28. Podstawy statystyki
|
|
- Iwona Kaczmarczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 8. Podsta statstk tatstka zajmuje sę metodam zberaa formacj lczboch oraz ch aalzą terpretacją. W obrębe statstk meszczą sę da, pem sese skraje, urt. Persz, za aalzą dach, traktuje kokrete formacje lczboe jako ukato zbór lczb, bez przjmoaa żadch dodatkoch założeń. Celem aalz dach jest prezetacja tego łaśe zboru lczb sposób, któr ukazuje jego łasośc. Wosk, jake efekce otrzmujem, dotczą łącze tch dach. Nurt drug, któr moża b ogóle azać modeloaem stochastczm, polega a formalzacj, za pomocą pech założeń, posadaej edz a pror o sposobe otrzmaa dach. W stoce przjmuje sę z gór pee probablstcz model, któr opsuje loso mechazm postaaa dach. Kokret zbór dach jest ted jedą z elu możlch realzacj dzałaa tego mechazmu, a osk, które formułujem, dotczą adekatośc przjętego modelu z uzskam dam. Teore aukoe formułują modele matematcze rzeczstch zjask, ch artość zaś jest tm ększa, m dokładej potrafą przedzeć k przszłch ekspermetó. W podejścu do budo modelu matematczego zjask fzczch zauażć moża de tedecje: bezpośreda aalza fzczego mechazmu zjaska oraz modeloae za pomocą tz. czarej skrzk, które kocetruje sę a aalze zązkó pomędz sgałam ejśca/jśca. Opracoao a podstae
2 Probablstka Rachuek pradopodobeństa tatstka zam rozkład zmeej losoej, zaczam róże pradopodobeństa Ne zam rozkładu zmeej losoej, a badam próbkę losoaą z całej populacj tatstka opsoa ops uzskach kó bez cągaa oskó o populacj geeralej tatstka matematcza a podstae uzskaej prób cągam osk o cechach populacj geeralej Woskoae statstcze Estmacja (ocea) ezach parametró Werfkacja postaoch hpotez statstczch podejmoae deczj o pradzośc lub fałszośc hpotez statstczej Estmacja puktoa zaczam z prób tlko ektóre parametr (pukt) rozkładu, a e cał rozkład, p. dstrbuatę lub gęstość rozkładu. Ne potrafm podać dokładośc uzskaej oce. Estmacja przedzałoa podajem przedzał ufośc dla ezach artośc pech parametró, p. artośc oczekaej aracj
3 8.. TATYTYKA OPIOWA tatstka tatstka opsoa tatstka matematcza Losoae (pomar) Populacja geerala (rezultat potecjalch pomaró) Próbka (rezultat pomaró) tatstka opsoa zajmuje sę stępm opracoaem kó pomaró (próbk) bez posługaa sę rachukem pradopodobeństa. Ne cągam oskó dotczącch populacj geeralej. Nech,, 3,... będze próbką -elemetoą. lczość (lczebość). Parametr oblczoe z próbk będą dalej azae statstkam. 3
4 8... Grafcze przedstaee próbk: szereg rozdzelcz, hstogram, łamaa częstośc Rozstęp R ma - m Klas Dla próbek o dużej lczebośc (>30) elemet próbk grupuje sę klasach, tj. przedzałach o róej lub eróej długośc. Nech k ozacza lość klas. Ile klas k przjąć dla daej próbk? Moża sę keroać astępującm oretacjm regułam: k 5 lg() k+3.3 lg() k Zatem, gd 0, to k4 6, gd 40, to k6 8 Długość klas b R/k Nech lczość -tej klas, a środek -tej klas. Wted par lczb (, ) azam szeregem rozdzelczm. Grafcze przedstaee szeregu rozdzelczego aza sę hstogramem. Na os pozomej hstogramu środk klas lub grace poszczególch klas, a os pooej hstogramu lczośc klas, częstośc (frekecje) - /, lub v /b. Łącząc pukt o spółrzędch ( b,0), (, ),...,k, ( + b,0) otrzmujem tz. łamaą częstośc. v dla 8... tatstk lokacj rozkładu Średa artmetcza lczb,, 3,... określoa jest zorem Charakterstcza łasość średej artmetczej: suma szstkch odchleń jest róa zero; ( ) 0. 4
5 Średa geometrcza g lczb dodatch określoa jest zorem g Średa harmocza h, różch od zera lczb,, 3,...,, azam odrotość średej artmetczej odrotośc tch lczb h Medaa (artość środkoa) m e środkoa lczbę uporządkoaej emalejąco próbce (dla próbk o lczośc eparzstej) lub średą artmetczą dóch lczb środkoch (dla próbk o lczośc parzstej). Wartoścą modalą (modą, domatą) m 0 próbk o potarzającch sę artoścach azam ajczęścej potarzającą sę artość, o le steje, e będącą m a ma. Jeżel szeregu rozdzelczm ajlczejsze są obe klas skraje, to szereg rozdzelcz azam atmodalm tpu U, a środek ajmej lczej klas atmodą. Gd ajlczejsza jest jeda z klas skrajch, to szereg rozdzelcz azam atmodalm tpu J. Rozkład dumodal gd stępują de jedakoo lcze ajlczejsze klas e będące skrajm. Rozkład jedomodal, duerzchołko stępują de ajlczejsze klas, ale e są jedakoo lcze e są skrajm. Katl rzędu q (0<q<) taka artość q, przed którą (tz.dla q ) zajduje sę 00 q % elemetó próbk. Gd q 0.5, 0.5, 0.75, to take katle azam kartlam. Gd q 0.5 móm o kartlu dolm, gd q 0.75 móm o kartlu górm. Kartl q 0.5 jest medaą. 5
