Rys. Widok na piramidy w Gizie. Kultura niezwykle zamknięta. Pismo hieroglificzne. Praktycznie izolowana, brak interakcji, pływu, na otocznie.

Transkrypt

1 Wykład 1 Tzeba milczeć albo mówić zeczy lepsze od milczenia. Pitagoas I. Początek nauki Egipt, Piamidy, świątynie. Rys. Widok na piamidy w Gizie Kultua niezwykle zamknięta. Pismo hieoglificzne. Paktycznie izolowana, bak inteakcji, pływu, na otocznie. Sumeowie Tajemniczy lud, któy pojawił się w południowej Mezopotamii około połowy IV tysiąclecia p.n.e. Nie wiadomo skąd pzybył, nie znamy jego pochodzenia. Pzypuszcza się, że pzybył dogą moską (z dzisiejszych Indii?). Po około tysiącu lat, Sumeowie zostali podbici pzez napływające ludy semickie Akadowie, Huyci, Amoyci, etc. Z czasem zasymilowali się z pzybyszami ich odębność etniczna oztopiła się w masie napływających ludów. Ale ich wysoka kultua i zdobycze cywilizacyjne zostały pzejęte pzez ludy Bliskiego Wschodu, i popzez te ludy, stały się spuścizną i zaazem fundamentem cywilizacji Bliskiego Wschodu, a dalej Gecji, Rzymu i całego Zachodu. 1

2 Sumeowie podłożyli podstawy do ozwoju sztuki (pismo klinowe i liteowe), eligii nauki, sztuki i inżynieii. Wato pzypomnieć, ze patiacha Abam (Abaham) pochodził z sumeyjskiego miasta U. I nie jest to zecz pzypadku. Świadczy o tym Biblia Stay Testament, któy w wielu częściach ma swoje podstawy w liteatuze sumeyjskiej: opis Potopu znajdujemy w eposie o Gilgameszu. Rys. Popiesie mężczyzny z Uuk, 34 3 p.n.e. Osiągnięcia Sumeów: system pomiau czasu 4 godziny, 6 minut, 6 sekund; 36 stopni w okęgu; system mia i wag (1 talent 3 min, 1 mina 6 szekli); tabliczka z Babilon, p.n.e., π 3,15. kalendaz księżycowy, astonomia i astologia, aytmetyka, geometia, wiaa w pzeznaczenie, magię, hooskopy, anioły, diabły, demony, tanscendentnego boga to ównież dziedzictwo Sumeów, pismo klinowe!!! Rys. Ewolucja znaków mezopotamskiego pisma klinowego

3 Pzejście od piktogamów (pismo hieoglificzne) do pisma liteowego. Pismo klinowe (Sumeyjskie) pzejęły wszystkie ludy Bliskiego Wschodu, w tym ludy indoeuopejskie (Hetyci) i ludy semickie (Akadowie, Huyci, Amoyci, i inni). Z pisma klinowego ozwinęły się tzy nowe odzaje pisma: ugayckie, elamickie, staopeskie. Pismo staopeskie, pochodzące od elamickiego, było pismem liteowosylabowym, w zewnętznej fomie było pismem klinowym ale w stuktuze wewnętznej było pismem liteowym. Pismo ugayckie (od miasta Ugait, w dzisiejszym północnosyyjskim wybzeżu Moza Śódziemnego) XV-XIV w p.n.e. było pismem klinowym. Składało się z 3 znaków było piewszym pismem liteowym i tym samym piewszym pismem alfabetycznym! Potoplastą naszego alfabetu był alfabet Fenicjan, powstały na bazie pisma ugayckiego. pismo klinowe (Sumeowie) pismo ugayckie (liteowe) pismo fenickie (ludy semickie: alfabet hebajski, aabski, inne) alfabet gecki alfabet zymski (pzejęty pzez ludy gemańskie, słowiańskie, omańskie i wiele innych) Schemat ozwoju pisma, od Sumeów do dzisiaj. koło, bąz, żelazo Rys. Sztanda z U, około 6 p.n.e. Sceny wojenne. 3

4 Wykozystanie wynalazków do celów wojennych. Piewszy az tak jawnie ukazany związek między postępem technicznym a technologią militaną. Cele wojenne piewszy i główny powód wynalazków i postępu technicznego i technologicznego. piła, dłuto, wietło, gwoździe, pieścionki, motyka, siekiea, nóż, miecz, systemy iygacyjne, i wiele innych, w tym biuokacja! Biuokacja (wywodząca od administacji świątyń a później administacji kólów (książąt) sumeyjskich i akadyjskich) jest ównież wynalazkiem Sumeów. II. Gecja i Rzym 1. Achimedes (u. 87 p.n.e zm. ok. 1 p.n.e), Achimedes, Domenico Fetti (16) Wielki matematyk, fizyk, inżynie, odkywca i wynalazca, najwybitniejszy w okesie staożytnym. Jest to jeden z tzech największych odkywców obok Izaaka Newtona i Albeta Einsteina Aichimedes został zamodowany pzez zymskiego żołnieza podczas zdobycia Syakuz na Sycylii (1 p.n.e.) pzez zymskie legiony dowodzone pzez Maka Macellusa podczas dugiej wojny punickiej. Nie uszaj moich kół ostatnie słowa Achimedesa do żołnieza, któy pzebił go mieczem. Osobny poblem to dzieje ostatnich słów wielkich osobistości. Powstały nawet książki na ten temat. 4

5 Inni (niektózy) uczeni staożytnej Gecji:. Demokyt z Abdey (u. ok. 46 p.n.e., zm. ok. 37 p.n.e.) - ozwinął atomistyczną teoię mateii, twoząc piewszy dojzały system filozofii mateialistycznej. Istnieją jedynie atomy i pusta pzestzeń; cała eszta to tylko poglądy. 3. Heon z Aleksandii (1 - ok. 7) staożytny gecki matematyk, fizyk, mechanik, wynalazca i konstukto. Jego największe odkycia i wynalazki to: piewowzó paowej tubiny (bania Heona) maszyny do czepania wody maszyny oblężnicze wzó na pole tójkąta zwany wzoem Heona wzoy na powiezchnię i objętość innych figu geometycznych metody pzybliżonego obliczania piewiastków 4. Pitagoas z Samos (u. 58, zm. 493) gecki matematyk, filozof, mistyk. Twóca szkoły pitagoejskiej. Twiedzenia Pitagoasa pawdopodobnie nie zostało stwozone pzez samego Pitagoasa, lecz pzez jednego z pzedstawicieli szkoły pitagoejskiej i pzypisane mistzowi. Niektóe maksymy Pitagoasa (lub jemu pzypisywane) Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiea. Liczba jest istotą wszystkich zeczy. Muzyka budzi w secu pagnienie dobych czynów. Tak długo jak człowiek będzie zabijał zwiezęta, ludzie będą zabijali się nawzajem. W istocie, ten kto zabija i zadaje ból, nie zazna adości i miłości. Najkótsze wyazy "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia. Nic w nadmiaze. Tudno jest iść pzez życie wieloma dogami jednocześnie. Zły język zdadza złe sece 5. Euklides z Aleksandii (u. ok. 365 p.n.e., zm. ok. 3 p.n.e.). Auto dzieła: Elementy, o geometii i liczbach, któe zostało pzetłumaczone na olbzymią ilość języków, a ilością wydań ustępuje jedynie Biblii. Aksjomaty Euklidesa (5) geometia Euklidesowa. Czy istnieje geometia nieeuklidesowa? W 1899 David Hilbet (XXII wieki później) podał swój zestaw aksjomatów geometii euklidesowej, gdy okazało się, że zestaw Euklidesa zawiea luki. Aksjomaty Hilbeta twozą zestaw aksjomatów zupełny i wolny od błędów. III. Poblemy Achimedesa (niektóe): 1. Obliczeni objętości i powiezchni był całki, dalej achunek óżniczkowy i całkowy (zmoa studentów). Sfeę i walec wyyto na gobowcu Achimedesa.. Obliczenie watości liczby π, 5

6 3. obliczenie powiezchni koła, 4. wyznaczenie długości obwodu koła, Rys. Sfea i walec. Sfea ma /3 powiezchni i objętości walca opisanego na niej. Zadanie: spawdź, czy jest to pawda. Zadanie: jak obliczyć pole powiezchni koła? Zadanie spowadza się do wyznaczenia watości liczby π Rozwiązanie: Wyjść od pola tójkąta, czwookąta, itd. Można opisać, pzybliżyć pole koła popzez pole n-boku. Umiemy policzyć pole powiezchni kwadatu, pięcioboku, sześcioboku,, n - boku. Rys. Pole powiezchni koła Im więcej boków, tym dokładniej znamy pole koła. Dla 96 boków, Achimedes wyliczył, że watość π leży pomiędzy 3 + 1/7 (3.149) i 3 + 1/71 (3.148). Achimedes wyznaczył pole koła S k π 1. Śuba Achimedesa, stosowana do dziś do pompowania wody 6

7 . Pawo Achimedesa: Na każde ciało zanuzone w cieczy (gazie) działa siła wypou ówna, co do watości ciężaowi cieczy wypatej pzez to ciało. Podstawa inżynieii okętowej i budowy statków 3. Zasada dźwigni. Dajcie mi punkt podpacia a pouszę ziemię Inne poblemy: kwadatua koła, kwadatua paaboli, spiala Achimedesa i wiele innych. Pawie wszystkie pisma Achimedesa zaginęły! Znamy tylko fagmenty cytowane pzez innych autoów oaz omówienia jego oyginalnych pac. Zadanie: czana tacza obaca się ze stała pędkością kątowa. Ze śodka taczy usza mówka pouszająca się ze stałą pędkością w kieunku bzegu taczy. Jaki to zakeśli mówka? Odpowiedź: mówka zakeśli spialę Achimedesa (patz ysunek poniżej) Rys. Spiala Achimedesa Rozwiązanie jest badzo poste w układzie biegunowym i tochę badziej skomplikowane w układzie katezjańskim. Tochę matematyki, spiala Achimedesa w układzie biegunowym: 7

8 ϕ c t; aϕ+ b; gdzie a, b, c stałe (constans) Zadanie: Jaki to zakeślą dwie obażone na siebie mówki, gdy zaczną się od siebie oddalać ze stałą pędkością (na obacającej się płycie, czyli w obacającym się układzie współzędnych)? IV. Nauka nowożytna. Izaak Newton (4 styczeń mazec 177) angielski fizyk, matematyk, astonom, filozof i alchemik. IsaacNewton (1689), Godfey Knelle Podstawowe dzieło: Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica (znane jako Pincipia) opublikowane 5 lipca Osiągnięcia Izaaka Newtona: stwozył podstawy mechaniki (3 pawa Newtona), zasada zachowania pędu i momentu pędu, wyjaśnił pawa Keplea (empiyczne), odkył pawo powszechnego ciążenia -> teoii gawitacji, ostatecznie obalił heliocentyzm, optyka (koloy, pyzmat) akustyka i inne. Matematyka: azem z Gottfiedem Leibnizem stwozył achunek óżniczkowy i całkowy. 8

9 V Fizyka Fizyka jest nauką pzyodniczą, któej pzedmiotem badań jest świat mateialny (od miko do wszechświata). Metody badań: obsewacja, ekspeyment. Metody intelektualnego poznania: indukcja, dedukcja: Indukcja: typ ozumowania edukcyjnego wnioskowanie od szczegółu do ogółu. Z pawdziwości acji (wniosków) wnioskujemy pawdziwość następstw (pzesłanek). Zastosowanie: logika, matematyka (indukcja matematyczna) nauki ścisłe, filozofia (!?) nie zawsze (fundamentalna óżnica poglądów). Dedukcja: ozumowanie logiczne mające na celu dojście do okeślonego wniosku na podstawie założonego wcześniej zbiou pzesłanek wnioskowanie od ogółu do szczegółu. Pozwała na pzewidywanie wyników doświadczenia, odkywanie nowych zjawisk. Nawet filozofowie (!!!) uznają popawność ozumowania dedukcyjnego (o ile nie zawiea błędów) Rys. Poznanie otaczającego nas świata Z czego zbudowany jest świat? Jaka jest podstawowa cegiełka z któej zbudowano mateię? Cebula poznania: 9

10 Mateia -> Cząsteczki chemiczne (molekuły) -> Atom (Demokyt, niepodzielny?) -> Jądo atomowe, elektony -> Cząsteczki elementane (? setki: poton, elekton, miony etc, )-> Cząsteczki elementane: leptony i kwaki-> Co dalej? Czy są cząsteczki badziej elementane? Rodziny cząstek: kwaki u d s c t b leptony e ν e µ ν τ µ ν τ Plus: cząstki pośedniczące cząstki pzenoszące oddziaływania 1. Cząstki elementane a) Kwaki, własności Nazwa Symbol Masa (GeV/c ) Ładunek elektyczny Zapach Izospin Antycząstka symbol Down d ~.35-1/3-1 1/ d Up u m u m d /3 +1 1/ u Stange s ~. 5-1/3-1 s Chamed c ~1.5 /3 +1 c Bottom b ~4.5-1/3-1 b Top t 171. ±.1 /3 +1 t b) Leptony, własności Nazwa neutino elektono we neutino mionowe neutino Symb Masa Ładunek Czas życia ol (MeV/c ) elektyczny ν e < (ev/c ) stabilny ν µ <.19 stabilny ν τ <18. stabilny taonowe elekton e ±.511 ±1 stabilny mion µ ± ± taon τ ± ±

11 Pzykład: poton (uud), neuton (ddu).. Cząstki pośedniczące (pzenoszące oddziaływania): foton (oddziaływania elektomagnetyczne, γ), bozony pośedniczące (oddziaływania słabe, W +, W -, Z), gluony (oddziaływania silne) Poblem: Czy masa neutin jest ówna zeo, czy też jest óżna od zea? 1. Doga, czyli cykl poznania: Poznanie: doga od doświadczenia do teoii. Z teoii pzechodzimy do doświadczenia, pzez co powstają nowe teoie, itd. Równie ważne doświadczenie jak hipoteza. Doświadczenie weyfikuje pawdziwość każdej teoii. Dokładniej falsyfikuje teoię, czyli stwiedza jej niepawdziwość. Nie stwiedza się pawdziwość, ale niepawdziwość teoii. Albo tak, albo nie. Teoia pzechodzi test, albo jej nie pzechodzi. Jeśli nie pzechodzi, tafia do kosza na śmieci. Uwaga: kosz na śmieci, czyli to, co odóżnia nauki ścisłe (w tym stosowane - politechniczne) od tzw. nauk humanistycznych. Istotny element nauk (nauk ścisłych) Rys. Cykl poznania 11

12 Po co uczyć się fizyki? Fizyka jest podstawą wszystkich innych nauk ścisłych (chemia a nawet matematyka) oaz nauk stosowanych (nauki inżynieskie) a nawet nauk biologicznych czy humanistycznych (socjologia, lingwistyka). Wszystkie współczesne technologie opate są na odkyciach fizyków: Tanzysto układy scalone pocesoy pzemysł elektoniczny i komputeowy, Lase telekomunikacja, czytniki CD, DVD, HD, BlueRay, Fizyka jest fascynująca, dzięki niej poznajemy otaczający nas świat i sami ten świat możemy zmieniać, Fizyka jest dla ludzi myślących, jest najwspanialszą ludzką pzygodą w dziedzinie intelektu, swoistą gą w poznanie, jaką powadzimy z natuą, Nie wszyscy muszą być fizykami, ale studiowanie fizyki daje podstawy intelektualne do owocnego zajmowania się innymi dziedzinami od studiów inżynieskich, pzez medycynę do pawa. Fizyka daje podstawę do ozumienia zasad działania uządzeń jak: telefon komókowy, dukaka laseowa, tomogaf NMR (medycyna), telewizo LCD, i inne, tak, aby nie być współczesnym analfabetą funkcjonalnym. Źódła: Książki wiele dobych i badzo dobych książek, Stony intenetowe: (* wikipedia *) (* komputeowe demonstacje fizyczne*) oaz wiele innych. Plan wykładu: 1. Podstawy mechaniki klasycznej. a) Kinematyka, b) Dynamika, c) Ruch dgający, oscylatoy. Gawitacja. 3. Elementy hydomechaniki. 4. Elementy akustyki. 5. Elementy temodynamiki fenomenologicznej. a) Mechanizmy tanspotu enegii i ciepła, b) Izolacyjność temiczna. 6. Elektyczne i magnetyczne właściwości mateii. 7. Elektyczność i magnetyzm. 1

13 a) Pole elektyczne, pole magnetyczne, b) Pąd, kondensatoy, obwody elektyczne c) Pawa Maxwella, d) fale elektomagnetyczne 8. Budowa atomu i jąda atomowego. 9. Elementy mechaniki kwantowej. 1. Kwantowa natua mateii i enegii. 11. Poziomy enegetyczne, model pasmowy ciał stałych. 1. Pomieniotwóczość natualna i sztuczna. 13. Elementy fizyki jądowej. 14. Właściwości stanów skupienia mateii. 13

14 Appendix Nośniki oddziaływań (cząstki pzenoszące oddziaływanie): Tabela. Własności cząstek pośedniczących oddziaływanie teoia elektomagnetyczne elektodynamika kwantowa (QED) słabe model standadowy (SM) silne chomodynamika kwantowa (QCD) gawitacyjne teoia gawitacji (kwantowej) symbol γ W +, W - g Z nazwa foton bozony gluony gawiton b pośedniczące masa 8,4 GeV/c a? GeV/c (założone) ładunek (Z), ±1 (W) ozpad stabilny W +, W - hadony τ + ν τ e + ν e µ + ν µ Z hadony, ν l ν l (all l) τ + τ - stabilny stabilny a ładunek koloowy b cząstka hipotetyczna µ + µ - e + e - 14

15 Wykład "Cała nauka to fizyka, eszta to zbieanie znaczków" Si Enest Ruthefod Powyższy cytat wyaża pewien fakt. Fizyka nie zajmuje się zbieaniem suchych faktów (owych znaczków) - jest nauką, któej celem jest poznawanie fundamentalnych paw pzyody. 1. Wielkości fizyczne Wielkość fizyczna, fizyczna właściwość ciała lub zjawiska, któą można odóżnić od innych właściwości (jakościowo) oaz okeślić ilościowo. Podział wielkości: a) skalane: masa, doga, czas, b) wektoowe: pędkość, siła, pęd, natężenie pola elektycznego; c) tensoowe: podatność elektyczna, podatność elektyczna, spężystość, polayzacja a) skala masa, czas, ładunek, itp. [m] [kg], [t][s], [d][m], Pzykład: doga s w uchu 1D. s v t; doga wyażana w metach, kilometach, milach etc. Doga jest ówna iloczynowi pędkości i czasu w uchu jednostajnie postoliniowym! Pędkość doga/czas (jednostka pochodne) v s/t [v] [km/h, km/s, m/s, itd.] b) wektoy: pędkość, pzyspieszenie, siła, pęd, moment pędu, natężenie pola magnetycznego, elektycznego, etc. Większość wielkości fizycznych to wektoy! Niezbędna znajomość achunku wektoowego. Pzykład: pędkość w uchu 3D v [ vx, vy, vz ] [ v1, v, v3] { vi} i 1,,3 1

16 c) Tenso Rys. 1 Tenso napężeń w ciele stałym Tenso napężeń: σ x τ xy τ xz σ ij τ xy σ y τ yz { τ i j} i, j x, y, z 1,,3 τ xz τ yz σ z gdzie σ, σ, σ - składowe nomalne; x xy y xz z τ, τ, τ - składowe ścinające. yz Tenso napężeń opisują dwa indeksy: i, j. Tenso napężeń jest maciezą zędu dugiego, albo tensoem zędu dugiego. Pawo Hooka: F S l E l lub σ Eε F S l l gdzie σ napężenie, ε odkształcenie (względne) Skala, wekto, tenso to są wszystko tensoy zędu odpowiednio:, 1,. Skala jest tensoem zędu zeowego lub liczbą zeowymiaową.

17 Wekto tenso jednowymiaowy. Tenso może mieć, 3 4, n, wymiaów. Wszystkie wielkości fizyczne to tensoy. 4. Układ jednostek Układ SI miłościwie nam panujący dzięki Fancuzom i ich manii zwalczania wpływów anglosaskich. Układ SI zawiea: 7 jednostek podstawowych: o met - m - podstawowa jednostka długości, o kilogam - kg (oyginalnie gaw - G) - podstawowa jednostka masy, o sekunda - s - podstawowa jednostka czasu, o ampe - A - podstawowa jednostka natężenia pądu elektycznego, o kelwin - K - podstawowa jednostka tempeatuy, o mol - mol - podstawowa jednostka liczności mateii, o kandela - cd - podstawowa jednostka światłości, natężenia światła, jednostki uzupełniające: o adian - ad - jednostka miay kąta płaskiego, o steadian - s - jednostka miay kąta byłowego, jednostki pochodne, spójne z jednostkami podstawowymi i uzupełniającymi, pzedostki SI. Jednostki pochodne: a) siła [N]kg m/s niuton; b) ciśnienie [Pa] kg /(ms ) Pascal; c) ładunek elektyczny [C]1As Coulomb; i wiele innych. Kinematyka 1. Wektoy Wekto upoządkowana paa punktów. Tzy wielkości, chaakteyzujące wekto: Zwot kieunek Watość (długość moduł wektoa) Rodzaje wektoów: a) swobodne; a b) w układzie współzędnych (3D). a a, a, a ] [ x y z 3

18 Działania na wektoach: 1. Mnożenie pzez liczbę, c a. Dodawanie (odejmowanie) wektoów a+ b, a b Rys. 3 Gaficzne dodawanie wektoów Na ys. 3 pzedstawiono gaficznie eguły dodawania wektoów swobodnych. Zaznaczono sumę: a+b, oaz óznice: a-b, b-a. 3. Mnożenie wektoów; a) Skalane; b) Wektoowe; Iloczyn skalany wektoów a b a b cos ( a, b) a b a b + a b + a b x x y y Własności a) Pzemienny b) ówny zeo dla wektoów postopadłych z z Iloczyn wektoowy Własności wektoa (do wyznaczenia) a) kieunek (postopadły do obu wektoów) b) zwot (eguła pawej dłoni lub śuby pawoskętnej) c) watość, długość wektoa 4

19 5 ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ), ( sin x y y x z z x x z y y z z y x b a b a e b a b a e b a b a e b a b a b a b a + + Własności iloczynu wektoowego pokazano na ys. 4. Rys. 4 Iloczyn wektoowy Własności iloczynu wektoowego: a) niepzemienny a b b a b) ówny zea dla wektoów ównoległych c) pole powiezchni ównoległoboku ozpiętego na tych wektoach 4. Nomalizacja wektoa Wekto jednostkowy, nomalizacja wektoa Rys. 5 Nomalizacja wektoa

20 6 Wekto i weso. 1 ) ˆ( ) ˆ( ) ( ) ( t a t a t a t a Pochodna wektoa Jeżeli wekto zmienia się (nie jest stały) np. w funkcji czasu, można policzyć pochodną tego wektoa względem czasu. ; dt d v ; dt dv a Użyteczne tożsamości wektoowe: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a c b b a c c b a c a b b c a c b a a c b b c a c b a. Ruch postoliniowy 1D To linia posta, pędkość stała. Rys. 6 Ruch jednostajny, postoliniowy Znane wzoy na uch jednostajny postoliniowy:

21 s v t; s v ; t v a ; t pędkość śednia i śednie pzyspieszenie Ruch jednostajnie pzyśpieszony (1D) Pzyśpieszenie stałe, to linia posta. i v v ± at; x v t± 1 at v v + a s ównanie Toicellego Zadanie: 1. Rzut pionowy. Znaleźć ównania uchu dla zutu pionowego. 3. Ruch punktu mateialnego. Ruch 3D. Układ odniesienia jest nieuchomy. Jego położenie nie zmienia się, układ ani się nie pzesuwa ani się nie obaca. Rys. 7 Położenie punktu wekto wodzący 7

22 v v a [ x, y, z] [ v x [ a x, v y, a, v y z, a z ] ] Wekto wodzący: eˆ x+ eˆ y+ eˆ x gdzie wesoy są zdefiniowane następująco: y e ˆ [1,,], eˆ [,1,], eˆ [,,1] x y z Wesoy spełniają waunek (spawdzić!): eˆ eˆ x x y eˆ eˆ y eˆ z z z Pędkość (pochodna wektoa): d v ; v [ vx, vy, vz ] dt v d x d y ; vy ; v dt dt x z d z dt Pzyśpieszenie: dv a ; a [ ax, ay, az ] dt a dv dt d x dt dv d y dt dv dt x y z x ; a ; a y z dt d z dt Zadanie: 1. Rzut ukośny. Znaleźć ównania uchu i ównie tou dla zutu ukośnego. 8

23 Ruch kzywoliniowy Ruch 3D. Pzypadek ogólny. Układ odniesienia nie jest nieuchomy. Jego położenie zmienia się, układ może się obacać. Rozkładamy wekto wodzący na funkcję skalaną i weso (ys. ). ( t) ˆ( t) ( t) eˆ ( t) ( t) Policzyć pędkość i pzyśpieszenie. 1. Pędkość v d dt d(ˆ e ( t) ( t)) dt eˆ d dt + deˆ dt gdzie ê weso wektoa. Zadanie: wykazać, że pochodne wektoa jednostkowego spełniają związek (pochodna wektoa): gdzie: deˆ dϕ eˆϕ dt dt deˆ ϕ dϕ eˆ dt dt ˆ eˆ e ϕ Wesoy ˆ Pędkość: e, eˆ ϕ są postopadłe względem siebie. d deˆ d dϕ v eˆ + eˆ + eˆ ϕ eˆ & + eˆ & ϕϕ eˆ & + eˆ ϕω dt dt dt dt Wekto pędkości ma składowe: 9

24 d dϕ d d v,, ω, v dt dt dt dt gdzie dϕ ω dt pędkość kątowa, patz ysunek poniżej Rys. 8 Pędkość kątowa Związek między pędkością liniową a kątową: v ω W pzypadku gdy wekto pędkości kątowej i wodzący są postopadłe otzymujemy związek; vω Pędkość ma dwie składowe: adialną i styczną (ys. 9). 1

25 Rys. 9 Pędkość, składowa styczna i adialna a) składowa styczna pędkości v s ω iloczyn pomienia i pędkości kątowej, b). Pzyśpieszenie: v d dt ówna zmianie pomienia (w czasie) Pzyśpieszenie wyznaczymy zgodnie z definicją pzyspieszenia: óżniczkując wzó na pochodną. dv a eˆ (&& ω ) eˆ ϕ (ω& & + + ω) dt Wekto pzyspieszenia ma dwie składowe, styczną i adialną: a [&& ω, ω& + & ω] 11

26 Zadanie: spawdzić powyższy wzó! Rys. 1 Pzyśpieszenie: składowa styczna i adialna pzyśpieszenia a) składowa styczna pzyśpieszenia: a s ω& + & ω ω & + ε gdzie ε jest pzyśpieszeniem kątowym. Pzyśpieszenie kątowe (jego watość) definiujemy jako: dω ε dt d ϕ ; dt b) składowa nomalna (adialna) pzyśpieszenia, a n & ω Pzejdźmy do głębszego wglądu w powyższe wzoy, na pzykładach ze szkoły śedniej. Intepetacja poszczególnych wyażeń. Pzykłady. 1. Ruch po okęgu ze stalą pędkości liniową: 1

27 Ciało pousza się po okęgu ze stała pędkością liniową i pędkością kątową. Okąg to kzywa o stałym pomieniu. Oznacza to, że nie ma zmian długości pomienia. const; ω const; & & ω Ruch po okęgu ilustuje poniższy ysunek. Rys. 11 Ruch po okęgu ze stała pędkością Równanie uchu (zakładając początek uchu na osi X): x( t) cos( ω t) y( t) sin( ω t) Pędkość w uchu po okęgu ze stała pędkością: d dϕ v, [, ω] dt dt A pędkość (długość wektoa) jest ówna: 13

28 v v + vs ω Z ównań uchu otzymujemy: v v x y v dx dt dx dt v x ω sin( ω t) ω cos( ω t) + v y ω Pędkość będzie miała tylko składową styczną. Zgodność ezultatów. Pzyśpieszenie będzie ówne: v a [&& ω, ω& + & ω] [ ω,] [ v a a + as ω Albo z ównań uchu:,] a a x y a dv dt dv dt a x y x ω cos( ω t) ω sin( ω t) + a y ω Podobnie otzymujemy pełną zgodność wyników na pzyspieszenie. Składowa styczna pzyśpieszenia jest ówna zeo. Ale składowa adialna jest óżna od zea. W uchu po okęgu ze stałą pędkością kątową na ciało działa stałe pzyspieszenie skieowane wzdłuż pomienia. Jest to pzyśpieszenie dośodkowe (składowa adialna pzyśpieszenia) a a dos v ; 14

29 . Ruch po okęgu ze zmienną pędkości liniową Załóżmy że ciało pousza się po okęgu, ale jego pędkość liniowa (i tym samym kątowa) ulega zmianie. Pojawi się dodatkowa składowa pzyśpieszenia: pzyśpieszenie styczne. Rys. 1 Ruch [o okęgu ze zmienną pędkością Dla uchu po okęgu ze zmienną pędkością liniową (kątową) otzymamy następujące pzyśpieszenie: a v [ dv, ] dt Pzyśpieszenie będzie miało niezeowe składowe nomalne (adialne) i styczne. Watość wektoa pzyśpieszenia, pzyśpieszenie będzie miało watość: a v + dv dt Tyle wyniesie całkowite pzyśpieszenie ciała. 15

30 Jeżeli pomień dąży do nieskończoności, wówczas znika składowa adialna pzyśpieszania. Jednie dla tou linii postej, znika składowa adialna pzyśpieszenia! Jeżeli jeszcze dodatkowo ciało będzie się pouszać po linii postej ze stałą pędkością, wówczas i składowa styczna pzyśpieszenia będzie ówna zeo. Otzymamy pzypadek uchu jednostajnie postoliniowego. Tylko i wyłącznie dla uchu jednostajnie postoliniowego pzyśpieszanie jest ówne zeo! Waunki na uch jednostajnie pzyspieszony: a) to linia posta, kzywizna nieskończona; b) pędkość stała. Paktycznie takiego uchu nie ma. W pzypadku każdego innego uchu po każdej innej kzywej (nie będącej linią postą) mamy uch pzyśpieszony, gdzie pzyśpieszenie jest óżne od zea. W szczególności każdy uch kzywoliniowy, czyli taki, któego toem nie jest linia posta, jest uchem pzyśpieszonym.. Pzyśpieszenie Coiolisa. Wóćmy do wzou na pzyśpieszanie (w uchu kzywoliniowym), a [&& ω, ω& + & ω] wstępuje w nim jeden szczególny czynnik, nosi on nazwę pzyśpieszenia Coiolisa. a c ω& ωv Dokładna definicja pzyśpieszenia Coiolisa (wekto!) jest następująca: a v c ω lub po pomnożeniu pzez masę ciała otzymamy siłę Coiolisa: F mv c ω Działająca na ciało o masie m, pouszające się z pędkością v w układzie współzędnych obacającym się z pędkością kątową ω. 16

31 Rys. 13 Siła Coiolisa. Znaczenie pzyśpieszenia Coiolisa. Pzyśpieszenie Coiolisa występuję wszędzie tam, gdzie mamy niezeową pędkość kątową i niezeową pędkość. Gdzie możemy siłę (pzyśpieszanie) Coiolisa zaobsewować w natuze? Na Ziemi. Ziemia jest planetą wiującą ze stała pędkością kątową. Na każde ciała pouszające się ze pewną pędkością względem ziemi, będzie działać siła Coiolisa, tym większa im szybciej to ciało się pousza. Siła Coiolisa niezbędna pzy steowaniu pociskami, akietami, samolotami. Pzykład paktyczny poniżej. Rys. 13 Zdjęcie satelitane.eden z huaganów nad zatoką Meksykańską. Tajfuny, tonada, huagany, cyklony, czyli tzw. buze wiowe: objaw i widoczny skutek istnienia i działania siły Coiolisa. 17

32 Wykład 3 "Ciasna to chatka, dusza moja" św. Augustyn, Wyznania Dynamika punktu mateialnego 1. Zasady dynamiki Newtona Definicja pędu ciała o masie m, pouszającego się z pędkością v: p v m jest to pęd cząstki. Zasady dynamiki Newtona I. F p const II. III. F dp dt F AB F BA IV. Zasada supepozycji (niefomalna) F F 1 + F + K+ F n F i Siły są wektoami i dodają się jak liniowa suma wektoów: i Objaśnienia (kótkie) I zasada dynamiki (zasada Galileusza) definicja układu inecjalnego. Każde ciało, na któe nie oddziałuje żadna siła, albo oddziałujące siły się ównoważą, pousza się uchem jednostajnym postoliniowym. 1

33 Istnieją układy inecjalne, w któych obowiązuje I zasada Newtona (Galileusza) oaz układy nieinecjalne. I zasada dynamiki jest definicją układów inecjalnych, i tym samym układów nieinecjalnych. Układy nieinecjalne są to te wszystkie układy, któe nie są inecjalne. Inne sfomułowanie I zasady dynamiki Newtona. Definicja: Układem inecjalnym nazywamy układ odniesienia w któym: pzestzeń jest homogeniczna i izotopowa czas jest homogeniczny Homogeniczny oznacza jednoodny. Pzestzeń jest homogeniczna i izotopowa waunek ten oznacza, iż żaden punkt pzestzeni ani żaden kieunek w pzestzeni nie jest wyóżniony. Homogeniczność czasu oznacza, że żaden moment w czasie nie jest wyóżniony, czyli wszystkie chwile (punkty) czasu są takie same (tu zaczyna się teoia względności) Wynikają z tego ważne waunki. Okazuje się, że mając dany jeden układ inecjalny, wówczas układy pzesunięte względem układu inecjalnego układy obócone względem układu inecjalnego układy pouszające się ze stałą pędkością względem układu inecjalnego układy, w któych czas jest pzesunięty względem układu inecjalnego wszystkie te układy są układami inecjalnymi (tansfomacja Galileusza). Podać pzykłady układów inecjalnych i nieinecjalnych. II zasada dynamiki II zasada dynamiki Newtona opisuje uch ciał o zmiennej pędkości i zmiennej masie. Siła jest popocjonalna do pzyśpieszenia a współczynnikiem popocjonalności jest masa. W ównaniu (1) zakładamy, że ciało ma stałą masę, a to oznacza, że możemy je pzekształcić w następujący sposób: F dp dt d( m v) dt Postać II zasady dynamiki ze szkoły: F m a m dv dt m a (1)

34 Szczególny pzypadek II zasady dynamiki uch ciała o stałej masie. Równanie ogólna postać II zasady dynamiki Newtona opisuje ównież uch (dynamikę) ciał o zmiennej masie. Pzykłady uchu ciała o zmiennej masie a) akieta; b) cząstka elatywistyczna. II zasada dynamiki jest ównaniem óżniczkowym zędu 1-szego. Ale pędkość to pochodna wektoa wodzącego, stąd otzymujemy ównanie: F m dv dt m d dt Gdy działająca siła jest stała (F const) spawa jest posta. Ciało pousza się uchem jednostajnie pzyspieszonym. Poblem powstaje, gdy siła F nie jest stała, np. zmienia się w czasie. Gdy siła F nie jest stała, musimy ozwiązać układ 3 ównań óżniczkowych zędu -go (w pzestzeni 3D). F F F x y z d x ( t) m dt d y ( t) m dt d z ( t) m dt Pamiętamy, że wekto wodzący punktu ma współzędne: [ x, y, z] Co się dzieje, gdy mamy wiele sił działających na ciało mateialne? Stosujemy zasadę supepozycji (IV zasadę dynamiki) Obliczamy siłę wypadkową (geometycznie, suma wektoów sił): F F1 + F + K+ F n, I stosujemy II zasadę dynamiki Newtona, tak jakby na ciało działa tylko jedna siła F. (3) (3) 3

35 III Zasada dynamiki Siłą eakcji jest ówna co watości sile akcji, lecz jest pzeciwnie skieowana. (5) F AB F BA. Pzykłady sił. 1. Siła tacia Rys. Ilustacja tzeciego pawa Newtona. F T µ N. Siłą spężystości spężyny (1D) F k x 3. Siła opou powietza F T v k Równania Newtona podstawa fizyki klasycznej: mechanika (klasyczna), teoia gawitacji (klasyczna), pąd w pzewodniku, i wiele innych. Zasady dynamiki Newtona opisują doskonale uch makoskopowego ciała w waunkach nomalnych, czyli takich, z jakim mamy do czynienia w naszym świecie. Zawodzą jednak dla: a) badzo małych ciał: molekuły, atomy, elektony, itd., (mechanika kwantowa) 4

36 b) dla ciał pouszających się z badzo dużą pędkością mechanikę elatywistyczną STW. c) dla badzo silnych pól gawitacyjnych tutaj ma zastosowanie ogólna teoia względności (OTW). d) Istnieje ównież szeeg zjawisk makoskopowych, któych nie można wytłumaczyć na bazie mechaniki klasycznej (ZDN) jak: pzewodnictwo w półpzewodniku, nadpzewodnictwo, własności optyczne mateiałów, magnetyzm. 3. Układy inecjalne Układy, w któych spełniona jest piewsza zasada dynamiki Newtona (zasada Galileusza). Weźmy dwa układy odniesienia pouszające się względem siebie ze stałą pędkością. Pzejście między jednym a dugim układem znajdujemy kozystając z tansfomacji Galileusza: v v v + t+ ' (6) v Zaś pędkość jest ówna (dodaje się wektoowo): v v + v' (6a) Rys. Dwa układy odniesienia tansfomacja Galileusza Pzykłady układów inecjalnych: a) winda pouszająca się ze stała pędkością; b) samochód (statek) pouszająca się ze stała pędkością (to linia posta); 4. Nieinecjalne układy odniesienia. Siła bezwładności Obliczając dwukotną pochodną ównania na tansfomację Galileusza (8) otzymamy ównanie: a a + a' (1) 5

37 gdzie a to pzyśpieszenie układu. Nawet gdy a a', ciało ma zeowe pzyśpieszenie względem obydwu układów, to i wówczas a. Ciało ma niezeowe pzyśpieszenie wynikające z pzyśpieszenia układu odniesienia. Nawet gdy na ciało nie działa (a ), to w pzypadku układów nieinecjalnych na ciało działa siła nazywana siłą bezwładności. F b m a (13) Pzykład: a) gwałtownie hamujący samochód, pociąg, itp. b) winda - jako pzykład układu inecjalnego, c) winda, jako pzykład inecjalnego, d) układ obacający się ze stałą pędkością kątową siła Coiolisa Kiedy winda jest układem inecjalnym a kiedy nienecjalnym? Zadanie: Jaką masę (cięża) ciała wskaże waga umieszczona w pouszającej się windzie? Rozpatzyć pzypadki, gdy: a) winda pousza się ze stałą pędkością (skieowaną do góy i w dół), b) gdy winda pousza się ze stałym pzyśpieszeniem (skieowanym do góy i w dół), c) gdy widna jest nieuchoma. 1. Enegia kinetyczna II zasada dynamiki (Newtona). Pomnóżmy ją pzez pędkość: dv F v m v dt Otzymamy ównanie: d m dt 1 v d 1 m v dt F v gdzie T dt dt 1 m v jest to enegia kinetyczna () 6

38 Jednostki: T jest to wielkość wyażona Joulach: m [ T ] kg 1N m 1 J s [J] 1 Joul (jednostka enegii), [N] 1 Newton (jednostka siły), [ F] 1N Paca i moc kg m s Wóćmy do ównania (1), po pzekształceniu: F v dt dt (3) Po scałkowaniu (ozwiązaniu powyższego ównania) otzymamy T T 1 dt t t 1 F v dt 1 F d (4) gdzie 1, oznaczają punkt początkowy i końcowy uchu zaś, 1, T, T 1 położenie i enegię punktów 1 i. Wielkość: W (1 ) F 1 d (5) W nazywamy pacą. ( 1 ) jest to paca, jaką należy wykonać pzy pzesunięciu ciała z punktu 1 do punktu. Wzó (5) podaje definicję pacy całkowitej na dodze między punktami 1 i. Możemy obliczyć ównież badzo małą pacę wykonaną pzy pzesunięciu ciała na dodze d (nieskończenie małe pzesunięcie). Paca taka będzie ówna: dw F d (6) 7

39 Rys. Paca wykonana pzy pzesunięciu ciała z punktu 1 do punktu W F cos(α) W pzypadku, gdy siła F jest stała i twozy stały kątα z pzesunięciem: paca siły F wykonaną pzy pzesunięciu ciała na dodze s wynosi: W F s cos(α) (7). gdy siła jest ównoległa do pzesunięcia: W F s (7a). Moc jest to paca wykonana w danym czasie, czyli jest to pochodna pacy po czasie. Moc definiujemy jako: dw P (8). dt 8

40 Łatwo wykazać, że: P F v (9). Moc możemy obliczyć pzez iloczyn siły i pędkości. Gdy wykonywana paca w jednostce czasu jest stała otzymamy posty związek między mocą i pacą: W P (1) t Jednostką mocy w układzie SI jest 1 Wat 1 J/s. Jednostki pochodne: kw, MW, GW. Zadanie: 1. W czasie wyścigu kolaze wspinają się na oweach na szczyt góy. Któy kolaz zwycięży w wyścigu? Ten, któy wykonał największą pacę? Czy ten, któy ma największą moc?. Enegia potencjalna Wzó na pacę możemy pzedstawić w postaci: W (1 ) ( 1 1 F d F d ) ( Wpowadzając oznaczenie: 1 F d + F d ) F d (1). U ( ) 1 U ( ) 1 F d F d (13), 9

41 otzymamy następującą zależność: W (1 ) U ( 1) U ( ) ( U ( ) U ( 1)) U (14). Paca W( 1 ) wykonana pzy pzesunięciu ciała z punktu 1 do punktu ówna jest U óżnicy enegii potencjalnej w tych dwóch punktach. Enegia potencjalna w punkcie ówna jest pacy wykonanej pzez siłę F pzy pzesunięciu ciała z punktu odniesienia ef do punktu. U v ) F d ( (15) ef Punkt odniesienia ef zazwyczaj dobieany tak, aby enegia potencjalna w tym punkcie była ówna zeo: U( ef ). Należy zwócić uwagę na znak w ównaniu (15). Znak jest ujemy! U () v - enegia potencjalna w punkcie jest ówna pacy, jaką należy wykonać pzeciwko sile F, aby pzesunąć ciało z ef do. Siła, z jaką musimy działać, jest ówna co do watości lecz ma pzeciwny znak stąd mamy znak minus w ównaniu (15) Enegia potencjalna jest wielkością (funkcją) skalaną. Enegia potencjalna twozy pole skalane. Każdemu punktowi w pzestzeni pzypoządkowujemy pewną watość (liczbę): enegię potencjalną w tum punkcie. Możemy połączyć punkty o tej samej watości. Otzymamy wówczas tzw. powiezchnie ekwipotencjalne. Powiezchnie o stałej enegii potencjalnej (potencjale) nazywamy powiezchniami ekwipotencjalnymi. Weźmy uch jednowymiaowy (1D, zmienna x), otzymamy ównanie: du ( x) F( x) d x (16) Pzykład: 1) pole gawitacyjne w pobliżu powiezchni Ziemi Założenie: pole gawitacyjne jest stałe. Założenie jest spełnione pzy niewielkich pzesunięciach. Swobodny spadek w dół ciała o masie m uch 1D 1

42 F m g (17) Enegia potencja związana z tak zdefiniowaną siłą gawitacji będzie ówna: U ( h) h h F d m g dx mgh (18) enegia potencjalna w pobliżu powiezchni Ziemi. Zakładamy tutaj, że na poziomie enegia potencjalna jest ówna. Zadanie: Dlaczego bieg jest badziej męczący niż masz? Dlaczego jazda na oweze jest szybsza od biegu? ) Ciało zawieszone na spężynie w współczynniku spężystości k Rys. 1. Oscylato hamoniczny. Kozystając z (15) obliczmy enegię potencjalną spężyny: x x 1 ( kx) dx k x dx k (19) U ( x) x Enegia potencjalna spężyny jest kwadatową funkcją odkształcenia (wydłużenia, skócenia) spężyny. Elastyczna enegia potencjalna. Zastosowanie: łuk, kusza oaz katapulty, balisty i inne uządzenie miotające, wykozystujące do zutu enegię potencjalną elastyczną. W ogólnym pzypadku (uch 3D) zależność pozwalająca wyznaczyć siłę, gdy znamy enegię potencjalną jest tochę badziej skomplikowana 11

43 F( ) U ( ) gadu ( ) () Opeato nabla ( ) lub gadient jest wektoem (pseudowekto) i w układzie katezjańskim (x, y, z) ma postać następującą: ex + ey + ez x y z,, x y z (1) Opeato nabla ( ) w układzie katezjańskim ma składowe ówne pochodnej kieunkowej w kieunku osi x, y, z. Gadient jest wektoem wskazującym maksimum zmian watości funkcji. W istocie nie zawsze spełniony jest związek 15. Nie dla każdej siły da się skonstuować enegię potencjalną! Siły, dla któych istnieje enegia potencjalna, nazywanym siłami zachowawczymi. Pole sił F jest polem zachowawczym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje enegia potencjalna spełniająca ównie F( ) U ( ) gadu ( ) () Dla siła zachowawczych paca wykonana pzy pzesunięciu ciała nie zależy od dogi, po któej ciało zostało pzemieszczone (patz ys. 3). Rys. 3. Doga dla siła zachowawczych. Paca wykonana pzez siły zachowawcze po każdej z dóg: 1,, 3 jest tak sama. Paca siły zachowawczej zależy tylko od położeń punktu początkowego i punktu końcowego. Mamy stąd ważny wniosek. F( ) d (3) 1

44 Paca siły zachowawczej po dowolnej dodze zamkniętej jest ówna zeo!. Doga zamknięta punk końcowy pokywa się punktem początkowym. Pzykłady sił zachowawczych: a) pole gawitacyjne F M m G v pawo powszechnego ciążenia. Enegia potencjalna będzie ówna: v U ( ) F d GMm d GMm (4) Enegia potencjalna pola gawitacyjnego jest funkcją zaówno masy M ( masy źódłowej ) jak i masy m ( masy póbnej ). Możemy zdefiniować wielkość niezależną od masy póbnej. Jest nią potencjał pola gawitacyjnego. v v U ( ) ( ) m GM ϕ (5) Pole gawitacyjne jest polem wektoowym. Definiuje je F siła i E natężenie pola. Pzykłady pół zachowawczych: a) pole gawitacyjne (pawo powszechnego ciążenia) b) pole ładunku punktowego (elektostatyka) Siły niezachowawcze, np. siła tacia. 3. Zasada zachowania enegii Wóćmy do ównania (1): F v dt dt po pzekształceniu tegoż ównania otzymujemy: 13

45 T T 1 dt 1 F vdt 1 F d (8) W wyniku otzymujemy ównanie: lub T Zależność: T1 U T + ( U 1) + U T1 U1 T + U const (9) nazywamy zasadą zachowania enegii (ZZE). Zasada zachowania enegii: w polu sił zachowawczych całkowita enegia układu, ówna sumie enegii kinetycznej i potencjalnej, jest wielkością stałą. Jest to jedna z fundamentalnych własności naszego świata. Każdy układ (system) opisany jest pzez pewną wielkość, któa nie zmienia się, jest zachowana, niezależnie od pzemian, jakim ten układ podlega. Wielkość tę nazywamy enegią, a tę zasadę zasadą zachowania enegii. ZZE stosowana w fizyce, matematyce (opis), chemii, biologii, astonomii, kosmologii, inżynieii, i wielu innych dziedzinach. Nie znaleziono żadnych zjawisk spzecznych z ZZE żadnych wyjątków! ZZE obowiązuje dla 1,, n ciał, skończonej, jaki i nieskończonej ilości ciał. Pzykład: gaz zbió badzo wielkiej (nieskończonej) ilości cząstek swobodnych. Temodynamika - pawa temodynamiki. 14

46 Dodatek matematyczny 1. Całka nieoznaczona Całką oznaczona funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x), f x) dx F( x) + C ( (A1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest związek: F '( x) f ( x) (A) Funkcję F(x) nazywamy funkcją piewotną funkcji f(x), x to zmienna całkowania, C stała całkowania. Podstawowe własności całki oznaczonej: a) całka sumy jest ówna sumie całek (addytywność) ( f ( x) + g( x)) dx f ( x) dx+ g( x) dx (A3) b) wyłączne stałej pzed całkę (jednoodność) a f ( x) dx a f ( x) dx (A4) Całki podstawowych funkcji 1dx x+ C; n+ 1 n x x dx + C; n+ 1 1 x dx ln x+ C; x e dx e x + C; sin xdx cos x+ C; cos x dx sin x+ C; (A5) 15

47 1. Całka oznaczona b Rys. Całka oznaczona f ( x) dx F( b) F( a) (A6) a całka oznaczona jest ówna polu powiezchni pod funkcją f(x). 16

48 Wykład 4 Zasady zachowania i pole gawitacyjne 1. Zasada zachowania enegii Zależność: T + U const (4) nazywamy zasadą zachowania enegii (ZZE). Zasada zachowania enegii: w polu sił zachowawczych całkowita enegia układu, ówna sumie enegii kinetycznej i potencjalnej, jest wielkością stałą. Jest to jedna z fundamentalnych własności naszego świata. Każdy układ (system) opisany jest pzez pewną wielkość, któa nie zmienia się, jest zachowana, niezależnie od pzemian, jakim ten układ podlega. Wielkość tę nazywamy enegią, a tę zasadę zasadą zachowania enegii. Waunek: działające siły muszą być zachowawcze. Co to jest pole sił zachowawczych? Paca wykonana polu sił zachowawczych nie zależy od dogi a od położenia punktów początkowego i końcowego uchu. Stąd wniosek: paca wykonana po dowolnej dodze zamkniętej (punk końcowy pokywa się punktem początkowym) jest ówna zeo. Dla siły zachowawczej: F( ) d (5) Pzykład a) Ruch hamoniczny siła jest ówna F kx (1) Enegię potencjalną wyznaczymy kozystając z ównania 4: kx U ( x) F( x) dx (11) 1

49 Enegia potencjalna spężyny jest kwadatową funkcją ozciągnięcia spężyny U ( x) x. Obliczmy ównanie uchu ciała kozystając z ównania 9. t( x) t x x dx kx ( E m ) (1) Znamy zależność (tablice całek): dx x acsin( ) + C a x a (13) Kozystając z tej całki obliczamy watość całki (1) i otzymujemy następujące ównia uch ciała wykonującego uch hamoniczny: E k x( t) sin( ( t t)) m m (14) Jest to ównanie jest identyczne z ównaniem uchu hamonicznego. x ( t) Asin( ωt ϕ)) (15) Zadanie: Wykazać kiedy ównania 14 i 15 są identyczne. Pęd i zasada zachowania pędu dp F dt (16) II zasada dynamiki Newtona, gdzie pęd to: p m v (17)

50 Jeżeli działające siły są ówne zeo: dp F dt Oznacza to, że: pconst (18) Zasada zachowania pędu: jeżeli na układ nie działa żadna siła (lub działające siły się ównoważą) to całkowity pęd układu nie ulegnie zmianie (jest zachowany). F p const (19) ZZP jest to ównanie wektoowe, czyli jest to układ 3 ównań skalanych (óżniczkowych zędu 1 szego) dla uchu 3D Mówmy, że p (pęd) jest całką uchu. Pzykład: a) zdezenia kul Zdezenia kul mogę być: a) elastyczne spełniona jest zasada zachowania pędu (pęd pzed i po zdezeniu jest jednakowy) i zasada zachowania enegii (enegia pzed i po zdezeniu jest jednakowa); b) nieelastyczne spełniona jest zasada zachowania pędu, zasada zachowania enegii nie jest spełniona część enegii zużywana jest na odkształcenie plastyczne; Zdezenie elastyczne: dwie kule biladowe zdezają się nie tacąc enegii. Spełnione są zasady zachowania: mu 1 1 mu mv 1 1+ mv + ZZP 3

51 1 1 1 m 1u mu 1 mv 1 1 mv 1 ZZE 1 Rozwiązując powyższy układ ównań znajdujemy pędkość kul po zdezeniu Zdezenie nieelastyczne: dwie kule (śnieg, plastelina) zdezają się i łączą po kolizji. Spełniona jest tylko zasada zachowania pędu: mu mu ( m m ) v + ZZP Moment pędu i II zasada dynamiki dla uchu obotowego Moment pędu (definicja): L p m v () moment siły (definicja): M F (1) Policzmy pochodną momentu pędu: dl dt d ( p) dt d dt p + dp dt (1) Wiemy, że d dt p v p (dlaczego?). Z ównania 1 otzymujemy zależność: 4

52 dl dt dp dt v F M Równanie dl M () dt jest II zasadą dynamiki dla uchu obotowego. Pochodna po czasie momentu pędu jest ówna momentowi siły. Poównanie II zasady dynamiki dla uchu obotowego i uchu postępowego : F dp dt M dl dt pęd, siła moment pędu, moment siły to: 4. Zasada zachowania momentu pędu M v dl dt Lconst (3) (4) Jeżeli całkowity moment siły działającej na układ jest ówny zeo to całkowity moment pędu układu nie ulegnie zmianie (jest zachowany). Jest to teść zasady zachowania momentu pędu M L const (5) ZZMP jest to ównanie wektoowe. Dla uchu 3D jest to układ 3 ównań skalanych (óżniczkowych zędu 1 szego). 5

53 Mówmy, że L jest całką uchu. Pzykłady ZZMP: owe, żyoskop, tanceka (jazda figuowa na lodzie), inne 5. Pole gawitacyjne. Pawa Keplea Pawo powszechnego ciążenia: F Mm G v (6) gdzie G stała gawitacji, (stała uniwesalna) G x 1-11 [N m kg - ] (układzie SI) Siła gawitacji: 1. nadaje cięża każdemu ciału (oddziaływanie gawitacyjne Ziemia ciało) o masie spoczynkowej óżnej od zea. oddziaływanie gawitacyjne Słońca tzyma planety na ich obitach, 3. siła gawitacji twozy stuktuę Wszechświata Rysunek poniżej pzedstawia gomadę galaktyk MS154-3 położoną o 8 mld lat świetlnych od Ziemi. Jest to jedna z najdalszych gomad galaktyk. Astonomowie wyodębnili w niej 81 galaktyk, z któych 13 znajduje się na kusie kolizyjnym. Gomada galaktyk MS154-3 jest to gomada z największą liczbą kolidujących galaktyk. 6

54 Rys. 1 Gomada galaktyk MS154-3 Siły gawitacji są najsłabsze i pomijalne w skali mikoskopowej. Dlaczego? Badzo mała watość stałej G! Własności siły gawitacji Siła gawitacji jest siłą centalną. Siły centalne są to siły, któe możemy zapisać postaci: F( ) F( ) F( ) ˆ (7) Dla sił centalnych: v M F F( ) ˆ ˆ (8) moment pędu jest zawsze zachowany M L const 7

55 Pole gawitacyjne to pzykład siły centalnej. Zatem w każdym układzie ciał, oddziałujących popzez pole gawitacyjne, obowiązuje zasada zachowania momentu pędu. Pole gawitacyjne to izotopowa siła centalna, istnieje zatem dla niego potencjał U. Pole gawitacyjne jest siłą zachowawczą. Rozpatzymy uch ciała w polu gawitacyjnym. Jego pędkość jest ówna w układzie biegunowym (uch kzywoliniowy, wykład,): d v, ω dt (9) Współzędne punktu na płaszczyźnie: a) układ katezjański P [ x( t), y( t)], b) układ biegunowy P[ ( t), ϕ ( t)]. Ruch ciała polu gawitacyjnym znajdujemy kozystając z zasad zachowania. Zgodnie z ZZE: E T + U U po pzekształceniu: + 1 mv U + 1 m m d L E U ( ) + + dt m d dt + ω (3) gdzie kozystamy z ZZMP (pole sił centalnych), moment pędu jest ówny: L m ω const (31) Wpowadźmy oznaczenie nowy potencjał (potencjał efektywny): U ( ) (3) U eff ( ) + L m Gaficzny obaz efektywnej enegii potencjalnej pzedstawiono na ysunku. 8

56 Po postych pzekształceniach ównania 3 otzymujemy zależność (patz pzykład uch 1D na początku wykładu): i dalej d ( E Ueff ( )) dt m (33) t ( E d (34) m U eff ) ozwiązaniem tego ównania jest zależność (t). Uwaga: wpowadzenie potencjału efektywnego pozwala na zedukowanie ównań uch do pzypadku jednowymiaowego. Ale bakuj nam dugiego ównania. Rys. Wykes efektywnej enegii potencjalnej 9

57 Dodatkowe ównanie otzymujemy z ZZMP: L m ω m dϕ d (35) d dt ozwiązując to ównanie, otzymamy zależność ϕ (t). Łącząc te ϕ (t) i (t) uzyskamy ównanie tou w postaci ównania (współzędne biegunowe): p ( ϕ) 1+ ε cosϕ (36) Jest to ównanie tou planet i innych obiektów kosmicznych wokół Słońca. Paamety ównania (36): p L / GMm ( 1+ Ep / GMm) 1/ ε mimośód. Równanie (36) ogólnie zecz bioąc jest ównaniem kzywych stożkowych, gdzie o odzaju kzywej decyduje watość mimośodu ε a) ε < 1, E < O, uch odbywa się między dwoma punktami zwotnymi 1 i (patz ys. ), obitą jest elipsa z jednym z ogniska w punkcie, b) ε, szczególny pzypadek elipsy, w któej oba ogniska elipsy pokywają się, obitą jest okąg, c) ε 1, E, (patz ys. ), obitą jest paabola, d) hipebola ε > 1, E >, 1 jest to odległość największego zbliżenia (patz ys. ), obitą jest hipebola. Pawa Keplea. Podane teaz zostaną tzy pawa Keplea, wypowadzone pzez Johannesa Keplea na podstawie twających wiele lat obsewacji astonomicznych. I pawo Keplea: planety kążą wokół Słońca po elipsach. Dowód powyżej. II pawo Keplea: pędkość polowa uchu planet jest stała. Pomień wodzący łączący Słońce, umieszczone w jednym z ognisk elipsy, z planetą, w jednakowych odstępach czasu zakeśla jednakowe pola. 1

58 Konsekwencja zasady zachowania momentu pędu. Pezentacja gaficzna II pawa Keplea pzedstawiono na ys. 3. III pawo Keplea: Rys. 3 II pawo Keplea T a 3 4π GM const Dowód gaficzny III pawa Keplea pezentuje poniższy ysunek (4). 11

59 logt Eath Mas Venus Mecuy Satun Jupite Pluto Neptune Uanus log Rys. 4 Ilustacja III pawa Keplea Na ysunku pzedstawiono zależność log(t) (okesu planety) od log() (odległości planety od słońca). Zgodnie z III pawem Keplea T c 3 log( T ) 3/ log( ) Widać, że punktu pawie idealnie leżą na postej, któej nachylenie wyznaczone metodą egesji liniowej wynosi a 3 1, 5 Pzykład: Pluton, współzędne: { , } iloaz 5.513/ Dla pzypomnienia. Poniżej podane są ównania kzywych stożkowych w układzie katezjańskim: a) elipsy x a + b y 1 b) paabola y ax + bx+ c c) hipebola 1

60 x a b y 1 Zadanie: podać ównanie okęgu. 13

61 Wykład 7 1. Moment bezwładności były sztywnej Moment pędu (definicja) dla punktu mateialnego o masie: L p m v (1) Rys. Moment pędu punktu mateialnego Wzó (1) stosujemy dla punktu mateialnego. Co się wydazy, gdy mamy do czynienia z ciałem będącym zbioem wielu punktów. Takie ciało nazywamy byłą sztywną. Była sztywna jest to ciało, któego dwa dowolne punkty nie zmieniają odległości względem siebie, podczas uchu. Własność ta oznacza, że była jest sztywna. Naszym zadaniem jest obliczenie momentu pędu były sztywnej obacającej się z pewną pędkością kątową. Dzielimy ją ozkładamy na badzo 1

62 wiele pawie punktowych mas. Moment pędu każdej z tych mas (i tej masy) jest okeślony zależnością: Rys. Moment bezwładności były sztywnej i i i i i i v m p L () Znamy związek między pędkością liniową i kątowej punktu i - tego v i i ω (3) Po podstawieniu otzymamy: ) ( i i i i i i v m L ω (4) Kozystając z zależności na podwójny iloczyn wektoowy: ( ) ( ) ( ) b a c c a b c b a otzymujemy wzó na monet pędu i tej masy:

63 Li mi ω i v i ( ω ) i i ( ω ) i i i (5) Moment pędu były sztywnej otzymamy sumując momenty pędu wszystkich cząstek, na któe ozłożyliśmy byłę sztywną. Będzie on ówny: L L m ( ω ( ω )) i i i i i i Wpowadźmy nową wielkość, zdefiniowaną następująco (uwaga zmiana symbolu sumowania): I ˆ ) m ( δ k k k ij ki kj i (6) (7) Jest to moment bezwładności były sztywnej, gdzie Konekea, zdefiniowaną następująco: δ ij to delta δ ij 1 gdyi gdyi j j (8) Otzymujemy podstawowy związek między momentem pędu a pędkością kątową: LIˆ ω (9) Moment pędu jest popocjonalny do pędkości kątowej. Współczynnikiem popocjonalności jest tu moment bezwładności były sztywnej. 3

64 Zadanie: Czy wektoy momentu pędu i pędkości kątowej były sztywnej zawsze są ównoległe? Definicja momentu bezwładności (7): I ˆ I ) ij m ( δ k k k ij ki kj Moment bezwładności jest tensoem go zędu (maciezą o wymiaze ). Î I ij I I I xx yx zx I I I xy yy zy I I I xz yz zz Rozpiszmy ównanie pamiętając, że wekto położenia k tego punktu: k [ xk, yk, zk ] Obliczymy element I 11, gdzie pzyjmujemy oznaczenie 1 x ; y; 3 z; (1) I xx k k I k k 11 k kδ11 k m m ( x ( y k k m + y + z k k Obliczymy element I 1 : ( ) + z k x x k k ) x k ) (11) 4

65 5 k k k k k k k k k yx xy y x m y x m I I ) ( 1 δ (1) gdzie watość siły okeśla zależność: Analogicznie obliczany watość pozostałych składowych tensoa momentu bezwładności. k k k k zx xz z x m I I k k k k zy yz z y m I I + k k k k yy z x m I ) ( (13) + k k k k zz y x m I ) ( Ostatecznie tenso momentu bezwładności jest to maciez: k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ij y x m y z m z x m y z m z x m y x m z x m y x m z y m I I ) ( ) ( ) ( ˆ (14) Wzoy powyższe okeślają moment bezwładności dla ciał (były sztywnej) o ozkładzie dysketnym. Takie ciała to np.: cząsteczki wody (H O), O, N, i inne NH 4, CH CH 5 OH

66 Aby znaleźć (wyznaczyć) moment bezwładności były sztywnej, musimy wyznaczyć 6 óżnych watości. A to dlatego, iż tenso momentu bezwładności jest tensoem symetycznym: I ij Iji (15) np. I xy I yx Moment bezwładności okeślamy względem okeślonego, z góy wybanego układu odniesienia. Każda była sztywna posiada zatem nieskończoną ilość momentów bezwładności. Istnieją jednak pewne układy odniesienia, w któych moment bezwładności na szczególnie postą postać. W układzie osi głównych moment bezwładności jest maciezą diagonalną, mamy zatem 3 elementy do wyznaczenia: I xx, I yy, I zz. mk ( yk + zk ) k Iij mk ( xk + zk ) k (16) mk ( xk + yk ) k Każda była ma swój układ osi głównych, wynikający z symetii były. Wniosek: zanim zaczniesz obliczać moment bezwładności były sztywnej zastanów się na wyboem układu odniesienia, w któym dokonasz obliczeń. W układzie osi głównych masz o połowę mniej pacy. Pzykład: były Platońskie (idealne) Diagonalizacja maciezy sposobem na znalezienie układu osi głównych 6

67 Jeżeli była sztywna obaca się wokół jednej osi, tenso momentu bezwładności spowadza się do jednej liczby (skalaa). Dla takiego pzypadku moment bezwładności jest ówny: I i m i i (17). Moment bezwładności były sztywnej, ciągły ozkład masy W pzypadku ciał zeczywisty mamy do czynienia z wielką ilością atomów (~1 3 ) zatem kozystanie z powyższych wzoów jest wykluczone. Zakładamy ciągły, a nie dysketny, ozkład masy. Wówczas sumy staną się sumami nieskończonej ilości nieskończenie małych pzyostów. Całkujemy po elemencie masy, któy jest okeślony pzez iloczyn gęstości ρ( ) i objętości dv dxdydz (w układzie katezjańskim). Definicja tensoa momentu bezwładności dla ciągłego ozkładu masy: I xx ( y + z ) dm ( )( y + z ) dxdydz ρ (18a) I yy ( x + z ) dm ( )( x + z ) dxdydz ρ (18b) I zz ( x + y ) dm ( )( x + y ) dxdydz ρ (18c) I xydm ( ) xydxdydz Ixy yx I xz ρ (18d) I xzdm ρ ( ) xz Iyz zy zx I zydm ( ) zydxdydz 7 dxdy dz ρ (18f) (18e)

68 Tenso momentu bezwładności 6 óżnych elementów do obliczenia Jeżeli była sztywna obaca się wokół jednej osi, tenso momentu bezwładności spowadza się do jednej liczby (skala). Moment bezwładności jest ówny: I dm Pzykład 1. moment bezwładności pęta ρ ( ) dv (19) a) oś obotu pzechodzi pzez koniec pęta a) oś obotu pzechodzi pzez śodek pęta. kula i sfea 3. walec 8

69 Rysunek dolny moment bezwładności identyczny jak dla pęta W powyższych wypadkach moment bezwładności liczony względem jednej osi jest liczbą. Twiedzenie Steinea Jak policzyć moment bezwładności były sztywnej? Żmudna pocedua, całki podwójne i potójne do policzenia. I to kilka, maks. Do sześciu. A gdy zmienimy oś, względem któej liczmy moment bezwładności? Moment bezwładności zależy od wybou osi obotu, jest liczony względem konketnej osi. Jak uniknąć ponownego liczenia całek? Jest sposób. Gdy znamy moment bezwładności wyznaczony względem pewnej osi, wówczas znajdziemy moment bezwładności tejże były względem osi do upzedniej osi ównoległej na podstawie twiedzenia Steinea. Twiedzenie Steinea: I I + () md gdzie: I - szukany moment bezwładności I - moment bezwładności względem osi pzechodzącej pzez śodek masy, d odległość między osiami (ównoległymi). Pzykład stosowania twiedzenia Steinea: a) pęt I I + md 1 ml ml ml 3 L + m 3. Enegia kinetyczne w uchu obotowym (1) Enegia kinetyczna były sztywnej jest sumą enegii kinetycznej punktów mateialnych: 9

70 T 1 mvi i i 1 m( )( ω ) ω i i () W ogólnym pzypadku jest to wielkość badzo tudna do obliczenia (zależy od tensoa momentu bezwładności). W układzie osi głównych tenso momentu bezwładności to tylko tzy elementy, i wówczas enegia kinetyczna jest ówna: lub ˆ 1 T ω I ω ( I ω1 + Iω + I ω3 L 1 L L T + + I I I ) (3) (4) Gdy była sztywna obaca się względem jednej osi, otzymujemy znany wzó: 1 ω T I (5) 4. Ruch postępowy i uch obotowy Moment siły jest ówny pochodnej po czasie momentu pędu (II zasada dynamiki dla uchu obotowego): dl M dt (6) Wiemy, że dla były sztywnej, ównanie (9): LIˆ ω 1

71 Mamy: M dl dt d( Iˆ ω) dt Iˆ dω dt Iˆε (7) Otzymaliśmy inną postać II zasady dynamiki dla uchu obotowego. M I ˆ ε (8) gdzie: ε dω dt M moment siły, I moment bezwładności. jest to pzyśpieszenie kątowe, Poównanie wielkości i własności (paw) dla uchu postępowego i obotowego Pecesja lub uch pecesyjny - zjawisko występujące wówczas, gdy ciało obacające się dookoła osi zostanie poddane momentowi siły posiadającemu składową postopadłą do momentu pędu. Waunek: ciało to nie może być sfeą, kulą, czyli musi posiadać pzynajmniej dwa óżne momenty bezwładności. Wtedy to oś obotu ciała zaczyna wykonywać uch keśląc sobą powiezchnię w kształcie bocznej powiezchni stożka. Weźmy bąk zabawkę, ysunek poniżej.. Na bąk działa moment siły: M Q M mga sinθ Pzemieszczenie wektoa momentu pędu L w czasie t wynosi: L Lsinθ ϕ 11

72 Rys. Pecesja bąka w polu siły ciężkości, Ω pędkość kątowa pecesji, ω pędkość kątowa uchu obotowego bąka wokół jego osi obotu, S śodek masy bąka, Q siła ciężkości. skąd wyznaczymy kąt: L ϕ patz ysunek poniżej Lsin θ Możemy teaz policzyć pędkość ecesji: Ω ϕ t M Lsinθ mga L mga Iω const Pędkość ecesji jest wpost popocjonalna do momentu siły wywołującej ten uch i odwotnie popocjonalna do momentu pędu. Pędkość pecesji jest stała. Pzykład Pecesja uchu Ziemi. 1

73 Oś Ziemi wykonuje uch po powiezchni bocznej stożka. Zjawisko to jest wywołane pzez siły gawitacyjne Księżyca i Słońca. Rys Pecesja Ziemi. Oś ziemska keśli na tle nieba okąg. Zakeślenie pełnego okęgu twa 6 tysięcy lat. Rys. Pecesja osi obotu Ziemi (kieunek północny) Gwiazda Polana wskazuje północ. Kieunek północny wykonuje pecesję. 13

74 Zadanie: 1. Wykazać, że Ziemia nie jest kulą. Dlaczego na Ziemi obsewujemy poy oku? Podsumowanie, uch postępowy i obotowy Ruch postępowy m masa (skala) d v dt pędkość Ruch obotowy Î moment bezwładności (maciez zędu ) ω dϕ dt dv a dω dt pzyśpieszenie ε dt L p m v moment pędu F F ma dp dt II zasada dynamiki pędkość kątowa LIˆ ω moment pędu M I ˆ ε dl M dt II zasada dynamiki pzyśpieszenie kątowe 1 T mv enegia kinetyczna 1 T Iω enegia kinetyczna Pzydatne linki: 14

75 What Causes Eath's Seasons? ed 15

76 Wykład 8 Dgania hamoniczne Tematy: oscylato hamoniczny, oscylato tłumiony, oscylato wymuszony, zjawisko ezonansu, pzykłady układ RLC, jądowy ezonans magnetyczny 1. Oscylato hamoniczny 1.1 Równanie uchu Rys. 1.1 Mechaniczny oscylato hamoniczny Dgające ciało o masie m zakeśli sinusoidę. Łatwo to sobie zobazować, jeśli wyobazimy sobie, iż do ciała m pzymocowano pisak wspaty na papieowej taśmie, któa xt pzesuwa się ze stałą pędkością (patz ys. ) t.5 1. Rys. 1. Ruch oscylatoa hamonicznego. 1

77 Poblem ozwiązujmy matematycznie, szukamy ównania uchu oscylatoa hamonicznego. Na ciało działa jedna siła siła spężystości spężyny, któą znamy z pawa Hooka. F k x (1.1) F ma d x m dt (1.) Z dugiej stony spełniona musi być II zasada dynamiki Newtona. Równanie 1.1 i 1. daje nam w ezultacie: d x m dt k x (1.3) ównanie óżniczkowe -go stopnia. Pzepisujemy go w postaci: d x dt + x ω (1.4) k m gdzie: ω - częstość dgań Równanie 1.4 posiada ogólne ozwiązanie w postaci: lub ( t) Asin( ω t+ ϕ) x (1.5a) x ( t) Acos( ω t+ ϕ) (1.,5b) A amplituda, zaś φ faza początkowa uchu. Zadanie: Spawdzić, że zależności 1.5a i 1.5b spełniają ównanie oscylatoa hamonicznego (1.4). Znaczenie tych paametów wyjaśnia ysunek 1.3.

78 Rys. 1.3 Ruch dgający. Należy zwócić uwagę na óżnicę między częstością a częstotliwością. Częstość definiujemy jako f ν 1/ T, podczas gdy częstotliwość to ω π / T π v. Jednostką obydwu wielkości jest Hetz [Hz] 1/s. Rozwiązanie uchu hamonicznego (ównania 1.5a i 1.5b) można pzedstawić łącznie jako: x t) Asin( ω t) + B cos( ω ) (1.6) ( t gdzie paamety A, B stałe, do wyznaczenia z waunków początkowych. Oscylatoy hamoniczne obsewujemy w wielu układach fizycznych począwszy od mikoskopowych, jak atomy czy jąda atomowe aż po układy makoskopowe, mechaniczne. W tabeli 1 pzedstawiono zakesy częstości dgań oscylatoów hamonicznych. Tabela 1 Częstość dgań oscylatoów. Oscylato mechaniczny elektyczny atomowy jądowy Częstość [Hz] ~ 1 1. Enegia oscylatoa hamonicznego Enegia kinetyczna oscylatoa hamonicznego jest ówna (pzyjmując ozwiązanie postaci 1.5b): 1 dx 1 T m( ) ma sin ( ω t+ϕ), (1.7) dt zaś enegia potencjalna: 3

79 U 1 1 ( k x) dx k x ma cos ( ω t+ϕ). (1.8) Całkowita enegia będzie wynosić: 1 E ka U + T (1.9) i jest stała zgodnie z zasada zachowania enegii. Enegia ts Rys. 1.4 Enegia oscylatoa hamonicznego: enegia kinetyczna (linia czewona), enegia potencjalna (linia niebieska), suma enegii enegia całkowita (linia czana) Rys. 1.4 ukazuje enegię kinetyczną, potencjalną oaz całkowitą dla oscylatoa hamonicznego. Całkowita enegia jest stała. W czasie uchu enegia pzepływa między enegią kinetyczną i potencjalną, ale całkowita wielkość enegii nie ulega zmianie. Oscylato hamoniczny jest układem zachowawczym całkowita enegia układu jest zachowana. Enegia nie jest w żaden sposób tacona (ozpaszana). Poniżej pokazano diagam fazowy dla gupy oscylatoów hamonicznych óżniących się jedynie watościami paametów uch. Diagam fazowy to 4

80 wykes zależności pędkości ciała od położenia f(x(t), x (t)). Umożliwia nam głębsze (odmienne) spojzenie w natuę uch ciała. x' x 1 Rys. Diagam fazowy dla oscylatoa hamonicznego. 1.3 Pzykład. Wahadło matematyczne Wahadło matematyczne to punkt mateialny o masie m zawieszony na nieważkiej nici o długości l. Paktycznie pzybliżenie wahadła matematycznego otzymamy zawieszając badzo ciężki, mały ozmiaami obiekt na badzo długiej cienkiej i wytzymałej nici (ys. 1.5). Rys. 1.5 Wahadło matematyczne 5

81 Matematyczną zmienną opisujące położenie ciała jest tutaj kąt θ. Zakładają bak tłumienia oaz małe wychylenia z położeni ównowagi ównie uchu wahadła możemy zapisać jako: ma mlε sinθ θ ml d θ mg sinθ dt pzybliżenie małych kątów, stąd ównanie uchu wahadła matematycznego: d θ g + θ dt l (1.1) Jest to ównanie oscylatoa hamonicznego (ównanie 4) możemy więc pzewidzieć, że ozwiązaniem będzie ównanie postaci np. 5a: g θ ( ) θ sin( t+ ϕ) l t (1.11) watość paametów θ, ϕ otzymamy z waunków początkowych.. Oscylato tłumiony Na pouszając się ciało o masie m, zawieszone na spężynie o współczynniku spężystości k, działa sił tłumiąca, popocjonalna do pędkości ciała: dx F bv b, gdzie paamet tłumienia b jest stały. Działające siły pokazuje dt ys..1 Równanie uch oscylatoa hamonicznego tłumionego pzybieze postać następującego ównania óżniczkowego zędu dugiego: d x dt dx + b + k x dt m (.1). Równanie (.1) pzekształcimy do postaci badziej użytecznej: 6

82 d x dt dx + + ω x dt γ (.), k gdzie: ω, to dobze znana częstotliwość dgań własnych oscylatoa m b hamonicznego, zaś γ to współczynnik tłumienia. Wydaje się logiczne, że m współczynnik tłumienia jest wpost popocjonalny do paametu tłumienia b i odwotnie popocjonalnie do masy ciała. Rys..1 Oscylato hamoniczny tłumiony. λ t Równanie (.) ozwiązujemy, zakładając ozwiązanie postaci x( t) e. Po podstawieniu tej funkcji do (.) otzymujemy ównanie kwadatowe: + γλ+ ω λ (.3). Piewiastki ównania kwadatowego znajdujemy kozystając ze wzoów Viety. λ 1, γ ± γ ω (.4). Jeżeli wyóżnik ównania kwadatowego jest większy lub ówny zeo ównanie ma piewiastki zeczywiste. Jeżeli wyóżnik jest ujemny ównanie kwadatowe posiada piewiastki zespolone. Niezbędna jest znajomość liczb zespolonych oaz działań na liczbach zespolonych (wzó Eulea). 7

83 W zależności od watości wyażenia pod piewiastkiem ozóżniamy tzy możliwe pzypadki: 1. słabe tłumienie, γ < ω czyli gdy γ ω iω jest liczbą uojoną, wówczas ozwiązanie ównania kwadatowego (.4) pzybiea postać: λ, γ ± iω 1 (.5), ównanie uchu oscylatoa hamonicznego tłumionego opisuje zależność: γ t x( t) Ae sin( Ωt+ ϕ) (.6) w ezultacie otzymujemy uch peiodyczny tłumiony o częstotliwości Ω ω γ i współczynniku tłumienia λ 1 / τ b / m Pzykład xt uchu oscylatoa tłumionego ukazano na ysunku poniżej. Wykładnicze kzywe (czewone) ukazują zależność amplitudy uchu tłumionego, kzywa niebieska pokazuje zależność wychylenia w funkcji czasu t 1 Rys. Oscylato hamoniczny tłumiony, pzypadek słabego tłumienia W oscylatoze hamonicznym tłumionym enegia nie jest stała! Oscylato taci enegię w sposób ciągły pzekazując ją ośodkowi (popzez siłę opoy tacia). Mówimy, że taki układ, któy taci (ozpasza) enegię jest układem dyssypatywnym. 8

84 Widać to na diagamie fazowym (patz ysunek poniżej). Wychylenia (x(t)) są coaz mniejsze, podobnie jak pędkość ciała (x (t)). Na diagamie fazowy dla oscylatoa hamonicznego tłumionego (słabo) widzimy odzinę spial zbiegających się do początku układu współzędnych. x't t 4 Rys. Diagam fazowy uchu hamonicznego tłumionego.. silne tłumienie, γ > ω czyli gdy γ ω > jest liczbą zeczywistą, wówczas ozwiązanie ównania kwadatowego (.4) pzybiea postać: 3. tłumienie kytyczne, pzypadek ganiczny gdy γ ω, to ozwiązanie (13), opisane jest ównaniem: λ 1 λ γ, zaś γ t x( t) Ae (1+ at) (17) Gaficzne wykesy dla tzech pzypadków pzedstawiono na ysunku.. 9

85 Rys.. Oscylato hamoniczny tłumiony, tłumienie słabe, silne, tłumienie kytyczne. 3. Oscylato wymuszony. Rezonans. Oscylato hamoniczny wymuszony to pzypadek oscylatoa hamonicznego tłumionego, na któy działa dodatkowa siła zewnętza, peiodyczna, tzn. jej iω t ównanie dane jest zależnością: F( t) f e f cos( wt) gdzie f, ω to odpowiednio amplituda i częstotliwość siły zewnętznej. Równanie oscylatoa hamonicznego wymuszonego zapiszemy w postaci: m d x dt + dx b dt + k x f e iωt (3.1). Jest to ównanie óżniczkowe zędu dugiego, zespolone. Równanie to ozwiążemy po postu zgadując ozwiązanie. Metoda zgadywania jest dozwolona, po waunkiem, że zgaduje się właściwie. iωt Spawdź ozwiązanie w postaci: x( t) a e. Po podstawieniu do (3.1) otzymujemy ównanie zespolone: m a+ ibω a+ k a f ω (3.). k Podstawiając 1 / τ b / m oaz ω, wyznaczamy amplitudę dgania m a(ω), będącą funkcją częstotliwości siły wymuszającej: 1

86 11 τ ω ω ω ω i m f a + / ) ( (3.3). Amplituda a jest funkcją zespoloną, pzekształcamy ją do typowej postaci liczb zespolonych z a +ib: ) ( ) ( ) ( ) ( τ ω ω ω τ ω τ ω ω ω ω ω ω + + m f i m f a (3.4). Uwaga: spawdź popawność wzou (34). Teaz możemy wpowadzić tangens pzesunięcia fazowego: ) ( ω ω τ ω ψ tg (3.5); oaz moduł amplitudy, będący liczbą zeczywistą i obazujący zmianę amplitudy w funkcji częstotliwości zewnętznej siły wymuszającej ) ( / ) ( τ ω ω ω ω + m f a (3.6). Gdy ω ω, czyli gdy częstość siły wymuszającej ówna się częstotliwości dgań własnych, w pzypadku słabego tłumienia, gdy współczynnik tłumienia dąży do zea γ, a τ, z ównania (36) otzymujemy, że amplituda a dąży do nieskończoności, a ealnie do dużych, bądź badzo dużych watości: m f m f a / ) ( ω τ τ ω ω (3.7). Na ysunku pzedstawiono pzykłady kzywych ezonansowych dla osnących watości paametu tłumienia. Kzywa najwyższa odpowiada najmniejszej

87 watości paametu tłumienia. Widoczny jest gwałtowny wzost amplitudy dgań, gdy częstotliwość zbliża się do częstotliwości dgań własnych ω. Zjawisko to nosi nazwę ezonansu i odgywa badzo dużą olę w układach mechanicznych, elektycznych, magnetycznych. Rys. 3.1 Kzywe ezonansowe dla óżnych watości współczynnika tłumienia Pzykłady: 1. Aplet: uch dgający katastofa mostu Tacoma, , 3. (beaking a wine glass using esonance) 4. Rezonans (Resonantie) 1

88 3.1 Układ RLC, elektyczny pzykład oscylatoa wymuszonego. Układ RLC to obwód elektyczny zwieając tzy elementy: opó R [jednostka Ohm ΩV/A], kondensato o pojemności C [jednostka Faad F C/VA s/v] i cewkę indukcyjną o indukcyjności L [jednostka Heny, H V s/a] (V wolt, A ampe, s - sekunda). Układ zasilany jest ze źódła o napięciu v. Schemat obwodu pokazuje ysunek.3. Rys..3 Schemat układy RLC Mając dane watości paametów: R, L, C, v (napięcie na źódle), piszemy ównanie tego układu zgodnie z pawem Kichhoffa (napięciowym pawem Kichhoffa): v + v + v v(t) (3.1.1) R L C Równanie (3.1.1) pzekształcamy do następującego ównania óżniczkowego (zędu dugiego): d i R di i dt L dt LC L dv dt (3.1.). Definiując dwa paamety: γ R / L oaz ω 1, i podstawiając do LC ównania (3.1.) otzymujemy następujące ównanie: d i di 1 dv + + ω i dt dt L dt γ (3.1.). 13

89 identyczne z ównaniem oscylatoa wymuszonego (3.1). Obwód RLC będzie wykonywał dania, dokładniej pąd i wzbudzany w tym obwodzie, będzie wykonywał dgania zgodnie z ównaniami oscylato wymuszonego (patz powyższe ozważania). W obwodzie tym pojawi się, w okeślonych okolicznościach (jakich?) zjawisko ezonansu. W pzypadku, gdy opó R, otzymamy pzypadek oscylatoa tłumionego i tzy ozwiązania dla: słabego tłumienia, silnego tłumienia i tłumieni kytycznego (patz paagaf ). 3. Zjawisko ezonansu magnetycznego: jądowy ezonans magnetyczny a) zasada działania (Magnetic Resonance Foce Micoscope) b) zastosowanie: (Human Bain Magnetic Resonance / Diffusion Tenso Imaging) 14

90 Wykład 9 Kinematyka elatywistyczna 1. Masa i pęd elatywistyczny Piewsza zasada dynamiki o układach inecjalnych. Na pomysł I zasady dynamiki wpadł Galileusz. Podobno stało się to podczas podóży. Obsewując oddalający się pot, Galileusz wpadł na pomysł, że nie ma znaczenia, czy z potu obsewujemy oddalający się okęt, czy też z pokładu okętu obsewujemy pot. Oba spojzenia są sobie ównoważne. Układy inecjalne są sobie ównoważne. Rys. 1. Tansfomacja Galileusza Konsekwencją tansfomacji Galileusza są powszechnie znane wzoy na dodawanie pędkości. Jeżeli w pociągu pouszającym się z pędkością v biegnie człowiek z pędkości u, to pędkość człowieka względem ziemi będzie ówna: v ± u, zależnie od tego, czy ten człowiek będzie biegł zgodnie z kieunkiem pociągu, czy pzeciwnie. W 1887 oku Michelson i Moley wykazali w swoim słynnym doświadczeniu, że posty wzó (dodawanie pędkości, czyli tansfomacja Galileusza) nie działa, gdy mamy do czynienia z obiektami pouszającymi się z pędkością światła. Miezyli oni pędkość światła w óżnych kieunkach. Zamiast otzymywać óżne watości (Ziemia jest planetą i wykonuje uch wokół słońca z okeśloną, i cale nie małą pędkością) za każdym azem otzymywali tę samą, stałą watość pędkości światła c. Poblem ozwiązał Albet Einstein. W 195 oku opublikował pacę pt.: Zu Elektodynamik bewegte Köpe, Ann. Physic 17, (195) ( O elektodynamice ciał w uchu ). W pacy tej wyłożył podstawy szczególnej teoii względności, ewolucyjnie zywającej z założeniami mechaniki klasycznej (Newtonowskiej). Szczególna teoia względności opata jest na dwóch postulatach: 1. pawa fizyki są takie same we wszystkich inecjalnych układach odniesienia;. pędkość światła c jest stała i nie zleży od pędkości źódła. 1

91 Postulat 1 oznacza, ż wszystkie inecjalne układy odniesienia są takie same, nieozóżnialne. Postulat mówi, że pędkość świtała c jest uniwesalną stałą, jak stała gawitacji G czy ładunek elementany e. Według ostatnich pomiaów pędkość światła (w póżni) wynosi: C ± 1. m/s. Pędkość światła w ośodku zależy od elektycznych i magnetycznych własności tegoż ośodka. W pzypadku póżni mamy zależność: 1 c, ε µ gdzie ε to podatność elektyczna, µ podatność magnetyczna póżni. Na bazie postulatów, Einstein podał nowe wzoy tansfomacyjne, opisujące pzejście między układami nieuchomym O (x, y, z) i uchomym O (x, y, z ) i vice vesa. Wzoy ten noszą nazwę tansfomacji Loentza, na pamiątkę holendeskiego fizyka i matematyka Hendika Loentza ( ), któy wypowadził je wcześniej. W chwili początkowej t t początki obu układów pokywały się. Punkt x pousza się azem z układem (x, y, z ). Tansfomacja Loentza (wzoy): x ' y ' z ' z y x 1 v v c t lub x' + v t' x v 1 c y y' z z' v v t x t' + x' t ' c t c v v 1 1 c c (1.1, 1.) Otzymaliśmy wzoy opisujące pzejście (tansfomację) z układu O do O. Łatwo otzymać wzoy na tansfomacje odwotną pzejście od układu O do O, zamieniając pędkość v -> -v.

92 3 Pędkość światła c nie zmienia się, jest niezależna, mówimy jest inwaiantna względem tansfomacji Loentza. Zauważmy, że gdy pędkość układu jest mała w poównaniu z pędkością światła v << c to wzoy na tansfomacje Loentza (wzoy 1.1) pzekształcają się we wzoy na tansfomację Galileusza (ysunek 1.). Mechanika klasyczne okazuje się być ganicznym, szczególnym pzypadkiem mechaniki elatywistycznej. Tansfomację Loentza (1.1) można w kótszej postaci pzepisać wpowadzając oznaczenia: 1 1 ; β γ β c v ; pzybioą wówczas fomę: z z z z v t x x x c t t ' ' ), ( ' ) ( ' γ β γ (1.3) W notacji maciezowej powyższe ównania (1., 1.3) na tansfomację Loentza zapiszemy w postej postaci z y x t v c z y x t 1 1 ' ' ' ' γ γ γ β γ lub ' ' ' ' 1 1 z y x t v c z y x t γ γ γ β γ (1.4) Gdzie [t, x, y, z] to współzędne punktu w czasopzestzeni, składaj śię z tzech wymiaów pzestzennych [x, y, z] oaz czasu [t]. W mechanice elatywistycznej czas pzestaje odóżniać się od współzędnych pzestzennych. Czas pomnożony pzez pędkość światła c staje się dodatkową współzędną. Pzestzeń zamienia się w czasopzestzeń 4 wymiaową (4D): 3 współzędne pzestzenne, 4 ta współzędna czas. Weźmy dwa óżne punkty w czasopzestzeni. Kwadat odległości dwóch punktów w czasopzestzeni jest niezmiennikiem pzekształcenia (tansfomacji) Loentza. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z y x t c s (1.5) Wielkość s zdefiniowaną zależnością (1.5) nazywamy intewałem czasopzestzennym.

93 Rys. 1.5 Czasopzestzeń Minkowskiego. Stożek świetlny. Rys 1.5 pzedstawia dwu wymiaowy zut czteowymiaowej (4D) czasopzestzeni, nazywanej czasopzestzenią Minkowskiego (198). Pionowa oś to oś czasu; pozioma współzędną pzestzenną. Linia pzeywano to linia świata obsewatoa. Góna śodkowa ćwiatka, to zbó pzyszłych możliwych, widzialnych zdazeń dla obsewatoa (pzyszłość), dolna śodkowa ćwiatka to zbió pzeszłych zdazeń (pzeszłość), punkt pzecięcia oznacza teaźniejszość. Dwie śodkowe ćwiatki oznaczają obszay czasopzestzeni niedostępne dla obsewatoa (c skończone!). Punkty oznaczają zdazenia w czasopzestzeni. Wzó na intewał czasopzestzenny pzybieze postać (x, t): ( ds) dx ( cdt) ( ) (1.5) Pzypominam, że kwadat odległości dwóch punktów w pzestzeni Euklidesowej jest ówny (twiedzenie Pitagoasa): ( ds ) ( dx) + ( dy). Tzy możliwe watości intewału (współzędne: t, x) a) intewał typu czasowego, może istnieć związek pzyczynowo skutkowy między zdazeniami, zdazenia leżą wewnątz stożka świetlnego (ys. 1.5a, linia czewona), zeczywisty c t > x ( s) > (1.6b) b) intewał typu pzestzennego, nie ma związku pzyczynowo między zdazeniami, zdazenia wewnątz i na zewnątz stożka świetlnego (ys. 1.5a, linia niebieska), zespolony c t< x ( s) < (1.6a) 4

94 c) intewał zeowy, zdazenia mogą być połączone sygnałem świetlnym, zdazenia na pobocznicy stożka świetlnego (ys. 1.5a, linia żółta) c t x ( s) (1.6c). Zjawiska elatywistyczne. Ze szczególną teoią względności związane są zjawiska, spzeczne z fizyką klasyczną i wykaczające poza nasze potoczne doświadczenie. Obsewowalne one jedynie wówczas, gdy mamy do czynienia z uchem, z pędkościami, poównywalnymi do pędkości światła..1 Relatywistyczne dodawanie pędkości. Niech układ O pousza się z pędkością v 1 (skieowaną wzdłuż osi X układy O, ys. 1.4), a w układzie O punkt x pousza się z pędkością v. Pędkość punktu x względem nieuchomego układu O będzie ówna: v v1 + v v v 1+ c 1 (.1.1) Pzykład: v 1 v.98 c, c c v c (.98c). 1+ c Dla v 1 v c, otzymamy v c. Składając pędkości nigdy nie pzekoczymy pędkości światła. Gdy pędkości są małe, w poównaniu z pędkością światła, z ównania (1.4) otzymujemy klasyczna watość: v v 1 +v.. Dylatacja czasu. Kozystając z tansfomacji Loentza (i tansfomacji odwotnej) możemy zapisać óżnicę współzędnych dwóch zdazeń w czasopzestzeni: t' β ( t x) c γ, (..1) 5

95 Zakładamy, że zega znajduje się w układzie nieuchomym O i spoczywa w tym układzie ( x ). Dugi zega spoczywa w pouszającym się układzie O ( x ' ). Związek między óżnicami w czasie dwóch (tych samych) zdazeń, zaejestowanych w układach O i O, otzymamy z ównania (..1): t' γ t t v 1 c (..5). Jest to ównanie opisujące zjawisko elatywistycznej dylatacji czasu. Czas t' zmiezony w pouszającym się układzie O jest większy od czasu t zmiezonego w nieuchomym układzie O. Pzykład: 1. Cząstki elementane zwane mionami (µ) powstają w wysokich patiach atmosfey na wysokości 1 km., na skutek oddziaływania z pomieniowaniem kosmicznym. Czas życia mionów t x 1-6 s. Jaką dogę pokonają miony? Czy i jaka część dotze do powiezchni Ziemi? a) klasyczne ozwiązanie: doga s c t [m/s]x 1-6 s 6 m. Mion nie dotze do powiezchni Ziemi. b) elatywistyczne ozwiązanie: niech v.999 c; Czas życia mionu należy obliczyć, kozystając z (..5) t 6 t x1 s, v 1 (.999) 1 c doga jaką pokona mion wynosi: s c t.999 x [m/s] x s 13.5 km. Mion z łatwością dociea do powiezchni Ziemi. Duga odpowiedź jest pawdziwa: miony docieają do powiezchni Ziemi!. GPS. (Globalny System Pozycjonowania) uwzględnia gawitacyjną dylatację czasu w poceduze pecyzyjnego okeślania położenia. Inaczej położenie byłoby wyznaczone znacznie mniej dokładne. Miliony ludzi kozystających z GPS-ów wykozystuje codziennie (i spawdza zaazem ich popawność) ównania STW.. Skócenie długości (elatywistyczne). 6

96 Niech długość pęta wynosi l (w układzie spoczywającym). Ile wyniesie długość tego samego pęta pouszającego się z pędkością v? Patz ys..1. Rys..1 Relatywistyczne skócenie długości. Kozystamy z ównania..4, zakładając, że t ', pomiau długości, czyli położenia końców pęta, dokonujemy w tej samej chwili czasu. lub: x x', (..6) γ l l l γ, (..6) 1 c v Równanie to pokazuje, że pęt pouszający się (l, pęt spoczywający (l, x ).. Pzyczynowość i pędkość światła. x' ) jest kótszy niż ten sam Na ys.3 pzedstawiono stożek świetlny z zaznaczonymi tzema zdazeniami: A, B, C. Zdazenia A, B leżą wewnątz stożka świetlnego w tej samej czasopzestzeni oddzielone jedynie czasem. A jest piewsze, B późniejsze w czasie. Podóż od A do B jest możliwa. Zdazenia A, B mogą (nie muszą, ale mogą) być powiązane związkiem pzyczynowo skutkowym: A pzyczyna, B skutek. Sytuacja jest odmienna w pzypadku pay zdazeń A, C. Tutaj zdazenia leżą oddzielone pzestzennie. Zdazenia A, C nie mogą być powiązane; nie może istnieć między nimi związek pzyczynowo skutkowy. Gdyby tak było, infomacja musiałaby wędować z pędkością wyższą niż pędkość światła. Lecz to powadziłoby do logicznego paadoksu: istniałby układ, w któym A byłoby pzyczyną, a C skutkiem, lecz istniałby ównież układ, w któym C byłoby pzyczyną zaś A skutkiem. Zatem np. zdazenie A mogłoby być zaazem pzyczyną, jak i skutkiem. A to jest logiczna spzeczność. 7

97 Dlatego nie jest możliwa podóż z pędkością większą niż pędkość światła i nie są możliwe podóże w czasie. Gdyby takie efekty były dopuszczalne, oznaczało by to zewanie związków pzyczynowo skutkowych, czyli cud logiczny. Rys.. Stożek świetlny. Szczególna Teoia Względności to początek. W kilka lat później Albet Einstein opublikował Ogólną Teoie Względności. Ogólna teoia względności (OTW) sfomułowana pzez Albeta Einsteina w 1915 oku, a opublikowanej w oku OTW jest uogólnieniem Szczególnej Teoii Względności (STW obowiązuje dla inecjalnych układów odniesienia) na dowolne, ównież nieinecjalne układy odniesienia. OTW populana nazwa teoii gawitacji. Główna teza OTW: siła gawitacji wynika z lokalnej geometii czasopzestzeni i na odwót gawitacja kształtuje czasopzestzeń. Apaat matematyczny OTW został opaty został na nieeuklidesowej geometii ozwijanej pzez takich matematyków jak: János Bolyai, Cal Gauss czy Geog Benhad Riemann. Geometia czasopzestzeni opisanej w STW jest to geometia euklidesowa. OTW wymaga zaawansowanego apaatu matematycznego: achunek tensoowy, geometia nieeuklidesowej, geometii óżniczkowa, teoii pzestzeni Riemanna itp. Z tego powodu tylko kótko omówimy pewne zjawiska wynikające z OTW, bez zagłębiania się w apaat matematyczny. Geometia euklidesowa klasyczna geometia sfomułowana pzez geckiego matematyka Euklidesa w dziele Elementy (III w. p. n. e.). Elementy to duga po Biblii najczęściej wydawana książka świata! Euklides (u. około 365 zm. około 3 p. n. e.) opał geometię na pięciu postulatach 8

98 (aksjomatach). Jest to tak geometia, jakiej uczymy się szkole. Waunki geometii euklidesowej spełnia pzestzeń katezjańska ( płaska ) z tzema wzajemnie postopadłymi osiami. Geometia nieeuklidesowa odzuca piąty aksjomat. Jest to geometia pzestzeni wygiętych (nie płaskich). Pzykład: Suma kątów w tójkącie. a) Geometia klasyczna: suma kątów w tójkącie jest ówna 18. Pzestzeń katezjańska ma zeową kzywiznę. Rys. Suma kątów w tójkącie w geometii Euklidesa b) Sfea. Postymi tutaj będą okęgi. Sfea jest pzypadkiem pzestzeni o dodatniej kzywiźnie. α + β + γ > 18 suma kątów w tójkącie większa od 18 : Rys. Suma kątów w tójkącie na sfeze. 9

99 c) Powiezchnia siodłowa (hipeboliczna) o ujemnej kzywiźnie α + β + γ < 18 Rys. Suma kątów na powiezchnia siodłowej (hipebolicznej) Suma kątów w tójkącie mniejsza od 18 : Wiosek: w geometii nieeuklidesowej suma katów w tójkącie może być większa a może być mniejsza niż 18. OTW opata jest na geometii nieeuklidesowej. Czasopzestzeń w jakiej żyjemy nie jest euklidesowa (czy katezjańska). Teoia OTW zawiea teści fizyczne dotyczące koncepcji czasu, pzestzeni, geometii czasopzestzeni, któe wydają się spzeczne z zasadami mechaniki Newtona jak i z naszymi natualnymi odczuciami i pzewidywaniami. W istocie ta spzeczność jest pozona, zasady mechaniki Newtonowskiej obowiązują, tyle że czasopzestzeń jest inna niż ta, do któej pzywykliśmy. Dynamika elatywistyczna 1. Masa elatywistyczna W mechanice klasycznej masa jest stała i jest niezmiennicza (inwaiantna) względem tansfomacją pzejścia między układami inecjalnymi. W pzypadku szczególnej teoii względności (STW) sytuacja jest odmienna. Nie może być inaczej; wyobaźmy sobie, ze na ciało działa stała siła. Zgodnie z II zasadą dynamiki: F dp dt Jeżeli na ciało stała siła, nawet niewielka, lecz pzez dostatecznie długi czas 1

100 F const to p pęd ciała osiągnie dowolnie dużą watość, czyli pędkość ciała pzekoczy pędkość światła. A to jest niemożliwe ( postulat STW). Zatem, w zgodzie z postulatami STW niezbędne była zmiany w definicji masy i pędu elatywistycznego. Pawa dynamiki obowiązują we wszystkich układach inecjalnych, zgodnie z I postulatem STW. Zgodnie ze STW ozóżniamy dwie masy: 1. masa inwaiantna (niezmiennicza), miezona w układzie względem któego ciało spoczywa masa spoczynkowa, m ;. masa elatywistyczna, zależna od pędkości układu m. Związek między tymi masami jest następujący: m m (1.1) v 1 c γ m gdzie: m masa elatywistyczna, m masa spoczynkowa (inwaiantna) Pzykład: pomia masy elektonu (o masie spoczynkowej m ) pzyśpieszany na akceleatoze w Cambidge (USA): pędkość c c masa 6 m m. Pęd elatywistyczny. Pęd elatywistyczny definiujemy analogicznie jak mechanice klasycznej (I postulat STW), tyle że masa, to masa elatywistyczna. m v p mv γ m v v 1 c (.1) Pęd jest funkcją pędkości. Jeżeli działa stała, ciało pzyśpiesza. Gdy dochodzimy do pędkości bliskich pędkości światła, masa ciała zaczyna osnąć. Aby pzyspieszyć ciała o niezeowej masie spoczynkowej do pędkości światła, musimy posłużyć się nieskończoną siłą! 3. Enegia. Pzekształcając ównie (1.1), otzymamy: 11

101 4 4 m c mc + m v c (3.1) Dugi człon, po lewej stonie ównania (3.1) to p c m v c i ma wymia 4 enegii, oznaczają pzez E m c, otzymamy wyażenie: E + 4 mc p c (3.) i jest o fundamentalny związek między enegią, masą a pędem elatywistycznym. E to całkowita enegia elatywistyczna. Człon T p c to kwadat enegii 4 kinetycznej. Człon m c jest niezmiennikiem tansfomacji Loentza (dlaczego?). Jest to kwadat enegii ównoważnej kwadatowi masy. W mechanice elatywistycznej masa jest ównoważna enegii, a enegia jest ównoważna masie. W pzypadku ciała nieuchomego, p, ównie 3.1 spowadza się do słynnego wzou: E m c (3.) STW nie jest abstakcyjną teoią, opisującą cząstki pouszające się pędkościami bliskimi pędkości światła, bo kiedy możemy mieć z takimi cząstkami świadomy kontakt? W istocie STW opisuje nasz świat, opisując szeeg inaczej niewytłumaczalnych zjawisk, takich jak istnienie atomów, a dokładniej istnienie stałych jąde atomów. 4. Defekt masy. Dlaczego istnieją stabilne jąda atomowe? Weźmy atom helu ( He). Jądo atomu składa się z neutonów (elektycznie obojętnych) i potonów obdazonych ładunkiem +e. Ponieważ ozmia jąda jest zędu ~1-15 m, na każdy z potonów działa potężna siła odpychająca (siła Coulomba). Jąda są twałe, zatem musi istnieć ównie potężna siła znosząca oddziaływanie elektostatyczne potonów, utzymująca potony (i neutony) azem w jądze. Są siły jądowe, a źódłem ich potęgi jest defekt masy. Defekt masy wynika wpost ze wzou Einsteina (3.). Weźmy jądo o masie M j, utwozone pzez Z potonów, (A - Z) neutonów, defekt masy definiujemy jako: m Zm + ( A Z ) m M (4.1) p n j 1

102 Jest to suma składników minus masa poduktu (jąda atomu). M >! W świecie elatywistycznym + 4! Bakująca masa, a aczej ównoważna tej masie enegia, wiąże nukleony (neutony i potony) w jądze. Enegia wiązania wynosi, zgodnie z (3.) E m c (4.) Pzykład. Obliczmy defekt masy i enegię wiązania dla atomu helu ( He). Najpiew jednostki: w fizyce jądowej jednostką masy jest 1 u, jest to 1/1 masy atomu węgla 1 C; jednostką enegii jest elektonowolt (ev) lub jednostki pochodne, jak kev (kilo kev 1 3 [ev]), MeV (mega MeV 1 6 [ev]) 1eV 1.6 x 1-19 [J]: 1 u kg MeV; masa potonu m p u; masa neutonu m n u, masa jąda He M j u; zatem defekt masy wynosi m m p + mn M j u, o stanowi około.7 % masy jąda, zaś enegia wiązanie w jądze helu He: E mc 8. 3 MeV Wato poównać otzymaną enegię wiązania z enegią jonizacji elektonu z atomu wodou 1 H. Wynosi on 13.6 ev. Enegia wiązania nukleonu w jądze jest około ~ azy większa niż enegia wiązania elektonu w atomie. 5. Reakcje ozszczepienia jąda atomowego. Jeden z możliwych schematów ozpadu jąda uanu U 9 35 pokazano na ys. 5.1 Jądo uanu U 9 35 po tafieniu neutonem staje się niestabilne i ozpada się na dwa jąda potomne, pewną licz cząstek, oaz ogomną ilość enegii. Wśód cząstek podukowanych w eakcji są lub 3 neutony. Jąda uanu U 9 35 ale ównież plutonu Pu 94 39, tou (T 9 3) ulegają tym eakcjom spontanicznie. Takie zjawisko nazywany spontanicznym ozszczepieniem. Jeżeli stężenie uanu jest dostatecznie wysokie, aby wytwozone neutony tafiły w kolejne jąda uanu, wtedy mamy do czynienia z 13

103 eakcją łańcuchową. Raz zapoczątkowana eakcja łańcuchowa będzie twać dopóki będą jąda uanu. Nie da się jej pzewać ani zatzymać. Rys. 5.1 Reakcja ozszczepienie jąda uanu U 35. Ilość enegii wytwazanej w eakcji ozszczepienie jednego jąda U 9 35 to ~ MeV. Poównanie: ozszczepienie 1 kg 9 U 35 daje enegię ~ 8.3 x 1 13 [J]; spalenie 1 kg węgla C 1 daje enegię ~.5 x 1 7 [J]; eakcje ozszczepienie dają około 3 azy więcej enegii! Reakcje ozszczepienia źódło niezwykle wydajnej i ekologicznie czystej enegii! Tylko niektóe izotopy ulegają eakcjom ozszczepienia. Natualny uan składa się z.7% U-35 (izotopu ozszczepialnego), 99.7% U-38, i śladowych ilości.55% izotopu U-34. Na 1 atomów uanu tylko 7 to atomy U-35 zaś 993 to inne izotopy uanu (nieozszczepialne).uan występuję pawie na całym świecie, ale tylko w nielicznych miejscach w koncentacjach gwaantujących opłacalne wydobycie. Wydobywa się go w skałach, albo metoda odkywkową, albo w kopalniach głębinowych. Pzed wykozystaniem należy uan wyodębnić ze skał i wzbogacić (patz schemat poniżej). Reakcje ozpadu uanowców mogą być wykozystywane w celach cywilnych i militanych, a związki między tymi celami, są tudne do ozdzielenia. Schemat poniżej wyjaśnia te zależności. Rys. Wykozystanie mateiałów adioaktywnych, uanowców w pzemyśle cywilnym i wojskowym. 14

104 Aby uzyskać bombę atomową musimy dysponować okeśloną ilością (masa kytyczna) odpowiedniego (ozszczepialnego) izotopu w odpowiednio wysokim stężeniu. Masa kytyczna jest funkcje stężenia. Wyższemu stężeniu odpowiada mniejsza masa kytyczna. Tabela 5.1 Enegia ozszczepienie 1 kg izotopu w kilotonach TNT Izotop [1 kg] U 33 U 35 Pu 39 Enegia [kt TNT] Rys. 5. Wybuch bomby atomowej nad Nagasaki, Rys. 5.4 Schemat budowy bomby Little boy (chłopczyk) zzuconej na Hioszimę,

105 Ilość ofia bomb jądowych: Hioszima, zabitych; Nagasaki, zabitych. Oto kótka lista największych (pod względem ofia) bombadowań w czasie II wojny światowej (bomby zapalające buze ogniowe): 1943 lipiec, Hambug 4 zabitych, 1945 mazec, Tokio 185 zabitych, (Ameykanie zzucili ton bomb zapalających), 1945 kwiecień Dezno 1 zabitych 6. Reakcje fuzji. Rysunek pzedstawia jeden z możliwych toów eakcji fuzji. W eakcji fuzji jąa łączą się twoząc w wyniku jądo, szeeg cząstek i badzo duże ilości enegii. Masa poduktów eakcji jest mniejsza niż masa składników, óżnica jest czystą enegią. Rys. 6.1 Reakcja fuzji Oto kilka pzykładowych eakcji fuzji: (1) D + T 4 He (3.5 MeV) + n (14.1 MeV) (i) D + D T (1.1 MeV) + p (3. MeV) 5% (ii) 3 He (.8 MeV) + n (.45 MeV) 5% (3) D + 3 He 4 He (3.6 MeV) + p (14.7 MeV) (4) T + T 4 He + n MeV (5) 3 He + 3 He 4 He + p MeV Enegia wytwazana podczas eakcji fuzji jest około 1 azy większa od enegii uzyskanej w eakcji ozszczepienia tej samej masy. 16

106 Reakcje zachodzące w jądach gwiazd. Źódło enegii oaz cięższych od wodou piewiastków. Waunek: Ładunki elementane e w odległości ~ 1-15 m; enegia potencjalna jest ówna: e 13 U.31 J 1. 4 MeV 4πε, Waunki do fuzji: tempeatua zędu 1 7 K (dziesięć milionów stopni) i ogomne ciśnienie. Rys. 6.1 Łańcuch poton poton dominuje w gwiazdach o ozmiaach Słońca i mniejszych. Fuzja temojądowa jest źódłem ciężkich piewiastków. Rozóżniamy tutaj dwa łańcuchy (cykle): łańcuch poton poton dominuje w gwiazdach o ozmiaach poównywalnych do Słońca i mniejszych (ys. 6.); łańcuch CNO (węgiel azot tlen) dominuje w gwiazdach o masie większych od Słońca. Rys. 6.3 Łańcuch CNO dominuje w gwiazdach o masie większych od Słońca. 17

107 7. Zagłada czewonego olbzyma Dwie twaze kosmosu: niszczenie i twozenie Analiza spektoskopowa widma fal elektomagnetycznych dokonane pzez kosmiczne obsewatoium najjaśniejszej znanej gwiazdy: VY Canis Majois. Canis Majois, któej śednica jest 6 azy większa od śednicy Słońca, znajduje się w konstelacji Wielkiego Psa 49 lat świetlnych od nas. Ten czewony hipeolbzym może w każdej chwili eksplodować w wybuchu supenowej. Canis Majois jest kolosem. Gdyby był centalną gwiazdą naszego układu planetanego, gwiazda sięgałaby obity Satuna. Cały czas wyzuca w pzestzeń olbzymią ilość mateii. Rys. Widmo mikofalowe gwiazdy Canis Majois. Zaznaczono związki chemiczne, wypływające z gwiazdy w pzestzeń międzygwiazdową Wynik: instumenty sondy Heschel wykyły olbzymie ilości tlenku węgla i wody (oaz innych związków chemicznych) w sąsiedztwie gwiazdy Canis Majois. Z mateii tej mogą powstać nowe gwiazdy waz z układami planetanymi. Zagłada jednej gwiazdy twozy waunki do utwozenia nowej gwiazdy potomnej z jej własnym układem planetanym. Cykl zagłady i twozenia gwiazd (i układów planetanych) toczący się od początku wszechświata. 18

108 7. Współczesne zagożenie jądowe Asenały jądowe: stan na gudzień 7 PÓŁNOCNA. KOREA INDIE PAKISTAN IZRAEL W.BRYTANIA CHINY FRANCJA ROSJA USA USA ROSJA FRANC JA CHINY W.BRY PAKIST IZRAEL TANIA AN INDIE PÓŁNO CNA. KOREA magazyn 4 55 bojowe Skutki wybuchu (temo)jądowego Zagłada Nowego Joku. Udezenie temojądowe o mocy 1 Mt (megatona) (Świat Nauki, gudzień 7) Liczba ofia podobnej eksplozji (w metopoliach): Miasto Liczba mieszkańców Liczba ofia Londyn 7 51,8 mln Delhi ,5 mln Pekin ,6 mln Dodatkowe linki: Nuclea Bomb - Fist H Bomb test Tsa Bomb - The biggest bomb eve 19

109 Uczyć się bez myślenia to zmanowana paca, Myśleć bez uczenia się to pustka. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, p.n.e.) Dialogi, II/15 Wykład 8. Elektostatyka. Pole elektyczne 1. Pawo Coulomba Elektomagnetyzm, jedno fundamentalnych 4 z fundamentalnych oddziaływań występujących w pzyodzie Rys. 1.1 Fundamentalne oddziaływania, pzegląd: siła, zasięg, gdzie dominują. Nośniki oddziaływań (cząstki pzenoszące oddziaływanie): Tabela. Własności cząstek pośedniczących oddziaływanie teoia elektomagnetyczne elektodynamika kwantowa (QED) słabe model standadowy (SM) silne chomodynamika kwantowa (QCD) gawitacyjne teoia gawitacji (kwantowej) symbol γ W +, W - g Z nazwa foton bozony gluony gawiton b pośedniczące masa 8,4 GeV/c a? GeV/c (założone) ładunek (Z), ±1 (W) 1

110 ozpad stabilny W +, W - hadony τ + ν τ e + ν e μ + ν μ Z hadony, ν l ν l (all l) τ + τ - a ładunek koloowy b cząstka hipotetyczna μ + μ - e + e - stabilny stabilny Rys 1. Siły działające między dwoma ładunkami. Pawo Coulomba. Weźmy dwa ładunki q 1, q odległe od siebie o (patz ysunek 1.). Pawo Columba: F q1 q q1 q k ˆ k 3, (1.1) gdzie k, w układzie SI (w póżni): k 1 9 N m C (1.) stała Coulomba. Dla poównania pzypomnijmy pawo ciążenia: F G M m ˆ, (1.1)

111 Gdzie stała gawitacji G jest ówna: -11 m N G (1.) kg Iloaz tych stałych popocjonalności w pawie Coulomba i pawie ciążenia wynosi, jednostki pomijamy, by dać pojęcie o skali tych wielkości: 1 4 / G (1.) Wniosek: analizując oddziaływanie elektostatyczne (elektyczne) ładunków, oddziaływanie gawitacyjne mas tych ładunków może być pominięte (patz wyżej na ysunek o czteech oddziaływaniach). W póżni postać pawo Coulomba pzyjmie postać: F 1 q q 1 3 4, (1.1) W ośodku óżnym od póżni musimy uwzględnić pzenikalność elektyczną ośodka, stąd: (1.3) - pzenikalność elektyczna póżni - względna pzenikalność elektyczna ośodka (stała bezwymiaowa) Oddziaływanie elektyczne ładunków zależy od ośodka, w któym ładunki się znajdują. Ośodek wpływa na oddziaływanie, ale też pole elektyczne oddziałuje na ośodek (polayzacja elektyczna ośodka). Pole elektyczne Pojęcie pola elektycznego. Ładunek oddziałuje z polem wytwozonym pzez dugi ładunek a nie oddziałują bezpośednio ze sobą. Pole elektyczne definiuje się jako siłę na jednostkę ładunku: F F q E E (.1) q 3

112 gdzie E natężenie pola elektycznego, F siła z pawa Coulomba (ównanie 1.1), q ładunek póbny (dodatni). Pzykład: natężenie pola elektycznego wytwazanego pzez ładunek punktowy Q i działającego na ładunek q wynosi: E F q 1 4 Q ˆ, (.) Równanie.1 jest pawdziwe tylko w pzypadku, gdy ładunki są nieuchome (elektostatyka). Jeżeli ładunki się pouszają, zależność między siła a natężeniem pola elektycznego opisuje pawo Loentza. F q E vxb (.3). Pola elektyczne dodają się wektoowo. Jeżeli mamy wiele ładunków, to całkowite pole elektyczne jest ówne: E E E E 1 3 E i (.4). i gdzie E i - natężenie ładunku punktowego dane jest pzez ównania.: Pzykłady pól wektoowych: pole ładunku dodatniego, układu dwóch ładunków i ładunków zgomadzonych na powiezchniach walca, sfey, powiezchni płaskich, pezentuje ysunek poniżej. Pole elektyczne nie jest modelem abstakcyjnym. Jest to twó fizyczny jak najbadziej ealny. Pzykładem ealnego pola elektycznego są piouny (buza). Poniżej pzedstawiono kilka pzykładów pola elektycznego. Rys. Pola elektyczne wytwazane pzez óżne układy ładunków Własności pola elektycznego. Natężenie pola elektycznego spełnia pawo odwotności kwadatu odległości 4

113 E 1, patz ysunek: Rys..3 Pole elektyczne spełnia pawo odwotności kwadatu odległości. Inne wielkości spełniające tę zależność: pole gawitacyjne, natężenie pomieniowania. Ciekawe pezentacje, link: Ładunek elektyczny. Atomy, cząsteczki zbudowane są z elektonów, potonów i neutonów; dwa ostatnie, zwane nukleonami, twozą jądo atomowe. Elektony, potony oaz neutony posiadają następujące ładunki elektyczne: q q q e p n ( ) x1 ( ) x x1 1 x q e [ C] [ C] (.1) Ładunki potonu i elektonu są sobie ówne, w ganicy błędu pomiaowego. Dla wygody definiujemy ładunek elementany (ujemny) e q e q : 19 e 1.6 x1 [ C] (.) Każdy ładunek elektyczny, z któym mamy do czynienia jest całkowitą wielokotnością ładunku elementanego. p 5

114 Rys..4 Neuton i poton budowa nukleonów. Masa neutonu jest o około. % większa od masy potonu. Odpowiada to enegii 1.9 MeV. Poton jest wieczny. Wolny neuton ma czas życia 1.3 minuty. Ale w jądze atomu jest stabilny. Kanał ozpadu neutonu pokazano poniżej. Jest to pzykład słabego oddziaływania Rys. Rozpad neutonu Rozpad potonu skojazmy jest z pzekształceniem kwaku d w kwak u. Czy poton może zamienić się w neuton? Tak, ale należy dostaczyć enegię 1.9 MeV. Badzo kótko po Wielkim Wybuchu (Big Bang), kiedy enegia temiczna była o większa od tej watości, pzejścia n <-> p zachodziły w obu kieunkach, a ilość n i p była jednakowa. Definicja wielkości ładunku w układzie jednostek SI. Ładunki elektyczne miezymy w Coulombach [C]. Jak to wielkość? W naszych gniazdkach mamy napięcie U [V], jeżeli podłączymy do niego uządzenie o mocy [W], np. badzo mocną żaówkę, to pzez to uządzenie popłynie pąd 1 [A]. 1 [C] (Coulomb) to ładunek, jakie pzepływa pzez to uządzenie w ciągu 1 s! 6

115 3. Potencjał pola elektostatycznego. Pole elektyczne jest polem wektoowym (ys..1,.) ale ównież polem skalanym. Pole elektyczne jest polem zachowawczym paca wykonana pzez pole elektyczne nie zależy od dogi, lecz od położeń punktu początkowego i końcowego. Dlatego paca wykonana dla dogi zamkniętej jest ówna zeo. F d q E d, (3.1) Równanie 3.1 jest pawdziwe dla każdego pola zachowawczego (np. pola gawitacyjne). Jeżeli pole jest polem zachowawczym, to znaczy, że dla takiego pola istnieje potencjał i enegia potencjalna. Enegię potencjalną w punkcie, czyli U ( ) definiujemy jako: U ( ) F d q E d q E d, (3.), jest to paca wykonaną pzez siły zewnętzne pzy pzenoszeniu ładunku punktowego q z nieskończoności do punktu. Pzykład: dla dwóch ładunków punktowych odległych o, enegia potencjalna takiego układu ładunków wynosi: U ( ) F d q 1 E d 1 4 q1 q, (3.3), Paca wykonana pzez siły pola pzy pzesunięciu ładunki z 1 do wynosi: W ) F d F d F d U( ) U( ) (3.4), ( i jest ówna óżnicy enegii potencjalnej w tych punktach. Ogólna zależność między siłą a enegią potencjalną jest następująca: F gadu ( ) U ( ), (3.5); Opeato óżniczkowy, zwany opeatoem Hamiltona albo opeatoem nabla 1, w układzie współzędnych katezjańskich [ x, y, z] ma szczególnie postą postać: 1 nabla z semickiego hafa, pzypomina staoegipską hafę 7

116 x, y z, (3.6). Można go taktować jako wekto. Działanie opeatoa gadientu na pole skalane pzedstawia ys. 3.1 Rys. 3.1 Pole skalane zaznaczono pzez czeń (wysoka watość) i biel (niska watość). Gadient niebieskie stzałki wskazują wysokie watości pola skalanego. Równanie to jest uposzczoną wesją ównania 3.5, pawdziwą jedynie dla pól sfeycznie symetycznych, takich jak pole ładunku punktowego. Pozwala ono policzyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o enegii potencjalnej U(). Jeżeli znamy siłę, a chcemy obliczyć enegię potencjalną posłużymy się zależnością wynikającą z ównania 3.4: U( 1 ) U( ) 1 F d (3.9), Równania są słuszne dla każdego pola zachowawczego, np. pola elektycznego, pola gawitacyjnego. Potencjał ( ) jest to enegia potencjalna pzypadająca na jednostkowy ładunek. Związek między potencjałem potencjałów enegią potencjalną jest oczywisty: U ( ) ( ) (3.1), q 8

117 Różnica potencjałów w dwóch punktach jest zatem ówna: U ( 1 ) U ( ) W ( 1 ) ( 1 ) ( ) (3.11), q q i jest nazywana napięciem. W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt]. Podstawiając do ównania 3.11 definicję enegii potencjalnej (ówn. 3.4) otzymamy potencjał będzie okeślony pzez zależność: ( ) E d E d, (3.1). Równanie 3.1 jest ównaniem całkowym. Związek między potencjałem a wektoem natężenia pola elektycznego można ównież pzedstawić w postaci ównania óżniczkowego, analogicznego do ówn. 3.5: E gad ( ) ( ), (3.4). Pzykład: dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie: ( ) E d 1 4 q (3.5). Wielkościami chaakteyzującymi pole oaz związki między nim i zebano w tabeli 1. Związki te są analogiczne dla związków pola gawitacyjnego. Pzykład: dla ładunku punktowego powiezchnie ekwipotencjalne to zbió współśodkowych sfe w śodku, któych znajduje się ładunek punktowy. Pzedstawiono to na ys. 3.. Rys. 3. Pole ładunku punktowego, powiezchnia ekwipotencjalna oaz pole wektoowe. 9

118 Powiezchnie ekwipotencjalne powiezchnie stałego potencjału, spełniające ównanie ( ) const Paca pzy pzesunięciu ładunku na pow. ekwipotencjalnej! Paca wykonana pzy pzesunięciu ładunku między óżnymi powiezchniami ekwipotencjalnymi jest óżna od zea! Związki między polem a własnościami ładunków, między wielkościami wektoowymi oaz wielkościami skalanymi ukazuje poniższa tabelka. Tabela 1. Związki między wielkościami chaakteyzującymi pole elektyczne. własności ładunków wielkości siła: wektoowe 1 q1 q F ˆ 4 związki między F U () nimi wielkości skalane enegia potencjalna: 1 q1 q ( ) 4 U powiązania F qe U( ) q( ) własności pola pole elektyczne 1 q1 E ˆ 4 E () potencjał; 1 ( ) 4 q. Pawo Gaussa Cal Fiedich Gauss ( ) 1

119 Pawo Gaussa podstawowe pawo elektostatyki. Stosuje się je zaówno dla pola elektycznego jak i pola gawitacyjnego. Ma ono analogiczną postać w pzypadku obu tych pól, jakże pzecież óżnych, W fizyce (i matematyce) pawo Gaussa definiuje związek stumieniem pola elektycznego (pola gawitacyjnego) pzechodzącego pzez dowolną powiezchnię zamkniętą a ładunkiem (odpowiednio masą) zamkniętą wewnątz tej powiezchni. Rys.1 Stumień pola elektycznego Pzykład: stumień pomieniowania Słońca Pzesilenie zimowe - dzień w oku, w któym Słońce góuje w zenicie w najdalej na południe wysuniętej szeokości geogaficznej, na któej może góować w zenicie na zwotniku Kozioożca. Najkótszy dzień (7 h, 4 min), najdłuższa noc na półkuli północnej. Kąt padania pomieni słonecznych (w południe) w dniu pzesilenia zimowego (1 lub gudnia) w centum Waszawy (5 13' szeokości geogaficznej północnej) wynosi 14 '. Pzesilenie letnie - dzień w oku, w któym Słońce góuje w zenicie w najdalej na północ wysuniętej szeokości geogaficznej, na któej może góować w zenicie na zwotniku Raka. Kąt padania pomieni słonecznych (w południe) w dniu pzesilenia letniego w centum Waszawy (5 13' szeokości geogaficznej północnej) wynosi 61 14'. Najdłuższy dzień (od 16h 1min do 17h min w Polsce), najkótsza noc na półkuli północnej (około czewca). 11

120 Obliczyć stosunek stumienia pomieniowania słonecznego w dniu pzesilenia zimowego i letniego. Co to jest ównonoc wiosenna i jesienna? Odp. 8 %. Stumień pola elektycznego definiujemy następująco: E E A E Acos ( E, A) (.1a). gdy powiezchnia jest płaska i twozy stały kąt ze z natężeniem (patz ys..1). W pzypadku dowolnej powiezchni (zakzywionej) stumień definiujemy jako nieskończoną sumę nieskończenie małych pzyczynków (óżniczek) stumienia (patz ys..1): E E da A 1 A D da (.1b). gdzie: E - stumień pola elektycznego, D, E wektoy pola elektycznego, A powiezchnia zamknięta. Teaz pawo Gaussa. Pawo Gaussa: (postać całkowa pawa Gaussa) E 1 E da dv ( ) A V Q (.). gdzie: A powiezchnia obejmująca objętość V. Stumień pola elektycznego pzechodzącego pzez dowolną powiezchnię zamkniętą jest popocjonalny do całkowitego ładunku elektycznego zamkniętego pzez tą powiezchnię. Inaczej mówiąc, pawo Gaussa głosi, że pole elektyczne jest polem źódłowym. Istnieją ładunki elektyczne, któe wytwazają pole elektyczne. Jeszcze az pawo Gaussa, czyli I pawo Maxwella. A DdA Q (.6). postać całkowa i óżniczkowa. 1

121 Pawo Gaussa stosuje się nie tylko do pola elektycznego. Jest pawdziwe dla każdego pola, któego natężenie zmienia się jak odwotność kwadatu odległości ~1/. Obowiązuje ównież np. dla pola gawitacyjnego, dla intensywności pomieniowania. Zadanie: wykazać, że pawo Coulomba wynika z pawa Gaussa (patz ys..) Rys.. Stumień pola elektycznego dla ładunku punktowego Pawo Gaussa definiuje pole elektyczne jako pole źódłowe. Źódłem pola elektycznego są ładunki elektyczne. Pzykłady: kozystając z pawa Gaussa można obliczyć pole elektyczne ładunków ozmieszczonych na: a) jednoodna naładowana płaszczyzna b) naładowanego cylinda o pomieniu R Odpowiedź: 13

122 E R E dla R dla R b) naładowanej kuli o pomieniu R Odpowiedź: Q E 4 R Q E 4 3 dla R dla R pzypadek na zewnątz kuli jest ównoważny polu ładunku punktowego, pzypadek wewnątz kuli pomoże ozwiązać ysunek: d) dwóch naładowanych, ównoległych płaszczyzn 3. II ównanie Maxwella Paca wykonana pzy pzesunięciu ładunku między dwoma punktami wynosi: W( 1 ) F dl q E dl, (3.1), 14

123 Pole elektyczne jest polem zachowawczym. Paca wykonana po dowolnej dodze zamkniętej ówna się zeo., (3.), dw E dl Skozystamy tutaj z twiedzenia Stokes a. L E dl (3.5). znaną jako II ównanie Maxwella. II ównanie Maxwell stwiedza, że pole elektyczne jest polem zachowawczym. 4. Dipol elektyczny Dipol elektyczny: układ dwóch ładunków: +q i q odległych o stałą odległość d. Rys. 3.1 Dipol elektyczny Moment dipolowy cząsteczki jest zdefiniowany jako: p q d, (4.1), Na ys 4. pzedstawiono powiezchnie ekwipotencjalne, czyli potencjał skalany dipola elektycznego. Pole elektyczne dipola elektycznego konstuuje się jak suma (wektoowa) pól elektycznych pochodzących od ładunku dodatniego q i ujemnego -q. Łatwiej jednak jest wyznaczyć skalany potencjał dipola, któy jest sumą (algebaiczną) potencjałów skaanych pochodzących od dodatniego i ujemnego ładunku (patz ys. 4.). 15

124 Rys. 4. Obliczanie potencjału skalanego dipola elektycznego Potencjał w punkcie P wynosi: q 1 1 q ( ) 4 4, (4.), Inteesujące wynik otzymujemy, gdy >> d wówczas. Stosujemy pzybliżenie: d cos,, (4.3). Potencjał dipola elektycznego zapisujemy następująco: ( ) q d cos 1 p ˆ, (4.4). 4 4 Obliczeń dokonano w póżni. W pzypadku dipola elektycznego w ośodku należy zmodyfikować wzó 4.4, uwzględniając względną pzenikalność elektyczną ośodka. Mając dany potencjał skalany dipola elektycznego możemy obliczyć pole elektyczne na podstawie wzou 1.1.5: E( ) 1 3( p ˆ) ˆ p ( ) 3, (4.4). 4 Jest to znany wzó na pole elektyczne dipola elektycznego. W pzypadku, gdy oś Z skieowana jest wzdłuż osi dipola elektycznego, składowa z owa pola elektycznego jest ówna: 16

125 E z p (3(cos ) 3 4 1), (4.4). 4.1 Oddziaływanie dipola z polem elektycznym Umieszczenie dipola elektycznego o momencie dipolowym p w polu elektycznym o natężeniu E, powoduje, że na dipol zaczyna działać moment siły: M p E, (4.1.1). Moment siły działający na dipol będzie obacał dipol ustawiając go ównolegle do linii natężenia pola elektycznego, gdyż w takim położeniu dipol elektyczny minimalizuje swoją enegię potencjalną ówną: U p E, (4.1.). Dipol elektyczny m maksymalną enegię, gdy dipol jest antyównoległy do E. Pole elektyczne działa poządkująco na zbió chaotycznie skieowanych dipoli elektycznych. 1.1 Indukcja pola elektycznego oaz pzenikalność elektyczna ośodka Jak będzie wyglądało pole elektyczne w ośodku óżnym od póżni: w cieczach, gazach, czy ciałach stałych, czyli ośodkach chaakteyzujących się óżną od jedności względną pzenikalnością elektyczną? Musimy powadzić nową wielkość. Pole elektyczne definiujemy w takich ośodkach popzez wekto indukcji pola elektycznego D w sposób następujący: D E, (1..1). gdzie: D wekto indukcji pola elektycznego, E wekto natężenia pola elektycznego, - pzenikalność elektyczna ośodka. Pzenikalność elektyczna ośodka jest skalaem w ośodku izotopowym, czyli takim, któego własności elektyczne są takie same niezależnie od kąta w jakim dokonujemy pomiay. Oznacza to, że w ośodku izotopowym wektoy D i E są do siebie ównoległe. W ośodku anizotopowym, któego własności elektyczne zależą od kąta, w któym dokonuje się pomiaów, pzenikalność elektyczna ośodka jest tensoem -go zędu (maciezą dwuwymiaową), a wektoy D i E pzestają być ównoległe. Pzykład były izotopowej: kula. 17

126 Pzykład były anizotopowej: sześcian, ogólnie każda była nie będąca kulą (sfeą). Pzenikalność elektyczna ośodka definiujemy jako iloczyn (1..) gdzie: - pzenikalność elektyczna póżni, fundamentalna stała pzyody Względna pzenikalność elektyczna ośodka (stała bezwymiaowa) okeśla ile azy pzenikalność danego ośodka jest większa od pzenikalności elektycznej póżni. Dla póżni 1. Względna pzenikalność elektyczna zależy od budowy cząstek (molekuł) twozących mateiał. Może być skalaem lub tensoem zędu -go. W zmiennym polu elektycznym względna pzenikalność elektyczna jest funkcją częstotliwości zmian pola elektycznego. Dla stałego pola elektycznego mamy do czynienia ze stała pzenikalnością statyczną. Ze względu na własności elektyczne mateiały dzielimy ją na tzy odzaje: dielektyki, paaelektyki i feoelektyki. Wato tu pzypomnieć związek między elektycznymi i magnetycznym własnościami póżni a pędkością światła: 1 c, (1..3) gdzie: ε podatność elektyczna, μ podatność magnetyczna póżni. Pzenikalność elektyczna popzez indukcję elektyczną D okeśla odpowiedź ośodka (mateiału) na pzyłożone zewnętzne pole elektyczne E. Pzyłożone pole elektyczne oddziałuje na ośodek dwojako. Ośodek wpływa na oddziaływanie, modyfikując je w istotny sposób, ale też pole elektyczne oddziałuje na ośodek (zjawisko polayzacji polayzacja elektycznej ośodka). Widać to w pędkości światła. W ośodku o okeślonej podatności elektyczne i magnetyczne, pędkość światła wynosi: 1 c, (1..4) gdzie: ε to podatność elektyczna ośodka, μ podatność magnetyczna ośodka. Pędkość światła w ośodku jest óżna (niższa) od pędkości światłą w póżni. Mateiał wpływa na popagację fali elektomagnetycznej (światła). Zmienia (obniża) pędkość światła. Wekto indukcji pola elektycznego, ównież okeślany jako wekto pzesunięcia, może być zdefiniowany jako: 18

127 D E P (4..1). gdzie: P wekto polayzacji. Jest on wpost popocjonalny do natężenia pola elektycznego, co zapisujemy następująco: P E (4..). Po podstawieniu o wzou 4..1 otzymamy zależność opisującą watość indukcji pola elektycznego: D E P ( 1 E E (4..3). ) Współczynnik 1 nazywamy względną pzenikalnością elektyczną dielektyka, zaś współczynnik nazywany jest podatnością elektyczną dielektyka. 4.3 Własności mateii a pole elektyczne Mateię dzielimy, ze względu na to jak eaguje na pzyłożone zewnętzne pole elektyczne, na dwie główne gupy: dielektyki ( 1 ), paaelektyki ( 1 ), feoelektyki( 1 ). To, do jakiej gupy pzynależy konketny mateiał, zależy od jego budowy molekulanej. W ogólnym pzypadku pzenikalność elektyczna jest maciezą (tensoem dugiego zędu). Pomia pzenikalności elektycznej mateiału dostacza infomacji o stuktuze cząstek twozących tą mateię. Tablica Pzykładowe watości pzenikalności elektycznej Dielektyki Paaelektyki He 1.7 woda (H O) ~81 H 1.7 etanol (C H 5 OH) 7 N 1.58 Dielektyki twozą mateiały, zbudowane z cząsteczek niepolanych, czyli cząsteczek, któe nie posiadają twałych elektycznych momentów dipolowych. 19

128 Obecności pola elektycznego powoduje indukowanie momentu dipolowego, popzez pzesunięcie śodków ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych. Zjawisko to nosi nazwę polayzacji elektonowej. Pole elektyczne poządkuje jednocześnie dipole elektyczne zgodnie z zwotem pola (wzoy oaz 4.1.). Jest to polayzacja kieunkowa. Cząstki niepolane to cząstki o budowie symetycznej, jak: H, N, O, czy gazy szlachetne. Paaelektyki to mateiały, któych cząsteczki posiadają twały elektyczny moment dipolowy ównież w nieobecności pola elektycznego. Są to tzw. cząstki polane. Doskonałym pzykładem jest cząsteczka wody (H O) (patz ys. 4.3). W nieobecności zewnętznego pola elektycznego paaelektyki nie wykazują pola elektycznego, ponieważ dipole elektyczne są zoientowane w sposób pzypadkowy, chaotyczny, i pola dipoli wzajemnie się znoszą. Rys. 4.3 Cząsteczka wody Rysunek 4.3 ukazuje budowę cząsteczki wody. Między tlenem (O) a wodoami (H) występują wiązania wodoowe. Badzo ważne dla własności wody są odległości i kąt jaki twozą jony odou. Cząstka wody posiada moment dipolowy. Jest to cząstka polana. Pole elektyczne działając na cząsteczki polane poządkuje ułożenie dipoli elektycznych (polayzacja kieunkowa albo oientacyjna). Własności elektyczne istotnie wpływają na inne własności mateii. Widać to wyaźnie na pzykładzie wody (patz ys 4.4). Taka budowa deteminuje niezwykłe własności wody np.: punkt potójny (w.1 C pzy ciśnieniu nomalnym) czy anomalna ozszezalność wody. Rys. 4.4 Wiązania cząsteczek wody

129 Anomalna ozszezalność wody - zmniejszanie się objętości wody (i wzost gęstości wody) w miaę wzostu tempeatuy w pzedziale od do 4 Celsjusza. Maksimum gęstości wody pzypada w tempeatuze 3.98 C. Jest to niezwykłe zjawisko w świecie ciał stałych. Woda zamazając zwiększa swoją objętość o około 9 %. Oznacza to, że lód jest lżejszy od wody. Pzyczyna, dla któej kostka lodu nie tonie w szklance a zbioniki wodne nie zamazną do samego dna nawet podczas największych mozów. Tzeci odzaj mateii: feoelektyki, są to mateiały wykazujące pole elektyczne ównież w nieobecności zewnętznego pola elektycznego. Chaakteystyczną cechą feoelektyków jest stuktua domenowa, któa powoduje np. występowanie histeezy elektycznej. Podobnie histeezę magnetyczną obsewujemy w feomagnetykach. Pod względem własności magnetycznych mateiały dzielimy na diamagnetyki, paamagnetyki i feomagnetyki. 1

130 Opowiem ci o wiedzy. Uznać to, co znane, za znane, a to co nieznane, za nieznane, to jest wiedza. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, p.n.e.) Dialogi, II/17 Elektyczność i magnetyzm. Pąd elektyczny 1. Enegia pola elektycznego Pole elektyczne zawiea w sobie enegię. Łatwo to wykazać na podstawie popzednich ozważań. Ładunek q umieszczony w miejscu o potencjale ( ) posada enegię potencjalną ówną U( ) q( ). Paca niezbędna do pzemieszczenia ładunku między dwoma punktami o óżnicy potencjałów () jest ówna: W ( 1 1 ) q q( ( ) ( )) (1.1), Pzypadek dwóch ładunków jest posty. Można uogólnić to na pzypadek N ładunków punktowych, każdy q i umieszczony w punkcie i. Enegia potencjalna takiego układu ładunków jest ówna: N 1 U qiv ( i ) i (1.). gdzie potencjał oznaczano tutaj konwencjonalnie pzez V( ) ( ). Czynnik ½ występuj we wzoze 1., ponieważ dwukotnie sumujemy po każdym ładunku. W pzypadku, gdy ładunków jest badzo dużo, gdy mamy ciągły a nie dysketny ozkład ładunków, enegia potencjalna jest okeślona pzez zależność: U 1 3 ( ) V ( ) d (1.3), gdzie () to gęstość ładunku, V() potencjał pola elektycznego w punkcie, a całkowanie odbywa się po całej pzestzeni. Kozystając z pawa Gaussa można wykazać, że enegia potencjalna ciągłego układu ładunków wynosi: U 1 3 E d (1.4), 1

131 Wielkość występującą pod całką nazywamy gęstością enegii pola elektycznego (enegia na jednostkę objętości): 1 w E (1.4).. Pąd elektyczny W pewnej gupie mateiałów, zwanych pzewodnikami, pzyłożone pole elektyczne wywołuje pzepływ elektonów, zgodnie z óżnicą potencjałów (pzyłożonym napięciem). Zjawisko to opisuje pawo Ohma: U I R (.1). U napięcie (óżnica potencjałów) [V - volt], I natężenie pądu [A - ampe], R stała, okeślając opó elementu. Pzykład Układ zmiennopądowy z kondensatoem. Schemat układu pokazuje ysunek. Źódło jest zmiennopądowe Odpowiedź układy (oponika, ezystoa) jest następująca:

132 Napięcie i natężenie pądu płynącego obwodzie są zgodne w fazie. Związek między napięciem a natężeniem pądu podaje pawo Ohma: U I Z gdzie Z impedancja. W pzypadku gdy Z R mamy postać pawa Ohma: U I R Impedancja (opó) dla tego obwodu jest stały, nie zależy od kieunku pądu ani od częstości pądu (napięcia)! Jednostką opou w układzie SI jest Ohm [Ω ] Pąd elektyczny upoządkowany uch ładunków. Definiujemy go popzez wielkość zwaną natężeniem pądu elektycznego, któy jest ówna: dq I (.), dt lub gdy I const Q I (.3), t Natężenie pądu jest ówne iloazowi ładunku elektycznego, jaki pzepłynął pzez powiezchnię, do czasu pzepływu. Jednostki w układzie SI: 1C 1 A (.4), 1 s 1 A [ampe] jest to pąd jaki pzepływa pzez pzewodnik, gdy pzez tenże pzewodnik (dokładniej pzez pzekój pozeczny tegoż pzewodnika) pzepływa ładunek 1 Coulomba w czasie ównym 1 sekundzie. Równania. i.3 opisują pąd elektyczny makoskopowo, jest to pąd pzepływający pzez cały pzekój pozeczny pzewodnika. Mikoskopowo opiszemy pąd definiując wekto gęstości pądu: d I j (.4a), ds Wyażany w jednostkach gęstości pądu [A/m ]. Natężenie pądu jest wektoem o watości okeślonej ównaniem.3 (lub.4) a o zwocie (i kieunku) 3

133 płynącego pądu. Histoycznie zecz ujmując, kieunek pądu wyznacza uch dodatnich ładunków. W metalach, jak miedź, aluminium, złoto, dodatnie jonu są nieuchome, a w pzepływie pądu bioą udział tylko ujemnie naładowane elektony (płynąc w pzeciwnym kieunku). W wielu mateiałach obsewujemy jednoczesny uch dodatnich i ujemnych ładunków np.: w elektolitach czy gazach. Pąd w plazmie to pzepływ elektonów oaz dodatnich i ujemnych jonów. Istnieje ównież inny odzaj mateiałów półpzewodniki typu p czy n, w któych pąd jest dobze opisać jako uch dodatnio naładowanych elektonów, tzw. dziu ( holes ). Pąd elektyczny w pzewodniku, opisany pawem Ohma zmienia się, gdy zmienia się tempeatua pzewodnika. Dzieje się tak dlatego, gdyż opó R nie jest stały, ale w istocie zmienia się liniowo w funkcji tempeatuy: R T) R (1 ( T )), (.5), ( T gdzie R to opó mateiału w tempeatuze T. Należy pamiętać, że zależność.5 jest tylko pzybliżona i ma oganiczony zakes stosowalności dla pzewodników jednoodnych, izotopowych i pzy niewielkich wahaniach tempeatu. Dla pzewodnika o długości l, pzekoju popzecznym S, jego opó R będzie ówny: R l, (.6), S gdzie ρ to opó właściwy [Ω m] watość chaakteystyczna mateiału, z któego wykonano pzewodnik. Ze względu na opó właściwy mateiały dzielimy na pzewodniki, półpzewodniki i izolatoy. Watość opou właściwego dla kilku mateiałów pzedstawia tabela. Tabela. Oponość właściwa niektóych mateiałów mateiał ρ [Ω m] miedź (Cu) 1.68 x 1-8 aluminium (Al).65 x 1-8 geman (Ge)* 1 5 x 1-3 węgiel, gafit (C)* 3 6 x 1-5 kzem (Si)*.1-6 x 1-3 szkła 1 1 x 1 9 kwac (SiO ) 7.5 x

134 * - opó właściwy półpzewodników silnie zależy od obecności i koncentacji domieszek. Własność wykozystywana w fizyce ciała stałego i pzemyśle półpzewodnikowym Wato zwócić uwagę, że oponość właściwa dla pzewodnika i izolatoa óżnią się między sobą o 4 zędy wielkości! Jest to największa ozpiętość watości jakiejkolwiek wielkości fizycznej. Czy istnieją mateiały, któych opó jest ówny zeo? Tak. Istnieją mateiały, któe nie mając opou! Nadpzewodniki. Właściwy podział mateiałów ze względu na opó to: a) izolatoy, b) półpzewodniki, c) pzewodniki, d) nadpzewodniki Z nadpzewodnikami związane jest zjawisko nadpzewodnictwa oaz nadpzewodniki wysokotempeatuowe. Nadpzewodnictwo Cecha mateiału polegają na tym, że ten mateiał w pewnych waunkach wykazuje zeowy opó elektycznym Istota zjawiska: skąd się bieze opó elektyczny? Opó wynika z ozpaszania elektonów. Elektony, podczas sego uchu w pzewodniku (kysztale) mogą ozpaszać się na: a) defektach (niedoskonałościach) sieci, b) na innych elektonach. Rozpaszanie to powadzi do pzekazywania części enegii kinetycznej elektonu do sieci kystalicznej, a tym samy powoduje gzanie (podnoszenie tempeatuy) pzewodnika. Zjawisko to znane jest pod nazwą ciepła Joula Lentza. Rys. Zależność opou właściwego (zielona linia) oaz ciepła właściwego (niebieska linia) w funkcji tempeatuy dla tęci (Rg). 5

135 Na ysunku widać skok watości opou właściwego i ciepła właściwego mateiału w tempeatuze kytycznej T c 4. K dla tęci. Jest to pzykład tęci, dla któego odkyto zjawisko nadpzewodnictwa. Wdać pzemianę fazową, pzejście z fazy nomalnej do nadpzewodzącej z opoem ównym zeo. Teoia wyjaśniająca zjawisko nadpzewodnictwa to tzw. teoia BCS od nazwisk jej twóców: Johna Badeena, Leona Coopea i Robeta Shieffea. Za stwozenie tej teoii otzymali oni w 197 oku Nagodę Nobla z fizyki. Istota tej teoii polega na tym, że w pocesie pzewodnictwa w nadpzewodniku bioą udział pay Coopea. Paę Coopea twozą dwa elektony spzężone ze sobą za pomocą dgań sieci kyształu (fononów). Odległość między spzężonymi elektonami jest badzo duża zędu 1 A. W związku z tym tak duża cząstka nie może się ozpaszać ani na defektach sieci ani na innych elektonach (paach) Rozóżnia się dwa zasadnicze odzaje nadpzewodnictwa: 1. nadpzewodnictwo niskotempeatuowe, odkyte w 1911 oku pzez holendeskiego fizyka Kamelingha-Onnesa (Nagoda Nobla w 1913) dla tęci. Występuje w tempeatuach poniżej 3 K w metalach i stopach metalicznych (nadpzewodnikami I odzaju).. nadpzewodnictwo wysokotempeatuowe, powyżej 3 K. Bak teoii wyjaśniającej to zjawisko. Najwyższa tempeatua kytyczna wynosi obecnie 138 K (-135,15 C) dla związku (Hg.8 Tl. )Ba Ca Cu 3 O Inny podział: 1. nadpzewodnictwo I odzaju (pzejście fazowe piewszego odzaju). nadpzewodnictwo II odzaju (pzejście fazowe dugiego odzaju).1 Paca i moc pądu Oponik o opoze R pzekształca enegię elektyczną na ciepło. Paca wykonana pzy pzesunięciu ładunku dq pzez napięcie U wynosi: dw U dq U I dt, (.8). Całkowita paca wykonana w czasie t będzie ówna: W t t dw U I dt U I t, (.9). Paca ta zamienia się w ciepło. Jest to ciepło Joula Lentza. Moc pądu wynosi: 6

136 dw P U I, (.9). dt Jednostką pacy (ciepła) jest 1J (Joul), jednostką mocy jest Wat (kilowat kw, gigawat GW), 1 W 1 J/s 1 V A.. Użyteczne pawa i zależności Zazwyczaj mamy do czynienia z mniej lub badziej skomplikowaną siecią elementów elektycznych (oponików i innych elektycznych elementów obwodu). Do obliczeń sieci użyteczne są dwa pawa Kichoffa. I pawo Kichoffa: N Ii (..1), i suma pądów wpływających i wypływających z węzła sieci jest ówna zeo. II pawo Kichoffa: I R (..), i i i W oczku sieci suma sił elektomotoycznych i spadków napięć jest ówna zeo (zasada zachowania enegii) Związek między siłą elektomotoyczną źódła pądu a napięciem U i natężeniem I jest następujący U I (..3), R w gdzie R w opó wewnętzny źódła. W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma oponikami połączonymi ównolegle lub (i) szeegowo. Często musimy znaleźć oponość zastępczą układu szeegowo lub ównolegle połączonych oponików. Łączenie szeegowe oponików Opó zastępczy układu N szeegowo połączonych oponików jest ówny: 7

137 N R R i (..4), i Łączenie ównolegle oponików Opó zastępczy układu N ównolegle połączonych oponików jest ówny: 1 R N i 1 R i (..5), 3. Kondensatoy Najpostszy pzykład kondensatoa pzykład kondensatoa płaskiego pokazuje ys. 3.1 Rys. 3.1 Kondensato płaski Podłączona bateia tanspotuje ładunki z jednej płyty kondensatoa na dugą, dopóki napięcie między płytami kondensatoa nie zówna się z napięciem bateii. Paamet chaakteyzujący kondensato to pojemność kondensatoa: Q C (..5), U Jednostki 1 F Faad 1 Coulomb/ V Kondensatoy magazynują enegię w postaci pola elektycznego. Paca pzy umieszczeniu ładunku dq na kondensatoze o napięciu U wynosi: dw U dq CU du (..6), Dlatego enegia naładowania kondensatoa o pojemności C i napięciu U jest ówna: 8

138 U 1 1 Q E C U du CU QU (..7), C Enegia kondensatoa jest ówna pacy wykonanej pzy ładowaniu kondensatoa. Pzykład: 1. Kondensato płaski (ys. 3.1) o powiezchni okładek S, odległych o d, wypełniony dielektykiem ma pojemność: S C (..5), d. Kondensato kulisty (ys. 3.1) o pomieniach R 1 i R, wypełniony dielektykiem ma pojemność: C 4 R R 1 (..5), R1 R Łączenie ównoległe kondensatoów: Pojemność zastępcza układu N ównolegle połączonych kondensatoów jest ówna: N C C i (..4), i Łączenie szeegowe kondensatoów: Opó zastępczy układu N szeegowo połączonych oponików jest ówny: 1 C N i 1 C i (..5), 9

139 3.1 Pzykład. Układ z kondensatoem Rozpatzmy układ składający się ze źódła (zmienne napięcie) i kondensatoa (patz ysunek). Odpowiedź kondensatoa jest następująca: Napięcie jest pzesunięte w fazie o 9 w stosunku do natężeni pądu. Związek między napięciem a natężeniem pądu jest następujący: U I (.1). X C gdzie X C impedancja ówna: 1 X C (.1). C Dla tego obwodu impedancja jest funkcją częstości, nie jest stała! Mówimy tutaj o impedancji a nie o opoze obwodu. Co będzie się działo z pądem, gdy obwód zasilimy napięciem stałym? Elektyczność i magnetyzm. Pole magnetyczne 1

140 1. Pole magnetyczne Pawo Loentza: siła działając na cząstkę o ładunku q pouszającą się w polu elektycznym i magnetycznym: F q( E v B) (1.1), gdzie v pędkość cząstki, ładunków, E, B wielkości chaakteyzujące pole elektyczne [V/m] i magnetyczne [T], odpowiednio. Pzykład działania siły Loentza pzedstawia ysunek 1. Rys. 1 Siła Loentza działająca na dodatni i ujemny, pouszający się ładunek elektyczny Kieunek pola magnetycznego okeślamy popzez egułę pawej dłoni. 11

141 Rys. Reguła pawej dłoni. Pole magnetyczne elatywistyczna część pola elektycznego (Einstein). Pole magnetyczne związane jest z pzepływem pądu. W istocie źódłem pola magnetycznego jest pąd elektyczny (pouszające się ładunki elektyczne) patz pawo Loentza (ównanie 1.1) Siła działająca na pzewodnik z pądem I, umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B: F I ( l B) (1.), lub (postać óżniczkowa) df I( dl B) (1.3). Pole magnetyczne pzyłożone do pzewodnika powoduje efekt Halla. Efekt Halla to zjawisko fizyczne, odkyte w 1879 oku pzez Edwina H. Halla (wówczas studenta). Polega ono na wystąpieniu óżnicy potencjałów w pzewodniku, w któym płynie pąd elektyczny, gdy pzewodnik znajduje się w popzecznym do płynącego pądu polu magnetycznym. Napięcie to, zwane napięciem Halla, pojawia się między płaszczyznami oganiczającymi pzewodnik postopadle do płaszczyzny wyznaczanej pzez kieunek pądu i wekto indukcji pola magnetycznego. Jest ono spowodowane działaniem siły Loentza na ładunki pouszające się w polu magnetycznym. 1.1 Pole magnetyczne pzewodnika z pądem Pzepływowi pądu towazyszy powstanie pola magnetycznego (H. C. Oested, 18 ). Na ysunku 3 pokazano pzewodnik z pądem i linie pola magnetycznego. Wiadomo, że indukcja pola magnetycznego jest popocjonalna do natężenia pądu i odwotnie popocjonalna do odległości. I B (1.4). 7 N gdzie 4 1 A pzenikalność magnetyczna póżni. 1

142 Rys. 3 Pole magnetyczne pzewodnika z pądem Pole wektoowe: H wekto natężenia pola magnetycznego, B wekto indukcji pola magnetycznego B H (1.5). W układzie SI: jednostką indukcji pola magnetycznego B jest Tesla [1 T] [1 N/Am], 1 Tesla [T] 1 Gaussów [Gs]. Jednostką natężenia pola magnetycznego H jest [1 Ampe/met] Oznaczenie: (1.6). Watości względnej pzenikalności magnetycznej dla óżnych mateiałów zebano w tabeli 1. Tabela 1 Watości względnej pzenikalności magnetycznej dla kilku wybanych mateiałów. ośodek pzenikalność magnetyczna póżnia 1 powietze 1.4 Aluminium (Al) 1. Miedź (Cu) stale 3 - Supemalloy (Ni 79 Fe 15 Mo 5 ) 1 Szczególny pzypadek: pole magnetyczne ziemi. 13

143 Rys 4. Pole magnetyczne Ziemi i jego odpowiednik 3. Własności magnetyczne mateii Pole magnetyczne w ośodku zmienia się ze względu na oddziaływanie magnetyczne cząsteczek, dipoli magnetycznych. Dipol magnetyczny definiujemy jako pole magnetyczne wytwazane pzez obwód kołowy, w któym płynie pąd I: moment magnetyczny takiej pętli wynosi: I A (3.1). w jednostkach [1 Am ]. Na dipol magnetyczny znajdujący się w polu magnetycznym działa moment siły ówny M B, (3.). Enegia potencjalna dipola magnetycznego jest ówna: U B, (3.3). Są to zależności analogiczne do dipola elektycznego w polu elektycznym. Pole magnetyczne w ośodku jest ówne: 14

144 B H M H H ( 1 H H (4..3). ) gdzie: M wekto magnetyzacji, zaś współczynnik podatnością magnetyczną ośodka. nazywany jest Ze względu na swoje własności magnetyczne mateię dzielimy na tzy gupy: diamagnetyki, 1; paamagnetyki, 1; feomagnetyki, 1. Diamagnetyki to mateiały o zeowym dipolowym momentem magnetycznym w nieobecności zewnętznego pola magnetycznego. Obecność zewnętznego pola magnetycznego indukuje pąd na obicie atomu; pąd, któy tak płynie, aby wytwozony pzez nie pole magnetyczne było pzeciwnie skieowane do pzyłożonego, zewnętznego pola magnetycznego. Jest to atomowa wesja eguły Lentza: indukowane pole magnetyczne spzeciwia się polu magnetycznemu, któe go wytwozyło. Paamagnetyki, zawieają niezeowe momenty dipolowe magnetyczne. Powoduje to, że ich magnetyzacja jest popocjonalna do pzyłożonego pola magnetycznego (B), a odwotnie popocjonalna do tempeatuy (T). Jest to pawo Cuie: B M C, (3.3). T gdzie: C stała Cuie, M magnetyzacja, Feomagnetyki, to mateiały, będące szczególnym odzajem paamagnetyków. O ile w paamagnetykach, dipole magnetyczne są ułożone losowo, to w feomagnetykach istnieje oddziaływanie długozasięgowe, któe poządkuje ułożenie momentów magnetycznych w specyficzny sposób. Wynikiem istnienia oddziaływania długozasięgowego jest powstanie stuktuy domenowej w całej objętości mateiału, co dalej skutkuje zjawiskiem histeezy magnetycznej. H c pole koecji, B R pole emanencji. Są ważne paamety histeezy i feomagnetyka, decydujące dla jego paktycznych zastosowan 15

145 Rys 1. Histeeza M(H) magnetyzacja w funkcji natężenia pola magnetycznego Ważne zastosowania paktyczne! Pzemysł enegetycznym, elektomechanicznym, elektonicznym (nośniki magnetyczne pamięci). Feomagnetyzm jest ogólną nazwą całej gupy zjawisk takich jak: antyfeomagentzym, feimagnetyzm, metamagnetyzm 16

146 Elektyczność i magnetyzm. Równania Maxwella Wyznaczenie pola magnetycznego Jak policzyć pole magnetyczne? Istnieją dwie metody wyznaczenia pola magnetycznego: pawo Biot Savata i pawo Ampea. Pawo Biota Savata Pawo óżniczkowe. Rys 5. Pawo Biot - Savata Natężenie pola magnetycznego wytwazanego w odległości od elementu dl wynosi: I dl dh 3 (.1). 4 π zaś indukcja pola magnetycznego: µ I dl db 3 4 π (.). Pzykład policzyć pole magnetyczne: a) odcinka postoliniowego, b) pzewodnika kołowego (okęgu).. Pawo Ampea 1

147 Pawo Ampea (od nazwiska fancuskiego fizyka Ande Maie Ampee) wiąże cykulację (kążenie) pola magnetycznego po kontuze zamkniętym l z natężeniem pądu pzechodzącego pzez powiezchnię wyznaczoną pzez tenże kontu l. dl H Ii (.3). l i Pzykład: Obliczyć pole magnetyczne wytwazane pzez: a) nieskończony, postoliniowy pzewodnik o pomieniu R; b) selenoid o n zwojach (na jedn. długości) patz ysunek poniżej. Rys. 6 Selenoid, schemat Pole magnetyczne wytwazane pzez selenoid podobne jest do pola magnetycznego twałego magnesu. Rys. 7 Pole magnetyczne selenoidu i twałego magnesu.

148 Linie pola magnetycznego twozą zamknięte kzywe. Pzyjęto konwencję, e linie pola wypływają z bieguna północnego (N) i wpływają do bieguna południowego (S). Nie można podzielić magnesu na izolowane północne i południowe monopole. Aby zwiększyć pole magnetyczne (natężenie, indukcję pola magnetycznego) najpościej jest wypełnić dzeń selenoidu mateiałem o dużej względnej pzenikalności magnetycznej Rys. 8 Selenoid wypełniony powietzem (lewy ysunek) dzeniem żelaznym (pawy ysunek) Pawo Gaussa dla pola magnetycznego Analogicznie do pola elektycznego, możemy sfomułować pawo Gaussa dla pola magnetycznego: A BdA lub divb (4.1). Równanie 4.1 pzedstawia postać całkowa i óżniczkowa pawa Gaussa dla pola magnetycznego. Łatwo wykazać, że stumień indukcji pola magnetycznego pzechodzącego pzez dowolną powiezchnię zamkniętą jest ówny zeo. Pole magnetyczne jest polem bezźódłowym! Nie istnieją monopole magnetyczne. 3

149 Pole elektyczne i pole magnetyczne to nie są twoy niezależne od siebie. Pzeciwnie, pole magnetyczne wzbudza pole elektyczne a pole elektyczne może wzbudzać pole gametyczne. Jaki jest związek między tymi wielkościami? Mówi o tym pawo Faadaya 1. Pawo indukcji Faadaya Cykulacja, kążenie pola elektycznego definiujemy w sposób następujący (patz ysunek) Rys 1.1 Cykulacja pola elektycznego B B Edl E cos( E, dl ) dl A A (1.1.1) Pawo Faadaya mówi, że cykulacja pola elektycznego wywołana jest zmianą pola magnetycznego. Edl dφ dt B (1.1.) Po podstawieniu definicji stumienia pola magnetycznego otzymamy następującą postać pawa Faaday a: C Edl d dt A BdA gdzie kontu C obejmuje powiezchnię A. (1.1.3) 4

150 Pawo Faadaya mówi, że zmiana pola magnetycznego powoduje powstanie pola elektycznego. Znak minus występujący w ównaniach i jest to eguła Lentza. Pole elektyczne wzbudzane jest w takim kieunku, aby pzeciwdziałać zmianie pola magnetycznego, któa go wywołała. Rys. 1.1 Reguła Lentza. 1.1 Indukcja własna Weźmy cewkę indukcyjną N zwojach. Jeżeli pąd pzepływający pzez uzwojenie zmienia się, to zgodnie z pawe Faadaya zmienia się stumień pola magnetycznego, czyli w uzwojeniu cewki indukuje się siła elektomotoyczna indukcji SEM ówna: dφ dt B ε SEM N (1.1.5) Ostatecznie otzymujemy wzó: di ε SEM L (1.1.6) dt gdzie I natężenie pądu płynącego w uzwojeniu cewki, L współczynnik indukcji, indukcyjność zwojnicy. 1. Indukcja wzajemna 5

151 Gdy mamy cewki, zmiana pądu w jednej może powodować indukowanie siły elektomotoycznej SEM w dugiej cewce. Stumień pzechodzący pzez dugą cewkę jest popocjonalny do zmian pądu w piewszej cewce (i na odwót). di dt di dt ε 1 M1 (1.1.7a) 1 ε M 1 (1.1.7b) gdzie M 1, M 1 współczynniki indukcji wzajemnej. W idealnych waunkach, gdy cały stumień pola wytwazany pzez piewszą zwojnicę pzenika pzez uzwojenie dugiej zwojnicy wtenczas współczynnik M 1 jest ówny: M (1.1.8a) 1 L1L W zeczywistości zawsze mamy staty, stąd M < (1.1.8b) 1 L1L Pawo Faadaya jest niezwykle ważne ze względu na zastosowania. Można powiedzieć, że pzemył enegetyczny, elektomaszynowy opaty jest na zastosowaniach pawa Faadaya. Dzięki temu pawu mamy silniki elektyczne, geneatoy pądu, tansfomatoy i wiele innych.. Równania Maxwella Równania Maxwella: zbió czteech ównań, zebanych pzez J. C. Maxwella, opisujących zachowanie pola elektycznego i magnetycznego oaz ich oddziaływanie z mateią. 6

152 James Clek Maxwell ( ) Tabela 1. Równania Maxwella. I II III IV pawo Gaussa (dla pola elektycznego) pawo Gaussa (dla pola magnetycznego) pawo Faadaya pawo Ampea (uzupełnione pzez Maxwella) A A l l DdA Q B da Edl Hdl A d dt A jda+ BdA A D t da Piewsze ównanie Maxwella: pole elektyczne jest polem źódłowym, istnieją ładunki elektyczne. Dugie ównanie Maxwella: pole magnetyczne jest polem bezźódłowym, nie istnieją monopole magnetyczne. Tzecie ównanie Maxwella to pawo Faadaya o indukcji. Zmienny stumień pola magnetycznego powoduje powstanie pola elektycznego. 7

153 Czwate ównanie Maxwella to pawo Ampea z dodanym członem odpowiedzialnym za tzw. pąd pzesunięcia. Pądy i zmienne pole elektyczne powodują powstanie pola magnetycznego. Znaczenie wielkości występujących w ównaniach Maxwella: Tabela. Oznaczenia użyte w ównaniach Maxwella. Oznaczenie Nazwa Powiązania E natężenie pola elektycznego D ε ε D indukcja pola elektycznego E H natężenie pola magnetycznego B indukcja pola magnetycznego B µ µ H gęstość pądu j di ρ da gadϕ () diva ota µ,ε ε gęstość ładunku j óżniczkowy element powiezchni, nomalny do tej powiezchni dl óżniczkowy element kzywej L zawieającej powiezchnię A opeato nabla (w układzie katezjańskim),, x y z gadient funkcji skalanej ϕ ϕ ϕ,, x y z dywegencja funkcji wektoowej A A x y (źódłowości) A ( ) + x y otacja funkcji wektoowej (cykulacja, kążenie) ota A pzenikalność magnetyczna, 1 c elektyczna, póżni ε µ µ, względna pzenikalność magnetyczna, elektyczna, mateiału ds A + z z Konsekwencje ównań Maxwella. 8

154 .1 Zasada zachowania ładunku Z ównań Maxwella można otzymać związek między natężeniem pądu a zmianą ładunku. Opisuje to ównanie: div j ρ t (1..3) Całkowity pąd wypływający pzez dowolną powiezchnię zamkniętą jest ówny zmianie ładunku (ze znakiem minus) zawatej wewnątz tej powiezchni. Jest to teść zasady zachowania ładunku.. Pole elektomagnetyczne w póżni W póżni, w nieobecności ładunków i pądów, ównania Maxwella pzybioą postać: D da B da ; A l Edl d dt A A BdA D ; Hdl da t l Rozwiązaniem powyższego układu ównań óżniczkowych jest ównanie fali. Dla pzypadku fali jednowymiaowej ównanie fali pzybiea postać: E x x B 1 c 1 c E t t B dla pola elektycznego (E) i magnetycznego (B). A (..3a) (..3b) Rozwiązaniem ównań..3 jest zmienne pole elektyczne i magnetyczne o ównaniach, odpowiednio: E E sin( ω t kx) B B sin( ω t kx) (..4) 9

155 Oczywiście ozpatujemy fale jednowymiaową, i ozwiązania (.4) słuszne są dla fali jednowymiaowej. Zgodnie z ównaniami Maxwella iloaz amplitud pola magnetycznego i elektycznego jest związana zależnością: E c B (..5) gdzie c pędkość światła. Pole magnetyczne jest postopadłe do pola elektycznego, zaś iloczyn wektoowy E x B wyznacza kieunek popagacji fali elektomagnetycznej Pzykład fali elektomagnetycznej ukazuje ysunek poniżej. Rys. Fala elektomagnetyczna Widmo fal elektomagnetycznych Okycie fal elektomagnetycznych (koniec XIX w.) jest wielkim osiągnięciem wynikającym z ównań Maxwella. Dzięki falom adiowym mamy adio, TV, aday, telefony komókowe, mikofalówki, etc. 1

156 Rys. Widmo fal elektomagnetycznych. Rys. Widmo fal elektomagnetycznych. Rys. Widmo w zakesie widzialnym, długość fali w nm. 11

157 Jak powstaje światło? Słońce jest najważniejszym źódłem światła. Widmo pomieniowana elektomagnetycznego wytwazanego pzez słońce. Dlaczego widzimy w tym zakesie długości fali? Rośliny i światło zjawisko fotosyntezy Rys. Wykes absopcji światła pzez chloofil Dwa maksima absopcji: w świetle niebieski i czewonym, odpowiadają one enegii światła niezbędnego do pocesu fotosyntezy. Fotosynteza: ogólne ównanie eakcji 1

158 6 CO + 6 H C 6 H 1 O O dwutlenek woda światło!!! cukie tlen węgla Uwaga: poces złożony. Niezbędne światło dostawca enegii do eakcji. Fotosynteza poces dwuetapowy, patz dwa maksima na wykesie absopcji światła widzialnego pzez chloofil. Minimum absopcji w zakesie światła zielonego. Oznacza to, że to światło jest odbijane pzez ośliny. Dlatego ośliny są zielone. I dlatego my widzimy w zakesie optycznym 4 7 nm. Dowód na wspólne początki wszystkich żywych stwozeń. 13

159 Fizyka mikoświata fizyka atomowa Atom wodou Najpostszy atom H 1 poton + elekton, piewszy w układzie okesowym. Jest to świat ządzony pzez mechanikę kwantową. Jak zbudowany jest atom? Z badań (pzełom XIX i XX wieku) wynikało, że dodatni i ciężki poton twozy jądo, okążane pzez elekton. Podobnie jak w układzie słonecznym (Słońce i planety). Nie jest to pełna analogia. Ważne są óżnice między planetami (mechanika klasyczna - newtonowska) a elektonami. W szczególności elekton powinien zgodnie z mechanika klasyczną opaść na poton. Tymczasem atom jest twały. Dlaczego? Rozwiązaniem było powstanie mechaniki klasycznej i model atomu Boha. Postulaty Boha: 1. położenia elektonu (obity) są jednak skwantowane; elekton może kążyć tylko po powłokach o ściśle okeślonym pomieniu; elekton może zmieniać obity, jednak te zmiany połączone są z absopcją lub emisją kwantów pomieniowania o ściśle okeślonej częstotliwości: E E E E1 h lub E E 1, (1.1) gdzie h stała Plancka, fundamentalna stała fizyczna h (33) 1 34 [J s] h (1) 1 15 [ev s] h zaś to tzw. zedukowana stała Plancka (stała Diaca) częstotliwość pomieniowania emitowana na obicie o okesie T jest okeślona zależnością: 1

160 1 a częstość to: T T. obitalny moment pędu jest skwantowany h L n n gdzie n 1,, 3, główna liczba kwantowa Poziomy enegetyczne. Wyznaczenie pomienia elektonu w atomie wodou: 1. siła odśodkowa elektonu ównoważona jest pzez siłę pzyciągania elektostatycznego elekton poton mv Z kee Z liczba atomowa (liczba elektonów), 1 k e stała Coulomba 4. kwantowanie obitalnego momentu pędu Z założeń 1 i otzymujemy wzó na enegię i pomień n tego poziomu enegetycznego n Zk n ee E n m kee 13.6eV n dla n 1 i dla atomu wodou Z 1 n m - pomień piewszej obity atomu wodou k e m e

161 E ev- poziom enegii piewszej obity E -3.4 ev - poziom enegii dugiej obity E ev, i tak dalej Rys. Poziomy enegetyczne atomu wodou i diagam enegetyczny Rys. poziomy enegetyczne i widmo emisyjne (góne) i absopcyjne (dolne) 3

162 Niestety, sytuacja z poziomami enegetycznymi atomów jest znacznie badziej skomplikowana. Poziomy enegetyczne okeślają CZTERY liczby kwantowe: n, l, m l, m s n 1,,3, główna liczba kwantowa, l, 1,, n-1 obitalna liczna kwantowa, m l -l,,+l magnetyczna liczba kwantowa (skwantowany zut l na oś Z) m s -1/, +1/, spinowa liczba kwantowa. Obitalna liczna kantowa, wpowadzono specjalne oznaczenie: l oznaczenie s p d f g Pzykładowo w każdej powłoce n, dla danej watości l, istnieje podpowłoka l o (l+1) stanach. Poziomy enegetyczne są zdegeneowane Rys. Poziomy enegetyczne usuwanie degeneacji poziomów ze względu na obitalną liczbę kwantową 4

163 Rys. Poziomy enegetyczne helu He 4 Rysunek pzedstawia poziomy enegetyczne helu (dugi piewiastek w układzie okesowym) czyli aczej postego (?). Atom zawiea dwa elektony: piewszy znajduje się w stanie podstawowym 1s. Dugi elekton w stanie wzbudzonym ma: a) spin antyównoległy do spinu stanu podstawowego (S, stan singletowy, paa helium, lewy panel), b) spin ównoległy do spinu stanu podstawowego (S 1, stan tipletowy, othohelium, pawy panel). Jak wyglądają powłoki enegetyczne elektonów w atomie? Nie pzypominają zupełnie planet okążających centalną gwiazdę. Rys. Gęstości pawdopodobieństwa (obitale elektonowe atomowe) dla óżnych liczb kwantowych (n wiesze (1,, 3), l kolumny (s, p, d), m ) 5

164 Pezentacje Quantum mechanics, Hydogen Atom Aplet Układ okesowy piewiastków Atom to jądo atomowe (potony i neutony) plus elektony. Własności chemiczne piewiastków wynikają ze stuktuy powłokowej konfiguacji elektonowej piewiastków. Stany enegetyczne w atomie są zdegeneowane. Obowiązuje też zakaz Pauliego. Zakaz Pauliego: dwa elektony nie mogą zajmować tego samego stamu, czyli miały ten sam zbió watości liczb kwantowych: (n, l, ml, m s ). Każde dwa elektony w atomie muszą się óżnić pzynajmniej jedną z tych liczb. Degeneacja stanów i zakaz Pauliego okeślają sposób w jaki elektony obsadzają kolejne powłoki atomie. Elektony kolejno zapełniają powłoki elektonowe, począwszy od stanów o najniższej enegii. W każdej powłoce n dla danej watości l istnieje podpowłoka l o (l+1) stanach. Tabela. Stany atomowe na piewszych tzech powłokach m l l liczba elektonów n o n n 1 1 I tak mamy układ okesowy. 6

165 Rys. Układ okesowy piewiastków, zaznaczone elektododatnie i elektoujemne piewiastki Pzykład konfiguacja elektonowa stanu podstawowego:: azotu (N, Z7) 1s s p 3 ; agonu (A, Z18) [Ne].3s.3p 6 złota (Au, Z79) [Xe].4f 14.5d 1.6s 1 ; uanu (U, Z9) [Rn].5f 3.6d 1.7s ; itp. Wiązania atomowe Atomy nie występują zazwyczaj same (gazy), inteesują nas związki twozone pzez atomy. Aby były związki między atomami musi powstać wiązanie. Istnieją pięć odzajów wiązań: kowalencyjne, wodoowe, metaliczne i jonowe i van de Walsa. 1. Wiązania kowalencyjne. Rozpatzmy cząsteczkę H. Oto funkcje falowe tych atomów, gdy znajdują się blisko siebie. Funkcje falowe pokywają się twoząc dwie możliwe 7

166 oddziaływania: bonding (wiążące) i anti-bonding (odpychające). Enegetycznie kozystniejsza jest duga sytuacja. Rys. Funkcje falowe po zbliżeniu jonów Rys. Diagam enegii dla cząstki H. Cząsteczka H postaje ponieważ dwa atomy azem mają niższą enegię niż da atomy pojedyncze (ys. powyżej). Oto inne pzykłady wiązań kowalencyjnych dla óznych cząsteczek, związków chemicznych 8

167 Rys..1Wiązanie kowalencyjne, pzykład H, Cl, HCl.. Wiązanie jonowe. Wiązanie jonowe: 1) jon A taci jeden (lub więcej) elektonów, staje się dodatnio naladowany ) utacone elektony pzechwytuje jon B, uzyskując ładunek ujemny 3) jony A (+) i B (-) pzyciągają się twoząc cząsteczkę 4) powstaje stuktua kyształu jonowego Rys 1. Wiązanie jonowe i kyształ jonowy NaCl. Jony twozą ciągłą, twałą stuktuę zwaną kyształem jonowym. 9

168 Rys. Diagam enegetyczny dla NaCl. Tabela. Poównanie mateiałów jonowych i kowalencyjnych Związki jonowe 1. kyształy (jonowe). wysoka temp. topnienia i wzenia 3. pzewodnictwo elektyczne po stopieniu 4. Wiele z nich ozpuszczlene w wodzie, ale nie w cieczach niepolanych Związki kowalencyjne 1. gazy, ciecze, lub ciała stałe (stwozone z cząstek). niska temp. topnienia i wzenia 3. słabe pzewodnictwo elektyczne we wszystkich fazach 4. Wiele z nich ozpuszczalne w niepolanych cieczach ale nie w wodzie 3. Wiązanie wodoowe. Specjalna gupa oddziaływań pzyciągających pomiędzy pewnymi gupami związków chemicznych o pzeciwnej polayzacji. Słabsze od wiązań walencyjnych i jonowych; silniejsza od wiązań van De Wasala. Zasięg oddziaływań wodoowych zalezy od długości wiązania, tempeatuy, i ciśnienia. 1

169 Pzykład: 1. cząsteczka wody H O Rys. Cząsteczka wody H O. Moment dipolowy p, zmiezona watość: p 6. x 1-3 [C m]. DNA DNA is composed of 4 bases: adenine (A), thymine (T), cytosine (C), and guanine (G). Rys. Stuktua DNA i eplikacja DNA Wiązanie wodoowe fundamentalne w twozeniu DNA. 4. Wiązanie metaliczne. 11

170 Rys. Wiązanie metaliczne Dodatnie jony w mozu elektonów. Obniżenie enegii elektonów. Elektony zdelokalizowane, pawie swobodne. Metale alkaliczne: Li, K, Na, Rb, Cs; Wapniowce: Be, Mg, Ca, S, Ba; Metale pzejściowe: Sc Zn, Pasmo 4s, 3d 5. Wiązania dipolowe (van de Waalsa) Fluktuacje ładunku -> Moment dipolowy Rys. Enegia oddziaływania w cząsteczce agon, A. Oddziaływanie van de Wasala (Londona); 1

171 Rys. Enegia oddziaływania w cząsteczce agon, A waz z potencjałem Lennada Jonesa. Potencjał Leonada Jonesa (dobe pzybliżenie): V ( ) Człon odpychający - () 1 ; Człon pzyciągający () 6. Gazy szlachetne: He Ra (adon) Enegia ~.1 ev. Wykozystywane pzez zwiezęta! Gekony. Rys. Łapa gekona. Sztuczna taśma adhezyjna już w podukcji! 13