Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

Transkrypt

1 Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na komputerze PC Andrzej Odrzywołek Instytut Fizyki UJ, Zakład Teorii Względności i Astrofizyki , środa, 9:00 A. Odrzywołek Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

2 O czym będzie ten referat? Zagadnienie N-ciał: podstawowe informacje 1 sformułowanie w ramach teorii Newtona 2 kilka nietrywialnych przykładów dla 3 ciał 3 układy setek, tysięcy i więcej obiektów w kosmosie Zastosowanie kart graficznych 1 moc obliczeniowa współczesnej karty graficznej 2 NVIDIA CUDA: przykłady użycia 3 symulacje zagadnienia N-ciał 4 przyszłość komputerów PC: programowanie wieloprocesorowe

3 Zasada dynamiki Newtona Ruch pojedynczej cząstki pod wpływem siły: F = ma F = (F x, F y, F z ), v = (v x, v y, v z ), r = (x, y, z) F x = m dv x dt, F y = m dv y dt, F z = m dv z dt, v x = dx dt, v y = dy dt, v z = dz dt Jawne przybliżone rozwiązanie układu równań ruchu Pochodna funkcji w przybliżeniu: f (t) df (t) dt = f (t + t) f (t) t

4 Przybliżone rozwiązanie równań ruchu Newtona Oryginalny układ równań (jego część) F x = m dv x dt, v x = dx dt Układ równań pochodnych różnicami skończonymi F x = m v x(t + t) v x (t) t x(t + t) x(t) v x = t Jawne przyblizone rozwiązanie równań ruchu v x (t + t) = v x (t) + F x (t) t/m x(t + t) = x(t) + v x (t) t

5 Siły w równaniach ruchu Newtona równania Newtona nic nie mówią o działających siłach przedstawiony algorytm rozwiązywania równań ruchu działa (lepiej lub gorzej) dla praktycznie dowolnych sił, w tym: (1) nie zachowujących energii (2) zależnych od czasu poprzez odpowiednie określenie sił możemy rozwiązywać szeroki zakres problemów od ruchu rzucanych piłek, poprzez ruch płynów, lawiny błotne aż do kontynentów, sond kosmicznych i gromad galaktyk szczególną rolę gra newtonowskie przyciąganie grawitacyjne, które z bardzo dużą dokładnością opisuje znakomitą większość obiektów w kosmosie wyjątkami są m. in. czarne dziury oraz wszechświat jako całość

6 Teoria grawitacji Newtona Siła przyciagania pomiędzy 2 masami F 12 = G m 1m 2 r 2 12 r 1 r 2 r 1 r 2 G = m 3 /s 2 /kg stała przyciagania grawitacyjnego G m 1m 2 wielkość siły przyciągającej r 2 12 r 1 r 2 r 1 r 2 kierunek działającej siły: wektor jednostkowy skierowany od ciała 1 do 2 Składowe siły przyciagania pomiędzy 2 masami m 1 m 2 (x 1 x 2 ) F x12 = G (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 + z 2 ) 23

7 Równania dla 3 ciał d 2 r 1 dt 2 = F 12 + F 13 d 2 r 2 dt 2 = F 21 + F 23 d 2 r 3 dt 2 = F 31 + F 32 UWAGA! Ilość sił i operacji matematycznych aby je obliczyć rośnie bardzo szybko z ilością ciał. Stanowi to podstawową trudność w analizowaniu bardzo złożonych układów.

