błędu popełnionego przy takim pomiarze wymaga zastosowania odpowiednich metod obliczeniowych.
|
|
- Jakub Adamski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RACHUNEK BŁĘDÓW. WSTĘ Fizyk d oiektywe włściwości otczjącego s świt mterilego. Uogóliie dych doświdczlych pozwl ormułowie prw izyczych, które wyrżją oiektywy związek między zjwiskmi, orz określją rzeczywiście istiejące zleżości między wielkościmi izyczymi. Treść prw izyczych wyrż się ogół w ormie mtemtyczej jko ukcję określoą wrtościch liczowych,,... dych wielkości izyczych X, X,....Widć stąd jso, że rdzo wżą sprwą dl ustlei prw izyczych jest pomir tych wielkości. Mierząc jkąś wielkość izyczą porówujemy ją w określoy sposó z ią wielkością tego smego rodzju przyjętą z jedostkę. N przykłd pomir długości jkiegoś cił przeprowdzmy przykłdjąc doń kolejo ie ciło, którego długość orliśmy z jedostkę. Z wykoywiem pomirów spotykmy się rdzo często w życiu codzieym; p. kupując jkiś towr wymgjący wżei, mierząc temperturę ludzkiego cił lu odczytując czs trczy zegrk. omiry te igdy ie są dokłde. Spowodowe jest to iedoskołością szych zmysłów lu iedoskołością użytych przyrządów pomirowych. W przykłdch podych powyżej łtwo domyślimy się, że wystrczjącą dokłdością ędzie g przy wżeiu, 0, C przy pomirze tempertury czy s w przypdku odczytu czsu zegrku. rzy pomirze wielkości izyczych w lortorium ie wystrcz m ituicyj oce iedokłdości. Wrtość tych łędów może mieć zsdicze zczeie dl ocey prwdziwości jkiegoś prw izyczego. Wyikiem jkiegokolwiek pomiru ie ędzie więc sm wrtość mierzoej wielkości le rówież wrtość łędu popełiego podczs pomirów. ozie wrtości wielkości izyczej może odywć się drodze pomiru ezpośrediego lu pośrediego. W pomirch ezpośredich dyspoujemy przyrządem mierzącym iteresującą s wielkość. W pomirch pośredich d wielkość jest ukcją wielu zmieych mierzoych ezpośredio: F,, K, (. ( Jeżeli zmy tę ukcję, wówczs mierząc ezpośredio,,...,, możemy po wykoiu odpowiedich dziłń mtemtyczych wyliczyć F. W tym przypdku jedk o ile sm pomir i oliczeie tej wielkości ie sprwi m specjlych kłopotów, to oce
2 łędu popełioego przy tkim pomirze wymg zstosowi odpowiedich metod oliczeiowych.. ANALIZA BŁĘDÓW.. Błąd ezwzględy Jk wspomieliśmy we wstępie wykoywe przez s pomiry są orczoe łędmi wyikjącymi z iedoskołości przyrządów pomirowych i szych zmysłów, czyli kżdy pomir może yć wykoy tylko z pewą dokłdością. Otrzyme przez s wyiki pomirów ie dją m prwdziwych wrtości mierzoej wielkości lecz tylko przyliżoą. Te przyliżoe wrtości różią się od rzeczywistych o pewą wielkość, którą zywmy łędem ezwzględym i ozczmy literą ; X A (. X - rzeczywist wrtość mierzoej wielkości A - wrtość przyliżo otrzym z pomiru Tk więc łędem ezwzględym jkiegoś pomiru zywmy różicę między rzeczywistą wrtością mierzoej wielkości, wrtością przyliżoą otrzymą drodze pomirowej. Rówie (. pozwl m zdeiiowie łędu ezwzględego ie jest jedk przydte w prktyce. Celem zdi pomirowego jest jk jdokłdiejsze pozie wrtości