6 8..3. tatk rozproszea (rozrzutu, rozsaa) rozkładu Rozstęp R ma - m Waracja s średa artmetcza kadrató odchleń poszczególch artośc od średej artmetczej s Odchlee stadardoe ( ) s s Odchlee przecęte d od artośc średej średa artmetcza artośc bezzględch odchleń poszczególch artośc od średej artmetczej d Odchlee przecęte d od meda średa artmetcza artośc bezzględch odchleń poszczególch artośc od meda m e d m e tatstk kształtu rozkładu Mometem zkłm m l rzędu l próbk,, 3,... azam średą artmetczą l-tch potęg artośc m l l Zauażm, że m Mometem cetralm M l rzędu l próbk,, 3,... azam średą artmetczą l-tch potęg odchleń artośc od średej artmetczej próbk 6
7 M l ( ) Zauażm, że M 0, M s. Współczk asmetr (skośośc) g l M 3 g 3 s gdze s jest odchleem stadardom. Dla rozkładu ormalego g 0. Gd rozkład ma dług ogo dla artośc ększch od artośc średej, to g >0, gd ogo stępuje po stroe artośc mejszej ż średa, to g <0. Współczk kocetracj (skupea), kurtoza K M 4 K 4 s gdze s jest odchleem stadardom. Kurtoza ma artość 3 dla rozkładu ormalego. Gd K>3, to rozkład jest bardzej skupo ( szpczast ) ż rozkład ormal, gd K<3, to rozkład jest bardzej spłaszczo ż rozkład ormal. Współczk spłaszczea, eksces g g K-3 Dla rozkładu ormalego g 0. Współczk zmeośc ν s ν 00% gdze s jest odchleem stadardom. Współczk eróomerośc H H d 00% gdze d jest odchleem przecętm od średej artmetczej. 7
8 8..5. Grafcze przedstaee próbk: pradopodobeństo skumuloae, kres ramko Zakładam, że pradopodobeństo uzska każdego elemetu próbk elemetoej jest róe /. Uporządkujm próbkę edług artośc rosącch. Pradopodobeństem skumuloam (dstrbuatą emprczą) p() dla daego azam pradopodobeństo otrzmaa artośc mejszej lub róej : p()p( ) próbce uporządkoaej. Jedm z elu sposobó grafczej prezetacj próbk jest kres ramko, potocze aza pudełkem z ąsam (ag. bo-adhsker plot), zapropooa 977 roku przez J.Tuke a. Rsujem ajper prostokąt, którego dol bok jest kartlem dolm, a gór bok kartlem górm. Pozoma la dzeląca prostokąt to medaa. Wąs postają z połączea postałego pudełka z krótkm lam pozomm, arsoam dla katla q0.95 (gór ąs) katla 0.05 (ąs dol). Na rsuku zazaczć moża także e artośc katl (p ), jak e statstk próbk, p. artość średą, ekstremale artośc próbce, tp. PRZYKŁAD: Próbka 40. elemetoa
9 40, m.369, ma 53.63, R Rs.. Hstogram próbk. Zazaczoo grace klas (a os ) lość elemetó klase (a os ) tatstk lokacj rozkładu: średa artmetcza średa geometrcza g średa harmocza h medaa m e moda brak tatstk rozproszea: aracja s odchlee stadardoe s4.83 odchlee przecęte od d 8.9 odchlee przecęte od m e d
10 tatstk kształtu: momet cetral l3 M 3 53 momet cetral l4 M spółczk asmetr g kurtoza K eksces g spółczk zmeośc ν44.94 % spółczk eróomerośc H33.00 % p Rs.. Wkres skumuloaego pradopodobeństa p ( ) [rażoego %] tego, że zajdzem próbce artość Katle: katl rzędu katl rzędu katl rzędu katl rzędu
11 katl rzędu katl rzędu katl rzędu % 5% 75% 50% 5% 0-0 A Rs. 3. Wkres ramko: artość średa (kółko z pozomą kreską), artośc ekstremale (pozome kresk), kartle (pudełko), katle (ąs), katle (krzżk) Lteratura: W.Krsck, Rachuek pradopodobeństa statstka matematcza zadaach, część II: tatstka matematcza, PWN, Warszaa 995 Erc Wesstes s World of Mathematcs,
12 8.. Tp epeośc 8... Nepeośc pomaroe błęd pomaroe ucertat epeość, error - błąd Welkośc fzcze: p. masa, prędkość, ośetlee, ale e p. cech estetcze, zapach, kształt. Iloścoo każdą elkość fzczą rażam jej marą. Nech długość l 5 m. artość lczboa mar jedostka mar Pomar mogą bć bezpośrede: dokoujem prost za pomocą jedego przrządu pomaroego; pośrede: merzoą elkość uzskujem ze zoru matematczego, którm stępuje klka elkośc merzoch bezpośredo Wartość rzeczsta peej elkośc fzczej e będze am gd zaa. Dlatego chcem ustalć artość przedzału ( ± Δ), którm meśc sę artość rzeczsta. Nepeość pomaroa - połoa szerokośc tego przedzału (czl Δ) Wróżam da zasadcze tp epeośc pomaroch: epeośc sstematcze epeośc przpadkoe W praktce pomarach stępują zaróo epeośc sstematcze, jak przpadkoe, składające sę a epeość całkotą.