8 Ogólne uwagi o teorii Newtona UWAGA! Jedyne dokładnie znane i całkowicie zbadane jest zagadnienie 2 ciał, rozwiązane przez samego Newtona: ruch przez nieskończony czas po elipsie, paraboli lub hiperboli wokół wspólnego środka masy zaczynając od 3 ciał w górę mamy do czynienia z niezwykle bogatym obszarem badań gdzię wciąż dokonywane są zaskakujące odkrycia (np. stabilny ruch trzech ciał po ósemce ) powoli zaczyna wypływać pogląd, że na duże systemy (gromady kuliste, galaktyki) mogą wpływać obiekty pozanewtonowskie jak np. czarne dziury teoria grawitacji Newtona ciągle jednak dominuje w tym polu badań ilościowo znacznie wyprzedzając Ogólną Teorię Względności Einsteina A. Odrzywołek 0.10 Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

9 Przykłady ruchu 2 ciał stosunek mas 1:1 (gwiazda podwójna) stosunek mas 1:10 (układ Pluton-Charon) stosunek mas 1:100 (układ Ziemia-Księżyc)

10 Przykłady ruchu 2 ciał stosunek mas 1:1 (gwiazda podwójna) stosunek mas 1:10 (układ Pluton-Charon) stosunek mas 1:100 (układ Ziemia-Księżyc)

11 Przykłady ruchu 2 ciał stosunek mas 1:1 (gwiazda podwójna) stosunek mas 1:10 (układ Pluton-Charon) stosunek mas 1:100 (układ Ziemia-Księżyc)

12 Przykłady ruchu 3 ciał

13 Przykłady ruchu 3 ciał

14 Układy więcej niż 3 ciał 1 układy planetarne i protoplanetarne 2 pierścienie, pasy asteroidów 3 gromady kuliste i otwarte gwiazd 4 galaktyki 5 gromady pustki galaktyk, supergromady, A. Odrzywołek Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

15 Jak obliczyć ruch setek tysięcy ciał równocześnie Moc obliczeniowa (GFLOP - miliard operacji zmiennoprzecinkowych na sekundę 1 wymagający małej mocy procesor (laptopy i superkomputery typu BlueGene) kilka GFLOPS [1-kilka rdzeni] 2 CoreQuad 30 GFLOPS [2x2 rdzenie] 3 karta graficzna GF8800GTX 500 GFLOPS [128 shaderów] 4 Intel Polaris 2000 GFLOPS [80 rdzeni]

16 Jak obliczyć ruch setek tysięcy ciał równocześnie Moc obliczeniowa (GFLOP - miliard operacji zmiennoprzecinkowych na sekundę 1 wymagający małej mocy procesor (laptopy i superkomputery typu BlueGene) kilka GFLOPS [1-kilka rdzeni] 2 CoreQuad 30 GFLOPS [2x2 rdzenie] 3 karta graficzna GF8800GTX 500 GFLOPS [128 shaderów] 4 Intel Polaris 2000 GFLOPS [80 rdzeni]

17 Programowanie kary graficznej Cechy karty GF8800GTX procesorów zmiennoprzecinkowych operujących w tzw. pojedynczej precyzji (obliczenia z dokładnością około 8 cyfr znaczących float ; dla porównania double typowo daje 16 cyfr znaczących, bardzo rzadko spotykane są procesory pracujące w tzw. poczwórnej precyzji) 2 typowy zegar 1350 MHz 3 dedykowana bardzo szybka pamięć 768 MB 4 dokładność niektórych funkcji matematycznych np: x obniżona na rzecz szybkości działania 5 środowisko programistyczne NVIDIA CUDA wraz ze sterownikami, przykładami oraz bibliotekami gotowymi do użycia w C i Fortranie

18 Programowanie kary graficznej: trudności Różnice w stosunku do normalnego programowania 1 konieczność ręcznego przesyłania danych do i z pamięci karty 2 wszelkie problemy zrównoleglenia algorytmów: nie zawsze jest to możliwe, a przyspieszenie zwykle jest mniejsze niż wynikałoby to z ilości użytych procesorów 3 brak kompilatorów standardowych języków jak C 4 konieczność ręcznego optymalizowania zwłaszcza transferów pomiędzy pamięciami 5 przyspieszenie wyraźnie odczywalne tylko dla problemów w dużej skali (tablice o wymiarach minimum 1000x1000, ciał, HDTV itp)