rzeczywistej X. Rówie po przeksztłceiu m postć: X A (. oiewż wyik pomiru skutek wystąpiei iedokłdości pomirowych może yć zwyżoy lo ziżoy, wprowdzmy symol ±. Rówie (.3 zpisujemy: X A ± (.3 Wrtość łędu ezwzględego ędziemy określć różymi metodmi. W pomirch ezpośredich przyjmujemy z oowiązujące de pode przez producet przyrządu pomirowego. Kiedy ie mmy do ich dostępu musimy przyjąć jedostkę jmiejszego rzędu wskzywego przez przyrząd, w wypdku przyrządów ze wskźikmi wychyłowymi, dwukrotą wrtość podziłki. Oprócz przyrządu, wrtość łędu ezwzględego wielkości mierzoej ezpośredio wpływ też metod pomiru. Njprostszym przykłdem tkiego wpływu jest pomir liijką. Odczyty z liijki możemy wykoywć z dokłdością do mm. Mogliyśmy więc przyjąć wrtość łędu mierzoej wielkości l jko l mm. Jedk gdy przelizujemy metodę pomiru liijką, możemy dostrzec, że z kżdym rzem odczytujemy
3 podziłkę dwukrotie: ustwijąc liijkę tk, y zerow podziłk pokrywł się z początkiem mierzoego odcik orz odczytując wrtość długości odcik. Dltego, więc przyjmujemy l mm. rolem te ie występuje przy pomirch suwmirką pozycj zerow ustwio jest ryczie i pomir p. średicy wymg pojedyczego odczytu z oiusz. Błąd ezwzględy jest wielkością miową. Musimy pmiętć zwsze o tym, y ył o podwy w jedostkch tkich smych jk wielkość mierzo. Jeżeli p. długość podjemy w metrch to wrtość łędu podjemy rówież w metrch ie w milimetrch. odczs oliczeń stosujemy rówież ie iż wielkości przyliżoe. Nleżą do ich: - stłe mtemtycze : π, e, wrtości logrytmów, ukcje trygoometrycze - stłe izycze : stł lck, prędkość świtł w próżi itp., których łąd ezwzględy możemy przyjąć dowolie młym i dltego te wielkości uwżmy z ie orczoe łędmi. Metody pozwljące oliczeie łędu ezwzględego wielkości mierzoych pośredio omówioo w dlszej części tekstu... Błąd względy W prktyce doświdczlej chodzi m często o to, w jkim stopiu łąd popełiy przy pomirze może wpłyąć wyik pomiru. Błąd ezwzględy ie dje m odpowiedzi to pytie. Np. jeżeli łąd ezwzględy przy pomirze jkiejś odległości jest rówy 0,0 m, odległość jest rzędu kilkuset metrów to wrtość tego łędu odgryw rdzo młą rolę, le jeżeli tki sm łąd popełimy przy pomirze wymirów pudełk zpłek to rol tego łędu jest rdzo istot w tych pomirch. Ay moż yło określić wpływ wielkości łędu ezwzględego wykoy pomir stosujemy tk zwy łąd względy, który ozczmy literą δ i deiiujemy stępująco: Błąd względy dej wielkości jest to stosuek łędu ezwzględego do rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości, czyli: δ (.4 oiewż zrówo jk i są wielkościmi tk smo miowymi, łąd względy jest wielkością iemiową. Brdzo często łąd względy podjemy jedk ie w postci ułmk, lecz wyrżmy w procetch czyli zpisujemy stępująco: δ 00% (.5
