Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 11: Dlaczego ludzie uprawiają matematykę? Hardy i Wigner.

Transkrypt

1 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 11: Dlaczego ludzie uprawiają matematykę? Hardy i Wigner. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

2 Ciekawość poznawcza czy pragmatyzm? Banalne pytania: Czy / dlaczego matematyka jest przydatna? Czy / dlaczego matematyka jest skuteczna? Jakie są kryteria tego, co w matematyce jest istotne:... piękno i waga teorii (cokolwiek to oznacza)?... przydatność w praktyce i innych dziedzinach nauki? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

3 Godfrey Harold Hardy, Hardy ok r., w Cambridge (Źródło: kolekcja fortograficzna Mathematisches Forschungsinstitut w Oberwolfach) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

4 Ekscentryk z poczuciem humoru Noworoczne postanowienia Hardy ego (z pocztówki do jednego z przyjaciół, w latach 30-tych): 1 Udowodnić hipotezę Riemanna; 2 Zagrać bardzo dobrze w ważnym meczu w krykieta; 3 Wykazać, że Bóg nie istnieje; 4 Być pierwszym człowiekiem na szczycie Mt. Everestu; 5 Zostać obwołanym pierwszym prezydentem ZSRR, Wielkiej Brytanii i Niemiec; 6 Zamordować Mussoliniego. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

5 Hardy, nieco poważniej Około 300 prac naukowych: analiza matematyczna teoria liczb także zastosowania matematyki, np. w genetyce Poważny wkład w unowocześnienie nauczania matematyki na uniwersytetach brytyjskich; Liczne pojęcia, hipotezy i twierdzenia z własnym nazwiskiem; Słynna współpraca z Johnem E. Littlewoodem H. Bohr, 1947: jest tylko trzech wielkich matematyków brytyjskich: Hardy, Littlewood i Hardy Littlewood. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

6 Hardy ego przykłady faktów nieważnych 8712 i 9801 to jedyne liczby czterocyfrowe, będące całkowitymi wielokrotnościami liczb, które powstają z nich samych przez ustawienie cyfr w odwrotnej kolejności: 8712 = , 9801 = Są tylko cztery liczby, będące sumami sześcianów swoich cyfr (w zapisie dziesiętnym): 153, 370, 371, 407. Inny przykład, Jack Reacher: jedyną liczbą n > 1 taką, że n jest równy sumie S(n) cyfr liczby n, jest n = 81. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

7 Hardy ego przykłady faktów nieważnych 8712 i 9801 to jedyne liczby czterocyfrowe, będące całkowitymi wielokrotnościami liczb, które powstają z nich samych przez ustawienie cyfr w odwrotnej kolejności: 8712 = , 9801 = Są tylko cztery liczby, będące sumami sześcianów swoich cyfr (w zapisie dziesiętnym): 153, 370, 371, 407. Inny przykład, Jack Reacher: jedyną liczbą n > 1 taką, że n jest równy sumie S(n) cyfr liczby n, jest n = 81. (Jeśli n ma k cyfr, to n 10 k 1 3 k 1 > 9k S(n), o ile tylko k 5. Pozostaje zbadać wyjątki.) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

8 Hardy o nieprzydatności Muszę jednak wyjaśnić pewne nieporozumienie. Czasami sugeruje się, że prawdziwi matematycy chlubią się bezużytecznością swojego zajęcia (...) Zarzut ten jest oparty na przypisywanym Gaussowi nieopatrznym stwierdzeniu, że teoria liczb jest dzięki swej całkowitej nieprzydatności królową matematyki. Gdyby teorię liczb można było zastosować do jakiegokolwiek praktycznego i szczytnego celu, gdyby mogła przysporzyć ludziom szczęścia lub ulżyć ludzkiemu cierpieniu, jak fizjologia, a nawet chemia to z pewnością ani Gauss, ani żaden inny matematyk nie byłby na tyle głupi, żeby sprzeciwiać się takim zastosowaniom lub wyrażać z tego powodu ubolewanie. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

9 Przykład problemu z kajetów Hardy ego Hipoteza (Hardy, Littlewood, 1922). Niech π 2 (N) oznacza liczbę par liczb pierwszych bliźniaczych mniejszych od N. Wtedy π 2 (N) N dla N, (log N) 2 a dokładniej, π 2 (N) N 2 dt (log t) 2. Uwaga. Nawet pytanie o to, czy liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jest otwarte. Z hipotezy H L wynika znacznie więcej... P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

10 Eugene Paul Wigner, Zdjęcie z ok r. (Źródło: American Institute of Physics) Laureat Nagrody Nobla w 1963 r. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

11 Wigner, minibiogram Urodził się w Budapeszcie; Od 1921 studiował inżynierię chemiczną w Berlinie; w końcu lat 20-tych był asystentem Hilberta w Getyndze; 1930: wspólnie z von Neumannem, wyjechał do Princeton; uczestnik Projektu Manhattan; Nagroda Nobla za... his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles. 1960: O niepojętej skuteczności matematyki w naukach przyrodniczych (Comm. Pure Appl. Math. 13 (1961), str. 1 14). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

12 Esencja poglądu Wignera Matematyczna struktura teorii fizycznych prowadzi często do dalszego rozwoju fizyki; możliwości prognozowania przebiegu różnych zdarzeń; To nie może być wynik zbiegu okoliczności; To jest wyraz głębszej prawdy o naturze matematyki i fizyki. Jesteśmy w sytuacji człowieka, który posiadając pęk kluczy i mając otworzyć po kolei kilkoro drzwi, zawsze chwyta za właściwy klucz za pierwszym lub drugim razem. Mógłby on stać się sceptykiem, gdyby zaczął rozważać jednoznaczną odpowiedniość kluczy i zamków. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

13 Wigner, 3 cytaty 1 Przedziwna skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych jest czymś graniczącym z tajemnicą i nie ma dla niej żadnego racjonalnego wyjaśnienia. 2 Ktoś kiedyś powiedział, że filozofia polega na niewłaściwym używaniu terminologii, która została stworzona specjalnie w tym celu. W tym samym stylu powiedziałbym, że matematyka jest nauką o zręcznych operacjach na pojęciach i regułach wymyślonych wyłącznie w tym celu. 3 Matematyk bezlitośnie eksploatuje dziedzinę dopuszczającą zrozumienie i omija to, co niezrozumiałe. To, że jego nierozważność nie prowadzi go w bagno sprzeczności, jest samo w sobie cudem. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

14 Wigner: dlaczego matematyka w fizyce? Obserwacja, która spośród znanych mi najbardziej zbliża się do wyjaśnienia pojawiania się pojęć matematycznych w fizyce, zawarta jest w stwierdzeniu Einsteina: jedynymi teoriami fizycznymi, które chcemy akceptować, są piękne teorie fizyczne. Pojęciom matematyki przysługuje zaś jakość piękna. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

15 Algorytm RSA Rivest, Shamir, Adleman (U.S. Patent no z 1977 r., MIT) Bierzemy dwie duże liczby pierwsze p q. (One są tajne.) Liczba n = pq jest częścią zarówno klucza prywatnego, jak i klucza publicznego. Wybieramy liczbę e, która jest mniejsza od φ(n) = (p 1)(q 1) i względnie pierwsza z φ(n). Znajdujemy liczbę d taką, że de 1 modulo φ(n). Klucz publiczny (jawny) to para (n, e); klucz prywatny (tajny) to (n, d). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

16 Działanie RSA: potęgowanie modulo n Bezpieczeństwo RSA wypływa stąd, że rozkładanie dużych liczb na czynniki pierwsze jest (dziś!) trudne i bardzo czasochłonne. 1 Wiadomość m (m < n) jest szyfrowana jako c = m e mod n. 2 Aby odszyfrować, pamiętamy, że ed = kφ(n) + 1 i obliczamy c d m ed = m kφ(n)+1 ( m φ(n)) k m MTF 1 k m m mod n. Uzasadnienie: małe twierdzenie Fermata (MTF). (Aby znaleźć d, trzeba znać nie tylko n, ale i φ(n), w tym zaś celu trzeba umieć rozłożyć n na czynniki pierwsze.) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16

17 Morał 1 Trudno twierdzić z całą pewnością, że jakiś fragment matematyki teoretycznej z pewnością zawsze będzie nieprzydatny. 2 Za sprawą RSA, całkiem praktyczny sens zyskują nagle klasyczne pytania: Skąd brać duże liczby pierwsze? Jaki jest rozkład liczb pierwszych? Jaki jest najlepszy algorytm rozkładu na czynniki pierwsze? 3 Z mojego punktu widzenia, ważniejszy jest podział na matematykę dobrej i złej jakości, niż na matematykę teoretyczną i stosowaną. Granice jednego podziału biegną w poprzek do granic drugiego. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hardy i Wigner / 16