jazyk. Dalším argumentem, který přibližuje matematiku k jazyku a sjednocuje je, jsou jejich kódy, které mají více méně akustický charakter. První slova, která vysloví malé dítě, mají nejčastěji charakter akustický a ne grafický, říkáme jeden a ukazujeme jeden prst nebo dřívko, a nebo prosíme dítě: Přines mi dva medvídky, a ono nám přinese dva medvídky, vydáme úkol: Najdi v místnosti ukryté trojúhelníky. Je tedy patrné, že při vytváření základů matematické edukace, a výuky matematiky, využíváme rodný jazyk nebo rovněž cizí jazyk, v závislosti na konkrétních potřebách. Můžeme se na tomto místě zamyslet nad tím, co odlišuje výuku matematiku od jazykové výuky? Zajisté to jsou vyučovací metody. Výuka čtení a psaní v rodném jazyce a rovněž v jazyce cizím je hluboce zakořeněna v reáliích každodenního života, na druhé straně kódování a dekódování ve výuce matematiky je abstraktní. Podívejme se na již kultovní Slabikář od Mariana Falského, začíná přece od tématických obrázků, představujících každodenní život okolo lidí, jako např. rozloučení s maminkou před odchodem do školy, ukazuje na cestu dítěte z domu do budovy školy v městě a také na vesnici, na dalších obrázcích si můžeme prohlédnout to, jak malé dítě nebo děti fungují ve škole. Obrázek 1: Obal Slabikáře od Falského z roku 1971 Zdroj:http://www.culture.pl/kalendarz-pelna-tresc/-/eo_event_asset_publisher/L6vx/content/marian-falski -autor-kultowego-elementarza-urodzil-sie-130-lat-temu Tyto obrázky umožňují dětem poznávat svět, který je obklopuje, obohacuje jejich slovník, rozvíjí rovněž prostorovou představivost. Úkolem dítěte je popsat co na 1 Z. Krygowska, Od konkretu do abstrakcji matematycznej, Nowa Szkoła 1972, nr 6 88

89 těchto obrázcích vidí a tímto způsobem poznává a zdokonaluje jazyk v mluvené podobě. Potom následuje uvedení do světa písmen a slov, neboli výuka jazyka nejenom v mluvené podobě, ale také v podobě písemné. Každá následující strana Slabikáře je obrázek vypodobňující situace dokonale známé s opisujícími texty. To znamená, že dítě má dokonalý nástroj sloužící k opanování techniky čtení. Přitom jsou dekódované obsahy velmi jednoduché, jako: Kdo je to? To jsme my. To je Olek a Tomek. I my máme letadlo. A takové letadlo létá. A to je kdo? To jsou panenky od Ali. Ta panenka má lokny. To je Ola. A ta panenka má.. 2 Epizoda s tematickými ilustracemi není náhodná, i když v dnešní době děti a učitelé zřídka sáhnou po vzpomínaném Slabikáři. Objevují se nové metody, podporující jazykovou výuku, a jednou z nich je glottodidaktika, pro kterou byly vypracovány různé didaktické pomůcky. Zvláštní pozornost si zasluhují především velké kartónové tematické plakáty, které velmi připomínají obrázky ve vzpomínané učebnici Svět hlásek a písmen. Slabikář. Od autora Bronisława Rocławského. Potom se nám nabízí další případné otázky, jako například proč je tak důležité během jazykového vyučování se opírat o každodennost běžné životní reality? Vědci a odborníci vycházejí z předpokladu, že nejdůležitější je opanovat umění čtení a psaní a že toto není možné činit odtrženě od reálií každodenního života. Teprve v míře získání jistých dovedností se stává důležitým rovněž rozměr sémantický: čtení a psaní s porozuměním, a potom následuje nejvyšší rozměr - kritický a tvůrčí (hodnocení a interpretace poznaného textu v kontextu získaných vědomostí a dovednost předávání intencí ze strany píšícího). 3 Nyní přejděme k otázkám výuky matematických vědomostí a dovedností Můžeme při prohlížení matematických knih, učebnic a pracovních listů zaznamenat, že se od samého začátku výuky matematice pohybujeme v jazyku velmi nasyceném abstrakcí, který je odtržený od reality. Počty jsou zaznamenané ve formě číslic, tj. ve složitých pojmech, pojmy jsou rovněž znaky jako +, -, =, <,> spolu s grafickými schématy. Již v prvních týdnech výuky matematiky buduje dítě z těchto symbolů syntetické úvahy a zapisuje je ve formě aritmetických činností. Od dítěte se rovněž vyžaduje, aby umělo přeložit konkrétní situace do stanoveného grafického jazyka nebo do aritmetických činností, a potom komplikovaně přemýšlet v souvislosti s řešením úkolů. Výuka matematiky se tedy od samého začátku odbývá na vysokém stupni zobecnění a vyžaduje od dítěte operační myšlení na konkrétní úrovni. 4 To ale neodpovídá jeho možnostem, protože jeho intelektuální úroveň nezaručuje to, že bude odkrývat pravidelnosti. Všeobecně je matematika považována spíše za logický hlavolam, od samého začátku výuky se děti učí jistým dovednostem a postojům, které jsou později s velkým úsilím eliminovány. Jev vyučení se těmto nežádoucím změnám se nazývá vtisknutí. 5 Pokud se opět vrátíme k jazykové výuce, máme na mysli stejně tak rodilý jazyk, jakož i jazyk cizí (anglický, francouzský, čínský apod.), v praxi potom vidíme nesrovnatelné výsledky této výuky u jednotlivců. Mohu tedy na tomto místě navrhnout nové metody výuky matematiky, založené a opírající se o metody jazykové výuky? Při 2 M. Falski, Elementarz, WSiP, Warszawa 2003, s E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Przyczyny, diagnoza, zajęcia korekcyjno-wyrównawcze, WSiP, Warszawa 2008, s Ibidem, s W. Zawadowski, Rozszyfruj skrót PDTR, w: K. Dałek, H. Kąkol (red.), Materiały pokonferencyjne XVIII Krajowej Konferencji SNM, Wyd. SNM, Bielsko-Biała 2009, s

90 takto postavené otázce a cíli se můžeme odvolat k návrhům Bronisława Rocławského: Mým snem je, aby učitelé matematiky začali hovořit o jazyku, a lingvisté (gottodidaktici) o matematice. 6 Autor v prvním díle své publikace pod názvem O związkach nauczania matematyki z nauczaniem języka w wychowaniu przedszkolnym i wczesnoszkolnym (O spojení výuky matematiky s jazykovou výukou v předškolní a primární edukaci) se pokouší ve všeobecně známých matematických publikacích nalézt spojení mezi výukou jazykovou a výukou matematiky. Odvolává se přitom na práce Edyty Gruszczyk- Kolczyńské a potvrzuje, že se v nich nesetkal s otázkami spojenými s jazykovou edukací, jsou tam pouze zmínky o integraci jazyka a matematiky. Příkladem může být úryvek textu, ve kterém se autorka odvolává na názory Rochel Gelman, jmenovitě: počítání a jednoduché sčítání jsou osvojovány podobně, jako rodilý jazyk v mluvené podobě. Analogicky k rozvoji mluvy také v oblasti počítání děti mají schopnost odkrývat pravidelností. 7 V následujícím textu Bronisław Rocławský analyzuje práce Urszuly Oszwy pod názvem Zaburzenia rozwoju umiejętności arytmetycznych. Problem diagnozy i terapii (Poruchy rozvoje aritmetických dovedností. Problém diagnózy a terapie), tvrdíc, že autorka nemá toho příliš mnoho co říci na téma spojení jazyka s matematikou. Zcela naopak, v otázkách výuky matematiky se odvrací od jazykových otázek. V jejích názorech vzhledem k předmětu našeho zájmu podobně rovněž přistupují tvůrci programu Przyjazny program zintegrowany (Vstřícný integrovaný program) 8 a Dziecięca matematyka (Dětská matematika) 9, kteří zcela opomíjejí mnohaleté zkušenosti glottodidaktiky 10. Při hledání literatury, v které by byly obsaženy otázky signalizující spojení glottodydaktiky s matematikou Bronisław Rocławský objevil knihu Margaret Donaldson Myślenie dzieci (Myšlení dětí). K jeho spokojenosti Jazyk je v této vynikající vývojové psychologii dítěte zmiňovaný velmi často. 11 Co více, ve svých myšlenkách považoval za velmi cennou následující výpověď Margaret Donaldson: Ukazuje se tedy, že jsou důležité vlastnosti psaného jazyka, který probouzí jazykové vědomí, může rovněž ulehčit utváření vědomí vlastního myšlení a rovněž ve spojení s tím mohou být jazyky důležité pro rozvoj intelektuální sebekontroly, s častými následky pro rozvoj těch typů myšlení, které jsou charakteristické pro logiku, matematiku a přírodní vědy. 12 Zajímavé jsou jeho další myšlenky na téma jistých napětí mezi jazykem a matematikou. Současné zaměření na obě dvě oblasti rozvoje může uchránit dítě před negativním působením matematiky na jazykovou výuku a opačně. Ohrožení negativním vlivem existuje především pokud nemáme jasno s ohledem na názor týkající se grafického kódu používaného v jazyce i v matematice. 13 To znamená, že dítě nemůže kategorizovat matematické znaky a rovněž znaky jazykové. Ovšem i matematika má svoji abecedu, ale nelze ji používat odtrženě od systému znaků přirozeného jazyka. 6 B. Rocławski, O związkach nauczania matematyki z nauczaniem języka w wychowaniu przedszkolnym i wczesnoszkolnym, Przedsiębiorstwo Glottispol sp. z o.o., Gdańsk 2012, s. 9 7 E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki, WSiP, Warszawa 2008, s Z. Semadeni i in. (red.), Przyjazny program zintegrowany. I etap edukacyjny. Klasy 1-3, WSiP, Warszawa E. Zielińska, E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dziecięca matematyka, WSiP, Warszawa B. Rocławski, dz. cyt., s Ibidem, s M. Donaldson, Myślenie dzieci, Wyd. Wiedza Powszechna Omega, Warszawa 1986, s Ibidem, s

91 Jednou ze součástí spojující jazyk matematiky s jinými jazyky je fakt, že tak jak jiné jazyky má také tento jazyk svoji abecedu složenou z čísel: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Matematické symboly, podobně jako písmena a jiné znaky v odpovídajícím spojení se sebou vytvářejí slova, která jsou ukončenými řadami znaků, například: 3468, 23, 456. Naproti tomu soubor těchto a podobných slov není ničím jiným než psaným jazykem matematiky. V jazyce matematiky se využívá té samé abecedy k vytváření různých slovních souborů: soubor sudých počtů (2, 4, 6, 8 atd.), soubor lichých čísel (3, 5, 7, 9, atd.), soubor přirozených čísel (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atd.), soubor celých čísel (,-4, -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 atd.), soubor příbuzných čísel (220 i 284, 1184 i 1210, 2620 i 2924, ), soubor dokonalých čísel (6, 28, 496, 8128, , i ) a jiné. Pokud rozšíříme abecedu složenou z čísel od 0 do 9 o proměnné typu x, y, a o znaky +, -,,, =, a pokud tyto symboly sloučíme do různých kombinací, vytváříme soubor podle pravidel napsaných matematických rovnic, které se stávají novým, formálním jazykem matematiky. Slova typu 23, 456 ve spojení se jmenovanými znaky získávají jiný význam, např.: 23x =. Geometrické tvary včetně těch trojrozměrných jsou součástí ještě jiných jazyků matematiky. To znamená, že nemůžeme říci, že matematika má svůj jazyk, ona má vlastně více jazyků neustále se rozvíjejících, nestatických. Jako každá disciplína i tato obohacuje slovník i vlastní způsoby komunikace, které jsou pro ni specifické. 14 Co je potřebné změnit v koncepci výuky matematiky? Od čeho začít? Lze začít od matematických symbolů, tj. přijmeme tuto posloupnost: řekneme jeden a okamžitě seznámíme děti s grafickým znakem 1, a zapíšeme číslo na kartu? Pokud formulujeme tyto problémy, tak máme na mysli vybrání správného způsobu uvedení číslic do slovníku malých dětí. Obraťme se do historie matematiky - víme, že v minulosti bylo počítání vztaženo k jiným souborům, třeba: Mám tolik prasat, kolik mám prstů na rukou i nohou.. Tomu rozuměl i ten nejprostší člověk. Bronisław Rocławský navrhuje začít od výuky na souborech, které se různí jedním elementem. Začněme od souboru, který neobsahuje ani jeden element ten soubor označíme číslem nula. Dodejme k němu jeden element (číslici). Nyní označíme tento soubor hlavním číslem jedna. Do souboru s jedním elementem dodejme jeden element a označme nový soubor číslem dva. K souboru s dvěma elementy dodejme jeden element a nový soubor označme číslem tři. 15 A tak si hrajeme, až se děti seznámí s dalšími čísly. V mysli dětí se vytváří obraz počítání jako soubor zahrnující jisté množství elementů. K označení souborů autor navrhuje použít barevná čísla, informujíc počtem barev o počtu elementů v nich obsažených (tzv. magická číselka), například číslo 4 je vymalované čtyřmi různými barvami. Potom následuje počítání, které souvisí s přičítáním nebo odčítáním jednoho elementu nula přičíst jedna je jedna, nula přičíst jedna je jedna, jedna přičíst jedna je dvě, dvě přičíst jedna je tři. Máme zde jistý druh rozvinutého počítání s těžšími atributy. V další etapě připravíme děti na přičítání a zavedeme počítání s přičítáním hned dvou elementů do souboru nula přičíst dvě je dvě, dvě přičíst dvě jsou čtyři, čtyři přičíst dvě je šest. Můžeme rozeznat od souboru, skládajícího se z jednoho elementu: jedna přičíst dvě je tři, tři přičíst dvě je pět atd. 16 Tímto způsobem současně zavedeme nové pojmy v oblasti matematické výuky, jmenovitě: soubor čísel sudých a soubor čísel lichých. 14 E. Jagiełło, Matematická edukácia prostredníctvom hier a zábav, in: M. Podhájecká, M. Miňová (ed.), Hra v predprimárnej edukácii, Vydavatel Prešovska univerzita v Prešove, Prešov 2011 r., s B. Rocławski, dz. cyt., s Ibidem, s

92 S tím na začátku abecedně zapisujeme krok za krokem a současně přecházíme k ideografickému písmu, např. 0+2=2, 2+2=4, 4+2=6. Než děti začnou se zapisováním činností ve formě matematických symbolů, nesmíme pominout otázky naučení a schopnosti číst ideografické písmo. Jiným slovem - čtení má význam stejně tak v případě jazykové výuky rodilého (cizího) jazyka, jakož i jazyka matematiky. Pokud hovoříme o přičítání elementů (čísel), tak nesmíme opominout matematické zákonitosti a výsledek přičítání. Bogusław Rocławský z pohledu aritmetiky navrhuje označit sumu prostřednictvím přičítání dalších elementů z jednoho souboru do druhého a ne počítání elementů nově vzniklého souboru. Takové chování je opodstatněné tehdy, pokud se chce dítě přesvědčit o tom, zda správně počítá, neboli chce provést kontrolu. Podle jeho názoru pokud má dítě sečíst dva soubory o různém počtu elementů, např. čtyřciferný a šesticiferný (šest elementů), tak se samo rozhodne, do kterého z nich bude přičítat elementy z jiného souboru. Samozřejmě v matematice bychom měli ke konečnému výsledku dojít co nejkratší cestou. Pokud myslíme logicky, tak základním souborem je ten s největším počtem elementů (číslic), a pokud dítě matematicky počítá, tak přidává k němu soubory menšího počtu. Tímto získává výsledek rychleji a je menší pravděpodobnost, že udělá chybu. Dítě, které má k dispozici například šest knoflíků, tak k nim přidává knoflíky z druhé hromádky ze čtyř elementů. Nejprve jeden knoflík a získá soubor skládající se ze sedmi elementů (6+1=7). Potom přesouvá druhý knoflík a vznikne tím soubor složený z osmi elementů (7+1=8). Pokračuje v této operaci až do chvíle, když odebere všechny knoflíky ze souboru čtyř elementového. Podobně takto přístupným způsobem, založeném na hře, pokračujeme při operacích odčítání a hledání matematických zákonů. 17 Nemůžeme si rovněž nevšimnout, že výše popsané příklady nám mohou pomoci vnímat jazyk jako instrument myšlení a současně medium ke konverzaci při hodinách matematiky i geometrie. Dítě samostatně přechází od informace k vědění. Je třeba zdůraznit, že zde se to děje jako, všechno probíhá podobně jako v opravdovém světě. V jazykové struktuře činnosti důležitou roli hrají nástroje vytvářející podmínky k tvůrčím činnostem účastníků komunikace. Takto představená koncepce spojení počtů, přesunování knoflíků z jedné hromádky na druhou, nám připomíná rovněž dialog s kalkulačkou. Pokud zapneme kalkulačku, tak se na displeji ukáže 0, a to není nic jiného než symbol prázdného souboru. Stiskneme klávesnici s číslem 1 a uvidíme v okénku 1, stiskneme + (přičítáme) a 1, a k našemu úžasu nám na displeji vyskočí 2. Vykonáme další činnost - stisknu + a potom stisknu 1, a takovým způsobem můžeme vidět v okénku grafické symboly dalších počtů. Když si děti hrají s kalkulačkou a hledají zkratky, tak poměrně rychle si mohou všimnout, že po dotknutí klávesy + i 1, stačí stisknout klávesu se znakem = a získají ty samé výsledky. Navíc můžeme zobrazovat počty na číselné ose, stačí ve třídě rozvinout šňůru a začít od libovolného místa ve stejných vzdálenostech umisťovat kouzelná číselka (nebo připnout označené kolíčky na prádlo). Proč navrhujeme umístění 0 od jakéhokoliv místa na šňůře? Protože z praxe víme, že pokud má dítě za úkol provést matematický příklad 10 4 a má již nějaké vědomosti o přičítání aj., tak rovněž zkouší odnímat knoflíky od menšího souboru a když už nejsou k dispozici elementy, tak to vzdá a začne znovu od začátku. Nejčastěji neanalyzuje svůj model řešení při hledání východiska z problémů. Když tu stejnou činnost vykoná s použitím kalkulačky, tak s hrdostí se dívá na displej kalkulačky a tu 17 Por. Ibidem, s

93 vidí kromě číslice rovněž -. Mnohokrát se stane, že dítě přemýšlí o chybě a je přesvědčené o tom, že něco špatně stisklo. Přece chybu nelze přijmout a je také nemile viděna ze strany učitele. Když se nic nezmění i přes opakované pokusy opravit výsledek, dítě informuje o výsledcích své činnosti. V té chvíli většina dospělých říká, že to je příliš těžké a ještě je brzo o tom hovořit, jiní zase vzpomínají nějaké teorie deficitu. Tradiční přístup ubíjí logické myšlení v matematice, a v té chvíli se nám ukáže jako nosné použít fenomén číselné osy. Při přidávání (přičítání) jsou na číselné ose elementy umísťovány směrem doprava, pokud se odebírají tak směrem doleva. Tímto je jednoduché vizualizovat překročení bodu 0 s mínusovými počty. Jasně že si můžeme hrát s klávesnicemi kalkulačky dost dlouho, ale jak dlouho? Při reflexi činností se nám objevují následující otázky: Kolik čísel nejvíce lze vepsat na displej Tvé kalkulačky? Lze v každé kalkulačce umístit stejný počet čísel? Jaké nejvyšší číslo nám může zobrazit konkrétní kalkulačka? Je to na každé kalkulačce stejné? A jaké nejmenší číslo se nám může zobrazit na kalkulačce? Při komunikaci s kalkulačkou je vhodné zobrazovat otázky a odpovědi prostřednictvím kódů znaků ideografického písma. Dialog nám ulehčuje přenos osobních zkušeností do kategorií a současně zlepšení zápisů. Je vhodné přijmout zásadu vedení poznámek v sešitech, například - co bylo stisknuté na kalkulačce vepsat v uvozovkách a odpovědi kalkulačky bez uvozovek. Příklad sřetězených poznámek: 0+1= 1 = 2 = 3 = 4 = 5 atd. Pokud budeme vnímat matematiku jako jazyk, tak nám to umožní v hodinách použít akustický nosič, jakož i nosič vizualizovaný. Dokonce i aritmetické a algebraické výrazy se lépe čtou zrakem a ne sluchem 18 Ve skutečnosti víme, že děti si nějak poradí s počítáním, s přičítáním, největší těžkosti vznikají během řešení matematických slovních úloh. Nestačí si je jenom přečíst, je třeba jim porozumět a být schopen jisté analytické dovednosti, k tomu patří také vytváření závěrů. A teprve potom můžeme přistoupit k vytváření mapy matematických znaků. George Polya uvádí čtyři fáze práce při hledání řešení, v první je potřeba porozumět zadání, neboli uvědomit si, co hledáme. Za druhé musíme propojit údaje s tím, co nevíme a potom vytvořit plán. Za čtvrté podívat se zpět, čili zkontrolovat získané řešení. Každá ze jmenovaných fází je důležitá, jsou spolu spojeny a vzájemně se nevylučují. Může se rovněž stát, že dítě napadne něco výjimečného, to mu dá eventuálně možnost přeskočit jisté fáze a získat opravený výsledek. 19 Je žalostné pracovat, když dítě nerozumí slovnímu zadání matematického úkolu. Stává se, že dítě plynule čte, ale není schopno řešit úkoly. Příčiny mohou být různé, například: nedostatek schopnosti číst s porozuměním, syntaktická 18 W. Zawadowski, op. cit., s G. Polya, Jak to rozwiązać, PWN, Warszawa 1993, s

94 struktura je vytvořena z neznámých nebo málo známých výrazů, příliš pomalé tempo čtení, jiným činitelem mohou být mizivé matematické znalosti. Pokud pozorujeme děti během takto postavené práce, tak můžeme vidět, jak se spontánně rozvíjejí různorodé komunikační procesy, děti mezi sebou spolupracují, dělí se o vlastní postřehy a zkušenosti, představují vlastní nápady a nápady s řešením problémů, diskutují vlastní postoje s druhými, jsou motivováni k plnému a ničím neomezenému využívání různorodých zdrojů a informačních kanálů. Pokud použijeme řešení prostřednictvím jazyka v situaci matematických úkolů, tak nám to umožní rozvinout mnohostrannou aktivitu dítěte, umožní nám to u dítěte rozvinout stále vyšší úroveň rozvoje poznávacích struktur. 20 Rozvíjí u dítěte logické myšlení a nevede k rezignacím. Literatúra 1. BAGGETT, P. EHRENFEUCHT, A.: What should be the Role of Calculators and Computers in Mathematics Education, Journal of Mathematical Behavior, nr 11, DAŁEK, K. DĄBROWSKI, M. ZAMEK-GLISZCZYŃSKI, T. MOSTOWSKI, K. ZAWADOWSKI, W.: Przekonania i przeświadczenia w sprawie kalkulatorów, NiM, zima 1993, nr 8 3. DONALDSON, M.: Myślenie dzieci. Warszawa: Wyd. Wiedza Powszechna Omega, FALSKI, M.: Elementarz. Warszawa: WSiP, GOŁĘBNIAK, B.D.: O Lwie Wygotskim i znaczeniu jego odkryć dla edukacji. In: B.D. Gołębniak, G. Teusz (red.), Edukacja poprzez język, o całościowym uczeniu się. Warszawa: Wyd. CODN, GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA, E.: Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Warszawa: WSiP, JAGIEŁŁO, E.: Gry językowe a mowa ciała komunikowana ikonicznie. NiM, nr 54, lato JAGIEŁŁO, E.: Matematická edukácia prostredníctvom hier a zábav. In: M. Podhájecká, M. Miňová (ed.), Hra v predprimárnej edukácii. Prešov: Vydavatel Prešovska univerzita v Prešove, KADEJ, C.: Słoń, czyli do czego przydaje się metonimia. Matematyka, nr 2, KADEJ, C.: Konkretyzacja, czy metonimia? Matematyka, nr 1, KADEJ, C.: Zabawa w metonimie. NiM, nr 36, KRYGOWSKA, Z.: Od konkretu do abstrakcji matematycznej. Nowa Szkoła, nr 6, OSZWY, U.: Zaburzenia rozwoju umiejętności arytmetycznych. Problem diagnozy i terapii. Kraków: Wyd. Impuls, POLYA, G.: Jak to rozwiązać. Warszawa: PWN, ROCŁAWSKI, B.: Świat głosek i liter. Elementarz. Gdańsk: GLOTTISPOL, ROCŁAWSKI, B.: O związkach nauczania matematyki z nauczaniem języka w wychowaniu przedszkolnym i wczesnoszkolnym. Gdańsk: Przedsiębiorstwo Glottispol sp. z o.o., SEMADENI, Z. i in. (red.): Przyjazny program zintegrowany. I etap edukacyjny. Klasy 1-3. Warszawa: WSiP, B.D. Gołębniak, O Lwie Wygotskim i znaczeniu jego odkryć dla edukacji, w: B.D. Gołębniak, G. Teusz (red.), Edukacja poprzez język, o całościowym uczeniu się, Wyd. CODN, Warszawa 1999, s

95 18. ZAWADOWSKI, W.: Rozszyfrujmy skrót PDTR. In: K. Dałek, H. Kąkol (red.), XVIII Krajowa Konferencja SNM. Bielsko-Biała: SNM, ZAWADOWSKI, W.: Co dobrego można powiedzieć o nowej podstawie programowej. In: K. Dałek, H. Kąkol (red.), XVIII Krajowa Konferencja SNM. Bielsko-Biała: SNM, ZIELIŃSKA, E. GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA, E.: Dziecięca matematyka. Warszawa: WSiP, t/marian-falski-autor-kultowego-elementarza-urodzil-sie-130-lat-temu Kontaktná adresa Dr Ewa Jagiełło Instytut Pedagogiki, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny ul. Popiełuszki 9, Siedlce, Polska tel Prof. dr hab. Anna Klim-Klimaszewska Instytut Pedagogiki, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny ul. Popiełuszki 9, Siedlce, Polska tel

96 GRY I ZABAWY MATEMATYCZNE JAKO CZYNNIK WSPOMAGAJĄCY OCENIANIE WE WCZESNOSZKOLNEJ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ Anna JAKUBOWICZ-BRYX Abstrakt Jedną z form organizujących aktywność poznawczą uczniów jest wykorzystanie w pracy dydaktycznej na zajęciach matematycznych zabaw i gier dydaktycznych. Rozwijają one zainteresowania, pobudzają do twórczego myślenia, uczą współpracy, wywołują różne przeżycia emocjonalne. Wyzwalają one aktywność matematyczną uczniów oraz operacje myślowe u dzieci. Artykuł prezentuje wyniki badań empirycznych nad stosowaniem gier i zabaw dydaktycznych w nauczaniu matematyki w klasach niższych i ich rolę w ocenianiu osiągnięć matematycznych uczniów. Kľúčové slová: edukacja matematyczna, ocenianie osiągnięć, gry i zabawy matematyczne DIDACTIC GAMES AS A FACTOR SUPPORTING ASSESSMENT IN MATHEMATICS EDUCATION OF LOWER GRADE STUDENTS Abstract One of the forms of organizing cognitive activity of students is using didactic games. They are also a crucial element with respect to running Maths lessons. This form of teaching develops interests, stimulates creative thinking as well as teaches and generates a variety of emotional experiences. Didactic games trigger mathematical activity of students and children s thought processes. The article presents the results of empirical research concerning the use of didactic games in teaching Maths in lower grades and their role in evaluating students' math achievement. Key words: mathematics education, assessment in education, didactic games in mathematics 1. Ocenianie jako element pracy nauczyciela w edukacji wczesnoszkolnej Ocenianie jest ważnym procesem pracy dydaktyczno-wychowawczej każdego pedagoga. Rola nauczyciela polega na obserwacji i analizie osiągania przez dziecko kolejnych etapów rozwojowych i umiejętności. Dobre ocenianie to takie, które uruchamia refleksję nad sobą: nad tym jak działam; nad tym, jak bardzo się angażuję w to, co robię; nad tym, co osiągam (jaki jest efekt mojej pracy i czy spełnia on moje wcześniejsze oczekiwania, czy jest zgodny z tym, co zamierzam osiągnąć); nad tym co mogę zmienić w swym sposobie działania. Dobre ocenianie to takie, które dostarcza informacji zwrotnych (od innych ludzi i od samego siebie) odnoszących się do tego, jak działam i co osiągam tylko wtedy, gdy posiada się takie informacje możliwe jest wprowadzenie zmian do swych sposobów działania. Dobre ocenianie wymaga jasno sformułowanych kryteriów, ze względu na 96

97 które analizowany jest proces działania dziecka i uzyskiwany przez nie efekt (Brzezińska, Misiorna 1998, s.14). Elżbieta Marek podkreśla, że największym bogactwem naszego kraju są umiejętności i talenty dzieci. Szkoła nie może więc zajmować się jedynie dostarczaniem informacji, lecz musi poświęcić się wydobywaniu zdolności. Wczesne ich rozpoznanie jest bowiem niezbędne dla odpowiedniego stymulowania rozwoju jednostek zdolnych (Marek 2000, s. 283). Ocena zgodnie z założeniami współczesnej edukacji, kształcenia zintegrowanego, powinna uwzględniać logikę rozwoju dziecka, czyli nie tylko to, na jakim poziomie rozwoju aktualnie dziecko się znajduje, ale i to, jak przebiegał dotychczas jego rozwój, jaka była dynamika tego rozwoju, w jakim kierunku rozwój ten zmierza, jaki jeszcze potencjał nie został ujawniony, jak szeroka jest sfera gotowości dziecka do korzystania z pomocy dorosłego: jego wiedzy, proponowanych sposobów rozwiązań, udzielanych wyjaśnień, podejmowanych działań, wsparcia emocjonalnego (Moroz 2001, s. 59). Ocenianie oparte na systematycznej, długotrwałej obserwacji może ukazać nauczycielowi i rodzicom możliwie pełny obraz osiągnięć i poziomu umiejętności, aktywności, jakie dziecko zdobywa w szkole. Wymaga odpowiedzialności od nauczyciela i rodziców. Skłania rodziców do zainteresowania się dzieckiem, do udzielenia mu pomocy. Ocenianie powinno mieć charakter dynamiczny, ponieważ sprzyja wówczas większej aktywności uczniów na zajęciach, likwiduje strach. Nauczanie na pierwszym szczeblu edukacji szkolnej ma miejsce w takim okresie życia dziecka, w którym pragnie ono spełnić swoje oraz rodziców oczekiwania, co do powodzenia. Ocenianie powinno wszystkim dzieciom dać taką szansę. 2. Gry i zabawy dydaktyczne na we wczesnoszkolnej edukacji matematycznej Zabawa sprawia, że zadania są bardziej interesujące, motywują do pokonywania trudności. Dzięki temu kształtowane zostaje poczucie odpowiedzialności za zadanie. Dzięki zabawom i grom dydaktycznym rozwija się wola, wytrwałość w osiąganiu celu, umiejętności społeczne, wzrost aktywności indywidualnej i zbiorowej. Różnorodne zadania realizowane w formie zabaw i gier dydaktycznych, mogą stać się dla dziecka źródłem sukcesu. W uczeniu się poprzez zabawy i gry, występują wszystkie podstawowe elementy kształcenia wielostronnego, to jest uczenie się poprzez poznawanie, przeżywanie oraz działanie. Rozwija się procesy motoryczne, spostrzegawczość, wyobraźnię, pamięć i procesy umysłowe. Nauczyciel jest właściwą osobą przygotowaną do należytego dobierania i selekcjonowania odpowiednich dla swoich uczniów propozycji zabaw i gier dydaktycznych. Dzięki nim właśnie uczniowie odkrywają nową matematykę, ujawniają w sobie chęć podjęcia działania. Ta forma nauczania jest bardzo atrakcyjna dla dzieci, ponieważ motywuje, pobudza do podejmowania zadań oraz w umiejętny sposób łączy zabawę z nauką (Jakubowicz-Bryx 2011a). W dydaktyce matematyki jednym ze środków aktywnej prezentacji i ikonicznej treści edukacji matematycznej, są zabawy i gry dydaktyczne. Stanowią istotny element w prowadzeniu zajęć matematycznych, bowiem taka forma pracy wspomaga proces nauczania, uczenia się. Zabawy i gry dydaktyczne pobudzają wyobraźnię oraz tworzą nową rzeczywistość. Umożliwiają one wyzwalanie aktywności matematycznej, rozwijanie zainteresowań i operacji myślowych u dzieci. U podstaw każdej gry tkwi, 97

98 pewna trudność, która wymaga zaangażowania się oraz szukania nowych rozwiązań (Konsek, Studnik 1999). Na podstawie wcześniejszych badań, stwierdzono, zabawy i gry dydaktyczne pozytywnie oddziałują na motywację do nauki matematyki. Nauczyciel dzięki takiej metodzie, daje uczniom możliwość odkrywania, tworzenia, działania, planowania, aktywizowania, motywowania. Stwarza dziecku możliwości wykonywania konkretnych czynności poza podręcznikiem, kartą pracy czy zeszytem ćwiczeń. Pedagodzy wybierają ciekawe formy zabaw i gier dydaktycznych, które wpływają na motywację ucznia do podejmowania jego twórczych działań (Jakubowicz-Bryx 2011b). W zabawach mamy do czynienia z aktywnością percepcyjną (poznawanie bezpośrednie, za pomocą zmysłów), jak i z aktywnością asymilacyjną (przyswajanie, zwłaszcza pamięciowe), a także z aktywnością eksploracyjną (odkrywaniem nowych elementów wiedzy). Należy podkreślić również, że zabawy i gry dydaktyczne mają duże znaczenie kształcące, emocjonalne i wychowawcze. Samo uczestnictwo w nich i dążenie do wygranej zmusza do wysiłku myślowego i do rozwiązania problemu. Te formy aktywności stanowią ważny środek wiodący do ukształtowania odpowiednich postaw wobec nauki, wobec pracy innych osób oraz wobec otaczającej rzeczywistości (Łukasik, Cyran 2002). Należy założyć, że ocena nie może być elementem demotywującym. Powinna mieć charakter motywujący, czyli w każdym działaniu ucznia albo prawie w każdym należy szukać tych dobrych elementów, które sprowokują go do dalszego rozwoju, do pokonywania kolejnych przeciwności. Można nawet założyć, że z oceny negatywnej należy w ogóle zrezygnować, chociaż czy jest ona negatywna, czy też nie, zależy głównie od osoby ocenianej. 3. Rola gier i zabaw w ocenianiu postępów uczniów klas niższych z matematyki w świetle badań własnych Celem postępowania empirycznego było sprawdzenie wiedzy matematycznej uczniów klas II, oraz próba odpowiedzi na pytanie: w jakim stopniu wykorzystanie zabaw i gier sprzyja osiąganiu lepszych wyników w edukacji matematycznej? Skonstruowano dwa testy, które zawierały zadania dotyczące dodawania i odejmowania w zakresie 100. Zazwyczaj przy realizacji dodawania i odejmowania w zakresie 100 w programie przewidziane jest dodawanie i odejmowanie liczb jednocyfrowych oraz dodawanie i odejmowanie liczb dwucyfrowych. W testach wykorzystano 5 typów działań występujących w tych dwóch zakresach, są to między innymi: Dodawanie i odejmowanie pełnych dziesiątek łączenie działań w jednym zapisie z użyciem nawiasów, Dodawanie i odejmowanie liczb jednocyfrowych do pełnych dziesiątek, Dodawanie i odejmowanie bez przekraczania progu dziesiątkowego oraz z przekroczeniem progu dziesiątkowego, Rozwiązywanie równań ze sprawdzeniem, Rozwiązywanie zadań tekstowych związanych z dodawaniem, odejmowaniem w zakresie 100. Pierwszy z testów zawierał zadania standardowe polegające jedynie na wykonywaniu obliczeń matematycznych, drugi skladał się z różnorodnych rozrywek umysłowych. Trudność zadań była utrzymana na takim samym poziomie w każdym 98

99 sprawdzianie. Testy wykonano w odstępie tygodnia, bez stosowania dodatkowych ćwiczeń utrwalających umiejętności uczniów. Tabela 1. Wyniki testów matematycznych TEST 1 TEST 2 Poziom L % L % Bardzo dobry 20 17, ,8 Dobry 48 42, ,1 Przeciętny 24 21, ,4 Niski 22 19,3 11 9,6 Razem , ,0 Zebrany materiał pozwala zauważyć, że test pierwszy, w którym wykorzystano zwyczajowe zadania związane z wykonywaniem działań matematycznych uczniowie wykonali na średnim poziomie. Poziom niski i przeciętny uzyskało tam bowiem 40,4% badanych uczniów klasy II, co jest dość znacznym odsetkiem. Natomiast w teście w którym do sprawdzenia wiedzy dzieci wykorzystano gry i zabawy dydaktyczne na najniższych poziomach uplasowało się jedynie 21,0% uczniów. Różnice jak widać są więc znaczące. Zatem nie tylko wzbogacenie zajęć lekcyjnych o formę zabaw i gier dydaktycznych pozytywnie oddziałuje na kształtowanie lepszych wyników w nauce. O tym, że testy matematyczne zawierające zadania, w których wykorzystuje się zabawy i gry dydaktyczne oddziałują na uzyskiwanie lepszych wyników w nauce, co pokazuje nam szczegółowo analiza testów. Otóż uczniowie rozwiązali lepiej test sprawdzający wiedzę, w którym zastosowane były de facto zadania w formie zabaw i gier dydaktycznych. Analiza pokazuje również, że zabawy i gry dydaktyczne mają wartość dla uczenia się współpracy, samokontroli, panowania nad swoimi emocjami, wdraża do stosowania określonych strategii, a także bawi. Uczniowie angażują się emocjonalnie podczas uczestnictwa w zabawach i grach dydaktycznych, co sprzyjało zniwelowaniu stresu wywołanego standardowym zadaniom w teście pierwszym. Podczas przeprowadzania badań można było bowiem zauważyć, że uczniowie wyjątkowo mocno angażowali się w zadania zawierające działania, które należało rozwiązać wykorzystując zabawę i grę dydaktyczną, co dało wyniki wymierne efekty przy ostatecznym wyniku badania wiedzy i umiejętności podczas przeprowadzonego testu. 4. Refleksje końcowe Dziecko potrzebuje informacji o sobie, o tym jakie jest i co jak robi, a tymczasem stopień szkolny przynosi lęk, stres, zagrożenie, niepokój. Nie wszystkie dzieci są jednakowo zdolne i dlatego zaczynają myśleć o sobie w stawiając siebie złym świetle. To na pewno nie ułatwi im dalszej pracy, bo do pokonywania trudności i odnoszenia sukcesów potrzebne jest pozytywne myślenie i poczucie własnej wartości. Uczeń musi mieć świadomość celu uczenia się, musi wiedzieć, co ma osiągnąć na danej lekcji, w danym dniu, miesiącu, roku. Znajomość wyniku zrozumienie przez ucznia stopnia opanowania przez niego treści programowych, a jednocześnie uświadomienie sobie braków i błędów ma ogromne znaczenie motywujące do dalszej pracy. Zabawy i gry dydaktyczne jako forma nauczania odgrywają znaczącą rolę w osiąganiu zadowalających wyników oraz z pewnością oddziałują na poziom kształtowania umiejętności matematycznych. Dzięki zabawom i grom dydaktycznym 99

100 wzbudza się w umyśle małego dziecka chęć podjęcia pewnych działań, które prowadzą do sukcesu lub porażki. Wiedza, którą uczniowie muszą pojąć nie może być przez nauczyciela wykładana, tylko powinna być przez nie zdobywana dzięki swojej kreatywności i aktywności. Wykorzystywać je można zatem jako element stwarzający sytuację, podstawowy trzon wprowadzanych treści merytorycznych, w celach ćwiczeniowych, jak również kontrolno-utrwalających. Rynek oferuje szereg propozycji zabaw i gier i właśnie nauczyciel poddawany jest próbom dobierania, selekcjonowania odpowiednich dla swoich uczniów pozycji metodycznych. Dzięki zabawom i grom dydaktycznym uczniowie odkrywają nową matematykę, odkrywają w sobie chęć podjęcia działania. Ta forma nauczania jest bardzo atrakcyjna dla dzieci, ponieważ motywuje, pobudza do podejmowania zadań oraz w umiejętny sposób łączy zabawę z nauką. Zatem takie same oddziaływanie będzie miała ta forma pracy dla wartościowania wysiłku edukacyjnego uczniów klas niższych, co pokazały badania omawiane w tym artykule. Literatura 1. BRZEZIŃSKA, A., Czuba, T., Lutomski, G., SMYKOWSKI, B. Dziecko w zabawie i świecie języka. Poznań: Zysk i S-ka, 1995, pp ISBN BRZEZIŃSKA, A., MISIORNA, E. Istota i sens oceniania dziecka w młodszym wieku szkolnym. In. Ocena opisowa w edukacji wczesnoszkolnej, Poznań: WOM, 1998, pp ISBN JAKUBOWICZ-BRYX, A. Rozbudzanie motywacji do uczenia się matematyki. In: ADAMEK I., ZBRÓG Z. (red.), Wczesna edukacja dziecka wobec wyzwań współczesności. Kraków: LIBRON, 2011 b, pp ISBN JAKUBOWICZ-BRYX, A. Zabawy i gry dydaktyczne w edukacji matematycznej uczniów klas niższych. In: PĚCHOUČKOVÁ S. (red.), Tvořivost v počátečním vyučování matematiky. Pilzno: ZČU, 2011 a, pp ISBN KONSEK, A., STUDNIK, E.: Proponujemy gry matematyczne do wykorzystania na lekcjach, Życie Szkoły 1999, nr 4, pp ISSN / ŁUKASIK, L., CYRAN, T.: Gry i zabawy dydaktyczne, Życie Szkoły 2002, nr 5, pp ISSN / MAREK, E. Problem dzieci zdolnych w pracy pedagogicznej nauczyciela, In: MIŁKOWSKA-OLEJNICZAK, G., UŹDZICKI, K. (red.), Pedagogika wobec przemian i reform oświatowych. Zielona Góra: WSP, 2000, pp ISBN MOROZ, D. Ocenianie opisowe dobre czy złe?, Edukacja i Dialog 2001, nr 1, pp ISSN X/01. Kontakt Dr Anna Jakubowicz-Bryx Uniwersytet Kazimierza Wielkiego ul. Chodkiewicza 30, BYDGOSZCZ, POLSKA 100

101 VYUČOVÁNÍ ORIENTOVANÉ NA BUDOVÁNÍ SCHÉMAT V PŘÍPRAVĚ UČITELŮ Darina JIROTKOVÁ, Radek KRPEC Abstrakt Od roku 2012 se rozvíjí spolupráce mezi katedrami matematiky pedagogických fakult UK v Praze a OU v Ostravě. Článek se věnuje příčinám, způsobům a další perspektivě této spolupráce. Jsou popsány prvotní zkušenosti z této spolupráce. Jsou to jednak odezvy na první seznámení se s metodou M. Hejného, metodou VOBS a jednak zázitky přímo z centra, kde metoda VOBS vznikla a kde se aplikuje jak v přípravě učitelů, tak i ve výuce matematiky na několika ZŠ. Klíčová slova: výuka orientovaná na budování schémat, vzdělávání budoucích učitelů, výuka osobnostně rozvíjející, reflexe výukové hodiny, pedagogické přesvědčení učitele, matematické prostředí Krokování. SCHEME ORIENTED EDUCATION IN TEACHERS TRAINING Abstract Since 2012 the collaboration between departments of mathematics and didactic of mathematics of faculty of educatin in Prague and in Ostrava has been developed. The article focus on reasons, ways and perspectives of the collaboration. Inicial experience from the collaboration is described in the paper. These are both reflections to the first touch with method of M. Hejný and method VOBS and experience from the very centre, where the method has been elaborated and where the method is applied both in teachers education and in primary school pupils mathematical education on several primary schools around. Key words: schema-oriented education, preservice teachers education, personality developing education, reflection on teaching sessions, teacher s pedagogical belief, mathematical environment Stepping. 1. Úvod V roce 2012 vznikly na katedře matematiky s didaktikou PdF OU v Ostravě podmínky ke změnám studijních plánů pro přípravu učitelů prvního stupně ZŠ. Jednou zásadní podmínkou je připravovaná reakreditace oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ. Bylo tedy nutné kriticky posoudit stávající studijní plán a rozhlédnout po ostatních pedagogických fakultách v Čechách či na Slovensku a prozkoumat, co která fakulta přináší nového do přípravy učitelů a kde bychom se mohli inspirovat. K silnému cítění potřeby změn a inovací přispěla i po delší dobu trvající společenská diskuse o poslání učitele, o jeho postavení ve společnosti, o jeho vzdělání, o ocenění jeho práce, o vlivu vzdělání na hospodářství země atd. Tyto úvahy nabírají v době celosvětové ekonomické krize nový směr. Z. Helus píše: výdobytky naší civilizace, s nimiž jsme dosud počítali jako se samozřejmými jistotami a odrazovými 101

102 můstky dalších expanzí, mohou být zničeny: v neposlední řadě ne-li především zhoubnými následky našeho vlastního jednání, které nedokážeme zavčasu korigovat. Dále: Edukace musí odpovědět starostí o člověka, vytvářením koncepce nápravy. Tomu odpovídá idea edukace obratu. (2012, s. 23, 24) Inspiraci pro změny koncepce přípravy učitelů 1. st. ZŠ jsme našli na Pedagogické fakultě Praze. O vzniklé spolupráci s didaktiky KMDM na PedF UK v Praze budou pojednávat další odstavce. 2. Popis situace v Ostravě Nejdříve pohlédněme letmo na stávající studijní plány na Pedagogické fakultě v Ostravě. Uvedeme obsah matematické přípravy učitelů 1. st. ZŠ postupně po semestrech: Aritmetika 1 (výroková a predikátová logika), Aritmetika 2 (algebraické struktury, ordinální a kardinální čísla), Aritmetika 3 s didaktikou (Peanova množina, numerace a binární operace v učivu na 1. st. ZŠ, rovnice a nerovnice na 1. st. ZŠ), Aritmetika 4 s didaktikou (dělitelnost celých čísel, slovní úlohy, prvočísla, neurčité rovnice a rozšiřování číselných oborů na ZŠ), Geometrie 1 (planimetrie, stereometrie a volné rovnoběžné promítání), Geometrie 2 (geometrická zobrazení, základy topologie a míra geometrického útvaru), Didaktika geometrie (využití probrané teorie v učivu na 1. st. ZŠ), Didaktika aritmetiky (Didaktika v učivu aritmetiky 1. stupně ZŠ: Zavádění přirozených čísel na 1. stupni ZŠ. Aritmetické operace. Zlomky. Využití slovních úloh v didaktice. Rámcový vzdělávací program.). Koncepce matematické přípravy učitelů elementaristů je víceméně na všech pedagogických fakultách v Čechách, kromě Prahy, obdobná a od doby modernizace nedoznala významnějších změn. Stále se používají celostátně schválené vysokoškolské učebnice z 80tých let (Divíšek, 1989), (Drábek, 1980) nebo (Kouřim, 1985). Je patrné, že matematická příprava budoucích učitelů je rozdělena do dvou hlavních toků: matematika a didaktika matematiky. Matematika se orientuje zejména na základní matematické struktury, didaktika na výklad optimálních didaktických postupů při zavádění a rozvoji matematických pojmů, vztahů, procesů a situací. Nedostatkem tohoto přístupu je nízká koherence mezi vysokoškolskou přípravou budoucího učitele a jeho reálnými potřebami. Matematická příprava je ve svém teoretickém zaměření příliš náročná a studenti ji zvládají víceméně pamětí. Souvislost s matematikou 1. st. ZŠ nevidí. Didaktická příprava se zaměřuje na konkrétní postupy učitele a nedává budoucímu učiteli dostatečné poznání a kognitivních a metakognitivních procesech, které probíhají ve vědomí žáků při učení se matematice. Navíc, v duchu tradiční didaktiky, je učitel vnímán jako nositel poznání a žák jako konzument. Principu edukace obratu však nejlépe odpovídá výuka osobnostně rozvíjející (Helus, 2012, s. 27), kterou jsme našli na pražské Pedagogické fakultě. Koncepci matematické přípravy budoucích učitelů elementaristů rozpracoval M. Hejný spolu se svým výzkumným týmem zabývajícím se problematikou prvního stupně (Jirotková, Slezáková, Kloboučková). Koncepce je důsledně budována v duchu principů Vyučování orientované na budování schémat VOBS (Hejný, 2007; Hejný, Zemanová, 2012). Metoda VOBS je rovněž implementována do výuky matematiky pro roč. ZŠ s podporou učebnic autorů Hejný a kol. ( ). K tomu je nutno dodat, že výsledky vyučování matematice v těch třídách, kde se důsledně dodržují principy VOBS, ukazují, že tento způsob výuky je účinnější jak z hlediska rozvoje matematických znalostí a schopností žáků, tak z hlediska jejich vztahu k matematice a intelektuální činnosti obecně. 102

103 3. První kroky spolupráce Spolupráce didaktiků matematiky z PedF UK v Praze a OU v Ostravě se od léta 2012 slibně rozvíjí. Kromě prvních schůzek a průběžné elektronické komunikace se již uskutečnily vzájemné návštěvy. Proběhlo několik přednášek M. Hejného a D. Jirotkové v Ostravě a intenzivní pracovní návštěva R. Zemanové a R. Krpce v Praze. Naše spolupráce má tři hlavní cíle: 1. Studium metody VOBS za účelem její implementace do přípravy budoucích učitelů 1. st. ZŠ na OU. 2. Studium metody VOBS do takové hloubky, aby ji bylo možné v Ostravě rozvíjet v rámci dalších společných výzkumů. 3. Studium metod výuky matematiky na 1. st. ZŠ založených na VOBS do takové úrovně, abychom byli schopni v této metodě vzdělávat další učitele 1. st. ZŠ především v Moravskoslezském kraji, popř. i v Polsku. Jednotlivé cíle podrobněji rozebereme. 1. Jak jsme již uvedli, OU se chystá na reakreditaci. S tím souvisí i příprava změn studijních plánů. Naším cílem je připravit koncepci matematické přípravy budoucích učitelů tak, aby se studenti co nejdůkladněji seznámili s metodou VOBS a později v souladu se svým pedagogickým přesvědčením (Jirotková, 2012) se sami rozhodli, jakou cestou povedou děti jim svěřené. 2. Pro další výzkum byly rozdiskutovány náměty tak, aby navazovaly na výsledky dosavadních výzkumů. Výzkum se bude orientovat do oblasti propedeutiky kombinatoriky, pravděpodobnosti a statistiky (R. Krpec) a do rozvoje didaktické empatie budoucích učitelů elementaristů v matematice (R. Zemanová). Součástí výzkumu je i získání přímých zkušeností z výuky. R. Zemanová i R. Krpec budou od září 2013 vyučovat na 1. st. ZŠ metodou M. Hejného. 3. O přednášky M. Hejného a D. Jirotkové na OU byl velký zájem jak z řad studentů, tak i kolegů. Účastnilo se jí přes 70 osob. Další přednáška, tentokráte pouze pro učitele, probíhala v Českém Těšíně a navazovala na otevřenou hodinu matematiky mladé, však v této metodě již zkušené učitelky v 1. roč. ZŠ P. Placzkové. Forma přednášky, která byla provázena analýzou videozáznamu hospitované, se ukázala být pro učitele velice atraktivní. 4. První zkušenosti Nejdříve zde nabídneme zkušenosti a reakce ostravských studentů na Krokování jedno z mnoha prostředí, které umožňuje metodu VOBS realizovat. Pak se podělíme o zkušenosti z pracovní návštěvy v Praze První zkušenosti z Ostravy V rámci první přednášky pražských hostů na OU se studenti seznámili s prostředím Krokování (Kratochvílová, 2006). Následovala hospitace na praxi studentů, na které si dvě studentky, Alena a Beata, po důkladné přípravě komunikované s M. Hejným vyzkoušely zavedení prostředí Krokování ve 3. roč. ZŠ. Nejdříve se musely samy s prostředím seznámit a pak jej měly představit žákům, pro které to bylo nové netradiční učivo, neboť s učebnicemi od Hejného a kol. nepracují. Hodina byla natáčena a videonahrávka byla pak společně s dalšími studenty analyzována. Rozboru hodiny se zúčastnilo 54 studentů. Byl promítán záznam hodiny po úsecích, které byly rozebírány jak z hlediska matematiky, tak z hlediska didaktického počínání 103

104 studentek v roli učitelek. Většina reflexí na přednášku ukazovala na to, že studenti novou metodu výuky přijímají kladně a vyjádřili přání se s ní seznámit podrobněji, tři studentky metodu odmítaly, nespatřovaly v ní pro matematický rozvoj žáků žádný přínos a raději by se více věnovaly počítání s čísly. A podle očekávání osm studentek nebylo rozhodnuto o efektivnost předvedeného prostředí. Přínosné bylo, že Alena a Beata se velmi odlišovaly. Aleny interakce s dětmi byla spontánní, sebejistá, matematický obsah dobře ovládala. Byla schopna iniciovat diskusi mezi žáky. Na Beatě bylo vidět, že je pod tlakem strachu z matematické případně didaktické chyby. To ji vedlo na pro ni bezpečnější cestu instrukcí. Z obšírné reflexe studentky Dany vybíráme jen to nejpodstatnější. V diskusi s několika studentkami po hodině bylo formulováno, že důležité jevy, kterých je třeba si na vyučovací hodině všímat, jsou: klima hodiny, komunikace, architektura hodiny, matematický obsahu, edukační styl, práce s chybou atd. Dana: Děti hodina bavila, pouze u jednoho žáka se objevila frustrace z důvodu, že nebyl vyvolán, přestože se celou dobu hlásil. Z toho důvodu začal vykřikovat. Nejčastěji proběhla komunikace učitel třída, což je pochopitelné vzhledem k výkladové hodině. Dále komunikace ve skupině žáků a žák-učitel. Žáci objevili, že krokování je i nástroj na řešení i číselně zadaných úloh. Z hlediska implementace metody VOBS do škol je potřebné mapovat míru vstřícnosti a připravenosti učitelů i budoucích učitelů k jejímu použití. Uvedený problém je předmětem výzkumu pražské skupiny a hlavní výsledek, k němuž výzkum dospěl, je soubor 20 parametrů umožňujících charakterizovat konkrétního učitele nebo budoucího učitele (Jirotková, 2012). Součástí této charakteristiky jsou i některé myšlenky, jak učitelům, kteří jsou potenciálními aktéry této metody, usnadnit realizaci jejich záměrů. Připomeňme, že implementace metody VOBS je jednou z konkrétních iniciativ edukačního obratu, o kterém píše Helus v (2012) Zkušenosti z Prahy Na týdenní pracovní návštěvě v Praze v prosinci 2012 se ostravský tým seznámil s aktivitami členů KMDM v Praze. Kromě pravidelné výuky jak povinné, tak výběrové to ještě byly semináře CŽV, hospitace u zkušených učitelů 1. st. ZŠ, kteří metodou VOBS pracují (E. Bomerová, J. Michnová). Metoda VOBS je stále ve vývoji. Posledním důležitým objevem ve výzkumu metody je poznání zásadního významu: seznámení budoucího učitele s výukou VOBS bezprostředně pomocí otevřených hodin a následných diskusí je výrazně účinné. Předcházející praxe, která předpokládala, že posluchač musí být nejprve didakticky připraven na reflektování ukázkové vyučovací hodiny z matematiky, se ukázala nedostatečně účinná. Nebyl doceněn silný emotivní vliv, který na většinu posluchačů má pohled na zapálené a chytré žáky, kteří mezi sebou živě diskutují a dožadují se dalších úloh. Uveďme jednu ukázku reflexe pražské studentky Cecílie, která koncem prvního semestru 1. ročníku studia v prosinci 2012 navštívila hodinu vyučovanou v duchu VOBS a která reprezentuje skupinu podobných reflexí:.. budu k Vám naprosto upřímná. Ze začátku jsem moc nevěřila, že by tato 'nová matematika', mohla fungovat. Vlastně jsem byla naprosto proti. Ve skládání kostiček a počítání se zvířátky místo čísel, jsem prostě neviděla žádný hlubší smysl a navíc jsem byla stále přesvědčená, že děti nebudou umět počítat 'normálně'. Zkrátka jsem pořád postrádala tu klasickou matematiku, která mne provázela po celou dobu Nechci, aby to znělo ukvapeně, když jsem byla jen na jedné hodině, nicméně po té dnešní ve Vaší třídě, jsem dost změnila názor. Tohle se dětem vážně hodí víc, než aby věděly, co je bod, přímka a úsečka. Když jsem odcházela, tak jsem si říkala 'tyjo, fakt to funguje'. A 104

105 za to bych Vám chtěla poděkovat. Za to, že to, o čem jste nám vyprávěla na cvičení, jste mi ukázala 'naživo', protože ještě ráno bych nevěřila, že to napíšu.. Byla skvělá atmosféra. Děti pracovaly, byly aktivní, pořád se hlásily a hlavně dávaly pozor. Vlastně šlo všechno jako po másle. Moc se mi líbilo, to že Vás děti naprosto respektují, ve třídě je klid, i přesto, že k nim máte tak kamarádský přístup. Jen si tak říkám, jaká je pravděpodobnost, že poté, co vystuduji, seženu zaměstnání na takové škole, kde se vyučuje tato a ne klasická matematika. Je zřejmé, že semestrální působení vyučující bylo korunováno zlomem v pedagogickém přesvědčení budoucí učitelky o cílech matematiky. Vraťme se k reflexím ostravských studentek. Dlužno zdůraznit, že většina studentek neviděla celou hodinu, k čemu učitelky s žáky došly, co všechno žáci zvládli. Navíc studentky nebyly podrobně seznámeny s prostředím. Závěr V tomto článku i v článku (Hejný, Zemanová, 2013) popisujeme současný stav spolupráce kateder matematiky pedagogických fakult UK v Praze a OU v Ostravě v oblasti didaktiky matematiky 1. st. ZŠ. Všichni zúčastnění si od něj slibujeme, že kvalitně realizovaná metoda VOBS se ujme i na OU a že dobře připravení studenti se stanou oporou pro mnoho již nadšených učitelů na základních školách v Moravskoslezském kraji. Dále očekáváme, že výsledky společného vědeckého bádání v oblasti didaktiky matematiky 1. st. ZŠ budou obohacující pro obě strany. Poznámka: Článek byl podpořen VZ č. MSM Literatúra 1. DIVÍŠEK, J.: Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 269 s. ISBN DRÁBEK, J.: Základy elementární aritmetiky ve studiu učitelství pro 1. stupeň ZŠ. Plzeň: Pedagogická fakulta ZČU v Plzni, HEJNÝ, M.: Budování matematických schémat. In: Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice. České Budějovice: Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, 2007, s HEJNÝ, M. a kol.: Matematika pro 1., 2., 3., 4., 5. ročník základní školy, Plzeň: Fraus, Sada učebnic. 5. HEJNÝ, M. ZEMANOVÁ, R.: Vyučování orientované na budování schémat v praxi. In: Matematika v primárnej škole rôzne cesty, rovnaké ciele (zde) 6. HELUS, Z.: Učitel vůdčí aktér osobnostně rozvíjející výuky. In: Perspektivy učitelství. Praha: UK v Praze, PedF, 2012, s JIROTKOVÁ, D.: Tool for diagnosing the teacher s educational style in mathematics. Orbis Scholae. č. 2 / 6, 2012, s KOUŘIM, J.: Základy elementární geometrie pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vyd. Praha: SPN, 1985, 156 s. 9. SLEZÁKOVÁ, J.: Budování procesuálních představ čísla u dítěte ve věku 5-8 let. In: 10. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Plzeň: Vydavatelský servis, 2006, s