4 W zleżości od typu pomirów, metody pomirowej, klsy lortorium, wrtości łędu względego mogą przyjmowć róże wrtości. Metody pomirowe stosowe w rcowi Fizyki doiere są ze względu ich dydktyczy chrkter. riorytetem ie jest dokłdość uzyskych wyików. Dltego też wrtości łędów względych uzyskych w trkcie ćwiczeń ędą stosukowo duże. Nie powiy jedk przekrczć poziomu 0%..3. rzyczyy powstwi łędów pomirowych Ze względu przyczyy powstwi łędów pomirowych dzielimy je trzy grupy:. Błędy systemtycze. Błędy grue 3. Błędy losowe Do łędów systemtyczych zliczmy łędy, które są wyikiem iedokłdości przyrządów, złej metody pomirowej, wpływu czyików zewętrzych itp. p. źle wyko mirk w której odległości między dziłkmi są z duże lu z młe w stosuku do wzorc; ustwieie wgi w poliżu źródł ciepł co może powodowć iejedkową rozszerzlość rmio wgi czy tk zwy łąd prlksy. Chrkterystycze dl łędów systemtyczych jest to, że wprowdzjąc tzw. poprwkę możemy ziwelowć ich wpływ wyiki pomirów. Wrukiem jest zjomość wrtości orz zku łędu systemtyczego. Jeżeli p. po wykoiu pomirów zuwżymy, że wychyłowy wskźik woltomierz przy pięciu 0 V pokzuje 0, V, możemy wprowdzić poprwkę. Skoro wszystkie wyiki pomirów yły zwyżoe o 0, V leży od ich odjąć tę wrtość. Musimy yć oczywiście pewi, że łąd te dotyczył prwdę wszystkich pomirów które ędziemy korygowli poprwką. Błędy grue są to łędy, których wystąpieie powoduje, że wrtość odczyt jest rdzo róż od rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości. Spowodowe są uszkodzeiem sprzętu, łędmi ludzkimi lu iespodziewymi, silymi wpływmi środowisk zewętrzego. Ay ustrzec się łędów gruych, leży posługiwć się sprwdzoymi urządzeimi. omiry leży powtrzć kilkukrotie jeśli to możliwe, odczyty powiy yć weryikowe przez drugą osoę. Wyik orczoy łędem gruym ie dje się do dlszej lizy. omiry leży powtórzyć po wyelimiowiu przyczyy łędu. Błędy losowe, spowodowe są wielom różymi przyczymi, ogół iezymi i iemożliwymi do uikięci. Nieokreśloe wpływy otoczei, zkłócei prcy ukłdów elektroiczych urządzeń pomirowych itp. powodują, że wielokroty pomir tej smej
5 wielkości w tych smych wrukch dje róże wyiki iezczie różiące się od sieie. Sttystyczy chrkter rozkłdu tych wrtości, pozwl stosowie metod mtemtyczych pozwljących zmiimlizowie wpływu tego łędu wyik pomiru. 3. ROZKŁAD NORMALNY BŁĘDÓW LOSOWYCH Z lizy łędów losowych wyik, że ich występowie ie jest zjwiskiem chotyczym lecz podleg określoym prwidłowościom. Wykoując kilkkrotie pomir tej smej wielkości izyczej X otrzymujemy z kżdym rzem róże wrtości A, A,.. itd. Różice między rzeczywistą wrtością mierzoej wielkości X otrzymymi przez s wrtościmi drodze pomirowej zywmy według podej wcześiej deiicji łędmi ezwzględymi i ozczmy je,,... itd. rzedstwijąc te łędy wykresie w ukłdzie współrzędych, w którym osi odciętych odłożymy wrtości łędów, osi rzędych częstości ich występowi, otrzymmy krzywą zywą krzywą łędów lu krzywą Guss przedstwijącą tzw. rozkłd ormly ostć litycz ukcji opisującej te rozkłd przedstwi się stępująco y( k e π k ( (3. gdzie k jest współczyikiem określjącym dokłdość pomirów. rwdopodoieństwo, że podczs pomirów występują łędy z przedziłu (, jest rówe : [ (, ] y( d( (3. Tk zdeiiowe wrtości łędów są wielkościmi dokłdymi le iezymi, poiewż ie zmy rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości X. Aliz krzywej Guss
