Wykład 7: Pola skalarne i wektorowe Katarzyna Weron

Transkrypt

1 Wykład 7: Pola skalarne i wektorowe Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana

2 Zwykła pochodna Pytanie: Mam funkcję jednej zmiennej f(x). O czym mówi pochodna df? dx Odpowiedź: Jak szybko zmienia się f(x), jeśli x zmienia się o małą porcję dx: df = df dx dx zmiana f o df zmiana x o dx szybkość zmian

3 Temperatura w pokoju T = T(x, y, z) Jak szybko zmienia się temperatura, jeśli przesuniemy się o małą odległość? To może zależeć od kierunku, np: Pionowo: temperatura szybko spada (ruch z góry na dół) Poziomo: brak zmian x z y

4 Jak szybko zmienia się T = T(x, y, z)? Nieskończenie dużo odpowiedzi dla każdego kierunku inna Ogólna odpowiedź możliwa z y x dt = T x dx + T y dy + T z dz

5 Gradient temperatury = T x dt = T x T x + y dx + T y y + T z z dy + T z dz dx x + dy y + dz z T d r grad T T T x x + T y y + T z z T x, T y, T z

6 Geometryczna interpretacja gradientu dt = T d r = T d r cosθ Kąt pomiędzy wektorami T i d r Ustalamy d r i zmieniamy tylko θ Maksymalne dt dla cosθ = 1 czyli θ = 0 Czyli dla ustalonego d r maksymalna zmiana będzie wówczas gdy poruszamy się w kierunku T Gradient funkcji wskazuje kierunek maksymalnych zmian tej funkcji. Wartość T daje nam wielkość nachylenia wzdłuż kierunku maksymalnych zmian

7 Wyobraź sobie Stoisz na wzgórzu i rozglądasz się Znajdujesz zbocze o największym nachyleniu To jest właśnie kierunek gradientu Teraz zmierz nachylenie tego zbocza To jest długość wektora gradientu

8 Pole skalarne - temperatura qjegh.lyellcollection.org

9 Pole skalarne φ = φ r = φ(x, y, z) Temperatura, potencjał elektrostatyczny, gęstość Poziomnice (pow. ekwiskalarne, ekwipotencjalne): φ x, y, z = const Izotermy, izobary, izohipsy Linie blisko siebie szybkie zmiany

10 Operator Nabla grad U = U = U x, U y, U z = x, y, z Jeśli to jest wektor to możemy zadziałać tym operatorem na inny wektor!

11 Pole wektorowe - prędkość

12 Dywergencja Pole wektorowe h: = x, y, z = x, y, z h = h x, h y, h z h = x h x + y h y + z h z = h x x + h y y + h z z

13 Geometryczna interpretacja dywergencji (rozbieżności, źródłowości) Nazwa dywergencja nie jest przypadkowa Divergence od diverge czyli rozchodzić (rozbiegać) się Jak rozbiega się wektor w zadanym punkcie

14 Geometryczna interpretacja dywergencji (rozbieżności, źródłowości) Jaka jest dywergencja w każdym z przypadków? h > 0 h = 0 h > 0

15 Wyobraź sobie Stoisz na brzegu oczka wodnego lub jeziora Rozsypujesz na powierzchni igły sosnowe lub trociny Jeśli rozprzestrzeniają (uciekają) od punktu, w którym zostały rozsypane dywergencja pozytywna Jeśli skupiają się tzn., że w tym punkcie dywergencja negatywna h > 0 źródło h < 0 dren (zlew, ściek)

16 Dywergencja źródła i ścieki

17 Pole elektryczne F 0 = 1 Qq 0 4πε 0 r 2 r r = q 0 1 Q r 4πε 0 r 2 r F 0 = q 0 E, E 1 Q r 4πε 0 r 2 r UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

18 Rotacja h = wektor =,, x y z, h = h x, h y, h z h = x y z x y z h x h y h z

19 Interpretacja geometryczna rotacji Rotacja lub wirowość wskazuje wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego

20 Dywergencja i rotacja Kody matlabowe:

21 Całki w elektrodynamice Całki krzywoliniowe wzdłuż pewnej ścieżki Całka okrężna całka po krzywej zamkniętej Całki powierzchniowe wzdłuż wektora prostopadłego do powierzchni Całki objętościowe

22 Przykład Praca W = Jeśli siła zachowawcza to: C F d l W = Fd l = 0

23 Całka powierzchniowa S vd a Nieskończenie mała łatka w kierunku prostopadłym do powierzchni Zadana powierzchnia Funkcja wektorowa Przykład: Oblicz całkę powierzchniową zadanej funkcji przez 5 ścian prostopadłościanu (z wykluczeniem spodu)

24 Całka objętościowa V Td τ Nieskończenie mały element objętości, w kartezjańskim dτ = dxdydz Zadana objętość Skalar (temperatura, gęstość) Przykład: Oblicz całkę objętościową po pryzmie z funkcji skalarnej T

25 Podstawowe twierdzenia dla gradientów Mamy funkcję skalarną T x, y, z Startujemy z punktu a przesuwając się o dl 1 Zmiana T wyniesie wówczas: dt = Tdl 1 Możemy następnie przesunąć się o dl 2 itd. Całkowita zmiana od a do b po ścieżce P: Tdl = T b T(a) P

26 Geometryczna interpretacja twierdzenia Chcesz określić wysokość wieży Eiffla Możesz wejść po schodach z linijką, zmierzyć wysokość każdego schodka i dodać te wysokości Możesz też zmierzyć wysokościomierzem wysokość na dole i na szczycie Powinno wyjść to samo!

27 Podstawowe twierdzenia dla dywergencji Bardzo ważne twierdzenie Tak ważne, że funkcjonuje kilka nazw, w tym: Twierdzenie Gaussa Twierdzenie Greena V vdl = S vda

28 Geometryczna interpretacja V vdl = S vda Jeśli v reprezentuje przepływ nieściśliwego płynu to wówczas strumień (R) równa się całkowitej ilości płynu przepływającej przez powierzchnię w jednostce czasu.

29 Podstawowe twierdzenia dla rotacji Bardzo ważne twierdzenie Twierdzenie Stokesa ( v)da = S P vdl

30 Podsumowanie T = grad T = wektor h = divh = skalar h = rot h = wektor Gradient mierzy szybkość zmian; pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego Dywergencja strumień wypływ na jednostkę objętości pewnej wielkości wektorowej (źródłowość, wydajność źródła) Rotacja pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego

31 Co można zrobić z nablą? T = grad T = wektor h = divh = skalar h = rot h = wektor Równania Maxwella: E = ρ ε 0 E = B t B = 0 c 2 B = E t + j ε 0 Cała teoria elektromagnetyzmu zawarta jest w tych równaniach!

32 Drugie pochodne pól a) T b) T = 0 c) h d) h = 0 e) h T = grad T = wektor h = divh = skalar h = rot h = wektor

33 Laplasjan T = T x, T y, T z T = x x T + y y T + z z T = 2 T x T y T z 2 = 2 T

34 Konsekwencje dla fizyki T = 0 Jeśli A = 0 (pole bezwirowe) to istnieje takie ψ, że A = ψ h = 0 Jeśli D = 0 to istnieje takie C, że D = C

35 Elektrostatyka Przypadek statyczny nie ma zmian w czasie Położenia wszystkich ładunków są określone i niezmienne w czasie E = ρ ε 0 E = B t = 0 E = φ Potencjał elektryczny

36 Pola sił zachowawczych (potencjalnych) Grawitacyjne, elektrostatyczne Pole sił F = F r = F x x, y, z i + F y x, y, z j + F z x, y, z k Zachowawcze jeśli: rot F = F = 0 ψ = 0

37 Pola sił zachowawczych W każdym punkcie przestrzeni określona siła (wektor wartość, kierunek, zwrot) Praca potrzebna na potrzebna na przesunięcie ciała z A do B nie zależy od drogi praca W=0 po drodze zamkniętej: Pola centralne h

38 Siły dalekozasięgowe, centralne Oddziaływanie grawitacyjne (prawo powszechnego ciążenia Newtona): F = G m 1m 2 r 2 r Stała grawitacji Oddziaływanie elektrostatyczne (prawo Coulomba) Przenikalność dielektryczna próżni F = 1/4πε 0 Q 1 Q 2 r 2 r Source:

39 Pola sił M. Faradaya, 1831 Przestrzeń nie jest pusta

40 Pola sił w fantastyce naukowej czy to jest to samo? Cienka, niewidoczna (przeźroczysta, błękitnawa) nieprzepuszczalna bariera Odbija rakiety, lasery Odgradza od próżni

41 Czy to są dobrzy kandydaci na pola sił znane z SF? Grawitacja bardzo słaba (pomyśl o piórku!), działa na olbrzymie odległości, tylko przyciąga Elektromagnetyzm łatwo ją zneutralizować (plastikowe pociski); dalekozasięgowa h

42 Może inni kandydaci? Plazma? Zajrzyj do Michio Kaku, Fizyka rzeczy niemożliwych Plazma gaz zjonizowanych atomów Czwarty stan materii Najpowszechniejszy we wszechświecie, ale nie na Ziemi Łatwo nią sterować przy pomocy pól elektrycznych i magnetycznych Ogrzej gaz do bardzo wysokiej temperatury

43 Okna plazmowe Andy Herschcovitch, 1995 Long Island Problem próżni układy scalone (zespolenie metali) Gaz ogrzewa się do temperatury C Pojedyncza warstwa plazmy zbyt słaba na pociski Przeźroczysta nie zatrzyma wiązki laserowej

44 Nadprzewodniki i lewitacja magnetyczna Lewitacja magnetyczna - maglev Efekt Meissnera Latanie niczym Superman pas nadprzewodzących magnesów Święty Graal fizyki ciała stałego nadprzewodnik w temp. pokojowej Obecny rekord: tlenek rtęci talu baru wapnia i miedzi T*=138K

45 Lewitujące żaby Lewitacja diamagnetyków Andre Geim Anty Nobel (Ig Nobel) w 2000 za lewitujące żaby Andre Geim Nobel Prize w 2010 za odkrycie grafenu Kreatywność jest bardzo ważna!

46 Poczytaj R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana Wykłady z Fizyki, Tom 2 Michio Kaku, Fizyka rzeczy niemożliwych Prószyński i S-ka 2011