106 Kontaktná adresa Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D. KMDM PedF UK V Praze M. D. Rettigové 4, Praha 1 Telefón: RNDr. Radek Krpec, Ph.D. Katedra matematiky s didaktikou, Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě Mlýnská 5, Ostrava 1 Telefón:

107 TVORBA ELEKTRONICKÝCH EDUKAČNÝCH TESTOV Pavel KLENOVČAN Abstrakt Moderné technológie, pomocou ktorých prijímajú študenti nové informácie, kladú vyššie nároky na učiteľa, hlavne na jeho schopnosť pracovať s rýchlo sa vyvíjajúcimi technológiami a didaktickými prostriedkami. Vytvorenie testov podľa určitých požiadaviek vyžaduje od študentov, budúcich učiteľov, nielen odborné zvládnutie danej témy, ale aj nutnosť precízneho didaktického spracovania daného učiva. Študenti ako dizajnéri (návrhári) štúdia majú väčšiu možnosť byť kreatívni a presadzovať svoje ciele. V príspevku budú popísané niektoré aspekty tvorby a používania edukačných testov. Kľúčové slová: matematika, edukácia, test. CREATION OF ELECTRONIC EDUCATIONAL TESTS Abstract Students obtain new information by modern technologies. These technologies require greater teachers ability to work mainly with rapidly evolving technologies and teaching tools. Creating tests according to certain requirements exact not only professional mastering the stated themes, but also necessity to elaborate teaching themes accurately and didactically from students, future teachers. The students as study designers are given opportunity to be more creative and they can pursue their goals. The paper is dealing with some aspects of creation and using educational tests. Key words: mathematics, education, test. 1. Úvod Využívanie informačno-komunikačných technológií (IKT) prináša do edukačného procesu nové možnosti. Ich využitie môže skvalitniť ako prácu učiteľa tak aj prácu študentov. Zakomponovanie IKT do edukačného procesu je už v súčasnosti nutnou podmienkou a súčasťou prípravy študentov na reálny život. Jej zvládnutie a využívania je aj dôležitým predpokladom prípravy na celoživotné vzdelávanie. V súčasnej dobe je už technická stránka využívania IKT vo výučbe pomerne dobre vyriešená. Väčším problémom sa ukazuje nedostatok kvalitných elektronických výučbových materiálov a ich efektívne využitie v rámci vhodného riadiaceho výučbového systému. Dobrým príkladom efektívneho elektronického kurzu je kurz Manipulačná geometria autorov K. Žilková a O. Židek (2013) umiestnený v prostredí e-learningového servera s LMS Moodle. Kurz v širokej miere využíva a prezentuje najmä výhody, ktoré ponúkajú moderné technológie. 2. Testy Hľadanie spôsobov na skvalitnenie odbornej a didaktickej matematickej prípravy budúcich učiteľov elementaristov je permanentný proces. Ako konštatuje Ľ. Gerová 107

108 (2013), Súčasní študenti, ktorí prichádzajú na učiteľské štúdium v odbore PEP, nedosahujú v matematike úroveň svojich predchodcov, ktorí študovali v odbore Učiteľstvo pre 1. stupeň ZŠ. Zlepšenie súčasného stavu vyžaduje využitie rôznych postupov a nástrojov. Jednou z možností je posilnenie didaktických postupov, ktoré využívajú informačné technológie ako pedagogický nástroj. V podmienkach PF UMB v Banskej Bystrici nám určitý priestor pre experimentovanie v tomto smere poskytuje novovytvorený výberový seminár Edukačné digitálne technológie, ktorý je zaradený do zimného semestra v druhom ročníku bakalárskeho štúdia. Využívame ho aj ako prípravný seminár pre predmet Pracovné dielne z matematiky, ktorý poskytuje študentom možnosti pre projektovanie, výskum, organizačnú činnosť, prezentáciu vlastnej práce a reflexiu (Klenovčan, 2012). Hlavným cieľom seminára Edukačné digitálne technológie (obr. 1) je prieskum zvolenej platformy pre tvorbu elektronických testov a nástrojov, ktoré ponúka, iniciálny vývoj a overovanie nástrojov v zvolenej (softvérovej) platforme, návrh elektronického testu na zvolenú tému, prezentácia a hodnotenie vytvorených prototypov testov. Obr. 1: Časť úvodnej stránky kurzu Edukačné digitálne technológie Ako nástroj pre tvorbu testov sme zvolili program Hot Potatoes. Je to softvér, ktorý poskytuje dostatočný balík služieb pre interaktívnu výučbu. Jeho nástroje umožňujú využitie efektívnej spätnej väzby včítane vloženia doplnkových študijných materiálov rôzneho typu a prípadných odkazov na zvolené webové stránky. Úvodné (prípadne motivačné) poznámky a celkovú spätnú väzbu pre žiaka (študenta) môžeme použiť aj na popis a vysvetlenie širších vedomostných znalostí a súvislostí, prípadne aj na podporu medzipredmetových vzťahov. To umožňuje tvorbu testov, ktoré majú najmä vzdelávací účel a môžu slúžiť ako doplňujúci študijný materiál v rôznych fázach edukačného procesu. Elektronický test tohto typu preto nazývame edukačný test. 108

109 Dôvodom pre výber softvéru Hot Potatoes je aj jeho následné využitie v rámci ďalších didaktických predmetov a v rámci výskumnej práce študentov pri príprave kvalifikačných prác. Vo fáze návrhu elektronického testu na zvolenú tému sme kládli dôraz na vytvorenie jednoduchej otázky (otázok), doplnenie otázky úvodným (doplňujúcim, motivačným) textom, vytvorenie spätnej väzby ako pre správne, tak aj pre nesprávne odpovede (distraktory). Na obrázku 2 je ukážka jednej zo študentských úloh typu viac správnych odpovedí s ponukou spätnej väzby (riešenia úlohy). Obr. 2: Ukážka otázky typu viac správnych odpovedí s ponukou spätnej väzby Samozrejme, pri spracovaní daných tém sa prejavilo, že študenti ešte neabsolvovali predmety s didaktickým obsahom. Napriek tomu sa o riešenie v rámci spätnej väzby, aj keď bez náležitého didaktického spracovania pokúšali (obr. 3). Obr. 3: Ukážka riešenia úlohy v rámci spätnej väzby Komplexné splnenie zadanej úlohy vyžaduje od študentov zvládnutie celého komplexu čiastkových úloh, ktorých produktom je výsledný edukačný test. Spracovanie 109

110 edukačného testu predstavuje aj zvládnutie istého súboru činností, ktoré môžu, ako druhotný efekt, nepriamo posilniť odbornú stránku súvisiacu so zvolenou (pridelenou) témou, kompetencie v oblasti využívania informačno-komunikačných technológií, propedeutiku didaktickej prípravy. 3. Záver Celý proces tvorby edukačných testov až po záverečné spoločné hodnotenie predložených a prezentovaných seminárnych prác (testov) napĺňa určité rysy prístupu students as learning designers (Cameron, L., Tanti, M., 2011). Študenti ako dizajnéri (návrhári) štúdia majú väčšiu možnosť byť kreatívni a presadzovať svoje ciele. S meniacim sa stupňom riadenia činnosti a pomoci sú schopní robiť rozhodnutia tak o obsahu (čo učiť) ako aj v didaktickej oblasti (ako to učiť). Ďalším prínosom, ktorý prináša proces tvorby edukačných testov, môže byť v pedagogickej oblasti najmä synergia spolupráce, umožnenie prepojenia teórie s praktickými súvislosťami, umožnenie konštruktívneho učenia, umožnenie sofistikovanejších prístupov, umožnenie kontroly nad vlastným tempom a časom. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 010UMB-4/2011 Tvorba elektronických kurzov z matematiky pre žiakov základných škôl a prvých 4 ročníkov osemročných gymnázií. Literatúra 1. CAMERON, L. TANTI, M. Students as learning designers: Using social media to scaffold the experience. elearnig Papers. n. o 27, December ISSN Dostupné na: 2. GEROVÁ, Ľ. Pripravenosť študentov k štúdiu matematiky na vysokej škole. In: Matematika v primárnej škole rôzne cesty, rovnaké ciele. Prešov: Pedagogická fakulta PU, 2013 (zadané na posúdenie). 3. KLENOVČAN, P. Edukačné testy. In: Komplexnosť a integrita v predprimárnej a špeciálnej edukácii. Prešov: Vydavateľstvo Prešovskej univerzity, 2012, s ŽILKOVÁ, K. ŽIDEK, O. (2013). Manipulačná geometria: e-kurz. [online]. Bratislava: Univerzita Komenského, Dostupné na: https://moodle.uniba.sk/moodle/moodle12/course/category.php?id=9. ISBN Kontaktná adresa Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc. Pedagogická fakulta, Univerzita Mateja Bela Ružová 13, Banská Bystrica Telefón:

111 EDUKAČNÝ PROGRAM V MATEMATIKE NA 1. STUPNI ZÁKLADNEJ ŠKOLY Hedviga KOCHOVÁ Abstrakt Moderné informačno-komunikačné technológie ponúkajú učiteľom rôzne cesty sprístupňovania učiva žiakom. Jednou z úloh súčasného učiteľa je ich poznanie a efektívne využívanie v edukačnom procese. V odbornom príspevku sa venujeme edukačným programom, ktoré sú zamerané na výučbu matematiky na primárnom stupni základnej školy. Poukazuje na ich vzdelávací obsah a možnosti ich aplikácie v školskej praxi. Kľúčové slová: informačno-komunikačné technológie, edukačný program, matematika, EDUCATION PROGRAM FOR MATHEMATICS AT PRIMARY SCHOOL Abstract Modern information and communication technologies offer teachers different ways to introduce the curriculum to the students. The task is for the teacher to gain the knowledge of the information and communication technologies and use it effectively in the education process. The article draws education programmes for mathematics at primary school level. It shows the education content and the possibility of applying information and communication technologies into educational practice. Key words: information technologies, education software, mathematics 1. Matematika a informačno-komunikačné technológie Matematiku a informačno-komunikačné technológie (ďalej IKT) spája nielen spoločná oblasť v štátnom vzdelávacom programe ISCED, ale na 1. stupni základnej školy aj veľká obľúbenosť medzi žiakmi. Jeden z nosných predmetov primárneho vzdelávania (matematika) ponúka široké možnosti využívania moderných prostriedkov. Vybavenie škôl vo vzťahu k IKT sa stále zlepšuje, samozrejmosťou sa stávajú počítače, interaktívne tabule nielen v odborných učebniach, ale priamo v triedach. Zároveň sa zvyšuje digitálna gramotnosť učiteľov, a teda ich schopnosť efektívne využívať samotné vybavenie k zmene edukačného procesu. Pozitívna je aj široká ponuka edukačných programov pre predmet matematika. Dostatok vhodného softvéru a metodických materiálov pre učiteľov je dôležitou podmienkou ich čo najefektívnejšieho zavádzania do vzdelávania. Je len na učiteľovi ako dokáže tieto príležitosti využiť v prospech žiakov. V rámci dlhodobej prípravy učiteľa na predmet matematika je nielen študovanie metodických materiálov, učebníc, pracovných zošitov, listov, zostavovanie didaktických testov, ale v súčasnosti aj poznanie obsahu edukačných programov, ktoré môže na vyučovaní využívať. Pri tvorbe učebných osnov a tematických výchovnovzdelávacích plánov by v rámci stratégií mali zaradzovať edukačné programy nie náhodne (na zatraktívnenie vyučovania), ale premyslene a cielene. 111

112 Podľa prieskumu Vrábľovej Roháľovej L. (2011) sa najčastejšie používa edukačný software práve na hodinách matematiky a slovenského jazyka. 2. Edukačný program v matematike v primárnej škole Edukačné programy ponúkajú počítačové didaktické hry, ktoré slúžia na precvičovanie a opakovanie učiva. Didaktické hry by mali súvisieť s témou alebo problémom vyučovacej hodiny a mali by pomáhať pri plnení jej cieľov. Pri ich zaraďovaní do vyučovacej hodiny musí mať učiteľ na pamäti, aby boli primerané silám, schopnostiam a vedomostiam žiakov. Využívať ich môže pri frontálnej činnosti (napr. s využívaním interaktívnej tabule), skupinovo, individuálne. Forma práce a možnosti aplikácie súvisia samozrejme s podmienkami školy, triedy. Slovenský trh učiteľom, vychovávateľom, ale aj rodičom ponúka edukačné programy od rôznych firiem: Matematika pre ročník ZŠ, Matematika pre prvákov (pre 1. ročník ZŠ), Matematika pre prváčikov a druháčikov 2, Matematika logické úlohy a hádanky z geometrie, Alík veselá matematika, Ferdova matematika, Matematika na divokom západe, Méďa počíta. Dostupné sú aj freeware programy Sebran, Mathematics for children (program je v jednoduchej angličtine, pre žiakov na 1. stupni aplikovateľný). V nasledujúcej časti príspevku sa budeme venovať niektorým vybraným programom. Hodnotenie niektorých programov z pohľadu študentov učiteľstva na základe určených kritérií (grafické prostredie, komunikácia so žiakmi, motivácia, odbornosť, interaktivita, dostupnosť pre učiteľa, ovládanie, využiteľnosť v praxi a celkový dojem) publikovali Mokriš, M. Zeľová, V. (2009). TS Matematika logické úlohy a hádanky z geometrie je edukačný program vo verzii pre základné aj materské školy. Programom sú žiaci sprevádzaní zvieracími postavičkami (koza, slon, medveď, opica, zajac, kocúr). Každé zvieratko má pripravených osem úloh z oblasti geometrie (geometrické útvary) a logiky. Pokyny sú dávané slovne, pri nepochopení postavička papagája zopakuje zadanie. Za prednosť programu považujeme nielen skontrolovanie správnosti výsledku, ale v niektorých hrách aj presné vysvetlenie riešenia (Logické hádanky tety Kozy). Program prepája predmety matematika slovenský jazyk prírodoveda (hra Geometrické útvary opičky Paulínky). Obr. 1 Hra Logické hádanky tety Kozy Obr. 2 Geometrické útvary opičky Paulínky Psík Alík je hlavnou postavičkou programu Alík veselá matematika. Prostredie, v ktorom sa žiak nachádza je obchod s hračkami. Deväť rôznych hračiek za sebou skrýva deväť hier s rôznymi príkladmi. Po vyriešení každej úlohy v hre žiak získava 112

113 dukátiky do prasiatka pokladničky. Odmenou za získané dukátiky je nákup hračiek. Žiak počíta v obore do 10, 20 alebo 100, podľa vlastného výberu. Niektoré hry ponúkajú dostatok času na riešenie príkladov (Pexeso), niektoré sú aj časovo obmedzené (Medveď s bublifukom, Silák), žiak musí vyriešiť úlohy v čase, aby získal odmenu. Obr. 3 Hra Medveď s bublifukom - zoradenie čísel do číselného radu Obr. 4 Hra Pexeso hľadanie dvojíc príkladov a ich výsledkov Ferdova matematika. Žiaka sprevádza postavička mravca Ferda, ktorého poznajú z rozprávky. Program existuje v dvoch úrovniach Ferdova matematika 1. trieda, Ferdova matematika 2. trieda. Súčasťou programu je aj film teda rozprávka o Ferdovi mravcovi. V prvej triede sa pracuje v obore do 10, resp. 20. Porovnávajú sa čísla, číslice, žiaci sčítavajú, odčítavajú (bez prechodu cez 10, s prechodom cez 10/ s rozkladom čísel alebo bez rozkladu čísel). V úlohách z geometrie poznávajú a určujú rovinné geometrické útvary (obdĺžnik, štvorec, trojuholník, kruh). V úrovni pre 2. triedu je nielen rozšírený obor do 100 pre sčítanie a odčítanie, v geometrii poznávame a určujeme priestorové útvary (valec, kužeľ, kocka, kváder, guľa), ale zároveň pribudlo násobenie a delenie, prevod dĺžkových mier a poznávanie hodín. Obr. 5 Ferdova matematika 1. Trieda Obr. 6 Ferdova matematika 2. trieda Edukačný program Matematika na divokom západe je určený na precvičovanie učiva nielen na prvom stupni základnej školy, ale aj pre žiakov vyšších ročníkov. Podľa rozsahu svojich vedomostí si žiak vyberá náročnosť jednotlivých úloh. Programom ho sprevádza Králik Inčučena, ktorý nielen pomáha, ale aj vykonáva kontrolu výpočtov. Vo westernovom mestečku si žiak stáva účastníkom boja o totem a zároveň zakopanie vojnovej sekery. Vyberá si miesto počítania (15 možností Saloon, Bank, General 113

114 Store, School..), v každom rieši dvadsať príkladov. Za každú splnenú úlohu získava časť totemu a po pozbieraní všetkých častí nastáva mier medzi bledými tvárami a Indiánmi. Tento program je pre žiakov atraktívny svojím prostredím, ktoré nie je pre Slovensko typické a podľa našich skúseností pútavé. Na riešenie jednotlivých úloh môže žiak využívať pamäťové počítanie, resp. písomne riešiť príklady a výsledky zadávať do počítača, pri náročnejších využívať kalkulačku. Žiaci počítajú príklady na matematické operácie, porovnávanie, usporiadavanie, premenu jednotiek. Obr. 7 Základná ponuka náročnosti úloh Obr. 8 Westernové mestečko Freeware program pre využitie v matematike je Sebran. Výučbový program nielen pre edukáciu v primárnej škole, ale aj v predprimárnom vzdelávaní. Z ponúkaných dvanástich hier je päť využiteľných v matematike. V hrách sčítanie, odčítanie a násobenie si žiak môže vybrať úroveň ľahká/ťažká. Pri hrách má žiak potrebný čas na zvládnutie úlohy, v prípade chyby ju musí odstrániť, inak mu nebude ponúknutý ďalší príklad. Hra Dážď sleduje nielen správnosť výsledku, ale aj čas, za ktorý je príklad vypočítaný. Rýchlosť striedania jednotlivých príkladov si môže učiteľ alebo žiak nastaviť v hlavnej ponuke. Program bude zobrazovať príklady pokiaľ sa žiak nerozhodne ukončiť prácu kliknutím na tlačidlo Koniec. Obr. 9 Hlavná ponuka programu Sebran Obr. 10 Násobenie v úrovni Ľahké 114

115 Tabuľka 1 Porovnanie obsahu vybraných edukačných programov Matematika Alík Ferdova Matematika Sebran logické veselá matematika na divokom hádanky a matematika západe geometria Číselný obor do 20 x x x x Číselný obor do x x x x 100 Číselný obor do 10 x 000 Sčítanie x x x x Odčítanie x x x x Násobenie x x x x Delenie x x x Počet x Číselný rad x x Porovnávanie x x x Geometria x x Premena jednotiek x x Poznávanie hodín Logika Vhodné využívanie edukačného programu v edukácii primárnej školy nielen obohacuje a zatraktívňuje vyučovací predmet, ale poukazuje na profesionalitu práce učiteľa. Literatúra x x 1. MOKRIŠ, M. ZEĽOVÁ, V. Matematické výučbové programy z pohľadu študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky. In: Príprava učiteľov v procese školských reforiem [elektronický zdroj]: zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou, Prešov, september Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, s VRABĽOVÁ ROHAĽOVÁ, L. Využitie edukačného softvéru na 1. stupni základnej školy. In: Nové technologie ve vzdělávaní. Vzdělávací software a interaktivní tabule. Olomouc: UP, 2011, s Dostupné na internete: Kontaktná adresa Mgr. Hedviga Kochová, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta Prešov, Ul. 17. Novembra 15 Telefón:

116 MERANIE FYZIKÁLNYCH VELIČÍN V PRIMÁRNOM VZDELÁVANÍ Janka KOPÁČOVÁ Abstrakt Dieťa sa od malička stretáva s názvami niektorých fyzikálnych veličín čas, teplota, a názvy niektorých jednotiek kilogram, liter sú nedeliteľnou súčasťou každodenného života. Systematicky je žiak s touto problematikou oboznámený až v rámci primárneho vzdelávania. V našom školskom systéme je táto problematika zaradená do dvoch predmetov matematiky a prírodovedy. Reforma školstva priniesla drastický úbytok vyučovacieho času pre tieto predmety bez výraznej redukcie obsahu. Jednou z možností zefektívnenia vyučovania je integrácia obsahu a práve oblasť merania je na to vhodná. V príspevku sa zameriame na viaceré možné prístupy k tejto problematike. Kľúčové slová: fyzikálne jednotky, meranie dĺžky, meranie času, integrácia prírodovedy a matematiky MEASURING UNITS OF PHYSICS IN PRIMARY EDUCATION Abstract The child comes into contact with some of the constants in physics (i.e. time, temperature) and measuring units (i.e. kilogram, liter) at an early age and they soon become part of its everyday life. The pupil, however, is not taught of these variables systematically and in greater context until the mathematics and science lessons of our primary education. The education reform brought about a drastic decrease in teaching time allotted to these two subjects without decreasing also the amount of content to match. In trying to compensate, one of the options is to combine both subjects into an integrated one. The area of measurement seems to be a suitable candidate for this. The article focuses on several possible approaches to this issue. Key words: measuring units, science primary education, mathematic primary education 1. Úvod Málokto si uvedomuje, že meranie fyzikálnych veličín nás sprevádza po celý deň. Od rána sa pozeráme na hodinky, zaujíma nás teplota vzduchu vonku, na prípravu ranného nápoja použijeme určité množstvo kávy, čaju, mlieka, na zubnú kefku si vytlačíme množstvo pasty určitej dĺžky, dávkujeme šampóny, pracie prášky, čistiace prostriedky,... Niečo meriame veľmi presne čas, iné veličiny často odmeriavame približne odmerkami alebo odhadom, ale vždy sa jedná o meranie. Aj pri nákupe sa stretávame s odmeranými množstvami 1 kg cukru, múky, soli, 1 l sirupu, oleja, octu,... Nerodíme sa so schopnosťou merať, musíme sa to naučiť. V určitých situáciách je veľmi dôležité vedieť merať presne, napr. telesnú teplotu. Aj keď sa dieťa s názvami 116

117 veličín a jednotiek stretáva od malička pri bežnej komunikácií a v materskej škole sa učí porovnávať a odhadovať dĺžky, objemy a hmotnosti, až v rámci primárneho vzdelávania sa začína tejto problematike venovať systematická pozornosť na dvoch vyučovacích predmetoch matematike a prírodovede. 2. Meranie v matematike a prírodovede Učivo o fyzikálnych veličinách a jednotkách je v zahraničí v rámci primárneho vzdelávania zaraďované väčšinou do učiva matematiky, skôr výnimočne aj do prírodovedy (science, Naturkunde). U nás sa žiaci na matematike učia poznávať hodiny a meranie dĺžky obsahom geometrického učiva, ostané veličiny a jednotky, aj jednotky času, sa žiaci učia v rámci prírodovedy. Obsah aj ciele vzdelávania na primárnom stupni od roku 2008 v našich školách stanovuje Štátny vzdelávací program pre 1. stupeň základnej školy, ktorý je rozčlenený do viacerých vzdelávacích oblastí. Matematika, ako vyučovací predmet, patrí do vzdelávacej oblasti Matematika a práca s informáciami. Matematické vzdelávanie je založené na realistickom prístupe k získavaniu nových vedomostí a na využívaní manuálnych a intelektových činností pre rozvíjanie širokej škály žiackych schopností. Na rovnakom princípe sa pristupuje k aplikácii nových matematických vedomostí v reálnych situáciách. (Bálint a kol., 2009, s. 2) Cieľom vzdelávania je dosiahnuť určitú úroveň matematickej gramotnosti, žiaci si majú osvojiť poznatky, ktoré budú využívať aj pri ďalšom vzdelávaní aj na riešenie každodenných výziev. Obsah matematického vzdelávania je rozčlenený na päť tematických okruhov. Ak sa zameriame na problematiku merania, budú nás zaujímať dva okruhy. Meranie dĺžky úsečky nájdeme ako odporúčané učivo v 2. ročníku ZŠ. V tematickom okruhu Geometria a meranie budú žiaci vytvárať priestorové geometrické útvary podľa určitých pravidiel a zoznamovať sa s najznámejšími rovinnými útvarmi ako aj s ich rysovaním. Objasňovať sa im budú základné vlastnosti geometrických útvarov. Budú sa učiť porovnávať, odhadovať a merať dĺžku, zoznamovať sa jednotlivými dĺžkovými mierami a riešiť primerané metrické úlohy z bežnej reality. (Bálint a kol., 2009, s. 2) Aj keď meranie ostatných fyzikálnych veličín spadá do obsahu prírodovedy, pracovanie nameraných hodnôt skôr spadá do matematiky: V tematickom okruhu Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy majú žiaci v realite objavovať kvantitatívne a priestorové vzťahy a určité typy ich systematických zmien. Zoznamovať sa s veličinami a ich prvotnou reprezentáciou vo forme tabuliek, grafov a diagramov a v jednoduchých prípadoch tieto aj graficky znázorňovať. (Bálint a kol., 2009, s. 2) Prírodoveda je integrovaný prírodovedný predmet, ktorý patrí do vzdelávacej oblasti Príroda a spoločnosť. Obsah prírodovedy je veľmi bohatý a rozmanitý, ako príroda, ale časová dotácia zarážajúca nízka (0,5-0, ). Hlavným cieľom predmetu je rozvíjať poznanie dieťaťa v oblasti spoznávania prírodného prostredia a javov s ním súvisiacich tak, aby bolo samostatne schopné orientovať sa v informáciách a vedieť ich spracovávať objektívne do takej miery, do akej mu to povoľuje jeho kognitívna úroveň. (Žoldošová, 2011, s. 2) Žiak sa má naučiť poznávať prírodu, pozorovať zmeny v nej prebiehajúce, chápať vzájomnú závislosť jednotlivých zložiek prírody, ale má sa naučiť aj opisovať, porovnávať a klasifikovať informácie získané pozorovaním a experimentovaním. Meranie času je odporúčaním učivom pre 1. až 2. ročník ZŠ, meranie objemu a hmotnosti pre ročník ZŠ, meranie teploty pre 3. ročník ZŠ (aj keď 117

118 s meraním telesnej teploty sa žiaci v rámci zdravovedy stretávajú skôr) a meranie sily je ponechané na 4. ročník ZŠ. (Žoldošová, 2011) Keď žiak opúšťa 1. stupeň základnej školy, mal by vedieť odmerať šesť veličín čas, dĺžku, hmotnosť, objem, teplotu a silu. Väčšina zahraničných projektov sa tiež sústreďuje na tieto veličiny, len niektoré ponechávajú meranie sily na neskôr. 3. Didaktické prístupy zavádzania fyzikálnych jednotiek Úlohou učiteľa je naučiť žiakov v priebehu 4 rokov merať 6 fyzikálnych veličín a vytvoriť predpoklady na ďalšie rozširovanie poznatkov z tejto oblasti. Treba si uvedomiť, že meranie objemu prebieha v litroch a mililitroch, ale neskôr sa v rámci merania objemu telies žiaci na matematike oboznámia aj s kubickými metrami a vzájomným vzťahom týchto jednotiek, na fyzike sa žiaci oboznamujú aj so zloženými jednotkami, napr. kg/m 3, g/cm 3, preto je dôležité, aby pochopili, čo je princípom merania. Spracovanie učiva o fyzikálnych veličinách a jednotkách je u nás aj v zahraničí v rôznych učebniciach rôzne. Konkrétne ukážky budú predmetom prezentácie. Spôsob spracovania učiva je závislý od celkovej koncepcie a filozofie projektu. Stretávame sa s tromi odlišnými spôsobmi pragmatickým, scientistickým a integrovaným (epistemologickým). (Podroužek, 2003) 3.1 Pragmatický prístup Pragmatický prístup kladie dôraz na skúsenosť žiaka, na využiteľnosť poznatku v praxi. Vychádza z predpokladu, že využiteľnosť poznatku je silnou motiváciou pre žiaka. Nevýhodou je problematické zaraďovanie praktických, epizodických poznatkov do systému a štruktúry vedeckého poznávania. (Podroužek, 2003) V učebniciach je pomerne často využívaný, lebo jeho výhodou je pomerne malá náročnosť na priestor a čas. Viac-menej je to konkrétny a jasný návod ako merať danú veličinu, včítane všetkých informácií o meradle. To však nevytvára predpoklady pre pochopenie princípu merania, ani možnosť aplikácie získaných poznatkov a skúseností na meranie ďalších veličín. Samozrejme, bez ohľadu ne spracovanie v učebnici, učiteľ má možnosť vybrať si najvhodnejší prístup podľa svojho uváženia. 3.2 Scientistický prístup Typickým znakom scientistického prístupu je jednotný postup pri zavádzaní všetkých jednotiek. Dôraz sa kladie na fyzikálne poznatky a postupy, žiaci robia pokusy, opisujú postupy, pomôcky a presne formulujú závery. (Podroužek, 2003) Metodika zavádzania fyzikálnej jednotky je založená na vlastnom objave žiaka a prebieha v niekoľkých krokoch: kvalitatívna stránka veličiny priblíženie pojmu objem, hmotnosť,... porovnávanie žiaci zisťujú rovnosť a nerovnosť objemov,... voľba vlastnej jednotky príroda nám nevnucuje jednotky, volíme si ich, napr. objem meriame na lyžičky,... zhotovenie vlastného meradla na rýchlejšie meranie si zhotovíme pomocou vlastnej jednotky meradlo, napr. ociachujeme fľašu, precvičíme meranie, prípadne aditívnosť jednotky jednotky vyjadrujúce množstvo sú aditívne, stavové veličiny (teplota) nie sú, 118

119 zavedenie medzinárodnej jednotky, oboznámenie s meradlami, meranie veličiny v praxi. (Kopáčová, Kubovičová, 2002) Scientistický prístup bol u nás v minulosti preferovaný v učebniciach prírodovedy, aj pri meraní dĺžky v učebniciach matematiky. Opísaný postup je veľmi vhodný pri zavádzaní jednotiek dĺžky, objemu a hmotnosti. Manipulácia s vlastnou jednotkou je jednoduchá, zodpovedá aj nášmu počínaniu v bežnom živote (objem meriame na lyžičky, hrste, vzdialenosti krokujeme,...) a čiastočne kopíruje vznik týchto jednotiek v histórii. Pri takomto zavádzaní jednotky si žiak utvorí presnú predstavu nielen o tom, čo je napr. dĺžka, ale aj o veľkosti jednotky a pochopí, čo to znamená dĺžku merať. Takto získané poznatky si pamätá a vie ich používať. Na druhej strane, nie vždy je táto metodika najvhodnejšia, napr. meranie času pomocou dĺžky kmitu kyvadla, už nie je také presvedčivé ani prirodzené. Nevýhodnou sa jednotná metodika stáva aj vtedy, keď preberáme všetky jednotky v jednom tematickom celkom, teda krátko po sebe. Žiaci strácajú motiváciu a pre učiteľa je náročné zabezpečovanie pomôcok. Nevýhodou je aj časová náročnosť. Aby sme celý postup dokázali so žiakmi zrealizovať, bolo na meranie objemu vyčlenených 8 vyučovacích hodín, čo je pri súčasnej časovej dotácií nemožné. Ak celému postupu nevenujeme dostatok času, niektoré kroky vynecháme, žiaci si začnú jednotky navzájom zamieňať. 3.3 Integrovaný prístup V integrovanom prístupe sa učivo o jednotkách snažíme prevádzať do referenčných rámcov, stáva sa jadrom integrácie. Žiaci sa dozvedia množstvo poznatkov aj z iných oblastí prírodných aj spoločenských vied vzájomne integrovaných. Poznávajú v širšom kontexte potrebné vzťahy a súvislosti. (Podroužek, 2003) Veľmi často sa na motiváciu využívajú historické jednotky a meradlá, čo poskytuje možnosť oboznámiť sa aj so spôsobom života našich predkov, porovnať ho so súčasnosťou a vyvodiť potrebu medzinárodných jednotiek. Tento prístup je pre žiakov veľmi zaujímavý napr. pri zavádzaní jednotiek času. Historické hodiny a rôzne spôsoby merania času sú výborným námetom na vypracovávanie projektov, pričom si žiaci rozšíria poznatky aj z vlastivedy, matematiky, a pri návrhu a konštrukcii historických hodín, aj z technickej výchovy. Tento prístup je pre žiakov 1. stupňa ZŠ veľmi vhodný, vyhovuje ich spôsobu myslenia, poskytuje komplexné poznatky v súvislostiach, čo je pre žiakov prirodzenejšie. Pre učiteľa je náročný na prípravu a správne didaktické vedenie, lebo len tak žiaci problematiku pochopia, zapamätajú si a dokážu rozlíšiť podstatné. Odporcovia poukazujú na to, že poznatky nie sú systematické, ale to na 1. stupni ZŠ nie je cieľom, zosystematizovať si ich majú žiaci čas neskôr na jednotlivých prírodovedných predmetoch fyzike, chémii, biológií. Nevýhodou je jeho časová náročnosť, čo sa v rámci integrácie dá úspešne vyriešiť, a skutočnosť, že v našej učebnici by sme ho z priestorových dôvodov ťažko hľadali. 4. Integrácia matematiky a prírodovedy Vzájomné prepojenie oboch predmetov je pri učive o fyzikálnych jednotkách veľmi prirodzené a potrebné. Fyzikálne jednotky zavádzame na prírodovede, ale viac sa s nimi žiaci stretávajú na hodinách matematiky, dokonca niekedy skôr ako sa ich naučili merať. Veľmi obľúbené sú úlohy na premenu jednotiek, často sa jednotky vyskytujú v slovných úlohách obľúbená je problematika nákupu. Do učiva matematiky patria aj 119

120 iné číselné sústavy, dobrým príkladom ich užitočnosti sú jednotky času. (Partová, 2002) Práve prepočítavanie minút a hodín pomôže žiakom uvedomiť si rozdiely. Hodnoty namerané na prírodovede sa dajú ďalej spracovať na matematike a využiť ako príklad závislosti, vytvoriť z nich tabuľku, nakresliť graf alebo ich štatisticky spracovať. Praktické využitie a integráciu poznatkov môžeme dosiahnuť prácou na projektoch. Na zopakovanie všetkých naučených jednotiek je vhodný projekt napr. merania spotreby vody v rodine alebo samotného žiaka v priebehu dňa, alebo úloha zistiť o vlastnom tele čo najviac údajov výška, hmotnosť, ale aj rozpätie rúk, obvod päste a hlavy, objem päste (naberieme drobný štrk tak, aby nám už nepadal a potom odmeriame jeho objem), sila stisku, Z nameraných hodnôt si žiaci môžu vytvoriť preukaz o sebe, porovnávať ich navzájom, určovať priemer, Oboznámili sme sa s viacerými prístupmi, ktoré sa navzájom líšia. Každý prístup má svoje klady aj zápory, majstrovstvo učiteľa je vybrať ten najvhodnejší. Môže ich vhodne kombinovať v závislosti na zavádzanej jednotke, ale aj schopnostiach svojich žiakov a možnostiam, ktoré mu vytvára škola aj širšie okolie. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu VEGA 1/0534/11 Špecifické matematické poznatky učiteľov matematiky pre primárne a nižšie sekundárne vzdelávanie. Literatúra 1. BÁLINT, Ľ. a kol.: Matematika. ŠVP príloha ISCED 1. Bratislava : ŠPÚ, Dostupné na internete: atika_isced1.pdf 2. KOPÁČOVÁ, J. KUBOVIČOVÁ, M.: Prírodoveda pre 3. ročník ZŠ, metodické poznámky. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2002, 104 s. 3. PARTOVÁ, E.: Prirodzené čísla. Bratislava: ASCO Art&Science, 2002, 74 s. 4. PODROUŽEK, L.: Úvod do didaktiky prvouky a přírodovědy. Pelhřimov : Aleš Čeněk, 2003, 247 s. 5. Štátny vzdelávací program pre 1. stupeň základných škôl ISCED 1. Bratislava : ŠPU, Dostupné na internete: 6. ŽOLDOŠOVÁ, K.: Prírodoveda. ŠVP príloha ISCED 1. Bratislava: ŠPÚ, Dostupné na internete: oveda_isced1.pdf Kontaktná adresa RNDr. Janka Kopáčová, CSc. KU v Ružomberku, Pedagogická fakulta, KPEP Hrabovská cesta 1, RUŽOMBEROK Telefón: /kl

121 O KONIECZNOŚCI I MOŻLIWOŚCIACH WSPIERANIA ROZWOJU DZIECI MATEMATYCZNIE UZDOLNIONYCH Maria KORCZ Abstrakt Pojawiające się coraz to nowe i skomplikowane wyzwania cywilizacyjne powodują, że maksymalne wykorzystanie potencjału tkwiącego w każdym człowieku, w szczególności potencjału intelektualnego osób wybitnie uzdolnionych staje się nakazem chwili. W artykule opisane jest pokrótce integralne podejście do problematyki twórczości opierające się na modelu kompetencji przyszłości KK Urbana - Odpowiedzialna Kreatoligencja. Znajdują się tu również uwagi dotyczące obecności problematyki kształcenia uczniów zdolnych w oficjalnych dokumentach polskiego Ministerstwa Edukacji oraz pewne wnioski z badań przeprowadzonych w szkole. Najwięcej miejsca poświęcono diagnozowaniu matematycznych uzdolnień u dzieci i możliwościom rozwijania tych uzdolnień. Słowa kluczowe: Kreatoligencja,dzieci matematycznie uzdolnione, diagnozowanie matematycznych uzdolnień u dzieci. ABOUT THE NECESSITY AND POSSIBLITIES OF SUPPORTING THE DEVELOPMENT OF MATHEMATICALLY TALENTED CHILDREN Abstract Brand new and complicated civilization challenges cause that the maximum use of the potential of each human being, particularly the intellectual potential of outstandingly talented people is currently becoming an urgent necessity. In the article there is a brief description of the integral approach to the problem of creativity based on K.K. Urban s Future Competency Model Responsible Createlligence. The article also includes some remarks concerning the problems of teaching talented children discussed in the official documents of the Ministry of National Education in Poland and some conclusions drawn from the research done at school. The largest part of the article is devoted to diagnosing children s talents and the possibilities of their development. Key words: Createlligence, mathematically talented children, diagnosing mathematical talents of children 1. O teoretycznych założeniach badań twórczości modele twórczości Problematyka dotycząca uzdolnień i twórczości była od dawna przedmiotem badań wielu naukowców. Z biegiem lat pojęcia te ewaluowały i były rozpatrywane w coraz szerszych kontekstach. Twórczość nie jest bowiem pojedynczą, jednolitą cechą czy dyspozycją, lecz skomplikowanym procesem obejmującym komponenty osobowościowe i poznawcze. W chwili obecnej badania twórczości zostały zintensyfikowane bowiem nowe wyzwania cywilizacyjne powodują, że nakazem chwili staje się maksymalne wykorzystanie potencjału tkwiącego w każdym człowieku, w 121

122 szczególności potencjału intelektualnego osób wybitnie uzdolnionych. W badaniach tych wykorzystuje się różnego rodzaju modele zdolności i twórczości. (Jakkolwiek nie są to pojęcia tożsame, są jednak nierozerwalnie ze sobą związane, tak więc w każdym z modeli, niezależnie od nazwy nadanej przez autora, występują komponenty dotyczące zarówno zdolności jak i twórczości.) Często przywoływanym w różnych publikacjach jest trójpierścieniowy model zdolności Renzulliego [2]. Według Renzulliego uzdolnienie jest wypadkową trzech zachodzących na siebie cech: wybitnych ogólnych zdolności; twórczości w dziedzinie, w której dana osoba ma duże osiągnięcia; zaangażowania i silnej motywacji do doskonalenia umiejętności w danej dziedzinie. Żadna z tych cech, nawet w wysokim natężeniu, nie decyduje o uzdolnieniu. Koniecznym i niezbędnym warunkiem twórczych osiągnięć jest interakcja pomiędzy tymi trzema zespołami cech oraz określone środowisko czy domena twórczości. Innym przykładem jest komponentowy model twórczości K.K Urbana [3]. Zawiera on zarówno składniki poznawcze, jak i osobowościowe. Komponenty reprezentujące składniki poznawcze to: myślenie i działanie dywergencyjne, wiedza ogólna i baza myślenia, specyficzna wiedza i specyficzne umiejętności. Pozostałe trzy komponenty reprezentują składniki osobowościowe. Są to: koncentracja i zaangażowanie w zadanie, motywacja otwartość i tolerancja. W szczególności na modelu tym można prezentować dynamikę składników twórczych u małych dzieci. Bardzo rozbudowanym, wielopiętrowym modelem jest model kompetencji przyszłości K.K. Urbana: Odpowiedzialna Kreatoligencja (Responsible Createlligence) [3]. Autor umieszcza wspomniany wcześniej sześciokomponentowy model w szerszej strukturze, która pozwala nie tylko na analizę edukacji twórczej, ale może być pomocna w planowaniu programów nauczania dla uczniów zdolnych. Może służyć także przy tworzeniu programów uwzględniających współczesne wyzwania i zadania dla przyszłość. Autor widzi potrzebę wzmocnienia sześciu wcześniej wymienionych komponentów osiemnastoma kolejnymi, rozłożonymi na 3 poziomach. Pierwszy poziom nazwać można Planowanie i myślenie strategiczne. Połączenie oraz wymianę tego i wcześniej opisanego poziomu nazywa Autor Kreatoligencją. Zauważa jednak, że do ewolucji kulturowej o charakterze pozytywnym konieczna jest nie sama kreatoligrncja, która mogłaby doprowadzić do negatywnych i destruktywnych wyników, lecz odpowiedzialna kreatoligencja. Należy więc uzupełnić model jeszcze dwoma poziomami jednym, obejmującym zdolności jednostki oraz społecznie przyjęte wartości i drugim obejmującym przekonania, postawy i wartości, które odzwierciedlają pozytywne rezultaty oraz cele ewolucyjnego, historycznego oraz kulturowego rozwoju ludzkości. Edukacja w kierunku Odpowiedzialnej Kreatoligencji stanowi klucz do kompetencji przyszłości. Jest ona ogromnym wyzwaniem dla nauczycieli i rodziców, dla twórców programów nauczania, ale także dla administracji szkoły, polityki, nie 122

123 tylko oświatowe,j, gospodarki, przemysłu i technologii, kultury i społeczeństwa i ostatecznie dla społeczeństw globalnych. 2. O wynikach pewnych badań W przedstawionym powyżej modelu kompetencji przyszłości istotną pozycję zajmują wartości. W ostatnich latach, badania dotyczące wartości we współczesnej polskiej szkole przeprowadziła M. Bereźnicka [1]. Autorka wyróżniła 5 grup wartości: wartości poznawczo-intelektualne, wartości moralno-społeczne, wartości twórcze, wartości estetyczne i wartości zdrowotne i ekologiczne. Zwłaszcza komponenty z grupy wartości poznawczo-intelektualnych oraz z grupy wartości twórczych wiążą się bezpośrednio ze zdolnościami i twórczością. Autorka przeprowadziła ankiety wśród nauczycieli i uczniów gimnazjum dotyczące, miedzy innymi, znaczenia nadawanego wartościom kształcenia w praktyce edukacyjnej. Okazało się, że różnica między średnimi ocen uczniów i nauczycieli dotyczących wagi przywiązywanej do poszczególnych grup wartości jest statystycznie istotna w odniesieniu do wszystkich grup. ( oceny nauczycieli były wyższe niż oceny uczniów). Podobne rozbieżności wystąpiły przy ocenianiu realizacji wartości kształcenia w praktyce szkolnej. Różnice te stanowią sygnał, że uczniowie inaczej spostrzegają praktykę szkolną niż nauczyciele. Powinno to stanowić bodziec do zweryfikowania zarówno nauczycielskich postaw jak i jakości kształcenia. 3. Problem rozwijania uzdolnień i wspierania twórczości w dokumentach MEN Świadomość wyzwań stojących przed współczesną szkołą staje się coraz wyraźniejsza zarówno wśród decydentów różnych szczebli systemu oświaty w Polsce, jak i nauczycieli. Świadczą o tym, miedzy innymi, zapisy w rozporządzeniu z 2010 roku Ministra Edukacji Narodowej [4]. Nakłada ono na wszystkich nauczycieli obowiązek rozpoznawania i zaspokajania indywidualnych potrzeb rozwojowych i edukacyjnych ucznia oraz rozpoznawania jego indywidualnych możliwości psychofizycznych, wynikających także ze szczególnych uzdolnień. Tym samym rozszerzony została interpretacja określenia uczniowie ze specjalnymi potrzebami edukacyjnymi, które dotychczas oznaczało uczniów z zaburzeniami i odchyleniami rozwojowymi, lub mających specyficzne trudności w uczeniu się. Nauczyciele mają również za zadanie zaplanowanie wsparcia służącego rozwijaniu zainteresowań i zdolności uczniów. Obowiązki te spoczywają zarówno na poszczególnym nauczycielu, jak i powoływanym przez dyrektora zespole, w skład którego wchodzą wychowawcy i specjaliści. Wśród zalecanych form pomocy psychologiczno-pedagogicznej znalazły się zajęcia rozwijające uzdolnienia, przeznaczone dla uczniów szczególnie uzdolnionych, które należy prowadzić przy wykorzystaniu metod aktywnych. Dzięki temu i kilku innym rozporządzeniom podpisanym w 2010 roku poprawiły się znacznie legislacyjne podstawy pracy z uczniem zdolnym. Po to jednak, by zapisy te w pełni wcielane były w życie potrzebne są zmiany w programach studiów kształcących nauczycieli, które obecnie niemal wcale nie uwzględniają problematyki pracy z uczniem zdolnym i potrzebna jest szeroka oferta rożnego rodzaju szkoleń dla nauczycieli. 4. O sposobie diagnozowania matematycznych uzdolnień dzieci W chwili obecnej najistotniejsze, z punktu widzenia praktyki szkolnej, jest opracowanie sposobów diagnozowania uzdolnień matematycznych i wypracowanie 123

124 skutecznych metod wspierania rozwoju tych uzdolnień. W obu tych zakresach istnieje już pewien dorobek uwzględniający potrzeby starszych uczniów. Natomiast w odniesieniu do przedszkolaków i małych uczniów mamy do czynienia z poważnymi deficytami zarówno, jeśli chodzi o diagnozowanie uzdolnień matematycznych jak i o sposoby wspierania ich rozwoju. Być może jest to efektem powszechnego przekonania, że uzdolnienia matematyczne są rzadkie i możliwe do zaobserwowania dopiero u starszych uczniów, gdy posługują się zaawansowaną wiedzą i umiejętnościami matematycznymi. Lukę tę w istotnej mierze wypełniają badania Edyty Gruszczyk-Kolczyńskiej opisane w książce O dzieciach matematycznie uzdolnionych [2]. Znaleźć w niej można wiele informacji niezbędnych dla nauczycieli nauczania przedszkolnego i wczesnoszkolnego oraz dla rodziców chcących zadbać o rozwój uzdolnień matematycznych swoich dzieci. Ze względu na szczupłość miejsca przytaczam tu tylko niektóre ustalenia Autorki. Stwierdza ona, między innymi, że model uzdolnień matematycznych W.A. Krutieckiego, w odniesieniu do cech osobowości wspomagających rozwijanie uzdolnień matematycznych, odnosi się nie tylko do starszych uczniów ale również do małych uczniów, a nawet starszych przedszkolaków. Na podstawie analizy tego, czego dzieci uczą się w domu, w przedszkolu i w szkole Autorka wytyczyła 13 obszarów działalności matematycznej, w których dzieci mogły wykazać się tym, co wiedzą i co potrafią. Są to: orientacja przestrzenna, klasyfikacja, liczenie, dodawanie i odejmowanie, wartość pieniędzy, kupno i sprzedaż, mierzenie długości, mierzenie płynów, waga i ważenie, pomiar czasu, intuicje geometryczne, równości i nierówności, zadania okienkowe oraz zadania z treścią celowo źle skonstruowane. Do wszystkich tych obszarów opracowała zadania diagnostyczne ułożone według wzrastającej trudności, ale na miarę możliwości umysłowych i edukacyjnych badanych dzieci. Kierując się wynikami obserwacji ustaliła 5 następujących poziomów zachowań dzieci w sytuacji, gdy przedstawiano im zadania diagnostyczne: Dziecko odmawia zajmowania się zadaniami; już nie odmawia udziału, ale funkcjonuje na zasadzie towarzyszenia badającemu (np. podaje klocki); wykonuje zadania, wymaga jednak prowadzenia krok po kroku; proste zadania realizuje samodzielnie, w trudniejszych korzysta z pomocy. Próbuje układać analogiczne zadania dla badającego. Nie potrafi dostrzec celowo popełnianych pomyłek. Nawet jeśli dostrzeże absurdy bardzo trudno mu je wyjaśnić; łatwo rozwiązuje zadania diagnostyczne, chętnie układa zadania analogiczne dla badającego. Dostrzega błędy i potrafi wyjaśnić na czym polegają. Kryterium zarysowywania się uzdolnień matematycznych było wykazywanie się przez dziecko wysokimi kompetencjami (z najwyższych poziomów) w chociaż jednym z 13 zakresów działalności matematycznej. Opierając się na wynikach przeprowadzonych badań Autorka stwierdza, że Zarysowujące się uzdolnienia matematyczne dostrzec można już u dzieci w 4 roku życia. Uzdolnienia te wyraźnie zarysowują się w 5 roku życia dziecka. Co piąty pięciolatek manifestuje wybitne uzdolnienia matematyczne. Optymalny czas na ujawniania się uzdolnień matematycznych to 6 rok życia dziecka. 124

125 Siedmiolatki zdecydowanie rzadziej manifestują swoje uzdolnienia matematyczne. Przed rozpoczęciem nauki w szkole co czwarte dziecko wykazywało się wybitnymi uzdolnieniami, a po kilku miesiącach nauki w szkole tylko co ósme dziecko! To zaskakujące zjawisko tłumaczone jest przez Autorkę jako efekt intensywnej socjalizacji, która niepotrzebnie rozciąga się na funkcjonowanie intelektualne skłaniając do przeciętności. W grupach starszych przedszkolaków i małych uczniów liczby dziewczynek i chłopców wykazujących uzdolnienia matematyczne są porównywalne. Problemom wspierania w rozwoju od najmłodszych lat dzieci uzdolnionych matematycznie poświecone są ostatnie trzy rozdziały wspomnianej książki [2]. Ze względu na szczupłość miejsca nie sposób omówić ich choćby w największym skrócie. Ograniczę się więc do podania tytułów tych rozdziałów : Ważniejsze reguły wspierania w rozwoju i edukacji dzieci uzdolnionych matematycznie, Kształtowanie dziecięcych wiadomości i umiejętności w ważniejszych zakresach działalności matematycznej oraz rozwijanie uzdolnień do nauki matematyki oraz Początek bezpiecznego przeprowadzania uczniów przez drugi okres krytyczny rozwijania uzdolnień matematycznych. Podsumowując można stwierdzić, że diagnozowanie i wspieranie rozwoju uzdolnień, w szczególności uzdolnień matematycznych, stanowi poważne wyzwanie dla współczesnego systemu nauczania. Działania te można i należy rozpoczynać znacznie wcześniej niż sądzono dotychczas, gdyż już u starszych przedszkolaków dostrzec można pojawiające się uzdolnienia matematyczne. Literatura: 1. BEREŹNICKA, M. Wartości kształcenia we współczesnej szkole. Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego. Kraków 2010, ISBN GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA, E (red). O dzieciach matematycznie uzdolnionych. Nowa Era. Warszawa 2012, ISBN URBAN, K.K. Odpowiedzialna Kreatoligencja jako kompetencje dla przyszłości. Podejście integralne. w Zdolni w szkole, czyli o zagrożeniach i możliwościach rozwojowych uczniów zdolnych. Praca zbiorowa red. LIMONT, W., CIEŚLIKOWSKA, J., JASTRZĘBSKA, D. Ośrodek Rozwoju Edukacji. Warszawa ISBN Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 17 listopada 2010 w sprawie zasad udzielania i organizacji pomocy psychologiczno-pedagogicznej w publicznych przedszkolach, szkołach i placówkach. Kontakt prof. WSH dr hab. Maria Korcz Wyższa Szkoła Humanistyczna im. Króla Stanisława Leszczyńskiego ul. Królowej Jadwigi 10, Leszno, Polska E- mail: 125

126 JAK DĚTI KRESLÍ TĚLESA Marie KUPČÁKOVÁ Abstrakt Příspěvek si všímá charakteristických znaků dětské kresby prostorových útvarů z pohledu geometrických zobrazovacích metod. Na konkrétních kresbách těles a reálných objektů bude dokumentováno, že děti často spontánně používají lineární perspektivu. Bude vyvozen závěr o nutnosti seznamovat studenty učitelství nejen s rovnoběžným, ale i středovým promítáním. Jako vhodná metoda se jeví počítačová grafika. Kľúčové slová: Dětská kresba, základní geometrická tělesa, lineární perspektiva, počítačová grafika HOW CHILDREN DRAW SOLIDS Abstract The paper is concerned with characteristic patterns of children's drawings of the spatial objects from the perspective of geometric visualization methods. It is documented using particular drawings of solids and real objects that children are spontaneously using linear perspective. The conclusion will be made about necessity to familiarize students - future teachers - with central projection and not only with parallel projection. Computer graphics is considered to be a suitable method for this purpose. Key words: Children drawing, basic geometrical solids, linear perspective, computer graphics 1. Dětská zobrazení prostoru Jak jsem napsala v publikaci Matematika a porozumění světu, [1] dětská kresba je neverbálním jazykem dítěte, prvním zobrazením prostoru a nelze ji redukovat jen na oblast výtvarnou či psychologickou. Mezinárodní kreslířský kongres v Drážďanech už v roce 1912 uznal kreslení jako vyjadřovací prostředek rovnocenný řeči a písmu. Co všechno dítě kresbou sděluje? Prostý obrázek prozradí obsahem i provedením velmi mnoho o tom, co dítě ví, co prožívá, ale i to, jaký je jeho geometrický obraz světa, jaká je úroveň jeho prostorové představivosti. Spontánní dětský kresebný projev má pro rodiče i učitele nezastupitelnou vypovídací schopnost. Studiu dětské kresby, ve spojitosti s geometrií, se věnuji dlouhodobě a na základě vyhodnocení stovek kreseb jsem došla k těmto závěrům. [2] 1. Nejčastěji dítě zobrazuje prostor v přímých pohledech (vodorovných, hloubkových), které vykazují někdy jasné, jindy zastřené známky středového promítání (perspektivy). 2. Používání půdorysu a perspektivního půdorysu je v dětské kresbě časté. 126

127 3. Přirozená je i spontánní kresba prostoru a prostorových útvarů v přímém šikmém nadhledu. 4. Dítě spontánně používá dynamickou perspektivu, která je mnohdy mylně považována za tzv. vícepohledovost. 5. Děti a mladší žáci spontánně nepoužívají konvenční zobrazení, kterému říkáme volné rovnoběžné promítání. 6. Předmět, který dítě často drží v ruce, dokáže věrně zobrazit kresbou i 3D modelem. 7. Čtyřleté děti kreslí figuru jako hlavonožce, ale jako hlavonožce ji nemodelují. Profesor Strnad se už v r. 1925, v počátcích celosvětového zájmu o dětskou kresbu, domníval, že není-li dítě správně vedeno, nedostává-li impulsy pro další pokrok ve svém grafickém projevu, pak jeho intelektuální rozvoj ustrne. Nabídli jsme žákům třetí třídy, že mohou nakreslit Velké náměstí v Hradci Králové. V takto motivované kresbě se objevily i výše uvedené typy 1 3 (ten byl nejčastější). Ale Honzík zvolil pro zobrazení velkého prostoru typ 4 kreslil v tzv. dynamické perspektivě: Dobře si uvědomil výrazně trojúhelníkový půdorys náměstí je obehnaného starými hradbami, po obou stranách náměstí jsou měšťanské domy, uprostřed parkoviště a morový sloup. V průčelí je složitá architektura tvořená kostelem, samostatnou věží, kaplí a radnicí. Tuto realitu kreslíř v mysli zpracuje a předvídá (anticipuje), jak vše uvidí z místa vysoko nad silničním okruhem (nad dělící čarou na silnici dole). Pak jeho oko prohlíží scénu odzadu a ruka postupně kreslí. Vidíme průčelí domů, ale objekty pod pozorovatelem jsou v půdorysu, bez známek objemovosti (s věrně zachycenými nárožími tvořenými střešními plochami). Charakteristickým znakem chlapeckých kreseb jsou dokonale vykreslené půdorysy aut, děvčata napíší na parkoviště P. Obr. 1 Jestliže třeťáci zvládli graficky vyjádřit tuto obtížnou prostorovou situaci, jak si děti na prvním stupni poradí s kreslením jednoduchých geometrických těles? 127

128 2. Žákovské kresby těles Zadali jsme žákům 2., 3. a 5. třídy stejný úkol: nakreslit tělesa uvedená v tabulce, a když budou vědět jak, tak mají nakreslit i pohled shora. kvádr krychle válec koule kužel jehlan skříň dlažební kostka hrneček kulička kornout na zmrzlinu pyramida Druháci zvolili anonymní podpisy, krásně nakreslili vše, včetně pyramidy a kužele. Krychli kreslí jako čtverec. Začněme si všímat zobrazení válce (obr. 2 a obr. 3). Obr. 2 Obr. 3 Elyon reprezentuje svými kresbičkami většinu třetí třídy (obr. 4). Kornout není problém, obraz kužele řeší. Obr. 4 Pavlova práce není typická, přesto se s takovými kresbami, kdy jsou neviditelné hrany vyznačeny čárkovaně, setkávám (obr. 5). Jsou to nesmírně cenné informace o dětském vnímání (nikoliv vidění) těles a podrobněji o nich pojednám dále. Práce žáků páté třídy reprezentuje Michalova kresba (obr. 6). Všimněme si výrazné proměny kreseb hranatých těles, ale i válce. Jsou velmi podobné tomu, jak jsou nakresleny v učebnicích v rovnoběžném promítání. Chlapec, který kreslí půdorys hrnečku s uchem, skříně s úchytkami, usilovně se zamýšlí nad kladením kvádrů do pyramidy, však zřejmě ještě nezná pojmy kužel a jehlan (ptám se proč?). 128