13 Celem ustalea, która epeość domuje, pomar ależ potórzć 3-4 raz. Jeżel k kolejch pomaró są detcze, ted marą dokładośc pomaru są epeośc sstematcze. Gd stępuje statstcz rozrzut kó, czl każd pomar daje k, lub przajmej ektóre k są róże, a różce pomędz poszczególm kam przeższają epeośc sstematcze, ted domuje epeość przpadkoa. Błąd pomaru stępuje ted, gd steje edokładość pomarze, która przesua górę lub dół k końco. Wróżam śród błędó: błęd sstematcze ch pł a k pomaru daje sę dokłade przedzeć; błęd grube (pomłk). Źródła błędó sstematczch przrząd pomaro błąd cechoau przrządu; obserator ełaśce użce przrządu; metoda pomaru adle dzałae metod, przblżo charakter stosoach zoró. Błęd grube kają ajczęścej z estaraośc ekspermetatora. Poeaż błęd pomaroe moża elmoać, dalszej częśc zajmoać sę będzem łącze epeoścam. 3
14 8... Nepeośc sstematcze pomaró bezpośredch Nepeość sstematcza jest róa elemetarej dzałce stosoaego przrządu, chba że z strukcj produceta ka co ego. Klasa przrządu lczba formująca o epeośc maksmalej daego urządzea, rażoa procetach zakresu przrządu. Np. amperomerz o klase 0.5, zakres A, epeość sstematcza Δ(0.5/00) 0.0 A. Dla przrządó cfroch epeość jest ajmejszą lczbą, którą może o śetlć. Nepeość maksmala rodzaj epeośc sstematczej, podaje ajększe maksmale odchlee pomaru od artośc rzeczstej r Δ ma - p Nepeość zględa B to stosuek epeośc sstematczej do ku pomaru BΔ/ Nepeość procetoa rażoa procetach epeość zględa B p B 00 % Gd koao klkakrote ezależe pomar elkośc z różm dokładoścam, otrzmując ±Δ, ±Δ,..., ±Δ, to ależ proadzć pojęce ag C ( Δ ) 4
15 gdze C jest doolą stałą o marze kadratu epeośc sstematczej. W praktce a C przjmuje sę taką artość, ab ag bł lczbam całkotm. Jako k końco, zamast średej artmetczej, przjmuje sę tz. średą artmetczą ażoą atomast epeość sstematcza średej ażoej jest średą ażoą epeośc poszczególch pomaró Δ Δ Nepeośc maksmale pomaró pośredch W przpadku pomaró pośredch bezpośredo merzm klka ch artośc, otrzmując k ±Δ, ±Δ,..., ±Δ, a k końco a z oblczm ze zoru zf(,,..., ) Nepeość maksmalą Δz ma oblczam ze zoru Δz ma f (, ),..., Wzór te otrzmać moża stosując terdzee Talora do fukcj elu zmech ograczając sę do rozęca loego. Lteratura: H. trzałkosk (red.), Teora pomaró, PWN, Warszaa 98 Δ 5
16 8.3. Parametr rozkładu Zmea losoa Wlosoae peego elemetu z populacj geeralej zdarzee losoe, atomast parametr klasfkując zdarzee zmea losoa. W kotekśce pomaró: zdarzee losoe koae pomaru elkośc fzczej, zmea losoa artość lczboa mar ku pomaru. Zmee losoe ozaczm dużm lteram X,Y,..., a artośc przjmoae przez zmee losoe małm,,... lub. Zmea losoa skokoa cągła Każdemu zdarzeu moża przpsać pee pradopodobeństo P(Xa). Dstrbuata F() jest łączm pradopodobeństem uzskaa ku z przedzału od do. P(X<)P( <X<a)F() Dstrbuata jest emalejącą fukcją zmeej losoej X. Gd, to F(), gd, to F()0. Rozkład pradopodobeństa zmeej losoej skokoej: P(X)p Dla cągłej zmeej losoej stosuje sę gęstość pradopodobeństa f() zmeej losoej pochoda dstrbuat: f ( ) df( d ) Rozkład gęstośc pradopodobeństa zmeej losoej cągłej azam zależość gęstośc pradopodobeństa f() od artośc 6
17 zmeej losoej X. Zając gęstość pradopodobeństa moża łato oblczć dstrbuatę ze zoru F ( ) f ( ) d Parametr rozkładu zmech losoch Zkle e zam pełego rozkładu pradopodobeństa lub jego zajomość e jest dla as teresująca, dlatego starcza am edza o klku jego charakterstczch parametrach. artość oczekaa (adzeja matematcza) aracja odchlee stadardoe momet katle (fraktle) Wartość oczekaa. Ozaczea: E(X) oblczoa z postac aaltczej rozkładu μ - dla całej populacj - dla prób Defcja (dla skokoej zmeej losoej) E ( X ) p gdze p jest pradopodobeństem stąpea artośc lub (dla zmeej losoej cągłej) + E ( X ) f ( ) d Dla doolej fukcj YH(X) zmeej losoej X artość oczekaa raża sę zorem 7
18 E { H( X )} H( ) p Dla -elemetoej prób artość oczekaa sproadza sę do średej artmetczej. Wartość oczekaa μ e jest zmeą losoą, jest ą atomast średa artmetcza z prób. Waracja. Ozaczea: D (X) - oblczoa z postac aaltczej rozkładu σ aracja populacj - aracja prób Defcja: artość oczekaa kadratu różc zmeej losoej jej artośc oczekaej Dla zmeej losoej skokoej D co jest róoaże D { X E( } ( X ) E X ) ( X ) { E( X )} p Dla skończoej populacj o lczebośc moża E(X) zastąpć artoścą średą ted D ( X ) ( ) Zatem aracja jest średą kadrató odchleń od artośc średej Dla zmeej losoej cągłej + { E( X )} D ( X ) f ( ) d Odchlee stadardoe. Ozaczea: 8
19 σ odchlee stadardoe populacj - odchlee stadardoe prób Defcja: perastek kadrato z aracj σ σ Odchlee stadardoe ma te sam mar co X jest przjmoae jako mara przpadkoej epeośc pomaroej. Momet k-t zmeej losoej X zględem puktu d m k E{(X - d) k } gdze k- rząd mometu. Gd d0, to móm o mometach bezzględch, gd de(x), to móm o mometach cetralch. Wartość oczekaa: d0; k Waracja: de(x); k Dla rozkładó smetrczch momet cetrale rzędu eparzstego zerują sę. Katle Katl rzędu q (0 q ) stao artość q zmeej losoej X, dla której dstrbuata F() jest róa rzędo katla. Najczęścej stosoae katle: kartl dol q0.5 medaa q0.5 kartl gór q0.75 F() q q 9