6 pozwl sormułowie tezy, któr w teorii łędów osi zwę postultu o średiej rytmetyczej i rzmi stępująco : Njrdziej zliżoą do rzeczywistej wrtości wielkości X jest średi rytmetycz wszystkich pomirów, czyli X śr A A K A (3.3 Ozczjąc różicę między średią rytmetyczą pomirów X śr, poszczególymi pomirmi A i przez i otrzymujemy przyliżoe wrtości łędów ezwzględych, których rozkłd opisuje t sm ukcj, le o iym współczyiku określjącym dokłdość K K y( e (3.4 π Związek między K i k jest stępujący: K k (3.5 Z osttiej rówości wyik, że K jest większe od k, czyli przyjmując średią rytmetyczą jko dokłdą wrtość mierzoej wielkości przeceimy dokłdość pomiru w stosuku do rzeczywistości. Ay zmiimlizowć wpływ średiej rytmetyczej dokłdość powiiśmy wykoć co jmiej 0 pomirów. Wtedy różic między k i K jest rów około 5%. Dl 00 pomirów ędziemy mieli różicę wyoszącą 0,5%. Tk więc widć, że przy dużej liczie pomirów średi rytmetycz jest rdzo lisk rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości. Ay powiązć współczyik dokłdości k z wrtością łędów i wprowdzmy tk zwe wskźiki dokłdości : 3.. Błąd średi kwdrtowy ( i ( ( K ( i σ (3.6 k k Wskźik te zywmy rówież odchyleiem stdrdowym lu dyspersją, jest o mirą rozieżości łędu, wokół jego wrtości oczekiwej µ, którą oliczmy ze wzoru ierówość µ y( d (3.7 rzedził o szerokości 0, dl którego z prwdopodoieństwem p jest spełio
7 µ (3.8 i 0 i 0 zywmy przedziłem uości, zde prwdopodoieństwo p poziomem uości. Ozcz to, że jeżeli wykomy pomirów z jedkową dokłdością to możemy uwżć, że p przedziłów o szerokości 0 ędzie zwierć wrtość oczekiwą µ. Jeżeli weźmiemy zmist i odchyleie od średiej rytmetyczej i, to i σ i (3.9 K 3.. Błąd prwdopodoy Błąd prwdopodoy r jest określoy stępująco: rwdopodoieństwo wystąpiei łędów miejszych od r jest rówe prwdopodoieństwu pojwiei się łędów większych od r, czyli Z tej deiicji wyik, że r y( d( y( d( (3.0 0 r ( i r 0,674 σ 0,674 i (3. lu w przypdku zstąpiei i przez i otrzymmy r 0,674 i i ( Błąd przecięty K 0 (3.3 Z lizy krzywej Guss wyik, że ( i i 0 0,8 σ 0,8 (3.4 lu dl odchylei od średiej rytmetyczej i otrzymmy
8 0 0,8 i i (3.5 Jeżeli przedstwimy wrtości tych łędów wykresie krzywej Guss to ędą oe przedstwiły się stępująco: σ - wrtość rów odciętej puktu przegięci krzywej Guss r - wrtość odciętej puktu dzielącego krzywą dwie części pod którymi pol są soie rówe o - wrtość odciętej środk ciężkości igury ogriczoej osią y, osią orz krzywej Guss po prwej stroie osi y. Tk zdeiiowe odchyleie stdrdowe i wyikjące stąd określei łędów prwdopodoych i przeciętych chrkteryzują średią iepewość kżdego z wyików,,.... Jeżeli postrmy się wyliczyć odchyleie stdrdowe dl średiej wrtości oliczoej z pomirów, to okże się, że jest oo rówe odchyleiu stdrdowemu pojedyczego pomiru, czyli σ podzieloemu przez. Ozczjąc je σ śr możemy pisć σ σ śr (3.6 Dowód tej osttiej rówości przeprowdzimy w stępej części szych rozwżń. Dl tk określoego odchylei stdrdowego czyli iczej mówiąc średiego łędu kwdrtowego średiej możemy pisć zleżości dl łędów określoych powyżej