129 Obr. 5 Obr. 6 Podívejme se znovu pozorně na obrázky 2 5: Velmi nápadné je kreslení válců jako šišek. Ve výzkumech, které jsem prováděla již dříve, se ukázalo, že právě obraz válce jasně ukazuje, že děti neznají (ani nemohou znát) zobrazovací metodu, které říkáme rovnoběžné promítání. Proto kreslí tak, jak vidí. A lidskému vidění je nejbližší lineární perspektiva. Se studenty učitelství 1. stupně probíráme základy perspektivy a znovu objevujeme to, co jako předškoláci a žáci 1. stupně věděli. Pomáhá nám počítačová grafika. Zkoušíme například modelovat (kreslit) prostorovou situaci válec a vedle něj dutou krychli s jehlanem uvnitř. Nám dospělým se počítačový pohled na sestavu z obr. 7 líbí. Obr

130 Dítě jej však nepovažuje za normální, neboť když něco kreslí, tak si to dá přirozeně přímo před oči. Potom ale nevidí u ležícího válce žádnou podstavu, jenom viditelné části podstavných kruhových hran (Gárfíld, Magi i Pavel). V tomto umístění hranatých těles se mohou ztratit i jejich dolní podstavy (obr. 8). Pavel nakreslil jehlan jako trojúhelník s příčkou, tedy správně, obrysem obrazu krychle může být pětiúhelník.. Obr. 8 A jak vznikly Pavlovy kresby krychle a kvádru (obr. 5)? Tělesa tentokrát sjela (každé samozřejmě zvlášť) po vertikále pod horizont, horní podstavu však mají ve výšce očí, jak to vidíme na obr. 9 vlevo. Obr Závěr Žáci 1. stupně přijímají geometrická tělesa zcela přirozeně a se zájmem. Dokáží je zobrazovat nejenom trojrozměrně z modelíny, ale i kresbou. Středové promítání, tedy i perspektiva, se nemusí projevit objemovostí kresby těles, ale může být skryto v pozadí. Dospěli jsme k názoru, že je logické, aby si dítě prohlíželo těleso umístěné v přímém pohledu. Tento vjem kreslí z paměti. Obrazem plné neprůhledné krychle nebo kvádru pak může být pravoúhelník, jehlanu a kužele trojúhelník, koule kruh. V obrazu válce nemusí být vidět podstavy, obrys válce v perspektivním zobrazení není obdélník. Literatúra 1. KUŘINA, F. a kol.: Matematika a porozumění světu. Praha: Academia, 2009, 331 s. 2. KUPČÁKOVÁ, M.: Geometrie a dětská zobrazení prostoru. Media4uMagazine. 7. ročník 3/2010. Dostupné na internetu: Kontaktná adresa RNDr. Marie Kupčáková, Ph.D. Katedra matematiky PřF UHK Univerzita Hradec Králové, Rokitanského 62, Hradec Králové III Telefón:

131 KSZTAŁTOWANIE POJĘĆ Z ZAKRESU MATEMATYCZNYCH UMIEJĘTNOŚCI PRAKTYCZNYCH W KLASACH POCZĄTKOWYCH Elżbieta MAREK Abstrakt W obowiązującej w Polsce podstawie programowej dużo miejsca zajmują wiadomości i umiejętności praktyczne, dotyczące: długości, ciężaru, objętości, czasu, obliczeń pieniężnych i temperatury. Kształtowanie tych pojęć powinno być poprzedzone diagnozą operacyjnego rozumowania i odbywać się w poprzez dziecięce eksperymentowanie. W tekście pokazano, jakie sytuacje dydaktyczne temu sprzyjają, jaka jest możliwość integracji treści dotyczących umiejętności praktycznych oraz jaka jest rzeczywistość szkolna. Słowa klucze: pojęcia, umiejętności praktyczne, operacyjne rozumowanie. SHAPING OF NOTIONS IN PRACTICAL MATHEMATICAL SKILLS IN EARLY CLASSES Abstract In the current core curriculum in Poland there is a lot of space given to practical knowledge and skills concerning: length, weight, volume, time, money calculations and temperature. Shaping of such notions should take place through children experimenting. It should also carry out operational diagnosis reasoning. It has been shown in the text what didactic situations favour it and what the school reality is like. Key words: notions: concepts, practical skills, operational thinking 1. Wprowadzenie Od początków XXI wieku edukacja wczesnoszkolna w Polsce przechodzi istotną rewolucję. Nauczanie przedmiotowe zastąpiono kształceniem zintegrowanym, edukacja matematyczna została wtopiona w wielowymiarowy system aktywności dzieci. W podstawie programowej edukacji wczesnoszkolnej bardzo dużo miejsca zajmują wiadomości i umiejętności praktyczne, dotyczące: długości, ciężaru, objętości, czasu, obliczeń pieniężnych i temperatury. Mając na uwadze całą złożoność mechanizmów poznawczych, jakie muszą być zaangażowane w proces nabywania przez małych uczniów umiejętności i wiedzy matematycznej należy ze szczególną uwagą podchodzić do przygotowania dzieci do uczenia się matematyki (Jakubowicz-Bryx, 2010, s. 208), a zwłaszcza do kształtowania pojęć matematycznych. Badania w tym zakresie prowadzili, m.in. Jean Piaget i jego współpracownicy, Edyta Gruszczyk-Kolczyńska, Maria Cackowska z zespołem, Kazimierz Czarnecki (Czarnecki, 1995, s ). Pojęcia matematyczne mają bowiem charakter operatywny, dlatego też ich kształtowanie oznacza organizowanie różnorodnych czynności dzieci w taki sposób, aby następowała stopniowa ich 131

132 interioryzacja. W przyswajaniu wiadomości i umiejętności praktycznych powinny dominować zatem metody aktywizujące, dające okazję do poszukiwania, dyskutowania, odkrywania, wymiany doświadczeń, komunikowania się i wzajemnego współdziałania. Nauczyciel musi tworzyć warunki do praktycznego, fizycznego wykonywania pomiarów osobiście przez każde dziecko, w sali szkolnej i poza nią, w różnych kontekstach, dyskutowania otrzymywanych wyników i stopniowego uświadomienia uczniom wygody posługiwania się jednolitymi jednostkami miar. W ostatnich latach większość krajów zweryfikowała swoje programy nauczania, tak aby bardziej skupiły się na kompetencjach i umiejętnościach, kładły nacisk na zastosowanie matematyki w życiu codziennym, aktywne uczenie i krytyczne myślenie uczniów (Nauczanie matematyki w Europie, 2012, s. 55). Praktyczne przykłady realizacji tych zagadnień zostaną zaprezentowane w tekście. 2. Pojęcia dotyczące długości, ciężaru, objętości Pojęcia dotyczące długości, ciężaru, objętości kształtujemy wykorzystując aspekt miarowy liczby naturalnej. Podstawą zdolności do pojmowania aspektu miarowego liczby są doświadczenia dziecka niezbędne do odkrycia zasad długości, stałości ilości masy i stałości objętości. Musimy mieć przy tym świadomość, że aspekt miarowy jest najtrudniejszy z trzech podstawowych aspektów liczby naturalnej, gdyż: pomiar jest zawsze tylko przybliżony, wynik pomiaru może nie być liczbą całkowitą, zależy od wyboru jednostki przy zmianie jednostki, zmienia się wartość liczbowa wyniku, choć mierzona wielkość jest taka sama (Nowik, 2008, s. 143). Zgodnie z podstawą programową uczeń klasy III: mierzy i zapisuje wynik pomiaru długości, szerokości i wysokości przedmiotów oraz odległości; posługuje się jednostkami: milimetr, centymetr, metr; wykonuje łatwe obliczenia dotyczące tych miar (bez zamiany jednostek i wyrażeń dwumianowanych w obliczeniach formalnych); używa pojęcia kilometr w sytuacjach życiowych, np. jechaliśmy autobusem 27 kilometrów (bez zamiany na metry); waży przedmioty, używając określeń: kilogram, pół kilograma, dekagram, gram; wykonuje łatwe obliczenia, używając tych miar (bez zamiany jednostek i bez wyrażeń dwu mianowanych w obliczeniach formalnych); odmierza płyny różnymi miarkami; używa określeń: litr, pół litra, ćwierć litra (Podstawa programowa, 2008, s. 51). Pracę nad kształtowaniem pojęć powinna poprzedzić diagnoza myślenia operacyjnego u dzieci. W Polsce wiele badań w tym zakresie, inspirowanych koncepcją Piageta, przeprowadziła E. Gruszczyk-Kolczyńska. Z badań tych wynika, że większość dzieci sześcioletnich cechuje niski (przedoperacyjny) poziom operacyjnego rozumowania w zakresie stałości długości, masy i pojemności (Gruszczyk-Kolczyńska, 1997, s. 63). Tak więc realizację zagadnień dotyczących pomiarów długości, ciężaru, objętości należy rozpocząć w klasach początkowych od czynności praktycznych dzieci. Kształtowanie pojęć miar długości przebiegać może według trzech etapów. W pierwszym etapie powinno wystąpić wiele prób mierzenia na oko różnych przedmiotów. Ważne jest szacowanie krótszy, dłuższy, taki sam. Następnie, w drugim etapie, stosujemy pomiar z jednostką umowną, przy wykorzystaniu różnych miarek długości: gumki, ołówka, kartki papieru, stóp itp. Dzieci mierzą krokami długość i szerokość korytarza, stopami długość i szerokość klasy, dłonią długość i szerokość ławek, parapetów, tablic. W wyniku doświadczeń dochodzą do wniosku, że 132

133 wskazane jest użycie jednolitej jednostki, by wartości były jednoznaczne. Interesujące będą dla dzieci opowieści o dawnych miarach długości. W etapie trzecim, dzieci w toku ćwiczeń praktycznych, posługując się standardową jednostką miary, np. linijką, taśmą krawiecką poznają takie miary, jak: centymetr, metr. Można dzieciom zaproponować mierzenie własnego wzrostu, obwodów poszczególnych części ciała i ich porównywanie, szacowanie - ile potrzebujemy wstążki by zapakować prezent. Podczas spacerów, wycieczek możemy wprowadzać pojęcie kilometra. Łączyć je można z czasem, jaki dzieci przeznaczają na przejście określonej odległości idąc np. wolno, szybko. W pracy nad długością, szerokością, wysokością występuje także układanie zadań tekstowych dotyczących np. zakupów wstążek, w określonej cenie za metr, pomiaru i porównywania obwodów figur geometrycznych. Pojęcie długości, wysokości, szerokości pojawia się bardzo często podczas zajęć technicznych, w toku których uczniowie stosują pomiar wykonując określone przedmioty (zakładka do książki, pudełko, poduszeczka na igły itp.). Mierzenie długości skoków w dal, rzutów, np. piłeczką palantową to doskonała zabawa na zajęciach WF. Niestety w codziennej praktyce edukacyjnej dzieci mają mało możliwości doświadczania, dominuje praca z zeszytami ćwiczeń i mierzenie linijką obiektów tam narysowanych. Ważenie przedmiotów powinno mieć charakter zabawy i zaczynać się od porównywania masy dwóch przedmiotów na oko, następnie wykorzystywania wagi szalkowej, z różnymi miarkami, by w efekcie wprowadzić jednostki, takie jak: kilogram, dekagram i gram. Problematyka ważenia doskonale jest skorelowana z zajęciami technicznymi, na których dzieci mogą wykonać wagę szalkową. Wskazane jest też oglądanie różnych wag stosowanych w sklepach, w domach i dokonywanie na nich prób ważenia. Ważne jest by dać dzieciom możliwość doświadczania ważenia, które doprowadzi do zrozumienia i zamiany jednostek kilograma na dekagramy i gramy. Dzieci posługują się także znanymi z życia częściami ułamka, typu: pół kilograma. Interesujące dla nich będą doświadczenia typu: co jest cięższe kilogram chrupek czy kilogram cukru? Chodzi o oderwanie się od cech jakościowych i zrozumienie, że wielka torebka nie zawsze musi być cięższa od małej. Dzieci mogą uczestniczyć w zbiorowym ważeniu, zapisywać własną wagę i porównywać, kto waży więcej, kto mniej, kto tyle samo. W praktyce jednak najczęściej treści dotyczące ważenia są realizowane za pomocą oglądania ilustracji w podręcznikach i słownego wyjaśniania. Nauczyciele opowiadają dzieciom o tym, jak się waży i pokazują na obrazkach różne rodzaje wag. Potem dzieci oglądają obrazki z odważnikami i odczytują zapisane pod nimi jednostki ciężaru. Po takim wprowadzeniu uczniowie rozwiązują zadania wymagające pomiaru ciężkości. Mierzeniu pojemności w pierwszym etapie towarzyszy wiele doświadczeń praktycznych, w których uczniowie przesypują różne produkty, oceniając przy tym pojemność naczyń czy się zmieszczą. Następnie przechodzimy do pomiarów na oko płynów w naczyniach o różnych kształtach, by w kolejnym etapie zastosować wybrana miarkę, np. kubek. Kiedy dzieci potrafią trafnie spostrzegać i dokonywać ocen, wprowadzany wzorcowe naczynie o pojemności 1 litra oraz naczynia półlitrowe i ćwierćlitrowe. Możemy też wyjaśnić, w toku doświadczeń, związek między masą a pojemnością dla poszczególnych produktów, zapoznać dzieci z historią: jak dawniej odmierzano pojemność. Interesujące dla dzieci będzie układanie i rozwiązywanie zadań tekstowych związanych z ich eksperymentami, a także wykorzystanie odmierzania płynów w np. przygotowywaniu koktajlu wg przepisu, granie gamy na szklankach o różnym poziomie wody (zaznaczanie podziałki). 133

134 3. Pojęcie czasu Pojęcie czasu pojawia się na wszystkich kierunkach edukacji wczesnoszkolnej. Występuje: w edukacji matematycznej (odczytywanie wskazań zegara, obliczenia kalendarzowe); w edukacji polonistycznej (dostrzeganie chronologii zdarzeń w opowiadaniu, traktowanie czasu jako kategorii gramatycznej); w edukacji środowiskowej (obserwacja pór roku, rozwoju roślin, ruchu ulicznego, działalności człowieka); w edukacji muzycznej (rytm, prędkość); w kulturze fizycznej (ruch, pomiary czasu na zawodach) (Nowik, 2008, s. 143). W toku edukacji matematycznej uczeń: odczytuje i zapisuje liczby w systemie rzymskim od I do XII; podaje i zapisuje daty; zna kolejność dni tygodnia i miesięcy; porządkuje chronologicznie daty; wykonuje obliczenia kalendarzowe w sytuacjach życiowych; odczytuje wskazania zegarów: w systemach: 12- i 24-godzinnym wyświetlających cyfry i ze wskazówkami; posługuje się pojęciami: godzina, pół godziny, kwadrans, minuta; wykonuje proste obliczenia zegarowe (pełne godziny) (Podstawa programowa, 2009, s. 51). W toku edukacji dzieci dowiadują się, ile dni ma rok, poszczególne miesiące, ile godzin mam doba, ile minut ma godzina, pół godziny, kwadrans. Ile sekund ma minuta. Zapoznajemy uczniów z różnymi kalendarzami i zegarami porównują je, odczytują. Mogą też konstruować kołowe kalendarze pór roku, tygodni, miesięcy. Dość często dzieci mają problem z osadzeniem wydarzeń w czasie: dziś, jutro, wczoraj, przedwczoraj, pojutrze. Można więc zaprowadzić rysunkowy kalendarz przeżyć (Gruszczyk-Kolczyńska, 2009, s ). Dzieci poznają jednostki czasu: sekunda, minuta, godzina, dzień, tydzień, miesiąc, kwartał, rok i związki zachodzące między nimi, próbują doświadczać upływu czasu (np. siedzą bardzo cicho przez minutę, śpiewają 5 minut, czytają 10 minut, bawią się 15 minut), dokonywać obliczeń związanych z upływem czasu, układają i rozwiązują zadania, na zajęciach technicznych konstruują zegary. Poznają historię zegarów. 4. Obliczenia pieniężne i mierzenie temperatury W zakresie obliczeń pieniężnych, zgodnie z podstawą programową, uczeń: wykonuje łatwe obliczenia pieniężne (cena, ilość, wartość) i radzi sobie w sytuacjach codziennych wymagających takich umiejętności) (Podstawa programowa, 2008, s. 51). Obliczenia pieniężne traktuje się obecnie nie tylko jako umiejętności praktyczne, ale także jako wprowadzenie do wychowania ekonomicznego. Najlepszym sposobem wprowadzania dzieci w świat pieniądza jest więc włączanie ich do codziennych zakupów i gospodarowanie tzw. kieszonkowym. Organizowanie zabaw w sklep podczas zajęć matematycznych pozwoli im zapoznać się z banknotami i monetami. Przeliczanie pieniędzy można realizować po przeprowadzeniu akcji typu: wielka orkiestra świątecznej pomocy, wspomagamy schronisko dla zwierząt itp. Organizowanie przedświątecznych sprzedaży kart i ozdób choinkowych czy wielkanocnych jest okazją do integracji treści kształcenia i rozumienia wartości pieniądza. Mierzenie temperatury jest związane z nauczaniem przyrody i obserwacją zmian w niej zachodzących, a także kontrolą własnego zdrowia. W wyniku realizacji tych zagadnień dziecko, zgodnie z podstawą programową: 134

135 odczytuje temperaturę (bez konieczności posługiwania się liczbami ujemnymi, np. 5 stopni mrozu, 3 stopnie poniżej zera) (Podstawa programowa, 2009, s. 51). 5. Podsumowanie Dziecko zapoznaje się z pojęciami z zakresu wiadomości i umiejętności praktycznych poprzez własne działanie, eksperymentowanie i doświadczanie. Ogromną rolę odgrywa tu aktywność dziecka. Liczenie, mierzenie, ważenie oraz inne czynności dziecko będzie wykonywało przez całe swoje życie. Zatem kształtując pojęcia z tego zakresu należy organizować dzieciom sytuacje zbliżone do tych, z którymi w przyszłości się spotkają. Pojęć tych nie można uczyć poprzez wypełnianie kart pracy czy rozwiązywanie zawartych w książkach zadań. Praca z ćwiczeniami musi być poprzedzona czynnościami praktycznymi dziecka. Tylko wtedy będzie ono dostrzegało sens i potrzebę uczenia się matematyki, która stanie się przedmiotem ciekawym i przydatnym w życiu, a tym samym wyzwalającym jego zainteresowania i aktywność. Literatura 1. CZARNECKI K.: Szkolna wiedza pojęciowa uczniów klas początkowych. Katowice: Śląsk, 1995, s ISBN GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA E.: Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Warszawa: WSiP, 1997, s. 63. ISBN GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA E.: Wspomaganie rozwoju umysłowego oraz edukacja matematyczna dzieci w ostatnim roku wychowania przedszkolnego i w pierwszym roku szkolnej edukacji. Warszawa: Edukacja Polska, 2009, s ISBN JAKUBOWICZ-BRYX A.: Miejsce edukacji matematycznej w nowych programach kształcenia zintegrowanego. In: Novak B., (red.), Mathematical Education in a Context of Changes in Primary Scholl. Ołomuniec: Acta Universitatis Palackianae Olomucensis, 2010, s ISBN Nauczanie matematyki w Europie: ogólne wyzwania i strategie krajowe. Warszawa: Fundacja Rozwoju Systemu Edukacji, 2012, s. 55. ISBN NOWIK J.: Edukacja matematyczna w kształceniu zintegrowanym. Racibórz: Wydawnictwo PWZS, 2008, s ISBN Podstawa programowa z komentarzem. Tom 1. Edukacja przedszkolna i wczesnoszkolna. Warszawa: MEN, 2009, s. 51. On line: [ ] zkolna.pdf Kontaktná adresa dr Elżbieta Marek Uniwersytet Jana Kochanowskiego w Kielcach, Filia w Piotrowie Trybunalskim ul. Słowackiego 114/118, Piotrków Trybunalski Phone:

136 ÚLOHY ZO STEREOMETRIE V UČEBNÝCH TEXTOCH NA PRIMÁRNOM STUPNI VZDELÁVANIA NA SLOVENSKU A V NEMECKU POHĽAD PRVÝ Marek MOKRIŠ Abstrakt Úlohy zo stereometrie pomáhajú rozvíjať geometrické predstavy detí vo veku 5 až 6 rokov (prvý rok povinnej školskej dochádzky). V príspevku sa venujeme identifikácii a kategorizácii úloh zo stereometrie, ktoré sa vyskytujú v učebných prostriedkoch používaných v prvom ročníku na Slovensku a v Nemecku (spolková krajina Baden- Württemberg). Poukazujeme na rozdiely vo vzdelávacom obsahu a jeho spracovaní. Kľúčové slová: stereometria, geometrické predstavy, učebné texty, primárne vzdelávanie TASKS OF STEREOMETRY IN TEXTBOOKS AT THE PRIMARY LEVEL OF EDUCATION IN SLOVAKIA AND GERMANY FIRST VIEW Abstract Tasks of stereometry advancement geometric concepts of children aged 5-6 years (the first year of compulsory schooling). The article deals with the identification and categorization tasks of stereometry. Tasks were selected from textbooks, which are used for the first year of the primary level of education in Slovakia and Germany (Land Baden-Württemberg). We show the differences in educational content. Key words: stereometry, geometric concepts, textbooks, primary education 1. Úvod Stereometria je časť geometrie, ktorá sa zaoberá priestorovými útvarmi a vzťahmi medzi nimi. Z historického pohľadu mala stereometria úzku súvislosť s praktickým životom človeka (stavba obydlia, lodí, pozorovanie hviezdnej oblohy, určovanie objemu telies, znázorňovanie stavieb,...). Podľa O. Šedivého a kol. (2007, s. 2) stereometria napomáha pri rozvoji stereometrických (geometrických) predstáv. Ako keby existovali isté časové obdobia zvlášť priaznivé pre rozvoj schopnosti priestorového videnia. Ukazuje sa, že prvé takéto obdobie je vo veku 5 až 6 rokov. Dané vekové obdobie zahŕňa prvý rok povinnej školskej dochádzky na Slovensku. Na základe toho, by mala mať stereometria v školskej matematike veľmi významné postavenie (zvlášť v prvom ročníku). V článku sa zameriavame na identifikáciu a kategorizáciu úloh, ktoré sú z oblasti priestorovej geometrie. Analyzujeme pracovné zošity, ktoré sú schválené Ministerstvom školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky a sú používané v prvom ročníku základnej školy na Slovensku. Existujú aj iné učebné materiály z matematiky pre žiakov prvého ročníka, ktoré ale nedisponujú schvaľovacou doložkou. Myslíme si, že schvaľovacia doložka by mala zaručovať bezplatnú dostupnosť žiakom, ale aj najvyššiu úroveň kvality. Tieto učebné texty sme porovnávali s učebnicami 136

137 a pracovnými zošitmi pre žiakov tej istej vekovej kategórie, ktoré sú používané v spolkovej krajine Baden-Württemberg v Nemecku, ale sú aplikovateľné aj v iných spolkových krajinách (Mathematik für alle). 2. Elementy stereometrie v učebniciach a pracovných zošitoch v 1. ročníku základnej školy na Slovensku a v Nemecku Žiaci v prvom ročníku na Slovensku majú k dispozícii dva pracovné zošity, ktoré sú označené Matematika pre 1. ročník základných škôl 1. časť 5 a Matematika pre 1. ročník základných škôl 2. časť 6. Žiaci v prvom ročníku v spolkovej krajine Baden-Württemberg využívajú učebnicu 7 a pracovný zošiť 8. V nasledujúcej časti uvádzame jednotlivé kategórie úloh (zadaní, problémov), ktoré sme identifikovali v daných učebných prostriedkoch. Kategória úlohy zo stereometrie v učebných materiáloch na Slovensku sprístupnenie tvaru a pomenovania priestorového útvaru (kocka, valec, guľa) identifikácia predmetov z reálneho života, ktoré majú príslušný tvar telesa Kategória úlohy zo stereometrie v učebných materiáloch v Nemecku sprístupnenie tvaru a pomenovania priestorového útvaru (kocka, kváder, valec, guľa, hranol) identifikácia predmetov z reálneho života, ktoré majú príslušný tvar telesa s s Lehoťanová, B. Matematika pre 1. ročník základných škôl 1. časť. Bratislava: AITEC, , 5 Lehoťanová, B. Matematika pre 1. ročník základných škôl 2. časť. Bratislava: AITEC, , 6 Manten, U. Hütten, G. Heinze, K.: Super M. Mathematik für alle. Schülerbuch 1 mit Kartonbeilagen. Berlin: Cornelsen Verlag, Manten, U. Hütten, G. Heinze, K.: Super M. Mathematik für alle. Arbeitsheft 1. Berlin: Cornelsen Verlag,

138 identifikácia daného priestorového útvaru na základe jeho tvaru (kocka, valec, guľa) určenie počtu telies daného tvaru identifikácia daného priestorového útvaru na základe jeho tvaru (kocka, kváder, valec, guľa, hranol) s s V analyzovaných slovenských učebných textoch sme v prvom ročníku už neidentifikovali žiadne iné úlohy zo stereometrie. V ďalšej časti uvedieme len kategórie úloh z nemeckých učebných textov. identifikácia priestorového útvaru na základe jeho vlastností (počtu vrcholov) s sprístupnenie pojmov stavebné miesto, stavba z kociek, plán stavby z kociek s dokončenie plánu stavby z kociek na základe obrázka s Lehoťanová, B. Matematika pre 1. ročník základných škôl 2. časť. Bratislava: AITEC, , 10, 11 Manten, U. Hütten, G. Heinze, K.: Super M. Mathematik für alle. Schülerbuch 1 mit Kartonbeilagen. Berlin: Cornelsen Verlag, Manten, U. Hütten, G. Heinze, K.: Super M. Mathematik für alle. Arbeitsheft 1. Berlin: Cornelsen Verlag,

139 zostavenie plánu stavby na základe obrázka s priradenie plánu stavby k zobrazenej stavbe s určenie chronológie pri budovaní stavby s učenie tej istej stavby z rôznych pohľadov s zostavenie plánu stavby z rôznych pohľadov (spredu, zozadu, zľava, sprava) s , 13, 14, 15 Manten, U. Hütten, G. Heinze, K.: Super M. Mathematik für alle. Schülerbuch 1 mit Kartonbeilagen. Berlin: Cornelsen Verlag, Manten, U. Hütten, G. Heinze, K.: Super M. Mathematik für alle. Arbeitsheft 1. Berlin: Cornelsen Verlag,

140 3. Záver Na základe analýzy typov úloh zo stereometrie v učebných prostriedkoch na Slovensku i v Nemecku a dôležitosti rozvoja schopnosti priestorového videnia detí vo veku 5 až 6 rokov, usudzujeme, že pozornosť venovaná tejto problematike je v učebných prostriedkoch v prvom ročníku na Slovensku nedostatočná. Štátny vzdelávací program ISCED 1 (s. 5-12) uvádza, že vyučovací proces by mal, okrem kreslenia geometrických tvarov a útvarov, zahŕňať aj manipuláciu s niektorými priestorovými geometrickými útvarmi, budovanie telies z kociek podľa vzoru alebo podľa obrázka, stavbu jednoduchých telies, stavbu telies z kociek podľa vzoru a podľa plánu (obrázka) a kreslenie plánu stavby z kociek. Analýza typov úloh zo stereometrie v učebných materiáloch v prvom ročníku tomu nenasvedčuje. Presúvanie problematiky práce so stavbami z kociek do vyšších ročníkov, môže mať negatívny vplyv na schopnosť priestorovo vidieť. Ďalšie vhodné obdobie na rozvoj priestorového videnia je až v období 11. až 12. roku veku dieťaťa (6. ročník základnej školy). Podľa nášho názoru, problematika stavieb z kociek, je vhodný a veku primeraný nástroj na rozvoj priestorového videnia už v prvom ročníku základnej školy. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu MŠ SR VEGA 1/1230/12 Komparatívna analýza vybraných aspektov primárnej matematickej edukácie na Slovensku a v zahraničí v kontexte kurikulárnej transformácie vzdelávania na základných školách a medzinárodných výskumov OECD PISA a IEA TIMSS. Literatúra 1. LEHOŤANOVÁ, B. Matematika pre 1. ročník základných škôl 1. časť. Bratislava: AITEC, LEHOŤANOVÁ, B. Matematika pre 1. ročník základných škôl 2. časť. Bratislava: AITEC, MANTEN, U. HÜTTEN, G. HEINZE, K.: Super M. Mathematik für alle. Schülerbuch 1 mit Kartonbeilagen. Berlin: Cornelsen Verlag, MANTEN, U. HÜTTEN, G. HEINZE, K.: Super M. Mathematik für alle. Arbeitsheft 1. Berlin: Cornelsen Verlag, ŠEDIVÝ, O. PAVLOVIČOVÁ, G. RUMANOVÁ, L. VALLO, D.: STEREOMETRIA. Umenie vidieť a predstavovať si priestor. Nitra: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2007, 106 s. 6. ŠVP MATEMATIKA (Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami) PRÍLOHA ISCED 1. Bratislava: ŠPÚ, s. Dostupné na Kontaktná adresa Mgr. Marek Mokriš, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov Telefón:

141 EDUKACJA MATEMATYCZNA DZIECI W MŁODSZYM WIEKU SZKOLNYM Z PODEJRZENIEM DYSKALKULII Małgorzata MYSZKA Abstrakt Problemem dyskalkulii rozwojowej dotkniętych jest od 3 do 6 % populacji dzieci. Diagnozuje się ją w wieku lat jednak pierwsze symptomy można zauważyć już w przedszkolu. Mózg człowieka jest bardzo plastycznym organem i ważna jest świadomość nauczycieli w jaki sposób mogą pomóc swoim uczniom przejawiającym specyficzne trudności w nauce matematyki. W edukacji matematycznej uczniów z podejrzeniem dyskalkulii ważne jest bazowanie na mocnych stronach dziecka. Nauczyciel powinien tak dobierać metody pracy, by dziecko miało możliwość osiągnięcia sukcesu. Ważne by uczeń ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki pokonał lęk przed liczbami. Kluczowe słowa: dyskalkulia, uczeń, szkoła, nauczyciel, edukacja matematyczna MATHEMATICAL EDUCATION OF CHILDREN IN EARLY SCHOOL AGE WITH SUSPECTED DYSCALCULIA Abstract Dyscalculia developmental problem suffer from 3 to 6% of the children population. It is diagnosed at the age of years, however, the first symptoms can be seen at nursery stage. The human brain is very flexible organ and is important for teachers to know how can help their students manifesting specific difficulties in learning mathematics. In mathematical education of students with suspected dyscalculia, it is important to work on strongest side of the child. The teacher should choose working methods for the child to have opportunity to succeed. It is important for a student with specific learning difficulties in mathematics to overcame the fear of numbers. Key words: dyscalculia, pupil, school, teacher, mathematical education 1. Dyskalkulia, przyczyny, objawy, pomoc Specyfika myślenia matematycznego polega na myśleniu konkretnym opartym na określonych założeniach, prawach logicznych, definicjach, twierdzeniach, a jednocześnie stawianiu pytań hipotez, choć nie zawsze można na nie odpowiedzieć. Wymaga umiejętności analizowania i syntetyzowania. Logiczne myślenie, które jest często utożsamiane z myśleniem matematycznym, potrzebne jest w każdej dziedzinie nauki, która wymaga umiejętności kojarzenia faktów i ich wzajemnej zależności. Jest ono pozbawione emocji, które często towarzyszą tzw. myśleniu twórczemu malarzy czy poetów, ale nie znaczy to, że jest pozbawione wyobraźni, która zawsze towarzyszy procesom abstrahowania (Nowik, 2011, s. 10). Myślenie matematyczne to również umiejętność wykorzystania matematyki w życiu codziennym. 141

142 Dziecko przychodząc do szkoły powinno osiągnąć pewien stopień dojrzałości umysłowej. Zakłada się, że dziecko rozpoczynające naukę w klasie pierwszej w zakresie edukacji matematycznej powinno: liczyć obiekty i rozróżniać błędne liczenie od prawidłowego, wyznaczać wynik dodawania i odejmowania, pomagając sobie liczeniem na palcach lub innych zbiorach zastępczych, ustalać równoliczność dwóch zbiorów, a także posługiwać się liczebnikami porządkowymi, rozróżniać stronę lewą i prawą, określając kierunki i ustalać położenie obiektów w stosunku do własnej osoby, a także w odniesieniu do innych obiektów, znać stałe następstwo dni i nocy, pór roku, dni tygodnia, miesięcy w roku (Podstawa Programowa Wychowania Przedszkolnego Ministerstwa Edukacji Narodowej). Zdarza się jednak, że pomimo starań dziecko nie może osiągnąć dojrzałości do uczenia się matematyki. Dyskalkulię diagnozuje się w wieku lat jednak pierwsze symptomy można zauważyć już w przedszkolu. Zaburzenie to ma swoje źródło w obszarach mózgu związanych z dojrzewaniem zdolności matematycznych. Problemowi jakim jest dyskalkulia poświęca się znacznie mniej uwagi niż pozostałym specyficznym trudnościom w nauce. Dyskalkulia nie jest powiazana z zaburzeniami innych funkcji umysłowych zatem często symptomy dyskalkulii są bagatelizowane przez rodziców i nauczycieli. W opracowanej przez Światową Organizację Zdrowia klasyfikacji ICD 10 dyskalkulia ujęta jest w następujący sposób: Dyskalkulia obejmuje specyficzne upośledzenie umiejętności arytmetycznych, którego nie da się wyjaśnić wyłącznie ogólnym upośledzeniem umysłowym lub nieadekwatnym procesem nauczania. Upośledzenie to dotyczy raczej podstawowych umiejętnosci rachunkowych: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia niż bardziej abstrakcyjnych umiejętności matematycznych potrzebnych do algebry, trygonometrii, geometrii, rachunku różniczkowego lub całkowitego. Pierwszą definicję dyskalkulii sformuował słowacki neuropsycholog Ladislav Kość. Brzmi ona następująco: Dyskalkulia rozwojowa jest strukturalnym zaburzeniem zdolności matematycznych, mających swe podłoże w zaburzeniach genetycznych i wrodzonych tych części mózgu, które są bezpośrednim podłożem anatomiczno-fizjologicznym dojrzewania zdolności matematycznych odpowiednio do wieku, bez jednoczesnego zaburzenia ogólnych funkcji umysłowych (Kość L., 1982, s. 23 ). Należy mieć swiadomość, że wystepuje kilka rodzajów dyskalkulii rozwojowej i każdy dyskalkulik ma inny deficyt. Można wymienić następujące rodzaje dyskalkulii: 1. Dyskalkulia werbalna osoby cierpiące na dyskalkulię werbalną przejawiają problemy z określaniem liczby i kolejności obiektów, nazywaniem cyfr, symboli działań. Pomimo iż potrafią przeliczyć obiekty to nie utożsamiają ilości z liczbą. Dyskalkulia werbalna przejawia się w słownej nieumiejętności wyrażania pojęć i zależności matematycznych. 2. Dyskalkulia leksykalna - to zaburzenie odczytywania symboli matematycznych, cyfr, liczb i znaków operacyjnych. Uczeń przejawiający dyskalkulię leksykalną myli symbole matematyczne takie jak +, -,<,>. 3. Dyskalkulia graficzna - objawia się w niezdolności zapisywania liczb i symboli operacyjnych. Uczeń z dyskalkulią graficzną ma problemy z zapisywaniem liczb. 142

143 Nie jest w stanie zapisać dyktowanych mu liczb. Zdarza mu się czytać liczby od prawej do lewej strony. 4. Dysleksja praktognostyczna objawia się zaburzeniami na poziomie manipulacji konkretami, czy narysowanymi przedmiotami. Dziecko z dyskalkulią praktognostyczną nie jest w stanie ocenić wielkości oraz ułożyć patyczków według rozmiaru. 5. Dyskalkulia ideognostyczna polega na nierozumieniu pojęć matematycznych. Dziecko z dyskalkulią ideognostyczną nie jest w stanie wykonać obliczeń w pamięci. 6. Dyskalkulia operacyjna objawem dyskalkulii operacyjnej jest zaburzenie umiejętności wykonywania operacji matematycznych. Osoby z tym typem dyskalkulii pomagają sobie liczeniem na palcach nawet przy prostych działaniach. Zamieniają operacje np. dodawanie z odejmowaniem, mnożenie z dzieleniem (Nosowska D., Kreczman- Madej R., 2009, s ). Uczeń wykazuyjący symptomy dyskalkulii może uzyskać wsparcie ze strony swojego nauczyciela. Wychowawca natomiast musi posiadać dostateczną wiedzę na temat specyficznych trudności w uczeniu się matematyki. Charakterystycznymi symptomami dyskalkulii są: kłopoty z odczytywaniem czasu na zegarze, niepoprawne liczenie przedmiotów, gubienie się w działaniach matematycznych, zapominanie jaki był następny krok w działaniach, nieuważne przenoszenie znaków z jednej linijki do drugiej, powtarzanie symboli i liczb, bardzo powolne liczenie w pamięci, nie umiejętność opanowania tabliczki mnożenia, problemy z mierzeniem np. długości, objętości, problemy z czytaniem mapy, mylenie znaków + i -, mnożenia z dodawaniem, czytanie liczb od strony prawej do lewej, któtkotrwała pamięć, niechęć i lęk przed liczbami, niechęć do edukacji matematyczne (Nosowska D., Kreczman - Madej R., 2009, s ). Jeżeli nauczyciel zaobserwuje objawy charakterystyczne dla dyskalkulii powinien porozmawiać z rodzicami i zachęcić ich do nawiązania współpracy z poradnią psychologiczno pedagogiczną. Opiekunowie dziecka wykazującego specyficzne trudności w uczeniu się matematyki powinni wiedzieć w jaki sposób mogą pracować ze swoim dzieckiem w domu. Szczególnie ważne jest wsparcie psychologiczne dziecka i bazowanie na jego mocnych stronach. Zadaniem każdego nauczyciela edukacji wczesnoszkolnej, jest pobudzanie aktywności uczniów podczas realizacji treści z edukacji matematycznej. Postulatem nauczyciela, który ma w swojej klasie ucznia z podejrzeniem dyskalkulii jest taka organizacja zajęć z edukacji matematycznej, by mógł on osiągnąć sukces. Odbywa się to małymi krokami. Barbara Stryczniewicz (2005, s. 13) proponuje nastepujący sposób organizacji zajęć z edukacji matematycznej uwzględniający potrzeby dzieci ze specjalnymi potrzebami w uczeniu się matematyki: 143

144 1. Przygotowanie zadań dla ucznia z podejrzeniem dyskalkulii, w których będzie on aktywny minimum 5 minut, 2. Podnoszenie motywacji poprzez częste pochwały i docenianie nawet niewielkich postępów, 3. Przy omawianiu zagadnień matematycznych w miarę możliwości odwoływanie się do praktyki życiowej, 4. Stosowanie indywidualizacji pracy, 5. Systematyczne kontrolowanie i zadawanie prac domowych, 6. Odpytywanie z zadań o niewielkim stopniu trudności, aby uczeń czuł się dowartościowany, 7. Stworzenie przyjaznej atmosfery, 8. Zorganizowanie współpracy w czasie zajęć pomiędzy uczniem zdolnym, a tym który ma problemy w nauce matematyki, 9. Stosowanie metod aktywizujących i wykorzystywanie różnego rodzaju pomocy dydaktycznych, 10. Stosowanie pracy w grupie w celu umożliwienia współpracy i wzajemnej pomocy, 11. Częste powracanie do podstawowych pojęć i działań matematycznych, 12. Współpraca z rodzicami dziecka mającego specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. W pracy z dziećmi z trudnościami w uczeniu się matematyki niezwykle istotne jest kształtowanie odporności emocjonalnej oraz umiejętności właściwego zachowania się w podczas wysiłku intelektualnego. Doskonałą metodą w pracy z dziećmi z podejrzeniem dyskalkulii są gry i zabawy dydaktyczne wykorzystywane w edukacji matematycznej. Pozwalają one przełamywać lęk przed liczbami oraz pomagają w doskonaleniu umiejętności matematycznych. W zależności od typu zaburzeń nauczyciel powinien dobrać dla ucznia rodzaje ćwiczeń. Jeżeli problemy ucznia skupiają się wokół zaburzeń funkcji językowo słuchowych wskazane są zadania, które ułatwią dziecku: zapamiętanie tabliczki mnożenia, pamięciowe opanowania sekwencji (np.: liczenie wspak, dwójkami, trójkami), zapamiętanie szeregu cyfr, używanie liczebników głównych i porządkowych, zapamiętanie symboli matematycznych, cyfr i liczb, wykonywania obliczeń i zadań w pamięci, opanowanie sekwencji i jednostek czasu (np. nazwy dni tygodnia, miesięcy), skupienie uwagi na bodźcach słuchowych, rozwiązywanie usłyszanych zadań tekstowych, zrozumienie zadań tekstowych. Jeżeli uczeń przejawia trudności wynikające z zaburzeń funkcji wzrokowych i orientacji przestrzennej nauczyciel powinien zastosować ćwiczenia ułatwiające dziecku: odróżnianie cyfr i liczb o podobnym obrazie graficznym: 9 i 6, 1 i 7, operowanie długimi liczbami, z wieloma zerami, odczytywanie i zapisywanie działań i wzorów matematycznych, zapamiętywanie wzorów, schematów, nazw figur i brył, odczytywanie informacji przekazywanych za pomocą rysunku, zapamiętanie kształtów figur geometrycznych, 144

145 porównywanie figur i ich cech, takich jak: położenie, proporcja, wielkość i odległość, rysowanie figur geometrycznych, operowanie pojęciami geometrycznymi, dokonywanie pomiaru długości odcinków, opanowanie zasad dokonywania obliczeń, orientację na kartce papieru (nieumiejętne rozplanowanie miejsca na obliczenia), posługiwanie się zegarem wskazówkowym. Uczeń przejawiający trudności w uczeniu się matematyki ze względu na zaburzenia koordynacji wzrokowo-ruchowej, powinien pracować nad: doskonaleniem pisma gdyż niewyraźny zapis może być przyczyną błedu w obliczeniach, poprawą tempa pisania ( Sosin Pospiszył K., 2010, s. 6-7). Ponieważ brak jest jednolitych programów pomocy dzieciom z podejrzeniem dyskalkulii lub z dyskalkulią nauczyciel powinien dobierać ćwiczenia indywidualnie do potrzeb i możliwości ucznia. Uczeń motywowany przez swojego wychowawcę i dom rodzinny jest w stanie przełamać wiele barier. Odpowiednio dobrane przez nauczyciela metody, formy pracy i środki dydaktyczne pozwolą uczniowi osiagnąć sukces. Literatura 1. GRUSZCZYK - KOLCZYŃSKA E. 1997, Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Warszawa: WSiP, ISBN MAŁASIEWICZ A. 2006, Aby polubić matematykę. Zestaw ćwiczeń terapeutycznych dla uczniów klas I-III szkoły podstawowej mających specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Gdańsk: Harmonia, ISBN NOSOWSKA D., KRECZMAN- MADEJ R. 2009, 5 największych problemów u dzieci. Warszawa: Arystoteles, ISBN NOWIK J. 2011, Kształcenie matematyczne w edukacji wczesnoszkolnej. Opole: Nowik, s. ISBN OSZWA U. 2008, Psychologia trudności arytmetycznych u dzieci. Kraków: Impuls, ISBN OSZWA U. 2008, Wczesna diagnoza dziecięcych trudności w liczeniu. Wybrane zagadnienia. Kraków: Impuls, ISBN STRYCZNIEWICZ B. 2005, Oswoić matmę. Jak pokonać trudności z matematyką w szkole podstawowej? Opole: Nowik, ISBN KOŚĆ L. 1982, Psychologia i patopsychologia zdolności matematycznych, Warszawa: COM PWZ MOiW, SOSIN POSPISZYŁ K. 2008, Trudności w uczeniu się matematyki In: Terapia pedagogiczna uczniów ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się. Warszawa: Raabe, ISBN Contact address Mgr Małgorzata Myszka Uniwersytet Przyrodniczo Humanistyczny w Siedlcach ul. Konarskiego 2, Siedlce 145

146 KORYGOWANIE PRZEZ DZIECI PIĘCIOLETNIE ZABURZEŃ W REGULARNOŚCIACH GEOMETRYCZNYCH Barbara NAWOLSKA Abstrakt W świecie, który nas otacza, w naturze, architekturze, malarstwie, muzyce, literaturze, w ludzkiej mowie, a także w różnych dziedzinach nauki - w tym w matematyce - występują różnorodne rytmy i regularności. Nie zawsze zdajemy sobie sprawę z ich obecności. Dopiero ich brak lub zakłócenie, zaburzające nasze normalne funkcjonowanie i zagrażające poczuciu bezpieczeństwa, uświadamia nam jaką funkcję pełnią one w naszym życiu. Dostrzeganie regularności i związana z tym umiejętność ich kontynuowania, uzupełniania, tworzenia bądź korygowania ich zakłóceń, jest istotna tak w życiu codziennym jak i w edukacji. W artykule zaprezentowany jest fragment badań nad możliwościami rozwijania u dzieci 5-letnich umiejętności korygowania zaburzeń w regularnościach geometrycznych. Kľúčové slová: regularności, regularności geometryczne, korygowanie zaburzeń w regularnościach. THE CORRECTION OF GEOMETRICAL REGULARITIES BY 5-YEAR OLD CHILDREN Abstract All around us: in nature, architecture, painting, music, literature, in human speech and in various scientific disciplines, including mathematics-different rhythms and regularities exist. Often we aren t even aware of their existence. Only their absence or disturbance, which disrupts our normal functioning and threatens our sense of security, allows us to understand what role they play in our lives. The perception of regularities and the related ability to continue them, add to them, create or correct their disturbances is important in everyday life as well as in education. The article presents a piece of research on the potential to develop in 5-year old children the ability to correct disturbances in geometric regularitiesv. Keywords: regularities, geometric regularities, the correction of disturbances in regularities Wstęp Dostrzeganie i wykorzystywanie regularności w różnorodnych rozumowaniach jest ważną aktywnością matematyczną i kluczową umiejętnością związaną ze spostrzeganiem, uwagą, abstrahowaniem i uogólnianiem, a więc z procesami, niezbędnymi w uczeniu się matematyki i ułatwiajacymi wszelkie poznanie. Ze względu na wagę problemu istotnym zagadnieniem staje się rozwijanie u dzieci kompetencji w zakresie dostrzegania regularności. Umiejętność ta wyraża się zdolnością do kontynuowania, uzupełniania, tworzenia regularności, a także możliwością dostrzegania 146

147 i korygowania zaburzeń w obserwowanych regularnościach. Badania w tym zakresie były prowadzone w 19-osobowej grupie 5-latków w jednym z krakowskich przedszkoli w roku szkolnym 2011/2012. Metoda badań Metodą był eksperyment pedagogiczny techniką jednej grupy. W badaniach wstępnych i końcowych wykorzystano zestaw zadań, w których dzieci otrzymywały wzory ułożone z 4 rodzajów kafelków: oraz zestawy luźnych kafelków każdego rodzaju, by mogły odpowiednio, w zależności od zadania, dokończyć wzór, uzupełnić brakujące kafelki we wzorze, utworzyć własny wzór albo skorygować błędy we wzorze, wymieniając niewłaściwe kafelki na takie, które do niego pasują. Badania wstępne Dzieci były proszone m.in. o przyjrzenie się wzorom A i B (rys. 1 A i B), w których źle były ułożone niektóre kafelki. We wzorze A były dwa niewłaściwe kafelki, zaś we wzorze B trzy. Dzieci miały wskazać je i nakleić w ich miejsce kafelki pasujące do wzoru oraz wyjaśnić na czym polega regularność. Rys. 1. Wzory A i B prezentowane dzieciom do korekty A B Poziom wykonania zadania był oceniany jako wysoki (W), średniu (Ś) lub niski (N) według kryteriów: W gdy dziecko bezbłędnie lub z 1 błędem wskazało niepoprawnie ułożone kafelki i nakleiło w ich miejsce właściwe, albo przekształciło wzór w inny, również regularny, popełniając najwyżej 1 błąd; wyjaśniło werbalnie zasadę budowy wzoru; Ś gdy popełniło 2 błędy przy wskazywaniu niewłaściwych kafelków i naklejaniu w ich miejsce dobrych; nazwało zasadę budowy wzoru lub gestami wskazało na powtarzające się elementy; N gdy popełniło więcej niż 2 błędy; ani słowem ani gestem nie uzasadniło zasady budowy wzoru. Większość dzieci, po prezentacji zadania, przez chwilę oswajała się z materiałem. Niektóre z nich wodziły palcem po wzorze, inne komentowały np. Muszę się przyglądnąć; To trudne. Następnie dzieci zaczynały naprawiać wzory. Część dzieci wybierała kafelek w sposób przypadkowy i przykładała do wzoru, a gdy nie pasował, wymieniała go na inny. Niektóre dzieci przyjęły strategię uważnej obserwacji kafelków, tak, by od razu wziąć ten właściwy. Często, myliły z oraz z, bądź brały dobry kafelek lecz przyklejały go w niewłaściwym położeniu (np. w obrocie). 147

148 Generalnie można uznać, że zadanie okazało się dla dzieci bardzo trudne. Żadne dziecko nie rozwiązało go na poziomie wysokim. Zaledwie troje dzieci wykonało zadanie na poziomie średnim. Jedno z nich wskazało wszystkie zaburzenia tylko we wzorze B i skorygowało je wklejając właściwe kafelki. Inne uznało, że cały wzór A powinien składać się z kół (rys. 2a) i tak go konsekwentnie, choć z jednym błędem, poprawiło. Układając kafelki mówiło Powinny tu wszędzie być kółka. Trzecie z dzieci uznało, że większość kafelków należy wymienić i cały wzór B przekształciło we wzór, w którym powtarzającym się motywem był układ dwóch kafelków, tworzących koło. Szesnaścioro dzieci wykonało zadanie na poziomie niskim. W większości dzieci we wzorze A nie potrafiły dostrzec figury, złożonej z 4 kafelków, jako powtarzającego się motywu. Stąd też, jak się zdaje, nie umiały wskazać zaburzeń w układzie elementów tej figury. Jednemu dziecku udało się dostrzec i naprawić zaburzenie regularności w jednym miejscu (rys. 2b). Inne zaś uznało, że żaden kafelek nie pasuje, i wszystkie zastapiło, tworząc inny wzór (rys. 2c). Żadne dziecko nie określiło poprawnie zasady budowy tego wzoru. Wzór B również sprawił dzieciom trudność. Nie potrafiły dostrzec regularności w krzyżujących się, falujących liniach. Wskazywały palcem na koła, jako fragmenty inne od pozostałej części wzoru. Pięcioro dzieci stwierdziło, że koła nie pasują, nie potrafiły jednak przykleić kafelków tak, by wzór był regularny. Jedno wprawdzie poprawnie wskazało niepasujący kafelek w prawym górnym rogu (rys. 2d), ale niewłaściwie przykleiło nowy. Dzieci pytane o to, które kafelki nie pasują odpowiadały: Nie pasuje to, bo jest kółko, powinno być półkole; Bo tu było kółko, a miał być pasek. Pomimo, że indagowane dzieci właściwie opisały zasadę budowy wzoru i wskazały zaburzenie regularności, nie potrafiły naprawić wzoru. Kilkoro dzieci, prawdopodobnie zniechęconych trudnością, mówiło, że wszystkie kafelki pasują. Rys. 2. Przykłady prac dzieci w badaniach wstępnych a b c d 148

149 Po badaniach wstępnych przeprowadzono z dziećmi serię dziesięciu 40- minutowych zajęć eksperymentalnych, podczas których miały one okazję rozwiązywać różne zadania związane z regularnościami zarówno geometrycznymi płaszczyznowymi jak i liniowymi oraz z regulanościami dźwiękowymi i ruchowymi. Dzieci badały i tworzyły ornamenty, kontynuowały rozpoczęte wzory, bądź uzupełniały luki w takich wzorach. Analizowały na czym polega regularność, mówiły co się powtarza i przewidywały jakie elemeny powinny być następne. Podczas zajęć wykorzystywane były inne zadania i inne materiały niż w badaniach wstępnych. Badania końcowe Po serii zajęć z dziećmi, otrzymały one ponownie to samo zadanie co w badaniach wstępnych. Dwoje dzieci wykonało oba zadania bezbłędnie (np. rys. 3b), na poziomie wysokim. One poprawnie skorygowały zarówno wzór A jak i wzór B. Np. przy wzorze B dziewczynka określiła, że tu powtarzają się takie wiatraczki i wskazała na układ czterech kafelków. Chłopiec z kolei pokazując ten układ mówił, że te kafelki tak zakręcają w jedną stronę. Ośmioro dzieci wykonało zadanie na poziomie średnim. Wszystkie wskazały miejsca zaburzenia regularności jednak tylko sześcioro z nich wkleiło w te miejsca właściwe kafelki. Dwoje z nich, choć prawidłowo wskazało zaburzenia regularności, to nakleiło takie same kafelki, jakie były wcześniej lub inne niewłaściwe (rys. 3a). Dzieci określały zasadę budowy wzoru jako: Takie kwiatki (Ola); Spodki tu się powtarzają, lub wskazywały gestem na powtarzający się motyw. Rys. 3. Przykłady prac dzieci w badaniach końcowych a b c d Korygując wzór B dzieci popełniały więcej błędów niż przy korekcie wzoru A. Na przykład, dobrze wskazały miejsca zaburzenia regularności, jednak nie nakleiły nowych kafelki poprawnie (rys. 3c). Jeden z chłopców zaczął układać własną, nową regularność w lewym górnym rogu wzoru B, szybko jednak się zniechęcił i uznał, że już wszystkie kafelki pasują (rys. 3d). 149

150 Dziewięcioro dzieci wykonało zadanie na poziomie niskim. Nie dostrzegły one istoty regularności, nie potrafiły więc wskazać zaburzeń we wzorze, a tym samym nie potrafiły tych zaburzeń skorygować. Z zestawienia wyników badań wstępnych i końcowych w tabeli: Etap badań Liczba dzieci wykonujących zadanie na poziomie wysokim średnim niskim razem Badania wstępne Badania końcowe wynika, że oddziaływania dydaktyczne przyniosły pewien pozytywny efekt w zakresie korygowania zaburzeń. Wnioski Jak można wnosić z uzyskanych wyników badań, zadania, takie jak zaprezentowane, są w zasięgu możliwości dzieci 5-letnich, chociaż nie wszystkich. Mając na uwadze te ostatnie dzieci, warto, uwzględniając zasadę stopniowania trudności, zaproponować im zadania nieco łatwiejsze, z bardziej wyrazistym wzorem, być może na materiale tematycznym (nie abstrakcyjnym), z użyciem kolorów. Ważne by dzieci chciały podjąć wysiłek rozwiązania i by odniosły sukces. Następnie można stopniowo podnosić im poprzeczkę. Dzięki podjętym działanim dydaktycznym zwiększyły się umiejętności dzieci nie tylko w zakresie korygowania zaburzeń w regularnościach, ale także w zakresie ich kontynuowania, uzupełniania i tworzenia. Ze względu na skuteczność podjętych działań, sądzę, że należy kontynuować badania dotyczące tej tematyki, aby wypracować efektywne sposoby rozwijania u dzieci w wieku przedszkolnym i wczesnoszkolnym kompetencji w zakresie rytmów i regularności. Jest to zadanie ważne, gdyż wykrywanie regularności jest świadectwem inteligencji. Na regularnościach bazują m.in. liczne zadania testów inteligencji, których wysokie wyniki są przepustką do wielu zawodów. Literatúra 1. MILER, E.: Rozwijanie u dzieci 5-letnich umiejętności dostrzegania regularności geometrycznych. Kraków: niepublikowana praca licencjacka napisana pod kier. B. Nawolskiej, 2012, 114 s. 2. NAWOLSKA, B.: Jak dzieci 4-letnie kontynuują regularności sekwencyjne. In: Tvořivost v počátečnim vyučováni matematiky. Vědecká konference s mezinárodni účasti věnovaná matematickému vzděláváni v primárni škole. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2011, s NAWOLSKA, B.: Rytmy i regularności w matematyce. In: Z teorii i praktyki edukacji dziecka. Inspiracje dla nauczycieli przedszkoli i klas I-III szkoły podstawowej. Kraków: Wydawnictwo Naukowe UP w Krakowie, 2011, s Kontaktná adresa dr Barbara Nawolska Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie ul. Ingardena 4 Telefon:

151 MATEMATICKÝ TALENT NA 1. STUPNI ZŠ Jiřina NOVOTNÁ Abstrakt V článku se zamýšlíme jednak nad možnostmi včasné identifikace nadaných dětí v matematice a jednak nad způsoby rozvíjení jejich talentu. Uvádíme několik možností této identifikace, jak vyplynulo z provedeného průzkumu. Překvapujícím zjištěním je fakt, že nadané děti nejčastěji nasměrují k zájmu o matematiku jejich prarodiče. Rozvíjení matematického talentu může probíhat v několika rovinách: ve škole v hodinách matematiky, v zájmových kroužcích, v rámci matematických soutěží, ale také stimulací v domácím prostředí. Klíčová slova: talent, nadaní žáci, matematika, identifikace, průzkum, matematické soutěže, stimulace škola, GIFT OF MATHEMATICS IN PRIMARY SCHOOL Abstract Our contribution deals with both methods of early identification of gifted pupils in mathematics and various ways of developing their gift. Dome possibilities of the identification are demonstrate as the result of our research. Surprising fact is based on finding that pupils gifted in mathematics are mostly influenced by their grandparents. Developing of their gift can be realized in some levels as school on mathematical lessons, in mathematical competitions and also in challenge surrounding at home. Key words: gift, gifted pupils, mathematics, identification, research, school, mathematical completion, stimulation 1. Vzdělávání nadaných a legislativa Vzdělávání nadaných jedinců je komplikovaný psychologický a speciálně pedagogický problém. Vedle základního výzkumu (zejména psychologického) je třeba provádět i výzkum aplikovaný, který by měl přinést konkrétní postupy a prostředky pro vzdělávání nadaných. I když nadaní žáci tvoří značně nehomogenní skupinu, přesto dle [3], [8] a [10] jsou pro nadané v oblasti poznávání charakteristické tyto skutečnosti: schopnost manipulovat abstraktními symbolickými systémy, schopnost rychle odhalit vztah příčina-následek a podstatné souvislosti, schopnost dlouhodobé koncentrace pozornosti, kvalitní krátkodobá i dlouhodobá paměť, rychlý rozvoj řeči, zvídavost, různorodost zájmů nebo jeden hluboký zájem. V oblasti učení jde o: preferenci samostatné práce, rychlé tempo učení, menší potřebu učební látku opakovat a procvičovat, radost z intelektuální činnosti, zájem o náročnější úkoly, schopnost samostatně vyhledávat nové informace, chápat je v souvislostech a vytvářet nové úkoly. V oblasti legislativy se mimořádně nadanými žáky zaobírají zákon 561/2004 Sb. o předškolním, základním středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání, který vstoupil v platnost až a poprvé vymezil pojem mimořádně nadaný žák, a 151

