Elementy narzędziowni matematycznej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy narzędziowni matematycznej"

Transkrypt

1 Rozdział 1 Elementy narzędziowni matematycznej 1.1. Przekształcanie równań Równanie, w uproszczeniu, to dwa wyrażenia matematyczne połączone znakiem równości. Czyli w równaniu mamy dwie strony, lewą L i prawą P, które są sobie równe L = P. Równanie zawiera niewiadomą (zwykle oznaczaną jako x, y itd.) oraz wielkości znane w postaci liczb lub oznaczeń 1-literowych z ewentualnymi indeksami dolnymi, np. x 2 = 16 ma dwa rozwiązania: x 1 = 4 i x 2 = 4, x a 1 = a 1 + a 2. 2x + a 2 Niewiadomą należy wyznaczyć (czyli rozwiązać równanie). Rozwiązanie polega na przeprowadzeniu ciągu takich przekształceń równania (zachowujących znak równości pomiędzy stroną lewą i prawą), by doprowadzić do tego, że po jednej stronie równania znajdzie się niewiadoma, a po drugiej wszystkie pozostałe wielkości. W ogólności równanie może mieć jedno rozwiązanie, więcej niż jedno albo nawet nieskończenie wiele. Może też nie mieć wcale rozwiązań lub być nierozwiązywalne. Wzory fizyczne są też równaniami (w postaci już rozwiązanej, gdyż po lewej stronie jest wielkość niewiadoma, po prawej wyrażenie zawierające wielkości dane), np. wzór na zależność masy od prędkości w Szczególnej Teorii Względności m 0 m =, 1 v2 c 2

2 8 Elementy narzędziowni matematycznej gdzie: m masa relatywistyczna (ciała mającego prędkość v), m 0 masa spoczynkowa (ciała będącego w spoczynku), c prędkość światła w próżni. W powyższym wzorze możemy przyjąć, że wielkością niewiadomą (tą, którą mamy wyznaczyć) jest np. prędkość ciała v, a pozostałe są dane. Mamy wtedy normalne równanie do rozwiązania, różni się ono od zadań znanych z lekcji matematyki tylko oznaczeniami, nie ma x-ów, y-ów itd., są natomiast oznaczenia wielkości fizycznych, a wielkość niewiadoma nie wyróżnia się wizualnie (podana jest w treści zadania i musimy o niej pamiętać). Rozwiązaniem jest wzór na prędkość ciała mającego masę relatywistyczną m i masę spoczynkową m 0 v = c 1 m2 0 m 2. Poniżej omówione zostały zasady przekształcania równań i następnie korzystające z nich zasady rozwiązywania równań. Przekształcanie równań możemy wykonywać następujące przekształcenia (w poniższych przykładach zauważycie pionową kreskę z symbolem operacji do wykonania na obu stronach równania, jest to pomocniczy zapis pozwalający na zarejestrowanie tego co robimy): 1. zamienić stronami, np. 4 = x, równanie (nie powinno tak wyglądać), x = 4 po zamianie stron jest dobrze, 2. wykonać działania po lewej i prawej stronie (jeśli jakieś są do wykonania), np. 3x 2x = 5x x x = 4x + 5 po lewej odejmowanie, po prawej odejmowanie i dodawanie, po wykonaniu działań, 3. dodać do obu stron lub odjąć od obu stron tę samą liczbę czy wyrażenie, (w tym przykładzie pojawia się kreska pionowa na prawej

3 Przekształcanie równań 9 stronie równania oznaczająca działanie wykonywane na obu stronach równania) np. x + 4 = 0 4 od obu stron odejmujemy 4 x = 0 4 x = 4 tak to wygląda, po wykonaniu działań, Powyższą regułę stosujemy często w sytuacji, gdy po obu stronach równania znajduje się taki sam składnik (z tym samym znakiem). Odejmując go od obu stron powodujemy jego usunięcie z równania: x 2 x 3 = 1 x 3 ( x 3 ) od obu stron odejmujemy, albo dodając x 2 = 1 x 3 zniknęło z równania, x 2 x 3 = 1 x 3 +x 3 dodajemy do obu stron, x 2 = 1 x 3 zniknęło z równania. Z tych dwu przykładów wynika praktyczna reguła: jeśli po obu stronach znajduje się taki sam składnik (z tym samym znakiem), to możemy go przekreślić po obu stronach, usuwając go w ten sposób z równania. Co się dzieje jeśli znaki nie są takie same? x 2 x 3 = 1 + x 3 ( x 3 ) od obu stron odejmujemy, x 2 x 3 ( x 3 ) = 1 + x 3 ( x 3 ) x 2 x 3 + x 3 = 1 + x 3 + x 3 x 2 = 1 + 2x 3 albo likwidujemy nawiasy, wykonujemy działania, x 3 jest po prawej stronie, x 2 x 3 = 1 + x 3 +x 3 dodajemy do obu stron, x 2 x 3 + x 3 = 1 + x 3 + x 3 wykonujemy działania, x 2 = 1 + 2x 3 x 3 nadal jest, czyli następuje przeniesienie składnika na drugą stronę.

4 10 Elementy narzędziowni matematycznej 4. pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę czy wyrażenie różne od zera, np. 4 x = 5 x mnożymy przez x, x 4 = 5x skracamy na lewej stronie, x 4 = 5x :5 dzielimy przez 5, 4 5 = 5x 5 skracamy na prawej stronie, 4 = x 5 zamieniamy stronami, x = 4 5 gotowe, 5. podnieść obie strony do tej samej potęgi, 3 x = 4 3 podnosimy do 3 potęgi, ( 3 x) 3 = 4 3 pierwiastek zostanie zlikwidowany, x = 64 wynik, 6. spierwiastkować obie strony, upewniwszy się że ich znak na to pozwala, np. x 2 = 4 pierwiastkujemy, x 2 = 4 x = 2 potęga zostanie zlikwidowana, wynik, 7. zlogarytmować obie strony, upewniwszy się że są dodatnie (gdyż nie ma logarytmów liczb ujemnych), np. 5 2x+1 = 10 ln logarytmujemy, (2x + 1) ln 5 = ln 10 :ln 5 dzielimy przez ln 5, ln 10 2x + 1 = ln 5 1 odejmujemy 1,

5 Przekształcanie równań 11 ln 10 2x = ln 5 1 :2 dzielimy przez 2, x = 1 ( ) ln 10 2 ln 5 1 wynik końcowy, 8. jeśli jedna ze stron jest wielomianem to można przenieść składnik wielomianu na drugą stronę, zmieniając jego znak na przeciwny, np. ( x) = 1 0 = 1 x uwidaczniamy znak x, 0 = 1 + ( x) teraz przenosimy nawias z x na drugą stronę, x = 1 wykonujemy działanie po lewej stronie, gotowe, ten sam efekt uzyskamy dodając do obu stron +x: 0 = 1 x +x do obu stron dodajemy x, 0 + x = 1 x + x wykonujemy działanie po obu stronach, x = 1 gotowe, 9. każdą ze stron możemy przekształcać niezależnie, o ile nie zmieniamy jej wartości, np. możemy stosować wzory skróconego mnożenia: (x + 2)(x 2) x 2 x 2 4 x 2 = a b a b = x + 2 = a b a b a b a b x = a b 2 zakładamy, że x 2, a b, stosujemy wzory, skracamy, przenosimy 2 na drugą stronę, wynik, lub inne tożsamości, np. wykazać że jeśli sin x = 1 to cos x = 0 (wykorzystamy tożsamość 1 = sin 2 x + cos 2 x znaną pod nazwą jedynki trygonometrycznej): sin x = 1 sin 2 x = 1 podniesiemy obie strony do kwadratu, korzystamy z jedynki trygonometrycznej,

6 12 Elementy narzędziowni matematycznej sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x przekreślam identyczne po obu str., 0 = cos 2 x upraszczamy obie strony, cos x = 0 redukcję wyrazów podobnych, np. po zamianie stron i spierwiastkowaniu, x 3 + 3x 2 = (x + 1) 3 zamienię na iloczyn z kwadratem, x 3 + 3x 2 = (x + 1)(x + 1) 2 x 3 + 3x 2 = (x + 1)(x 2 + 2x + 1) x 3 + 3x 2 = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 x 3 + 3x 2 = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 znam wzór na kwadrat sumy, po wymnożeniu, zaznaczam wyrazy podobne, x 3 + 3x 2 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 po redukcji w. podobnych, x 3 + 3x 2 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 przekreślam identyczne po obu str., 0 = 3x + 1 po uproszczeniu obu stron, 3x + 1 = 0 3x = 1 po zamianie stron, przeniosłem 1 na drugą stronę, x = 1 po podzieleniu przez 3 gotowe, 3 wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias, np. x = 1 2 vt + v 0t 1 2 v 0t w 2 i 3 wyrazie powtarza się czynnik v 0 t, x = 1 ( 2 vt + v 0t 1 1 ) wyciągnąłem go przed nawias, 2 x = 1 2 vt v 0t po wykonaniu działań w nawiasie, x = 1 2 t(v v 0) wyciągnąłem czynniki 1 2 i t przed nawias, jednoczesne dodanie i odjęcie tej samej wartości, pomnożenie lub podzielenie przez wyrażenie mające wartość Przykłady i zadania 1. Przeanalizuj przedstawione w niniejszym podrozdziale i wykonaj je samodzielnie. Sprawdź czy otrzymane wyniki się zgadzają.

