b)student ma w indeksie 12 ocen. Każda ocena to trójka lub czwórka. Ile czwórek ma student, jesli wariancja tych ocen wynosi

Transkrypt

1 Zad A1 Zadania podstawowe - zmienna losowa: a)dane są wartości zmiennej losowej:2, 4, 2, 1, 1,, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena Liczba uczniów Obliczyć średnią oraz medianę uzyskanych ocen. Przedstawić wyniki w formie diagramu słupkowego. c)otrzymano następujące wyniki pomiarów pewnej wartości: 2,1; 2,6; 2,; 2,; 2,2. Obliczyć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe. d)gra polega na rzucie monetą i kostką do gry. Otzymujemy 6,- zł gdy reszka i jedynka, 2,- zł gdy orzeł i parzysta liczba oczek a w pozostałych wypadkach tracimy,- zł. Obliczyc wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe. Zad A2 Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)definiujemy zmienną losową X jako liczba orłów przy dwukrotnym rzucie monetą. Przedstawić w formie tabeli rozkład (wartości i prawdopodobieństwa) tej zmiennej losowej. Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe. b)zmienna losowa X to liczba cyfr wylosowanej liczby ze zbioru {201, 1245, 25, 1}. Przedstawić w formie tabeli rozkład X. Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe. c)dany jest rozkład: X i p i 0,1 p 0,5 0,2 Ile wynosi wartość p? b)student ma w indeksie 12 ocen. Każda ocena to trójka lub czwórka. Ile czwórek ma student, jesli wariancja tych ocen wynosi 16? c)definiujemy zmienną losową X jako liczba trafień do tarczy w strzałach. Prawdopodobieństwo trafienia w każdym strzale jest p = 2 (chybienia q = 1 p) a wzór na prawdopodobieństwo ( ) k n sukcesów w n próbach jest p n (k) = p k k q n k Przedstawić w formie tabeli rozkład tej zmiennej losowej. Zad A4 Rozkład zmiennej losowej ciągłej : a)zmienna losowa podlega rozkładowi wg trójkąta równoramiennego o podstawie 2 x 6. Wyznaczyć gęstość i dystrybuantę tej zmiennej. b)prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ma wartość x dane jest wzorem x + 1, dla x < 1, 0 > p(x) = x + 1, dla x < 0, 1 > 0, dla x / < 1, 1 > Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ma wartość większą niż 1 2 c)prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ma wartość{ x dane jest wzorem p(x) = 4 x2 + x, dla x < 0, 2 > 2 0, dla x / < 0, 2 > Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ma wartość mniejszą niż 1;1;1 1; a)czy funkcja { f(x) = 0, dla x < 0 e x, dla x 0 jest gęstością pewnej zmiennej losowej X? Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej oraz obliczyć: a) P (X < 0, 5), b)p (X > 1, 5), c) P (1 X ). Zad A Zadania z treścią: a)obliczyć średnią zarobków: Zarobki Liczba osób Zad A5 Tablice rozkładu zmiennej losowej: a)zmienna losowa X ma rozkład normalny N(2,2) tzn. średnia wynosi m=2 a odchylenie standardowe σ = 2. Odczytać z tablic dystrubuanty standaryzowanego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo, że zmienna X nie przekroczy wartości,68.

