Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Transkrypt

1 Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski

2 Na dziś Sprawy bieżące 2

3 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe

4 4

5 5

6 METODY WYZNACZANIA ESTYMATORÓW Przykład: zadania.pdf 6

7 7

8 8

9 ROZKŁAD DWUMIANOWY 9

10 ROZKŁAD POISSONA 10

11 ROZKŁAD NORMALNY 11

12 12

13 Estymator przedziałowy 13

14 Przykład: przedziały.xls wykład2_estymacja.xls 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 Co wpływa na długość przedziału ufności? [ [8.75; = 11.25] = 11.2 d = Liczebność próby Poziom ufności Wariancja 19

20 Przykład Do produkcji pieczywa chrupkiego Chrup-Chrup pewna firma wykorzystuje ekstruder dwuślimakowym. Wyprodkukowane pieczywo powinno zgodnie z normą zawiarać około 0.3 błonnika na kromkę. Pobrano dziesięcioelementową próbę losową i otrzymano wyniki: ; ; ; ; ; ; ; ;0.2627; Oszacuj średnią zawartość błonnika w kromce pieczywa chrupkiego Chrup-Chrup 20

21 POPULACJA: Pieczywo chrupkie CECHA X: Zawartość błonnika w jednej kromce pieczywa mierzona w gramach RODZAJ CECHY: ciągła ROZKŁAD CECHY: normalny ZAŁOŻENIA: µ =?; σ =? ZADANIE: Oszacujśrednią zawartość błonnika w kromce pieczywa chrupkiego Chrup-Chrup TECHNIKA STATYSTYCZNA: Oszacuj = PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA - średnią POZIOM UFNOŚCI: 1 - α = 0.95 ROZWIĄZANIE: Obliczenia np. Excel ODPOWIEDŹ: Średnia zawartość błonnika w kromc jest liczbą od do z zaufa niem do wniosku 95% 21

22 Przykład 2 Importer owoców cytrusowych pan Alojzy Cytrynka twierdzi, że w transporcie psuje się 18 procent owoców. Właściciel hurtowni cytrusów chce sprawdzić czy zapewnienia Pana Cytrynki są prawdziwe. W tym celu pobiera z jednego transportu próbe losową i stwierdza, że spośród 800 owoców 160 jest zepsutych. Co można sądzić o zapewnieniach importera w świetle przeprowadzonych badań? 22

23 POPULACJA: Owoce cytrusowe CECHA X: Jakość owocu {dobry 1; zły 0} RODZAJ CECHY: skokowa ROZKŁAD CECHY: dwupunktowy ZAŁOŻENIA: Sukces =?; P =?; Rozkład =? Czy pan Cytrynka ma rację? (Oszacuj procent ZADANIE: owoców zepsutych w populacji) TECHNIKA STATYSTYCZNA: Oszacuj = PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA - procent POZIOM UFNOŚCI: 1 - α = 0.95 ROZWIĄZANIE: Obliczenia np. Excel ODPOWIEDŹ: Procent zepsutych owoców jest liczbą z przedziału (17.52%; 22.59%) mylę si w tym wniosku na 5% 23

24 PYTANIA 1. Co wpływa na długość przedziału ufności? 2. Podaj wzór na przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym. 3. Podaj wzór na przedział ufności dla wariancji w rozkładzie Poissona. 4. Wyjaśnij pojęcie poziom ufności. 5. Czy można powiedzieć o informacji podawanej dla pewnego modelu samochodu, że średnie zużycie paliwa wynosi 6 litrów na 100 km. Mając informację o zużyciu paliwa dla tego modelu samochodu w postaci przedziału ufności (5,82; 7,48) na poziomie ufności 95%. 6. Wymień znane Ci sposoby uzyskiwania estymatorów. 7. Co jest estymatorem µw rozkładzie normalnym. Jaki rozkład ma ten estymator. 8. W jakim rozkładzie prawdopodobieństwa estymator średniej jest taki sam jak estymator wariancji. 9. Z jakich elementów skład się model statystyczny. 10. Jaki rozkład ma asymptotyczny estymator p w rozkładzie dwumianowym. 24

25 Estymatory ENW(Zajęcia z ) Próbax 1,...x n zrozkładunormalnego Model statystyczny dla próby: Funkcja wiarogodności: po zlogarytmowaniu: ({R n 1 }{ σ n 2π n exp( 1 2 n ( x i µ ) 2 ):(µ,σ) [R R + ]}) σ i=1 (σ n zapiszemy(σ 2 ) n/2 ) L(µ,σ 2 1,x 1,...x n )= (σ 2 ) n/2 2π n exp{ 1 2 n i=1 n ( x i µ σ ) 2 } L(µ,σ 2,x 1,...x n )= n 2 lnσ2 nln 2π 1 2 maksymalizujemy funkcję L najpierw po µ: dl dµ = n 2 lnσ2 nln 2π 1 2 i=1 n (x i µ) 21 σ 2 i=1 dl dµ = 1 1 n 2σ 2( 2) (x i µ)=0 i=1 n n n i=1 (x i µ)=0 x i =nµ µ= x i n i=1 maksymalizujemyfunkcjęlpoσ 2 : i=1 dl dσ 2= n 2 lnσ2 nln 2π 1 2 n σ n+ n i=1 n (x i µ) 21 σ 2 i=1 (x i µ) 2 1 (σ 2 ) 2=0 n (x i µ) 21 σ 2=0 n σ 2 i=1 = (x i µ) 2 n czyliestymatoryenw(σ)ienw(µ)to: n S 2 i=1 = (x i µ) 2 n i=1 ; x= x i n n natomiastestymatorenw( σ µ ): i=1 (x i µ) 21 σ 2 czyli: n i=1 (xi µ)2 n n i=1 xi n S x

26 Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski

27 Na dziś Sprawy bieżące 2

28 3

29 4

30 5

31 6

32 T = 7

33 8

34 Rozszerzenie zagadnień Powiązanie przedziałów ufności z hipotezami statystycznymi 9

35 10

36 PYTANIA 1. Wyjaśnij pojęcie błąd I rodzaju? 2. Podaj przykład hipotezy statystycznej. 3. Podaj wzór statystyki testowej dla hipotezy H 0 : µ= 0 4. Wyjaśnij pojęcie poziom istotności. 5. Wyjaśnij pojęcie test statystyczny. 6. Weryfikując hipotezę H 0 : µ= 0 wobec H 1 : µ 0 uzyskano wartość testu temp = , a wartość krytyczna Czy hipotezę H 0 :µ= 0 można odrzucić? Odpowiedź uzasadnij. 11