19 Ciekawe przykłady z CUDA SDK Co mozna policzyć na karcie graficznej? algebra liniowa: operacje na macierzach transformata Fouriera sortowanie fraktale generatory liczb losowych symulacje cząsteczkowe redukcja szumów (w obrazach i dźwięku) Imponujące przykłady z CUDA SDK ruch płynu nieściśliwego (np. woda, miód) [fluidsgl] eksploracja zbioru Mandelbrota [Mandelbrot]

20 CUNBODY-1 Jak w najprostszy sposób zacząć? Ponieważ opanowanie programowania karty graficznej to długotrwały i wymagający wysiłku proces, warto rozpocząć od gotowych bibliotek i programów wykorzystujących jej moc obliczeniową: 1 plug-ins do obróbki zdjęć 2 dekodery H biblioteka CUNBODY-1 wyliczająca siły grawitacyjne lub elektrostatyczne działające pomiędzy maks = Autor: Tsuyoshi Hamada, Polecam animacje autorstwa T. hamady na YouTube oraz szczegółową instrukcję jak zastosować kartę graficzną do problemu wielu ciał. Wymagania: dowolna karta z procesorem G80 lub G bitowy Linux.

21 Symulacje N-ciał Sprzętowe wspomaganie obliczania siły Najwięcej czasu w symulacjach N-ciał zajmuje wyliczenie sił działających na cząstki wg. schematu każdy-z-każdym. są dwa podejścia: (1) bardziej efektywny algorytm, np. grupowanie odległych ciał (2) sprzętowe liczenie siły za pomocą dedykowanej karty wraz z pojawieniem się częściowo programowalnych kart graficznych koszt rozwiązania sprzętowego znacznie spadł i jest to w chwili obecnej najefektywniejsze z punktu widzenia kosztów rozwiązanie

22 Układy 4-10 dużych ciał: gwiazdy wielokrotne i systemy (proto)planetarne

23 Układy 4-10 dużych ciał: gwiazdy wielokrotne i systemy (proto)planetarne

24 Pierścienie planet (Saturn)

25 Pierścienie planet (Saturn)

26 Pierścienie planet (Saturn)

27 Pierścienie planet (Saturn)

28 Układy 10, ,000 ciał: gromady kuliste

29 Układy 10, ,000 ciał: gromady kuliste A. Odrzywołek Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

30 Układy 10, ,000 ciał: gromady kuliste

31 Układy 10, ,000 ciał: gromady kuliste

32 Układy 10, ,000 ciał: gromady kuliste

33 Układy 1000, ,000,000,000 ciał: galaktyki

34 Układy 1000, ,000,000,000 ciał: galaktyki

35 Układy 1000, ,000,000,000 ciał: galaktyki A. Odrzywołek Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

36 Układy 1000, ,000,000,000 ciał: galaktyki

37 Układy 1000, ,000,000,000 ciał: galaktyki A. Odrzywołek Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

38 Układ powyżej 1000,000,000,000 ciał: lokalny wszechświat A. Odrzywołek Symulacje oddziaływania grawitacyjnego wielu ciał na kompute

39 Układ powyżej 1000,000,000,000 ciał: lokalny wszechświat

40 Układ powyżej 1000,000,000,000 ciał: lokalny wszechświat

41 Dlaczego warto zawracać sobie głowę programowaniem karty graficznej?? aczkolwiek programowanie jednoprocesorowe (szeregowe, jednowątkowe) prawdopodobnie nadal będzie dominowało nie należy spodziewać się znacznego wzrostu wydajności dominującą tendencją jest zwiększanie mocy obliczeniowe poprzez zwielokrotnienie procesorów: (1) procesory wielordzeniowe (2) klastry komputerów PC (3) karty graficzne w przeciwieństwie do umiejętności programowania szeregowego programowanie równoległe to umiejętność bardzo rzadko spotykana nie można wykluczyć już w najblizszej przyszłości połączenia zadań procesora i karty graficznej w jednym kilkudziesięciu-rdzeniowym CPU, typu Intel Polaris Programowanie równoległe ma przyszłość, a GPU to poligon doświadczalny. Warto zająć się tym tematem już teraz.