2 b)przyjmujemy, że wzrost X poborowych ma rozkład N(175,7). Obliczyc prawdopodobieństwo, że: - P (X 170); - P (180 < X 190) c)zmienna losowa X ma rozkład F-Snedecora z 20 i 16 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości F α jest spełniona rowność: - P (X F α ) = P (X F α ) = 0.05 *d)zmienna losowa X ma rozkład t-studenta. Odczytać z tablic rozkładu t-studenta przy 20 stopniach swobody jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wartość X będzie w przedziale < 2, 1; 2, 1 >? Krótko uzasadnić. *e)zmienna losowa X ma rozkład χ-kwadrat z 5 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości χ 2 α jest spełniona rowność: - P (X χ 2 α) = P (X χ 2 α) = 0.99 *f)zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ =. Obliczyć: a) P (X = ), b)p (X < ), c) P (2 X 5). *g)zmienna losowa X ma rozkład F-Snedecora z 12 i 10 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości F α jest spełniona rowność: - P (X F α ) = P (X F α ) = 0.99 *h)dla jakiej wartości X α zmiennej losowej o rozkładzie normalnym zachodzi równość: - P (X X α ) = 0, 95 - P ( X X α ) = 0, 95. *i)dla jakiej wartości t α zmiennej losowej o rozkładzie t-studenta z 15 stopniami swobody zachodzi równość: - P ( t t α ) = 0, 05 - P (t t α ) = 0, 05. Zakładając, że jest to rozkład Poissona wyznaczyć średnią i dystrybuantę tego rozkładu oraz wyznaczyć prawdopodobieństwo, że student będzie nieobecny mniej niż 2 razy. *c)prawdopodobieństwo wezwania do pożaru w ciągu każdej godziny wynosi 0,002. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że straż pożarna będzie wezwana do pożaru w ciągu 200 godzin więcej niż 1 raz. *d)w wyborach parlamentarnych bierze udział ok.40% ludzi uprawnionych do głosowania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 2500 wybranych losowo osób głosować będzie nie mniej niż 900 osób i nie więcej niż Zad B1 Przedział ufności dla średniej: a)wytrzymałość pewnego materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m, σ). W celu oszacowania nieznanej średniej m wytrzymałości tego materiału dokonano pomiarów wytrzymałości na n = 5 wylosowanych niezależnie sztukach tego materiału. Wyniki pomiarów były następujące (w kg/cm 2 ) : 20,4, 19,6, 22,1, 20,8, 21,1. Przyjmując współczynnik ufności 1 α =0,99, zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości m tego materiału.(p1) b)chcemy oszacować średni staż pracy pracowników zatrudnionych przy obsłudze elektronicznych maszyn cyfrowych w Polsce. W tym celu, za pomocą schematu losowania nieograniczonego niezależnego, wylosowano z populacji tych pracowników próbę liczącą n=100 osób i otrzymano następujące wyniki badania tego stażu pracy w latach (wyniki pogrupowane w szereg rozdzielczy): Zad A6 Twierdzenie Lindeberga - Levy ego: a)wyższe wykształcenie ma 0% ludzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 1000 wybranych losowo ludzi wyższe wykształcenie ma nie mniej niż 250 osób i nie więcej niż 400. *b)tabela przedstawia liczbę nieobecności na zajęciach studenckich: Liczba dni nb Liczba studentów Staż pracy w latach x j Liczba pracowników n j Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,90, zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.(p2) c) Należy oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo,

3 że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym σ=120 godzin. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n=25 świetlówek, dała następujące wyniki pomiarów czasu ich świecenia (w godzinach): 260, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720, 2800, 2970, 2680, 2660, 2820, 2580, 2840, 020, 2780, 2920, 060, 2840, 2550, 2790, Przyjmując współczynnik ufności 0,98 oszacować metodą przedziałową średni czas świecenia świetlówek tej partii.(1.1) Zad B2 Przedział ufności dla wskaźnika struktury: a) Chcemy oszacować, jaki procent pracujących mieszkańców Warszawy jada obiady w stołówkach pracowniczych. Pobrano w tym celu n=900 osób wylosowanych niezależnie do próby i znaleziono w tej próbie m=00 osób, które jedzą obiady w stołówkach. Przyjmując współczynnik ufności 1 -α=0,95 zbudować przedział ufności dla procentu badanej kategorii pracujących w Warszawie.(p) Zad B Przedział ufności dla wariancji: b)badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego pewnego urządzenia technicznego dokonano n=4 niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano następujące wyniki (w kg/cm 2 ): 120, 102, 15, 115. Należy zbudować przedział ufności dla wariancji σ 2 wytrzymałości tego elementu, przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,96.(p1) c)w baniach budżetów rodzinnych zbadano w 196 roku wylosowane 62 gospodarstwa domowe w województwie katowickim i otrzymano z tej próby między innymi następujące dane: średnia miesięczna wydatków na żywność w tych gospodarstwach domowych wynosiła 1570 zł, a odchylenie standardowe tych wydatków 224 zł. Przyjmując współczynnik ufności 0,90 należy zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowegoσ wydatków na żywność.(p2) Zad C1 Test dla wartości średniej populacji: a)pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(m, 5). Kontrola techniczna pobrała w pewnym dniu próbę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała ich średnią wagę 244 g. Czy można twierdzić, że automat rozregulował się i produkuje tabliczki czekolady o mniejszej niż przewiduje norma wadze? Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować odpowiednią hipotezę statystyczną.(p1) b)w szpitalu wylosowano niezależnie spośród pacjentów leczonych na pewną chorobę próbę 26 chorych i otrzymano dla nich średnią ciśnienia tętniczego krwi x=15 oraz odchylenie standardowe s=45. Należy na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że pacjenci pochodzą z populacji o średnim ciśnieniu tętniczym 120.(p2) c)norma techniczna przewiduje średnio 55 sek na wykonanie pewnej operacji technicznej przez robotników na pewnym stanowisku robotniczym. Ponieważ robotnicy skarżyli się, że norma ta jest zła, dokonano pomiarów chronometrażowych dla n=60 wylosowanych robotników i otrzymano z tej próby x=72 sek oraz s=20 sek. Czy można na poziomie istotnościα=0,01 odrzucić hipotezę, że rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji technicznej jest zgodny z normą?(2.1) Zad C2 Test dla dwóch średnich: a)pragniemy stwierdzić, że słuszne jest mniemanie, że zatrudnione na tych samych stanowiskach w pewnym przemyśle kobiety otrzymują przeciętnie niższą płacę niż mężczyźni. Z populacji kobiet zatrudnionych na określonych stanowiskach wylosowano w tym celu niezależnie próbę n 1 =100 kobiet i otrzymano z niej średnią płacę x 1 =2180 zł oraz wariancję płac s 2 1=6400. Z populacji mężczyzn zatrudnionych w tym przemyśle na tych samych stanowiskach wylosowano niezależnie n 2 =80 mężczyzn i otrzymano dla nich średnią płacę x 2 =2280 zł oraz wariancję s 2 2= Na poziomie istotności α=0,01 należy sprawdzić hipotezę, że średnie płace kobiet są niższe.(p1) b)wysunięto hipotezę, że czas potrzebny na obróbkę pewnego metalowego detalu można zmniejszyć przez zastosowanie innego niż dotychczas typu obrabiarki. Przy niezmienionych innych warunkach, zmierzono dla losowo wybranych sztuk czasy wykonywania tego detalu na dwóch typach obrabiarek i otrzymano dla obrabiarki II (nowej) następujące wyniki (w minutach): 15, 12, 10, 18, 14, 15, 1, a dla obrabiarki I (starej): 17, 11, 22, 18, 19, 1, 14, 16. Zweryfikować wysuniętą hipotezę na poziomie istotności α=0,05.(p2) c)zbadano w losowo wybranych gospodarstwach

4 rolnych w woj. mazowieckim i wielkopolskim średnie plony buraka cukrowego. Wiadomo, że w obu tych województwach plony buraka mają rozkład normalny z wartością odchylenia standardowego 20 q/ha. Średnia z próby o liczebności n 1 =6 wylosowanej z woj. mazowieckiego wyniosła 10 q/ha, natomiast z próby o liczebności n 2 =10 wylosowanej z woj. wielkopolskiego wyniosła 18 q/ha. Przyjmując poziom istotności α=0,10 sprawdzić hipotezę, że średnie plony buraka cukrowego uzyskane przez gospodarstwa obu województw są jednakowe.(2.21) Zad C Test dla wskaźnika struktury (procentu): a)wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji pewnego podzespołu w aparatach radiowych wynosi 10 %. W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano niezależnie próbę 100 podzespołów i otrzymano w niej 15 podzespołów wadliwych. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować tę hipotezę.(p1) b)w zakładzie produkcyjnym, charakteryzującym się wyjątkowo dużym nasileniem hałasu, wylosowano niezależnie próbę n=160 pracowników fizycznych i okazało się w toku badań lekarskich słuchu, że 68 pracowników ma zakłócenia słyszalności dźwięków o częstotliwości ponad 4000 drgań/sek. Zweryfikować na poziomie istotności α=0,05 hipotezę, że więcej niż 0 % pracowników tego zakładu ma te zakłócenia słuchu.(2.42) Zad C4 Test dla dwóch wskaźników struktury (procentów): a)w celu sprawdzenia, czy zachorowalność na gruźlicę jest w pewnym województwie taka sama w mieście jak i na wsi, pobrano z ludności wiejskiej i miejskiej dwie losowe próby, mianowicie z ludności miejskiej wylosowano n 1 =1200 osób i otrzymano m 1 =40 chorych na gruźlicę, a z ludności wiejskiej wylosowanon 2 =1500 osób i otrzymano m 2 =100 osób chorych. Przyjmując poziom istotności α=0,05 należy zweryfikować hipotezę o jednakowym procencie chorych na gruźlicę w mieście i na wsi w tym województwie.(p1) Zad D1 Test dla wariancji populacji generalnej: a)dokonano 12 pomiarów woltomierzem pewnego napięcia prądu i otrzymano z tej próby ŝ 2 = 0, 9V 2. Należy na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić hipotezę, że wariancja pomiarów napięcia tym woltomierzem wynosi 0, 6V 2.(p1) Zad D2 Test dla dwóch wariancji: a)przy zastosowaniu testu t Studenta dla hipotezy, że średnie zarobki pracowników zatrudnionych na tych samych stanowiskach roboczych w dwu różnych fabrykach są jednakowe, należy sprawdzić założenie tego testu, że wariancje zarobków w obu fabrykach są identyczne. Z jednej fabryki wylosowano w tym celu niezależnie 16 pracowników i otrzymano z tej próby wariancję ŝ 2 = 22500(z) 2. Natomiast z drugiej fabryki wylosowano 21 pracowników do próby i otrzymano z niej ŝ 2 = 40000(z) 2. Można przyjąć, że rozkłady zarobków w obu fabrykach są normalne. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancje zarobków badanych pracowników są takie same w obu fabrykach.(p1) Zad D Test jednorodności wielu wariancji: a)należy sprawdzić, czy trzy różne metody produkcji pewnego wyrobu charakteryzują się taką samą wariancją wydajności pracy robotników stosujących je. Losowo zmierzone wydajności pracy przy produkcji tego wyrobu w liczbach sztuk na godzinę są następujące: metoda I: 2, 5,, 6, 4 (n 1 =5) metoda II: 10, 12, 12, 14 (n 2 =4) metoda III: 20, 2, 26, 24, 22 (n =5) Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę o jednorodności wariancji wydajności pracy robotników pracujących tymi trzema metodami.(p1) Zad D4 Test istotności korelacji: a)dokonano n=500 niezależnych pomiarów pewnych dwu wymiarów metalowych odlewów i otrzymano z tej próby r =0,82. Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,95 zbudować przedział ufności dla nieznanego współczynnika korelacji ρ między dwoma wymiarami.(p1) b)spośród studentów pewnego wydziału uczelni wylosowano niezależnie 10 studentów IV roku i otrzymano dla nich następujące średnie oceny uzyskane w sesji egzaminacyjnej na I roku studiów (x i )oraz na IV roku studiów (y i ):

5 x i,5 4,0,8 4,6,9,0,5,9 4,5 4,1 y i 4,2,9,8 4,5 4,2,4,8,9 4,6 4,0 Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że istnieje korelacja między wynikami studiów uzyskiwanymi przez studentów tego wydziału na I i IV roku.(p2) c)na podstawie wyników liczbowych z poprzedniego zadania nalezy na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę H 0 : r = 0, 6, wobec hipotezy alternatywnej H 1 : r > 0, 6.(p) Zad F1 Regresja liniowa: a)badając zależność pomiedzy wielkościa produkcji X pewnego wyrobu a zużyciem Y pewnego surowca zużywanego w procesie produkcji tego wyrobu otrzymano dla losowej próby n=7 obserwacji następujące wyniki (x i w tys. sztuk, y i w tonach): x i y i Należy przy współczynniku ufności 0,95 oszacować metodą przedziałową zarówno całą liniową funkcje regresji, jak i sam współczynnik regresji zużycia surowca względem wielkości produkcji. (p1) Zad G1 Testy nieparametryczne: a)losowa próba n=200 niezależnych obserwacji miesięcznych wydatków na żywność rodzin -osobowych dała następujący rozkład tych wydatków (w tys. zł): Wydatki Liczba rodzin 1,0-1,4 15 1,4-1,8 45 1,8-2,2 70 2,2-2,6 50 2,6 -,0 20 Należy na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład wydatków na żywność jest normalny. (p1) b)zbadano 00 losowo wybranyh 5-sekundowych odcinków czasowych pracy pewnej centrali telefonicznej i otrzymano następujacy empiryczny rozkład liczby zgłoszeń: Liczba zgłoszeń Liczba odcinków Na poziomie istotności α=0,05 należy zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń w tej centrali jest rozkładem Poissona. (p2) Przygotował: Andrzej Musielak