20 8.4. Nektóre rozkład zmech losoch Zmea losoa skokoa Zmea losoa cągła Rozkład dumao Rozkład prostokąt (mkrokaocz) Rozkład Possoa Rozkład ormal (Gaussa) Rozkład χ (ch kadrat) Rozkład tudeta Rozkład dumao: elokrota realzacja dośadczea, ku którego otrzmać moża tlko jedo z du kluczającch sę zdarzeń zdarzee A (z pradopodobeństem p) lub e-a (z pradopodobeństem -p). Jako przkład moża podać elokrote potarza rzut moetą (zdarzee A- rzucee p. reszk, p0.5). Jeżel k kolejch dośadczeń ozaczm przez (0 lub rzucau moetą), to łącz rezultat dośadczeń charakterzuje zmea losoa X zdefoaa zorem X Rozkład dumao rozkład zależośc pradopodobeństa P(Xk) od artośc k dośadczeach k P( X k ) p ( p) k k Wartość oczekaa rozkładze dumaom dla k E( X ) kp( k X k ) p Waracja rozkładu dumaoego D [ k E( X ) ] P( X k ) p( ) ( X ) p k 0
21 8.4.. Rozkład Possoa: szczegól przpadek rozkładu dumaoego zachodzącm ted, gd pradopodobeństo p sukcesu jest bardzo małe, a lczba realzacj a tle duża, że locz pλ jest elkoścą stałą, dodatą ezbt dużą. k k k λ λ λ λ P( X k ) e k k! Wartość oczekaa zmeej losoej rozkładze Possoa E ( X ) λ Waracja D ( X ) λ Zastosoae rozkładu Possoa tam, gdze lczba obseroach przpadkó jest bardzo duża, a pradopodobeństo sukcesu p bardzo małe. Przkład rozpad promeotórcz: lczba jąder duża, pradopodobeństo rozpadu kokretego jądra bardzo małe; zderzea cząstek elemetarch, duża lość cząstek, mała szasa a zderzee; statstcza kotrola jakośc produktó, duża lość spradzach produktó, mała lość produktó brakoach Rozkład prostokąt: Ma zastosoae prz aalze epeośc sstematczch. Gęstość pradopodobeństa f() jest stała eątrz przedzału (a, b) róa zero poza m. f ( ) dla a < < b b a 0 dla < a > b
22 Wartość oczekaa rozkładu prostokątego E( b a X ) Waracja dla rozkładu prostokątego D ( b ) a ( X ) Dla pomaró obarczoch epeoścą sstematczą Δ, mam b a Δ, zatem D ( X ) Δ Rozkład ormal: Mam do czea z rozkładem ormalm ted, gd pomar peej elkośc, mającej artość μ zakłóca jest bardzo dużą lczbą ezależch czkó, z którch każd z pradopodobeństem ½ pooduje odchlee o eelką artość ±ε. μ μ-ε μ+ε μ-ε μ μ+ε Gęstość pradopodobeństa rozkładu ormalego stadarzoaego f ( u) ep u π Rozkład te ozacza jest także jako N(0, ). Wartość oczekaa aracja rozkładu ormalego stadarzoaego E ( U ) 0, D ( U )
23 Dstrbuata Φ(u) rozkładu stadarzoaego Φ ( u) π u ep u du Wartośc dstrbuat dla u>0 są stabelarzoae. Wartośc dstrbuat dla u<0 zaczć moża z róaa: Φ(-u) - Φ(u). Dokoując podstaea rozkładu Gaussa. u μ otrzmam postać estadarzoaą σ Gęstość pradopodobeństa rozkładu ormalego estadarzoaego f ( ) ep πσ ( μ) Rozkład te ozacza jest także jako N(μ, σ). Wartość oczekaa σ aracja rozkładu ormalego estadarzoaego E ( X ) μ, D ( X ) σ Rozkład χ : Gd X są zmem losom losoam z rozkładu ormalego N(0,), to k X ma rozkład ch-kadrat o k stopach sobod. Gd losoae odba sę z rozkładu ormalego N(μ,σ), to zmeą losoą χ defujem astępująco χ ( X ) μ k σ Gęstość pradopodobeństa rozkładu ch-kadrat 3
24 f ( ) k Γ 0 k k e dla > 0 dla 0 gdze Γ jest fukcją gamma Eulera, a parametr k aza sę lczbą stop sobod. Gd k<, to fukcja f jest malejącą dla >0, atomast dla k> fukcja ta ma maksmum prz k. Dla dużch k fukcja f jest zblżoa do krzej rozkładu ormalego. Wartość oczekaa zmeej losoej o rozkładze ch kadrat jest róa lczbe stop sobod k, zaś aracja jest róa k. Najększe zaczee praktcze dla rozkładu ch kadrat mają tablce artośc krtczch χ α, k zmeej losoej χ, dla którch { χ χ α } α P, k α aza sę pozomem stotośc. Welkość (-α) aza sę pozomem ufośc Rozkład tudeta: Zmeą losoą t tudeta defujem zorem Z t k U gdze Z jest zmeą losoą stadarzoaą N(0, ), a U zmeą losoą o rozkładze ch kadrat k stopach sobod. Gęstość pradopodobeństa rozkładu tudeta f ( t ) k+ k + Γ t + Γ k k kπ 4
25 gdze Γ jest fukcją gamma Eulera, a parametr k aza sę lczbą stop sobod. Rozkład tudeta jest detcz z rozkładem Gaussa N(0, ) dla k staje sę coraz bardzej spłaszczo dla malejącch k. Wartość oczekaa rozkładu tudeta jest róa zero, aracja jest róa k/(k-). Tablce tudeta zaerają zazczaj tak zae artośc krtcze t,α zmeej losoej tudeta, zdefoae rażeem { t t } α P{ t > t } α P <, α lub, α gdze α jest ustalom z gór pradopodobeństem, zam pozomem stotośc. PRZYKŁADY: Rozkład ormal N[μ,σ]. Wgeeroa zostae zbór lczb zgode z przedstaom pożej schematem postaa rozkładu ormalego. Przjmuję: μ00, ε, lość ezależch czkó zaburzającch (pozomó a rsuku): 60, lość potórzeń ( pomaró ): 000. Parametr zboru tch lczb: rozstęp: 48, artość średa: 00.0, aracja: 6.49, odchlee stadardoe: 7.84, skośość: , eksces: Na hstogram ałożoo kres fukcj Gaussa z astępującm parametram: μ00, σ(60) /, spółczk lczbo przed gęstoścą pradopodobeństa (lość pomaró) (szerokość klas)
26 lczość klas Teora klasa lczość Teoretczą lczebość daej klas oblczoo korzstając z programu MATHEMATICA. Poeaż krza Gaussa jest smetrcza zględem 00, to lczebośc klas >00 jest róa lczebośc smetrcze położoej klas <00. Rozkład χ :. Z rozkładu ormalego N(0,) losuję 0 lczb: Zajduję sumę kadrató tch lczb:.07 6