152 vyhláška MŠMT č. 73/2005 Sb. určující podmínky identifikace mimořádně nadaných žáků a blíže specifikující způsoby pedagogické péče o ně ve smyslu obohacování osnov a akcelerace. Podle zmiňované vyhlášky se mimořádně nadaným žákem rozumí jedinec, jehož rozložení schopností dosahuje mimořádné úrovně při vysoké tvořivosti v celém okruhu činností nebo v jednotlivých rozumových oblastech, pohybových, uměleckých a sociálních dovednostech. Dle školské legislativy se vzdělávání mimořádně nadaného žáka může uskutečňovat podle individuálního vzdělávacího plánu (dále IVP). Na vypracování IVP se podílí především učitel, dále pracovník školského poradenského zařízení a zákonný zástupce žáka či studenta. IVP je sestaven podle aktuálních schopností v jednotlivých předmětech (předmětu), ke kterým se vyjadřuje psycholog školského poradenského zařízení. Za IVP je zodpovědný ředitel školy a zákonný zástupce jej po seznámení potvrdí podpisem. 2. Identifikace nadaných žáků Na počátku identifikace nadaného žáka nemusí být nutně poradenský pracovník. Ve většině případů jsou to lidé z nejbližšího okolí dítěte, rodiče, prarodiče, učitelé, zkrátka osoby, které bývají v častém kontaktu s dítětem. V psychologicko-pedagogické poradně (dále jen PPP) je dítě vyšetřeno na podnět některé z výše zmíněných osob, ovšem vždy se souhlasem rodičů. Úkolem psychologa je zjistit, o jaký typ a rozsah nadání se jedná. Identifikace některých nadaných žáků bývá velmi obtížná, neboť se může stát, že nadaný žák odmítne přijmout svůj talent, aby byl stejný jako ostatní. Popření mimořádných schopností bývá pro dítě stresující a velmi často se pak dítě jeví jako sociálně nepřizpůsobivé a neprospívající, podrobněji je o tomto problému zmíněno ve [13]. Matematické nadání může být též spojeno s některou poruchou např. s dysgrafií, dyslexií, podrobněji např. [1], [2], [7]. Identifikace těchto nadaných žáků bývá velmi náročná, přesto se například podařilo na Základní škole Křídlovická v Brně rozpoznat matematický talent u 9 žáků se specifickými poruchami učení, tito žáci byli zařazeni do matematických tříd. Naopak také, některé děti díky vynikající a stimulující domácí péči se mohou zdát být nadané, ale později se ukáže, že byly pouze urychlené. V pubertě nastává též změna paměti z mechanické na logickou, u některých jedinců se teprve v této době začíná projevovat matematické nadání. Univerzitní profesor matematiky P. T. o sobě říká: Až do sedmé třídy jsem míval z matematiky většinou trojku, pak jako by se mi náhle rozsvítilo, pochopil jsem logické vztahy a v matematice jsem exceloval. Jedinci, u kterých se matematické nadání projeví až po odchodu jejich spolužáků na víceletá gymnázia či do speciálních matematických tříd, bývají často ve výuce opomíjeni. 3. Výsledky průzkumu identifikace nadaných žáků v matematice Dotazníky, týkající se sledované problematiky, byly předány učitelům nadaných žáků jednak na semináři MAKOS-KLOKAN, jednak při praxi našich studentů na nižších gymnáziích, případně v matematických třídách základních škol. Z distribuovaných 300 dotazníků se nám jich vrátilo 236, podrobněji je výzkum popsán v [6]. Uveďme otázku č.3 dotazníku: Byli na počátku tvého zájmu rodiče či někdo z tvého blízkého okolí? Nebo náhodná zmínka v beletrii, denním tisku, rozhlasová relace aj.? Jak dokumentuje tab. 1, nejvíce matematicky nadaných žáků identifikují prarodiče. 152

153 Tabulka 1. Učitelé Rodiče Prarodiče Při soutěžích Formy vzdělávání mimořádně nadaných žáků Vzdělávání mimořádně nadaných žáků může probíhat různými formami. Nejčastěji jsou v literatuře [7], [8], [11] zmiňovány následující způsoby výuky těchto žáků: Integrace dítě se vzdělává v běžné třídě ZŠ, vzdělání je upraveno v IVP, učitel by měl být připraven poskytnout svému žákovi dostatečné podmínky a prostředky pro rozvoj jeho talentu. Individuální péče v kmenové třídě formou obohacování učiva, tzv. enrichment. Dochází při něm k rozšíření znalostí, zájmů, dovedností, za hranici běžného učiva. Mělo by postihnout dvě základní roviny: rozšiřování učiva tak, aby postihlo co nejširší kontext učiva a prohlubování učiva seznámit žáky s podrobnostmi a detaily. Je možné využívat projektového učení, práci v daltonských blocích, prezentace vlastní práce žáků, Měly by být využívány alternativní učebnice, sbírky, encyklopedie, počítačové programy a prezentace, atd. Segregace vzdělávání dětí ve školách, kde se nacházejí pouze třídy pro mimořádně nadané. Metody, prostředí školy, obsah vyučování je jim zcela přizpůsoben. Kombinované formy dítě může navštěvovat třídu pro mimořádně nadané v běžné ZŠ nebo se vzdělávat ve skupině vytvořené speciálně pro mimořádně nadané žáky v daném předmětu. Závěry výzkumných sond porovnávající efektivitu integračních a segregačních modelů jsou však stále protikladné. Podle Průchy (2009), jak je uvedeno v [9], má segregace nadaných především tyto pozitivní stránky: - poskytuje možnost sjednotit vývojovou úroveň žáků a jejich vzdělávací potřeby s formou a metodami vyučování, - učitel se může zaměřit jen na velmi malé rozpětí schopností vyučovaných žáků, - formuje se prostředí stimulující další rychlý rozvoj schopností. Proti segregaci nadaných jsou uváděny tyto argumenty: - nadaní žáci jsou trvale označeni, mohou mít pocit odlišnosti a vyčlenění z vrstevnické skupiny, - vlivem zvýšené soutěživosti v homogenních seskupeních může dojít ke snížení sebehodnocení nadaných žáků v oblasti schopností a školní úspěšnosti, - jedná se o alternativu vzdělávání vhodnou pouze pro větší města, s dostatečným počtem nadaných žáků. 4. Ukázka obohacování učiva pro nadané žáky Jako ukázku obohacování učiva uvedeme následující úlohu, kterou je možno zadat už ve třetí třídě po probrání algoritmu písemného sčítání, samozřejmě také ve vyšších ročnících. Žáci objeví jen některá řešení této úlohy: Písmena nahraď číslicemi tak, abys obdržel správný součet tří čtyřciferných čísel. (VLAK + JEDE + JAKO) = DRAK), Součet zapiš pod sebe. 153

154 VLAK JEDE JAKO DRAK Nadaný žák M.S. řešil ve třetí třídě úlohu takto: Kdybychom chtěli určit všechna řešení, bylo by třeba sestavit matematický model zadaného problému: (1), (2) d, j, v a, e, k, l, r a d e j k l o r v, (4) e + o = 10, (5) d + k = 9, (6) a + e + l r = -1, anebo (6 ) a + e + l r = 9, anebo (6 ) a + e + l r = 19 (7) -d + 2j + v = 0, anebo (7 ) -d + 2j + v = 1, anebo (7 ) -d + 2j + v = 2 a pak najít jeho řešení. Řešením modelu s podmínkami bez čárek obdržíme následující rozšířenou matici soustavy: a d e j k l o r v p i, kde p i je hodnota pravé strany rovnice Podle Frobeniovy věty můžeme tedy pět neznámých, např. k, l, o, r, v volit tak, aby byly zachovány podmínky (1), (2), (3). Při zpětném chodu obdržíme: j =0,5. (9 - v), v tedy musí být liché menší než 9, tedy v e= o, o 0, pro volbu o máme tedy 9 možností, d = 9 - k, d 0, k můžeme tedy volit devíti způsoby. Nejsilnější je vazebná podmínka získaná z první rovnice matice soustavy: a = -1 + r e l. Je vhodné pro nalezení všech možností sestavit tabuku pro r Na ukázku uvedeme tabulku pro r = 9. Tabulka 2 e l a Závěr Nadaný jedinec je silně vnitřně motivován, nejčastěji v podobě zájmu o danou oblast. Tento zájem je těsně spjat s nadáním, musí být v člověku podnícen a rozvíjen. 154

155 Poděkování: Článek vznikl v rámci VZ MSM Speciální potřeby žáků v kontextu rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání.. Literatura 1. BLAŽKOVÁ, R., VAŇUROVÁ, M, Charakteristika nadaného žáka s poruchou učení z hlediska matematických úloh. In M. Uhlířová (ed.)matematické vzdělávání - -z hlediska proměn primární školy, s Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, ISBN BLAŽKOVÁ, R., PORTEŠOVÁ. Š. VAŇUROVÁ, M, Nápadné výkonové rozpory při řešení matematických úloh u nadaného žáka se souběžnou dyslexií. In Šimoník, O. (ed.) Vzdělávání nadaných žáků. Masarykova univerzita, ISBN DAVIS, G. A., RIMMOVÁ, S. B., Education of the Gifted and Talented. Needham Hights: Allyn a Bacon, ISBN X 4. De HAAN, R.F., HAVIGHURST, R.J.: Educating Gifted Children. Chicago, University Press, GAGNÉ, F. Giftedness and Talent: Reexamining a reexamination of the definitions. Gifted Child Quaterly, 29/3, NOVOTNÁ, J., BĚLOHOUBKOVÁ, I. Kdy, kde a jak se projeví matematické nadání. In Nadaní žáci ve škole. Brno: MU, 2011., s ISBN PORTEŚOVÁ, Š. Skryté nadání. Psychologická specifika rozumově nadaných žáků s dyslexií.brno: Nakladatelství Masarykovy university, ISBN PRUCHA, J.. Pedagogická encyklopedie: Praha: Portál, ISBN PÝCHOVÁ, I.: K výuce nadaných a talentovaných žáků. Pedagogika XLVI, RENZULLI, J.S.: The Enrichment Triad Model: A Guide for Developing Defensible Programs for the Gifted and Talented. Mansfield Venter, CT, Creative Learning Press STERNGERG, R.J., LUBART, T.I. Creative Giftedness in Children. In: Klein, S., TANNENBAUM, A.J., (Eds): To be young and gifted. Norwood, N.J., Ablex Publishing Corporation, TANNENBAUM, A., J. Gifted Children: Psychological and Educational Perspectives. New York, Macmillan VONDRÁKOVÁ, E. RVP ZV a zkušenosti s nadanými a mimořádně nadanými žáky. Metodický portál, 20006(on-line verze:http: // Kontaktní adresa PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D. Katedra matematiky, PdF MU Poříčí 31, Brno, ČR Telefon:

156 WIELOPOZIOMOWOŚĆ ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ Z TREŚCIĄ JAKO ODPOWIEDŹ NA ZRÓŻNICOWANIE DZIECI Zbigniew NOWAK Abstrakt Systemowa zmiana jaka dokonuje się w polskiej szkole na poziomie edukacji wczesnoszkolnej i jej rozciągnięcie w czasie tworzy całkowicie nową i niezmiernie trudną sytuację dla uczniów i nauczycieli zwłaszcza na zajęciach z matematyki. Na przestrzeni kilku ostatnich lat, a wiele wskazuje, że także przez kilka następnych, w tych samych klasach i tych samych ławkach będą obok siebie zasiadać dzieci dwóch roczników różniące się rozwojowo nawet o 4-5 lat. Poniżej przedstawię na przykładzie koncepcję wielopoziomowego rozwiązywania zadań z treścią, która może byś szansą na pożyteczne uczestnictwo w nauce wszystkich dzieci. Kľúčové slová: zadanie z treścią, różnice indywidualne, symulacja, matematyzacja MULTI-LEVEL SOLVING EXERCISES WITH CONTENT AS A RESPONSE TO DIVERSITY OF CHILDREN Abstract Systemic change which takes place in the Polish school of early childhood education and its extension in time creates a completely new and extremely difficult situation for students and teachers, especially in math classes. Over the last few years, and there are indications that even for a few more, in the same classrooms and at the same desks will sit next to each other two children evolutionaryly different about 4-5 years. Below I will present the example of the concept of multi-level solving exercises with contents, which may be useful as an opportunity of participation in the learning of all children. Key words:exercises with contents, individual differences, simulation, mathematization 1. Istota i zalety wielopoziomowego rozwiązywania zadań z treścią Jeżeli psychologowie mają rację, to uwzględniając metrykalną zasadę zapisów dzieci do szkoły i powoływanie do niej dwu roczników, w jednej klasie pierwszej możemy mieć do czynienia, w sensie rozwojowym, z dziećmi czteroletnimi i dziewięcioletnimi (por. Gruszczyk-Kolczyńska 2012: 48). Dodajmy, w klasie zwyczajnej a nie w tzw. klasie łączonej. Zważywszy, że ani zróżnicowane tempo rozwoju, ani tym bardziej zamieszanie wywołane nieprzygotowaną reformą systemu, nie jest w żaden sposób zawinione przez dzieci, powinniśmy uczynić wszystko, co jest możliwe i dostępne, by płacone przez nie koszta tego zróżnicowania i zamieszania zminimalizować. Poniżej przedstawię, na konkretnym przykładzie, możliwość istotnego różnicowania poziomu rozwiązywania zadań z treścią, która daje szansę aktywnego i pożytecznego spędzania czasu na lekcjach dzieciom będącym na różnych poziomach rozwoju. Tę i inne korzyści, można ująć następująco: 156

157 1. Możliwość aktywnego uczestnictwa w rozwiązywaniu zadań przez dzieci na poziomie przedoperacyjnym i na różnym poziomie zaawansowania myślenia operacyjnego. 2. Możliwość rozwiązywania zadań ciekawszych, mniej oczywistych w swojej strukturze matematycznej, przez co promujących myślenie problemowe. 3. Budowanie u dzieci przekonania o istnieniu i możliwości wykorzystania różnych dróg wiodących do tego samego rozwiązania, tak, że jeżeli jedna z nich zawodzi, porzuciwszy ją trzeba szukać innej, bo ona na pewno istnieje. 4. Kształtowanie u uczniów umiejętności łączenia różnych poziomów rozwiązywania zadań i przechodzenia między nimi, tak, by w sytuacji zaistnienia trudności dziecko mając tego świadomość, mogło się cofnąć i skutecznie skorzystać z rozwiązania mniej zaawansowanego. 2. Poziomy rozwiązywania zadań z treścią. Przykład Edukacja matematyczna dzieci jest procesem wspinania się po kolejnych piętrach budynku, którego fundamenty tkwią w ziemi zdarzeń konkretnych, a dach sięga nieba abstrakcji i operacji formalnych. Jest to analogia o tyle trafna, że zasadniczo wskazuje na ustaloną i konieczną kolejność osiągania poszczególnych pięter. I tu, jak w prawdziwym budynku, są półpiętra, a na każde z nich wiedzie wiele stopni. Także i tu, osiągnięcie piętra wyższego nie anihiluje niższych, a tylko zwiększa widoki i zasięg możliwości, tak że w obliczu trudności można się cofnąć do pięter już wcześniej opanowanych. I wreszcie tak, jak nie ma racji bytu wieżowiec budowany od pierwszego, czy drugiego piętra, a jego solidność leży u podstaw - w fundamencie, tak w budowaniu matematycznej wiedzy dzieci od tego solidnego fundamentu należy zacząć. W odniesieniu do rozwiązywania zadań z treścią można, jak sądzę, opisać te poziomy jak następuje (jest to rozbudowana systematyka Stefana Turnaua). 1. Inscenizacja. 2. Symulacja. 3. Buttonizacja. 4. Ilustracja. 5. Schematyzacja. 6. Formalizacja (por. Turnau 1985: 71, 72). Jak wspomniano, między nimi może istnieć dowolnie wiele poziomów pośrednich. Zadanie Na początek przytoczmy treść zadania i dokonajmy jego krótkiej charakterystyki. Do klasy Ia uczęszcza dwanaścioro (12) dzieci. Siedmioro (7) z nich ma brata, ośmioro (8) ma siostrę, a dwoje (2) jest jedynakami. Ile dzieci ma i brata i siostrę? Jak można zauważyć, zadanie jest statyczne co do treści, addytywne z punktu widzenia formalnego i ma dane częściowo nieuporządkowane. Jest zadaniem wielodziałaniowym, złożonym łańcuchowo, składającym się z pięciu zadań prostych: (1) Ile dzieci miało rodzeństwo?, (2) Ile dzieci miało tylko siostrę?, (3) Ile dzieci miało 157

158 tylko brata?, (4) Ile dzieci miało albo brata albo siostrę?, (5) Ile dzieci miało i brata i siostrę?. Zadania te tworzą łańcuch zależności, który wygląda następująco: A. Rozwiązanie zadania na poziomie inscenizacji treści Do rozwiązania zadania na tym poziomie wystarczy stworzyć trzy grupy dzieci (zachowując istotę problemu matematycznego można dostosować dane do liczebności własnej klasy): (i) dwunastoosobową grupę uczniów, (ii) siedmioosobową grupę braci, (iii) ośmioosobową grupę sióstr. Od grupy uczniów odłączamy dwoje jedynaków, pozostałym dzieciom podają rękę bracia, a następnie siostry. Okazuje się, żę niektóre z dzieci mają zajęte obie ręce ( mam brata i mam siostrę ), a przeliczenie ich daje rozwiązanie zadania. B. Rozwiązanie zadania na poziomie symulacji treści Do rozwiązania wykorzystujemy liczmany, np. krążki. krążki symbolizujące braci krążki symbolizujące dzieci krążki symbolizujące siostry Układamy w rzędzie dwanaście krążków (kasztanów, patyków, kart itp.), które symbolizują uczniów. Po odłączeniu dwójki jedynaków układamy nad i pod uczniami odpowiednio siedem i osiem krążków, a rozwiązanie wyznacza liczba trójek. Praktyka wskazuje, że krążki symbolizujące siostry dzieci zaczynają układać, jak braci od lewej strony. Powoduje to jednak, że liczba jedynaków zwiększa się do czterech, co jest sprzeczne z warunkami zadania i zmusza do szukania innego rozwiązania, którym jest ustwianie krążków od końca. Do symulacji można wykorzystać także klocki Cuisenaire a symulując treść następująco: Układamy pociąg z klocków symbolizujących liczby 10 i 2. Następnie klocek 2 odsuwamy, nad klocek 10 kładziemy 7, a pod nim, od końca 8. Przestrzeń 2 158

159 między końcami klocków 7 i 8 wypełniamy pięcioma klockami 1 lub klockiem 5, co jest rozwiązaniem zadania. Przy okazji warto zwrócić uwagę, że nieporozumieniem, a może nawet poważnym błędem dydaktycznym jest traktowanie symulacji wyłącznie jako sposobu dochodzenia do wyniku, co praktycznie zawęża możliwość ich sensownego stosowania do działań w niewielkim zakresie liczbowym (do 20). Drugim, ważniejszym i ogólniejszym celem symulacji jest bowiem objaśnianie. Nawet w zadaniach realizowanych na dużych liczbach, zapoczątkowana manipulacja (tzw symulacja częściowa ) daje uczniowi szansę zrozumieć problem i odnaleźć sposób jego rozwiązania. Gdy to nastąpi, dalej proces może być kontynuowany na poziomie formalnym (por. Puchalska, Semadeni 1985: 123,124). C. Rozwiązanie zadania na poziomie buttonizacji (metoda guziczkowa) Rysujemy w pętli dwanaście kółek symbolizujących uczniów. Dwa z nich otaczamy kolorową pętlą, co symbolizować będzie jedynaków. Natępnie pętlą innego koloru otaczamy siedem kółek symbolizujących dzieci mające brata. Ponieważ pozostały tylko trzy wolne kółka, a pętą powinniśmy otoczyć osiem symolizujących dzieci mające siostrę, musimy objąć nią także pięć kółek z pętli dzieci mających brata. W ten sposób powstaje jeszcze jeden podzbiór kółek znajdujących się w obu pętlach, które tym samym odnoszą się do dzieci mających i brata i siostrę. Wystarczy je przeliczyć. Ten sposób bardzo sugestywnie objaśnia matematyczną istotę zadania, którą jest część wspólna (iloczyn) zbiorów. D. Rozwiązanie zadania na poziomie ilustracji Wykonując z dowolną dosłownością rysunek grup dzieci, można zadanie rozwiązać np w sposób następujacy. lub w większym uproszczeniu: { } E. Rozwiązanie zadania na poziomie schematyzacji Można wykorzystać w rozwiązaniu zadania graf typu drzewo. Tu przedstawione zostanie drzewo do roziązania zadnia metodą syntetyczną (od danych ku niewiadomej). 159

160 F. Rozwiązanie zadania na poziomie formalizacji (matematyzacji) Proces polega na rozwiązaniu kilku zadań prostych. Np.: I (1) 12 2= 10, (2) 10 7=3, (3) 10 8=2, (4) 3+2=5, (5) 10 5=5, albo idąc innym tropem rozumowania: II (1) 12 2 = 10, (2) 8+7 = 15, (3) =5, lub jeszcze inaczej: III (1) 12 2 = 10, (2) 10 7 = 3, (3) 8 3 = 5. Ponieważ zadanie jest złożone łańcuchowo, można je przedstawić jedną formułą: I 12 ( )=5, II 8+7 (12 2)=5, III 8 (12 2 7)=5 Inne możliwości rozwiązywania podobnych zadań z ich obszerną analizą i interpretracją można znaleźć np. w pracy B. Nawolskiej (Nawolska 2010: ). 3. Konkluzja Jeżeli Księga Natury pisana jest w języku matematyki (Galileusz), to powszechna umiejętność jej skutecznego czytania, jawi się jako prymarnie ważna w wymiarze indywidualnym i cywilizacyjnym. Elementarzem tej umiejetności jest rozwiązywanie zadań z treścią, a opisana wielopoziomowość jest szaną by czytać nauczyło się więcej dzieci. Literatúra 1. GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA, E.: Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Warszawa: WSiP, 2012, s NAWOLSKA, B.: Aktywność matematyczna dziecka w edukacji wczesnoszkolnej. In: Relacje i konteksty (w) edukacji elementarnej. Kraków: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, 2010, s PUCHALSKA, E. SEMADENI, Z.:, Manipulacyjne metody wykonywania obliczeń oraz rozwiązywania równań i zadań tekstowych. In: Nauczanie początkowe matematyki. Warszawa: WSiP, 1985, t. 3. s TURNAU, S.: Zadania tekstowe i stosowanie pojęć matematycznych. In: Nauczanie początkowe matematyki. Warszawa: WSiP, 1985, t. 3, s WOŁOSZYNOWA, L.: Młodszy wiek szkolny. In: Psychologia rozwojowa dzieci i młodzieży.warszawa: PWN, 1979, s Kontaktná adresa Dr Zbigniew Nowak AkademiaTechniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej Ul. Willowa 2 Telefón:

161 NÁSOBENIE - FAKT, POJEM A POZNATOK Edita PARTOVÁ Abstrakt Ovládanie násobenia sa považuje za zásadnú požiadavku v matematike na 1. stupni základnej školy. Hlbšia analýza toho, čo presne znamená ovládať násobenie ukazuje veľkú nejednotnosť nielen vo verejnosti, ale aj medzi učiteľmi. Štandardy nie sú dostatočne presné, je možná ich rôzna interpretácia. Pri plánovaní učiva a pri meraní výsledkov sa neuplatňujú dôsledne etapy poznávacieho procesu ani hierarchia vzdelávacích cieľov, teda nie vždy sa dajú identifikovať formálne vedomosti. V príspevku je uvedená metóda, organizácia aj výsledky prípadových štúdií, ktoré budú slúžiť ako východisko pre meranie väčšieho rozsahu. Kľúčové slová: matematika v primárnom vzdelávaní, násobenie, reprezentácie pojmov. MULTIPLICATION FACT, CONCEPT AND KNOWLEDGE Abstract Know the multiplication is considered as the fundamental requirement in mathematics on primary school. A deeper analysis of what exactly mean to know the multiplication shows a great variety in public, and also among teachers. Standards are define not enough exactly, it is possible their different interpretations. When planning the curriculum and in measuring the results are not applied consistently levels of cognition process or hierarchy of educational objectives. Therefore not always we can identify the formal knowledge. In the article are presented method, organization and the results of case studies, which will serve as a starting point for the measurement of a larger scale. 1. Učivo násobenie v učebných osnovách a v učebniciach Učivo násobenie je veľmi často diskutované z hľadiska metód aj časového zaradenia a rozvrhnutia vyučovania, nielen u nás, ale aj v zahraničí. Niekoľko desaťročí sa presúvalo učivo z ročníka do ročníka aj na Slovensku. Publikácia 5 svedčí o tom, že v polovici minulého storočia bolo násobenie v obore do 25 zaradené do prvého ročníka ZŠ. Neskôr v šesťdesiatych rokoch sa preberalo násobenie v obore do 20 v druhom ročníku a v treťom ročníku sa ukončilo násobenie v obore násobilky. Toto časové zaradenie sa udržalo až do reformy v roku 2008, kedy sa zavedenie násobenia v obore do 20 presunulo až do tretieho ročníka ZŠ a ukončovanie v obore násobilky až do 4. ročníka. Táto úprava nie je v súlade s potrebami a schopnosťami žiakov. Mnoho detí v súčasnosti začína školskú dochádzku vo veku viac ako 6 rokov, teda ich rozumové schopnosti umožňujú prijať pojem násobenia v druhom ročníku v obore do 20. Pravdepodobne podľa individuálnych schopností sa dá obor aj mierne rozšíriť (napríklad o násobky 10). Druhý problém je problém potreby, žiaci v treťom ročníku už potrebujú riešiť rôzne problémy násobením v každodennom živote aj v iných 161

162 predmetoch. Paradoxne presúvanie učiva môže byť jeden z dôvodov formalizmu a absencie porozumenia. Analýza učebných osnov a učebníc v rôznych európskych aj mimoeurópskych krajinách ukazuje, že zavedenie násobenia je zaradené do osnov vo veku, čo zodpovedá nášmu druhému ročníku, ale nie je zriedkavé, že propedeutika násobenia začína už v prvom ročníku, alebo v prípravnom ročníku pred školou. 2. Rozbor reprezentácií pojmu Reprezentácia pojmov má najmä v primárnej matematike kľúčový význam, a vo veľkej miere ovplyvní hĺbku porozumenia pojmu. Pojem násobenia je z pohľadu reprezentácie veľmi zložitý. Okrem stupňov reprezentácie podľa Brunnera 2 musíme brať do úvahy aj rôzne chápania pojmu a dodržať etapy poznávacieho procesu. Násobenie sa najčastejšie chápe ako určenie počtu prvkov zjednotenia navzájom disjunktných ekvivalentných množín, v zjednodušenej učiteľskej terminológii ako sčítanie rovnakých sčítancov. Okrem toho je možné chápať násobenie aj ako postupné pripočítanie toho istého čísla teda podľa definície pomocou nasledovníka a násobenie je možné chápať aj ako karteziánsky súčin. V rozsahu tohto článku sa nemôžeme venovať kombinatorickým úlohám, ktoré sa riešia násobením, tieto úlohy sú rozobrané v mnohých publikáciách, napríklad v 1, 4. Musíme brať do úvahy aj to, v ktorom prípade ide o vonkajšiu alebo vnútornú operáciu. 1 Ak si uvedomíme, že všetky možné definície by mali prejsť všetkými stupňami reprezentácie, pritom ešte musíme rešpektovať aj iné detaily znázornenia, (napríklad, či ide o usporiadané alebo neusporiadané množiny, akú funkciu má farba a poloha objektov alebo obrázkov), je evidentné, že modely násobenia musíme voliť veľmi starostlivo. Uvedieme niekoľko príkladov znázornenia bez nároku na úplnosť. Na obrázkoch 1a, 1b, a 1c sú modely základného spoja 3.4 ako zjednotenia ekvivalentných množín, pričom množiny nie sú usporiadané. Rozdiel v znázornení je vo farebnosti. Obr.1a reprezentuje skupiny rôznej farby. Cieľom je aby vynikli 3 skupiny a ekvivalentnosť treba kontrolovať. Obr. 1b obsahuje objekty rovnakej farby tri skupiny po 4 objektov, vyžaduje väčšiu pozornosť žiakov. A obr. 1c vyžaduje uvedomenie si toho, že farba neovplyvní výsledok. Modely toho istého spoja usporiadanými množinami sú na obr. 1e a 1f. Na obr. 1f sú prvky usporiadané v rade a skupiny sú oddelené medzerou. Tento model je predchodcom znázornenia na číselnej osi, ktorú vidíme na obr. 1g. Obr. 1e ukazuje usporiadanie prvkov v rovine - do tabuľky, skupiny tvoria riadky a stĺpce, uplatňuje sa znázornenie karteziánskeho súčinu. Na obrázku 2 je znázornený ešte o jeden stupeň abstraktnejší model. Spoj 4. 2 je znázornený tak, že žiak priamo nevidí v každej skupine 2 prvky, je len napísaná hodnota 2. Tieto úlohy vyžadujú chápanie násobenia ako vonkajšiu operáciu, čo má význam pri riešení úloh praktických úloh napríklad pri nakupovaní. Obrázok 1a Obrázok 1b 162

163 Obrázok 1c Obrázok 1e Obrázok 1f Obrázok 2 Obrázok 1g Vrcholná fáza porozumenia operácie je schonosť identifikovať násobenie aj v prípade abstraktných prvkov, napríklad: Vyučovacia hodina trvá 45 minút, koľko minút trvajú 4 hodiny. 3. Metodika a organizácia skúmania úrovne porozumenia operácie násobenia Myšlienka skúmania problému vznikla dávnejšie, už v príspevku 3 sú uvedené výsledky pozorovania ovládania násobilky a porozumenia pojmu. Vznikla hypotéza, že na školách sa príliš sústreďuje na zapamätanie základných spojov, prípadne na využívanie operácie vo vzorových úlohách, ale hlbšiemu porozumeniu pojmu sa venuje minimálne. Vytvorili sme plán prípadových štúdií na zisťovanie súladu medzi ovládaním základných spojov a pochopením pojmu. Využívali rôzne modely násobenia a rôzne pomôcky a počítali sme aj so zavádzajúcimi modelmi, ktoré sa mohli objaviť počas vyučovania. Využívali sme rozhovor, zadávanie úloh, pozorovanie aktivít, analýzu videozáznamov. Vybrali sme žiakov v 3 ročníku, po preberania učiva o násobení. Pri výbere boli uplatnené hľadiská: žiaci z rôznych škôl a dostupnosť. Stanovili sme výskumné otázky: Ovládajú žiaci základné spoje naspamäť v očakávanom rozsahu? Chápu násobenie ako zjednotenie ekvivalentných množín? Stretli sa s nesprávnymi modelom, ktorý sa snažia aplikovať? Chápu násobenie ako počet prvkov usporiadaných v riadkoch a stĺpcoch? Vedia ukázať rôzne modely daného základného spoja? 163

164 Pred natáčaním sme pripravili na stôl rôzne pomôcky: kocky, dvojfarebné žetóny, štvorčekový papier, geodoska, guľôčkové počítadlo, číselná os nakreslená na liste papiera, pero. Podobne sme pripravili postupnosť otázok, úloh a aktivít. Snažili sme sa pripravený scenár dodržať pri každej prípadovej štúdii. Prvá otázka bola zameraná na ovládanie základných spojov násobenia spamäti v obore do 20. Spravidla sme využívali spoj 3. 2, 2. 3, 3. 4, Všetci skúmaní žiaci vedeli pohotovo povedať výsledok. Nasledovala otázka vieš to ukázať? Odpovede na Obrázok 3 túto otázku boli veľmi odlišné a ovplyvnili ďalší priebeh pozorovaní: Jeden žiak ukázal 6 prstov, druhý si vybral kocky a usporiadal tak ako je na obr.3 a tretí ukázal skupiny žetónov. Ďalší rozhovor v prvých dvoch prípadoch sme viedli smerom k znázorneniu predmetov po skupinách po dvoch, v treťom prípade žiak vedel vymodelovať spoj a vysvetliť aj rozdiel medzi modelmi 3.2 a 2.3. Pre overenie porozumenia sme skúšali ešte druhý spoj 3.4 so žetónmi. Po skúsenostiach s predchádzajúcim spojom všetci traja vyložili správny model. Na overenie chápania, že násobenie môžeme použiť len v prípade ekvivalentných množín sme vytvorili rôzne modely tak ako je na obrázkoch 4 a 5. Otázka bola, či aj toto je 3.4, keďže sme nič neodobrali ani nepridali. Obrázok 4 Obrázok 5 Žiaci reagovali rôzne: prvý žiak sa snažil vrátiť k modelu na obrázku 3 a identifikoval ako dvakrát niečo (druhé číslo zisťoval počítaním po jednom). Druhý žiak po istom váhaní zdôvodnil, že nie je rovnaký počet prvkov vo všetkých skupinách, tretí žiak hneď odpovedal správne aj zdôvodnil odpoveď. Znázornenie na číselnej osi pomerne dobre poznali všetci traja. Najmenej známe bolo pre žiakov znázornenia v tvare riadok krát stĺpec na štvorčekovom papieri v tvare pravouholníka. Jeden žiak poznal zo školy tento spôsob znázornenia (obr. 8) ostatní potrebovali navádzajúce otázky, predtým kreslili na papier model, ktorý zachováva nimi používaný praktický (enaktívny) model obr. 6 a 7. Obrázok 6 Obrázok Obrázok 8 164

165 4. Závery Doteraz realizované prípadové štúdie umožňujú dôvodne predpokladať, že pri učive násobenia sa nepomerne preceňuje memorovanie základných spojov na úkor porozumenia pojmu. Objavujú sa nesprávne spôsoby znázornenia zo strany učiteľov: neznázorňuje sa povaha operácie, ale len výsledok (pri násobku 2. 3 = 6 sa znázorňuje len číslo 6), čo sa zafixuje u žiakov niekedy až po vysokú školu. Pravdepodobne sa v dostatočnej miere využíva číselná os. Veľmi málo sa znázorňuje násobenie na štvorčekovom papieri ako pravouholník, táto absencia určite bude mať vplyv na porozumenie obsahu rovinných útvarov vo vyšších ročníkoch. Príliš dlho sa vyžaduje zapisovanie úlohy na násobenie ako sčítanie, čo demotivuje žiakov pri upevňovaní základných spojov. Predpokladáme, že učivo o násobení by bolo potrebné rozložiť na dlhší časový úsek, začať v druhom ročníku v nejakom menšom obore a v tomto obore dôkladne prehĺbiť obsah pojmu (vlastnosti, vzťahy medzi spojmi a medzi operáciami) a zväčšiť aj rozsah pojmu ( pravouholníky, kombinatorické úlohy...). V treťom ročníku by sa ukončili spoje násobilky a preberali by sa niektoré úlohy ľahko odvoditeľné od základných spojov a zložitejšie algoritmy by ostali vo 4 ročníku. Budeme pokračovať v prípadových štúdiách na vzorke, ktorá lepšie reprezentuje rozdielnosť škôl, žiakov aj učiteľov. Budeme pracovať na plánovaní výskumu, ktorý bude zameraný na overenie týchto hypotéz. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu VEGA/1/0534/11 Špecifické matematické poznatky učiteľov matematiky pre primárne a nižšie sekundárne vzdelávanie. Literatúra 1. DIVIŠEK J. a kol.: Didaktika matematiky pro učitelství 1, stupně ZŠ. SPN, Praha,1989. ISBN HEJNÝ,M., KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika. Portál, Praha, 2001, ISBN PARTOVÁ, E.: Mýty o násobilke In: Matematika z pohľadu primárneho vzdelávaniov. Banská Bystrica, Univerzita Mateja Bela, ISBN S PARTOVÁ E.: Vyučovanie matematiky pomocou moderných technológií 1. vyd. - Bratislava : Univerzita Komenského, s. - ISBN PČOLKO, A.S.: Metodika vyučovania počtov na počiatočnej škole. Bratislava, SPN,1952 Kontaktná adresa Edita Partová, doc. RNDr. CSc. Univerzita J. Selyeho v Komárne, Pedagogická fakulta Bratislavská cesta 3322, Komárno Telefón:

166 ZVYŠOVANIE POROZUMENIA SLOVNÝM ÚLOHÁM V PRÍPRAVE BUDÚCICH UČITEĽOV PRIMÁRNEHO VZDELÁVANIA Gabriela PAVLOVIČOVÁ, Valéria ŠVECOVÁ Abstrakt V článku sme sa zamerali na tvorbu slovných úloh v príprave budúcich učiteľov primárneho vzdelávania. Vychádzajúc z problémov, ktoré študenti mávajú pri tvorbe slovných úloh, sme realizovali v priebehu seminárov z didaktiky matematiky také aktivity, ktoré vedú k zvyšovaniu porozumenia nielen slovným úlohám ale i jednoduchým a zloženým číselným operáciám a ich vlastnostiam. Zamerali sme sa aj na tvorbu matematických diktátov a slovných úloh spojených s daným obrázkom. Uvádzame ukážky niektorých úloh a aktivít ako i najčastejšie chyby, ktorých sa študenti dopúšťali. Kľúčové slová: slovné úlohy, číselné operácie, matematický diktát INCREASING OF WORD TASKS UNDERSTANDING IN PRIMARY SCHOOL TEACHERS TRAINING Abstract In our article we focused on creation of word tasks in primary school teacher training. Based on the students problems with creations of word task, we implemented activities which lead to increasing not only of word tasks understanding but also of simple and composite number operations and their properties during lessons of didactics of mathematics. We focused on creation of mathematical dictations and word tasks connected with the picture too. There are some examples of the activities and tasks and also the most common students mistakes in our article. Key words: word tasks, number operations, mathematical dictation 1. Úvod Jednou z hlavných učebných činností v škole na hodinách matematiky je práve riešenie rôznych problémov a úloh. Je kladený stále väčší dôraz na charakter týchto úloh, na ich prepojenie so životom a s reálnymi situáciami, ktoré riešia. Na primárnom stupni vzdelávania je potrebné žiakov hlavne upútať a poskytnúť im úlohy zábavného a aplikačného charakteru, otvorené a problémové úlohy ako aj aktivity zamerané na objavovanie v matematike a manipulačné činnosti. W. Blum a M. Niss (1991) uvádzajú tieto dôvody pre zaradenie slovných úloh do vyučovania matematiky : sú vhodným prostriedkom pre rozvíjanie všeobecných kompetencií žiakov a ich postojov k matematike, umožňujú žiakom vidieť a posudzovať nezávisle, analyzovať a porozumieť použitiu matematiky, rozvíjajú schopnosť žiakov aktivovať matematické vedomosti a zručnosti v mimomatematických situáciách, 166

167 pomáhajú žiakom pri poznávaní, porozumení a uchovávaní pojmov, metód a výsledkov matematiky. Úspech riešenia slovnej úlohy závisí od riešiteľovej schopnosti vybrať z údajov podmienky úlohy tie, ktoré potrebujeme na určenie čiastkových výsledkov, ktoré postupne vedú k riešeniu samotnej úlohy. Táto schopnosť je prepojená so schopnosťou správne uchopiť text slovnej úlohy, čo súvisí s čítaním textu s porozumením. J. Novotná (2004, s.368) uvádza tri základné problémy žiakov špecifické pre riešenie slovných úloh: žiak nerozumie kontextu úlohy alebo nevidí súvislosť medzi kontextom a riešením slovnej úlohy, žiak z rôznych dôvodov (napr. dĺžka textu, použitý jazyk, veľký počet zadávaných informácií, ťažkosti s čítaním textu s porozumením) neuspeje pri získavaní informácií o štruktúre slovnej úlohy z jej zadania, žiak získa potrebné informácie zo zadania, ale nevie nájsť vhodný matematický aparát, prípadne ho aj nájde, ale zostavenú matematickú úlohu nevie vyriešiť. Pri eliminovaní a odstraňovaní uvedených problémov u žiakov je úloha učiteľa nezastupiteľná. Jeho schopnosť nielen riešiť už vzniknuté problémy ale v prvom rade sa im vyhýbať, závisí aj od jeho odborných schopností a nadobudnutých matematických kompetencií. Na tomto mieste by sme chceli upriamiť pozornosť práve na pregraduálnu prípravu budúcich učiteľov primárnej školy, ktorých úroveň matematických schopností neraz ovplyvňuje aj ich celkové učiteľské kompetencie. Ako uvádza I. Scholtzová (2010) Učiteľ pôsobiaci v materskej škole a v primárnej škole by mal byť schopný realizovať svoje pedagogické pôsobenie tak, aby v pozitívnom zmysle prispieval k rozvíjaniu matematickej gramotnosti žiakov. V tomto kontexte je dôležitá pregraduálna príprava budúcich učiteľov 2. Tvorba slovných úloh v príprave budúcich učiteľov elementaristov Vychádzajúc z vlastných pedagogických skúseností môžeme povedať, že vysokoškolskí študenti sú schopní skôr úlohy riešiť ako ich tvoriť. Práve pri tvorbe matematických úloh sa môžu prejaviť ich neraz skryté problémy vychádzajúce z neporozumenia konkrétnym matematickým pojmom a vzťahom. Činnosti, ktorých cieľom je okrem vyriešenia úlohy aj jej didaktická analýza, by mali byť nutnou súčasťou odbornej matematickej pregraduálnej prípravy učiteľov matematiky základnej školy (A. Prídavková, 2012). Porozumenie slovnej úlohe ako aj správna matematizácia úlohy závisí aj od porozumenia číselným operáciám a ich vlastnostiam. Na seminároch z didaktiky matematiky sme sa viac zamerali na tieto aktivity podporujúce rozvoj matematických zručností potrebných pre školskú prax: tvorba slovných matematických diktátov, tvorba slovných úloh vychádzajúcich z obrázka, tvorba slovných úloh k danému číselnému zadaniu. V rámci jednotlivých aktivít si študenti zároveň upevňovali svoje vedomosti o triedení slovných úloh: jednoduché, zložené, aditívne, multiplikatívne úlohy 1. a 2. druhu, ako uvádza O. Šedivý (1990). Snažili sme sa ich viesť k uvedomeniu si potreby správneho vyjadrovania a používania jednotlivých slovných spojení aj z gramatického hľadiska. 2.1 Tvorba slovných matematických diktátov Cieľom tejto aktivity bolo uvedomenie si správnych slovných spojení prislúchajúcich jednoduchým a zloženým číselným operáciám. Úlohou študentov bolo: 167

168 a) Vytvoriť slovný text (matematický diktát) k danému zadaniu. Napríklad: Zapíšte slovný text k zadaniu: 4.((6-2)+6:2)+3.6=. Snažili sme sa poukázať na rôzne možnosti ako nadiktovať takéto zadanie využitím rôznych slovných spojení k jednotlivým číselným operáciám, ako aj v závislosti od toho, ktorú operáciu uprednostníme. Mohli vzniknúť napríklad takéto texty: Vypočítajte štvornásobok súčtu rozdielu a podielu čísel 6 a 2 zväčšený o súčin čísel 3 a 6. Vypočítajte súčet štvornásobku súčtu rozdielu a podielu čísel 6 a 2 a súčinu čísel 3 a 6. K rozdielu čísel 6 a 2 pripočítajte ich podiel, výsledok zväčšite štvornásobne a k takto vzniknutému číslu pripočítajte trojnásobok čísla 6. Aký výsledok dostaneme? V tretej uvedenej formulácii prevažuje opisný spôsob ako postupne robiť jednotlivé operácie, zatiaľ čo v prvé dve formulácie začínajú slovom vypočítajte. V ich texte sme zvýraznili práve tie slová, ktoré robili študentom najväčšie problémy v uvedomení si dôležitosti prepojenia týchto slov s danými číselnými operáciami a to z matematického ako aj gramatického hľadiska. b) Vytvoriť zadanie k danému slovnému textu. Napríklad: Vypočítajte súčet súčinu čísel 6 a 3 a podielu čísel 14 a 2 zmenšený o trojnásobok rozdielu čísel 4 a 2. Správne zostavené a vyriešené zadanie: (6.3+14:2)-3.(4-2)=20-6=14 S takto formulovaným zadaním študenti zväčša nemali problémy. Chyby sa však začali objavovať, ak sme slovo zmenšený nahradili slovom zmenšeného, čím sme operáciu odčítania naviazali na inú ako predtým. Teda v zadaní zostavenom k textu: Vypočítajte súčet súčinu čísel 6 a 3 a podielu čísel 14 a 2 zmenšeného o trojnásobok rozdielu čísel 4 a 2, sa už trojnásobok nevzťahoval na súčet ale na podiel čísel 4 a 2, čo sa prejavilo v posunutí zátvorky : 6.3+(14:2-3.(4-2))= 18+1=19 Uvedený typ aktivít poskytuje široký priestor na tvorbu rôznych úloh a zadaní, ktoré zároveň spájajú matematiku a slovenský jazyk, pretože neraz nesprávne matematické riešenie malo svoje korene v neporozumení vetnej stavbe textu. 2.2 Tvorba slovných úloh vychádzajúcich z obrázka Obrázok môžeme použiť aj pri tvorbe úloh, pričom tieto úlohy môže pripraviť učiteľ aj žiaci. Dôležitou schopnosťou pri takýchto úlohách, ktorú je neustále potrebné u žiakov rozvíjať, je schopnosť čítať s porozumením z obrázka, hľadať v ňom viditeľné ale aj skryté údaje, vlastnosti a vzťahy. Obrázok môže obsahovať množstvo číselných i geometrických informácií a zároveň je pre žiakov motivujúcim materiálom. Prácou s vhodne zvoleným obrázkom sa u žiakov súčasne rozvíjajú i neformálne matematické vedomosti. Na seminároch s vysokoškolskými študentmi sme sa zamerali na: a) Vytváranie slovných úloh vychádzajúcich z obrázka úlohou je vymyslieť rôzne slovné úlohy a otázky k obrázku, napr. Na obrázku je 7 koníkov, z ktorých sú 3 malé. Koľko je tam veľkých koníkov? 168

169 b) Vytváranie slovných úloh k danému číselnému zadaniu spojenému s obrázkom úlohou je k danému zadaniu vytvoriť text slovnej úlohy podľa obrázka. Napríklad k zadaniu 4-2=2 môžeme vytvoriť slovnú úlohu: Na lúke sa pásli štyri veľké koníky. Dva z nich boli hnedé a ostané boli biele. Koľko bolo na lúke veľkých bielych koníkov? Pri práci na seminároch sme sa snažili vytvárať slovné úlohy rôzneho typu (jednoduché, zložené, aditívne, multiplikatívne), aby si študenti tieto pojmy a triedenie slovných úloh dobre uvedomili a naučili sa pracovať s obrázkom. Aj keď na seminároch študenti vedeli správne reagovať a tvoriť, pri samostatnej práci mali s takýmto typom úloh vážnejšie problémy. 2.3 Tvorba slovných úloh k danému číselnému zadaniu Uvedomenie si vzťahov medzi číslami a znením textu slovnej úlohy považujeme za veľmi dôležité. Je potrebné, aby učiteľ v praxi správne rozlišoval, kedy číslo v úlohe vystupuje ako mnohosť (kardinálne číslo), poradie (ordinálne číslo), identifikátor (alebo adresa), kedy má funkciu operátora a ktoré slovné spojenia sa s tým viažu. Zadali sme študentom zadania obsahujúce zložené číselné operácie, napríklad: 6.5+4; (4+6).5; 5.(6+4); 4+6.(4+5) a pod. Ich úlohou bolo vytvoriť takú slovnú úlohu, riešením ktorej budú dané číselné operácie v takom vzťahu a poradí ako je uvedené v zadaní. Zaujímali sme sa aj o vytvorenie správneho a motivačného kontextu slovnej úlohy, s ktorým mávajú študenti taktiež problémy. Na prezentovanie najčastejších chýb, ktorých sa študenti pri takejto aktivite dopúšťali vyberáme úlohu: Vytvorte slovnú úlohu k zadaniu 6.5+4=. Na základe analýzy nesprávnych študentských riešení sa najčastejšie vyskytovali tieto chyby: a) Znenie úlohy bolo v súlade z danými číselnými operáciami, no bola nesprávne stanovená otázka. Otázka vyžadovala ďalšiu číselnú operáciu, keďže sa v nej vyskytovalo slovo spolu. Napríklad: Bača mal ráno na lúke 5 bielych oviec. Poobede k nim doviedol šesťkrát viac bielych oviec a 4 čierne ovce. Koľko oviec bolo spolu poobede na lúke? Ak by sme sa v otázke pýtali na počet oviec, ktoré bača doviedol poobede, bol by to správny text slovnej úlohy. Riešenie študentovej úlohy je =, teda musíme k zadaným číselným operáciám ešte pripočítať 5. b) V texte úlohy sa vyskytovalo slovné spojenie o krát viac, ktorým chceli študenti vyjadriť zväčšenie počtu násobením, no neuvedomili si, že písmeno o znamená ďalšiu operáciu sčítania: Napríklad: Ivana mala 5 cukríkov a Janko mal o šesťkrát viac ako ona. Potom našli na zemi 4 ďalšie cukríky. Koľko mali spolu cukríkov? Podľa zadania sme v riešení úlohy mali počítať 6.5, čo by mohol byť počet Jankových cukríkov, ale bez použitia o. Podľa formulácie úlohy vypočítame počet Jankových cukríkov ako a navyše znova z otázky vyplýva určenie počtu spolu, čím musíme počítať: 5+(5+6.5)+4=. Správnym preformulovaním študentovej úlohy by bolo znenie: Ivana mala 5 cukríkov a Janko mal šesťkrát viac ako ona. Potom našiel na zemi 4 ďalšie cukríky. Koľko cukríkov mal nakoniec Janko? Vyskytli sa aj ďalšie chyby, ktoré boli však už viac individuálne a neraz vyplývali z celkového neporozumenia tvorbe slovných úloh. Z uvedených chýb vyplýva, že študenti správne neporozumeli základnému triedeniu slovných úloh a taktiež mali 169

170 problém s matematizáciou slovnej úlohy, bez ktorej nemôžeme úlohu správne vyriešiť. Pri tvorbe slovnej úlohy k danému číselnému zadaniu môžeme hovoriť o tzv. obrátenej matematizácii, teda opačnému procesu než sme pri riešení slovných úloh zvyknutí, čo mohlo študentov na začiatku miasť. Záver Vychádzajúc z diskusií so študentmi a z pedagogických skúseností sme si uvedomili, že v rámci pregraduálnej prípravy študentov nám neraz unikajú dôležité maličkosti. Sústredíme sa viac na teoretické pozadie matematického vzdelávania a konkrétne činnosti spojené so školskou matematikou môžu byť v pozadí. Jednou z príčin je i nízka dotácia hodín na matematické predmety ako aj nižšia úroveň vstupných matematických vedomosti študentov prichádzajúcich na vysokú školu. Reforma vzdelávania na Slovensku sa odráža v každej oblasti, a preto často nie je pri tvorbe študijných programov jednoduché vybrať tú správnu, optimálnu a hodnotnú obsahovú náplň prednášok a seminárov. Po skúsenostiach s uvedenými aktivitami v rámci pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov primárneho vzdelávania môžeme povedať, že ich výkony v uvedenej oblasti vyučovania elementárnej matematiky sa zlepšili a mali u študentov pozitívnu odozvu. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 007UKF- 4/2011 Zvyšovanie kľúčových kompetencií v oblasti matematického a prírodovedného myslenia na primárnom stupni vzdelávania. Literatúra 1. BLUM, W. NISS, M.: Applied mathematical problem solving, modeling, applications and links to other subjects state, trends and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, vol. 22, num. 1, 1991, p NOVOTNÁ, J.: Zpracování informací při řešení slovních úloh. In Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: PF UK v Prahe, 2004, s PRÍDAVKOVÁ, A.: Jeden pohľad na pravdepodobnosť v elementárnej matematike. In: Matematika 5. Specifika matematické edukace v prostředí primární školy. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2012, s SCHOLTZOVÁ, I.: Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru predškolská a elementárna pedagogika. In: Matematika 4. Matematické vzdělání v kontextu primární školy. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2010, s ŠEDIVÝ, O. - KRIŽALKOVIČ, K.: Didaktika matematiky pre štúdium učiteľstva I. stupňa ZŠ. Bratislava: SPN, 1990, 266s. Kontaktná adresa PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. PaedDr., PhDr. Valéria Švecová, PhD. Katedra matematiky FPV UKF v Nitre Tr. Andreja Hlinku 1, Nitra Telefón:

171 MATEMATICKÁ PŘÍPRAVA BUDOUCÍCH UČITELŮ MATEŘSKÝCH ŠKOL Šárka PĚCHOUČKOVÁ Abstrakt Na Fakultě pedagogické ZČU v Plzni se zabýváme inovací studijního oboru Učitelství pro mateřské školy. Pracujeme na profilu absolventa a na vytvoření profesních způsobilostí a systému jejich ověřování. Projekt Matematické modelování v preprimárním vzdělávání měl za úkol seznámit studenty s významem a různými formami modelování předmatematických představ a naučit je tvořit vlastní aktivity tak, aby u dětí rozvíjely potřebné kompetence. Kľúčové slová: způsoby ověřování profesních způsobilostí, předmatematické pojmy, pravidelnosti, závislosti, matematické modelování DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL COMPETENCIES OF FUTURE KINDERGARTEN TEACHERS Abstract At the Faculty of Education (The University of West Bohemia in Pilsen) we have been concerned with innovation of the Teacher Training for Nursery Schools study programme. We have been working on the graduate s profile, forming professional qualification and the system of their verification. The aim of the project Mathematical Modelling In Preschool Education was to familiarize students studying Kindergarten teaching with the importance and various methods of modelling pre-mathematical ideas and to teach them how to create their own activities, so that children develop the necessary competencies. Key words: means of professional qualification verification, premathematical concepts, classification, orientation in space, mathematical modelling První matematické představy získávají děti již v předškolním věku. Způsob, jakým jsou tyto představy vytvářeny, často ovlivní i další matematické vzdělávání na základní a střední škole. Proto příprava budoucích učitelů mateřské školy by neměla být v žádném případě zanedbávána. Na Fakultě pedagogické Západočeské univerzity v Plzni se dlouhodobě zabýváme inovací přípravy učitelů mateřské školy. V posledních třech letech je inovace studijního oboru Učitelství pro mateřské školy součástí řešení dvou projektů. Na projektu ESF Studium učitelství MŠ jako dialog praxe s teorií spolupracují všechny katedry, které vychovávají učitele preprimárního vzdělávání. Vzhledem k tomu, že v současné sobě neexistuje standard učitele mateřské školy, pokusili jsme se společně vytvořit profil našeho absolventa a nyní pracujeme na profesních kompetencích a na způsobech jejich ověřování. V rámci preprimární didaktiky matematiky jsou do studijního oboru Učitelství pro mateřské školy zařazeny dva na sebe navazující předměty Rozvoj logického a 171

172 matematického myšlení 1 a Rozvoj logického a matematického myšlení 2. Cílem je vytvořit a rozvinout u studentů kompetence potřebné pro vytváření předmatematických (aritmetických i geometrických) pojmů u dětí předškolního věku. Důraz je kladen na didaktickou transformaci teoretických matematických poznatků v mateřské škole. Obsah obou předmětů vychází z cílů předmatematické výchovy obsažených v Rámcovém programu pro předškolní vzdělávání (Smolíková, 2004). Před vstupem do 1. ročníku základní školy by dítě mělo (Kaslová, 2010): v proudu řeči v různých jazykových podobách zaregistrovat vyjádření neurčité i určité kvantity, vhodnými způsoby umět porovnat množství i počet objektů chápat přirozené číslo ve všech jeho rolích rozumět otázkám, umět odlišovat různé otázky a odpovídat na ně se snahou o podání co nejúplnější informace zvládat výchozí metody řešení (přiřazování, porovnávání, třídění, ostré lineární uspořádání, usuzování, určení počtu různými způsoby) respektovat zadané podmínky nebo pokyny v různých aktivitách včetně pochopení role sloves se záporkou a role kvantifikátoru vyhodnocovat pravda nepravda (správně nesprávně), chápat negaci jednoduchých výroků na základě poslechu vytvářet představy o tvarech, poloze, počtu, tyto představy uchovávat a umět si je na určitý podnět vybavovat, upravovat a zpracovávat, vyjadřovat je pohybem, graficky, slovem nebo kombinovanou formou u dějů vnímat souvislost i následnost, prostor, ve kterém se odehrávají, včetně prostorových vztahů mezi objekty a jejich změnami rozlišovat mezi důležitým a nepodstatným, mezi možným a jistým registrovat závislosti a pravidelnosti u pozorovaného nebo popsaného, hledat společné vlastnosti Z uvedených cílů vycházejí i profesní kompetence, kterých by měli naši absolventi dosáhnout a které jsou potřebné pro práci s dětmi v mateřské škole v oblasti rozvoje předmatematických představ. Tabulka 1 uvádí způsobilosti, které získají studenti v předmětu Rozvoj logického a matematického myšlení 2 v rámci tématu Závislosti, pravidelnosti, cesta k funkcím, a způsoby jejich ověřování. (Rozsah příspěvku neumožňuje uvést podrobněji způsobilosti u dalších témat.) Důležitou roli zde hraje tvorba vlastních aktivit a her, které vhodným způsobem vytvářejí u dětí prvotní matematické představy. Tab. 1 Způsobilosti Téma Způsobilosti Způsoby ověřování Závislosti, pravidelnosti, Student zná základní principy Příprava pomůcek cesta k funkcím závislostí, způsoby (obrázků, pracovních doplňování řady a typy listů) pro řešení pravidel v řadě vhodné pro závislostí s dětmi na práci s předškolními dětmi na bázi manipulace, bázi pohybu, manipulace analýza fotografií řad, s předměty nebo obrázky, na grafické bázi. Dovede nalézt chyby v řešení dětí. které děti doplňovaly na základě manipulace s kostkami. 172

173 Důvody pro realizaci dalšího projektu, tentokrát projektu FRVŠ Matematické modelování v preprimárním vzdělávání, byly dva. Prvním z nich bylo to, že studenti oboru Učitelství pro mateřské školy mají problémy analyzovat danou hru či aktivitu dětí z hlediska rozvíjení předmatematických představ nebo naopak nedovedou sami vytvořit či najít činnost tak, aby modelovala určité předmatematické pojmy a rozvíjela požadované kompetence. Druhý důvod vycházel z faktu, že učitelky mateřských škol mají stále velký zájem o hry nebo aktivity dětí vhodné pro rozvoj předmatematických kompetencí obsažených v Rámcovém programu pro předškolní vzdělávání. Cílem projektu tedy bylo seznámit studenty s možnostmi modelování jako prostředku vytváření předmatematických představ. Projekt probíhal v několika etapách. V rámci výuky předmětu Rozvoj logického a matematického myšlení 2 se studenti učili na základě teoretických poznatků analyzovat konkrétní činnosti dětí v mateřské škole z hlediska toho, jaké předmatematické kompetence tyto aktivity rozvíjejí. Studenti pracovali s pracovními listy, fotografiemi nebo videonahrávkami dětí v mateřské škole. Pod vedením řešitelky projektu poté studenti ve skupinách, dvojicích nebo samostatně vytvářeli vlastní náměty zaměřené na přiřazování, porovnávání, uspořádání, třídění, vytváření představy přirozeného čísla, závislosti, pravidelnosti, rovinné a prostorové útvary, orientaci v prostoru a orientaci v rovině. Důraz byl kladen na využívání různých forem a metod práce (individuální práce s dítětem, práce ve dvojicích, se skupinou dětí, dramatizace, manipulace s předměty). Náměty obsahovaly podrobný popis pravidel, používané pomůcky, které studenti vyrobili stejně jako pracovní listy, a rozvíjené kompetence. Vytvořené náměty studenti realizovali s dětmi v mateřské škole. Na základě souhlasu rodičů dětí pořídili fotografie nebo videozáznam aktivit. Podle průběhu realizace náměty dále zpracovali a popsali získané zkušenosti. Všechny vzniklé náměty ve výše uvedené podobě tedy rozvíjené kompetence, pomůcky, pravidla, zkušenosti z realizace, pracovní listy, fotografie nebo videozáznamy byly umístěny na stránky projektu, kde jsou aktivity uspořádány podle jednotlivých matematických představ, které rozvíjejí. Řešitelka projektu analyzovala hry (skládanky, puzzle, karetní hry, stavebnice) dostupné na domácím trhu. Ty, které vhodným způsobem rozvíjejí předmatematické představy dětí, byly nakoupeny a financovány z projektu a jejich popis je k dispozici na uvedených stránkách. Nakoupené hry budou sloužit rovněž jako učební pomůcky pro studenty Učitelství pro mateřské školy. Uvedené materiály jsou dostupné na nebo je lze nalézt na webových stránkách katedry matematiky, fyziky a technické výchovy FPE ZČU, oddělení matematiky v navigaci stránek Projekty Projekt FRVŠ 1003/2012. V rámci projektu se uskutečnil seminář celoživotního vzdělávání s názvem Rozvoj předmatematických představ v mateřské škole, kterého se zúčastnilo 32 učitelek mateřských škol. Účastnicím semináře byl představen nejen samotný projekt, ale i jeho výstupy na webových stránkách. S výstupy byli seznámeni i studenti dalšího ročníku oboru Učitelství pro mateřské školy na FPE ZČU. Texty budou v budoucnosti využívány jako studijní materiál předmětů Rozvoj logického a matematického myšlení 1 a Rozvoj logického a matematického myšlení 2. Na činnosti v projektu navazuje také akreditovaný kurz celoživotního vzdělávání Rozvoj předmatematických představ v mateřské škole, který bude v letech nabízen v rámci kurzů celoživotního vzdělávání oddělením matematiky katedry matematiky, fyziky a technické výchovy a jehož garantem je řešitelka projektu. 173

174 V následujícím textu najdeme ukázku aktivity, ve které děti pracují s pravidelnostmi a závislostmi. Řešení úloh tohoto typu přispívá později ve školním věku ke správnému vytváření pojmu funkce, proto je zařazování úloh na doplňování řad již v mateřské škole velice důležité a žádoucí. Stavění hradeb Rozvíjené kompetence Kompetence k učení dítě soustředěně pozoruje, všímá si souvislostí, užívá při tom jednoduchých pojmů, znaků a symbolů dovede postupovat podle instrukcí a pokynů učí se vědomě, vyvine úsilí, soustředí se na činnost Kompetence k řešení problémů při řešení problémů užívá logických a matematických postupů pochopí jednoduché algoritmy řešení úloh a situací a využívá je v dalších situacích Z hlediska rozvoje předmatematických představ děti pracují s pravidelnostmi a závislostmi, hledají určitá pravidla v řadě, která je jim předložena. Pracují s pravidelnostmi typu a b a rozvíjí si orientaci v prostoru. Vytváří se představa čísel 1 a 2. Obr. 1 Zadání úlohy 174

175 Pomůcky Dřevěné kostky Pravidla Na stůl postavíme z kostek hrad a před něj hradby (kostky v pořadí a b a b a b, kdy objekt a představuje komín ze 2 kostek, objekt b představuje jedna kostka (obr. 1)). Děti mají za úkol pomoci se stavbou hradeb, aby se hrad ubránil před loupežníky a byl zachráněn. Zkušenosti z realizace Z důvodu věku dětí (3 roky) byla zvolena pouze pravidelnost typu a b a b. U starších dětí by byl vhodný i model a b c a b c nebo a b a a b a. Stavění hradeb dělalo některým dětem problém, protože musely vnímat nejen rovinu, ale i prostor. Všechny děti respektovaly při stavění hradeb pravidelnost v počtu kostek, které se střídají, z hlediska barvy však používaly různé kostky. V budoucnosti budeme webové stránky aktualizovat novými náměty studentů na aktivity dětí, které vzniknou v rámci výuky předmětů Rozvoj logického a matematického myšlení 1 a Rozvoj logického a matematického myšlení 2 nebo v rámci bakalářských prací studentů oboru Učitelství pro mateřské školy. V současné době již studenti připravují aktivity týkající se zařazení prvků kombinatoriky a řešení labyrintů do činností dětí v mateřské škole. Poznámka: Příspěvek vznikl za podpory projektu FRVŠ 1003/2012 Matematické modelování v preprimárním vzdělávání. Literatúra 1. KASLOVÁ, M.: Předmatematické činnosti pro předškolní vzdělávání. Praha: Raabe, s.r.o., 2010, 206 s. 2. KOŘÁNOVÁ, P.: Činnosti zaměřené na rozvoj předmatematických kompetencí dětí závislosti a pravidelnosti.[seminární práce] Plzeň: FPE ZČU v Plzni, SMOLÍKOVÁ, K.: Rámcový program pro předškolní vzdělávání. Praha: Výzkumný ústav pedagogický, 2004, 48 s. 4. SVOBODOVÁ, E.: Vzdělávání v mateřské škole. Školní a třídní vzdělávací program. Praha: Portál, 2010, 168 s. 5. Projekt Matematické modelování v preprimárním vzdělávání. Dostupné na internetu: Kontaktná adresa PhDr. Šárka Pěchoučková, Ph.D. KMT FPE ZČU v Plzni Klatovská 51, Plzeň Telefón:

176 UČITELÉ PRIMÁRNÍ ŠKOLY A VÝUKA GEOMETRIE Jaroslav PERNÝ Abstrakt Příspěvek se zabývá výzkumnou sondou, jaký mají učitelé primární školy vztah ke geometrii a jejímu vyučování a čím je tento postoj ovlivňován. Zjišťuje, co pro učitele geometrie znamená a jaké činnosti ve výuce geometrie s žáky realizují. Zda převažují činnosti tzv. klasické nebo výuku geometrie různě doplňují, např. didaktickými hrami. Předkládá některé možnosti a náměty pro učitele, jak výuku geometrie oživit, jak ukázat geometrii jinou, pro žáky zajímavější a ověřuje tyto náměty s žáky v praxi. Kľúčové slová: eometrie klasická versus jiná, konstruktivismus, didaktická hra, řešení problémů, praktické ověření. PRIMARY SCHOOLS TEACHER AND EDUCATION OF GEOMETRY Abstract The contribution deals with the research on attitude of primary schools teachers towards geometry and it s education and with the factors determining this attitude. It explores the importance of geometry for teachers and which methods are used to educate pupils. It researches the question whether classic methods prevail or whether teachers introduce various other tools, e.g. didactic games. The contribution provides teachers with options and inspiration for showing geometry in a new perspective, more interesting for pupils and it verifies these submissions in practical work with pupils. Key words: geometry classic versus other, constructivism, didactic game, problem solving, practical verification 1. Úvod Základem pro tento příspěvek byla výzkumná sonda formou dotazníku, který vyplnilo 89 učitelů primární školy. Dotazník obsahoval otázky, jak rádi učí matematiku, jak důležitá je v ní výuka geometrie, jak rádi učí geometrii, jaké činnosti ve výuce geometrie realizují, k čemu výuka geometrie žákům je. Dále otázky, co je samotné na geometrii baví či nebaví, co nebo kdo jejich vztah ke geometrii ovlivnil, jak je pro ně příprava na výuku geometrie náročná, zda geometrii zařazují i do jiných předmětů, jak vnímají prostorovou představivost, kde je jí možno aplikovat v praxi apod. 2. Některé výsledky výzkumné sondy Dotazníkové šetření není zcela objektivní, ale určitou vypovídací hodnotu má. Na otázku, zda učitelé primární školy rádi učí matematiku, odpovědělo 62 % ano, 37 % nevadí mi, 1 % ne. Matematika byla 2. nejoblíbenější vyučovaný předmět (po ČJ). Jak důležitá je v matematice geometrie odpověděli, 16 % velmi důležitá, 56 % důležitá, 28 % je jen součást, 0% nedůležitá. Na otázku, zda učitelé rádi učí geometrii, odpovědělo 38 % ano, 53 % nevadí mi, 9 % ne. U geometrie výrazně poklesla obliba výuky oproti matematice. 176

177 Školní geometrie je pro mě: klasické činnosti (24 %) - rýsování, práce s kružítkem, pravítkem, náčrtky, konstrukce, s tím problémy s přesností, čistotou práce, nesamostatností, nepochopením, nesoustředěností; pomůcky a práce s nimi (24 %) - ořezaná tužka, kružítko, pravítko, trojúhelník, guma, tabule, křída, apod.; jiné činnosti bohužel jen (4 %) - hra s tvary, se stavebnicí, modelování, geometrické hříčky, práce s grafy. V dnešní počítačové době je výuka geometrie aktuální? 92 % ano, 2 % nevím, 6 % ne. Důvody: Žáci se učí přesnosti, pečlivé práci, rozvíjí prostorovou představivost (orientaci), zdokonalují se v práci s pomůckami, rozvíjí jemnou motoriku, zručnost, rozvíjí kreativitu, je potřebná v mnoha pracovních odvětvích, rozvíjí abstraktní myšlení, řešení problémů, smysl pro detail apod. Co učitele v geometrii ovlivňuje kladně: je tvořivá (24 %), vede k přesnosti (23 %), vliv svého učitele (20 %), je hravá a zajímavá (16 %). Trochu protichůdné k předchozím odpovědím? Co záporně: složitost a nezajímavost (46 %), problémy s pomůckami (43 %). Opakují se problémy s pomůckami jako důvod neoblíbenosti geometrie. Je to ale opravdu problém? Pro vás je příprava na geometrii náročnější? Není (84 %) - mám ji ráda, rozumím jí, nekladu si vysoké cíle, učivo na 1. stupni je lehké apod. Je (16 %) - náročnost na čas, potřeba názorných pomůcek, kladen důraz na přesnost, promyšlení návaznosti a správného vyjadřování, je toho mnoho, neumím v ní improvizovat, nevybavenost pomůckami, vlastní příprava pracovních listů a materiálů apod. Využíváte geometrii v jiných předmětech? Ano (78 %) - ve výtvarné a pracovní výchově, ale i v prvouce, vlastivědě, přírodovědě a tělesné výchově. Ne (22 %). Kontrola práce žáků v geometrii je pro 53 % učitelů obtížnější - nutnost přeměřování, časovou náročnost, individuální přístup, složitější hodnocení, nepřesnosti a špatnou úpravu prací žáků, hledání příčin vzniku chyb, atd. Prostorovou představivostí se ve výuce geometrie zabývá pouze 13 % učitelů, ale uznávají, že je důležitá pro řadu profesí stavitelství, výtvarné obory, pak technické obory a řemesla Shrnutí a komentář k výzkumné sondě Sonda ukázala, že učitelé s kladným vztahem ke geometrii již ve svých školních letech, často pod vlivem učitele, považují nyní geometrii za oblíbený vyučovaný předmět. Učitelé, kteří již ve škole geometrii v oblibě neměli, nyní geometrii také rádi nevyučují. Bohužel jim ale dle jejich slov výuka geometrie nečiní potíže. Dále, že chápání geometrie je u některých učitelů nesprávně zúženo jen na klasické geometrické činnosti (rýsování, výpočty obvodů atd.), což neumožňuje ukázat žákům geometrii jinou, skrytou, přitažlivější (hry, hlavolamy, skládanky, apod.) Podobně je z odpovědí patrné, že geometrie některých učitelů se omezuje jen na rovinu a opomíjí se prostor (zřejmě z neobliby a obav), přestože v něm žáci žijí a běžně se pohybují. 3. Ukázky námětů z jiné geometrie a úspěšnost jejich řešení u žáků Připravili jsme pracovní listy ze zmiňované jiné geometrie a nechali je řešit žákům 5. ročníků v několika třídách, kde s tím souhlasili jejich vyučující. Jako ukázku předkládám řešení ve třídě A, kde paní učitelka s přípravou ani s výukou geometrie nemá problémy, ale geometrii učí nerada a ve třídě C, kde se paní učitelka důkladně na výuku připravuje a geometrii učí ráda. Je uveden pracovní list a graficky úspěšnost řešení v % (dobře, částečně, chybně). Třída A měla o 0,18 lepší průměr známek než C. 177

178 Pracovní list č. 3 Graf 1 Úspěšnost PL3_A *) Graf 2 Úspěšnost PL3_C 100% 80% 60% 40% 20% 0% středníchybně světláčástečně tmavásprávně 100% 80% 60% 40% 20% 0% středníchybně světláčástečně tmavásprávně 178

179 Pracovní list č. 6 Graf 3 Úspěšnost PL6_A Graf 4 Úspěšnost PL6_C 100% 80% 60% 40% 20% 0% středníchybně světláčástečně tmavésprávně 100% 80% 60% 40% 20% 0% středníchybně světláčástečně tmavásprávně 179

180 3.1. Shrnutí a komentář k řešení pracovních listů Jedná se pouze o dílčí ukázky z komplexu 6 pracovních listů z planimetrie a stereometrie, ale i z nich je patrný rozdíl v úspěšnosti tříd A a C. Třída C je v PL3 úspěšnější o 50 % a v PL6 o 33 % než třída A. *) V grafu 1 Úspěšnost PL3 byla třída A 100 % neúspěšná. 4. Závěr Příspěvkem jsem chtěl ukázat některé příčiny nedobré úrovně geometrie v naší populaci, která se projevuje i na studentech vysoké školy. Jde o jakýsi bludný kruh, kdy na 1. stupni ZŠ někteří učitelé geometrii opomíjejí, přestože je zde celá řada možností, jak ji žákům zpestřit. Zůstávají pouze u zaběhnutých činností, jako rýsování, počítání obvodů a obsahů, takže pro žáky se stává geometrie nudnou a nezajímavou. Je třeba oslabit jejich obavu z geometrie a ukázat její jiné stránky. I na 2. stupni ZŠ někteří učitelé geometrii odsouvají, nemají čas, nestihli by splnit ŠVP, to pokračuje přes SŠ až na VŠ, kde to má nedobré dopady u studentů technických oborů a architektury. Také někteří naši studenti budoucí učitelé nebývají na geometrii dobře připraveni, a proto nemohou připravit a získat pro geometrii své žáky. Domnívám se proto, že je třeba jak studentům budoucím učitelům, tak i učitelům z praxe předkládat ukázky a náměty z té jiné geometrie, která může žáky zaujmout a zlepšit jejich vztah ke geometrii. Můžu z praxe potvrdit, že studenti a učitelé tyto náměty vítají a často uvádějí, že se s podobnými ukázkami dosud nesetkali. Vhodné je to zejména u učitelů primární školy, aby pak mohli jejich žáci sdělit po hodině geometrie: Paní učitelko, mě to baví! Literatúra 1. PERNÝ, J.: Tvořivostí k rozvoji prostorové představivosti. TU Liberec: 2004, 79 s. 2. ŠŤASTNÁ, J.: Výuka geometrie na 1. stupni ZŠ aneb Paní učitelko, mě to baví. Diplomová práce, UJEP Ústí nad Labem: Kontaktná adresa Jaroslav Perný, doc. PaedDr., Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky FP TUL Voroněžská 13, Liberec Telefón:

181 INTERAKTÍVNE PRVKY VO VYUČOVANÍ POZIČNÝCH ČÍSELNÝCH SÚSTAV Milan POKORNÝ, Silvia MALATINSKÁ Abstrakt Autori sa v článku zaoberajú efektívnosťou využitia interaktívnych prvkov vo vyučovaní pozičných číselných sústav v rámci predmetu Aritmetika. V prvej časti článku autori charakterizujú nimi vytvorené interaktívne prvky zamerané na zápis čísla v pozičnej číselnej sústave a na algoritmy sčítania, odčítania a násobenia v pozičných číselných sústavách. V druhej časti článku autori analyzujú svoje skúsenosti s použitím týchto interaktívnych prvkov vo vzdelávacom procese. Kľúčové slová: interaktívne prvky, moderné technológie vo vyučovaní, pozičné číselné sústavy INTERACTIVE ELEMENTS IN TEACHING POSITIONAL NOTATION Abstract The paper deals with efficiency of interactive elements in teaching positional notation in the subject Arithmetic. In the first part of the paper the authors characterise their own interactive elements focused on methods of writing numbers in different notational systems and on algorithms of addition, subtraction and multiplication in positional notation. In the second part of the paper the authors analyse their experience with utilization of the interactive elements in teaching process. Key words: interactive elements, modern technologies in education, positional notation 1. Úvod Moderné informačné a komunikačné technológie sa v ostatných rokoch už stali bežnou súčasťou vzdelávania na základných, stredných a vysokých školách. Postupne vznikajú interaktívne učebnice pre jednotlivé predmety vyučované na základných a stredných školách a do tried pribúdajú interaktívne tabule. Vysoké školy zasa pripravujú svoje vlastné elektronické vzdelávacie obsahy a snažia sa ich integrovať do systémov pre riadenie výučby. Je to najmä preto, že moderné informačné a komunikačné technológie ponúkajú také možnosti, ktoré nie sú realizovateľné prostredníctvom klasických učebníc. Je však dôležité, aby boli tieto možnosti správne integrované do vzdelávacieho procesu tak, aby efektívne prispievali k splneniu vzdelávacích cieľov. Jednou z dôležitých vlastností, ktoré odlišujú použitie moderných technológií vo vzdelávacom procese od klasickej formy vzdelávania, je interaktivita. Podľa Žilkovej [4] si pod pojmom interaktivita môžeme predstaviť možnosť okamžitej reakcie na podnet (obojsmerná komunikácia). Interaktivita vnáša do vzdelávacieho procesu prvky dynamiky. Mení statický prístup znázorňovacích techník na možnosť dynamických 181

182 zmien v závislosti od vstupných podnetov. Tým sa otvárajú nové možnosti v technologických vzdelávacích prístupoch. O veľkom význame využitia moderných technológií vo vzdelávacom procese na vysokých školách svedčí aj skutočnosť, že vysoké školy vo veľkej miere začínajú využívať LMS či LCMS. Nejde teda iba o sprostredkovanie učiva študentom v elektronickej podobe, ale aj o snahu monitorovať, kontrolovať či riadiť vzdelávacie aktivity študentov. Podľa Hanzela [1] sa výraz e-learning pri riešení problémov vo vzdelávaní objavuje veľmi frekventovane a predstavuje kvalitatívne nový prístup k realizácii vzdelávania, ktorý je založený na aplikácii softvérových produktov. Podľa Klenovčana [2] v súčasnej dobe môžeme pozorovať pomerne veľký rozmach vyučovacích metód, ktoré sú podporované počítačmi a rôznymi sieťovými systémami. Súhrnne sú nazývané ako e-learningové metódy. Sú jednou z alternatív, ktorá by mala zabrániť nežiaducemu znižovaniu úrovne vyučovania. Sumarizujúca štúdia o vyučovaní matematiky v prostredí IKT autorky K. Žilkovej [5] akcentuje najmä potrebu vytvárania interaktívneho prostredia a využívania dynamických aktivít v matematickom vzdelávaní, pričom poukazuje na možnosť veľkej variability vo výbere technických aj programových produktov. Dnes už je úplne bežné, že mnohé predmety sa na vysokých školách učia formou e-learningu či blended learningu. O rastúcej obľube týchto moderných foriem vyučovania svedčí aj skutočnosť, že takéto formy vzdelávania sú podporované rôznymi grantovými agentúrami a počet projektov, ktoré sa nimi zaoberajú, neustále rastie. Tento trend je možné sledovať aj na materskom pracovisku autorov tohto príspevku, teda na Pedagogickej fakulte Trnavskej univerzity. Členovia katedry matematiky tejto fakulty sa už od jej vzniku snažili integrovať moderné technológie do vyučovania matematických predmetov. Spočiatku išlo o počítačom podporované vzdelávanie, neskôr o využívanie možností LMS a v ňom integrovaných e-learningových kurzov. Z oblasti matematiky sa prvý autor článku podieľal na príprave nasledujúcich kurzov: Grafové algoritmy v školskej praxi; Binárne relácie; Logika; Množiny; Opisná štatistika; Testovanie štatistických hypotéz; Diskrétna matematika; Aritmetika; Celé, racionálne a reálne čísla. Naviac, skúsenosti autorov s ich použitím vo vzdelávacom procese sú výrazne pozitívne, o čom sa čitateľ môže presvedčiť napríklad v [3]. 2. Interaktívne elementy vo vyučovaní predmetu Aritmetika Katedra matematiky a informatiky Pedagogickej fakulty Trnavskej univerzity okrem iného garantuje a zabezpečuje matematicky zamerané predmety pre študentov odboru Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie. Jedným z povinných predmetov, ktorý musia títo študenti počas svojho štúdia absolvovať, je aj predmet Aritmetika. Tento predmet sa skladá z nasledujúcich častí: Binárne operácie; Algebrické štuktúry s jednou a dvoma operáciami; Zavedenie prirodzených čísel; Zápis čísel v pozičných číselných sústavách; Deliteľnosť a prvočísla. My sa ďalej budeme venovať časti zápis čísel v pozičných číselných sústavách. Skúsenosti autorov s výučbou predmetu Aritmetika počas niekoľkých rokov nám umožnili vytypovať oblasti, ktoré sú pre študentov problémové. Jednou z nich je aj spôsob zápisu čísel v pozičných číselných sústavách s iným základom ako 10. Ešte problémovejšie sa javia algoritmy písomného sčítania, odčítania a násobenia v týchto sústavách. Na základe našich skúseností s využitím moderných technológií sa nám zdalo, že práve tieto technológie by nám mohli pomôcť zmenšiť problémy s touto časťou učiva. Preto sme navrhli a naprogramovali sériu interaktívnych elementov, ktoré 182

183 sú zamerané na zápis čísla v pozičnej číselnej sústave a na algoritmy sčítania, odčítania a násobenia v pozičných číselných sústavách. Zatiaľ čo prevod čísla z pozičnej číselnej sústavy so základom iným ako 10 do desiatkovej sústavy našim študentom nespôsoboval veľké problémy, prevod čísla opačným smerom už áno. Problémy však nemali so zvládnutím podstaty algoritmu, ale často robili chyby najmä pri určovaní zvyšku pri delení. Preto sme navrhli a pripravili interaktívny element, ktorý im pomôže v zautomatizovaní postupu prevodu čísla do inej pozičnej číselnej sústavy. Ukážku tohto elementu vidíme na obrázku 1, kde v pravej časti je okno venované podrobnej spätnej väzbe pri každom kroku. Obrázok 1: Ukážka interaktívneho elementu na prevod čísla z desiatkovej sústavy do inej pozičnej číselnej sústavy Obrázok 2: Ukážka interaktívneho elementu na nácvik násobenia v pozičnej číselnej sústave Ešte väčšie problémy našim študentom spôsobovali algoritmy sčítania, odčítania a násobenia v pozičných sústavách s iným základom ako 10. Problémy nesúviseli s neznalosťou základných spojov sčítania a násobenia v týchto sústavách, nakoľko ich tabuľku študenti mali vždy k dispozícii. Ukázalo sa, že študenti majú často problém 183

184 vysvetliť princíp týchto algoritmov, lebo ho vedeli iba v desiatkovej sústave a to mechanicky. Preto sme pre každú z uvedených operácií pripravili dva interaktívne elementy. Prvý z nich učí študentov, ako dané algoritmy realizovať krok po kroku a spätnú väzbu poskytuje okamžite. Ukážku tohto elementu vidíme na obrázku 2. Druhý element poskytuje spätnú väzbu až po vyriešení celej úlohy, avšak poskytuje možnosť opraviť si chyby. Výhodou týchto elementov je aj skutočnosť, že ich možno použiť aj pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií na nácvik sčítania, odčítania a násobenia v desiatkovej sústave. 3. Skúsenosti s použitím interaktívnych elementov vo vyučovacom procese Ako sme už spomenuli, zo skúseností autorov z vyučovania predmetu Aritmetika v minulých rokoch vyplývalo, že zápis čísel v iných pozičných číselných sústavách ako v desiatkovej a najmä algoritmy písomného sčítania, odčítania a násobenia v týchto sústavách spôsobovali študentom značné problémy. Naviac, úspešnosť študentov v úlohách záverečného testu, ktoré sa týkali týchto algoritmov, bola výrazne nižšia ako úspešnosť pri riešení zvyšku testu. Preto sme sa v akademickom roku 2012/2013 rozhodli upriamiť pozornosť študentov na vyššie opísané interaktívne prvky, ktoré by im mali pomôcť zvládnuť problematiku pozičných číselných sústav. Experiment sme vykonali na vzorke 42 študentov denného štúdia odboru Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie, ktorí absolvovali v akademickom roku 2012/2013 povinný predmet Aritmetika. V rámci tohto predmetu sme okrem iného poskytli študentom vyššie spomínané interaktívne prvky (sú pre čitateľa voľne prístupné napríklad na na ktorých si mali nacvičiť a následne otestovať úroveň zvládnutia zápisu čísla v inej ako desiatkovej pozičnej číselnej sústave a algoritmy písomného sčítania, odčítania a násobenia v týchto sústavách. Súčasťou záverečného testu boli potom aj úlohy týkajúce sa problematiky číselných sústav. ú sp e šn o sť štu d e n to v v ú lo h á c h n a p o z ič n é č íse ln é sú sta v y ú sp e šn o sť štu d e n to v v z á v e re č n o m te ste Graf č. 1: Úspešnosť študentov v záverečnom teste Zatiaľ čo priemerná úspešnosť študentov v záverečnom teste bola 77,7%, úspešnosť študentov v úlohách zameraných na pozičné sústavy bola 89,1% (pozri graf č. 1). Z výsledkov teda vyplýva, že úlohy zamerané na pozičné číselné sústavy dopadli lepšie ako zvyšok testu, čo je presne opačne, ako tomu bývalo v minulosti, keď študenti nemali k dispozícii interaktívne prvky na nácvik učiva o pozičných sústavách. Z toho teda vyplýva, že vyššie opísané interaktívne prvky výrazne zlepšujú pochopenie zápisu čísla a algoritmov sčítania, odčítania a násobenia v pozičných číselných sústavách a ich použitie vo vzdelávacom procese sa javí ako efektívne. 184

185 4. Záver Hoci príprava elektronických vzdelávacích materiálov s integrovanými interaktívnymi prvkami je pomerne náročná, výsledky experimentov zameraných na efektívnosť využitia takýchto materiálov jasne ukazujú, že sa oplatí investovať čas a energiu do ich prípravy. Je nesporne užitočné, ak pri príprave spolupracuje viacero pracovísk, ako je tomu napríklad pri našej spolupráci s Univerzitou Mateja Bela v Banskej Bystrici v rámci riešenia projektov KEGA 3/4149/06, KEGA 3/7263/09, KEGA 010UMB-4/2011. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA 010UMB- 4/2011 Tvorba elektronických kurzov z matematiky pre žiakov základných škôl a prvých 4 ročníkov osemročných gymnázií. Literatúra 1. HANZEL, P.: Možnosti elektronickej podpory vzdelávania v príprave učiteľov pre 1. stupeň ZŠ. Zborník Cesty (k) poznávaní v matematice primární školy. Olomouc: UP Olomouc, 2004, s ISBN X 2. KLENOVČAN, P.: Príprava budúcich učiteľov 1. stupňa ZŠ s podporou Internetu. Zborník Cesty (k) poznávaní v matematice primární školy. Olomouc: UP Olomouc, 2004, s ISBN X 3. POKORNÝ, M.: E-learningové kurzy ako efektívny nástroj vo vyučovaní matematických predmetov na PdF TU. Praha: powerprint, ISBN ŽILKOVÁ, K.: Interaktívne prostredie v perspektívach vzdelávania. Acta Facultatis Paedagogicae Universitatis Tyrnaviensis: Séria C - Matematika, fyzika, informatika, roč. 11. Trnava: Trnavská Univerzita, 2007, s ISBN ŽILKOVÁ, K.: Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava: Univerzita Komenského, 2009, 138 s. ISBN Kontaktná adresa PaedDr. Milan Pokorný, PhD. Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX 9, Trnava Telefón: Mgr. Silvia Malatinská Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX 9, Trnava Telefón:

186 ÚLOHY Z MATEMATIKY AKO PROSTRIEDOK STIMULÁCIE EXEKUTÍVNYCH FUNKCIÍ Alena PRÍDAVKOVÁ, Milan DEMKO, Ján BRAJERČÍK Abstrakt Exekutívne funkcie sú mentálne procesy riadiace kognitívne funkcie. Pracovná pamäť je jednou z exekutívnych funkcií, ktorú je možné stimulovať už aj u detí mladšieho školského veku. Obsah učebného predmetu matematika poskytuje mnoho námetov na tvorbu úloh stimulačného charakteru. V príspevku predstavujeme návrh jednej sady úloh, určených pre žiakov vo veku 9-10 rokov, stimulujúcich pracovnú pamäť. Rôznorodá formulácia a náročnosť úloh umožňuje ich aplikáciu u žiakov s odlišnými úrovňami fungovania pracovnej pamäti. Kľúčové slová: stimulačná úloha, exekutívna funkcia, pracovná pamäť MATHEMATICAL TASKS AS THE TOOL OF STIMULATING EXCUTIVE FUNCTIONS Abstract The executive functions are mental processes which control the cognitive functions. Working memory is one of the executive functions which can be stimulated also in young learners. The thematic areas of Mathematics offer a lot of suggestions for designing stimulation exercises. In this paper, we present a set of tasks which stimulate working memory designed for the age group Various formulations and difficulty levels of the tasks allow for their application with pupils operating on different levels of working memory. Key words: stimulating task, executive function, working memory Úvod Problematika zaoberajúca sa schopnosťou detí učiť sa je v centre záujmu pedagógov a psychológov. Obsah učebného predmetu matematika ponúka veľa možností na rozvíjanie kognitívnych schopností žiakov. Vhodne sformulované úlohy a problémy vytvárajú priestor na experimentovanie, skúmanie, kde žiaci pracujú v pozícii objaviteľov nových vzťahov a pravidiel. Využíva sa tak konštruktivistický prístup k vyučovaniu matematiky, ktorý by mal mať na zreteli každý pedagóg. Jedným z predpokladov schopnosti učiť sa je exekutívne fungovanie. 1. Exekutívne funkcie Na základe výsledkov výskumov v behaviorálnych vedách a neuropsychológii, výskumov umelej inteligencie i teórii spracovávania informácii sa ukazuje možnosť skúmania procesov učenia sa z kognitivistického pohľadu, kde hlavnú úlohu hrajú exekutívne funkcie (Kovalčíková, Ropovik, 2012). Exekutívne funkcie predstavujú centrálnu úroveň mentálneho fungovania, pričom zabezpečujú súhru a organizáciu kognitívnych funkcií (Ropovik, 2012). 186

187 Dieťa s nedostatočne rozvinutým exekutívnym fungovaním môže mať problémy vo viacerých oblastiach (Kovalčíková, Ropovik, 2012, s. 2): neschopnosť zamerať a udržať pozornosť, impulzívnosť v konaní, neschopnosť inhibovať rôzne faktory, ktoré sú v rozpore s cieľom konania dieťaťa, neschopnosť podržať v pamäti informácie, ktoré sa zároveň spracúvajú (slabá pracovná pamäť), problémy pri monitorovaní a regulácii výkonu, neschopnosť plánovania krokov vopred, slabá organizácia a disciplína v myslení, neschopnosť generovať a implementovať stratégie, neschopnosť učiť sa z chýb. Včasná diagnostika nedostatočného exekutívneho fungovania u dieťaťa a cielená intervencia zo strany psychológa alebo učiteľa môže výrazne zvýšiť úspešnosť dieťaťa v škole. V rámci matematickej edukácie v primárnom vzdelávaní má významnú úlohu pracovná pamäť, ktorá predstavuje jeden z hlavných elementov exekutívneho fungovania. Ide o schopnosť dieťaťa udržať si informáciu v pamäti a pracovať s ňou. Pracovná pamäť sa využíva pri riešení úloh z oblasti aritmetiky, ako je napríklad numerácia (zápis viacciferných čísel), počtové operácie s prirodzenými číslami (rôzne postupy počítania spamäti). Zohráva významnú rolu pri riešení slovných úloh, kde je dôležité nadobudnutie vhľadu do situácie a vzťahov formulovaných v danej úlohe (napríklad nepriamo formulované slovné úlohy). Má svoje zastúpenie aj v úlohách z oblasti kombinatoriky, kde ide napríklad o vytváranie čísel (postupností) podľa daných pravidiel. Práve spomenuté oblasti kurikula matematiky ponúkajú priestor na tvorbu úloh zameraných na stimuláciu exekutívnej funkcie pracovná pamäť. Jedným z cieľov projektu APVV, riešenom na Pedagogickej fakulte PU v Prešove, je vytvoriť batériu úloh zameraných na stimuláciu exekutívnych procesov v predmete matematika v primárnom vzdelávaní. Navrhované úlohy by mali byť orientované na kurikulum. V ďalšej časti prezentujeme návrh jednej sady úloh, určených pre žiakov vo veku 9-10 rokov, stimulujúcich pracovnú pamäť. 2. Úlohy na stimuláciu pracovnej pamäti Prezentovaná úloha obsahuje niekoľko variantov náročnosti, čo umožňuje ich aplikáciu pri práci so žiakmi s rôznou úrovňou kognitívnych schopností. Zároveň môžu poslúžiť ako nástroj stimulácie u jednotlivcov, ktorí majú v tejto oblasti značné rezervy. Súbory úloh vhodné na stimuláciu pracovnej pamäti (ale aj iných exekutívnych funkcií) môže mať učiteľ pripravené v elektronickej podobe a v prípade potreby môže vo vhodnom čase a pri rôznych témach použiť vhodnú sadu úloh. Žiakom sú prezentované úlohy na rôznych úrovniach abstrakcie a to v závislosti od spôsobu jej zadania. Zadané môžu byť a) vizuálne informácie, b) verbálne informácie, c) verbálne a vizuálne informácie. Pri vizuálnom zadávaní využívame vhodné vizuálne didaktické prostriedky, napr. dataprojektor, interaktívnu tabuľu, a možnosti, ktoré informačno-komunikačné technológie ponúkajú, hlavne dynamiku a animácie. Vytvorená úloha patrí do oblasti numerácie a kombinatoriky. Zahŕňa v sebe elementy matematickej gramotnosti, nakoľko využíva kontext z reálneho života PIN kód. Využíva sa vizuálny spôsob zadania, pričom sa odporúča pracovať s dataprojektorom alebo interaktívnou tabuľou. Pripravené sú rôzne modifikácie úlohy, napríklad v programe MS PowerPoint. Žiakom je premietnutá schéma 187

188 Animáciou sú zobrazované jednotlivé čísla PIN kódu. Vždy sa jedno číslo na chvíľu zväčší, vystúpi do popredia a vráti sa do pôvodného stavu (rýchlosť podávaných informácií je prispôsobená schopnostiam a veku žiakov - v programe MS PowerPoint sú vytvorené animácie tak, aby kliknutím bola prispôsobená rýchlosť prezentovania). Napríklad ÚLOHA: Zopakuj PIN kód. Žiak riešenie prezentuje verbálne, bez akýchkoľvek zápisov. Po každom úspešnom zopakovaní je zmenený PIN kód a animácia zrýchlená. Postupuje sa od jednoduchších kódov typu 1, 1, 2, 1 ku komplikovanejším 2, 9, 5, 3, od štvorciferných kódov k viacciferným kódom a pod. Modifikácie úlohy PIN kód (M1) Do popredia vystúpia napr. čísla 2, 4, 5, 5 alebo 7, 2, 9, 3. ÚLOHA: Zisti PIN kód, ktorý vznikne usporiadaním zvýraznených čísel v opačnom poradí. Žiak rieši úlohu spamäti, bez využitia akýchkoľvek zápisov. (M2) Do popredia vystúpia čísla 4, 8, 2, 5. ÚLOHA: Zisti PIN kód, ktorý vznikne po vzostupnom usporiadaní zvýraznených čísel. Riešenie je prezentované spamäti. V danej verzii úlohy ide o tému týkajúcu sa učiva o numerácii, konkrétne o usporiadanie prirodzených čísel podľa veľkosti. (M3) Žiak je vopred oboznámený s pravidlom, podľa ktorého môže identifikovať správny PIN kód, napr. PIN kód je vytvorený len z párnych (nepárnych) čísel v poradí, v akom sa budú zobrazovať. Do popredia vystúpia čísla 2, 3, 4, 9, 5, 5, 6, 5, 1, 5, 7, 5, 5, 9, 8. ÚLOHA: Zisti PIN kód, ktorý je vytvorený len z párnych (nepárnych) čísel v poradí, v akom sa zobrazovali. ÚLOHA: Zisti PIN kód, ktorý je vytvorený len z čísel, ktoré sú násobkami čísla 3 v poradí, v akom sa zobrazovali. Žiak prezentuje riešenie spamäti. V danej úlohe ide o propedeutiku deliteľnosti prirodzených čísel

189 (M4) Do popredia vystúpia napr. čísla 6, 4, 4, 9, 5, pričom každé číslo pri vystúpení do popredia zároveň zmení svoju farbu. Použijeme dve farby, červenú a modrú. Napríklad, prvé dve čísla 6, 4 budú modrej farby, čísla 4, 9, 5 červenej farby. ÚLOHA: Zisti PIN kód, ak je vytvorený len z čísel červenej farby v poradí, v akom sa zobrazovali. Riešenie je prezentované spamäti. ÚLOHA: Zisti PIN kód, ak ide o najväčšie číslo vytvorené z číslic súčinu modrých čísel a súčtu červených čísel. Pri prezentácii riešenia žiak môže využiť písomný záznam. Na zvýšenie úrovne abstrakcie je možné obmedziť použitie písomných zápisov. Náročnosť úlohy modifikujeme voľbou vhodných čísel a ich farieb, prípadne počtom prezentovaných čísel. V uvedenej úlohe sa vyskytujú elementy učiva z oblasti numerácie, kombinatoriky, ako aj zápis čísla v dekadickom rozvoji. (M5) Úvodnú schému zmeníme a použijeme modifikácie (M1)-(M4). Napríklad (M6) Žiakom je vizuálne na obmedzený čas predložená tabuľka ÚLOHA: Zisti PIN kód, ktorý je vytvorený z čísel umiestnených zdola nahor (zľava doprava) v poslednom stĺpci (v druhom riadku) tabuľky. Doplň správny PIN kód ??? Žiak prezentuje riešenie s využitím manipulácie, napr. premiestňovaním objektov na interaktívnej tabuli, alebo použitím kartičiek s číslicami. Predchádzajúcu modifikáciu je možné prezentovať na rôznych úrovniach obtiažnosti: - čísla v tabuľke sú umiestnené bez zjavného pravidla, - čísla v tabuľke sú usporiadané podľa nejakého pravidla. Napríklad: Priestor môže byť venovaný napríklad aj diskusii týkajúcej sa prezentácie žiackych stratégií riešenia úlohy, kde vysvetľujú pravidlo, podľa ktorého sú čísla v tabuľke umiestnené. Cieľom je nájsť čo najviac možných interpretácii, hľadať rôzne pravidlá k danej schéme. Napríklad: 189

190 čísla nasledujú za sebou, 2. druhý (tretí) riadok vznikne z prvého (druhého) pridaním 1, 3. to isté platí pre stĺpce, 4. čísla na uhlopriečkach zľava doprava sa zväčšujú o 4, čísla na uhlopriečkach sprava doľava sa zväčšujú o 2. Snažíme sa objavovať ďalšie vlastnosti, napríklad: 5. súčet čísel v riadkoch, stĺpcoch a uhlopriečkach, ktoré obsahujú políčko s číslom 5 je rovnaký. Záver V rámci prvotnej etapy riešenia projektu sú vytvorené návrhy súborov úloh na stimuláciu exekutívnej funkcie pracovná pamäť. Úlohy sú vytvorené pre rôzne tematické oblasti obsahu učiva matematiky primárneho stupňa vzdelávania: numerácia, binárne operácie s prirodzenými číslami, slovné úlohy (jednoduché, nepriamo sformulované, zložené), kombinatorika, pravdepodobnosť, postupnosti. V nasledujúcej etape budú vytvorené úlohy precizované z pohľadu spôsobu ich zadávania a navrhnuté budú možnosti prezentácie žiackych riešení. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV s názvom Exekutívne funkcie ako štrukturálny komponent schopnosti učiť sa diagnostika a stimulácia. Literatúra 1. KOVALČÍKOVÁ, I. ROPOVIK, I.: Exekutívne funkcie ako predpoklad schopnosti učiť sa. Pedagogické rozhľady, roč. 21, č. 5, 2012, s ISSN ROPOVIK, I.: Relevancia konceptu exekutívnych funkcií pre edukačné vedy. In: Komplexnosť a integrita v predprimárnej, primárnej a špeciálnej edukácii. Prešov: Pedagogická fakulta PU, 2012, s Kontaktné adresy doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov Telefón: Milan Demko, PhD., Mgr. Ján Brajerčík, Ph.D. Prešovská univerzita v Prešove, FHPV, Katedra fyziky, matematiky a techniky Ul. 17. novembra 1, Prešov Telefón:

191 MOTIVACE V PŘÍPRAVĚ STUDENTŮ UČITELSTVÍ PRVNÍHO STUPNĚ ZŠ Jana PŘÍHONSKÁ Abstract Výuka studentů učitelství by měla být vedena ve stejném duchu, v jakém by studenti měli v budoucnu pracovat se svými žáky. To vyžaduje přípravu zaměřenou na aplikaci různých motivujících činitelů a zapojení studentů do tvorby vlastních výukových materiálů. Konkrétně to např. znamená vyžadovat nejen řešení zadaných problémů, ale i jejich modifikaci do školské matematiky. Uvědomit si, co je možno z daného tématu využít, resp. jak využít, umět zformulovat dílčí problémy, navrhnout vhodné metody řešení a správně formulovat otázky pro žáky. Pozornost je třeba věnovat i využívání moderních IC technologií, konkrétně aplikace SMART Notebook. Key words: motivace, motivační prostředí, řešení problémů, SMART Notebook MOTIVATION IN TRAINING OF STUDENTS OF TEACHING AT PRIMARY SCHOOL Abstract Preparation of students-future teachers should be conducted in the same way as they should teach their future pupils. This requires a preparation focused on application of different motivational factors and students involvement into creation their own teaching materials. It means specifically to require not only solution of given problems but also their modifications into school mathematics. We should be aware of which part of topics we can use in school mathematics, or how to use them, be able to formulate partial problems, suggest suitable solving methods and formulate questions for pupils correctly. We should pay attention to using modern IC technologies, mainly application of SMART Notebook. Key words: motivation, motivation landscape, problem solving, SMART Notebook 1. Motivace Podobně jako Hrabal, Man, Pavelková [1] chápeme motivaci jako souhrn činitelů, které podněcují, energizují a řídí průběh chování člověka a jeho prožívání ve vztazích k okolnímu světu a k sobě samému. Motivace usměrňuje naše chování a jednání pro dosažení určitého cíle. Jedním z cílů pro učitele je rozvíjení samostatnosti žáků při řešení problémů, podněcování jejich vlastní tvořivosti. Vyučování proto musí vycházet ze souboru činností založených na vlastní poznávací aktivitě žáků. Je samozřejmé, že tuto jejich aktivitu usměrňuje a řídí učitel. Proto se v přípravě budoucích učitelů zaměřujeme na činnosti, které vedou studenty-budoucí učitele k aktivnímu vytváření vlastních výukových materiálů a návrhu aktivizujících činností pro žáky. 191

192 Aktivní spoluúčast žáků ve vyučování je podmíněna v první řadě motivováním učební činnosti. Učitel musí při vyučování věnovat zvláštní pozornost i těm motivačním činitelům, které negativně ovlivňují školní výkon - nuda a strach. Strach je závažným motivačním činitelem, který může výkon žáka zvyšovat, ale všeobecně ho snižuje. Strach může být vyvolán stresovou situací při zkoušení, zadání náročného úkolu apod. Nuda ve vyučování má dva hlavní zdroje: Prožívanou, tj. subjektivně pociťovanou monotónnost (jednotvárnost) vyučovacích hodin Subjektivně vnímanou neužitečnost vyučovacího předmětu.(hejný, Kuřina, 1998) Rolí učitele je, aby zajímavým výkladem (spojeným např. se zajímavými ukázkami) vhodně volenou motivací, způsobem řízení a vedení vyučovacích hodin tento potenciální zdroj negativní motivace eliminoval a předešel tak frustraci, jež by mohla vést ke snížení úsilí žáků a ztrátě učebních cílů. V příspěvku se proto zaměříme na různé prvky motivace Motivační činitelé Motivačních činitelů je celá řada. Uveďme např.: Hodnocení a klasifikace Motivace cílem vyučovací hodiny Kvalita řízení vyučovacího procesu Zajímavost vlastního obsahu výuky Osobnost učitele Sociální vazby ve třídě Emocionální vztahy žáka k prostředí, učiteli, spolužákům Tento výčet nepovažujeme v žádném případě za konečný. Motivace je velice důležitá zejména při řešení problémů a rozvíjení řešitelských strategií. V přípravě budoucích učitelů prvního stupně na TU v Liberci se proto soustřeďujeme na rozvoj řešitelských strategií v motivujícím prostředí se zaměřením na aplikaci získaných vědomostí a dovedností v reálném životě, což v praxi znamená: 1. Vytváření motivujících prostředí pro řešení problémů (vlastní vytvořená prostředí smyšlené příběhy a postavičky, pohádková prostředí s využitím vlastností známých pohádkových bytostí, reálná prostředí jako např. pošta, zahradnictví, nákupy, domácí práce apod.), Obr. 1, Obr Zpracování miniprojektů (aplikace úloh přeformulování problémů, rozvoj řešitelských strategií uplatnění vizualizačních prvků jako obrázky, grafy, schémata, zpracování a utřídění získaných informací, schopnost prezentace jak nového učiva, tak vyřešených problémů), Obr Využití SMART technologií (interaktivní zpracování problémů). 2. Příklady aplikace - konkrétní ukázky Vytvoření problémového prostředí Seminární práce předmět Matematika pro praxi Drbohlavová, Jerjová, Hrdinová Na půdě nalezne Maty starou knihu, která obsahuje různé problémy. Ve vytvořeném prostředí žáci řeší zadané úkoly. Správné řešení je posune vždy dál k dalšímu problému. 192

193 Ukázka motivačního příběhu a zadaného problému: Obr. 1 Obr. 2 Řešení problémů využití aplikace SMART Notebook V prostředí SMART Notebook žák volí nejen problém ze základního MENU, ale při řešení daného problému má možnost volit nápovědu, která je skryta pod otazníkem (Obr. 3, Obr. 4), může volit kontrolu odkrytím zastíněných políček, může přímo psát na tabuli. Po vyřešení problému se může vrátit do základního MENU pomocí ikony domeček a volit další problém, případně může přímo pomocí postupující šipky přejít k dalšímu problému. Obr. 3 Obr. 4 Rozvoj řešitelských strategií způsob zpracování a prezentace zadaného problému V následující ukázce je předložen problém z kombinatoriky. Jedná se o klasický problém hledání všech čísel, která je možno sestavit z daných číslic a přitom je nutno splnit další podmínky. U studentů-budoucích učitelů je vyžadováno, aby úlohu vyřešili metodami využitelnými na základní škole a uvědomili si možnou aplikaci podobných kombinatorických úloh na prvním stupni. 193

194 Zadání úlohy: Z číslic 1, 2, 3, 4 vytvořte všechna možná dvojciferná čísla. Číslice se v sestavovaném čísle nesmí opakovat. První způsob řešení nabízí využití tabulkového schématu (Obr. 5): výpis všech dvojciferných čísel a zakroužkování vyhovujících. Metoda je vhodná pro žáky základní školy. 1. řešení úlohy tabulkové schéma Počet řešení: 12 Obr. 5 Dalším vhodným způsobem řešení pro žáky je manipulace s kartami, na nichž jsou číslice 1, 2, 3, 4 např. pomocí magnetické tabule. Manipulace s kartami je možná i při použití interaktivní tabule SMART Board. Zpracování úlohy v aplikaci SMART Notebook nabízí žákovi přímo volbu řešitelské strategie (Obr. 6), která může být využita jako kontrola správnosti řešení žáka. Po výběru dané strategie se otevře příslušné okno (Obr. 7, Obr. 8, Obr. 9), kde může žák pracovat. Obr. 6 Obr

195 Obr. 8 Obr. 9 Číselné řešení jako třetí uvedená metoda řešení není uvedena, neboť obsahově nenáleží k učivu základní školy. 3. Závěr V příspěvku jsou uvedeny ukázky zpracovaných problémů, které vznikly na základě vypracování seminárních prací studentů. Problémy jsou prezentovány s využitím power pointu a dále zpracovávány do interaktivního prostředí. Studenti se učí tímto způsobem pracovat s interaktivní tabulí, jejich výuka je vedena způsobem, jak by měli a mohli pracovat v budoucnu se žáky, učí se bezprostředně formulovat otázky pro žáky a reagovat na podněty jiných studentů. Obhajují a prezentují své názory. Odměnou je jim dobrý pocit z vytvořených výukových materiálů, které mohou následně využít přímo ve své praxi a dále je obohacovat novými náměty. References 1. HRABAL, V. ml. - MAN, F. - PAVELKOVÁ, I.: Psychologické otázky motivace ve škole. SPN, Praha Seminární práce studentů učitelství prvního stupně základní školy. Contact address doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická, TU v Liberci Studentská 2, Liberec Phone:

196 ROZVÍJENÍ POSTOJŮ ŽÁKŮ 1. STUPNĚ ZÁKLADNÍ ŠKOLY K ŘEŠENÍ SLOVNÍCH ÚLOH PROSTŘEDNICTVÍM INTEGROVANÝCH SLOVNÍCH ÚLOH Alena RAKOUŠOVÁ Abstrakt V příspěvku je uvedeno vyhodnocení výsledků získaných v experimentálním šetření integrovaných slovních úloh. Příspěvek analyzuje žákovské postoje k řešení slovních úloh v závislosti na zadávání tzv. integrovaných úloh v průběhu tří měsíců. Texty těchto úlohy souvisí s uspořádáním vzdělávacího obsahu vyučovacích předmětů kurikula 1. stupně ZŠ. Zvláštní pozornost je věnována integraci vzdělávacího obsahu a jeho vlivu na žákovské postoje. Pro sběr dat jsme použili metodu sémantického diferenciálu. Klíčová slova: integrované slovní úlohy, postoje, integrace vzdělávacího obsahu DEVELOPMENT OF ATTITUDES TOWARDS INTEGRATED WORD PROBLEM SOLVING OF PUPILS IN PRIMARY SCHOOL Abstract Contribution is focused on some results of research. The research is depend on integrated word problems distributed in three month. Pupils attitudes towards problem solving are analyzed. Texts of integrated word problems are related to sequencing of curriculum content in primary school. Extra attention is paid at integration of subject matter and it s influence to pupils attitudes. Semantic differential is used as well as one of many data collecting methods. Key words: integrated word problems, attitudes, content integration 1. Úvod V uplynulých čtyřech letech jsme realizovali experimentální šetření týkající se rozvoje žákovských postojů. V rámci šetření jsme si kladli otázku: Jak ovlivňuje žákovské postoje k řešení slovních úloh frekvence zadávání a tematická pestrost tzv. integrovaných slovních úloh? 196

197 Plán výzkumu uvádíme v tabulce 1. Výuka a sběr dat ročník 1 (n= 24) 4. ročník 1 (n= 24) 5. ročník 1 (n=24) 5 ročník 3 (n=24) 5. ročník 2 (n=21) 5. ročník 4 (n=24) tabulka 1 Výsledky experimentální skupiny jsme porovnali s výsledky skupiny kontrolní vždy v konkrétním časovém období. Faktor času hraje v tomto šetření významnou roli (viz níže). 2. Metoda sběru dat Metodou sběru dat byl sémantický diferenciál. Touto metodou jsem měřili individuální významy pojmu slovní úlohy pomocí dvanácti sedmibodových škál. Krajní body škál jsou tvořeny protikladnými adjektivy (příjemné nepříjemné; těžké lehké atd.). Čím vyšší škála, tím horší postoj, čím nižší škála, tím lepší postoj. 3. Metoda statistického zpracování dat Sebraná data jsme statisticky vyhodnotili pomocí U-testu Manna a Whitneyho při velkých četnostech. U-test je neparametrický test, díky kterému můžeme rozhodnout, zda dva výběry (experimentální a kontrolní) mohou pocházet ze stejného základního souboru, tj. zda mají stejné rozdělení četností. Více informací o způsobu vyhodnocení nalezne čtenář v literatuře uvedené seznamu. 4. Hypotézy Ve všech dílčích šetřeních jsme testovali nulovou hypotézu H 0 Mezi výsledky získanými sémantickým diferenciálem na vstupu experimentu v obou skupinách nejsou rozdíly. H A Mezi výsledky získanými sémantickým diferenciálem na výstupu experimentu v obou skupinách jsou významné rozdíly. Testování hypotéz se uskutečňovalo opakovaně na vstupu a na výstupech ve třetím, čtvrtém a v pátém ročníku. 197

198 5. Experimentální šetření 1 Závislou proměnnou jsou v případě našeho výzkumu postoje žáků k řešení slovních úloh, nezávislou proměnnou pak integrované slovní úlohy (více informací o integrovaných slovních úlohách (ISU) získá čtenář z literatury uvedené v seznamu). Nejprve věnujme pozornost zlepšení postojů k řešení slovních úloh v 5. ročnících. Tabulka 2 ukazuje výsledky ročníku, ve kterém byly ISU vyučovány od září. Žáci se vyrovnávali s mnoha změnami organizačně přešli na poloodborné vyučování (ve výuce jednotlivých předmětů se střídali vyučující, což se do 4. ročníku nedělo). Výuka těchto úloh probíhala v experimentální třídě napříč předměty a byla realizována týmem učitelů příslušných aprobací. Žáci kontrolní třídy byli vyučováni vždy bez vlivu těchto úloh. V tabulce jsou uvedeny čtyř výstupy, tj. čtyři tématické projekty, ve kterých byly zadány ISU v hodinách matematiky a v kontextu ostatních vyučovacích předmětů. Po vyplnění záznamových listů sémantického diferenciálu vypočítáme indexy postojů (od září do ledna došlo k markantnímu snížení indexu). Tabulka obsahuje výsledky z 1. pololetí školní docházky do 5. ročníku. Postoje k řešení slovních úloh v 5. ročníku Kontrolní skupina (bez vlivu ISU) vstup (září) výstup 1 (listopad) výstup 2 (prosinec) výstup 3 (leden) výstup 4 (březen) vstup (září) P >= 0.05 výstup 1 (říjen) P < 0.01 Experimentální skupina (4 projekty) výstup 2 (listopad) P < 0.01 výstup 3 (prosinec) P < výstup 4 (leden) P < 0.05 Celková doba trvání ISU, zpracování obsahu a způsob výuky ISU od září týmové vyučování napříč předměty tabulka 2 Na začátku (vstupní šetření) není mezi kontrolní a experimentální třídou statisticky významný rozdíl v postojích k řešení slovních úloh. Na výstupu (1-4) jsme odmítli nulovou hypotézu. Stínovaná pole v tabulce 2 vyjadřují statisticky významné rozdíly mezi výsledky kontrolní a experimentální skupiny v sémantickém diferenciálu. Šetření jsme provedli na konci každého ze čtyř projektů (tj. máme 4 výstupy). Na výstupech jsou statisticky signifikantní rozdíly. Závěr: Mezi experimentální a kontrolní skupinou jsou na výstupech statisticky významné rozdíly. 198

199 6. Experimentální šetření 2 V dalším školním roce jsme změnili počet tématických projektů, aby se mohli žáci věnovat tematickému projektu delší dobu. Původní čtyři témata jsme omezili na jedno, výuka probíhala v jednom monotematickém projektu s mnoha integrovanými slovními úlohami ve stejném trvání (od října do prosince/ledna) jako v případě předchozího šetření. Tentokrát jsme testovali dvě experimentální třídy 5. ročníků. V každém ročníku vyučoval jiný učitel matematiky. Ani v jedné experimentální skupině nebyl na výstupu v lednu statisticky významný rozdíl v porovnání se třídou kontrolní, ačkoli v předchozím roce zadávání ISU postoje příznivě ovlivnilo. Závěr: Mezi experimentální a kontrolní skupinou nejsou na výstupech statisticky významné rozdíly. Z těchto důvodů se domníváme, že příznivý vliv zadávání ISU na postoje musí jít ruku v ruce s pestrostí zvolených témat ISU, s upřednostněním krátkodobých projektů před dlouhodobými. Pro větší přehlednost jsou výsledky uvedeny v tabulce 3. Postoje k řešení slovních úloh v 5. ročníku Kontrolní skupina (bez vlivu ISU) vstup (září) výstup (prosinec/leden) Experimentální skupina (1 projekt) experimentální 1 experimentální 2 Vstup (září) výstup (prosinec/ leden) vstup (září) P >= 0.05 P >= 0.05 P >= 0.05 tabulka 3 výstup (prosinec/ leden) P >= 0.05 Celková doba trvání výuky ISU, zpracování obsahu a způsob výuky ISU od září týmové vyučování ISU napříč předměty 7. Závěr Výsledky realizovaných šetření platí pro daný vzorek. Svědčí o tom, že ISU zlepšují postoje v případě krátkodobých, multitematických projektů. V případě dlouhodobého, monotematického projektu ISU postoje žáků k řešení slovních úloh neovlivní. V dalším šetření je třeba zvážit, které další proměnné do šetření intervenují. Poznámka: Příspěvek je jedním z výsledků výzkumu, který byl realizován na Pedagogické fakultě Univerzity Karlovy v Praze a byl podpořen grantem GAUK Integrované slovní úlohy jako jedna z možností rozvíjení klíčových kompetencí žáků 1. stupně základní školy, číslo