7 Przekształcanie równań Rozwiąż poniższe równania (nie używać kalkulatorów), podaj zastosowane reguły przekształcania równań. a) 5x + 5 = 10 ; b) 4x = 8 ; 1 c) = 4 ; x d) x 2 = 16 ; e) x + a = b.

8 14 Elementy narzędziowni matematycznej 1.2. Rozwiązywanie równań i przekształcanie wzorów fizycznych Zagadnienie zostanie omówione w ujęciu praktycznym na przykładach wzorów fizycznych. Będziemy posługiwać się zasadami i metodami rozwiązywania równań matematycznych. Równania matematyczne to obszerna i złożona część matematyki, lecz z niewielkiej części tego aparatu matematycznego będziemy korzystać, gdyż na nasze szczęście wzory fizyczne stanowią stosunkowo proste zagadnienie. To co zostało omówione w poprzednim punkcie plus kilka zasad postępowania winno całkowicie wystarczyć by sobie poradzić nawet z dość złożonymi zadaniami Ze wzoru na zależność masy od prędkości w Szczególnej Teorii Względności m 0 m =, 1 v2 c 2 gdzie: m masa relatywistyczna (ciała mającego prędkość v), m 0 masa spoczynkowa (ciała będącego w spoczynku), c prędkość światła w próżni. wyznaczyć prędkość v jaką ma ciało o masie relatywistycznej m i spoczynkowej m 0. Zadanie to możemy przedstawić w postaci szkolnego równania matematycznego b a =, 1 x2 c 2 tu niewiadoma i dane są wyraźnie wyróżnione, nie mają jednak odniesienia do wielkości fizycznych. Tylko tym oba wzory się różnią. Jeśli miałoby wam być na początku łatwiej, możecie rozwiązać wariant szkolny, potem fizyczny. Do ujęcia fizycznego trzeba się zaadaptować (nie ma innego wyjścia), po kilku rozwiązanych zadaniach nie powinno to być problemem. 1 Nie mylić z zadaniami z fizyki. Słowo zadanie zostało użyte tu w kontekście zadania polegającego na przekształcaniu wzorów. Zadania z fizyki to oddzielne zagadnienie, dość złożone.

9 Rozwiązywanie równań i przekształcanie wzorów fizycznych 15 Plan działania wynika z tego, gdzie znajduje się wyznaczana przez nas wielkość. W naszym przypadku a) v jest częścią wyrażenia znajdującego się w mianowniku zatem likwidujemy mianownik mnożąc obie strony przez mianownik m 0 m = 1 v2 1 v2 c, 2 m m 0 1 v2 c 2 = c 2 1 v2 c 2 1 v2 c 2 m 0 m 1 v2 c 2 = 1 v2 c 2, 1 v2 c 2 m 1 v2 c 2 = m 0, b) teraz v jest w wyrażeniu pod pierwiastkiem kwadratowym likwidujemy pierwiastek kwadratowy podnosząc obie strony do kwadratu m 1 v2 c 2 = m 0 2, 2 m 1 v2 c 2 = m 2 0, 2 m 2 1 v2 c 2 = m 2 0, ( ) m 2 1 v2 c 2 = m 2 0, c) teraz v jest uwięzione w nawiasie pozbywamy się nawiasu wykonując po lewej stronie mnożenie przez m 2 (wariant 1) lub mnożąc,

10 16 Elementy narzędziowni matematycznej obie strony przez m 2 (wariant 2): wariant 1: wariant 2: m 2 m 2 v2 c 2 = m2 0 1 v2 c 2 = m2 0 m 2, d) przekształcamy równanie tak by wyraz zawierający v znalazł się jako jedyny po lewej stronie, czyli wszystkie wyrazy niezawierające v przenosimy z lewej strony na prawą m 2 v2 c 2 = m2 0 m 2 v2 c 2 = m2 0 m 2 1, e) teraz przeszkadzają nam czynniki przy v 2, usuwamy je kolejno mnożąc lub dzieląc odpowiednio obie strony równań m 2 v2 c 2 = m2 0 m 2 m 2 v2 c 2 c2 c 2 = (m 2 0 m 2 )c 2 v2 c 2 m 2 v 2 = (m 2 0 m 2 )c 2 v 2 = v2 c 2 = m2 0 m 2 1 c2, ( ) m 2 c 2 = 0 m 2 1 c 2, ( ) m 2 0 m 2 1 c 2, ( ) m 2 0 m 2 v 2 = (m 2 0 m 2 )c 2 :( m 2 ) v 2 = m 2 1 m 2 v 2 ( m ) = m2 0 m2 m 2 c 2 v 2 = ( m 2 0 m 2 1 c 2 ) c 2, ( 1), f) w tym momencie pierwiastkując obie strony otrzymalibyśmy v, wcześniej należy jednak wykonać estetyczne porządki na prawych stronach w obu wariantach zlikwidować minus, w pierwszym wykonać dzielenie przez m 2, do tego wariantu się ograniczymy (w ostatnim wzorze w pierwszym wierszu poniżej została zmieniona kolejność wyrazów

11 Rozwiązywanie równań i przekształcanie wzorów fizycznych 17 w liczniku, powód w zapisie wzorów obowiązuje elegancja i tradycja, postać wzoru ma być maksymalnie prosta i komunikatywna) v 2 = (m2 0 m2 ) m 2 c 2 = m2 0 + m2 m 2 c 2 = m2 m 2 0 m 2 c 2, v 2 = m2 m 2 0 m 2 c 2 dzielę licznik przez mianownik, ( ) v 2 = 1 m2 0 m 2 g) Pierwiastkujemy obustronnie i ostatnia kosmetyka ( ) v 2 = 1 m2 0 c 2 c 2. m 2 ( ) c v 2 = 1 m2 0 2, m 2 ( ) v = 1 m2 0 c, m 2 ( ) v = c 1 m2 0 m 2 tak lepiej wygląda. 2. Podsumowanie reguł postępowania a) Lokalizujemy naszą niewiadomą (wielkość, którą mamy wyznaczyć). Zwykle jest ona w jednym miejscu, jeśli nie (w dwu lub więcej) w sposób złożony, to mamy przypadek skomplikowany, którym się tu nie zajmujemy. Jeśli tak nie jest to postępujemy w sposób opisany poniżej. Mamy dwie możliwe sytuacje i. Nasza niewiadoma jest po jednej stronie, jako jedyna, wszystkie inne wielkości znajdują się po drugiej stronie. Jeśli nasza niewiadoma jest po lewej stronie nic nie musimy robić, jeśli jest po prawej, to zamieniamy strony, i to wszystko (wymóg estetyczny). ii. Jeśli nasza niewiadoma jest elementem wyrażenia po jednej lub po obu stronach, to musimy uruchomić ciąg przekształceń by doprowadzić do sytuacji powyżej. Gdy to nam się uda, należy drugą stronę (gdzie nie ma naszej niewiadomej) uporządkować, tzn. nadać jej możliwie prostą i czytelną postać.

12 18 Elementy narzędziowni matematycznej b) Wspomniany ciąg przekształceń ma celu doprowadzenie strony wzoru zawierające niewiadomą do postaci wielomianowej (sumy składników). Składniki z niewiadomą grupujemy po lewej stronie, po prawej wszystkie jej nie zawierające. c) Jeśli składników z niewiadomą (lub jej funkcją) jest więcej niż jeden, to niewiadomą (jej funkcję) wyłączamy przed nawias. Gdy funkcje niewiadomej są różne w różnych składnikach, to oczywiście nie możemy zastosować wyłączenia przed nawias mamy wtedy bardziej złożony przypadek, którego tu nie omawiamy. d) Pozbywamy się teraz czynnika przy niewiadomej (lub jej funkcji) dzieląc przez niego obie strony wzoru zwracając uwagę by był różny od zera, np. doprowadziliśmy do postaci (a + b)x = c, zastrzegając a b możemy już dzielić obie strony przez (a + b). e) Przekształcamy prawą stronę do możliwie prostej i czytelnej postaci. Jeśli po lewej stronie mamy funkcję niewiadomej, to na obie strony musimy zadziałać funkcją do niej odwrotną mieliśmy tę sytuację w przykładzie z poprzedniego punktu, nasza niewiadoma była w kwadracie (v 2 ) i dlatego obie strony zostały spierwiastkowane Przykłady i zadania 1. Przeanalizuj przedstawione w niniejszym podrozdziale przykłady i wykonaj je samodzielnie. Sprawdź czy otrzymane wyniki się zgadzają. 2. W Szczególnej Teorii Względności pęd p ciała poruszającego się z prędkością v mającego masę spoczynkową m 0 wyraża się wzorem p = m 0v 1 v2 c 2 gdzie c jest prędkością światła w próżni. Wyznacz z tego wzoru prędkość v.,