9 r śr - łąd prwdopodoy średiej 0 - łąd przecięty średiej śr i σ i σ śr (3.7 ( i r i rśr 0,674 (3.8 ( i 0 i 0śr 0,8 (3.9 ( Rozwżi powyższe dotyczyły serii pomirowych złożoych z dużej ilości pomirów, do których moż stosowć rozkłd ormly, le rdzo często w prktyce mmy do czyiei z iewielką ilością wyików pomirowych i w tym przypdku zlec się stosowć tk zwy rozkłd t-studet t dl określoego poziomu uości odczytujemy z tlic, k zywmy liczą stopi swoody t k S( t, k Ck ( (3.0 k C k zleży wyłączie od k i jest wyrżoe przez ilorz ukcji Γ Euler. 4. WYZNACZANIE WIELKOŚCI BŁĘDÓW WYNIKÓW ZŁOŻONYCH Wszystkie dotychczsowe rozwżi dotyczą pomirów ezpośredich, czyli pomirów pojedyczych wielkości jk: długość, tempertur, ms itp. odczs wykoywi dń mmy jedk do czyiei z przypdkmi rdziej złożoymi, to zczy wyzczoe przez s wielkości są ukcjmi jedej lu wielu zmieych. W tkim przypdku musimy umieć odpowiedzieć pytie, jkim łędem jest orczo wyzcz przez s wielkość izycz, jeżeli wykorzystywe do jej wyliczei pomiry są wykoe z odpowiedio zymi łędmi.
10 4.. Metod różiczki zupełej Rozpocziemy lizę tego zgdiei od jprostszego przypdku, w którym wyik doświdczei zleży tylko od jedej zmieej zmierzoej z łędem ezwzględym. Niech szuk wielkość ędzie opis ukcją jedej zmieej (. Wówczs ( ( (4. ędzie łędem ezwzględym jki popełimy przy wyzczeiu (. Rozwińmy tę ukcję w szereg Tylor` 3 3 d ( d ( ( d ( ( ( ( K (4. d! 3 d d 3! rzyjmując, że << możemy wszystkie skłdiki sumy w której występują w wyższej potędze iż pierwsz odrzucić i wówczs otrzymmy, że : d ( ( ( (4.3 d stąd d ( ( ( (4.4 d czyli d ( ( (4.5 d rzykłdem wielkości, któr jest opis ukcją jedej zmieej może yć powierzchi kwdrtu: Jeżeli długość oku kwdrtu zostł zmierzo z łędem, to podstwie powyższych rozwżń łąd ezwzględy wyzczei powierzchi tego kwdrtu jest rówy d d Częściej mmy jedk do czyiei z przypdkmi, w których wyzcz wielkość zleży od wielu zmieych. Fukcj m postć: (,, K, Wówczs postępujemy logiczie jk w przypdku jedej zmieej, czyli rozwijmy ukcję wielu zmieych w szereg Tylor`
11 K K K K K!! (! (,,, (,,, ( (4.6 rzy złożeiu, że i << i dl i,,... możemy wszystkie człoy z wyższymi potęgmi i pomiąć i po odpowiedim przeksztłceiu otrzymmy stępujący wzór określeie łędu ezwzględego K,...,, ( (4.7 Rozptrzmy dl przykłdu ukcję dwóch zmieych wyrżjącą pole prostokąt Jeżeli i wyzczmy odpowiedio z łędmi i to łąd ezwzględy możemy wyliczyć podstwie wzoru czyli Możemy zuwżyć, że poszczególe skłdiki powyższej sumy to wielokrotości poszczególych łędów wielkości mierzoych ezpośredio. orówując wrtości przez które możymy poszczególe łędy ezwzględe (w szym przykłdie i możemy określić wgę łędów ezwzględych, czyli stwierdzić, które wielkości mierzoe ezpośredio mją jwiększy wpływ ostteczy wyik. Chcąc zwiększyć dokłdość wyzczi wielkości mierzoej pośredio, musimy skupić się zmiimlizowiu łędów pomirów ezpośredich o jwiększej wdze. 4.. Metod logrytmicz Wyzczjąc łąd pomiru pol powierzchi prostokąt, doszliśmy do zleżości: Błąd względy ędzie więc wyrżoy wzorem:
12 δ Możemy zuwżyć, że łąd względy wyzczej wielkości, jest rówy sumie łędów względych wielkości mierzoych ezpośredio. Okzuje się, że dl ukcji pewego typu, możemy w te sposó oliczć łąd względy, omijjąc żmude różiczkowie. Jeżeli wielkość, którą mmy wyzczyć jest opis ukcją iloczyową: α β γ K C K ( (4.8 (C to dowol stł, α, β i γ mogą yć ujeme, gdy dy czyik zjduje się w miowiku ułmk lu ułmkowe, gdy mmy do czyiei z pierwistkiem możemy łąd względy ukcji oliczyć wg wzoru: δ α β K γ (4.9 Z tk oliczoego łędu względego możemy uzyskć wrtość łędu ezwzględego stosując zleżość: δ ( RZEDSTAWIANIE WYNIKÓW OMIARÓW NA WYKRESIE W wielu przypdkch celowe jest przedstwieie wyików pomirów wykresie. Metodę tę stosujemy jczęściej, y zleźć zleżość ukcyją jką spełiją mierzoe wielkości, lu gdy wykres dostrcz m dych do dlszych oliczeń. rzy sporządziu wykresów stosujemy ogół prostokąty ukłd współrzędych. Ay wykoć wykres z odpowiedio dużą dokłdością używmy ppieru milimetrowego. Nosimy ukłd współrzędych i doiermy odpowiedio sklę osich. Odpowiedio dor skl powi pozwlć łtwy odczyt współrzędych dowolego puktu. Niech zleżość między iezymi wielkościmi przedstwi ukcj y ( N poiższym rysuku przedstwimy przykłdowe rozmieszczeie puktów pomirowych o odpowidjących im współrzędym ( i, y i
13 oiewż kżdy pomir jest orczoy łędem, powiiśmy wykresie ieść ie jede pukt osi odciętych, le odpowiedi przedził (-,. Argumetom ukcji z tego przedziłu odpowid osi rzędych rówież pewie przedził wrtości ukcji (y- y, yy. rowdząc odpowiedie proste z gric tych przedziłów, prostopdłe do osi i y, otrzymmy w przecięciu prostokąt, którego wszystkie pukty wewętrze mogą leżeć do wykresu poiewż ich współrzęde różią się od (, y co jwyżej o lu y. Jeżeli tk postąpimy z wszystkimi puktmi pomirowymi, to w rezultcie ędziemy mieć do czyiei ie z pojedyczymi puktmi, mleńkimi prostokątmi. Wówczs powiiśmy krzywą poprowdzić tk y przechodził o przez kżdy z prostokątów. Wykreśleie krzywej wykoujemy posługując się krzywikiem. Krzyw powi yć wygłdzo poiewż zkłdmy, że de zjwisko m przeieg regulry. W teorii łędów są oprcowe metody wygłdzi krzywych. Niedopuszczle jest wykoie wykresu przez połączeie liią łmą poszczególych puktów pomirowych. Jeżeli pewe wrtości pomirowe ie zjdą się krzywej, w tym oszrze zjwisko ie wykzuje przeiegu omlego to wrtości te leży potrktowć jko łędy grue i odrzucić. Jeśli jedk podejrzewmy, że te pomiry mogą mieć związek ze zmimi w przeiegu zjwisk to w tych oszrch powiiśmy przeprowdzić dodtkowe pomiry zgęszczjąc pukty pomirowe. 6. ZAISYWANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ Oliczeie prowdzoe z pomocą klkultor, dją m wyiki 8 lu cyrowe. Ituicyjie wyczuwmy, że uzysk dokłdość wyik ie z dokłdości pomirów lecz jest eektem opercji mtemtyczych. Uzyske wyiki leży zokrąglić.
14 W trkcie oprcowywi pomirów w rcowi Fizyki ędziemy stosowli stępujące zsdy:. Błąd zokrąglmy do jedej cyry zczącej.. Błąd zokrąglmy do góry. 3. Wrtość wyzczej wielkości zokrąglmy do rzędu wielkości łędu. Zokrąglie rozpoczymy od zokrąglei wrtości łędu ezwzględego. Nleży pmiętć, że cyr zcząc łędu ie musi zjdowć się po przeciku. Jeżeli oliczo wrtość łędu jest rów p. 0,034 to po zokrągleiu ędzie to 0,03 ( zsd!. Jeżeli jedk wrtość t ędzie rów p. 3,764 to po zokrągleiu dostiemy 00. Wrtość wyzczoej wielkości zokrąglmy, ie tk jk w przypdku łędu do góry, wg ogólie przyjętych zsd. W pierwszym z powyższych przykłdów rząd wielkości łędu to części sete więc sz wyik zokrąglimy rówież do części setych. W drugim przykłdzie rząd wielkości łędu to pełe setki, wyik zokrąglmy więc do pełych setek. Np. jeżeli oliczo wielkość m wrtość : 537,34 łąd ezwzględy jest rówy 0,03 to wyik powiiśmy zpisć : 537,3± 0,03 gdyy zmierzo wielkość mił wrtość 7 543, 567 łąd ył rówy 00 to zpis mierzoej wielkości powiie wyglądć stępująco 7500 ± 00 ode przykłdy dotyczą wielkości iemiowych. W wypdku wielkości miowych leży pmiętć, y zwsze podwć jedostkę. rwidłowo zpisy wyik pomiru pięci może mieć postć: U 0 ± 0 V Jeżeli w podwym wyiku leży użyć zpisu wykłdiczego, to lepiej podć wyik i łąd stosując te sm wykłdik p. zmist C (,5 0,03 0 F 4 C (,50 30 F
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoi interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1
METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1
DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowo4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH
METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowoTABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoa a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowo3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowo1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoLaura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale
Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce
Wyre rozkłdy prwdopodoieństw żytecze w sttystyce Rozkłd chi-kwdrt o stopich swoody - to rozkłd sy kwdrtów iezleżych zieych losowych o stdryzowy rozkłdzie orly N tz iid N = i i rozkłd y o kcji gęstości
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoSYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO
6-0 T B O L O G 8 Piotr SDOWSK * SYSTEM WELKOŚC CKTEYZUĄCY POTECLĄ ODDZELOĄ CZĄSTKĘ ZUŻYC TBOLOGCZEGO SYSTEM OF VLUES CCTEZED POTETL D SEPTED WE PTCLE Słow kluczowe: prc trci, zużywie ściere, cząstk zużyci,
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1
Zdie Zmie losow X m rozkłd N(; Obliczyć: P(, < X
Bardziej szczegółowoEAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych
EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,
Bardziej szczegółowoGranica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych
Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM kls 2F 1. FUNKCJA LINIOWA Uczeń otrzymuje oceę dopuszczjącą, jeśli: rozpozje fukcję liiową podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowoStruna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoRozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoNiepewność złożona jest sumą geometryczną udziałów niepewności składowych:
PROEKO Ryszrd Soć www.proekors.pl Obliczie w progrie Eisj iepewości poir stężei pył wg. PN-EN 384 Eisj ze źródeł stcjorych Ozczie stężei sowego pył w zkie iskich wrtości. Część I. Ml etod grwietrycz Stężeie
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoPowtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr.........
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ r......... pory wykoo
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowotakimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile . Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowo