2.8 Pomiarstosunku C p /C V metodąclémenta-désormes a (C9)

Transkrypt

1 104 Ciepło 2.8 Pomiarstosunku C p /C V metodąclémenta-désormes a (C9) Celemćwiczeniajestwyznaczenie κ(κ = C P /C V )metodąclémenta-désormes a dla powietrza. Zagadnienia do przygotowania: I zasada termodynamiki; kinetyczna teoria gazów; równanie stanu gazu doskonałego; przemiany gazu doskonałego; ciepło właściwe gazów, ciepło molowe; pojęcie temperatury bezwzględnej; zasada ekwipartycji energii; metoda Clémenta-Désormes a pomiaru κ; zasada pomiaru ciśnienia manometrem cieczowym; wykonanie w postaci pisemnej zadań z podrozdziału Literatura podstawowa:[25] , 19.11, , ; literatura dodatkowa:[1],[2],[13] 1,5-9,61-64,[8] 39.1,39.2, ,40.5, Opis gazu w modelu kinetyczno-molekularnym Podstawowe pojęcia i definicje Kinetyczna teoria gazów wiąże makroskopowe parametry gazu(ciśnienie, temperatura) z wielkościami mikroskopowymi opisującymi cząsteczki tworzące gaz(średnia energia kinetyczna, średnia prędkość kwadratowa). Ze względu na prostotę opisu, dogodnym jest wprowadzenie pojęcia modelowego gazu(gazu doskonałego) posiadającego następujące własności: gaz składa się z identycznych cząsteczek; suma objętości wszystkich cząsteczek jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z objętością zajmowaną przez gaz; całkowita liczba cząsteczek jest bardzo duża; cząsteczki znajdują się w bezładnym ruchu i podlegają zasadom dynamiki Newtona; oddziaływania mają miejsce tylko w momencie zderzenia cząsteczek ze sobą lub ze ściankami naczynia; zderzenia są doskonale sprężyste. Równanie stanu gazu doskonałego Przemiany termodynamiczne gazu doskonałego opisuje równanie Clapeyrona nazywane też równaniem stanu gazu doskonałego:

2 Pomiarstosunku C p /C V metodąclémenta-désormes a(c9) 105 pv = nrt, (2.8.1) gdzie R = 8.31 J mol 1 K 1 jestuniwersalnąstałągazową, pjestciśnieniem, V objętością gazu, T temperaturą bezwzględną, a n liczbą moli gazu(n jest liczbą cząsteczekgazuwyrażonąjakowielokrotnośćliczbyavogadro N A = ;jedenmol substancji zawiera liczbę Avogadro cząsteczek). Gazem doskonałym jest gaz spełniający równanie(2.8.1) w pełnym zakresie temperatur i ciśnień. Dla gazów rzeczywistych zadowalającą zgodność z doświadczeniem (do kilku procent) uzyskujemy dla niezbyt wysokich ciśnień(do kilku atmosfer) i temperatur znacząco wyższych od temperatury skraplania. Przemiany gazu doskonałego Gaz może podlegać przemianom, podczas których zmieniają się parametry stanu p, Vi/lub T,przyczymdopókirozważanygazmożemytraktowaćjakogazdoskonały parametry stanu spełniają równanie Clapeyrona(2.8.1). Niektóre z przemian, w których ustalony jest jeden parametr, są szczególnie interesujące. W zależności od tego, jaka wielkość jest ustalona w czasie przemiany mówimy o: przemianie izobarycznej, gdy nie zmienia się ciśnienie gazu(p = const); przemianie izochorycznej, gdy nie zmienia się objętość(v = const); przemianie izotermicznej, gdy temperatura gazu jest stała(t = const); przemianie adiabatycznej, gdy nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem( Q = 0). W trzech pierwszych przemianach ustalony jest jeden z parametrów stanu, natomiast w przemianie adiabatycznej nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem. O przemianie adiabatycznej możemy mówić w przypadku doskonałej izolacji termicznej badanego układu lub gdy rozważana przemiana zachodzi tak szybko, że wymianę ciepła z otoczeniem możemy zaniedbać. Ciepło właściwe gazów Ciepło właściwe jest ilością ciepła, które musimy dostarczyć do jednostki masy substancji, aby spowodować wzrost jej temperatury o jeden kelwin. Pomiaru ciepła właściwego możemy dokonywać w różnych warunkach np. przy stałym ciśnieniu lub przy stałej objętości. Gaz ogrzewany pod stałym ciśnieniem rozprężając się wykonuje pracę, a więc aby uzyskać wzrost temperatury taki sam jak w przemianie izochorycznej należydostarczyćwięcejciepła.dlategowprzypadkugazówciepłowłaściwe c p,wyznaczone w przemianie izobarycznej(p = const), jest zawsze większe od ciepła właściwego c V,wyznaczonegowprzemianieizochorycznej(V = const). Zadanie1.Pokaż,że C p = C V + R,gdzie C p = Q/n Ti C V = Q/n Ttociepło molowe(tj. ciepło właściwe jednego mola gazu) wyznaczone odpowiednio w przemianie

3 106 Ciepło izobarycznej i izochorycznej, Q jest dostarczonym ciepłem powodującym zmianę temperatury o T. Wskazówka: skorzystaj z definicji ciepła właściwego, równania stanu gazu doskonałego i I zasady termodynamiki. Pierwsza zasada termodynamiki( U = Q+W) wiąże zmiany energii wewnętrznej układu U z energią jaką układ wymienia z otoczeniemwformieciepła Qipracy W.Energiawewnętrznaukładurośnie,gdyukład pobiera ciepło lub gdy siły zewnętrzne wykonują pracę nad układem, a maleje gdy układ oddaje ciepło lub wykonuje pracę. Zasada ekwipartycji energii Załóżmy, że energię cząstki możemy zapisać jako sumę wyrazów kwadratowych w położeniach i prędkościach. Tak możemy zrobić dla energii kinetycznej ruchu postępowego, energii kinetycznej ruchu obrotowego, energii kinetycznej oscylacji oraz energii potencjalnej dla oscylacji. Zasada ekwipartycji(tj. równego podziału) energii mówi, że średnia wartość każdego wkładu do energii całkowitej układu, który ma zależnośćkwadratowąwynosi k B T/2,gdzie Tjesttemperaturąwskalibezwzględnej. StałaBoltzmana k B = J K 1 powiązanajestzestałągazowąprzezzwiązek k B R/N A. Dla swobodnego atomu wkład do energii układu pochodzi tylko od energii kinetycznej ruchu postępowego atomu. Potrzebujemy trzech parametrów określających ruch postępowy(są to np. trzy składowe prędkości w układzie kartezjańskim). Każda z tych składowychprędkościdajeprzyczynekdoenergiiukładuwynoszący k B T/2. Ponieważ masa atomu skupiona jest w prawie punktowym jądrze to nie posiada on energii związanej z ruchem wewnętrznym. Jeżeli cząsteczka gazu składa się z wielu atomów to konieczne staje się uwzględnienie wkładów od energii związanej z ruchem kolektywnym atomów. Cząsteczka dwuatomowa może wykonywać rotację względem dwóch osi protopadłych do prostej łączącej tworzące ją atomy. Każdy z tych dwóch ruchów obrotowychdajewkładdocałkowitejenergiiwynoszący k B T/2.Dodatkowocząsteczka dwuatomowa może podlegać oscylacjom względem położenia równowagi(środka masy cząsteczki). Związana jest z tym energia kinetyczna i energia potencjalna zależna od wzajemnej odległości cząsteczek. Każda z tych energii daje wkład do energii całkowitej wynoszący k B T/2. Doświadczenie pokazuje, że w niskich temperaturach istotne znaczenie ma tylko ruch postępowy cząsteczek. Ze wzrostem temperatury pojawia się rotacja, a następnie w dostatecznie wysokich temperaturach(około 1000 K) możliwa staje się oscylacja. Zadanie 2. Korzystając z zasady ekwipartycji energii i definicji ciepła właściwego wykaż, że w temperaturze pokojowej ciepło molowe wyznaczone w przemianie izochorycznej C V,którewprostymmodelugazujestzwiązanetylkozezmianąenergii wewnętrznejgazu,powinnobyćrówne 3/2 R(12.5 J mol 1 K 1 )dlagazujednoatomowegoi5/2 R(20.8 J mol 1 K 1 )dlagazudwuatomowego.porównajtewartości z danymi dla rzeczywistych gazów jedno- i dwuatomowych.

4 Pomiarstosunku C p /C V metodąclémenta-désormes a(c9) 107 Zadanie 3. Wykorzystując wyniki uzyskane w poprzednich zadaniach wykaż, że dla gazudwuatomowego C p /C V = Przebiegpomiarów Układ pomiarowy W skład układu doświadczalnego przedstawionego na rysunku wchodzą: szklana butla N o odbijającej(posrebrzonej) powierzchni, pompka ręczna P, suszka S, manometr cieczowy(wypełniony naftą), rurki z zaworami szklanymi. Z 2 Z 3 h i P Z 1 S N Rys.2.8.1:Układdowyznaczaniawartości C p /C V dlapowietrzametodąclémenta-désormes a. Metoda pomiarowa Wyznaczanie wartości κ metodą Clémenta-Désormes a polega na adiabatycznym rozprężaniu gazu spełniającego równanie stanu gazu doskonałego. Następnie część gazu, która pozostanie w naczyniu pomiarowym, zwanym dalej butlą, przeprowadzana jest do stanu końcowego na drodze procesu izochorycznego ogrzewania(rysunek 2.8.2). Rozważmygazpodciśnieniem p 1,wyższymodciśnieniaatmosferycznego,zamkniętywbutli N(rysunek2.8.1)oobjętości V 0.Temperaturagazuwbutlijestrówna temperaturzeotoczenia T 0.Zakładamy,żetemperaturaotoczeniaiciśnienieatmosferycznesąstałe(T 0 = consti = const).stanpoczątkowygazuwbutliopisują parametry (p 1,V 0,T 0 )igazspełniarównaniecalpeyrona: p 1 V 0 = n 1 RT 0, (2.8.2) gdzie n 1 jestliczbąmoligazuzamkniętegowbutliwstaniepoczątkowym. Poszybkimotwarciuzaworu Z 3 zawartywbutligazwkrótkimczasierozprężasiędo ciśnienia atmosferycznego. Jest to(z dobrym przybliżeniem) przemiana adiabatyczna, w wyniku której ciśnienie gazu w butli wyrównuje się z ciśnieniem atmosferycznym,

5 108 Ciepło p p 1 A proces izotermiczny T = T 0 p 2 proces adiabatyczny Q = 0 B C proces izochoryczny V = const V Rys : Cykl przemian gazu w doświadczeniu Clémenta-Désormes a. a jego temperatura obniża się. Na wykresie we współrzędnych (p, V ) odpowiada to przejściuzpunktu Ado Bpoadiabacie(rysunek2.8.2).Stan n 1 moligazu,który poddaliśmyprzemianieadiabatycznejopisująterazparametry (,V 1,T 1 ),arównanie Clapeyrona przyjmuje postać: V 1 = n 1 RT 1, (2.8.3) gdzie V 1 i T 1 sąodpowiednioobjętościąitemperaturągazupozakończeniuprzemiany adiabatycznej.ponieważdlaprzemianyadiabatycznejspełnionyjestzwiązek pv κ = const, więc możemy zapisać: p 1 V κ 0 = V κ 1. (2.8.4) W wyniku adiabatycznego rozprężenia do atmosfery w butli pozostaje tylko część gazu,któregostanopisująparametry (,V 0,T 1 ).Natychmiastpozakończeniuprzemianyadiabatycznejnastępujezamknięciezaworu Z 3.Gazwbutlipowoliogrzewasię do temperatury otoczenia przy ustalonej objętości, a jego ciśnienie rośnie do wartości p 2,niższejod p 1.Odpowiadatoprzejściupoizochorzezpunktu Bdo C(rysunek 2.8.2).Stankońcowygazuwbutliopisująparametry (p 2,V 0,T 0 ).Należyzwrócićuwagę,żeprzemianieizochorycznejpoddanezostało n 2 < n 1 moligazu.dlaprzemiany izochorycznej p/t = const więc: Eliminując n 1 zrównań(2.8.2)i(2.8.3)otrzymujemy T 1 = p 2 T 0. (2.8.5)

6 Pomiarstosunku C p /C V metodąclémenta-désormes a(c9) 109 p 1 V 0 V 1 = T 0 T 1. (2.8.6) Podstawiając T 1 obliczonezzależności(2.8.5)dostajemywyrażeniena V 1 wpostaci: V 1 = p 1 p 2 V 0. (2.8.7) Wstawiając to wyrażenie do równania(2.8.4) dochodzimy do zależności: ( ) p κ 1 p1 =. (2.8.8) Ciśnieniemierzymymanometremcieczowym,czyli p i = ρgh i,gdzie ρjestgęstością cieczywypełniającejmanometr, gjestprzyśpieszeniemgrawitacyjnym,ah i różnicą poziomówcieczywramionachmanometru.wstawiającza p 1 i p 2 wyrażeniawiążącete ciśnieniazmierzonymiweksperymenciewielkościami h 1 i h 2,anastępnielogarytmując uzyskane równanie otrzymujemy: ln ( 1 + ρgh ) 1 = κ p 2 [ ( ln 1 + ρgh ) ( 1 ln 1 + ρgh )] 2. (2.8.9) Gdy ρgh i sąmałyminadwyżkamiciśnieniawporównaniuzciśnieniematmosferycznym (jaktomamiejscewmetodzieclémenta-désormes a)to ρgh i / << 1imożemy rozwinąć logarytmy w szereg zachowując tylko wyraz pierwszego rzędu(ln 1 + x x). Prowadzi to do przybliżonego wyrażenia na κ w postaci: Przebieg doświadczenia κ = h 1 h 1 h 2. (2.8.10) Przyotwartymzaworze Z 3 otworzyćzawory Z 2 i Z 1,anastępniezamknąćzawór Z 3.Pompkąręczną P napompowaćbutlę N (przezsuszkę S)wytwarzającwniej niewielkie nadciśnienie, które mierzymy manometrem cieczowym. Różnica poziomów cieczy w ramionach manometru powinna wynosić około 10 cm. Zamknąćzawory Z 2 i Z 1 (wpodanejkolejności).poczekaćażróżnicapoziomówcieczywramionachmanometruustalisię.odczytaćróżnicępoziomówcieczy h 1 izapisać wtabeli. Otworzyć,nabardzokrótkąchwilęzawór Z 3.Zamknąćgowmomencie,gdyciśnieniewbutli Nzrównasięzciśnieniemzewnętrznym.Momentzamknięciazaworu Z 3 należy dobrać na początku ćwiczenia, w sposób opisany w uwadze poniżej. Poczekać, aż powietrze w butli ogrzeje się do temperatury otoczenia i różnica poziomów cieczy wramionachmanometruustalisię.odczytaćróżnicępoziomówcieczy h 2 izapisać wtabeli.

7 110 Ciepło Pomiary powtórzyć kilkanaście razy. Obliczanie wartości κ uzyskanych w kolejnych cyklach pomiarowych należy prowadzić na bieżąco, w czasie oczekiwania na ustalenie się ciśnienia w butli. Powykonaniuostatniegopomiarunależyotworzyćzawór Z 3,anastępniezamknąć zawory Z 2 i Z 1. Uwaga: Ze względu na bezwładność cieczy w manometrze, wyrównanie ciśnień pomiędzy butlą a atmosferą następuje nieco wcześniej niż wyrównanie poziomów cieczy wramionachmanometru.jeżelizawór Z 3 zamkniemyniecozapóźno(lubzawcześnie) touzyskamywartość h 2 niecomniejszą(niecowiększą)niżoczekiwana,a wefekciezaniżoną(zawyżoną) wartość κ. Przed przystąpieniem do pomiarów właściwych konieczne jestwięcwykonaniekilkupomiarówpróbnych,wktórychzawór Z 3 planowootwartybył zbyt długo lub zbyt krótko. Pozwoli to na dobranie odpowiedniego momentu zamknięcia zaworu Z 3 wtrakcieprzeprowadzaniaćwiczenia Opracowaniewyników Korzystając ze wzoru(2.8.10) obliczyć wartości κ dla wszystkich wykonanych pomiarów. Wyniki obarczone znacznym błędem systematycznym należy odrzucić. Metodą różniczki zupełnej oszacować niepewność pojedynczego pomiaru. Wyznaczyć odchylenie standardowe wartości średniej. Jaką niepewnością obarczona jest wartość średnia κ wyznaczona w eksperymencie? Przedyskutować zgodność uzyskanego wyniku z przewidywaniami teoretycznymi i wartościami, które można znaleźć w literaturze. Uzasadnić, dlaczego powietrze można traktować jako modelowy gaz dwuatomowy.