200 Literatura 1. CHRÁSKA, M.: Metody pedagogického výzkumu.. Praha: Grada Publishing, 2011, 265 s. 2. Rakoušová, A.: Diagnostika postojů žáků pátých ročníků ZŠ k řešení slovních úloh. In Vondrová, Naďa. Dva dny s didaktikou matematiky : JČMF, s ISBN [Článek ve sborníku] 3. RAKOUŠOVÁ, A. Postoje žáků k řešení slovních úloh. In. T. JANÍK Tomáš, P. Knecht, S. Šebestová (Eds.), Smíšený design v pedagogickém výzkumu, 2011: Sborník příspěvků z 19. výroční konference České asociace pedagogického výzkumu (s ). Brno: Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta, RAKOUŠOVÁ, Alena. Role uspořádání vzdělávacího obsahu při rozvíjení postojů žáků k řešení slovních úloh. In: STEHLÍKOVÁ Naďa a TEJKALOVÁ Lenka. Dva dny s didaktikou matematiky 2011: Sborník příspěvků. 1. Plzeň: Vydavatelský servis, S ISBN: RAKOUŠOVÁ, A. Vliv zařazování integrovaných slovních úloh do vyučování na postoje žáků 1. stupně základní školy k řešení integrovaných slovních úloh. In PĚCHOUČKOVÁ Šárka a HRABĚTOVÁ Regina. Tvořivost v počátečním vyučování matematiky - vědecká konference s mezinárodní účastí věnovaná matematickému vzdělávání v primární škole 2011: Sborník příspěvků. 1. Plzeň: Západočeská univerzita, Pedagogická fakulta, S ISBN: RAKOUŠOVÁ, Alena. Vývoj postojů žáků 4. ročníku základní školy k řešení slovních úloh: Matematika 5. In: Specifika matematické edukace v prostředí primární školy. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého Olomouc, 2012, s ISBN Kontaktní adresa Mgr. Alena Rakoušová Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta UK M. D. Rettigové 4, Praha

201 THE SKILL OF ABSTRACTING AND CONCRETIZING AS A DETERMINANT OF TEACHER S COMPETENCES IN THE SPHERE OF FORMING MATHEMATICAL NOTIONS IN PUPILS OF YOUNGER YEARS Renata RECLIK Abstract The person who shapes children s attitudes towards the given subject and their manners of functioning within the mathematical space is the teacher of early education. Therefore, the latter should display a high standard of mathematical culture, as well as hold mathematical competences on a suitable level. Abstracting and concretizing are among the most important cognitive processes which are indispensable to form and develop mathematical notions. The paper is an attempt at answering the question whether prospective teachers of integrated education possess this vital-from the point of view of didactics-skill. Key words: abstracting, concretizing, mathematical skills SCHOPNOSŤ ABSTRAHOVAŤ A KONKRETIZOVAŤ AKO UKAZOVATEĽ KOMPETENCIÍ PEDAGÓGA W OBLASTI SPRACOVANIA MATEMATICKÝCH POJMOV U ŽIAKOV V MLADŠOM ŠKOLSKOM VEKU Abstrakt Dobrý učiteľ by mal mať dostatočné právomoci na riadne tvar matematické pojmy. Abstrahovanie a konkretizovanie je jedným z najdôležitejších myšlienkových procesov potrebným k spracovaniu a rozvíjaniu matematických pojmov. Text je skúškou odpovedať na otázku či tú, zo vzdelávacieho pohľadu dôležitú schopnosť, majú budúci pedagógovia integrovaného vzdelávania. Kľúčové slová: abstrahovanie, konkretizovanie, matematické zručnosti 1. Teacher competence Mathematics is one of the oldest fields of human activity which has played a significant role in the development of the material and spiritual achievements of mankind. Without making references to the senses and without any material designations, it remains in our imagination only. Many mathematical laws have been discovered not by experiment or observation, but by examining abstract mathematical structures. On the other hand, however, many mathematical theorems can be tested in an experimental manner and applied in numerous specific situations. The person who largely develops children's attitudes towards a given subject, as well as their feelings and their manner of functioning in the mathematical space is the primary education teacher. That is why such a person should have a high level of mathematical culture manifested in the scope and level of the person's mathematical competences and attitude towards mathematics. The occupational qualifications of 201

202 primary school teachers are extremely important for the subsequent education of the young generation. Many teachers enter into a discussion on the characteristics, suitability and professional skills of teachers. Recently these notions have been referred to as competences specifying the professional qualifications of people which guarantee good job performance and achievement of success. However, the notion of "competence" is not unequivocal. There are many definitions of this term in literature. Maria Czerepaniak-Walczak defines competences as a harmonious composition of knowledge, skills, comprehension and wish. According to her, competence "is a peculiar characteristic distinctive in demonstrating the ability to behave adequately on a level determined by social standards and to take responsibility for such behaviour" (Czerepaniak-Walczak, 1997, p.87). Competence refers to the teaching profession as well. And there are many various classifications of the term in literature, too. However, all authors refer to the essence of the teaching profession, its specific character, the teacher's tasks and functions. According to Robert Kwaśnica, a teacher's competence is related to his/her personality traits and to the causative effects as a result of technical knowledge (Kwaśnica, 1990). With respect to the subject matter of this text, a division of competencies proposed by Wacław Strykowski will be useful; he distinguishes three groups of teaching competencies: substantive (referring to the content of the subject taught), didactic and methodological (focusing on the teacher's and the pupil's skills and competencies), educational (concerning the various methods of exerting influence on the pupil) (Strykowski, Strykowska, Pielachowski, 2003, p.23). The substantive competencies, the teacher's knowledge and experience in a particular scientific field seem to be self-evident, and that is why they are frequently omitted in discussions concerning teachers' education. And yet in practice, substantive competencies are considered to be a significant component of efficient activities. Therefore, a good teacher should be well prepared in the scope of the operative knowledge of a subject. Every early education teacher should possess a specific knowledge of mathematics which will enable him/her to take a broader look at mathematical problems included in the curricula for grades I III. Most people associate mathematics at the lowest level of education mainly with simple arithmetic. The fact is, however, that early mathematical education requires highly qualified teachers, as this is the stage of education in which fundamental concepts for the entire process of mathematical education are developed in the child's mind. It is very difficult to eradicate wrong mental habits acquired by pupils in the early years of education as a result of didactic errors or superficial comprehension of the material taught by the teacher. 2. Theoretical aspects of abstraction and concretization For many students of early school education, the main objective of children's mathematical education is their ability to perform the four basic operations efficiently. The detailed requirements included in the teaching curricula, understood by students too narrowly, frequently become the only objectives of mathematical education for them. A thorough analysis of the core curriculum and the particular teaching curricula shows a totally different image of the pupil that we would like to educate, though. It should be a person who can think clearly, is creative, critical, independent, can make use of his/her knowledge in practice, and understands the social and natural reality as a complex 202

203 structure. With such an approach to mathematics, an important objective of its teaching is the development of mathematical thinking, and not just supplying the pupil with a set of principles and properties which should be applied in strictly specified situations. Already in the early school education the teacher should direct the educational process in such a way as to trigger in pupils such activities as visualization, concretization, simulation of problem solving, schematization and abstraction, experimenting and making use of analogy. Two of these activities, abstraction and concretization, will be discussed below. Mathematical concepts have a specific character. They are formed mainly by way of abstracting only certain characteristics of real objects and generalizing them. The essence of mathematical concepts is not the physical characteristics of objects, but the specific relations between them (and more often, between their substitutes), as well as certain methods of manipulating them. The process of abstracting permeates the entire field of mathematics. Psychological research has proved that mathematical concepts, just like all of mathematics, have an operative nature, they result from functional abstraction and they are formed as a result of a gradual process of interiorization of concrete activities, and subsequently imagined activities, to abstract operations. We should therefore regard them as flowcharts of performing particular operations in accordance with a formula determined in the course of one's own activity. Hence, teaching mathematical concepts at the early education stage should not consist in the teacher's explaining mathematical theories but in organizing the pupils' independent activities and their gradual discovering of principles which optimize and intensify such activities. In mathematics, abstraction is a process of formulating mathematical concepts in which, starting with elementary things, usually by distinguishing certain common characteristics, we get to a more general concept, simultaneously omitting its other properties (Nowik, 2009, p.16). Already at the early school education stage, a child creating and comparing four-part sets of various objects, such as apples, cars or crayons, notices that they have something in common (there are always four of them), even though their elements are totally different objects. Abstraction processes lead to the emergence of mathematical concepts in the child's mind, and, in Piaget's theory, they are strictly connected with formal thinking. They make it possible to distinguish and examine the common properties of various concrete objects by means of uniform methods. Concretization, i.e. moving from abstract to concrete objects, is reverse to abstraction. Thus, moving from number two understood as the power of the set to a particular two-element set is an example of concretization carried out by pupils already at the early school education stage. Both of these processes should be strictly connected in mathematical education at school. "Abstract mathematical problems analysed at school should be inspired and motivated by specific issues in which pupils are interested. On the one hand, we should teach them how to construct abstract mathematical models corresponding to practical situations, and on the other hand, how to perceive the practical applications of the abstract considerations. The relation of mathematics and life should be bilateral" (Puchalska, Semadeni, 1991, p.31). 3. Research report Do the future integrated education teachers possess the ability to abstract and concretize, which is so important from the didactic point of view? This question became 203

204 an inspiration for conducting a survey among early school education students at the Opole University. The survey was carried out in the spring of It comprised a group of 179 full-time and part time first level students at the Opole University. In the first part of the survey, an attempt was made to find out whether students were familiar with such concepts as abstraction and concretization. According to the survey results, many students were able to provide definitions of the above mentioned concepts. 81% of them provided proper definitions of abstraction, and 74.9% - of concretization. Among those who could not explain the concept of abstraction, as many as 79.4% did not even attempt to define the term. The remaining persons made mistakes resulting most frequently from confusing two notions: abstraction and generalization. For many students, the two concepts are equivalent: abstraction is generalization (without explaining what the latter means), or abstraction is a skill of generalizing specific activities. In mathematics (in the sense presented above) there are, however, significant differences between these two operations. In school practice, therefore, the teacher should differentiate between both these processes and carry them out in adequate situations. Almost every fourth of the surveyed persons had a problem with explaining the concept of concretization. Many students (91%) did not provide any definition, and the remaining group provided a wrong definition. Concretization most often consists in: analyzing a task and selecting particular data from it which will be necessary in order to solve the task; presenting general terms in a more detailed way; idealizing abstract notions. Many students associate concretization only with activities on specific material, without referring to abstract notions. However, being familiar with a definition is not all. The student's knowledge should be of an operative nature, so that he/she could make use of it in various didactic situations. The second part of the survey dealt with the skill of conducting relevant mental operations. In task one, a mathematical problem formulated in an abstract form: How is the sum of two numbers going to change if I add 8 to the former and subtract 3 from the latter? was to be presented in the form of a task with specific contents. Task two: I have 28 chestnuts. I put them in two containers in such a way that in one container there are 6 more chestnuts than in the other container. How many chestnuts are there in each container? concerned a reverse activity, i.e. the reversal of a specific situation to an abstract one. Only 54.7% of the surveyed students were able to carry out the process of concretization. Not all of them, however, could formulate the task in a specific form. Some of them only described the particular activities that should be performed while solving the task. Although they could not precisely express their thoughts, it might be assumed that they were familiar with the process of concretization and they could apply their theoretical knowledge in practical activities. There was also a group of students (9.8% of all surveyed persons) who could carry out the process of concretization, even though they did not provide any definition of this process. Deficiencies in theoretical knowledge do not exclude a certain intuition connected with the processes taking place in the course of teaching mathematics. It is worth noticing, however, that 45% of the students who knew the concept of concretization could not present the abstract content of the task in a specific situation. For them, a definition is just another rule to remember which does not carry any meaning. How can they support the development of these processes in children's minds if they themselves cannot do it? 204

205 Abstraction is an operation reverse to concretization. Although the percentage of the students who were familiar with the definition of the concept was slightly higher than those who were familiar with the concept of concretization, only 36.3% of those surveyed possessed the ability to abstract. The remaining group usually did not even attempt to answer the question. Among those who provided correct answers there were people (4.5% of all of the surveyed students) who could intuitively carry out such processes, although previously they had not formulated an adequate definition of abstraction. Unfortunately, as many as 63.5% of the students who provided a correct definition of abstraction could not operatively apply their knowledge and highlight abstract mathematical concepts from a specific real situation. For them, each mathematical task is a separate problem concerning about apples, mushrooms, or cars. They cannot detach themselves from the concrete and see a general mathematical problem in a task. How then can they teach their pupils to do it? Even though abstraction and concretization are among the most important mental processes necessary in the development of mathematical concepts, the survey indicates that future early education teachers have many problems with them. They can learn relevant definitions, but for most of them their practical application constitutes a huge problem. Although mathematics at the early school education stage should be of a real and specific character, it is also at this very stage that some bridges should be built to allow the child to climb up the higher steps of mathematics, because apart from functioning at a concrete or abstract level, we also need the ability to efficiently move from one level to the other. Therefore, in the course of mathematical education, efforts should be taken to make students aware of the importance of all the mental processes which lead to the correct development of mathematical concepts in the child s mind. References 1. CZEREPANIAK-WALCZAK M.: Aspekty i źródła profesjonalnej refleksji nauczyciela. Toruń: "Edytor", 1997, p.87. ISBN KWAŚNICA R.: Dwie racjonalności. In: Kwieciński Z., Witkowski L., (ed.), Ku pedagogii pogranicza. Toruń: Wydawnictwo UMK, ISBN NOWIK J.: Kształcenie matematyczne w edukacji wczesnoszkolnej. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 2009, p.16. ISBN STRYKOWSKI W., STRYKOWSKA J., PIELACHOWSKI J.: Kompetencje nauczyciela szkoły współczesnej. Poznań: empi2, 2003, p.23. ISBN PUCHALSKA E., SEMADENI Z.: Ogólne problemy reformy nauczania początkowego matematyki. In: Semadeni Z., (ed.), Nauczanie początkowe matematyki. Vol. 1. Warszawa: WsiP, 1991, p.31. ISBN Contact address Renata Reclik, doktor Uniwersytet Opolski, Instytut Studiów Edukacyjnych Ul. Ojca Józefa Czaplaka 2a, Opole Phone:

206 APLIKAČNÉ ÚLOHY Z MATEMATIKY PRE ŽIAKOV PRIMÁRNEHO VZDELÁVANIA Viera RINGLEROVÁ, Tatiana KOŠINÁROVÁ Abstrakt Okrem celoslovenského testovania žiakov 9. ročníka sa uvažuje aj o testovaní žiakov 5. ročníka základnej školy (ZŠ). Testovaný rozsah učiva bude v súlade so štátnym vzdelávacím programom pre 1. stupeň ZŠ - ISCED 1 primárne vzdelávanie. V príspevku predstavujeme niekoľko aplikačných úloh, ktoré sa líšia od tradičných úloh školskej matematiky. Aj takéto úlohy by mali žiaci zvládnuť, i keď na rozličnej úrovni. Kľúčové slová: primárne vzdelávanie, testovanie, aplikačná úloha, obťažnosť MATHEMATICAL APPLICATION EXERCISES FOR PRIMARY EDUCATION PUPILS Abstract Except for the Slovak-wide testing of 9th grade students, testing of 5th grade pupils is being considered. The tested extent of curriculum will comply with the state education program for the first stage of the primary school- ISCED 1- primary education. This article presents several application exercises which differ from the traditional exercises of school mathematics. Although at different levels, pupils should master these exercises as well. Key words: primary education, testing, application exercise, difficulty 1. Úvod Aj keď už niekoľko rokov prebieha testovanie žiakov 9. ročníka, podobné overovanie vedomostí a zručností žiakov 1. stupňa ZŠ sa na Slovensku nekonalo. Ako sú na tom slovenskí žiaci so svojimi vedomosťami a zručnosťami, máme možnosť dozvedieť sa z medzinárodných výskumov výsledkov vzdelávania. V ostatnom čase to boli výsledky medzinárodnej štúdie TIMSS 2011, v ktorej naši žiaci dosiahli výsledok štatisticky významne horší ako bol priemer zúčastnených krajín EÚ, aj krajín OECD. 1 Zmena by mala nastať od roku 2015, kedy je navrhnutý riadny termín testovania žiakov 5. ročníka ZŠ. Okrem úloh, s ktorými sa žiaci bežne stretávajú na hodinách matematiky, do testovaní budú zaradené aj úlohy vyššej kognitívnej úrovne, pri ktorých je okrem iného dôležitá sústredenosť žiaka, logické myslenie, použitie nadobudnutých matematických zručností. Ako inšpiráciu na zaradenie nových typov úloh do vyučovania uvádzame aplikačné úlohy, ktoré sa náročnosťou dajú prispôsobiť schopnostiam žiakov. Po zvládnutí jednoduchšej úlohy žiaci prechádzajú k jej náročnejším modifikáciám. 1 TIMSS & PIRLS i.pdf 206

207 2. Riešenie aplikačných úloh Výber úloh a realizovaný prieskum Pre žiakov je potrebné, z hľadiska ich ďalšieho štúdia i praktického života, aby vedeli riešiť úlohy štandardné, počítať aj spamäti, poznať algoritmy výpočtov. Takéto typy úloh sú v dostatočnej miere zastúpené v učebniciach aj v zbierkach. Do príspevku sme vybrali úlohy, ktoré sú pre žiakov skôr neštandardné, s ktorými sa ešte nestretli, v ktorých sa kladie dôraz na logické myslenie. Od žiaka sa ďalej vyžaduje porozumenie textu, nájdenie potrebných informácií, voľba stratégie riešenia, jej uskutočnenie, kontrola výsledku. Riešenie takýchto úloh závisí aj od úrovne predstavivosti žiaka. Pokiaľ však máme ambíciu uspieť v medzinárodných meraniach, je nevyhnutné, aby žiaci riešili aj náročnejšie úlohy. Pre žiakov sme vytvorili dve formy testových úloh A a B. V každej forme bolo 9 rôznych úloh. Úlohy žiakom 4. alebo 5. ročníka ZŠ zadávali vyučujúci, ktorí sa zúčastnili vzdelávania v rámci projektovej aktivity 3.1 projektu HKV 2 a na požiadanie nám pomohli s ich pilotovaním na školách, kde vyučujú. Pilotovať začali v druhej polovici decembra 2012 a na vyhodnotenie sme použili výsledky, ktoré sme dostali do polovice januára Dovtedy bolo otestovaných 304 žiakov, z toho 140 žiakov 4. ročníka a 164 žiakov 5. ročníka. Podľa toho, v ktorej testovej forme bola úloha zaradená, riešilo ju 156 resp. 148 žiakov. Ako ukážku sme vybrali šesť úloh. Pre porovnanie sa nám podarilo vybrať podobné úlohy z testovania na začiatku 5. ročníka z roku a z overovania testových položiek z roku 2011 v projekte HKV. Úlohy Úloha 1. Koľko stavieb na obrázku 1 sa dá vedľa seba postaviť z rovnakých kociek, ktoré sú uložené v krabici na obrázku 2? Obrázok 1 Obrázok 2 Ukážka žiackeho riešenia 2 Hodnotenie kvality vzdelávania na ZŠ a SŠ v SR v kontexte prebiehajúcej reformy vzdelávania (ITMS kód ) 3 Halásová, A., Heldová, D., Kuzma, J., Ringlerová, V., Sklenárová, I Vedomosti a zručnosti desaťročných žiakov zo slovenského jazyka a literatúry a matematiky. Bratislava: ŠPÚ, ISBN

208 Obťažnosť úlohy bola 71,8 %. Úloha bola pre žiakov náročná. Niektorí žiaci vedeli, ako majú postupovať, ale v procese riešenia sa dopustili chýb. Na ukážke vidíme, že žiak spočítal kocky v krabici, ale neuvedomil si, že dve chýbajú a neodčítal ich. Niektorí spočítali len kocky stavby a uvádzali číslo 7, iní k nemu pridali aj nesprávny počet kociek v krabici, napr. 16 a výsledok bol potom 2. Ďalšie nesprávne výsledky, ktoré žiaci uvádzali v odpovediach 5, 1, 24, 6, 2. Úloha 2. Jana s Viliamom majú spolu hmotnosť 132 kg. Viliam je o 14 kg ťažší ako Jana. Akú hmotnosť má Jana? Obťažnosť úlohy 81 %. Najčastejšie nesprávne odpovede 118 urobili len odčítanie, 14, 46, 52, 62, 63. Úloha 3. Mišo má vo vrecku 90 guľôčok, Peter 60. Koľko guľôčok musí dať Mišo Petrovi, aby ich mali rovnako? Podobná úloha bola aj v testovaní v roku 2002 a ako kotviaca položka aj v roku Obťažnosť v r bola 30,7 %, v roku ,3 %. Najčastejšou chybou, ktorú žiaci robili v tejto zloženej slovnej úlohe, bol len výpočet rozdielu počtu guľôčok. V roku 2011 túto chybu urobilo 24,6 % žiakov, v roku 2002 takýchto žiakov bolo podstatne menej a to 7,1 %. Iné chybné riešenia, ktoré sa vyskytli v roku 2011 boli 75 toľko guľôčok mali, žiak si nepozorne prečítal otázku, alebo na ňu zabudol, 45 asi zlá úvaha, keď dostal číslo 15, pripočítal ho k 30. Úloha 4. Dedko potreboval rozpíliť drevený trám na sedem častí. Zistil, že jedno prepílenie stojí 9 centov. Koľko centov zaplatí dedko za rozpílenie dreveného trámu? Obťažnosť úlohy 88,5 %. Chybný výsledok, ktorí uvádzali žiaci, 63 centov. Žiaci si dôsledne neprečítali zadanie, neuvedomili si, že pri siedmich častiach bude prepílení len šesť. Aj keď vedeli, že počet prepílení treba vynásobiť cenou za jedno prepílenie, nedôslednosťou v čítaní zadania sa dopracovali k nesprávnemu výsledku. Dôležité je upozorniť žiakov na robenie náčrtov. Znázornenie trámu priam navádza na vyznačenie siedmich častí. Ukážka žiackeho riešenia Úloha s podobným zameraním bola v pilotnom overovaní položiek v roku Úloha 5. Na pirátsku párty si žiaci v klube urobili girlandu z trojuholníkov podľa obrázku. Každý trojuholník mal dĺžky strán 15 cm, 20 cm a 20 cm. 208

209 Koľko centimetrov merala girlanda, ktorú tvorilo 10 takýchto trojuholníkov, ak medzi trojuholníkmi bola medzera 5 centimetrov? Riešilo 97 žiakov, obťažnosť 90,7 %, úlohu vôbec neriešilo 23,7 % žiakov, ostatní ju riešili chybne. Správny výsledok bol 195, najčastejšie chybné výsledky 200 neuvedomili si, že medzier je len 9, 75, počítali len s vlajkami, 50 - počítali, ale nesprávne, len medzery, 190, 120, 645, 95, 640. Vyskytol sa aj výsledok 1,95, hoci na 1. stupni sa desatinné čísla neučia a žiak si poriadne neprečítal, v akých jednotkách je potrebné napísať výsledok. Toto sú dva príklady, kedy sa nepočíta priamo s číslami zo zadania, ale žiaci si podľa situácie, obyčajne znázornenej aj na obrázku, musia zvoliť správne číslo, ktoré použijú vo výpočte. Okrem toho v druhej úlohe žiaci museli podľa obrázka správne určiť aj dĺžku strany trojuholníka. Úloha 6. Tomáš súťažil v hode šípkami. Pri prvom hode získal 6 bodov a pri druhom hode 10 bodov. Urči priemerný počet bodov, ktoré získal Tomáš. Obťažnosť 83,8 %. Aby žiaci nemali problémy s viacerými údajmi, zvolili sme výpočet aritmetického priemeru len z dvoch dát. Najčastejšia chyba - žiaci iba spočítali body z dvoch hodov. Je možné, že nepočítali dostatok podobných úloh a poznatok si neutvrdili. Výpočet priemeru si žiaci obvykle najlepšie zapamätajú zisťovaním priemerných známok z jednotlivých predmetov. Úloha 7. Súčet troch čísel v susedných kruhoch je vždy 100. Aké číslo má byť v poslednom kruhu vpravo? Obťažnosť 71,6 %. Chybné odpovede 100, 301. Žiak mal všetky kruhy správne vyplnené, ale v odpovedi uviedol výsledok 100. Úloha s podobným zameraním bola v pilotnom overovaní položiek v roku Úloha 8. Súčet susedných čísel v tabuľke je vždy Aké číslo bude v sivom okienku? 402 Úlohu riešilo 97 žiakov. Jej obťažnosť bola 73,2 %. Vôbec ju neriešilo 35 % žiakov. Čísla, ktoré žiaci uvádzali ako správne riešenia 216, 604, 608, 984, Úloha 9. Julka mala kabát, ku ktorému si vždy brala jednu z troch čiapok a jeden z dvoch šálov. Koľkými rôznymi spôsobmi mohla skombinovať toto oblečenie? Obťažnosť úlohy bola 59,0 %, chybné výsledky, ktoré žiaci uvádzali 5, 4, 3. Úloha je zameraná na rozvoj kombinatorického myslenia. Pri riešení podobných úloh v škole učitelia môžu žiakom ukázať viacero prístupov k danému problému a žiaci si vyberú ten, ktorý im najviac vyhovuje. Ako vidíme z nasledujúcich ukážok, žiaci si danú situáciu znázornili rôznymi spôsobmi. Najtypickejšie pre nich je pravdepodobne kreslenie vecí a urobenie cestičiek medzi nimi. Ďalší žiak použil symboly. Po vyriešení viacerých úloh takýmito spôsobmi získajú s kombinatorickými úlohami dostatočné skúsenosti a dokážu ich riešiť aj výpočtom, ako to urobil žiak v ukážke b. 209

210 Ukážky žiackych riešení a) b) Záver Snažili sme sa upriamiť pozornosť na niektoré problémy, ktoré vyplynuli z nášho šetrenia. Reforma odbúrala z matematiky pre žiakov 1. stupňa ZŠ niektoré náročnejšie tematické celky, ale neznamená to, že žiaci oveľa lepšie ovládajú to učivo, ktoré zostalo v štátnom vzdelávacom programe. Možno je to zapríčinené aj tým, že klesol počet hodín matematiky. Ak si tieto a im podobné úlohy žiaci precvičia a s vyučujúcimi i navzájom medzi sebou budú o nich diskutovať, určite to prispeje k rozvoju ich kognitívnych schopností. Nejde nám o to, aby sa žiaci naučili robiť testy, ale aby sa nezľakli ani náročnejších úloh, aby zistili, že aj tie sa dajú zvládnuť, aby si vybudovali kladný vzťah k matematike a pri riešení rôznych problémových úloh objavovali jej krásu. Poznámka: Príspevok bol spracovaný ako súčasť Aktivity 2.3 projektu Hodnotenie kvality vzdelávania na ZŠ a SŠ v SR v kontexte prebiehajúcej reformy vzdelávania (ITMS kód ) spolufinancovaného z prostriedkov EÚ, ktorého riešiteľom je NÚCEM. Literatúra 1. Pedagogicko organizačné pokyny na školský rok 2012/2013. Bratislava 2012, s GEROVÁ, Ľ.: Matematika súťažne i zábavne na 1. stupni ZŠ. Banská Bystrica: MPC, 2003, 40 s. ISBN HEJNÝ, M., HOUFKOVÁ, J., JIROTKOVÁ, D., MANDÍKOVÁ, D. a kol.: Matematické a přírodovědné úlohy pro první stupeň základního vzdělávání. Praha: UIV, 2011, 116 s. ISBN Kontaktná adresa RNDr. Viera Ringlerová, PhD. Mgr. Tatiana Košinárová Národný ústav certifikovaných meraní vzdelávania Žehrianska 9, Bratislava

211 SYSTEM DZIESIĘTNY W NAUCZANIU WCZESNOSZKOLNYM PRZYKŁADY AKTYWNOŚCI Grażyna RYGAŁ Abstract W artykule opisano przykładowe aktywności związane z wprowadzeniem systemu dziesiętnego w edukacji wczesnoszkolnej. Opisano też wyniki obserwacji pod kątem praktycznego wykorzystania systemu dziesiętnego przez dzieci, w szczególności w sytuacjach gdzie jego zastosowanie bardzo pomaga w obliczeniach. Zaprezentowano zabawy z zastosowaniem systemu dziesiętnego na zajęciach z dziećmi w ramach edukacji matematycznej. Key words: system dziesiętny, system monetarny, dodawanie do 100, szacowanie DECIMAL SYSTEM IN PRIMARY TEACHING EXAMPLES OF ACTIVITY Abstract In the article, exemplary activities connected with introduction of the decimal system in primary education are described as well as the observation results under view of practical use of the decimal system by children, in particular in situations when its use helps in calculations. We also present games which use the decimal system at lessons for children in the framework of mathematical education. Key words: decimal system, monetary system, addition up to 100, estimation 1. Wprowadzenie System dziesiętny towarzyszy dziecku od najwcześniejszych lat. Dziecko długo nie zdaje sobie sprawy, że ma 10 palców u rąk oraz 10 palców u nóg, ale w pewnym momencie zauważa, że jest ich tyle samo. Początki liczenia to pokazywanie na palcach rąk ile ma się lat lub wykonywanie prostego dodawania przy ich pomocy. Taką wiedzę ma już dziecko rozpoczynające naukę w szkole. Dojrzałość i stopień automatyzacji stosowanych strategii liczenia według R. Sieglera i D. Geary (za Wczesna diagnoza dziecięcych trudności w liczeniu red. U. Oszwa) zależy od ilości dokonanych przez dziecko doświadczeń matematycznych [1]. Zgodnie z ideą czynnościowego nauczania matematyki [2] stosujmy zadania prowokujące czynności konkretne. Później możemy oczekiwać, że uczniowie poradzą sobie również z zadaniami prowokującymi czynności wyobrażone. 2. Doświadczenia matematyczne z systemem monetarnym Podstawą systemu dziesiętnego jest zasada, że dziesięć jednostek tworzy jednostkę wyższego rzędu. Uważam, że najprościej tłumaczy się ten system na przykładzie systemu monetarnego. Pieniądze są doskonale znane dzieciom i świetnie się nimi posługują od najwcześniejszych lat. Zatem należy pokazać uczniom, że 211

212 czyli dziesięć monet 1-groszowych mżna zastąpić jedną monetą 10-groszową. Kolejno: czyli dziesięć monet 10-groszowych można zastąpić jedną monetą 1-złotową. Następnie: dziesięć monet 1-złotowych można zastąpić jednym banknotem 10-złotowym. Teraz: dziesięć banknotów 10-złotowych można zastąpić jednym banknotem 100-złotowym. Ważnym jest, aby wszystkie czynności uczniowie wykonywali sami bawiąc się modelami monet i banknotów. Tak wygląda system dziesiętny w zakresie pieniędzy. Warto uczniom wytłumaczyć, że istnieją jeszcze inne monety i banknoty w systemie monetarnym. Służą one dla wygody i są to 2gr, 5gr, 20gr, 50gr, 2zł, 5zł, 20zł, 50zł oraz 200zł. Dzięki nim portfele z pieniędzmi są lżejsze [3]. Takim zajęciom może towarzyszyć zabawa w kupowanie i sprzedawanie. Zorganizowanie punktu sprzedaży, w którym uczniowie zamiennie pełnią rolę sprzedawcy i klijenta, pozwala też na kształcenie umiejętności sumowania liczb i wydawania reszty. 3. Zabawa z systemem miarowym Kolejny pomysł na pokazanie dzieciom systemu dziesiętnego to jednostki miary. Zaczynamy od 1 milimetra: Warto przygotować 10 kartoników o grubości 1mm i ułożyć je ściśle jeden na drugim. Kolejno: Teraz można przygotować 10 sześciennych klocków, np. drewnianych, o boku długości 1cm. Układając je ściśle jeden obok drugiego sprawdzamy, że mają razem długość 10cm, czyli 1dm. Następnie: Przygotowujemy 10 pasków z tektury o długości 1dm i układamy je jeden za drugim. Ich łączna długość wyniesie 1m [3]. Można tym razem zorganizować zabawę w mierzenie różnych przedmiotów przygotowanymi miarami, np. 1 cm mierzymy wymiary gumki, czy długopisu. Miarką 1 dm mierzymy blat ławki, a miarą 1 m długość klasy. Warto pokazać jak dobiera się jednostkę miary do obiektu, który chcemy zmierzyć. Tego typu zabawy mogą pomóc uczniom zapamiętać, na czym polega system dziesiętny. 212

213 4. Aktywność matematyczna związana z szacowaniem i liczeniem do 100 Przeprowadziłam wiele zajęć z uczniami dziesięcioletnimi, aby sprawdzić czy znają system dziesiętny i jak sobie z nim radzą w praktyce. Zajęcia polegały na liczeniu różnych przedmiotów. Uczniowie nie wiedzieli, że jest ich 100. Przygotowano cukierki, kredki, kartki papieru, koperty, herbatę w saszetkach, żetony plastikowe, kostki do gry, piłeczki, spinacze biurowe, klamerki do bielizny, tekturki, naklejki, woreczki foliowe, ołówki. Uczniowie podzielili się na dwuosobowe zespoły i każdy zespół otrzymał jeden zestaw w koszyczku. Pierwsze pytanie, jakie zostało do nich skierowane brzmiało: Jak sądzicie bez liczenia, ile jest przedmiotów? Celem tego pytania była próba oszacowania liczby elementów w zbiorze przez uczniów. Wyniki szacunków zostały zapisane. Kolejnym pytaniem było ile dokładnie jest elementów w zestawie? Uwagi z obserwacji są następujące: nikt szacując nie określił, że przedmiotów może być 100, żaden z uczniów nie zastosował systemu dziesiętnego, poprzez grupowanie elementów po 10, a następnie policzenie tych grup, wszyscy zliczali po kolei, bardzo często myląc się, np., gdy doliczyli do 76, mylili się i liczenie rozpoczynali od nowa, doliczenie poprawnie do 100 okazało się trudnym zadaniem, w 85% podawane rezultaty były błędne pomimo kilkukrotnego liczenia, dopiero po wskazówce, jak można sobie ułatwić liczenie poprzez grupowanie, natychmiast wykonali liczenie poprawnie i mówili, że to im bardzo pomogło w szybkim uzyskaniu poprawnego wyniku liczenia. 5. Podsumowanie Opisano tylko niektóre przykłady, jak poprzez zabawę można rozwijać matematyczne myślenie dzieci. Takie eksperymenty w pełni potwierdzają myśl M. Dąbrowskiego, który w [4] pisał Starajmy się, aby dziecko zaczynało swoje myślenie i działania, o ile tylko odczuje taką potrzebę, na poziomie enaktywnym oraz ikonicznym po to, aby mogło być aktywnym intelektualnie i ze swoich działań mogło wydobywać sens tego, co jest naszym edukacyjnym celem. Wykorzystanie na lekcjach wielu ciekawych pomocy dydaktycznych w zakresie liczenia bardzo pomaga dzieciom. Wspaniałe pomoce są zaproponowane przez M. Montesori listwy numeryczne, tabliczki z szorstkimi cyframi, liczydła i wiele innych [5] Czas edukacji wczesnoszkolnej jest okresem w życiu dziecka, w którym jest bardzo zainteresowane wiedzą i chęcią aktywności. Należy stosować jak najwięcej doświadczeń matematycznych, które pozwolą w przyszłości zrozumieć abstakcyjne procesy matematyczne. References 1. OSZWA U. Wczesna diagnoza dziecięcych trudności w liczeniu. Wydawnictwo IMPULS, Kraków, 2008, ISBN , s SIWEK H. Czynnościowe nauczanie matematyki. WSiP, Warszawa, 1998, ISBN , s

214 3. RYGAŁ G. System dziesiętny cyfry i liczby, scenariusz lekcji. Chorzowskie Zeszyty Dydaktyczne, Wydawnictwo map, Chorzów, 2008, tom VI, ISSN , s DĄBROWSKI M. Pozwólmy dzieciom myśleć. CKE, Warszawa, 2007, ISBN , s BADURA-STRZELCZYK G. Pomóż mi policzyć to samemu. Wydawnictwo Nowik, Opole, 2008, ISBN , s Contact address dr hab. Grażyna Rygał prof. AJD Jan Dlugosz University of Czestochowa ul. Waszyngtona 4/8, Czestochowa, Poland Phone:

215 ZRUČNOSTI ŠTUDENTOV BUDÚCICH UČITEĽOV VO VYUŽÍVANÍ IKT Katarína SEBÍNOVÁ Abstrakt Učiteľ by mal mať v súčasnej dobe nielen pedagogické, odborné, ale aj počítačové zručnosti. Je preto dôležité, aby súčasťou akademickej prípravy budúcich učiteľov boli predmety zamerané na zvyšovanie informačnej gramotnosti študentov. Článok sa zaoberá pripravenosťou študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky v oblasti využívania informačných a komunikačných technológií vo svojom štúdiu a v príprave materiálov na vyučovanie na 1. stupni základnej školy. Kľúčové slová: informačná gramotnosť, informačné a komunikačné technológie, predškolská a elementárna pedagogika SKILLS OF STUDENT - FUTURE TEACHERS IN THE USE OF ICT Abstract In the present the teacher should have not only pedagogical, professional, but computer skills, too. It is important, that the courses focussed on raising students information literacy will be a part of their academic teacher training. The article is dealing with the students readiness to use ICT in their study the Pre-school and elementary pedagogy programme and in preparation of teaching materials at elementary school. Key words: information literacy, information and communication technologies, preschool and elementary education) 1. Úvod Vo vysokoškolskej príprave by študenti - budúci učitelia mali dosiahnuť určitú úroveň - štandard informačnej (resp. digitálnej) gramotnosti učiteľa. O tom, čo by mohlo byť zahrnuté do takéhoto štandardu, sa hovorí v dokumente Štandard digitálnej gramotnosti moderného učiteľa (MIŠŠ 21, 2007). Autori navrhujú tri hlavné zložky tohto štandardu: 1. Všeobecná digitálna gramotnosť - učiteľ rozumie moderným technologickým pojmom a postupom a efektívne využíva digitálne technológie pre každodenné potreby. 2. Predmetová digitálna gramotnosť učiteľ vhodne do vyučovania zaraďuje moderné informačné technológie, má prehľad o vhodných edukačných zdrojoch, vie ich hľadať a kriticky hodnotiť. Využíva technológie na uľahčenie hodnotenia a evidovania vzdelávacieho procesu žiakov. 3. Digitálna gramotnosť pre rozvoj nových kompetencií žiaka učiteľ plánuje, navrhuje a vhodne zaraďuje do vyučovania vzdelávacie 215

216 prostredia a situácie, v ktorých treba využívať moderné digitálne technológie, spolupracovať a riešiť problémy. V školskom roku 2012/2013 v rámci informatickej prípravy sú na Pedagogickej fakulte UMB v Banskej Bystrici v študijnom programe Predškolská a elementárna pedagogika (ďalej len PEP) zaradené tieto predmety: povinne voliteľný predmet Informačno-komunikačné technológie (IKT) a voliteľné predmety Edukačné digitálne technológie a Internet a digitálna fotografia. V ďalšej časti článku venujeme pozornosť predmetu IKT. 2. Obsah predmetu IKT Cieľom predmetu IKT je zvýšiť úroveň a efektivitu zručností študentov v používaní programov kancelárskeho balíka: MS Word, MS Excel, MS PowerPoint. Programy kancelárskeho balíka sú, čo do dostupnosti a využívania, najrozšírenejšie medzi používateľmi na slovenských školách. Sú to programy, ktoré môžu vytvárať vhodné elektronické prostredie pre vzdelávanie sa a sú označované ako vhodné prostriedky na podporu vyučovania. Náplň predmetu tvorili štyri tematické okruhy: Práca s programom Word: Formátovanie písma, odseku a vytváranie štýlov pre úpravu textu. Vkladanie a úprava tabuliek, obrázkov a grafických objektov v dokumente. Editor rovníc. Formátovanie dokumentu ako celku. Prepojenie súborov. Príprava dokumentov pre tlač. Práca s programom Excel: Vkladanie, oprava, výber, kopírovanie, presúvanie, mazanie obsahu buniek, práca s hárkami. Formátovanie buniek. Formátovanie tabuľky ako celku. Vkladanie objektov do tabuľky. Absolútne a relatívne adresy buniek. Základné funkcie. Triedenie a filtrovanie údajov v tabuľke. Tvorba a úprava grafov. Príprava tabuľky pre tlač. Práca s programom PowerPoint: Základné činnosti v tvorbe prezentácie (vkladanie a grafická úprava snímok, farebné schémy a motívy snímok, vkladanie a úprava objektov snímky, využitie predlohy snímok) Efekty v prezentácii (prechod snímok, animácia objektov) Riadenie prezentácie (spustenie od stanoveného bodu, skrytie vybraných snímok, navigácia). Príprava dokumentov pre tlač. Zvládnutie činností v menovaných tematických okruhoch považujeme za dôležité pre študenta a to najmä pri tvorbe písomných prác rôzneho zamerania a pri použití v školskej praxi. Dôležitým tematickým okruhom sú Kancelárske programy v tvorbe aplikácií pre vyučovanie na 1. st. ZŠ (matematika,...): Využitie programov MS Word, MS Excel a MS PowerPoint vo vyučovaní na 1.st. ZŠ. 216

217 3. Charakteristika prieskumu Cieľom bolo zistiť nárast zručností študentov v práci s kancelárskym balíkom programov. Nárast zručností sme sledovali na vzorke pätnástich študentov 3. ročníka v bakalárskom stupni študijného programu PEP. Počet študentov v predmete bol obmedzený a určený elektronickým systémom prihlasovania sa na predmet. Pre posúdenie sledovaných zručností študentov boli použité dva testy v každom tematickom okruhu, jeden na jeho začiatku a druhý po jeho ukončení. Vstupný a výstupný test sa líšili len súborom, ktorý študenti upravovali podľa zadaných úloh. V tematickom okruhu MS Word bolo daných 30 úloh, v MS Excel a MS PowerPoint po 20 úloh, v každom museli študenti uplatniť praktické zručnosti. Na vypracovanie jedného testu mali študenti 45 minút Dosiahnuté výsledky Tabuľka 1 uvádza úspešnosť študentov v jednotlivých tematických okruhoch. Tabuľka 1: Úspešnosť študentov Vstupný test Priemerná úspešnosť Výstupný test MS Word 85,20 % 88,56 % MS Excel 10,67 % 86,17 % MS PowerPoint 59,84 % 88,50 % Najviac zručností študenti preukázali na začiatku v práci s MS Word aj vzhľadom na to, že tento program už častejšie používali na SŠ a tiež v prvých dvoch ročníkoch štúdia na VŠ, najmä pri písaní a úprave seminárnych prác. Vo vstupnom teste sa ukázala najmenšia zručnosť študentov v záverečnej úprave dokumentu (využívanie, úprava a tvorba štýlov, tvorba obsahu, číslovanie od inej ako prvej strany). Študenti nevedeli využiť možnosti v úpravách vložených objektov do textu. S editorom rovníc, ktorý je možné použiť v aplikáciách pre vyučovanie matematiky, nemal nikto z nich žiadne skúsenosti. Napriek tomu, že úspešnosť študentov v testoch bola pomerne vysoká, vyskytli sa chyby spôsobené nepozorným prečítaním zadania. Vzhľadom na to, že mnohé činnosti úprav dokumentov boli pre študentov rutinné na základe stredoškolského štúdia, vymedzený časový priestor pre tento tematický okruh im nepostačoval na výraznejšie zvýšenie úrovne týchto zručností (napr. záverečná úprava dokumentu), o čom svedčí aj výstupný test. Úroveň svojich zručností študenti najviac zlepšili v tvorbe a úpravách tabuľky v programe MS Excel. Výsledky vstupného testu poukázali na málo skúsenosti s prácou v tomto programe aj vzhľadom na to, že v prvých dvoch ročníkoch štúdia na VŠ nemajú zaradený žiadny predmet informatického zamerania. Preto hlavným zámerom tohto tematického celku bolo osvojenie si len základných činností práce s programom, najmä čo sa týka jeho využitia v školskej praxi, napr. vo vyučovaní matematiky. Praktické využitie programu študentov dostatočne motivovalo k zvládnutiu nových poznatkov, k rozvíjaniu a upevňovaniu nových zručností. Program MS PowerPoint študenti často využívajú hlavne pri prezentáciách seminárnych prác. Zlepšenie v práci s programom nastalo najmä vo využívaní predlohy snímok a v nelineárnom riadení snímok prezentácie. Podobne ako aj v popísaných 217

218 výsledkoch práce s programom MS Word, aj v tomto prípade sa vyskytovali chyby súvisiace s nepozorným čítaním zadaných úloh a ich porozumením, inak by úspešnosť vo výstupnom teste bola iste vyššia. 4. Kancelárske programy v tvorbe aplikácií pre vyučovanie na 1.st.ZŠ (matematika,...) V rámci preberaných tematických okruhov mali študenti preukázať zručnosti aplikovať získané poznatky v tvorbe didaktických materiálov pre žiakov 1. stupňa ZŠ. Cieľom bolo preukázať technickú zdatnosť spracovania týchto materiálov. Didaktická stránka nebola hodnotená aj vzhľadom na to, že študenti nemajú v obsahu bakalárskeho štúdia didaktiky jednotlivých predmetov vyučovaných na 1. stupni ZŠ. Vychádzali len zo svojich skúseností. Učiteľ v tomto predmete všetky praktické ukážky orientoval na využitie v matematike. Pri spracovaní didaktického materiálu dostali študenti možnosť výberu témy aj mimo matematiky. Matematiku si vybralo 6 % študentov. Očakávali sme vyššie percento matematicky zameraných didaktických materiálov vzhľadom na to, že všetky uvádzané príklady na vyučovaní boli volené z tejto oblasti. Dôvod vidíme aj v slabšej úrovni vedomostí a zručností študentov v matematike. Ako uvádza Gerová (2012) úspešnosť študentov v riešení matematických úloh určených pre žiakov základnej školy bola najviac 67,07 % a pri ostatných úlohách aj výrazne pod touto hranicou. To je potom prekážkou vypracovania didaktických materiálov matematického zamerania. Uvádzame príklady ako študenti využili svoje zručnosti z IKT v matematike: Objemy Ihlan: V = Kužeľ: V = Guľa: V = 1 Sp. v ; S p je obsah podstavy, v je výška ihlana 3 1 r 2. v ; v je výška, r je polomer podstavy 3 4 r 3 ; r je polomer gule 3 Kocka: V = a 3 Obrázok č. 1 Obrázok č. 2 Súčasťou prezentovaných zručností študentov bolo vytvorenie jednoduchého testu, k čomu využívali jedine program PowerPoint. Ako uvádza Klenovčan (2012, s.111), pri tvorbe testov... študenti sa nielen učia a opakujú si určité učivo, ale sú nútení svoje znalosti viac analyzovať a zdokonaľujú svoje schopnosti pripravovať študijné materiály pre svojich budúcich žiakov. Ak študent zvládne techniku tvorby testu, môže ho využiť v ľubovoľnej tematickej oblasti a niektorí študenti uplatnia tieto svoje zručnosti pri tvorbe didaktických testov z matematiky v magisterskom štúdiu učiteľstva pre 1. stupeň ZŠ. 218

219 5. Záver Prieskum naznačil, že aj napriek určitému zvýšeniu úrovne sledovaných zručností študentov nie je možné v rámci jedného predmetu sa orientovať na zvýšenie všeobecnej a súčasne aj predmetovej informačnej gramotnosti študentov. Rozdelenie obsahu predmetu IKT na dva samostatné predmety, z ktorých jeden by sa orientoval len na všeobecnú a druhý na predmetovú informačnú gramotnosť by pomohlo dôkladnejšiemu upevňovaniu a rozvíjaniu kompetencií študenta. Predmet na zvýšenie všeobecnej informačnej gramotnosti študentov PEP by mal byť zaradený už do prvého ročníka bakalárskeho štúdia. Predmetovú informačnú gramotnosť nemožno rozvíjať bez didaktickej prípravy, ktorá je však v súčasnosti zaradená až v 1. ročníku magisterského štúdia. Poznatky a zručnosti získané v rámci všeobecnej informačnej gramotnosti by mal študent efektívne uplatniť hneď pri tvorbe materiálov, ktoré súvisia s jeho prípravou budúceho učiteľa. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 010UMB-4/2011 Tvorba elektronických kurzov z matematiky pre žiakov základných škôl a prvých 4 ročníkov osemročných gymnázií. Literatúra 1. GEROVÁ, Ľ.: Matematické poznatky a zručnosti študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky na začiatku ich štúdia na VŠ. In: Zborník z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou Komplexnosť a integrita v predprimárnej, primárnej a špeciálnej edukácii. Prešov: PF PU, s ISBN KLENOVČAN, P.: Edukačné matematické testy. In: Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou Matematika 5 Specifika matematické edukace v prostředí primární školy. Olomouc: UP, s ISBN MIŠŠ 21, Moderná informatizácia štúdia a školy pre 21. storočie : Štandard digitálnej gramotnosti učiteľa : Záverečná správa aktivity A KZVI FMFI UK, Bratislava, [online]. [citované ]. Dostupné na Internete: Kontaktná adresa RNDr. Katarína Sebínová, PhD. Fakulta prírodných vied UMB, Katedra matematiky Tajovské 40, Banská Bystrica Telefón:

220 UMELECKÉ ILUSTRÁCIE V UČEBNICIACH MATEMATIKY Alena SEDLÁKOVÁ Abstrakt V odbornom konferenčnom príspevku predkladáme pohľady na výtvarnú podobu umeleckej ilustrácie v učebniciach pre deti a mládež v rámcoch primárnej edukácie. Vyberáme z tvorby výtvarných ilustrátorov, ktorí kreslia a maľujú obrázky pre lepšie a zaujímavejšie porozumenie matematiky ako krásnej a výnimočnej vedy. Vyberáme niekoľko príkladov z výtvarného umenia a ukážok, ktoré v rámcoch predmetov matematika a výtvarná výchova približujú vzájomné vzťahy medzi sebou ako aj vizuálne zobrazenia pre lepšie pochopenie obsahu a matematických operácií. Výtvarnosť podporuje aj zaujímavé typografické spracovanie učebníc. Kľúčové slová: ilustrácie pre deti, matematika a obrázky v učebnici, kresby a maľby. ARTISTIC ILLUSTRATIONS IN TEXTBOOKS OF MATHEMATICS Abstract The topic of our paper are illustrations of textbooks mathematics. Thats was prepared for children and youth. Everything for an education with a programme of ISCED 0. We are writing about illustrations for little children and pupils and we write about topic of figures with illustrations of first and second class of used textbooks in basic schools on the Slovak Republic. Literature that explores mathematical concepts seems to be a natural tool for attaining those goals. Each review describes the book's content and accuracy, its illustrations and their appropriateness, the author's writing style, and whether activities for the reader are included. Artistic illustrations and lifestyle illustrator of children s book and textbook illustration are very best promotion for interesting form of typography and processing textbooks of mathematics. Key words: illustrations for children, the mathematic figures, pictures in a textbook for children in Elementary Education, Preschool Education, drawings and paintings. 1. Výtvarná podoba ilustrácií a vizuálne myslenie Každá učebnica pre deti a žiakov sa spája s výtvarným prejavom, ktorý je súčasťou textovej časti všetkých edukačných predmetov. Niektoré ilustrácie predstavujú relevantné vizuálne zobrazenia napísaných odborných foriem. Texty a obrazy v učebniciach pre žiakov sú médiá, ktoré predstavujú to, čo je potrebné výučbou nadobudnúť. Každá učebnica je tak médiom, ktoré sa zároveň nazýva edukačným konštruktom, čo je spojenie uvádzané J. Průchom (202, s ). Obrazové zobrazenia v učebniciach matematiky pre žiakov sú zvyčajne koncipované tak, aby každý preberaný edukačný problém bol aj výtvarne vyjadrený v súlade s matematickými pravidlami a logikou, a aby bol čo najčitateľnejší pre žiakov. Vytváranie ilustrácií výtvarníkmi alebo grafikmi je pre autorov textových častí učebníc vždy dôsledne konzultovaným zostavovateľským problémom, zvlášť, ak sa to dotýka najmä tej 220

221 najmladšej populácie. V takýchto učebniciach najčastejšie nájdeme také ilustrácie, ktoré sú vtipné, veselé, hravé, dynamicky štylizované. Všetky nenachádzame len v prírodovednej oblasti, ale aj v publikáciách, ktoré sú určené pre starších žiakov a študentov. Je preto dôležité spomenúť, že umelecká ilustrácia sa v takýchto dielach, myslíme odborných edukačných konštruktoch, dostáva prirodzene v tejto súvislosti a význame aj do pozície vedeckej ilustrácie. (Platí to aj naopak, ak je vedecká ilustrácia súčasťou umeleckej literatúry, nadobúda označenie umelecká.) Tento status nadobúdajú teda všetky ilustrácie, ktoré sa používajú v učebniciach a cvičebniciach. Nakreslený postup, ak uvažujeme o postupe sčítania, odčítania, či už máme v predstave aj uvedomenie si určitého materiálneho obsahu rôznych prvkov je pre žiakov v primárnom vzdelávaní vizualizovaným zobrazením žiaduceho matematického myslenia. Každý predpokladaný a zamýšľaný matematický úkon, ktorý je podložený obrazovým prejavom, vyvoláva v mozgových hemisférach paralelné myšlienkové aktivity. Stimuluje sa zrakové vnímanie a nervové receptory sú aktivizované aj práve zobrazenými motívmi. Žiaci poznajú tvary, rozoznávajú farby a chápu matematické operácie jednoduchšie, ak sú do procesu recepcie vždy prepájané obrazy a myšlienky zároveň, ak sú prepojené s ukážkami, sú zámery dospieť k výsledkom výraznejšie a predmetnejšie. 2. Ilustrácie v učebniciach matematiky modernosť a typografia Typografia v posledných rokoch má uvoľnený ale otvorený formát pre učebnice a cvičebnice. Primárnym je významový text a jeho obsahová stránka. Výtvarná podoba je stále rovnocennou súčasťou každého odborne písaného diela vzhľadom k edukácii, ak vezmeme do úvahy obe zložky, ktoré učebnicu, respektíve náplň učebnice a cvičebnice pre žiakov tvoria. Usporiadania obsahu a výtvarnej podoby sa musia podriadiť pravidlám, ktoré spoločne prispievajú k celkovým výtvarno-grafickým knižným hodnotám. Pozornosť teraz sústredíme na výtvarné zobrazenia v učebniciach matematiky, ktoré sú vydávané v poslednom období, a na vydavateľstvo, ktoré je zamerané a zodpovedné za učebnice. Ide o vydavateľstvo AITEC, ktoré sa zameriava na produkciu osvedčených učebníc a pracovných zošitov pre 1. stupeň základných škôl, má pestrú ponuku metodických príručiek a komentárov pre uľahčenie práce učiteľa. AITEC sa flexibilne prispôsobilo aj dopytu, vzhľadom na modernosť a multimediálnosť, ktorá sa prakticky dostala do takmer všetkých školských prostredí, a to aj vydávaním multimediálnych diskov pre podporu názorného vyučovania s využitím informačnokomunikačných technológií, ktoré sú dôkazom v produkovaní aj trinástich úplne nových učebníc a pracovných zošitov pre 1. stupeň základných škôl z predmetov matematika, slovenský jazyk písanie a sloh, prírodoveda a pre prácu v školských kluboch detí Obr. 1 Ilustrácia ponukového katalógu, ktorá je vytvorená pomocou počítačovej technológie a nástrojov softwerových systémov, z ktorých je asi najznámejší Adobe 221

222 Illustrator CS6. Obr. 2 Ilustrácia výtvarnej podoby série učebníc matematiky pre 1. Stupeň ZŠ. 3 Obr. 3 Ilustrácia, kde titul obálky matematiky pre prvý stupeň je kultivovaným výtvarným a typografickým a výtvarným zobrazením komplexnej motivácie k radostnému postoju voči obávanej matematike. Obrazové zoskupenia fotografií a softwerom vytvorených grafických motívov zo sveta zvierat, číslic a pomôcok, v hornej časti obálky esteticky zvýrazňuje modrý text na zelenom pozadí. Jemné štylizácie kresieb sú expresívne prevzdušnené bielym pozadím. Tým sa do výtvarnej podoby vniesol vzdušný priestor a hravý prístup k problematike obsahu (autori: M. Belic J. Striežovská), ktorý nájdeme po otvorení učebnice. Obrázky sú vždy prepájané s číslicami a znakmi, grafickým aj výtvarným vyjadrením a vizualizovaným zobrazením pomáhajúcich k úspešnému zvládnutiu matematických operácii pre mladší školský vek. Súčasťou titulu je multimediálny disk (MMD) pre učiteľa. Disk je určený na premietanie na interaktívnej alebo bielej tabuli, obsahuje didaktické interaktívne úlohy a hry, animované algoritmy riešenia úloh a metodické komentáre pre učiteľa. Ilustrátorka, Edit Sliacka (LIFESTYLOVÝ ILUSTRÁTOR), spolu s grafickou dizajnérkou Zuzanou Gabrielli zvolili systematický a čistý grafický výraz, ich výtvarná typografická podoba sa spája v kultivovanom prepájaní viacerých matematických prvkov a logických rébusov. Všetky zobrazené motívy sú aj v tejto modernej podobe aktuálne a pre žiakov súčasne zaujímavé. 4 Obr. 4 Na ukážke predkladáme dvojstránku, ktorá je ilustrovaná Editou Sliackou a grafickým spracovaním v podaní Zuzany Gabrielli. Obrázky a motívy sú vytvorené 222