13 Znaki i (sumy i iloczynu) Znaki i (sumy i iloczynu) W zapisie matematycznym często mamy do czynienia z długimi wyrażeniami będącymi: sumą składników, między którymi istnieje zależność matematyczna, którą możemy przedstawić w postaci pewnego wzoru, iloczynem czynników, między którymi istnieje zależność matematyczna, którą możemy przedstawić w postaci pewnego wzoru. Czy musimy tego rodzaju wyrażenia zapisywać w całości (co może być niemożliwe) lub w części i uzupełniać je uwagami? Otóż nie. Mamy do dyspozycji dwa bardzo użyteczne symbole i. Pierwszy z nich to duża grecka litera Sigma, drugi duża grecka litera Pi. dotyczy sumy, iloczynu. Stosujemy je w ten sam sposób, pamiętając jedynie o różnicy między sumą i iloczynem. Wygląda to tak: n a i = a 1 + a a n, i=1 n a i = a 1 a 2... a n. i=1 i=1 i=1 Lewe strony powyższych równań czytamy odpowiednio suma od i równego jeden do n z a i i iloczyn od i równego jeden do n z a i. W symbolu sumy i iloczynu występuje zmienna licznikowa i, która numeruje elementy składowe a i od wartości początkowej (tu i = 1, może być też inna liczba, zero albo liczba ujemna) do wartości końcowej (tu n, może też być konkretna liczba). Oczywiście wartość końcowa musi być większa od wartości początkowej. n n Symbole a i i a i oznaczają, że dla każdej wartości zmiennej licznikowej i w zakresie od wartości początkowej do wartości końcowej należy utworzyć aktualny element a i poprzez wstawienie w miejsce symbolu i jego aktualnej wartości. Tak otrzymane wyrażenia należy dodać do siebie (w przypadku sumy) lub pomnożyć (w przypadku iloczynu). Zwróć uwagę, że zmienna licznikowa i w a i oznacza, że a ma różne wartości dla różnych i. Wyrażenie podlegające sumowaniu (czy mnożeniu), w naszym przypadku a i może nie mieć zmiennej licznikowej. Oznacza to, że dla każdej wartości i jest ono takie same.

14 20 Elementy narzędziowni matematycznej Przykłady i zadania Przykłady W poniższych przykładach, dla lepszej ilustracji, nad składnikami sum i czynnikami iloczynów podano odpowiednie wartości zmiennej licznikowej i w normalnym zapisie oczywiście tego nie robimy. Przykłady te należy przeanalizować i następnie wykonać samodzielnie (tzn. nie patrząc na rozwiązanie) i= 1 A = 1 A + 0 A + 1 A + 2 A + 3 A= 5A, zwróć uwagę, że w tym przykładzie wyrażenie pod sumą (czyli A) wcale nie zawiera zmiennej licznikowej i, jednakże dla każdej jej wartości to wyrażenie jest określone i równe A. 1 2iA 2i+1 i = i= 1 1 i= ( 1) A 2 ( 1)+1 = 2A A3 1. A = 4 A 3 A 2 A 1 A= A 4, A A zwróć uwagę, że w tym przykładzie wyrażenie pod iloczynem (czyli A) wcale nie zawiera zmiennej licznikowej i, jednakże dla każdej jej wartości to wyrażenie jest określone i równe A. 1 2iA 2i+1 i = i= 1 1 [2 ( 1) A 2 ( 1)+1 1 ] bo jeden z czynników jest równy zero. Zadania 3 1. i 2i = i=1 3 i=1 3 i= 3 4 i=1 ( i) 2 x i 2i = 1 i = ia i = 0 [2 0 A ] 1 [2 1 A ]= 0

15 Logarytmy Logarytmy Uwaga: poniżej, w pewnych przypadkach, w celu wyróżnienia w otaczającym tekście, funkcje matematyczne przedstawione są czcionką wytłuszczoną (bold). Normalnie w zapisie formuł matematycznych nie stosujemy wytłuszczenia. Rozumienie pojęcia logarytmu mamy liczbę 10, odpowiedz na pytanie: do jakiej potęgi należy ją podnieść, by otrzymać następujące liczby: 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001. Otóż wartości potęg, które wyznaczyłeś, są logarytmami dziesiętnymi powyższych liczb. Liczba 10 to podstawa logarytmu dziesiętnego. Logarytm o podstawie a z liczby b zapisujemy jako log a b. W przypadku logarytmów dziesiętnych, w ich zapisie nie podajemy podstawy, czyli logarytm dziesiętny zapisujemy jako log. Obliczenia, które wykonałeś to: log 1000 = 3; log 100 = 2; log 10 = 1 itd. Definicja logarytmu logarytm o podstawie a > 0 z liczby b > 0 to liczba c taka, że podstawa podniesiona do potęgi c daje liczbę b, co zapisujemy log a b = c, jeśli a c = b czyli a log a b = b, (1.1) wzór ten należy sobie utrwalić. Zapis logarytmów jeśli podstawa logarytmu ma wartość równą: 1. 10, to w oznaczeniu logarytmu jej nie podajemy, logarytm dziesiętny zapisujemy jako log, 2. liczbie Eulera e = 2, , zwanej też podstawą logarytmów naturalnych, to w oznaczeniu logarytmu jej nie podajemy, a oznaczenie logarytmu o tej podstawie ma postać ln, 3. a różną od powyższych, to musi ona być podana w zapisie logarytmu, np. logarytmy dwójkowe log 2. Uwaga: w niektórych programach komputerowych, kalkulatorach i literaturze obcojęzycznej możecie spotkać się z kolidującymi lub innymi oznaczeniami logarytmów

16 22 Elementy narzędziowni matematycznej logarytm naturalny jako log lub ln (a nawet oba stosowane zamiennie), logarytm dziesiętny jako lg, logarytm dwójkowy jako ld, z tego względu, jeśli mamy do czynienia z jakimś nowym systemem po raz pierwszy, należy się upewnić co przyjętych w nim oznaczeń logarytmów. Logarytm dziesiętny uwzględniając powyższe mamy zapis definicji log b = c, jeśli b = 10 c czyli b = 10 log b. (1.2) Logarytm naturalny jego definicja ln b = c, jeśli b = e c czyli b = e ln b. (1.3) Uwaga: w przypadku funkcji wykładniczej o podstawie równej liczbie Eulera e, czyli e x, możesz spotkać się z równoważnym zapisem exp(x), który wymawiamy jako eksponens x. Zapis ten jest stosowany w sytuacjach, gdy wykładnik x jest skomplikowanym wyrażeniem. Właściwości logarytmów, czyli reguły działania logarytmów wobec wyrażeń złożonych, nie zależą one od podstawy logarytmu. Poniżej zostały przedstawione te reguły z użyciem logarytmów naturalnych (dot. p. 4-6, obowiązują oczywiście dla logarytmów o dowolnych podstawach). 1. Logarytm z podstawy logarytmu jest równy 1 ln e = 1, log 10 = 1, log 2 2 = 1, ogólnie log a a = 1. (1.4) 2. Logarytm z 1 jest równy 0 ln 1 = 0, log 1 = 0, log 2 1 = 0, ogólnie log a 1 = 0. (1.5) 3. Może się przydać log a b log b a = log a b log b a = log a a = 1, log a b log b a = 1, czyli

17 Logarytmy 23 z czego wynika praktyczny wzór log a b = 1 log b a. (1.6) 4. Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów czynników ln(xy) = ln x + ln y. (1.7) 5. Logarytm ilorazu jest różnicą czynników (tj. dzielnej i dzielnika) ln x y = ln x ln y. (1.8) 6. Logarytm potęgi jest iloczynem wykładnika i logarytmu podstawy potęgi ln x y = y ln x. (1.9) 7. Z logarytmu iloczynu wynika wygodne przekształcenie n n ln a i = ln a i. (1.10) i=m i=m Ze wzorów widzimy, że logarytmy działają na iloczyny i ilorazy, zamieniając je odpowiednio na sumy i różnice logarytmów, oraz na potęgi, zamieniając je na iloczyn wykładnika i logarytmu podstawy potęgi. Logarytmy nie działają na sumy i różnice (ogólnie wielomiany), tzn. pozostawiają je bez zmiany, nie są w stanie ich przekształcić. Zapamiętaj ponadto, że nie ma logarytmu zera i liczb ujemnych. Wyznaczanie wartości logarytmów w czasach, kiedy nie było jeszcze kalkulatorów i komputerów lub nie były one powszechnie dostępne, do wyznaczania logarytmów korzystano z tablic logarytmów dziesiętnych, używano też suwaków logarytmicznych. Obecnie wartości logarytmów, jak i wielu innych funkcji, obliczają dla nas kalkulatory tzw. naukowe (dla odróżnienia od kalkulatorów prostych, czy innych specjalizowanych, nie mających wbudowanych funkcji matematycznych) i programy komputerowe (np. arkusze kalkulacyjne).