27 3. posób postępoaa z p. - potarzam 40 raz, otrzmując astępujące lczb (są to sum kadrató losoach 0 lczb): porządzam hstogram dla otrzmach czterdzestu lczb lczość klas Teora klasa lczość 0 - : 0.5-4: : : : : : : : : : χ 5. Na te hstogram akładam kres fukcj rozkładu gęstośc pradopodobeństa dla rozkładu ch-kadrat z k0 stopam sobod. Poeaż fukcja gamma Eulera Γ(5)(5-)!4, to ta fukcja ma postać 7
28 f ( ) e Poadto a rsuku przedstaoo, korzstając z dstrbuat rozkładu, oblczoe lośc lczb każdej z klas. Rozkład tudeta. Nech lczba stop sobod k0.. Z rozkładu ormalego N(0,) losuję lczbę, którą ozaczę jako Z, z rozkład ch-kadrat o dzesęcu stopach sobod losuję lczbę, którą ozaczę jako U.. Oblczm artość parametru t z róaa t 0 3. Czośc z p.- potarzam 40 raz, otrzmując poższe 40 lczb Z U porządzam hstogram dla otrzmach czterdzestu lczb 8
29 8 lczość klas Teora klasa lczość 0 - : : : t 5. Na te hstogram akładam kres fukcj rozkładu gęstośc pradopodobeństa dla rozkładu tudeta z k0 stopam sobod. Poeaż fukcja gamma Eulera Γ(5)4, Γ(/)(945/3)π /, to ta fukcja ma postać t f ( t ) / Poadto a rsuku przedstaoo, korzstając z dstrbuat rozkładu, oblczoe lośc lczb każdej z klas. 9
30 8.5. Estmator Parametr emprcze oblczoe z prób aza sę statstkam. Estmator statstka z prób oblczoa celem uzskaa formacj o parametrach populacj geeralej. Nech Q parametr populacj geeralej Q jego estmator oblczo z prób -elemetoej. Zauażm, że Q f(,,, ) jest zmeą losoą, Q e jest. Estmator może bć: lm zgod: P{ Q Q < ε} eobcążo: E(Q )Q gd E(Q )jest róże od Q, to estmator jest obcążo, a ch różcę azam obcążeem estmatora ajbardzej efekt: jest to tak estmator eobcążo, któr ma ajmejszą arację spośród szstkch estmatoró. 30
31 Estmator puktoe z prób ch łasośc Parametr Estmator estmoa aza zór łasośc. zgod Wartość oczekaa Waracja Wartość średa Waracja z prób ( μ ). eobcążo 3. ajbardzej efekt (roz. ormal). zgod. eobcążo 3. ajbardzej efekt (roz. ormal). zgod ( ) Odchlee stadardoe Odchlee stadardoe z prób ˆ ( ). zgod. eobcążo. zgod ˆ ˆ. zgod Estmator ozaczoe daszkem stosujem dla małej prób (<30). 3
32 8.6. Hpoteza statstcza jej erfkacja Hpoteza statstcza: każd sąd o populacj geeralej da a podstae badań częścoch, dając sę zerfkoać metodam statstczm, czl a podstae kó badań prób Hpoteza parametrcza: hpoteza dotcząca parametró rozkładu statstczego. Hpotez erfkujem za pomocą testó statstczch. Test statstcz: metoda postępoaa, która każdej próbce,,..., przporządkouje z ustalom pradopodobeństem deczje odrzucea lub przjęca spradzaej hpotez. Test statstcze parametrcze test stotośc test zgodośc służą do erfkacj hpotez parametrczch odrzucć cz też e hpotezę jścoą (zeroą) test erfkujące hpotez dotczące zgodośc pomędz rozkładem artośc próbce rozkładem teoretczm. Przkładem jest test χ Pearsoa 3
33 8.6.. Parametrcze test stotośc Rozpatrzm pożej 3 parametrcze test stotośc dotczące: a) artośc oczekaej; b) różc artośc oczekach dóch próbkach; c) aracj odchlea stadardoego. Teza rzeczoa to, co mam udoodć metodą statstczą, p. że artość średa oblczoa dla prób jest ększa od artośc oczekaej populacj geeralej. W tm celu formułujem hpotezę, którą zamerzam erfkoać. Nazam ją hpotezą zeroą ozaczam H 0. Może oa brzmeć astępująco: artość oczekaa jest róa μ 0, co zapszem H 0 : μμ 0. Zkle testujem hpotezę zeroą obec hpotez alteratej H a, p. H a : μμ μ 0. Wk erfkacj jakejś hpotez e dają am absolutej peośc, ale osk możem sformułoać z doole dużm pradopodobeństem. Tezę rzeczoą, którą chcem udoodć metodą statstczą zkle e przjmujem jako hpotez zeroej H 0, ale jako hpotezę alteratą, którą przjmujem po eetualm odrzuceu hpotez zeroej H 0. Testoae składa sę z astępującch etapó: ) formułoae tez rzeczoej ustaleu hpotez H 0 H a ; ) Wboru łaścej fukcj testoej (statstk z prób); 3) Przjęcu stosoego pozomu stotośc α 4) Odcztau artośc krtczch tablcach dstrbuat łaścego rozkładu ustaleu obszaru krtczego; 5) Odrzuceu hpotez zeroej a korzść hpotez alteratej, gd fukcja testoa oblczoa z prób zajduje sę obszarze krtczm e odrzucee jej, gd fukcja testoa jest poza obszarem krtczm 33
34 8.6.. Test stotośc dla artośc oczekaej Testoać będzem 3 arat hpotez H 0 H a ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ μ 0 ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ <μ 0 3) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ >μ 0 W przpadku, gd erfkację operam a dużej próbe (>30) zae są parametr populacj, ajgodejszą fukcją testoą jest średa μ stadarzoaa u. ο Z taką stuacją spotkam sę techczej kotrol jakośc produktó. W przpadku, gd erfkację operam a małej próbe (<30) ezae są parametr rozkładu, to statstką testoą będze μ t 0. Ma oa rozkład tudeta o (-) stopach sobod, dlatego ależ sę posługać tablcam rozkładu tudeta ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ μ α / -α α / t,α t,α Dustro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (-, -t,α ), (t,α, + ) 34
35 ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ <μ α -α t,α t,α Jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (-, -t,α ) ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ >μ α α Jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) 0.05 (t,α, + ) t,α t,α Woskoae dotczące róośc artośc oczekach Często zachodz koeczość poróaa kó dóch prób odpoedzea a ptae, cz pochodzą oe z tej samej populacj geeralej, co formale zapsujem postac hpotez zeroej H 0 : μ μ. Dla małch prób o ezaej aracj fukcją testoą może bć zmea losoa t tudeta. Moża udoodć astępujące terdzee: 35
36 Jeżel mam de prób losoae z populacj o takej samej aracj σ : próbę I o lczebośc pochodzącą (z populacj o rozkładze N(μ, σ) próbę II o lczebośc pochodzącą z populacj o rozkładze N(μ, σ), to zmea losoa t ( μ ) μ ma rozkład tudeta o ( + -) stopach sobod. W tm zorze ozacza arację z prób. Po ustaleu hpotez zeroej H 0 alteratej H a, dalsze etap testoaa są take same jak przpadku poprzedego puktu. ( ) 8.7. Testoae hpotez dotczącch aracj odchlea stadardoego Będzem testoać hpotezę, że aracja ma ścśle określoą artość σ 0. Test operam a fukcj testoej χ. Próba została losoaa z populacj geeralej N(μ,σ) o ezaej artośc oczekaej μ ezam odchleu stadardom σ. Werfkujem hpotezę zeroą H 0 obec jedej z trzech hpotez alteratch H a. Fukcją testoą będze χ o (-) stopach sobod. ( ) σ 0 σ 0 σ 0 ( ) 36
37 α/ - α α/ 0 - α 5 α χ χ χ H 0 : σ σ 0 ; H a : σ σ 0 dustro obszar krtcz H 0 : σ σ 0 ; H a : σ >σ 0 jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (odrzuć H 0 a korzść H a ) (0, χ ), ( χ, ) ( χ, ) α -α χ H 0 : σ σ 0 ; H a : σ <σ 0 jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (0, χ ) 37
38 Test zgodośc χ Pearsoa łuż do testoaa hpotez dotczącch dstrbuat, gęstośc pradopodobeństa lub fukcj pradopodobeństa (dla cech skokoej). Testem zgodośc azam test do erfkacj hpotez dotczącej zgodośc pomędz rozkładem zboru artośc próbe postuloam rozkładem teoretczm. Na podstae p. koach hstogramó suam hpotezę zeroą, że p. dstrbuatą badaej cech jest jakaś kokreta fukcja. Hpotezą alteratą będze zaprzeczee hpotez zeroej. Hpotezę zeroą możem odrzucć a przjętm pozome stotośc α lub też sterdzć, że badaa próbka e jest sprzecza z hpotezą zeroą a tm pozome stotośc. Procedura erfkoaa hpotez zeroej jest astępująca: a) Dzelm k dośadczale a k klas (k 5) o lczebośc każdej klase co ajmej 6; b) Oblczam teoretcze pradopodobeństo p, że ależ do tej klas; c) Oblczam lczebość teoretczą p daej klase; Numer Grace Lczebośc Pradopodobeństo Lczebośc klas klas dośadczale teoretcze p hpotetcze g 0 g p p g g p p k g k- g k k p k p k p 38
39 d) Oblczam artość χ χ d, tz. ch-kadrat dośadczalego d ( p ) k tatstka ta ma rozkład χ o (k-) stopach sobod. e) Z tablc rozkładu ch-kadrat, dla braego pozomu stotośc f) Gd α, odcztujem artość d d α χ α. p χ < χ, to hpotez zeroej e odrzucam. Gd atomast α χ > χ, to oskujem, że pobraa próbka przecz hpoteze zeroej a pozome stotośc α. Obszarem krtczm jest zatem jedostro obszar ( χ, ). α 8.8 Regresja loa Parametr dumaroch zmech losoch Dumaroa zmea losoa: zdarzee elemetare moża opsać za pomocą uporządkoaej par lczb (, ), p. pomar prądu apęca a oporku. dla zmeej losoej cągłej Koaracja {[ X E( X ), Y E( Y ) ]} cov( X, Y ) σ E σ + + ) ( μ )( μ ) f ( d d 39
40 40 dla prób -elemetoej losoaej z populacj ( )( ) gd σ 0, to te de zmee są ezależe. Współczk korelacj loej σ σ σ ρ dla populacj geeralej r dla prób () Współczk r jest estmatorem zgodm (ale obcążom, E(r) ρ) spółczka ρ. Współczk korelacj mus bć zaart przedzale (-, +). Gd ρ0, to e zachodz korelacja, zmea X e pła a zmeą Y. Korelacja jest maksmala, gd ρ±. Wzor do oblczaa koaracj spółczka korelacj loej ( )( ) ) ( ()
41 4 ( ) + + (3) Zatem spółczk korelacj loej z prób r Wzór poższ otrzmuje sę po podstaeach róań () (3) do () oraz pomożeu lczka maoka przez. Woskoae dotczące korelacj. Odpoadam a ptae, cz steje korelacja pomędz dema zmem. Hpoteza zeroa: H 0 : ρ0 (e ma korelacj) Hpoteza alterata H a : ρ >0 Fukcją testoą jest zmea losoa tudeta t o (-) stopach sobod r r t Z tablc rozkładu tudeta odcztujem dla cześej przjętego pozomu stotośc α - artość krtczą t -,α. Jeżel oblczoa artość t zajduje t,α t,α α / α / -α
42 dustrom obszarze krtczm (-, - t -,α ), (t -,α, + ), to H 0 ależ odrzucć a korzść hpotez H a Regresja loa Róae ążące de zmee losoe, chodzące skład dumaroej zmeej losoej aza sę róaem regresj. Gd róae to jest loe, móm o regresj loej. Dla populacj Dla prób α+β a+b α, β - spółczk regresj a, b spółczk regresj loej populacj loej dla prób Współczk keruko prostej a spółczk przesuęca b są estmatoram spółczkó α β. Emprcze spółczk regresj loej a b oblcza sę metodą ajmejszch kadrató. W metodze tej mmalzoaa jest pea fukcja (a, b) - zależą od spółczkó a b - będąca sumą kadrató odchłek puktó dośadczalch od poszukaej prostej. Ogóle róae a fukcję moża zapsać postac [ ( ) ( X ) + ( ) ( Y ) ] gdze (, ) są zmerzom param puktó, (X, Y ) odpoadającm m puktam a prostej, ( ) ( ) agam, odpoedo -oą -oą puktu -tego. Wag są odrotoścam kadrató epeoścam odpoedch puktó pomaroch, zatem ( σ ( )), ( ) / ( σ ( )) ( ) /, 4
43 gdze σ ozacza odchlee stadardoe. W zależośc od aszej edz o epeoścach merzoch puktó pomaroch moża rozpatrzć 5 przpadkó zaczaa prostej metodą ajmejszch kadrató. (I) Gd a+b jest prostą regresj cech Y zględem X. Jest to hstorcze persz rozpatrzo arat metod dopasoaa prostej do kó ekspermetalch (Legedre, Laplace, Gauss). Moża go azać ormalą metodą ajmejszch kadrató (ag. ormal least squares). tosujem te przpadek ted, gd epeoścam σ obarczoe są jede elkośc, zatem X. Przjmujem, że szstke σ ag są róe róa ε a b. Odchłka -tego puktu (, ) od l prostej będze. Zazaczoa jest oa odckem prostej a rsuku pożej. uma kadrató, którą mmalzujem będze róa ε σ.ab zaczć spółczk a b różczkujem zględem a zględem b, a otrzmae pochode przróujem do zera: 0, 0. Mam zatem a b Y układ du róań z dema eadomm: ( a b ) ( a b ) X Rozązując te układ róań otrzmam 43
44 a b Poższe zor a spółczk a b moża także zapsać zęzłej postac: a r b a Otrzmaa prosta przechodz przez pukt (, ). (II) Gd a +b jest prostą regresj cech X zględem Y. tosujem te przpadek ted, gd epeoścam obarczoe są jede elkośc. Wted metoda ajmejszch kadrató daje astępujące zor a a b : Y a' b' r a' X Także ta prosta przechodz przez pukt (, ). Gd spółczk korelacj r ma artość ±, to proste (II) (I) pokrają sę. Gd 0< r <, to obe proste przecają sę pukce (, ), torząc pee kąt mędz sobą. (III) Gd a +b jest prostą regresj ortogoalej. tosujem te przpadek ted, gd epeoścam o takej samej elkośc obarczoe są zaróo jak, jak róeż ted, gd epeośc e są zae. 44
45 Model te aza jest także modelem stadardom z agam (ag. stadard eghtg model). Zakładam, że ag fukcj są szstke take same róe jedośc. Odchłką ε jest tm przpadku odcek prostopadł do l prostej (rsuek ε obok), zatem ε + a mmalzoaa suma kadrató ( a b) + a. Metoda ajmejszch kadrató daje astępujące zor a a b : Y X a' ' b' ' a' ' + ( ) + 4 (IV) Model stadardo z ezależm agam W modelu tm epeośc stępują zaróo dla jak dla. Wszstke epeośc -oe są take same, tz. ( ), a także szstke epeośc -oe są róe, tz. ( ). Dla każdego puktu pomaroego (, ) proadzam efektą agę (taką samą), zdefoaą astępująco + a co spooduje, że fukcja sum kadrató przjme postać ( a, b) ( a b). 45
46 46 Przróae pochodch cząstkoch tej fukcj do zera daje am da róa, z którch moża oblczć spółczk a b; a b a + + ± ± + / Róae a spółczk a daje de artośc; jeda (łaśca) odpoada mmum fukcj, druga odpoada maksmum fukcj dla doolej l prostej przechodzącej przez pukt ), (. (V) Model z ezależm agam W modelu tm eróm epeoścam obarczoe są. Wproadźm efektą agę -tego puktu ) ( ) ( ) ( ) ( a + Wted fukcja przjme postać a b b a ) ( ), ( Przróae pochodch cząstkoch tej fukcj do zera daje am da róa, z którch spółczkó a b e moża zaczć aaltcze, a jede metodą teracj.
Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoLinie regresji II-go rodzaju
Lam regresj II-go rodzaju zmeej () względem () azwam zadae krzwe g(;,, ) oraz h(;,, ) gd spełają oe odpowedo waruk: E E Le regresj II-go rodzaju ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g ;,,... g ;,,... f, dd m,,... (
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk
Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w
Bardziej szczegółowoBADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ
Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH
ANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH Na ogół oprócz obserwacj jedej zmeej zberam róweż formacje towarzszące, które mogą meć zaczee w aalze teresującej as welkośc. Iformacje te mogą bć p. wkorzstae
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statstka Katarza Chud Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ Aalza korelacj umożlwa stwerdzee wstępowaa zależośc oraz oceę jej atężea ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI: CECHY: ILOŚCIOWA ILOŚCIOWA CECHY: JAKOŚCIOWA
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZA 1. Wkład wstęp. Teora prawdopodobeństwa elemet kombatork. Zmee losowe ch rozkład 3. Populacje prób dach, estmacja parametrów 4. Testowae hpotez statstczch 5. Test parametrcze (a
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Potr Szczepńk Ktedr Chem Fzczej Fzkochem Polmeró ANALIZA REGRESJI REGRESJA LINIOWA. REGRESJA LINIOWA - metod jmejzch kdrtó. REGRESJA WAŻONA 3. ANALIZA RESZT 4. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI,
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA. Statystyka. Losowanie (pomiar)
STATYSTYKA OPISOWA Statytyka Statytyka opowa Statytyka matematycza Loowae (pomar) Popuacja geeraa (rezutaty potecjaych pomarów) Próbka (rezutaty pomarów) Statytyka opowa zajmuje ę wtępym opracowaem wyków
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoKORELACJA KORELACJA I REGRESJA. X, Y - cechy badane równocześnie. Dane statystyczne zapisujemy w szeregu statystycznym dwóch cech
KORELACJA I REGRESJA. KORELACJA X, Y - cech badae rówocześe. Dae statstcze zapsujem w szeregu statstczm dwóch cech...... lub w tablc korelacjej. X Y... l.... l.... l................... k k k... kl k..j......l
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.
Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch
Bardziej szczegółowoJózef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta
Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów
Bardziej szczegółowoRegresja linowa metoda najmniejszych kwadratów. Tadeusz M. Molenda Instytut Fizyki US
Regresja lowa metoda ajmejszch kwadratów Tadeusz M. Moleda Isttut Fzk US Regresja lowa (też: metoda ajmejszch kwadratów, metoda wrówawcza, metoda Gaussa) Zagadea stota metod postulat Gaussa współczk prostej
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Dariusz Szymański
atala ehreecka Darusz Szmańsk Wkład . MK przpadek welu zmech. Własośc hperpłaszczz regresj 3. Doroć ć dopasowaa rówaa regresj. Współczk determacj R Dekompozcjawaracj zmeejzależejzależej Współczk determacj
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Męzaroowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gue to Epresso of Ucertat Measuremets Męzaroowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st.gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewok.
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych
Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).
Bardziej szczegółowoE K O N O M E T R I A (kurs 10 godz.)
E K O N O M E T R I A (kurs 0 godz.) PLAN kursu A. Ekoometra: defcje, pojęca, przkład B. Elemet statstk matematczej (zmea losowa, przedzałowa estmacja parametrów populacj, hpotez parametrcze) C. Model
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk
Statstka powtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rodzaje mar statstczch mar położea - wzaczają przecęta wartość cech statstczej mar zróżcowaa (lub zmeośc, rozproszea, dspersj) -
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Bardziej szczegółowoZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych
ZJAZD Przedmotem statystyk jest zberae, prezetacja oraz aalza daych opsujących zjawska losowe. Badau statystyczemu podlega próbka losowa pobraa z populacj, aczej populacj geeralej. Na podstawe uzyskaych
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i statystyka W 10: Analizy zależności pomiędzy zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi)
Rachuek Prawdopodoeństwa statstka W 0: Aalz zależośc pomędz zmem losowm dam emprczm) Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 adra@tempus.metal.agh.edu.pl Odkrwae aalza zależośc pomędz zmem loścowmlczowm) Przedmotem
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM TEORII MECHANIZMÓW I MASZYN. Ćwiczenie TMM-3 ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU Z SIŁOWNIKAMI HYDRAULICZNYMI
LBORTORIUM TEORII MEHNIZMÓW I MSZYN. el ćczea Ćczee TMM- NLIZ KINEMTYZN MEHNIZMU Z SIŁOWNIKMI HYDRULIZNYMI Wzaczee przebegó czasoch parametró ematczch og mechazmu z słoam hdraulczm.. Wproadzee teoretcze
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONA KRAŃCOWA STOPA SUBSTYTUCJI - ZASTOSOWANIE W ANALIZIE PORTFELOWEJ
Małgorzata Just Krzsztof Paseck UOGÓLNIONA KRAŃCOWA SOPA SUBSYUCJI - ZASOSOWANIE W ANALIZIE PORFELOWEJ. Wstęp Zakładam, że a k peego procesu gospodarczego ma pł skończoa lczba różch czkó kształtuącch te
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa Wzory
tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:
Bardziej szczegółowoPortfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem
Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać
Bardziej szczegółowo[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Bardziej szczegółowoZe względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Męzaroowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gue to Epresso of Ucertat Measuremets Męzaroowa Orgazacja Normalzacja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st.gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewok.
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowotermodynamika fenomenologiczna p, VT V, teoria kinetyczno-molekularna <v 2 > termodynamika statystyczna n(v) to jest długi czas, zachodzi
fzka statstczna stan makroskopow układ - skończon obszar przestrzenn (w szczególnośc zolowan) termodnamka fenomenologczna p, VT V, teora knetczno-molekularna termodnamka statstczna n(v) stan makroskopow
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkład 4 Matematcze opracowwae wków ekspermetalch Cz. I. Metoda ajmejszch kwadratów Cz. II. Metod statstcze UWAGI OGÓLNE Ekspermet wkowae w auce moża podzelć
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędznarodowa Norma Ocen Nepewnośc Pomaru(Gude to Epresson of Uncertant n Measurements - Mędznarodowa Organzacja Normalzacjna ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.nst./gov/uncertant POMIARU Wrażane Nepewnośc
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ VI WYBRANE TWIERDZENIA WRAZ Z DOWODAMI Na prawach rękopsu Warszawa, paźdzerk 0 Data ostatej aktualzacj:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY
Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe
Bardziej szczegółowodr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Bardziej szczegółowoStatystyka. Teoria błędów. Wykład IV ( )
Stattka Teora błędów Wkład IV (.0.06) Wtęp Teora błędów Nedokoałość przrządów pomarowch oraz edokoałość orgaów zmłów powodują, że wztke pomar ą dokowae z określom topem dokładośc. Ne otrzmujem dokładej
Bardziej szczegółowoLaboratorium fizyczne
Laboratorum fzcze L a portalu WIKMP CMF PŁ cmf.edu.p.lodz.pl Klkam odośk Laboratorum fzk Właścwą strukcję ależ pobrać ze stro Pracow zazajomć sę z jej treścą przed zajęcam!!! grupa I grupa II edzela
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI
STATYSTYKA MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI Mara Borowsa STATYSTYKA MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI "Ale t, Pae wszsto pod marą lczbą, wagą urządzłeś" (Ks.
Bardziej szczegółowoMODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI
MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI Współzależość cech Rozważam jedostk zborowośc badae ze względu a dwe, lub węcej zmech W przpadku obserwacj opartch a dwóch zmech możem wkreślć dagram korelacj. Każda obserwacja
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoAnaliza ZALEśNOŚCI pomiędzy CECHAMI (Analiza KORELACJI i REGRESJI)
D. Mszczńska, M.Mszczńsk, Materał do wkładu 7 ze Statstk (wersja poprawoa), WSEH, Skerewce 009/0 [] Aalza ZALEśNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoBQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE
BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.
Bardziej szczegółowobędzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2
Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E). Zadae. eh K K
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk
Statstka pwtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rdzae mar statstczch mar płżea - wzaczaą przecęta wartść cech statstcze mar zróżcwaa (lub zmeśc, rzprszea, dspers) - wzaczaą słę zróżcwaa
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1
Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.
Bardziej szczegółowo