223 kombinovane, s ručnými aj softwerovo modelovanými tvarmi. Na každej stránke nájdeme niekoľko prvkov, ktoré si žiaci v priebehu edukácie samé domaľujú alebo dokreslia, čo je dôležitým momentom v procesoch matematického myslenia. Tým sa preberané učivo upevňuje. Farebnosť je mimoriadne účinná, nie je preexponovaná a dotvára potrebný oddychový priestor počas spracovávania myšlienkových procesov. 5 Obr. 5 Ilustruje prepojenie umeleckej ilustrácie z rozprávky o Popoluške, ktorá je vytvorená softwerovými nástrojmi. Illustrator CS5 & Photoshop sa vo výrazových možnostiach navzájom podporujú, a každý motív nadobúda zvláštny a typografický prejav. Obrázky sú reálnejšie, aj keď sú vo zvýšenej miere štylizované. Efekty reálneho sveta získali aj takto vytvárané ilustrácie, ktorých umeleckú hodnotu stupňujú a odľahčujú obe spoluautorky: ilustrácií a typografickej úpravy každej stránky. Výtvarná podoba je harmonicky zosúladená aj z hľadiska farebnej kompozície. Graficky a výtvarne, a nie príliš od štylizovaného rukopisu vzdialený je aj nasledujúci autor, Jindřich Prášil. Grafickou dizajnérkou je Jana Madarászová. Ukážky z učebnice predkladáme ako ilustráciu na porovnanie výtvarného výrazu predchádzajúcej publikácie. 6 Obr. 6 Umelecké ilustrácie sú tvorené tak, aby ich výraz nebol veľmi vzdialený detskému výtvarnému prejavu. Tým, že autor dokáže nakresliť motívy v tzv. detskom štýle, sa výtvarne usiluje transformovať svoje vizuálne myslenie v kontexte s daným problémom. Lenže, ten problém je v takomto prípade vždy spájaný s kognitívnym a edukačným cieľom len v tej k obrazu príslušnej téme, teda, pre ktorú je vytvorená konkrétna ilustrácie. V súčasnosti je tradičným postupom vytvárať ilustrácie najmä pomocou technologických nástrojov ilustračných programov. Iné, počítačovo modelované ilustrácie sú v súčasnosti trochu odlišné vo svojej tvarovej podobe od ručne tvorených 223

224 ilustrácii. Počítače a softvéry na tvorbu ilustrácii v moderných učebniciach riadia viacerí tvorcovia, ktorí sú špecializovaní k cieľom spracovávania obrazu a jeho umiestnenia. U nás sa zatiaľ tieto kompaktne riadené formy tvorby ilustrácii uplatňujú zhruba v 60 80%. Mladá generácia výtvarníkov častejšie tvorí počítačovými softvérmi, než ručne vytváranými ilustráciami. Tento súčasný trend je v zahraničí tradičný, a to ak jeden človek tvorí obrázky pomocou programu od línie až po vkladanie farieb, a ďalší ho dopĺňa v tvorbe tým, že obrázok umiestňuje, či inak farebne variuje (In V učebniciach matematiky preto opakovanie rovnakých motívov automatizmus, nájdeme aj z logických príčin. Ak sú tvary upravené tak, aby vzájomne rešpektovali priestor v texte, potom sa spoločne stanú uceleným grafickým tvarom a dajú sa vnímať ako výtvarno-edukačné médium v menšej podobe. V typografickej kompozícii ich potom už nevnímame len ako drobné tvary, ale vzhľadom na zrakové vnímanie a recepciu sa stávajú farebnými ale znakovými fragmentmi, ktoré sú aktivizované v toku farebného vlnenia. To už patrí do krásnej ale zložitejšej oblasti matematickej vedy. Literatúra 1. AITEC. SÉRIA PRE ročník. Dostupné na internete: [Online. Cit ]. 2. BELIC, M. STRIEŽOVSKÁ, J. Matematika 1 pre prvý stupeň ZŠ 1. časť. [Online. Cit ]. 3. LEHOŤANOVÁ, B. Matematika pre 1. ročník ZŠ 1. časť. Dostupné na internete: [Online. Cit ]. 4. MILNE, S. Style Mixing, Lifestyle Illustration Adobe Illustrator CS5 Dostupné na internete: https://tutsplus.com/tutorial/style-mixing-lifestyle-illustration-adobeillustrator-cs5/ [Online. Cit ]. 5. PRŮCHA, J. Moderní pedagogika. Praha: Portál, s. 6. Behind the scenes: The Mouse vs. The Brush. [Online, Cit ]. 7. MATHEMATICAL ILLUSTRATIONS - A MANUAL OF GEOMETRY AND POSTSCRIPT. Cit ]. Kontaktná adresa Mgr. Alena Sedláková, PhD. Katedra hudobnej a výtvarnej výchovy Ul. 17. novembra 15, Prešov Telefón:

225 ZAČIATKY MATEMATICKEJ EDUKÁCIE V OBLASTI GEOMETRIE NA SLOVENSKU A V ÍRSKEJ REPUBLIKE Iveta SCHOLTZOVÁ Abstrakt Medzinárodná štúdia TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) v štvorročných cykloch pináša informácie o úrovni vedomostí a zručností žiakov zúčastnených krajín v matematike. Jej výsledky a tiež komparácia edukačných systémov, kurikulárnych dokumentov, obsahu vzdelávania i učebných prostriedkov rôznych krajín môže priniesť nové podnety aj pre skvalitnenie matematického vzdelávania. V tomto kontexte je prezentovaný prvý pohľad na matematickú edukáciu v oblasti geometrie v predprimárnom období a v prvom ročníku primárneho vzdelávania na Slovensku a v Írskej republike. Kľúčové slová: Slovensko, Írska republika, predprimárna a primárna edukácia, geometria BEGINNINGS OF MATHEMATICAL EDUCATION IN GEOMETRY IN SLOVAKIA AND THE REPUBLIC OF IRELAND Abstract The international study TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) brings the information on the standard of mathematical knowledge and skills of pupils from the participating countries with a four-year periodicity. The survey s results together with the comparison of education systems, curricular documents, contents of education and delivery of instruction in various countries can bring new suggestions for enhancing mathematical education. Hence the first view on the mathematical education in geometry for preschool stage and Year 1 in Slovakia and the Republic of Ireland. Key words: Slovakia, Republic of Ireland, Pre-School and Primary Education, Geometry. 1. Úvod Edukačný systém v Slovenskej republike a v Írskej republike nie je z hľadiska členenia (a pomenovania) jednotlivých stupňov rovnaký. Na Slovensku je ako predprimárny stupeň vzdelávania klasifikované vzdelávanie v materských školách pre deti vo veku 3 6 rokov. Pokračuje sa primárnym stupňom vzdelávania na základných školách (žiaci vo veku 6 10 rokov). Írsky edukačný systém klasifikuje predprimárnu edukáciu (Early Childhood) pre deti vo veku 3 roky a 2 mesiace až 4 roky a 7 mesiacov, ktorá sa realizuje v rôznorodých zariadeniach predškolskej starostlivosti. Primárna edukácia (Primary Education) začína pre dieťa v septembri nasledujúcom po dovŕšení štyroch rokov. Najprv sú to dva ročníky (junior infants a senior infants), ktoré zodpovedajú predškolskej edukácii na Slovensku. Po nich nasleduje ročník primárnej edukácie. (Irish Education System, 2013) Pre komparáciu začiatkov matematickej vzdelávania v oblasti geometrie na Slovensku a v Írsku bude v ďalšom 225

226 texte analyzované obdobie predškolskej edukácie a 1. ročníka primárneho vzdelávania v obidvoch krajinách. 2. Geometria v edukácii pred 1. ročníkom primárneho vzdelávania Na Slovensku je základným kurikulárnym dokumentom pre predprimárne vzdelávanie Štátny vzdelávací program. ISCED 0 predprimárne vzdelávanie (2008). Tento dokument vo svojich častiach ciele výchovy a vzdelávania, profil absolventa, vzdelávacie oblasti exaktne neuvádza problematiku dotýkajúcu sa matematiky (a teda ani geometrie). Geometrickú problematiku je možné identifikovať vo vzdelávacích štandardoch, t. j. v obsahových (ľavý stĺpec v tabuľke)) aj výkonových (pravý stĺpec v tabuľke) štandardoch: okruh JA SOM orientácia v priestore technická tvorivosť základné grafické tvary orientácia v bezprostrednom okolí domova a materskej školy priraďovanie, triedenie, usporadúvanie, zostavovanie podľa kritérií rovinné (kruh, trojuholník, štvorec a obdĺžnik) a priestorové geometrické tvary (guľa, kocka, kváder, valec) plošná a priestorová tvorivosť hračky a predmety Perceptuálno-motorická oblasť orientovať sa v priestore (vo vzťahu k vlastnému telu) tvoriť produkty zo skladačiek a stavebníc... podľa vlastnej fantázie a podľa predlohy znázorňovať graficky... vertikálne línie, horizontálne línie, krivky, slučky,..., horný a dolný oblúk, lomená línia, vlnovka, ležatá osmička,... Kognitívna oblasť orientovať sa v tesnej blízkosti domova a materskej školy okruh ĽUDIA Kognitívna oblasť priradiť, triediť, porovnávať a usporiadať predmety podľa určitých kritérií (..., tvar, veľkosť) poznať, rozlíšiť, priradiť, triediť a určiť niektoré rovinné a priestorové geometrické tvary zostaviť z puzzle, rozstrihaných obrázkov, paličiek alebo geometrických tvarov obrazce a útvary podľa fantázie, predlohy a slovných inštrukcií okruh KULTÚRA Kognitívna oblasť vnímať a rozoznať, že hračky a predmety sú z rôzneho materiálu, ktorý má rôzny... tvar,..., veľkosť Pre študentov budúcich pedagógov a začínajúcich učiteľov môže byť ťažké identifikovať geometrickú problematiku v obsahu jednotlivých okruhov, prostredníctvom ktorých sa realizuje predprimárne vzdelávanie. Na rozdiel od Slovenska, írsky kurikulárny dokument (Mathematics. Primary School Curriculum, 1999) presne uvádza geometriu pre edukáciu detí predškolského veku (junior infants, senior infants). V obsahu je geometrická problematika zaradená v dvoch častiach: tvar a priestor priestorová orientácia, priestorové a rovinné útvary; merania dĺžka. Presne je špecifikovaný obsah pre jednotlivé ročníky. TVAR A PRIESTOR Junior infants preskúmať, diskutovať, rozvíjať a používať slovník pre orientáciu v priestore poloha: nad, pod, hore, dole, na, vedľa, v inštrukcie: pohyb po rovnej/krivej čiare, v kruhu, určenie vlastnej polohy v priestore Orientácia v priestore 226 Senior infants preskúmať, diskutovať, rozvíjať a používať slovník pre orientáciu v priestore poloha: nad, pod, blízko, ďaleko, vpravo, vľavo zastaviť a uviesť svoju pozíciu inštrukcie: pohyb v štvorcovej sieti, po podložke zastaviť a popísať svoj pohyb.

227 triedenie priestorových útvarov, pravidelné a nepravidelné veci, ktoré sa valia/gúľajú/kotúľajú vytvorenie konštrukcií z priestorových útvarov a diskusia o nich Priestorové útvary riešiť úlohy a problémy týkajúce sa útvarov Rovinné útvary triedenie a pomenovanie rovinných útvarov: štvorec, kruh, trojuholník, obdĺžnik triedenie rovinných útvarov podľa rôznych kritérií, napr. okrúhle/nie okrúhle použitie vhodne štruktúrovaných materiálov na vytvorenie obrázkov riešenie problémov týkajúcich sa útvarov ktoré dva útvary spolu pokryjú štvorec? MERANIE Junior infants triedenie, popis a pomenovanie priestorových útvarov: kocka, kváder, guľa a valec hrana, vrchol, stena, priamka, krivka, kruh, rovina triediť telesá podľa pravidla, napr. objekty so 4 stenami, objekty, ktoré sa gúľajú kombinácia priestorových útvarov na vytvorenie iných útvarov riešiť úlohy a problémy týkajúce sa útvarov triedenie, popis a pomenovanie rovinných útvarov: štvorec, kruh, trojuholník, obdĺžnik zoskupovanie a triedenie rôznych útvarov napr. priamka, krivka, rovina, strana, vrchol vytváranie útvarov na geodoske zobrazovanie útvarov nachádzajúcich sa v okolí kombinácia a rozdelenie rovinných útvarov na vytvorenie väčšieho alebo menšieho útvaru rozstrihnutie papierového útvaru na 2 alebo 4 časti a diskusia o výsledkoch riešenie problémov týkajúcich sa útvarov a priestoru vytvoriť útvar zo 7 častí koľko rôznych útvarov je možné vytvoriť z 5častí? Zadať jednoduché inštrukcie pre pohyb a otočenie Dĺžka rozvíjanie porozumenia konceptu dĺžky prostredníctvom skúmania, diskusie a používania primeranej slovnej zásoby diskusia o objektoch v okolí: dlhý/krátky, vysoký/nízky, široký/úzky, dlhší, kratší, širší než triedenie objektov podľa dĺžky porovnanie a usporiadanie objektov podľa dĺžky alebo výšky Senior infants rozvíjanie porozumenia konceptu dĺžky prostredníctvom skúmania, diskusie a používania primeranej slovnej zásoby porovnanie a usporiadanie objektov podľa dĺžky alebo výšky identifikovať: dlhší ako/ širší ako/ najdlhší/ najkratší odhad a meranie dĺžky neštandardnými jednotkami odhad a kontrola merania (koľko paličiek z lízaniek je potrebných na odmeranie dĺžky lavice? Hádaj, skontroluj a diskutuj) výber a použitie vhodných neštandardných jednotiek na meranie dĺžky, šírky, alebo výšky. Diskusia o dôvodoch voľby jednotiek. aktuálne problémy: Ako môžeme zistiť, čo je širšie, dvere alebo lavica? Ktorú jednotku použijeme (paličku alebo ceruzu)? Porovnanie kurikulárnych dokumentov ukazuje rozdiel v obsahu geometrickej problematiky v predškolskej edukácii na Slovensku a v Írsku. Írsky obsah je rozsiahlejší a hlavne exaktnejšie formulovaný. Navyše, pri každej obsahovej časti sa uvádzajú možnosti integrácie geometrie s inými oblasťami, napr. s telovýchovnou, výtvarnou a hudobnou edukáciou. 227

228 3. Geometria v 1. ročníku primárneho vzdelávania Na Slovensku je základným kurikulárnym dokumentom pre matematiku v primárnom vzdelávaní Štátny vzdelávací program. Matematika. (Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami). Príloha ISCED 1. (2009). V 1. ročníku základnej školy sa geometria vyučuje v nasledovných intenciách: Odporúčaný obsahový štandard Odporúčané témy Odporúčané pojmy Kreslenie čiar. Rysovanie Priama čiara, krivá priamych čiar. čiara, uzavreté Geometrické tvary a útvary kreslenie. Manipulácia s niektorými priestorovými a rovinnými geometrickými útvarmi. a otvorené čiary,... Trojuholník, kruh, štvorec, obdĺžnik, kocka, valec, guľa,... Vpravo, vľavo, hore, dole, väčší, menší,... Odporúčaný výkonový štandard Kresliť priame, krivé, uzavreté a otvorené čiary. Rozlišovať priamu a krivú čiaru. Rozlišovať otvorenú a uzavretú čiaru. Rozlišovať rovinné geometrické tvary: trojuholník, kruh, štvorec, obdĺžnik. Rozlišovať priestorové útvary: kocka, valec, guľa. Vedieť manipulovať s niektorými priestorovými a rovinnými geometrickými útvarmi podľa pokynu (vpravo, vľavo, hore, dole, väčší, menší,..). Kurikukulárny dokument presne uvádza, čo by mal vedieť slovenský žiak po ukončení 1. ročníka základnej školy. Írsky kurikulárny dokument Mathematics. Primary School Curriculum (1999) uvádza aj obsah geometrického učiva pre 1. ročník primárnej školy. Analogicky ako pre predškolskú edukáciu je geometrická problematika zaradená v dvoch častiach: TVAR A PRIESTOR Orientácia v priestore preskúmať, diskutovať, rozvíjať a používať slovník pre orientáciu v priestore medzi, pod, nad, okolo, cez, vľavo, vpravo skúmať uzavreté útvary (napr. kruh) prostredníctvom nakreslenia obrázku jedným ťahom začiatok a koniec v rovnakom bode, skúmať otvorené útvary (napr. V-útvar), zadať pokyny a postupovať podľa jednoduchých pokynov v triede a v školskom prostredí od tabule k oknu, z triedy do školskej haly, na školský dvor, skúmať a riešiť praktické problémy Rovinné útvary triediť, popísať, porovnávať a pomenovať rovinné útvary: štvorec, obdĺžnik, trojuholník, kruh, polkruh popísať útvary, veľkosť, vrcholy, počet a dĺžka strán typ útvarov: štvoruholník/nie je štvoruholník, okrúhly/nie je okrúhly konštrukcia a rysovanie rovinných útvarov - použitie šablón, pásikov, geodosiek skladanie a rozdeľovanie rovinných útvarov - skladanie útvarov pre vytvorenie nových útvarov a vzorov, vytváranie obrázkov a mozaikových vzorov prostredníctvom kombinácie útvarov, vhodné príklady na pokrytie plochy rovnakými útvarmi identifikovať polovice rovinných útvarov preložiť papierový útvar na polovicu a strihaním vytvoriť nové útvary identifikácia a diskusia o použití rovinných útvarov v okolí - nábytok, objekty v triede, osobné potreby Priestorové útvary popis, porovnávanie a pomenovanie priestorových útvarov: kocka, kváder, valec a guľa výber, triedenie a popis útvarov z pohľadu počtu a tvaru stien, hrany, vrcholy identifikácia útvarov vzhľadom na skladanie, gúľanie, posúvanie diskusia o použití priestorových útvarov v okolí - škatule, balíky, nádoby, nádrže na ryby riešenie a kompletizácia praktických úloh a problémov týkajúcich sa rovinných a priestorových útvarov použitie škatúľ, lepenkových obalov alebo nádob v konštrukčných aktivitách skúmanie vzťahov medzi rovinnými a priestorovými útvarmi MERANIE Dĺžka odhad, porovnávanie, meranie a zaznamenanie dĺžky s použitím neštandardných jednotiek paličky z lízaniek, ceruzy, kroky výber a použitie primeraných neštandardných meracích jednotiek a nástrojov voľba meracej jednotky pre výber dostupný v triede (napr. kocky, paličky z lízaniek alebo kroky na 228

229 meranie miestnosti; diskusia, ktorá jednotka je najlepšia na meranie dlhého a krátkeho objektu odhad, meranie a zaznamenanie dĺžky použitím štandardnej jednotky (meter) dĺžka, šírka, výška, veľkosť, meter, takmer meter, trochu viac/trochu menej ako meter diskusia o potrebe štandardnej jednotky sumarizácia bjektov dlhších než..., kratších než... alebo rovnako dlhých ako meter riešenie a kompletizácia praktických úloh a problémov týkajúcich sa dĺžky výber ciest na meranie nepravidelných objektov v okolí; výber ciest na porovnávanie objektov doma - kto má najširšiu bránu?; meranie pomocou motúza, porovnávanie meraní a diskusia Analýza obsahu geometrického učiva pre 1. ročník primárnej školy na Slovensku a v Írsku ukazuje niektoré rozdielne komponenty: slovenskí žiaci nepopisujú vlastnosti rovinných a priestorových útvarov; v obsahu geometrie (1. ročník) na Slovensku sa nevyskytuje meranie dĺžky. 4. Záver Celkový pohľad na geometriu v primárnom vzdelávaní na Slovensku a v Írsku bude predmetom ďalšieho skúmania. V tomto kontexte budú analyzované okrem kurikulárnych dokumentov aj učebné texty používané v pedagogickej praxi. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu VEGA 1/1230/12 Komparatívna analýza vybraných aspektov primárnej matematickej edukácie na Slovensku a v zahraničí v kontexte kurikulárnej transformácie vzdelávania na ZŠ a medzinárodných výskumov OECD PISA a IEA TIMSS. Literatúra 1. Irish Education System. Dublin: Department of Education and Skills, Dostupné na internete: 2. JELEMENSKÁ, P.: Výkony žiakov 4. ročníka základnej školy v matematike a v prírodovedných predmetoch. Národná správa z merania TIMSS Bratislava: ŠPÚ/NÚCEM, 2008, 47s. Dostupné na internete: rodn%c3%a1_spr%c3%a1va_web.pdf. 3. Mathematics. Primary School Curriculum. Dublin: Published by the Stationery Office, 1999, 127 p. Dostupné na internete: Primary_School_Curriculum/Mathematics/Mathematics_Curriculum_.pdf 4. Štátny vzdelávací program. ISCED 0 predprimárne vzdelávanie. Bratislava: ŠPÚ, 2008, 40 s. Dostupné na internete: documents/ svp/ ms/isced_0.pdf. 5. Štátny vzdelávací program. Matematika. (Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami). Príloha ISCED 1. Bratislava: ŠPÚ, 2009, 34 s. Dostupné na internete:http://www.statpedu.sk/files/documents/svp/1stzs/isced1/vzdelavacie_obla sti /matematika_isced1.pdf Kontaktná adresa doc. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov, Slovensko Telefón:

230 VZDELÁVANIE ŽIAKOV 1. ROČNÍKA ZÁKLADNEJ ŠKOLY V PREDMETE MATEMATIKA V JAPONSKU Edita ŠIMČÍKOVÁ, Juraj KRESILA Abstrakt Základné vzdelávanie v Japonsku trvá šesť rokov. Dieťa nastupujúce do školy musí tak, ako je to na Slovensku, dovŕšiť vek šesť rokov pred začiatkom školského roka. Vzhľadom na tento aspekt sa pokúsime predstaviť obsah matematickej prípravy žiakov v 1. ročníku základnej školy v Japonsku v komparácii s obsahom učiva na Slovensku. Zaujíma nás spôsob spracovania požiadaviek na vedomosti žiakov v štátnom kurikule v obidvoch krajinách, predstavíme kognitívne ciele vymedzené v pedagogickom dokumente. Prostredníctvom jednej z používaných učebníc pre 1. ročník základnej školy v oblasti Tokia ukážeme odlišnosti v spracovaní učiva matematiky. Kľúčové slová: základná škola, kurikulum, matematická príprava, učebnica matematiky TEACHING MATHEMATICS IN THE FIRST GRADE OF ELEMENTARY SCHOOL IN JAPAN Abstract Elementary stage of education in Japan spans six years. The child, when entering schooling, must be aged six or over before the start of a new academic year, similarly as in Slovakia. With respect to this aspect we present the contents of mathematical instruction of pupils in the 1 st year of their schooling in Japan in comparison to the curriculum in Slovakia. We are focusing on the requirements and expectations for pupils knowledge and present cognitive aims specified in the national curricula of both countries. Based on the workbook used in the area of Tokyo we point at some differences in approaches to mathematical tasks. Key words: Elementary School, Curriculum, Mathematical Instruction, Workbook for Mathematics. 1. Úvod Školský systém v Japonsku pozostáva zo základnej školy (6 rokov), nižšej strednej školy (3 roky), vyššej strednej školy (3 roky) a univerzity (4 roky). Povinná školská dochádzka trvá 9 rokov (základná a nižšia stredná škola). Školský rok začína v apríli, končí v marci a japonské deti narodené do prvého apríla nastupujú do prvého ročníka základnej školy po dovŕšení šiestich rokov. Tie deti, ktoré majú narodeniny o deň neskôr, sa zapisujú do školy až na nasledujúci rok. Letné prázdniny trvajú dva - štyri týždne, čo závisí od oblasti, v ktorej sa škola nachádza. V triede sa učí často detí. Základnými predmetmi v 1. ročníku verejnej základnej školy sú japonský jazyk, 230

231 matematika, hudobná výchova, výtvarné umenie, telesná výchova, každodenný život, etická výchova, externá činnosť (krúžky). Štandardný učebný plán matematiky vo verejnej základnej škole v Japonsku ( ) 1 r. 2 r. 3 r. 4 r. Matematika 136 (4) 175 (5) 175 (5) 175 (5) Každodenný život 102 (3) 105 (3) V učebnom pláne sa matematika radí medzi predmety, ktoré sa učia jednu hodinu denne a okrem prvého ročníka každý deň v týždni. V tabuľke je uvedený počet hodín matematiky v školskom roku v každom ročníku. Vyučovací predmet každodenný život svojím charakterom a obsahom podporuje aj výučbu matematiky pre život ide o pozorovanie a riešenie rôznych problémov zo života detí. Dĺžka vyučovacej hodiny je 45 min. Počet vyučovacích dní v týždni je 5 (podľa potreby sa možno učiť aj v sobotu, rozhoduje o tom škola, resp. prefektúra). 2. Kurikulum predmetu matematika v Japonsku a na Slovensku Základný kurikulárny dokument pre výučbu matematiky v japonskej základnej škole (http://www.mext.go.jp/component/english/_icsfiles/afieldfile/2011/03/17/ _00 4.pdf, cit ) predpisuje Ciele a obsah matematickej prípravy. Časť nazvaná Ciele načrtáva základné koncepty, ktoré si majú žiaci v priebehu vyučovania osvojiť prípadne prehĺbiť. Z hľadiska rozsahu textu detailnejšia časť, Obsah, pozostáva zo štyroch tematických oblastí, ktoré sa cyklicky opakujú v každom ročníku. Sú to: Čísla a výpočty, Kvantita a meranie, Geometrické útvary, a Matematické vzťahy. Okrem uvedených edukačných vstupov sú v dokumente ešte odporúčané Matematické aktivity a špecifikované Termíny a symboly, ktoré by si mal žiak osvojiť. Štátny vzdelávací program ISCED 1 (2009), ktorý je relevantným kurikulárnym dokumentom upravujúcim výučbu matematiky na Slovensku, je v porovnaní s japonským rozsiahlejší, detailnejší a štrukturovanejší. Obsahuje nasledovné kategórie vyučovacieho predmetu: Charakteristika, Ciele, Obsah, Vzdelávacie štandardy a Kompetencie. Špecifikácie pre jednotlivé ročníky sú obsiahnuté v kategóriách obsah a vzdelávacie štandardy. Obsah predmetu je, podobne ako v Japonsku, rozčlenený do tematických okruhov, ktoré sa cyklicky opakujú v jednotlivých ročníkoch a stupňoch. Ich počet je päť a sú to: Čísla, premenná a počtové výkony s číslami, Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy, Geometria a meranie, Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika a Logika, dôvodenie, dôkazy. Na 1. stupni základnej školy sú v prevažnej miere zastúpené okruhy Čísla, premenná a počtové výkony s číslami a Geometria a meranie. Ciele matematiky pre prvý ročník japonskej základnej školy sú formulované nasledovne: 1) Cez aktivity, v ktorých sa využíva práca s konkrétnymi objektmi, asistovať žiakom pri tom, keď si utvárajú predstavu čísla. Pomôcť im pochopiť význam 231

232 čísel, spoznať rôzne číselné reprezentácie a zápisy, porozumieť sčítaniu a odčítaniu a prebádať možnosti počítania. Prakticky využívať dané výpočty. 2) Cez aktivity, v ktorých sa využíva práca s konkrétnymi objektmi, asistovať žiakom pri obohacovaní ich skúseností, ktoré sa stanú predpokladom pre porozumenie pojmom kvantita a meranie. Obohatiť rozsah, v ktorom žiaci vnímajú kvantitu. 3) Cez aktivity, v ktorých sa využíva práca s konkrétnymi objektmi, asistovať žiakom pri obohacovaní ich skúseností, ktoré sa stanú predpokladom pre porozumenie geometrickým útvarom. Obohatiť rozsah, v ktorom vnímajú geometrické útvary. 4) Cez aktivity, v ktorých sa využíva práca s konkrétnymi objektmi, asistovať žiakom pri znázorňovaní a vytváraní reprezentácií čísla a kvantity ako aj vzťahov medzi nimi, použitím slov, číslic, algebrických výrazov, geometrických útvarov a diagramov. Interpretovať dané reprezentácie. Zdôraznená je v nich manipulácia s konkrétnymi objektmi, kde žiaci získavajú skúsenosť, ktorá sa stáva predpokladom pre konštituovanie dôležitých matematických konceptov, akými sú: číslo a jeho reprezentácie, kvantita, meranie a geometrické útvary. Rovnaký význam pripisuje text dokumentu aj rozvíjaniu schopnosti žiakov interpretovať nadobudnuté pojmy Ciele v slovenskom kurikule matematiky nie sú špecifikované pre jednotlivé ročníky, ale pre celý primárny stupeň vzdelávania. Akcentuje sa v nich osvojenie si presnej terminológie v materinskom jazyku a matematickej symboliky, rozvoj numerických zručností, orientácie v rovine a v priestore a uvedomenie si vzťahu medzi realitou a matematikou. Okrem uvedeného sa v danej časti dokumentu uvádzajú aj metakognitívne a afektívne ciele. Obsah v japonskom kurikule vychádza z formulácií cieľov stanovených pre prvý ročník a odporúča okruh aktivít, prostredníctvom ktorých sa majú vytýčené ciele napĺňať v štyroch tematických oblastiach: A Čísla a počet 1) Cez aktivity ako napríklad určovanie počtu konkrétnych objektov asistovať žiakom pri vytváraní predstavy čísel a ich využití. a. Porovnať počet objektov v skupinách pomocou tvorenia dvojíc. b. Správne určiť a zapísať počet a poradie objektov. c. Vytvoriť usporiadaný číselný rad a vyznačiť čísla na číselnej osi. d. Uvažovať o čísle vo vzťahu k iným číslam tak, že číslo môže byť súčtom alebo rozdielom iných čísel. e. Porozumieť zápisu dvojciferných čísel. f. Poznať zápis trojciferných čísel v jednoduchých prípadoch. g. Uvažovať o číslach použijúc desiatku ako jednotku. B Kvantita a meranie 1) Prostredníctvom činností, akými sú porovnávanie veľkosti konkrétnych objektov, asistovať žiakom pri obohacovaní ich skúsenosti, ktorá vytvorí predpoklady pre porozumenie pojmom kvantita a meranie. a. Priamo porovnať dĺžku, obsah a objem. b. Porovnať uvedené kvantitatívne parametre pomocou reálnych objektov ako jednotiek miery v zmysle ich násobku. 2) Asistovať žiakom pri určovaní času na hodinách s ohľadom na ich každodennú rutinu. 232

233 C Geometrické útvary 1) Prostredníctvom činností, akými sú pozorovanie tvarov bežných objektov a vytváranie stavieb z telies, asistovať žiakom pri rozširovaní ich skúsenosti, ktorá vytvorí predpoklady pre porozumenie geometrickým útvarom. a. Rozoznať tvar objektu a uvedomiť si jeho vlastnosti. b. Vyjadriť pozíciu objektu správnym používaním slov určujúcich orientáciu a polohu ako predný a zadný, vpravo a vľavo, nad a pod. D Matematické vzťahy 1) Asistovať žiakom pri znázorňovaní situácií, v ktorých sú prítomné sčítanie a odčítanie tak, že ich vyjadria algebrickými výrazmi a interpretujú dané výrazy. 2) Asistovať žiakom pri zaznamenávaní počtu objektov z obrázkov a iných údajov a pri ich interpretácii. Obsah matematiky v prvom ročníku slovenských škôl je podobne rozpracovaný v štyroch tematických celkoch: I. Prirodzené čísla 1 až 20, II. Sčítanie a odčítanie, III. Geometria a IV. Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie. Dikcia slovenského dokumentu je v tematických celkoch I a II pomerne explicitná, obmedzuje sa však na rozsah prirodzených čísel od 1 po 20. Oblasť III sa vo svojej špecifikácii obmedzuje na kreslenie základných geometrických útvarov, rysovanie priamych čiar a manipuláciu s geometrickými útvarmi. IV. tematický celok je svojím charakterom výnimočný, keďže sa v praxi realizuje iba prostredníctvom riešenia špecifických úloh bez hlbšieho poznania pojmov, princípov a zákonitostí, ale vedie k získavaniu matematickej gramotnosti inej kvality. V japonskom obsahu matematiky nenájdeme témy podobné obsahu IV. tematického celku slovenského kurikula. Istú paralelu s touto tematickou oblasťou, zameranou na názorný a aplikačný rozmer matematických úloh, nachádzame v sekcii japonského kurikula nazvanej Matematické aktivity, a., b., e. Táto časť kurikula naznačuje spôsoby, akými má byť žiakom sprostredkovaný obsah. 1) Obsah uvedený pod kategóriami A Čísla a počet, B Kvantita a meranie, C Geometrické útvary a D Matematické vzťahy by sa mal vyučovať napríklad prostredníctvom nasledujúcich matematických činností: a. Aktivity zamerané na určovanie počtu konkrétnych objektov tak, že z objektov vytvárame skupiny, rovnomerne ich rozdeľujeme, usporadúvame a vytvárame ich reprezentácie. b. Aktivity zamerané na vyjadrenie významu a spôsobu výpočtov prostredníctvom konkrétnych objektov, slov, čísel, algebrických výrazov, údajov a diagramov. c. Aktivity zamerané na priame porovnanie dĺžky, obsahu a objemu reálnych objektov a porovnávanie daných parametrov pomocou iných objektov. d. Aktivity zamerané na vyhľadávanie rôznych tvarov objektu v bežných situáciách, skladanie a rozkladanie stavieb manipuláciou s konkrétnymi objektmi. e. Aktivity zamerané na zaznamenávanie reálnych situácií súvisiacich s číslami a kvantitou prostredníctvom algebrických výrazov a prepájanie algebrických výrazov s reálnymi situáciami. Termíny a symboly, ktoré si má japonský žiak osvojiť podľa kurikulárneho dokumentu, sú nasledovné: jednotky, desiatky, +, -, =. 233

234 3. Záver Z porovnania cieľových a obsahových kategórií japonského a slovenského kurikula matematiky pre prvý ročník je možné konštatovať, že text japonského kurikula je menej preskriptívny a limitujúci, avšak snaží sa dodržať istú koherenciu a previazanosť cieľa, obsahu a aktivít. Akcentuje sa aplikačný rozmer matematiky a jej prepojenosť s praktickou skúsenosťou s bezprostredným okolím žiaka tak, aby žiakova bezprostredná skúsenosť facilitovala vytváranie základných matematických konceptov. Slovenské kurikulum je v dikcii textu detailnejšie. Presnejšie špecifikuje procesy, ktoré sa majú pri vyučovaní realizovať. Na rozdiel od japonského dokumentu je obor prirodzených čísel, s ktorými má žiak narábať, limitovaný do 20 a v obsahu prvého ročníka na Slovensku absentuje koncept merania. Pri analýze obsahu učebnicového textu (Fujii - Iidaka, 2011) a didaktických postupov spracovania učiva sme dospeli k nasledujúcim zisteniam (odlišnostiam oproti slovenským postupom): úvodné strany učebnice sú zamerané na čítanie a písanie číslic 1 10 (arabské číslice), predstava čísla nula sa vytvára až po upevnení číselného radu 1 10, matematická operácia sčítanie sa zavádza na dynamickom modeli v obore do 5 a vzápätí pokračuje riešením úloh do 10, matematická operácia odčítanie je zavedená na rovnakom dynamickom modeli ako sčítanie aj v rovnakej nadväznosti v obore do 10, sčítanie a odčítanie do 20 sa realizuje aj s prechodom cez základ 10, preberaný číselný obor je do 100 a nad 100, súčasťou učiva matematiky je určovanie času na hodinách hodiny a minúty, učivo geometrie obsahuje propedeutiku merania dĺžky, meranie a porovnávanie dĺžky predmetov v štvorcovej sieti, meranie a porovnávanie objemu tekutín (neštandardnou jednotkou), stavby z telies (bez pomenovania tvaru telies), propedeutiku určovania obsahu rovinných útvarov v štvorcovej sieti. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu VEGA 1/1230/12 Komparatívna analýza vybraných aspektov primárnej matematickej edukácie na Slovensku a v zahraničí v kontexte kurikulárnej transformácie vzdelávania na základných školách a medzinárodných výskumov OECD PISA a IEA TIMSS ( ) Literatúra 1. BÁLINT, Ľ. A KOL.: ŠVP MATEMATKA - príloha ISCED 1. Bratislava: ŠPÚ, 2009, 34s. 2. FUJII, T. IIDAKA, S.: Nová matematika. Tokio: Tokyo Shoseki Co.,Ltd., 2011, 157 s. 3. Part of curiculum. Dostupné na internete: 004.pdf. 234

235 4. Japonský školský systém. Dostupné na internete: 5. Ministry of Education,Culture,Sports,Science & Technology in Japan. Dostupné na internete: Kontaktná adresa PaedDr. Edita Šimčíková, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov Telefón: Mgr. Juraj Kresila, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra literárnej a komunikačnej výchovy Ul. 17. novembra 15, Prešov Telefón:

236 GRY I ZABAWY W PODRĘCZNIKACH ZINTEGROWANYCH DLA KLAS I III I ICH ROLA W KOGNITYWNEJ, PROBLEMOWEJ I TWÓRCZEJ AKTYWIZACJI UCZNIÓW Helena SIWEK Abstrakt Podręczniki, karty pracy, zeszyty ćwiczeń są ciągle w szkole podstawowym środkiem dydaktycznym. Wydawnictwa prześcigają się w pomysłowości i przygotowują mnóstwo serii podręczników i materiałów dla dzieci. Zachodzi pytanie, czy zadania w nich zawarte mają charakter problemowy i twórczy. W szczególności, czy zawierają gry i zabawy, które powinny być częstymi metodami nauczania-uczenia się dzieci, a także punktem wyjścia do konstruowania wiedzy. Badania porównawcze podręczników, stworzone narzędzia badawcze, analiza ilościowa i jakościowa wyników, częściowo odpowiadają na te pytania. Kluczowe słowa: podręczniki szkolne, gry i zabawy, zadania problemowe i twórcze GAMES AND PLAYFUL EXERCISES IN THE TEXTBOOKS FOR CLASS LEVELS I TO III FOR INTEGRATED TEACHING, AND THEIR ROLE IN A COGNITIVE, SOLVING PROBLEMS AND CREATIVE STUDENT ELICITATION Abstract Textbooks, worksheets, and workbooks are still the primary means of exercise in school teaching. Publishers outrival each other in ingenuity and prepare plenty of series of manuals and materials for children. The question arises whether tasks contained therein have problem and creative characteristics. In particular, whether they include games and playful exercises which should be frequent methods of teaching-learning as far as children are concerned and they should serve as a starting point to construct knowledge. Comparative research of textbooks, created research tools, quantitative and qualitative analysis of results, partly respond to these questions. Key words: textbooks, fun and games, creative and problem solving exercises 1. Wprowadzenie Współczesny nauczyciel stoi przed trudnym zadaniem wyboru podręcznika dla swojej klasy. Aby zrobić to odpowiedzialnie, powinien umieć porównać i ocenić podręczniki z punktu widzenia preferowanych obecnie celów i koncepcji kształcenia. W analizie porównawczej powinien zwrócić uwagę na to, czy podręczniki, karty pracy, zeszyty ćwiczeń spełniają podkreślane w teorii dydaktycznej - założenia związane z rozwijaniem aktywności poznawczej w sposób problemowy i twórczy. Czy te materiały mogą przyczynić się do konstruowania wiedzy proceduralnej i naukowej w sensie szkolnym. 236

237 Już na studiach zachodzi konieczność wprowadzania studentów w metodologię badań porównawczych podręczników. Jednym z przykładowych tematów podjętych w ramach prowadzonego przeze mnie seminarium magisterskiego, było znaczenie gier i zabaw dla rozwoju twórczości i kompetencji dzieci na etapie kształcenia zintegrowanego. Przeprowadzając analizę porównawczą podręczników, badaliśmy czy występują i w jakim natężeniu gry i zabawy w edukacji wczesnoszkolnej, do jakiej aktywności: twórczej czy częściowo-twórczej mogą w większym stopniu inspirować dzieci, jakie rodzaje kompetencji mogą kształtować chodziło w szczególności o kompetencje praktyczne, komunikacyjne i problemowe. Ponieważ nie ma wzorów prowadzenia tego typu analiz porównawczych podręczników, podjęcie takiej tematyki wymagało od seminarium działalności twórczej. Już na wstępnych seminariach była do tego okazja, bo najpierw trzeba było sklasyfikować i sporządzić listę gier i zabaw dydaktycznych występujących w podręcznikach zintegrowanych. 2. Rodzaje gier i zabaw w podręcznikach dla klas I III Analizując na seminarium gry i zabawy występujące w różnych podręcznikach dla klas I III, wyróżniłyśmy dziesięć ich rodzajów (grup, kategorii). Do każdego rodzaju zaliczałyśmy zazwyczaj po kilka typów zabaw i gier wymagających od dziecka podobnych czynności, zbliżonych do siebie pod względem formy, analogicznych z punktu widzenia rozumowania. Oto lista tych rodzajów wraz z przykładowymi typami zabaw i gier: 1. Zagadki zagadki, rebusy, odgadywanie hasła, szyfry, kody, plątaninki, wykreślanki, labirynty, historyjki obrazkowe, rozsypanki literowe (a także: sylabowe, wyrazowe, zdaniowe), teksty z lukami, loteryjki, przyporządkowywanie itp. 2. Kolorowanki kolorowanki, rysowanki, rysowanie po śladzie itp. 3. Zabawy w ciągi liczbowe ciągi liczbowe, grafy, drzewka liczbowe, łańcuszki liczbowe, wędrowanie po kratownicy, dywany matematyczne, trójkąty magiczne, kwadraty magiczne, domino matematyczne, uzupełnianie osi liczbowych itp. 4. Eksperymentowanie wycinanie, składanie, sklejanie, układanki geometryczne, modelowanie, konstruowanie obiektów przestrzennych na podstawie rysunku itp. 5. Zabawy ze zbiorami tworzenie zbiorów, zabawy w dwie lub trzy pętle, grafy strzałkowe, labirynty, łączenie w pary - tworzenie zbioru par itp. 6. Inscenizacje inscenizacje baśni, legend, wierszy, czytanie z podziałem na role, dramy, rymowanki, zabawy w mówiące liczby itp. 7. Teksty humorystyczne żarty, dowcipy, powiedzonka, anegdoty itp. 8. Krzyżówki krzyżówki, łamigłówki, szarady, logogryfy, sudoku itp. 9. Zabawy muzyczne zadania o charakterze zabawowo muzycznym. 10. Inne zabawy z mapą, testy wyboru; ogólnie zadania o charakterze zabawowym nie mieszczące się w żadnej z wyróżnionych wyżej dziewięciu kategorii. Materiały edukacyjne dla dzieci zawierają mnóstwo zabaw i gier dydaktycznych, ponieważ jest to zgodne z koncepcją nauczania aktywnego. Dostarczają one okazji do takiej formy ich działalności, która jest charakterystyczna dla tego wieku rozwojowego. Dziecko traktuje zabawę jako coś naturalnego, a w przypadku zabaw dydaktycznych przechodzi płynnie od zabawy do pracy, ma okazję do harmonijnego 237

238 łączenia treści w kształceniu zintegrowanym. Dzieci podczas zabawy zdobywają wiedzę w sposób ciekawy, motywujący ich do wysiłku, a równocześnie umożliwiający występowanie różnych sposobów poznania uzasadnionych w dydaktyce, jak: przyswajanie, odkrywanie, przeżywanie i działanie (W. Okoń). Gry i zabawy zawarte w podręcznikach, są przygotowywane przez dorosłych, przyświecają im określone cele, ale równocześnie powinny one stać się wzorem do samodzielnego tworzenia i wymyślania gier i zabaw przez dzieci. Korzystając z gier i zabaw dzieci zdobywają wiedzę w sposób atrakcyjny, nauka nie jest dla nich żmudna i trudna, nie kojarzy im się z uczeniem faktów na pamięć oraz kontrolą wiadomości i umiejętności. Zazwyczaj dzieci biorą czynny udział w zabawach, grach, konkursach, rozwiązują zagadki, problemy, zadania, a jednocześnie poznają nowe pojęcia, uczą się nowych rzeczy. Nie wystarczy zastosować metodę zabawy, aby zagwarantować automatycznie rozwój i powstanie pojęć u dzieci. Zabawa dydaktyczna jest tylko punktem wyjścia do mądrego i zaplanowanego działania, ukierunkowanego na porównywanie, porządkowanie, klasyfikowanie, opisywanie werbalne związków między obiektami bliższego i dalszego naturalnego środowiska dziecka. Szczególnie jest to ważne przy zabawach i grach matematycznych. Ze względu na abstrakcyjny charakter pojęć matematycznych, należy pamiętać o takiej organizacji działalności dzieci, aby była ona zgodna z zasadami czynnościowego nauczania matematyki (Z. Krygowska). Droga od czynności konkretnych, przez wyobrażone, do abstrakcyjnych jest tu koniecznością (H.Siwek). 3. Wyniki analizy porównawczej wybranych podręczników Każda z uczestniczek seminarium analizowała odpowiadające sobie fragmenty dwóch podręczników dla danej klasy. Na przykład całość materiału dla kl. I analizowały cztery osoby, podobnie było z klasami II i III. Jednym z podręczników był zawsze, w pełni zintegrowany, podręcznik serii Tęczowej Szkoły; drugi, w którym matematyka była w oddzielnym podręczniku, wybierały samodzielnie magistrantki. Podręcznik Tęczowej Szkoły (TS) jako problemowy i bardzo nowoczesny był wybrany tylko przez ok. 100 nauczycieli w Polsce i stosowany eksperymentalnie przez trzy lata. Natomiast drugi podręcznik, wybierany przez studentki, należał do grupy najbardziej popularnych w polskich szkołach. Często była to seria: Wesoła Szkoła, Moja Szkoła, Nowa Era, Ekoludek, Nowe Już w Szkole (NJwS). Okazało się, że zazwyczaj w Tęczowej Szkole było więcej zabaw i gier, ale ich udział procentowy w obu podręcznikach był podobny. Zazwyczaj liczba ta wynosiła ok. 100 w materiale przypadającym na jedną czwartą roku szkolnego, a więc była to dość duża liczba. Zilustruję to na przykładzie jednej z prac magisterskich, reprezentatywnych dla całej grupy. Oto tabela z tej pracy (B. Bialik), w której analizowano fragmenty podręczników dla klasy I, Tęczowej Szkoły autorstwa H. Siwek i L. Walkowicz oraz Nowe Już w Szkole B. Bieleń, T. Janickiej-Panek i H. Małkowskiej Zegadło. Tabela 1. Zestawienie liczbowe i procentowe zabaw i gier w podręcznikach TS i NJwS Nr Rodzaj gier i zabaw L. w TS % w TS L.w NJwS % w NJwS 1. Zagadki 73 57, ,52 2. Kolorowanki 20 15, ,67 3. Zabawy w ciągi liczbowe 6 4,69 2 2,38 4. Eksperymentowanie 4 3,13 3 3,58 238

239 5. Zabawy ze zbiorami 15 11,72 8 9,52 6. Inscenizacje 3 2,34 1 1,19 7. Teksty humorystyczne 2 1,56 1 1,19 8. Krzyżówki 2 1,56 4 4,76 9. Zabawy muzyczne 2 1,56 1 1, Inne 1 0, RAZEM % % Jak można łatwo zauważyć, najwięcej było zagadek - w obu podręcznikach dla klasy I prawie po 60procent. Kolorowanki i zabawy ze zbiorami osiągnęły drugie miejsce po około 10 procent, natomiast pozostałe kategorie zabaw wystąpiły w sposób śladowy. W klasie II i III te proporcje zmieniały się, występowało dość dużo zabaw w ciągi liczbowe, krzyżówek, inscenizacji, tekstów humorystycznych. Analiza zebranego materiału daje podstawę do sformułowania wniosku, że zabawy i gry inspirujące aktywność twórczą dzieci, znajdują się głównie w podręczniku Tęczowej Szkoły (34%), natomiast w podręczniku Nowe Już w Szkole jest ich dwa razy mniej (17%). Aktywność ta przejawiała się w następujących sytuacjach: tworzenie różnych rozwiązań, tworzenie z częściowych danych, planowanie i wykonywanie ciągu czynności prowadzących do wyniku (np. wymyślenie algorytmu), rozwiązywanie zadań problemowych, samodzielne komponowanie opowiadań itp. W pozostałych przypadkach dzieci miały okazję do działalności częściowo twórczej, a mianowicie do: naśladowania rozumnego, porządkowania, analizowania, dostrzegania analogii, klasyfikowania, uogólniania, stosowania instrukcji, schematu postępowania, algorytmu. Podobne obserwacje można poczynić na temat problemowości analizowanych gier i zabaw. Również i w tym przypadku podręcznik Tęczowej Szkoły wypada lepiej niż podręcznik Nowe Już w Szkole (ta prawidłowość występowała również w pozostałych klasach i w odniesieniu do innych serii podręczników). W analizowanych przez B. Bialik częściach, w TS było 23% zabaw i gier o charakterze problemowym, natomiast w NJwS było ich tylko 5%, czyli ponad cztery razy mniej. Pozostałe gry i zabawy mogły inspirować dzieci do rozwijania kompetencji praktycznej, ukierunkowanej m. in. na stosowanie wiadomości i umiejętności w życiu, w sytuacjach rzeczywistych, a także mogły potencjalnie wpływać na rozwijanie kompetencji komunikacyjnej, związanej z rozumieniem języka, zdolnością do jego przekształcania, do porozumiewania się na poziomie poznanych wiadomości. Analiza podręczników dla klas początkowych pokazała, że podręczniki wybierane przez nauczycieli, wprawdzie zawierają dość dużo gier i zabaw, ale są to głównie gry i zabawy ukierunkowane na poznanie nowych wiadomości, a nie na problemowe ich odkrywanie. Ta obserwacja ukazuje jedną z przyczyn słabych wyników polskich uczniów w badaniach międzynarodowych. Etap nauczania początkowego, trwającego trzy lata, ma kapitalne znaczenie dla dalszej edukacji młodzieży. Jeśli na tym etapie nie wykorzysta się ciekawości poznawczej dzieci, nie wprowadzi się ich w myślenie problemowe, nie przyzwyczai do aktywnego tworzenia różnych rozwiązań, to na wyższych etapach edukacji będzie trudno odzwyczaić od metody podającej oraz podejścia schematycznego i algorytmicznego do rozwiązywania zadań. Metody nauczania w Polsce, niestety nie spełniają wymagań współczesnych teorii dydaktycznych. Przypomnę tu wykład z konferencji w Olomouc na temat kultury nauczania-uczenia się w wymiarze międzynarodowym (T. Janik). Podkreślano w nim, że nowa kultura nauczania uczenia się powinna być zorientowana na indywidualizację 239

240 uczenia się, kognitywną aktywizację uczniów, rozwiązywanie autentycznych zadań problemowych, opisywanie procesu rozwiązania zadań, rekapitulację doświadczeń poznawczych. Nauczyciel powinien organizować twórczą aktywność dzieci, dbać o występowanie interakcji ze środowiskiem szkolnym, społecznym, kulturowym; pobudzać ciekawość do matematyki. Zauważmy, że taka edukacja nie jest łatwa, wymaga wielkiego zaangażowania ze strony nauczycieli i bogatej wiedzy merytorycznej i metodycznej, a od uczniów dużego wysiłku, staranności w pracy, wytrwałości w pokonywaniu trudności. A jak wygląda rzeczywistość w Polsce? Nauczyciele wybierają podręczniki wprowadzające nowy materiał w sposób podający i możliwie bardzo prosty, a dzieci lubią matematykę, bo jest łatwa. Sprawę edukacji dzieci w Polsce komplikuje obecnie konflikt społeczny związany z obowiązkiem szkolnym od szóstego roku życia dziecka. Nowa podstawa programowa, nowe programy i nowe podręczniki zostały przygotowane dla dzieci w wieku 6 9 lat, a rodzice posyłają do szkoły głównie dzieci w wieku 7 lat. Tak więc dzieci w wieku 7 10 lat realizują zbyt łatwy program i taka sytuacja trwa już 4 lata! Dyskutując teraz o ulepszaniu kształcenia matematycznego, trzeba jeszcze oprócz dydaktyki, wziąć pod uwagę warunki polityczno - gospodarcze. 4. Zakończenie i kierunki dalszych badań W dydaktyce ogólnej, a także w dydaktyce matematyki bardzo jest rozwinięta teoria nauczania i klasyfikacja metod nauczania. Natomiast współcześnie na pierwsze miejsce wysuwa się proces uczenia się, aktywność własna uczniów, metody uczenia się. Dlatego ten problem podejmuję w swojej obecnej pracy badawczej. Na początek, na podstawie studiów literatury i własnych przemyśleń stworzyłam listę poziomów aktywności potrzebnych w procesie uczenia się dzieci w klasach I III. Na I poziomie występuje: naśladowanie wierne (kopiowanie), ćwiczenie prostych schematów, ćwiczenie gotowych algorytmów. Natomiast na ostatnim V poziomie: formułowanie charakterystycznych cech pojęcia na podstawie eksperymentowania i badań, samodzielne lub zespołowe rozwiązywanie zadań problemowych, dostrzeganie błędów i różnych sposobów rozwiązywania zadań. Interesujące jest, jak wypadnie analiza podręczników z tego punktu widzenia. Literatura 1. JANIK, T. Kultura skolniho vyucovani a uceni. W: Matematyka 5. Olomouc KRYGOWSKA, Z. Zarys dydaktyki matematyki. Cz. 1, Warszawa: WSiP, OKOŃ, W. Wprowadzenie do dydaktyki ogólnej. Warszawa, Żak, SIWEK, H. Dydaktyka matematyki. Warszawa, WSiP, Kontaktna adresa: Helena Siwek, prof. dr hab. Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Warszawie/ WNSP w Katowicach ul. Katowicka 27, Katowice,Polska Telefón:

241 ÚLOHA KOMBINATORICKÉHO CHARAKTERU - VÝSLEDKY KVALITATÍVNEJ ANALÝZY PÍSOMNÝCH RIEŠENÍ ŽIAKOV Dominika ŠTEFKOVÁ Abstrakt Úlohy z oblasti kombinatoriky možno považovať za prostriedok rozvíjania kognície a divergentného myslenia žiakov predovšetkým z dôvodu existencie viacerých rôznych riešiteľských postupov a viacerých navzájom rôznych riešení. V príspevku sú prezentované niektoré výsledky kvalitatívnej analýzy písomných žiackych riešení s akcentom na využité riešiteľské stratégie. Úlohu riešili intelektovo nadaní žiaci 3. ročníka primárnej školy. Kľúčové slová: úloha kombinatorického charakteru, stratégie riešenia matematickej úlohy, kvalitatívna analýza písomných riešení, nadaný žiak, primárna škola ASSIGNMENT OF COMBINATORIAL CHARACTER RESULTS OF A QUALITATIVE ANALYSIS OF WRITTEN PUPILS SOLUTIONS Abstract Combinatorics assignments can be considered as a means of developing cognition and divergent thinking of students mainly because of the existence of several different solvable procedures and several mutually different solutions. The paper presents some results of a qualitative analysis of written pupils solutions with the accent on used solvable strategies. The assignment was solved by intellectively gifted pupils of the third grade in the primary school. Key words: assignment of combinatorial character, solution strategies of a mathematical task, qualitative analysis of written solutions, a gifted pupil, primary school 1. Úvod Jedným z čiastkových cieľov nášho výskumu je realizovať kvalitatívnu analýzu žiackych písomných riešení úloh, predovšetkým z pohľadu výskytu rôznych stratégií ich riešenia. Pre potreby výskumu sú v súčasnosti na základnej škole realizované raz týždenne stretnutia s piatimi intelektovo nadanými žiakmi v rámci matematického krúžku. Cieľom práce je prezentovať žiakom vytvorený súbor úloh divergentného charakteru a predovšetkým rôzne stratégie ich riešenia. V príspevku uvádzame charakteristiku a výsledky analýzy žiackych písomných riešení jednej úlohy z oblasti kombinatoriky. Úloha bola zaradená do činnosti na siedmom stretnutí, t. j. v treťom mesiaci práce s danou skupinou žiakov a zúčastnilo sa ho všetkých päť žiakov. Štyria žiaci boli schopní úlohu vyriešiť správne a jeden k riešeniu nedospel. Danú úlohu mali žiaci riešiť viacerými spôsobmi, forma práce bola individuálna. Stretnutiu, ktoré sa konalo v januári roku 2013, predchádzali iné 241

242 stretnutia, počas ktorých sa len raz riešila úloha kombinatorického charakteru, ale iného typu. Kvalitatívna analýza písomných riešení žiakov jednej divergentnej úlohy, ktorá bola riešená na prvom stretnutí v novembri 2012, je uvedená v článku Štefková (2012). 2. Analýza písomných žiackych riešení Úloha: V reštaurácii Mňam ponúkajú na obed dva druhy polievok, tri druhy hlavných jedál a tri druhy zákuskov. Koľko rôznych obedových menu je možné zostaviť, ak každé menu pozostáva z polievky, hlavného jedla a zákusku? Úlohu charakterom možno zaradiť k úlohám kombinatorického typu. Žiak musí nájsť pravidlo a systematicky vymenovať jednotlivé možnosti vyhovujúce podmienkam úlohy. Stratégie riešenia danej úlohy sú rôzne: grafické znázorňovanie, využitie zápisov vo forme tabuľky alebo riešenie využívajúce strom všetkých možností. V ďalšej časti prezentujeme výsledky kvalitatívnej analýzy riešení jednotlivých žiakov, spolu s ukážkami konkrétnych riešení. Šimon Žiakovo riešenie obsahovalo prvky zápisu zodpovedajúceho riešeniu využitím tabuľky. Na znázornenie jednotlivých objektov boli vytvorené modely pomocou jednoduchých znakov. Riešiteľ si do riadkov zapisoval jednotlivé možnosti obedového menu, pričom postupoval systematickým spôsobom (obr. 1). Najprv začal so situáciou, keď obedové menu pozostávalo z prvej polievky. K nej pridal zo skupiny hlavných jedál 1. hlavné jedlo a zo skupiny zákuskov 1. zákusok. Zo skupiny zákuskov potom ku kombinácii 1. hlavné jedlo a 1. zákusok priradil 2. zákusok. Nakoniec k 1. polievke a 1. hlavnému jedlu priradil posledný objekt zo skupiny zákuskov a to 3. zákusok. Jeho systematický postup práce môžeme zapísať do schémy: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233. V závere číslom uviedol výsledný počet riešení. Riešiteľ preukázal snahu o aplikovanie ďalšej riešiteľskej stratégie (obr. 2). Neprezentoval však iný riešiteľský postup, aj keď z pohľadu žiaka išlo o odlišný spôsob riešenia úlohy. Znovu boli využité prvky zápisu vo forme tabuľky. Riešiteľský postup sa od prvého spôsobu riešenia odlišoval tým, že žiak využil odlišnú symboliku zobrazenia objektov. Uvádzame ukážku časti riešenia: obr. 1 obr. 2 Miško Žiak nedospel k správnemu riešeniu úlohy. Vytvoril si modely predstavujúce jednotlivé druhy obedového menu pomocou jednoduchých znakov, ktoré boli použité 242

243 pri vypisovaní možností, v rámci ktorého neboli uplatnené prvky systematičnosti. Úlohu riešil prostredníctvom grafického znázornenia (obr. 3). Najskôr začal vytvárať kombinácie s 1. polievkou. K nej priradil 1. hlavné jedlo a 1. zákusok. Potom k nej priradil 2. hlavné jedlo a zo skupiny zákuskov 2. zákusok. Nakoniec k nej pridal 3. hlavné jedlo a 3. zákusok. Identickým spôsobom pokračoval vo vypisovaní možností aj v prípade 2. polievky. Vytvoril tak ďalšie tri kombinácie obedového menu: 211, 222, 233. Riešiteľ sa opäť vrátil k 1. polievke. Zo skupiny hlavných jedál k nej pridal 1. hlavné jedlo. K tejto možnosti potom priradil za skupiny zákuskov 2. zákusok a následne 3. zákusok. Pokračoval so situáciou, keď obedové menu pozostávalo z 1. polievky a 2. hlavného jedla. Priradením zákusku v poradí 1., 2., 3., vytvoril ďalšie kombinácie: 121, 122, 123, napriek tomu, že možnosť 122 už raz uviedol. Následne k 1. polievke priradil zo skupiny hlavných jedál 3. hlavné jedlo. K tejto možnosti obedového menu priradil zo skupiny zákuskov len 3. zákusok. Vytvoril tak možnosť 133, pričom si ju už raz zapísal. Neuviedol pritom kombinácie: 131, 132. Ďalej pokračoval so situáciou, keď obedové menu pozostávalo z 2. polievky. Následne vytvoril tieto možnosti obedového menu: 211, 223, 233, 212, 213, 221. Kombinácie 211 a 233 uviedol aj napriek tomu, že si ich už raz zapísal. Možnosti 231 a 232 si nezaznamenal. Žiak v procese riešenia úlohy nadobudol informáciu o správnom počte riešení (nazretie do spolužiakovho riešenia), čo vplývalo na to, že sa uspokojil so svojim riešením úlohy, keď dospel k správnemu počtu nájdených kombinácií obedového menu. Riešiteľ však neuviedol všetky možné kombinácie. obr. 3 Samko Úloha bola riešená prostredníctvom grafického znázornenia. Jednotlivé objekty boli zobrazené pomocou modelov predstavujúcich jednoduché znaky (obr. 4). Riešenie obsahovalo systematické vypísanie všetkých možností obedového menu. Žiak najskôr začal so situáciou, keď obedové menu pozostávalo z 1. polievky. K nej postupne priraďoval objekty zo skupiny hlavných jedál a objekty zo skupiny zákuskov. Pri riešení úlohy postupoval v zhode so schémou: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, vytvoril teda 9 rôznych možností. Následne nezačal uvažovať o vytváraní kombinácií s 2. polievkou, ale pokračoval tvorbou ďalších možností s 1. polievkou tak, že zmenil poradie priraďovaných objektov zo skupiny hlavných jedál a zákuskov. Tvoril tak kombinácie obedového menu v poradí polievka, zákusok a hlavné jedlo. Na podnet učiteľky, či vytvára správne kombinácie, žiak zistil dôležitosť dodržania poradia jednotlivých objektov, a tak chybné možnosti preškrtol a ďalej pokračoval vo vytváraní obedového menu s 2. polievkou. K nej priraďoval objekty zo skupiny hlavných jedál a objekty zo skupiny zákuskov. Aj v tomto prípade sa žiakov systematický postup práce zhodoval so schémou: 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233. Dospel tak k ďalším deviatim kombináciám obedového menu. 243

244 obr. 4 Lujza Pri riešení úlohy žiačka postupovala tak, že si zvolila systematický postup pri vypisovaní všetkých možností. Využila pritom modely objektov, ktorými znázorňovala jednotlivé druhy obedového menu pomocou jednoduchých znakov. Danú úlohu riešila prostredníctvom grafického znázornenia (obr. 5). Najskôr začala tvoriť kombinácie s 1. polievkou. Vytvorila tak 9 rôznych možností, pričom pri riešení úlohy postupovala podľa schémy: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133. Potom pokračovala v tvorbe ďalších deviatich kombinácií s 2. polievkou (211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233). Všetky vytvorené možnosti obedového menu očíslovala. Záver riešenia obsahoval sformulovanú odpoveď. obr. 5 Riešiteľka aplikovala aj ďalšiu riešiteľskú stratégiu, a to využitie zápisov vo forme tabuľky (obr. 6). Do vytvorenej tabuľky systematicky vypísala všetkých 18 rôznych kombinácií obedového menu (podľa schémy) s využitím jednoduchých znakov na zobrazenie jednotlivých objektov. Tie však boli odlišné od tých, ktoré boli využité v prvom spôsobe riešenia. Nakoniec výsledný počet nájdených možností farebne zvýraznila. Uvádzame ukážku časti riešenia: obr. 6 Anna Riešiteľka si vytvorila modely predstavujúce jednotlivé druhy obedového menu pomocou jednoduchých znakov, ktoré využila pri vypisovaní všetkých možností. Pri riešení úlohy bolo využité grafické znázornenie (obr. 7). Konkrétne kombinácie obedového menu si žiačka zapisovala do stĺpcov, ktoré očíslovala. Jej postup pri riešení úlohy bol systematický. Najprv vytvorila všetkých 9 možností s 1. polievkou a pokračovala so situáciou, keď obedové menu obsahovalo druhú polievku. Zaznamenala si tak spolu 18 rôznych kombinácií, pričom postupovala podľa schémy: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233. V závere riešenia naformulovala odpoveď. 244

245 obr. 7 Zároveň však uplatnila aj inú stratégiu riešenia, kde využila zápisy vo forme tabuľky, do ktorej systematickým spôsobom vypísala všetky možnosti obedového menu (podľa už spomenutej schémy). Na znázornenie jednotlivých objektov zo skupiny polievok, hlavných jedál a zákuskov použila jednoduché znaky identické s prvým spôsobom riešenia. Výsledný počet nájdených možností farebne zvýraznila. 3. Záver Na základe uvedeného môžeme konštatovať, že štyria žiaci riešili úlohu pomocou grafického znázornenia, pričom každý z nich využil rôzne symboly vo forme jednoduchých znakov (rovinné geometrické útvary, číselné symboly) na reprezentáciu objektov vyskytujúcich sa v úlohe. V jednom prípade boli aplikované prvky zápisu zodpovedajúceho riešeniu využitím tabuľky. Dvaja riešitelia uplatnili aj druhú stratégiu riešenia, konkrétne využitie zápisov vo forme tabuľky. Aj tu sa objavili rôzne reprezentácie zápisov v tabuľke (číselné symboly, grafické značky). Všetci žiaci pri riešení danej úlohy disponovali vedomosťou o tom, že ju môžu riešiť využitím stromu všetkých možností, ale z dôvodu obáv z neúspechu ju nevyužili. Z výpovedí žiakov tiež vieme, že žiaci ešte nemali skúsenosť s riešením úlohy tohto typu. Na stretnutie budú nadväzovať ďalšie stretnutia, ktoré sa budú zameriavať na riešenie divergentných matematických úloh rôznych typov. Písomné riešenia žiakov a riešiteľské postupy použité v procese riešenia úloh budú tiež podrobené kvalitatívnej analýze. Literatúra 1. BERO, P., BEROVÁ, Z.: Matematika pre 4. ročník základných škôl. Pracovný zošit prvá časť. Bratislava: Orbis Pictus Istropolitana, 2007, 80 s. 2. BERO, P., BEROVÁ, Z.: Matematika pre 4. ročník základných škôl. Pracovný zošit druhá časť. Bratislava: Orbis Pictus Istropolitana, 2007, 80 s. 3. ČERNEK, P.: Matematika pre 3. ročník základnej školy. Bratislava: SPN, 2011, 64s. 4. ČERNEK, P.: Matematika pre 3. ročník základnej školy. Pracovný zošit 1. časť. Bratislava: SPN, 2011, 88 s. 5. PRÍDAVKOVÁ, A.: Skúmanie riešiteľských stratégií úloh z matematiky. In: Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: UP, 2004, s ŠTEFKOVÁ, D.: Divergentná matematická úloha kvalitatívna analýza písomných riešení nadaných žiakov. In: Nadaný žák ve škole. Brno: MU, 2012 (v tlači) Kontaktná adresa Mgr. Dominika Štefková Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov Telefón:

246 MATEMATICKÉ VZDELÁVANIE ŽIAKOV ZÁKLADNEJ ŠKOLY V CHORVÁTSKU Blanka TOMKOVÁ Abstrakt Základné vzdelávanie v Chorvátsku je povinné pre všetkých žiakov. Trvá 8 rokov. Prvé štyri roky zodpovedajú primárnemu stupňu edukácie na Slovensku. Patria do prvého vzdelávacieho cyklu. Predmet nášho záujmu predstavuje matematické vzdelávanie 6 až 10-ročných žiakov. Zaujíma nás obsah matematického poznania u žiakov v Chorvátsku a jeho porovnanie s obsahom požadovaného matematického učiva na Slovensku. Kľúčové slová: základná škola, kurikulum vzdelávania v Chorvátsku, matematické vzdelávanie MATHEMATICAL EDUCATION OF PUPILS IN PRIMARY SCHOOL IN CROATIA Abstract Primary education in Croatia is obligatory for all students. It lasts 8 years.the first four years of primary education correspond to primary level of education in Slovakia. It belong to the first training cycle. Subject of our interest is mathematics education students from 6 to 10 year olds. We are interested in content mathematical knowledge for students in Croatia and its comparison with the mathematical content of the curriculum in Slovakia. Key words: Primary school, Curriculum in Croatia, Mathematical education 1. Systém vzdelávania v Chorvátsku základná škola Podľa článku 4, ods. 2 Zákona o výchove a vzdelávaní na základných a stredných školách (Zakon o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi) je základné vzdelávanie v Chorvátsku povinné pre všetkých žiakov. (Zakon o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi, 2008). Základná škola trvá 8 rokov a žiak získava vedomosti a zručnosti potrebné pre ďalšie vzdelávanie (čl.11, ods.1). Základné vzdelávanie začína zápisom do prvého ročníka ZŠ, spravidla trvá od šiesteho po pätnásty rok života dieťaťa. (čl.12, ods.1). Podľa čl. 19, ods. 1, 2 sú rodičia povinní zapísať do 1. ročníka základnej školy tie deti, ktoré k 1. aprílu daného roka dosiahli vek šiestich rokov. Na žiadosť rodičov môžu byť do 1. ročníka zapísané aj deti, ktoré vek šiestich rokov dosiahnu v danom kalendárnom roku až po 31.marci. Vzdelávanie v Chorvátsku je realizované na základe národného rámcového programu (kurikula), učebných plánov a učebných osnov (čl.26). Národný program predkladá minister školstva. 246

247 Národný rámcový program (Nacionalni okvirni kurikulum za predškolski odgoj i obrazovanje te opće obvezno i srednjoškolsko obrazovanje) definuje štyri vzdelávacie cykly pre získanie základných kompetencií. Sú to: Prvý cyklus, ktorý sa skladá z I, II., III. a IV. ročníka základnej školy. Druhý cyklus, ktorý sa skladá z V a VI. ročníka základnej školy. Tretí cyklus pozostávajúci VII. a VIII. ročníka základnej školy. Štvrtý cyklus sa vzťahuje na prvý a druhý ročník stredných odborných a umeleckých škôl, zatiaľ čo na gymnáziách pokrýva všetky štyri ročníky. Obr. 1 Vzdelávacie cykly Dĺžku školského roka stanovuje Ministerstvo vedy, vzdelávania a športu. V školskom roku 2012/2013 sa vyučovanie na základných a stredných školách začína a končí Vyučovanie je rozdelené do dvoch polrokov. Prvý polrok trvá od až do Druhý polrok trvá od až do Zimné prázdniny sa začínajú a končia Jarné prázdniny sa začínajú a končia Letné prázdniny sa začínajú Výnimkou sú študenti, ktorí absolvujú záverečný ročník stredoškolského štúdia Charakteristika predmetu matematika v Národnom rámcovom programe Predmet matematika je v Národnom rámcovom programe charakterizovaný vo výchovno-vzdelávacej oblasti matematika. Napriek tomu, že Chorvátsko nie je členom EÚ, všeobecné ciele boli vytvorené v súlade s Lisabonskou dohodou. V dokumente sú stanovené vzdelávacie ciele matematickej oblasti, ako aj očakávané výsledky podľa vzdělávacích cyklov. Očakávané výsledky sú rozdelené do dvoch oblastí: Matematické procesy. Matematické koncepty. Medzi matematické procesy sú zaradené: Pojmy a vyjadrovanie. Súvislosti. Logické myslenie, argumentácia, zdôvodňovanie. Riešenie problémov a modelovanie matematických situácií. Využitie technológií. Medzi matematickými konceptami nájdeme: Čísla. 247

248 Algebra a funkcie. (Nie sú zaradené do prvého cyklu.) Tvar a priestor. Meranie. Údaje. Infinitezimálny počet.(nie je zaradený do prvého cyklu.) 1.2. Charakteristika predmetu matematika podľa učebného plánu Učebný plán obsahuje týždenný a ročný počet hodín povinných a voliteľných predmetov podľa jednotlivých ročníkov. Matematika má v prvých troch vzdelávacích cykloch časovú dotáciu 4 hodiny týždenne. Pre žiakov základnej školy je v šk.r. 2012/2013 určených 180 vyučovacích dní (78 dní v 1.polroku a 102 dní v 2.polroku), čo zodpovedá 37 týždňom za rok (16 týždňov v 1. polroku a 21 týždňov v 2. polroku). Matematike by vzhľadom na časovú dotáciu 4 hodín týždenne malo byť venovaných 148 hodín, čo je v súlade s učebným plánom. Obr. 2 Časová dotácia povinných predmetov 2. Obsah učiva matematiky prvého vzdelávacieho cyklu Učebné osnovy predkladajú zoznam tém po jednotlivých predmetoch a ročníkoch. 1.ročník učivo je rozdelené do 21 tém. Priestorové útvary. Rovné a krivé plochy. Rovné a krivé čiary. Bod. Vzťahy medzi predmetmi. Geometrické útvary. Čísla 1 5. Usporiadanie čísel 1 5. Sčítanie čísel 1 5. Odčítanie čísel 1 až 5. Číslo 0. Číselná os. Čísla Zámena poradia sčítancov. Vzťah medzi sčítaním a odčítaním. Čísla 11 až 20. Jednociferné a dvojciferné čísla. Usporiadanie čísel do 20. Radové číslovky do 20. Sčítanie a odčítanie čísel do 20. Slovné úlohy. 2.ročník učivo je rozdelené do 31 tém. Čísla do 100. Usporiadanie čísel do 100. Radové číslovky až 100. Rímske číslice do dvanásť. Pričítanie a odčítanie desiatok. Pričítanie dvojciferného a jednociferného čísla. Odčítanie jednociferného čísla od dvojciferného. Sčítanie a odčítanie dvojciferných čísel v obore do 100. Sčítanie a odčítanie troch a viac čísel. Peňažné jednotky. Úsečka ako spojnica dvoch rôznych bodov. Strany štvorca, obdĺžnika, trojuholníka. Násobenie čísel. Zámena poradia činiteľov. Násobenie číslom 2. Násobenie číslom 5. Delenie čísel. Delenie číslom 2. Delenie číslom 5. Násobenie a delenie číslom 3. Násobenie a delenie číslom 4. Násobenie číslami 1 a 0. Čísla 1 a 0 pri operácii delenia. Násobenie a delenie číslom 10. Násobenie a delenie číslom 6. Násobenie a delenie 248

ERASMUS + : Trail of extinct and active volcanoes, earthquakes through Europe. SURVEY TO STUDENTS.

ERASMUS + : Trail of extinct and active volcanoes, earthquakes through Europe. SURVEY TO STUDENTS. ERASMUS + : Trail of extinct and active volcanoes, earthquakes through Europe. SURVEY TO STUDENTS. Strona 1 1. Please give one answer. I am: Students involved in project 69% 18 Student not involved in

Bardziej szczegółowo

Łukasz Reszka Wiceprezes Zarządu

Łukasz Reszka Wiceprezes Zarządu Łukasz Reszka Wiceprezes Zarządu Time for changes! Vocational activisation young unemployed people aged 15 to 24 Projekt location Ząbkowice Śląskie project produced in cooperation with Poviat Labour Office

Bardziej szczegółowo

Ankiety Nowe funkcje! Pomoc magda.szewczyk@slo-wroc.pl. magda.szewczyk@slo-wroc.pl. Twoje konto Wyloguj. BIODIVERSITY OF RIVERS: Survey to students

Ankiety Nowe funkcje! Pomoc magda.szewczyk@slo-wroc.pl. magda.szewczyk@slo-wroc.pl. Twoje konto Wyloguj. BIODIVERSITY OF RIVERS: Survey to students Ankiety Nowe funkcje! Pomoc magda.szewczyk@slo-wroc.pl Back Twoje konto Wyloguj magda.szewczyk@slo-wroc.pl BIODIVERSITY OF RIVERS: Survey to students Tworzenie ankiety Udostępnianie Analiza (55) Wyniki

Bardziej szczegółowo

Osoby 50+ na rynku pracy 2013-1-PL1-GRU06-38713

Osoby 50+ na rynku pracy 2013-1-PL1-GRU06-38713 Osoby 50+ na rynku pracy 2013-1-PL1-GRU06-38713 Piąte spotkanie grupy partnerskiej w Katowicach (Polska) 19-20 maj 2015 Program Uczenie się przez całe życie Grundtvig Tytył projektu: Osoby 50+ na rynku

Bardziej szczegółowo

Effective Governance of Education at the Local Level

Effective Governance of Education at the Local Level Effective Governance of Education at the Local Level Opening presentation at joint Polish Ministry OECD conference April 16, 2012, Warsaw Mirosław Sielatycki Ministry of National Education Doskonalenie

Bardziej szczegółowo

Ankiety Nowe funkcje! Pomoc magda.szewczyk@slo-wroc.pl. magda.szewczyk@slo-wroc.pl. Twoje konto Wyloguj. BIODIVERSITY OF RIVERS: Survey to teachers

Ankiety Nowe funkcje! Pomoc magda.szewczyk@slo-wroc.pl. magda.szewczyk@slo-wroc.pl. Twoje konto Wyloguj. BIODIVERSITY OF RIVERS: Survey to teachers 1 z 7 2015-05-14 18:32 Ankiety Nowe funkcje! Pomoc magda.szewczyk@slo-wroc.pl Back Twoje konto Wyloguj magda.szewczyk@slo-wroc.pl BIODIVERSITY OF RIVERS: Survey to teachers Tworzenie ankiety Udostępnianie

Bardziej szczegółowo

THE PROFILE OF PRIMARY LANGUAGE TEACHER. Mariola Bogucka Warszawa, 29.9.2011

THE PROFILE OF PRIMARY LANGUAGE TEACHER. Mariola Bogucka Warszawa, 29.9.2011 THE PROFILE OF PRIMARY LANGUAGE TEACHER Mariola Bogucka Warszawa, 29.9.2011 Cross European Studies quality FL teaching & learning for YLs Nikolov M., Curtain H. (2000) An early Start: Young Learners and

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z języka angielskiego na poziomie dwujęzycznym Rozmowa wstępna (wyłącznie dla egzaminującego)

Egzamin maturalny z języka angielskiego na poziomie dwujęzycznym Rozmowa wstępna (wyłącznie dla egzaminującego) 112 Informator o egzaminie maturalnym z języka angielskiego od roku szkolnego 2014/2015 2.6.4. Część ustna. Przykładowe zestawy zadań Przykładowe pytania do rozmowy wstępnej Rozmowa wstępna (wyłącznie

Bardziej szczegółowo

Cracow University of Economics Poland. Overview. Sources of Real GDP per Capita Growth: Polish Regional-Macroeconomic Dimensions 2000-2005

Cracow University of Economics Poland. Overview. Sources of Real GDP per Capita Growth: Polish Regional-Macroeconomic Dimensions 2000-2005 Cracow University of Economics Sources of Real GDP per Capita Growth: Polish Regional-Macroeconomic Dimensions 2000-2005 - Key Note Speech - Presented by: Dr. David Clowes The Growth Research Unit CE Europe

Bardziej szczegółowo

ANKIETA ŚWIAT BAJEK MOJEGO DZIECKA

ANKIETA ŚWIAT BAJEK MOJEGO DZIECKA Przedszkole Nr 1 w Zabrzu ANKIETA ul. Reymonta 52 41-800 Zabrze tel./fax. 0048 32 271-27-34 p1zabrze@poczta.onet.pl http://jedyneczka.bnet.pl ŚWIAT BAJEK MOJEGO DZIECKA Drodzy Rodzice. W związku z realizacją

Bardziej szczegółowo

PROJECT. Syllabus for course Global Marketing. on the study program: Management

PROJECT. Syllabus for course Global Marketing. on the study program: Management Poznań, 2012, September 20th Doctor Anna Scheibe adiunct in the Department of Economic Sciences PROJECT Syllabus for course Global Marketing on the study program: Management I. General information 1. Name

Bardziej szczegółowo

Steps to build a business Examples: Qualix Comergent

Steps to build a business Examples: Qualix Comergent How To Start a BUSINESS Agenda Steps to build a business Examples: Qualix Comergent 1 Idea The Idea is a Piece of a Company 4 2 The Idea is a Piece of a Company Investing_in_New_Ideas.wmv Finding_the_Problem_is_the_Hard_Part_Kevin

Bardziej szczegółowo

Working Tax Credit Child Tax Credit Jobseeker s Allowance

Working Tax Credit Child Tax Credit Jobseeker s Allowance Benefits Depending on your residency status (EU citizen or not) there are various benefits available to help you with costs of living. A8 nationals need to have been working for a year and be registered

Bardziej szczegółowo

ALA MA KOTA PRESCHOOL URSYNÓW WARSAW POLAND

ALA MA KOTA PRESCHOOL URSYNÓW WARSAW POLAND ALA MA KOTA PRESCHOOL URSYNÓW WARSAW POLAND Ala ma kota is a network of non-public education preschools which are entered into the register of non-public schools and institutions of the Capital City of

Bardziej szczegółowo

Test sprawdzający znajomość języka angielskiego

Test sprawdzający znajomość języka angielskiego Test sprawdzający znajomość języka angielskiego Imię i Nazwisko Kandydata/Kandydatki Proszę wstawić X w pole zgodnie z prawdą: Brak znajomości języka angielskiego Znam j. angielski (Proszę wypełnić poniższy

Bardziej szczegółowo

A DIFFERENT APPROACH WHERE YOU NEED TO NAVIGATE IN THE CURRENT STREAMS AND MOVEMENTS WHICH ARE EMBEDDED IN THE CULTURE AND THE SOCIETY

A DIFFERENT APPROACH WHERE YOU NEED TO NAVIGATE IN THE CURRENT STREAMS AND MOVEMENTS WHICH ARE EMBEDDED IN THE CULTURE AND THE SOCIETY A DIFFERENT APPROACH WHERE YOU NEED TO NAVIGATE IN THE CURRENT STREAMS AND MOVEMENTS WHICH ARE EMBEDDED IN THE CULTURE AND THE SOCIETY ODMIENNE PODEJŚCIE JAK NAWIGOWAĆ W OBECNYCH NURTACH I RUCHACH, KTÓRE

Bardziej szczegółowo

DODATKOWE ĆWICZENIA EGZAMINACYJNE

DODATKOWE ĆWICZENIA EGZAMINACYJNE I.1. X Have a nice day! Y a) Good idea b) See you soon c) The same to you I.2. X: This is my new computer. Y: Wow! Can I have a look at the Internet? X: a) Thank you b) Go ahead c) Let me try I.3. X: What

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. Negotiation techniques. Management. Stationary. II degree

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. Negotiation techniques. Management. Stationary. II degree Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

PROGRAM STAŻU. Nazwa podmiotu oferującego staż / Company name IBM Global Services Delivery Centre Sp z o.o.

PROGRAM STAŻU. Nazwa podmiotu oferującego staż / Company name IBM Global Services Delivery Centre Sp z o.o. PROGRAM STAŻU Nazwa podmiotu oferującego staż / Company name IBM Global Services Delivery Centre Sp z o.o. Miejsce odbywania stażu / Legal address Muchoborska 8, 54-424 Wroclaw Stanowisko, obszar działania/

Bardziej szczegółowo

International Baccalaureate Diploma Programme. w Prywatnym Liceum Ogólnokształcącym im. Melchiora Wańkowicza

International Baccalaureate Diploma Programme. w Prywatnym Liceum Ogólnokształcącym im. Melchiora Wańkowicza nternational Baccalaureate Diploma Programme w Prywatnym Liceum Ogólnokształcącym im. Melchiora Wańkowicza nternational Baccalaureate Organization Główną siedzibą organizacji jest Genewa, Szwajcaria. Programy:

Bardziej szczegółowo

Adult Education and Lifelong Learning

Adult Education and Lifelong Learning Adult Education and Lifelong Learning Adult Education Centers can provide a number of courses many of which are free to the learner. For information on the courses they provide visit www.lincolnshire.gov.uk/

Bardziej szczegółowo

SZKOŁA PODSTAWOWA N R 4 IM. WŁADYSŁAWA SZAFERA W EŁKU W LADYSLAW SZAFER S PRIMARY SCHOOL N O. 4 IN ELK. EŁK, 10.10.2012r.

SZKOŁA PODSTAWOWA N R 4 IM. WŁADYSŁAWA SZAFERA W EŁKU W LADYSLAW SZAFER S PRIMARY SCHOOL N O. 4 IN ELK. EŁK, 10.10.2012r. EŁK, 10.10.2012r. STRUKTURA SYSTEMU EDUKACYJNEGO STRUCTURE OF EDUCATIONAL SYSTEM WYCHOWANIE PRZEDSZKOLNE PRE-PRIMARY SZKOŁA PODSTAWOWA PRIMARY SCHOOL WIEK AGE 3 (6)7 WIEK (6)7 13 AGE GIMNAZJUM LOWER SECONDARY

Bardziej szczegółowo

Polska Szkoła Weekendowa, Arklow, Co. Wicklow KWESTIONRIUSZ OSOBOWY DZIECKA CHILD RECORD FORM

Polska Szkoła Weekendowa, Arklow, Co. Wicklow KWESTIONRIUSZ OSOBOWY DZIECKA CHILD RECORD FORM KWESTIONRIUSZ OSOBOWY DZIECKA CHILD RECORD FORM 1. Imię i nazwisko dziecka / Child's name... 2. Adres / Address... 3. Data urodzenia / Date of birth... 4. Imię i nazwisko matki /Mother's name... 5. Adres

Bardziej szczegółowo

Perspektywy PDF. ==>Download: Perspektywy PDF ebook By 0

Perspektywy PDF. ==>Download: Perspektywy PDF ebook By 0 Perspektywy PDF ==>Download: Perspektywy PDF ebook By 0 Perspektywy PDF By 0 - Are you searching for Perspektywy pdf Books? Now, you will be happy that Perspektywy PDF is available at our online library

Bardziej szczegółowo

LEARNING AGREEMENT FOR STUDIES

LEARNING AGREEMENT FOR STUDIES LEARNING AGREEMENT FOR STUDIES The Student First and last name(s) Nationality E-mail Academic year 2014/2015 Study period 1 st semester 2 nd semester Study cycle Bachelor Master Doctoral Subject area,

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA TWORZENIA KRZYśÓWEK

INSTRUKCJA TWORZENIA KRZYśÓWEK INSTRUKCJA TWORZENIA KRZYśÓWEK KrzyŜówka została tworzona w programie MsOffice. Polecam równieŝ program OpenOffice. W całym dokumencie obowiązuje standard: krzyŝówka wraz z pytaniami powinna (musi!!) mieścić

Bardziej szczegółowo

18. Przydatne zwroty podczas egzaminu ustnego. 19. Mo liwe pytania egzaminatora i przyk³adowe odpowiedzi egzaminowanego

18. Przydatne zwroty podczas egzaminu ustnego. 19. Mo liwe pytania egzaminatora i przyk³adowe odpowiedzi egzaminowanego 18. Przydatne zwroty podczas egzaminu ustnego I m sorry, could you repeat that, please? - Przepraszam, czy mo na prosiæ o powtórzenie? I m sorry, I don t understand. - Przepraszam, nie rozumiem. Did you

Bardziej szczegółowo

Unit of Social Gerontology, Institute of Labour and Social Studies ageing and its consequences for society

Unit of Social Gerontology, Institute of Labour and Social Studies ageing and its consequences for society Prof. Piotr Bledowski, Ph.D. Institute of Social Economy, Warsaw School of Economics local policy, social security, labour market Unit of Social Gerontology, Institute of Labour and Social Studies ageing

Bardziej szczegółowo

Proposal of thesis topic for mgr in. (MSE) programme in Telecommunications and Computer Science

Proposal of thesis topic for mgr in. (MSE) programme in Telecommunications and Computer Science Proposal of thesis topic for mgr in (MSE) programme 1 Topic: Monte Carlo Method used for a prognosis of a selected technological process 2 Supervisor: Dr in Małgorzata Langer 3 Auxiliary supervisor: 4

Bardziej szczegółowo

Gmina Pruszcz Gdański. Przyjazna Oświacie Commune education friendly

Gmina Pruszcz Gdański. Przyjazna Oświacie Commune education friendly Gmina Pruszcz Gdański Przyjazna Oświacie Commune education friendly Gmina logistycznie idealna Gmina Pruszcz Gdański od kilku lat kładzie duży nacisk na inwestycje w oświacie. To szczególnie ważna dziedzina

Bardziej szczegółowo

Evaluation of the main goal and specific objectives of the Human Capital Operational Programme

Evaluation of the main goal and specific objectives of the Human Capital Operational Programme Pracownia Naukowo-Edukacyjna Evaluation of the main goal and specific objectives of the Human Capital Operational Programme and the contribution by ESF funds towards the results achieved within specific

Bardziej szczegółowo

NAUCZYCIELE/TEACHERS Nauczyciele z Polskiej Szkoły Sobotniej z Liverpool:

NAUCZYCIELE/TEACHERS Nauczyciele z Polskiej Szkoły Sobotniej z Liverpool: NAUCZYCIELE/TEACHERS Nauczyciele z Polskiej Szkoły Sobotniej z Liverpool: posiadają odpowiednie kwalifikacje, przygotowanie pedagogiczne oraz doświadczenie w pracy z dziećmi i młodzieżą, stosują w swojej

Bardziej szczegółowo

Podsumowanie Raportu o Romach i Travellers

Podsumowanie Raportu o Romach i Travellers Podsumowanie Raportu o Romach i Travellers 10-12 milionów Romów w Europie 6 milionów mieszkających w U E Irlandia Polska Republika Czeska Turcja Populacja społeczności romskiej w liczbach Irlandia Polska

Bardziej szczegółowo

Cracow University of Economics Poland

Cracow University of Economics Poland Cracow University of Economics Poland Sources of Real GDP per Capita Growth: Polish Regional-Macroeconomic Dimensions 2000-2005 - Keynote Speech - Presented by: Dr. David Clowes The Growth Research Unit,

Bardziej szczegółowo

Konsorcjum Śląskich Uczelni Publicznych

Konsorcjum Śląskich Uczelni Publicznych Konsorcjum Śląskich Uczelni Publicznych Dlaczego powstało? - świat przeżywa dziś rewolucję w obszarze edukacji, - naszym celem jest promocja śląskiego jako regionu opartego na wiedzy, i najnowszych technologiach,

Bardziej szczegółowo

Jak tworzyć programów studiów na bazie efektów uczenia się?

Jak tworzyć programów studiów na bazie efektów uczenia się? Jak tworzyć programów studiów na bazie efektów uczenia się? Seminarium Bolońskie Proces Boloński: nowe wyzwania dla polskich uczelni Uniwersytet w Białymstoku, 12 maja 2010 r. Ewa Chmielecka, Andrzej Kraśniewski

Bardziej szczegółowo

CI WYKSZTAŁCENIA I WYMIANY MI

CI WYKSZTAŁCENIA I WYMIANY MI Attach photo here Print your first and last name on the reverse side of each photo To be typewritten in English. BIURO UZNAWALNOŚCI WYKSZTAŁCENIA I WYMIANY MIĘDZYNARODOWEJ ul. Smolna 13, 00-375 Warszawa

Bardziej szczegółowo

THE ADMISSION APPLICATION TO PRIVATE PRIMARY SCHOOL. PART I. Personal information about a child and his/her parents (guardians) Child s name...

THE ADMISSION APPLICATION TO PRIVATE PRIMARY SCHOOL. PART I. Personal information about a child and his/her parents (guardians) Child s name... THE ADMISSION APPLICATION TO PRIVATE PRIMARY SCHOOL PART I. Personal information about a child and his/her parents (guardians) Child s name... Child s surname........ Date and place of birth..... Citizenship.....

Bardziej szczegółowo

Financial support for start-uppres. Where to get money? - Equity. - Credit. - Local Labor Office - Six times the national average wage (22000 zł)

Financial support for start-uppres. Where to get money? - Equity. - Credit. - Local Labor Office - Six times the national average wage (22000 zł) Financial support for start-uppres Where to get money? - Equity - Credit - Local Labor Office - Six times the national average wage (22000 zł) - only for unymployed people - the company must operate minimum

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH Studia I stopnia stacjonarne i niestacjonarne Kierunek Międzynarodowe Stosunki Gospodarcze Specjalność PROGRAM OF BACHELOR STUDIES Graduate profile Graduate has a general theoretical knowledge in the field

Bardziej szczegółowo

1.How do you rate the English language skills of Polish students?

1.How do you rate the English language skills of Polish students? PODSUMOWANIE WYNIKÓW ANKIET DLA OPIEKUNÓW PORTUGALSKICH PODCZAS STAŻU LEONARDO DA VINCI - MAJ 2013 1.How do you rate the English language skills of Polish students? -bad 0 -insufficient 0 -sufficient 0

Bardziej szczegółowo

Please fill in the questionnaire below. Each person who was involved in (parts of) the project can respond.

Please fill in the questionnaire below. Each person who was involved in (parts of) the project can respond. Project CARETRAINING PROJECT EVALUATION QUESTIONNAIRE Projekt CARETRAINING KWESTIONARIUSZ EWALUACJI PROJEKTU Please fill in the questionnaire below. Each person who was involved in (parts of) the project

Bardziej szczegółowo

PROJECT. Syllabus for course Principles of Marketing. on the study program: Administration

PROJECT. Syllabus for course Principles of Marketing. on the study program: Administration Poznań, 2012, September 20th Doctor Anna Scheibe adiunct in the Department of Economic Sciences PROJECT Syllabus for course Principles of Marketing on the study program: Administration I. General information

Bardziej szczegółowo

XT001_ INTRODUCTION TO EXIT INTERVIEW PYTANIE NIE JEST ZADAWANE W POLSCE W 2006 ROKU. WCIŚNIJ Ctrl+R BY PRZEJŚĆ DALEJ. 1.

XT001_ INTRODUCTION TO EXIT INTERVIEW PYTANIE NIE JEST ZADAWANE W POLSCE W 2006 ROKU. WCIŚNIJ Ctrl+R BY PRZEJŚĆ DALEJ. 1. Share w2 Exit Questionnaire version 2.7 2006-09-29 XT001_ INTRODUCTION TO EXIT INTERVIEW 1. Kontynuuj XT006_ PROXY RESPONDENT'S SEX 1. Mężczyzna 2. Kobieta XT002_ RELATIONSHIP TO THE DECEASED IF XT002_

Bardziej szczegółowo

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy! Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ: PSYCHOLOGIA KIERUNEK:

WYDZIAŁ: PSYCHOLOGIA KIERUNEK: Lp. I Introductory module 3 Academic skills Information Technology introduction Intellectual Property Mysterious Code of Science Online surveys Personal growth and social competences in the globalizedintercultural

Bardziej szczegółowo

European teens speaking through art. Europejscy nastolatkowie wypowiadają się poprzez sztukę.

European teens speaking through art. Europejscy nastolatkowie wypowiadają się poprzez sztukę. European teens speaking through art. Europejscy nastolatkowie wypowiadają się poprzez sztukę. The schools which participate in the project are from: Szkoły uczestniczące w projekcie są z: POLAND POLSKI

Bardziej szczegółowo

III EUROPEAN ECOTOURISM CONFERENCE 26 29.04.2015 POLAND European Ecotourism: facing global challenges

III EUROPEAN ECOTOURISM CONFERENCE 26 29.04.2015 POLAND European Ecotourism: facing global challenges www.european-ecotourism.pl registration: office@european-ecotourism.pl enquires: biuro@sie.org.pl tel. +48 725 994 964 Social Ecological Institute is pleased to invite to III EUROPEAN ECOTOURISM CONFERENCE

Bardziej szczegółowo

KILKA WSKAZÓWEK PRZED USTNYM EGZAMINEM MATURALNYM Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO

KILKA WSKAZÓWEK PRZED USTNYM EGZAMINEM MATURALNYM Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO KILKA WSKAZÓWEK PRZED USTNYM EGZAMINEM MATURALNYM Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO Zadania egzaminacyjne Rozmowa wstępna (rozgrzewka językowa) Zadanie 1 rozmowa sterowana Zadanie 2 ilustracja + 3 pytania Zadanie

Bardziej szczegółowo

METODY SOCJOMETRYCZNE W EDUKACJI TECHNICZNO - INFORMATYCZNEJ

METODY SOCJOMETRYCZNE W EDUKACJI TECHNICZNO - INFORMATYCZNEJ METODY SOCJOMETRYCZNE W EDUKACJI TECHNICZNO - INFORMATYCZNEJ NOGA Henryk, PL Resumé Badania pedagogiczne wykonywane są przez nauczyciela, w konkretnym celu, z góry naznaczonym. Wykonuje się je jednorazowo,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3.

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 1. Usłyszysz dwukrotnie trzy teksty. Na podstawie informacji zawartych w nagraniu, w zadaniach 1.1. 1.3. z podanych odpowiedzi wybierz właściwą. Zakreśl literę A lub B. 1.1. Chłopiec dzwoni do

Bardziej szczegółowo

Health Resorts Pearls of Eastern Europe Innovative Cluster Health and Tourism

Health Resorts Pearls of Eastern Europe Innovative Cluster Health and Tourism Health Resorts Pearls of Eastern Europe Innovative Cluster Health and Tourism Projekt finansowany Fundusze Europejskie z budżetu państwa dla rozwoju oraz ze Polski środków Wschodniej Unii Europejskiej

Bardziej szczegółowo

Employment. Number of employees employed on a contract of employment by gender in 2012. Company

Employment. Number of employees employed on a contract of employment by gender in 2012. Company Im not found /sites/eneacsr2012.mess-asp.com/themes/eneacsr2012/img/enea.jpg Employt Capital Group is one of the largest companies in the energy industry. Therefore it has an influence, as an employer,

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 444 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 23 2006

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 444 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 23 2006 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 444 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 23 2006 ALICJA DROHOMIRECKA KATARZYNA KOTARSKA INSTYTUT KULTURY FIZYCZNEJ UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO W OPINII STUDENTÓW

Bardziej szczegółowo

No matter how much you have, it matters how much you need

No matter how much you have, it matters how much you need CSR STRATEGY KANCELARIA FINANSOWA TRITUM GROUP SP. Z O.O. No matter how much you have, it matters how much you need Kancelaria Finansowa Tritum Group Sp. z o.o. was established in 2007 we build trust among

Bardziej szczegółowo

KONKURSY Polska Szkoła Sobotnia z Liverpool zachęca swoich uczniów do uczestnictwa w konkursach

KONKURSY Polska Szkoła Sobotnia z Liverpool zachęca swoich uczniów do uczestnictwa w konkursach KONKURSY Polska Szkoła Sobotnia z Liverpool zachęca swoich uczniów do uczestnictwa w konkursach organizowanych przez Konsulat Generalny RP w Sydney, Związek Nauczycieli Języka Polskiego w NPW oraz Federację

Bardziej szczegółowo

Domy inaczej pomyślane A different type of housing CEZARY SANKOWSKI

Domy inaczej pomyślane A different type of housing CEZARY SANKOWSKI Domy inaczej pomyślane A different type of housing CEZARY SANKOWSKI O tym, dlaczego warto budować pasywnie, komu budownictwo pasywne się opłaca, a kto się go boi, z architektem, Cezarym Sankowskim, rozmawia

Bardziej szczegółowo

Zestawienie czasów angielskich

Zestawienie czasów angielskich Zestawienie czasów angielskich Present Continuous I am, You are, She/ He/ It is, We/ You/ They are podmiot + operator + (czasownik główny + ing) + reszta I' m driving. operator + podmiot + (czasownik główny

Bardziej szczegółowo

Formularz dla osób planujących ubiegać się o przyjęcie na studia undergraduate (I stopnia) w USA na rok akademicki

Formularz dla osób planujących ubiegać się o przyjęcie na studia undergraduate (I stopnia) w USA na rok akademicki Formularz dla osób planujących ubiegać się o przyjęcie na studia undergraduate (I stopnia) w USA na rok akademicki 2017-2018 Zanim zaczniesz wypełniać formularz, zapoznaj się z Instrukcjami! Imię i nazwisko:

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU UWAGA! Karta przedmiotu nie jest zatwierdzona! Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Metody numeryczne Nazwa w języku angielskim: Numerical Methods Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Paradoksy i tajemnice rodzinnego wpływu na sferę zachowań ryzykownych dzieci i młodzieży. Krzysztof A. Wojcieszek WSNS Pedagogium w Warszawie

Paradoksy i tajemnice rodzinnego wpływu na sferę zachowań ryzykownych dzieci i młodzieży. Krzysztof A. Wojcieszek WSNS Pedagogium w Warszawie Paradoksy i tajemnice rodzinnego wpływu na sferę zachowań ryzykownych dzieci i młodzieży. Krzysztof A. Wojcieszek WSNS Pedagogium w Warszawie Czy rodzice mogą uniknąć swego wpływu na własne dzieci? Nie,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 JĘZYK ANGIELSKI

EGZAMIN MATURALNY 2013 JĘZYK ANGIELSKI Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2013 JĘZYK ANGIELSKI POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2013 ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. Obszar standardów Rozumienie ze

Bardziej szczegółowo

12. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności i kompetencji społecznych dla przedmiotu/modułu oraz zrealizowanych przedmiotów:

12. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności i kompetencji społecznych dla przedmiotu/modułu oraz zrealizowanych przedmiotów: OPIS PRZEDMIOTU/MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) 1. Nazwa przedmiotu/modułu w języku polskim: Harmonia 2. Nazwa przedmiotu/modułu w języku angielskim: Harmony 3. Jednostka prowadząca przedmiot: Katedra Muzykologii

Bardziej szczegółowo

Po powtórce zaczynamy naukę kolejnych 10-15 nowych słów i wyrażeń, po czym zostawiamy je w przegródce numer 1. Systematyczność

Po powtórce zaczynamy naukę kolejnych 10-15 nowych słów i wyrażeń, po czym zostawiamy je w przegródce numer 1. Systematyczność Fiszki, metoda powtórkowa. System pięciu przegródek Pierwszego dnia nauki możemy zacząć od przyswojenia 10-15 nowych słówek. Wkładamy je wtedy do przegródki numer 1. Kolejnego dnia zaczynamy od powtórki

Bardziej szczegółowo

Why choose No Hau Studio?

Why choose No Hau Studio? Why choose No Hau Studio? We ve been perfecting our skills for over 10 years. Branding and Communications are the core of our activities. B2B is our speciality. Customer s Satisfaction is our priority.

Bardziej szczegółowo

6. FORMULARZ DLA OGŁOSZENIODAWCÓW INSTYTUCJA: UNIWERSYTET OPOLSKI-INSTYTUT NAUK PEDAGOGICZNYCH

6. FORMULARZ DLA OGŁOSZENIODAWCÓW INSTYTUCJA: UNIWERSYTET OPOLSKI-INSTYTUT NAUK PEDAGOGICZNYCH 6. FORMULARZ DLA OGŁOSZENIODAWCÓW INSTYTUCJA: UNIWERSYTET OPOLSKI-INSTYTUT NAUK PEDAGOGICZNYCH MIASTO: OPOLE STANOWISKO: ADIUNKT DYSCYPLINA NAUKOWA: PEDAGOGIKA, SPECJALNOŚĆ-PRACA SOCJALNA DATA OGŁOSZENIA:...20

Bardziej szczegółowo

I INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE

I INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE I INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE EU SECURITY AND CRISIS MANAGEMENT FLOOD-2010 ATENEUM UNIVERSITY IN GDANSK P FUNDATION PRO POMERANIA NOTICE NO. 1 I International Scientific Conference EU SECURITY

Bardziej szczegółowo

Plan of Study : call for 2012/2013 and subsequent PUBLIC HEALTH ADMINISTRATION YEAR I. 1. Subject to choose from (university-wide) 1 15 15

Plan of Study : call for 2012/2013 and subsequent PUBLIC HEALTH ADMINISTRATION YEAR I. 1. Subject to choose from (university-wide) 1 15 15 Plan of Study : call for 0/0 and subsequent Field of study: Specialty: Type of study: System: Academic year: PUBLIC HEALTH PUBLIC HEALTH ADMINISTRATION I degree full-time 0/0 and subsequent YEAR I NUMBER

Bardziej szczegółowo

STUDIA MEDIOZNAWCZE MEDIA STUDIES. Vol. 4 (39) 2009. Nr 4 (39) 2009. Warsaw 2009. Instytut Dziennikarstwa Uniwersytetu Warszawskiego

STUDIA MEDIOZNAWCZE MEDIA STUDIES. Vol. 4 (39) 2009. Nr 4 (39) 2009. Warsaw 2009. Instytut Dziennikarstwa Uniwersytetu Warszawskiego The Institute of Journalism of Warsaw University Instytut Dziennikarstwa Uniwersytetu Warszawskiego MEDIA STUDIES STUDIA MEDIOZNAWCZE Vol. 4 (39) 2009 Nr 4 (39) 2009 Warsaw 2009 Warszawa 2009 SPIS TREŒCI

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM PODSTAWOWY

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy Język angielski Język angielski. Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM PODSTAWOWY Zadanie 1. Which person L (Liz) J (Jim) 1.1. thinks that a particular TV series is very

Bardziej szczegółowo

Język angielski. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą CZĘŚĆ I KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I

Język angielski. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą CZĘŚĆ I KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Poziom rozszerzony Język angielski Język angielski. Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I W schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

Filozofia z elementami logiki Klasyfikacja wnioskowań I część 2

Filozofia z elementami logiki Klasyfikacja wnioskowań I część 2 Filozofia z elementami logiki Klasyfikacja wnioskowań I część 2 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan: definicja pojęcia wnioskowania wypowiedzi inferencyjne i wypowiedzi

Bardziej szczegółowo

Angielski Biznes Ciekawie

Angielski Biznes Ciekawie Angielski Biznes Ciekawie Conditional sentences (type 2) 1. Discuss these two types of mindsets. 2. Decide how each type would act. 3. How would you act? Czy nauka gramatyki języka angielskiego jest trudna?

Bardziej szczegółowo

PROJECT. Syllabus for course Techniques of negotiations and mediations in administration. on the study program: Administration

PROJECT. Syllabus for course Techniques of negotiations and mediations in administration. on the study program: Administration Poznań, 2012, September 20th Doctor Anna Scheibe adiunct in the Department of Economic Sciences PROJECT Syllabus for course Techniques of negotiations and mediations in administration on the study program:

Bardziej szczegółowo

Vice-mayor of Zakopane Wojciech Solik. Polish Ministry of the Environment Chief Specialist for. Tatras National Park (Slovakia) Director Pawel Majko

Vice-mayor of Zakopane Wojciech Solik. Polish Ministry of the Environment Chief Specialist for. Tatras National Park (Slovakia) Director Pawel Majko April 22, 2012 Vice-mayor of Zakopane Wojciech Solik Tatrzanski Park Narodowy Director Pawel Skawinski (host) Polish Ministry of the Environment Chief Specialist for National Parks Jan Reklewski Tatras

Bardziej szczegółowo

Najbardziej pożądani pracodawcy 2014 w opinii specjalistów i menedżerów / Badanie Antal International

Najbardziej pożądani pracodawcy 2014 w opinii specjalistów i menedżerów / Badanie Antal International Edycja 5. kwiecień 2015 5 th Edition APRIL 2015 Najbardziej pożądani pracodawcy 2014 w opinii specjalistów i menedżerów / Badanie Antal International The Most Desired Employers 2014 in the Opinion of Professionals

Bardziej szczegółowo

UMOWY WYPOŻYCZENIA KOMENTARZ

UMOWY WYPOŻYCZENIA KOMENTARZ UMOWY WYPOŻYCZENIA KOMENTARZ Zaproponowany dla krajów Unii Europejskiej oraz dla wszystkich zainteresowanych stron wzór Umowy wypożyczenia między muzeami i instytucjami kultury opracowany został przez

Bardziej szczegółowo

BULLETIN 2 II TRAINING CAMP POLISH OPEN MTBO CHAMPIONSHIPS 19-22.06.2014 MICHAŁOWO 23-29.06.2014 TRAINING CAMP WORLD MTB ORIENTEERING CHAMPIONSHIPS

BULLETIN 2 II TRAINING CAMP POLISH OPEN MTBO CHAMPIONSHIPS 19-22.06.2014 MICHAŁOWO 23-29.06.2014 TRAINING CAMP WORLD MTB ORIENTEERING CHAMPIONSHIPS BULLETIN 2 II TRAINING CAMP POLISH OPEN MTBO CHAMPIONSHIPS 19-22.06.2014 MICHAŁOWO 23-29.06.2014 TRAINING CAMP WORLD MTB ORIENTEERING CHAMPIONSHIPS MASTERS WORLD MTB ORIENTEERING CHAMPIONSHIPS MTB ORIENTEERING

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Virginia Evans Jenny Dooley

Spis treści. Virginia Evans Jenny Dooley pis treści chool... p. y things... p. ports... p. y home... p. 8 y family... p. 0 nimals... p. Free-time activities... p. 8 Food... p. Virginia vans Jenny ooley łownictwo ZZW chool like aths and nglish

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 JĘZYK ANGIELSKI

EGZAMIN MATURALNY 2012 JĘZYK ANGIELSKI Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2012 JĘZYK ANGIELSKI POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. Obszar standardów Rozumienie ze

Bardziej szczegółowo

EuroWeek Szkoła Liderów 2015

EuroWeek Szkoła Liderów 2015 EuroWeek Szkoła Liderów 2015 Tegoroczny Obóz Językowy Euroweek, niewątpliwie był jednym z tych wyjazdów, które zapadają w pamięci na długie lata. Grupa uczniów z naszej szkoły wraz z nauczycielem języka

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-1070 Towaroznawstwo Commodity Studies. Logistics 1st degree (1st degree / 2nd degree) General (general / practical)

Z-LOG-1070 Towaroznawstwo Commodity Studies. Logistics 1st degree (1st degree / 2nd degree) General (general / practical) MODULE DESCRIPTION Z-LOG-1070 Towaroznawstwo Commodity Studies Module code Module name Module name in English Valid from academic year 2012/2013 MODULE PLACEMENT IN THE SYLLABUS Subject Level of education

Bardziej szczegółowo

Fig 5 Spectrograms of the original signal (top) extracted shaft-related GAD components (middle) and

Fig 5 Spectrograms of the original signal (top) extracted shaft-related GAD components (middle) and Fig 4 Measured vibration signal (top). Blue original signal. Red component related to periodic excitation of resonances and noise. Green component related. Rotational speed profile used for experiment

Bardziej szczegółowo

PODANIE O STYPENDIUM STUDENCKIE DLA STUDENTÓW STUDIÓW PODSTAWOWYCH SCHOLARSHIP APPLICATION FOR UNDERGRADUATE STUDENTS

PODANIE O STYPENDIUM STUDENCKIE DLA STUDENTÓW STUDIÓW PODSTAWOWYCH SCHOLARSHIP APPLICATION FOR UNDERGRADUATE STUDENTS Fundacja im. Adama Mickiewicza w Kanadzie The Adam Mickiewicz Foundation in Canada (REV 2015) PODANIE O STYPENDIUM STUDENCKIE DLA STUDENTÓW STUDIÓW PODSTAWOWYCH SCHOLARSHIP APPLICATION FOR UNDERGRADUATE

Bardziej szczegółowo

KATOWICE SPECIAL ECONOMIC ZONE GLIWICE SUBZONE and its influence on local economy KATOWICE SPECIAL ECONOMIC ZONE - GLIWICE SUBZONE

KATOWICE SPECIAL ECONOMIC ZONE GLIWICE SUBZONE and its influence on local economy KATOWICE SPECIAL ECONOMIC ZONE - GLIWICE SUBZONE KATOWICE SPECIAL ECONOMIC ZONE GLIWICE SUBZONE and its influence on local economy Definition: WHAT DOES THE SPECIAL ECONOMIC ZONE MEAN? THE SPECIAL ECONOMIC ZONE IS THE SEPERATED AREA WITH ATTRACTIVE TAX

Bardziej szczegółowo

BSSSC Baltic Sea States Subregional Co-operation. operation good practices presentation

BSSSC Baltic Sea States Subregional Co-operation. operation good practices presentation BSSSC Baltic Sea States Subregional Co-operation operation good practices presentation Polites association was founded in 2002 in Szczecin Stowarzyszenie POLITES w Szczecinie Starszy Brat Starsza Siostra

Bardziej szczegółowo

POLISH CULTURAL FOUNDATION

POLISH CULTURAL FOUNDATION 177 Broadway Clark, New Jersey 07066 Tel: 732-382-7197 Fax: 732-382-7169 web: www.pcfnj.org e-mail: pcf@pcfnj.org Accept our cordial invitation to JOIN TODAY! Come visit and experience our hospitality.

Bardziej szczegółowo

About the Program. Beneficiaries of the Program. Top 500 Innovators Society building modern science-industry collaboration

About the Program. Beneficiaries of the Program. Top 500 Innovators Society building modern science-industry collaboration Top 500 Innovators Society building modern science-industry collaboration Dariusz Janusek Science for Industry: Necessity is the mother of invention Second Networking Event in the field of modern techniques

Bardziej szczegółowo

Awareness campaign Safe rail-road level crossing "Stop and Live!"

Awareness campaign Safe rail-road level crossing Stop and Live! Awareness campaign Safe rail-road level crossing "Stop and Live!" www.plk-sa.pl Geneva, 12-13 May 2014 The key objective of the campaign is: What are our objectives? - to promote the correct patterns of

Bardziej szczegółowo

Instrukcja konfiguracji usługi Wirtualnej Sieci Prywatnej w systemie Mac OSX

Instrukcja konfiguracji usługi Wirtualnej Sieci Prywatnej w systemie Mac OSX UNIWERSYTETU BIBLIOTEKA IEGO UNIWERSYTETU IEGO Instrukcja konfiguracji usługi Wirtualnej Sieci Prywatnej w systemie Mac OSX 1. Make a new connection Open the System Preferences by going to the Apple menu

Bardziej szczegółowo

B. MODUŁ PRZEDMIOTY SPECJALNOŚCIOWE - moduł solowy PRINCIPAL COURSE UNITS - solo option

B. MODUŁ PRZEDMIOTY SPECJALNOŚCIOWE - moduł solowy PRINCIPAL COURSE UNITS - solo option PLAN STUDIÓW STUDY STRUCTURE DIAGRAM TYP STUDIÓW: STUDIA STACJONARNE II STOPNIA MODE OF STUDY: FULL-TIME, MASTER STUDIES Kierunek: INSTRUMENTALISTYKA Programme: INSTRUMENTAL PERFORMANCE Specjalność: Gra

Bardziej szczegółowo

Cel szkolenia. Konspekt

Cel szkolenia. Konspekt Cel szkolenia About this CourseThis 5-day course provides administrators with the knowledge and skills needed to deploy and ma Windows 10 desktops, devices, and applications in an enterprise environment.

Bardziej szczegółowo

Akademia Morska w Szczecinie. Wydział Mechaniczny

Akademia Morska w Szczecinie. Wydział Mechaniczny Akademia Morska w Szczecinie Wydział Mechaniczny ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Marcin Kołodziejski Analiza metody obsługiwania zarządzanego niezawodnością pędników azymutalnych platformy pływającej Promotor:

Bardziej szczegółowo

MATURA SPEAKING TESTS. Modules 1 4. Egzamin maturalny z języka angielskiego Wersja dla zdającego. Zestaw 1. 3 minuty. Zadanie 1. Zadanie 3.

MATURA SPEAKING TESTS. Modules 1 4. Egzamin maturalny z języka angielskiego Wersja dla zdającego. Zestaw 1. 3 minuty. Zadanie 1. Zadanie 3. MATURA SPEAKING TESTS Modules 4 Życie rodzinne i towarzyskie Człowiek, Sport Zakupy i usługi, Żywienie Wersja dla zdającego minuty Razem z przyjacielem/przyjaciółką organizujesz wspólne przyjęcie urodzinowe.

Bardziej szczegółowo

Logistics 1st degree (1st degree / 2nd degree) General (general / practical)

Logistics 1st degree (1st degree / 2nd degree) General (general / practical) MODULE DESCRIPTION Module code Module name Module name in English Valid from academic year 2012/2013 MODULE PLACEMENT IN THE SYLLABUS Z-LOG-1074 Zarządzanie relacjami z klientami Customer Relationship

Bardziej szczegółowo

photo graphic Jan Witkowski Project for exhibition compositions typography colors : +48 506 780 943 : janwi@janwi.com

photo graphic Jan Witkowski Project for exhibition compositions typography colors : +48 506 780 943 : janwi@janwi.com Jan Witkowski : +48 506 780 943 : janwi@janwi.com Project for exhibition photo graphic compositions typography colors Berlin London Paris Barcelona Vienna Prague Krakow Zakopane Jan Witkowski ARTIST FROM

Bardziej szczegółowo

dr hab. Wiktor Osuch, prof. UP Wykaz publikacji za lata 2008-2015

dr hab. Wiktor Osuch, prof. UP Wykaz publikacji za lata 2008-2015 dr hab. Wiktor Osuch, prof. UP Wykaz publikacji za lata 2008-2015 Monografie naukowe: Osuch W. (2010). Kompetencje nauczycieli geografii oraz studentów geografii kandydatów na nauczycieli. Prace Monograficzne

Bardziej szczegółowo

Wikimedia Polska Conference 2009 You too can create... not only Wikipedia!

Wikimedia Polska Conference 2009 You too can create... not only Wikipedia! Wikimedia Polska Conference 2009 You too can create... not only Wikipedia! 1 st -3 rd May, 2009, Jadwisin by the Jezioro Zegrzyńskie Wikimedia Polska Conference 2009 is a fourth event organized by the

Bardziej szczegółowo

Wyjaśnienie i ilustracje: Wyliczenie kwoty straty dla Wnioskodawcy zmarłego, który złożył wcześniej Wniosek dla osób z uszkodzeniem ciała

Wyjaśnienie i ilustracje: Wyliczenie kwoty straty dla Wnioskodawcy zmarłego, który złożył wcześniej Wniosek dla osób z uszkodzeniem ciała Wyjaśnienie i ilustracje: Wyliczenie kwoty straty dla Wnioskodawcy zmarłego, który złożył wcześniej Wniosek dla osób z uszkodzeniem ciała Wyjaśnienie i ilustracje: Wyliczenie dotyczące Wniosku dla osób

Bardziej szczegółowo