18 24 Elementy narzędziowni matematycznej Przykłady i zadania W rozwiązaniach zadań należy zapisać wszelkie wykonane przekształcenia. Zadania 1. Korzystając z kalkulatora naukowego (jeśli go nie masz, to prawdopodobnie twój wypasiony telefon komórkowy ma aplikację kalkulatora, włącz ją i przełącz na tryb kalkulatora naukowego lub inżynierskiego, zależnie od posiadanych opcji) wyznacz wartości logarytmów a) dziesiętnych (log) z 0,01; 0,5; 0,1; 1; 2; 10; 100; 1000; 10000; 2500 i zapisz w postaci log(argument) = wartość, b) naturalnych (ln) z 0,01; 0,5; 0,1; 1; 2; 10; 100; 1000; 10000; 2500 i zapisz w postaci ln(argument) = wartość. 2. e ln ex =, 3. e ln f(x) =, log 100 =, 10 log 0,001 =, 10 log 15 =, log 102x =, 6. Nie korzystając z kalkulatora wyznacz log =, log 0,1 10 =, log 0, =, ( ) x ln a 3 b 4 =, x 8. ln 3 y 2 a 3 b =, 9. ln a x c y 2d z (a+b) =. [ ] 10. ln n 1 xm y n y m (x + y) 1/2 =, 11. ln 12. ln 13. ln 1 i= 4 3 i= 3 3 i=1 A =, 1 =, i i x i y 2i z 3i =.

19 Pochodne i różniczki Pochodne i różniczki Program matematyki szkoły średniej w zakresie podstawowym nie obejmuje pochodnych, a większość rozpoczynających studia miała matematykę w takim właśnie zakresie. Z kolei na studiach politechnicznych na kursie matematyki pochodne, różniczki i całki pojawiają się zbyt późno jak na potrzeby prowadzących zajęcia z fizyki. Na szczęście zajęcia z fizyki nie wymagają gruntownej znajomości tych zagadnień. Wystarczy by były one przedstawione w zakresie, który możemy określić jako użytkowy, niekoniecznie od razu w całości, lecz stopniowo, w miarę jak pojawiają się zagadnienia ich potrzebujące. Oczywiście nie zrobią tego matematycy na swoich zajęciach, muszą fizycy na swoich. Poniżej przedstawiamy takie użytkowe ujęcie pochodnych. Rozpoczynamy od przypomnienia pojęć prędkości średniej i prędkości chwilowej, wielkości mającej ścisły związek z pojęciem pochodnej. Następnie przechodzimy do pochodnych, na końcu omawiamy pojęcie różniczki. Uwaga prędkość jako wielkość fizyczna jest wektorem, lecz poniżej będziemy używać słowa prędkość w sensie wartości wektora prędkości, czyli wielkości skalarnej. Ponadto będziemy rozważać ruch ciał w najprostszej postaci, czyli ruch wzdłuż linii prostej (co upraszcza pojęcie wartości wektora). Jeśli to się zmieni będzie wyraźnie zaznaczone. Prędkość pojęcie prędkości pojawia się bardzo wcześnie w nauczaniu fizyki, określana jest ona jako stosunek przebytej drogi do czasu. Później uczniowie dowiadują się, że tak zdefiniowana prędkość jest prędkością średnią, i co to znaczy. Następnie pojawia się drugi rodzaj prędkości nazwany prędkością chwilową. Jest ona zdefiniowana w dość skomplikowany sposób, mimo że samo pojęcie prędkości chwilowej jest intuicyjnie oczywiste (związane z postrzeganiem relacji szybszy-wolniejszy dwu poruszających się obiektów, czy też obserwacji prędkościomierza samochodowego, czy samego faktu odczuwania prędkości ruchu). Poniżej przypomnimy oba pojęcia, pozwoli to nam następnie zająć się pochodnymi. Prędkość średnia oznaczamy ją literą v, jest określona wzorem v = s t,

20 26 Elementy narzędziowni matematycznej gdzie s to jest droga przebyta przez ciało w czasie t. Powyższy wzór możemy doprecyzować: ciało porusza się wzdłuż osi X, od punktu A do punktu B. W punkcie A jego położenie jest określone wartością współrzędnej, którą oznaczymy x A, zaś w punkcie x B. W chwili rozpoczęcia ruchu w punkcie A zegar wskazywał czas, który oznaczymy jako t A, w chwili zakończenia w punkcie B czas t B. To nam pozwala uszczegółowić powyższy wzór: s = x B x A, t = t B t A, v = x B x A t B t A. Możemy też zastosować inne oznaczenia: ciało porusza się wzdłuż osi X, od punktu A do punktu B. W punkcie A jego położenie było określone wartością współrzędnej, którą oznaczymy x 1, zaś w punkcie B x 2. W chwili rozpoczęcia ruchu w punkcie A zegar wskazywał czas, który oznaczymy jako t 1, w chwili zakończenia w punkcie B czas t 2. Ponieważ ciało porusza się wzdłuż osi X, chcielibyśmy by oznaczenie prędkości zawierało tę informację, zastąpimy zatem oznaczenie v symbolem v x. To nam pozwala zapisać powyższe wzory w postaci (wraz z pewnym dodatkiem po prawej stronie, wyjaśnionym dalej): s = x 2 x 1 = x, t = t 2 t 1 = t, v x = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t. Pojawił się nowy symbol, jest to duża grecka litera Delta, oznacza on

21 Pochodne i różniczki 27 tu przyrost, zmianę 2. Np. x oznacza zmianę zmiennej x, np. od wartości x 1 do x 2, czyli x = x 2 x 1. W analizie matematycznej (patrz przypis na dole) symbol jest niezwykle ważny, jest też używany w innych znaczeniach (np. jako oznaczenie błędu pomiaru, nazywanego też niepewnością pomiaru nie powinno to jednak sprawiać problemów, jeśli rozumiemy kontekst). Pytanie możemy teraz zadać pytanie, co naprawdę oznacza tak określona prędkość, co wiemy, a czego nie wiemy, i o czym ta prędkość nam mówi. Czy jeśli wyznaczylibyśmy według tej samej procedury prędkość, ale dla połowy drogi, to jej wartość byłaby taka sama? Nie wiemy, gdyż procedura nie bierze pod uwagę szczegółów ruchu, znamy tylko odległość pomiędzy punktem początkowym i końcowym, i ile czasu upłynęło od momentu rozpoczęcia ruchu do momentu jego zakończenia. Dlatego prędkość wyznaczoną z takich danych nazywamy prędkością średnią. Prędkość średnia nie mówi nam nic o samym ruchu, nie wiemy np. czy ruch odbywał się ze stałą prędkością czy nie, nie wiemy czy nie było postojów. Prędkość chwilowa czyli prędkość określona dla konkretnej wartości czasu t. Definiujemy ją posługując się pojęciem prędkości średniej. Rozpatrzmy to na przykładzie. Chcemy wyznaczyć prędkość ciała w punkcie A. Ciało porusza się wzdłuż linii prostej, z którą wiążemy oś X. Współrzędną punktu A oznaczmy jako x, ciało mija punkt A w chwili t. Po pewnym czasie ciało mija punkt B o współrzędnej x 1 w chwili t 1. Obliczamy prędkość średnią między A i B oznaczając ją jako v 1 : v 1 = x 1 x t 1 t = x 1 t 1. Wyznaczamy teraz wcześniejsze wartości prędkości średniej. Czyli cofamy się od punktu B do punktu A przez kolejne punkty B, C, D itd. 2 Mówiąc ściśle jest to zmiana (przyrost) skończona, w sensie nie zerowa (co jest być może bez sensu), czy też nie nieskończenie mała. W analizie matematycznej dziale matematyki, do której należą pochodne, różniczki i całki, istnieje pojęcie nieskończenie małej zmiany, nazywanej różniczką i oznaczanej literą d. Nieskończenie mała zmiana zmiennej x to różniczka x, czyli dx, nieskończenie mała zmiana funkcji f(x) spowodowana wzrostem argumentu x o dx to różniczka f(x), czyli df(x) = f(x + dx) f(x).

22 28 Elementy narzędziowni matematycznej Odpowiadają im wartości współrzędnych x i t: (x 2, t 2 ), (x 3, t 3 ), (x 4, t 4 ) itd. ich wartości coraz bardziej zbliżają się do wartości współrzędnych punktu A, czyli (x, y). Wyznaczamy teraz prędkości średnie między tymi punktami a punktem A, dostając ciąg wartości prędkości średnich: v 2 = x 2 x t 2 t = x 2 t 2, v 3 = x 3 x t 3 t = x 3 t 3, v 4 = x 4 x t 4 t = x 4, t 4 itd. aż do wartości n-tej: v n = x n x t n t = x n, t n który dąży do pewnej wartości granicznej (zakładamy, że studenci wiedzą co to jest ciąg i granica ciągu), którą nazywamy prędkością chwilową w punkcie A (możemy ją też nazwać prędkością chwilową dla chwili t). Zwróćmy uwagę, że tą granicą jest punkt A, dla niego x n x, t n t (co czytamy x n dąży do x, t n dąży do t). W konsekwencji x n 0 i t n 0. Granicę tego ciągu wartości prędkości chwilowych zapisujemy następująco: x v = lim t 0 t, a wzór ten czytamy jako: v równa się limes (czyli granica po łacinie) dla t dążącego do zera z ilorazu x. Taki zapis stosujemy, możemy go zapisać bardziej szczegółowo, oddając pełniej jego znaczenie i podkreślając, t że v odnosi się do współrzędnych (x, t): x v = lim t 0 t = lim x n x t n t t n t = lim x(t + t n ) x(t), t n 0 t n po prawej stronie wskaźnik n możemy usunąć i wzór przyjmie postać v = lim t 0 x(t + t) x(t). t

23 Pochodne i różniczki 29 Reasumując, wzór na prędkość chwilową ma postać x v = lim t 0 t = lim t 0 x(t + t) x(t). t Jakie to ma znaczenie dla pochodnych? otóż takie, że ta definicja prędkości chwilowej jest tożsama z definicją pochodnej, ważnego pojęcia matematycznego. Jeśli więc rozumiesz prędkość chwilową w powyższej prezentacji, to rozumiesz pojęcie pochodnej. Z tym, że to jest niewystarczające, gdyż potrzebna jest dodatkowa wiedza na jej temat, którą przedstawiamy poniżej. Pochodna XVII wiek, Isaac Newton i niezależnie Gottfried Wilhelm Leibniz. Związek prędkości chwilowej z pochodną jest następujący x v = lim t 0 t dx dt d dt x. Znak oznacza równoważność, tożsamość, identyczność. Zapis dx czytamy jako pochodna z dx po dt (lub fonetycznie pochodna z de x po de te ), natomiast x jako pochodna d po dt z x dt d dt (fonetycznie: pochodna po de te z x). dx to nie jest ułamek, dx nie jest iloczynem d i x, podobnie dt nie jest dt iloczynem d i t. Jest to symbol pochodnej. Jakkolwiek istnieje interpretacja pochodnych (rygoryści się z nią nie zgadzają), w której dx oznacza nieskończenie małą zmianę x, czyli różniczkę x (widzimy podobieństwo do x oznaczającą skończoną zmianę x, ta nieskończenie mała zmiana nosi nazwę różniczki), i odpowiednio dt. Wtedy symbol pochodnej możemy interpretować jako granicę ilorazu tych nieskończenie małych zmian, czyli różniczek. Pochodna działa na funkcję, której argumentem jest zmienna względem której pochodna jest wyznaczana. We wzorach powyżej x jest funkcją czasu t, co możemy zapisać jako x(t) lub x = f(t). Znaczna część matematyki dotyczy funkcji jednej zmiennej, przyjęte jest, że tą zmienną jest x. Pozwala to uprościć zapis pochodnej przez rezygna-

24 30 Elementy narzędziowni matematycznej cję z zaznaczania x. Pochodną funkcji względem zmiennej x oznaczamy stawiając apostrof przy symbolu funkcji: d dx f(x) zapisujemy jako f (x) lub krótko f, i zapis jej definicji ma postać f f (x) df(x) dx d f(x) f(x) = lim dx x 0 x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (1.11) Wyznaczanie pochodnej (funkcji czy złożonego wyrażenia zawierającego funkcje) formalnie sprowadza się do wyznaczenia granicy ilorazu występującego w definicji pochodnej. W praktyce jednak tak nie postępujemy. Pochodne wyznaczamy korzystając ze znanych reguł działania pochodnej wobec wyrażeń złożonych, i ze znanych wzorów na pochodne funkcji. Takie podejście pozwala widzieć w pochodnej nowe kolejne działanie matematyczne mające, tak jak każde inne, swoje własne reguły działania. Reguły te przedstawiamy niżej, w obu zapisach. Przyjmujemy tu, że C jest stałą, a f, g są funkcjami zmiennej x, ponadto stosujemy znak mnożenia w iloczynach, co normalnie nie jest wymagane ani stosowane, chyba że jego brak mógłby wprowadzać niejednoznaczność znaczenia. Pochodna stałej jest równa zeru d C = 0, gdzie C jest stałą, (1.12) dx C = 0. Pochodna iloczynu stałej i funkcji stałą możemy przenieść jako czynnik przed pochodną d d (C f(x)) = C f(x), (1.13) dx dx (C f(x)) = C f (x). Pochodna sumy/różnicy funkcji pochodna sumy/różnicy funkcji jest równa sumie/różnicy pochodnych tych funkcji d (f ± g) = d dx dx f ± (f ± g) = f ± g. d g, (1.14) dx

25 Pochodne i różniczki 31 Pochodna iloczynu funkcji jest równa sumie iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej i iloczynu drugiej funkcji przez pochodną pierwszej d d (f g) = f dx dx g + g (f g) = f g + f g. d f, (1.15) dx Pochodna funkcji złożonej czyli tu funkcji g, której argumentem jest funkcja f, mająca argument za zmienną x d dg g(f(x)) = dx df df dx, (1.16) (g(f)) = g f, g oznacza pochodną funkcji g względem funkcji f, którą traktujemy jako zmienną. Pochodne często spotykanych funkcji d dx xn = nx n 1, (x n ) = nx n 1, (1.17) d dx ex = e x, (e x ) = e x, (1.18) d dx eax = a e x, (e ax ) = ae x, (1.19) d dx ax = ln a a x, (a x ) = ln a a x, (1.20) d dx ln x = 1 x, (ln x) = 1 x, (1.21) d dx sin x = cos x, (sin x) = cos x (x w radianach), (1.22) d dx cos x = sin x, (cos x) = sin x (x w radianach). (1.23) Różniczki różniczkę zmiennej x zapisujemy jako dx, oznacza ona nieskończenie małą zmianę zmiennej x, rozumiemy ją w następujący sposób: mamy zmianę skończoną zmiennej x, oznaczamy ją x, jest ona równa x = x 1 x. x 1 zmierza do wartości x, zatem x dąży do zera nie osiągając jednak wartości zero. I taką właśnie zmianą x nie będącą zerem, ale dążącą do zera jest różniczka dx.

26 32 Elementy narzędziowni matematycznej Różniczka funkcji zapisujemy ją jako df(x), oznacza ona nieskończenie małą zmianę wartości funkcji, wynikającą ze zmiany wartości argumentu funkcji x o dx; możemy ją zapisać jako df(x) = f(x + dx) f(x). Analogicznie dla zmiany skończonej mamy f(x) = f(x + x) f(x). Aby obliczyć różniczkę funkcji korzystamy ze wzoru df(x) = df(x) dx dx, df(x) = f (x) dx. (1.24) Dla przyrostów skończonych możemy ten wzór zastosować jako wzór przybliżony f(x) = d dx f(x) x, f(x) = f (x) x, (1.25) gdzie znak = oznacza wartość przybliżoną. Wzór ten wykorzystujemy w rachunku błędów, wyznaczamy różniczki, następnie zamieniamy je na przyrosty skończone nadając im interpretację błędów pomiarowych i stosując odpowiednie zasady. Różniczka zupełna i pochodne cząstkowe w przypadku funkcji wielu zmiennych różniczka funkcji ma nazwę różniczki zupełnej i dla funkcji dwu zmiennych wyraża się wzorem (uogólnienie dla dowolnej liczby zmiennych nie powinno stanowić problemu) df(x, y) = f(x, y) x dx + f(x, y) y dy. (1.26) We wzorze tym pojawił nowy rodzaj pochodnej, pochodna cząstkowa. Zapisujemy ją w specjalny sposób x y pochodna cząstkowa względem x, pochodna cząstkowa względem y. Zasady wyznaczania pochodnej cząstkowej są takie same jak zwykłej pochodnej, z tą różnicą że wszystkie zmienne, poza tą względem której pochodna jest liczona, traktujemy jako stałe.

27 Pochodne i różniczki Przykłady i zadania Przykłady 1. Wyznaczenie pochodnej funkcji y = 2x + 1 na podstawie definicji pochodnej: dy dx = d y(x) y(x) = lim dx x 0 x y(x + x) y(x) = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 x [2(x + x) + 1] [2x + 1] x 2x + 2 x + 1 2x 1 x 2 x = lim x 0 x = Wyznaczenie pochodnej dx dx, czyli x : zapisuję wykładniki w postaci jawnej x = x 1, czyli wyznaczam pochodną d dx x1, przeglądam wzory w niniejszym podrozdziale i znajduję we wzorze 1.17 rozwiązanie: Zadania d dx x1 = 1 x 1 1 = 1 x 0 = 1 1 = Na podstawie definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji y = ax 2 + bx + c (powyżej znajduje się przykład). 2. Korzystając z odpowiednich wzorów , reguł działania pochodnej określonych wzorami oraz podanego przykładu, wyznacz pochodne poniższych funkcji a) y = 16, b) y = x 2 + 1, c) y = ln x, d) y = ln x 2, e) y = 2x 3 + ax 2 4, f) y = x ln x, g) y = x2 1 x 2 zwróć uwagę, że jest to iloczyn dwu funkcji, czyli + 1 y = (x 2 1) (x 2 + 1) 1.

28 34 Elementy narzędziowni matematycznej 3. W Szczególnej Teorii Względności masa ciała m zależy od jego prędkości v zgodnie ze wzorem m 0 m = 1 v2 c 2 gdzie m 0 masa spoczynkowa ciała, c prędkość światła w próżni. Wyznacz pochodną dm dv. 4. W Szczególnej Teorii Względności pęd ciała p zależy od jego prędkości v zgodnie ze wzorem p = m 0v 1 v2 c 2 gdzie m 0 masa spoczynkowa ciała, c prędkość światła w próżni. Wyznacz pochodną dp dv. 5. W fizyce pochodna współrzędnej (tzn. wielkości określającej położenie ciała), oznaczane zmienną x po czasie t oznacza prędkość ciała, czyli v = dx(t). W poniższych zadaniach ciało porusza się wzdłuż osi x, jego dt położenie x w funkcji czasu określa funkcja x(t). Wyznacz prędkość ciała dla funkcji x(t) określonych przez a) x(t) = vt + x 0 (równanie ruchu jednostajnego), b) x(t) = 1 2 at2 + v 0 t + x 0 (równanie ruchu jednostajnie przyśpieszonego), gdzie v prędkość ciała, a przyśpieszenie, v 0 prędkość początkową, x 0 położenie początkowe.

29 Wektory Wektory By wyjaśnić pojęcie wektora zaczniemy od pojęcia wielkości fizycznych. Są one wokół nas. Wiele z nich jest określonych pojedynczą liczbą, np. liczba posłów w sejmie, temperatura w ciągu dnia czy nocy, objętość, masa. Charakterystyczną cechą wielkości fizycznych jest to, że mają jednostki miary stopnie Celsjusza, metry sześcienne lub litry, kilogramy (dla podanych przykładów), są też nieliczne wielkości nie mające jednostek, jak np. prawdopodobieństwo czy ilość. Zwróćmy uwagę na bardzo ważny fakt, że te wielkości określone są jedną liczbą (pomijając jednostki miary i związane z tym rozważania). Nazywamy je z tego powodu skalarami. W fizyce istnieją też wielkości, które są bardziej złożone i jedna liczba nie wystarcza do ich opisu. Są to wektory, w fizyce jest wiele wielkości wektorowych, są też wielkości bardziej skomplikowane (tensory), którymi nie będziemy się zajmować (jest to zagadnienie dość zaawansowane, potrzeba jego znajomości nie pojawia się w zakresie pierwszych dwu lat studiów politechnicznych). Taką wielkością wektorową jest np. prędkość. Rozważmy w związku z nią następujący przykład: w pewnym mieście jedzie samochód, zwróćmy uwagę na trzy szczegóły: 1. na liczniku ma 50 km/godz., 2. jedzie ulicą Stanisława Lema, 3. jedzie w kierunku rosnących numerów domów. Określają one elementy składowe wektora prędkości tego samochodu, czyli wartość (50 km/godz.), kierunek (ul. Stanisława Lema, ma ona swój kierunek w przestrzeni) i zwrot (czyli w stronę rosnących numerów, a nie przeciwną). Wszystkie wektory mają określone trzy elementy: wartość (używane też są inne nazwy: moduł, długość), kierunek i zwrot. Wektory możemy łatwo przedstawić graficznie, wektor to strzałka, której długość odpowiada wartości wektora, ta strzałka leży na prostej określającej kierunek wektora, a zwrot wektora (czyli w którą stronę prostej jest skierowany) określa grot strzałki. Przykłady przedstawia rys Jest to przedstawienie graficzne wektorów, jest też przedstawienie analityczne określające wektory liczbowo. Zaczniemy od przedstawienia graficznego, w którym przedstawimy wszystko co w tym ujęciu da się przedstawić, potem pokażemy to w ujęciu

30 36 Elementy narzędziowni matematycznej Rys Przykłady wektorów. Wektory a i b są sobie równe, wektory c i d są wektorami przeciwnymi, wektory f i h są równe wektorom odpowiednio e i g pomnożonymi przez liczbę analitycznym. Obejmuje to podstawowy zakres wiadomości n/t wektorów (o wektorach są obszerne książki).

31 Wektory Wektory w ujęciu geometrycznym Wektor jako przemieszczenie na rys. 1.2 mamy przedstawione przemieszczenie od punktu początkowego A do punktu końcowego B, które odbyło się po drodze oznaczonej linią łamaną. Interesuje nas minimalna informacja o przemieszczeniu, czyli punkt początkowy i końcowy (a nie droga, po której ono nastąpiło), i jak możemy to zdefiniować. Przemieszczenie może się odbywać po różnych drogach, dwie są przedstawione na rysunku (bezpośrednio od A do B, druga po linii łamanej ACDEB). Możliwych dróg nie bierzemy pod uwagę. Istotna jest wielkość przemieszczenia, czyli odległość punktów A i B. Przemieszczenie przedstawiamy Rys Wektor a jest wektorem przemieszczenia z punktu A do punktu B. Odbyło się ono po drodze ACDEB, jednakże wektor jest określony wyłącznie przez punkt początkowy i końcowy, nie zawiera zatem informacji o drodze przemieszczenia, wektor a może być również zapisany jako AB w postaci wektora. Jest to strzałka, która posiada: 1. Początek (lub inaczej punkt zaczepienia), czyli punkt A. 2. Koniec oznaczony grotem w punkcie B. 3. Długość równą odległości pomiędzy punktami A i B. 4. Kierunek, czyli prostą na której leży wektor. 5. Zwrot, czyli wyznaczoną stronę (zwrot) tej prostej (w języku polskim pojęcie kierunek oznacza również zwrot) określony od punktu początkowego do końcowego. Wektor przemieszczenia możemy traktować jako działanie (transformację) powodujące przemieszczenie punktu na określoną odległość w określonym kierunku (wyznaczonym przez położenie prostej i jej zwrot). Do-

32 38 Elementy narzędziowni matematycznej tyczy to dowolnego punktu, zatem punkt przyłożenia nie jest elementem wektora. W takim ujęciu wektor przemieszczenia sprowadza się do następujących 3 elementów: 1. wartość (czyli długość, moduł) wektora zawsze dodatnia, 2. kierunek, 3. zwrot. Zapis wektorów wektory przedstawiamy symbolicznie pojedynczą małą literą (w przypadku wielkości fizycznych dużą) lub dwiema dużymi oznaczającymi punkt początkowy i końcowy, nad którymi zaznaczamy strzałkę skierowaną od lewej strony do prawej, w druku w przypadku oznaczeniu jednoliterowego stosuje się czcionkę pogrubioną: a, F, AB, BA, a, F, AB. Zapis wartości wektora dla oznaczenia wartości wektora używamy jego oznaczenia bez strzałki, zapisujemy jego symbol literowy zapisany czcionką normalną lub stosujemy specjalne oznaczenie polegające na tym, że symbol wektora otaczamy nawiasami prostymi (można spotkać też podwójne nawiasy proste, zapewne by odróżnić od oznaczenia stosowanego dla wartości bezwzględnej): a, a, AB, a, F, AB lub czasem a, AB, a, F, AB Skalary a wektory Skalary wielkości opisywane jedną liczbą, jak np. temperatura, czas, masa, ciśnienie, energia. Nie mają one związku z pojęciem kierunku. Wektory wielkości mające wartość, kierunek i zwrot, takie jak np. przemieszczenie, prędkość (ale nie szybkość oznacza ona wartość prędkości, czyli liczbę), przyśpieszenie, siła. Do ich opisu w przestrzeni (przypadek trójwymiarowy) potrzebujemy 3 liczb, na płaszczyźnie 2 (przypadek dwuwymiarowy), a na osi liczbowej 1 liczby (przypadek jednowymiarowy) patrz rys Wyróżniamy dwa rodzaje wektorów: wektory zaczepione i wektory swobodne.

33 Wektory 39 Rys Przykłady wektorów w układzie 1-wymiarowym (a) na osi liczbowej (zaznaczono punkt zerowy), 2-wymiarowym (b) na płaszczyźnie w układzie współrzędnych prostokątnych x, y i 3-wymiarowym (c) w przestrzeni, w układzie współrzędnych prostokątnych x, y, z. Na rysunku (c) wektor r jest poprowadzony ze środka układu współrzędnych do punktu A, dla większej poglądowości narysowano prostopadłościan, którego wierzchołkiem jest punkt A Rodzaje wektorów Wektory zaczepione wektory, dla których istotny jest punkt przyłożenia (zaczepienia), np. siła jest przyłożona do konkretnego ciała w konkretnym punkcie. Wektory swobodne wektory, dla których punkt przyłożenia nie jest określony, np. wektor przemieszczenia określający tylko jego wartość, kierunek i zwrot. W praktyce często wektory zaczepione traktujemy jakby były swobodne. Wektor przeciwny do wektora a (rys. 1.1 na stronie 36) jest to wektor mający tę samą wartość, kierunek i przeciwny zwrot, oznaczamy go ( a). Określenie wektory mają ten sam kierunek oznacza, że są one równoległe, czyli proste na których one leżą są równoległe (a nie, że oba wektory leżą na tej samej prostej). Wektor jednostkowy ma wartość jednostkową. Szczególne znaczenie mają wektory jednostkowe o kierunkach i zwrotach zgodnych z osiami prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich, mają specjalną nazwę wersor i oznaczenie î, ĵ, ˆk odpowiednio dla osi x, y, z patrz rys. 1.4.

34 40 Elementy narzędziowni matematycznej Rys Wersory w układzie 1-wymiarowym (a) na osi liczbowej (zaznaczono współrzędne), 2-wymiarowym (b) na płaszczyźnie w układzie współrzędnych prostokątnych x, y i 3-wymiarowym (c) w przestrzeni, w układzie współrzędnych prostokątnych x, y, z Wektor zerowy wektor mający wartość równą zero, nie ma określonego kierunku, zapisujemy go jako Działania na wektorach Omawiając działania na wektorach będziemy traktować wszystkie wektory jako swobodne. Przesunięcie równoległe ponieważ wektor jest transformacją (w przypadku wektora przemieszczenia), nie ma on punktu przyłożenia (punkt przyłożenia pojawia się dopiero gdy działa on na określony obiekt), zatem może być przesuwany w sposób zachowujący kierunek i zwrot wektora, będąc przy tym cały czas tym samym wektorem. Musi to być zatem przesunięcie równoległe. Wektor przesunięty równolegle leży na prostej równoległej do tej, na której wcześniej się znajdował i ma ten sam zwrot. Dany wektor i jego kopie utworzone jako wektory przesunięte równolegle traktujemy jako te same wektory. Czyli wektor jest określony przez wartość (moduł), kierunek i zwrot, a nie miejsce gdzie się znajduje. Konstrukcja wektora przeciwnego najprościej poprowadzić z punktu początkowego wektora wektor o tej samej długości i kierunku, skierowany przeciwnie. Rysowanie wektora przeciwnego winniśmy mieć opanowane,

35 Wektory 41 gdyż ta umiejętność jest niezbędna przy odejmowaniu graficznym wektorów. Wektory przeciwne przedstawia rys. 1.1 na stronie 36. Dodawanie metodą trójkąta przedstawia rys. 1.5 do pierwszego wektora dosuwamy równolegle drugi wektor tak, by jego początek pokrył się z końcem (grotem) pierwszego wektora, powtarzamy to dla kolejnych wektorów. Koniec ostatniego wektora wyznacza końcowy punkt wynikowego przemieszczenia. Sumą dodawanych wektorów jest wektor poprowadzony od początku pierwszego wektora do końca ostatniego. Rys Dodawanie graficzne wektorów: a) wektory, b) metoda równoległoboku, c) metoda trójkąta Dodawanie metodą równoległoboku przedstawia rys. 1.5 wektory dosuwamy równolegle do siebie tak, by miały wspólny punkt początkowy. Przez koniec jednego wektora prowadzimy prostą równoległą do drugiego wektora (linia przerywana), analogicznie kreślimy drugą równoległą. Sumą obu wektorów jest wektor leżący na przekątnej powstałego w ten sposób równoległoboku poprowadzony od punktu początkowego obu dodawanych wektorów. Odejmowanie wektorów przedstawia rys. 1.6 nie korzystamy ze specjalnego sposobu odejmowania wektorów, odejmowanie wektora zastępujemy dodawaniem wektora przeciwnego zgodnie z zależnością a b = a + ( a). Stosujemy podane wcześniej metody dodawania wektorów.

36 42 Elementy narzędziowni matematycznej Rys Odejmowanie graficzne wektorów: a) wektory, b) metoda równoległoboku, c) metoda trójkąta Rozkład wektora na składowe przedstawia rys. 1.7 polega na znalezieniu dla danego wektora a takich dwu wektorów a 1 i a 2, których on jest sumą: a = a 1 + a 2. Najwygodniej zastosować metodę równoległoboku, która jest od razu konstrukcją sumy wektorów składowych z prawej strony powyższego równania. Przez punkt początkowy prowadzimy dwie proste pomocnicze wyznaczające kierunki wektorów składowych, przez punkt końcowy wektora prowadzimy proste pomocnicze równoległe do poprzednich. Wektorami składowymi są wektory utworzone na bokach powstałego równoległoboku mające ten sam punkt początkowy co wektor wyjściowy. Rozkład wektora oznacza (w zastosowaniu do fizyki) zastąpienie go jego wektorami składowymi. Mnożenie wektora przez liczbę oznacza skonstruowanie wektora, którego długość (moduł) jest równy iloczynowi tej liczby i modułu mnożonego wektora. Działanie to oznacza skalowanie wektora (rozciąganie lub pomniejszanie w zależności czy czynnik liczbowy jest większy czy mniejszy od 1, stąd określanie liczb skalarami, od skalowania). Iloczyn skalarny wektorów nazwa oznacza, że wynikiem mnożenia (iloczynu) skalarnego (dwu) wektorów jest skalar (czyli liczba), a nie wektor. Określony jest wzorem a b = ab cos α.

37 Wektory 43 Rys Rozkład wektora a na składowe: a) wektory składowe pod kątem różnym od prostego, b) wektory składowe prostopadłe W powyższym zapisie znak mnożenia jest niezbędny, gdyż oznacza on iloczyn skalarny (jeśli znajduje się pomiędzy dwoma wektorami). Kąt α jest kątem pomiędzy wektorami. Zwróć uwagę, że jeśli kąt pomiędzy wektorami jest kątem prostym (α = 90 ) to iloczyn skalarny jest równy 0. Zwróć też uwagę kiedy cos α przyjmuje wartość 1. Ma to znaczenie gdy czynnikami są wektory jednostkowe (do tego jeszcze wrócimy później). Iloczyn wektorowy wektorów nazwa oznacza, że wynikiem mnożenia (iloczynu) (dwu) wektorów jest wektor, a nie coś innego (jak liczba). Określony jest wzorami c = a b oraz c = ab sin α. Nie jest to jednak pełna definicja, pierwszy wzór mówi, że iloczyn jest wektorem c, drugi jaka jest wartość tego wektora. Nie wiemy jeszcze jaki jest kierunek i zwrot iloczynu wektorowego, czyli wektora c. To określa słowne uzupełnienie: kierunek: wektor c jest wektorem prostopadłym do obu wektorów a i b (zwróć uwagę, że dwa wektory, jeśli nie są równoległe, wyznaczają płaszczyznę, na tej płaszczyźnie oba wektory leżą, do niej wektor c jest prostopadły), zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej: jeśli ustawimy się tak, że oba wektory będą przed nami (w płaszczyźnie równoległej do nas) i obrót pierwszego wektora (pierwszy czynnik iloczynu wektorowego) w kierunku drugiego będzie zgodny z ruchem zegara (czyli prawo-

38 44 Elementy narzędziowni matematycznej w prawo obserwator w lewo Rys Wyznaczanie kierunku i zwrotu iloczynu wektorowego za pomocą reguły śruby prawoskrętnej (lub korkociągu). Wektory a i b leżą na płaszczyźnie przed obserwatorem (oznaczonej obróconym prostokątem). Obrót wektora a na wektor b jest zgodny z ruchem wskazówek zegara. Śruba prawoskrętna (korkociąg) przyłożona prostopadle do tej płaszczyzny wkręcałaby się w kierunku od obserwatora zgodnie z kierunkiem i zwrotem wektora c skrętny) to zwrot iloczynu wektorowego jest w kierunku wkręcania się śruby prawoskrętnej (czyli od nas do przodu) patrz rys. 1.8, jeśli obrót wektora jest w przeciwną stronę, to zwrot też jest przeciwny. W powyższym zapisie znak mnożenia wektorowego jest niezbędny, gdyż oznacza on iloczyn wektorowy (jeśli znajduje się pomiędzy dwoma wektorami). Kąt α jest kątem pomiędzy wektorami. Zwróć uwagę, że jeśli oba wektory są równoległe, czyli kąt pomiędzy nimi α = 0 to iloczyn wektorowy jest równy 0, czyli jest wektorem zerowym (pamiętamy, że wektor zerowy nie ma kierunku ani zwrotu, jest bowiem wektorem utworzonym z punktu matematycznego), bo jego wartość (moduł) jest równa 0. Zwróć też uwagę kiedy sin α przyjmuje wartość 1. Ma to znaczenie gdy czynnikami są wektory jednostkowe (do tego jeszcze wrócimy później). Ważna właściwość iloczynu wektorowego jest on nieprzemienny. Działania, którym wektory nie podlegają wszystkie nie wymienione, czyli nie ma dzielenia wektora przez wektor, pierwiastkowania wek-

39 Wektory 45 torów, logarytmowania itd. Nie dotyczy to oczywiście modułu (wartości wektora), który jest liczbą i podlega wszystkim działaniom jakie możemy wykonywać na liczbach. Zagadnienia pominięte funkcje wektorowe, pochodne i całki wektorów i inne tematy. Omawianie ich wymaga przedstawienia wektorów w postaci analitycznej, są to ponadto zaawansowane zagadnienia leżące poza zakresem naszego opracowania Własności działań na wektorach Z matematyki szkolnej znamy liczby, jakie działania na nich możemy wykonywać i jakim regułom one podlegają. W stosunku do liczb wektory są bardziej złożonymi wielkościami. Rodzaje działań matematycznych z udziałem wektorów w ujęciu geometrycznym omówiliśmy powyżej. Zostało do omówienia jakie zasady obowiązują wektory w tych działaniach, w większości są takie same jak w odniesieniu do liczb. Obowiązują następujące zasady: 1. Przemienności dodawania a + b = b + a. 2. Nieprzemienności odejmowania ale zamieniając na sumę mamy: 3. Łączności dodawania a b = ( b a), a b = a + ( b) = ( b) + a. ( a + b) + c = a + ( b + c). 4. Rozdzielności mnożenia przez skalar (liczbę), względem dodawania i odejmowania wektorów x ( a + b) = x a + x b, x ( a b) = x a x b, uwaga: znak mnożenia może być pominięty, tak jak jest to zwykle stosowane w matematyce w przypadku iloczynów wielkości będących liczbami.

40 46 Elementy narzędziowni matematycznej 5. Przemienności iloczynu skalarnego a b = b a. 6. Nieprzemienności iloczynu wektorowego a b = b a. 7. Rozdzielności mnożenia skalarnego i wektorowego przez wektor względem dodawania i odejmowania wektorów a ( b + c) = a b + a c, a ( b + c) = a b + a c.

41 Wektory Wektory w ujęciu analitycznym Określenie w tytule ma związek z geometrią analityczną, czyli takim ujęciem geometrii, w którym obiekty geometryczne (punkty, proste, figury, wektory itd.) znajdują się w układzie współrzędnych i są przedstawiane przy pomocy liczb 3 mających sens współrzędnych. Układ współrzędnych może być jednowymiarowy, dwuwymiarowy lub trójwymiarowy (matematycy i fizycy używają również układów o większej liczbie wymiarów, nawet dowolnej liczbie i nawet układów o nieskończonej ich liczbie, fizycy zajmujący się pewną dziedziną fizyki teoretycznej przypisują naszej rzeczywistości 11 wymiarów, te co są poza naszym wyobrażeniem mają być zwinięte, ale ich zdaniem istnieją). Układ jednowymiarowy dzieje się na prostej, dwuwymiarowy na płaszczyźnie, trójwymiarowy w przestrzeni. Układ jednowymiarowy jest nim prosta, z którą wiążemy oś liczbową, czyli wyróżniamy na niej punkt zerowy i kierunki dodatni w jedną stronę i ujemny w drugą, zaznaczamy też na niej podziałkę (jak na linijce). Każdy punkt na tej prostej ma przypisaną liczbę określającą jego położenie względem punktu zerowego równą jego odległości od niego i mającą odpowiedni znak w zależności od tego czy jest po stronie dodatniej czy ujemnej. Ta liczba jest współrzędną tego punktu. Jeśli jakieś zagadnienie (np. zadanie z fizyki) da się sprowadzić do przypadku jednowymiarowego (np. ruchu po prostej) to robimy to, bo w ten sposób zyskujemy najprostsze jego ujęcie. Układ dwuwymiarowy kartezjański układ współrzędnych prostokątnych, czyli dwie osie liczbowe oznaczone x i y o wspólnym punkcie zerowym i przecinające się pod kątem prostym. Oś x ma też nazwę osi odciętych, a oś y osi rzędnych. Punkt w tym układzie ma dwie współrzędne: współrzędną x (odciętą) i współrzędną y (rzędną). Jest przedstawiany jako para liczb (x,y) będących jego współrzędnymi. By je określić rzutujemy punkt prostopadle na osie. Współrzędne tych rzutów są współrzędnymi naszego punktu. 3 Również funkcji. Figury, jak np. prosta, parabola itd. są graficznym obrazem odpowiadających im funkcji matematycznych.

42 48 Elementy narzędziowni matematycznej Układ trójwymiarowy jw. tylko, że trzy osie liczbowe x, y i z, wszystkie przecinające się pod kątem prostym. Wektor w układzie współrzędnych rozpatrujemy wektor a, przesuwamy go równolegle do początku układu współrzędnych (tzn. tak by jego punkt początkowy pokrył się z punktem zerowym układu współrzędnych) i rozkładamy na składowe leżące na osiach współrzędnych (dotyczy to oczywiście tylko układu dwu i trójwymiarowego, w układzie jednowymiarowym nie ma to sensu). Wektor a jest równy sumie swoich wektorów składowych, w układzie dwuwymiarowym a = a x + a y, i trójwymiarowym a = a x + a y + a z. Wprowadzimy teraz wersory, czyli wektory jednostkowe leżące na osiach układu współrzędnych i skierowane zgodnie z ich zwrotami (czyli mające wartość 1, kierunek osi współrzędnych i jej zwrot), na rysunkach zwykle rysujemy je tak, by ich punkty początkowe pokrywały się z początkiem układu współrzędnych, mają też specjalne oznaczenia: î dla osi x, ĵ dla osi y, ˆk dla osi z. Mając wersory możemy wektory składowe przedstawić w postaci iloczynu wartości wektora (tj. inaczej długości lub modułu, czyli liczby), które oznaczymy odpowiednio x, y lub z, i odpowiedniego wersora î, ĵ, czy ˆk: a x = xî, a y = yĵ, a z = zˆk. Teraz rozpatrywany wektor możemy przedstawić następująco a = xî + yĵ a = xî + yĵ + zˆk w układzie dwuwymiarowym, w układzie trójwymiarowym.

43 Wektory 49 W tym zapisie mamy oddzielenie liczb (modułów wektorów składowych) i wersorów. Wersory możemy traktować jako należące do układu współrzędnych, współrzędne składowych zaś definiują wektor, co pozwala nam go zapisać: a = [x, y] i odpowiednio a = [x, y, z]. Sposób wyznaczania współrzędnych wektora przedstawiają rys. 1.9 i Rys Wyznaczenie współrzędnych wektorów a i b, których początek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych Działania na wektorach w ujęciu analitycznym przedstawiają poniższe wzory. Zmieniliśmy w nich oznaczenie współrzędnych wektorów z x, y, z na a x, a y, a z itd., tak by odnosiły się do oznaczeń literowych wektorów. 1. Moduł wektora a = [a x, a y, a z ] = 2. Wektor przeciwny 3. Dodawanie wektorów a 2 x + a 2 y + a 2 z. a = [a x, a y, a z ] = [ a x, a y, a z ]. a + b = [a x, a y, a z ] + [b x, b y, b z ] = [a x + b x, a y + b y, a z + b z ]. 4. Odejmowanie wektorów a b = [a x, a y, a z ] [b x, b y, b z ] = [a x b x, a y b y, a z b z ].

44 50 Elementy narzędziowni matematycznej Rys Wyznaczenie współrzędnych wektorów a i b, których początek nie pokrywa się z początkiem układu współrzędnych 5. Mnożenie wektora przez liczbę C a = C[a x, a y, a z ] = [Ca x, Ca y, Ca z ]. 6. Iloczyn skalarny a b = [a x, a y, a z ] [b x, b y, b z ] = a x b x + a y b y + a z b z. Iloczyny skalarne wersorów î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1, î ĵ = ĵ ˆk = î ˆk = Iloczyn wektorowy a î ĵ ˆk a b = a x a y a z = î y a z b x b y b z b y b z + ĵ a z a x b z b x + ˆk a x b x a y b y = (a y b z a z b y )î + (a z b x a x b z )ĵ + (a x b y a y b x )ˆk.

45 Wektory 51 Iloczyny wektorowe wersorów î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0, î ĵ = ˆk, ĵ ˆk = î, ˆk î = ĵ, ĵ î = ˆk, ˆk ĵ = î, î ˆk = ĵ.

46 52 Elementy narzędziowni matematycznej Przykłady i zadania 1. Przesunięcie równoległe. Wektory w wielu przypadkach traktujemy jako wektory swobodne, oznacza to że jeśli mamy wektor a i jakikolwiek inny wektor b, który jest do niego równoległy, ma ten sam zwrot i tę samą wartość (długość), to wektor b jest tożsamy (identyczny) z wektorem a. Poniższy rysunek przedstawia przykłady takich wektorów, są one identyczne, mimo że narysowane są w różnych miejscach, te miejsca dla wektorów swobodnych są nieistotne, liczy się tylko kierunek, zwrot i wartość wektora, a nie jego punkt początkowy. 2. Na poniższym rysunku przedstawione są wektory a, b, c i d. Skonstruuj: a) wektory przeciwne, tj. a, b, c, d, 1 b) wektory 2 a, 2 1 b, 2 c, c) metodą równoległoboku wyznacz a + b, a b, c + d, ( c + d), d) metodą trójkąta wyznacz a + b + c + d oraz a + b d + c, e) rozłóż wektory a, b, c i d na składowe leżące na prostych przedstawionych na rysunku obok,

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników Dodawanie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-2 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1 1-2 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 0 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 4. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich 1 1-

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.i

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.i Matematyka klasa I kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych Liczby i działania Na ocenę dopuszczającą uczeń: - zna pojęcie liczby naturalnej - rozumie różnicę między

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

Lista 1 liczby rzeczywiste.

Lista 1 liczby rzeczywiste. Lista 1 liczby rzeczywiste Zad 1 Przedstaw liczbę m w postaci W każdym ze składników tej sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Można to zrobid rozkładając liczby podpierwiastkowe na czynniki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA Poziomy wymagań edukacyjnych : KONIECZNY (K) - OCENA DOPUSZCZAJĄCA, PODSTAWOWY( P) - OCENA DOSTATECZNA, ROZSZERZAJĄCY(R) - OCENA DOBRA, DOPEŁNIAJĄCY (D) - OCENA BARDZO DOBRA WYKRACZAJACY(W) OCENA CELUJĄCA.

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji.

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Lista 8 Wyrażenia wymierne. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję nazywamy funkcja podstawową, a

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra)

Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra) MATEMATYKA (wg programu Nie tylko wynik ) Wymagania programowe na poszczególne oceny Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I I. Liczby wymierne dodatnie. Ocena dopuszczająca: Uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej, rozumie pojęcie

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I I. Liczby wymierne dodatnie. Ocena dopuszczająca: Uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej, rozumie pojęcie Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I I. Liczby wymierne dodatnie. Ocena dopuszczająca: Uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej, rozumie pojęcie dziesiątkowego systemu liczenia, rozumie pojęcie pozycyjnego

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo